მატრიქსები და განმსაზღვრელი

ლექცია 1. მატრიცები

1. მატრიცის ცნება. მატრიცის ტიპები

2. მატრიცების ალგებრა

ლექცია 2. დეტერმინანტები

1. კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი და მათი თვისებები

2. ლაპლასის და ანიჰილაციის თეორემები

ლექცია 3. ინვერსიული მატრიცა

1. ცნება ინვერსიული მატრიცა. ინვერსიული მატრიცის უნიკალურობა

2. შებრუნებული მატრიცის აგების ალგორითმი. ინვერსიული მატრიცის თვისებები

4. ამოცანები და სავარჯიშოები

4.1. მატრიცები და მოქმედებები მათზე

4.2. განმსაზღვრელი

4.3. ინვერსიული მატრიცა

5. ინდივიდუალური ამოცანები

ლიტერატურა

ლექცია 1. მატრიცა

Გეგმა

1. მატრიცის ცნება. მატრიცის ტიპები.

2. მატრიცების ალგებრა.

ძირითადი ცნებები

დიაგონალური მატრიცა.

იდენტობის მატრიცა.

ნულოვანი მატრიცა.

სიმეტრიული მატრიცა.

მატრიცის თანმიმდევრულობა.

ტრანსპოზიცია.

სამკუთხა მატრიცა.

1. მატრიქსის კონცეფცია. მატრიქსის ტიპები

მართკუთხა მაგიდა

შედგება m სტრიქონისაგან და n სვეტისგან, რომელთა ელემენტები არის რეალური რიცხვები, სადაც მე- ხაზის ნომერი ჯ- სვეტის რიცხვს, რომლის გადაკვეთაზეც დგას ეს ელემენტი, ჩვენ ვუწოდებთ ციფრულს მატრიცაშეუკვეთეთ m´n და აღნიშნეთ.

განვიხილოთ მატრიცების ძირითადი ტიპები:

1. მოდით m = n, მაშინ მატრიცა A არის კვადრატი მატრიცა, რომელსაც აქვს რიგი n:

A = .

ელემენტები ქმნიან ძირითად დიაგონალს, ელემენტებს შექმენით გვერდითი დიაგონალი.

დიაგონალი თუ მისი ყველა ელემენტი, მთავარი დიაგონალის შესაძლო ელემენტების გარდა, ნულის ტოლია:

A== დიაგნოსტიკა ( ).

დიაგონალური და, შესაბამისად, კვადრატული მატრიცა ეწოდება მარტოხელა თუ მთავარი დიაგონალის ყველა ელემენტი უდრის 1-ს:

E = დიაგნოსტიკა (1, 1, 1,…,1).

გაითვალისწინეთ, რომ იდენტურობის მატრიცა არის იდენტურობის მატრიცის ანალოგი რეალური რიცხვების სიმრავლეში და ასევე ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ იდენტურობის მატრიცა განისაზღვრება მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

აქ მოცემულია პირადობის მატრიცების მაგალითები:

კვადრატული მატრიცები

A = V =

ეწოდება ზედა და ქვედა სამკუთხა, შესაბამისად.

2 . მოდით m = 1, მაშინ მატრიცა A არის მწკრივის მატრიცა, რომელიც ასე გამოიყურება:

3 . მოდით n=1, მაშინ მატრიცა A არის სვეტის მატრიცა, რომელიც ასე გამოიყურება:

4 ნულოვანი მატრიცა არის m´n რიგის მატრიცა, რომლის ყველა ელემენტი 0-ის ტოლია:

გაითვალისწინეთ, რომ ნულოვანი მატრიცა შეიძლება იყოს კვადრატი, მწკრივის მატრიცა ან სვეტის მატრიცა. ნულოვანი მატრიცა არის ნულის მატრიცის ანალოგი რეალური რიცხვების სიმრავლეში.

5 . მატრიცა ეწოდება გადატანილი მატრიცაზე და აღინიშნება, თუ მისი სვეტები მატრიცის შესაბამისი რიგებია.

მაგალითი . მოდით =, შემდეგ =.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ A მატრიცას აქვს რიგით m´n, მაშინ ტრანსპოზიციურ მატრიცას აქვს რიგი n´m.

6 . მატრიცა A ეწოდება სიმეტრიული თუ A=A და დახრილ-სიმეტრიული თუ A = -A.

მაგალითი . შეისწავლეთ A და B მატრიცის სიმეტრია.

მაშინ = , შესაბამისად, მატრიცა A არის სიმეტრიული, ვინაიდან A = A.

B = , შემდეგ = , მაშასადამე, B მატრიცა არის უხერხულ-სიმეტრიული, ვინაიდან B = - B.

გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიული და დახრილ-სიმეტრიული მატრიცები ყოველთვის კვადრატულია. ნებისმიერი ელემენტი შეიძლება იყოს სიმეტრიული მატრიცის მთავარ დიაგონალზე, ხოლო იდენტური ელემენტები უნდა იყოს სიმეტრიული მთავარი დიაგონალის მიმართ, ანუ =. დახრილ-სიმეტრიული მატრიცის მთავარ დიაგონალზე ყოველთვის არის ნულები და სიმეტრიულად მთავარ დიაგონალთან = - .

2. მატრიცების ალგებრა

მოდით განვიხილოთ ოპერაციები მატრიცებზე, მაგრამ ჯერ შემოგთავაზებთ რამდენიმე ახალ კონცეფციას.

ორ მატრიცას A და B ეწოდება ერთი და იმავე რიგის მატრიცებს, თუ მათ აქვთ მწკრივების იგივე რაოდენობა და სვეტების იგივე რაოდენობა.

მაგალითი. და არის იგივე რიგის 2'3 მატრიცები;

და არის სხვადასხვა რიგის მატრიცები, რადგან 2'3≠3'2.

″ზე მეტი″ და ″ნაკლები″ ცნებები არ არის განსაზღვრული მატრიცებისთვის.

A და B მატრიცებს ტოლი ეწოდება, თუ ისინი იგივე რიგის m´n, და = , სადაც 1, 2, 3, …, m, და j = 1, 2, 3, …, n.

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

A მატრიცის λ რიცხვზე გამრავლება იწვევს მატრიცის თითოეული ელემენტის გამრავლებას λ რიცხვზე:

lA = , λR.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცის ყველა ელემენტის საერთო ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მატრიცის ნიშნიდან.

მაგალითი.

მოდით მატრიცა A =, შემდეგ 5A = =.

მოდით მატრიცა B = = = 5.

მატრიცის რიცხვზე გამრავლების თვისებები :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), სადაც λ,μ R;

3) (lA) = lA;

მატრიცების ჯამი (განსხვავება). .

ჯამი (განსხვავება) განისაზღვრება მხოლოდ იმავე რიგის m´n მატრიცებისთვის.

m´n რიგის ორი A და B მატრიცის ჯამი (განსხვავება) არის იგივე რიგის C მატრიცა, სადაც = ± (1, 2, 3, ..., მ ,

ჯ= 1, 2, 3, ..., n.).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, C მატრიცა შედგება A და B მატრიცების შესაბამისი ელემენტების ჯამის (განსხვავების) ტოლი ელემენტებისაგან.

მაგალითი . იპოვეთ A და B მატრიცების ჯამი და სხვაობა.

მაშინ =+= =,

=–==.

თუ = , = , მაშინ A ± B არ არსებობს, რადგან მატრიცები სხვადასხვა რიგისაა.

ზემოაღნიშნული განმარტებებიდან გამომდინარეობს თვისებებიმატრიცის ჯამები:

1) კომუტატიურობა A+B=B+A;

2) ასოციაციურობა (A+B)+C=A+(B+C);

3) განაწილება გამრავლებაზე λR რიცხვით: λ(A + B) = λA + λB;

4) 0+A=A, სადაც 0 არის ნულოვანი მატრიცა;

5) A+(–A)=0, სადაც (–A) არის A მატრიცის საპირისპირო მატრიცა;

6) (A + B) \u003d A + B.

მატრიცების პროდუქტი.

პროდუქტის ოპერაცია განისაზღვრება არა ყველა მატრიცისთვის, არამედ მხოლოდ თანმიმდევრული მატრიცებისთვის.

A და B მატრიცები ეწოდება დათანხმდა , თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის B მატრიცის მწკრივების რაოდენობას. ასე რომ, თუ , , m≠k, მაშინ A და B მატრიცები თანმიმდევრულია, რადგან n = n და საპირისპირო თანმიმდევრობით, მატრიცები B და A არათანმიმდევრულია, რადგან m ≠ k. კვადრატული მატრიცები თანმიმდევრულია, როდესაც მათ აქვთ იგივე რიგი n, და ორივე A და B და B და A თანმიმდევრულია. = m.

ორი თანმიმდევრული მატრიცის ნამრავლი და

A= , V=

ეწოდება m´k რიგის C მატრიცას:

=∙, რომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულით:

(1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k),

ანუ C მატრიცის i-ე მწკრივის და j-ე სვეტის ელემენტი ტოლია A მატრიცის i-ე მწკრივის ყველა ელემენტისა და j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამს. მატრიცის B.

მაგალითი . იპოვეთ A და B მატრიცების ნამრავლი.

∙===.

B∙A მატრიცების ნამრავლი არ არსებობს, რადგან მატრიცები B და A არ არის თანმიმდევრული: B მატრიცას აქვს რიგი 2'2, ხოლო მატრიცას A - 3'2.

განიხილეთ თვისებებიმატრიცული პროდუქტები:

1 ) არაკომუტატიულობა: AB ≠ BA, თუნდაც A და B, და B და A თანმიმდევრული იყოს. თუ AB = BA, მაშინ A და B მატრიცებს კომუტირება ეწოდება (მატრიცები A და B ამ შემთხვევაში აუცილებლად კვადრატული იქნება).

მაგალითი 1 . = , = ;

==;

==.

ცხადია, ≠ .

მაგალითი 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

დასკვნა: ≠, თუმცა მატრიცები ერთნაირი რიგისაა.

2 ) ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის იდენტობის მატრიცა E გადადის იმავე რიგის ნებისმიერ A მატრიცაზე და შედეგად მივიღებთ იგივე მატრიცას A, ანუ AE = EA = A.

მაგალითი .

===;

===.

3 ) A 0 = 0 A = 0.

4 ) ორი მატრიცის ნამრავლი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ხოლო A და B მატრიცები შეიძლება იყოს ნულის გარეშე.

მაგალითი .

= ==.

5 ) ასოციაციურობა ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

მაგალითი .

ჩვენ გვაქვს მატრიცები , ;

მაშინ Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

ამრიგად, ჩვენ მაგალითით ვაჩვენეთ, რომ Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) განაწილება მიმატებასთან მიმართებაში:

(A + B) ∙ C \u003d AC + BC, A ∙ (B + C) \u003d AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

მაგალითი.

, =.

მერე AB =∙==

=(A∙B)= =

IN ∙ა =∙ = ==.

ამრიგად, ( A∙B)= IN ა .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ(λВ), λ,R.

განვიხილოთ მატრიცებზე ოპერაციების შესრულების ტიპიური მაგალითები, ანუ თქვენ უნდა იპოვოთ ორი მატრიცის A და B ჯამი, განსხვავება, პროდუქტი (თუ ისინი არსებობს).

მაგალითი 1 .

, .

გამოსავალი.

1) + = = =;

2) – ===;

3) პროდუქტი არ არსებობს, ვინაიდან A და B მატრიცები არათანმიმდევრულია, თუმცა პროდუქტი არ არსებობს იმავე მიზეზით.

მაგალითი 2 .

გამოსავალი.

