hol - néhány szám (néhány ilyen szám, vagy akár mindenki nulla lehet). Ez azt jelenti, hogy az alábbiak jelenléte az oszlopelemek között:

vagy,.

(3.3.1) azt jelenti, hogy

(3.3.2)

hol van a nulla vonal.

Meghatározás. A mátrix vonalai és lineárisan függőek, ha vannak olyan számok, amelyek ugyanakkor nem egyenlőek nulla,

(3.3.3)

Ha az egyenlőség (3.3.3) helyes, akkor csak akkor, ha a vonalakat lineárisan függetlennek nevezik. Az arány (3.3.2) azt mutatja, hogy ha az egyik sor lineárisan expresszálódik a többi, a vonalak lineárisan függenek.

Könnyű látni és fordítva: Ha a vonalak lineárisan függenek, akkor van egy karakterlánc, amely a fennmaradó vonalak lineáris kombinációja lesz.

Legyen például (3.3.3.) .

Meghatározás. Hagyja, hogy a mátrixban kevés kiskorú legyenr. -o rendelés és kiskorú (r. +1) Az ugyanazon mátrix sorrendje önmagában tartalmazza az egészet. Azt fogjuk mondani, hogy ebben az esetben a kiskorú berendezések (vagy határolják).

Most fontos lemmát bizonyítunk.

Lemma A határos bányászokról. Ha kisebb rendr. A mátrixok a \u003d különböznek a nullától, és az összes fókuszáló kiskorú nulla, akkor a mátrix bármely karakterlánc (oszlopa) a sorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Nem zavarja az érvelés általánosságát, feltételezzük, hogy különbözik a nulla kiskorúságotólr. -o megrendelés áll a mátrix bal felső sarkában \u003d:

Az első K. A mátrix sorai A lemma nyilatkozata nyilvánvaló: elegendő egy lineáris kombinációba, hogy ugyanazt a karakterláncot tartalmazza, amelynek együtthatója egy, és a többi együtthatóval együtt - nulla együttható.

Most azt bizonyítjuk, hogy a mátrix fennmaradó vonalai lineárisan expresszálódnak az elsők. Vonalak. Ehhez építsen kisebbet (r. +1) -Go megrendelés a kiskorú hozzáadásávalk-szerű sor () és l.-To oszlop ():

A kapott kiskorú egyáltalán nullak és L. . Ha két azonos oszlopot tartalmaz. Ha a kapott kiskorú kiskorú kisebb, ezért a lemma állapota nulla.

Az utóbbi elemeirel.- oszlop:

(3.3.4)

ahol - az elemek algebrai kiegészítései. Az algebrai adagolás ezért kisebb mátrix. Mi osztjuk (3.3.4), és kifejezni:

(3.3.5)

hol,.

Hiszünk, kapunk:

(3.3.6)

A kifejezés (3.3.6) azt jelenti, hogyk. - A mátrix sztringje vagyok, és lineárisan kifejezve az elsőr sorok.

Mivel a mátrix átültetése során pénzeszközei nem változnak (a determinánsok tulajdonságai miatt), akkor minden bizonyítottan tisztességes és oszlopok. A tétel bizonyítható.

COROLLARY I. . A mátrix bármely karakterlánc (oszlopa) a kiindulási karakterláncok (oszlopok) lineáris kombinációja. Valójában az alap kisebb mátrix különbözik a nullától, és az összes határérték nulla.

II. Corollary. Határozott N. -o megrendelés, majd csak akkor egyenlő nullával, ha lineárisan függő vonalakat (oszlopokat) tartalmaz. A húrok lineáris függősége (oszlopok) a determináns nulla egyenlőségéhez (oszlopok) elegendősége korábban bizonyítható a determinánsok tulajdonában.

Bizonyítjuk, hogy szükségünk van. Hagyja adni egy négyzetes mátrixotn. -O megrendelés, az egyetlen kiskorú, amely nulla. Ebből következik, hogy a mátrix rangja kisebbn. . Legalább egy sor van, ami a mátrix alapvonalainak lineáris kombinációja.

A mátrix rangjának egy másik tételét bizonyítjuk.

Tétel. A mátrix lineárisan független vonalának maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával és egyenlő a mátrix rangjával.

Bizonyíték. Hagyja, hogy a mátrix rangja \u003d egyenlőr. Akkor bárki Az alapvető karakterláncok lineárisan függetlenek, ellenkező esetben az alap kisebb lenne nulla. Másrészt, bármelyikr. +1 és több vonal lineárisan függ. Feltételezve csúnya, több mintr. , eltér a nullától a 2 előző lemma következtében. Az utóbbi ellentmond az a ténynek, hogy a nullán kívüli kiskorúak maximális sorrendje egyenlőr. . A húrokhoz igazodva igaz az oszlopokra.

Összefoglalva, bemutatunk egy másik módszert a mátrix rangjának megtalálására. A mátrix rangja akkor definiálható, ha a nullától eltérő maximális rendű kisebbséget találja.

Első pillantásra számításokat igényel, bár a végleges, de talán nagyon nagy számú kiskorú kiskorú a mátrix.

