Cum să găsiți exemplul intervalului de încredere. Interval de încredere

Se numește probabilitatea ca adevărata valoare a mărimii măsurate să se afle într-un anumit interval nivel de încredere , sau factor de fiabilitate, si intervalul - interval de încredere.

Fiecare nivel de încredere are propriul său interval de încredere. În special, un interval de încredere de 0,67 corespunde unui interval de încredere de la până la . Cu toate acestea, această afirmație este adevărată numai pentru un număr suficient de mare de măsurători (mai mult de 10), iar probabilitatea de 0,67 nu pare să fie suficient de fiabilă - aproximativ în fiecare dintre cele trei serii de măsurători y poate fi în afara intervalului de încredere. Pentru a obține o mai mare încredere că valoarea mărimii măsurate se află în intervalul de încredere, aceasta este de obicei specificată cu o probabilitate de încredere de 0,95 - 0,99. Interval de încredere pentru un anumit nivel de încredere, ținând cont de influența numărului de măsurători n poate fi găsit prin înmulțirea abaterii standard a mediei aritmetice

.

pe așa-numitul coeficient Student. Coeficienți studenți pentru o serie de valori și n sunt date în tabel.

Tabel - Coeficienții elevului

Număr de măsurători n Probabilitatea de încredere y
0,67 0,90 0,95 0,99
2,0 6,3 12,7 63,7
1,3 2,4 3,2 5,8
1,2 2,1 2,8 4,6
1,2 2,0 2,6 4,0
1,1 1,8 2,3 3,3
1,0 1,7 2,0 2,6

În sfârșit, pentru cantitatea măsurată y pentru un anumit nivel de încredere y și numărul de măsurători n conditia

Vom chema cantitatea eroare aleatorie cantități y.

Exemplu: vezi cursul numărul 5 - o serie de numere.

Să definim

Cu numărul de măsurători - 45 și nivelul de încredere - 0,95, obținem că coeficientul Student este aproximativ egal cu 2,15. Atunci intervalul de încredere pentru această serie de măsurători este 62,6.

Ratări (eroare gravă) - erori grave asociate cu erorile operatorului sau nesocotite pentru influențe externe. Acestea sunt de obicei excluse din rezultatele măsurătorilor. Greșelile sunt de obicei cauzate de neatenție. Acestea pot apărea și din cauza unei defecțiuni a dispozitivului.

În subsecțiunile anterioare, am luat în considerare problema estimării parametrului necunoscut A un numar. O astfel de evaluare se numește „punct”. Într-o serie de sarcini, este necesar nu numai să găsiți parametrul A valoare numerică adecvată, dar și evaluează acuratețea și fiabilitatea acesteia. Este necesar să se cunoască la ce erori poate duce înlocuirea parametrilor A estimarea sa punctuală Ași cu ce grad de încredere ne putem aștepta ca aceste erori să nu depășească limitele cunoscute?

Probleme de acest fel sunt deosebit de relevante pentru un număr mic de observații, atunci când estimarea punctuală si in este în mare parte aleatorie și o înlocuire aproximativă a lui a cu a poate duce la erori grave.

Pentru a da o idee despre acuratețea și fiabilitatea estimării A,

în statistica matematică se folosesc așa-numitele intervale de încredere și probabilități de încredere.

Lăsați pentru parametru A derivat din estimare imparțială din experiență A. Dorim să estimăm eroarea posibilă în acest caz. Să atribuim o probabilitate p suficient de mare (de exemplu, p = 0,9, 0,95 sau 0,99), astfel încât un eveniment cu probabilitatea p poate fi considerat practic sigur și să găsim o valoare a lui s pentru care

Apoi, intervalul de valori practic posibile ale erorii care apare la înlocuire A pe A, va fi ± s; erori absolute mari vor apărea numai cu o probabilitate mică a = 1 - p. Să rescriem (14.3.1) ca:

Egalitatea (14.3.2) înseamnă că cu probabilitatea p valoarea necunoscută a parametrului A se încadrează în interval

În acest caz, trebuie reținută o circumstanță. Anterior, am luat în considerare în mod repetat probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze într-un interval non-aleatoriu dat. Aici situația este diferită: A nu întâmplător, ci interval aleator / r. În mod aleatoriu, poziția sa pe axa x, determinată de centrul său A; în general, lungimea intervalului 2s este de asemenea aleatorie, deoarece valoarea lui s este calculată, de regulă, din date experimentale. Prin urmare, în acest caz, ar fi mai bine să interpretăm valoarea lui p nu ca probabilitatea de a „lovi” punctul Aîn intervalul / p, ci ca probabilitatea ca un interval aleator / p să acopere punctul A(Fig. 14.3.1).

Orez. 14.3.1

Probabilitatea p se numește nivel de încredere, iar intervalul / p - interval de încredere. Limite de interval dacă. a x \u003d a- s și a 2 = a +și sunt chemați limitele de încredere.

