მატრიქსის გამრავლება რიცხვით: მაგალითები, თვისებები, მნიშვნელობა. მატრიქსის ოპერაციები მატრიქსის გამრავლების ფორმულა

პირველ წელს უფრო მაღალ მათემატიკას ვსწავლობთ მატრიცები და მათზე ძირითადი მოქმედებები. აქ ჩვენ სისტემატიზაციას ვაძლევთ მთავარ ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მატრიცებით. სად უნდა დავიწყოთ გაცნობა მატრიცებთან? რა თქმა უნდა, ძალიან მარტივიდან - განმარტებები, ძირითადი ცნებები და მარტივი ოპერაციები. ჩვენ გარწმუნებთ, რომ მატრიცები ყველას გაუგებს ყველას, ვინც მათ სულ მცირე დროს უთმობს!

მატრიქსის განმარტება

მატრიქსი არის ელემენტების მართკუთხა მაგიდა. ისე, მარტივი თვალსაზრისით - რიცხვების ცხრილი.

ჩვეულებრივ, მატრიცები მითითებულია ლათინური ასოებით. მაგალითად, მატრიცა ა , მატრიქსი ბ და ა.შ. მატრიცები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ზომის: მართკუთხა, კვადრატული, ასევე არსებობს რიგის მატრიცები და სვეტის მატრიცები, რომელსაც ვექტორები ეწოდება. მატრიცის ზომა განისაზღვრება მწკრივებისა და სვეტების რაოდენობაზე. მაგალითად, მოდით დავწეროთ ზომის მართკუთხა მატრიცა მ ზე ნ სად მ - ხაზების რაოდენობა და ნ - სვეტების რაოდენობა.

ელემენტები, რომლისთვისაც i \u003d ჯ (a11, a22, .. ) ქმნიან მატრიქსის მთავარ დიაგონალს და ეწოდება დიაგონალი.

რისი გაკეთება შეგიძლია მატრიცებით? დამატება / გამოკლება, გავამრავლოთ რიცხვით, გამრავლდეს ერთმანეთში, გადატანა... ახლა ყველა ამ ძირითადი ოპერაციის შესახებ მატრიცებზე წესრიგში.

მატრიქსის დამატებისა და გამოკლების ოპერაციები

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვაფრთხილებთ, რომ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცების დამატება შეგიძლიათ. შედეგი არის იგივე ზომის მატრიცა. (ან ჩამოკლება) მატრიცების დამატება მარტივია - უბრალოდ დაამატეთ მათი შესაბამისი ელემენტები ... მოდით მაგალითი მოვიყვანოთ. მოდით დავამატოთ ორი მატრიცა A და B, ორით ორი.

გამოკლება ხორციელდება ანალოგიით, მხოლოდ საპირისპირო ნიშნით.

ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს თვითნებური რიცხვით. Გააკეთო ეს, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი თითოეული ელემენტი ამ რიცხვში. მაგალითად, მოდით გავამრავლოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან მე -5 ნომრით:

მატრიქსის გამრავლების ოპერაცია

ყველა მატრიცის გამრავლება არ შეიძლება ერთმანეთთან. მაგალითად, ჩვენ გვაქვს ორი მატრიცა - A და B. მათი ერთმანეთთან გამრავლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა ტოლია მატრიცის მწკრივების რიცხვზე. ამ შემთხვევაში შედეგად მატრიცის თითოეული ელემენტი, რომელიც დგას i- რიგის და j- ის სვეტში, ტოლი იქნება პირველი ფაქტორების i- რი რიგში შესაბამისი ელემენტების პროდუქტების ჯამში და მეორე j-ს სვეტში... ამ ალგორითმის გასაგებად, მოდით დავწეროთ, თუ როგორ მრავლდება ორი კვადრატული მატრიცა:

და მაგალითი რეალური რიცხვებით. მოდით გავამრავლოთ მატრიცები:

მატრიქსის ტრანსპორტირების ოპერაცია

მატრიცის ტრანსპორტირება არის ოპერაცია, სადაც ხდება შესაბამისი რიგები და სვეტები. მაგალითად, მოდით გადავიტანოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან:

მატრიქსის განმსაზღვრელი

განმსაზღვრელი, მაგრამ განმსაზღვრელი არის ხაზოვანი ალგებრის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია. ერთხელ, ადამიანებმა გამოიგონეს ხაზოვანი განტოლებები და მათ უკან მათ უნდა შეესრულებინათ განმსაზღვრელი. შედეგად, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ ამ ყველაფერს, ასე რომ, ბოლო წყენა!

განმსაზღვრელი არის კვადრატული მატრიქსის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც საჭიროა მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.
უმარტივესი კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოვთვალოთ განსხვავება ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

პირველი რიგის მატრიქსის განმსაზღვრელი, ანუ ერთი ელემენტისგან შედგება, ამ ელემენტს ტოლია.

რა მოხდება, თუ მატრიცა სამზე სამია? ეს უფრო რთულია, მაგრამ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ.

