Modelul se numește static atunci când influențele de intrare și de ieșire sunt constante în timp. Model static descrie starea de echilibru.
Un model se numește dinamic dacă variabilele de intrare și de ieșire se modifică în timp. Model dinamic descrie modul de funcţionare instabil al obiectului studiat.
Studiul proprietăților dinamice ale obiectelor permite, în conformitate cu principiul fundamental al certitudinii Huygens-Hadamard, să se răspundă la întrebarea: cum se schimbă starea unui obiect sub influențe cunoscute asupra lui și a unei stări inițiale date.
Un exemplu de model static este dependența duratei unei operațiuni tehnologice de costurile resurselor. Modelul static este descris de ecuația algebrică
Un exemplu de model dinamic este dependența volumului producției de produse comerciale ale unei întreprinderi de mărimea și momentul investițiilor de capital, precum și de resursele cheltuite.
Modelul dinamic este adesea descris de ecuația diferențială
O ecuație leagă o variabilă necunoscută Yși derivatele sale cu variabilă independentă tși o funcție de timp dată X(t)și derivatele sale.
Un sistem dinamic poate funcționa în timp continuu sau discret, cuantificat în intervale egale. În primul caz, sistemul este descris printr-o ecuație diferențială, iar în al doilea caz, printr-o ecuație cu diferențe finite.
Dacă seturile de variabile de intrare, de ieșire și timpi sunt finiți, atunci sistemul este descris mașină cu stări finite.
O mașină cu stări finite este caracterizată printr-un set finit de stări de intrare; set finit de stări; un set finit de stări interne; funcția de tranziție T(x, q), care determină ordinea schimbării stărilor interne; funcția de ieșire P(x, q) specificarea stării de ieșire în funcție de starea de intrare și starea internă.
O generalizare a automatelor deterministe sunt automate stocastice, care se caracterizează prin probabilitățile de trecere de la o stare la alta. Dacă funcționarea unui sistem dinamic este de natura deservirii cererilor emergente, atunci un model al sistemului este construit folosind metode teoria cozilor.
Se numește modelul dinamic staționar, dacă proprietățile de transformare ale variabilelor de intrare nu se modifică în timp. Altfel se numeste nestaționare.
Distinge determinist și stocastic (probabilistic) modele. Un operator determinist vă permite să determinați în mod unic variabilele de ieșire din variabilele de intrare cunoscute.
Determinism modele înseamnă doar non-aleatorie a transformării variabilelor de intrare, care ele însele pot fi fie deterministe, fie aleatorii.
Operatorul stocastic vă permite să determinați distribuția de probabilitate a variabilelor de intrare dintr-o distribuție de probabilitate dată a variabilelor de intrare și a parametrilor sistemului.
În ceea ce privește variabilele de intrare și de ieșire, modelele sunt clasificate după cum urmează:
1. Variabilele de intrare sunt împărțite în a reușitȘi incontrolabil. Primele pot fi modificate la discreția cercetătorului și sunt folosite de obiect. Acestea din urmă sunt nepotrivite pentru management.
2. În funcție de dimensiunea vectorilor variabilelor de intrare și de ieșire, aceștia se disting unidimensionale și multidimensionale modele. Prin model unidimensional înțelegem un model în care variabilele de intrare și de ieșire sunt ambele mărimi scalare. Un model ai cărui vectori se numesc multidimensional X(t) Și y(t) au dimensiune n³ 2.
3. Se numesc modele în care variabilele de intrare și de ieșire sunt continue în timp și mărime continuu. Sunt numite modele în care variabilele de intrare și de ieșire sunt discrete fie în timp, fie în mărime discret.
Rețineți că dinamica sistemelor complexe depinde în mare măsură de deciziile luate de oameni. Procesele care apar în sisteme complexe sunt caracterizate printr-un număr mare de parametri - mari în sensul că ecuațiile și relațiile corespunzătoare nu pot fi rezolvate analitic. Adesea, sistemele complexe studiate sunt unice în comparație chiar și cu sistemele cu scopuri similare. Durata experimentelor cu astfel de sisteme este de obicei lungă și adesea se dovedește a fi comparabilă cu durata lor de viață. Uneori, efectuarea de experimente active cu sistemul este în general inacceptabilă.
Pentru un obiect complex, este adesea imposibil să se determine conținutul fiecărui pas de control. Această împrejurare determină un număr atât de mare de situații care caracterizează starea obiectului încât este aproape imposibil de analizat influența fiecăreia dintre ele asupra deciziilor luate. În această situație, în locul unui algoritm de control rigid care prescrie o anumită soluție neechivocă la fiecare pas al implementării sale, este necesar să se folosească un set de instrucțiuni corespunzătoare a ceea ce se numește în mod obișnuit calcul în matematică. Spre deosebire de un algoritm în calcul, continuarea procesului la fiecare pas nu este fixă și este posibil să se continue în mod arbitrar procesul de găsire a unei soluții. Calculul și sistemele similare sunt studiate în logica matematică.
1.5. Conceptul construirii unui model de sistem obiecte complexe
Obiectele complexe sunt o colecție de elemente individuale izolate structural: unități tehnologice, autostrăzi de transport, motoare electrice etc., interconectate prin fluxuri de materiale, energie și informații și care interacționează cu mediul în ansamblu. Procesele de transfer de energie și masă care au loc în obiectele complexe sunt direcționale și asociate cu mișcarea câmpurilor și a materiei (schimb de căldură, filtrare, difuzie, deformare etc.). De regulă, aceste procese conțin stadii instabile de dezvoltare, iar managementul unor astfel de procese este mai mult o artă decât o știință. Datorită acestor circumstanțe, există o calitate instabilă a gestionării unor astfel de obiecte. Cerințele pentru calificarea personalului tehnologic sunt în creștere bruscă, iar timpul pentru pregătirea acestuia crește semnificativ.
Un element al unui sistem este un anumit obiect (material, energie, informație) care are o serie de proprietăți care sunt importante pentru noi, a căror structură internă (conținut) nu prezintă interes din punctul de vedere al scopului analizei. .
Vom nota elementele prin M, și întregul lor ansamblu considerat (posibil) – prin (M). Se obișnuiește să se înregistreze apartenența unui element la o populație.
Comunicare Să numim schimbul dintre elementele importante în scopul luării în considerare: materie, energie, informație.
Un singur act de comunicare este impact. Indică toate efectele unui element M 1 pe element M 2 prin X 12 un element M 2 pe M 1 – prin X 21, conexiunea poate fi reprezentată grafic (Fig. 1.6).
Orez. 1.6. Relația dintre două elemente
Sistem Să numim un set de elemente care are următoarele caracteristici:
a) legături care permit, prin tranziții de-a lungul acestora de la element la element, să se conecteze oricare două elemente ale mulțimii;
b) o proprietate (scop, funcție) diferită de proprietăți elemente individuale totalitate.
Să numim caracteristica a) conectivitatea sistemului, b) funcția acestuia. Folosind așa-numitul „tuplu” (adică secvența sub forma unei enumerații) definiția sistemului, putem scrie
unde Σ este sistemul; ( M} – totalitatea elementelor din acesta; ( X) – un set de conexiuni; F – funcția (proprietate nouă) a sistemului.
Vom considera intrarea drept cea mai simplă descriere a sistemului.
Aproape orice obiect dintr-un anumit punct de vedere poate fi considerat ca un sistem. Este important să se știe dacă o astfel de vedere este utilă sau dacă este mai rezonabil să se considere obiectul dat un element. Deci, sistemul poate fi considerat o placă radio , conversia semnalului de intrare într-un semnal de ieșire. Pentru un specialist în baza elementului, sistemul va fi un condensator de mică în această placă, iar pentru un geolog, sistemul va fi în sine mica, care are o structură destul de complexă.
Sistem mare să numim un sistem care include un număr semnificativ de elemente similare și conexiuni similare.
Sistem complex să numim un sistem format din elemente tipuri diferiteși având legături eterogene între ele.
Adesea, numai cele care sunt mari sunt considerate sisteme complexe. Eterogenitatea elementelor poate fi subliniată prin scriere
Un sistem mare, dar nu complex din punct de vedere mecanic, este un braț de macara asamblat din tije sau, de exemplu, o conductă de gaz. Elementele acestuia din urmă vor fi secțiunile sale dintre suduri sau suporturi. Pentru calculele de deformare, elementele conductei de gaz vor fi considerate cel mai probabil a fi secțiuni relativ mici (de ordinul unui metru) de conductă. Acest lucru se face prin binecunoscuta metodă a elementelor finite. Legătura în acest caz este de natură de forță (energie) - fiecare element acționează asupra celui vecin.
Distincția dintre un sistem, un sistem mare și un sistem complex este arbitrară. Astfel, carcasele rachetelor sau navelor, care la prima vedere sunt omogene, sunt de obicei clasificate ca un sistem complex datorită prezenței diferitelor tipuri de pereți etanși.
O clasă importantă de sisteme complexe sunt sistemele automate. Cuvântul „automatizat” indică participarea umană, utilizarea activității umane în cadrul sistemului, păstrând în același timp un rol semnificativ al mijloacelor tehnice. Astfel, un atelier, un șantier, un ansamblu poate fi fie automat, fie automat („atelier automat”). Pentru un sistem complex, modul automat este considerat mai preferabil. De exemplu, aterizarea unui avion necesită asistență umană, iar pilotul automat este de obicei folosit doar pentru mișcări relativ simple. De asemenea, tipică este situația în care o soluție dezvoltată prin mijloace tehnice este aprobată pentru execuție de către o persoană.
Asa de, sistem automatizat se numeşte sistem complex cu rol decisiv al elementelor de două tipuri: a) sub formă de mijloace tehnice; b) sub forma acţiunilor umane. Notația sa simbolică (comparați cu și)
Unde M T– mijloace tehnice, în primul rând calculatoare; M H – decizii și alte activități umane; M" - alte elemente din sistem.
In total ( X) în acest caz pot fi evidențiate legăturile dintre om și tehnologie ( x T - H}.
Structura Un sistem se numește împărțirea sa în grupuri de elemente, indicând conexiunile dintre ele, neschimbate pe întreaga durată de examinare și dând o idee a sistemului în ansamblu.
Diviziunea specificată poate avea o bază materială (substanțială), funcțională, algoritmică și altele. Grupurile de elemente dintr-o structură sunt de obicei distinse pe baza unor conexiuni simple sau relativ mai slabe între elementele diferitelor grupuri. Este convenabil să descrieți structura sistemului în formă schema grafica, constând din celule (grupuri) și linii (conexiuni) care le leagă. Astfel de scheme se numesc structurale.
Pentru a înregistra simbolic o structură, introducem în loc de o colecție de elemente ( M), un set de grupuri de elemente ( M*) și setul de conexiuni dintre aceste grupuri ( X*).Atunci structura sistemului poate fi scrisă ca
Structura poate fi obținută prin combinarea elementelor în grupuri. Rețineți că funcția (atribuirea) F sistemul este defect.
