სადაც - ზოგიერთი რიცხვი (ზოგიერთი ამ ნომრები ან თუნდაც ყველას შეიძლება იყოს ნულოვანი). ეს ნიშნავს, რომ სვეტის ელემენტებს შორის შემდეგი თანდასწრებით:

ან.

(3.3.1) გულისხმობს

(3.3.2)

სად არის ნულოვანი ხაზი.

განმარტება. ხაზები მატრიცა და ხაზოვანი დამოკიდებული თუ არსებობს ნომრები, რომლებიც არ არის ყველა თანაბარი ნულოვანი ამავე დროს,

(3.3.3)

თუ თანასწორობა (3.3.3) არის სწორი და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ხაზები უწოდებენ ხაზოვანი დამოუკიდებელი. თანაფარდობა (3.3.2) გვიჩვენებს, რომ თუ რომელიმე რიგები არის წრფივი, დანარჩენი, ხაზები ხაზს უსვამს.

ადვილია სანახავად და შეცვალოს: თუ ხაზები ხაზგასმით არის დამოკიდებული, მაშინ არსებობს სიმებიანი, რომელიც იქნება დარჩენილი ხაზების წრფივი კომბინაცია.

მაგალითად, (3.3.3), მაშინ .

განმარტება. მოდით მცირე ზომის იზოლირებული მატრიცარ. - შეკვეთა და უმცირესი (რ. +1) იმავე მატრიცის ბრძანება შეიცავს მთლიანად თავისთავად. ჩვენ ვამბობთ, რომ ამ შემთხვევაში, არასრულწლოვანთა ტექნიკის სამინისტრო (ან საზღვრისპირა).

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ მნიშვნელოვან ლემას.

ლამმა სასაზღვრო მაღაროელების შესახებ. თუ მცირე შეკვეთარ. Matrices A \u003d განსხვავდება ნულოვანი, და ყველა აქცენტი არასრულწლოვანთა არის ნულოვანი, მაშინ ნებისმიერი სიმებიანი (სვეტი) Matrix A არის წრფივი კომბინაცია მისი რიგები (სვეტების).

მტკიცებულება. არ არის შემაშფოთებელი ზოგადად აზროვნების, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ განსხვავდება ნულოვანი მცირერ. მატრიქსის ზედა მარცხენა კუთხეში დგას:

პირველი კ. Lemma- ის განცხადების ხაზები აშკარაა: საკმარისია წრფივი კომბინაციაში, რომელიც მოიცავს ერთსა და იმავე სიმებიანი კოეფიციენტის ერთს, ხოლო დანარჩენი კოეფიციენტებით - ნულის ტოლია კოეფიციენტებით.

ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ მატრიქსის დარჩენილი ხაზები ხაზს უსვამს პირველ რიგშიკ. ხაზები. ამისათვის, უმნიშვნელოა (რ. +1) -გადასვლა უმნიშვნელო დასძინაk-like row () და ლ.- სვეტი ():

შედეგად უმნიშვნელო არის ნულოვანი ყველალ და ლ . თუ ეს არის ნულოვანი, რომელიც შეიცავს ორ იდენტურ სვეტს. თუ მიღებული უმნიშვნელო არის bustling უმნიშვნელო და, აქედან გამომდინარე, არის ნულოვანი მდგომარეობით Lemma.

გავრცელებული უმნიშვნელო ამ უკანასკნელის ელემენტებზელ.-სვეტი:

(3.3.4)

სადაც - ალგებრული დამატებები ელემენტებით. ალგებრული დამატებით უმნიშვნელო მატრიცაა, ამიტომ. ჩვენ გავყოთ (3.3.4) და გამოვხატეთ:

(3.3.5)

სად,

სჯეროდა, მივიღებთ:

(3.3.6)

გამოხატვა (3.3.6) ნიშნავსკ. - მე ვარ მატრიქსის სიმებიანი და ხაზოვანი გამოხატული პირველიr რიგები.

მას შემდეგ, რაც Matrix- ის ტრანსპორტირებისას, მისი სახსრები არ შეცვლილა (განსაზღვრული თვისებების გამო), მაშინ ყველაფერი კარგად არის დადასტურებული სამართლიანად და სვეტებისთვის. თეორემა დადასტურებულია.

კოროლარული I. . მატრიცის ნებისმიერი სიმებიანი (სვეტი) არის საბაზისო სიმებიანი წრფივი კომბინაცია (სვეტები). მართლაც, ბაზის უმნიშვნელო მატრიცა განსხვავდება ნულოვანიდან და ყველა საზღვრდება, ნულის ტოლია.

კოროლარული II. განსაზღვრული ნ. -გო წესრიგი მაშინ და მხოლოდ მაშინ ტოლია ნულოვანი, როდესაც იგი შეიცავს ხაზოვანი დამოკიდებული ხაზები (სვეტები). განმსაზღვრელი ნულის თანასწორობისთვის განსაზღვრული სიმპტომების (სვეტების) ხაზოვანი დამოკიდებულების საკმარისია დადასტურებული, როგორც განმსაზღვრელების ქონება.

ჩვენ დავამტკიცებთ საჭიროებას. მოეწყო კვადრატული მატრიცან. - შეკვეთა, ერთადერთი უმნიშვნელო, რომლის მიხედვითაც არის ნულოვანი. აქედან გამომდინარე, ამ მატრიცის წოდება ნაკლებიან. . არსებობს მინიმუმ ერთი ხაზი, რომელიც ამ მატრიცის ძირითადი ხაზების წრფივი კომბინაციაა.

ჩვენ დავამტკიცებთ კიდევ ერთ თეორემს მატრიცის რანგის შესახებ.

თეორია. მატრიქსის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზების მაქსიმალური რაოდენობა ტოლია მისი ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტების მაქსიმალური რაოდენობა და ამ მატრიცის წოდება.

მტკიცებულება. მოდით წოდება Matrix A \u003d თანაბარირ. მაშინ ვინმეს ძირითადი სიმებიანი ხაზოვანი დამოუკიდებელია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ბაზის უმნიშვნელო იქნება ნულოვანი. მეორეს მხრივ, ნებისმიერირ. +1 და მეტი ხაზები ხაზოვანი დამოკიდებული. ვთქვათ nasty, ჩვენ შეგვეძლო უმნიშვნელო შესახებ მეტირ. , განსხვავდება ნულიდან 2 წინა Lemma- ის შედეგად. ეს უკანასკნელი ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ არასრულწლოვანთა მაქსიმალური წესრიგი, გარდა ნულის გარდარ. . ყველა დადასტურებული სტრინგი არის ჭეშმარიტი სვეტების.

დასასრულს, ჩვენ წარმოვადგენთ Matrix- ის წოდებას კიდევ ერთი მეთოდი. მატრიცის წოდება შეიძლება განისაზღვროს, თუ თქვენ იპოვით უმნიშვნელო მაქსიმალურ წესს, გარდა ნულისა.