ასეთი მატრიქსისთვის განმსაზღვრელის მნიშვნელობა ტოლია მთავარი დიაგონალის ელემენტების ელემენტების პროდუქტის ჯამი და სამკუთხედებზე მოთავსებული ელემენტების პროდუქტები მთლიანი ფორმის დიაგონალზე პარალელურად, მთავარი დიაგონალის გასწვრივ, საიდანაც ამოღებულია გვერდითი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტი და იმ სამკუთხედებზე, რომლებიც იწერება სამკუთხედებზე, პარალელური გვერდითი დიაგონალის სახესთან.

საბედნიეროდ, პრაქტიკაში დიდი მატრიცების განმსაზღვრელი ფაქტორების გამოთვლა იშვიათად ხდება.

აქ ჩვენ გავითვალისწინეთ ძირითადი ოპერაციები მატრიცებზე. რა თქმა უნდა, რეალურ ცხოვრებაში თქვენ ვერასოდეს შეხვდებით განტოლების მატრიქსული სისტემის მინიშნებაზე, ან პირიქით - გაცილებით რთულ შემთხვევებს წააწყდებით, როდესაც ნამდვილად უნდა გქონდეთ თავი. სწორედ ასეთი შემთხვევებისთვის არსებობს პროფესიონალური სტუდენტური მომსახურება. სთხოვეთ დახმარება, მიიღოთ მაღალი ხარისხის და დეტალური გამოსავალი, ისიამოვნეთ აკადემიური წარმატებებითა და თავისუფალი დროით.

ეს სახელმძღვანელო დაგეხმარებათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა შესრულდეთ ოპერაციები მატრიცებით: მატრიცების დამატება (გამოკლება), მატრიქსის გადატანა, მატრიცების გამრავლება, ინვერსიული მატრიცის პოვნა. ყველა მასალა მოცემულია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოცემულია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მოქმედებების შესრულება მატრიცებით. თვითშემოწმებისა და თვითშემოწმების მიზნით, შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიქსის კალკულატორი უფასოდ \u003e\u003e\u003e.

ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანოთ თეორიული გამოთვლები, ზოგან შესაძლებელია ახსნა განმარტებები „თითებზე“ და არაგნიტური ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ გააკრიტიკებთ, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მოქმედებების შესრულება მატრიცებით.

თემაზე SUPER-FAST მომზადებისთვის (ვინ "იწვის") არის ინტენსიური pdf- კურსი მატრიცა, განმსაზღვრელი და ტესტი!

მატრიქსი არის მართკუთხა ცხრილი ელემენტები... როგორც ელემენტები ჩვენ განვიხილავთ რიცხვებს, ანუ ციფრულ მატრიცებს. ელემენტი ტერმინია. სასურველია დაიმახსოვროთ ტერმინი, მას ხშირად შეხვდებით, შემთხვევითი არაა, რომ ამის გამოსანიშნავად თამამი ტიპი გამოვიყენე.

Დანიშნულება: ჩვეულებრივ, მატრიცებს აღნიშნავენ ლათინური ასოებით

მაგალითი: განვიხილოთ ორი – სამჯერადი მატრიცა:

ეს მატრიცა ექვსისგან შედგება ელემენტები:

მატრიცის შიგნით არსებული ყველა რიცხვი (ელემენტები) თავისთავად არსებობს, ანუ არ არსებობს რაიმე გამოკლების საკითხი.

ეს მხოლოდ ცხრილის (ნაკრები) ნომრებია!

ჩვენ ასევე ვეთანხმებით არ გადააკეთოთ ნომრები, თუ განმარტებებით სხვა რამ არ არის მითითებული. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი ადგილმდებარეობა და მისი შეცვლა შეუძლებელია!

მოცემულ მატრიქსს აქვს ორი სტრიქონი:

და სამი სვეტი:

სტანდარტული: როდესაც მატრიცის ზომაზეა საუბარი, მაშინ პირველი მიუთითეთ მწკრივების რაოდენობა, და მხოლოდ ამის შემდეგ - სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან გამოვყავით ორ – სამეული მატრიცა.

თუ მატრიქსის რიგებისა და სვეტების რაოდენობა ერთია, მაშინ მატრიცა ეწოდება მოედანი, მაგალითად: - "სამი სამი" მატრიქსით.

თუ მატრიქსს აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.

სინამდვილეში, ჩვენ ვიცით მატრიცის კონცეფცია სკოლის დროიდან, განვიხილოთ, მაგალითად, წერტილი კოორდინატებთან "x" და "თამაში": არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება სათითაოდ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი იმისა, თუ რატომ არის მნიშვნელოვანი რიცხვების რიგი: და არის თვითმფრინავის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი.

ახლა მოდით პირდაპირ გადავიდეთ შესწავლაზე მოქმედებები მატრიცებით:

1) პირველი მოქმედება. მატრიცისგან მინუსის ამოღება (მატრიქსში მინუსის დამატება).