A következő tétel lehetővé teszi azonban, hogy hozzájáruljon ehhez a jelentős egyszerűsítéshez.

Tétel. Ha a kisebb mátrix eltér a nullától, és az összes harisnya nulla, akkor a mátrix rangja egyenlőr.

Bizonyíték. Elég, ha megmutatja, hogy a mátrix sorai alrendszere, amikorS\u003e R. Ez lesz a feltételeket, a tétel lineárisan függ (innen fogja követni, hogy R jelentése a maximális számú lineárisan független sorok a mátrix vagy annak bármely kiskorúak rend több, mintk nulla).

Tegyük fel, hogy csúnya. Hagyja, hogy a vonalak lineárisan függetlenek legyenek. A határoló bányászokról szóló lemmában mindegyikük lineárisan fejeződik ki azokban a sorokban, ahol a kiskorú, és amely a nulla, lineárisan független,

(3.3.7)

Fontolja meg a mátrixot a lineáris kifejezések együtthatókból (3.3.7):

A mátrix vonalakat jelöli . Lineárisan függenek, mivel a k, azaz a mátrix rangja, azaz A lineárisan független vonalak maximális száma nem haladja megr.< S . Ezért vannak olyan számok, amelyek nem mindegyike nulla

Forduljunk az összetevő egyenlőségéhez

(3.3.8)

Most tekintse meg a következő lineáris kombinációt:

vagy

Tekintsünk tetszőleges, opcionálisan négyzet, mátrix MXN méret.

Rank mátrix.

A mátrix fokozatának koncepciója a mátrix húrok (oszlopok) lineáris függőségének (függetlenségének) koncepciójához kapcsolódik. Tekintsük ezt a koncepciót a húrokra. Oszlopokhoz - hasonlóan.

Jelöli a mátrix csatornáját:

e 1 \u003d (A 11, A 12, ... és 1N); E 2 \u003d (A 21 és 22, ... és 2N); ..., e m \u003d (és m2, és m2, ... és MN)

e k \u003d e, ha egy kj \u003d egy sj, j \u003d 1,2, ..., n

A mátrix húrjain (addíciós, számmal végzett szorzás) származó aritmetikai műveletek az Elementary: λe k \u003d (λa k1, λa k2, ..., λa kN) műveleteként kerülnek bevezetésre;

e k + e s \u003d [(a k1 + egy s1), (K2 + A S2), ..., (kn + egy SN)].

Az E vonalat hívják lineáris kombináció Az E 1, E 2, ..., e K sorok, ha megegyezik ezeknek a soroknak a munkáinak mennyiségével, hogy önkényes érvényes számokkal rendelkezzenek:

e \u003d λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + ... + λ k e

Vonalak e 1, e 2, ..., e m hívott lineárisan függőHa érvényes számok vannak λ 1, λ2, ..., λ m, nem mindegyik egyenlő nulla, hogy ezeknek a soroknak a lineáris kombinációja megegyezik a nulla vonallal: λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + ... + λ mem \u003d 0 ,Hol 0 =(0,0,…,0) (1)

Ha a lineáris kombináció nulla, ha és csak akkor, ha az összes λ-os együtthatók nulla (λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0), akkor az e 1, e 2, ..., e m vonalak hívják lineárisan független.

1. tétel.. Annak érdekében, hogy az E 1, E 2, ..., E M vonal lineárisan függő legyen, szükség van rá, és elegendő ahhoz, hogy az egyik ilyen vonal a fennmaradó vonalak lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték. Szükségesség. Hagyja, hogy az E 1, E 2, ..., E M sorok lineárisan függjenek. Hagyja, hogy a határozottság (1) λ m ≠ 0, akkor

Így Az E M vonal a fennmaradó vonalak lineáris kombinációja. Ch.t.d.

Kielégülés. Hagyja, hogy az egyik húr, például az E M, a fennmaradó vonalak lineáris kombinációja. Ezután vannak olyan számok, amelyeket úgy végeznek, hogy az egyenlőséget olyan formában lehet átírni

ahol az együtthatók közül legalább 1, (-1) nem nulla. Azok. Lineárisan függő vonalak. Ch.t.d.

Meghatározás. Kis K-TH rendelés A mátrixot és az MXN méretét K-TH-rendnek nevezik, az elemek bármely K sorának metszéspontjával és az A mátrix bármely k oszlopán fekvő elemekkel. (K≤min (m, n)). .

Példa., Az első sorrendben lévő kiskorúak: \u003d, \u003d;

a 2. sorrendben lévő kiskorúak:, 3. sorrendben

Az 1. sorrend 9-es évének 3. sorrendjének mátrixa, a 2. sorrend 9 kiskorúsága és a 3. sorrendben lévő 1 kisiság (a mátrix meghatározó).

Meghatározás. RAND MATRIX A. Ezt a mátrix nulla kiskorújától a legmagasabb rendnek hívják. Megnevezés - RG A vagy R (A).

A RAND MATRIX tulajdonságai.

1) Az NXM mátrix rangja nem haladja meg a méretét, azaz azaz méretét, azaz

r (a) ≤min (m, n).

2) R (a) \u003d 0, ha a mátrix összes eleme 0, azaz A \u003d 0.

