Golovizin V.V. Prelegeri de algebră și geometrie. 5
Prelegeri de algebră și geometrie. Semestrul 2.
Cursul 23. Bazele spațiului vectorial.
Rezumat: criteriu pentru dependența liniară a unui sistem de vectori nenuli, subsisteme ale unui sistem vectorial, un sistem generator de vectori, un sistem generator minim și un sistem independent liniar maxim, o bază a unui spațiu vectorial și cele 4 definiții echivalente ale acestuia , dimensiunea unui spațiu vectorial, a unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite și existența bazei sale, adaos la bază.
clauza 1. Criteriul de dependență liniară a unui sistem de vectori nenuli.
Teorema. Un sistem de vectori nenuli este dependent liniar dacă și numai dacă există un vector al sistemului care este exprimat liniar în termenii vectorilor anteriori ai acestui sistem.
Dovada. Fie ca sistemul să fie format din vectori nenuli și să fie dependent liniar. Luați în considerare un sistem cu un vector: 
. Deoarece 
, apoi sistemul 
- liniar independent. Să atașăm vectorul la el 
. Dacă sistemul rezultat 
liniar independent, apoi îi adăugăm următorul vector: 
. etc. continuăm până când obținem un sistem dependent liniar 
, Unde . Cu siguranță va exista un astfel de număr, pentru că... sistem sursă 
este dependentă liniar de condiție.
Deci, prin construcție, obținem un sistem dependent liniar 
, și sistemul 
este liniar independent.
Sistem 
reprezintă vectorul zero în mod netrivial, adică. există un astfel de set diferit de zero de scalari 
, Ce
unde este scalarul 
.
Într-adevăr, altfel, dacă 
, atunci am avea o reprezentare netrivială a vectorului zero printr-un sistem liniar independent 
, ceea ce este imposibil.
Împărțirea ultimei egalități la un scalar diferit de zero 
, putem exprima vectorul din acesta 
:
,
Deoarece inversul este evident, teorema este demonstrată.
clauza 2. Subsisteme ale unui sistem vectorial spatiu vectorial.
Definiție. Orice submulțime nevidă a unui sistem de vectori 
se numește subsistem al unui sistem vectorial dat.
Exemplu. Lăsa 
– un sistem de 10 vectori. Atunci sistemele vectoriale: 
;
,
– subsisteme ale unui sistem vectorial dat.
Teorema. Dacă un sistem de vectori conține un subsistem dependent liniar, atunci sistemul de vectori însuși este, de asemenea, dependent liniar.
Dovada. Să fie dat un sistem de vectori 
și să fie, pentru certitudine, subsistemul 
, Unde 
este dependent liniar. Apoi reprezintă vectorul zero într-un mod non-trivial:
unde printre coeficienţi 
există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Dar atunci următoarea egalitate este o reprezentare netrivială a vectorului zero:
care, prin definiție, implică o dependență liniară a sistemului 
, etc.
Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă. Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independent este liniar independent.
Dovada. Să presupunem contrariul. Fie ca un subsistem al acestui sistem să fie dependent liniar. Atunci teorema implică o dependență liniară a acestui sistem, care contrazice condiția.
Ancheta a fost dovedită.
clauza 3. Sisteme de coloane ale spațiului de coloană vectorială aritmetică.
Din rezultatele paragrafului anterior, ca caz special, rezultă teorema.
1) Un sistem de coloane este dependent liniar dacă și numai dacă există cel puțin o coloană în sistem care este exprimată liniar prin alte coloane ale acestui sistem.
2) Un sistem de coloane este liniar independent dacă și numai dacă nicio coloană a sistemului nu este exprimată liniar în termenii altor coloane ale sistemului.
3) Un sistem de coloane care conțin o coloană zero este dependent liniar.
4) Un sistem de coloane care conține două coloane egale este dependent liniar.
5) Un sistem de coloane care conține două coloane proporționale este dependent liniar.
6) Un sistem de coloane care conțin un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
7) Orice subsistem al unui sistem liniar independent de coloane este liniar independent.
Singurul lucru care ar putea trebui clarificat aici este conceptul de coloane proporționale.
Definiție. Două coloane diferite de zero 
sunt numite proporționale dacă există un scalar 
, astfel încât 
sau
,
,
…,
.
Exemplu. Sistem 
este dependentă liniar, deoarece primele două coloane ale sale sunt proporționale.
Cometariu. Știm deja (vezi Lectura 21) că un determinant este egal cu zero dacă sistemul de coloane (rânduri) este dependent liniar. În viitor, se va dovedi că afirmația inversă este și adevărată: dacă determinantul este egal cu zero, atunci sistemul coloanelor sale și sistemul rândurilor sale sunt dependente liniar.
clauza 4. Baza spațiului vectorial.