Să dăm exemple de structuri. Structura materială a unui pod prefabricat constă din secțiunile sale individuale asamblate la fața locului. O diagramă bloc grosieră a unui astfel de sistem va indica numai aceste secțiuni și ordinea în care sunt conectate. Acestea din urmă sunt legăturile care aici sunt de natură puternică. Un exemplu de structură funcțională este împărțirea unui motor cu ardere internă în sisteme de alimentare cu energie, lubrifiere, răcire, transmisie a cuplului de putere etc. Un exemplu de sistem în care structurile materiale și funcționale sunt îmbinate este departamentele unui institut de proiectare care se ocupă cu laturi diferite aceeași problemă.
O structură algoritmică tipică ar fi un algoritm (contur) instrument software, indicând succesiunea acțiunilor. De asemenea, structura algoritmică va fi o instrucțiune care definește acțiunile la găsirea unei defecțiuni a unui obiect tehnic.
1.6. Principalele etape ale unui experiment de inginerie au vizat studierea obiectelor complexe
Să caracterizăm principalele etape ale unui experiment de inginerie care vizează studierea obiectelor complexe.
1. Construcție baza fizica modele.
Construirea bazei fizice a modelului, care ne permite să identificăm cele mai semnificative procese care determină calitatea managementului și determină relațiile dintre componentele deterministe și cele statistice în procesele observate. Baza fizică a modelului este construită folosind „proiectarea” unui obiect complex în diverse domenii de subiect utilizate pentru a descrie obiectul studiat. Fiecare domeniu își stabilește propriile sisteme de restricții asupra posibilelor „mișcări” ale unui obiect. Luarea în considerare a totalității acestor restricții ne permite să justificăm complexul de modele utilizate și să construim un model consistent.
Construcția „cadrului” modelului, adică baza sa fizică, se reduce la descrierea sistemului de relații care caracterizează obiectul studiat, în special, legile conservării și cinetica proceselor. Analiza sistemului de relații care caracterizează un obiect face posibilă determinarea scărilor spațiale și temporale ale mecanismelor care inițiază comportamentul observat al proceselor, caracterizarea calitativă a contribuției elementului statistic la descrierea procesului și, de asemenea, identificarea eterogenitatea fundamentală (dacă există!) a seriei temporale observate.
Construirea unui „cadru” se rezumă la stabilirea, pe baza unor date a priori, a relațiilor cauză-efect între factorii destabilizatori externi și interni și eficiența sistemului, iar estimările cantitative ale acestor relații sunt precizate prin efectuarea de experimente la nivelul facilitate. Aceasta asigură generalitatea rezultatelor obținute pentru întreaga clasă de obiecte, consistența acestora față de cunoștințele dobândite anterior și asigură o reducere a volumului cercetărilor experimentale. „Cadrul” modelului ar trebui construit folosind o abordare structural-fenomenologică care combină studiul unui obiect pe baza reacțiilor sale la influențele „externe” și dezvăluirea structurii interne a obiectului de studiu.
2. Verificarea stabilității statistice a rezultatelor observației și determinarea naturii modificărilor variabilelor controlate.
Justificarea empirică a stabilității statistice se rezumă la studierea stabilității mediei empirice pe măsură ce dimensiunea eșantionului crește (schema de alungire a seriei). Imprevizibilitatea valorilor obţinute experimental, după cum se ştie, nu este nici o condiţie necesară, nici suficientă pentru aplicarea conceptelor teoretice ale probabilităţilor. O condiție necesară pentru aplicarea teoriei probabilităților este stabilitatea caracteristicilor medii ale mărimilor inițiale. Astfel, este necesar un test folosind inducerea empirică a robusteței statistice n-funcția de distribuție empirică dimensională a variabilei aleatoare originale și distribuția de probabilitate pentru estimările prin eșantion.
3. Formarea și testarea ipotezelor despre structura și parametrii „mișcării” obiectului studiat.
Rețineți că, de regulă, motivul pentru alegerea unei abordări statistice este lipsa de regularitate a procesului observat, natura haotică și pauzele ascuțite. În acest caz, cercetătorul nu poate detecta vizual modele într-o serie de observații și le percepe ca pe o realizare. proces aleatoriu. Subliniem că vorbim despre detectarea celor mai simple modele, deoarece pentru detectarea modelelor complexe este necesară prelucrarea matematică direcționată a rezultatelor observaționale.
4. Prognoza variabilelor de ieșire se realizează ținând cont de contribuția componentelor deterministe și statistice la rezultatul final.
Rețineți că utilizarea doar a unei abordări statistice pentru prognoză întâmpină dificultăți serioase. În primul rând, pentru a lua decizii privind reducerea la minimum a pierderilor curente, este important să știm nu cum se dezvoltă procesul în medie, ci cum se va comporta acesta într-o anumită perioadă de timp. În al doilea rând, în cazul general, avem sarcina de a prezice un proces non-staționar, aleatoriu, cu așteptări matematice în schimbare, dispersie și chiar tipul legii distribuției.
5. Planificarea și implementarea unui experiment de calcul care vizează evaluarea caracteristicilor de reglementare ale obiectului și eficiența așteptată a sistemului de control.
Problemele de sinteză a structurii sistemelor complexe pot fi rezolvate doar analitic în cazurile cele mai simple. Prin urmare, este nevoie de modelarea prin simulare (IM) a elementelor sistemului proiectat.
IM este o modalitate specială de studiere a obiectelor cu structură complexă, care constă în reproducerea numerică a tuturor variabilelor de intrare și de ieșire ale fiecărui element al obiectului. IM permite, în etapa de analiză și sinteză a structurii, să se țină seama nu doar de relațiile statistice dintre elementele sistemului, ci și de aspectele dinamice ale funcționării acestuia.
Pentru a compila un IM aveți nevoie de:
– evidențiați cele mai simple elemente din obiectul de modelare pentru care este cunoscută metoda de calcul a variabilelor de ieșire;
– creați ecuații de legătură care descriu ordinea elementelor de legătură într-un obiect;
- Compune diagramă bloc obiect;
– selectați instrumente de automatizare de modelare;
– dezvoltarea unui program IM;
– efectuarea de experimente de calcul pentru a evalua caracterul adecvat al IM, stabilitatea rezultatelor simulării și sensibilitatea IM la schimbările de control și influențele perturbatoare;
– rezolvarea problemei sintezei sistemului de control folosind modelul.
Introducere
model dinamic matematic
Un model dinamic este un construct (model) teoretic care descrie schimbarea (dinamica) stărilor unui obiect. Un model dinamic poate include o descriere a etapelor sau fazelor sau o diagramă de stare a subsistemelor. Are adesea o expresie matematică și este folosit în principal în științele sociale (de exemplu, sociologie) care se ocupă de sisteme dinamice, dar paradigma modernă a științei contribuie la faptul că acest model este de asemenea răspândită în toate științele fără excepție, incl. în natură și tehnică.
Modelele economico-matematice descriu economia în dezvoltare (spre deosebire de cele statice, care caracterizează starea acesteia la un moment dat). Există două abordări pentru construirea unui model dinamic:
optimizare (selectarea traiectoriei optime de dezvoltare economică dintre multe posibile)
descriptiv, centrat pe conceptul de traiectorie de echilibru (adică creștere echilibrată, echilibrată).
Modele dinamice intersectoriale, modele economice și matematice de calcule planificate, care permit determinarea volumelor de producție, a investițiilor de capital (precum și a punerii în funcțiune a mijloacelor fixe și a capacităților de producție) pe an în perioada de perspectivă pe sectoare de producție de materiale în legătura lor reciprocă. În modelele dinamice intersectoriale, pentru fiecare an al perioadei de planificare, volumele și structura produsului final „net” (consum personal și public, acumulare de capital circulant și rezerve de stat, sold export-import, investiții de capital neaferente unei creșteri). în producție în perioada analizată) sunt specificate, precum și volumul și structura mijloacelor fixe la începutul perioadei. În modelele dinamice intersectoriale, pe lângă coeficientul de costuri directe inerent modelelor statice intersectoriale, se introduc coeficienți speciali care caracterizează structura materială a investițiilor de capital.
Pe baza tipului de aparat matematic utilizat, modelele dinamice intersectoriale sunt împărțite în echilibru și optime. Modelele dinamice de echilibrare inter-industriale pot fi prezentate atât sub forma unui sistem ecuatii lineare, și sub formă de ecuații diferențiale sau diferențiale liniare. Modelele intersectoriale dinamice de echilibrare se disting și prin decalaj (decalajul de timp dintre începerea construcției și punerea în funcțiune a instalației construite). Modelele intersectoriale dinamice optime se caracterizează prin prezența unui anumit criteriu de optimitate, înlocuirea unui sistem de ecuații liniare cu un sistem de inegalități și introducerea unor restricții speciale privind forța de muncă și resursele naturale.
Obiectele fizice și virtuale dinamice există obiectiv. Aceasta înseamnă că aceste obiecte funcționează în conformitate cu anumite legi, indiferent dacă o persoană le cunoaște și le înțelege sau nu. De exemplu, pentru a conduce o mașină, nu este deloc necesar să știți cum funcționează motorul, ce se întâmplă în el și de ce acest lucru duce la mișcarea mașinii dacă apăsați pe gaz sau rotiți volanul. Dar dacă o persoană nu intenționează să conducă o mașină, ci să proiecteze un sistem de control pentru aceasta, atunci cunoașterea și înțelegerea proceselor dinamice sunt deja absolut necesare.
Obiectele dinamice și modelele lor liniare au fost studiate și analizate pe larg timp de peste două secole de mulți oameni de știință și ingineri. Rezultatele acestor studii și analize sunt prezentate mai jos calitativ într-o formă concentrată, așa cum este perceput de autor. În primul rând, acest lucru se aplică modelelor liniare ale sistemelor dinamice, clasificarea lor, descrierea proprietăților și zonelor de consistență.
În plus, unele proprietăți ale sistemelor neliniare sunt discutate în continuare. Cuvintele și termenii „dinamic” și „dinamic” au intrat ferm și pe scară largă diverse zone cunoștințele umane sunt folosite și în viața de zi cu zi ca epitet emoțional pentru mișcarea energetică în sensul larg al cuvântului, sinonim pentru schimbarea rapidă. În lucrarea propusă, termenul „dinamic” va fi folosit în sensul său restrâns și direct, adică „putere”, adică. un obiect dinamic este un obiect supus influențelor externe care duc la mișcare în sensul larg al cuvântului.
1. Modele dinamice: concept, tipuri
Un obiect dinamic este un corp fizic, dispozitiv tehnic sau un proces care are intrări, puncte de posibilă aplicare a influențelor externe și cele care percep aceste influențe, și ieșiri, puncte, valori ale mărimilor fizice în care caracterizează starea obiectului. Un obiect este capabil să răspundă la influențele externe prin schimbarea stării sale interne și a valorilor de ieșire care îi caracterizează starea. Impactul asupra unui obiect și reacția acestuia se modifică în general în timp, sunt observabile, adică. poate fi măsurat cu instrumente adecvate. Obiectul are structura interna, constând din elemente dinamice care interacționează.