3) A négyzetmátrix egy n -go sorrendben R (A) \u003d N, amikor egy nondegenerátum.

(Az átlós mátrix rangja megegyezik a nem nulla átlós elemeinek számával).

4) Ha a mátrix rangja R egyenlő, akkor a mátrixnak legalább egy kis kisebbsége van, amely r, nem egyenlő nulla, és a nagy megrendelések összes kiskorú nulla.

A mátrix soraihoz a következő arányok:

2) R (A + B) ≤R (A) + R (b); 3) r (ab) ≤min (r (a), r (b));

3) R (A + B) ≥Ar (A) -R (b) │; 4) r (a t a) \u003d r (a);

5) r (ab) \u003d r (a), ha egy négyzet alakú nondegenerátum mátrixban van.

6) R (ab) ≥r (A) + R (B) -N, ahol N-számú oszlopok a mátrix A vagy a Mátrix V.

Meghatározás. Nenulul Mindorrend R (A) -t hívják kisebb.. (A mátrixnak több alapvető kiskorú) lehet). Sorok és oszlopok, amelyek metszéspontjában az alap kiskorúak, hívják alapvető karakterláncok és alaposzlopok.

Tétel 2 (az alapon kisebb).Az alapvonalak (oszlopok) lineárisan függetlenek. Bármilyen karakterlánc (bármely oszlop) A mátrix az alapvető karakterláncok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. (Húrok esetén). Ha az alapvonalak lineárisan függenek, akkor a tétel (1) szerint az egyik ilyen sor más alapvonalak lineáris kombinációja lineáris kombinációja lineáris kombinációja lineáris kombinációja lineáris kombinációja nélkül, anélkül, hogy megváltoztatná az alapkinek értékeit, kivonhatja ezt a sorból a megadott lineáris Kombináció és nulla vonalat kap, és ez ellentétes, hogy az alap kiskorú eltér a nullától. Így Az alapvonalak lineárisan függetlenek.

Bizonyítjuk, hogy az A mátrix bármely karakterlánc az alapvonalak lineáris kombinációja. Mivel A karakterláncok (oszlopok) tetszőleges változásával a meghatározó megőrzi az egyenlőség nulla tulajdonát, majd korlátozva a közösséget, úgy tekinthető, hogy a mátrix bal felső sarkában van

A \u003d,azok. Az első r vonalon és az első r oszlopon található. Legyen 1 £ j £ n, 1 £ I £ m. Megmutatjuk, hogy a determináns (R + 1) megrendelés

Ha J £ r vagy i £ r, akkor ez a meghatározó nulla, mert Két azonos oszlopa vagy két azonos húr lesz.

Ha J\u003e R és I\u003e R, akkor ez a meghatározó egy kisebb (R + 1) -GO -go-a mátrix. A mátrix rangja R, ami azt jelenti, hogy a nagyobb sorrend kisebb 0.

Összecsukható az utolsó (hozzáadott) oszlop elemeire

a 1J A 1J + A 2J A 2J + ... + A RJ A RJ + A IJ A IJ \u003d 0, ahol az utolsó algebrai kiegészítés egy ij egybeesik az M R bázis kisebb, és ezért IJ \u003d M R ≠ 0.

Az IJ legutóbbi egyenlőség megosztásával az IJ elemet lineáris kombinációként fejezzük ki: ahol.

Javítsa ki az I (I\u003e R) értéket, és bármilyen j-t kapjuk (J \u003d 1,2, ..., n) Az EI I-TH vonal elemei lineárisan expresszálódnak az E 1, E vonalak elemei révén 2, ..., er, t. E. Az I-I vonal az alapvonalak lineáris kombinációja :. Ch.t.d.

3. tétel (szükséges és elegendő egyenlőségi feltétel nulla meghatározó).Annak érdekében, hogy az N-TH rendelés D determináns nulla legyen, szükség van és elegendő, hogy vonalak (oszlopok) lineárisan függjenek.

Bizonyíték (p.40). Szükségesség. Ha az N-TH rendelés d determinider nulla, akkor a mátrix alapkise r

Tehát egy sor mások lineáris kombinációja. Ezután az 1 vonal tétel szerint a meghatározó lineárisan függ.

Kielégülés. Ha a D sorok lineárisan függenek, akkor az 1-es tétel által egy I. vonal a fennmaradó vonalak lineáris kombinációja. A megadott lineáris kombináció sorából és i-ről, anélkül, hogy megváltoztatnánk a D értékeket, nulla vonalat kapunk. Következésképpen a determinánsok tulajdonságai szerint D \u003d 0. Ch.t.d.

Tétel 4.Elemi transzformációk esetén a mátrix fokozatja nem változik.

Bizonyíték. Mint láttuk, a figyelmet a tulajdonságait meghatározó, az átalakulások négyzetes mátrixok, ezek meghatározó amelyek vagy nem változott, vagy többszörösen egy nem nulla szám, vagy változtassa meg a jel. Ugyanakkor a nullán kívüli kezdeti mátrixok legmagasabb rendje megmarad, azaz A mátrix rangja nem változik. Ch.t.d.

Ha r (a) \u003d r (b), akkor a és b - egyenértékű: a ~ in.