ჩვენს მატრიქსში დაბრუნება ... როგორც მოგეხსენებათ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიქსით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების თვალსაზრისით, ამდენი მინუსების დაწერა არ არის მიზანშეწონილი, და ის უბრალოდ გამოიყურება მახინჯი დიზაინით.

გადაიტანეთ მინუსი მატრიქსის გარეთ, შეცვალეთ თითოეული მატრიქსის ელემენტის ნიშანი:

ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება, ნულოვანია - ის ნულია აფრიკაში.

საპირისპირო მაგალითი: ... ეს მახინჯი გამოიყურება.

მოდით დავამატოთ მინუსი მატრიქსში, Eաչ მატრიქსის ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ისე, გაცილებით ლამაზი აღმოჩნდა. და, რაც მთავარია, უფრო ადვილი იქნება ნებისმიერი მოქმედებების შესრულება მატრიცასთან. იმიტომ, რომ არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ome: რაც უფრო მეტი წინააღმდეგობაა, უფრო მეტი დაბნეულობა და შეცდომები.

2) მეორე მოქმედება. მატრიქსის გამრავლება რიცხვით.

მაგალითი:

ეს მარტივია, რომ მატრიქსით რიცხვით გაამრავლოთ, დაგჭირდებათ ყველა მატრიქსის ელემენტი მრავლდება მოცემული რიცხვით. ამ შემთხვევაში, სამეულს.

კიდევ ერთი სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიქსის გამრავლება ფრაქციის მიხედვით

პირველი, გაითვალისწინეთ რა უნდა გააკეთოთ ᲐᲠ:

აუცილებელი არაა ფრაქციის მატრიცაში შეყვანა, პირველ რიგში, ეს მხოლოდ მატრიქსებით შემდგომი მოქმედებების გართულებას ახდენს, და მეორეც, მასწავლებელს ართულებს გამოსავლის ამოწმებას (განსაკუთრებით, თუ - დავალების საბოლოო პასუხი).

Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ გაყოფა მატრიქსის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდით:

სტატიიდან მათემატიკის დედოფლები ან სად უნდა დავიწყოთჩვენ გვახსოვს, რომ ათობითი მათემატიკაში მყოფი ათწილადების წილები ცდილობენ თავიდან აიცილონ ყველა შესაძლო გზით.

ერთადერთი რაც სასურველია ამ მაგალითის გაკეთება არის მატრიცაში მინუს შემოღება:

Მაგრამ თუ სულ მატრიქსის ელემენტები იყოფა 7-ით ნარჩენების გარეშემაშინ შესაძლებელი გახდა (და აუცილებელი!) გაყოფა.

მაგალითი:

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ და საჭიროა მატრიქსის ყველა ელემენტის გამრავლება, რადგან მატრიცაში არსებული ყველა რიცხვი იყოფა 2-ით ნარჩენების გარეშე.

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს „დაყოფის“ სასკოლო კონცეფცია. იმის ნაცვლად, რომ ფრაზა "ამით გაყავით", თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "გამრავლდეს ეს ფრაქციით". ანუ გაყოფა გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

3) მესამე მოქმედება. მატრიცა.

მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა დაწეროთ მისი რიგები გადაადგილებული მატრიცის სვეტებში.

მაგალითი:

შეცვალეთ მატრიქსი

აქ მხოლოდ ერთი სტრიქონი არსებობს და, წესისამებრ, იგი უნდა დაიწეროს მწკრივზე:

- ტრანსპორტირებული მატრიცა.

გადანაცვლებულ მატრიქსს, როგორც წესი, მიუთითებს ზედა ანწუკით ან ზევით მარჯვნივ.

ეტაპობრივად მაგალითი:

შეცვალეთ მატრიქსი

პირველი, ჩვენ გადავწეროთ პირველი რიგის პირველი სვეტი:

შემდეგ ჩვენ მეორე სტრიქს მეორე სვეტში გადავაწეროთ:

დაბოლოს, ჩვენ მესამე სტრიქს მესამე სვეტში გადავწეროთ:

Შესრულებულია. უხეშად რომ ვთქვათ, გადატანა ნიშნავს მატრიქსის ერთ მხარეს გადაქცევას.

4) სამოქმედო ოთხი. მატრიცების ჯამი (განსხვავება).

მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
მთლიანი მასალის დაფარვა არ შეიძლება მატრიცების დამატების (გამოკლების) შესასრულებლად, აუცილებელია, რომ ისინი იგივე SIZE იყოს.

მაგალითად, თუ მოცემულია ორი – ორი მატრიცა, მაშინ მას მხოლოდ ორი – ორი – ორი მატრიცის დამატება შეუძლია და არა სხვა!

მაგალითი:

დაამატეთ მატრიცები და

მატრიცების დამატება, აუცილებელია მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:

მატრიცების განსხვავებისთვის, წესი მსგავსია, აუცილებელია იპოვოთ შესაბამისი ელემენტების განსხვავება.