Dacă citiți și vă gândiți la definiția liberă dată mai sus, puteți vedea că un obiect dinamic separat într-o formă „pură”, ca lucru în sine, nu există: pentru a descrie obiectul, modelul trebuie să conțină și 4 surse de influențe (generatoare):
mediu și mecanismul de aplicare a acestor influențe asupra acestuia
obiectul trebuie să aibă o extensie în spațiu
functioneaza in timp
modelul trebuie sa aiba aparate de masura.
Impactul asupra unui obiect poate fi o anumită mărime fizică: forță, temperatură, presiune, tensiune electrică și alte mărimi fizice sau o combinație de mai multe mărimi, iar reacția, răspunsul obiectului la impact, poate fi mișcare în spațiu, de exemplu, deplasarea sau viteza, modificarea temperaturii, puterea curentului etc.
Pentru modelele liniare ale obiectelor dinamice, principiul suprapunerii (suprapunere) este valabil, i.e. răspunsul la un set de impacturi este egal cu suma reacțiilor la fiecare dintre ele, iar o modificare pe scară largă a impactului corespunde unei modificări proporționale a răspunsului la acesta. Un impact poate fi aplicat mai multor obiecte sau mai multor elemente ale unui obiect.
Conceptul de obiect dinamic conține și exprimă relația cauză-efect dintre impactul asupra acestuia și reacția acestuia. De exemplu, între forța aplicată unui corp masiv și poziția și mișcarea acestuia, între tensiunea electrică aplicată elementului și curentul care circulă în el.
În cazul general, obiectele dinamice sunt neliniare, inclusiv pot avea discretitate, de exemplu, schimbă rapid structura atunci când impactul atinge un anumit nivel. Dar de obicei, de cele mai multe ori, obiectele dinamice sunt continue în timp și cu semnale mici sunt liniare. Prin urmare, mai jos, atenția principală va fi acordată obiectelor dinamice liniare continue.
Exemplu de continuitate: o mașină care conduce pe drum -un obiect care funcționează continuu în timp, poziția lui depinde continuu de timp. De cele mai multe ori, o mașină poate fi privită ca un obiect liniar, un obiect care funcționează într-un mod liniar. Și numai în caz de accidente, coliziuni, când, de exemplu, o mașină este distrusă, este necesar să o descriem ca un obiect neliniar.
Liniaritatea și continuitatea în timp a valorii de ieșire a unui obiect este pur și simplu un caz special convenabil, dar important, care face posibilă luarea în considerare pur și simplu a unui număr semnificativ de proprietăți ale unui obiect dinamic.
Pe de altă parte, dacă un obiect este caracterizat de procese care au loc pe scări de timp diferite, atunci în multe cazuri este acceptabil și util să înlocuiești cele mai rapide procese cu schimbarea lor discretă în timp.
Această lucrare este dedicată, în primul rând, modelelor liniare ale obiectelor dinamice sub influențe deterministe. Influențe deterministe netede de tip arbitrar pot fi generate de acțiune aditivă discretă, relativ rară, asupra derivatelor minore ale influenței prin delta dozată -funcții. Astfel de modele sunt valabile pentru impacturi relativ mici pentru o clasă foarte largă de obiecte reale. De exemplu, așa sunt generate semnalele de control în jocurile pe calculator care simulează conducerea unei mașini sau a unui avion folosind o tastatură. Impacturile accidentale rămân în afara domeniului de aplicare pentru moment.
Consistența unui model liniar al unui obiect dinamic este determinată, în special, de dacă valoarea lui de ieșire este suficient de netedă, adică indiferent dacă acesta și mai multe dintre derivatele sale inferioare sunt continue în timp. Faptul este că cantitățile de ieșire ale obiectelor reale se modifică destul de ușor în timp. De exemplu, un avion nu se poate deplasa instantaneu dintr-un punct din spațiu în altul. Mai mult, ca orice corp masiv, nu își poate schimba brusc viteza; acest lucru ar necesita o putere infinită. Dar accelerația unui avion sau a unei mașini se poate schimba brusc.
Conceptul de obiect dinamic nu definește în mod cuprinzător un obiect fizic. De exemplu, descrierea unei mașini ca obiect dinamic ne permite să răspundem la întrebările cu privire la cât de repede accelerează și frânează, cât de ușor se mișcă pe drumuri neuniforme și denivelări, ce impact vor experimenta șoferul și pasagerii mașinii atunci când conduc pe drum. , ce munte poate urca etc. P. Dar într-un astfel de model, nu contează ce culoare are mașina, prețul acesteia etc. nu sunt importante, în măsura în care nu afectează accelerația mașinii. Modelul ar trebui să reflecte principalele proprietăți ale obiectului modelat din punctul de vedere al unui criteriu sau al unui set de criterii și să neglijeze proprietățile sale secundare. În caz contrar, va fi excesiv de complex, ceea ce va complica analiza proprietăților de interes pentru cercetător.
Pe de altă parte, dacă cercetătorul este interesat de schimbarea culorii mașinii în timp, cauzată de diverși factori, de exemplu, lumina soarelui sau îmbătrânirea, atunci pentru acest caz poate fi compilată și rezolvată ecuația diferențială corespunzătoare.
Obiectele reale, ca și elementele lor, care pot fi considerate și obiecte dinamice, nu numai că percep influențe dintr-o anumită sursă, ci și ele influențează această sursă și îi rezistă. Valoarea de ieșire a unui obiect de control este în multe cazuri o intrare pentru un alt obiect dinamic ulterior, care, la rândul său, poate influența și modul de funcționare al obiectului. Acea. Conexiunile unui obiect dinamic cu lumea exterioară acestuia sunt bidirecționale.
Adesea, la rezolvarea multor probleme, comportamentul unui obiect dinamic este luat în considerare numai în timp, iar caracteristicile sale spațiale, în cazurile în care nu prezintă interes direct pentru cercetător, nu sunt luate în considerare sau luate în considerare, cu excepția unui explicație simplificată a întârzierii semnalului, care se poate datora timpului de propagare a influenței în spațiu de la sursă la receptor.
Obiectele dinamice sunt descrise prin ecuații diferențiale (un sistem de ecuații diferențiale). În multe cazuri practic importante, aceasta este o ecuație diferențială liniară, obișnuită (ODE) sau un sistem de EDO. Varietatea tipurilor de obiecte dinamice determină importanța ridicată a ecuațiilor diferențiale ca aparat matematic universal pentru descrierea lor, ceea ce face posibilă efectuarea de studii teoretice (analize) ale acestor obiecte și, pe baza unei astfel de analize, construirea de modele și construirea sisteme, instrumente și dispozitive utile oamenilor, explică structura lumii din jurul nostru, cel puțin pe scara macrocosmosului (nu micro- și nu mega-).
Un model al unui obiect dinamic este valabil dacă este adecvat și corespunde unui obiect dinamic real. Această corespondență este limitată la o anumită regiune și gamă de influențe spațio-temporale.
Un model al unui obiect dinamic este realizabil dacă este posibil să se construiască un obiect real, al cărui comportament sub influența influențelor dintr-un anumit domeniu spațiu-timp și pentru o anumită clasă și gamă de influențe de intrare corespunde comportamentului model.
Amploarea claselor și varietatea structurilor obiectelor dinamice pot conduce la presupunerea că toate împreună au un set nenumărat de proprietăți. Cu toate acestea, o încercare de a îmbrățișa și înțelege aceste proprietăți și principiile de funcționare a obiectelor dinamice în toată diversitatea lor nu este deloc atât de lipsită de speranță.
Faptul este că, dacă obiectele dinamice sunt descrise în mod adecvat prin ecuații diferențiale, și acesta este exact cazul, atunci setul de proprietăți care caracterizează un obiect dinamic de orice fel este determinat de setul de proprietăți care caracterizează ecuația sa diferențială. Se poate argumenta că, cel puțin pentru obiectele liniare, există un număr destul de limitat și relativ mic de astfel de proprietăți de bază și, prin urmare, setul de proprietăți de bază ale obiectelor dinamice este, de asemenea, limitat. Pe baza acestor proprietăți și combinând elementele care le au, este posibilă construirea de obiecte dinamice cu o mare varietate de caracteristici.
Deci, proprietățile de bază ale obiectelor dinamice sunt derivate teoretic din ecuațiile lor diferențiale și corelate cu comportamentul obiectelor reale corespunzătoare.
Obiect dinamic -Acesta este un obiect care percepe influențele externe care se modifică în timp și reacționează la ele prin modificarea valorii de ieșire. Un obiect are o structură internă constând din elemente dinamice care interacționează. Ierarhia obiectelor este limitată de jos de cele mai simple modele și se bazează pe proprietățile acestora.
Impactul asupra unui obiect, precum și reacția acestuia, sunt mărimi fizice, măsurabile; poate fi și un set de mărimi fizice, descrise matematic de vectori.
Când descriem obiecte dinamice folosind ecuații diferențiale, se presupune implicit că fiecare element al unui obiect dinamic primește și cheltuiește atâta energie (o astfel de putere) cât are nevoie pentru funcționarea normală, în conformitate cu scopul său, ca răspuns la influențele primite. Obiectul poate primi o parte din această energie din acțiunea de intrare și aceasta este descrisă în mod explicit de ecuația diferențială; cealaltă parte poate proveni din surse terțe și să nu apară în ecuația diferențială. Această abordare simplifică semnificativ analiza modelului fără a distorsiona proprietățile elementelor și ale întregului obiect. Dacă este necesar, procesul de schimb de energie cu mediul extern poate fi descris în detaliu în formă explicită și acestea vor fi, de asemenea, ecuații diferențiale și algebrice.
În unele cazuri speciale, sursa întregii energie (putere) pentru semnalul de ieșire al unui obiect este acțiunea de intrare: pârghie, accelerare a unui corp masiv prin forță, pasivă circuit electric si etc.
În cazul general, influența poate fi considerată ca controlând fluxurile de energie pentru a obține puterea necesară a semnalului de ieșire: un amplificator de semnal sinusoidal, doar un amplificator ideal etc.
Obiectele dinamice, ca și elementele lor, care pot fi considerate și obiecte dinamice, nu numai că percep impactul din sursa sa, ci acționează și asupra acestei surse: de exemplu, în mecanica clasică acest lucru este exprimat prin principiul formulat în a treia lege a lui Newton: acțiunea este egală cu reacția, în electrotehnică, tensiunea sursei este rezultatul stabilirii unui echilibru dinamic între sursă și sarcină. Acea. Conexiunile unui obiect dinamic cu lumea exterioară acestuia sunt bidirecționale.