5. tétel.Az elemi átalakítások segítségével a mátrixot hozhatja fokozatosan.A mátrixot hívják lépés, ha úgy néz ki:

A \u003d, ahol A II ≠ 0, I \u003d 1,2, ..., R; R≤k.

Feltételek Az R≤K mindig átültetéssel érhető el.

Tétel 6.A lépcsőzetes mátrix rangja megegyezik a nulla húrok számával .

Azok. A lépcsőzetes mátrix rangja R, mert A nulla kisebb sorrendtől eltérő:

Fordított mátrix, algoritmus a visszatérő mátrix kiszámításához.

A lineáris algebrai egyenletek rendszere, a lejtő, a homogenitás és a heterogenitás, a kompatibilitás és a hiányosság, a lejtő meghatározása, a lejtés írása és megoldásainak mátrix formája

Square Systems, Cramer módszer

Elemi transzformációk Slava. Gauss módszer kutatás Slava.

A közös kritériuma Slava, a Kononker-Capelli tétel, a geometriai értelmezése a példa 2 egyenletek 2 ismeretlenek.

Egységes Slam. Az oldatok tulajdonságai, FSER, Tétel a homogén rendszer teljes oldatán. A nem triviális megoldás létezésére vonatkozó kritérium.

Inhomogén Slava. A heterogén lejtő oldatának szerkezetére szolgáló tétel. Az algoritmus az inhomogén szláv megoldására.

A lineáris (vektor) tér meghatározása. Példák az LP-re.

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok. Lineáris függőség kritériuma.

Elegendő feltétele az LP vektorok lineáris függőségének és lineáris függetlenségének. Példák a lineáris független rendszerekre a húrok, polinomok, mátrixok.

Az LP izomorfizmusa. Kritérium izomorf lp.

Subspace LP és lineáris héjak vektorok. A lineáris héj dimenziója.

Tétel az alap feltöltésével

A szubtercekek metszéspontja és mennyisége, a közvetlen alosztály mennyisége. Az alterületek mennyiségének dimenziójára vonatkozó tétel.

A homogén lejtőn, dimenziója és alapja. Az FSR-n keresztül homogén szláv általános oldatának kifejezése.

Az átmenet egy LD alapról a másikra és annak tulajdonságaira. Vektoros koordináták konvertálása más alapra váltáskor.

A lineáris operátorok, lineáris leképezések és lineáris transzformációk meghatározása és példái

Lineáris operátor mátrix, vektoros képkoordináták készlete

Lineáris operátorokkal rendelkező intézkedések. Lineáris tér lo

Tétel a lineáris transzformációk egy sor négyzetmátrixban történő izomorficitásán

A lineáris transzformációk mátrixja. Példák az üzemeltető mátrixok keresésére.

A fordított üzemeltető meghatározása és tulajdonságai, mátrixja.

A lineáris operátor fordulatszámának kritériuma. Példák a reverzibilis és visszafordíthatatlan üzemeltetőkre.

A lineáris operátor mátrixának átalakítása egy másik alapra váltáskor.

A lineáris operátor meghatározó és jellegzetes polinosa, az invariánusuk az alap átalakulása tekintetében.

A rendszermag és a lineáris üzemeltető képe. A nucleus és a kép méretének összege. A rendszermag megtalálása és egy lineáris operátor képe rögzített bázisban. Rang és hiba lineáris operátor.

A magnak az invarianusának és a viszonylag permutációnak a látványa viszonylag permutációja

Algebrai és geometriai sokféle saját értékek és kapcsolatuk.

Kritérium a diagonalizáció a mátrix a lineáris operátor, elégséges feltételei a diagonalizáció a lineáris üzemben.

THEOREM HAMILTON CALI

Lineáris algebra

Slava elmélete.

Mátrix, mátrixok, fordított mátrix. Mátrixegyenletek és megoldások.

A Mátrix- egy bizonyos sorrendben elhelyezkedő tetszőleges számú téglalap alakú táblázat, m * n méretű (sorok oszloponként). A mátrix elemek jelzik, ahol az i sorszám, AJ - az oszlop száma.

Kiegészítés (kivonás) A mátrixokat csak eldobható mátrixokra definiálják. A mátrixok mennyisége (különbsége) - mátrix, amelyek elemei a kezdeti mátrixok elemeinek összege (különbsége).

Szorzás (divízió)szám- A mátrix mindegyik elemének többszörözése (részlege).

A mátrixok szorzása csak mátrixok esetében definiálódik, az első oszlopok száma megegyezik a második karakterláncok számával.

Mátrix szorzás- Mátrix, amelynek elemei a képletek adnak:

A mátrix átültetése- Ilyen mátrix, vonalak (oszlopok) oszlopok (vonalak) a forrásmátrixban. Jelöli

inverz mátrix

Mátrixegyenletek- A forma * x \u003d B egyenletei a mátrixok terméke, az egyenletre adott válasz a mátrix, amely a szabályok segítségével:

A mátrix oszlopok (húrok) lineáris függése és függetlensége. A lineáris függőség kritériuma, elegendő feltételei a mátrix oszlopainak lineáris függőségére (húrok).

