Probabilitas bahwa nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur terletak dalam interval tertentu disebut tingkat kepercayaan diri , atau faktor keandalan, dan intervalnya - selang kepercayaan.
Setiap tingkat kepercayaan memiliki interval kepercayaannya sendiri. Secara khusus, selang kepercayaan 0,67 berkorespondensi dengan selang kepercayaan dari hingga . Namun, pernyataan ini benar hanya untuk jumlah pengukuran yang cukup besar (lebih dari 10), dan probabilitas 0,67 tampaknya tidak cukup andal - kira-kira di masing-masing dari tiga rangkaian pengukuran. y mungkin berada di luar selang kepercayaan. Untuk mendapatkan keyakinan yang lebih besar bahwa nilai besaran yang diukur terletak di dalam interval kepercayaan, biasanya ditentukan dengan probabilitas kepercayaan 0,95 - 0,99. Interval kepercayaan untuk tingkat kepercayaan tertentu, dengan mempertimbangkan pengaruh jumlah pengukuran N dapat ditemukan dengan mengalikan standar deviasi rata-rata aritmatika
.
pada apa yang disebut koefisien Student. Koefisien siswa untuk rentang nilai dan N diberikan dalam tabel.
Tabel - Koefisien siswa
| Jumlah pengukuran n | Probabilitas kepercayaan y | |||
| 0,67 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 2,0 | 6,3 | 12,7 | 63,7 | |
| 1,3 | 2,4 | 3,2 | 5,8 | |
| 1,2 | 2,1 | 2,8 | 4,6 | |
| 1,2 | 2,0 | 2,6 | 4,0 | |
| 1,1 | 1,8 | 2,3 | 3,3 | |
| 1,0 | 1,7 | 2,0 | 2,6 |
Akhirnya, untuk kuantitas yang diukur y untuk tingkat kepercayaan tertentu y dan jumlah pengukuran N kondisi
Kami akan memanggil kuantitas kesalahan acak jumlah y.
Contoh: lihat kuliah nomor 5 - rangkaian angka.
Mari kita definisikan
Dengan jumlah pengukuran - 45 dan tingkat kepercayaan - 0,95, kita mendapatkan koefisien Siswa kira-kira sama dengan 2,15. Maka interval kepercayaan untuk rangkaian pengukuran ini adalah 62,6.
Merindukan (kesalahan besar) - kesalahan besar yang terkait dengan kesalahan operator atau pengaruh eksternal yang tidak diperhitungkan. Mereka biasanya dikeluarkan dari hasil pengukuran. Kesalahan biasanya disebabkan oleh kurangnya perhatian. Mereka juga dapat terjadi karena kerusakan perangkat.
Pada subbagian sebelumnya, kami mempertimbangkan pertanyaan untuk memperkirakan parameter yang tidak diketahui A satu nomor. Penilaian semacam itu disebut "poin". Dalam sejumlah tugas, diperlukan tidak hanya untuk menemukan parameter A nilai numerik yang sesuai, tetapi juga mengevaluasi keakuratan dan keandalannya. Diperlukan untuk mengetahui kesalahan apa yang dapat ditimbulkan oleh penggantian parameter A perkiraan titiknya A dan dengan tingkat kepercayaan apa kita dapat berharap bahwa kesalahan ini tidak akan melampaui batas yang diketahui?
Masalah semacam ini sangat relevan untuk sejumlah kecil pengamatan, saat estimasi titik dan masuk sebagian besar acak dan perkiraan penggantian a dengan a dapat menyebabkan kesalahan serius.
Untuk memberikan gambaran tentang keakuratan dan keandalan estimasi A,
dalam statistik matematika, yang disebut interval kepercayaan dan probabilitas kepercayaan digunakan.
Biarkan untuk parameternya A berasal dari estimasi pengalaman yang tidak bias A. Kami ingin memperkirakan kemungkinan kesalahan dalam kasus ini. Mari kita tentukan probabilitas p yang cukup besar (misalnya, p = 0,9, 0,95, atau 0,99) sedemikian rupa sehingga peristiwa dengan probabilitas p dapat dianggap pasti secara praktis, dan temukan nilai s yang
Kemudian kisaran nilai kesalahan yang mungkin terjadi saat penggantian A pada A, akan menjadi ± s; kesalahan absolut besar hanya akan muncul dengan probabilitas kecil a = 1 - p. Mari tulis ulang (14.3.1) sebagai:
Kesetaraan (14.3.2) berarti dengan probabilitas p nilai parameter yang tidak diketahui A jatuh dalam interval
Dalam hal ini, satu keadaan harus diperhatikan. Sebelumnya, kami berulang kali mempertimbangkan probabilitas variabel acak jatuh ke interval non-acak tertentu. Di sini situasinya berbeda: A tidak acak, tapi interval acak / r. Secara acak posisinya pada sumbu x, ditentukan oleh pusatnya A; secara umum, panjang interval 2s juga acak, karena nilai s biasanya dihitung dari data eksperimen. Oleh karena itu, dalam hal ini, akan lebih baik untuk menginterpretasikan nilai p bukan sebagai kemungkinan "memukul" titik tersebut A ke dalam interval / p, tetapi sebagai probabilitas bahwa interval acak / p akan menutupi titik tersebut A(Gbr. 14.3.1).
Beras. 14.3.1
Probabilitas p disebut tingkat kepercayaan diri, dan interval / p - selang kepercayaan. Batas interval jika. a x \u003d a- pasir a2 = a+ dan dipanggil batas kepercayaan.