ერთი შეხედვით, იგი მოითხოვს გათვლებს, თუმცა საბოლოო, მაგრამ ალბათ, ძალიან დიდი რაოდენობით არასრულწლოვანთა ამ matrix.

თუმცა, თეორიული საშუალებას იძლევა, რომ ამ მნიშვნელოვან გამარტივებას წვლილი შეიტანოს.

თეორია. თუ უმნიშვნელო მატრიცა განსხვავდება ნულისგან და ყველა შენახვის არასრულწლოვანია ნულოვანი, მაშინ მატრიცის წოდება თანაბარიარ.

მტკიცებულება. საკმარისია იმის ჩვენება, რომ მატრიცის ხაზების ნებისმიერი ქვესისტემაS\u003e რ. ეს იქნება თეორემის ხაზოვანი დამოკიდებულების პირობებში (აქედან მოყვება, რომ ეს არის Matrix- ის ან რომელიმე მისი არასრულწლოვანთა რიგითი ხაზების მაქსიმალური რაოდენობაk არის ნულოვანი).

დავუშვათ nasty. მოდით ხაზები ხაზოვანი დამოუკიდებელია. Lemma- ში საზღვრისპირა მაღაროელების შესახებ, თითოეული მათგანი ხაზს უსვამს ხაზებს, რომელთა უმრავლესობა და რომელია, რა განსხვავდება ნულისგან, ხაზოვანი დამოუკიდებლად:

(3.3.7)

განვიხილოთ მატრიცა ხაზოვანი გამონათქვამების კოეფიციენტებისგან (3.3.7):

ამ მატრიცის ხაზები აღინიშნება . ისინი ხაზს უსვამენ, რადგან მატრიქსის K, I.E. მისი ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზების მაქსიმალური რაოდენობა არ აღემატებარ.< S . ამიტომ, არსებობს ციფრები, რომლებიც არ არის ყველა ტოლი ნულოვანი რომ

მოდით მივმართოთ კომპონენტის თანასწორობას

(3.3.8)

ახლა განვიხილოთ შემდეგი წრფივი კომბინაცია:

ან

განვიხილოთ თვითნებური, სურვილისამებრ მოედანზე, მატრიქსის MXN ზომა.

რანგის მატრიცა.

მატრიქსის კლასის კონცეფცია უკავშირდება მატრიცის სტრინგების (სვეტების) ხაზოვანი დამოკიდებულების (დამოუკიდებლობის) კონცეფციას. განვიხილოთ ეს კონცეფცია სიმები. სვეტებისათვის - ანალოგიურად.

აღინიშნოს მატრიქსის გადინება A:

e 1 \u003d (11, 12, ... და 1n); e 2 \u003d (21 და 22, ... და 2n); ..., E M \u003d (და M1 და M2, ... და MN)

e k \u003d e თუ kj \u003d sj, j \u003d 1,2, ..., n

არითმეტიკული ოპერაციები მატრიქსის სიმებიანი (გარდა ამისა, გამრავლება ნომერი) დანერგილია როგორც ელემენტარული საშუალებებით განხორციელებული ოპერაციები: λe k \u003d (λa k1, λa k2, ..., λa kn);

e k + e s \u003d [(k1 + s1), (k2 + a s2), ..., (kn + sn)].

ხაზი ეწოდავს წრფივი კომბინაცია ROWS E 1, E 2, ..., E K, თუ ეს ტოლია ამ ხაზების ნამუშევრების ოდენობის თვითნებურად ნომრები:

e \u003d λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... + λ k e

ხაზები E 1, E 2, ..., ე ხაზოვანი დამოკიდებულითუ არსებობს მოქმედი ნომრები λ 1, λ 2, ..., λ მ, არა ყველა თანაბარი ნულოვანი, რომ ამ რიგების წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ხაზის ტოლია: λ 1 E + λ 2 E 2 + ... + λ mem \u003d 0 , სადაც 0 =(0,0,…,0) (1)

თუ წრფივი კომბინაცია არის ნულოვანი თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა კოეფიციენტი λ მე არის ნულოვანი (λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0), მაშინ ხაზები E 1, E 2, ..., E მ. ხაზოვანი დამოუკიდებელი.

თეორია 1.. იმისათვის, რომ ხაზები E 1, E 2, ..., E M არის ხაზოვანი დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია ერთი ამ ხაზების უნდა იყოს წრფივი კომბინაცია დარჩენილი ხაზები.

დამამტკიცებელი საბუთი. აუცილებლობა. მოდით რიგები E 1, E 2, ..., E მ ხაზგასმით დამოკიდებული. მოდით, განსაზღვროს (1) λ m ≠ 0, მაშინ

Ისე ხაზი E M არის დანარჩენი ხაზების წრფივი კომბინაცია. Ch.t.d.

ადაპასტური. მოდით ერთ-ერთი სიმებიანი, მაგალითად, E M, არის დანარჩენი ხაზების წრფივი კომბინაცია. მაშინ არსებობს ნომრები, როგორიცაა თანასწორობა შესრულებულია, რომელიც შეიძლება გადაწეროს სახით

სადაც კოეფიციენტების მინიმუმ 1, (-1) არ არის ნულოვანი. ისინი. ხაზების ხაზები დამოკიდებული. Ch.t.d.

განმარტება. უმნიშვნელო K-TH შეკვეთა Matrix და MXN- ის ზომა ეწოდება K-TH ბრძანებას ელემენტებთან ერთად ნებისმიერი K რიგების გადაკვეთაზე და Matrix A. (K≤min (M, N) კვეთა). .

მაგალითი., არასრულწლოვანთა პირველი შეკვეთა: \u003d, \u003d;

არასრულწლოვანთა მე -2 რიგის არასრულწლოვანთა: მე -3 შეკვეთა

მე -3 ბრძანების მე -3 ბრძანების მე -3 ბრძანების მატრიცა, მე -3 რიგის 9 არასრულწლოვანი და მე -3 რიგის 1 არასრულწლოვანი (ამ მატრიცის განმსაზღვრელი).

განმარტება. რანგის მატრიქს ა მას ეწოდება უმაღლესი წესრიგი განსხვავდება ამ მატრიცის ნულოვანი არასრულწლოვანთაგან. დანიშნულება - RG A ან R (A).

რანგის მატრიცის თვისებები.

1) Matrix- ის წოდება NXM არ აღემატება მისი ზომა, ანუ.

r (a) ≤min (m, n).

2) r (a) \u003d 0 როდესაც მატრიქსის ყველა ელემენტია 0, ანუ. A \u003d 0.

3) კვადრატული მატრიქსისთვის N -Go Order R (a) \u003d n, როდესაც nondegenerate.

(დიაგონალური მატრიცის წოდება უდრის ნულოვანი დიაგონალური ელემენტების რაოდენობას).