Să mai dăm o interpretare conceptului de interval de încredere: acesta poate fi considerat ca un interval de valori ale parametrilor A, compatibile cu datele experimentale și necontrazicându-le. Într-adevăr, dacă suntem de acord să considerăm un eveniment cu o probabilitate a = 1-p practic imposibil, atunci acele valori ale parametrului a pentru care a - a> s trebuie recunoscute ca fiind în contradicție cu datele experimentale, iar cele pentru care |a - A a t na 2 .

Lăsați pentru parametru A există o estimare imparțială A. Dacă am cunoaște legea distribuției cantității A, problema găsirii intervalului de încredere ar fi destul de simplă: ar fi suficient să găsim o valoare a lui s pentru care

Dificultatea constă în faptul că legea de distribuție a devizului A depinde de legea distribuţiei cantităţii Xși, în consecință, asupra parametrilor săi necunoscuți (în special, asupra parametrului în sine A).

Pentru a ocoli această dificultate, se poate aplica următorul truc aproximativ aproximativ: înlocuiți parametrii necunoscuți din expresia pentru s cu estimările lor punctuale. Cu un număr relativ mare de experimente P(aproximativ 20 ... 30) această tehnică dă de obicei rezultate satisfăcătoare din punct de vedere al preciziei.

Ca exemplu, luați în considerare problema intervalului de încredere pentru așteptarea matematică.

Lăsați produs P X, ale căror caracteristici sunt așteptarea matematică T si varianta D- necunoscut. Pentru acești parametri s-au obținut următoarele estimări:

Este necesar să se construiască un interval de încredere / р, corespunzător probabilității de încredere р, pentru așteptarea matematică T cantități X.

În rezolvarea acestei probleme, folosim faptul că cantitatea T este suma P variabile aleatoare independente distribuite identic X h iar conform teoremei limitei centrale pentru suficient de mare P legea sa de distribuție este aproape de normal. În practică, chiar și cu un număr relativ mic de termeni (de ordinul a 10 ... 20), legea de distribuție a sumei poate fi considerată aproximativ normală. Vom presupune că valoarea T distribuite conform legii normale. Caracteristicile acestei legi - așteptarea și, respectiv, varianța matematică - sunt egale TȘi

(a se vedea capitolul 13 subsecțiunea 13.3). Să presupunem că valoarea D ne este cunoscută şi vom găsi o asemenea valoare Ep pentru care

Aplicând formula (6.3.5) din capitolul 6, exprimăm probabilitatea din partea stângă a (14.3.5) în termenii funcției de distribuție normală

unde este abaterea standard a estimării T.

Din ecuație

găsiți valoarea Sp:

unde arg Ф* (x) este funcția inversă a lui Ф* (X), acestea. o astfel de valoare a argumentului pentru care funcția de distribuție normală este egală cu X.

Dispersia D, prin care se exprimă valoarea A 1P, nu știm exact; ca valoare aproximativă, puteți utiliza estimarea D(14.3.4) și puneți aproximativ:

Astfel, problema construirii unui interval de încredere este aproximativ rezolvată, care este egal cu:

unde gp este definit prin formula (14.3.7).

Pentru a evita interpolarea inversă în tabelele funcției Ф * (l) atunci când se calculează s p, este convenabil să se întocmească un tabel special (Tabelul 14.3.1), care listează valorile cantității

in functie de r. Valoarea (p determină pentru legea normală numărul de abateri standard care trebuie puse deoparte la dreapta și la stânga centrului de dispersie, astfel încât probabilitatea de a cădea în zona rezultată să fie egală cu p.

Prin valoarea lui 7 p, intervalul de încredere se exprimă astfel:

Tabelul 14.3.1

Exemplul 1. Au fost efectuate 20 de experimente asupra valorii X; rezultatele sunt prezentate în tabel. 14.3.2.

Tabelul 14.3.2

Este necesar să se găsească o estimare pentru așteptarea matematică a cantității Xși construiți un interval de încredere corespunzător unui nivel de încredere p = 0,8.

Soluţie. Avem:

Alegând pentru originea n: = 10, conform celei de-a treia formule (14.2.14) găsim estimarea nepărtinitoare D :

Conform tabelului 14.3.1 găsim

Limite de încredere:

Interval de încredere:

Valorile parametrilor T, situate în acest interval sunt compatibile cu datele experimentale date în tabel. 14.3.2.

Într-un mod similar, se poate construi un interval de încredere pentru varianță.

Lăsați produs P experimente independente pe o variabilă aleatorie X cu parametri necunoscuți de la și A și pentru varianță D estimarea imparțială se obține:

Este necesar să se construiască aproximativ un interval de încredere pentru varianță.

Din formula (14.3.11) se poate observa că valoarea D reprezintă

Cantitate P variabile aleatorii de forma . Aceste valori nu sunt

independent, deoarece oricare dintre ele include cantitatea T, dependent de toți ceilalți. Cu toate acestea, se poate demonstra că ca P legea de distribuție a sumei lor este, de asemenea, apropiată de normal. Aproape la P= 20...30 poate fi deja considerat normal.

Să presupunem că așa este și să găsim caracteristicile acestei legi: așteptarea și varianța matematică. De la scor D- nepărtinitoare, atunci M[D] = D.

