Primul curs, matematică superioară, studiem matrienii și acțiunile de bază asupra lor. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. Cum să începeți o cunoștință cu matricele? Desigur, cu cele mai simple - definiții, concepte de bază și operațiuni cele mai simple. Asigurăm matricele vor înțelege tot ceea ce îi va da cel puțin puțin timp!
Definiția matricei
Matricea - Acesta este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, dacă o limbă simplă este un tabel de numere.
De obicei, matricele sunt desemnate de majuscule de capital. De exemplu, matricea A. , matricea B. etc. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulară, pătrată, există și matrice și matrice coloane, numite vectori. Dimensiunea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, scrieți o matrice de dimensiune dreptunghiulară m. pe n. Unde m. - numărul de linii și n. - Numar de coloane.
Elemente pentru care i \u003d j. (a11, A22, ) Formând diagonala principală a matricei și se numește diagonală.
Ce se poate face cu matricele? Ori / deduce, Înmulțiți după număr, multiplicați între ei, transpune. Acum, despre toate aceste operații de bază asupra matricelor în ordine.
Operațiuni de adăugare și scădere a matricelor
A avertizat imediat că puteți adăuga numai matrice de aceeași dimensiune. Ca rezultat, va fi matricea de aceeași dimensiune. Pentru a plia (sau deduce) matricea este simplă - tocmai și-au îndoit elementele corespunzătoare . Să dăm un exemplu. Efectuați adăugarea a două matrice A și în două două.
Scăderea se efectuează prin analogie, numai cu semnul opus.
Puteți multiplica orice matrice pe un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să multiplicați prin acest număr fiecare element. De exemplu, înmulțiți matricea A din primul exemplu numărul 5:
Matrice de operare de multiplicare
Nu toate matricele vor fi posibile de multiplicare. De exemplu, avem două matrice - A și B. Acestea pot fi înmulțite unul cu celălalt numai dacă numărul de coloane din matrice este la fel de egal cu numărul de linii de matrice B. În același timp fiecare element al matricei rezultate, în picioare în rândul I și în coloana J-M, va fi egal cu cantitatea de produse din elementele corespunzătoare din prima linie a primului factor și coloana J-M a celui de-al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, scrieți, ca două matrici pătrate sunt înmulțite:
Și un exemplu cu numere reale. Multiplicați matricea:
Transpunerea matricei de operare
Transpunerea matricei este o operație atunci când liniile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate în locuri. De exemplu, transpunem matricea A din primul exemplu:
Determinantul matricei
Determinantul, despre determinant - unul dintre conceptele de bază ale unei algebre liniare. Odată ce oamenii au venit cu ecuații liniare, iar determinantul a trebuit să le inventeze. Ca rezultat, trebuie să vă ocupați de toate acestea, așa că ultimul jerk!
Determinantul este caracteristica numerică a matricei pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe sarcini.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, este necesar să se calculeze diferența dintre lucrările elementelor diagonalelor principale și laterale.
Determinantul matricei de ordin primar, care este, constând dintr-un element este egal cu acest element.
Și dacă matricea este de trei până la trei? Este deja mai complicată aici, dar puteți face față.
Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu cantitatea de produse ale diagonalei principale și a lucrărilor elementelor triunghiurilor cu linia diagonalei principale paralele, pe care produsul elementelor de Diagonala laterală și produsul elementelor care se află pe triunghiuri cu fața în paralel cu diagonală sunt scăzute.
Din fericire, pentru a calcula factorii determinanți ai matricelor de dimensiuni mari în practică sunt rare.
Aici ne-am uitat la operațiunile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală, nu este niciodată posibil să se întâlnească chiar și un indiciu al unui sistem de ecuații sau viceversa - întâlniri mult mai complexe atunci când trebuie să vă rupeți cu adevărat capul. Este pentru astfel de cazuri că există un serviciu de student profesional. Contactați ajutorul, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de învățare și timp liber.
Curs # 1.