4) თუ მატრიქსის წოდება ტოლია, მაშინ მატრიქსს აქვს მინიმუმ ერთი უმნიშვნელო ბრძანება, არ არის ნულოვანი, და დიდი ბრძანებების ყველა არასრულწლოვანი ნულოვანი.

მატრიცის რიგებში, შემდეგი კოეფიციენტები:

2) r (a + b) ≤r (a) + r (b); 3) R (AB) ≤min (r (a), r (b));

3) r (a + b) ≥│r (a) -r (b) │; 4) r (t a) \u003d r (a);

5) r (ab) \u003d r (a), თუ მოედანზე nondegenerate matrix.

6) R (AB) ≥r (a) + r (b) -n, სადაც Matrix V.- ის მატრიქსის ან ხაზების სვეტების N- რიცხვი

განმარტება. Nenulul Mindor Order R (a) ეწოდება საფუძველი მცირე.. (მატრიცა შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ძირითადი არასრულწლოვანი). რიგები და სვეტები, რომლის გადაკვეთაზე არის ბაზის უმნიშვნელო, შესაბამისად ბაზის სიმები და ბაზის სვეტები.

თეორემი 2 (საფუძველზე უმნიშვნელო).ბაზის ხაზები (სვეტები) ხაზოვანი დამოუკიდებელია. ნებისმიერი სიმებიანი (ნებისმიერი სვეტი) მატრიცა A არის ძირითადი სიმებიანი ხაზოვანი კომბინაცია (სვეტები).

დამამტკიცებელი საბუთი. (სიმებიანი). იმ შემთხვევაში, თუ ძირითადი ხაზები იყო ხაზოვანი დამოკიდებული, მაშინ თეორემით (1), ერთ-ერთი ასეთი რიგები სხვა ბაზის ხაზების ხაზოვანი კომბინაცია იქნებოდა, მაშინ ბაზის უმნიშვნელო ღირებულებების შეცვლის გარეშე, შეგიძლიათ ამ ხაზისგან განსაზღვრული ხაზოვანი კომბინაცია და ნულოვანი ხაზი, და ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ ძირითადი უმნიშვნელო განსხვავდება ნულოვანიდან. Ისე ძირითადი ხაზები ხაზოვანი დამოუკიდებელია.

ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ მატრიქსის ნებისმიერი სიმებიანი არის ძირითადი ხაზების წრფივი კომბინაცია. იმიტომ რომ სტრიქონების (სვეტების) თვითნებური ცვლილებებით, განმსაზღვრელი ინარჩუნებს თანასწორობის ნულის ქონებას, შემდეგ კი საზოგადოების შეზღუდვის გარეშე, შეიძლება ჩაითვალოს, რომ ბაზის უმნიშვნელოა მატრიცის ზედა მარცხენა კუთხეში

A \u003d,ისინი. მდებარეობს პირველი R ხაზები და პირველი R სვეტები. მოდით 1 £ j £ n, 1 £ მე £ m. ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ განმსაზღვრელი (R + 1) არის შეკვეთა

თუ j £ r ან მე £ r, მაშინ ეს განმსაზღვრელი არის ნულოვანი, რადგან მას ექნება ორი იდენტური სვეტი ან ორი იდენტური სიმები.

თუ J\u003e R და I\u003e R, მაშინ ეს განმსაზღვრელი არის უმნიშვნელო (R + 1) - Matrix A. Matrix- ის წოდება R, რაც იმას ნიშნავს, რომ უმნიშვნელო ორდენი 0-ის უმნიშვნელოა.

დასაკეცი ბოლო (დასძინა) სვეტის ელემენტებზე, მიიღე

1j + 2j + 2j + 2j + ... + RJ + IJ + ij \u003d 0, სადაც ბოლო ალგებრული დანამატი IJ ემთხვევა ბაზის მცირე მ R და ამიტომ IJ \u003d M R ≠ 0.

IJ- ზე უახლესი თანასწორობის გაყოფით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ IJ- ის ელემენტი, როგორც წრფივი კომბინაცია: სად.

შეასწორეთ ღირებულება I (i\u003e R) და ჩვენ ვიღებთ, რომ ნებისმიერი J (J \u003d 1,2, ..., N) I-TH ხაზი EI- ის ელემენტები ხაზს უსვამს ხაზების ელემენტებს E 1, E 2, ..., er, t. ე. I-I ხაზი არის ძირითადი ხაზების წრფივი კომბინაცია :. Ch.t.d.

თეორია 3. (საჭირო და საკმარისი თანასწორობის მდგომარეობა ნულოვანი განმსაზღვრელი).იმისათვის, რომ N-TH შეკვეთა D განმსაზღვრელი იყოს ნულოვანი, აუცილებელია და საკმარისი იმისათვის, რომ მისი ხაზები (სვეტები) ხაზოვანი დამოკიდებული არიან.

PROOF (P.40). აუცილებლობა. თუ N-TH შეკვეთა D Determinider არის ნულოვანი, მაშინ ბაზის უმნიშვნელო მისი Matrix აქვს შეკვეთა რ

ასე რომ, ერთი ხაზი არის სხვა სხვა ხაზოვანი კომბინაცია. შემდეგ, 1 ხაზი თეორია, განმსაზღვრელი არის ხაზოვანი დამოკიდებული.

ადაპასტური. თუ რიგები d არის ხაზოვანი დამოკიდებული, მაშინ თეორემა 1 ერთი ხაზი მე არის წრფივი კომბინაცია დარჩენილი ხაზები. მიირთვით ზედიზედ და მე მითითებული წრფივი კომბინაციის გარეშე, ღირებულებების შეცვლის გარეშე, ჩვენ მივიღებთ ნულოვან ხაზს. შესაბამისად, დეტერმინანტების თვისებების მიხედვით, D \u003d 0. Ch.t.d.

თეორია 4.ელემენტარული გარდაქმნების შემთხვევაში, მატრიცის კლასს არ იცვლება.

დამამტკიცებელი საბუთი. როგორც ეს ნაჩვენებია განმსაზღვრელების თვისებების გათვალისწინებით, კვადრატული მატრიცების გარდაქმნებში, მათი განმსაზღვრელები არ შეცვლიან ან არ შეცვლიან არასამთავრობო ნულოვანი რიცხვის ან შეცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავდაპირველი მატრიცის უმაღლესი ბრძანებით, ნულის გარდა ნულის გარდა, I.E. მატრიცის წოდება არ იცვლება. Ch.t.d.

თუ r (a) \u003d r (b), მაშინ A და B - ექვივალენტი: ~ გ.

თეორია 5.დაწყებითი ტრანსფორმაციის დახმარებით, თქვენ შეგიძლიათ მატრიცა ნაბიჯი.მატრიცა ეწოდება ნაბიჯი, თუ გამოიყურება:

A \u003d, სადაც II ≠ 0, i \u003d 1,2, ..., r; R≤.