Definiție. Sistem vectorial 
al unui spațiu vectorial peste un câmp K se numește sistem generator (generator) de vectori ai acestui spațiu vectorial dacă reprezintă oricare dintre vectorii săi, adică. dacă există un astfel de set de scalari 
, Ce .
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial se numește sistem generator minim dacă, atunci când orice vector este îndepărtat din acest sistem, acesta încetează să mai fie un sistem generator.
Cometariu. Din definiție rezultă imediat că, dacă sistemul generator de vectori nu este minim, atunci există cel puțin un vector al sistemului astfel încât, atunci când este îndepărtat din sistem, sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.
Lema (Pe un sistem generator dependent liniar.)
Dacă într-un sistem de vectori liniar dependent și generator, unul dintre vectori este exprimat liniar prin ceilalți, atunci acesta poate fi eliminat din sistem și sistemul de vectori rămas va fi generator.
Dovada. Lasă sistemul 
liniar dependent și generator, iar unul dintre vectorii săi să fie exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem.
Pentru claritate și simplitate a notării, să presupunem că
Deoarece 
este un sistem generator, atunci 
există un astfel de set de scalari 
, Ce
.
De aici obținem,
acestea. orice vector x este exprimat liniar prin vectorii sistemului 
, ceea ce înseamnă că este un sistem generator etc.
Corolarul 1. Un sistem de vectori liniar dependent și generator nu este minim.
Dovada. Aceasta rezultă imediat din lemă și definiția unui sistem generator de vectori minime.
Corolarul 2. Sistemul generator de vectori minime este liniar independent.
Dovada. Presupunând contrariul, ajungem la o contradicție cu Corolarul 1.
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial se numește sistem independent liniar maxim dacă, atunci când se adaugă orice vector la acest sistem, acesta devine dependent liniar.
Cometariu. Din definiție rezultă imediat că, dacă un sistem este liniar independent, dar nu maxim, atunci există un vector care, atunci când este adăugat la sistem, produce un sistem liniar independent.
Definiție. Baza unui spațiu vectorial V peste un câmp K este un sistem ordonat al vectorilor săi care reprezintă orice vector al spațiului vectorial într-un mod unic.
Cu alte cuvinte, sistemul de vectori 
a unui spaţiu vectorial V peste un câmp K se numeşte baza lui dacă 
există un singur set de scalari 
, astfel încât .
Teorema. (Pe patru definiții echivalente ale bazei.)
Lăsa 
– un sistem ordonat de vectori într-un spațiu vectorial. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
1. Sistem 
este o bază.
2. Sistem 
este un sistem de vectori liniar independent și generator.
3. Sistem 
este un sistem de vectori liniar independent maxim.
4. Sistem 
este un sistem generator minim de vectori.
Dovada.
Fie sistemul de vectori 
este o bază. Din definiția bazei rezultă imediat că acest sistem de vectori este un sistem generator de vectori în spațiul vectorial, deci trebuie doar să dovedim independența sa liniară.
Să presupunem că acest sistem vectori dependenți liniar. Apoi există două reprezentări ale vectorului zero – trivial și non-trivial, ceea ce contrazice definiția unei baze.
Fie sistemul de vectori 
este liniar independentă și generatoare. Trebuie să demonstrăm că acest sistem liniar independent este maxim.
Să presupunem contrariul. Fie ca acest sistem liniar independent de vectori să nu fie maxim. Apoi, datorită observației de mai sus, există un vector care poate fi adăugat la acest sistem și sistemul de vectori rezultat rămâne liniar independent. Cu toate acestea, pe de altă parte, un vector adăugat la sistem poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului original de vectori datorită faptului că este un sistem generator.
Și obținem că în noul sistem extins de vectori, unul dintre vectorii săi este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Un astfel de sistem de vectori este dependent liniar. Avem o contradicție.
Fie sistemul de vectori 
spațiul vectorial este independent liniar maxim. Să demonstrăm că este un sistem generator minim.
a) Mai întâi demonstrăm că este un sistem generator.
Rețineți că, datorită independenței liniare, sistemul 
nu conține un vector nul. Fie un vector arbitrar diferit de zero. Să-l adăugăm la acest sistem vectorial: 
. Sistemul rezultat de vectori nenuli este dependent liniar, deoarece sistemul original de vectori este maxim liniar independent. Aceasta înseamnă că în acest sistem există un vector care poate fi exprimat liniar prin cele precedente. În sistemul original liniar independent 
niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat în termenii celor anteriori; prin urmare, doar vectorul x poate fi exprimat liniar în termenii celor anteriori. Astfel, sistemul 
reprezintă orice vector diferit de zero. Rămâne de observat că acest sistem în mod evident reprezintă și un vector zero, adică. sistem 
este generativă.
b) Acum să-i demonstrăm minimalitatea. Să presupunem contrariul. Atunci unul dintre vectorii sistemului poate fi îndepărtat din sistem, iar sistemul de vectori rămas va fi în continuare un sistem generator și, prin urmare, vectorul îndepărtat din sistem este, de asemenea, exprimat liniar prin vectorii rămași ai sistemului, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului original de vectori.