Matrienii
Definirea și tipurile de matrice
Definiție 1.1.Matricemărimea t. p.numită un tabel dreptunghiular de numere (sau alte obiecte) care conțin m.rânduri I. n.coloane.
Matricele sunt desemnate (capitalizate) litere ale alfabetului latin, de exemplu, A, B, C, ...Numerele (sau alte obiecte), sunt numite matrice componente elementematrice. Elementele matricei pot fi funcții. Pentru a desemna elementele matricei, literele mici ale alfabetului latin cu indexare dublă sunt utilizate: aij.unde este primul indice i.(citiți - și) - numărul rândului, al doilea index j.(citiți - ZH) – numărul coloanei.
Definiție 1.2.Matricea se numește pătrat p-comanda, dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane și la fel de același număr p.
Conceptele sunt introduse pentru o matrice pătrată principală și adversădiagonală.
Definiție 1.3.Acasă Diagonal.matricea pătrată constă din elemente având aceleași indice, adică .. Acestea sunt elemente: a.11, Un 22, ...
Definiție 1.4. diagonalăDacă toate elementele, cu excepția elementelor diagonalei principale, sunt zero
Definiție 1.5.Se numește matrice pătrat triunghiularDacă toate elementele sale de mai jos (sau mai mari), diagonala principală sunt zero.
Definiție 1.6.Matrice pătrat p-ordinea, în care toate elementele diagonalei principale sunt egale cu una, iar restul sunt zero, numite singurmatrice n.- o comandă și este indicată de scrisoare E.
Definiție 1.7.Matricea de orice dimensiune este numită nul,sau zero Matrix.dacă toate elementele sale sunt zero.
Definiție 1.8.Matricea constând dintr-o singură linie este numită matrix Row.
Definiție 1.9.Matricea constând dintr-o coloană se numește matricea coloanei.
A \u003d (a11 dar12 ... dar1n) -string matrice;
Definiție 1.10.Două matrice DARși ÎNdimensiuni identice numite egaldacă toate elementele respective ale acestor matrice sunt egale, adică. aJ \u003d bij.pentru oricine i.= 1, 2, ..., t; J \u003d.1, 2,…, n..
Operațiuni pe matrice
Peste matricele, ca peste numere, puteți produce o serie de operații. Principalele operațiuni asupra matricelor sunt adăugarea (scăderea) matricelor, multiplicând matricea la numărul, multiplicarea matricelor. Aceste operațiuni sunt similare cu operațiunile peste numere. Operație specifică - transpunerea matricei.
Multiplicarea matricei la număr
Definiție 1.11.Lucrarea matricei și a număruluiλ se numește matricea În \u003d a,elementele care sunt obținute prin înmulțirea elementelor Mat Rice DARprin numărul λ. .
Exemplul 1.1.Găsiți munca matricei A \u003d. 
Numărul 5.
Decizie. .◄ 5A \u003d. 
Matricea de regulă de multiplicare după număr: Pentru a multiplica matricea la numar, trebuie sa multiplicati pe acest numar toate elementele matricei.
Corolar.
1. Multiplicatorul total al tuturor elementelor matricei poate fi scos pentru semnul matricei.
2. Lucrul matricei DARprin numărul 0 există o matrice zero: DAR· 0 = 0 .
Adăugarea matricelor
Definiție 1.12.Suma a două matrice A și înaceeași mărime t n.numit matrice DIN= DAR+ ÎNale căror elemente sunt obținute prin adăugarea elementelor corespunzătoare ale matricei DARși matrice ÎN, adică cij \u003d aij + bijpentru i \u003d.1, 2, ..., m.; j.= 1, 2, ..., n.(adică, matricele sunt adresate alternativ).
Corolar.Cantitatea matricei DARcu o matrice zero este egală cu matricea originală: A + O \u003d A.
1.2.3. Scăderea matricelor
Diferența de două matriciaceeași dimensiune este determinată prin operațiile de pre-operare: A - B \u003d A + (-1)ÎN.
Definiție 1.13.Matricea -A \u003d (- -1)DARnumit opusmatrice DAR.