În esență, toate elementele unui obiect dinamic sunt bidirecționale, la fel ca obiectul însuși în relație cu obiectele externe. Aceasta rezultă dintr-o generalizare a celei de-a treia legi a lui Newton, formulată de el pentru mecanică: forța de reacție a unui corp este egală cu forța exercitată asupra acestuia de un alt corp și este îndreptată către acesta, iar în chimie se formulează și sub formă de Principiul lui Le Chatelier. Pentru a rezuma, putem spune: impactul unuia element dinamic pe de altă parte, întâmpină o opoziție de vreun fel. De exemplu, sarcina electrica sursa de tensiune o contracarează cu curent, modificând valoarea tensiunii la ieșirea sursei. În general, contracararea sarcinii influențează modul de funcționare al sursei, iar comportamentul acestora este determinat ca urmare, dacă este posibil, a unei treceri la un anumit echilibru dinamic.
În multe cazuri, puterea sursei de influență este semnificativ mai mare decât puterea de intrare necesară a receptorului, care este un obiect dinamic. În acest caz, obiectul dinamic nu are practic niciun efect asupra modului de funcționare al sursei (generatorului) și conexiunea poate fi considerată ca fiind unidirecțională de la sursă la obiect. Un astfel de model unidirecțional al unui element, bazat pe structurarea fizică rațională a obiectului, simplifică semnificativ descrierea și analiza sistemului. De fapt, multe obiecte tehnice, deși în niciun caz toate, sunt construite tocmai după acest principiu, în special atunci când se proiectează sisteme pentru rezolvarea problemelor de control. În alte cazuri, de exemplu, atunci când se rezolvă o problemă în care este necesară eficiența maximă a motorului, reacția nu poate fi neglijată.
Prin detalierea structurii unui obiect dinamic, se poate ajunge la obiecte elementare care nu pot fi simplificate. Astfel de obiecte sunt descrise prin cele mai simple ecuații algebrice și diferențiale. De fapt, astfel de elemente, la rândul lor, pot avea o structură complexă, dar la modelare este mai convenabil să le percepem ca un întreg, ale cărui proprietăți sunt determinate de aceste ecuații relativ simple care conectează reacția cu impactul.
1.1 Modele fizice
Acesta este numele dat unei descrieri mărite sau reduse a unui obiect sau sistem. Caracteristica distinctivă a unui model fizic este că, într-un fel, pare a fi o entitate simulată.
Cel mai faimos exemplu de model fizic este o replică a unui avion în construcție, realizată în proporții complete, să zicem 1:50. La una dintre etapele dezvoltării unui nou design de aeronavă, devine necesară verificarea parametrilor aerodinamici de bază. În acest scop, copia pregătită este suflată într-un tub special (de vânt), iar citirile obținute sunt apoi examinate cu atenție. Beneficiile acestei abordări sunt destul de evidente. Și, prin urmare, toate companiile lider în producția de aeronave folosesc modele fizice de acest fel atunci când dezvoltă fiecare nou avion.
Adesea, copii mici ale clădirilor cu mai multe etaje sunt plasate într-un tunel de vânt, simulând roza vântului caracteristică zonei în care ar trebui să fie construite. Modelele fizice sunt folosite și în construcțiile navale.
1.2 Modele matematice
Acesta este numele dat modelelor care folosesc simboluri și metode matematice pentru a descrie proprietățile și caracteristicile unui obiect sau eveniment. Dacă o problemă poate fi transferată în limbajul formulelor, atunci aceasta este mult simplificată. Abordarea matematică este, de asemenea, simplă, deoarece respectă reguli stricte bine definite ,care nu poate fi anulat prin decret sau altfel. Complexitatea vieții noastre constă tocmai în faptul că multe din ceea ce se întâmplă în ea sunt adesea lipsite de convenții. Matematica se ocupă cu descrierile simplificate ale fenomenelor. În esență, orice formulă (sau set de formule) reprezintă o anumită etapă în construcție model matematic. Experiența arată că construirea unui model (scrierea unei ecuații) este destul de ușoară. Este dificil de transmis esența fenomenului studiat în acest model și, prin urmare, în formă simplificată.
Orice element funcţional un obiect real are propria sa structură; el poate, la fel ca întregul obiect, să fie divizat mental sau fizic în elemente care interacționează. Un obiect dinamic elementar este un element ales rațional al unui obiect real, convențional considerat indivizibil, care posedă, în ansamblu, o anumită proprietate fundamentală, de exemplu, inerția, și poate fi descris cu un grad suficient de acuratețe prin cea mai simplă ecuație algebrică sau diferențială. .
Cea mai importantă proprietate fundamentală a obiectelor dinamice este inerția lor. Din punct de vedere fizic, inerția se exprimă prin faptul că un obiect nu reacționează imediat, ci treptat, la influențele externe, iar în absența influențelor externe se străduiește să-și mențină starea și comportamentul. Matematic, inerția se exprimă prin faptul că mărimea de ieșire a unui obiect real este o cantitate continuă în timp. În plus, unele derivate inferioare ale mărimii de ieșire trebuie să fie și ele continue; ele nu se pot schimba brusc sub influențe limitate în putere, inclusiv cele care se modifică brusc, treptat în timp.
Cele mai simple obiecte dinamice inerțiale -kinedine .Acestea sunt obiecte elementare care sunt izolate mental sau fizic de structura unui obiect complex și, cu un grad suficient de precizie, se supun celor mai simple ecuații diferențiale de diverse ordine. Astfel de modele sunt valabile, cel puțin într-un anumit domeniu spațio-temporal și într-o gamă limitată de valori ale semnalului.
Descrierea matematică a inerției unui obiect dinamic, un obiect corespunzător unei anumite ecuații diferențiale, este că impactul afectează reacția obiectului în mod indirect, afectează direct una sau alta derivată temporală a reacției, sau mai multe dintre ele deodată. . Acest lucru duce la faptul că reacția se manifestă numai în timp.
Într-adevăr, o astfel de descriere corespunde comportamentului obiectelor reale. De exemplu, odată cu aplicarea instantanee a unui impact relativ mic asupra unui obiect elementar de ordinul doi, care nu se modifică după aplicare, de exemplu, o forță asupra unei mase inerțiale, obiectul rămâne pentru un timp, deși scurt, în aceeași stare ca înainte de aplicare, are aceeași viteză, ca înainte.
Dar derivata a doua, i.e. accelerație, salturi brusc, proporționale cu mărimea forței aplicate. Și, prin urmare, numai în timp, și nu imediat, prezența derivatei a doua se manifestă printr-o schimbare a vitezei și, prin urmare, ulterior, a poziției corpului în spațiu.
1.3 Modele analogice
Acesta este numele dat modelelor care reprezintă obiectul studiat ca un analog care se comportă ca un obiect real, dar nu arată ca unul.
Să dăm două exemple destul de tipice.
Exemplul 1. Un grafic care ilustrează relația dintre efort și rezultate este un model analogic. Graficul din fig. 1.1 arată modul în care timpul pe care un student îl alocă pregătirii pentru un examen îi afectează rezultatul.
Orez. 1.1. Grafic care ilustrează relația dintre efort și rezultate
Exemplul 2. Să presupunem că trebuie să găsiți modalitatea cea mai economică pentru livrările obișnuite cunoscute de mărfuri în trei orașe prin construirea unui singur depozit pentru aceasta. Cerința principală: amplasarea depozitului trebuie să fie astfel încât costurile totale de transport să fie minime (se crede că costul fiecărui transport este egal cu produsul distanței de la depozit până la destinație cu greutatea totală a mărfurilor transportat și se măsoară în tone-kilometri).
Lipiți o hartă a zonei pe o foaie de placaj. Apoi, la locația fiecărui oraș, vom tăia găuri, vom trece fire prin ele și vom lega greutăți de ele, proporțional cu cererea de mărfuri din acest oraș (Fig. 1.2). Legați capetele libere ale firelor într-un singur nod și lăsați-le. Sub influența gravitației, sistemul va ajunge la o stare de echilibru. Locul de pe placa de placaj pe care îl va ocupa unitatea va corespunde locației optime a depozitului (Fig. 1.3).
Cometariu. Pentru simplitatea raționamentului, nu ținem cont de costul drumurilor care vor trebui construite din nou.
Orez. 1.2. Harta zonei pe o foaie de placaj
Orez. 1.3. Amplasarea optimă a depozitului
2. Construirea modelelor matematice de obiecte discrete
2.1 Modelul populației
Interesant, construirea unui model matematic nu este adesea deloc dificilă. Adesea, cele mai simple și mai ușor de explicat presupunerile sunt folosite pentru aceasta. Să descriem cum se poate face acest lucru folosind un exemplu aproape real. Să ne imaginăm următoarea imagine. Mijlocul secolului al XVIII-lea Europa Centrală ,o parohie din interior, o biserică, enoriași - locuitori ai satelor din jur, preotul paroh observă că biserica a devenit prea aglomerată pentru închinare: numărul enoriașilor a crescut. Preotul reflectă: dacă numărul enoriașilor va continua să crească în viitor, atunci va fi necesară construirea unei noi biserici, pentru care va fi nevoie de fonduri, și considerabile.
Preotul înțelege că perioada în care trebuie construit templul și dimensiunea acestuia depind în mare măsură de modul în care se va schimba numărul locuitorilor din jur. Și decide să încerce să-și dea seama. Să încercăm, de asemenea, să conturam cursul posibil al raționamentului său, folosind notația și limbajul modern.
Să notăm cu x numărul de enoriași la sfârșitul celui de-al n-lea an. Numărul lor într-un an, adică. până la sfârșitul anului (n + 1), notat în mod natural cu x n+1 .Apoi, schimbarea cifrelor pentru acest an poate fi descrisă prin diferență
Apare din două motive naturale - oamenii se nasc și mor (pentru simplitate, vom presupune că virusul migrației nu a lovit încă această zonă). Determinarea numărului de nașteri și a numărului de decese într-un an folosind registrele parohiale nu este deosebit de dificilă. Numărând numărul de nașteri și decese în ani diferiți, preotul decide să compare cifrele rezultate și d1,...,dk cu numărul total de enoriași pentru acești ani x1,..,xk, și observă că rapoartele x1, ...,xk an de la Anii diferă foarte puțin. Același lucru este valabil și pentru relații.
Pentru simplitatea calculelor, vom considera aceste rapoarte constante și le vom nota cu? Și? respectiv. Astfel, numărul de nașteri în al n-lea an se dovedește a fi egal, numărul deceselor este ?xn, iar modificarea numerelor din cauze naturale este +?xn - ?xn.
Ca rezultat, ajungem la relația?xn=?xn - ?xn sau mai detaliat:
xn+1=xn +?xn-?xn
Să punem ?=1 + ? - ?. Apoi formula care ne interesează va lua forma
Modelul este construit.
Să încercăm acum să ne dăm seama ce sa întâmplat, adică să analizăm modelul construit. Sunt posibile trei cazuri:
1)?>1(?=?-?>0 -se nasc mai mulți oameni decât mor) și numărul enoriașilor crește de la an la an,
2)?=1 (?=?-?=0 -mor toți câți se nasc) iar numărul enoriașilor rămâne neschimbat de la an la an,
3)?<0 (?=?-?<0 -mor mai mulți oameni decât se nasc) iar numărul enoriașilor este în continuă scădere.