A sorrendszer (oszlopok) hívják lineárisan függetlenha a lineáris kombinációjával triviális (a egyenlőség végezzük csak az opcionális ... n \u003d 0), wherea1 ... n - oszlopok (vonalak), AA1 ... N - bomlás együtthatók.

Kritérium: Annak érdekében, hogy a vektorok lineárisan függjenek, szükséges és elegendő a lineárisan kifejezett rendszervektorok legalább egyike számára a rendszervektorok többi részén keresztül.

Elegendő állapot:

A mátrix meghatározóit és tulajdonságait

Meghatározott mátrix (determináns)- olyan szám, amely egy négyzetmátrix esetében a mátrixelemek kiszámítható a képlet szerint:

ahol - további kisebb elem

Tulajdonságok:

Fordított mátrix, algoritmus a visszatérő mátrix kiszámításához.

inverz mátrix- Egy ilyen négyzetmátrix, amely ugyanezen sorrendű négyzetmátrixával együtt elégedett az állapotával: a mátrix egyetlen mátrix, ugyanaz a sorrend, hogy IA. Bármely négyzetmátrix determináns, nem egyenlő nulla, 1 fordított mátrix. Az elemi transzformációk módszerével és a képlet segítségével történik:

A mátrix fokozatának fogalma. Tétel az alap kiskorú. Egyenlőség kritérium nulla meghatározó a mátrix. Elemi mátrixok átalakítása. A rangsor kiszámítása elemi átalakításokkal. Az inverz mátrix kiszámítása az elemi transzformációk módszerével.

RAND MATRIX -az alapok sorrendje (RG A)

Bázis kisebb -a kiskorú nem egyenlő nulla, oly módon, hogy az összes R + 1 és újabb rendész nulla vagy nem létezik.

Tétel a Kisebb alapon -Egy tetszőleges mátrixban, és az egyes oszlopok (string) az oszlopok (vonalak) lineáris kombinációja, amelyben az alap kisebb.

Bizonyíték:Tegyük fel, hogy m * n mátrixokban az alap kisebb az első r vonalon és az első R oszlopban található. Tekintsük a determináns, amelyet úgy kapunk, tulajdonít a bázis kisebb a mátrix és a megfelelő elemek a s-sor és a K-edik oszlop.

Ne feledje, hogy bármilyen stúdióval a meghatározó nulla. Ha Ön, akkor a meghatározó két azonos húr vagy két azonos oszlopot tartalmaz. Ha van, akkor a D determináns n nulla, mivel ez egy kisebb (R + λ) -ro megrendelés. Az utolsó sorban lévő determináns éneklése: ahol az algebrai kiegészítések az utolsó sor elemeihez. Ne feledje, hogy mivel ez az alap kisebb. Ezért, hol Az utolsó egyenlőség írása, kap . K-TH oszlop (bármilyen) Az alap kisebb oszlopok lineáris kombinációja, amelyet be kellett bizonyítani.

D. kritériumeTA \u003d 0.- A meghatározó nulla, ha és csak akkor, ha a vonalak (oszlopok) lineárisan függenek.

Elemi transzformációk:

1) A karakterlánc szorzása eltér a nullától;

2) Adja hozzá egy másik vonal elemeinek egy sorának elemeit;

3) a húrok permutációja;

4) ugyanazon sorok (oszlopok) törlése;

5) átültetés;

Rank számítás -Az alapvető kisebb tételből következik, hogy a rangsorban a mátrix megegyezik a maximális számú lineárisan független sorok (oszlopok a mátrixban), ezért a feladat az elemi transzformációk megtalálni lineárisan független sorok (oszlopok).

A visszatérési mátrix kiszámítása- transzformációk lehet végrehajtani megszorozzuk egy mátrix egy bizonyos T mátrix, amely a termék a megfelelő elemi mátrixok: Ta \u003d E.

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az átalakító mátrix t egy fordított mátrix a mátrixhoz. Ezután,

Ne feledje, hogy a mátrix húrjainak és oszlopai aritmetikai méretű vektorokként tekinthetők. m. és n., illetve. Így a méretek mátrixát úgy értelmezhetjük, mint egy megoldás m. n.-Momes vagy n. m.- Dimenziós aritmetikai vektorok. Ennek analógiájára geometriai vektorok, bemutatjuk a fogalmak lineáris függés és lineáris függetlensége sorok és oszlopok a mátrixban.

4.8.1. Meghatározás. Vonal
hívott a karakterlánc lineáris kombinációja Együtthatókkal
Ha az egyenlőség igaz a vonal minden elemére:

,
.

4.8.2. Meghatározás.

Húrok
hívott lineárisan függőHa nincsen triviális lineáris kombinációjuk egyenlő a nulla vonallal, azaz Olyan nem minden egyenlő nulla szám

,
.

4.8.3. Meghatározás.

Húrok
hívott lineárisan függetlenHacsak a triviális lineáris kombinációjuk nem egyenlő a nulla vonallal, azaz

4.8.4. Tétel. (A mátrix lineáris függősorai kritériuma)

Annak érdekében, hogy a vonalak lineárisan függjenek, szükséges, és elegendő ahhoz, hogy legalább együk legyen a többiek lineáris kombinációja.