Corolar.Suma matricelor opuse este egală cu o matrice zero : A + (-A) \u003d O.
Matrice multiplicare
Definiție 1.14.Multiplicarea matricei A pe matrice înse determină când numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri ale celei de-a doua matrice. Atunci lucrarea de matriceaceastă matrice este numită , fiecare element din care cij.egală cu cantitatea de opere de elemente i.- Linii de matrice DARpe elementele corespunzătoare j.- la coloana matricei B.
Exemplul 1.4.Calculați lucrarea matricelor A · In,unde
A \u003d. 
= 
Exemplul 1.5.Găsiți lucrări de matrice Au.și Va.unde
Comentarii.Din exemplele 1.4-1.5 rezultă că multiplicarea matricelor are unele diferențe față de multiplicarea numerelor:
1) Dacă lucrarea matricelor Au.există, apoi după rearanjarea factorilor în locuri de muncă a lucrărilor matricelor V.nu poate exista. Într-adevăr, în exemplul 1.4, produsul matricelor AB există și produsul de WA nu există;
2) Dacă chiar funcționează Au.și V.există, rezultatul lucrării poate fi matrice de diferite dimensiuni. În cazul în care ambele lucrări Au.și V.există ambele matrice de aceeași dimensiune (acest lucru este posibil numai atunci când multiplicarea matricelor pătrate ale unei comenzi), comutativ (în mișcare) Legea multiplicării nu este încă efectuată,acestea. A B. Într-o, ca în exemplul 1.5;
3) Cu toate acestea, dacă multiplicați o matrice pătrată DARpe o singură matrice E.din aceeași ordine AE \u003d EA \u003d A.
Astfel, o singură matrice atunci când matricele multiplicate joacă același rol ca numărul 1 cu multiplicarea numerelor;
4) Produsul a două matrice non-zero poate fi egal cu o matrice zero, adică din faptul că A B.\u003d 0, nu urmează acest lucru A \u003d.0 sau B \u003d.0.
Acest manual metodologic vă va ajuta să învățați să efectuați acțiuni cu matrices.: Adăugarea (scăderea) matricelor, transpune matricea, multiplicarea matricelor, găsirea matricei inverse. Toate materialele sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă, sunt prezentate exemple adecvate, astfel încât chiar și o persoană nepregătită va putea să învețe să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru autocontrol și auto-test puteți descărca calculatorul matrice gratuit \u003e\u003e\u003e.
Voi încerca să minimalizez calculele teoretice, în unele locuri, explicații "pe degete" și utilizarea unor termeni neștiințifică. Iubitorii de teorie solidă, vă rugăm să nu criticați, sarcina noastră este Învață să faci acțiune cu matricele.
Pentru pregătirea ultra-rapidă pe subiect (care are "arderea") există un curs PDF intens Matrix, Determinant și în picioare!
Matricea este o masă dreptunghiulară de orice elemente. La fel de elemente Vom lua în considerare numerele, adică matricele numerice. ELEMENT - Acesta este termenul. Termenul este recomandabil să-și amintească, se va întâlni adesea, nu este întâmplător că am folosit un font de grăsime pentru ao evidenția.
Desemnare: Matricele de obicei denotă de către capitale Litters Letin
Exemplu: Luați în considerare matricea "două trei":
Această matrice este formată din șase elemente:
Toate numerele (elemente) din interiorul matricei există în sine, adică, nici o deducere a discursului nu merge: 
Este doar un tabel (set) numere!
De asemenea, de acord nu rearanjați Numere, dacă nu se menționează altfel. Fiecare număr are propria locație și nu pot fi scoase afară!
Matricea luată în considerare are două linii: 
Și trei coloane: 
STANDARD: Când vorbesc despre dimensiunile matricei, atunci primul Indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am dezasamblat oasele matricei de "două trei".
Dacă numărul de rânduri și coloane ale matricei coincide, atunci matricea este numită pătrat, de exemplu: 
- Matrice "Trei trei".