Mari kita berikan interpretasi lain untuk konsep interval kepercayaan: ini dapat dianggap sebagai interval nilai parameter A, sesuai dengan data percobaan dan tidak bertentangan dengannya. Memang, jika kita setuju untuk mempertimbangkan suatu peristiwa dengan probabilitas a = 1-p secara praktis tidak mungkin, maka nilai parameter a yang A A> s harus diakui bertentangan dengan data eksperimen, dan data yang |a - A a t na 2 .
Biarkan untuk parameternya A ada estimasi yang tidak bias A. Jika kita tahu hukum distribusi kuantitas A, masalah menemukan interval kepercayaan akan cukup sederhana: cukup untuk menemukan nilai s yang mana
Kesulitannya terletak pada kenyataan bahwa hukum distribusi estimasi A bergantung pada hukum distribusi kuantitas X dan, akibatnya, pada parameternya yang tidak diketahui (khususnya, pada parameter itu sendiri A).
Untuk mengatasi kesulitan ini, seseorang dapat menerapkan trik perkiraan kasar berikut: ganti parameter yang tidak diketahui dalam ekspresi untuk s dengan perkiraan titiknya. Dengan jumlah percobaan yang relatif banyak P(sekitar 20 ... 30) teknik ini biasanya memberikan hasil yang memuaskan dalam hal akurasi.
Sebagai contoh, pertimbangkan masalah interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis.
Biarkan diproduksi P X, yang karakteristiknya adalah ekspektasi matematis T dan varians D- tidak dikenal. Untuk parameter ini, estimasi berikut diperoleh:
Diperlukan untuk membangun interval kepercayaan / р, sesuai dengan probabilitas kepercayaan р, untuk ekspektasi matematis T jumlah X.
Dalam memecahkan masalah ini, kami menggunakan fakta kuantitas T adalah jumlah P variabel acak terdistribusi identik independen X h dan menurut teorema limit pusat untuk cukup besar P hukum distribusinya mendekati normal. Dalam praktiknya, bahkan dengan jumlah suku yang relatif kecil (dari urutan 10 ... 20), hukum distribusi dari jumlah tersebut dapat dianggap normal. Kami akan menganggap bahwa nilai T didistribusikan menurut hukum normal. Karakteristik hukum ini - ekspektasi dan varian matematis - masing-masing adalah sama T Dan
(lihat bab 13 subbagian 13.3). Mari kita asumsikan nilainya D kita mengetahui dan menemukan nilai Ep yang mana
Menerapkan rumus (6.3.5) dari Bab 6, kami menyatakan probabilitas di sisi kiri (14.3.5) dalam bentuk fungsi distribusi normal
dimana adalah standar deviasi estimasi T.
Dari persamaan
cari nilai Sp: 
di mana arg Ф* (x) adalah fungsi invers dari Ф* (X), itu. nilai argumen yang sama dengan fungsi distribusi normal X.
Penyebaran D, melalui mana nilai dinyatakan A 1P, kami tidak tahu persis; sebagai nilai perkiraannya, Anda dapat menggunakan perkiraan tersebut D(14.3.4) dan kira-kira:
Dengan demikian, masalah membangun interval kepercayaan kira-kira diselesaikan, yang sama dengan:
di mana gp didefinisikan dengan rumus (14.3.7).
Untuk menghindari interpolasi terbalik dalam tabel fungsi Ф * (l) saat menghitung s p, akan lebih mudah untuk menyusun tabel khusus (Tabel 14.3.1), yang mencantumkan nilai kuantitas
tergantung r Nilai (p menentukan untuk hukum normal jumlah standar deviasi yang harus disisihkan ke kanan dan kiri pusat dispersi sehingga probabilitas jatuh ke area yang dihasilkan sama dengan p.
Melalui nilai 7 p, interval kepercayaan dinyatakan sebagai:
Tabel 14.3.1
Contoh 1. 20 percobaan dilakukan pada nilai X; hasilnya ditampilkan dalam tabel. 14.3.2.
Tabel 14.3.2
Diperlukan untuk menemukan perkiraan untuk ekspektasi matematis dari kuantitas X dan buat interval kepercayaan yang sesuai dengan tingkat kepercayaan p = 0,8.
Larutan. Kita punya:
Memilih untuk asal n: = 10, menurut rumus ketiga (14.2.14) kami menemukan estimasi yang tidak bias D :
Menurut tabel 14.3.1 kami temukan 
Batas kepercayaan:
Interval kepercayaan:
Nilai parameter T, terletak di interval ini kompatibel dengan data eksperimen yang diberikan dalam tabel. 14.3.2.
Dengan cara yang sama, interval kepercayaan dapat dibangun untuk varians.
Biarkan diproduksi P percobaan independen pada variabel acak X dengan parameter yang tidak diketahui dari dan A, dan untuk varians D estimasi yang tidak bias diperoleh:
Diperlukan kira-kira untuk membangun interval kepercayaan untuk varians.
Dari rumus (14.3.11) terlihat bahwa nilainya D mewakili
jumlah P variabel acak dari bentuk . Nilai-nilai ini tidak
independen, karena salah satu dari mereka termasuk kuantitas T, bergantung pada orang lain. Namun, dapat ditunjukkan bahwa sebagai P hukum distribusi jumlah mereka juga mendekati normal. Hampir pukul P= 20...30 sudah bisa dianggap normal.
Mari kita asumsikan memang demikian, dan temukan karakteristik hukum ini: ekspektasi dan varian matematis. Sejak skor D- tidak memihak, kalau begitu M[D] = D.