Fie sistemul de vectori 
spațiul vectorial este un sistem generator minim. Apoi reprezintă orice vector dintr-un spațiu vectorial. Trebuie să dovedim unicitatea reprezentării.
Să presupunem contrariul. Fie ca un vector x să fie exprimat liniar prin vectorii unui sistem dat în două moduri diferite:
Scăzând dintr-o egalitate cealaltă, obținem:
Prin corolarul 2, sistemul 
este liniar independent, adică reprezintă vectorul zero doar trivial, deci toți coeficienții acestei combinații liniare trebuie să fie zero:
Astfel, orice vector x este exprimat liniar prin vectorii unui sistem dat într-un mod unic etc.
Teorema a fost demonstrată.
clauza 5. Dimensiunea spațiului vectorial.
Teorema 1. (Cu privire la numărul de vectori în sisteme liniar independente și generatoare de vectori.) Numărul de vectori din orice sistem liniar independent de vectori nu depășește numărul de vectori din orice sistem generator de vectori din același spațiu vectorial.
Dovada. Lăsa 
sistem arbitrar liniar independent de vectori, 
- sistem generator arbitrar. Să presupunem că.
Deoarece 
sistem generator, atunci reprezintă orice vector al spațiului, inclusiv vectorul 
. Să-l conectăm la acest sistem. Obținem un sistem de vectori liniar dependent și generator: 
. Apoi există un vector 
a acestui sistem, care este exprimat liniar prin vectorii anteriori ai acestui sistem și, în virtutea lemei, poate fi eliminat din sistem, iar sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.
. Deoarece acest sistem este generator, apoi reprezintă un vector 
și, adăugându-l la acest sistem, obținem din nou un sistem dependent și generator liniar: .
Apoi totul se repetă. Există un vector în acest sistem care este exprimat liniar în termenii celor anterioare și nu poate fi un vector 
, deoarece sistem sursă 
liniar independentă și vectorială 
nu poate fi exprimat liniar printr-un vector 
. Aceasta înseamnă că acesta poate fi doar unul dintre vectori 
. Scotându-l din sistem, obținem, după renumerotare, sistemul, care va fi sistemul generator. Continuând acest proces, prin pași obținem un sistem generator de vectori: , unde 
, deoarece conform presupunerii noastre. Aceasta înseamnă că acest sistem, ca sistem generator, reprezintă și vectorul, ceea ce contrazice condiția de independență liniară a sistemului. 
.
Teorema 1 este demonstrată.
Teorema 2. (Despre numărul de vectori dintr-o bază.) Orice bază a unui spațiu vectorial conține același număr de vectori.
Dovada. Lăsa 
Și 
– două baze arbitrare ale spațiului vectorial. Orice bază este un sistem de vectori liniar independent și generator.
Deoarece primul sistem este liniar independent, iar al doilea este generator, apoi, conform teoremei 1, 
.
În mod similar, al doilea sistem este liniar independent, iar primul este generator, apoi . Rezultă că 
, etc.
Teorema 2 este demonstrată.
Această teoremă ne permite să introducem următoarea definiție.
Definiție. Dimensiunea unui spațiu vectorial V peste un câmp K este numărul de vectori din baza acestuia.
Desemnare: 
sau 
.
clauza 6. Existența unei baze de spațiu vectorial.
Definiție. Un spațiu vectorial se numește dimensional finit dacă are un sistem generator finit de vectori.
Cometariu. Vom studia doar spații vectoriale cu dimensiuni finite. În ciuda faptului că știm deja destul de multe despre baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite, nu suntem siguri că baza unui astfel de spațiu există deloc. Toate proprietățile obținute anterior au fost obținute în ipoteza că baza există. Următoarea teoremă închide această întrebare.
Teorema. (Despre existența unei baze pentru un spațiu vectorial cu dimensiuni finite.) Orice spațiu vectorial cu dimensiuni finite are o bază.
Dovada. Prin condiție, există un sistem finit generator de vectori pentru un spațiu vectorial V dat: 
.
Să observăm imediat că, dacă sistemul generator de vectori este gol, i.e. nu conține niciun vector, atunci prin definiție se presupune că acest spațiu vectorial este zero, adică. 
