MÁTRIXOK ÉS MEGHATÁROZÓK

Előadás 1. Mátrixok

1. A mátrix fogalma. Mátrix típusok

2. Mátrixok algebra

2. előadás. Determinánsok

1. Négyzetmátrix determinánsai és tulajdonságaik

2. Laplace- és annihilációs tételek

3. előadás Inverz mátrix

1. Koncepció inverz mátrix. Az inverz mátrix egyedisége

2. Algoritmus inverz mátrix felépítéséhez. Inverz mátrix tulajdonságai

4. Feladatok és gyakorlatok

4.1. Mátrixok és műveletek rajtuk

4.2. Meghatározók

4.3. inverz mátrix

5. Egyéni feladatok

Irodalom

1. ELŐADÁS. MÁTRIX

Terv

1. A mátrix fogalma. Mátrix típusok.

2. Mátrixok algebra.

Kulcsfogalmak

Átlós mátrix.

Identitásmátrix.

Nulla mátrix.

Szimmetrikus mátrix.

Mátrix konzisztencia.

Átültetés.

háromszög mátrix.

1. A MÁTRIX FOGALMA. MÁTRIX TÍPUSOK

téglalap alakú asztal

m sorból és n oszlopból áll, melynek elemei valós számok , ahol én- sorszám j- annak az oszlopnak a számát, amelynek metszéspontjában ez az elem áll, numerikusnak nevezzük mátrix m´n sorrendbe és jelölésbe.

Tekintsük a mátrixok fő típusait:

1. Legyen m = n, akkor az A mátrix az négyzet egy mátrix, amelynek n sorrendje van:

A = .

Elemek alkotják a főátlót, az elemeket oldalátlót alkotnak.

átlós , ha minden eleme, kivéve esetleg a főátló elemeit, egyenlő nullával:

A==diag( ).

Átlós, tehát négyzetes mátrixot hívnak egyetlen , ha a főátló minden eleme egyenlő 1-gyel:

E = diag (1, 1, 1,…,1).

Vegye figyelembe, hogy az identitásmátrix az azonosság mátrixanalógja a valós számok halmazában, és hangsúlyozzuk azt is, hogy az identitásmátrix csak négyzetmátrixokhoz van definiálva.

Példák az identitásmátrixokra:

Négyzetes mátrixok

A = , V =

felső és alsó háromszögnek nevezzük.

2 . Legyen m = 1, akkor az A mátrix egy sormátrix, amely így néz ki:

3 . Legyen n=1, akkor az A mátrix egy oszlopmátrix, amely így néz ki:

4 .A nulla mátrix egy m'n rendű mátrix, amelynek minden eleme egyenlő 0-val:

Vegye figyelembe, hogy a nullmátrix lehet négyzet, sormátrix vagy oszlopmátrix. A nulla mátrix a nulla mátrixanalógja a valós számok halmazában.

5 . A mátrix az ún átültetve mátrixhoz, és akkor jelöljük, ha oszlopai a mátrix megfelelő sorai.

Példa . Legyen = , akkor = .

Figyeljük meg, hogy ha az A mátrixnak m´n rendje van, akkor a transzponált mátrixnak n´m rendje van.

6 . Az A mátrixot hívják szimmetrikus ha A=A, és ferde-szimmetrikus ha A = -A.

Példa . Vizsgáljuk meg az A és B mátrix szimmetriáját!

Ekkor = , tehát az A mátrix szimmetrikus, mivel A = A.

B = , akkor = , tehát a B mátrix ferdeszimmetrikus, mivel B = - B.

Vegye figyelembe, hogy a szimmetrikus és a ferde-szimmetrikus mátrixok mindig négyzet alakúak. A szimmetrikus mátrix főátlóján bármely elem lehet, és az azonos elemeknek szimmetrikusnak kell lenniük a főátlóra, azaz =. A ferde-szimmetrikus mátrix főátlóján mindig vannak nullák, és szimmetrikusan a főátlóhoz képest = - .

2. MÁTRIX ALGEBRÁJA

Tekintsük a mátrixokkal végzett műveleteket, de először bevezetünk néhány új fogalmat.

Két A és B mátrixot azonos sorrendű mátrixoknak nevezünk, ha ugyanannyi soruk és ugyanannyi oszlopuk van.

Példa. és azonos rendű mátrixok 2´3;

És különböző rendű mátrixok, mivel 2´3≠3´2.

A ″nagyobb, mint″ és a ″kisebb, mint″ fogalmak nincsenek definiálva a mátrixoknál.

Az A és B mátrixokat egyenlőnek nevezzük, ha azonos rendű m´n, és = , ahol 1, 2, 3, …, m, és j = 1, 2, 3, …, n.

Egy mátrix szorzása egy számmal.

Az A mátrixot λ számmal megszorozva a mátrix minden elemét megszorozzuk λ számmal:

λА = , λR.

Ebből a definícióból következik, hogy az összes mátrixelem közös tényezője kivehető a mátrixjelből.

Példa.

Legyen a mátrix A =, majd 5A= =.

Legyen a B mátrix = = = 5.

Egy mátrix számmal való szorzásának tulajdonságai :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), ahol λ,μ R;

3) (λА) = λА;

Mátrixok összege (különbsége). .

Az összeget (különbséget) csak az azonos rendű m´n mátrixokra határozzuk meg.

Két m´n rendű A és B mátrix összege (különbsége) az azonos rendű C mátrix, ahol = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j= 1, 2, 3, …, n.).

Más szóval, a C mátrix olyan elemekből áll, amelyek megegyeznek az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével (különbségével).

Példa . Határozzuk meg az A és B mátrixok összegét és különbségét!

akkor =+= =,

=–==.

Ha = , = , akkor A ± B nem létezik, mivel a mátrixok különböző rendűek.

A fenti definíciókból az következik tulajdonságait mátrix összegek:

1) kommutativitás A+B=B+A;

2) asszociativitás (A+B)+C=A+(B+C);

3) a λR számmal való szorzás eloszlása: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, ahol 0 a nulla mátrix;

5) A+(–A)=0, ahol (–A) az A mátrixszal ellentétes mátrix;

6) (A + B) \u003d A + B.

Mátrixok szorzata.

A szorzatművelet nem minden mátrixra van definiálva, hanem csak a konzisztensekre.

Az A és B mátrixokat nevezzük egyetért , ha az A mátrix oszlopainak száma egyenlő a B mátrix sorainak számával. Tehát ha , , m≠k, akkor az A és B mátrixok konzisztensek, mivel n = n, és fordított sorrendben a B és a B mátrixok A inkonzisztensek, mivel m ≠ k. A négyzetes mátrixok konzisztensek, ha azonos n sorrendűek, és A és B, valamint B és A is konzisztensek. = m.

Két konzisztens mátrix szorzata és

A= , V=

m'k rendű C mátrixnak nevezzük:

=∙, melynek elemeit a következő képlet számítja ki:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

azaz a C mátrix i -edik sorának és j -edik oszlopának eleme egyenlő az A mátrix i -edik sora összes elemének és a j -edik oszlop megfelelő elemeinek szorzatával. a B mátrixból.

Példa . Keresse meg az A és B mátrixok szorzatát!

∙===.

A B∙A mátrixok szorzata nem létezik, mivel a B és A mátrixok nem konzisztensek: a B mátrix 2´2, az A mátrix pedig 3´2 sorrendű.

Fontolgat tulajdonságait mátrix termékek:

1 ) nem kommutativitás: AB ≠ BA, még akkor is, ha A és B, valamint B és A konzisztens. Ha AB = BA, akkor az A és B mátrixokat ingázónak nevezzük (az A és B mátrixok ebben az esetben szükségszerűen négyzet alakúak).

1. példa . = , = ;

==;

==.

Nyilvánvalóan ≠ .

2. példa . = , = ;

= = =;

= = = .

Következtetés: ≠, bár a mátrixok azonos sorrendűek.

2 ) tetszőleges négyzetes mátrixok esetén az E identitásmátrix bármely azonos sorrendű A mátrixra ingázik, és ennek eredményeként ugyanazt az A mátrixot kapjuk, azaz AE = EA = A.

Példa .

===;

===.

3 ) A 0 = 0 A = 0.

4 ) két mátrix szorzata lehet nulla, míg az A és B mátrix lehet nullától eltérő.

Példa .

= ==.

5 ) asszociativitás ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Példa .

Vannak mátrixaink , ;

akkor Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Így példán keresztül megmutattuk, hogy Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) eloszlás az összeadás tekintetében:

(A + B) ∙ C \u003d AC + BC, A ∙ (B + C) \u003d AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Példa.

, =.

Akkor AB =∙==

=(A∙B)= =

BAN BEN ∙A =∙ = ==.

És így, ( A∙B)= BAN BEN A .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ(λВ), λ,R.

Tekintsünk tipikus példákat a mátrixokon végzett műveletek végrehajtására, vagyis meg kell találni két A és B mátrix összegét, különbségét, szorzatát (ha van ilyen).

