Modelare Modelarea este studiul unui sistem real (original), prin înlocuirea acestuia cu un obiect nou cu modelul său, care are o anumită corespondență de obiect cu acesta și permite prezicerea caracteristicilor sale funcționale, adică în modelare, experimentează nu cu obiectul în sine, ci cu obiectul, care se numește un substitut.
Procesul de modelare include mai multe etape:
1. Enunțarea problemei și determinarea proprietăților obiectului real de investigat.
2. Afirmarea dificultății sau imposibilității cercetării unui obiect real.
3. Alegerea unui model, proprietăți de bază care funcționează bine ale obiectului pe de o parte și ușor susceptibile de cercetare pe de altă parte. Modelul ar trebui să reflecte proprietățile de bază ale obiectului și nu ar trebui să fie prea mare.
4. Investigarea modelului în conformitate cu obiectivul stabilit.
5. Verificarea adecvării obiectului și modelului. Dacă nu există meci, atunci trebuie să repetați primele patru puncte.
Există o abordare clasică și sistematică pentru rezolvarea problemelor de modelare. Esența metodei este următoarea: Obiectul real care urmează a fi investigat este împărțit în componente separate D și se aleg anumite obiective C formarea componentelor individuale ale modelului LA... Apoi, pe baza datelor inițiale, se creează componente ale modelului, a căror totalitate, ținând cont de relațiile lor, este combinată într-un model. Această metodă este inductivă, adică construcția modelului decurge de la particular la general.
Metoda clasică este utilizată pentru a simula sisteme relativ simple, de exemplu, sisteme de control automat. Abordarea sistemelor Esența metodei este cea bazată pe datele inițiale D, care sunt cunoscute din analiza mediului extern, ținând cont de restricțiile impuse sistemului și în conformitate cu obiectivul stabilit C, se formează cerințe T și modelul obiectului. Pe baza acestor cerințe, este construit un subsistem P și elemente ale subsistemelor E iar alegerea celui mai bun model se efectuează folosind criteriul de selectare a CV-ului, adică construcția modelului decurge de la general la particular.
Abordarea sistemică este utilizată pentru modelarea sistemelor complexe.
Clasificarea tipurilor de modelare 1. Prin metoda de construire a modelului.A) Teoretic (analitic) - sunt construite în funcție de datele privind structura internă pe baza relațiilor care decurg din datele fizice. b) Formal - bazat pe relația dintre deconectarea și conectarea la sistem. Construită pe baza principiului cutiei negre c) Combinat.2. Prin modificări ale variabilelor de-a lungul timpului. A) Static. B) Dinamic. Un model static descrie starea unui obiect și nu conține derivate. x și la (intrare și ieșire) semnale în timp. Modelul matematic b) descrie statica volumului cu coordonate distribuite pe lungime. Modelul dinamic descrie procesele tranzitorii în timp și conține derivate la eudtModelul dinamic, în funcție de metoda de obținere, este reprezentat sub forma unei ecuații diferențiale a impulsului tranzitoriu sau a răspunsului în frecvență sub forma unei funcții de transfer. obiectele cu parametri distribuiți sunt descriși prin ecuații diferențiale în derivatele de frecvență. Prin dependența modulelor variabile de coordonatele spațiale a) Cu parametrii distribuiți b) Cu parametrii lumped 4. Prin principiul construcției a) Stochastic b) Determinist Dacă x și la (intrare și ieșire) mărimi constante sau cunoscute (deterministe), atunci modelul se numește stocastic x și la valori aleatorii (probabile), atunci modelul se numește stocastic.
Modelele stochastice conțin elemente probabile și reprezintă un sistem de dependență obținut ca urmare a unui studiu static al unui obiect de operare.
Deterministic este un sistem de dependențe funcționale construit folosind o abordare teoretică.
Modelele deterministe au mai multe avantaje. Ele pot fi dezvoltate chiar și în absența unei instalații funcționale, așa cum se întâmplă adesea la proiectare. Acestea caracterizează calitativ, mai corect procesele care apar în obiect, chiar și în prezența parametrilor modelului insuficienți din punct de vedere cantitativ.
Dacă informațiile despre obiectul modelării nu au o completitudine suficient de mare sau datorită complexității sale semnificative, este imposibil să se descrie toate acțiunile de intrare sub forma unui model, iar influența variabilelor neobservabile asupra coordonatelor de ieșire este semnificativă, atunci se folosește un model static.
5. Prin dependența parametrilor modelului de variabile.
a) Dependent (neliniar).
b) Independent (liniar).
Dacă parametrii (coeficienții) modelului depind de variabile sau acestea din urmă sunt multiplicative, atunci modelul este neliniar.
Modelul este considerat liniar cu un răspuns continuu la acțiunea de intrare și cu aditivitate la parametrii modelului.
Aditivitatea cantităților este o proprietate că valoarea valorii întregului obiect este egală cu suma valorilor frecvențelor corespunzătoare ale întregului pentru orice împărțire a obiectului în părți.
Multiplicativitatea valorilor este o proprietate că valoarea valorii întregului obiect este egală cu produsul valorii valorii părților corespunzătoare ale întregului pentru orice împărțire a obiectului în părți.
6. Conform adaptabilității modelului.
a) Adaptativ.
b) Neadaptativ.
Un model adaptiv este un model, a cărui structură și parametri sunt modificați, astfel încât o anumită măsură a erorii între variabilele de ieșire ale modelului și obiectul este minimă.
Acestea sunt împărțite în căutare și non-căutare.
În modelele de căutare, optimizatorul automat variază parametrii modelului, astfel încât măsura minimă a erorii să fie obținută între modelele de ieșire ale obiectului.
Prelegerea numărul 2
Scheme de modelare matematică
Principalele abordări pentru construirea unui model matematic al sistemului
Informațiile inițiale în construcția unui model matematic, procesul de funcționare a sistemelor sunt date despre scopul și condițiile de funcționare a sistemului în studiu. Aceste informații definesc scopul principal al modelării sistemului. S și vă permite să formulați cerințele și modelul matematic dezvoltat M.
O schemă matematică este o legătură în tranziția de la o descriere semnificativă la o descriere formală a procesului de funcționare a procesului, luând în considerare influența mediului extern, adică există un lanț: model descriptiv → schemă matematică → model matematic.
Fiecare sistem S caracterizată printr-un set de proprietăți care reflectă comportamentul sistemului și condițiile de funcționare a acestuia în interacțiunea cu mediul extern ε .
Completitudinea modelului este reglementată în principal de alegerea graniței de către sistem S și mediul extern E.
Sarcina de simplificare a modelului ajută la evidențierea principalelor proprietăți ale sistemului, aruncându-le pe cele secundare.
Să introducem următoarea notație:
1) Setul de influențe de intrare asupra sistemului
.
2) Totalitatea influențelor de mediu
.
3) Un set de parametri interni sau intrinseci ai sistemului
.
4) Setul de caracteristici de ieșire ale sistemului
16 Scheme matematice pentru sisteme de modelare.
Principalele abordări ale construcției modelelor matematice ale sistemului. Modele continuu deterministe. Modele discrete-deterministe. Modele stocastice discrete. Modele stocastice continue. Modele de rețea. Modele combinate.
Principalele abordări ale construcției modelelor matematice ale sistemului.
Informațiile inițiale în construcția modelelor matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor sunt datele privind scopul și condițiile de funcționare ale sistemului investigat (proiectat) S.
Scheme matematice
Procesele reale sunt afișate sub formă de diagrame specifice. Mat. scheme - trecerea de la o descriere semnificativă la o descriere formală a sistemului, luând în considerare impactul mediului.
Model de obiect formal
Modelul obiectului de simulare,
adică sisteme S,poate fi reprezentat ca un set de cantități,
descrierea procesului de funcționare a unui sistem real și generarea
în general, următoarele subseturi:
Agregat acțiuni de intrarepe sistem
xeu, ex, (e-caracterul aparține)eu=1; nx
Agregat influențele de mediu
vl eV l \u003d 1; nv
Agregat parametrii interni (proprii)sisteme
hkeH k \u003d 1; nh
Agregat caracteristicile de ieșiresisteme
yJeY j \u003d 1; ny
Puteți face distincție între variabile gestionate și variabile ne gestionate
La modelarea sistemelor, influențele de intrare, influențele de mediu și parametrii interni conțin componente deterministe și stochastice.
influențe de intrare, influențe de mediu Eiar parametrii interni ai sistemului sunt variabile independente (exogene).
Procesul de operare a sistemului Sdescris în timp de operator Fs,care în general transformă variabilele exogene în endogene în conformitate cu relațiile de formă:
y(t) \u003d Fs (x, v, h, t) - toate cu vektori.
Legea de funcționare a sistemului Fs poate fi specificată sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, în forme algoritmice și tabulare sau sub forma unei reguli de corespondență verbală.
Conceptul algoritmului funcțional Ca -o metodă pentru obținerea caracteristicilor de ieșire luând în considerare acțiunile de intrare, efectele mediului extern și parametrii intrinseci ai sistemului.
Sunt introduse, de asemenea, stările sistemului - proprietățile sistemului în momente specifice din timp.
Totalitatea tuturor valorilor posibile ale stărilor alcătuiește spațiul de stare al obiectului.
Astfel, lanțul de ecuații al obiectului "intrare - stări - ieșire" vă permite să determinați caracteristicile sistemului:
Astfel, sub model matematic al obiectului(sistem real) înțelege un subset finit de variabile (x (t), v (t), h(t)) împreună cu relațiile matematice dintre acestea și caracteristici yT).
Scheme tipice
În etapele inițiale ale studiului, sunt utilizate scheme tipice. : ecuații diferențiale, automate finite și probabiliste, sisteme de așteptare, plase Petri etc.
Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu ca modele deterministe, atunci când factorii aleatori nu sunt luați în considerare în studiu, iar automatele finite și schemele de diferență finită sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care operează în timp discret ...
Automatele probabile sunt utilizate ca modele stocastice (luând în considerare factorii aleatori) pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare sunt utilizate pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu etc.
Astfel, atunci când se construiesc modele matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor, se pot distinge următoarele abordări principale: continuu-determinist (de exemplu, ecuații diferențiale); discret-determinist (automate finite); stocastic discret (automate probabilistice); continuo-stochastic (sisteme de așteptare); generalizate sau universale (sisteme agregate).
Modele continuu deterministe
Să luăm în considerare caracteristicile abordării deterministe continuu folosind un exemplu, folosind Mat. modele ecuatii diferentiale.
Ecuațiile diferențiale sunt acele ecuații în care funcțiile unei variabile sau a mai multor variabile sunt necunoscute, iar ecuația include nu numai funcțiile lor, ci și derivatele lor de diferite ordine.
Dacă necunoscutele sunt funcții ale mai multor variabile, atunci ecuațiile sunt numite - ecuații diferențiale parțiale.Dacă funcțiile necunoscute ale unei variabile independente, atunci ecuații diferențiale obișnuite.
Relația matematică generală pentru sistemele deterministe:
Modele discrete-deterministe.
DDM sunt supuse revizuirii teoria automatelor (TA)... TA este o secțiune a ciberneticii teoretice care studiază dispozitivele care procesează informații discrete și își schimbă stările interne numai în momente acceptabile.
Mașină de stat se numește automat, în care setul de stări interne și semnale de intrare (și, în consecință, setul de semnale de ieșire) sunt seturi finite.