. În acest caz, prin definiție, se presupune că baza spațiului vectorial zero este baza goală și dimensiunea sa, prin definiție, se presupune că este egală cu zero.
Fie mai departe un spațiu vectorial diferit de zero și 
un sistem generator finit de vectori nenuli. Dacă este liniar independent, atunci totul este dovedit, pentru că un sistem liniar independent și generator de vectori ai unui spațiu vectorial este baza acestuia. Dacă un anumit sistem de vectori este dependent liniar, atunci unul dintre vectorii acestui sistem este exprimat liniar în termenii celor rămași și poate fi îndepărtat din sistem, iar sistemul de vectori rămas, în virtutea Lemei 5, va încă fi generatoare.
Să renumerăm sistemul de vectori rămas: 
. Raționamentul se repetă apoi. Dacă acest sistem este liniar independent, atunci este o bază. Dacă nu, atunci din nou va exista un vector în acest sistem care poate fi eliminat, iar sistemul rămas va fi generator.
Repetând acest proces, nu putem rămâne cu un sistem gol de vectori, deoarece în cel mai extrem caz vom ajunge la un sistem generator de un vector diferit de zero, care este liniar independent și, prin urmare, o bază. Prin urmare, la un pas ajungem la un sistem liniar independent și generator de vectori, adică. până la bază.
Teorema a fost demonstrată.
Lema. Lăsa . Apoi:
1. Orice sistem dintr-un vector este dependent liniar.
2. Orice sistem liniar independent de vectori este baza acestuia.
Dovada. 1). Conform condițiilor lemei, numărul de vectori din bază este egal și baza este un sistem generator, prin urmare numărul de vectori din orice sistem liniar independent nu poate depăși .
2). După cum rezultă din ceea ce tocmai a fost demonstrat, orice sistem liniar independent de vectori ai acestui spațiu vectorial este maxim și, prin urmare, o bază.
Lema este dovedită.
Teoremă (Cu privire la complementarea unei baze.) Orice sistem liniar independent de vectori dintr-un spațiu vectorial poate fi completat la o bază a acestui spațiu.
Dovada. Fie un spațiu vectorial de dimensiunea n și 
un sistem liniar independent al vectorilor săi. Apoi 
.
Dacă 
, atunci conform lemei anterioare, acest sistem este o bază și nu există nimic de demonstrat.
Dacă 
, atunci acest sistem nu este un sistem independent liniar maxim (altfel ar fi o bază, ceea ce este imposibil, deoarece ). Prin urmare, există un vector 
, astfel încât sistemul 
– liniar independent.
Dacă, acum, atunci sistemul 
este o bază.
Dacă 
, toate se repetă. Procesul de completare a sistemului nu poate continua la infinit, deoarece la fiecare pas se obtine un sistem liniar independent de vectori spatiali, iar conform lemei anterioare, numarul de vectori dintr-un astfel de sistem nu poate depasi dimensiunea spatiului. În consecință, la un pas vom ajunge la baza acestui spațiu.
Teorema a fost demonstrată.
clauza 7. Exemplu.
1. Fie K un câmp arbitrar și un spațiu vectorial aritmetic al coloanelor de înălțime . Apoi . Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare sistemul de coloane din acest spațiu.
Definiție. Un sistem de elemente xx..., xn dintr-un spațiu liniar V se numește dependent liniar dacă există numere a",..., otq, nu toate egale cu zero și astfel încât dacă egalitatea (1) este îndeplinită numai pentru a ] = ... = aq = 0, atunci sistemul de elemente xj,..., x9 se numește liniar independent. Următoarele afirmații sunt adevărate. Teorema 1. Un sistem de elemente X\,..., xq (q ^ 2) este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre elementele sale poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalte. Să presupunem mai întâi că sistemul de elemente xx..., xq este dependent liniar. Pentru certitudine, presupunem că în egalitatea (1) coeficientul a9 este diferit de zero. Transferând toți termenii cu excepția ultimului în partea dreaptă, după împărțirea la otq FO obținem că elementul xq este o combinație liniară a elementelor xi,..., xq: În schimb, dacă unul dintre elemente este egal cu un liniar combinarea celorlalte, apoi, deplasându-l în partea stângă, obținem o combinație liniară în care există coeficienți nenuli (-1 Ф 0). Aceasta înseamnă că sistemul de elemente Xi,_____ xq este dependent liniar. Teorema 2. Fie sistemul de elemente X|,...,X9 liniar independent și y = a\X\ + .