1. példa .

, .

Megoldás.

1) + = = =;

2) – ===;

3) a szorzat nem létezik, mivel az A és B mátrixok inkonzisztensek, a szorzat azonban ugyanezen okból nem létezik.

2. példa .

Megoldás.

1) a mátrixok összege, valamint különbségük nem létezik, mivel a kezdeti mátrixok különböző rendűek: az A mátrix 2´3, a B mátrix pedig 3´1 sorrendű;

2) mivel az A és B mátrixok konzisztensek, akkor létezik az A és B mátrixok szorzata:

·=·= =,

a В ּ А mátrixszorzat nem létezik, mivel a és a mátrixok inkonzisztensek.

3. példa

Megoldás.

1) a mátrixok összege, valamint különbségük nem létezik, mivel a kezdeti mátrixok különböző rendűek: az A mátrix 3´2, a B mátrix pedig 2´3 sorrendű;

2) létezik mindkét АּВ és ВּА mátrix szorzata, mivel a mátrixok konzisztensek, de az ilyen szorzatok eredménye különböző rendű mátrixok lesznek: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

Ebben az esetben AB ≠ BA.

4. példa .

Megoldás.

1) +===,

2) –= ==;

3) szorzat mátrixként A ּ BAN BEN, és BAN BEN ּ A, létezik, mert a mátrixok konzisztensek:

·==·= =;

·==·= =

=≠, vagyis az A és B mátrixok nem ingázók.

5. példa .

Megoldás.

1) +===,

2) –===;

3) mindkét АּВ és ВּА mátrix szorzata létezik, mivel a mátrixok konzisztensek:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, azaz ezek a mátrixok ingáznak.

ELŐADÁS 2. MEGHATÁROZÓK

Terv

1. Négyzetmátrix determinánsai és tulajdonságaik.

2. Laplace- és annihilációs tételek.

Kulcsfogalmak

A determináns elem algebrai komplementere.

A meghatározó elem minora.

Másodrendű determináns.

Harmadik rendű determináns.

Önkényes sorrendhatározó.

Laplace tétele.

Törlési tétel.

1. A NÉGYZET MÁTRIX MEGHATÁROZÓI ÉS TULAJDONSÁGAI

Legyen A egy n rendű négyzetmátrix:

A= .

Minden ilyen mátrix társítható egyetlen valós számhoz, amelyet a mátrix determinánsának (determinánsának) nevezünk és jelölünk.

Det A= ∆= .

Vegye figyelembe, hogy a determináns csak a számára létezik négyzet mátrixok.

Tekintsük a determinánsok kiszámításának szabályait és tulajdonságaikat másod- és harmadrendű négyzetmátrixokra, amelyeket a rövidség kedvéért másod-, illetve harmadrendű determinánsoknak nevezünk.

Másodrendű determináns A mátrix egy szám, amelyet a szabály határozza meg:

azaz a másodrendű determináns egy szám, amely egyenlő a főátló elemeinek szorzatával mínusz a másodlagos átló elemeinek szorzata.

Példa .

Ekkor == 4 3 - (–1) 2=12 + 2 = 14.

Emlékeztetni kell arra, hogy kerek vagy szögletes zárójeleket használnak a mátrixok kijelölésére, és a determinánsra - függőleges vonalak. A mátrix egy számtáblázat, a determináns pedig egy szám.

A másodrendű determináns definíciójából az következik tulajdonságait :

1. A determináns nem változik, ha az összes sort a megfelelő oszlopokra cseréli:

2. A determináns előjele az ellenkezőjére változik, ha a determináns sorait (oszlopait) átrendezzük:

3. A determináns sorának (oszlopának) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből:

4. Ha a determináns valamelyik sorának (oszlopának) minden eleme egyenlő nullával, akkor a determináns nullával egyenlő.

5. A determináns akkor egyenlő nullával, ha sorainak (oszlopainak) megfelelő elemei arányosak:

6. Ha a determináns egy sorának (oszlopának) elemei egyenlőek két tag összegével, akkor egy ilyen determináns két determináns összegével egyenlő:

=+, =+.

7. A determináns értéke nem változik, ha sorának (oszlopának) elemeit összeadjuk (kivonjuk) egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeivel, megszorozva ugyanazzal a számmal:

=+=,

mivel =0 az 5. tulajdonság szerint.

A determinánsok fennmaradó tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk.

Vezessük be a harmadrendű determináns fogalmát: harmadik rendelés négyzetmátrixot számnak nevezünk

∆ == detA= =

=++– – – ,

azaz a (2) képletben minden tag a determináns elemeinek szorzata, minden sorból és oszlopból egyet és csak egyet veszünk. Ahhoz, hogy emlékezzen a (2) képletben szereplő termékekre, amelyeket pluszjellel, és melyeket mínuszjellel vegyen, hasznos ismerni a háromszög szabályt (Sarrus szabály):

Példa . Számítsd ki a determinánst

==

Megjegyzendő, hogy a másodrendű determináns fentebb vizsgált tulajdonságai változtatás nélkül átvihetők bármely rendű determináns esetére, beleértve a harmadikat is.

2. LAPLACE ÉS ANULÁCIÓS TÉTELEI

Tekintsük a determinánsok további két nagyon fontos tulajdonságát.

Mutassuk be a moll és az algebrai komplement fogalmát.

Kiselem meghatározó az eredeti determinánsból az adott elemhez tartozó sor és oszlop törlésével kapott determinánst hívjuk meg. Az elem mollját jelöli.

Példa . = .

Ekkor például = , = .

Algebrai elem komplementer a determinánst minornak nevezzük, előjellel véve. Az algebrai komplementer jelölése =.

Például:

= , === –,

Térjünk vissza a (2) képlethez. Az elemeket csoportosítva és a közös tényezőt zárójelből kivéve kapjuk:

=(– ) +( – ) +(–)=

Az egyenlőségeket hasonlóképpen bizonyítjuk:

1, 2, 3; (3)

A (3) képleteket ún bontási képletek determináns az i-edik sor elemei felett (j-edik oszlop), vagy Laplace-féle képletekkel a harmadrendű determinánshoz.

Így kapjuk a determináns nyolcadik tulajdonsága :

Laplace tétele . A determináns megegyezik bármely sor (oszlop) elemeinek összes szorzatával, a sor (oszlop) elemeinek megfelelő algebrai komplementereivel.

Vegyük észre, hogy a determinánsnak ez a tulajdonsága nem más, mint bármely rendű determináns meghatározása. A gyakorlatban bármely sorrend determinánsának kiszámítására használják. Általános szabály, hogy a determináns kiszámítása előtt az 1-7 tulajdonságok felhasználásával lehetőség szerint elérik, hogy bármelyik sorban (oszlopban) minden elem nullával egyenlő legyen, egy kivételével, majd ezeket a sor elemei bontják. (oszlop).

Példa . Számítsd ki a determinánst

== (kivonjuk az elsőt a második sorból) =

== (kivonjuk az elsőt a harmadik sorból)=

== (bővítse ki a determinánst a harmadik elemeiben

sorok) = 1ּ = (kivonjuk az első oszlopot a második oszlopból) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Példa .

Tekintsünk egy negyedrendű determinánst. Kiszámításához a Laplace-tételt használjuk, vagyis a sor (oszlop) elemeire vonatkozó bővítést.

== (mivel a második oszlop három nulla elemet tartalmaz, a determinánst kibővítjük a második oszlop elemeivel)= =3ּ= (a második sorból kivonjuk az elsőt 3-mal szorozva, a harmadikból pedig az elsőt 2-vel sor) =

3ּ = (a determinánst az első oszlop elemeivel bővítjük) = 3ּ1ּ =

Kilencedik ingatlan határozó viseli a nevet törlési tétel :

a determináns egyik sora (oszlopa) elemeinek és egy másik sor (oszlop) elemeinek megfelelő algebrai komplementereinek összes szorzata egyenlő nullával, azaz.

++ = 0,

Példa .

= = (kibontás a harmadik sor elemeivel)=

0ּ+0ּ+ּ = -2.

De ugyanerre a példára: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Ha bármely sorrend determinánsának háromszög alakja van

=, akkor egyenlő az átlón lévő elemek szorzatával:

=ּּ … ּ. (4)

Példa. Számítsa ki a determinánst.

=

Néha a determináns elemi transzformációkkal történő kiszámításakor lehetőség van háromszög alakra redukálni, ami után a (4) képletet alkalmazzuk.

Ami két négyzetmátrix szorzatának determinánsát illeti, ez egyenlő ezen négyzetmátrixok determinánsainak szorzatával: .

3. ELŐADÁS. INVERZ MÁTRIX

Terv

1. Az inverz mátrix fogalma. Az inverz mátrix egyedisége.

2. Algoritmus inverz mátrix felépítéséhez.

Az inverz mátrix tulajdonságai.