Perhitungan Varians DD dikaitkan dengan perhitungan yang relatif rumit, jadi kami memberikan ekspresinya tanpa derivasi:
dimana c 4 - momen sentral keempat dari kuantitas X.
Untuk menggunakan ungkapan ini, Anda perlu menggantinya dengan nilai 4 dan D(setidaknya perkiraan). Alih-alih D Anda dapat menggunakan evaluasi D. Pada prinsipnya, momen sentral keempat juga dapat diganti dengan perkiraannya, misalnya dengan nilai dalam bentuk:
tetapi penggantian seperti itu akan memberikan akurasi yang sangat rendah, karena secara umum, dengan jumlah percobaan yang terbatas, momen orde tinggi ditentukan dengan kesalahan besar. Namun dalam prakteknya sering terjadi bentuk hukum distribusi besaran X diketahui sebelumnya: hanya parameternya yang tidak diketahui. Kemudian kita dapat mencoba untuk menyatakan u4 dalam bentuk D.
Mari kita ambil kasus yang paling umum, ketika nilainya X didistribusikan menurut hukum normal. Kemudian momen sentral keempatnya dinyatakan dalam bentuk varians (lihat Bab 6 Subbagian 6.2);
dan rumus (14.3.12) memberi 
atau
Mengganti di (14.3.14) yang tidak diketahui D penilaiannya D, kita mendapatkan: dari mana 
Momen u 4 dapat dinyatakan dalam bentuk D juga dalam beberapa kasus lain, ketika distribusi kuantitas X tidak normal, tetapi penampilannya diketahui. Misalnya, untuk hukum kepadatan seragam (lihat Bab 5) kita memiliki: 
di mana (a, P) adalah interval di mana hukum diberikan.
Karena itu,
Menurut rumus (14.3.12) kita mendapatkan: 
dari mana kita menemukan kira-kira
Dalam kasus di mana bentuk hukum distribusi nilai 26 tidak diketahui, saat memperkirakan nilai a /) tetap disarankan untuk menggunakan rumus (14.3.16), jika tidak ada alasan khusus untuk percaya bahwa ini hukum sangat berbeda dari yang normal (memiliki kurtosis positif atau negatif yang nyata) .
Jika nilai perkiraan a /) diperoleh dengan satu atau lain cara, maka interval kepercayaan untuk varians dapat dibuat dengan cara yang sama seperti yang kita buat untuk ekspektasi matematis:
di mana nilai tergantung pada probabilitas yang diberikan p ditemukan pada Tabel. 14.3.1.
Contoh 2. Temukan Interval Keyakinan Sekitar 80% untuk Varian dari Variabel Acak X dengan kondisi contoh 1, jika diketahui nilainya X didistribusikan menurut hukum yang mendekati normal.
Larutan. Nilainya tetap sama seperti pada Tabel. 14.3.1:
Menurut rumus (14.3.16)
Menurut rumus (14.3.18) kami menemukan interval kepercayaan:
Kisaran nilai standar deviasi yang sesuai: (0,21; 0,29).
14.4. Metode yang tepat untuk membangun interval kepercayaan untuk parameter variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal
Pada subbagian sebelumnya, kami mempertimbangkan metode perkiraan kasar untuk membangun interval kepercayaan untuk rata-rata dan varians. Di sini kami memberikan gambaran tentang metode yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang sama. Kami tekankan bahwa untuk menemukan interval kepercayaan secara akurat, mutlak diperlukan untuk mengetahui terlebih dahulu bentuk hukum distribusi kuantitas X, sedangkan ini tidak diperlukan untuk penerapan metode perkiraan.
Ide metode yang tepat untuk membangun interval kepercayaan adalah sebagai berikut. Interval kepercayaan apa pun ditemukan dari suatu kondisi yang menyatakan kemungkinan terpenuhinya ketidaksetaraan tertentu, yang mencakup estimasi bunga bagi kami A. Hukum distribusi kelas A dalam kasus umum tergantung pada parameter kuantitas yang tidak diketahui X. Namun, terkadang dimungkinkan untuk meneruskan ketidaksetaraan dari variabel acak A ke beberapa fungsi lain dari nilai-nilai yang diamati X p X 2, ..., X hal. hukum distribusi yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, tetapi hanya bergantung pada jumlah percobaan dan bentuk hukum distribusi kuantitas X. Variabel acak semacam ini memainkan peran besar dalam statistik matematika; mereka telah dipelajari dengan sangat rinci untuk kasus distribusi kuantitas normal X.
Sebagai contoh, telah dibuktikan bahwa di bawah distribusi normal kuantitas X nilai acak
tunduk pada apa yang disebut Hukum distribusi siswa Dengan P- 1 derajat kebebasan; kepadatan hukum ini memiliki bentuk
di mana G(x) adalah fungsi gamma yang diketahui:
Juga dibuktikan bahwa variabel acak
memiliki "distribusi % 2 " dengan P- 1 derajat kebebasan (lihat bab 7), yang kerapatannya dinyatakan dengan rumus
Tanpa memikirkan turunan dari distribusi (14.4.2) dan (14.4.4), kami akan menunjukkan bagaimana mereka dapat diterapkan saat membuat interval kepercayaan untuk parameter Ty D.
Biarkan diproduksi P percobaan independen pada variabel acak X, didistribusikan menurut hukum normal dengan parameter yang tidak diketahui TIO. Untuk parameter ini, estimasi
Diperlukan untuk membangun interval kepercayaan untuk kedua parameter yang sesuai dengan probabilitas kepercayaan p.