Dacă în matrice o coloană sau o singură linie, atunci se numesc și astfel de matrice vectori.
De fapt, conceptul matricei, știm de la școală, ia în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele "X" și "Igrek" :. În esență, coordonatele punctului sunt înregistrate în matricea "o singură". Apropo, iată exemplul, de ce ordinea numerelor este importantă: și sunt două puncte complet diferite ale avionului.
Acum mergeți direct la studiu acțiuni cu matricele:
1) Prima acțiune. Ajungând la minus de matrice (făcând un minus în matrice).
Reveniți la matricea noastră 
. După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Este foarte incomod în ceea ce privește îndeplinirea diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți cât mai multe minusuri și doar arată urât în \u200b\u200bdesign.
Voi face minus dincolo de matrice, schimbând fiecare element al semnului matricei:
Ulya, după cum înțelegi, semnul nu se schimbă, zero - el și în Africa zero.
Exemplu de feed: 
. Pare urât.
Vom face un minus în matrice, schimbând matricea fiecărui element:
Ei bine, sa dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, efectuați orice acțiune cu matricea va fi mai ușoară. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cele mai multe minusuri - cu atât mai multă confuzie și greșeli.
2) A doua acțiune. Multiplicarea matricei la număr.
Exemplu:
Totul este simplu pentru a multiplica matricea pe număr, aveți nevoie toata lumea Elementul matricei se înmulțește la un număr dat. În acest caz, pe primele trei.
Un alt exemplu util:
- multiplicarea matricei pentru fracțiune
În primul rând, luați în considerare ce să faceți NU FACE:
Nu este nevoie să intrați în primul rând pe Matrix, ci face dificilă o acțiune ulterioară cu matricea, în al doilea rând, este dificil să se verifice decizia profesorului (mai ales dacă 
- Răspuns final Răspuns).
Si in special, NU FACE Distribuiți fiecare element al matricei pentru minus șapte:
Din articolul Matematică pentru manechine sau începe să înceapăNe amintim că fracțiunile zecimale cu o virgulă în matematică superioară încearcă să evite în orice fel.
Singurul lucru care de dorit Face în acest exemplu - pentru a face un minus în matrice:
Dar dacă TOT Elementele matricei au fost împărțite în 7 fără reziduuriApoi puteți (și aveți nevoie!) Ar fi împărțit.
Exemplu:
În acest caz, puteți și TREBUIE SA Înmulțiți toate elementele matricei, deoarece toate numerele matricelor sunt împărțite în 2 fără reziduuri.
Notă: În teoria matematicii superioare, conceptul școlar "Divizia" nu este. În loc de expresia "acest lucru este împărțit în ea" poate fi menționat întotdeauna "multiplicați prin fracțiune". Adică, diviziunea este un caz special de multiplicări.
3) a treia acțiune. Transpunerea matricei.
Pentru a transpune matricea, trebuie să vă scrieți liniile în coloana matricei transpuse.
Exemplu:
Transpuneți matricea
Linia de aici este doar una și, conform regulii, trebuie să fie scrisă în coloană:
- Matricea transpusă.
Matricea transpusă este de obicei denotată printr-un indice bruscă sau o atingere în partea de sus.
Pas cu pas exemplu:
Transpuneți matricea 
În primul rând, rescrieți primul șir la prima coloană:
Apoi rescrie cel de-al doilea șir din a doua coloană: 
Și în cele din urmă, rescrie cel de-al treilea șir în coloana a treia:
Gata. Aproximativ vorbind, transpuneți - înseamnă să transformați matricea laterală.
4) A patra acțiune. Suma (diferența) Matricele.
Valoarea acțiunii matricelor este simplă.
Nu toate matricele pot fi pliate. Pentru a efectua adăugarea de matrice (scădere), este necesar ca acestea să fie aceeași în dimensiune.
De exemplu, dacă se administrează matricea "două-două", atunci poate fi pliată numai cu "două două" matrice și nici unul altora! 