1) მატრიცების ჯამი, ისევე როგორც მათი სხვაობა, არ არსებობს, რადგან საწყისი მატრიცები სხვადასხვა რიგისაა: A მატრიცას აქვს რიგი 2'3, ხოლო B მატრიცას აქვს რიგი 3'1;

2) ვინაიდან A და B მატრიცები თანმიმდევრულია, მაშინ A ּ B მატრიცების ნამრავლი არსებობს:

·=·= =,

В ּА მატრიცების ნამრავლი არ არსებობს, რადგან მატრიცები და არათანმიმდევრულია.

მაგალითი 3

გამოსავალი.

1) მატრიცების ჯამი, ისევე როგორც მათი სხვაობა, არ არსებობს, რადგან საწყისი მატრიცები სხვადასხვა რიგისაა: A მატრიცას აქვს რიგი 3'2, ხოლო B მატრიცას აქვს რიგი 2'3;

2) ორივე მატრიცების ნამრავლი АּВ და ВּА არსებობს, ვინაიდან მატრიცები თანმიმდევრულია, მაგრამ ასეთი ნამრავლების შედეგი იქნება სხვადასხვა რიგის მატრიცები: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

ამ შემთხვევაში, AB ≠ BA.

მაგალითი 4 .

გამოსავალი.

1) +===,

2) –= ==;

3) პროდუქტი, როგორც მატრიცები ა ּ IN, და IN ּ ა, არსებობს იმის გამო, რომ მატრიცები თანმიმდევრულია:

·==·= =;

·==·= =

=≠, ანუ მატრიცები A და B არის არაკომუტაციური.

მაგალითი 5 .

გამოსავალი.

1) +===,

2) –===;

3) ორივე მატრიცების ნამრავლი АּВ და ВּА არსებობს, რადგან მატრიცები თანმიმდევრულია:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, ანუ ეს მატრიცები გადაადგილდებიან.

ლექცია 2. დეტერმინანტები

Გეგმა

1. კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი და მათი თვისებები.

2. ლაპლასის და ანიჰილაციის თეორემები.

ძირითადი ცნებები

განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრული დანამატი.

განმსაზღვრელი ელემენტის მინორი.

მეორე რიგის განმსაზღვრელი.

მესამე რიგის განმსაზღვრელი.

თვითნებური წესრიგის განმსაზღვრელი.

ლაპლასის თეორემა.

გაუქმების თეორემა.

1. კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი და მათი თვისებები

მოდით A იყოს n რიგის კვადრატული მატრიცა:

A= .

თითოეული ასეთი მატრიცა შეიძლება ასოცირებული იყოს ერთ რეალურ რიცხვთან, რომელსაც ეწოდება მატრიცის დეტერმინანტი (განმსაზღვრელი) და აღინიშნება

Det A= ∆= .

გაითვალისწინეთ, რომ განმსაზღვრელი არსებობს მხოლოდ კვადრატიმატრიცები.

განვიხილოთ დეტერმინანტებისა და მათი თვისებების გამოთვლის წესები მეორე და მესამე რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის, რომლებსაც მოკლედ მოვუწოდებთ, შესაბამისად, მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტებს.

მეორე რიგის განმსაზღვრელიმატრიცა არის წესით განსაზღვრული რიცხვი:

ანუ მეორე რიგის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლის გამოკლებით მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი .

მაშინ == 4 3 - (–1) 2=12 + 2 = 14.

უნდა გვახსოვდეს, რომ მრგვალი ან კვადრატული ფრჩხილები გამოიყენება მატრიცების დასანიშნად, ხოლო განმსაზღვრელისთვის - ვერტიკალური ხაზები. მატრიცა არის რიცხვების ცხრილი, ხოლო განმსაზღვრელი არის რიცხვი.

მეორე რიგის დეტერმინანტის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თვისებები :

1. განმსაზღვრელი არ შეიცვლება მისი ყველა მწკრივის შესაბამისი სვეტებით ჩანაცვლებისას:

2. დეტერმინანტის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ, როდესაც განმსაზღვრელი რიგები (სვეტები) გადალაგდება:

3. დეტერმინანტის მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან:

4. თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ დეტერმინანტი ნულის ტოლია.

5. განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, თუ მისი მწკრივების (სვეტების) შესაბამისი ელემენტები პროპორციულია:

6. თუ დეტერმინანტის ერთი რიგის (სვეტის) ელემენტები უდრის ორი წევრის ჯამს, მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელი ჯამის:

=+, =+.

7. დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მისი მწკრივის (სვეტის) ელემენტები დაემატება (გამოკლდება) სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტებით გამრავლებული იმავე რიცხვზე:

=+=,

ვინაიდან =0 თვისებით 5.

დეტერმინანტების დარჩენილი თვისებები განხილული იქნება ქვემოთ.

მოდით წარმოვიდგინოთ მესამე რიგის დეტერმინანტის კონცეფცია: მესამე შეკვეთაკვადრატულ მატრიცას ეწოდება რიცხვი

∆ == detA= =

=++– – – ,

ანუ, თითოეული ტერმინი ფორმულაში (2) არის განმსაზღვრელი ელემენტების ნამრავლი, აღებული ერთი და მხოლოდ ერთი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან. იმისათვის, რომ დაიმახსოვროთ, რომელი პროდუქტები ფორმულაში (2) ავიღოთ პლუს ნიშნით და რომელი მინუს ნიშნით, სასარგებლოა იცოდეთ სამკუთხედის წესი (სარუსის წესი):

მაგალითი . გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

უნდა აღინიშნოს, რომ ზემოთ განხილული მეორე რიგის განმსაზღვრელი თვისებები შეიძლება გადავიდეს ნებისმიერი რიგის, მათ შორის მესამეს, განმსაზღვრელ შემთხვევაში ცვლილებების გარეშე.

2. ლაპლასის და ანულაციის თეორემები

განვიხილოთ დეტერმინანტების კიდევ ორი ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება.

შემოვიღოთ მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებები.

უმნიშვნელო ელემენტის განმსაზღვრელიიმ მწკრივისა და სვეტის წაშლით, რომელსაც მიეკუთვნება მოცემული ელემენტი, გამოძახებულია თავდაპირველი განმსაზღვრელისაგან მიღებული განმსაზღვრელი. ელემენტის მინორი აღინიშნება .

მაგალითი . = .

შემდეგ, მაგალითად, = , = .

ალგებრული ელემენტის კომპლიმენტიგანმსაზღვრელს მისი მინორი ეწოდება, აღებული ნიშნით. ალგებრული დანამატი აღინიშნა -ით, ანუ =.

Მაგალითად:

= , === –,

დავუბრუნდეთ ფორმულას (2). ელემენტების დაჯგუფება და საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, მივიღებთ:

=(– ) +( – ) +(–)=

თანასწორობა დადასტურებულია ანალოგიურად:

1, 2, 3; (3)

ფორმულები (3) ეწოდება დაშლის ფორმულებიგანმსაზღვრელი i-ე რიგის ელემენტებზე (j-th სვეტი), ან მესამე რიგის განმსაზღვრელი ლაპლასის ფორმულებით.

ასე ვიღებთ დეტერმინანტის მერვე თვისება :

ლაპლასის თეორემა . განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ყველა ნამრავლის ჯამს ამ მწკრივის (სვეტის) ელემენტების შესაბამისი ალგებრული დანამატებით.

გაითვალისწინეთ, რომ დეტერმინანტის ეს თვისება სხვა არაფერია, თუ არა ნებისმიერი რიგის განმსაზღვრელი განსაზღვრება. პრაქტიკაში იგი გამოიყენება ნებისმიერი რიგის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად. როგორც წესი, დეტერმინანტის გამოთვლამდე, 1 - 7 თვისებების გამოყენებით, ისინი მიაღწევენ, თუ ეს შესაძლებელია, რომ ნებისმიერ მწკრივში (სვეტში) ყველა ელემენტი ტოლი იყოს ნულისა, გარდა ერთისა, შემდეგ კი ისინი იშლება მწკრივის ელემენტებით. (სვეტი).

მაგალითი . გამოთვალეთ განმსაზღვრელი

== (პირველი გამოვაკლოთ მეორე მწკრივს) =

== (გამოვაკლოთ პირველი მესამე მწკრივს)=

== (გაფართოვეთ განმსაზღვრელი მესამის ელემენტებში

რიგები) = 1ּ = (პირველი სვეტი გამოვაკლოთ მეორე სვეტს) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

მაგალითი .

განვიხილოთ მეოთხე რიგის განმსაზღვრელი. მის გამოსათვლელად ვიყენებთ ლაპლასის თეორემას, ანუ გაფართოებას მწკრივის (სვეტის) ელემენტების მიხედვით.

== (რადგან მეორე სვეტი შეიცავს სამ ნულ ელემენტს, განმსაზღვრელს ვაფართოვებთ მეორე სვეტის ელემენტებით)= =3ּ= (მეორე მწკრივს გამოვაკლებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველს და მესამეს გამოვაკლებთ 2-ზე გამრავლებულს. რიგი) =

3 = (განმსაზღვრელს ვაფართოებთ პირველი სვეტის ელემენტებით) = 3ּ1ּ =

მეცხრე ქონება განმსაზღვრელი ატარებს სახელს გაუქმების თეორემა :

დეტერმინანტის ერთი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ყველა ნამრავლისა და მეორე რიგის (სვეტის) ელემენტების შესაბამისი ალგებრული დანამატების ჯამი ნულის ტოლია, ე.ი.

++ = 0,

მაგალითი .

= = (გაფართოება მესამე რიგის ელემენტებით)=

0ּ+0ּ+ּ = -2.

მაგრამ, იგივე მაგალითისთვის: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1 = 0.

თუ რომელიმე რიგის განმსაზღვრელს აქვს სამკუთხა ფორმა

=, მაშინ იგი უდრის დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს:

=ּּ … ּ. (4)

მაგალითი. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი.

ზოგჯერ, ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით დეტერმინანტის გაანგარიშებისას, შესაძლებელია მისი დაყვანა სამკუთხა ფორმამდე, რის შემდეგაც გამოიყენება ფორმულა (4).

რაც შეეხება ორი კვადრატული მატრიცის ნამრავლის განმსაზღვრელს, ის უდრის ამ კვადრატული მატრიცების დეტერმინანტების ნამრავლს: .

ლექცია 3. ინვერსიული მატრიცა

Გეგმა

1. ინვერსიული მატრიცის ცნება. ინვერსიული მატრიცის უნიკალურობა.

2. შებრუნებული მატრიცის აგების ალგორითმი.

ინვერსიული მატრიცის თვისებები.

ძირითადი ცნებები

ინვერსიული მატრიცა.

მიმაგრებული მატრიცა.

1. ინვერსიული მატრიცის კონცეფცია.

საპირისპირო მატრიქსის უნიკალურობა

რიცხვთა თეორიაში, რიცხვთან ერთად, რიცხვი განისაზღვრება მის საპირისპიროდ () ისე, რომ , და მისი შებრუნებული რიცხვი ისეთი, რომ . მაგალითად, რიცხვისთვის 5, საპირისპირო იქნება რიცხვი

(- 5), და შებრუნებული იქნება რიცხვი . ანალოგიურად, მატრიცების თეორიაში ჩვენ უკვე შემოვიღეთ საპირისპირო მატრიცის ცნება, მისი აღნიშვნა (-A). ინვერსიული მატრიცა n რიგის A კვადრატული მატრიცისთვის, მატრიცას უწოდებენ, თუ ტოლობებია

სად ეარის n რიგის იდენტურობის მატრიცა.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ინვერსიული მატრიცა არსებობს მხოლოდ კვადრატული არასიგნორული მატრიცებისთვის.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება არადეგენერატი (არაერთობითი) თუ detA ≠ 0. თუ detA = 0, მაშინ მატრიცა A ე.წ. დეგენერატი (სპეციალური).

გაითვალისწინეთ, რომ არასიგნოლარულ მატრიცას A აქვს უნიკალური ინვერსიული მატრიცა. დავამტკიცოთ ეს განცხადება.