Mari kita buat interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis. Wajar untuk mengambil interval ini secara simetris sehubungan dengan T; dilambangkan dengan s p setengah panjang interval. Nilai sp harus dipilih agar kondisinya
Mari kita coba meneruskan sisi kiri persamaan (14.4.5) dari variabel acak T ke variabel acak T, didistribusikan menurut hukum siswa. Untuk melakukannya, kita kalikan kedua bagian pertidaksamaan |m-w?|
ke nilai positif: 
atau, dengan menggunakan notasi (14.4.1),
Mari kita cari bilangan /p sehingga nilai /p dapat dicari dari kondisi tersebut
Dapat dilihat dari rumus (14.4.2) bahwa (1) merupakan fungsi genap, sehingga (14.4.8) memberikan 
Persamaan (14.4.9) menentukan nilai / p tergantung pada p. Jika Anda memiliki tabel nilai integral
maka nilai /p dapat dicari dengan interpolasi terbalik pada tabel. Namun, akan lebih mudah untuk menyusun tabel nilai / p terlebih dahulu. Tabel seperti itu diberikan dalam Lampiran (Tabel 5). Tabel ini menunjukkan nilai-nilai yang bergantung pada probabilitas kepercayaan p dan jumlah derajat kebebasan P- 1. Setelah ditentukan /p sesuai tabel. 5 dan asumsi 
kami menemukan setengah lebar interval kepercayaan / p dan interval itu sendiri
Contoh 1. 5 percobaan independen dilakukan pada variabel acak X, terdistribusi normal dengan parameter yang tidak diketahui T dan tentang. Hasil percobaan diberikan dalam tabel. 14.4.1.
Tabel 14.4.1
Temukan perkiraan T untuk ekspektasi matematis dan buat interval kepercayaan 90% / p untuknya (yaitu, interval yang sesuai dengan probabilitas kepercayaan p \u003d 0,9).
Larutan. Kita punya:
Menurut tabel 5 aplikasi untuk P - 1 = 4 dan p = 0,9 kita temukan 
Di mana 
Interval kepercayaan akan menjadi
Contoh 2. Untuk kondisi Contoh 1 subbagian 14.3, dengan asumsi nilainya X berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan yang tepat.
Larutan. Menurut tabel 5 aplikasi, kami temukan di P - 1 = 19ir =
0,8 / p = 1,328; dari sini 
Dibandingkan dengan solusi contoh 1 subbagian 14.3 (e p \u003d 0,072), kita melihat bahwa perbedaannya sangat kecil. Jika kita mempertahankan keakuratan hingga tempat desimal kedua, maka interval kepercayaan yang ditemukan dengan metode eksak dan aproksimasi adalah sama:
Mari beralih ke membangun interval kepercayaan untuk varians. Pertimbangkan estimasi varians yang tidak bias
dan menyatakan variabel acak D melalui nilai V(14.4.3) berdistribusi x 2 (14.4.4):
Mengetahui hukum distribusi besaran V, adalah mungkin untuk menemukan interval / (1 ) yang jatuh dengan probabilitas tertentu p.
hukum distribusi k n _ x (v) nilai I 7 memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar. 14.4.1.
Beras. 14.4.1
Timbul pertanyaan: bagaimana memilih interval / p? Jika hukum distribusi kuantitas V adalah simetris (seperti hukum normal atau distribusi Siswa), wajar untuk mengambil interval /p simetris sehubungan dengan ekspektasi matematis. Dalam hal ini, hukum k n _ x (v) asimetris. Mari kita setuju untuk memilih interval /p sehingga probabilitas output dari kuantitas V di luar interval ke kanan dan kiri (area yang diarsir pada Gambar 14.4.1) adalah sama dan sama
Untuk membuat interval / p dengan properti ini, kami menggunakan Tabel. 4 aplikasi: berisi angka y) seperti yang
untuk kuantitas V, memiliki x 2 -distribusi dengan r derajat kebebasan. Dalam kasus kami r = n- 1. Perbaiki r = n- 1 dan temukan di baris tabel yang sesuai. 4 dua nilai x 2 - satu sesuai dengan probabilitas yang lain - probabilitas Mari kita tentukan ini
nilai-nilai pada 2 Dan xl? Interval memiliki y 2 , dengan kirinya, dan y ~ ujung kanan.
Sekarang kita menemukan selang kepercayaan yang diperlukan /| untuk varians dengan batasan D, dan D2, yang mencakup intinya D dengan probabilitas p: 
Mari kita buat interval seperti itu / (, = (?> b A), yang meliputi titik tersebut D jika dan hanya jika nilainya V jatuh ke dalam interval / r. Mari kita tunjukkan intervalnya
memenuhi kondisi ini. Memang, ketidaksetaraan 
setara dengan pertidaksamaan
dan ketidaksetaraan ini berlaku dengan probabilitas p. Dengan demikian, selang kepercayaan untuk dispersi ditemukan dan dinyatakan dengan rumus (14.4.13).
Contoh 3 Temukan interval kepercayaan untuk varians di bawah kondisi Contoh 2 subbagian 14.3, jika diketahui nilainya X didistribusikan secara normal.
Larutan. Kita punya 
. Menurut tabel 4 aplikasi
kami temukan di r = n - 1 = 19
Menurut rumus (14.4.13) kami menemukan interval kepercayaan untuk dispersi 
Interval yang sesuai untuk standar deviasi: (0,21; 0,32). Interval ini hanya sedikit melebihi interval (0,21; 0,29) yang diperoleh dalam Contoh 2 Subbagian 14.3 dengan metode perkiraan.