Exemplu:
Pliați matricele 
și 
Pentru a plia matricele, este necesar să se pliați elementele corespunzătoare.:
Pentru diferența de matrice, regula este similară este necesar să găsiți diferența dintre elementele corespunzătoare..
Exemplu:
Găsiți matricea de diferență 
, 
Și cum să rezolvați acest exemplu este mai ușor de confundat? Este recomandabil să scăpăm de minusurile suplimentare, pentru că vom face un minus în matrice:
Notă: În teoria matematicii superioare, conceptul școlar "scăderea" nu este. În loc de expresia "din aceasta, este întotdeauna posibil să spunem" la acest număr negativ ". Aceasta este, scăderea este un caz special de adăugare.
5) A cincea acțiune. Matrice multiplicare.
Ce matrice pot fi multiplicate?
Pentru a face matricea puteți multiplica pe matricea de care aveți nevoie, astfel încât numărul coloanelor matricei este egal cu numărul de șiruri de matrice.
Exemplu:
Este posibil să se multiplice matricea pe matrice?
Deci, înmulțirea datelor matricei pot fi.
Dar dacă matricea rearanjează în locuri, atunci, în acest caz, multiplicarea nu mai este posibilă!
Prin urmare, este imposibil să se facă multiplicare:
Nu atât de rar, sarcinile sunt întâlnite atunci când studentul este propus să înmulțească matricea, a cărei multiplicare este evident imposibilă.
Trebuie remarcat faptul că, în unele cazuri, puteți multiplica matricea și așa și așa.
De exemplu, pentru matrice și, eventual, multiplicare și multiplicare
Pentru a produce multiplicarea matricei A la un număr arbitrar α, aveți nevoie de elementele matricei A. Multiplicați la numărul α, adică Lucrarea matricei la număr va fi după cum urmează:
Exemplul 1. Găsiți o matrice 3. A.pentru matrice
Decizie. În conformitate cu definiția de înmulțire a elementelor matricei A. 3 și obțineți
A fost un exemplu complet simplu de multiplicare a matricei printr-un număr cu numere întregi. Există, de asemenea, exemple simple în față, dar deja, în cazul în care multiplicatorii și elementele matricelor - fracții, variabile (notație litere), deoarece legile de multiplicare acționează nu numai pentru numerele întregi, deci nu este niciodată dăunător să le repetăm.
Exemplul 2. A. prin numărul α dacă 
,
.
A. Pe α, fără a uita că cu multiplicarea fracțiunilor, număratorul primei fracții se înmulțește cu numărul primei fracții și produsul este scris în numărător, iar numitorul primei fracții se înmulțește cu canalul celui de-al doilea Fracțiunea și produsul este scris în numitor. La primirea celui de-al doilea element al primei linii a unei noi matrice, fracția rezultată a fost redusă cu 2, trebuie făcută. A primi
Exemplul 3. Efectuați multiplicarea matricei A. prin numărul α dacă
,
.
Decizie. Elemente multiple ale matricei A. Pe α, care nu au fost distruse în notația literei, fără să uitați să lăsați un minus înainte de cel de-al doilea element al celei de-a doua linii a matricei noi și să vă amintiți că rezultatul multiplicării numărului la număr către acesta este o unitate ( primul element al liniei a treia). A primi
.
Exemplul 4. Efectuați multiplicarea matricei A. prin numărul α dacă 
,
.
Decizie. Ne amintim că cu multiplicarea numărului în gradul la numărul la indicatorii de gradul se adaugă. A primi
.
Acest exemplu, printre altele, demonstrează în mod clar că acțiunile de multiplicare a matricei la un număr pot fi citite (și înregistrate) în ordinea inversă și se numește prin supunerea unui factor constant în fața matricei.
În combinație de S. adăugarea și scăderea matricelor Funcționarea de multiplicare a matricei la număr poate forma diferite expresii de matrice, de exemplu, 5 A. − 3B. , 4A. + 2B. .
Proprietățile de multiplicare ale matricei
(Aici a, b - matrice, - numere, 1 - numărul unu)
1. 