Kulcsfogalmak

Inverz mátrix.

Csatolt mátrix.

1. AZ INVERZ MÁTRIX FOGALMA.

AZ INVERZ MÁTRIX EGYEDISÉGE

A számelméletben a számmal együtt egy számot is definiálunk vele szemben () úgy, hogy , és egy vele fordított számot úgy, hogy . Például az 5-ös szám ellentéte a szám lesz

(- 5), és az inverze a szám lesz. Hasonlóan a mátrixelméletben már bevezettük az ellentétes mátrix fogalmát, jelölését (-A). inverz mátrix n-rendű A négyzetmátrixhoz mátrixot hívunk, ha az egyenlőségek

Ahol E az n rendű identitásmátrix.

Azonnal megjegyezzük, hogy az inverz mátrix csak négyzetes nem szinguláris mátrixok esetén létezik.

A négyzetmátrixot ún nem degenerált (nem szinguláris) ha detA ≠ 0. Ha detA = 0, akkor az A mátrix ún. elfajzott (különleges).

Vegye figyelembe, hogy az A nem szinguláris mátrixnak van egy egyedi inverz mátrixa. Bizonyítsuk be ezt az állítást.

Engedjük meg a mátrixot A két inverz mátrix van, pl.

Ekkor =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Keresse meg az inverz mátrix determinánsát! Mivel két azonos rendű A és B mátrix szorzatának determinánsa egyenlő ezen mátrixok determinánsainak szorzatával, vagyis ezért két nem szinguláris mátrix AB szorzata nem szinguláris mátrix.

Arra a következtetésre jutottunk, hogy az inverz mátrix determinánsa az eredeti mátrix determinánsának reciproka.

2. ALGORITMUS AZ INVERZ MÁTRIX MEGÉPÍTÉSÉHEZ.

AZ INVERZ MÁTRIX TULAJDONSÁGAI

Mutassuk meg, hogy ha az A mátrix nem szinguláris, akkor létezik rá egy inverz mátrix, és állítsuk össze.

Készítsünk mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai komplementereiből:

Transzponálva kapjuk az ún csatolt mátrix:

.

Keresse meg a terméket ּ. Figyelembe véve a Laplace-tételt és az annihilációs tételt:

ּ = =

=.

Következtetésünk:

Inverz mátrix felépítésének algoritmusa.

1) Számítsa ki a mátrix determinánsát! A. Ha a determináns nulla, akkor az inverz mátrix nem létezik.

2) Ha a mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, akkor állítsa össze a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereiből A mátrix .

3) A mátrix transzponálásával kapja meg a hozzá tartozó mátrixot.

4) A (2) képlet szerint állítsuk össze az inverz mátrixot.

5) Az (1) képlet szerint ellenőrizze a számításokat.

Példa . Keresse meg az inverz mátrixot.

A). Legyen A=. Mivel az A mátrixnak két egyforma sora van, a mátrix determinánsa nulla. Ezért a mátrix degenerált, és nincs hozzá inverz mátrix.

b). Hadd A =.

Számítsa ki a mátrix determinánsát!

az inverz mátrix létezik.

Állítson össze egy mátrixot algebrai összeadásokból

= = ;

a mátrixot transzponálva megkapjuk a hozzá tartozó mátrixot

a (2) képlet alapján megtaláljuk az inverz mátrixot

==.

Ellenőrizzük a számítások helyességét

= = .

Ezért a megszerkesztett inverz mátrix helyes.

Inverz mátrix tulajdonságai

1. ;

2. ;

3. .

4. FELADATOK ÉS GYAKORLATOK

4.1 Mátrixok és a rajtuk végzett műveletek

1. Határozzuk meg két A és B mátrix összegét, különbségét, szorzatát!

A) , ;

b) , ;

V) , ;

G) , ;

e) , ;

e) , ;

és) , ;

h), ;

És) , .

2. Bizonyítsuk be, hogy az A és B mátrixok ingáznak.

A) , ; b) , .

3. Adott A, B és C mátrixok. Mutassuk meg, hogy (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

b) , , .

4. Számítsd ki (3A - 2B) C ha

, , .

5. Keresse meg, ha

A) ; b) .

6. Keresse meg az X mátrixot, ha 3A+2X=B, ahol

, .

7. Keresse meg az ABC-t, ha

A) , , ;

b) , , .

VÁLASZOK A "MÁTRIXOK ÉS AZOKRA VONATKOZÓ MŰVELETEK" TÉMÁBAN

1. a) , ;

b) az AB és BA termékek nem léteznek;

V) , ;

G) , ;

e) a BA-mátrixok összegei, különbségei és szorzatai nem léteznek, ;

e) , ;

g) nem léteznek mátrixtermékek;

h) , ;

És) , .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) .

4. .

5. a) ; b) .

6. .

7. a) ; b) .

4.2 Selejtezők

1. Számítsa ki a determinánsokat!

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ;

és) ; h) .

3. A háromszögek szabályával számítsa ki a determinánsokat!

A) ; b) ; V) ; G) .

4. Számítsa ki a 2. példa determinánsait a Laplace-tétel segítségével!

5. Számítsa ki a determinánsokat egyszerűsítésük után:

A) ; b) ; V) ;

G) ; e) ; e) ;

és) .

6. Számítsa ki a determinánst úgy, hogy háromszög alakúra hozza!

.

7. Legyen adott A és B mátrix Bizonyítsuk be :

, .

VÁLASZOK A "MEGÁLLAPÍTÓK" TÉMÁBAN

1. a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; f) -3; g) -6; h) 1.

2. a) -25; b) 168; 21-kor; d) 12.

3. a) -25; b) 168; 21-kor; d) 12.

4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; f) -66; g) -36.

4.3 Inverz mátrix

1. Keresse meg az inverz mátrixot:

A) ; b) ; V) ; G) ;

e) ; e) ; és) ; h) ;

És) ; Nak nek) ; l) ;

m) ; m) .

2. Keresse meg az inverz mátrixot, és ellenőrizze a feltételt:

A) ; b) .

3. Bizonyítsuk be az egyenlőséget! :

A) , ; b) ,.

4. Bizonyítsuk be az egyenlőséget! :

A) ; b) .

VÁLASZOK A "INVERZ MÁTRIX" TÉMÁBAN

1. a); b) ; V) ; G) ;

e) ; e) ; és) ;

h) ; És) ;

Nak nek) ; l) ;

m) ; m) .

2. a) ; b) .

2. a) , , =;

b) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

b) , ,

, .

5. EGYÉNI FELADATOK

1. Számítsa ki a determinánst bővítéssel!

a) az i-edik sorban;

b) a j-edik oszlop által.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

IRODALOM

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Felső matematika. – Mn.: Vysh. iskola, 1992.- 384 p.

2. Gusak A.A. Használati útmutató problémamegoldáshoz: analitikus geometria és lineáris algebra. - Minszk: Tetrasystems, 1998.- 288 p.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Felső matematika. 1. rész - Minszk: Amalfeja, 1999. - 208 p.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Felsőfokú matematika közgazdászoknak. I szemeszter. M.: Új ismeretek, 2002.- 140 p.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseec M.I. Felső matematika. Proc. juttatás. -Mn.: CHIUP, 2003. - 32 p.

A négyzetmátrix fő numerikus jellemzője a meghatározója. Tekintsünk egy másodrendű négyzetmátrixot

A másodrendű determináns vagy determináns a következő szabály szerint számított szám

Például,

Tekintsünk most egy harmadrendű négyzetmátrixot

.

A harmadrendű determináns a következő szabály szerint kiszámított szám

Annak érdekében, hogy megjegyezzék a kifejezésekben szereplő kifejezések kombinációját a harmadrendű determináns meghatározásához, általában Sarrus szabálya: a jobb oldalon pluszjellel ellátott három tag közül az első a mátrix főátlóján lévő elemek szorzata, a másik kettő pedig az ezzel az átlóval párhuzamosan fekvő elemek szorzata. elemet a mátrix másik sarkából.

A mínuszjellel beírt utolsó három tagot hasonló módon definiáljuk, csak a másodlagos átlóra vonatkozóan.

Példa:

A mátrix determinánsok alapvető tulajdonságai

1. A determináns értéke nem változik a mátrix transzponálásakor.

2. A mátrix sorainak vagy oszlopainak átrendezésekor a determináns csak az előjelet változtatja, az abszolút érték megtartása mellett.

3. Az arányos sorokat vagy oszlopokat tartalmazó determináns egyenlő nullával.

4. Valamelyik sor vagy oszlop elemeinek közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.

5. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla.

6. Ha a determináns egy külön sorának vagy oszlopának elemeihez hozzáadjuk egy másik sor vagy oszlop elemeit, megszorozva egy tetszőleges nem degenerált tényezővel, akkor a determináns értéke nem változik.

Kisebb A mátrix az a determináns, amelyet egy négyzetmátrixból ugyanannyi oszlop és sor törlésével kapunk.