- Gambar 14.3.1 mempertimbangkan selang kepercayaan yang simetris di sekitar a. Secara umum, seperti yang akan kita lihat nanti, ini tidak perlu.
Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah statistik adalah perhitungan interval kepercayaan. Ini digunakan sebagai alternatif yang lebih disukai untuk estimasi titik ketika ukuran sampel kecil. Perlu diperhatikan bahwa proses penghitungan interval kepercayaan agak rumit. Tetapi alat program Excel memungkinkan Anda untuk menyederhanakannya. Mari kita cari tahu bagaimana ini dilakukan dalam praktiknya.
Metode ini digunakan dalam pendugaan interval berbagai besaran statistik. Tugas utama perhitungan ini adalah menghilangkan ketidakpastian estimasi titik.
Di Excel, ada dua opsi utama untuk menghitung menggunakan metode ini: saat varian diketahui, dan saat tidak diketahui. Dalam kasus pertama, fungsi digunakan untuk perhitungan NORMA KEPERCAYAAN, dan yang kedua KEPERCAYAAN.SISWA.
Metode 1: Fungsi NORM KEPERCAYAAN
Operator NORMA KEPERCAYAAN, yang mengacu pada grup fungsi statistik, pertama kali muncul di Excel 2010. Versi sebelumnya dari program ini menggunakan pasangannya MEMERCAYAI. Tugas operator ini adalah menghitung selang kepercayaan dengan distribusi normal untuk rata-rata populasi.
Sintaksnya adalah sebagai berikut:
NORMA KEPERCAYAAN(alfa, dev_standar, ukuran)
"Alfa" adalah argumen yang menunjukkan tingkat signifikansi yang digunakan untuk menghitung tingkat kepercayaan. Tingkat kepercayaan sama dengan ekspresi berikut:
(1-"Alfa")*100
"Penyimpangan standar" adalah argumen, yang intinya jelas dari namanya. Ini adalah standar deviasi dari sampel yang diusulkan.
"Ukuran" adalah argumen yang menentukan ukuran sampel.
Semua argumen untuk operator ini diperlukan.
Fungsi MEMERCAYAI memiliki argumen dan kemungkinan yang persis sama dengan yang sebelumnya. Sintaksnya adalah:
KEPERCAYAAN(alfa, dev_standar, ukuran)
Seperti yang Anda lihat, perbedaannya hanya pada nama operatornya. Fitur ini dipertahankan di Excel 2010 dan versi yang lebih baru dalam kategori khusus untuk alasan kompatibilitas. "Kesesuaian". Di versi Excel 2007 dan sebelumnya, ini hadir di grup utama operator statistik.
Batas interval kepercayaan ditentukan dengan menggunakan rumus dari bentuk berikut:
X+(-)NORM KEPERCAYAAN
Di mana X adalah rata-rata sampel, yang terletak di tengah rentang yang dipilih.
Sekarang mari kita lihat cara menghitung interval kepercayaan menggunakan contoh spesifik. 12 tes dilakukan, menghasilkan hasil yang berbeda, yang tercantum dalam tabel. Inilah totalitas kita. Standar deviasinya adalah 8. Kita perlu menghitung selang kepercayaan pada tingkat kepercayaan 97%.
- Pilih sel tempat hasil pemrosesan data akan ditampilkan. Mengklik tombol "Masukkan Fungsi".
- Muncul Panduan Fungsi. Pergi ke kategori "Statistik" dan sorot namanya "PERCAYA DIRI.NORM". Setelah itu klik tombol tersebut OKE.
- Jendela argumen terbuka. Bidangnya secara alami sesuai dengan nama argumen.
Atur kursor ke bidang pertama - "Alfa". Di sini kita harus menentukan tingkat signifikansi. Seperti yang kita ingat, tingkat kepercayaan kita adalah 97%. Pada saat yang sama, kami mengatakan bahwa ini dihitung dengan cara ini:(1 tingkat kepercayaan)/100
Artinya, dengan mengganti nilainya, kita mendapatkan:
Dengan perhitungan sederhana, kami menemukan argumen itu "Alfa" sama 0,03 . Masukkan nilai ini di bidang.
Seperti yang Anda ketahui, standar deviasi sama dengan 8 . Oleh karena itu, di lapangan "Penyimpangan standar" tulis saja nomor itu.
Di lapangan "Ukuran" Anda harus memasukkan jumlah elemen tes yang dilakukan. Seperti yang kita ingat, mereka 12 . Tetapi untuk mengotomatiskan rumus dan tidak mengeditnya setiap kali pengujian baru dilakukan, mari kita setel nilai ini bukan ke angka biasa, tetapi menggunakan operator MEMERIKSA. Jadi, kami mengatur kursor di lapangan "Ukuran", lalu klik segitiga yang terletak di sebelah kiri bilah rumus.
Daftar fungsi yang baru saja digunakan akan muncul. Jika operator MEMERIKSA digunakan oleh Anda baru-baru ini, itu harus ada di daftar ini. Dalam hal ini, Anda hanya perlu mengklik namanya. Jika tidak, jika Anda tidak menemukannya, langsung saja ke intinya "Lebih banyak fitur...".
- Tampaknya sudah tidak asing lagi bagi kita Panduan Fungsi. Pindah kembali ke grup "Statistik". Kami memilih nama di sana "MEMERIKSA". Klik tombolnya OKE.