პირობები R≤k ყოველთვის მიღწეული იქნება transposition.

თეორია 6.წმიდის მატრიცის წოდება ტოლია მისი nonzero strings .

ისინი. ნაბიჯი გადადგმული მატრიცა არის R, რადგან განსხვავდება ნულოვანი უმნიშვნელო ბრძანებით R:

Reverse Matrix, ალგორითმი გაანგარიშების დაბრუნების Matrix.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემა, ფერდობზე, ჰომოგენურობისა და ჰეტეროგენურობის ძირითადი თვისებები, თავსებადობა და არასრულყოფილი, ფერდობზე, ფერდობისა და მისი გადაწყვეტილებების მატრიცის ფორმა

კვადრატული სისტემები, cramer მეთოდი

ელემენტარული ტრანსფორმაციები სლავა. Gauss მეთოდი კვლევის სლავა.

სლავის ერთობლივი კრიტერიუმი, Kononker-Capelli Theorem, გეომეტრიული ინტერპრეტაცია 2 განტოლების მაგალითზე 2 უცნობი.

ერთიანი Slam. გადაწყვეტილებების ქონების, FSER, თეორემა ერთგვაროვანი სისტემის საერთო გადაწყვეტაზე. არატრადიციული გადაწყვეტის არსებობის კრიტერიუმი.

ინჰომოგენური სლავა. თეორემა ჰეტეროგენული ფერდობის გადაწყვეტის სტრუქტურაზე. ალგორითმი ინიკოგენური სლავის გადაჭრისთვის.

ხაზოვანი (ვექტორული) სივრცის განსაზღვრა. LP- ის მაგალითები.

ვექტორების დამოკიდებული და ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემები. ხაზოვანი დამოკიდებულების კრიტერიუმი.

LP Vectors- ის ხაზოვანი დამოკიდებულების და ხაზოვანი დამოუკიდებლობისთვის საკმარისი პირობები. წრფივი დამოუკიდებელი სისტემების მაგალითები სიმები, polynomials, matrices.

LP- ის იზომორფიზმი. კრიტერიუმი Isomorphic LP.

Subspace LP და წრფივი ჭურვები ვექტორები. ხაზოვანი ჭურვის განზომილება.

თეორემა საფუძველს შევსების შესახებ

ქვესადგურების კვეთა და ოდენობა, სუბსტროლების პირდაპირი ოდენობა. თეორემა ქვესადგურების ოდენობის განზომილებაში.

ჰომოგენური ფერდობზე, მისი განზომილება და საფუძველი. FSR- ის მეშვეობით ჰომოგენური სლავის ზოგადი გადაწყვეტის გამოხატვა.

გადასვლის მატრიცა ერთი LD საფუძველზე მეორე და მისი თვისებები. სხვა საფუძველზე გადართვისას ვექტორული კოორდინატების კონვერტაცია.

ხაზოვანი ოპერატორების განმარტება და მაგალითები ხაზოვანი რუკები და ხაზოვანი ტრანსფორმაციები

ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა, ვექტორული გამოსახულების კოორდინატების კომპლექტი

ქმედებები ხაზოვანი ოპერატორებით. ხაზოვანი სივრცე

თეორემა კვადრატული მატრინების კომპლექტში ხაზოვანი ტრანსფორმაციის კომპლექტის კომპლექტში

ხაზოვანი ტრანსფორმაციის მატრიცა მუშაობს. მაგალითები მოძიებაში ოპერატორის მატრიცები.

საპირისპირო ოპერატორის განმარტება და თვისებები, მისი მატრიცა.

ხაზოვანი ოპერატორის შეცვლის კრიტერიუმი. შეუქცევადი და შეუქცევადი ოპერატორების მაგალითები.

ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცის კონვერსია სხვა საფუძველზე გადართვისას.

ხაზოვანი ოპერატორის განმსაზღვრელი და დამახასიათებელი პოლინომური, მათი გარემოება ბაზის გარდაქმნის კუთხით.

კერნელი და წრფივი ოპერატორის იმიჯი. თეორემა ბირთვებისა და იმიჯის ზომების ჯამში. კერურის მოძიება და ხაზოვანი ოპერატორის გამოსახულება ფიქსირებული ბაზაზე. წოდება და დეფექტის ხაზოვანი ოპერატორი.

ბირთვების ინვარიანენტის თეორია და მასთან შედარებით შედარებით permutation- ის იმიჯი

ალგებრული და გეომეტრიული სიმრავლის მრავალფეროვნება და მათი ურთიერთობა.

ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცის დიაგონალიზაციის კრიტერიუმი, ხაზოვანი ოპერატორის დიაგონალიზაციისთვის საკმარისი პირობები.

თეორემი ჰამილტონი კალი

ხაზოვანი ალგებრა

სლავის თეორია.

მატრიცა, სამოქმედო მატრიცებით, საპირისპირო მატრიცა. მატრიქსის განტოლებები და გადაწყვეტილებები.

Მატრიცა- გარკვეულ წესრიგში მდებარე თვითნებური ნომრების მართკუთხა მაგიდა, M * N- ის ზომა (რიგები სვეტის). Matrix ელემენტები მითითებულია, სადაც მე ხაზის ნომერი, AJ - სვეტის ნომერი.

გარდა ამისა (გამოკლება) მატრიცები განისაზღვრება მხოლოდ ერთჯერადი მატრიცებისთვის. მატრიცების ოდენობა (განსხვავება) - მატრიცა, რომელთა ელემენტები თავდაპირველი მატრიცების ელემენტების თანახმად (განსხვავება).

გამრავლება (განყოფილება)რიცხვი- ამ ნომერთან მატრიქსის თითოეული ელემენტის გამრავლება (განყოფილება).

მატრიცების გამრავლება განისაზღვრება მხოლოდ მატრიცებისთვის, რომელთაგან პირველი სვეტების რაოდენობა მეორეა.

მატრიქსის გამრავლება- მატრიცა, რომელთა ელემენტები მოცემულია ფორმულები:

Transposing Matrix- ასეთი მატრიცა, ხაზები (სვეტები), რომლებიც არიან სვეტები (ხაზები) წყარო მატრიცაში. აღინიშნება

ინვერსიული მატრიცა

მატრიქსის განტოლებები- ფორმას * x \u003d B- ის განტოლებები მატრიცების პროდუქტი, ამ განტოლების პასუხი არის მატრიცა, რომელიც წესების დახმარებით არის:

მატრიცის ხაზოვანი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა (სტრიქონები). ხაზოვანი დამოკიდებულების კრიტერიუმი, მატრიცის სვეტების (სტრიქონების) ხაზოვანი დამოკიდებულების საკმარისი პირობები.