Ha a mátrixból összeállítható összes fenti rendű moll egyenlő nullával, és a rendű mollok közül legalább egy nem nulla, akkor a szám ún. rang ezt a mátrixot.

Algebrai összeadás a sorrend determinánsának elemét nevezzük annak a sorrendnek a megfelelő sor és oszlop törlésével kapott molljának, amelynek metszéspontjában plusz előjellel vett elem van, ha az indexek összege egyenlő páros szám, egyébként pedig mínuszjellel.

És így

,

hol van a megfelelő rend moll.

Egy mátrix determinánsának kiszámítása egy sor vagy oszlop elemeire történő bontással

A mátrix determináns egyenlő a mátrix bármely sora (bármely oszlopa) elemeinek és e sor (ez oszlop) elemeinek megfelelő algebrai komplementereinek szorzatával. Egy mátrix determinánsának ilyen módon történő kiszámításakor a következő szabályt kell követni: válassza ki azt a sort vagy oszlopot, amelyben a legtöbb nulla elem található. Ezzel a technikával jelentősen csökkenthető a számítások mennyisége.

Példa: .

Ennek a determinánsnak a kiszámításakor az első oszlop elemeivel való bővítés módszerét alkalmaztuk. Amint a fenti képletből látható, nincs szükség az utolsó másodrendű determináns kiszámítására, mivel megszoroz nullával.

Inverz mátrix számítás

A mátrixegyenletek megoldása során az inverz mátrixot széles körben használják. Bizonyos mértékig helyettesíti az osztás műveletét, amely explicit formában hiányzik a mátrixalgebrában.

Az azonos rendű négyzetmátrixokat, amelyek szorzata adja az azonosságmátrixot, reciproknak vagy inverzeknek nevezzük. Az inverz mátrixot jelöljük, és ez igaz rá

Az inverz mátrixot csak olyan mátrixra számíthatja ki, amelyre .

A klasszikus algoritmus az inverz mátrix kiszámítására

1. Írja fel a mátrixra transzponált mátrixot.

2. Cserélje ki a mátrix minden elemét azzal a determinánssal, amelyet annak a sornak és oszlopnak a törlése eredményeként kapott, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

3. Ehhez a determinánshoz pluszjel jár, ha az elemindexek összege páros, és mínusz jel egyébként.

4. A kapott mátrixot osszuk el a mátrixdeterminánssal.

- Engedd el a madarat a biztos halálba!
A szabadság simogassa őt!
És a hajó hajózik, és a reaktor dübörög...
- Pash, makacs vagy?

Emlékszem, hogy 8. osztály előtt nem szerettem az algebrát. Egyáltalán nem tetszett. Feldühített. Mert nem értettem semmit.

Aztán minden megváltozott, mert átvágtam egy chipet:

A matematikában általában (és az algebrában különösen) minden egy hozzáértő és következetes definíciórendszeren alapul. Ismeri a definíciókat, érti a lényegüket – a többit nem lesz nehéz kitalálni.

Ez a mai óra témája. Részletesen megvizsgálunk számos kapcsolódó kérdést és definíciót, amelyeknek köszönhetően egyszer és mindenkorra foglalkozni fog a mátrixokkal, determinánsokkal és azok összes tulajdonságával.

A determinánsok a mátrixalgebra központi fogalmai. Mint a rövidített szorzóképletek, ezek is kísérteni fognak a haladó matematika tanfolyamon. Ezért alaposan olvassuk, nézzük és megértjük. :)

És kezdjük a legintimebbel - mi az a mátrix? És hogyan kell vele dolgozni.

Az indexek helyes elhelyezése a mátrixban

A mátrix csak egy számokkal teli táblázat. Neo nincs itt.

A mátrix egyik legfontosabb jellemzője a mérete, pl. a sorok és oszlopok száma, amelyből áll. Egy $A$ mátrixról általában $\left[ m\times n \right]$ méretűnek mondják, ha $m$ sorokkal és $n$ oszlopokkal rendelkezik. Írd le így:

Vagy így:

Vannak más megnevezések is - minden az oktató / szemináriumi / a tankönyv szerzőjének preferenciáitól függ. De mindenesetre ezekkel a $\left[ m\times n \right]$ és $((a)_(ij))$ értékekkel ugyanaz a probléma merül fel:

Melyik index mit csinál? Először a sorszám, aztán az oszlopszám? Vagy fordítva?

Előadások és tankönyvek olvasásakor a válasz kézenfekvőnek tűnik. De amikor a vizsgán csak egy feladattal ellátott lap van előtted, akkor aggódhatsz és hirtelen összezavarodhatsz.

Tehát egyszer s mindenkorra foglalkozzunk ezzel a kérdéssel. Először idézzük fel az iskolai matematika kurzus szokásos koordináta-rendszerét:

Koordinátarendszer bevezetése síkon

Emlékszel rá? A $x$ és $y$ tengely origója ($O=\left(0;0 \right)$ pontja van, és a síkon minden egyes pontot egyedileg határoznak meg a koordináták: $A=\left( 1;2 \ right)$, $B=\left(3;1 \right)$ stb.

És most vegyük ezt a konstrukciót és tegyük a mátrix mellé úgy, hogy az origó a bal felső sarokban legyen. Miért ott? Igen, mert amikor kinyitunk egy könyvet, az oldal bal felső sarkából kezdünk olvasni – ezt könnyebben megjegyezni, mint valaha.

De hova kell irányítani a tengelyeket? Úgy irányítjuk őket, hogy az egész virtuális "oldalunkat" lefedjék ezek a tengelyek. Igaz, ehhez el kell forgatnunk a koordinátarendszerünket. Csak lehetséges változata ez a helyszín:

Koordinátarendszer leképezése mátrixra

Most a mátrix minden cellája egyértékű $x$ és $y$ koordinátákkal rendelkezik. Például a $((a)_(24))$ bejegyzés azt jelenti, hogy a $x=2$ és $y=4$ koordinátákkal érjük el az elemet. A mátrix méreteit egy számpár is egyedileg határozza meg:

Indexek meghatározása mátrixban

Csak nézze meg alaposan ezt a képet. Játssz a koordinátákkal (különösen, ha valódi mátrixokkal és determinánsokkal dolgozol) – és hamarosan rájössz, hogy még a legbonyolultabb tételekben és definíciókban is tökéletesen megérted, mi a tét.

Megvan? Nos, térjünk át a megvilágosodás első lépésére - a determináns geometriai meghatározására. :)

Geometriai meghatározás

Először is szeretném megjegyezni, hogy a determináns csak a $\left[ n\times n \right]$ alakú négyzetmátrixokra létezik. A determináns egy bizonyos szabályok szerint kiszámított szám, amely ennek a mátrixnak az egyik jellemzője (vannak más jellemzők is: rang, sajátvektorok, de erről bővebben más leckékben).

Nos, mi ez a funkció? Mit jelent? Ez egyszerű:

A $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix determinánsa egy $n$-dimenziós paralelepipedon térfogata, amely akkor keletkezik, ha a mátrix sorait olyan vektoroknak tekintjük, amelyek a mátrix éleit képezik. ez a paralelepipedon.

Például egy 2x2-es mátrix determinánsa csak egy paralelogramma területe, egy 3x3-as mátrix esetében pedig már egy 3-dimenziós paralelepipedon térfogata – pont az, amely minden középiskolás diákot feldühít. sokat a sztereometria órákon.

Első pillantásra ez a meghatározás teljesen alkalmatlannak tűnhet. De ne siessük el a következtetéseket – nézzünk példákat. Valójában minden elemi, Watson:

Feladat. Keresse meg a mátrix meghatározóit:

\[\bal| \begin(mátrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(mátrix) \right|\quad \left| \begin(mátrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(mátrix) \right|\quad \left| \begin(mátrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(mátrix) \right|\]

Megoldás. Az első két determináns 2x2. Tehát ezek csak a paralelogrammák területei. Rajzoljuk le őket, és számítsuk ki a területet.

Az első paralelogramma a $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ és $((v)_(2))=\left(0;3 \right) vektorokra épül fel. $:

A 2x2 determináns a paralelogramma területe

Nyilvánvaló, hogy ez nem csak egy paralelogramma, hanem egy téglalap. Területe egyenlő

A második paralelogramma a $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ és $((v)_(2))=\left(2;2 \right) vektorokra épül )$. Nos, és mi van? Ez is egy téglalap:

Újabb 2x2 meghatározó

Ennek a téglalapnak az oldalai (valójában a vektorok hossza) könnyen kiszámíthatók a Pitagorasz-tétel segítségével:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\vége(igazítás)\]

Marad az utolsó determináns kezelése - már van egy 3x3-as mátrix. Emlékeznünk kell a sztereometriára:

A 3x3 determináns a paralelepipedon térfogata

Elképesztőnek tűnik, de valójában elég csak felidézni a paralelepipedon térfogatának képletét:

ahol $S$ az alap területe (esetünkben a paralelogramma területe a $OXY$ síkon), a $h$ az ehhez az alaphoz húzott magasság (valójában a $ a $((v)_(3) )$ vektor z$-koordinátája).