- Jendela argumen untuk operator di atas muncul. Fungsi ini dirancang untuk menghitung jumlah sel dalam rentang tertentu yang berisi nilai numerik. Sintaksnya adalah sebagai berikut:
COUNT(nilai1, nilai2,…)
Grup argumen "Nilai" adalah referensi ke rentang di mana Anda ingin menghitung jumlah sel yang diisi dengan data numerik. Secara total, ada hingga 255 argumen seperti itu, tetapi dalam kasus kami, kami hanya membutuhkan satu.
Atur kursor di lapangan "Nilai1" dan, dengan menahan tombol kiri mouse, pilih rentang pada lembar yang berisi populasi kita. Kemudian alamatnya akan ditampilkan di lapangan. Klik tombolnya OKE.
- Setelah itu, aplikasi akan melakukan perhitungan dan menampilkan hasilnya di sel tempatnya sendiri. Dalam kasus khusus kami, rumusnya menjadi seperti ini:
NORMA KEPERCAYAAN(0,03,8,COUNT(B2:B13))
Hasil keseluruhan dari perhitungan adalah 5,011609 .
- Tapi itu belum semuanya. Seperti yang kita ingat, batas selang kepercayaan dihitung dengan menjumlahkan dan mengurangkan nilai sampel rata-rata hasil perhitungan NORMA KEPERCAYAAN. Dengan cara ini, masing-masing batas kanan dan kiri interval kepercayaan dihitung. Rata-rata sampel itu sendiri dapat dihitung dengan menggunakan operator RATA-RATA.
Operator ini dirancang untuk menghitung rata-rata aritmatika dari rentang angka yang dipilih. Ini memiliki sintaks yang agak sederhana berikut:
RATA-RATA (angka1, angka2,…)
Argumen "Nomor" dapat berupa nilai numerik tunggal atau referensi ke sel atau bahkan seluruh rentang yang memuatnya.
Jadi, pilih sel yang akan menampilkan perhitungan nilai rata-rata, dan klik tombolnya "Masukkan Fungsi".
- terbuka Panduan Fungsi. Kembali ke kategori "Statistik" dan pilih nama dari daftar "RATA-RATA". Seperti biasa, klik tombolnya OKE.
- Jendela argumen diluncurkan. Atur kursor di lapangan "Nomor 1" dan dengan menekan tombol kiri mouse, pilih seluruh rentang nilai. Setelah koordinat ditampilkan di lapangan, klik tombolnya OKE.
- Setelah itu RATA-RATA menampilkan hasil perhitungan ke elemen sheet.
- Kami menghitung batas kanan interval kepercayaan. Untuk melakukan ini, pilih sel terpisah, beri tanda «=»
dan tambahkan isi elemen sheet tempat hasil perhitungan fungsi berada RATA-RATA Dan NORMA KEPERCAYAAN. Untuk melakukan perhitungan, tekan tombol Memasuki. Dalam kasus kami, kami mendapat rumus berikut:
Hasil perhitungan: 6,953276
- Dengan cara yang sama, kami menghitung batas kiri interval kepercayaan, hanya kali ini dari hasil perhitungan RATA-RATA kurangi hasil perhitungan operator NORMA KEPERCAYAAN. Ternyata rumus untuk contoh kita dari jenis berikut:
Hasil perhitungan: -3,06994
- Kami mencoba menjelaskan secara detail semua langkah untuk menghitung interval kepercayaan, jadi kami menjelaskan setiap rumus secara detail. Tapi Anda bisa menggabungkan semua tindakan dalam satu formula. Perhitungan batas kanan interval kepercayaan dapat ditulis sebagai berikut:
RATA-RATA(B2:B13)+PERCAYA DIRI(0,03,8,JUMLAH(B2:B13))
- Perhitungan serupa dari batas kiri akan terlihat seperti ini:
RATA-RATA(B2:B13)-PERCAYA DIRI.NORM(0,03,8,JUMLAH(B2:B13))
Metode 2: fungsi TRUST.STUDENT
Selain itu, ada fungsi lain di Excel yang terkait dengan perhitungan selang kepercayaan - KEPERCAYAAN.SISWA. Ini baru muncul sejak Excel 2010. Operator ini melakukan perhitungan interval kepercayaan populasi menggunakan distribusi-t Student. Sangat nyaman untuk menggunakannya jika varians dan, karenanya, standar deviasi tidak diketahui. Sintaks operatornya adalah:
TRUST.STUDENT(alpha,standard_dev,size)
Seperti yang Anda lihat, nama operator dalam hal ini tetap tidak berubah.
Mari kita lihat bagaimana menghitung batas selang kepercayaan dengan standar deviasi yang tidak diketahui menggunakan contoh populasi yang sama yang kita pertimbangkan pada metode sebelumnya. Tingkat kepercayaan, seperti terakhir kali, kami akan mengambil 97%.
- Pilih sel tempat perhitungan akan dilakukan. Klik tombolnya "Masukkan Fungsi".
- Di buka Panduan Fungsi pergi ke kategori "Statistik". Pilih nama "PERCAYA. MAHASISWA". Klik tombolnya OKE.
- Jendela argumen untuk operator yang ditentukan diluncurkan.
Di lapangan "Alfa", mengingat tingkat kepercayaannya 97%, kita tuliskan angkanya 0,03 . Kedua kalinya kami tidak akan memikirkan prinsip penghitungan parameter ini.
Setelah itu, atur kursor di lapangan "Penyimpangan standar". Kali ini, indikator ini tidak kita ketahui dan perlu dihitung. Ini dilakukan dengan menggunakan fungsi khusus - STDEV.B. Untuk memanggil jendela operator ini, klik segitiga di sebelah kiri bilah rumus. Jika kami tidak menemukan nama yang diinginkan dalam daftar yang terbuka, buka item tersebut "Lebih banyak fitur...".