მაგალითი:

იპოვნეთ მატრიცების სხვაობა ,

და როგორ უნდა გადაწყვიტოთ ეს მაგალითი უფრო ადვილია, რომ არ იყოს დაბნეული? მიზანშეწონილია თავი დაეღწია ზედმეტი მინუსებისგან, ამისათვის მატრიქსს მინუსს ვამატებთ:

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს „გამოკლების“ სასკოლო კონცეფცია. იმის მაგივრად, რომ თქვათ "ამაზე ჩამოკლება", თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ამას დაამატეთ უარყოფითი რიცხვი". ანუ, გამოკლება დამატების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

5) სამოქმედო ხუთი. მატრიქსის გამრავლება.

რა მატრიცების გამრავლება შეიძლება?

იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიქსით, გჭირდებათ ისე, რომ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა ტოლი იყოს მატრიცაში მწკრივის რიცხოვნობის რაოდენობა.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის გამრავლება?

ეს ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ ამ მატრიცების გამრავლება.

მაგრამ თუ მატრიცები გადაკეთებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება უკვე შეუძლებელია!

ამიტომ, გამრავლება შეუძლებელია:

არც თუ ისე იშვიათია დავალებების მოძებნა ხრიკით, როდესაც სტუდენტს სთხოვს მატრიცების გამრავლება, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია როგორც გამრავლება, ასევე გამრავლება

მატრიქსის გამრავლება რიცხვით არის ოპერაცია მატრიქსზე, რის შედეგადაც მისი თითოეული ელემენტი მრავლდება ნამდვილი ან რთული რიცხვით. ეს ასე გამოიყურება მათემატიკურ ენაზე:

$ $ B \u003d \\ lambda \\ cdot A \\ Rightarrow b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $ $

აღსანიშნავია, რომ შედეგად მატრიქსმა $ B $ უნდა გამოიწვიოს იგივე განზომილება, როგორც საწყისი მატრიცა A $ $. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ყურადღება მიაქციოთ შემდეგ ფაქტს: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ cdot \\ lambda $, ანუ, თქვენ შეგიძლიათ გაცვალოთ მულტიპლიკატორები და ეს არ შეცვლის პროდუქტს.

სასარგებლო იქნება მატრიქსის გარეთ მყოფი მატერიის გამრავლების ოპერაციის გამოყენება. ამ შემთხვევაში, მატრიქსის თითოეული ელემენტი იყოფა რიცხვით $ \\ lambda $, და იგი ამოღებულია მატრიცის წინ.

Თვისებები

1. დისტრიბუციული კანონი მატრიცების შესახებ: $ $ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $ $ მატრიცების ჯამის გამრავლება რიცხვით შეიძლება შეიცვალოს თითოეული ინდივიდუალური მატრიცის პროდუქციის ჯამით მოცემული რიცხვით
2. დისტრიბუციული კანონი რეალურ (რთულ) ნომრებზე: $ $ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot A \u003d \\ lambda A + \\ mu A $ $ მატრიქსის გამრავლება რიცხვების ჯამით შეიძლება შეიცვალოს მატრიცის საშუალებით თითოეული რიცხვის პროდუქციის ჯამი.
3. ასოცირების კანონი: $ $ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot A) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $ $ მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ საჭიროა მისგან პირველი ფაქტორიდან ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, ხოლო მის წინ უკვე კოეფიციენტი გაამრავლოთ
4. არსებობს სპეციალური ნომერი $ \\ lambda \u003d 1 $, რის გამოც მატრიქსი უცვლელი რჩება $ $ 1 \\ cdot A \u003d A \\ cdot 1 \u003d A $ $
5. მატრიქსის ნულობით გამრავლებით მივყავართ იმ ფაქტს, რომ მატრიცების თითოეული ელემენტი ნულის ტოლია და მატრიცა ხდება იგივე განზომილების ნულის ტოლი, რაც თავდაპირველად იყო: $ $ 0 \\ cdot A \u003d 0 $ $

გამოსავლის მაგალითები

მაგალითი

მოცემულია $ A \u003d \\ დასაწყისი (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ და რეალური $ \\ lambda \u003d 2 $. გაამრავლოთ რიცხვი მატრიცის მიხედვით.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ გამრავლების მათემატიკურ მოქმედებას და ამავე დროს გვახსოვს ის წესი, რომელიც ამბობს: მატრიცა მრავლდება რიცხვით ელემენტარულად. $ $ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ cdot \\ დასაწყისი (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ დასაწყისი (pmatrix) 2 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ end (pmatrix) \u003d $ $ $ $ \u003d \\ დაწყება (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $ $ შედეგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ მატრიქსში თითოეული რიცხვი გაორმაგებულია საწყის მნიშვნელობასთან. თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ დეტალურ გადაწყვეტას მოგაწვდით. თქვენ შეძლებთ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და მიიღოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ თქვენი მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ კრედიტი!