A paralelogramma területe (külön megrajzoltuk) szintén könnyen kiszámítható:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Leírjuk a válaszokat.

Válasz: 3; 4; 24.

Egy kis megjegyzés a jelölésrendszerről. Valakinek valószínűleg nem fog tetszeni, hogy figyelmen kívül hagyom a vektorok feletti "nyilakat". Állítólag így össze lehet keverni egy vektort egy ponttal vagy valami mással.

De legyünk komolyak: mi már felnőtt fiúk és lányok vagyunk, így tökéletesen megértjük a szövegkörnyezetből, ha vektorról, és mikor pontról beszélünk. A nyilak csak teleszórják a matematikai képletekkel már zsúfolásig megtelt narratívát.

És tovább. Elvileg semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy figyelembe vegyük egy 1x1-es mátrix determinánsát - egy ilyen mátrix csak egy cella, és az ebbe a cellába írt szám lesz a meghatározó. De van itt egy fontos megjegyzés:

A klasszikus kötettől eltérően a determináns az ún. orientált hangerő”, azaz. kötet, figyelembe véve a sorvektorok figyelembevételi sorrendjét.

Ha pedig a szó klasszikus értelmében szeretné megkapni a hangerőt, akkor a determináns modulusát kell vennie, de most ne aggódjon miatta - mindenesetre néhány másodperc múlva megtanuljuk, hogyan számoljunk bármilyen determinánst bármilyen jellel, mérettel stb. :)

Algebrai definíció

A geometriai megközelítés szépsége és tisztasága mellett van egy komoly hátránya: semmit nem mond arról, hogyan kell kiszámítani ezt a meghatározó tényezőt.

Ezért most egy alternatív definíciót fogunk elemezni - algebrai. Ehhez szükségünk van egy rövid elméleti előkészítésre, de a kimeneten egy olyan eszközt kapunk, amely lehetővé teszi, hogy tetszés szerint bármit kiszámoljunk mátrixokban.

Igaz, lesz új probléma... De először a dolgok.

Permutációk és inverziók

Írjunk fel egy számsort 1-től $n$-ig. Valami ilyesmit kapsz:

Most (pusztán szórakozásból) cseréljünk pár számot. Meg lehet változtatni a szomszédot

Vagy talán nem nagyon szomszédos:

És tudod mit? De semmi! Az algebrában ezt a baromságot permutációnak hívják. És nagyon sok tulajdonsága van.

Meghatározás. A $n$ hosszúságú permutáció egy $n$ különböző számokból álló, tetszőleges sorrendben írt karakterlánc. Általában az első $n$ természetes számokat veszik figyelembe (azaz pontosan az 1, 2, ..., $n$ számokat), majd ezeket megkeverik a kívánt permutáció eléréséhez.

A permutációkat ugyanúgy jelöljük, mint a vektorokat – csak egy betű, és zárójelben az elemeik szekvenciális felsorolása. Például: $p=\left(1;3;2 \right)$ vagy $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. A betű bármi lehet, de legyen $p$. :)

Továbbá a bemutatás egyszerűsítése érdekében 5-ös hosszúságú permutációkkal fogunk dolgozni – ezek már elég komolyak ahhoz, hogy bármilyen gyanús hatást megfigyeljenek, de még nem olyan súlyosak egy törékeny agy számára, mint a 6-os vagy annál hosszabb permutációk. Példák az ilyen permutációkra:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \jobbra) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Természetesen egy $n$ hosszúságú permutáció egy függvénynek tekinthető, amely a $\left\( 1;2;...;n \right\)$ halmazban van definiálva, és ezt a halmazt bijektíven leképezi önmagára. Visszatérve az imént felírt $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ és $((p)_(3))$ permutációira, jogosan írhatjuk :

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ bal(2\jobb)=4;\]

A különböző $n$ hosszúságú permutációk száma mindig korlátozott és egyenlő $n!$-val – ez a kombinatorika könnyen bizonyítható ténye. Például, ha az összes 5 hosszúságú permutációt fel akarjuk írni, akkor sokat fogunk habozni, mert lesznek ilyen permutációk

Minden permutáció egyik legfontosabb jellemzője a benne lévő inverziók száma.

Meghatározás. Inverzió a permutációban $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — bármely $ pár \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ úgy, hogy $i \lt j$, de $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j))$. Egyszerűen fogalmazva, az inverzió az, amikor egy nagyobb szám balra van egy kisebbtől (nem feltétlenül a szomszédtól).

A $N\left(p \right)$-t használjuk az inverziók számának jelölésére a $p$ permutációban, de készüljünk fel arra, hogy a különböző tankönyvekben és különböző szerzőktől eltérő jelöléseket is alkalmazzunk – itt nincsenek egységes szabványok. Az inverziók témája nagyon kiterjedt, és külön leckét szentelünk neki. Most egyszerűen az a feladatunk, hogy megtanuljuk, hogyan számoljuk őket valós problémákban.

Például számoljuk meg az inverziók számát a $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ permutációban:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right) ).\]

Így $N\left(p \right)=5$. Amint látja, nincs ezzel semmi baj. Azonnal meg kell mondanom: a továbbiakban nem annyira a $N\left(p \right)$ számra leszünk kíváncsiak, hanem annak páros/páratlanságára. És itt simán áttérünk a mai lecke kulcsfogalmára.

Mi az a determináns

Legyen $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix. Akkor:

Meghatározás. A $A=\left[ n\times n \right]$ mátrix determinánsa $n!$ tag algebrai összege a következőképpen összeállított. Minden tag $n$ mátrixelem szorzata, minden sorból és oszlopból egyet szorozva (−1) az inverziók számának hatványával:

\[\bal| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

A determináns minden tagjához tartozó faktorok kiválasztásának alapvető pontja az a tény, hogy nincs két tényező ugyanabban a sorban vagy ugyanabban az oszlopban.

Emiatt az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a $((a)_(i;j))$ faktorok $i$ indexei "átfutnak" az 1, ..., $n$ értékeken. , és a $j$ indexek az első néhány permutációja:

És ha van $p$ permutáció, akkor könnyen kiszámolhatjuk a $N\left(p \right)$ inverzióit - és kész is a determináns következő tagja.

Természetesen senki sem tiltja a faktorok felcserélését egyetlen kifejezésben (vagy egyszerre - minek foglalkozni az apróságokkal?), És akkor az első indexek is valamiféle permutációt jelentenek. De végül semmi sem fog változni: a $i$ és a $j$ indexekben az inverziók teljes száma ilyen perverziók mellett is megmarad, ami teljesen összhangban van a régi jó szabállyal:

A faktorok átrendezésével a számok szorzata nem változik.

De ezt a szabályt nem kell áthúznia a mátrixszorzáshoz – a számok szorzásával ellentétben ez nem kommutatív. De elkalandozom. :)

Mátrix 2x2

Valójában egy 1x1-es mátrixot is figyelembe vehet - ez egy cella lesz, és a determinánsa, ahogy sejtheti, megegyezik az ebbe a cellába írt számmal. Semmi érdekes.

Tehát vegyünk egy 2x2-es négyzetmátrixot:

\[\left[ \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(mátrix) \jobbra]\]

Mivel a benne lévő sorok száma $n=2$, ezért a determináns $n!=2!=1\cdot 2=2$ tagot fog tartalmazni. Írjuk ki őket:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\bal(-1 \jobb))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))(a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\bal(-1 \jobb))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\vége(igazítás)\]

Nyilvánvalóan nincs inverzió a $\left(1;2 \right)$ permutációban, amely két elemből áll, tehát $N\left(1;2 \right)=0$. De a $\left(2;1 \right)$ permutációban egy inverzió van (valójában 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Összességében a 2x2-es mátrix determinánsának kiszámítására szolgáló univerzális képlet így néz ki:

\[\bal| \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\ end( mátrix) \jobbra|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))(a)_(21))\]

Grafikusan ez ábrázolható a főátlón lévő elemek szorzataként, mínusz a másodlagos elemek szorzata:

2x2 mátrix determináns

Nézzünk pár példát:

\[\bal| \begin(mátrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(mátrix) \right|;\quad \left| \begin(mátrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(mátrix) \right|.\]

Megoldás. Mindent egy sorban veszik figyelembe. Első mátrix:

És a második:

Válasz: -3; -161.

Azonban túl könnyű volt. Nézzük a 3x3-as mátrixokat – ott már érdekes.