Mașină cu stare finită are multe stări interne și semnale de intrare, care sunt seturi finite. Mașinărie dată de schema F: F \u003d
unde z, x, y sunt, respectiv, seturi finite de semnale de intrare și ieșire (alfabete) și un set finit de stări interne (alfabet). z0ÎZ - starea inițială; j (z, x) - funcție de tranziție; y (z, x) - funcție de ieșire.
Automatul funcționează în timp discret al automatului, ale cărui momente sunt cicluri, adică intervale de timp egale adiacente unele cu altele, fiecare dintre ele corespunzând valorilor constante ale intrării, semnalului de ieșire și stării interne. Un automat abstract are un canal de intrare și unul de ieșire.
Pentru a defini un automat F, este necesar să descrieți toate elementele setului F \u003d
În modul tabelar de setare, se utilizează tabele de tranziție și de ieșire, ale căror rânduri corespund semnalelor de intrare ale automatului și coloanelor - stărilor sale.
Descrierea muncii F- Miles mitralieră tabelele de tranziții j și ieșirile y sunt ilustrate de tabelul (1), iar descrierea lui F - automatul lui Moore - este ilustrată de tabelul de tranziții (2).
tabelul 1
Tranziții |
||||
………………………………………………………… |
||||
………………………………………………………… |
||||
masa 2
………………………………………………………… |
||||
Exemple de mod tabular de specificare a F - automatul Mealy F1 cu trei stări, două intrări și două semnale de ieșire sunt date în tabelul 3, iar pentru F - automatul Moore F2 - în tabelul 4.
Tabelul 3
Tranziții |
|||
Tabelul 4
Un alt mod de a defini o mașină cu stări finite utilizează conceptul de grafic direcționat. Graficul automat este un set de vârfuri care corespund diferitelor stări ale automatului și care leagă vârfurile arcurilor grafice corespunzătoare anumitor tranziții ale automatului. Dacă semnalul de intrare xk determină o tranziție de la starea zi la starea zj, atunci pe graficul automat arcul care leagă vârful zi de vârful zj este notat cu xk. Pentru a seta funcția de tranziție, arcurile grafice trebuie marcate cu semnalele de ieșire corespunzătoare.
Smochin. 1. Grafice ale automatelor lui Mealy (a) și Moore (b).
La rezolvarea problemelor de modelare, o definiție matricială a unei mașini cu stări finite este adesea o formă mai convenabilă. În acest caz, matricea conexiunilor automatului este o matrice pătrată C \u003d || cij ||, rândurile cărora corespund stărilor inițiale, iar coloanele stărilor de tranziție.
Exemplu. Pentru automatul F2 considerat anterior, scriem matricea de stare și vectorul de ieșire:
;
Modele stocastice discrete
Fie Ф ansamblul tuturor perechilor posibile ale formei (zk, yi), unde уi este un element al ieșirii
subsetul Y. Cerem ca orice element al mulțimii G să inducă
pe set Ф unele legi de distribuție de următoarea formă:
Elemente din Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)
(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ
Rețele de informații "href \u003d" / text / category / informatcionnie_seti / "rel \u003d" bookmark "\u003e prelucrarea informațiilor computerului de la terminale la distanță etc.
În același timp, tipic pentru
funcționarea unor astfel de obiecte este apariția aleatorie a aplicațiilor (cerințelor) pentru
întreținerea și finalizarea întreținerii la intervale aleatorii,
adică natura stocastică a procesului de funcționare a acestora.
QS este înțeles ca un sistem dinamic conceput pentru a deservi eficient un flux aleatoriu de solicitări cu resurse limitate de sistem. Structura generalizată a QS este prezentată în Figura 3.1.
Smochin. 3.1. Schema SMO.
Revendicările omogene care ajung la intrarea QS, în funcție de cauza generatoare, sunt împărțite în tipuri, intensitatea fluxului de revendicări de tip i (i \u003d 1 ... M) este notată cu li. Totalitatea aplicațiilor de toate tipurile este fluxul de intrare al QS.
Serviciile aplicațiilor se efectuează m canale.
Distingeți între canalele de servicii universale și cele specializate. Pentru un canal universal de tip j, funcțiile de distribuție Fji (t) ale duratei de deservire a creanțelor de tip arbitrar sunt considerate cunoscute. Pentru canalele specializate, funcțiile de distribuție a duratei de serviciu a canalelor anumitor tipuri de revendicări sunt nedefinite, atribuirea acestor revendicări unui anumit canal.
Q - circuitele pot fi investigate analitic și prin modele de simulare. Acesta din urmă oferă o mare versatilitate.
Să luăm în considerare conceptul de așteptare.
În orice act elementar de întreținere, se pot distinge două componente principale: așteptarea de service prin creanță și deservirea efectivă a creanței. Acest lucru poate fi afișat sub forma unui dispozitiv de serviciu Pi i, alcătuit dintr-un acumulator de revendicări, în care pot exista simultan revendicări li \u003d 0 ... LiH, unde LiH este capacitatea acumulatorului i-a și un canal de servicii de revendicare, ki.
Smochin. 3.2. Diagrama schematică a dispozitivului CMO
Fiecare element al dispozitivului de service Pi primește fluxuri de evenimente: fluxul de revendicări wi către acumulatorul Hi și fluxul de service ui către canalul ki.
Prin fluxul evenimentelor (PS) este o secvență de evenimente care apar una după alta în anumite momente aleatorii din timp. Distingeți între fluxurile de evenimente omogene și eterogene. OmogenPS se caracterizează numai prin momentele de sosire a acestor evenimente (provocând momente) și este dat de secvența (tn) \u003d (0 £ t1 £ t2 ... £ tn £ ...), unde tn este momentul sosirii lui n - al treilea eveniment - un număr real negativ. TSA poate fi, de asemenea, specificat ca o secvență de intervale de timp între evenimentele n-th și n-1-th (tn).
Eterogen PS se numește o secvență (tn, fn), unde tn - momente cauzatoare; fn - un set de atribute de eveniment. De exemplu, poate fi setat să aparțină unei anumite surse de revendicări, prezența unei priorități, capacitatea de a servi unul sau alt tip de canal etc.
Clienții deserviți de canalul ki și clienții care au părăsit serverul Pi din diverse motive care nu au fost furnizați formează fluxul de ieșire yiÎY.
Procesul de funcționare al dispozitivului de serviciu Pi poate fi reprezentat ca un proces de schimbare a stărilor elementelor sale în timp Zi (t). Trecerea la o nouă stare pentru Pi înseamnă o modificare a numărului de solicitări care sunt în ea (în canalul ki și în acumulatorul Hi). T. despre. vectorul stărilor pentru Pi are forma:, unde sunt stările unității, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width \u003d" 24 height \u003d 28 "height \u003d" 28 " \u003e \u003d 1 - există o singură cerere în stocare ..., \u003d - stocarea este complet ocupată; - starea canalului ki (\u003d 0 - canalul este liber, \u003d 1 canalul este ocupat).
Diagramele Q ale obiectelor reale sunt formate din compoziția multor dispozitive elementare de servicii Pi. Dacă diferitele dispozitive de service sunt conectate în paralel, atunci există un serviciu cu mai multe canale (circuit Q multicanal), iar dacă dispozitivele Pi și compozițiile lor paralele sunt conectate în serie, atunci există un serviciu multifazic (circuit Q multifazic ).
Pentru a defini o schemă Q, este, de asemenea, necesar să se descrie algoritmii pentru funcționarea sa, care determină regulile pentru comportamentul revendicărilor în diverse situații ambigue.
În funcție de locul apariției unor astfel de situații, există algoritmi (discipline) pentru așteptarea revendicărilor în acumulatorul Нi și a deservirii revendicărilor în canalul ki. Eterogenitatea fluxului de aplicații este luată în considerare prin introducerea unei clase de priorități - priorități relative și absolute.
T. despre. O schemă Q care descrie procesul de funcționare a unui QS de orice complexitate este definită în mod unic ca un set de seturi: Q \u003d
Modele de rețea.
Pentru o descriere formală a structurii și interacțiunii sistemelor și proceselor paralele, precum și pentru analiza relațiilor cauză-efect în sisteme complexe, sunt utilizate rețelele Petri, numite scheme N.
În mod formal, schema N este dată de un cvadruplu al formei
N \u003d
unde B este un set finit de simboluri numite poziții, B ≠ O;
D este un set finit de simboluri numite tranziții D ≠ O,
B ∩ D ≠ O; I - funcția de intrare (funcția de incidență directă)
I: B × D → (0, 1); О - funcția de ieșire (funcția de incidență inversă),
О: B × D → (0, 1). Astfel, funcția de intrare I mapează tranziția dj la
setul de poziții de intrare bj I (dj) și funcția de ieșire O hărți
tranziția dj la setul de poziții de ieșire bj О (dj). Pentru fiecare tranziție
dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width \u003d" 13 "height \u003d" 13 "\u003e B | I (bi, dj) \u003d 1),
O (dj) \u003d (bi B | O (dj, bi) \u003d 1),
i \u003d 1, n; j \u003d 1, m; n \u003d | B |, m \u003d | D |.
În mod similar, pentru fiecare poziție bi B, sunt introduse definițiile
set de tranziții de intrare ale poziției I (bi) și tranziții de ieșire
poziția O (bi):
I (bi) \u003d (dj D | I (dj, bi,) \u003d 1),
O (bi) \u003d (dj D | O (bi, dj) \u003d 1).
O rețea Petri este un grafic direcționat bipartit format din două tipuri de vârfuri - poziții și tranziții, conectate prin arcuri; vârfurile de același tip nu pot fi conectate direct.
Un exemplu de plasă Petri. Cercurile albe indică poziții, dungi - tranziții, cercuri negre - etichete.
Arcurile de orientare conectează pozițiile și tranzițiile, cu fiecare arc direcționat de la un element dintr-un set (poziție sau tranziție) la un element dintr-un alt set
(tranziție sau poziție). Un grafic N-design este un multigraf, deoarece acesta
admite existența mai multor arce de la un vârf la altul.
Descompunerea "href \u003d" / text / category / dekompozitciya / "rel \u003d" bookmark "\u003e descompunere un sistem complex este reprezentat ca o structură pe mai multe niveluri a elementelor interconectate combinate în subsisteme de diferite niveluri.
Un agregat acționează ca un element al diagramei A, iar conexiunea dintre agregate (în interiorul sistemului S și cu mediul extern E) se realizează folosind operatorul de conjugare R.
Orice unitate este caracterizată de următoarele seturi: ori T, semnalele de intrare X și ieșirea Y, stările Z de fiecare dată t. Starea unității la momentul tT este notată ca z (t) Z,
și semnale de intrare și ieșire ca x (t) X și respectiv y (t) Y.
Vom presupune că tranziția agregatului de la starea z (t1) la starea z (t2) ≠ z (t1) are loc într-un interval de timp mic, adică există un salt δz.
Tranzițiile unității de la starea z (t1) la z (t2) sunt determinate de parametrii intrinseci (interni) ai unității în sine h (t) H și de semnalele de intrare x (t) X.
În momentul inițial de timp t0, stările z au valori egale cu z0, adică z0 \u003d z (t0), date de legea distribuției procesului z (t) la momentul t0, și anume J. Să presupunem că procesul funcționarea unității în cazul acțiunii semnalului de intrare xn este descrisă de un operator aleator V. Apoi, în momentul în care semnalul de intrare ajunge la unitatea tnT
xn puteți determina starea
z (tn + 0) \u003d V.