Calculul variației D D este asociat cu calcule relativ complexe, deci îi dăm expresia fără derivare:

unde c 4 - al patrulea moment central al mărimii X.

Pentru a utiliza această expresie, trebuie să înlocuiți în ea valorile lui 4 și D(cel putin aproximativ). În loc de D puteți folosi evaluarea D.În principiu, al patrulea moment central poate fi înlocuit și cu estimarea sa, de exemplu, cu o valoare de forma:

dar o astfel de înlocuire va oferi o precizie extrem de scăzută, deoarece, în general, cu un număr limitat de experimente, momentele de ordin înalt sunt determinate cu erori mari. Cu toate acestea, în practică se întâmplă adesea ca forma legii de distribuție a cantității X cunoscut dinainte: doar parametrii săi sunt necunoscuți. Apoi putem încerca să exprimăm u4 în termeni de D.

Să luăm cel mai frecvent caz, când valoarea X distribuite conform legii normale. Apoi, al patrulea moment central al său este exprimat în termeni de varianță (vezi Capitolul 6 Subsecțiunea 6.2);

iar formula (14.3.12) dă sau

Înlocuind în (14.3.14) necunoscutul D evaluarea lui D, obținem: de unde

Momentul u 4 poate fi exprimat în termeni de D de asemenea, în alte cazuri, când distribuția cantității X nu este normal, dar aspectul ei este cunoscut. De exemplu, pentru legea densității uniforme (vezi capitolul 5) avem:

unde (a, P) este intervalul pe care este dată legea.

Prin urmare,

Conform formulei (14.3.12) obținem: de unde găsim aproximativ

În cazurile în care forma legii de distribuție a valorii lui 26 este necunoscută, la estimarea valorii lui a /) se recomandă totuși utilizarea formulei (14.3.16), dacă nu există motive speciale pentru a crede că aceasta legea este foarte diferită de cea normală (are o curtoză pozitivă sau negativă vizibilă).

Dacă valoarea aproximativă a lui a /) este obținută într-un fel sau altul, atunci este posibil să construim un interval de încredere pentru varianță în același mod în care l-am construit pentru așteptarea matematică:

unde valoarea în funcție de probabilitatea dată p se găsește în tabel. 14.3.1.

Exemplul 2. Găsiți un interval de încredere de aproximativ 80% pentru varianța unei variabile aleatorii Xîn condiţiile exemplului 1, dacă se ştie că valoarea X distribuite după o lege apropiată de normal.

Soluţie. Valoarea rămâne aceeași ca în tabel. 14.3.1:

Conform formulei (14.3.16)

Conform formulei (14.3.18) găsim intervalul de încredere:

Intervalul corespunzător de valori ale abaterii standard: (0,21; 0,29).

14.4. Metode exacte de construire a intervalelor de încredere pentru parametrii unei variabile aleatoare distribuite conform legii normale

În subsecțiunea anterioară, am luat în considerare metode aproximativ aproximative pentru construirea intervalelor de încredere pentru medie și varianță. Aici vă oferim o idee despre metodele exacte de rezolvare a aceleiași probleme. Subliniem că pentru a găsi cu exactitate intervalele de încredere este absolut necesar să se cunoască în prealabil forma legii de distribuție a cantității. X,întrucât acest lucru nu este necesar pentru aplicarea metodelor aproximative.

Ideea metodelor exacte pentru construirea intervalelor de încredere este următoarea. Orice interval de încredere se găsește dintr-o condiție care exprimă probabilitatea îndeplinirii anumitor inegalități, care includ estimarea care ne interesează A. Legea distribuirii gradelor Aîn cazul general depinde de parametrii necunoscuți ai mărimii X. Cu toate acestea, uneori este posibil să treci inegalități dintr-o variabilă aleatoare A la o altă funcție a valorilor observate X p X 2, ..., X p. a cărui lege de distribuție nu depinde de parametri necunoscuți, ci depinde doar de numărul de experimente și de forma legii de distribuție a cantității X. Variabile aleatoare de acest fel joacă un rol important în statistica matematică; au fost studiate în cel mai detaliu pentru cazul unei distribuţii normale a cantităţii X.

De exemplu, s-a dovedit că sub o distribuție normală a cantității X valoare aleatorie

supuse așa-zisului Legea distribuirii elevilor Cu P- 1 grad de libertate; densitatea acestei legi are forma

unde G(x) este funcția gamma cunoscută:

De asemenea, se demonstrează că variabila aleatoare

are „distribuție % 2” cu P- 1 grad de libertate (vezi capitolul 7), a cărui densitate este exprimată prin formula

Fără să ne oprim asupra derivărilor distribuțiilor (14.4.2) și (14.4.4), vom arăta cum acestea pot fi aplicate la construirea intervalelor de încredere pentru parametri. Ty D.

Lăsați produs P experimente independente pe o variabilă aleatorie X, distribuite conform legii normale cu parametri necunoscuți TIO. Pentru acești parametri, estimări

Este necesar să se construiască intervale de încredere pentru ambii parametri corespunzători probabilității de încredere p.