პასუხი

$ $ \\ lambda \\ cdot A \u003d \\ დასაწყისი (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $ $

იმისათვის, რომ გაამრავლოთ მატრიცა A, თვითნებური რიცხვით α, თქვენ გჭირდებათ მატრიქსის ელემენტები ა გავამრავლოთ α-ის რიცხვით, ე.ი. მატრიქსების ნომერი პროდუქტი იქნება შემდეგი:

მაგალითი 1. იპოვნეთ მატრიცა 3 ამატრიქსისთვის

გადაწყვეტილება. განმარტების შესაბამისად, ჩვენ გავამრავლებთ მატრიცის ელემენტებს ა 3-ით და მიიღეთ

ეს იყო ძალიან მარტივი მაგალითი მატრიქსის გამრავლებით რიცხვებით რიცხვებით. ასევე წინ არის მარტივი მაგალითები, მაგრამ უკვე ისეთი, სადაც მატრიცების ფაქტორებსა და ელემენტებს შორის არის წილადები, ცვლადი (ასო აღნიშვნები), რადგან გამრავლების კანონები ძალაშია არა მხოლოდ მთლიანი რიცხვებისთვის, ამიტომ მათი გამეორება არასოდეს არის მავნე.

მაგალითი 2. ა α რიცხვის მიხედვით თუ
, .

ა a– ით, არ ავიწყდება, რომ წილადების გამრავლებისას, პირველი ფრაქციის მრიცხველი მრავლდება პირველი ფრაქციის მრიცხველის მიერ და პროდუქტი იწერება მრიცხველში, ხოლო პირველი ფრაქციის მნიშვნელი მრავლდება მეორე ფრაქციის მნიშვნელის მიერ და პროდუქტი იწერება მნიშვნელი. ახალი მატრიცის პირველი რიგის მეორე რიგის მეორე ელემენტის მიღებისას, შედეგად მიღებული ფრაქცია შემცირდა 2-ით, ეს უნდა გაკეთდეს. ვიღებთ

მაგალითი 3. შეასრულეთ მატრიქსის გამრავლების ოპერაცია ა α რიცხვის მიხედვით თუ
, .

გადაწყვეტილება. მატრიქსის ელემენტების გამრავლება ა მიერ α, წერილის ნოტაციაში დაბნეულობის გარეშე, მახსოვს, რომ დატოვონ მინუსი ახალი მატრიცის მეორე რიგის მეორე ელემენტის წინ და დაიმახსოვროთ, რომ მისი ინვერსიული რიცხვით რიცხვის გამრავლების შედეგი არის ერთი (მესამე რიგის პირველი ელემენტი). ვიღებთ

.

მაგალითი 4. შეასრულეთ მატრიქსის გამრავლების ოპერაცია ა α რიცხვის მიხედვით თუ
, .

გადაწყვეტილება. დაიმახსოვრე, რომ როდესაც თქვენ ძალაუფლების რიცხვი რამდენჯერმე გამრავლებით, ექსპონენტები ემატება. ვიღებთ

.

ეს მაგალითი, სხვა საკითხებთან ერთად, აშკარად მეტყველებს იმაზე, რომ რიგით მატრიქსის გამრავლების ოპერაციების გაკეთება შესაძლებელია შებრუნებული წესით წაკითხვის (და დაწერის) და ეს ეწოდება მატრიცის წინ მუდმივ ფაქტორს დაყენებას.

კომბინირებულია მატრიცების დამატება და გამოკლება მატრიქსის გამრავლების ოპერაციამ შეიძლება შექმნას სხვადასხვა მატრიცული გამონათქვამები, მაგალითად, 5 ა − 3ბ , 4ა + 2ბ .

მატრიქსის გამრავლების თვისებები რიცხვით

(აქ A, B - მატრიცები, - რიცხვები, 1 - ნომერი პირველი)

1.

2.

3.

თვისებები (1) და (2) მატრიქსის გამრავლებას რიცხვს აკავშირებს მატრიცების დამატებით. ასევე არსებობს ძალიან მნიშვნელოვანი კავშირი მატრიცის რიგით რიცხვში გამრავლებასა და თავად მატრიცების გამრავლებას შორის:

ანუ, თუ მატრიცების პროდუქტში ერთი ფაქტორი მრავლდება რიცხვით, მაშინ მთელი პროდუქტი მრავლდება რიცხვით.

ეს თემა მოიცავს ოპერაციებს, როგორიცაა მატრიცების დამატება და გამოკლება, მატრიქსის გამრავლება რიგით, მატრიქს-მატრიქსის გამრავლება, მატრიცის ტრანსპოზიცია. ამ გვერდზე გამოყენებული ყველა სიმბოლო აღებულია წინა თემიდან.

მატრიცების დამატება და გამოკლება.

მატრიცების $ A + B $ $ A_ (m \\ ჯერ n) \u003d (a_ (ij)) $ და $ B_ (m \\ ჯერ n) \u003d (b_ (ij)) $ $ ეწოდება მატრიცას $ C_ (m \\ ჯერ n) \u003d (c_ (ij)) $, სადაც $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ ყველა $ i \u003d \\ გადატვირთვის (1, მ) $ და $ j \u003d \\ გადახედვა (1, ნ) $.