Mátrix 3x3

Most vegyünk egy 3x3 négyzetmátrixot:

\[\left[ \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(mátrix) \jobbra]\]

A determináns kiszámításakor $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ kifejezést kapunk – nem túl sok a pánikhoz, de elég ahhoz, hogy elkezdjünk keresni néhány mintát. Először írjuk ki a három elem összes permutációját, és számítsuk ki mindegyikben az inverziót:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\jobbra N\left(((p)_(1)) \right)=N\ bal(1;2;3\jobb)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\jobbra)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3\jobbra)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\jobbra)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\jobbra)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2) ;1\jobbra)=3. \\\vége(igazítás)\]

A várakozásoknak megfelelően összesen 6 permutáció van $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (természetesen más sorrendben is kiírhatjuk őket – a lényeg nem változik), és az inverziók száma 0 és 3 között változik.

Általában három plusz tagunk lesz (ahol a $N\left(p \right)$ páros) és további három mínusz tag. Általában a determinánst a következő képlet szerint számítják ki:

\[\bal| \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\vége (mátrix) \jobbra|=\begin(mátrix) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))(a)_(32))- \\ -( (a)_(13))(a)_(22))(a)_(31)-((a)_(12))(a)_(21))(a)_ (33))-((a)_(11))(a)_(23))((a)_(32)) \\\end(mátrix)\]

Csak most ne üljön le és ne tömje össze dühösen ezeket az indexeket! Az érthetetlen számok helyett jobb megjegyezni a következő mnemonikai szabályt:

Háromszög szabály. A 3x3-as mátrix determinánsának meghatározásához össze kell adni az elemek három szorzatát a főátlón és az egyenlő szárú háromszögek csúcsainál, amelyek oldala párhuzamos ezzel az átlóval, majd ki kell vonni ugyanazt a három szorzatot, de a másodlagos átlón. . Sematikusan így néz ki:

3x3 Mátrix Determináns: Háromszögek szabálya

Ezeket a háromszögeket (vagy pentagramokat - ahogy tetszik) szeretnek mindenféle algebrai tankönyvbe és kézikönyvbe rajzolni. Szomorú dolgokról azonban ne beszéljünk. Inkább számoljunk ki egy ilyen meghatározót – az igazi ón előtti bemelegítéshez. :)

Feladat. Számítsa ki a determinánst:

\[\bal| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(mátrix) \right|\]

Megoldás. A háromszögek szabálya szerint dolgozunk. Először is számítsunk ki három tagot, amelyek a főátlón lévő és vele párhuzamos elemekből állnak:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(igazítás) \]

Most foglalkozzunk az oldalátlóval:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(igazítás) \]

Csak ki kell vonni a másodikat az első számból - és megkapjuk a választ:

Ez minden!

A 3x3-as mátrixok determinánsai azonban még nem jelentik a tudás csúcsát. A legérdekesebb még vár ránk. :)

A determinánsok kiszámításának általános sémája

Mint tudjuk, a $n$ mátrix dimenziójának növekedésével a determináns tagok száma $n!$ és gyorsan növekszik. Végül is a faktoriális egy elég gyorsan növekvő funkció.

Már a 4x4-es mátrixoknál valahogy nem lesz jó a determinánsokat előre számolni (azaz permutációkon keresztül). Általában hallgatok az 5x5 és többről. Ezért a determináns egyes tulajdonságai az esethez kapcsolódnak, de ezek megértéséhez egy kis elméleti előkészítés szükséges.

Kész? Megy!

Mi az a mátrix moll

Legyen megadva egy tetszőleges $A=\left[ m\times n \right]$ mátrix. Megjegyzés: nem feltétlenül négyzet alakú. A determinánsokkal ellentétben a kiskorúak aranyos dolgok, amelyek nem csak a kemény négyzetmátrixokban léteznek. Ebben a mátrixban több (például $k$) sort és oszlopot választunk ki $1\le k\le m$ és $1\le k\le n$ értékkel. Akkor:

Meghatározás. A $k$ sorrendű minor a négyzetmátrix meghatározója, amely a kiválasztott $k$ oszlopok és sorok metszéspontjában jelenik meg. Ezt az új mátrixot magát is minornak fogjuk nevezni.

Az ilyen minort $((M)_(k))$ jelöli. Természetesen egy mátrixban lehet egy csomó kisebb értékű $k$ sorrend. Íme egy példa a $\left[ 5\times 6 \right]$ mátrix 2. kisebb sorrendjére:

$k = 2$ oszlopok és sorok kijelölése kiskorú kialakításához

Nem szükséges, hogy a kiválasztott sorok és oszlopok egymás mellett legyenek, mint a fenti példában. A lényeg az, hogy a kiválasztott sorok és oszlopok száma azonos legyen (ez a $k$ szám).

Van egy másik meghatározás is. Talán valakinek jobban tetszik:

Meghatározás. Legyen adott egy $A=\left[ m\times n \right]$ téglalap alakú mátrix. Ha egy vagy több oszlop és egy vagy több sor törlése után $\left[ k\times k \right]$ méretű négyzetmátrix jön létre benne, akkor annak meghatározója a kisebb $((M)_(k ))$ . Néha magát a mátrixot is minornak fogjuk nevezni – ez a szövegkörnyezetből kiderül.

Ahogy a macskám szokta mondani, néha jobb egyszer a 11. emeletről enni kapni, mint az erkélyen ülve nyávogni.

Példa. Hagyja a mátrixot

Az 1. sor és a 2. oszlop kiválasztásával az elsőrendű minort kapjuk:

\[((M)_(1))=\bal| 7\right|=7\]

A 2., 3. sort és a 3., 4. oszlopot kiválasztva egy másodrendű kisebbet kapunk:

\[((M)_(2))=\bal| \begin(mátrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(mátrix) \right|=5-18=-13\]

És ha mind a három sort kijelöli, valamint az 1., 2., 4. oszlopot, akkor egy harmadik sorrendű minor lesz:

\[((M)_(3))=\bal| \begin(mátrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(mátrix) \right|\]

Az olvasónak nem lesz nehéz más 1., 2. vagy 3. rendű kiskorúakat találnia. Ezért továbblépünk.

Algebrai összeadások

– Nos, oké, és mit adnak ezek a csatlósok nekünk kiskorúaknak? biztosan megkérdezed. Önmaguktól semmit. De négyzetes mátrixokban minden mollnak van egy „társa” - egy további moll, valamint egy algebrai összeadás. És ez a két pálcika együtt lehetővé teszi, hogy úgy csattogtassuk a meghatározókat, mint a diót.

Meghatározás. Legyen megadva egy $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix, amelyben a kisebb $((M)_(k))$ van kiválasztva. Ekkor a mellékmoll a $((M)_(k))$-hoz az eredeti $A$ mátrix egy darabja, amely megmarad az összes sor és oszlop törlése után, amely részt vesz a $((M) moll fordításában )_(k))$:

Kiegészítő molltól molltól $((M)_(2))$

Tisztázzunk egy pontot: a kiegészítő moll nem csak egy „mátrix darabja”, hanem ennek a darabnak a meghatározója.

A további kiskorúakat csillaggal jelöljük: $M_(k)^(*)$:

ahol a $A\nabla ((M)_(k))$ művelet szó szerint azt jelenti, hogy "törölje a $A$-ból a $((M)_(k))$ sorokat és oszlopokat". Ez a művelet nem általánosan elfogadott a matematikában – csak a sztori szépsége miatt találtam ki magamnak. :)

A kiegészítő kiskorúakat ritkán használják önállóan. Egy összetettebb konstrukció – az algebrai összeadás – részét képezik.

Meghatározás. A $((M)_(k))$ algebrai komplementere a $M_(k)^(*)$ komplementer minor szorozva $((\left(-1 \right))^(S)) $ , ahol $S$ az eredeti $((M)_(k))$-ban szereplő összes sor és oszlop számának összege.

Általában a $((M)_(k))$ algebrai kiegészítését $((A)_(k))$ jelöli. Ezért:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Nehéz? Első pillantásra igen. De nem pontosan. Mert tényleg könnyű. Vegyünk egy példát:

Példa. Adott egy 4x4-es mátrix:

Másodrendű minort választunk

\[((M)_(2))=\bal| \begin(mátrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(mátrix) \right|\]

Kapitány Evidence mintegy arra utal, hogy az 1. és 4. sor, valamint a 3. és 4. oszlop is részt vett ennek a minornak az összeállításában. Ezeket áthúzzuk - kapunk egy további minort:

Meg kell találni a $S$ számot, és megkapni az algebrai komplementet. Mivel ismerjük az érintett sorok (1 és 4) és oszlopok (3 és 4) számát, minden egyszerű:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\bal(-1 \jobb))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\bal(-1 \jobb) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Válasz: $((A)_(2))=-4$

Ez minden! Valójában az egész különbség egy további moll és egy algebrai összeadás között csak az előtti mínuszban van, és még akkor sem mindig.

Laplace tétele

És így eljutottunk arra a pontra, hogy valójában miért volt szükség ezekre a minorokra és algebrai kiegészítésekre.