Notăm intervalul de pauză t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал
t1 ≤ t< t2 как .
Mulțimea operatorilor aleatori V și U este considerată ca un operator de tranziții ale agregatului la stări noi. În acest caz, procesul de funcționare al unității constă în salturi de stări δz în momentele de sosire a semnalelor de intrare x (operator V) și modificări de stări între aceste momente tn și tn + 1 (operator U). Nu sunt impuse restricții operatorului U; prin urmare, salturile stărilor δz în momente care nu sunt momente de sosire a semnalelor de intrare x sunt admisibile. În cele ce urmează, momentele salturilor δz vor fi numite momente speciale de timp tδ, și stări z (tδ) - stări speciale ale schemei A. Pentru a descrie salturile stărilor δz la momente speciale tδ, vom folosi operatorul aleator W, care este un caz special al operatorului U, adică,
z (tδ + 0) \u003d W.
În setul de stări Z, un subset Z (Y) se distinge astfel încât dacă z (tδ) ajunge la Z (Y), atunci această stare este momentul emiterii semnalului de ieșire determinat de operatorul de ieșire
y \u003d G.
Astfel, prin agregat se înțelege orice obiect definit de o colecție ordonată a seturilor considerate T, X, Y, Z, Z (Y), H și operatorii aleatori V, U, W, G.
Secvența semnalelor de intrare, aranjate în ordinea sosirii lor în schema A, va fi numită mesaj de intrare sau mesaj x. Secvența semnalelor de ieșire, ordonată în funcție de momentul emiterii, va fi numită mesaj de ieșire sau mesaj y.
DACĂ SURBĂ
Modele deterministe continue (scheme D)
Sunt folosite pentru a studia sistemele care funcționează în timp continuu. Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale sunt utilizate în principal pentru a descrie astfel de sisteme. În ecuațiile diferențiale obișnuite, este luată în considerare o funcție a unei singure variabile independente, iar în ecuațiile diferențiale parțiale, sunt luate în considerare funcțiile mai multor variabile.
Ca exemplu de aplicare a modelelor D, se poate cita studiul funcționării unui pendul mecanic sau a unui circuit oscilator electric. Baza tehnică a modelelor D este alcătuită din computere analogice (AVM) sau computerele hibride în curs de dezvoltare rapidă (GVM). După cum știți, principiul de bază al cercetării pe computer este că, în conformitate cu ecuațiile date, cercetătorul (utilizatorul AVM) asamblează un circuit din noduri tipice separate - amplificatoare operaționale cu includerea de circuite pentru scalare, amortizare, aproximare, etc.
Structura AVM se modifică în conformitate cu forma ecuațiilor reproduse.
Într-un computer digital, structura rămâne neschimbată, dar secvența de funcționare a nodurilor sale se modifică în conformitate cu programul stabilit în acesta. Comparația dintre AVM și computerul digital arată clar diferența dintre simulare și modelare statistică.
ABM implementează un model de simulare, dar, de regulă, nu folosește principiile modelării statistice. În computerele digitale, majoritatea modelelor de simulare se bazează pe studiul numerelor aleatorii, proceselor, adică pe modelarea statistică. Modelele continuist-deterministe sunt utilizate pe scară largă în ingineria mecanică în studiul sistemelor de control automat, alegerea sistemelor de amortizare, identificarea fenomenelor de rezonanță și a oscilațiilor în tehnologie.
etc.
Modele discret-deterministe (circuite F)
Operați cu timp discret. Aceste modele stau la baza investigării funcționării unei clase extrem de importante și răspândite astăzi de sisteme discrete de automate. În scopul cercetării lor, a fost dezvoltat un aparat matematic independent al teoriei automatelor. Pe baza acestei teorii, sistemul este considerat ca un automat care procesează informații discrete și schimbă, în funcție de rezultatele procesării sale, de stările sale interne.
Acest model se bazează pe principiile minimizării numărului de elemente și noduri dintr-un circuit, dispozitiv, optimizarea dispozitivului în ansamblu și succesiunea de funcționare a nodurilor sale. Împreună cu circuitele electronice, un reprezentant izbitor al automatelor descrise de acest model este un robot care controlează (conform unui program dat) procesele tehnologice într-o secvență deterministă dată.
Mașina de control numeric este descrisă și de acest model. Alegerea secvenței de prelucrare a pieselor pe această mașină se realizează prin configurarea unității de control (controler), care generează semnale de control în anumite momente din timp / 4 /.
Teoria automatelor folosește aparatul matematic al funcțiilor booleene care operează cu două valori posibile ale semnalelor 0 și 1.
Automatele sunt împărțite în automatele fără memorie, automatele cu memorie. Descrierea muncii lor se face folosind tabele, matrici, grafice care afișează tranzițiile mașinii de la o stare la alta. Estimările analitice pentru orice tip de descriere a funcționării mașinii sunt foarte greoaie și chiar și cu un număr relativ mic de elemente, noduri care formează dispozitivul, sunt practic imposibile. Prin urmare, studiul circuitelor complexe de automate, care includ, fără îndoială, dispozitive robotizate, se realizează folosind simulare.
Modele stocastice discrete (scheme P)
Ele sunt folosite pentru a studia activitatea automatelor probabilistice. În automatele de acest tip, tranzițiile de la o stare la alta sunt efectuate sub influența semnalelor externe și luând în considerare starea internă a automatului. Cu toate acestea, spre deosebire de automatele T, aceste tranziții nu sunt strict deterministe, dar pot apărea cu anumite probabilități.
Un exemplu de astfel de model este un lanț Markov discret cu un set finit de stări. Analiza schemelor F se bazează pe procesarea și transformarea matricilor de probabilitate de tranziție și analiza graficelor de probabilitate. Deja pentru analiza dispozitivelor relativ simple, al căror comportament este descris de circuitele F, se recomandă utilizarea simulării. Un exemplu de astfel de simulare este dat în clauza 2.4.
Modele stocastice continue (scheme Q)
Acestea sunt utilizate în analiza unei clase largi de sisteme considerate ca sisteme de așteptare. Ca proces de serviciu, pot fi reprezentate procese care sunt diferite prin natura lor fizică: fluxuri de aprovizionare cu produse către o întreprindere, fluxuri de componente și produse la comandă, fluxuri de piese pe o linie de asamblare, fluxuri de acțiuni de control din centrul de control al ACS la locurile de muncă și cererile de returnare a procesării informațiilor într-un computer etc.
De obicei, aceste fluxuri depind de mulți factori și situații specifice. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, aceste fluxuri sunt aleatorii în timp, cu posibilitatea modificărilor în orice moment. Analiza unor astfel de scheme se bazează pe aparatul matematic al teoriei cozilor. Acestea includ un lanț Markov continuu. În ciuda progresului semnificativ realizat în dezvoltarea metodelor analitice, teoria cozilor, analiza schemelor Q prin metode analitice poate fi realizată numai cu presupuneri și presupuneri simplificatoare semnificative. Un studiu detaliat al majorității acestor scheme, în special a celor complexe, cum ar fi sistemele de control al proceselor, sistemele robotizate, poate fi realizat numai folosind simularea.
Modele generalizate (diagrame A)
Pe baza descrierii proceselor de funcționare a oricăror sisteme bazate pe metoda agregată. Într-o descriere agregată, sistemul este împărțit în subsisteme separate, care pot fi considerate convenabile pentru descrierea matematică. Ca urmare a unei astfel de diviziuni (descompunere), un sistem complex este prezentat sub forma unui sistem pe mai multe niveluri, ale cărui niveluri individuale (agregate) sunt susceptibile de analiză. Pe baza analizei agregatelor individuale și luând în considerare legile de interconectare a acestor agregate, este posibil să se efectueze un studiu cuprinzător al întregului sistem.
, Yakovlev Systems. A 4-a ed. - M.: Școală superioară, 2005. - S. 45-82.
Modelul unui sistem complex, considerat mai devreme, este o schemă generală de modelare matematică. În practică, pentru a formaliza modele conceptuale ale mai multor sisteme, este mai avantajos să se utilizeze scheme de modelare matematică standard care să ia în considerare, pe de o parte, modul de reprezentare a timpului în model (variabilă continuă sau discretă) și pe pe de altă parte, gradul aleatoriu al proceselor simulate. Din aceste considerente, se disting următoarele scheme de modelare matematică (clase MM).
Continuu - modele deterministe (D - scheme).
Modele discrete - deterministe (scheme F).
Modele discrete - probabilistice (scheme P).
Continuu - modele probabilistice (scheme Q).
Modele de rețea (scheme N).
Modele agregate (A - diagrame).
Modele continuu deterministe... În aceste modele, timpul t se presupune că este o variabilă continuă, iar factorii aleatori din sistem sunt neglijați. Aparatul matematic al modelelor este teoria ecuațiilor diferențiale și integrale, cu ajutorul cărora se realizează o descriere adecvată a sistemelor dinamice. Cea mai profund dezvoltată este metoda operatorului pentru descrierea și studierea proceselor de funcționare a sistemelor dinamice și a structurilor acestora.
Un exemplu de model determinist continuu al unui sistem de control automat cu un singur canal este o ecuație diferențială neomogenă cu coeficienți constanți.
În această ecuație x (t) - acțiune de intrare; yT) - valoarea de ieșire care caracterizează poziția obiectului controlat; - parametrii interni ai sistemului.
Dacă un sistem dinamic este descris printr-o ecuație diferențială neliniară, atunci acesta este liniarizat și rezolvat ca liniar.
Utilizarea modelelor deterministe continuu permite efectuarea cantitativă nu numai a analizei sistemelor dinamice, ci și a sintezei optime a acestora.
Modele discrete-deterministe... În modelele discrete-deterministe (DD), timpul t este o variabilă discretă, unde este etapa de eșantionare și sunt timpi discreți.
Principalul aparat matematic utilizat în construcția modelelor DD este teoria ecuațiilor de diferență și aparatul matematicii discrete, în special teoria automatelor finite.
Ecuația diferenței este o ecuație care conține diferențe finite ale funcției necesare
unde sunt starea sistemului și respectiv influența externă în momente discrete de timp, respectiv.
În problemele aplicate, modelele DD - în forma (2.6) apar adesea ca modele intermediare în studiul modelelor ND - pe un computer, atunci când soluția analitică a ecuației diferențiale nu poate fi obținută și este necesar să se utilizeze scheme de diferență.
Să luăm în considerare pe scurt teoria mașinilor cu stare finită, care este utilizată pentru a construi modele DD.
O mașină cu stări finite este un model matematic al unui sistem discret care, sub acțiunea semnalelor de intrare, generează semnale de ieșire și care poate avea unele stări interne variabile; aici sunt mulțimi finite.
Mașina cu stări finite se caracterizează prin: alfabet de intrare; alfabet de ieșire; alfabetul intern al stărilor; stare initiala; funcție de tranziție; funcția ieșirilor.
Procesul de funcționare a unei mașini de stare este după cum urmează. În cel de-al cincilea ciclu, un semnal de intrare ajunge la intrarea mașinii de stare, la care mașina reacționează trecând la starea la cel de-al cincilea ciclu și emițând un semnal de ieșire. De exemplu, mașina cu stare finită Mealy este descrisă de următoarele relații de recurență:
Modele probabilistice discrete... În modelul discret-probabilistic, sunt luate în considerare elementele aleatorii ale sistemului complex investigat. Principalul aparat matematic utilizat în construcția și studiul modelelor DW este teoria ecuațiilor stochastice de diferență și teoria automatelor probabiliste.