მსგავსი განმარტება შემოღებულია მატრიცების განსხვავებულობისთვის:

სხვაობა $ AB $ მატრიცებში $ A_ (m \\ ჯერ n) \u003d (a_ (ij)) $ და $ B_ (m \\ ჯერ n) \u003d (b_ (ij)) $ არის მატრიცა $ C_ (m \\ ჯერ n) \u003d ( c_ (ij)) $, სადაც $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ ყველა $ i \u003d \\ გადატვირთვის (1, მ) $ და $ j \u003d \\ გადატვირთვის (1, ნ) $.

ჩანაწერის ახსნა $ i \u003d \\ მიმოხილვა (1, მ) $: შოუ \\ დამალვა

ნოტაცია "$ i \u003d \\ მიმოხილვა (1, მ) $" ნიშნავს, რომ $ i $ პარამეტრი 1-დან მ-მდე მერყეობს. მაგალითად, ჩანაწერი $ i \u003d \\ overline (1,5) $ ამბობს, რომ $ i $ პარამეტრი იღებს მნიშვნელობებს 1, 2, 3, 4, 5.

აღსანიშნავია, რომ დამატებისა და გამოკლების ოპერაციები განისაზღვრება მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცებისთვის. ზოგადად, მატრიცების დამატება და გამოკლება ინტუიციურად მკაფიო ოპერაციებია, რადგან ისინი, ფაქტობრივად, მხოლოდ შესაბამისი ელემენტების დამატებას ან გამოკლებას გულისხმობენ.

მაგალითი # 1

მოცემულია სამი მატრიცა:

$ $ A \u003d \\ მარცხნივ (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ ბოლოკი (მასივი) \\ მარჯვნივ) \\; \\; B \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ); \\; \\; F \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (გ)) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ). $ $

შეგიძლიათ იპოვოთ $ A + F $ მატრიცა? იპოვნეთ მატრიცები $ C $ და $ D $, თუ $ C \u003d A + B $ და $ D \u003d A-B $.

$ A $ მატრიცა შეიცავს 2 სტრიქონს და 3 სვეტს (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, $ A $ $ მატრიქსის ზომაა $ 2 \\ ჯერ 3 $), ხოლო $ F $ მატრიცა შეიცავს 2 რიგს და 2 სვეტს. მატრიცის ზომები $ A $ და $ F $ არ ემთხვევა, ასე რომ, მათ ვერ დავამატებთ, ე.ი. მოცემული მატრიცებისთვის $ A + F $ ოპერაცია განუსაზღვრელია.

მატრიცების ზომები A $ და $ B $ იგივეა, ე.ი. მატრიქსის მონაცემები შეიცავს რიგებისა და სვეტების თანაბარ რაოდენობას, ამიტომ დამატებით ოპერაცია გამოიყენება მათზე.

$ $ C \u003d A + B \u003d \\ მარცხნივ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) + \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\\\ \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ ბოლოკი (მასივი) \\ უფლება) $ $

იპოვნეთ მატრიცა $ D \u003d A-B $:

$ $ D \u003d AB \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) - \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\\\ \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ციკლი) -11 & 23 & -97 \\ : $ C \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ) $, $ D \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ end (მასივი) \\ უფლება) $.

პასუხიმატრიცის გამრავლებით რიცხვით.

მატრიქსის $ A_ (m \\ ჯერ n) \u003d (a_ (ij)) $ $ მიერ $ \\ alpha $ არის მატრიცა $ B_ (m \\ ჯერ n) \u003d (b_ (ij)) $, სადაც $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ $ $ i \u003d \\ მიმოხილვა (1, მ) $ და $ j \u003d \\ გადატვირთვის (1, ნ) $.

მარტივად რომ ვთქვათ, მატრიქსის გამრავლებით გარკვეული რიცხვი ნიშნავს მოცემული მატრიცის თითოეული ელემენტის ამ რიცხვის გამრავლებას.

მაგალითი 22

მატრიცა მოცემულია: $ A \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) $. იპოვნეთ მატრიცები $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ და $ -A $.

{!LANG-987d634ed94c15a31370f162c6a7a9ca!}

$ $ 3 \\ cdot A \u003d 3 \\ cdot \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დაიწყოს ( მასივი) (ccc) 3 \\ cdot (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ end (მასივი) \\ უფლება) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ). \\\\ -5 \\ cdot A \u003d -5 \\ cdot \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) & -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 & -5 \\ cdot 9 & -5 \\ cdot 0 \\ end (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ). $ $

$ -A $ ნოტაცია არის shrorthand for $ 1 \\ cdot $. ანუ, იპოვოთ $ -A $, თქვენ უნდა გაამრავლოთ $ A $ მატრიქსის ყველა ელემენტი (-1) -ით. სინამდვილეში, ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის ყველა ელემენტის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება:

$ $ -A \u003d -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ : $ 3 \\ cdot A \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ); \\; -A \u003d \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) $.