Bizonyíték:

Szükségesség. Húrok
lineárisan függő, akkor vannak nem triviális lineáris kombinációjuk, egyenlő a nulla vonallal:

Általános korlátozás nélkül feltételezzük, hogy az első a lineáris kombináció együtthatója eltér a nullától (különben renumja a húrokat). Ez az arány megosztása , kap

vagyis az első sor a többiek lineáris kombinációja.

Megfelelőség. Hagyja, hogy az egyik vonal, például, , akkor a többiek lineáris kombinációja

vagyis van egy nem triviális lineáris sor kombináció
egyenlő a nulla vonallal:

Így vonalak
lineárisan attól függ, hogy mit kellett bizonyítani.

Megjegyzés.

Hasonló definíciókat és jóváhagyásokat lehet megfogalmazni a mátrix oszlopaihoz.

§4.9. Rank mátrix.

4.9.1. Meghatározás. Kiskorú rendelés Matriák méret
a megrendelés meghatározója az elemek metszéspontjában található elemekkel Sorok I. oszlopok.

4.9.2. Meghatározás. Különbözik a nulla kisebb sorrendtől Matriák méret
hívott alapul kiskorúHa a rendelési mátrix összes kiskorúja
egyenlő nulla.

Megjegyzés. A mátrixnak több alapvető kiskorú is rendelkezésre áll. Nyilvánvaló, hogy mindegyik lesz egy sorrend. Ez is lehetséges, ha a mátrix méret
kisebb sorrend Különbözik a nullától, és a kiskorúak rendjétől
Nem létezik, vagyis
.

4.9.3. Meghatározás. Az alapvető kiskorúakat alkotó sorokat (oszlopok) hívják alapul vonalak (oszlopok).

4.9.4. Meghatározás. Ranga mátrixokat az alapvető kiskorúságának nevezik. Rangos mátrix jelöli
vagy
.

Megjegyzés.

Ne feledje, hogy a determináns sorok és oszlopok egyenlőségének köszönhetően a mátrix rangja nem változik az átültetése során.

4.9.5. Tétel. (A mátrix fokozatának az elemi átalakításokhoz viszonyítva)

A mátrix rangja nem változik az elemi átalakulásokban.

Bizonyíték nélkül.

4.9.6. Tétel. (Az alap kisebb).

Az alapvonalak (oszlopok) lineárisan függetlenek. A mátrix bármely karakterlánc (oszlopa) ábrázolható a kiindulási karakterláncok (oszlopok) lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték:

Végezzen bizonyítékokat a vonalakra. Az oszlopok jóváhagyásának igazolása analógia útján végezhető el.

Hagyja, hogy a mátrix rangja legyen méretek
holló , de
- Kisebb alapja. A Közösségen korlátozás nélkül feltételezzük, hogy az alapcsillapító a bal felső sarokban található (különben a mátrixot az elemi átalakítások segítségével hozhatja létre a mátrixot):

Először bizonyítjuk az alapvonalak lineáris függetlenségét. A bizonyíték csúnya lesz. Tegyük fel, hogy az alapvonalak lineárisan függenek. Ezután a 4.8.4 tétel szerint az egyik sor más alapvonalak lineáris kombinációjaként jeleníthető meg. Következésképpen, ha megtalálja a megadott lineáris kombinációt ebből a sorból, akkor nulla karakterláncot kapunk, ami azt jelenti, hogy kisebb
ez nulla, ami ellentmond az alapkinek meghatározásával. Így ellentmondást kaptunk, ezért az alapvető karakterláncok lineáris függetlenségét bizonyították.

Most azt bizonyítjuk, hogy a mátrix bármely karakterlánca az alapvonalak lineáris kombinációjaként jelenthető. Ha a vizsgált vonalak száma 1-től r., akkor nyilvánvalóan ez egy lineáris kombináció, amely egy sorban 1-es együtthatóval és nulla együtthatók a vonalak többi részével. Mutassa most, hogy ha a vonalszám tól től
előtt
Ez az alapvonalak lineáris kombinációjaként jeleníthető meg. Fontolja meg a kisebb mátrixot
az alapkinekból származik
karakterlánc hozzáadásával és tetszőleges oszlop
:

Megmutatjuk, hogy ez a kiskorú
tól től
előtt
És bármilyen oszlopra 1-től .

Valóban, ha az oszlop száma 1-től r., van egy meghatározó két azonos oszlop, amely nyilvánvalóan nulla. Ha az oszlop száma tól től r.+1 legyen és vonalszám tól től
előtt
T.
ez az eredeti mátrix kisebb, mint az alap kiskorú, és ez azt jelenti, hogy nulla az alap kiskorú definíciójától. Így bizonyult, hogy kicsi
egyenlő nulla bármilyen sorszámhoz tól től
előtt
És bármilyen oszlopra 1-től . Az utolsó oszlopon díszítjük:

Itt
- Kapcsolódó algebrai kiegészítések. Értesítés, hogy
mert van
egy alapvető kiskorú. Következésképpen a karakterlánc elemei k. az alapsorok megfelelő elemeinek lineáris kombinációjaként jeleníthető meg, amelyek nem az oszlopszámtól függenek :

Így bebizonyítottuk, hogy a mátrix tetszőleges vonalát a kiindulási karakterláncok lineáris kombinációjaként lehet ábrázolni. A tétel bizonyítható.