Întrucât motivația construirii modelului a fost dorința de a afla cât de repede va crește numărul enoriașilor, să începem prin a lua în considerare cazul 1.
Cazul 1. Deci, numărul enoriașilor este în creștere. Dar cum, cât de repede? Iată momentul să ne amintim pe scurt povestea instructivă (trista pildă) despre inventatorul necunoscut al șahului. Ei spun că Maharajahul bogat și atotputernic i-a plăcut foarte mult jocul, care a decis imediat să-l răsplătească pe inventator și s-a oferit cu generozitate să aleagă el însuși recompensa. El, după cum se spune, a periat piesele de pe tabla de șah și a pus un bob de grâu pe primul pătrat, iar pe al 2-lea -două boabe, pentru a 3-a -patru boabe, pentru a 4-a -opt boabe (Fig. 2.1) și i-a sugerat Maharajahului să dea ordin slujitorilor să așeze boabele de grâu pe alte pătrate ale tablei de șah conform legii propuse, adică astfel: 1,2,4,8,16 ,...,263.
Orez. 2.1. Problema tablei de șah și recompensa Maharaja
Maharaja a fost aproape ofensat de această cerere simplă și a fost de acord nu se va face imediat. Dar inventatorul a insistat. a ordonat Maharajah. Și servitorii s-au grăbit imediat să facă acest lucru „ușor”. exercițiu. Inutil să spun că ei nu au reușit să execute ordinul Maharajahului. Faptul este că numărul total de boabe de grâu pe tabla de șah ar fi trebuit să fie egal cu 2 64 - 1,care depăşeşte cu mult ceea ce se cultivă în prezent în întreaga lume într-un an. Să terminăm foarte pe scurt pilda: maharajahul s-a trezit într-o poziție neobișnuită -a făcut public o promisiune și nu a reușit să o țină. Vinovatul a fost însă imediat găsit. Poate de aceea istoria nu a păstrat numele inventatorului șahului. Să încercăm, totuși, să descriem pe un grafic cât de repede crește numărul de boabe din fiecare celulă ulterioară, pentru o mai mare claritate, conectând punctele adiacente (Fig. 2.2).
Orez. 2.2-2.3. Schimbare exponențială a populației
Regula propusă de inventatorul șahului, X n+1 =2x n este un caz special de formula (1) cu ?=2 și, asemenea acesteia, descrie legea, în urma căreia obținem o succesiune de numere care formează o progresie geometrică. Pentru orice ?>1imagine care ilustrează schimbarea în x n ,are un aspect similar - x n va crește exponențial. În 1820 la Londra T.R. Malthus a publicat lucrarea „Principii ale economiei politice considerate în vederea aplicării lor practice” (în traducere rusă -„O experiență despre legea populației...” Vol. 1-2. Sankt Petersburg, 1868), care, în special, spunea că, datorită caracteristicilor biologice ale oamenilor, populația tinde să se înmulțească conform legii progresiei geometrice,
X n=1 =?X n, ?>1,
în timp ce mijloacele de existență nu pot crește decât conform legii progresiei aritmetice, y n+1 =y n +d ,d>0. O astfel de diferență în rata de modificare a cantităților este direct legată de problemele de supraviețuire a populației (Fig. 2.3) ,nu a putut trece neobservată și a provocat critici destul de dure și controverse extrem de politizate în cercurile relevante. Să încercăm să extragem din însuși faptul criticii o concluzie utilă pentru noi despre adecvarea modelului construit (1). Desigur, atunci când se încearcă să descrie o situație într-o manieră simplificată, unele circumstanțe trebuie neglijate, considerându-le neimportante. Cu toate acestea, pare să nu existe un consens asupra a ceea ce este semnificativ și ce nu este. Puteți, de exemplu, să nu acordați atenție faptului că a început să plouă. Dar trebuie să recunoști că una este să alergi o sută de metri sub ploaia ploioasă și cu totul alta. -o oră de mers pe ploaia asta fără umbrelă. Vedem ceva asemănător aici: când se calculează cu 3-4 ani în avans, formula (1) funcționează destul de bine, dar o prognoză pe termen lung bazată pe ea se dovedește a fi eronată.
Concluzie importantă. Atunci când oferiți un model pe care l-ați construit sau ales, trebuie să indicați limitele în care acesta poate fi utilizat și să avertizați că încălcarea acestor limite poate (și cel mai probabil va duce) la erori grave. Pe scurt, fiecare model are propria sa resursă. Când cumpărăm o bluză sau o cămașă, suntem obișnuiți cu prezența etichetelor care indică maximul temperatura admisa călcarea, tipurile de spălare permise, etc. Acest lucru, desigur, nu înseamnă în niciun caz că îți este interzis să iei un fier de călcat înroșit și să-l treci prin material o dată sau de două ori. Poți sa faci asta. Dar vei dori să porți o bluză sau o cămașă după o astfel de călcat? Cazul 2. Populația nu se modifică (Fig. 2.4). Cazul 3. Populația se stinge (Fig. 2.5).
Orez. 2.4. Graficul populației cu numere constante
Orez. 2.5. Graficul populației cu numere descrescătoare
Ne-am oprit în mod deliberat în detaliu asupra descrierii modelului populației, în primul rând, pentru că este unul dintre primele modele de acest fel și, în al doilea rând, pentru a folosi exemplul său pentru a arăta prin ce etape principale soluția problemei construirea unui model matematic merge.
Nota 1. Foarte des, atunci când descriem acest model de populație, se folosește versiunea diferențială a acestuia: x =?x (aici x=x(t) -dimensiunea populației în funcție de timp, x" -derivată în funcție de timp, ?-constant).
Observație 2. Când valori mari x competiţia pentru mijloace de subzistenţă duce la o scădere ?,iar acest model dur ar trebui înlocuit cu un model mai moale: x =?(x)x ,în care coeficientul ?depinde de populatie. În cel mai simplu caz, această dependență este descrisă după cum urmează:
?(x)=a-bx
unde a și b -numere constante, iar ecuația corespunzătoare ia forma
x=ax-bx 2
Și ajungem la un model mai complex, așa-zis logistic, care descrie destul de bine dinamica populației. Analiza curbei logistice (Fig. 2.6) este foarte instructivă, iar implementarea ei poate fi de interes pentru cititor. Modelul logistic descrie bine și alte procese, cum ar fi eficiența publicității.
Orez. 2.6. Curba logistica
2.2 Model prădător-pradă
Mai sus am vorbit despre reproducerea nestingherită a populației. Cu toate acestea, în circumstanțe reale, o populație coexistă cu alte populații, fiind într-o varietate de relații cu acestea. Aici aruncăm o scurtă privire asupra perechii de prădători antagoniste -victimă (ar putea fi o pereche de râs -iepure și cuplu gărgăriță -afidele) și încercați să urmăriți modul în care numărul ambelor părți care interacționează se poate schimba în timp. Populația de pradă poate exista singură, în timp ce populația de prădători poate exista doar în detrimentul prăzii. Să notăm mărimea populației de pradă cu x și dimensiunea populației prădătoarei cu y. În absența unui prădător, prada se reproduce conform ecuației x =ax ,a>0 ,iar prădătorul, în lipsa prăzii, se stinge conform legii y =-?y ,?>0.Prădătorul mănâncă mai multă pradă, cu cât este mai mare și cu atât este mai numeros. Prin urmare, în prezența unui prădător, numărul de pradă se modifică conform legii
X =topor- ?X y, ?>0
Cantitatea de pradă consumată contribuie la reproducerea prădătorului, care poate fi scrisă astfel: y =-?y +?X y , ?>0.
Astfel, obținem un sistem de ecuații
x=ax- ?X y
y=- ?y +?X y
unde x?0, y?0.
Model de prădător -sacrificiul este construit.
Ca și în modelul anterior, cel mai mare interes pentru noi este punctul de echilibru (x*, y*), unde x* și y* -soluție diferită de zero a unui sistem de ecuații
ax-?xy =0
Y+ ?X y =0
Sau x(a- ?y )=0, y(- ?+?X )=0
Acest sistem se obține din condiția de stabilitate a numerelor ambelor populații x=0, y =0
Coordonatele punctului de echilibru -este punctul de intersecție al dreptelor
Ay =0 (2)
?+?x =0 (3)
usor de calculat:
, (Fig. 2.7).
Orez. 2.7. Rezolvarea unui sistem de ecuații
Originea coordonatelor O(0,0) se află în semiplanul pozitiv față de linia orizontală dată de ecuația (2) și în semiplanul negativ față de linia verticală dată de ecuația (3) (Fig. 2.8). Astfel, primul trimestru (și ne interesează doar acest lucru, deoarece x>0 și y>0) este împărțit în patru zone, care sunt desemnate convenabil după cum urmează: 1-(+,+), 2-(-,+). ), 3-( -,-), 4-(+,-).
Orez. 2.8. Împărțirea spațiului de decizie în cadrane
Fie starea inițială Q(x0,y0) în regiunea IV. Atunci inegalităţile sunt satisfăcute?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.
Analizând comportamentul lui x și y în zonele 2, 3 și 4 în același mod, obținem în cele din urmă imaginea prezentată în Fig. 2.9.
Orez. 2.9. Variația lui x și y după cadran
Astfel, starea inițială Q conduce la fluctuații periodice ale numărului atât de pradă, cât și de prădător, astfel încât după un timp sistemul revine la starea Q (Fig. 2.10).
Orez. 2.10. Fluctuații ciclice ale numărului de prădători și pradă
După cum arată observațiile, în ciuda simplității sale, modelul propus reflectă calitativ corect natura oscilativă a numerelor în sistemul prădător-pradă (Fig. 2.11).
Orez. 2.11. Oscilațiile sistemelor Iepure - Râși și Afidă - Buburuză
Observații reale. Intervenirea cu legile naturii pe care nu le înțelegem este uneori destul de periculoasă. -utilizarea insecticidelor (cu excepția cazului în care distrug aproape complet insectele) duce în cele din urmă la o creștere a populației acelor insecte al căror număr este controlat de alți prădători de insecte. O afidă ajunsă accidental în America a amenințat întreaga producție de citrice. Curând, inamicul său natural a fost adus acolo -gărgăriță, care a trecut imediat la treabă și a redus foarte mult populația de afide. Pentru a accelera procesul de ucidere, fermierii au folosit DDT, dar, ca urmare, a crescut numărul de afide, ceea ce, uitându-se la orez. 2.11 ,Nu este greu de prezis.
2.3 Modelul de mobilizare
Termenul de mobilizare politică sau socială se referă la implicarea oamenilor într-un partid sau în rândul susținătorilor acestuia, în orice mișcare socială etc. Datorită faptului că nivelul actual de mobilizare este strâns legat de nivelul trecut, iar mobilizarea viitoare depinde de campania de propagandă a succeselor de astăzi, este clar că la construirea unui model adecvat este necesar să se țină cont de factorul timp. Cu alte cuvinte, trebuie să înțelegeți că modelul dorit trebuie să fie dinamic.