+ aqxq. Apoi se determină coeficienții ori,...,aq din elementul y într-un mod unic. m Lasă Atunci Dependență liniară Dimensiunea bazei Înlocuirea bazei de unde. Din independența liniară a elementelor X|,..., xq rezultă că a( și, prin urmare, o Teoremă 3. Un sistem de elemente care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar. " Fie primele q elemente ale sistemului xx..., xq, xg +l,..., xm sunt dependente liniar. Atunci există o combinație liniară a acestor elemente, astfel încât nu toți coeficienții lui "..., aq sunt egali cu zero. Prin adăugarea elementelor, ..., xm cu factori zero, obținem că și în combinația liniară din Fig. 5, nu toți coeficienții sunt egali cu zero. Exemplu. Vectorii din Vj sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari (Fig. 5) Un sistem ordonat de elemente din |,..., e„ al unui spațiu liniar V se numește baza acestui spațiu liniar dacă elementele din |,..., en sunt liniar independente și fiecare element din V poate fi reprezentat ca combinatia lor liniara.Ordinea inseamna aici ca fiecarui element i se atribuie un anumit numar (ordinal).Din un sistem de n elemente se pot construi n!sisteme ordonate.Exemplu, Fie a.b.c un triplu de vectori necoplanari din Vj (Fig. 6). Atunci triplele ordonate sunt baze diferite Fie c = (в!... en) o bază a spațiului V. Atunci pentru orice element x din V există o mulțime de numere..., C astfel încât În virtutea teoremei 2, numere,..., C - coordonatele elementului x din baza c - sunt determinate în mod unic. Să vedem ce se întâmplă cu coordonatele elementelor în timpul celor mai simple acțiuni. Fie și pentru orice număr a Astfel, la adăugarea elementelor, se adună coordonatele corespunzătoare ale acestora, iar la înmulțirea unui element cu un număr, toate coordonatele acestuia se înmulțesc cu acest număr. Este adesea convenabil să scrieți coordonatele elementului ca o coloană. De exemplu, n este coloana de coordonate a unui element din baza c. Să extindem un sistem arbitrar de elemente X|,..., x, conform bazei c, și să considerăm coloanele de coordonate ale elementelor X|,..., x9 în această bază: Teorema 4. Sistemul de elemente x\,...,xq este dependent liniar atunci și numai atunci când sistemul coloanelor lor de coordonate într-o anumită bază este dependent liniar. * Fie ca cel puțin unul dintre coeficienții A* să fie diferit de zero. Să scriem acest lucru mai detaliat.De aici, datorită unicității descompunerii elementului de-a lungul bazei, rezultă că Dependența liniară Baza Dimensiunea Schimbarea bazei Astfel, combinația liniară a coloanelor de coordonate ale elementelor xt,. .., xq este egal cu coloana zero (cu aceiași coeficienți A|,..., A?). Aceasta înseamnă că sistemul de coloane de coordonate este dependent liniar. Dacă egalitatea (2) este satisfăcută, atunci, efectuând raționamentul în ordine inversă, obținem formula (1). Astfel, dispariția unei combinații liniare netriviale (cel puțin unul dintre coeficienți este diferit de zero) de elemente ale unui spațiu liniar este echivalentă cu faptul că combinația liniară netrivială a coloanelor lor de coordonate (cu aceiași coeficienți) este egală cu zero. coloană. Teorema 5. Fie baza c a unui spațiu liniar V format din n elemente. Atunci orice sistem de m elemente, unde m > n, este dependent liniar. sau, care este la fel, * Prin Teorema 3, este suficient să luăm în considerare cazul Fie Xj,..., xn+| - elemente arbitrare ale spațiului V. Să extindem fiecare element după baza c și să scriem coordonatele elementelor........... sub formă de matrice, atribuind o coloană coordonatele element. Obținem o matrice de n rânduri și + 1 coloane - Datorită faptului că rangul matricei K nu depășește numărul n de rânduri ale acesteia, coloanele matricei K (sunt n + 1 dintre ele) sunt liniar dependent. Și întrucât acestea sunt coloane de elemente de coordonate, atunci conform teoremei 4 sistemul de elemente X|.....x„+| este, de asemenea, dependent liniar. Consecinţă. Toate bazele spațiului liniar V constau din același număr de elemente. Fie baza c formată din n elemente, iar baza c" din n elemente. În virtutea teoremei tocmai demonstrate, din independența liniară a sistemului e\,..., e"n concluzionăm că n" ^ n . Schimbând bazele e şi c" pe locuri, în virtutea aceleiaşi teoreme obţinem că n ^ n". Astfel, n = n. Mărimea unui spaţiu liniar V este numărul de elemente ale bazei acestui spaţiu. Exemplul 1. Baza spaţiului de coordonate En este formată din elementele 4 Sistemul de elemente ei.ej,... .. ,en este liniar independent: din egalitatea obţinem, ceea ce înseamnă, În plus, orice element E, = . .. din R" se poate scrie ca o combinație liniară de elemente. Astfel, dimensiunea spațiului R este egală cu n. Exemplul 2. Liniar omogen un sistem care are soluții diferite de zero are un sistem fundamental de soluții (FSS) . FSR este baza spațiului de soluție liniar al unui sistem omogen. Dimensiunea acestui spațiu liniar este egală cu numărul de elemente ale FSR, i.e. n - g. unde r este rangul matricei de coeficienți a unui sistem omogen, an este numărul de necunoscute. Exemplul 3. Dimensiunea spațiului liniar Mn al polinoamelor de grad nu mai mare decât n este egală cu n + 1. 