O ecuație a diferenței stochastice este una care conține parametri aleatori sau intrări aleatorii.
Să se definească un vector aleatoriu de parametri și o secvență aleatorie de acțiuni de intrare pe spațiul probabilității 
Ecuația de ordine stocastică neliniară are forma, (2.8)
unde sunt stările inițiale date ale sistemului; funcție dată de variabile.
Soluția la această ecuație este o secvență aleatorie de stări ale sistemului modelat definit pe set:
Dacă funcția este liniară, atunci (2.8) ia forma:
(2.9)
unde este vectorul parametrilor.
Un alt aparat matematic pentru construirea DV - modele de sisteme complexe este reprezentat de teoria automatelor probabiliste.
Un automat probabilistic definit pe un set este un automat finit în care funcția de tranziție 
și funcția de ieșire sunt funcții aleatorii având unele distribuții de probabilitate.
Utilizăm notația pentru distribuții de probabilitate - distribuția inițială de probabilitate, 
Este probabilitatea ca automatul, care se află în cel de-al treilea ciclu de stare, să dea, sub influența semnalului de intrare, un semnal de ieșire și să pornească cel de-al treilea ciclu în stare
Modelul matematic al unui automat probabilistic este complet determinat de cinci elemente:.
Modele continue - probabilistice... În construcția și studiul modelelor NV, se utilizează teoria ecuațiilor diferențiale stocastice și teoria cozii.
Ecuația diferențială stocastică (în forma Ito) are forma:
unde este un proces aleatoriu care determină starea sistemului la un moment dat; - proces aleatoriu standard Wiener; - coeficienți de difuzie și transfer. NV - modelul este adesea utilizat în modelarea sistemelor de control stocastic, a proceselor de schimb.
Teoria cozilor dezvoltă și investighează modele matematice de diferite procese de natură a funcționării sistemelor, de exemplu: furnizarea de materii prime și componente către o anumită întreprindere; sarcini care vin pe computer de la terminale la distanță; apel la centrele telefonice etc. Funcționarea unor astfel de sisteme se caracterizează prin stocasticitate: aleatoritatea timpilor de apariție a cererilor de serviciu etc.
Sistemul, descris ca un sistem de așteptare (QS), constă din dispozitive de service. Dispozitivul de întreținere constă dintr-un acumulator de daune, care poate conține simultan daune, și un canal pentru deservirea daunelor; Este capacitatea de stocare, adică numărul de locuri din coadă pentru deservirea cererilor din canal.
Fiecare element al dispozitivului primește fluxuri de evenimente; la unitate - fluxul de cereri, la canal - fluxul de „servicii”. Fluxul de cereri reprezintă o succesiune de intervale de timp între momentele apariției cererilor la intrarea QS și formează un subset de variabile necontrolate ale QS. Un flux este o secvență de intervale de timp între începutul și sfârșitul serviciului revendicărilor și formează un subset de variabile controlate.
Revendicările deservite de QS formează un flux de ieșire - o succesiune de intervale de timp între momentele ieșirii revendicărilor. Revendicările care nu au fost deservite, dar care au părăsit QS din diverse motive, formează un flux de ieșire al revendicărilor pierdute.
Modele de rețea folosit pentru a formaliza relațiile cauză-efect în sisteme complexe cu procese paralele. Aceste modele se bazează pe rețeaua Petri. Când este interpretată grafic, o rețea Petri este un grafic de tip special, format din vârfuri de două tipuri - pozițiiși tranzițiiconectate prin arcuri orientate și fiecare arc poate conecta doar vârfuri de diferite tipuri (o poziție cu tranziție sau o tranziție cu o poziție). Vârfurile-pozițiile sunt indicate prin cercuri, vârfurile-tranziții - prin liniuțe. Dintr-un punct de vedere semnificativ, tranzițiile corespund evenimentelor inerente sistemului studiat, iar pozițiile corespund condițiilor pentru apariția lor.
Astfel, totalitatea tranzițiilor, pozițiilor și arcurilor face posibilă descrierea relațiilor cauză-efect inerente sistemului, dar în statică. Pentru a face rețeaua Petri „să prindă viață”, este introdus încă un tip de obiecte nete - așa-numitele chipsuri sau Etichetepoziții care se deplasează de-a lungul tranzițiilor rețelei, cu condiția să existe un semn la poziția de intrare și nici un semn la poziția de ieșire. Se numește locația cipurilor în pozițiile rețelei marcaj de rețea.
Modele agregate... Analiza problemelor existente duce la concluzia că o soluție cuprinzătoare la probleme este posibilă numai dacă sistemele de modelare se bazează pe o singură schemă de modelare matematică. Această abordare a formalizării procesului de funcționare a unui sistem complex a fost propusă de N.P. Buslenko. și se bazează pe conceptul de „unitate”.
Cu o descriere agregată, un sistem complex este împărțit în subsisteme, menținând în același timp conexiunile care asigură interacțiunea acestora. Dacă un subsistem se dovedește a fi complex, atunci procesul de dezmembrare continuă până la formarea subsistemelor, care, în condițiile problemei examinate, pot fi considerate convenabile pentru o descriere matematică.
Ca rezultat, se obține o structură pe mai multe niveluri din elemente interconectate combinate în subsisteme de diferite niveluri. Elementele unui model agregat sunt agregate. Conexiunile dintre unități și mediul extern se realizează folosind operatori de interfață. Agregatul în sine poate fi, de asemenea, considerat ca un model agregat, adică poate fi împărțit în elemente de nivelul următor.
Orice unitate este caracterizată de seturi: puncte în timp T, intrare X și în weekend Da semnale, stări de unitate Z în fiecare moment al timpului t... Procesul de funcționare a unității constă în salturi de stări în momentele de sosire a semnalelor de intrare x și schimbări de stare între aceste momente și.
Momentele salturilor, care nu sunt momentele de sosire a semnalelor de intrare, se numesc momente speciale în timp, iar stările sunt numite stări speciale ale circuitului agregat. În multe state Z selectați un subset, care, dacă ajunge, atunci această stare este momentul în care este emis semnalul de ieșire y.
Informațiile inițiale în construcția proceselor MM pentru funcționarea sistemelor sunt date privind scopul și condițiile de funcționare ale sistemului investigat (proiectat). Aceste informații determină obiectivul principal al modelării, cerințele pentru MM, nivelul de abstractizare și alegerea schemei de modelare matematică.
Conceptul de schemă matematică ne permite să considerăm matematica nu ca o metodă de calcul, ci ca o metodă de gândire, un mijloc de formare a conceptelor, care este cel mai important în tranziția de la o descriere verbală la o reprezentare formalizată a procesului de funcționarea acestuia sub forma unor MM.
Când se folosește o schemă matematică, în primul rând, cercetătorul de sistem ar trebui să fie interesat de problema adecvării cartografierii sub formă de scheme specifice a proceselor reale din sistemul studiat și nu de posibilitatea de a obține un răspuns (soluție rezultat) la o întrebare de cercetare specifică.
De exemplu, reprezentarea procesului de funcționare a unui ICS pentru utilizare colectivă sub forma unei rețele de scheme de așteptare face posibilă descrierea bine a proceselor care apar în sistem, dar cu legi complexe ale fluxurilor de intrare și fluxurilor de servicii, nu face posibilă obținerea rezultatelor într-o formă explicită.
Schema matematică poate fi definit ca o legătură în tranziția unei descrieri semnificative către o descriere formalizată a procesului de funcționare a sistemului, luând în considerare impactul mediului extern. Acestea. există un lanț: un model descriptiv - o schemă matematică - un model de simulare.
Fiecare sistem specific este caracterizat printr-un set de proprietăți, care sunt înțelese ca mărimi care reflectă comportamentul obiectului modelat (sistemul real) și condițiile de funcționare a acestuia în interacțiunea cu mediul extern (sistemul) E.
Atunci când construiți un sistem MM, este necesar să se rezolve problema exhaustivității sale. Integritatea modelării este reglementată în principal de alegerea limitelor „Sistem-mediu E” Sarcina de simplificare a MM ar trebui, de asemenea, rezolvată, ceea ce ajută la evidențierea principalelor proprietăți ale sistemului, eliminând modelarea secundară, din punct de vedere al scopului.
MM al obiectului de simulare, adică sistemele pot fi reprezentate ca un set de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui sistem real și formează în general următoarele subseturi:
Setul de intrări influențează asupra
Totalitatea influențelor de mediu
Setul de parametri interni (intrinseci) ai sistemului
Setul de caracteristici de ieșire ale sistemului
În seturile enumerate, se pot distinge cantitățile controlate și necontrolate. În general, X, V, H, Y sunt seturi necruce care conțin componente deterministe și stochastice.
Astfel, sub MM-ul unui obiect ne referim la un set finit de variabile împreună cu relații matematice între ele și caracteristici.
Modelarea se numește deterministă dacă operatorii F, Ф sunt deterministi, adică pentru o intrare specifică, intrarea este deterministă. Modelarea deterministă este un caz special al modelării stochastice. În practică, modelarea obiectelor în domeniul analizei sistemului în etapele primare ale cercetării este mai rațională pentru a utiliza scheme matematice standard: ecuații diferențiale, automate finite și probabiliste, QS etc.
Ca modele deterministe, atunci când un fapt aleatoriu nu este luat în considerare în studiu, ecuațiile diferențiale, integrale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu, iar automatele finite și schemele de diferențe sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp discret.
Orientări generale
Scopul disciplinei „Metode de decizii optime” este de a stăpâni metodologia modelării proceselor comerciale și economice pentru analiza și gestionarea lor optimă.
Scopul acestor orientări este de a ajuta studenții să învețe noțiunile de bază ale modelării economice și matematice, să arate abilitățile practice necesare în utilizarea metodelor matematice în construirea modelelor de comunicare a indicatorilor problemelor de practică comercială și, pe baza acestora, a științificului justificare pentru alegerea deciziilor de conducere.
Obiectul de studiu al cursului este mecanismele economice de gestionare a organizațiilor comerciale și a întreprinderilor.
Subiectul cursului este informația și conexiunile funcționale ale sistemelor comerciale și economice.
Rezultatul admiterii la test la disciplina „Metode de soluții optime” este un test rezolvat cu toate sarcinile cu nota profesorului „Acceptat”. Testul trecut rămâne în sarcina profesorului, o revizuire este trimisă departamentului educațional și metodologic. Dacă condițiile sarcinilor sunt neclare și când apar dificultăți în rezolvarea problemelor, este necesar să consultați elevul cu profesorul principal. Dacă lucrarea rezolvată nu este creditată, elevul trebuie să elimine comentariile și să treacă testul pentru re-revizuire.
REGULI PENTRU ÎNREGISTRAREA MUNCII
Pagina de titlu a caietului trebuie să conțină numele disciplinei, numele facultății, cursul, prenumele, numele, patronimicul.
La începutul lucrării sau pe pagina de titlu, ar trebui indicate numerele sarcinilor finalizate în sarcina de control.
Înainte de a rezolva fiecare problemă, trebuie să notați în întregime starea acesteia. Soluția problemelor ar trebui să includă calcule detaliate și explicații scurte, o analiză economică a rezultatelor obținute. La sfârșitul testului, furnizați o listă de literatură folosită și puneți-vă semnătura.