რიგის სისტემა (სვეტები) ეწოდება ხაზოვანი დამოუკიდებელითუ ტრივიალური წრფივი კომბინაცია (თანასწორობა ხორციელდება მხოლოდ სურვილისამებრ ... n \u003d 0), სადაც 1 ... N - სვეტები (ხაზები), AA1 ... N - Recomposition CoEFFIENTS.

Კრიტერიუმი: იმისათვის, რომ ვექტორები უნდა იყოს ხაზოვანი დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია მინიმუმ ერთი სისტემის ვექტორები ხაზს უსვამს დანარჩენი სისტემის ვექტორების მეშვეობით.

საკმარისი მდგომარეობა:

მატრიცის და მათი თვისებების განმსაზღვრელი

განსაზღვრული მატრიცა (განმსაზღვრელი)- ასეთი რიცხვი, რომელიც კვადრატულ მატრიცისთვის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულაზე მატრიქსის ელემენტებით:

სადაც - დამატებითი უმნიშვნელო ელემენტი

Თვისებები:

Reverse Matrix, ალგორითმი გაანგარიშების დაბრუნების Matrix.

ინვერსიული მატრიცა- ასეთი კვადრატული მატრიცა, რომელიც, კვადრატულ მატრიცასთან ერთად იგივე ბრძანებით, კმაყოფილია პირობით: Wheree არის ერთი მატრიცა, იგივე ბრძანება, რომ IA. ნებისმიერი კვადრატული მატრიცა განმსაზღვრელი, არ არის ტოლი ნულოვანი, აქვს 1 საპირისპირო მატრიცა. მდებარეობს ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდის გამოყენებით და ფორმულის გამოყენებით:

მატრიცის კლასის კონცეფცია. თეორემა ძირითადი უმნიშვნელო. თანასწორობის კრიტერიუმი Matrix- ის ნულოვანი განმსაზღვრელი. ელემენტარული მატრიცების კონვერტაცია. ელემენტარული ტრანსფორმაციის წოდების გაანგარიშება. ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდით ინვერსიული მატრიცის გაანგარიშება.

რანგის მატრიცა -საფუძველზე Minora (RG A)

საფუძველი მცირე -არასრულწლოვანი არ არის ნულოვანი, ისეთი, რომ ყველა არასრულწლოვანი R + 1 და ზემოთ არის ნულოვანი ან არ არსებობს.

თეორემის საფუძველზე უმნიშვნელო -თვითნებური მატრიცაში და თითოეული სვეტი (სიმებიანი) არის სვეტების წრფივი კომბინაცია (ხაზები), რომელშიც ბაზა მცირეა.

მტკიცებულება:დავუშვათ M * N- ის მატრიციებში, ბაზის უმნიშვნელოა პირველი R ხაზები და პირველი R სვეტები. განვიხილოთ განმსაზღვრელი, რომელიც მიღებულია მატრიცის საბაზისო უმცირესობისა და S-row და K- ს სვეტის შესაბამისი ელემენტების მიხედვით.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი სტუდია, განმსაზღვრელი არის ნულოვანი. თუ თქვენ, მაშინ განმსაზღვრელი შეიცავს ორი იდენტური სიმები ან ორი იდენტური სვეტი. თუ თქვენ გაქვთ, მაშინ განმსაზღვრელი D არის ნულოვანი, რადგან ეს არის უმნიშვნელო (r + λ) - წესრიგი. ბოლო ხაზის განმსაზღვრელი განმსაზღვრელი, ჩვენ ვიღებთ: სად-ალგებრული დამატებები ბოლო ხაზის ელემენტებს. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ბაზის უმნიშვნელო. ამიტომ, სადაც წერა ბოლო თანასწორობა, მიიღოთ . K-TH სვეტი (ნებისმიერი) არსებობს საბაზისო უმნიშვნელო სვეტების წრფივი კომბინაცია, რომელიც საჭიროა დაამტკიცოს.

კრიტერიუმი დeta \u003d 0.- განმსაზღვრელი არის ნულოვანი თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ხაზები (სვეტები) ხაზოვანი დამოკიდებულია.

ელემენტარული ტრანსფორმაციები:

1) სიმებიანი გამრავლება ნულიდან განსხვავდება;

2) სხვა ხაზის ელემენტების ერთ ხაზის ელემენტებს;

3) სიმებიანი permutation;

4) ერთი იმავე რიგების წაშლა (სვეტები);

5) ტრანსპოზიცია;

წოდება გაანგარიშება -ძირითადი უმნიშვნელო თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიქსის წოდება ტოლია დამოუკიდებელი დამოუკიდებელი ხაზების მაქსიმალური რაოდენობა (მატრიცის სვეტი), ამიტომ ელემენტარული ტრანსფორმაციის ამოცანაა ყველა ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზების (სვეტების) მოძებნა.

გაანგარიშების დაბრუნების Matrix- ტრანსფორმაციები შეიძლება განხორციელდეს გარკვეული მატრიქსის მატრიცის მატრიცის, რომელიც არის შესაბამისი ელემენტარული მატრიცების პროდუქტი: TA \u003d E.

ეს განტოლება ნიშნავს, რომ კონვერტაციის მატრიცა T არის Matrix- ის საპირისპირო მატრიცა. შემდეგ, აქედან გამომდინარე,

გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის სიმებიანი და სვეტები შეიძლება განიხილებოდეს როგორც არითმეტიკული ზომის ვექტორები. მ. და ნ., შესაბამისად. ამდენად, ზომის მატრიცა შეიძლება განიმარტოს, როგორც დაძლევა მ. ნ.მომები ან ნ. მ.- განზომილებიანი არითმეტიკული ვექტორები. ანალოგიით გეომეტრიული ვექტორები, ჩვენ წარმოგიდგენთ მატრიცის რიგებისა და სვეტების ხაზოვანი დამოკიდებულების ხაზოვანი დამოუკიდებლობის კონცეფციებს.

4.8.1. განმარტება. ხაზი
რომელსაც მოუწოდა ხაზოვანი კომბინაცია სიმებიანი კოეფიციენტებით
თუ თანასწორობა მართალია ამ ხაზის ყველა ელემენტისთვის:

,
.

4.8.2. განმარტება.

სიმჩრები
რომელსაც მოუწოდა ხაზოვანი დამოკიდებულითუ არსებობს მათი არა-ტრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ხაზის ტოლია, ანუ. ასეთი არ არის ყველა თანაბარი ნულოვანი ნომრები

,
.

4.8.3. განმარტება.

სიმჩრები
რომელსაც მოუწოდა ხაზოვანი დამოუკიდებელითუ მათი ტრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია არ არის ნულოვანი ხაზის ტოლი, ანუ.