4 Deoarece fiecare polinom /*(() de grad nu mai mare decât n are forma, este suficient să se arate independența liniară a elementelor din | =. Să considerăm egalitatea în care t este arbitrar. Presupunând t = 0, obținem că „o = 0. 5 Zak.750 Să diferențiem egalitatea (3) față de t: DIN NOU POSTARE t = 0, obținem ACEA 0| = 0. Continuând acest proces, suntem în mod constant convinși că oo = „I = . .. = a„ =0. Acest. înseamnă că sistemul de elemente din | = 1,... ,en4) = *n este liniar independent. Prin urmare, dimensiunea necesară este n + 1. Acord. În continuare în acest capitol, dacă nu se specifică altfel, se presupune că dimensiunea spațiului liniar V este egală. Este clar că dacă W este un subspațiu al unui spațiu liniar n-dimensional V, atunci dim W ^ n. Să arătăm că într-un spațiu liniar n-dimensional V există subspații liniare de orice dimensiune k ^ n. Fie c = să fie baza spațiului V. Este ușor de verificat că , că carcasa liniară are dimensiunea k. Prin definiție, Teorema b (pe completarea bazei). Fie un sistem de elemente dintr-un spațiu liniar V de dimensiune n independent liniar și k. Atunci în spațiul V există elemente a*+1,..., astfel încât sistemul a„ este o bază a lui V. M Fie b un element arbitrar al spațiului liniar V. Dacă sistemul este dependent liniar, atunci ^din moment ce într-o combinație liniară netrivială coeficientul datorat independenței liniare a sistemului a Dacă s-ar putea scrie o expansiune a formei (4) pentru orice element b al spațiului V, atunci sistemul original a|,..., a* ar fi o bază conform definiției. Dar din cauza condițiilor, acest lucru este imposibil. Prin urmare, trebuie să existe un element a*+i € V astfel încât sistemul completat ai,..., ab,a*+| va fi liniară, dar independentă. Dacă k + 1 = n, atunci acest sistem este baza spațiului V. Dacă k + 1, atunci pentru sistemul a ar trebui repetat raționamentul anterior. În acest fel, orice sistem liniar independent de elemente poate fi completat la baza întregului spațiu V. Exemplu. Completează un sistem de doi vectori a| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) a spațiului R4 la baza acestui spațiu. M Să luăm vectorii aj = (în spațiul R4 și să arătăm că sistemul de vectori ai.aj.aj, a4 stă la baza lui R4. Rangul matricei ale cărei rânduri sunt coordonatele vectorilor aag, az, A4 este egal cu 4. Aceasta înseamnă că rândurile matricei A și, prin urmare, vectorii la. ag. az, a^ sunt independenți liniar. > O abordare similară este utilizată în cazul general: pentru a completa sistem de elemente liniar independente de baza spațiului, matricea Dependență liniară Dimensiunea de bază Înlocuirea bazei cu transformări elementare de rând se reduce la o formă trapezoidală, apoi se completează cu n - k rânduri ale formei astfel încât rangul matricea rezultată este egală cu n. Este adevărată următoarea afirmație: Teorema 7. Fie subspații liniare ale spațiului liniar V, Atunci. Schimbarea bazei Fie bazele spațiului liniar V. Să extindem elementele spațiului liniar V. baza cu baza pe s. Avem Aceste relații sunt scrise convenabil sub formă de matrice. Matricea se numește matrice de tranziție de la baza c la baza c." Proprietățile matricei de tranziție Dovada acestei proprietăți este prin contradicție. Egalitatea det S = 0 implică o dependența liniară a coloanelor matricei S. Aceste coloane sunt coloanele de coordonate ale elementului" ,... "e"n în baza c. Prin urmare (și datorită Teoremei 4) elementele e"și..., e"n trebuie să fie dependent liniar. Acesta din urmă contrazice faptul că c" este o bază. Aceasta înseamnă că ipoteza că det S = 0 este incorectă. 2. Daca..., si..., sunt coordonatele elementului x in bazele c si respectiv c", atunci _ Inlocuindu-le in formula cu expresiile (1), obtinem ca. Prin urmare, datorita unicitatii de descompunere a elementului în bază, avem I Trecând la înregistrarea matriceală a egalităților găsite, suntem convinși de validitatea proprietății 2. 3. S-1 este matricea de tranziție de la baza c" la baza c.