1. előadás 13.

4.9.7. Tétel. (A nondegenerátum négyzetmátrix rangjáról)

Annak érdekében, hogy a négyszögletes mátrix nondegenerátum legyen, szükség van rá, és elegendő, hogy a mátrix gyűrűje megegyezik a mátrix méretével.

Bizonyíték:

Szükségesség. Legyen egy négyzetmátrix méret n. ezután nondegenerátum van
Ezért a mátrix meghatározója alapvető kisebb, vagyis

Megfelelőség. Legyen
ezután az alapkisű sorrendje megegyezik a mátrix méretével, ezért az alap kisebb a mátrix meghatározója .
az alap kiskorú meghatározásával.

Corollary.

Annak érdekében, hogy a négyszögletes mátrix nondegenerátum legyen, szükséges és elég ahhoz, hogy lineárisan független legyen.

Bizonyíték:

Szükségesség.Mivel a négyzetmátrix nondegenerátum, rangja megegyezik a mátrix méretével
vagyis a mátrix meghatározója alapvető kisebb. Következésképpen az alapkorlátozás 4.9.6 tételével a mátrix húrok lineárisan függetlenek.

Megfelelőség.Mivel a mátrix minden vonala lineárisan független, a rangja nem kevesebb, mint a mátrix mérete, ami azt jelenti
következésképpen az előző tétel 4.9.7 Mátrix szerint nondegenerátum.

4.9.8. A nyüzsgő pénzeszközök módja a mátrix rangjának megtalálásához.

Ne feledje, hogy ezt a módszert részben hallgatták a tétel igazolásánál kisebb mértékben.

4.9.8.1. Meghatározás. Kiskorú
hívott határ Kisebbhez viszonyítva
Ha kisebb
egy új sor hozzáadásával és az eredeti mátrix új oszlopának hozzáadásával.

4.9.8.2. A mátrix rangsorának a nyüzsgő kiskorú módszerével való megtalálásának eljárása.

Megtaláljuk az aktuális kisebb mátrixot, amely különbözik a nullától.

Számítsa ki az összes alapvető kiskorúságot.

Ha mindegyik nulla, az aktuális kiskorú alapvető, és az osztály rangja megegyezik az aktuális kiskorú sorrendjével.

Ha a busty kiskorúak között legalább egy eltérő, akkor az aktuális és az eljárás folytatódik.

A nyüzsgő kiskorúak rangsátrix segítségével találjuk meg

Könnyen meghatározhatja a nullán kívüli második sorrend aktuális kislányát, például,

Számítsa ki az alapvető kiskorúakat:

Ezért, mivel az összes harmadik rendű alap egyenlő nulla, kisebb
alapvető, azaz

Megjegyzés. A figyelembe vett példából látható, hogy a módszer nagyon nehézkes. Ezért a gyakorlatban az elemi átalakulások módszerét sokkal gyakrabban használják, amelyet az alábbiakban tárgyalunk.

4.9.9. A mátrix fokozatának megkeresése az elemi transzformációk módszerével.

A 4.9.5. Tétel alapján azzal érvelhető, hogy a mátrix gyűrűje nem változik az elemi átalakulások során (vagyis az egyenértékű mátrixok száma egyenlő). Ezért a mátrix gyűrűje megegyezik a kezdeti elemi transzformációktól kapott léptetett mátrix rangjával. Ugyanezen lépcsőzetes mátrix rangja nyilvánvalóan megegyezik a nem nulla vonalak számával.

Meghatározzuk a mátrix rangját

az elemi transzformációk módszere.

Adjuk a mátrixot a fenti lépésre:

A kapott léptetett mátrix nem nulla húrjainak mennyisége három,

4.9.10. Rangsor a lineáris vektorok.

Tekintsük a rendszervektorokat
némi lineáris tér . Ha lineárisan függ, kiválaszthatja a lineárisan független alrendszert.

4.9.10.1. Meghatározás. Rangsor rendszer vektorok
lineáris tér a rendszer lineárisan független vektorai maximális számát hívják. Rangsor vektorok
jelöli, hogyan
.

Megjegyzés. Ha a vektorok rendszere lineárisan független, rangja megegyezik a rendszervektorok számával.

A lineáris tér vektorok és a mátrix rangsorának rangsorának és a mátrix fokozatának bemutatását mutatjuk be.

4.9.10.2. Tétel. (A lineáris tér vektorrendszer rangjáról)

A lineáris tér vektorok rendszerének rangja megegyezik a mátrix margójával, az oszlopok vagy sorok, amelyek a vektorok koordinátái a lineáris tér alapul.

Bizonyíték nélkül.

Corollary.

Annak érdekében, hogy a lineáris tér vektorok lineárisan független legyen, szükség van rá, és elegendő, hogy a mátrix, oszlopok vagy sorok rangja a vektorok koordinátái bizonyos alapon egyenlő volt a rendszervektorok számával.

A bizonyíték nyilvánvaló.