2. 
3. 
Proprietățile (1) și (2) legați multiplicarea matricei printr-un număr cu adăugarea de matrice. Există, de asemenea, o legătură foarte importantă între multiplicarea matricei la numărul și multiplicarea matricelor în sine:
adică dacă în lucrarea matricelor, unul dintre multiplicatori este înmulțit cu numărul, atunci toate lucrările se vor înmulți cu numărul.
Multiplicarea matricei la număr - Aceasta este o operație pe matrice, ca rezultat al căruia fiecare element este înmulțit cu un număr valoros sau complex. Arată limba matematică Este:
$$ B \u003d \\ lambda \\ cdot a \\ dreapta B_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Este demn de remarcat faptul că matricea rezultată $ B $ ca rezultat ar trebui să fie obținută prin aceeași dimensiune pe care o posedă matricea inițială $ a $ a. De asemenea, puteți acorda atenție unui astfel de fapt: $ \\ lambda \\ cdot a \u003d a \\ cdot \\ lambda $, adică este posibil să se schimbe locurile multiplicatori și această lucrare nu se va schimba.
Va fi utilă utilizarea funcționării multiplicării matricei de către număr atunci când faceți un factor comun dincolo de matrice. În acest caz, fiecare element al matricei este împărțit în numărul de $ \\ lambda $ și este îndepărtat în fața matricei.
Proprietăți
- Dreptul distribuției față de matricele: $$ \\ lambda \\ CDOT (A + B) \u003d \\ Lambda A + \\ Lambda B $$ Multiplicarea cantității de matricele la număr poate fi înlocuită cu cantitatea de lucrări ale fiecărei matrice individuale la acest lucru număr
- Dreptul distribuției față de numerele reale (integrat): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot a \u003d \\ lambda A + \\ Mu A $$ Multiplicarea matricei în cantitatea de numere poate fi înlocuită cu cantitatea de lucrări de Fiecare număr pe matrice
- Legea asociativă: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot a) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ Este convenabil să utilizați dacă aveți nevoie pentru a face un multiplicator comun din matrice din fața acesteia, cu un domeniu care se află deja în fața coeficientului IT
- Există un număr special $ \\ lambda \u003d 1 $, datorită căruia matricea rămâne neschimbată $ 1 \\ CDOT A \u003d a \\ CDOT 1 \u003d A $$
- Multiplicarea matricei la zero duce la faptul că fiecare element al matricelor este resetat și matricea devine zero a aceleiași dimensiuni, care a fost inițial: $ 0 \\ CDOT A \u003d 0 $$
Exemple de soluții
| Exemplu |
| Acesta este dat $ a \u003d \\ BEG (PMATRIX) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ capătul (Pmattrix) $ și numărul real $ \\ lambda \u003d $ 2. Înmulțiți numărul pe matrice. |
| Decizie |
|
Noi scriem funcționarea matematică a multiplicării și, în același timp, amintim regula care citește: Matricea este înmulțită cu elementul numeric. $$ \\ LAMMDA \\ CDOT A \u003d 2 \\ CDOT \\ BEAR (PMATRIX) 2 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ capătul (PmatrIx) \u003d \\ Begin (PmatrIx) 2 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ CDOT 0 & 2 \\ CDOT 9 & 2 \\ CDOT 3 \\\\ 2 \\ CDOT (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ ed (PmatrIx) \u003d $$ $$ \u003d \\ BEG (PMATRIX) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ capătul (Pmattrix) $$ Ca rezultat, vedem că fiecare număr care stă în matrice sa dublat spre valoarea inițială. Dacă este imposibil să vă rezolvați sarcina, apoi să ne trimiteți-o. Vom oferi o decizie detaliată. Vă puteți familiariza cu cursul de calcul și învățați informații. Acest lucru vă va ajuta în timp util la profesor! |
| Răspuns |
| $$ \\ lambda \\ cdot a \u003d \\ începe (PmatrIx) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ capătul (PmatrIx) $$ |