Sarcina numărul 1
Construiți un model economic și matematic pentru determinarea structurii mâncărurilor într-o întreprindere de alimentație publică care să asigure un profit maxim pe baza standardelor specificate pentru costul produselor pentru cursurile I și II, prezentate în tabelul următor 1.
Datele pentru sarcini trebuie selectate din Tabelul 2 prin primele litere ale numelui, numelui și patronimicului elevului. De exemplu, un student Nikolai Sergeevich Kornienko trebuie să rezolve o problemă cu datele a 11 \u003d 2, a 12 \u003d 3, a 21 \u003d 2, a 23 \u003d 13, a 31 \u003d 6, a 32 \u003d 7, a 33 \u003d 8, a 41 \u003d 9, a 42 \u003d 6, a 44 \u003d 4, a 54 \u003d 19, b 1 \u003d 450, b 2 \u003d 310, b 3 \u003d 410, b 4 \u003d 315, b 5 \u003d 400, c 1 \u003d 89, c 2 \u003d 41, c 3 \u003d 50.
Scheme matematice pentru sisteme de modelare
Pro și contra ale simulării
Principalul demnitate modelare de simulare în studiul sistemelor complexe:
· Capacitatea de a explora caracteristicile procesului de funcționare a sistemului S în orice condiții;
· Datorită utilizării unui computer, durata testelor este redusă semnificativ în comparație cu un experiment la scară completă;
· Rezultatele testelor la scară completă ale unui sistem real sau ale părților sale pot fi utilizate pentru simulare;
· Flexibilitatea de a varia structura, algoritmii și parametrii sistemului modelat atunci când se caută versiunea optimă a sistemului;
· Pentru sistemele complexe - aceasta este singura metodă practic realizabilă pentru studierea procesului de funcționare a sistemelor.
Principalul limitări modelare de simulare:
· Pentru o analiză completă a caracteristicilor procesului de funcționare a sistemului și căutarea opțiunii optime, este necesară reproducerea experimentului de simulare de mai multe ori, variind datele inițiale ale problemei;
· Cheltuieli mari de timp pe calculator.
Eficacitatea modelării mașinilor.La simulare, este necesar să se asigure eficiența maximă a modelului de sistem. Eficienţă definită de obicei ca o diferență între o anumită măsură a valorii rezultatelor obținute în timpul funcționării modelului și costurile care au fost investite în dezvoltarea și crearea acestuia.
Eficacitatea modelării simulării poate fi evaluată prin mai multe criterii:
Precizia și fiabilitatea rezultatelor simulării,
Timpul de construire și de lucru cu modelul M,
Cheltuielile cu resursele mașinii (timp și memorie),
· Costul dezvoltării și operării modelului.
Cea mai bună măsură a eficacității este o comparație a rezultatelor obținute cu studii reale. Folosind o abordare statistică, cu un anumit grad de precizie (în funcție de numărul de realizări ale unui experiment de mașină), se obțin caracteristici medii ale comportamentului sistemului.
Cheltuirea totală a timpului computerului constă în timpul de intrare și ieșire pentru fiecare algoritm de simulare, timpul pentru efectuarea operațiilor de calcul, luând în considerare accesul la RAM și dispozitive externe, precum și complexitatea fiecărui algoritm de simulare și planificarea experimentelor.
Scheme matematice.Model matematicEste un set de obiecte matematice (numere, variabile, seturi, vectori, matrice etc.) și relațiile dintre ele, care reflectă în mod adecvat proprietățile fizice ale obiectului tehnic creat. Se numește procesul de formare a unui model matematic și de utilizare a acestuia pentru analiză și sinteză modelarea matematică.
Când se construiește un model matematic al sistemului, este necesar să se rezolve problema exhaustivității sale. Completitudinea modelului este reglementată în principal de alegerea „sistemului de graniță” S - Miercuri E". De asemenea, problema simplificării modelului ar trebui rezolvată, ceea ce ajută la evidențierea, în funcție de scopul modelării, a principalelor proprietăți ale sistemului, aruncându-le pe cele secundare.
În tranziția de la o descriere semnificativă la o descriere formală a procesului de funcționare a sistemului, ținând cont de impactul mediului extern, se aplică schema matematică ca verigă în lanțul „model descriptiv - schemă matematică - model matematic (analitic și / sau de simulare)”.
Model formal al obiectului. Model de obiecte (sisteme S) poate fi reprezentat ca un set de mărimi care descriu procesul de funcționare a unui sistem real:
Un set de influențe de intrare asupra sistemului
x i \u003d X, i \u003d;
Un set de influențe de mediu
v j = V, j= ;
Un set de parametri interni (intrinseci) ai sistemelor
h k \u003d H, k \u003d;
Set de caracteristici de ieșire ale sistemului
y j \u003d Y, j \u003d.
În general x i, v j, h k, y j sunt elemente ale subseturilor disjuncte și conțin atât componente deterministe, cât și componente stochastice.
Influențe de intrare, influențe de mediu E iar parametrii interni ai sistemului sunt independent (exogen) variabile, care în formă vectorială au, respectiv, forma ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t), iar caracteristicile de ieșire sunt dependent (endogen) variabilele și în formă vectorială au forma: ( t) = (la 1 (t), la 2 (t), …, la nY(t)). Puteți face distincție între variabile gestionate și variabile ne gestionate.
Procesul de operare a sistemului S descris în timp de operator F S, care transformă variabilele exogene în endogene în conformitate cu relațiile formei
(t) = F S(,,, t). (2.1)
Setul de dependențe ale caracteristicilor de ieșire ale sistemului la timp y j(t) pentru toate tipurile j \u003dnumit traiectoria de ieșire (t). Dependența (2.1) se numește legea funcționării sistemului F S, care este specificat sub forma unei funcții, condiții funcționale, logice, în forme algoritmice, tabulare sau sub forma unei reguli de potrivire verbală. Algoritm de funcționare A S se numește metoda de obținere a caracteristicilor de ieșire luând în considerare influențele de intrare ( t), influențele de mediu ( t) și parametrii proprii ai sistemului ( t). Aceeași lege a funcționării F S sisteme S poate fi implementat în diferite moduri, adică folosind mulți algoritmi de funcționare diferiți LA FEL DE.
Se numesc modele matematice dinamic(2.1) dacă relațiile matematice descriu comportamentul obiectului (sistemului) de modelare în timp t, adică reflectă proprietățile dinamice.
Pentru staticmodele, un model matematic este o mapare între două subseturi ale proprietăților unui obiect modelat Da și ( X, V, H) la un moment dat, care în formă vectorială poate fi scris ca
= f(, , ). (2.2)
Relațiile (2.1) și (2.2) pot fi specificate în diferite moduri: analitic (folosind formule), grafic, tabelar etc. Aceste relații pot fi obținute prin proprietățile sistemului S în momente specifice din timp, numite state. Starea sistemului Scaracterizată prin vectori
" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) și "" = (z "" 1 , z "" 2 , ..., Z "" k),
unde z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") în moment t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") în moment t ""Î ( t 0 , T) etc. k \u003d.
Dacă luăm în considerare procesul de funcționare a sistemului S ca o schimbare secvențială a stărilor z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), atunci ele pot fi interpretate ca coordonatele unui punct din k-dimensional spațiul de fază... Mai mult, fiecare implementare a procesului va corespunde unei anumite traiectorii de fază. Se numește setul tuturor valorilor posibile ale stărilor () spațiul de stat obiect al modelării Z, și
z kÎ Z.
Stările sistemului S pentru moment t 0 < t * £ T sunt complet determinate de condițiile inițiale 0 \u003d ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Unde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], acțiuni de intrare ( t), parametrii interni ( t) și efectele mediului extern ( t) care a avut loc în intervalul de timp t * – t 0, folosind două ecuații vectoriale
(t) \u003d Ф (0 ,,,, t); (2.3)
(t) \u003d F (, t). (2.4)
Prima ecuație pentru starea inițială 0 și variabile exogene ,, determină funcția vectorială ( t), iar al doilea în funcție de valoarea obținută a stărilor ( t) Sunt variabile endogene la ieșirea sistemului ( t). Astfel, lanțul de ecuații al obiectului „intrare - stări - ieșire” vă permite să determinați caracteristicile sistemului
(t) \u003d F [Ф (0 ,,,, t)]. (2.5)
În general, timpul din modelul sistemului S poate fi luat în considerare pe intervalul de modelare (0, T) atât continuu, cât și discret, adică cuantificat în segmente de lungime D t unități de timp fiecare când T = mD tUnde m = - numărul de intervale de eșantionare.
Astfel, sub model matematicobiect (sistem real) înțelege un subset finit de variabile (( t), (t), (t)) împreună cu conexiunile matematice dintre ele și caracteristici ( t).
Dacă descrierea matematică a obiectului de modelare nu conține elemente aleatorii sau nu sunt luate în considerare, adică dacă putem presupune că în acest caz efectele stocastice ale mediului extern ( t) și parametrii interni stochastici ( t) sunt absente, apoi se numește modelul determinat în sensul că caracteristicile sunt determinate în mod unic de intrări deterministe
(t) = f(, t). (2.6)
Evident, modelul determinist este un caz special al modelului stochastic.
Scheme matematice tipice.În practica modelării obiectelor în domeniul ingineriei sistemelor și analizei sistemelor, la etapele inițiale ale cercetării sistemelor, este mai rațional să se utilizeze scheme matematice tipice: ecuații diferențiale, automate finite și probabiliste, sisteme de așteptare, plase Petri, sisteme agregate etc.
Schemele matematice tipice au avantajele simplității și clarității. Ecuațiile diferențiale, integrale, integro-diferențiale și alte ecuații sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care funcționează în timp continuu ca modele deterministe, când factorii aleatori nu sunt luați în considerare în studiu, iar automatele finite și schemele de diferență finită sunt utilizate pentru a reprezenta sistemele care operează timp discret. Automatele probabile sunt utilizate ca modele stocastice (luând în considerare factorii aleatori) pentru a reprezenta sisteme cu timp discret, iar sistemele de așteptare sunt utilizate pentru a reprezenta sisteme cu timp continuu. Rețelele Petri sunt utilizate pentru a analiza relațiile cauză-efect în sisteme complexe, unde mai multe procese au loc simultan. Pentru a descrie comportamentul sistemelor continue și discrete, deterministe și stochastice (de exemplu, ASOIU), se poate aplica o abordare generalizată (universală) bazată pe un sistem agregat. Într-o descriere agregată, un obiect complex (sistem) este împărțit într-un număr finit de părți (subsisteme), menținând în același timp conexiunile care asigură interacțiunea părților.
Astfel, atunci când se construiesc modele matematice ale proceselor de funcționare a sistemelor, se pot distinge următoarele abordări principale: continuu-determinist ( D-scheme); discret-determinist ( F-scheme); stocastic discret ( R-scheme); continuu-stocastic ( Î-scheme); rețea ( N-scheme); generalizat sau universal ( și-scheme).
2.2. Modele deterministe continuu ( D-scheme)
Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile abordării continuiste-deterministe folosind exemplul utilizării ecuațiilor diferențiale ca modele matematice. Ecuatii diferentiale astfel de ecuații sunt numite în care funcțiile uneia sau mai multor variabile sunt necunoscute, iar ecuația include nu numai funcții, ci și derivatele lor de diferite ordine. Dacă funcțiile necunoscute ale mai multor variabile, atunci ecuațiile sunt numite ecuații diferențiale parțiale, altfel, atunci când se ia în considerare o funcție a unei variabile independente, ecuațiile sunt numite ecuații diferențiale obișnuite.