4.8.4. თეორია. (მატრიცის ხაზოვანი დამოკიდებულების კრიტერიუმი)

იმისათვის, რომ ხაზების ხაზგასმელად იყოს დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისი იმისათვის, რომ მინიმუმ ერთი მათგანი იყოს დანარჩენი წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა. მოდით strings
ხაზოვანი დამოკიდებული, მაშინ მათი არასამთავრობო ტრივიალური წრფივი კომბინაცია, ნულოვანი ხაზის ტოლია:

ზოგადი შეზღუდვის გარეშე, ვარაუდობენ, რომ ხაზოვანი კომბინაციის პირველი კოეფიციენტები განსხვავდება ნულოვანიდან (წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გააუქმოთ სტრიქონები). ამ თანაფარდობის გამყოფი მიიღეთ

ანუ, პირველი ხაზი არის დანარჩენი წრფივი კომბინაცია.

ადეკვატურობა. მოდით ერთ-ერთი ხაზი, მაგალითად, , არის დანარჩენი წრფივი კომბინაცია, მაშინ

ანუ, არსებობს არასამთავრობო ტრივიალური ხაზოვანი რიგის კომბინაცია
ტოლია ნულოვანი ხაზი:

ასე რომ ხაზები
ხაზოვანი დამოკიდებული იმაზე, თუ რა უნდა დადასტურდეს.

კომენტარი.

მსგავსი განმარტებები და დამტკიცებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს მატრიქსის სვეტებისთვის.

§4.9. რანგის მატრიცა.

4.9.1. განმარტება. მცირე ბრძანების გაცემა მატრიელი ზომა
წესრიგის განმსაზღვრელი ზოგიერთი მისი გადაკვეთაზე მდებარე ელემენტებით რიგები I. სვეტები.

4.9.2. განმარტება. განსხვავდება ნულოვანი უმნიშვნელო ბრძანებით მატრიელი ზომა
რომელსაც მოუწოდა საფუძველი მცირეთუ ყველა არასრულწლოვანი ბრძანების Matrix
თანაბარი ნულოვანი.

კომენტარი. Matrix შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ძირითადი არასრულწლოვანი. ცხადია, ისინი ყველა წესრიგს მიიღებენ. ასევე შესაძლებელია, როდესაც მატრიცა ზომა
მცირე შეკვეთა განსხვავდება ნულოვანი და არასრულწლოვანთა მიზნით
არ არსებობს, ეს არის
.

4.9.3. განმარტება. რიგები (სვეტები) ძირითადი უმცირესობის ჩამოყალიბება საფუძველი ხაზები (სვეტები).

4.9.4. განმარტება. წოდებამატრიცები ეწოდება მისი ძირითადი უმნიშვნელო ბრძანებას. რანგის მატრიცა აღინიშნება
ან
.

კომენტარი.

გაითვალისწინეთ, რომ განმსაზღვრელი რიგების და სვეტების თანასწორობის გამო, მატრიქსის წოდება არ იცვლება მისი ტრანსპოზიციის დროს.

4.9.5. თეორია. (ელემენტარული ტრანსფორმაციის შედარებით Matrix- ის კლასების ახლობელი)

მატრიქსის წოდება არ შეცვლის თავის ელემენტარულ ტრანსფორმაციებს.

მტკიცების გარეშე.

4.9.6. თეორია. (ბაზაზე მცირე).

ბაზის ხაზები (სვეტები) ხაზოვანი დამოუკიდებელია. მატრიცის ნებისმიერი სიმებიანი (სვეტი) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საბაზისო სიმებიანი წრფივი კომბინაციით (სვეტები).

მტკიცებულება:

განახორციელოს მტკიცებულება ხაზებისთვის. სვეტების დამტკიცების დამადასტურებელი საბუთი შეიძლება ანალოგიით.

მოდით Matrix- ის წოდება ზომები
ყორანი და
- საფუძველი მცირეა. საზოგადოების შეზღუდვის გარეშე, ვარაუდობენ, რომ ბაზის უმრავლესობა ზედა მარცხენა კუთხეშია (წინააღმდეგ შემთხვევაში, მატრიქსის ამ თვალსაზრისით ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით):

ჩვენ პირველად დავამტკიცებთ ძირითადი ხაზების წრფივი დამოუკიდებლობას. მტკიცებულება გაატარებს nasty. დავუშვათ ძირითადი ხაზები ხაზოვანი დამოკიდებული. შემდეგ თეორიის მიხედვით 4.8.4, ერთ-ერთი რიგები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა საბაზისო ხაზოვანი კომბინაციით. აქედან გამომდინარე, თუ თქვენ ამ ხაზის მითითებულ წრფივი კომბინაციას იპოვით, მაშინ ჩვენ მივიღებთ ნულოვანი სიმებიანი, რაც იმას ნიშნავს, რომ უმნიშვნელო
ეს არის ნულოვანი, რომელიც ეწინააღმდეგება ძირითად უმცირესობას. ამდენად, ჩვენ წინააღმდეგობა მივიღეთ, ამიტომაც დადასტურებულია ძირითადი სიმებიანი ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

ჩვენ ახლა დავამტკიცებთ, რომ მატრიცის ნებისმიერი სიმებიანი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძირითადი ხაზების ხაზოვანი კომბინაციით. თუ ხაზების რაოდენობა გათვალისწინებით 1-დან რ., მაშინ, ცხადია, ეს შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ხაზოვანი კომბინაციით 1 ზედიზედ და ნულოვანი კოეფიციენტები დანარჩენ ხაზებთან ერთად. ახლა აჩვენე, რომ თუ ხაზის ნომერი -დან
წინ
ეს შეიძლება იყოს ძირითადი ხაზების წრფივი კომბინაციად. განიხილეთ მცირე მატრიცა
მიღებული ძირითადი უმცროსი
დასძინა სიმებიანი და თვითნებური სვეტი
:

ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ეს უმნიშვნელოა
-დან
წინ
და ნებისმიერი რაოდენობის სვეტები 1-დან .

მართლაც, თუ სვეტის ნომერი 1-დან რ., ჩვენ გვაქვს განმსაზღვრელი ორი იდენტური სვეტით, რომელიც აშკარად ნულოვანია. თუ სვეტის ნომერი -დან რ.+1 იყავი , და ხაზის ნომერი -დან
წინ
თ.
ეს არის უმცირესი ორიგინალური მატრიცა მეტი ორდერი, ვიდრე ბაზის უმნიშვნელო, და ეს იმას ნიშნავს, რომ ეს არის ნულოვანი საწყისი ძირითადი უმნიშვნელო. ამდენად, ეს არის უმნიშვნელო
ტოლია ნებისმიერი ხაზის ნომრისთვის -დან
წინ
და ნებისმიერი რაოდენობის სვეტები 1-დან . დეკორატიული მას ბოლო სვეტში, ჩვენ მივიღებთ:

Აქ
- დაკავშირებული ალგებრული დამატებები. შენიშვნა, რომ
იმიტომ, რომ არსებობს
არის ძირითადი უმნიშვნელო. შესაბამისად, სიმებიანი ელემენტები კ. შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ძირითადი რიგების შესაბამისი ელემენტების წრფივი კომბინაცია კოეფიციენტებით, რომლებიც არ არიან დამოკიდებული სვეტის ნომერზე :

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მატრიცის თვითნებური ხაზი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საბაზისო სიმებიანი ხაზოვანი კომბინაციის სახით. თეორემა დადასტურებულია.