პასუხიორი მატრიცის პროდუქტი.

ამ ოპერაციის განმარტება არის რთული და, ერთი შეხედვით, გაუგებარი. აქედან გამომდინარე, პირველ რიგში მე მიუთითებს ზოგადი განმარტება, შემდეგ კი დეტალურად განვიხილავთ რას ნიშნავს და როგორ უნდა ვიმუშაოთ იგი

მატრიქსის $ A_ (m \\ ჯერ n) \u003d (a_ (ij)) $ $ მატრიცის საშუალებით $ B_ (n \\ ჯერ k) \u003d (b_ (ij)) $ არის მატრიცა $ C_ (m \\ ჯერ k) \u003d (c_ ( ij)) $, რომლისთვისაც $ c_ (ij) $ თითოეული ელემენტი ტოლია მატრიცის I რიგის I– რიგის შესაბამისი ელემენტების პროდუქტების ჯამი $ A $ $ მატრიცის j – ს სვეტის ელემენტებით $ B $: $ $ c_ (ij) \u003d \\ თანხა \\ ლიმიტები (p \u003d 1) ^ (ო) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $ $

მოდით განვიხილოთ ნაბიჯ-ნაბიჯ მატრიცის გამრავლება მაგალითის გამოყენებით. ამასთან, დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა მატრიცის გამრავლება შეუძლებელია. თუ გვინდა გავამრავლოთ $ A $ მატრიცა $ B $ მატრიქტით, მაშინ ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ $ A $ მატრიქსის სვეტების რაოდენობა ტოლია $ B $ მატრიცის მწკრივთა რიცხვთან (ასეთი მატრიცები ხშირად

შეთანხმდნენ {!LANG-69f0e6da9be87b2fd3d70d6670655bd5!}). მაგალითად, მატრიცა $ A_ (5 \\ ჯერ 4) $ (მატრიცა შეიცავს 5 რიგს და 4 სვეტს) არ შეიძლება გამრავლდეს მატრიცით $ F_ (9 \\ ჯერ 8) $ (9 სტრიქონი და 8 სვეტი), რადგან მატრიცის სვეტების რაოდენობა $ A $ არ არის ტოლი $ F $ მატრიცის მწკრივთა რიცხვთან, ე.ი. $ 4 \\ ნე 9 $. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მატრიცა $ A_ (5 \\ ჯერ 4) $ მატრიქტით $ B_ (4 \\ ჯერ 9) $, რადგან მატრიცაში სვეტების რაოდენობა $ A $ ტოლია მატრიცაში მწკრივთა რიცხვთან $ B $. ამ შემთხვევაში, მატრიცების $ A_ (5 \\ ჯერ 4) $ და $ B_ (4 \\ ჯერ 9) $ გამრავლების შედეგი იქნება მატრიცა $ C_ (5 \\ ჯერ 9) $, რომელიც შეიცავს 5 რიგს და 9 სვეტს:

მაგალითი 33

მოცემულია მატრიცები: $ A \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) $ და $ B \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ც.) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ) $. იპოვნეთ მატრიცა $ C \u003d A \\ cdot B $.

პირველი, მოდით დაუყოვნებლივ დავადგინოთ მატრიცის ზომა $ C $. ვინაიდან მატრიცა $ A $ არის $ 3 ჯერ 4 $, ხოლო მატრიცა $ B $ 4 $ \\ ჯერ 2 $, $ C $ მატრიცის ზომაა: $ 3 \\ ჯერ 2 $:

ასე რომ, მატრიცების $ A და $ B $ პროდუქტის შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა $ C $, რომელიც შედგება სამი რიგისა და ორი სვეტისგან: $ C \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (გ)) c_ (11) & c_ ( 12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (array) \\ უფლება) $. თუ ელემენტების აღნიშვნები ბადებს კითხვებს, შეგიძლიათ გადახედოთ წინა თემას: "მატრიცები. მატრიცების სახეები. ძირითადი ტერმინები", რომლის დასაწყისში განმარტებულია მატრიცული ელემენტების აღნიშვნა. ჩვენი მიზანია იპოვოთ მატრიქსის ყველა ელემენტის მნიშვნელობები $ C $.