Formularea problemei .Reflectați logica modificărilor nivelului de mobilizare într-o anumită regiune între două momente adiacente în timp, de exemplu, pe parcursul unei luni (peste un an, o săptămână, o zi etc.).
Construirea modelului .Să luăm drept una acea parte a populației pentru care mobilizarea de acest tip are sens. Fie M n -ponderea populaţiei mobilizate la momentul t n =n .Atunci ponderea populației nemobilizate va fi egală cu 1-Mn (Fig. 2.12).
Orez. 2.12. Raportul dintre populația mobilizată și nemobilizată
Pe parcursul unei luni, nivelul de mobilizare se poate schimba din două motive principale:
) a fost posibilă atragerea unei părţi suplimentare a populaţiei; este clar că această valoare este mai mare, cu cât este mai mare proporția populației care nu a fost încă promovată la momentul t n =n ,și prin urmare poate fi considerat egal ?(1-M n ),(Aici ?>0- coeficient de agitaţie, constant pentru o regiune dată);
2) o parte din populație a scăzut (din diverse motive); este clar că astfel se reduce ponderea populației agitate, cu atât mai mult, cu atât această pondere era mai mare la momentul tn=n și, prin urmare, pierderile asociate pensionării pot fi considerate egale (aici?>0 este un coeficient constant de pensionare. ). Să subliniem că parametrii numerici? Și? reflectă o schimbare proporțională a intereselor, opiniilor și intențiilor părților relevante ale populației din regiunea în cauză. Astfel, modificarea nivelului de mobilizare pe unitatea de timp este egală cu diferența dintre ponderea populației atrase suplimentar și ponderea populației motivate care a plecat:
Aceasta este ecuația pentru procesul de mobilizare. S-a construit modelul de mobilizare.
Ultima relație poate fi ușor convertită în următoarea formă:
Cometariu. Parametru auxiliar? nu poate fi mai mare de 1 datorita faptului ca parametrii initiali? Și? sunt pozitive. Ecuația rezultată (4) se numește ecuație de diferență liniară cu coeficienți constanți.
Ecuațiile de acest fel pot fi întâlnite în versiuni diferite, în cea mai mare parte cele mai simple.
Una dintre ele (pentru?=1) descrie regula conform căreia fiecare membru al șirului, începând de la al doilea, se obține din precedentul prin adăugare cu un număr constant: Mn+1=?+Mn, adică o aritmetică progresie.
Al doilea (la?=0) descrie regula conform căreia fiecare membru al secvenței, începând de la al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu un număr constant: Mn+1=?Mn, adică o progresie geometrică.
Să presupunem că ponderea inițială a populației atrase M0 este cunoscută. Atunci ecuația (4) poate fi rezolvată cu ușurință (pentru certitudine, presupunem că). Avem:
Aplicarea modelului.
Să încercăm să analizăm capacitățile acestui model (construit pe baza unor considerații simple).
Să începem cu cazul |?|<1.
Pentru a face acest lucru, rescriem ultima relație sub forma în care M* denotă următoarea cantitate:
Cometariu. Același rezultat se obține dacă în ecuația (4) punem Mn+1=Mn=M*.
Într-adevăr, atunci obținem M*=?+?M*, de unde
Valoarea găsită a lui M* nu depinde de valoarea inițială a lui M0, este exprimată în termeni de parametrii inițiali? Și? conform formulei
și, prin urmare, respectă condiția 0 Pentru a face formula rezultată mai clară, vom folosi din nou metoda coordonatelor. În fig. 2.13 arată intervalul de valori posibile ale parametrului auxiliar?, în Fig. 2.14 - parametri inițiali? și?, iar în fig. 2.15-17 - seturi corespunzătoare de valori Mn pentru diferite n, M0 și M* (pentru ușurarea percepției, punctele adiacente (n,Mn) și (n+l,Mn+1) sunt conectate prin segmente drepte). Se întâmplă?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18. Desigur, aceste desene prezintă o imagine de înaltă calitate. Dar nimic nu ne împiedică să luăm valori foarte specifice ale mărimilor M0, ? Și? și calculați în detaliu situația corespunzătoare. Orez. 2.13.zone de valori posibile? 2.14.parametrii iniţiali? Și? Orez. 2.15 - 2.16 Orez. 2.17 2.18. Se întâmplă?<1 De exemplu, pentru, avem ,…(Fig. 2.19) Orez. 2.19. Mobilizarea la Este interesant de observat că modelul construit, în ciuda simplității abordărilor și raționamentului său, reflectă destul de bine procesele reale. Astfel, modelul de mobilizare propus a fost folosit pentru a studia dinamica numărului de voturi exprimate pentru Partidul Democrat din Lake Country (SUA) în anii 1920-1968 și s-a dovedit că descrie destul de bine caracteristicile calitative ale procesului de mobilizare. 2.4 Modelul cursei înarmărilor Să luăm în considerare o situație de conflict în care se pot găsi două țări; pentru certitudine, să numim țările X și Y. Să notăm cu x=x(t) cheltuielile cu armamentul țării X și cu y=y(t) cheltuielile cu armamentul țării Y la un moment dat. Ipoteza 1. Țara X se înarmează, temându-se de potențiala amenințare de război din partea țării Y, care, la rândul său, știind despre costurile în creștere ale înarmarii țării X, își mărește și cheltuielile pentru armament. Fiecare țară își variază rata de creștere (sau de reducere) a armamentului proporțional cu nivelul cheltuielilor celeilalte. În cel mai simplu caz, acest lucru poate fi descris după cum urmează: Unde ?Și ?-constante pozitive. Cu toate acestea, ecuațiile scrise au un dezavantaj evident - nivelul armelor nu este limitat de nimic. Prin urmare, părțile din dreapta acestor ecuații necesită o corecție naturală. Ipoteza 2. Cu cât nivelul actual al cheltuielilor pentru apărare al unei țări este mai mare, cu atât rata de creștere a acesteia este mai mică. Acest lucru vă permite să efectuați următoarele modificări sistemului anterior: x= ?y -?X y= ?X -?y dacă această ţară nu ameninţă existenţa acesteia. Să notăm revendicările corespunzătoare prin a și b (a și b sunt constante pozitive). Dacă constantele a și b sunt negative, ele pot fi numiți coeficienți de fond de comerț. Pe baza tuturor celor trei ipoteze, rezultatul este următorul sistem de ecuații: x=?y-?x+a y=?x-?y+b S-a construit modelul cursei înarmărilor. Soluția sistemului rezultat este funcțiile x(t) și y(t), determinate pentru condiții inițiale date x 0?0 și y 0?0 (starea inițială a cursei înarmărilor). Să analizăm sistemul rezultat, presupunând că nivelurile cheltuielilor ambelor țări pentru arme nu depind de timp (sunt staționare). Aceasta înseamnă că x =0, y=0 sau altfel: Y- ?X +a=0 X- ?y +b=0 Să ne uităm la un exemplu concret. Exemplu. Fie ca sistemul cursei înarmărilor să aibă următoarea formă: x=3y-5x+15 y=3x-4y+12 Dacă ratele de modificare a mărimilor x și y sunt egale cu zero, atunci aceste mărimi sunt în mod necesar legate de condițiile: Fiecare dintre aceste ecuații descrie o dreaptă pe plan (x,y), iar punctul de intersecție al acestor drepte se află în primul sfert (Fig. 2.20) Linia dreaptă dată de ecuația (a) desparte planul, iar punctul de plecare O(0,0) se află în semiplanul pozitiv. În cazul în cauză, același lucru este valabil și pentru dreapta dată de ecuația (b) (Fig. 2.21). Astfel, primul trimestru (și ne interesează doar acest lucru, deoarece x? 0 și y? 0 sunt întotdeauna) este împărțit în patru zone, care sunt desemnate convenabil după cum urmează: I-(+,+), II-(- ,+), III- (-,-), IV-(+,-). Fie starea inițială (x 0,y 0) este în regiunea I. Atunci sunt valabile următoarele inegalități: (a): 3у0 -5x 0+15>0,
(b): 3x 0-4u 0+12>0,
din care rezultă că vitezele x" și y" în acest punct sunt pozitive: x">0, y">0 și, prin urmare, ambele mărimi (x și y) ar trebui să crească (Fig. 2.22). Orez. 2.22 .crescând x și y Astfel, în timp în regiunea I soluția ajunge la un punct de echilibru. Analizând în mod similar posibilele locații ale stării inițiale în zonele II, III și IV, obținem în final că o stare stabilă (echilibrul puterii) se realizează indiferent de nivelurile inițiale de înarmare ale țărilor X și Y. Singura diferență este că, dacă trecerea la starea staționară din zona I este însoțită de o creștere simultană a nivelurilor de armament, atunci din zona III -scăderea lor simultană; pentru zonele II și IV situația este diferită -o parte își mărește armamentul în timp ce cealaltă se dezarmă. Sunt posibile și alte cazuri (Fig. 2.23). Orez. 2.23 . alte cazuri Este interesant de observat că capacitățile modelului construit au fost testate într-o situație reală -cursa înarmărilor dinaintea Primului Război Mondial. Studiile au arătat că, în ciuda simplității sale, acest model descrie destul de fiabil starea de lucruri în Europa în anii 1909-1913. Pentru a încheia această secțiune, să citam afirmația lui T. Saaty despre acest model: „Modelul pare mult mai convingător dacă, în loc de arme, este folosit pentru a studia problemele de amenințare, întrucât oamenii reacţionează la nivelul absolut de ostilitate arătat faţă de ei de către acestea. alții și experimentează un sentiment de anxietate într-un grad proporțional cu nivelul de ostilitate pe care ei înșiși îl experimentează.” Concluzie În zilele noastre, știința acordă o atenție din ce în ce mai mare problemelor de organizare și management, ceea ce duce la necesitatea analizei proceselor complexe cu scop din punctul de vedere al structurii și organizării lor. Nevoile practicii au dat naștere unor metode speciale care sunt combinate convenabil sub denumirea de „cercetare operațională”. Acest termen se referă la utilizarea metodelor matematice, cantitative pentru a justifica deciziile în toate domeniile activității umane intenționate. Scopul cercetării operaționale este de a identifica cel mai bun curs de acțiune pentru a rezolva o anumită problemă. Rolul principal în acest caz este dat modelării matematice. Pentru a construi un model matematic, este necesar să aveți o înțelegere strictă a scopului funcționării sistemului studiat și să aveți informații despre restricțiile care determină intervalul de valori admisibile. Scopul și constrângerile trebuie reprezentate ca funcții. În modelele de cercetare operațională, variabilele de care depind constrângerile și funcția obiectivă pot fi discrete (cel mai adesea întregi) sau continue (continue). La rândul lor, restricțiile și funcțiile obiective sunt împărțite în liniare și neliniare. Există diverse metode de rezolvare a acestor modele, cele mai cunoscute și eficiente dintre ele sunt metodele de programare liniară, când funcția obiectiv și toate constrângerile sunt liniare. Pentru rezolvarea modelelor matematice de alte tipuri se urmăresc metode de programare dinamică (care au fost discutate în acest proiect de curs), programare cu numere întregi, programare neliniară, optimizare multicriterială și metode model de rețea. Aproape toate metodele de cercetare operațională generează algoritmi de calcul care sunt de natură iterativă. Aceasta presupune că problema se rezolvă secvenţial (iterativ), când la fiecare pas (iteraţie) obţinem o soluţie care converge treptat către soluţia optimă. Natura iterativă a algoritmilor duce de obicei la calcule mari, repetitive. Acesta este motivul pentru care acești algoritmi sunt dezvoltați în primul rând pentru implementarea computerului. Construcţia modelului se bazează pe o simplificare semnificativă a situaţiei studiate şi ,prin urmare, concluziile desprinse din acesta trebuie tratate cu prudență -modelul nu poate face totul. În același timp, chiar și idealizarea aparent foarte grosieră ne permite adesea să aprofundăm în esența problemei. Încercând să influențăm cumva parametrii modelului (selectați-i, controlați-i), avem ocazia de a supune fenomenul studiat unei analize calitative și de a trage concluzii generale. Programarea dinamică este un aparat matematic care permite planificarea optimă a proceselor dependente de timp în mai multe etape. Întrucât procesele din problemele de programare dinamică depind de timp, se găsesc o serie de soluții optime pentru fiecare etapă, asigurând o dezvoltare optimă a întregului proces în ansamblu. Folosind planificarea pas cu pas, programarea dinamică permite nu numai simplificarea soluționării problemelor, ci și rezolvarea celor cărora nu se pot aplica metode de analiză matematică. Cu siguranță ,nu valoreaza nimic ,că această metodă necesită destul de multă muncă atunci când se rezolvă probleme cu un număr mare de variabile. Bibliografie 1.Akulich I.L. Programare matematică în exemple și probleme: Proc. indemnizatie - M.: Liceu, 2009. .Berezhnaya E.V., Berezhnaya V.I. Metode de modelare matematică. - M.: Afaceri și servicii, 2009 .Intriligator M. Metode matematice de optimizare și teorie economică. - M.: Iris-Press, 2008. .Kurbatov V.I., Ugolnitsky G.A. Metode matematice ale tehnologiilor sociale. - M.: Cartea universitară, 2011. .Monahov A.V. Metode matematice de analiză economică. - Sankt Petersburg: Peter, 2007 .Orlova I.V., Polovnikov V.A. Metode şi modele economico-matematice. - M.: Manual universitar, 2008. .Popov I.I., Partyka T.L. Metode matematice. - M.: INFRA-M, 2007. .Popova N.V. Metode matematice. - M.: Ankil, 2007 Ai nevoie de ajutor pentru a studia un subiect?