ლექცია 13.

4.9.7. თეორია. (შესახებ nondegenerate კვადრატული მატრიცა)

იმისათვის, რომ მოედანზე მატრიცა იყოს nondegenerate, აუცილებელია და საკმარისი, რომ ბეჭედი Matrix ტოლია ზომა ამ matrix.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა. მოდით მოედანზე მატრიცა ზომა ნ. არის nondegenerate შემდეგ
აქედან გამომდინარე, მატრიცის განმსაზღვრელი არის ძირითადი უმნიშვნელო, ანუ.

ადეკვატურობა. მოდით იყოს
მაშინ ბაზის უმნიშვნელო ბრძანებით ტოლია მატრიცის ზომა, ამიტომ ძირითადი უმნიშვნელოა მატრიქსის განმსაზღვრელი .
ძირითადი უმნიშვნელო განმარტებით.

Corollary.

იმისათვის, რომ მოედანზე მატრიცა იყოს nondegenerate, აუცილებელია და საკმარისი მისი ხაზები ხაზგასმით დამოუკიდებელი.

მტკიცებულება:

აუცილებლობა.მას შემდეგ, რაც კვადრატული მატრიცა არის nondegenerate, მისი წოდება ტოლია ზომა Matrix
ანუ, მატრიქსის განმსაზღვრელი არის ძირითადი უმნიშვნელო. შესაბამისად, თეორემის მიერ 4.9.6 საბაზისო უმცირესობის მიხედვით, მატრიქსის სიმები ხაზოვანი დამოუკიდებელია.

ადეკვატურობა.მას შემდეგ, რაც მატრიცის ყველა ხაზი ხაზოვანი დამოუკიდებელია, მისი წოდება არ არის ნაკლები მატრიცის ზომაზე, რაც იმას ნიშნავს
შესაბამისად, წინა თეორიის მიხედვით 4.9.7 მატრიცა არის nondegenerate.

4.9.8. Matrix- ის წოდება bustling ფონდების მეთოდი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მეთოდი ნაწილობრივ ნაწილობრივ აღწერილია თეორემის მტკიცებულებაში.

4.9.8.1. განმარტება. მცირე
რომელსაც მოუწოდა საზღვარი არასრულწლოვანთან დაკავშირებით
თუ ის უმნიშვნელოა
დასძინა ერთი ახალი რიგისა და ორი ახალი სვეტის ორიგინალური მატრიცა.

4.9.8.2. მატრიცის წოდების მოძიების პროცედურა bustling არასრულწლოვანთა მეთოდით.

ჩვენ ვიპოვოთ ნებისმიერი უმნიშვნელო მატრიცა განსხვავდება ნულოვანიდან.

გამოთვალეთ ყველა ფუნდამენტური არასრულწლოვანი.

თუ ყველა მათგანი ნულოვანია, ამჟამინდელი უმნიშვნელოა ძირითადი და კლასის წოდება უდრის უმნიშვნელო ბრძანებას.

თუ ბუსტის არასრულწლოვანთა შორის ნულოვანია, მაშინ ის ეყრდნობა მიმდინარე და პროცედურას გრძელდება.

ჩვენ მოვძებნით დახმარებით Bustling Minors Minors Matrix

ადვილად მიუთითოთ მეორე რიგის მეორე რიგის მეორე რიგისა, მაგალითად,

გამოთვალეთ ფუნდამენტური არასრულწლოვნები:

აქედან გამომდინარე, მას შემდეგ, რაც მესამე რიგის სახსრები ნულოვანია, უმნიშვნელოა
არის ძირითადი, რომ არის

კომენტარი. განიხილება მაგალითიდან, ჩანს, რომ მეთოდი საკმაოდ შრომატერია. აქედან გამომდინარე, პრაქტიკაში, ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდი ბევრად უფრო ხშირად გამოიყენება, რაც ქვემოთ განიხილება.

4.9.9. მატრიცის კლასის მოძიება ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდით.

თეორიის საფუძველზე 4.9.5, შეიძლება ამტკიცებდეს, რომ მატრიქსის ბეჭედი არ იცვლება ელემენტარული ტრანსფორმაციის დროს (ანუ, ეკვივალენტური მატრიცების რიგებში ტოლია). აქედან გამომდინარე, მატრიცის ბეჭედი უდრის თავდაპირველი ელემენტარული ტრანსფორმაციებისგან მიღებული ნაბიჯების წოდებას. იგივე ნაბიჯი მატრიცის რანგში აშკარად ტოლია მისი არასამთავრობო ნულოვანი ხაზების რაოდენობა.

ჩვენ განვსაზღვრავთ მატრიცის წოდებას

ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდი.

ჩვენ ვაძლევთ მატრიქსს ზემოთ ნაბიჯი:

რის შედეგადაც მატრიცის მატრიცის შემდეგ,

4.9.10. წრფივი ვექტორების წოდება.

განვიხილოთ სისტემა ვექტორები
ზოგიერთი წრფივი სივრცე . თუ ეს არის ხაზოვანი დამოკიდებული, მას შეუძლია აირჩიოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი ქვესისტემის მასში.

4.9.10.1. განმარტება. რანგის სისტემის ვექტორები
ხაზოვანი სივრცე ამ სისტემის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობა. რანგის სისტემა ვექტორები
აღნიშნავს როგორ
.

კომენტარი. თუ ვექტორების სისტემა არღვევს დამოუკიდებელი, მისი წოდება უდრის სისტემის ვექტორების რაოდენობას.

ჩვენ ჩამოყალიბებთ თეორემს, რომელიც აჩვენებს ხაზოვანი სივრცის ვექტორების სისტემის რანგის კონცეფციებს და მატრიქსის კლასს.

4.9.10.2. თეორია. (წრფივი სივრცის ვექტორული სისტემის წოდება)

წრფივი სივრცის ვექტორების სისტემის წოდება ტოლია მატრიქსის ზღვარი, რომელთა სვეტები ან რიგები არიან ვექტორების კოორდინატები ხაზოვანი სივრცის გარკვეულ საფუძველზე.

მტკიცების გარეშე.

Corollary.

იმისათვის, რომ ხაზს უსვამს ხაზოვანი სივრცის ვექტორების სისტემას, რომელიც აუცილებელია და საკმარისია, რომ მატრიცის, სვეტების ან რიგების წოდება, რომლებიც გარკვეულ საფუძველზე ვექტორების კოორდინატებია, სისტემის ვექტორების რაოდენობის ტოლი იყო.