Relația matematică generală pentru sistemele deterministe (2.6) va fi
" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)
unde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) și \u003d ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-vectori dimensionali; (, t) Este o funcție vectorială care este definită pe unele ( n+1) -dimensional (, t) setat și este continuu.
Se numesc scheme matematice de acest fel Schemele D (eng. dinamic), reflectă dinamica sistemului în studiu, iar timpul servește de obicei ca o variabilă independentă de care depind funcțiile necunoscute necunoscute t.
În cel mai simplu caz, o ecuație diferențială obișnuită are forma:
y "(t) = f(y, t). (2.8)
Luați în considerare cel mai simplu exemplu de formalizare a procesului de funcționare a două scheme elementare de natură diferită: mecanică S M (oscilația pendulului, fig. 2.1, și) și electrică S K (circuit oscilator, Fig. 2.1, b).
Smochin. 2.1. Sisteme elementare
Procesul micilor oscilații ale pendulului este descris prin ecuația diferențială obișnuită
m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,
unde m M, l M este masa și lungimea suspensiei pendulului; g - accelerarea gravitației; F(t) Este unghiul de deviere a pendulului la momentul respectiv t.
Din această ecuație de oscilație liberă a pendulului, se pot găsi estimări ale caracteristicilor de interes. De exemplu, perioada de oscilare a unui pendul
T M \u003d 2p.
În mod similar, procesele dintr-un circuit oscilator electric sunt descrise prin ecuația diferențială obișnuită
L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) \u003d 0,
unde L K, C K - inductanța și capacitatea condensatorului; q(t) Este încărcarea condensatorului în momentul de timp t.
Din această ecuație, puteți obține diverse estimări ale caracteristicilor procesului în circuitul oscilator. De exemplu, perioada oscilațiilor electrice
T M \u003d 2p.
Evident, introducerea notației h 2 = m M l M 2 \u003d L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M \u003d 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), obținem o ecuație diferențială de ordinul doi care descrie comportamentul acestui sistem închis:
h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)
unde h 0 , h 1 , h 2 - parametrii sistemului; z(t) Este starea sistemului în acest moment
timp t.
Astfel, comportamentul acestor două obiecte poate fi investigat pe baza modelului matematic general (2.9). În plus, trebuie remarcat faptul că comportamentul pendulului (sistem S M) poate fi studiat folosind un circuit oscilator electric (sistem S LA).
Dacă sistemul în studiu S (pendul sau contur) interacționează cu mediul extern E, apoi apare acțiunea de introducere x(t) (forța externă pentru pendul și sursa de energie pentru circuit), și modelul continuu-determinist al unui astfel de sistem va avea forma:
h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)
Din punctul de vedere al modelului matematic general (a se vedea clauza 2.1) x(t) este acțiunea de intrare (control) și starea sistemului S în acest caz, poate fi considerat ca o caracteristică de ieșire, adică variabila de ieșire se potrivește cu starea sistemului la un moment dat y = z.
Aplicații posibile D-scheme... Pentru a descrie sistemele de control liniar, ca orice sistem dinamic, ecuațiile diferențiale neomogene au coeficienți constanți
unde ,,…, - funcția necunoscută a timpului și a derivatelor sale; și sunt funcții cunoscute.
Folosind, de exemplu, pachetul software VisSim conceput pentru simularea proceselor în sistemele de control care pot fi descrise prin ecuații diferențiale, simulăm soluția unei ecuații diferențiale neomogene obișnuite
unde este o funcție necesară a timpului pe un interval cu condiții inițiale zero, luăm h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:
Reprezentând ecuația dată în raport cu cea mai mare dintre derivate, obținem ecuația
care poate fi modelat folosind un set de blocuri de construcție ale pachetului VisSim: blocuri aritmetice - Câștig (înmulțire cu o constantă), Sumare-joncțiune (sumator); blocuri de integrare - Integrator (integrare numerică), Funcție de transfer (setarea unei ecuații reprezentate ca funcție de transfer); blocuri pentru setarea semnalelor - Const (constantă), Step (funcție de unitate sub forma unui "pas"), Ramp (semnal cu creștere liniară); blocuri de recepție a semnalului - Grafic (afișare în domeniul timp al semnalelor care sunt analizate de cercetător în timpul simulării).
În fig. 2.2 prezintă o reprezentare grafică a acestei ecuații diferențiale. Intrarea integratorului din stânga corespunde unei variabile, intrarea integratorului din mijloc - și intrarea integratorului din dreapta -. Ieșirea celui mai drept integrator corespunde variabilei y.
A fost descris un caz particular al sistemelor dinamice D-schemele sunt sisteme de control automat(SPG) și reglementare(SAR). Un obiect real este prezentat sub forma a două sisteme: control și controlat (obiect control). Structura unui sistem general de control automat multidimensional este prezentată în Fig. 2.3, unde este indicat endogen variabile: ( t) Este vectorul influențelor de intrare (master); ( t) Este vectorul influențelor deranjante; " (t) Este vectorul semnalelor de eroare; "" (t) - vectorul acțiunilor de control; exogen variabile: ( t) Este vectorul de stare al sistemului S; (t) Este un vector de variabile de ieșire, de obicei ( t) = (t).
Smochin. 2.2. Reprezentarea grafică a ecuației
Sistemul de control este un set de instrumente software și hardware care asigură realizarea unui obiectiv specific de către obiectul de control. Cât de precis atinge un obiect un anumit scop poate fi judecat (pentru un sistem unidimensional) de coordonatele de stare y(t). Diferența dintre cele date y fund ( t) și valabil y(t) legea schimbării variabilei controlate este o eroare de control " (t) = y fund ( t) – y(t). Dacă legea prescrisă a modificării mărimii controlate corespunde legii schimbării acțiunii de intrare (master), adică x(t) = y fund ( t), atunci " (t) = x(t) – y(t).
Sisteme pentru care erorile de control " (t) \u003d 0 sunt apelate în orice moment ideal... În practică, implementarea sistemelor ideale este imposibilă. Sarcina sistemului de control automat este schimbarea variabilei y(t) conform unei legi date cu o anumită precizie (cu o eroare acceptabilă). Parametrii sistemului trebuie să asigure precizia de control necesară, precum și stabilitatea sistemului în procesul tranzitoriu. Dacă sistemul este stabil, atunci analizați comportamentul sistemului în timp, abaterea maximă a variabilei controlate y(t) în procesul tranzitoriu, timpul procesului tranzitoriu etc. Ordinea ecuației diferențiale și valoarea coeficienților acesteia sunt complet determinate de parametrii statici și dinamici ai sistemului.
Smochin. 2.3. Structura sistemului de control automat:
УC - sistem de control; OU - obiect de control
Deci folosind D-scheme vă permite să formalizați procesul de funcționare a sistemelor continuu deterministe S și să evalueze principalele caracteristici ale acestora utilizând o abordare analitică sau de simulare, implementată sub forma unui limbaj adecvat pentru modelarea sistemelor continue sau folosind facilități de calcul analogice și hibride.
2.3. Modele discret-deterministe ( F-scheme)
Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile abordării discrete-deterministe folosind exemplul utilizării teoriei automatelor ca aparat matematic. Sistemul este reprezentat sub forma unui automat ca un dispozitiv cu semnale de intrare și ieșire care procesează informații discrete și își schimbă stările interne doar la momente acceptabile. Mașină de stat se numește un automat, în care seturile de stări interne, semnale de intrare și ieșire sunt seturi finite.
Abstracte automate finite pot fi reprezentate ca o schemă matematică ( F-schemă), caracterizată prin șase elemente: un set finit X semnale de intrare (alfabet de intrare); set finit Da semnale de ieșire (alfabet de ieșire); set finit Z stări interne (alfabet intern sau alfabet de stări); stare initiala z 0 , z 0 Î Z; funcția de tranziție j ( z, x); funcția de ieșire y ( z, x). Set automat de mașini F-sistem: F = á Z, X, Da, y, j, z 0 ñ, funcționează în timp discret, ale cărui momente sunt ceasuri, fiecare dintre ele corespunzând valorilor constante ale semnalelor de intrare și ieșire și ale stărilor interne. Notăm starea, precum și semnalele de intrare și ieșire corespunzătoare t-al ceasul la t\u003d 0, 1, 2, ..., până la z(t), x(t), y(t). Mai mult, conform condiției z(0) = z 0 și z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Da.
O mașină de stare abstractă are un canal de intrare și unul de ieșire. În fiecare moment t\u003d 0, 1, 2, ... timp discret F-mașina se află într-o anumită stare z(t) din set Z stările automatului și în momentul inițial al timpului t\u003d 0 este întotdeauna în starea inițială z(0) = z 0. În acest moment tfiind capabil z(t), automatul este capabil să perceapă semnalul de pe canalul de intrare x(t)Î X și emite semnalul pe canalul de ieșire y(t) =
y [ z(t), X(t)], trecând la starea z ( t+1) =
j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Da... O mașină de stare finită abstractă implementează o cartografiere a setului de cuvinte din alfabetul de intrare Xpe o mulțime de cuvinte de weekend
alfabet Da... Cu alte cuvinte, dacă intrarea mașinii de stare setată la starea inițială z 0, furnizează litere ale alfabetului de intrare într-o anumită succesiune x(0), x(1), x(2), ..., adică cuvântul introdus, apoi literele alfabetului de ieșire vor apărea secvențial la ieșirea mașinii y(0), y(1), y(2), ..., formând un cuvânt de ieșire.
Astfel, lucrarea mașinii de stat are loc conform următoarei scheme: în fiecare t-al ceasul la intrarea mașinii în stare z(t), este dat un semnal x(t), la care reacționează cu tranziția ( t+1) al ceasului în noua stare z(t+1) și oferind un semnal de ieșire. Cele de mai sus pot fi descrise prin următoarele ecuații: pentru F-automaton de primul fel, numit și mile automate,
z(t+1) \u003d j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)
y(t) \u003d y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)
pentru F-automaton de al doilea fel
z(t+1) \u003d j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)
y(t) \u003d y [ z(t), x(t -1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)
Un automat de al doilea fel, pentru care
y(t) \u003d y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)
acestea. funcția de ieșire este independentă de variabila de intrare x(t) se numește pușca de asalt a lui Moore.
Astfel, ecuațiile (2.15) - (2.19), care definesc complet
F-automaton sunt un caz special de ecuații (2.3) și (2.4), când
sistem S - determinist și un semnal discret ajunge la singura sa intrare X.
Prin numărul de stări, se disting mașinile cu stări finite cu memorie și fără memorie. Automatele cu memorie au mai multe stări, iar automatele fără memorie (circuite combinaționale sau logice) au o singură stare. În acest caz, conform (2.16), funcționarea circuitului combinațional este aceea că acesta atribuie fiecărui semnal de intrare x(t) anumit semnal de ieșire y(t), adică implementează o funcție logică a formei
y(t) \u003d y [ X(t)], t= 0, 1, 2, … .
Această funcție se numește booleană dacă alfabetul X și Dade care aparțin valorile semnalului x și y, constă din două litere.