მოდით მატრიცისთვის აარსებობს ორი შებრუნებული მატრიცა, ე.ი.

შემდეგ =ּ=ּ() =

ქ.ე.დ.

იპოვეთ შებრუნებული მატრიცის განმსაზღვრელი. ვინაიდან ერთი და იმავე რიგის A და B მატრიცების ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია ამ მატრიცების დეტერმინანტების ნამრავლის, ანუ, მაშასადამე, ორი არასიგნორული AB მატრიცის ნამრავლი არის არასიგნორული მატრიცა.

ჩვენ ვასკვნით, რომ ინვერსიული მატრიცის განმსაზღვრელი არის ორიგინალური მატრიცის განმსაზღვრელი ორმხრივი.

2. ინვერსიული მატრიცის აგების ალგორითმი.

შებრუნებული მატრიქსის თვისებები

ვაჩვენოთ, რომ თუ მატრიცა A არასიგნორულია, მაშინ მისთვის არსებობს შებრუნებული მატრიცა და ავაშენოთ იგი.

მოდით გავაკეთოთ მატრიცა A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატებიდან:

მისი ტრანსპონირებისას ვიღებთ ე.წ მიმაგრებული მატრიცა:

იპოვეთ პროდუქტი ּ. ლაპლასის თეორემისა და განადგურების თეორემის გათვალისწინებით:

ּ = =

ჩვენ ვასკვნით:

ინვერსიული მატრიცის აგების ალგორითმი.

1) გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი ა. თუ განმსაზღვრელი არის ნული, მაშინ შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს.

2) თუ მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შეადგინეთ მატრიცის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატებიდან ამატრიცა .

3) მატრიცის ტრანსპოზირებით, მიიღეთ ასოცირებული მატრიცა.

4) ფორმულის მიხედვით (2) შეადგინეთ შებრუნებული მატრიცა.

5) ფორმულის მიხედვით (1) შეამოწმეთ გამოთვლები.

მაგალითი . იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა.

ა). მოდით A=. ვინაიდან A მატრიცას აქვს ორი იდენტური მწკრივი, მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნული. მაშასადამე, მატრიცა დეგენერატიულია და მისთვის არ არსებობს ინვერსიული მატრიცა.

ბ). დაე ა =.

გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი

ინვერსიული მატრიცა არსებობს.

შეადგინეთ მატრიცა ალგებრული დამატებებიდან

= = ;

მატრიცის ტრანსპოზირებით, ვიღებთ ასოცირებულ მატრიცას

ფორმულით (2) ვპოულობთ შებრუნებულ მატრიცას

==.

მოდით შევამოწმოთ გამოთვლების სისწორე

= = .

მაშასადამე, აგებული ინვერსიული მატრიცა სწორია.

ინვერსიული მატრიცის თვისებები

1. ;

2. ;

3. .

4. ამოცანები და სავარჯიშოები

4.1 მატრიცები და მოქმედებები მათზე

1. იპოვეთ A და B ორი მატრიცის ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი.

ა) , ;

ბ) , ;

V) , ;

გ) , ;

ე) , ;

და) , ;

თ), ;

და) , .

2. დაამტკიცეთ, რომ A და B მატრიცები გადაადგილდებიან.

ა), ; ბ) , .

3. მოცემულია A, B და C მატრიცები. აჩვენეთ, რომ (AB)·C=A·(BC).

ა) , , ;

ბ) , , .

4. გამოთვალეთ (3A - 2B) C თუ

, , .

5. იპოვე თუ

ა) ; ბ) .

6. იპოვეთ X მატრიცა, თუ 3A+2X=B, სადაც

, .

7. იპოვეთ ABC თუ

ა) , , ;

ბ) , , .

პასუხები თემაზე "მატრიცები და მოქმედებები მათზე"

1. ა) , ;

ბ) პროდუქტები AB და BA არ არსებობს;

V) , ;

გ) , ;

ე) არ არსებობს BA მატრიცების ჯამები, განსხვავებები და პროდუქცია, ;

ე) , ;

ზ) მატრიცული პროდუქტები არ არსებობს;

თ) , ;

და) , .

2. ა) ; ბ) .

3. ა) ; ბ) .

4. .

5. ა) ; ბ) .

6. .

7. ა) ; ბ) .

4.2 კვალიფიკაცია

1. გამოთვალეთ დეტერმინანტები

ა) ; ბ) ; V) ; გ) ; ე) ; ე) ;

და) ; თ) .

3. სამკუთხედების წესის გამოყენებით გამოთვალეთ დეტერმინანტები

ა) ; ბ) ; V) ; გ) .

4. გამოთვალეთ მე-2 მაგალითის დეტერმინანტები ლაპლასის თეორემის გამოყენებით.

5. გამოთვალეთ დეტერმინანტები, გამარტივების შემდეგ:

ა) ; ბ) ; V) ;

გ) ; ე) ; ე) ;

და) .

6. გამოთვალეთ დეტერმინანტი სამკუთხა ფორმამდე მიყვანით

7. მოცემულია A და B მატრიცები.დაამტკიცეთ :

, .

პასუხები თემაზე "განმსაზღვრელი"

1. ა) 10; ბ) 1; გ) 25; დ) 16; ე) 0; ვ) -3; ზ) -6; თ) 1.

2. ა) -25; ბ) 168; 21-ზე; დ) 12.

3. ა) -25; ბ) 168; 21-ზე; დ) 12.

4. ა) 2; ბ) 0; გ) 0; დ) 70; ე) 18; ვ) -66; ზ) -36.

4.3 ინვერსიული მატრიცა

1. იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა:

ა) ; ბ) ; V) ; გ) ;

ე) ; ე) ; და) ; თ) ;

და) ; მდე) ; მ) ;

მ) ; მ) .

2. იპოვეთ შებრუნებული მატრიცა და შეამოწმეთ პირობა:

ა) ; ბ) .

3. დაამტკიცეთ თანასწორობა :

ა), ; ბ) ,.

4. დაამტკიცეთ თანასწორობა :

ა) ; ბ) .

პასუხები თემაზე "ინვერსიული მატრიცა"

1. ა); ბ) ; V) ; გ) ;

ე) ; ე) ; და) ;

თ) ; და) ;

მდე) ; მ) ;

მ) ; მ) .

2. ა) ; ბ) .

2. ა) , , =;

ბ) , ,

5. ა) , ,

, ;

ბ) , ,

, .

5. ინდივიდუალური ამოცანები

1. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი გაფართოებით

ა) i-ე ხაზზე;

ბ) j-ე სვეტით.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

ლიტერატურა

1. ჟევნიაკ რ.მ., კარპუკი ა.ა. უმაღლესი მათემატიკა. – მნ.: ვიშ. სკოლა, 1992.- 384გვ.

2. გუსაკ ა.ა. პრობლემის გადაჭრის საცნობარო სახელმძღვანელო: ანალიტიკური გეომეტრია და წრფივი ალგებრა. - მინსკი: ტეტრასისტემები, 1998.- 288 გვ.

3. მარკოვი ლ.ნ., რაზმისლოვიჩ გ.პ. უმაღლესი მათემატიკა. ნაწილი 1. - მინსკი: ამალფეია, 1999. - 208გვ.

4. ბელკო ი.ვ., კუზმიჩ კ.კ. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის. I სემესტრი. მ.: ახალი ცოდნა, 2002.- 140გვ.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseec M.I. უმაღლესი მათემატიკა. პროკ. შემწეობა. -Mn.: CHIUP, 2003. - 32გვ.

კვადრატული მატრიცის მთავარი რიცხვითი მახასიათებელი არის მისი განმსაზღვრელი. განვიხილოთ მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა

მეორე რიგის განმსაზღვრელი ან განმსაზღვრელი არის შემდეგი წესით გამოთვლილი რიცხვი

Მაგალითად,

ახლა განვიხილოთ მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა

მესამე რიგის განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესის მიხედვით

მესამე რიგის დეტერმინანტის დასადგენად გამონათქვამებში შემავალი ტერმინების კომბინაციის დასამახსოვრებლად, ისინი ჩვეულებრივ იყენებენ სარრუსის წესი: პლიუსის ნიშნით მარჯვენა მხარეს შეტანილი სამი ტერმინიდან პირველი არის მატრიცის მთავარ დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლი, ხოლო დანარჩენი ორი არის ამ დიაგონალის პარალელურად მდებარე ელემენტების ნამრავლი და ელემენტი მატრიცის მოპირდაპირე კუთხიდან.

ბოლო სამი წევრი, რომელიც შედის მინუს ნიშნით, განისაზღვრება ანალოგიურად, მხოლოდ მეორადი დიაგონალის მიმართ.

მაგალითი:

მატრიცის დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები

1. დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ იცვლება მატრიცის ტრანსპონირებისას.

2. მატრიცის რიგების ან სვეტების გადაწყობისას განმსაზღვრელი ცვლის მხოლოდ ნიშანს, აბსოლუტური მნიშვნელობის შენარჩუნებით.

3. პროპორციული მწკრივების ან სვეტების შემცველი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

4. ზოგიერთი მწკრივის ან სვეტის ელემენტების საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

5. თუ რომელიმე მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ თავად დეტერმინანტი ნულის ტოლია.

6. თუ განმსაზღვრელი ცალკე მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს დავუმატებთ სხვა მწკრივის ან სვეტის ელემენტებს, გამრავლებული თვითნებური არადეგენერაციული ფაქტორით, მაშინ დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

მცირეწლოვანიმატრიცა არის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება კვადრატული მატრიციდან იმავე რაოდენობის სვეტებისა და მწკრივების წაშლით.

თუ მატრიციდან შედგენილი ზემოაღნიშნული რიგის ყველა მცირე ტოლია ნულის ტოლი, ხოლო რიგის მინუსებს შორის ერთი მაინც არ არის ნული, მაშინ რიცხვს ეძახიან. წოდება ეს მატრიცა.

ალგებრული დამატებარიგის განმსაზღვრელი ელემენტს დავარქმევთ რიგის მინორს, რომელიც მიიღება შესაბამისი მწკრივისა და სვეტის წაშლით, რომელთა გადაკვეთაზე არის პლუს ნიშნით აღებული ელემენტი, თუ ინდექსების ჯამი ტოლია ლუწი რიცხვი და სხვაგვარად მინუს ნიშნით.

ამგვარად

სად არის შესაბამისი შეკვეთა მინორი.

მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლა მწკრივის ან სვეტის ელემენტებზე დაშლით

მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მატრიცის ნებისმიერი მწკრივის (ნებისმიერი სვეტის) ელემენტების და ამ მწკრივის (ამ სვეტის) ელემენტების შესაბამისი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს. მატრიცის განმსაზღვრელი ამ გზით გაანგარიშებისას უნდა იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით: აირჩიეთ სტრიქონი ან სვეტი ნულოვანი ელემენტების უდიდესი რაოდენობით. ამ ტექნიკას შეუძლია მნიშვნელოვნად შეამციროს გამოთვლების რაოდენობა.

მაგალითი: .

ამ დეტერმინანტის გამოთვლისას გამოვიყენეთ პირველი სვეტის ელემენტებით მისი გაფართოების მეთოდი. როგორც ზემოაღნიშნული ფორმულიდან ჩანს, არ არის საჭირო მეორე რიგის დეტერმინანტებიდან ბოლო გამოთვლა, რადგან ის მრავლდება ნულზე.

ინვერსიული მატრიცის გაანგარიშება

მატრიცული განტოლებების ამოხსნისას, ინვერსიული მატრიცა ფართოდ გამოიყენება. გარკვეულწილად, ის ცვლის გაყოფის მოქმედებას, რომელიც აშკარა ფორმით არ არის მატრიცულ ალგებრაში.