მტკიცებულება აშკარაა.

4.9.10.3. თეორემა (ხაზოვანი ჭურვის განზომილების შესახებ).

ხაზოვანი შელის ვექტორების განზომილება
ხაზოვანი სივრცე ვექტორების ამ სისტემის წოდება:

მტკიცების გარეშე.

მოდით matrix და ზომები (m; n) შერჩეული თვითნებურად K რიგების და K სვეტების (k ≤ min (m; n)). შერჩეული რიგების და სვეტების გადაკვეთაზე მატრიქსის ელემენტები ქმნიან კვადრატულ მატრიცის შეკვეთის კვადრატულ მატრიქსს K- ს, რომელთა განმსაზღვრელია, რომლის მიხედვითაც MATIX A. ან MATIX A.

Matrix of Rag არის მაქსიმალური წესრიგი განსხვავდება ნულოვანი მცირე მატრიცა A, და ნებისმიერი უმნიშვნელო ბრძანება R, განსხვავდება ნულოვანი, არის ძირითადი უმნიშვნელო. დანიშნულება: Rang A \u003d R. თუ Rang A \u003d Rang B და ზომები მატრიცები A და მხარი დაუჭირა, მაშინ მატრიცები A და B ეწოდება ეკვივალენტს. დანიშნულება: A ~ B.

მატრიქსის კლასის გაანგარიშების ძირითადი მეთოდები არასრულწლოვანთა და მეთოდის ფოკუსირების მეთოდია.

Bustling Minorers- ის მეთოდი

Bustling Minorers- ის მეთოდის არსი ასეთია. მოდით MAILER KITE K აღმოჩენილია Matrix, განსხვავდება ნულოვანი. შემდეგ მხოლოდ K + 1-ის ბრძანების მხოლოდ იმ არასრულწლოვანთა განიხილება, რომელიც შეიცავს საკუთარ თავს (I.E. ქერქი) Minork-th ბრძანებით, განსხვავდება ნულოვანიდან. თუ ისინი ყველა ტოლია ნულოვანი, მატრიცის ბეჭედი არის K, წინააღმდეგ შემთხვევაში, bustling არასრულწლოვანთა შორის (K + 1), ბრძანება განსხვავდება ნულოვანი და მთელი პროცედურა განმეორდება.

ხაზოვანი დამოუკიდებლობა სიმები (სვეტები) მატრიცა

მატრიქსის კლასის კონცეფცია მჭიდროდაა დაკავშირებული მისი ხაზების წრფივი დამოუკიდებლობის კონცეფციასთან (სვეტები).

მატრიცის რიგები:

ისინი უწოდებენ ხაზოვანი დამოკიდებულებას, თუ არსებობს ასეთი ნომრები λ 1, λ 2, λ K, რომელიც არის სამართლიანი თანასწორობა:

მატრიცის რიგები ეწოდება ხაზოვანი დამოუკიდებელი, თუ ზემოაღნიშნული თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა რიცხვი λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ k \u003d 0

ანალოგიურად, მატრიცის ა.-ს სვეტების ხაზოვანი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.

თუ Matrix A (სადაც (L) \u003d (L1, L2, ..., LN)) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს

ანალოგიურად, განისაზღვრება სვეტების ხაზოვანი კომბინაციის კონცეფცია. შემდეგი ძირითადი უმნიშვნელო თეორია მოქმედებს.

საბაზისო ხაზები და ძირითადი სვეტები ხაზოვანი დამოუკიდებელია. Matrix A- ის ნებისმიერი სიმებიანი (ან სვეტი) არის ძირითადი სიმებიანი ხაზოვანი კომბინაცია (სვეტები), I.E. ხაზები (სვეტები) ბაზის უმნიშვნელო გადაკვეთა. ამდენად, Matrix A: Rang A \u003d K ტოლია Matrix A.- ის ხაზოვანი დამოუკიდებელი სიმებიანი (სვეტების) მაქსიმალური რაოდენობა.

ისინი. მატრიქსის rag არის განზომილება ყველაზე დიდი კვადრატული matrix შიგნით matrix, რომელიც აუცილებელია, რათა დადგინდეს წოდება, რომელიც განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი. თუ თავდაპირველი მატრიცა არ არის მოედანზე, ან თუ ეს არის კვადრატი, მაგრამ მისი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი, შემდეგ კი მცირე ხაზისა და სვეტების კვადრატული მატრიცებისთვის შერჩეულია თვითნებურად.

გარდა განმსაზღვრელი გარდა, მატრიცის წოდება შეიძლება გამოითვალოს ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზების ან მატრიქსის სვეტების მიხედვით. ეს უდრის ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზების ან სვეტების რაოდენობას, რაც ნაკლებია. მაგალითად, თუ Matrix- ს აქვს 3 ხაზოვანი დამოუკიდებელი ხაზი და 5 ხაზოვანი დამოუკიდებელი სვეტი, მაშინ მისი წოდება სამი.

მატრიცის კლასის მოძიების მაგალითები

ფოკუსირების მეთოდი მატრიცის რანგის პოვნაში

მეორე რიგის არასრულწლოვანი

მოშორება მცირე მ 2 ასევე განსხვავდება ნულოვანიდან. თუმცა, ორივე მეოთხე მიზნით მცირე, სასაზღვრო მ 3.

თანაბარი ნულოვანი. აქედან გამომდინარე, Matrix A არის 3 და ბაზის უმნიშვნელოა, მაგალითად, Minor M3- ზე ზემოთ.

ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ მატრიქსის ელემენტარული კონვერსია არ შეცვლის თავის წოდებას. ამ ტრანსფორმაციის გამოყენება შესაძლებელია მატრიქსის მისაცემად ფორმით, როდესაც ყველა ელემენტი 11, გარდა 22, ... RR (r ≤min (M, N)) არის ნულოვანი. ეს, ცხადია, ნიშნავს, რომ Rang A \u003d R. გაითვალისწინეთ, რომ თუ N-TH- ის შეკვეთა Matrix- ს აქვს ყველაზე სამკუთხა მატრიქსის გამოჩენა, მე. მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალით ყველა ელემენტია ნულოვანი, მაშინ ტოლია ძირითადი დიაგონალის ელემენტების პროდუქტი. ეს ქონება შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც Matrix- ის წოდება დაწყებითი ტრანსფორმაციის მეთოდით: აუცილებელია მატრიქსის სამკუთხა და შემდეგ შესაბამისი განმსაზღვრელი, ჩვენ ვხედავთ, რომ მატრიცის ბეჭედი ტოლია ძირითადი დიაგონალის ელემენტების რაოდენობა ნულის გარდა.

ელემენტარული ტრანსფორმაციის მეთოდი მატრიცის რანგის პოვნაში