Se numește dimensional finit dacă are un sistem generator finit de vectori.
Cometariu. Vom studia doar spații vectoriale cu dimensiuni finite. În ciuda faptului că știm deja destul de multe despre baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite, nu suntem deloc siguri că un astfel de spațiu există. Toate rezultatele obținute anterior au fost obținute în ipoteza că baza există. Următoarele închide această întrebare.
Teorema. (Pe existența unei baze a unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite.)
Orice spațiu vectorial cu dimensiuni finite are o bază.
Dovada. Prin condiție, există un sistem generator finit al unui spațiu vectorial de dimensiuni finite dat V: .
Să observăm imediat că, dacă sistemul generator de vectori este gol, i.e. nu conține niciun vector, atunci prin definiție se presupune că acest spațiu vectorial este zero, adică. . În acest caz, prin definiție, se presupune că baza spațiului vectorial nul este baza goală și, prin definiție, se presupune că este egală cu zero.
Dacă acest sistem este independent, atunci totul este dovedit, pentru că un sistem liniar independent și generator de vectori ai unui spațiu vectorial este baza acestuia.
Dacă un anumit sistem de vectori este dependent liniar, atunci unul dintre vectorii acestui sistem este exprimat liniar în termenii celor rămași și poate fi îndepărtat din sistem, iar sistemul de vectori rămas va fi în continuare generator.
Să renumerăm sistemul de vectori rămas: . Raționamentul se repetă apoi.
Dacă acest sistem este liniar independent, atunci este o bază. Dacă nu, atunci din nou va exista un vector în acest sistem care poate fi eliminat, iar sistemul rămas va fi generator.
Repetând acest proces, nu putem rămâne cu un sistem gol de vectori, deoarece în cel mai extrem caz vom ajunge la un sistem generator de un vector diferit de zero, care este liniar independent și, prin urmare, o bază. Prin urmare, la un pas ajungem la un sistem liniar independent și generator de vectori, adică. la bază etc.
Teorema a fost demonstrată.
Lema. (Despre sistemele de vectori din spațiul vectorial n-dimensional.)
Lăsa . Apoi:
1. Orice sistem dintr-un vector este dependent liniar.
2. Orice sistem liniar independent de vectori este baza acestuia.
Dovada. 1). Conform condițiilor lemei, numărul de vectori din bază este egal și baza este un sistem generator, prin urmare numărul de vectori din orice sistem liniar independent nu poate depăși , i.e. orice sistem care conține un vector este dependent liniar.
2). După cum rezultă din ceea ce tocmai a fost demonstrat, orice sistem liniar independent de vectori ai acestui spațiu vectorial este maxim și, prin urmare, o bază.
Lema este dovedită.
Teoremă (Cu privire la complementarea unei baze.) Orice sistem liniar independent de vectori dintr-un spațiu vectorial poate fi completat la o bază a acestui spațiu.
Dovada. Fie un spațiu vectorial de dimensiunea n și un sistem liniar independent al vectorilor săi. Apoi .
Dacă , atunci conform lemei anterioare, acest sistem este o bază și nu există nimic de demonstrat.
Dacă , atunci acest sistem nu este un sistem independent maximal (altfel ar fi o bază, ceea ce este imposibil, deoarece ). În consecință, există un vector astfel încât sistemul 
– liniar independent.
Dacă, acum, atunci sistemul este o bază.
Dacă da, totul se repetă. Procesul de completare a sistemului nu poate continua la infinit, deoarece la fiecare pas se obtine un sistem liniar independent de vectori spatiali, iar conform lemei anterioare, numarul de vectori dintr-un astfel de sistem nu poate depasi dimensiunea spatiului. În consecință, la un pas vom ajunge la baza acestui spațiu., etc.
Definiție. Bază
un spațiu vectorial de coloană aritmetică de înălțime n se numește canonic sau natural.
Lăsa V spațiu vectorial deasupra câmpului R, S- sistem de vectori din V.
Definiția 1. Baza sistemului vectorial S un astfel de subsistem ordonat liniar independent este numit B 1, B 2, ..., B R sisteme S, că orice vector al sistemului S combinație liniară de vectori B 1, B 2, ..., B R.
Definiția 2. Rangul sistemului vectorial S este numărul de vectori de bază ai sistemului S. Este indicat rangul sistemului vectorial S simbol R= rang S.