Specialiștii noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe teme care vă interesează. Definiție. Un sistem dinamic este înțeles ca un obiect care se află în fiecare moment de timp tT într-una dintre stările posibile Z și este capabil să treacă în timp de la o stare la alta sub influența unor cauze externe și interne. Un sistem dinamic ca obiect matematic conține în descrierea sa următoarele mecanisme: Argumentele pentru semnalele de intrare și de ieșire ale sistemului pot fi timpul, coordonatele spațiale, precum și unele variabile utilizate în transformările Laplace, Fourier și alte transformări. În cel mai simplu caz, operatorul de sistem transformă funcția vectorială X(t) în funcția vectorială Y(t). Modelele de acest tip se numesc dinamice (temporare). Modelele dinamice sunt împărțite în staționare, când structura și proprietățile operatorului W(t) nu se modifică în timp, și nestaționare. Răspunsul unui sistem staționar la orice semnal depinde numai de intervalul de timp dintre momentul în care începe perturbarea de intrare și momentul dat în timp. Procesul de conversie a semnalelor de intrare nu depinde de deplasarea în timp a semnalelor de intrare. Răspunsul unui sistem nestaționar depinde atât de timpul curent, cât și de momentul aplicării semnalului de intrare. În acest caz, atunci când semnalul de intrare este deplasat în timp (fără a-și schimba forma), semnalele de ieșire nu numai că se schimbă în timp, ci și forma. Modelele dinamice sunt împărțite în modele de sisteme fără inerție și inerțiale (modele cu întârziere). Modelele fără inerție corespund sistemelor în care operatorul W determină dependența cantităților de ieșire de cele de intrare în același moment în timp - y=W(X,t). În sistemele inerțiale, valorile parametrilor de ieșire depind nu numai de prezent, ci și de valorile anterioare ale variabilelor Y=W(Z,хt,хt-1,…,хt-k). Modelele inerțiale sunt numite și modele cu memorie. Operatorul de transformare poate conține parametri care sunt de obicei necunoscuți - Y=W(,Z,X), unde =(1,2,…,k) este un vector de parametri. Cea mai importantă caracteristică a structurii operatorului este liniaritatea sau neliniaritatea în raport cu semnalele de intrare. Pentru sistemele liniare este întotdeauna valabil principiul suprapunerii, care constă în faptul că o combinație liniară de semnale de intrare arbitrare este asociată cu aceeași combinație liniară de semnale la ieșirea sistemului. Un model matematic folosind un operator liniar poate fi scris ca Y=WH. Dacă condiția (2.1) nu este îndeplinită, modelul se numește neliniar. Modelele dinamice sunt clasificate în funcție de ce operații matematice sunt utilizate în operator. Putem distinge: modele algebrice, funcționale (cum ar fi integrala de convoluție), diferențiale, modele cu diferențe finite etc. Un model unidimensional este unul în care atât semnalul de intrare, cât și răspunsul sunt simultan mărimi scalare. În funcție de dimensiunea parametrului, modelele sunt împărțite în unic și multiparametru. Clasificarea modelelor poate fi continuată și în funcție de tipurile de semnale de intrare și de ieșire. Clasificarea tipurilor de modelare poate fi efectuată pe diferite motive. Modelele pot fi distinse printr-o serie de caracteristici: natura obiectelor care sunt modelate, domeniile de aplicare și profunzimea modelării. Să luăm în considerare 2 opțiuni de clasificare. Prima variantă de clasificare. Pe baza profunzimii modelării, metodele de modelare sunt împărțite în două grupe: material (subiect) și modelare ideală. Modelarea materialului se bazează pe o analogie materială între un obiect și un model. Se realizează prin reproducerea caracteristicilor geometrice, fizice sau funcționale de bază ale obiectului studiat. Un caz special al modelării materialelor este modelarea fizică. Un caz special de modelare fizică este modelarea analogică. Se bazează pe analogia fenomenelor care au naturi fizice diferite, dar sunt descrise prin aceleași relații matematice. Un exemplu de modelare analogică este studiul vibrațiilor mecanice (de exemplu, un fascicul elastic) folosind un sistem electric descris de aceleași ecuații diferențiale. Deoarece experimentele cu un sistem electric sunt de obicei mai simple și mai ieftine, acesta este studiat ca un analog al unui sistem mecanic (de exemplu, atunci când se studiază vibrațiile podurilor). Modelarea ideală se bazează pe o analogie (mentală) ideală. În cercetarea economică (la un nivel înalt al implementării sale, și nu pe dorințele subiective ale managerilor individuali), acesta este principalul tip de modelare. Modelarea ideală, la rândul ei, este împărțită în două subclase: modelare simbolică (formalizată) și intuitivă. În modelarea simbolică, modelele sunt diagrame, grafice, desene și formule. Cel mai important tip de modelare a semnelor este modelarea matematică, realizată prin intermediul construcțiilor logice și matematice. Modelarea intuitivă se găsește în acele domenii ale științei și practicii în care procesul cognitiv se află într-un stadiu inițial sau în care au loc relații sistemice foarte complexe. Astfel de studii se numesc experimente de gândire. În economie, modelarea semnifică sau intuitivă este utilizată în principal; descrie viziunea asupra lumii a oamenilor de știință sau experiența practică a lucrătorilor în domeniul managementului acesteia. A doua opțiune de clasificare este prezentată în Fig. 1.3 În conformitate cu criteriul de clasificare al completitudinii, modelarea este împărțită în completă, incompletă și aproximativă. În modelarea completă, modelele sunt identice cu obiectul în timp și spațiu. Pentru simulările incomplete, această identitate nu este păstrată. Modelarea aproximativă se bazează pe similaritate, în care unele aspecte ale unui obiect real nu sunt modelate deloc. Teoria asemănării afirmă că asemănarea absolută este posibilă numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel. Prin urmare, la modelare, nu are loc o asemănare absolută. Cercetătorii se străduiesc să se asigure că modelul reprezintă doar aspectul sistemului care este bine studiat. De exemplu, pentru a evalua imunitatea la zgomot a canalelor de transmisie a informațiilor discrete, este posibil să nu fie dezvoltate modele funcționale și informaționale ale sistemului. Pentru a atinge scopul modelării, modelul de evenimente descris de matricea probabilităților condiționate ||рij|| tranziții ale caracterului i al alfabetului j. În funcție de tipul suportului și semnătura modelului, se disting următoarele tipuri de modelare: deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă descrie procese în care se presupune absența influențelor aleatorii. Modelarea stocastică ia în considerare procesele și evenimentele probabilistice. Modelarea statică este folosită pentru a descrie starea unui obiect la un moment fix în timp, iar modelarea dinamică este folosită pentru a studia un obiect în timp. În acest caz, ele funcționează cu modele analogice (continue), discrete și mixte. În funcție de forma de implementare a mediului, modelarea este clasificată în mentală și reală. Modelarea mentală este utilizată atunci când modelele nu sunt realizabile într-un interval de timp dat sau nu există condiții pentru crearea lor fizică (de exemplu, o situație de microlume). Modelarea mentală a sistemelor reale este implementată sub formă vizuală, simbolică și matematică. Un număr semnificativ de instrumente și metode au fost dezvoltate pentru a reprezenta modele funcționale, informaționale și de evenimente ale acestui tip de modelare. Cu modelarea vizuală, bazată pe ideile umane despre obiecte reale, sunt create modele vizuale care prezintă fenomenele și procesele care au loc în obiect. Exemple de astfel de modele sunt afișele educaționale, desenele, diagramele, diagramele. Baza modelării ipotetice este o ipoteză despre tiparele procesului dintr-un obiect real, care reflectă nivelul de cunoștințe al cercetătorului despre obiect și se bazează pe relațiile cauză-efect între intrarea și ieșirea obiectului studiat. Acest tip de modelare este folosit atunci când cunoștințele despre un obiect nu sunt suficiente pentru a construi modele formale. Modelarea dinamică este un proces în mai multe etape, fiecare pas corespunde comportamentului sistemului economic pe o anumită perioadă de timp. Fiecare pas curent primește rezultatele pasului anterior, care, conform anumitor reguli, determină rezultatul curent și generează date pentru pasul următor. Astfel, un model dinamic într-un mod accelerat face posibilă studierea dezvoltării unui sistem economic complex, să zicem, o întreprindere, pe o anumită perioadă de planificare, în condițiile schimbărilor în furnizarea de resurse (materii prime, personal, finanțe, tehnologie), și obțineți rezultatele pentru a le prezenta în planul de dezvoltare corespunzător al întreprinderii pentru o perioadă dată. Pentru a rezolva problemele de optimizare dinamică în programarea matematică s-a format o clasă corespunzătoare de modele numită programare dinamică, fondatorul acesteia a fost celebrul matematician american R. Bellman. El a propus o metodă specială de rezolvare a problemelor din această clasă bazată pe „principiul optimității”, conform căruia soluția optimă a problemei se găsește prin împărțirea acesteia în n etape, fiecare dintre acestea reprezentând o subproblemă în raport cu o variabilă. Calculul se realizează în așa fel încât rezultatul optim al unei subsarcini să fie datele inițiale pentru următoarea subsarcină, ținând cont de ecuațiile și constrângerile de comunicare dintre ele, rezultatul ultimei dintre ele este rezultatul întregii probleme. Ceea ce au în comun toate modelele din această categorie este faptul că deciziile actuale de management „se manifestă” atât în perioada imediat ce înconjoară momentul luării deciziei, cât și în