Laplace-tétel a determináns dekompozíciójáról. Legyen $k$ sor (oszlop) kijelölve egy $\left[ n\times n \right]$ méretű mátrixban, ahol $1\le k\le n-1$. Ekkor ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő a kiválasztott sorokban (oszlopokban) szereplő $k$ rendű melléktermékek és azok algebrai komplementereinek összegével:

\[\bal| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Sőt, pontosan $C_(n)^(k)$ ilyen kifejezések lesznek.

Oké, oké: kb $C_(n)^(k)$ - már mutatom is, az eredeti Laplace-tételben semmi ilyesmi nem volt. De senki nem mondta le a kombinatorikát, és szó szerint egy felületes pillantással a feltételre, megbizonyosodhat arról, hogy pontosan ennyi kifejezés lesz. :)

Nem fogjuk bizonyítani, bár ez nem különösebben nehéz - minden számítás a jó öreg permutációkra és páros / páratlan inverziókra megy le. A bizonyítást azonban egy külön bekezdésben mutatjuk be, és ma egy tisztán gyakorlati leckénk van.

Ezért áttérünk ennek a tételnek egy speciális esetére, amikor a minorok a mátrix különálló cellái.

A determináns sor- és oszlopbővítése

Amiről most beszélni fogunk, az pontosan a determinánsokkal való munka fő eszköze, aminek érdekében elkezdődött ez a játék permutációkkal, mollokkal és algebrai kiegészítésekkel.

Olvassa el és élvezze:

Következmény a Laplace-tételből (a determináns bontása a sorban/oszlopban). Legyen egy sor kijelölve a $\left[ n\times n \right]$ mátrixban. A kiskorúak ebben a sorban $n$ egyes cellák lesznek:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

A további minorok kiszámítása is egyszerű: csak vegye az eredeti mátrixot, és húzza ki a $((a)_(ij))$ sort és oszlopot. Az ilyen kiskorúakat $M_(ij)^(*)$-nak hívjuk.

Az algebrai komplementerhez a $S$ szám is szükséges, de 1-es rendű moll esetén ez egyszerűen a $((a)_(ij))$ cella "koordinátáinak" összege:

És akkor az eredeti determináns felírható $((a)_(ij))$ és $M_(ij)^(*)$ kifejezésekkel a Laplace-tétel szerint:

\[\bal| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Az az ami sorbővítési képlet. De ugyanez igaz az oszlopokra is.

Ebből a következtetésből több következtetés is levonható:

1. Ez a séma egyformán jól működik mind a sorok, mind az oszlopok esetében. Valójában a dekompozíció leggyakrabban pontosan az oszlopok mentén megy végbe, nem pedig a vonalak mentén.
2. A tagok száma a bővítésben mindig pontosan $n$. Ez sokkal kevesebb, mint $C_(n)^(k)$ és még kevesebb, mint $n!$.
3. Egyetlen $\left[ n\times n \right]$ determináns helyett több, eggyel kisebb méretű determinánst kell számolnia: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \jobbra) \jobbra ]$.

Az utolsó tény különösen fontos. Például a brutális 4x4-es determináns helyett most elég lesz több 3x3-as determinánst megszámolni - valahogy megbirkózunk velük. :)

Feladat. Keresse meg a meghatározót:

\[\bal| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(mátrix) \right|\]

Megoldás. Bővítsük ki ezt a determinánst az első sorral:

\[\begin(align)\left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(mátrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(mátrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(mátrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(mátrix) \right|= & \\\end(igazítás)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Feladat. Keresse meg a meghatározót:

\[\bal| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|\ ]

Megoldás. A változatosság kedvéért ezúttal dolgozzunk oszlopokkal. Például az utolsó oszlopban egyszerre két nulla van - nyilvánvalóan ez jelentősen csökkenti a számításokat. Most meglátod, miért.

Tehát kiterjesztjük a determinánst a negyedik oszlopban:

\[\begin(align)\left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) jobb))^(2+4))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \) jobb))^(3+4))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \) jobb))^(4+4))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \jobbra| &\\\vége(igazítás)\]

És akkor – ó, csoda! - két kifejezés azonnal a lefolyóba repül, mivel „0” szorzóval rendelkeznek. Van még két 3x3 determináns, amellyel könnyen megbirkózhatunk:

\[\begin(align) & \left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\vége(igazítás)\]

Visszatérünk a forráshoz, és megtaláljuk a választ:

\[\bal| \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Rendben, most mindennek vége. És nem 4! = 24 kifejezést nem kellett számolni. :)

Válasz: -2

A determináns alapvető tulajdonságai

Az utolsó feladatban azt láttuk, hogy a nullák jelenléte a mátrix soraiban (oszlopaiban) drasztikusan leegyszerűsíti a determináns kiterjesztését és általában az összes számítást. Felmerül egy természetes kérdés: lehetséges-e ezeket a nullákat még abban a mátrixban is megjelentetni, ahol eredetileg nem voltak?

A válasz egyértelmű: Tud. És itt a determináns tulajdonságai jönnek a segítségünkre:

1. Ha két sort (oszlopot) helyenként felcserélünk, a determináns nem változik;
2. Ha egy sort (oszlopot) megszorozunk a $k$ számmal, akkor a teljes determinánst is megszorozzuk a $k$ számmal;
3. Ha veszünk egy karakterláncot, és akárhányszor hozzáadjuk (kivonjuk) a másikból, a determináns nem változik;
4. Ha a determináns két sora azonos vagy arányos, vagy az egyik sor nullákkal van kitöltve, akkor a teljes determináns nullával egyenlő;
5. A fenti tulajdonságok mindegyike igaz az oszlopokra is.
6. Egy mátrix transzponálása nem változtatja meg a determinánst;
7. A mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a determinánsok szorzatával.

Különösen értékes a harmadik tulajdonság: tudjuk kivonni az egyik sorból (oszlopból) a másikat, amíg nullák nem jelennek meg a megfelelő helyeken.

Leggyakrabban a számítások során a teljes oszlopot mindenhol „nullázzuk”, kivéve egy elemet, majd a determinánst ezen az oszlopon kiterjesztjük, így 1-el kisebb mátrixot kapunk.

Lássuk, hogyan működik ez a gyakorlatban:

Feladat. Keresse meg a meghatározót:

\[\bal| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(mátrix) \right|\ ]

Megoldás. A nullákat itt, úgymond, egyáltalán nem figyelik meg, így bármelyik sort vagy oszlopot „üregesítheti” - a számítások mennyisége megközelítőleg azonos lesz. Ne legyünk apróságok, és "nullázzuk le" az első oszlopot: már van benne egy egységnyi cella, tehát csak vegyük az első sort, és vonjuk ki 4-szer a másodikból, 3-szor a harmadikból és 2-szer az utolsóból.

Ennek eredményeként egy új mátrixot kapunk, de a meghatározója ugyanaz lesz:

\[\begin(mátrix)\left| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(mátrix) \right|\ kezdő(mátrix) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(mátrix)= \\ =\left| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(mátrix) \right|= \\ =\left| \begin(mátrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(mátrix)\jobbra| \\\end(mátrix)\]

Most a Malac egyenrangúságával felbontjuk ezt a determinánst az első oszlopban:

\[\begin(mátrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(mátrix) \right|+0\cdot ((\) left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \jobbra|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \jobbra| \\\end(mátrix)\]

Nyilvánvaló, hogy csak az első tag „túlél” - a többiben nem is írtam ki a meghatározókat, mivel még mindig nullával szoroznak. A determináns előtti együttható eggyel egyenlő, azaz. lehet, hogy nem rögzítik.

De a determináns mindhárom sorából kiveheti a "mínuszokat". Valójában háromszor vettük ki a (−1) tényezőt:

\[\bal| \begin(mátrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(mátrix) \right|=\cdot \left| \begin(mátrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(mátrix) \right|\]

3x3 kis determinánst kaptunk, ami már a háromszögek szabálya szerint is kiszámolható. De megpróbáljuk lebontani az első oszlopban - az utolsó sor előnye büszkén egy:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(mátrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(mátrix) \right|\begin(mátrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(mátrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(mátrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(mátrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(mátrix) \jobbra| \\\vége(igazítás)\]

Természetesen továbbra is lehet szórakozni, és sorban (oszlopban) bontani a 2x2-es mátrixot, de mi megfelelőek vagyunk veled, így csak kiszámoljuk a választ:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(mátrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(mátrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Így törnek össze az álmok. Csak -160 a válasz. :)

Válasz: -160.

Néhány megjegyzés, mielőtt rátérnénk az utolsó feladatra:

1. Az eredeti mátrix szimmetrikus volt a másodlagos átlóhoz képest. A dekompozícióban szereplő összes minor szintén szimmetrikus ugyanahhoz a másodlagos átlóhoz képest.
2. Szigorúan véve nem fektethetnénk ki semmit, hanem egyszerűen a mátrixot egy felső háromszög alakúra hoztuk, amikor a főátló alatt tömör nullák vannak. Ekkor (egyébként pontosan a geometriai értelmezésnek megfelelően) a determináns egyenlő a $((a)_(ii))$ szorzatával, a főátlón lévő számokkal.