Să construim mai întâi un interval de încredere pentru așteptarea matematică. Este firesc să luăm acest interval simetric în raport cu T; notăm cu s p jumătate din lungimea intervalului. Valoarea lui sp trebuie aleasă astfel încât condiția

Să încercăm să trecem pe partea stângă a egalității (14.4.5) dintr-o variabilă aleatoare T la o variabilă aleatorie T, distribuite conform legii Studentului. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale inegalității |m-w?|

la o valoare pozitivă: sau, folosind notația (14.4.1),

Să găsim un număr / p astfel încât valoarea / p poate fi găsită din condiție

Din formula (14.4.2) se poate observa că (1) este o funcție pară, deci (14.4.8) dă

Egalitatea (14.4.9) determină valoarea / p în funcție de p. Daca aveti la dispozitie un tabel de valori integrale

atunci valoarea / p poate fi găsită prin interpolare inversă în tabel. Cu toate acestea, este mai convenabil să compilați un tabel de valori / p în avans. Un astfel de tabel este prezentat în Anexă (Tabelul 5). Acest tabel prezintă valorile în funcție de probabilitatea de încredere p și de numărul de grade de libertate P- 1. După ce a determinat / p conform tabelului. 5 și presupunând

găsim jumătate din lățimea intervalului de încredere / p și intervalul în sine

Exemplul 1. S-au efectuat 5 experimente independente pe o variabilă aleatorie X, distribuite în mod normal cu parametri necunoscuți Tși despre. Rezultatele experimentelor sunt prezentate în tabel. 14.4.1.

Tabelul 14.4.1

Găsiți o estimare T pentru așteptarea matematică și construiți un interval de încredere de 90% / p pentru acesta (adică intervalul corespunzător probabilității de încredere p \u003d 0,9).

Soluţie. Avem:

Conform tabelului 5 al cererii pentru P - 1 = 4 și p = 0,9 găsim Unde

Intervalul de încredere va fi

Exemplul 2. Pentru condițiile exemplului 1 al subsecțiunii 14.3, presupunând valoarea X distribuite în mod normal, găsiți intervalul de încredere exact.

Soluţie. Conform tabelului 5 al cererii, găsim la P - 1 = 19ir =

0,8/p = 1,328; de aici

Comparând cu soluția exemplului 1 din subsecțiunea 14.3 (e p = 0,072), vedem că discrepanța este foarte mică. Dacă păstrăm acuratețea la a doua zecimală, atunci intervalele de încredere găsite prin metodele exacte și aproximative sunt aceleași:

Să trecem la construirea unui interval de încredere pentru varianță. Luați în considerare estimarea varianței nepărtinitoare

și exprimă variabila aleatoare D prin valoare V(14.4.3) având distribuția x 2 (14.4.4):

Cunoașterea legii de distribuție a cantității V, se poate afla intervalul / (1 ) in care se incadreaza cu o probabilitate data p.

legea distributiei k n _ x (v) valoarea lui I 7 are forma prezentată în fig. 14.4.1.

Orez. 14.4.1

Apare întrebarea: cum să alegeți intervalul / p? Dacă legea distribuţiei cantităţii V era simetric (ca o lege normală sau distribuția lui Student), ar fi firesc să luăm intervalul /p simetric în raport cu așteptarea matematică. În acest caz, legea k n _ x (v) asimetric. Să fim de acord să alegem intervalul /p astfel încât probabilitățile de ieșire a cantității Vîn afara intervalului la dreapta și la stânga (zonele umbrite din Fig. 14.4.1) au fost aceleași și egale

Pentru a construi un interval / p cu această proprietate, folosim Table. 4 aplicații: conține numere y) astfel încât

pentru cantitate V, având x 2 -distribuţie cu r grade de libertate. În cazul nostru r = n- 1. Fix r = n- 1 și găsiți în linia corespunzătoare a tabelului. 4 două valori x 2 - unul corespunzând unei probabilităţi celălalt - probabilităţi Să le desemnăm pe acestea

valorile la 2Și xl? Intervalul are y 2 , cu stânga și y~ capătul drept.

Acum găsim intervalul de încredere necesar /| pentru varianța cu granițele D și D2, care acoperă punctul D cu probabilitatea p:

Să construim un astfel de interval / (, = (?> b A), care acoperă punctul D dacă și numai dacă valoarea V se încadrează în intervalul / r. Să arătăm că intervalul

indeplineste aceasta conditie. Într-adevăr, inegalitățile sunt echivalente cu inegalitățile

iar aceste inegalități sunt valabile cu probabilitatea p. Astfel, intervalul de încredere pentru dispersie este găsit și este exprimat prin formula (14.4.13).

Exemplul 3. Găsiți intervalul de încredere pentru varianță în condițiile exemplului 2 din subsecțiunea 14.3, dacă se știe că valoarea X distribuite normal.

Soluţie. Avem . Conform tabelului 4 al cererii

găsim la r = n - 1 = 19

Conform formulei (14.4.13) găsim intervalul de încredere pentru dispersie

Intervalul corespunzător pentru abaterea standard: (0,21; 0,32). Acest interval depășește doar puțin intervalul (0,21; 0,29) obținut în Exemplul 2 din Subsecțiunea 14.3 prin metoda aproximativă.