- sedang berlari Panduan Fungsi. Pindah ke kategori "Statistik" dan tandai namanya "STDEV.B". Kemudian klik tombolnya OKE.
- Jendela argumen terbuka. tugas operator STDEV.B adalah definisi standar deviasi dalam pengambilan sampel. Sintaksnya terlihat seperti ini:
STDEV.V(bilangan1,bilangan2,…)
Argumen itu mudah ditebak "Nomor" adalah alamat dari elemen pilihan. Jika pemilihan ditempatkan dalam satu larik, maka hanya dengan menggunakan satu argumen, Anda dapat memberikan tautan ke rentang ini.
Atur kursor di lapangan "Nomor 1" dan, seperti biasa, tahan tombol kiri mouse, pilih set. Setelah koordinat ada di lapangan, jangan buru-buru menekan tombol OKE karena hasilnya akan salah. Pertama kita perlu kembali ke jendela argumen operator KEPERCAYAAN.SISWA untuk membuat argumen terakhir. Untuk melakukan ini, klik nama yang sesuai di bilah rumus.
- Jendela argumen dari fungsi yang sudah familiar terbuka lagi. Atur kursor di lapangan "Ukuran". Sekali lagi, klik segitiga yang sudah kita kenal untuk masuk ke pilihan operator. Seperti yang Anda pahami, kami membutuhkan nama "MEMERIKSA". Karena kita menggunakan fungsi ini dalam perhitungan di metode sebelumnya, fungsi ini ada dalam daftar ini, jadi klik saja. Jika Anda tidak menemukannya, ikuti algoritme yang dijelaskan di metode pertama.
- Masuk ke jendela argumen MEMERIKSA, letakkan kursor di bidang "Nomor 1" dan dengan tombol mouse ditekan, pilih koleksinya. Kemudian klik tombolnya OKE.
- Setelah itu, program menghitung dan menampilkan nilai selang kepercayaan.
- Untuk menentukan batas, kita perlu menghitung rata-rata sampel lagi. Tapi, mengingat algoritma perhitungannya menggunakan rumus RATA-RATA sama seperti pada metode sebelumnya, dan bahkan hasilnya tidak berubah, kami tidak akan membahasnya secara detail untuk kedua kalinya.
- Menjumlahkan hasil perhitungan RATA-RATA Dan KEPERCAYAAN.SISWA, kami memperoleh batas kanan interval kepercayaan.
- Mengurangkan dari hasil perhitungan operator RATA-RATA hasil perhitungan KEPERCAYAAN.SISWA, kita memiliki batas kiri interval kepercayaan.
- Jika perhitungan ditulis dalam satu rumus, maka perhitungan batas kanan dalam kasus kita akan terlihat seperti ini:
RATA-RATA(B2:B13)+PERCAYA DIRI SISWA(0,03,STDV(B2:B13),JUMLAH(B2:B13))
- Dengan demikian, rumus untuk menghitung batas kiri akan terlihat seperti ini:
RATA-RATA(B2:B13)-PERCAYA DIRI SISWA(0,03,STDV(B2:B13),JUMLAH(B2:B13))
Seperti yang Anda lihat, alat program Excel memungkinkan untuk secara signifikan memfasilitasi perhitungan interval kepercayaan dan batasannya. Untuk tujuan ini, operator terpisah digunakan untuk sampel yang variansnya diketahui dan tidak diketahui.
Analisis kesalahan acak didasarkan pada teori kesalahan acak, yang memungkinkan, dengan jaminan tertentu, untuk menghitung nilai sebenarnya dari besaran yang diukur dan mengevaluasi kemungkinan kesalahan.
Dasar teori kesalahan acak adalah asumsi berikut:
dengan sejumlah besar pengukuran, kesalahan acak dengan besaran yang sama, tetapi dengan tanda yang berbeda, sering terjadi sama;
kesalahan besar lebih jarang terjadi daripada kesalahan kecil (probabilitas kesalahan berkurang dengan peningkatan nilainya);
dengan jumlah pengukuran yang sangat besar, nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur sama dengan rata-rata aritmatika dari semua hasil pengukuran;
munculnya satu atau beberapa hasil pengukuran sebagai peristiwa acak dijelaskan oleh hukum distribusi normal.
Dalam praktiknya, perbedaan dibuat antara kumpulan pengukuran umum dan kumpulan sampel.
Di bawah populasi umum
menyiratkan seluruh rangkaian nilai pengukuran yang mungkin atau kemungkinan nilai kesalahan 
.
Untuk populasi sampel
jumlah pengukuran 
terbatas, dan dalam setiap kasus didefinisikan secara ketat. Mereka berpikir bahwa jika 
, maka nilai rata-rata dari rangkaian pengukuran ini 
cukup dekat dengan nilai sebenarnya.
1. Estimasi Interval Menggunakan Confidence Probability
Untuk sampel besar dan hukum distribusi normal, karakteristik evaluasi umum dari pengukuran adalah varians 
dan koefisien variasi 
:
;
.
(1.1)
Dispersi mencirikan homogenitas suatu pengukuran. Semakin tinggi 
, semakin besar sebaran pengukuran.
Koefisien variasi mencirikan variabilitas. Semakin tinggi 
, semakin besar variabilitas pengukuran relatif terhadap nilai rata-rata.