ერთი და იგივე რიგის კვადრატულ მატრიცებს, რომელთა ნამრავლი იძლევა იდენტურობის მატრიცას, ეწოდება რეციპროკული ან ინვერსიული. საპირისპირო მატრიცა აღინიშნება და ის მართალია

შებრუნებული მატრიცის გამოთვლა შეგიძლიათ მხოლოდ ისეთი მატრიცისთვის, რომლისთვისაც .

შებრუნებული მატრიცის გამოთვლის კლასიკური ალგორითმი

1. ჩაწერეთ მატრიცაზე გადატანილი მატრიცა.

2. ჩაანაცვლეთ მატრიცის თითოეული ელემენტი იმ მწკრივისა და სვეტის წაშლის შედეგად მიღებული განმსაზღვრელით, რომელთა გადაკვეთაზეც ეს ელემენტი მდებარეობს.

3. ამ განმსაზღვრელს ახლავს პლუს ნიშანი, თუ ელემენტის ინდექსების ჯამი ლუწია, ხოლო მინუს ნიშანი.

4. მიღებული მატრიცა გავყოთ მატრიცის განმსაზღვრელზე.

- გაუშვით ჩიტი სასიკვდილოდ!
დაე, თავისუფლებამ მოუაროს მას!
გემი მიცურავს და რეაქტორი ღრიალებს...
-პაშ ჯიუტი ხარ?

მახსოვს, მე-8 კლასამდე არ მიყვარდა ალგებრა. საერთოდ არ მოეწონა. მან გამაბრაზა. იმიტომ რომ ვერაფერი გავიგე.

და შემდეგ ყველაფერი შეიცვალა, რადგან მე გავჭრა ერთი ჩიპი:

ზოგადად მათემატიკაში (და კერძოდ ალგებრაში) ყველაფერი ეფუძნება განმარტებების კომპეტენტურ და თანმიმდევრულ სისტემას. თქვენ იცით განმარტებები, გესმით მათი არსი - დანარჩენის გარკვევა რთული არ იქნება.

ეს არის დღევანდელი გაკვეთილის თემა. ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ რამდენიმე დაკავშირებულ საკითხს და განმარტებას, რომელთა წყალობით თქვენ ერთხელ და სამუდამოდ გაუმკლავდებით მატრიცებს, დეტერმინანტებს და მათ ყველა თვისებას.

დეტერმინანტები ცენტრალური ცნებაა მატრიცულ ალგებრაში. გამრავლების შემოკლებული ფორმულების მსგავსად, ისინი დაგდევნიან თქვენ მათემატიკის მოწინავე კურსის განმავლობაში. ამიტომ ვკითხულობთ, ვუყურებთ და კარგად გვესმის. :)

და ჩვენ დავიწყებთ ყველაზე ინტიმურით - რა არის მატრიცა? და როგორ ვიმუშაოთ მასთან.

ინდექსების სწორი განლაგება მატრიცაში

მატრიცა არის მხოლოდ ცხრილი, რომელიც სავსეა ციფრებით. ნეო აქ არ არის.

მატრიცის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელია მისი განზომილება, ე.ი. სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა, საიდანაც იგი შედგება. ჩვეულებრივ ამბობენ, რომ $A$ მატრიცას აქვს ზომა $\left[ m\ჯერ n \right]$, თუ მას აქვს $m$ რიგები და $n$ სვეტები. დაწერე ასე:

ან ასე:

არსებობს სხვა აღნიშვნები - ეს ყველაფერი დამოკიდებულია ლექტორის / სემინარიელის / სახელმძღვანელოს ავტორის პრეფერენციებზე. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ყველა ამ $\მარცხენა[ m\ჯერ n \მარჯვნივ]$ და $((a)_(ij))$, იგივე პრობლემა ჩნდება:

რომელი ინდექსი რას აკეთებს? ჯერ მწკრივის ნომერი, შემდეგ სვეტის ნომერი? Ან პირიქით?

ლექციებისა და სახელმძღვანელოების კითხვისას პასუხი აშკარად მოგეჩვენებათ. მაგრამ როცა გამოცდაზე მხოლოდ ფურცელი დგას დავალების წინაშე, შეიძლება ინერვიულო და უცებ დაიბნე.

ამიტომ ერთხელ და სამუდამოდ მივუდგეთ ამ საკითხს. პირველ რიგში, გავიხსენოთ ჩვეულებრივი კოორდინატთა სისტემა სკოლის მათემატიკის კურსიდან:

სიბრტყეზე კოორდინატთა სისტემის დანერგვა

გახსოვს ის? მას აქვს $x$ და $y$ ღერძების საწყისი (წერტი $O=\მარცხნივ(0;0 \მარჯვნივ)$, და სიბრტყის თითოეული წერტილი ცალსახად განისაზღვრება კოორდინატებით: $A=\left( 1;2 \მარჯვნივ)$, $B=\მარცხნივ(3;1 \მარჯვნივ)$ და ა.შ.

ახლა კი ავიღოთ ეს კონსტრუქცია და დავდოთ მატრიცის გვერდით ისე, რომ საწყისი იყოს ზედა მარცხენა კუთხეში. რატომ იქ? დიახ, რადგან წიგნის გახსნისას ჩვენ ვიწყებთ კითხვას გვერდის ზედა მარცხენა კუთხიდან - ამის დამახსოვრება უფრო ადვილია, ვიდრე ოდესმე.

მაგრამ სად მივმართოთ ცულები? ჩვენ მათ ისე მივმართავთ, რომ მთელი ჩვენი ვირტუალური „გვერდი“ ამ ღერძებით იყოს დაფარული. მართალია, ამისათვის ჩვენ მოგვიწევს ჩვენი კოორდინატთა სისტემის როტაცია. მხოლოდ შესაძლო ვარიანტიეს მდებარეობა:

კოორდინატთა სისტემის დახატვა მატრიცაზე

ახლა მატრიცის ყველა უჯრედს აქვს ერთმნიშვნელოვანი კოორდინატები $x$ და $y$. მაგალითად, ჩანაწერი $((a)_(24))$ ნიშნავს, რომ ჩვენ შევდივართ ელემენტზე $x=2$ და $y=4$ კოორდინატებით. მატრიცის ზომები ასევე ცალსახად არის მითითებული რიცხვების წყვილით:

ინდექსების განსაზღვრა მატრიცაში

უბრალოდ დააკვირდით ამ სურათს. ითამაშე კოორდინატებით (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც მუშაობ რეალურ მატრიცებთან და განმსაზღვრელებთან) - და ძალიან მალე მიხვდები, რომ ყველაზე რთულ თეორემებსა და განმარტებებშიც კი მშვენივრად ხვდები, რა არის საქმე.

Გავიგე? აბა, მოდით გადავიდეთ განმანათლებლობის პირველ საფეხურზე - განმსაზღვრელი გეომეტრიული განსაზღვრებაზე. :)

გეომეტრიული განმარტება

უპირველეს ყოვლისა, მინდა აღვნიშნო, რომ განმსაზღვრელი არსებობს მხოლოდ $\left[ n\times n \right]$ ფორმის კვადრატული მატრიცებისთვის. განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება გარკვეული წესების მიხედვით და არის ამ მატრიცის ერთ-ერთი მახასიათებელი (არის სხვა მახასიათებლები: რანგი, საკუთრივვექტორები, მაგრამ უფრო მეტი სხვა გაკვეთილებში).

აბა, რა არის ეს თვისება? Რას ნიშნავს? Ეს მარტივია:

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი $A=\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ არის $n$-განზომილებიანი პარალელეპიპედის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება, თუ მატრიცის რიგებს განვიხილავთ, როგორც ვექტორებს, რომლებიც ქმნიან კიდეებს. ეს პარალელეპიპედი.

მაგალითად, 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი არის მხოლოდ პარალელოგრამის ფართობი, ხოლო 3x3 მატრიცისთვის ის უკვე არის 3-განზომილებიანი პარალელეპიპედის მოცულობა - სწორედ ის, რაც აღიზიანებს ყველა საშუალო სკოლის მოსწავლეს. ბევრი სტერეომეტრიის გაკვეთილებზე.

ერთი შეხედვით, ეს განმარტება შეიძლება სრულიად არაადეკვატური ჩანდეს. ოღონდ ნუ ვიჩქარებთ დასკვნების გამოტანას – მოდით გადავხედოთ მაგალითებს. სინამდვილეში, ყველაფერი ელემენტარულია, უოტსონ:

დავალება. იპოვეთ მატრიცის დეტერმინანტები:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ოთხი \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ოთხი \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. პირველი ორი განმსაზღვრელი არის 2x2. ასე რომ, ეს მხოლოდ პარალელოგრამების არეებია. დავხატოთ ისინი და გამოვთვალოთ ფართობი.

პირველი პარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ და $((v)_(2))=\left(0;3 \მარჯვნივ) $:
2x2 განმსაზღვრელი არის პარალელოგრამის ფართობი
ცხადია, ეს არ არის მხოლოდ პარალელოგრამი, არამედ საკმაოდ მართკუთხედი. მისი ფართობი უდრის

მეორე პარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ და $((v)_(2))=\left(2;2 \right) )$. აბა, მერე რა? ესეც მართკუთხედია:
კიდევ 2x2 განმსაზღვრელი
ამ მართკუთხედის გვერდები (ფაქტობრივად, ვექტორების სიგრძე) ადვილად გამოითვლება პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \მარცხნივ| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\მარცხნივ| ((v)_(1)) \მარჯვნივ|\cdot \მარცხნივ| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რჩება ბოლო განმსაზღვრელთან გამკლავება - უკვე არსებობს 3x3 მატრიცა. ჩვენ უნდა გვახსოვდეს სტერეომეტრია:

3x3 განმსაზღვრელი არის პარალელეპიპედის მოცულობა
საოცრად გამოიყურება, მაგრამ სინამდვილეში საკმარისია გავიხსენოთ პარალელეპიპედის მოცულობის ფორმულა:

სადაც $S$ არის ფუძის ფართობი (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის პარალელოგრამის ფართობი $OXY$ სიბრტყეზე), $h$ არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია ამ ბაზაზე (ფაქტობრივად, $ z$-$((v)_(3) )$ ვექტორის კოორდინატი.

პარალელოგრამის ფართობი (ჩვენ ცალკე დავხატეთ) ასევე მარტივია გამოთვლა:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! ჩვენ ვწერთ პასუხებს.

პასუხი: 3; 4; 24.

მცირე შენიშვნა სანოტო სისტემის შესახებ. ვიღაცას ალბათ არ მოეწონება, რომ ვაიგნორებ "ისრებს" ვექტორებზე. სავარაუდოდ, ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ აურიოთ ვექტორი წერტილით ან სხვა რამით.

მაგრამ მოდით ვიყოთ სერიოზულები: ჩვენ უკვე ზრდასრული ბიჭები და გოგოები ვართ, ამიტომ მშვენივრად გვესმის კონტექსტიდან, როდესაც ვსაუბრობთ ვექტორზე და როდესაც ვსაუბრობთ წერტილზე. ისრები მხოლოდ მათემატიკური ფორმულებით ავსებს თხრობას.

და შემდგომ. პრინციპში, არაფერი გვიშლის ხელს, განვიხილოთ 1x1 მატრიცის განმსაზღვრელი - ასეთი მატრიცა არის მხოლოდ ერთი უჯრედი და ამ უჯრედში ჩაწერილი რიცხვი იქნება განმსაზღვრელი. მაგრამ აქ არის მნიშვნელოვანი შენიშვნა:

კლასიკური მოცულობისგან განსხვავებით, განმსაზღვრელი მოგვცემს ე.წ. ორიენტირებული მოცულობა“, ე.ი. მოცულობა, მწკრივის ვექტორების განხილვის თანმიმდევრობის გათვალისწინებით.