Prin natura numărării timpului discret, mașinile cu stare finită sunt împărțite în sincrone și asincrone. În sincron F-automatice orele la care automatul „citește” semnalele de intrare sunt determinate de semnale de sincronizare forțată. După următorul semnal de sincronizare, luând în considerare „citit” și în conformitate cu ecuațiile (2.15) - (2.19), are loc o tranziție la o nouă stare și se emite un semnal la ieșire, după care mașina poate percepe următoarea valoare a semnalului de intrare. Astfel, reacția mașinii la fiecare valoare a semnalului de intrare se termină într-un ciclu, a cărui durată este determinată de intervalul dintre semnalele de sincronizare adiacente. Asincron F- aparatul citește continuu semnalul de intrare și, prin urmare, răspunde la un semnal de intrare suficient de lung, cu o valoare constantă x, poate, după cum urmează de la (2.15) - (2.19), să schimbe starea de mai multe ori, dând numărul corespunzător de semnale de ieșire, până când intră într-unul stabil, care nu mai poate fi modificat de acest semnal de intrare.
Aplicații posibile F-scheme.Pentru a stabili finala F-automaton, este necesar să descrieți toate elementele setului F= <Z, X, Da, y, j, z 0\u003e, adică alfabetele de intrare, interne și de ieșire, precum și funcțiile de tranziții și ieșiri, iar între setul de stări este necesar să evidențiați starea z 0, în care automatul este în stare t\u003d 0. Există mai multe moduri de a seta jobul F-automatonii, dar cele mai frecvent utilizate sunt tabulare, grafice și matriciale.
În metoda tabelară, sunt setate tabele de tranziții și ieșiri, ale căror rânduri corespund semnalelor de intrare ale automatului, iar coloanele corespund stărilor sale. Prima coloană din stânga corespunde stării inițiale z 0. La intersecție eu-alea linie și k-a coloana a tabelului de tranziție, valoarea corespunzătoare j ( z k, x i) funcția tranzițiilor și în tabelul de ieșiri - valoarea corespunzătoare a y ( z k, x i) funcții de ieșire. Pentru F-Autom mai multe ambele tabele pot fi combinate.
Descrierea muncii F-Mile automate cu tabele de tranziții j și ieșiri y este ilustrată în Tabel. 2.1 și descrierea F- Automatul lui Moore - după tabelul de tranziție (Tabelul 2.2).
Tabelul 2.1
| X i | z k | |||
| z 0 | z 1 | … | z k | |
| Tranziții | ||||
| x 1 | j ( z 0 , x 1) | j ( z 1 , x 1) | … | j ( z k, X 1) |
| x 2 | j ( z 0 , x 2) | j ( z 1 , x 2) | … | j ( z k, X 2) |
| … | … | … | … | … |
| x i | j ( z 0 , x i) | j ( z 1 , x i) | … | j ( z k, x i) |
| Ieșiri | ||||
| x 1 | y ( z 0 , x 1) | y ( z 1 , x 1) | … | y ( z k, x 1) |
| x 2 | y ( z 0 , x 2) | y ( z 1 , x 2) | … | y ( z k, x 2) |
| … | … | … | … | … |
| x i | y ( z 0 , x i) | y ( z 1 , x i) | … | y ( z k, x i) |
Tabelul 2.2
| x i | y ( z k) | |||
| y ( z 0) | y ( z 1) | … | y ( z k) | |
| z 0 | z 1 | … | z k | |
| x 1 | j ( z 0 , x 1) | j ( z 1 , x 1) | … | j ( z k, x 1) |
| x 2 | j ( z 0 , x 2) | j ( z 1 , x 2) | … | j ( z k, x 2) |
| … | … | … | … | … |
| x i | j ( z 0 , x i) | j ( z 1 , x i) | … | j ( z k, x i) |
Exemple de moduri tabulare de setare F-Mile automate F1 sunt date în tabel. 2.3 și pentru F-mașină mai bună F2 - în tabel. 2.4.
Tabelul 2.3
| x i | z k | ||
| z 0 | z 1 | z 2 | |
| Tranziții | |||
| x 1 | z 2 | z 0 | z 0 |
| x 2 | z 0 | z 2 | z 1 |
| Ieșiri | |||
| x 1 | y 1 | y 1 | y 2 |
| x 2 | y 1 | y 2 | y 1 |
Tabelul 2.4
| Da | |||||
| x i | y 1 | y 1 | y 3 | y 2 | y 3 |
| z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 | |
| x 1 | z 1 | z 4 | z 4 | z 2 | z 2 |
| x 2 | z 3 | z 1 | z 1 | z 0 | z 0 |
În modul grafic de definire a unei mașini cu stări finite, se utilizează conceptul de grafic direcționat. Graficul automat este un set de vârfuri care corespund diferitelor stări ale automatului și care leagă vârfurile arcurilor grafice corespunzătoare anumitor tranziții ale automatului. Dacă semnalul de intrare x k provoacă o tranziție de la stat z i intr-o stare z j, apoi pe graficul automatului există un arc care leagă vârful z icu top z j, notat x k... Pentru a seta funcția ieșirilor, arcurile grafice trebuie marcate cu semnalele de ieșire corespunzătoare. Pentru mașinile Mealy, acest marcaj se face după cum urmează: dacă semnalul de intrare x k acționează asupra statului z i, apoi primim un arc de ieșire din z i și marcat x k; acest arc este marcat suplimentar cu un semnal de ieșire y\u003d y ( z i, x k). Pentru un automat Moore, un marcaj similar al graficului este următorul: dacă semnalul de intrare x k, acționând asupra unei anumite stări a automatului, provoacă o tranziție la starea z j, apoi arcul îndreptat către z i și marcat x k, sărbătorește în plus weekendul
semnal y\u003d y ( z j, x k).
În fig. 2.4. și, b dat mai devreme în tabele F-Machine de mile F1 și Moore F2 respectiv.
Smochin. 2.4. Grafice automate a - Mile și b - Moore
Pentru o atribuire matricială a unui automat finit, matricea conexiunilor automatului este pătrată DIN=||cu ij||, rândurile corespund stărilor inițiale, iar coloanele corespund stărilor de tranziție. Element cu ij = x k/y sstând la intersecție
eu-alea linie și j-a coloană, în cazul automatului Miles corespunde semnalului de intrare x kprovocând tranziția de la stat z i intr-o stare z j, și semnalul de ieșire y sgenerat de această tranziție. Pentru aparatul Miles F1, considerată mai sus, matricea compușilor are forma:
x 2 / y 1 – x 1 / y 1
C 1 = x 1 / y 1 – x 2 / y 2 .
x 1 / y 2 x 2 /y 1 –
Dacă trecerea de la stat z i intr-o stare z j apare sub acțiunea mai multor semnale, elementul matrice c ij este un set de perechi intrare-ieșire pentru această tranziție, conectate printr-un semn de disjuncție.
Pentru F-element mașină mai ușor cu ij este egal cu setul de semnale de intrare la tranziție ( z i, z j), iar ieșirea este descrisă de un vector de ieșiri
= y ( z k) ,
eu-a a doua componentă a acestuia este semnalul de ieșire care indică starea z i.
Pentru cele de mai sus F-mașină mai bună F2 matricea conexiunilor și vectorul de ieșiri sunt de forma:
– X 1 – X 2 – la 1
– X 2 – – X 1 la 1
C 2 = – X 2 – – X 1 ; \u003d y 3
x 2 – X 1 – – la 2
x 2 – X 1 – – la 3
Pentru automatele deterministe, condiția unicității tranzițiilor este îndeplinită: un automat într-o anumită stare nu poate merge în mai multe stări sub acțiunea oricărui semnal de intrare. Aplicat modului grafic de setare F-automaton, aceasta înseamnă că două sau mai multe muchii marcate cu același semnal de intrare nu pot ieși din niciun vârf în graficul automat. Și în matricea conexiunilor mașinii DIN orice semnal de intrare nu trebuie să apară de mai multe ori pe fiecare linie.
Pentru F-stare automată z k numit durabil, dacă pentru orice intrare x i ÎXpentru care j ( z k, x i) \u003d z k,j ( z k,x i) \u003d y k. F-mașina se numește asincron, dacă fiecare stat al său z k ÎZ constant.
Astfel, conceptul din abordarea discret-deterministă a studierii proprietăților obiectelor pe modele este o abstractizare matematică, convenabilă pentru descrierea unei clase largi de procese de funcționare a obiectelor reale în sisteme de control automatizate. Prin F-automatul poate descrie obiecte care se caracterizează prin prezența unor stări discrete și natura discretă a muncii în timp - acestea sunt elemente și noduri ale unui computer, dispozitive de control, reglare și control, sisteme de comutare a timpului și spațiului în tehnologia schimbului de informații , etc.
2.4. Modele stocastice discrete ( R-scheme)
Relații de bază... Să luăm în considerare caracteristicile construirii schemelor matematice cu o abordare discret-stocastică pe automatele probabiliste (stocastice). În general automat probabilistic
Schemele R (Automatul probabijistic în limba engleză) poate fi definit ca un convertor discret de informații seriale cu memorie, a cărui funcționare în fiecare ciclu depinde doar de starea memoriei din acesta și poate fi descrisă statistic.
Să introducem conceptul matematic R-automaton, folosind conceptele introduse pentru F-automat. Luați în considerare setul G, ale căror elemente sunt toate perechile posibile ( x i, z s), Unde x i și z s - elemente ale subsetului de intrare X și, respectiv, subseturi de stări Z. Dacă există două astfel de funcții j și y, acestea sunt utilizate pentru a efectua mapări G®Z și G®Y, apoi spun asta F =
Să luăm în considerare o schemă matematică mai generală. Lasa
Ф - setul tuturor perechilor posibile ale formularului ( z k, y i), Unde eu- elementul subsetului de ieșire Da... Cerem ca orice element al setului G a indus pe platou Ф unele legi de distribuție de următoarea formă:
Unde b kj \u003d 1, unde b kj- probabilitățile de trecere a automatului la stare z k și apariția semnalului la ieșire y jdacă era în stare z s iar la intrarea sa în acest moment a fost primit semnalul x i... Numărul acestor distribuții prezentate sub formă de tabele este egal cu numărul de elemente ale setului G... Notăm setul acestor tabele cu B. Apoi cele patru elemente P \u003d
(R-automat).
Aplicații posibile P-scheme.Lasă elementele setului G induce unele legi de distribuție pe subseturi Dași Z, care poate fi reprezentat, respectiv, sub forma:
Unde z k \u003d 1 și q j \u003d 1, unde z kși q j - probabilități de tranziție
R-mașină automată în stare z k și apariția semnalului de ieșire y k cu conditia ca
R z s iar intrarea sa a primit un semnal de intrare x i.
Dacă pentru toată lumea kși jrelația se menține q j z k \u003d b kj, atunci asemenea
R-mașina se numește automatul probabilistic al lui Miles... Această cerință înseamnă îndeplinirea condiției de independență a distribuțiilor pentru noul stat R-aparatul automat și semnalul de ieșire al acestuia.
Acum lăsați definiția semnalului de ieșire R-automatul depinde doar de starea în care automatul se află într-un ciclu de lucru dat. Cu alte cuvinte, lăsați fiecare element al subsetului de ieșire Da induce o distribuție de probabilitate a rezultatelor, care are următoarea formă:
Aici s i \u003d 1, unde s i - probabilitatea apariției semnalului de ieșire y i la lacuvinte și asta R-mașina era într-o stare z k.