  • Figura 14.3.1 consideră un interval de încredere care este simetric în raport cu a. În general, așa cum vom vedea mai târziu, acest lucru nu este necesar.

Una dintre metodele de rezolvare a problemelor statistice este calculul intervalului de încredere. Este utilizat ca alternativă preferată la estimarea punctuală atunci când dimensiunea eșantionului este mică. Trebuie remarcat faptul că procesul de calcul al intervalului de încredere este destul de complicat. Dar instrumentele programului Excel vă permit să îl simplificați oarecum. Să aflăm cum se face acest lucru în practică.

Această metodă este utilizată în estimarea pe intervale a diferitelor mărimi statistice. Sarcina principală a acestui calcul este de a scăpa de incertitudinile estimării punctuale.

În Excel, există două opțiuni principale pentru a calcula folosind această metodă: când varianța este cunoscută și când este necunoscută. În primul caz, funcția este utilizată pentru calcule NORMA DE ÎNCREDERE, iar în al doilea ÎNCREDERE.STUDENT.

Metoda 1: Funcția NORM DE ÎNCREDERE

Operator NORMA DE ÎNCREDERE, care se referă la grupul statistic de funcții, a apărut pentru prima dată în Excel 2010. Versiunile anterioare ale acestui program folosesc omologul său ÎNCREDERE. Sarcina acestui operator este de a calcula un interval de încredere cu o distribuție normală pentru media populației.

Sintaxa sa este următoarea:

NORMĂ DE ÎNCREDERE(alpha, standard_dev, size)

"Alfa" este un argument care indică nivelul de semnificație care este utilizat pentru a calcula nivelul de încredere. Nivelul de încredere este egal cu următoarea expresie:

(1-"Alfa")*100

"Deviație standard" este un argument, a cărui esență este clară din nume. Aceasta este abaterea standard a eșantionului propus.

"Mărimea" este un argument care determină mărimea eșantionului.

Toate argumentele acestui operator sunt necesare.

Funcţie ÎNCREDERE are exact aceleași argumente și posibilități ca și precedentul. Sintaxa sa este:

TRUST(alpha, standard_dev, size)

După cum puteți vedea, diferențele sunt doar în numele operatorului. Această caracteristică a fost păstrată în Excel 2010 și versiunile mai noi într-o categorie specială din motive de compatibilitate. "Compatibilitate". În versiunile Excel 2007 și anterioare, acesta este prezent în grupul principal de operatori statistici.

Limita intervalului de încredere este determinată folosind formula următoarei forme:

X+(-)INCREDEREA NORMA

Unde X este media eșantionului, care se află la mijlocul intervalului selectat.

Acum să ne uităm la cum să calculăm intervalul de încredere folosind un exemplu specific. Au fost efectuate 12 teste, rezultând rezultate diferite, care sunt enumerate în tabel. Aceasta este totalitatea noastră. Abaterea standard este 8. Trebuie să calculăm intervalul de încredere la nivelul de încredere de 97%.

  1. Selectați celula în care va fi afișat rezultatul prelucrării datelor. Făcând clic pe butonul „Inserare funcție”.

  2. Apare Expertul de funcții. Mergi la categorie "Statistic"și evidențiați numele „ÎNCREDERE.NORMĂ”. După aceea faceți clic pe butonul Bine.

  3. Se deschide fereastra de argumente. Câmpurile sale corespund în mod firesc cu numele argumentelor.
    Setați cursorul pe primul câmp - "Alfa". Aici ar trebui să precizăm nivelul de semnificație. După cum ne amintim, nivelul nostru de încredere este de 97%. În același timp, am spus că se calculează astfel:

    (1-nivel de încredere)/100

    Adică, înlocuind valoarea, obținem:

    Prin calcule simple, aflăm că argumentul "Alfa" egală 0,03 . Introduceți această valoare în câmp.

    După cum știți, abaterea standard este egală cu 8 . Prin urmare, pe teren "Deviație standard" notează doar acel număr.

    În câmp "Mărimea" trebuie să introduceți numărul de elemente ale testelor efectuate. După cum ne amintim, ei 12 . Dar pentru a automatiza formula și a nu o edita de fiecare dată când se efectuează un nou test, să setăm această valoare nu la un număr obișnuit, ci folosind operatorul VERIFICA. Deci, punem cursorul în câmp "Mărimea", apoi faceți clic pe triunghi, care se află în stânga barei de formule.

    Apare o listă cu funcțiile utilizate recent. Dacă operatorul VERIFICA folosit recent de tine, ar trebui să fie pe această listă. În acest caz, trebuie doar să faceți clic pe numele acestuia. În caz contrar, dacă nu îl găsești, atunci mergi la subiect "Mai multe trăsături...".

  4. Ne pare deja familiar Expertul de funcții. Înapoi la grup "Statistic". Selectăm numele acolo "VERIFICA". Faceți clic pe butonul Bine.

  5. Apare fereastra de argumente pentru operatorul de mai sus. Această funcție este concepută pentru a calcula numărul de celule din intervalul specificat care conțin valori numerice. Sintaxa sa este următoarea:

    COUNT(valoare1, valoare2,...)