perioadele ulterioare. În consecință, cele mai importante efecte economice apar pe perioade diferite, nu doar într-o singură perioadă. Aceste tipuri de consecințe economice tind să fie semnificative atunci când vine vorba de decizii de management legate de posibilitatea unor noi investiții de capital, creșterea capacității de producție sau pregătirea personalului în acest scop. crearea unor premise pentru creșterea profitabilității sau reducerea costurilor în perioadele ulterioare. Aplicațiile tipice ale modelelor de programare dinamică în luarea deciziilor sunt: Elaborarea regulilor de gestionare a stocurilor care stabilesc momentul reaprovizionarii si marimea comenzii de reaprovizionare. Elaborarea principiilor de programare a producției și egalizarea locurilor de muncă în condiții de fluctuație a cererii de produse. Determinarea volumului necesar de piese de schimb pentru a asigura utilizarea eficientă a echipamentelor scumpe. Repartizarea investițiilor de capital limitate între posibile noi domenii de utilizare a acestora. În problemele rezolvate prin metoda de programare dinamică, valoarea funcției obiectiv (criteriu optimizat) pentru întregul proces se obține prin simpla însumare a valorilor parțiale. fi(x) același criteriu la pașii individuali, adică Dacă un criteriu (sau funcție) f(x) are această proprietate, atunci se numește aditiv. Algoritm de programare dinamică 1. La pasul selectat, precizăm un set (definit de condiții de constrângere) de valori variabile care caracterizează ultimul pas, stări posibile ale sistemului la penultimul pas. Pentru fiecare stare posibilă și fiecare valoare a variabilei selectate, calculăm valorile funcției obiectiv. Dintre acestea, pentru fiecare rezultat al penultimului pas, selectăm valorile optime ale funcției obiectiv și valorile corespunzătoare ale variabilei luate în considerare. Pentru fiecare rezultat al penultimului pas, ne amintim valoarea optimă a variabilei (sau mai multe valori, dacă există mai multe astfel de valori) și valoarea corespunzătoare a funcției obiectiv. Primim și fixăm tabelul corespunzător. 2. Se trece la optimizare în etapa anterioară celei precedente (deplasându-se „înapoi”), căutând valoarea optimă a noii variabile cu valorile optime fixe găsite anterior ale următoarelor variabile. Valoarea optimă a funcției obiectiv la pașii următori (cu valori optime ale variabilelor ulterioare) se citește din tabelul anterior. Dacă o nouă variabilă caracterizează primul pas, atunci treceți la pasul 3. În caz contrar, repetați pasul 2 pentru următoarea variabilă. H. Având în vedere condiția inițială din problemă, pentru fiecare valoare posibilă a primei variabile, calculăm valoarea funcției obiectiv. Se selectează valoarea optimă a funcției obiectiv corespunzătoare valorii/valorilor optime ale primei variabile. 4. Cu valoarea optimă cunoscută a primei variabile, determinăm datele inițiale pentru următorul (al doilea) pas și, conform ultimului tabel, valoarea(ele) optimă(e) ale următoarei (a doua) variabile. 5. Dacă următoarea variabilă nu caracterizează ultimul pas, atunci treceți la pasul 4. În caz contrar, treceți la pasul 6. 6. Formăm (scriem) soluția optimă. Lista literaturii folosite 1. Microsoft Office 2010. Tutorial. Y. Stotsky, A. Vasiliev, I. Telina. Petru. 2011, - 432 p. 2. Figurnov V.E. PC IBM pentru utilizator. editia a 7-a. - M.: Infra-M, 1995. 3. Levin A. Manual de autoinstruire pentru lucrul la calculator. M.: Cunoașterea, 1998, - 624 p. 4. Informatica: atelier despre tehnologia lucrarii la calculator personal / Ed. prof. N.V.Makarova - M.: Finanțe și Statistică, 1997 - 384 p. 5. Informatica: Manual / Ed. prof. N.V. Makarova - M.: Finanțe și statistică, 1997 - 768 p. Informații conexe. Imagini cartografice 3D sunt hărți electronice de nivel superior și reprezintă imagini spațiale ale principalelor elemente și obiecte ale zonei vizualizate cu ajutorul sistemelor de modelare computerizată. Acestea sunt destinate utilizării în sistemele de control și navigație (sol și aer) pentru analiza terenului, rezolvarea problemelor de calcul și modelare, proiectarea structurilor de inginerie și monitorizarea mediului. Tehnologia de simulare terenul vă permite să creați imagini vizuale și măsurabile în perspectivă, care seamănă foarte mult cu terenul real. Includerea lor în funcție de un anumit scenariu într-un film de calculator permite, la vizionarea acestuia, să „vezi” terenul din diferite puncte de filmare, în diferite condiții de iluminare, pentru diferite anotimpuri și zile (model static) sau să „zburezi” peste el de-a lungul traiectorii date sau arbitrare de mișcare și zbor rapid - (model dinamic). Utilizarea instrumentelor informatice, care includ afișaje vectoriale sau raster care permit conversia informațiilor digitale de intrare într-un cadru dat în dispozitivele lor tampon, necesită crearea preliminară a modelelor digitale de teren spațial (STM) ca atare informații. PMM digital în esență reprezintă un set de date digitale semantice, sintactice și structurale înregistrate pe suport informatic, destinate reproducerii (vizualizării) imaginilor tridimensionale ale terenului și obiectelor topografice în conformitate cu condițiile specificate pentru observarea (revizuirea) suprafeței terestre. Date inițiale pentru crearea PMM-urilor digitale pot include fotografii, materiale cartografice, hărți topografice și digitale, planuri de oraș și informații de referință care oferă date despre poziția, forma, dimensiunea, culoarea și scopul obiectelor. În acest caz, completitudinea PMM va fi determinată de conținutul informativ al fotografiilor utilizate, iar acuratețea - de acuratețea materialelor cartografice originale. Mijloace și metode tehnice de creare a PMM Dezvoltarea mijloacelor și metodelor tehnice pentru crearea PMM-urilor digitale este o problemă științifică și tehnică dificilă. Rezolvarea acestei probleme presupune: Dezvoltare de instrumente hardware și software pentru obținerea de informații digitale tridimensionale primare despre obiectele de teren din fotografii și materiale de hărți; Dezvoltare hardware și software obținerea de informații digitale tridimensionale primare despre obiectele de teren din fotografii și materiale de hărți se datorează următoarelor caracteristici fundamentale: Mai ridicate, în comparație cu calculatoarele digitale digitale tradiționale, cerințele pentru calculatoarele digitale digitale digitale în ceea ce privește completitudinea și acuratețea; Crearea unui sistem de simboluri cartografice tridimensionale este o sarcină fundamental nouă a cartografiei digitale moderne. Esența sa este de a crea o bibliotecă de simboluri care sunt apropiate de imaginea reală a obiectelor de teren. Metode de generare a PMM-urilor digitale utilizarea informațiilor cartografice digitale primare și a fotografiilor trebuie să asigure, pe de o parte, eficiența vizualizării acestora în dispozitivele tampon ale sistemelor informatice și, pe de altă parte, completitudinea, acuratețea și claritatea necesare imaginii tridimensionale. Cercetările în curs de desfășurare au arătat că pentru obținerea PMM-urilor digitale, în funcție de compoziția datelor sursă, se folosesc metode care folosesc: Informații cartografice digitale; Cele mai promițătoare metode par să fie, folosind informații și fotografii cartografice digitale. Principalele pot fi metode de creare a PMM-urilor digitale de diferite completitudine și acuratețe: din fotografii și DEM-uri; din fotografii și materiale digitale digitale; din fotografii și DTM. Dezvoltarea unui sistem expert pentru formarea conținutului PMM ar trebui să ofere o soluție la problemele de proiectare a imaginilor spațiale prin selectarea compoziției obiectului, generalizarea și simbolizarea acestuia și afișarea afișajului în proiecția hărții necesare. În acest caz, va fi necesar să se dezvolte o metodologie pentru descrierea nu numai a semnelor convenționale, ci și a relațiilor spațio-logice dintre ele. Soluția problemei dezvoltării metodelor de organizare a datelor digitale într-o bancă PMM și principiile construirii unei bănci PMM este determinată de specificul imaginilor spațiale și formatelor de prezentare a datelor. Este foarte posibil să fie necesar să se creeze o bancă spațiu-timp cu simulări în patru dimensiuni (X, Y, H, t), unde PMM-urile vor fi generate în timp real. Instrumente hardware și software pentru afișarea și analiza PMM A doua problemă este dezvoltarea hardware și software afișarea și analiza PMM-urilor digitale. Rezolvarea acestei probleme presupune: Dezvoltarea mijloacelor tehnice pentru afișarea și analiza PMM; Dezvoltare hardware și software afișarea și analiza PMM-urilor digitale va necesita utilizarea stațiilor de lucru grafice existente, pentru care trebuie creat un software special (SPO). Dezvoltarea metodelor de rezolvare a problemelor de calcul este o problemă aplicată care apare în procesul de utilizare a PMM-urilor digitale în scopuri practice. Compoziția și conținutul acestor sarcini vor fi determinate de consumatorii PMM specifici.
Îndrumare
Trimiteți cererea dvs indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.
- crearea unui sistem de simboluri cartografice tridimensionale;
- dezvoltarea metodelor de generare a PMM-urilor digitale folosind informații și fotografii digitale cartografice primare;
- dezvoltarea unui sistem expert de formare a conținutului PMM;
- dezvoltarea metodelor de organizare a datelor digitale în banca PMM și a principiilor de construire a băncii PMM.
- folosirea ca decodare inițială a fotografiilor obținute prin sisteme de filmare cadru, panoramică, cu fantă și CCD și care nu sunt destinate obținerii de informații precise de măsurare a obiectelor de teren.
- informatii cartografice digitale si fotografii;
- fotografii.
- dezvoltarea metodelor de rezolvare a problemelor de calcul.