Dacă pentru toată lumea k și eurelația se menține z k s i = b ki atunci asemenea
R-mașina se numește automatul probabilistic al lui Moore. Concept
R-Automatele lui Miley și Moore sunt introduse prin analogie cu deterministul
F-automat. Un caz special R-automat definit ca P=
R-automatonul este determinat deterministic, apoi se numește un astfel de automat
Da-... În mod similar,
Z-automat probabilist determinist numit R-automaton, în care alegerea unei noi stări este deterministă.
Exemplul 2.1.Să fie dat Da-determinat P-mașinărie
În fig. 2.5 prezintă un grafic de tranziție direcționat al acestui automat. Vârfurile graficului sunt asociate cu stările automatului, iar arcele sunt asociate cu posibile tranziții de la o stare la alta. Arcurile au greutăți corespunzătoare probabilităților de tranziție p ij, iar valorile semnalelor de ieșire induse de aceste stări sunt scrise lângă vârfurile graficului. Este necesar să se estimeze probabilitățile finale totale de a rămâne la acest nivel P-automaton în state z 2 și z 3 .
Smochin. 2.5. Graficul automat al probabilității
Folosind abordarea analitică, se pot scrie relațiile cunoscute din teoria lanțurilor Markov și se poate obține un sistem de ecuații pentru determinarea probabilităților finale. În acest caz, starea inițială z 0 poate fi ignorat, deoarece distribuția inițială nu afectează valorile probabilităților finale. Atunci noi avem
unde cu k - probabilitatea finală de ședere R- mașină automată capabilă z k.
Obținem sistemul de ecuații
Adăugăm la aceste ecuații condiția de normalizare din 1 + din 2 + din 3 + din 4 \u003d 1. Apoi, rezolvând sistemul de ecuații, obținem din 1 = 5/23, din 2 = 8/23, din 3 = 5/23,
din 4 \u003d 5/23. Prin urmare, din 2 + din 3 \u003d 13/23 \u003d 0,5652. Cu alte cuvinte, cu munca nesfârșită dată în acest exemplu Da-determinat
R-automaton la ieșirea sa se formează o secvență binară cu probabilitatea apariției unuia egală cu 0,5652.
Similar R-mașinile automate pot fi utilizate ca generatoare de secvențe Markov, care sunt necesare în construcția și implementarea proceselor de funcționare a sistemelor S sau influențe de mediu E.
2.5. Modele stocastice continue ( Î-scheme)
Relații de bază... Vom lua în considerare caracteristicile abordării continuo-stochastice folosind exemplul matematic tipic Q-scheme - sisteme de așteptare (Sistemul englezesc de așteptare).
Ca proces de service, pot fi reprezentate diverse procese de natură fizică a funcționării sistemelor economice, de producție, tehnice și de altă natură, de exemplu: fluxuri de aprovizionare cu produse către o anumită întreprindere, fluxuri de piese și componente pe linia de asamblare a unui atelier , solicitări de prelucrare a informațiilor computerului de la terminale la distanță etc. În acest caz, o trăsătură caracteristică a funcționării unor astfel de obiecte este apariția aleatorie a revendicărilor (cerințelor) pentru întreținere și finalizarea întreținerii la momente aleatorii, adică natura stochastică a procesului de funcționare a acestora.
Prin fluxul evenimentelor{!LANG-453c6c6c14e2a88ecb95fc9723bc9d77!} {!LANG-260e4ea381f1c5a1ba15a860405f002b!} numit {!LANG-0dfde505f10e2b940754eba12a8c66b3!}{!LANG-f4089d78e10d498b39c1bef4e2cbcf97!} {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}} = {0 £ t{!LANG-44530dc9a0ff63f4ac397ad2a1744bc9!} t 2 ... £ {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}£ … }, unde {!LANG-da7257c71478ce3f899e16c447b4bf2a!}{!LANG-d02bb0670e0de4307ccd263458542269!} {!LANG-c5b946d86fd83c9e1e9119f86cef4a5a!}{!LANG-da803d506e899481417141e75f2c2e7f!} {!LANG-c5b946d86fd83c9e1e9119f86cef4a5a!}{!LANG-ad3816848a25bc3e61215e95963051f0!} {!LANG-14b52c5b2a13bbad7641178824859ba4!} {!LANG-ac3153c52c792d635f076e16fe8854a6!}{!LANG-cf088bbc9ca15502b508f43f990ef962!} {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}} , {!LANG-8f213c40111a30d1455f31a4ceabe5a6!} {!LANG-e2bc9287234671aa2e2cbeae18d24d61!}– {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!} -1 ,{!LANG-6d720221c234fc924768fa0d40162c79!}{!LANG-6292b7a0a78097a32519be8fc2c99e57!} t 0 = 0, {!LANG-6ec65e330db97021f80cf2f9a97cd3c2!} {!LANG-d4997b390ee93458895b3ae0dac3cf06!} 1 . {!LANG-7b46833c5a301af29898e8cde2675e70!}{!LANG-c565bde83308e61922033b611c1dbbdb!} {!LANG-ad96f8b55bdce5648013a92f9e07969e!}} , {!LANG-6df371e5f90fee66d383035e6eeba4db!} {!LANG-da7257c71478ce3f899e16c447b4bf2a!}{!LANG-c6a9e01b3d1dd7dd1f374fd87c4330b3!} {!LANG-39a7aec265e6b78dbfea3c61014ddc21!}{!LANG-edb151f3795e53b18078fb059b379077!}
{!LANG-3ed49398236fc183222a68a002ad2daf!} eu{!LANG-6767b985bb5c02d4ecdc70e0f3345efd!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-6c35d291a0fbafc3d9d39e58b7d86d93!} {!LANG-1e56dd54d72f526f9da6a73085ff7b09!}{!LANG-55d7724b2177ad4094d19b07fe6abfd9!} {!LANG-cae895538916d4fea76c87ea6562c8bb!}=
{!LANG-a61c371f1e1a6096d3280a136819bb9f!} {!LANG-7f36a80fb2bd577febd4a13488f60136!}–
{!LANG-e8a89fd064255a9da8422b0d91a6b9f1!}
eu{!LANG-322344407b6400456211ac893a630cfe!} {!LANG-57b661854b7d26ee22612850f3f4af3a!}{!LANG-0df5f3df8c0203e68dc221ca742260f9!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-b194b2af4522045a152bbd2e7c7ed2ca!} {!LANG-6e22408189175ba1901d513970116d71!}{!LANG-3d06854997c979944ed2576084aa3e3c!} {!LANG-33e8a6995b304cac74901f3e9c48c6f2!}{!LANG-8c6081644d30f8e7749d86940278aaf0!} {!LANG-34d863be684201b67479c3986462e854!}{!LANG-20d5d3ba9a167cdb591cdf06ec2a0507!} {!LANG-6ee87dade8cf8ed0867935f19a110ccd!}.
{!LANG-51563c90a01ec22473719f58b7749247!}
{!LANG-2bc45eb7c18b58d5243d6099f50a9eb1!} {!LANG-d1e89b0848a4b93410c7168132e1a8ab!}{!LANG-2830125ff8da3a9d747209c8c42900e6!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-2e6ce20838aec079752bdaaa17281fc5!} {!LANG-6e22408189175ba1901d513970116d71!}{!LANG-cd8a92a010cf5a0645a3505a70db9c76!} {!LANG-c7f139ae82dbca670d0b2e136f512386!}{!LANG-8d13b8f112d12c136b32a21d3aefff3d!}
{!LANG-53968bf81e9dc960dc195ad3ebb6a97a!} {!LANG-c885db56f43d3400fd2eb1f3a7d410ea!}{!LANG-eb1ab54ff415c3a0229686e6a938bf82!} {!LANG-f62966f577d94deb3104011f7f61ae04!}, {!LANG-993a96eb1cda057c9cfa42f840ae3a17!} {!LANG-6aecd1178e11c0b54a0458bda5c3d8c6!}{!LANG-4be5387c15c84649d8344d1f25aabfdc!}
{!LANG-8270487d8dd2f7e6f03e6d547a3f555a!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-60beaeb3bf1ba24da3d2916c0efd7eef!} z i(t). {!LANG-f99b691bf675844080e894c2579a41b5!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-887bb2c3168733f1ac3edb1fec167c0c!} {!LANG-f62966f577d94deb3104011f7f61ae04!}{!LANG-6d43f7904fcef63c3d66d6445b779a9d!} {!LANG-6e22408189175ba1901d513970116d71!}{!LANG-d2a6dd675744fd7b0aebf54007da5a5e!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-e3ca18ee1a85e339bafee9aa24d4de08!} , {!LANG-6df371e5f90fee66d383035e6eeba4db!} {!LANG-6edbbe24383374342ce5051c07bd6c0e!}{!LANG-08d2eb6ad56290a586c351068873021d!} {!LANG-6e22408189175ba1901d513970116d71!} ({!LANG-6edbbe24383374342ce5051c07bd6c0e!}{!LANG-87897b7ebd02a0a4cb72bd6dd4657001!} {!LANG-6edbbe24383374342ce5051c07bd6c0e!}{!LANG-b98d38a2ec2593597a57ad9cd86bd1a6!} {!LANG-6edbbe24383374342ce5051c07bd6c0e!} {!LANG-c4e4abcd0d892993d2d2dbc61ff8ac8d!} – {!LANG-21a604b1564fe22fc7d12e77525857ad!} {!LANG-355143a4a18debec455766ae284066c2!}{!LANG-c32ad48bcd0219e98e637b047f65884a!} {!LANG-c7e4ad15d7e72b7977dc1a5524a6a760!}{!LANG-c04a8b386da5ff27710000a295169e38!} {!LANG-68d6ac3af615dd223a9c2089acb33228!}{!LANG-7b2d0833ac58593346973f45e8d0b440!} {!LANG-f62966f577d94deb3104011f7f61ae04!}({!LANG-fb9af0fecd6c251563037f1df7d748ce!}0 – {!LANG-2e54c7d1fe25fd5f58a47ce875966fdb!} {!LANG-b1184c4d7b274494a51164cf9c053717!}{!LANG-b9ecb17a833aabcc4d728034d2fe1db0!}
Aplicații posibile Q-{!LANG-dc9b0b222bdb713e38c93616cb8ccf65!}{!LANG-ccc640cdcaf7d9999a17a95b40835c38!}
Q-{!LANG-7c568ed035516d828f42d8d3fa174b62!} ,
{!LANG-ec1afaafb113821af12ffef3da53f36b!} {!LANG-6dbcb3a48d238559603dcc3ef868aeff!}{!LANG-47576723955503fcefb11872e3e9690c!} {!LANG-f61106ef46f0dd11d717402f6e4d5030!}{!LANG-7f55943067859fd193b62dbdc33e773d!} {!LANG-1ce9783846b08573f6ebe3c91323bcbc!}{!LANG-4d4cb5ff795b582e6b1e674255f82be5!} ,
{!LANG-61ab600d618f1c6c603fe19e2cd9bb2c!} {!LANG-1232dfa11e3e5ee0198fdacc3952fe70!}{!LANG-a9f35feffaf3568944c617784145ce22!} {!LANG-39b53a124b33f6604783af44b61374e0!}{!LANG-4d4cb5ff795b582e6b1e674255f82be5!} .
{!LANG-c1e2fe67c10c5caf2a069be319f9a060!} Q-{!LANG-3f0f19c38cf61160b61761b978ab1dab!} {!LANG-485bdbacefe22344f6e78ca58a669242!}{!LANG-50ef01c5bd039eb19ee906df015ccf5a!}