    Grupul de argumentare "Valori" este o referință la intervalul în care doriți să calculați numărul de celule umplute cu date numerice. În total, pot exista până la 255 de astfel de argumente, dar în cazul nostru avem nevoie doar de unul.

    Setați cursorul în câmp „Valoare 1”și, ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului, selectați intervalul de pe foaia care conține populația noastră. Apoi adresa sa va fi afișată în câmp. Faceți clic pe butonul Bine.

  6. După aceea, aplicația va efectua calculul și va afișa rezultatul în celula în care se află ea însăși. În cazul nostru particular, formula s-a dovedit astfel:

    NORMĂ DE ÎNCREDERE(0,03,8,NUMĂRĂ(B2:B13))

    Rezultatul general al calculelor a fost 5,011609 .

  7. Dar asta nu este tot. După cum ne amintim, limita intervalului de încredere este calculată prin adăugarea și scăderea din valoarea medie a eșantionului a rezultatului calculului NORMA DE ÎNCREDERE. În acest fel, se calculează limitele din dreapta și respectiv din stânga intervalului de încredere. Media eșantionului în sine poate fi calculată folosind operatorul IN MEDIE.

    Acest operator este conceput pentru a calcula media aritmetică a intervalului de numere selectat. Are următoarea sintaxă destul de simplă:

    MEDIE (număr1, număr2,...)

    Argument "Număr" poate fi fie o singură valoare numerică, fie o referință la celule sau chiar intervale întregi care le conțin.

    Deci, selectați celula în care va fi afișat calculul valorii medii și faceți clic pe butonul „Inserare funcție”.

  8. se deschide Expertul de funcții. Înapoi la categorie "Statistic"și selectați un nume din listă "IN MEDIE". Ca întotdeauna, faceți clic pe butonul Bine.

  9. Fereastra de argumente este lansată. Setați cursorul în câmp "Numărul 1"și cu butonul stâng al mouse-ului apăsat, selectați întregul interval de valori. După ce coordonatele sunt afișate în câmp, faceți clic pe butonul Bine.

  10. După care IN MEDIE redă rezultatul calculului către un element de foaie.

  11. Calculăm limita dreaptă a intervalului de încredere. Pentru a face acest lucru, selectați o celulă separată, puneți semnul «=» si se adauga continutul elementelor fisei in care se afla rezultatele calculului functiilor IN MEDIEȘi NORMA DE ÎNCREDERE. Pentru a efectua calculul, apăsați butonul introduce. În cazul nostru, avem următoarea formulă:

    Rezultatul calculului: 6,953276

  12. În același mod, calculăm marginea din stânga a intervalului de încredere, doar că de data aceasta din rezultatul calculului IN MEDIE scade rezultatul calculului operatorului NORMA DE ÎNCREDERE. Rezultă formula pentru exemplul nostru de următorul tip:

    Rezultatul calculului: -3,06994

  13. Am încercat să descriem în detaliu toți pașii pentru calcularea intervalului de încredere, așa că am descris în detaliu fiecare formulă. Dar puteți combina toate acțiunile într-o singură formulă. Calculul limitei drepte a intervalului de încredere poate fi scris după cum urmează:

    MEDIE(B2:B13)+INCREDERE(0,03,8,NUMĂRĂ(B2:B13))

  14. Un calcul similar al marginii din stânga ar arăta astfel:

    MEDIE(B2:B13)-CONFIDENCE.NORM(0,03,8,NUMĂR (B2:B13))

Metoda 2: Funcția TRUST.STUDENT

În plus, există o altă funcție în Excel care este legată de calcularea intervalului de încredere - ÎNCREDERE.STUDENT. A apărut abia din Excel 2010. Acest operator efectuează calculul intervalului de încredere a populației folosind distribuția t a lui Student. Este foarte convenabil să îl utilizați în cazul în care varianța și, în consecință, abaterea standard sunt necunoscute. Sintaxa operatorului este:

TRUST.STUDENT(alpha,standard_dev,size)

După cum puteți vedea, numele operatorilor în acest caz au rămas neschimbate.

Să vedem cum se calculează limitele intervalului de încredere cu o abatere standard necunoscută folosind exemplul aceleiași populații pe care am considerat-o în metoda anterioară. Nivelul de încredere, ca și data trecută, vom lua 97%.

  1. Selectați celula în care se va face calculul. Faceți clic pe butonul „Inserare funcție”.

  2. În deschis Expertul de funcții mergi la categorie "Statistic". Alegeți un nume „ÎNCREDERE.STUDENT”. Faceți clic pe butonul Bine.

  3. Fereastra de argumente pentru operatorul specificat este lansată.

    În câmp "Alfa", având în vedere că nivelul de încredere este de 97%, notăm numărul 0,03 . A doua oară nu ne vom opri asupra principiilor calculării acestui parametru.