Dacă S = ( 0 ), atunci sistemul nu are nicio bază și se presupune că acel rang S= 0.
Exemplul 1. Să fie dat un sistem de vectori A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vector A 1 , A 2 formează baza acestui sistem, deoarece sunt liniar independente (vezi exemplul 3.1) și A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. Rangul acestui sistem vectorial este doi.
Teorema 1(teorema pe baze). Fie S un sistem finit de vectori din V, S ≠{0 }. Atunci afirmațiile sunt adevărate.
1 ° Orice subsistem liniar independent al sistemului S poate fi extins la o bază.
2 ° Sistemul S are o bază.
2 ° Oricare două baze ale sistemului S conțin același număr de vectori, adică rangul sistemului nu depinde de alegerea bazei.
4 ° Dacă R= rang S, atunci orice r vectori liniar independenți formează baza sistemului S.
5 ° Dacă R= rang S, Atunci orice k > r vectori ai sistemului S sunt dependenti liniar.
6 ° Orice vector A€ S este exprimat liniar unic prin vectorul de bază, adică dacă B 1, B 2, ..., B R este baza sistemului S, atunci
A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€P,(1)
Și aceasta este singura reprezentare.
Datorită bazei de 5°, aceasta Subsistem independent maxim liniar sisteme S, și rangul sistemului S numărul de vectori dintr-un astfel de subsistem.
Reprezentare vectorială A în forma (1) se numeşte Prin descompunerea unui vector în vectori de bază, iar numerele a1, a2 , ..., se numesc ar Coordonatele vectoriale A Pe această bază.
Dovada. 1° Lăsați B 1, B 2, ..., B K- subsistem liniar independent al sistemului S. Dacă fiecare vector al sistemului S Exprimat liniar prin vectorii subsistemului nostru, apoi, prin definiție, este baza sistemului S.
Dacă există un vector în sistem S, care nu este exprimat liniar în termeni de vectori B 1, B 2, ..., B K, apoi îl notăm prin B K+1. Apoi sistemele B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - liniar independent. Dacă fiecare vector al sistemului S Exprimat liniar prin vectorii acestui subsistem, atunci prin definiție este baza sistemului S.
Dacă există un vector în sistem S, care nu se exprimă liniar prin B 1, B 2, ..., B K, B K+1, apoi să repetăm raționamentul. Continuând acest proces, vom ajunge fie la baza sistemului S, sau măriți numărul de vectori dintr-un sistem liniar independent cu unul. Din moment ce în sistem S număr finit de vectori, atunci a doua alternativă nu poate continua la nesfârșit și la un pas obținem baza sistemului S.
2° Lăsați S sistem finit de vectori și S ≠{0 ). Apoi în sistem S există un vector B 1 ≠ 0, care formează un subsistem liniar independent al sistemului S. Conform primei părți, poate fi completat la baza sistemului S. Astfel sistemul S are o bază.
3° Să presupunem că sistemul S are doua baze:
B 1, B 2, ..., B R , (2)
C 1, C 2, ..., C S , (3)
Prin definiția bazei, sistemul de vectori (2) este liniar independent și (2) Н S. În plus, prin definiția bazei, fiecare vector al sistemului (2) este o combinație liniară de vectori ai sistemului (3). Apoi, prin teorema principală despre două sisteme de vectori R £ S. În mod similar, este dovedit că S £ R. Din aceste două inegalități rezultă R = S.
4° Lăsați R= rang S, A 1, A 2, ..., A R- subsistem liniar independent S. Să arătăm că aceasta este baza sistemelor S. Dacă nu este o bază, atunci folosind prima parte poate fi completată la o bază și obținem o bază A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T conţinând mai mult decât R
5° Dacă K vectori A 1, A 2, ..., A K (K > R) sisteme S- sunt independenți liniar, apoi din prima parte acest sistem de vectori poate fi completat la o bază și obținem o bază A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T conţinând mai mult decât R vectori. Acest lucru contrazice ceea ce a fost dovedit în partea a treia.
6° Lăsați B 1, B 2, ..., B R baza de sistem S. Prin definiția unei baze, orice vector A € S există o combinație liniară de vectori de bază:
A = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ ar B R.
Pentru a demonstra unicitatea unei astfel de reprezentări, să presupunem contrariul, că există o altă reprezentare:
A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+ br B R.
Scăzând egalitățile termen cu termen găsim
0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.
De la baza B 1, B 2, ..., B R sistem liniar independent, atunci toți coeficienții ai - bi =0; eu = 1, 2, ..., R. Prin urmare, ai = bi; eu = 1, 2, ..., R iar unicitatea este dovedită.