4.9.10.3. Tétel (a lineáris héj dimenziójáról).

A lineáris héjvektorok dimenziója
lineáris tér megfelel a vektorok rendszerének rangjával:

Bizonyíték nélkül.

A mátrixban és méretekben (m; n) választottak választottak önkényesen K sorok és k oszlopok (k ≤ min (m; n)). A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjaival szemben álló mátrix elemei négyzetmátrixot képeznek a K rendelési mátrixhoz, amelynek meghatározója kisebb M KK-os KK-k, a Mátrix K-KK vagy kisebb K-TH rendje

A mátrix rongyja az R maximális sorrendje különbözik a nulla kisebb mátrix A-tól, és az R-os sorrend bármely kisebb, a nullától eltérő, alapvető kisebb. Megnevezés: RING A \u003d R. Ha az A \u003d Rang B és az A mátrixok méretei és a mátrixok, akkor az A és B mátrixokat egyenértékűnek nevezik. Megnevezés: A ~ B.

A mátrix fokozatának kiszámításának fő módszerei a kiskorúak és a módszerek fókuszálásának módja.

A nyüzsgő kisebbek módszere

A nyüzsgő Kisebbek módszerének lényege a következő. Engedje meg, hogy a K 1. soros rögzítője a mátrixban található, eltérjen a nullától. Ezután csak a K + 1-es rendelésű kiskorúak tekintendők, amelyek magukban foglalják magukat (azaz kéreg) minork-th-ot, eltérő nullától. Ha ezek mind nullával egyenlő, a gyűrű a mátrix egyenlő k, különben között nyüzsgő kiskorúak (k + 1), a sorrend eltér a nullától, és a teljes eljárást megismételjük.

Lineáris függetlenség a húrok (oszlopok) mátrix

A mátrix fokozatának koncepciója szorosan összefügg a vonalak lineáris függetlenségének fogalmához (oszlopok).

A mátrix sorai:

lineárisan függőnek nevezik, ha vannak olyanok, amelyek λ 1, λ 2, λ k, amely tisztességes az egyenlőséghez:

Az A mátrix sorai lineárisan függetlenek, ha a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha az összes λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ k \u003d 0

Hasonlóképpen, a Mátrix oszlopainak lineáris függése és függetlensége.

Ha az A mátrix (ahol (a l) \u003d (egy l1, egy l2, ..., egy ln)) jellemezhető

Hasonlóképpen meghatározzák az oszlopok lineáris kombinációjának fogalmát. A következő alapvető kisebb tétel érvényes.

Az alapvonalak és az alaposzlopok lineárisan függetlenek. Bármilyen string (vagy oszlop) A mátrix egy lineáris kombinációja az alapvető húrok (oszlopok), azaz a vonalak (oszlopok) átlépő bázis csekély. Így az A mátrix rangja: a RIG A \u003d K egyenlő az A mátrix lineárisan független stringjeinek (oszlopainak) maximális számával.

Azok. A rongyot a mátrix dimenziója a legnagyobb négyzetes mátrix belsejében a mátrix, amelyre szükség van, hogy meghatározzák a rangot, amelyre a determináns nem nulla. Ha a kezdeti mátrix nem négyzet, vagy ha négyzet, de annak meghatározója nulla, akkor egy kisebb vonal és oszlop négyzetes mátrixjai választottak önkényesen.

A determinánsok kivételével a mátrix rangját a lineárisan független vonalak számával vagy a mátrix oszlopainak számával számolhatjuk ki. Ez megegyezik a lineárisan független vonalak vagy oszlopok számával, attól függően, hogy kevesebb. Például, ha a mátrix 3 lineárisan független vonalat és 5 lineárisan független oszlopot tartalmaz, akkor a rangja három.

Példák a mátrix fokozatának megállapítására

A pénzeszközök összpontosítása a mátrix rangjának megtalálásához

R e w e. a második sorrendben

a DUROVATING MINAL M 2 is eltér a nullától. Mindazonáltal a negyedik sorrendben MINOR, HORDING M 3.

egyenlő nulla. Ezért, a rangsorban az A mátrix 3, és a bázis moll, például fent bevezetett Minor M 3.

Az elemi transzformációk módszere azon a tényen alapul, hogy a mátrix elemi átalakítása nem változtatja meg a rangját. Ezen átalakítások alkalmazásával lehetséges, hogy a mátrixot az űrlapra adjuk, ha az összes elem, kivéve a 11, a 22, ..., egy RR (R ≤min (m, n)) nulla. Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy az A \u003d R. Megjegyzendő, hogy ha az n-edik érdekében mátrix megjelenését a felső háromszög mátrix, azaz a mátrix, amelyben az összes elem alatt fő átlós nulla, akkor ez egyenlő a termék az elemek áll a fő diagonális. Ez a tulajdonság lehet használni kiszámításakor a rangot a mátrix módszerével elemi transzformációk: szükség van ahhoz, hogy a mátrix a háromszög, majd kiválasztja a megfelelő meghatározó, azt találjuk, hogy a gyűrűt a mátrix egyenlő A fő átlós elemek száma nulla.

Az elemi transzformációk módszere a mátrix rangjának megtalálásához