Feladat. Keresse meg a meghatározót:

\[\bal| \begin(mátrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(mátrix) \right|\ ]

Megoldás. Nos, itt az első sor csak a "nullázásért" könyörög. Vegyük az első oszlopot, és pontosan egyszer vonjuk ki a többiből:

\[\begin(align) & \left| \begin(mátrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(mátrix) \right|= \\&=\left| \begin(mátrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(mátrix) \right|= \\ & =\left| \begin(mátrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(mátrix) \right| \\\vége(igazítás)\]

Bontsa ki az első sort, majd vegye ki a közös tényezőket a többi sorból:

\[\cdot\left| \begin(mátrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(mátrix) \right|=\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(mátrix) \right|\]

Ismét „gyönyörű” számokat figyelünk meg, de már az első oszlopban - ennek megfelelően bontjuk fel a determinánst:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(mátrix) \right|\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(mátrix)=240\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(mátrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \) jobb))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(mátrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( igazítsa)\]

Rendelés. Probléma megoldódott.

Válasz: 1440

Négyzetes mátrix A rendelés n egyezhet a det számmal A(vagy | A|, vagy ), hívta döntő , a következő módon:

Mátrix meghatározó A hívd őt is döntő . A sorrendi mátrix determinánsának kiszámításának szabálya N elég nehéz megérteni és alkalmazni. Ismertek azonban olyan módszerek, amelyek lehetővé teszik a magasabb rendű determinánsok alacsonyabb rendű determinánsokon alapuló számításának megvalósítását. Az egyik módszer azon a tulajdonságon alapszik, hogy a determinánst egy bizonyos sorozat elemeire kiterjesztjük (7. tulajdonság). Ugyanakkor megjegyezzük, hogy kívánatos az alacsony rendű determinánsok (1, 2, 3) kiszámítása a definíció szerint.

A másodrendű determináns számítását a diagram szemlélteti:

4.1. példa. Keresse meg a mátrixok determinánsait!

A 3. rendű determináns kiszámításakor kényelmesen használható háromszög szabály (vagy Sarrus), amely szimbolikusan a következőképpen írható fel:

4.2. példa. Számítsa ki a mátrix determinánst

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Fogalmazzuk meg az összes rend determinánsában rejlő determinánsok főbb tulajdonságait. Magyarázzunk meg néhány ilyen tulajdonságot harmadrendű determinánsok segítségével.

1. tulajdonság ("Sorok és oszlopok egyenlősége"). A determináns nem változik, ha sorait oszlopok helyettesítik, és fordítva. Más szavakkal,

A következőkben a sorok és oszlopok egyszerűen meg lesznek hívva soraiban a determináns .

2. tulajdonság . Ha két párhuzamos sort felcserélünk, a determináns előjelet vált.

3. tulajdonság . Az a determináns, amelynek két egyforma sora van, nulla.

4. tulajdonság . A determináns bármely sorának elemeinek közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.

A 3. és 4. tulajdonságból az következik hogy ha egy bizonyos sorozat minden eleme arányos egy párhuzamos sorozat megfelelő elemeivel, akkor egy ilyen determináns egyenlő nullával.

Igazán,

5. ingatlan . Ha a determináns bármely sorozatának elemei két tag összegei, akkor a determináns felbontható a két megfelelő determináns összegére.

Például,

6. ingatlan. ("A determináns elemi transzformációi"). A determináns nem változik, ha egy sor elemeihez hozzáadjuk a párhuzamos sor megfelelő elemeit tetszőleges számmal megszorozva.

4.3. példa. Bizonyítsd

Megoldás: Valóban, az 5., 4. és 3. tulajdonság használatával megtanuljuk

A determinánsok további tulajdonságai a moll és az algebrai komplement fogalmához kapcsolódnak.

Kisebb valamilyen elem aij döntő n- th sorrendet determinánsnak nevezzük n- 1. sorrend, az eredetiből annak a sornak és oszlopnak az áthúzásával nyert, amelynek metszéspontjában a kiválasztott elem található. Jelölve mij

Algebrai összeadás elem aij determinánst nevezzük mollnak, pluszjellel vesszük, ha az összeg i + j páros szám, és mínuszjellel, ha ez az összeg páratlan. Jelölve Aij :

7. ingatlan ("A determináns bontása egy bizonyos sorozat elemei szerint"). A determináns egy bizonyos sorozat elemei és a hozzájuk tartozó algebrai komplementerek szorzatának összegével egyenlő.

A közgazdaságtanban a legtöbb matematikai modellt mátrixok és mátrixszámítások segítségével írják le.

Mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely számokat, függvényeket, egyenleteket vagy más matematikai objektumokat tartalmaz sorokba és oszlopokba rendezve.

A mátrixot alkotó objektumok úgy hívják elemeket . A mátrixokat nagy latin betűkkel jelöljük

elemeik pedig inline-ek.

Szimbólum
azt jelenti, hogy a mátrix Megvan
vonalak és oszlopok elem a kereszteződésben -edik sor és -adik oszlop
.

.

Azt mondják, hogy a mátrix A egyenlő a mátrixszal BAN BEN : A=B ha azonos szerkezetűek (azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van), és a hozzájuk tartozó elemeik azonosak
, mindenkinek
.

Különleges típusú mátrixok

A gyakorlatban gyakran találkozunk speciális alakú mátrixokkal. Egyes módszerek mátrixok transzformációját is magukban foglalják egyik típusból a másikba. Az alábbiakban felsoroljuk a leggyakoribb mátrixtípusokat.

	négyzetmátrix, sorok száma n megegyezik az oszlopok számával n
	oszlopmátrix
	mátrix-sor
	alsó háromszögmátrix
	felső háromszögmátrix
	nullmátrix
	átlós mátrix
E =	identitásmátrix E(négyzet)
	egységes mátrix
	lépésmátrix
	Üres mátrix

A mátrix elemei, egyenlő számú sorral és oszloppal, azaz a ii alkotják a mátrix főátlóját.

Műveletek mátrixokon.

.

Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai

Működésspecifikus tulajdonságok

Ha a mátrixszorzat
létezik, akkor a termék
lehet, hogy nem létezik. Általában véve,
. Vagyis a mátrixszorzás nem kommutatív. Ha
, Azt És kommutatívnak nevezzük. Például az azonos sorrendű átlós mátrixok kommutatívak.

Ha
, majd nem kötelező
vagy
. Vagyis a nem nulla mátrixok szorzata adhat nulla mátrixot. Például

hatványozási művelet csak négyzetmátrixokra van definiálva. Ha
, Azt

.

Definíció szerint feltételezik
, és ezt könnyű kimutatni
,
. Vegye figyelembe, hogy a
ebből nem következik
.

Elemenkénti hatványozás A. m =
.

Transzponálási művelet A mátrix a mátrix sorait az oszlopaira cseréli:

,

Például

,
.

Tulajdonságok átültetése:

Determinánsok és tulajdonságaik.

A négyzetmátrixok esetében gyakran használják ezt a fogalmat döntő - egy szám, amelyet a mátrix elemei szigorúan meghatározott szabályok alapján számítanak ki. Ez a szám a mátrix fontos jellemzője, és szimbólumokkal jelöljük

.

mátrix meghatározó
az eleme .

Mátrix meghatározó
szabály szerint számítva:

azaz a további átló elemeinek szorzatát kivonjuk a főátló elemeinek szorzatából.

A magasabb rendű determinánsok kiszámításához (
) szükséges bevezetni egy elem moll és algebrai komplementere fogalmát.

Kisebb
elem determinánsnak nevezzük, amelyet a mátrixból kapunk , áthúzva -edik sor és -adik oszlop.

Tekintsük a mátrixot méret
:

,

akkor pl.

Algebrai összeadás elem nevezzük kiskorúnak szorozva
.

,

Laplace tétele: A négyzetmátrix determinánsa megegyezik bármely sor (oszlop) elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.

Például tönkretenni
az első sor elemei alapján a következőket kapjuk:

Az utolsó tétel univerzális módszert ad bármilyen sorrendű determinánsok kiszámítására, a másodiktól kezdve. Sornak (oszlopnak) mindig azt válassza, amelyben a legtöbb nulla van. Például ki kell számítani a negyedrendű determinánst

Ebben az esetben az első oszlopban kibővítheti a determinánst:

vagy az utolsó sor:

Ez a példa azt is mutatja, hogy egy felső háromszög mátrix determinánsa egyenlő az átlós elemeinek szorzatával. Könnyű bizonyítani, hogy ez a következtetés bármely háromszög- és átlós mátrixra érvényes.

Laplace tétele lehetővé teszi a determináns számításának csökkentését - a számítási sorrend meghatározó tényezők
rendű és végső soron a másodrendű determinánsok kiszámításához.