და თუ გსურთ მიიღოთ მოცულობა ამ სიტყვის კლასიკური გაგებით, მოგიწევთ აიღოთ დეტერმინანტის მოდული, მაგრამ ახლა ამაზე არ უნდა ინერვიულოთ - მაინც, რამდენიმე წამში ჩვენ ვისწავლით როგორ დავთვალოთ ნებისმიერი განმსაზღვრელი ნებისმიერი ნიშნებით, ზომებით და ა.შ. :)

ალგებრული განმარტება

გეომეტრიული მიდგომის მთელი სილამაზითა და სიცხადით, მას აქვს სერიოზული ნაკლი: ის არაფერს გვეუბნება, თუ როგორ გამოვთვალოთ ეს ძალიან განმსაზღვრელი.

ამიტომ, ახლა გავაანალიზებთ ალტერნატიულ განმარტებას - ალგებრულს. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მოკლე თეორიული მომზადება, მაგრამ გამოსავალზე მივიღებთ ინსტრუმენტს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ ყველაფერი მატრიცებში, როგორც გვსურს.

მართალია, იქნება ახალი პრობლემა... მაგრამ პირველ რიგში.

პერმუტაციები და ინვერსიები

მოდით დავწეროთ რიცხვების სტრიქონი 1-დან $n$-მდე. თქვენ მიიღებთ ასეთ რამეს:

ახლა (მხოლოდ გასართობად) მოდით გავცვალოთ რამდენიმე ნომერი. შეგიძლიათ შეცვალოთ მეზობელი

ან იქნებ არც ისე მეზობელი:

და იცი რა? მაგრამ არაფერი! ალგებრაში ამ სისულელეს პერმუტაციას უწოდებენ. და მას აქვს ბევრი თვისება.

განმარტება. $n$ სიგრძის პერმუტაცია არის $n$ სხვადასხვა რიცხვის სტრიქონი, რომელიც დაწერილია ნებისმიერი თანმიმდევრობით. ჩვეულებრივ, განიხილება პირველი $n$ ნატურალური რიცხვები (ანუ ზუსტად რიცხვები 1, 2, ..., $n$) და შემდეგ ისინი აურიეთ სასურველი პერმუტაციის მისაღებად.

პერმუტაციები აღინიშნება ისევე, როგორც ვექტორები - მხოლოდ ასო და მათი ელემენტების თანმიმდევრული ჩამოთვლა ფრჩხილებში. მაგალითად: $p=\left(1;3;2 \right)$ ან $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. ასო შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ იყოს $p$. :)

გარდა ამისა, პრეზენტაციის სიმარტივისთვის, ჩვენ ვიმუშავებთ 5 სიგრძის პერმუტაციებთან - ისინი უკვე საკმარისად სერიოზულია ნებისმიერი საეჭვო ეფექტების დასაკვირვებლად, მაგრამ ჯერ არ არის ისეთი მძიმე მყიფე ტვინისთვის, როგორც 6 და მეტი სიგრძის პერმუტაციები. აქ მოცემულია ასეთი პერმუტაციების მაგალითები:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((p)_(1))=\მარცხნივ(1;2;3;4;5 \მარჯვნივ) \\ & ((p)_(2))=\მარცხნივ(1 ;3;2;5;4 \მარჯვნივ) \\ & ((p)_(3))=\მარცხნივ(5;4;3;2;1 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(გასწორება)\]

ბუნებრივია, $n$ სიგრძის პერმუტაცია შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად, რომელიც განსაზღვრულია $\left$ 1;2;...;n \right$$-ზე და ბიექტურად ასახავს ამ კომპლექტს საკუთარ თავზე. დავუბრუნდეთ $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ და $((p)_(3))$-ის პერმუტაციებს, რომლებიც ახლახან დავწერეთ, შეგვიძლია კანონიერად დავწეროთ :

\[((p)_(1))\left(1 \მარჯვნივ)=1;((p)_(2))\left(3 \მარჯვნივ)=2;((p)_(3))\ მარცხენა (2\მარჯვნივ)=4;\]

$n$ სიგრძის სხვადასხვა პერმუტაციების რაოდენობა ყოველთვის შეზღუდულია და $n!$-ის ტოლია - ეს კომბინატორიკის ადვილად დასამტკიცებელი ფაქტია. მაგალითად, თუ გვინდა ჩავწეროთ 5 სიგრძის ყველა პერმუტაცია, მაშინ ბევრს ვიყოყმანებთ, რადგან იქნება ასეთი პერმუტაციები.

ნებისმიერი პერმუტაციის ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელია მასში ინვერსიების რაოდენობა.

განმარტება. ინვერსია პერმუტაციაში $p=\left(((a)_(1));(a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ — ნებისმიერი წყვილი $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ ისეთი, რომ $i \lt j$ მაგრამ $((a)_(i)) \gt ((a )_(j))$. მარტივად რომ ვთქვათ, ინვერსია არის, როდესაც უფრო დიდი რიცხვი არის პატარას მარცხნივ (არ არის აუცილებელი მეზობელი).

ჩვენ გამოვიყენებთ $N\left(p \right)$ $p$ პერმუტაციაში ინვერსიების რაოდენობის აღსანიშნავად, მაგრამ მზად იყავით სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში და სხვადასხვა ავტორის სხვა აღნიშვნებისთვის - აქ არ არსებობს ერთიანი სტანდარტები. ინვერსიების თემა ძალიან ვრცელია და მას ცალკე გაკვეთილი დაეთმობა. ახლა ჩვენი ამოცანაა უბრალოდ ვისწავლოთ როგორ დავთვალოთ ისინი რეალურ პრობლემებში.

მაგალითად, დავთვალოთ ინვერსიების რაოდენობა $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ პერმუტაციაში:

\[\ მარცხნივ (4; 3 \ მარჯვნივ);\ მარცხნივ (4; 2 \ მარჯვნივ); \ მარცხნივ (5; 3 \ მარჯვნივ); \ მარცხნივ (5; 2 \ მარჯვნივ); \ მარცხნივ (3; 2 \ მარჯვნივ); ).\]

ამრიგად, $N\left(p \right)=5$. როგორც ხედავთ, ამაში ცუდი არაფერია. დაუყოვნებლივ უნდა ვთქვა: შემდგომში ჩვენ დავინტერესდებით არა იმდენად რიცხვი $N\left(p \right)$, არამედ მისი ლუწი/უცნაურობა. და აქ ჩვენ შეუფერხებლად გადავდივართ დღევანდელი გაკვეთილის მთავარ ტერმინზე.

რა არის განმსაზღვრელი

მოდით $A=\left[n\ჯერ n \right]$ იყოს კვადრატული მატრიცა. შემდეგ:

განმარტება. $A=\left[ n\times n \right]$ მატრიცის განმსაზღვრელი არის $n!$ ტერმინების ალგებრული ჯამი, რომელიც შედგება შემდეგნაირად. თითოეული წევრი არის $n$ მატრიცის ელემენტების ნამრავლი, აღებული თითო მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან, გამრავლებული (−1) ინვერსიების რაოდენობის ხარისხზე:

\[\მარცხნივ| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

განმსაზღვრელში თითოეული ტერმინისთვის ფაქტორების არჩევის ფუნდამენტური წერტილი არის ის ფაქტი, რომ ორი ფაქტორი არ არის ერთ რიგში ან იმავე სვეტში.

ამის გამო, ზოგადის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ $((a)_(i;j))$ ფაქტორების $i$ ინდექსები "გადის" მნიშვნელობებს 1, ..., $n$. და $j$ ინდექსები არის პირველის გარკვეული პერმუტაცია:

და როდესაც არის $p$ პერმუტაცია, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ $N\left(p \right)$-ის ინვერსიები - და განმსაზღვრელი შემდეგი წევრი მზად არის.

ბუნებრივია, არავინ კრძალავს ფაქტორების გაცვლას რომელიმე ტერმინში (ან ერთდროულად - რატომ უნდა შეგაწუხოთ წვრილმანები?), შემდეგ კი პირველი ინდიკატორები ასევე წარმოადგენენ ერთგვარ პერმუტაციას. მაგრამ საბოლოო ჯამში, არაფერი შეიცვლება: ინვერსიების საერთო რაოდენობა $i$ და $j$ ინდექსებში რჩება თუნდაც ასეთი გარყვნილების პირობებში, რაც საკმაოდ შეესაბამება ძველ კარგ წესს:

ფაქტორების გადალაგებით, რიცხვების ნამრავლი არ იცვლება.

მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ ამ წესის გადატანა მატრიცულ გამრავლებაზე - რიცხვების გამრავლებისგან განსხვავებით, ის არ არის კომუტაციური. მაგრამ გავუსწორდები. :)

მატრიცა 2x2

სინამდვილეში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ განიხილოთ 1x1 მატრიცა - ეს იქნება ერთი უჯრედი და მისი განმსაზღვრელი, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უდრის ამ უჯრედში ჩაწერილ რიცხვს. Არაფერი საინტერესო.

მოდით განვიხილოთ 2x2 კვადრატული მატრიცა:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\]

ვინაიდან მასში მწკრივების რაოდენობაა $n=2$, მაშინ განმსაზღვრელი შეიცავს $n!=2!=1\cdot 2=2$ ტერმინებს. მოდით დავწეროთ ისინი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(N\მარცხნივ(1;2 \მარჯვნივ)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\ მარცხნივ (-1 \მარჯვნივ)) ^ (N \ მარცხნივ (2; 1 \მარჯვნივ)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(1)\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (ა)_(21)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ცხადია, არ არის ინვერსიები $\left(1;2 \right)$, რომელიც შედგება ორი ელემენტისგან, ამიტომ $N\left(1;2 \right)=0$. მაგრამ პერმუტაციაში $\left(2;1 \right)$ არის ერთი ინვერსია (რეალურად, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

საერთო ჯამში, 2x2 მატრიცისთვის განმსაზღვრელი გამოთვლის უნივერსალური ფორმულა ასე გამოიყურება:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) ((ა)_(11)) & (ა)_(12)) \\ ((ა)_(21)) & ((ა)_(22)) \\\ბოლო( მატრიცა) \მარჯვნივ|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

გრაფიკულად, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ელემენტების ნამრავლი მთავარ დიაგონალზე, გამოკლებული ელემენტების ნამრავლი მეორადზე:

2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|;\ოთხი \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|.\]

გამოსავალი. ყველაფერი განიხილება ერთ ხაზზე. პირველი მატრიცა:

და მეორეც:

პასუხი: -3; -161.

თუმცა, ეს ძალიან ადვილი იყო. ვნახოთ 3x3 მატრიცები - იქ უკვე საინტერესოა.

მატრიცა 3x3

ახლა განიხილეთ 3x3 კვადრატული მატრიცა:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\]

მისი განმსაზღვრელი გამოთვლისას მივიღებთ $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ ტერმინებს - არც ისე ბევრია პანიკისთვის, მაგრამ საკმარისია რამდენიმე შაბლონის ძებნა. პირველ რიგში, მოდით ჩამოვწეროთ სამი ელემენტის ყველა პერმუტაცია და გამოვთვალოთ ინვერსიები თითოეულ მათგანში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((p)_(1))=\მარცხნივ(1;2;3 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(1)) \მარჯვნივ)=N\ მარცხენა(1;2;3\მარჯვნივ)=0; \\ & ((p)_(2))=\მარცხნივ(1;3;2 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(2)) \მარჯვნივ)=N\მარცხნივ(1;3 ;2\მარჯვნივ)=1; \\ & ((p)_(3))=\მარცხნივ(2;1;3 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(3)) \მარჯვნივ)=N\მარცხნივ(2;1 ;3\მარჯვნივ)=1; \\ & ((p)_(4))=\მარცხნივ(2;3;1 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(4)) \მარჯვნივ)=N\მარცხნივ(2;3 ;1\მარჯვნივ)=2; \\ & ((p)_(5))=\მარცხნივ(3;1;2 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(5)) \მარჯვნივ)=N\მარცხნივ(3;1 ;2\მარჯვნივ)=2; \\ & ((p)_(6))=\მარცხნივ(3;2;1 \მარჯვნივ)\მარჯვენა ისარი N\მარცხნივ(((p)_(6)) \მარჯვნივ)=N\მარცხნივ(3;2 ;1\მარჯვნივ)=3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც მოსალოდნელი იყო, არის 6 პერმუტაცია $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ ჯამში (ბუნებრივია, მათი ჩაწერა შეიძლება სხვა თანმიმდევრობით - წერტილი არ იცვლება) და მათში ინვერსიების რაოდენობა მერყეობს 0-დან 3-მდე.