Untuk menilai keandalan hasil pengukuran, konsep interval kepercayaan dan probabilitas kepercayaan diperkenalkan.
Tepercaya
disebut interval
nilai-nilai 
,
di mana nilai sebenarnya jatuh 
besaran terukur dengan probabilitas tertentu.
Probabilitas Keyakinan
(reliabilitas) suatu pengukuran adalah probabilitas bahwa nilai sebenarnya dari besaran yang diukur berada dalam interval kepercayaan tertentu, yaitu ke zona 
. Nilai ini ditentukan dalam pecahan satuan atau dalam persen.
,
Di mana 
- fungsi Laplace integral ( tabel 1.1
)
Fungsi integral Laplace didefinisikan oleh ekspresi berikut:
.
Argumen untuk fungsi ini adalah faktor jaminan :
Tabel 1.1
Fungsi integral Laplace
Jika, berdasarkan data tertentu, probabilitas kepercayaan ditetapkan 
(sering dianggap 
), lalu atur akurasi pengukuran
(selang kepercayaan
) berdasarkan rasio
.
Setengah dari interval kepercayaan adalah
,
(1.3)
Di mana 
- argumen fungsi Laplace, jika 
(tabel 1.1
);
- Fungsi siswa, jika 
(tabel 1.2
).
Dengan demikian, interval kepercayaan mencirikan keakuratan pengukuran sampel yang diberikan, dan tingkat kepercayaan mencirikan reliabilitas pengukuran.
Contoh
Selesai 
pengukuran kekuatan perkerasan bagian jalan raya dengan modulus elastisitas rata-rata 
dan nilai standar deviasi yang dihitung 
.
Diperlukan menentukan ketelitian yang diperlukan pengukuran untuk tingkat kepercayaan yang berbeda 
, mengambil nilai-nilai 
Oleh tabel 1.1
.
Dalam hal ini, masing-masing |
Oleh karena itu, untuk alat dan metode pengukuran tertentu, interval kepercayaan meningkat sekitar 
kali jika meningkat 
baru saja 
.
Tuliskan tugasnya. Misalnya: Berat rata-rata seorang mahasiswa laki-laki di Universitas ABC adalah 90 kg. Anda akan menguji keakuratan prediksi berat badan siswa laki-laki di Universitas ABC dalam selang kepercayaan tertentu.
Buat sampel yang sesuai. Anda akan menggunakannya untuk mengumpulkan data untuk pengujian hipotesis. Katakanlah Anda telah memilih secara acak 1000 siswa laki-laki.
Hitung mean dan standar deviasi dari sampel ini. Pilih statistik (misalnya, rata-rata dan standar deviasi) yang ingin Anda gunakan untuk menganalisis sampel Anda. Berikut cara menghitung mean dan standar deviasi:
- Untuk menghitung rata-rata sampel, tambahkan bobot dari 1.000 pria sampel dan bagi hasilnya dengan 1.000 (jumlah pria). Katakanlah kita mendapat berat rata-rata 93 kg.
- Untuk menghitung standar deviasi sampel, Anda perlu mencari nilai rata-rata. Maka Anda perlu menghitung varian data, atau rata-rata selisih kuadrat dari rata-rata. Setelah Anda menemukan angka itu, ambil akar kuadratnya. Katakanlah dalam contoh kita standar deviasi adalah 15 kg (perhatikan bahwa terkadang informasi ini dapat diberikan bersamaan dengan kondisi masalah statistik).
Pilih tingkat kepercayaan yang diinginkan. Tingkat kepercayaan yang paling umum digunakan adalah 90%, 95% dan 99%. Bisa juga diberikan beserta kondisi masalahnya. Katakanlah Anda memilih 95%.
Hitung margin kesalahan. Anda dapat menemukan margin of error menggunakan rumus berikut: Z a/2 * σ/√(n). Z a/2 = faktor kepercayaan (di mana a = tingkat kepercayaan), σ = simpangan baku, dan n = ukuran sampel. Rumus ini menunjukkan bahwa Anda harus mengalikan nilai kritis dengan kesalahan standar. Inilah cara Anda menyelesaikan rumus ini dengan memecahnya menjadi beberapa bagian:
- Hitung nilai kritis atau Z a/2 . Tingkat kepercayaannya adalah 95%. Ubah persentase menjadi desimal: 0,95 dan bagi dengan 2 untuk mendapatkan 0,475. Kemudian lihat tabel Z-score untuk menemukan nilai yang sesuai untuk 0,475. Anda akan menemukan nilai 1,96 (di persimpangan baris 1,9 dan kolom 0,06).
- Ambil kesalahan standar (deviasi standar): 15 dan bagi dengan akar kuadrat dari ukuran sampel: 1000. Anda mendapatkan: 15/31,6 atau 0,47 kg.
- Kalikan 1,96 dengan 0,47 (nilai kritis per kesalahan standar) untuk mendapatkan 0,92, margin kesalahan.
Tuliskan interval kepercayaan. Untuk merumuskan interval kepercayaan, cukup tulis mean (93) ± error. Jawaban: 93 ± 0,92. Anda dapat menemukan batas atas dan bawah interval kepercayaan dengan menjumlahkan dan mengurangkan kesalahan ke/dari rata-rata. Jadi batas bawahnya adalah 93 - 0,92 atau 92,08 dan batas atasnya adalah 93 + 0,92 atau 93,92.
- Anda dapat menggunakan rumus berikut untuk menghitung selang kepercayaan: x̅ ± Z a/2 * σ/√(n), di mana x̅ adalah nilai rata-rata.