    După aceea, setați cursorul în câmp "Deviație standard". De data aceasta, acest indicator ne este necunoscut și trebuie calculat. Acest lucru se face folosind o funcție specială - STDEV.B. Pentru a apela fereastra acestui operator, faceți clic pe triunghiul din stânga barei de formule. Dacă nu găsim numele dorit în lista care se deschide, atunci mergeți la articol "Mai multe trăsături...".

  4. rulează Expertul de funcții. Trecerea la categorie "Statistic"și marcați numele „STDEV.B”. Apoi faceți clic pe butonul Bine.

  5. Se deschide fereastra de argumente. sarcina operatorului STDEV.B este definiția abaterii standard în eșantionare. Sintaxa sa arată astfel:

    STDEV.V(număr1,număr2,…)

    Este ușor de ghicit că argumentul "Număr" este adresa elementului de selecție. Dacă selecția este plasată într-o singură matrice, atunci folosind un singur argument, puteți da un link către acest interval.

    Setați cursorul în câmp "Numărul 1"și, ca întotdeauna, ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului, selectați setul. După ce coordonatele sunt în câmp, nu vă grăbiți să apăsați butonul Bine deoarece rezultatul va fi incorect. Mai întâi trebuie să revenim la fereastra de argumente operator ÎNCREDERE.STUDENT pentru a face argumentul final. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe numele corespunzător din bara de formule.

  6. Fereastra de argumente a funcției deja familiare se deschide din nou. Setați cursorul în câmp "Mărimea". Din nou, faceți clic pe triunghiul deja familiar pentru a merge la alegerea operatorilor. După cum înțelegeți, avem nevoie de un nume "VERIFICA". Deoarece am folosit această funcție în calculele din metoda anterioară, este prezentă în această listă, așa că faceți clic pe ea. Dacă nu îl găsiți, atunci urmați algoritmul descris în prima metodă.

  7. Intrarea în fereastra de argumente VERIFICA, plasați cursorul în câmp "Numărul 1"și cu butonul mouse-ului ținut apăsat, selectați colecția. Apoi faceți clic pe butonul Bine.

  8. După aceea, programul calculează și afișează valoarea intervalului de încredere.

  9. Pentru a determina limitele, va trebui din nou să calculăm media eșantionului. Dar, având în vedere că algoritmul de calcul folosind formula IN MEDIE la fel ca în metoda anterioară și chiar și rezultatul nu s-a schimbat, nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu a doua oară.

  10. Însumarea rezultatelor calculului IN MEDIEȘi ÎNCREDERE.STUDENT, obținem limita dreaptă a intervalului de încredere.

  11. Scăzând din rezultatele de calcul ale operatorului IN MEDIE rezultatul calculului ÎNCREDERE.STUDENT, avem limita stângă a intervalului de încredere.

  12. Dacă calculul este scris într-o singură formulă, atunci calculul marginii din dreapta în cazul nostru va arăta astfel:

    MEDIE(B2:B13)+ÎNCREDEREA STUDENTULUI(0,03,STDV(B2:B13),NUMĂR (B2:B13))

  13. În consecință, formula pentru calcularea marginii din stânga va arăta astfel:

    MEDIE(B2:B13)-INCREDEREA STUDENTULUI(0,03,STDV(B2:B13),NUMĂR (B2:B13))

După cum puteți vedea, instrumentele programului Excel fac posibilă facilitarea semnificativă a calculului intervalului de încredere și a limitelor acestuia. În aceste scopuri, se folosesc operatori separați pentru eșantioanele a căror varianță este cunoscută și necunoscută.

Analiza erorilor aleatorii se bazează pe teoria erorilor aleatorii, ceea ce face posibilă, cu o anumită garanție, calcularea valorii efective a mărimii măsurate și evaluarea eventualelor erori.

La baza teoriei erorilor aleatoare se află următoarele ipoteze:

cu un număr mare de măsurători, erori aleatorii de aceeași amploare, dar de semn diferit, apar la fel de des;

erorile mari sunt mai puțin frecvente decât cele mici (probabilitatea unei erori scade odată cu creșterea valorii acesteia);

cu un număr infinit de măsurători, valoarea adevărată a mărimii măsurate este egală cu media aritmetică a tuturor rezultatelor măsurătorilor;

apariția unuia sau altuia rezultat al măsurării ca un eveniment aleatoriu este descrisă de legea distribuției normale.

În practică, se face o distincție între un set de măsurători general și unul eșantion.

Sub populația generală implică întregul set de valori posibile de măsurare sau posibile valori de eroare
.

Pentru populația eșantion numărul de măsurători limitate și, în fiecare caz, strict definite. Ei cred că dacă
, apoi valoarea medie a acestui set de măsurători suficient de aproape de adevărata sa valoare.

1. Estimarea intervalului folosind probabilitatea de încredere

Pentru un eșantion mare și o lege de distribuție normală, caracteristica generală de evaluare a măsurării este varianța
și coeficientul de variație :

;
. (1.1)

Dispersia caracterizează omogenitatea unei măsurători. Cu cât mai sus
, cu atât este mai mare dispersia măsurătorilor.

Coeficientul de variație caracterizează variabilitatea. Cu cât mai sus , cu atât variabilitatea măsurătorilor este mai mare în raport cu valorile medii.