ზოგადად, გვექნება სამი პლუსი (სადაც $N\left(p \right)$ ლუწია) და კიდევ სამი მინუს წევრი. ზოგადად, განმსაზღვრელი გამოითვლება ფორმულის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) ((ა)_(11)) & ((ა)_(12)) & ((ა)_(13)) \\ ((ა)_(21)) & (ა) _(22)) & ((ა)_(23)) \\ ((ა)_(31)) & ((ა)_(32)) & ((ა)_(33)) \\\ დასასრული (მატრიცა). (ა)_(23))((ა)_(31))+((ა)_(13))(ა)_(21))(ა)_(32))- \\ -( (ა)_(13))((ა)_(22))(ა)_(31))-(ა)_(12))(ა)_(21))(ა)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\ბოლო(მატრიცა)\]

უბრალოდ არ დაჯდე ახლა და გააფთრებულად აკრიფო ყველა ეს ინდექსები! გაუგებარი რიცხვების ნაცვლად, უმჯობესია გახსოვდეთ შემდეგი მნემონური წესი:

სამკუთხედის წესი. 3x3 მატრიცის განმსაზღვრელი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა დაამატოთ ელემენტების სამი ნამრავლი მთავარ დიაგონალზე და ტოლფერდა სამკუთხედების წვეროებზე ამ დიაგონალის პარალელური გვერდით, შემდეგ კი გამოაკლოთ იგივე სამი პროდუქტი, მაგრამ მეორად დიაგონალზე. . სქემატურად, ასე გამოიყურება:

3x3 მატრიცის განმსაზღვრელი: სამკუთხედების წესი

სწორედ ამ სამკუთხედების (ან პენტაგრამების - როგორც გინდათ) დახატვა მოსწონთ ალგებრას ყველა სახის სახელმძღვანელოსა და სახელმძღვანელოში. თუმცა სამწუხარო რამეებზე ნუ ვისაუბრებთ. მოდით უკეთ გამოვთვალოთ ერთი ასეთი განმსაზღვრელი - ნამდვილი თუნუქის წინ გასათბობად. :)

დავალება. გამოთვალეთ განმსაზღვრელი:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. ჩვენ ვმუშაობთ სამკუთხედების წესით. პირველი, მოდით გამოვთვალოთ სამი წევრი, რომელიც შედგება ელემენტებისგან მთავარ დიაგონალზე და მის პარალელურად:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end (გასწორება) \]

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ გვერდითი დიაგონალს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\ბოლო (გასწორება) \]

რჩება მხოლოდ მეორე რიცხვის გამოკლება - და მივიღებთ პასუხს:

Სულ ეს არის!

თუმცა, 3x3 მატრიცების განმსაზღვრელი ჯერ კიდევ არ არის უნარების მწვერვალი. ყველაზე საინტერესო წინ გველოდება. :)

დეტერმინანტების გამოთვლის ზოგადი სქემა

როგორც ვიცით $n$ მატრიცის განზომილება იზრდება, დეტერმინანტში ტერმინების რაოდენობაა $n!$ და სწრაფად იზრდება. ყოველივე ამის შემდეგ, ფაქტორიალი საკმაოდ სწრაფად მზარდი ფუნქციაა.

უკვე 4x4 მატრიცებისთვის, რატომღაც არ არის კარგი განმსაზღვრელთა წინსვლა (ანუ პერმუტაციების მეშვეობით). მე ზოგადად ვჩუმდები 5x5 და მეტი. მაშასადამე, დეტერმინანტის ზოგიერთი თვისება დაკავშირებულია საქმესთან, მაგრამ მათ გასაგებად ცოტა თეორიული მომზადებაა საჭირო.

მზადაა? წადი!

რა არის მატრიცული მინორი

მიეცით თვითნებური მატრიცა $A=\left[ m\times n \right]$. შენიშვნა: არ არის აუცილებელი კვადრატული. განმსაზღვრელებისგან განსხვავებით, არასრულწლოვანები მიმზიდველი საგნებია, რომლებიც არსებობს არა მხოლოდ მკაცრ კვადრატულ მატრიცებში. ჩვენ ვირჩევთ რამდენიმე (მაგალითად, $k$) სტრიქონს და სვეტს ამ მატრიცაში, $1\le k\le m$ და $1\le k\le n$. შემდეგ:

განმარტება. $k$ რიგის მინორი არის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც გამოჩნდება არჩეული $k$ სვეტებისა და რიგების გადაკვეთაზე. ჩვენ ასევე დავარქმევთ ამ ახალ მატრიცას მინორს.

ასეთი მინორი აღინიშნება $((M)_(k))$-ით. ბუნებრივია, ერთ მატრიცას შეიძლება ჰქონდეს $k$ რიგის მცირეწლოვანთა მთელი თაიგული. აქ მოცემულია 2 მინორის შეკვეთის მაგალითი $\left[5\ჯერ 6 \მარჯვნივ]$ მატრიცისთვის:
აირჩიეთ $k = 2$ სვეტები და რიგები მინორის შესაქმნელად

არ არის აუცილებელი, რომ შერჩეული რიგები და სვეტები ერთმანეთის გვერდიგვერდ იყოს, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში. მთავარია, რომ შერჩეული სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იყოს იგივე (ეს არის რიცხვი $k$).

არის კიდევ ერთი განმარტება. იქნებ ვინმეს უფრო მოეწონოს:

განმარტება. ნება მიეცეს მართკუთხა მატრიცა $A=\left[ m\ჯერ n \right]$. თუ ერთი ან მეტი სვეტისა და ერთი ან მეტი მწკრივის წაშლის შემდეგ მასში წარმოიქმნება $\left[k\ჯერ k \right]$ ზომის კვადრატული მატრიცა, მაშინ მისი განმსაზღვრელი არის მცირე $((M)_(k. ))$. ჩვენ ასევე ხანდახან ვუწოდებთ მატრიცას მინორს - ეს გასაგები იქნება კონტექსტიდან.

როგორც ჩემი კატა ამბობდა, ხანდახან ჯობია მე-11 სართულიდან ერთხელ აიღო საჭმელი, ვიდრე აივანზე ჯდომის მიია.

მაგალითი. მოდით მატრიცა

პირველი რიგის და მე-2 სვეტის არჩევით, ჩვენ ვიღებთ პირველი რიგის მინორს:

\[((M)_(1))=\მარცხნივ| 7\მარჯვნივ|=7\]

მე-2, მე-3 მწკრივების და 3, 4 სვეტების არჩევით, ჩვენ ვიღებთ მეორე რიგის მინორს:

\[((M)_(2))=\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|=5-18=-13\]

და თუ აირჩევთ სამივე მწკრივს, ისევე როგორც სვეტებს 1, 2, 4, იქნება მესამე რიგის მინორი:

\[((M)_(3))=\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

მკითხველს არ გაუჭირდება 1, 2 ან 3 შეკვეთების სხვა მცირეწლოვანების პოვნა. ამიტომ, ვაგრძელებთ.

ალგებრული დამატებები

”კარგი, კარგი და რას გვაძლევენ ეს მინიონები არასრულწლოვანებს?” თქვენ აუცილებლად გკითხავთ. თავისთავად, არაფერი. მაგრამ კვადრატულ მატრიცებში თითოეულ მინორს ჰყავს "თანამგზავრი" - დამატებითი მინორი, ასევე ალგებრული დამატება. და ეს ორი სლაპსტიკი ერთად მოგვცემს საშუალებას დავაჭიროთ დეტერმინანტებს, როგორც კაკალი.

განმარტება. მოდით იყოს მოცემული კვადრატული მატრიცა $A=\left[n\ჯერ n \right]$, რომელშიც არჩეულია მცირე $((M)_(k))$. მაშინ დამატებითი მინორი $((M)_(k))$ არის ორიგინალური $A$ მატრიცის ნაწილი, რომელიც დარჩება ყველა მწკრივისა და სვეტის წაშლის შემდეგ, რომლებიც მონაწილეობენ მცირე $((M) კომპილაციაში. )_(k))$:
დამატებითი მცირე $((M)_(2))$
მოდით განვმარტოთ ერთი პუნქტი: დამატებითი მინორი არ არის მხოლოდ „მატრიცის ნაწილი“, არამედ ამ ნაწილის განმსაზღვრელი.

დამატებითი მცირე რიცხვები აღინიშნება ვარსკვლავით: $M_(k)^(*)$:

სადაც ოპერაცია $A\nabla ((M)_(k))$ სიტყვასიტყვით ნიშნავს "$A$-დან წაშალოთ $((M)_(k))$-ში შემავალი რიგები და სვეტები". ეს ოპერაცია მათემატიკაში ზოგადად მიღებული არ არის - მე თვითონ მოვიგონე ეს ისტორიის სილამაზისთვის. :)

დამატებითი არასრულწლოვნები იშვიათად გამოიყენება დამოუკიდებლად. ისინი უფრო რთული კონსტრუქციის ნაწილია - ალგებრული დამატება.

განმარტება. მცირე $((M)_(k))$-ის ალგებრული დანამატი არის დამატებითი მცირე $M_(k)^(*)$ გამრავლებული $((\left(-1 \მარჯვნივ))^(S)) $ , სადაც $S$ არის ყველა მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი, რომლებიც ჩართულია თავდაპირველ მცირე $((M)_(k))$-ში.

როგორც წესი, მცირე $((M)_(k))$-ის ალგებრული დანამატი აღინიშნება $((A)_(k))$-ით. Ამიტომაც:

\[((A)_(k))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

რთული? ერთი შეხედვით, დიახ. მაგრამ ეს არ არის ზუსტად. იმიტომ რომ ეს მართლაც ადვილია. განვიხილოთ მაგალითი:

მაგალითი. მოცემულია 4x4 მატრიცა:

ვირჩევთ მეორე რიგის მცირეწლოვანს

\[((M)_(2))=\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 3 და 4 \\ 15 და 16 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

კაპიტანი მტკიცებულება, როგორც იქნა, მიგვითითებს, რომ 1 და 4 რიგები, ისევე როგორც მე-3 და მე-4 სვეტები, მონაწილეობდა ამ მინორის შედგენაში. ჩვენ მათ გადავხაზავთ - ვიღებთ დამატებით მინორს:

რჩება ვიპოვოთ რიცხვი $S$ და მივიღოთ ალგებრული დანამატი. ვინაიდან ჩვენ ვიცით ჩართული რიგების (1 და 4) და სვეტების (3 და 4) რიცხვები, ყველაფერი მარტივია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ) )^(12))\cdot \მარცხნივ(-4 \მარჯვნივ)=-4\ბოლო(გასწორება)\]

პასუხი: $((A)_(2))=-4$

Სულ ეს არის! სინამდვილეში, დამატებითი მცირე და ალგებრული დამატებას შორის მთელი განსხვავება მხოლოდ წინა მინუსშია და მაშინაც კი არა ყოველთვის.

ლაპლასის თეორემა

ასე რომ, მივედით იმ აზრამდე, თუ რატომ იყო საჭირო ყველა ეს მცირე და ალგებრული დამატება.