დავიწყოთ $ c_ (11) $ - ით. ელემენტის $ c_ (11) $ მისაღებად, თქვენ უნდა იპოვოთ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტების პროდუქციის ჯამი $ A $ და მატრიცის პირველი სვეტი $ B $:

თავად ელემენტის $ c_ (11) $ მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტები $ A $ $ მატრიცის პირველი სვეტის შესაბამისი ელემენტებით $ B $, ანუ. პირველი ელემენტი პირველზე, მეორეზე მეორეზე, მესამეზე მესამეზე, მეოთხეზე მეოთხეზე. ჩვენ შევაჯამეთ მიღებული შედეგები:

$ $ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $ $

გავაგრძელოთ გამოსავალი და ვიპოვოთ $ c_ (12) $. ამისათვის თქვენ უნდა გავამრავლოთ მატრიცის პირველი რიგის ელემენტები $ A $ და მატრიცის მეორე სვეტი $ B $:

წინა მსგავსი, ჩვენ გვაქვს:

$ $ c_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $ $

გვხვდება პირველი რიგის $ C $ ყველა ელემენტი. გადადით მეორე სტრიქონზე, რომელიც იწყება $ c_ (21) $ -ით. ამის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის მეორე რიგის ელემენტები $ A $ და მატრიცის პირველი სვეტი $ B $:

$ $ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $ $

შემდეგი ელემენტი $ c_ (22) $ გვხვდება მატრიცის მეორე რიგის მეორე რიგის ელემენტების მრავლობითობით $ A $ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტების მრავლობითობით $ B $:

$ $ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $ $

$ C_ (31) $ საპოვნელად, ჩვენ გავამრავლებთ $ A $ $ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტებს $ B $ მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებით:

$ $ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $ $

დაბოლოს, ელემენტის $ c_ (32) $ მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები $ A $ $ მატრიცის მეორე სვეტის შესაბამისი ელემენტებით $ B $:

$ $ c_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $ $

გვხვდება მატრიცის ყველა ელემენტი $ C $, მხოლოდ უნდა ჩაწეროთ, რომ $ C \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (გ)) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) ... ან, დაწეროთ სრულად:

$ $ C \u003d A \\ cdot B \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \\ cdot \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ც.გ.) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დაწყება (მასივი) (ც.) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ). $ $

პასუხი: $ C \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (გ)) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) $.

სხვათა შორის, ხშირად არ არის მიზეზი, რომ დეტალურად აღწერონ შედეგების მატრიცის თითოეული ელემენტის პოვნა. მატრიცებისთვის, რომლებიც მცირეა, შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი:

$ $ \\ მარცხენა (\\ დაწყება (მასივი) (გ) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \\ cdot \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ც.) 4 & 9 \\\\ - 6 & 90 \\ ბოლოს (მასივი) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხენა (\\ დასაწყისი (მასივი) (ც)) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90 ) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (array) \\ მარჯვნივ) \u003d \\ მარცხნივ (\\ დაწყება (მასივი) (გ) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ ბოლო (მასივი) \\ მარჯვნივ) $ $

აღსანიშნავია ისიც, რომ მატრიქსის გამრავლება არააქტიურია. ეს ნიშნავს, რომ ზოგადად $ A \\ cdot B \\ neq B \\ cdot A $. მხოლოდ ზოგიერთი ტიპის მატრიქსისთვის, რომელსაც ეძახიან permutation (ან გადაადგილება), თანასწორობა $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ მართალია. ზუსტად გამრავლების არაკომპეტენტურობის საფუძველზე, საჭიროა მიუთითოთ ზუსტად, თუ როგორ გავამრავლებთ გამოხატულებას ამა თუ იმ მატრიცით: მარჯვნივ ან მარცხნივ. მაგალითად, ფრაზა "თანაბარი ორივე მხარეს გავამრავლოთ $ 3E-F \u003d Y $ მატრიქტით $ A $ მარჯვნივ" ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა მივიღოთ შემდეგი თანასწორობა: $ (3E-F) \\ cdot A \u003d Y \\ cdot A $.

გადაცემულია მატრიცის $ A_ (m \\ ჯერ n) \u003d (a_ (ij)) $ $ ეწოდება მატრიცა $ A_ (n \\ ჯერ მ) ^ (T) \u003d (a_ (ij) ^ (T)) $, ელემენტებისთვის რომელიც $ a_ (ij) ^ (T) \u003d a_ (ji) $.

მარტივად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზიციური მატრიცის $ A ^ T $ მისაღებად, თქვენ უნდა შეცვალოთ სვეტები თავდაპირველ მატრიცაში $ A $ $ შესაბამისი სტრიქონებით შემდეგი პრინციპის შესაბამისად: თუ პირველი რიგი იყო, პირველი სვეტი გახდება; იყო მეორე რიგი - გახდება მეორე სვეტი; იყო მესამე რიგი - იქნება მესამე სვეტი და ა.შ. მაგალითად, მოდით მოვიძიოთ მატრიცაში გადატანილი მატრიცა $ A_ (3 \\ ჯერ 5) $:

შესაბამისად, თუ თავდაპირველი მატრიცა იყო $ 3 / ჯერ 5 $, მაშინ გადატანილი მატრიცა არის 5 $ \\ ჯერ 3 $.

ოპერაციების ზოგიერთი თვისება მატრიცებზე.

აქ ვარაუდობენ, რომ $ \\ alpha $, $ \\ beta $ არის რამდენიმე ნომერი, ხოლო $ A $, $ B $, $ C $ არის მატრიცები. პირველი ოთხი თვისებისთვის მე დავასახელე სახელები, დანარჩენი შეიძლება დავასახელოთ პირველი ოთხეულის ანალოგიით.