Pentru a evalua fiabilitatea rezultatelor măsurătorilor, sunt introduse în considerare conceptele de interval de încredere și probabilitate de încredere.

De încredere se numeste interval valorile , în care se încadrează adevărata valoare mărime măsurată cu o probabilitate dată.

Probabilitate de încredere (fiabilitatea) unei măsurători este probabilitatea ca valoarea adevărată a mărimii măsurate să se încadreze într-un interval de încredere dat, i.e. spre zona
. Această valoare este determinată în fracții de unitate sau în procente.

,

Unde
- funcția Laplace integrală ( tabelul 1.1 )

Funcția Laplace integrală este definită de următoarea expresie:

.

Argumentul acestei funcții este factor de garantare :

Tabelul 1.1

Funcția Laplace integrală

Dacă, pe baza anumitor date, se stabilește o probabilitate de încredere (deseori considerat a fi
), apoi setați acuratețea măsurătorilor (interval de încredere
) pe baza raportului

.

Jumătate din intervalul de încredere este

, (1.3)

Unde
- argumentul funcției Laplace, dacă
(tabelul 1.1 );

- Funcţiile elevului, dacă
(tabelul 1.2 ).

Astfel, intervalul de încredere caracterizează acuratețea măsurării unui eșantion dat, iar nivelul de încredere caracterizează fiabilitatea măsurării.

Exemplu

Terminat
măsurători ale rezistenței pavajului unei secțiuni de autostradă cu un modul mediu de elasticitate
și valoarea calculată a abaterii standard
.

Necesar determina precizia necesara măsurători pentru diferite niveluri de încredere
, luând valorile De tabelul 1.1 .

În acest caz, respectiv |

Prin urmare, pentru un instrument și metodă de măsurare date, intervalul de încredere crește cu aproximativ ori dacă creșteți doar pe
.

Notează sarcina. De exemplu: Greutatea medie a unui student de sex masculin la Universitatea ABC este de 90 kg. Veți testa acuratețea predicției greutății studenților de sex masculin de la Universitatea ABC într-un interval de încredere dat.

Faceți o probă potrivită.Îl vei folosi pentru a colecta date pentru testarea ipotezelor. Să presupunem că ați selectat deja aleatoriu 1000 de studenți bărbați.

Calculați media și abaterea standard a acestui eșantion. Selectați statisticile (de exemplu, media și abaterea standard) pe care doriți să le utilizați pentru a analiza eșantionul. Iată cum se calculează media și abaterea standard:

  • Pentru a calcula media eșantionului, adăugați greutățile celor 1.000 de bărbați eșantionați și împărțiți rezultatul la 1.000 (numărul de bărbați). Să presupunem că avem o greutate medie de 93 kg.
  • Pentru a calcula abaterea standard a eșantionului, trebuie să găsiți valoarea medie. Apoi trebuie să calculați varianța datelor sau media diferențelor pătrate față de medie. Odată ce ați găsit acel număr, trebuie doar să luați rădăcina pătrată a acestuia. Să spunem în exemplul nostru abaterea standard este de 15 kg (rețineți că uneori această informație poate fi dată împreună cu condiția problemei statistice).

  • Selectați nivelul de încredere dorit. Cele mai frecvent utilizate niveluri de încredere sunt 90%, 95% și 99%. Poate fi dat și împreună cu starea problemei. Să presupunem că ai ales 95%.

  • Calculați marja de eroare. Puteți găsi marja de eroare folosind următoarea formulă: Z a/2 * σ/√(n). Z a/2 = factor de încredere (unde a = nivelul de încredere), σ = abatere standard și n = dimensiunea eșantionului. Această formulă arată că trebuie să înmulțiți valoarea critică cu eroarea standard. Iată cum puteți rezolva această formulă împărțind-o în părți:

    • Calculați valoarea critică sau Z a/2 . Nivelul de încredere este de 95%. Convertiți procentajul în zecimală: 0,95 și împărțiți la 2 pentru a obține 0,475. Apoi priviți tabelul cu scoruri Z pentru a găsi valoarea corespunzătoare pentru 0,475. Veți găsi valoarea 1,96 (la intersecția rândului 1.9 cu coloana 0.06).
    • Luați eroarea standard (abaterea standard): 15 și împărțiți-o la rădăcina pătrată a dimensiunii eșantionului: 1000. Obțineți: 15/31,6 sau 0,47 kg.
    • Înmulțiți 1,96 cu 0,47 (valoare critică per eroare standard) pentru a obține 0,92, marja de eroare.

  • Notează intervalul de încredere. Pentru a formula un interval de încredere, scrieți pur și simplu media (93) ± eroarea. Răspuns: 93 ± 0,92. Puteți găsi limitele superioare și inferioare ale intervalului de încredere adunând și scăzând eroarea la/din medie. Deci limita inferioară este 93 - 0,92 sau 92,08 și limita superioară este 93 + 0,92 sau 93,92.

    • Puteți utiliza următoarea formulă pentru a calcula intervalul de încredere: x̅ ± Z a/2 * σ/√(n), unde x̅ este valoarea medie.