ლაპლასის თეორემა დეტერმინანტის დაშლის შესახებ. მოდით არჩეული იყოს $k$ რიგები (სვეტები) $\left[n\ჯერ n \right]$ ზომის მატრიცაში, $1\le k\le n-1$-ით. მაშინ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის $k$ რიგის მცირეწლოვანთა ყველა პროდუქტის ჯამს, რომელიც შეიცავს შერჩეულ სტრიქონებს (სვეტებს) და მათ ალგებრულ კომპლიმენტებს:

\[\მარცხნივ| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

უფრო მეტიც, იქნება ზუსტად $C_(n)^(k)$ ასეთი ტერმინები.

კარგი, კარგი: დაახლოებით $C_(n)^(k)$ - მე უკვე ვაჩვენებ, ლაპლასის თავდაპირველ თეორემაში მსგავსი არაფერი იყო. მაგრამ არავის გაუუქმებია კომბინატორიკა და ფაქტიურად პირობითი გადახედვა საშუალებას მოგცემთ თავად დარწმუნდეთ, რომ ზუსტად ამდენი ტერმინი იქნება. :)

ჩვენ ამას არ დავამტკიცებთ, თუმცა ეს არ არის განსაკუთრებით რთული - ყველა გამოთვლა მოდის კარგ ძველ პერმუტაციებზე და ლუწ/კენტ ინვერსიებზე. თუმცა მტკიცებულება ცალკე პუნქტში იქნება წარმოდგენილი და დღეს წმინდა პრაქტიკული გაკვეთილი გვაქვს.

ამიტომ, ჩვენ მივმართავთ ამ თეორემის განსაკუთრებულ შემთხვევას, როდესაც მინორები მატრიცის ცალკეული უჯრედებია.

დეტერმინანტის მწკრივისა და სვეტის გაფართოება

რაზეც ახლა ვისაუბრებთ, არის ზუსტად ის მთავარი ინსტრუმენტი დეტერმინანტებთან მუშაობისთვის, რისთვისაც დაიწყო მთელი ეს თამაში პერმუტაციებით, მინორებითა და ალგებრული დამატებებით.

წაიკითხეთ და ისიამოვნეთ:

დასკვნა ლაპლასის თეორემიდან (დეტერმინანტის დაშლა მწკრივში/სვეტში). მოდით არჩეული იყოს ერთი მწკრივი $\left[n\times n \right]$ მატრიცაში. ამ მწკრივის მცირერიცხოვანი უჯრედები იქნება $n$ ცალკეული უჯრედები:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

დამატებითი მინორების გამოთვლა ასევე მარტივია: უბრალოდ აიღეთ ორიგინალური მატრიცა და გადაკვეთეთ მწკრივი და სვეტი, რომელიც შეიცავს $((a)_(ij))$-ს. ასეთ მცირეწლოვანებს ვუწოდებთ $M_(ij)^(*)$.

ალგებრული შემავსებლისთვის, ასევე საჭიროა რიცხვი $S$, მაგრამ 1-ის რიგის მინორის შემთხვევაში, ეს უბრალოდ არის $((a)_(ij))$ უჯრედის "კოორდინატების" ჯამი:

და შემდეგ თავდაპირველი განმსაზღვრელი შეიძლება დაიწეროს $((a)_(ij))$-ით და $M_(ij)^(*)$-ით ლაპლასის თეორემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \მარჯვნივ))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

სწორედ ეს არის მწკრივის გაფართოების ფორმულა. მაგრამ იგივე ეხება სვეტებს.

ამ დასკვნის გამოტანა შეიძლება რამდენიმე დასკვნის გაკეთება:

ეს სქემა ერთნაირად კარგად მუშაობს როგორც მწკრივებისთვის, ასევე სვეტებისთვის. სინამდვილეში, ყველაზე ხშირად დაშლა ხდება ზუსტად სვეტების გასწვრივ, ვიდრე ხაზების გასწვრივ.
გაფართოების ტერმინების რაოდენობა ყოველთვის არის ზუსტად $n$. ეს არის $C_(n)^(k)$-ზე ბევრად ნაკლები და $n!$-ზე ნაკლებიც.
ერთი განმსაზღვრელი $\left[n\ჯერ n \right]$-ის ნაცვლად, თქვენ მოგიწევთ დათვალოთ რამდენიმე განმსაზღვრელი ზომის ერთით ნაკლები: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ ]$.

ბოლო ფაქტი განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია. მაგალითად, სასტიკი 4x4 დეტერმინანტის ნაცვლად, ახლა საკმარისი იქნება რამდენიმე 3x3 განმსაზღვრელი დათვლა - ჩვენ როგორმე გავუმკლავდებით მათ. :)

დავალება. იპოვნეთ განმსაზღვრელი:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. მოდით გავაფართოვოთ ეს განმსაზღვრელი პირველი ხაზით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)\მარცხნივ| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+1))\cdot \left| \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|+ & \\ 2\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(1+2))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|+ & \\ 3\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ))^(1+3))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|= & \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & =1\cdot \მარცხნივ(45-48 \მარჯვნივ)-2\cdot \left(36-42 \მარჯვნივ)+3\cdot \მარცხნივ(32-35 \მარჯვნივ)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \მარჯვნივ)+3\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

დავალება. იპოვნეთ განმსაზღვრელი:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ ]

გამოსავალი. ცვლილებისთვის, ამჯერად ვიმუშაოთ სვეტებით. მაგალითად, ბოლო სვეტში არის ორი ნული ერთდროულად - ცხადია, ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლებს. ახლა ნახავთ რატომ.

ასე რომ, ჩვენ ვაფართოებთ განმსაზღვრელს მეოთხე სვეტში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|= 0\cdot ((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+4))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|+ & \\ +1\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \ მარჯვნივ))^(2+4))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|+ & \\ +1\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \ მარჯვნივ))^(3+4))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|+ & \\ +0\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \ მარჯვნივ))^(4+4))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ| &\\\ბოლო(გასწორება)\]

და შემდეგ - ოჰ, სასწაული! - ორი ტერმინი დაუყოვნებლივ გაფრინდება დრენაჟში, რადგან მათ აქვთ "0" მულტიპლიკატორი. არის კიდევ ორი 3x3 განმსაზღვრელი, რომელთანაც მარტივად შეგვიძლია გავუმკლავდეთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=0+1+1-0-0-1=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვუბრუნდებით წყაროს და ვპოულობთ პასუხს:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|= 1\cdot \left(-1 \მარჯვნივ)+\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 1=-2\]

კარგი, ახლა ყველაფერი დასრულდა. და არა 4! = 24 ტერმინი არ იყო საჭირო დათვლა. :)

პასუხი: -2

დეტერმინანტის ძირითადი თვისებები

ბოლო ამოცანაში ჩვენ ვნახეთ, თუ როგორ აადვილებს ნულების არსებობა მატრიცის რიგებში (სვეტებში) მკვეთრად ამარტივებს დეტერმინანტის გაფართოებას და, ზოგადად, ყველა გამოთვლას. ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: შესაძლებელია თუ არა ამ ნულების გამოჩენა იმ მატრიცაშიც კი, სადაც ისინი თავდაპირველად არ იყვნენ?

პასუხი ნათელია: შეუძლია. და აქ განმსაზღვრელი თვისებები გვეხმარება:

თუ თქვენ შეცვლით ორ რიგს (სვეტს) ადგილებზე, განმსაზღვრელი არ შეიცვლება;
თუ ერთი მწკრივი (სვეტი) მრავლდება $k$ რიცხვზე, მაშინ მთელი განმსაზღვრელი ასევე მრავლდება რიცხვით $k$;
თუ აიღებთ ერთ სტრიქონს და დაუმატებთ (გამოაკლებთ) მას რაიმე რაოდენობის მეორეს, დეტერმინანტი არ შეიცვლება;
თუ დეტერმინანტის ორი მწკრივი ერთნაირია, ან პროპორციულია, ან ერთ-ერთი მწკრივი ივსება ნულებით, მაშინ მთელი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია;
ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი თვისება შეესაბამება სვეტებსაც.
მატრიცის ტრანსპონირება არ ცვლის დეტერმინანტს;
მატრიცების ნამრავლის დეტერმინანტი ტოლია დეტერმინანტების ნამრავლის.

განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს მესამე თვისებას: ჩვენ შეგვიძლია გამოაკლოთ ერთ მწკრივს (სვეტი) მეორეს, სანამ ნულები არ გამოჩნდება სწორ ადგილებში.

ყველაზე ხშირად, გამოთვლები მთავრდება მთელი სვეტის „ნულირებამდე“ ყველგან ერთი ელემენტის გარდა, შემდეგ კი ამ სვეტის გასწვრივ განმსაზღვრელი გაფართოება, 1-ით ნაკლები ზომის მატრიცის მიღება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს პრაქტიკაში:

დავალება. იპოვნეთ განმსაზღვრელი:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ ]

გამოსავალი. ნულები აქ, როგორც ეს იყო, საერთოდ არ შეინიშნება, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ "ღრმა" ნებისმიერ მწკრივზე ან სვეტზე - გამოთვლების რაოდენობა დაახლოებით იგივე იქნება. ნუ ვიქნებით წვრილმანები და პირველი სვეტი "ნულოვანი": მას უკვე აქვს უჯრედი ერთეულით, ამიტომ უბრალოდ აიღეთ პირველი ხაზი და გამოაკელით 4-ჯერ მეორეს, 3-ჯერ მესამეს და 2-ჯერ ბოლოს.

შედეგად, ჩვენ მივიღებთ ახალ მატრიცას, მაგრამ მისი განმსაზღვრელი იგივე იქნება:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა)\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ დასაწყისი (მატრიცა) \ქვემოთ \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ბოლო (მატრიცა)= \\ =\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\ =\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ| \\\ბოლო (მატრიცა)\]

ახლა, გოჭის თანასწორობით, ჩვენ ვანადგურებთ ამ განმსაზღვრელს პირველ სვეტში:

\[\begin(მატრიცა) 1\cdot ((\left(-1 \მარჯვნივ))^(1+1))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|+0\cdot ((\ მარცხენა(-1 \მარჯვნივ))^(2+1))\cdot \მარცხნივ| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \მარჯვნივ))^(4+1))\cdot \left| ... \მარჯვნივ| \\\ბოლო (მატრიცა)\]

გასაგებია, რომ მხოლოდ პირველი ტერმინი "გადარჩება" - დანარჩენში მე არც კი დავწერე დეტერმინანტები, რადგან ისინი ჯერ კიდევ მრავლდება ნულზე. კოეფიციენტი დეტერმინანტის წინ უდრის ერთს, ე.ი. შეიძლება არ იყოს ჩაწერილი.

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ "მინუსები" განმსაზღვრელი სამივე ხაზიდან. სინამდვილეში, ჩვენ ამოვიღეთ ფაქტორი (−1) სამჯერ:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

მივიღეთ პატარა განმსაზღვრელი 3x3, რომლის გამოთვლა უკვე შესაძლებელია სამკუთხედების წესის მიხედვით. მაგრამ ჩვენ შევეცდებით მის დაშლას პირველ სვეტში - სარგებელი ბოლო სტრიქონში ამაყად ერთია:

\[\begin(გასწორება) & \left(-1 \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ დასაწყისი (მატრიცა) -7 \\ -2 \\ \ ზევით \\ \\ბოლო(მატრიცა)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\ & =\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=\მარცხენა(-1 \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ| \\\ბოლო (გასწორება)\]

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაერთოთ და დაშალოთ 2x2 მატრიცა ზედიზედ (სვეტი), მაგრამ ჩვენ ადეკვატური ვართ თქვენთან, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ გამოვთვალეთ პასუხი:

\[\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(16+144 \მარჯვნივ)=-160\ ]

ასე იშლება ოცნებები. პასუხში მხოლოდ -160. :)

პასუხი: -160.

ორიოდე შენიშვნა, სანამ ბოლო დავალებაზე გადავალთ:

თავდაპირველი მატრიცა სიმეტრიული იყო მეორად დიაგონალთან მიმართებაში. დაშლის ყველა მცირე ნაწილი ასევე სიმეტრიულია იმავე მეორად დიაგონალთან მიმართებაში.
მკაცრად რომ ვთქვათ, ჩვენ საერთოდ ვერაფერს დავდებდით, მაგრამ უბრალოდ მივიყვანეთ მატრიცა ზედა სამკუთხედის ფორმამდე, როდესაც მთავარი დიაგონალის ქვეშ არის მყარი ნულები. მაშინ (სხვათა შორის, გეომეტრიული ინტერპრეტაციის ზუსტი შესაბამისად) განმსაზღვრელი უდრის $((a)_(ii))$-ის ნამრავლს, რიცხვებს მთავარ დიაგონალზე.

დავალება. იპოვნეთ განმსაზღვრელი:

\[\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ ]

გამოსავალი. ისე, აქ პირველი სტრიქონი უბრალოდ ითხოვს "ნულაციას". ვიღებთ პირველ სვეტს და ყველა დანარჩენს ზუსტად ერთხელ ვაკლებთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ დასასრული (მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\&=\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\ & =\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ| \\\ბოლო (გასწორება)\]

გააფართოვეთ პირველ რიგში და შემდეგ ამოიღეთ საერთო ფაქტორები დარჩენილი რიგებიდან:

\[\cdot\left| \ დასაწყისი (მატრიცა) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ|=\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\]

ჩვენ კვლავ ვაკვირდებით "ლამაზ" რიცხვებს, მაგრამ უკვე პირველ სვეტში - ჩვენ ვანაწილებთ განმსაზღვრელს მის მიხედვით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 240\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|\ დასაწყისი (მატრიცა) \ქვემოთ \\ -1 \\ -1 \ \\ბოლო(მატრიცა)=240\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\ & =240\cdot ((\ მარცხნივ(-1 \ მარჯვნივ))^(1+1))\cdot \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \მარჯვნივ)=1440 \\\ბოლო( გასწორება)\]

შეკვეთა. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: 1440 წ

კვადრატული მატრიცა აშეკვეთა ნშეგიძლიათ დაამთხვიოთ რიცხვი det ა(ან | ა|, ან ), დაუძახა მას განმსაზღვრელი , შემდეგი გზით:

მატრიცის განმსაზღვრელი აასევე დაურეკე მას განმსაზღვრელი . წესრიგის მატრიცისთვის დეტერმინანტის გამოთვლის წესი ნსაკმაოდ რთული გასაგები და გამოყენებაა. თუმცა, ცნობილია მეთოდები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის დაბალი რიგის დეტერმინანტების საფუძველზე მაღალი რიგის დეტერმინანტების გამოთვლას. ერთ-ერთი მეთოდი ემყარება განსაზღვრის გაფართოების თვისებას გარკვეული სერიის ელემენტების მიხედვით (თვისება 7). ამასთან, აღვნიშნავთ, რომ სასურველია შეგვეძლოს დაბალი რიგის (1, 2, 3) დეტერმინანტების გამოთვლა განმარტების მიხედვით.

მე-2 რიგის დეტერმინანტის გაანგარიშება ილუსტრირებულია დიაგრამაზე:

მაგალითი 4.1.იპოვნეთ მატრიცების დეტერმინანტები

მე-3 რიგის განმსაზღვრელი გაანგარიშებისას მოსახერხებელია გამოსაყენებლად სამკუთხედის წესი (ან სარრუსი), რომელიც სიმბოლურად შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

მაგალითი 4.2.გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტ ა = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ყველა რიგის დეტერმინანტებში თანდაყოლილი დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები. მოდით ავხსნათ ზოგიერთი თვისება მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოყენებით.

საკუთრება 1 ("სტრიქონების და სვეტების ტოლობა"). განმსაზღვრელი არ იცვლება, თუ მისი რიგები ჩანაცვლდება სვეტებით და პირიქით. Სხვა სიტყვებით,

შემდეგში, რიგები და სვეტები უბრალოდ გამოიძახება განმსაზღვრელი რიგები .

საკუთრება 2 . როდესაც ორი პარალელური მწკრივი იცვლება, განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს.

საკუთრება 3 . განმსაზღვრელი, რომელსაც აქვს ორი იდენტური მწკრივი, არის ნული.

საკუთრება 4 . განმსაზღვრელი ნებისმიერი მწკრივის ელემენტების საერთო ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

მე-3 და მე-4 თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ რომ თუ გარკვეული რიგის ყველა ელემენტი პროპორციულია პარალელური რიგის შესაბამისი ელემენტების, მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მართლაც,

საკუთრება 5 . თუ დეტერმინანტის რომელიმე სერიის ელემენტებია ორი წევრის ჯამი, მაშინ დეტერმინანტი შეიძლება დაიშალოს ორი შესაბამისი განმსაზღვრელთა ჯამად.

Მაგალითად,

საკუთრება 6. („დეტერმინანტის ელემენტარული გარდაქმნები“). განმსაზღვრელი არ იცვლება, თუ ერთი რიგის ელემენტებს დავუმატებთ პარალელური მწკრივის შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულ ნებისმიერ რიცხვზე.

მაგალითი 4.3. დაამტკიცე რომ

ამოხსნა: მართლაც, 5, 4 და 3 თვისებების გამოყენებით ვსწავლობთ

დეტერმინანტების შემდგომი თვისებები დაკავშირებულია მცირე და ალგებრული კომპლიმენტის ცნებებთან.

მცირეწლოვანირაღაც ელემენტი აიჯგანმსაზღვრელი n-ე წესრიგს ეწოდება განმსაზღვრელი ნ- 1-ლი შეკვეთა, მიღებული ორიგინალიდან იმ მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთით, რომელთა კვეთაზე მდებარეობს შერჩეული ელემენტი. აღინიშნება მიჯ

ალგებრული დამატებაელემენტი აიჯგანმსაზღვრელი ეწოდება მის მინორს, აღებული პლუს ნიშნით, თუ ჯამი მე + ჯლუწი რიცხვი და მინუს ნიშნით, თუ ეს ჯამი კენტია. აღინიშნება აიი:

საკუთრება 7 („დეტერმინანტის დაშლა გარკვეული სერიის ელემენტების მიხედვით“). განმსაზღვრელი უდრის გარკვეული რიგის ელემენტების ნამრავლებისა და მათი შესაბამისი ალგებრული კომპლიმენტების ჯამს.

ეკონომიკაში მათემატიკური მოდელების უმეტესობა აღწერილია მატრიცებისა და მატრიცის გამოთვლების გამოყენებით.

მატრიცა არის მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შეიცავს რიგებში და სვეტებად დალაგებულ რიცხვებს, ფუნქციებს, განტოლებებს ან სხვა მათემატიკურ ობიექტებს.

ობიექტები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, მას უწოდებენ ელემენტები . მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით

და მათი ელემენტები შეყვანილია.

სიმბოლო
ნიშნავს, რომ მატრიცა Მას აქვს
ხაზები და სვეტები ელემენტი კვეთაზე -მე ხაზი და - ე სვეტი
.

ამბობენ, რომ მატრიცა აუდრის მატრიცას IN : A=Bთუ მათ აქვთ იგივე სტრუქტურა (ანუ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა) და მათი შესაბამისი ელემენტები იდენტურად ტოლია
, ყველასთვის
.

მატრიცების კონკრეტული ტიპები

პრაქტიკაში საკმაოდ ხშირად გვხვდება სპეციალური ფორმის მატრიცები. ზოგიერთი მეთოდი ასევე მოიცავს მატრიცების გარდაქმნას ერთი ტიპიდან მეორეზე. მატრიცების ყველაზე გავრცელებული ტიპები ჩამოთვლილია ქვემოთ.

	კვადრატული მატრიცა, რიგების რაოდენობა ნუდრის სვეტების რაოდენობას ნ
	სვეტის მატრიცა
	მატრიცა-სტრიქონი
	ქვედა სამკუთხა მატრიცა
	ზედა სამკუთხა მატრიცა
	ნულოვანი მატრიცა
	დიაგონალური მატრიცა
ე =	პირადობის მატრიცა ე(კვადრატი)
	უნიტარული მატრიცა
	ნაბიჯის მატრიცა
	ცარიელი მატრიცა

მატრიცის ელემენტები, მწკრივების და სვეტების თანაბარი რაოდენობით, ანუ ა iiქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს.

ოპერაციები მატრიცებზე.

მატრიცებზე მოქმედებების თვისებები

ოპერაციის სპეციფიკური თვისებები

თუ მატრიცული პროდუქტი
არსებობს, მაშინ პროდუქტი
შეიძლება არ არსებობდეს. Ზოგადად,
. ანუ მატრიცული გამრავლება არ არის კომუტაციური. თუ
, ეს და კომუტაციური ეწოდება. მაგალითად, იგივე რიგის დიაგონალური მატრიცები კომუტაციურია.

თუ
, შემდეგ სურვილისამებრ
ან
. ანუ ნულოვანი მატრიცების ნამრავლს შეუძლია ნულოვანი მატრიცის მიცემა. Მაგალითად

ექსპონენტაციის ოპერაცია განსაზღვრულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის. თუ
, ეს

განმარტებით ვარაუდობენ
და ამის ჩვენება ადვილია
,
. გაითვალისწინეთ, რომ დან
ამას არ მოჰყვება
.

ელემენტ-ელემენტის გაძლიერება ა. მ =
.

ტრანსპოზის ოპერაცია მატრიცა უნდა შეცვალოს მატრიცის რიგები მისი სვეტებით:

Მაგალითად

,
.

გადატანის თვისებები:

დეტერმინანტები და მათი თვისებები.

კვადრატული მატრიცებისთვის, კონცეფცია ხშირად გამოიყენება განმსაზღვრელი - რიცხვი, რომელიც გამოითვლება მატრიცის ელემენტებით მკაცრად განსაზღვრული წესების გამოყენებით. ეს რიცხვი მატრიცის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია და აღინიშნება სიმბოლოებით

მატრიცის განმსაზღვრელი
მისი ელემენტია .

მატრიცის განმსაზღვრელი
გამოითვლება წესის მიხედვით:

ანუ დამატებითი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი გამოკლებულია მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

უმაღლესი რიგის დეტერმინანტების გამოსათვლელად (
) აუცილებელია ელემენტის მცირე და ალგებრული დანამატის ცნებების გაცნობა.

მცირეწლოვანი
ელემენტი ეწოდება დეტერმინანტი, რომელიც მიღებულია მატრიციდან , გადაკვეთა -მე ხაზი და - ე სვეტი.

განვიხილოთ მატრიცა ზომა
:

შემდეგ, მაგალითად,

ალგებრული დამატება ელემენტი დავარქვათ მინორი გამრავლებული
.

ლაპლასის თეორემა: კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებისა და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, ნგრევა
პირველი რიგის ელემენტებით ვიღებთ:

ბოლო თეორემა იძლევა უნივერსალურ გზას ნებისმიერი რიგის დეტერმინანტების გამოსათვლელად, მეორიდან დაწყებული. როგორც მწკრივი (სვეტი), ყოველთვის აირჩიეთ ის, რომელშიც არის ყველაზე მეტი ნული. მაგალითად, საჭიროა მეოთხე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლა

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გააფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველ სვეტში:

ან ბოლო ხაზი:

ეს მაგალითი ასევე აჩვენებს, რომ ზედა სამკუთხა მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის მისი დიაგონალური ელემენტების ნამრავლს. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ ეს დასკვნა მართებულია ნებისმიერი სამკუთხა და დიაგონალური მატრიცისთვის.

ლაპლასის თეორემა საშუალებას იძლევა შემცირდეს დეტერმინანტის გამოთვლა - გამოთვლების ბრძანება განმსაზღვრელი
მეორე რიგის და, საბოლოოდ, მეორე რიგის დეტერმინანტების გაანგარიშებამდე.