Scăderea logică a adevărului. În ce ordine de a efectua operațiuni logice

1. Determinați procedura.

2. Determinați dimensiunea tabelului adevărului.

Numărul de coloane este determinat de numărul de variabile logice (cele două A, B) și numărul de acțiuni (există și două).

4. Formați răspunsul.
În ultima coloană una "0", care corespunde unui, egală cu "1" și egală cu "0". Se pare că această funcție este falsă dacă și numai dacă variabila logică este adevărată, iar variabila logică este falsă, ceea ce corespunde funcției logice.
Deci, această funcție este egală cu consecința logică a variabilelor A și B: dacă a, apoi V.

Faceți un tabel de adevăr pentru funcția logică:

1. Determinați procedura.

2. Determinați dimensiunea tabelului adevărului.

Tabelul "Cap" conține două linii - numere de acțiune și operațiuni de acțiune logică.
Numărul de coloane este determinat de numărul de variabile logice (cele două A, B) și numărul de acțiuni (cele cinci).
Numărul de rânduri din tabel este egal cu o diplomă la o diplomă egală cu numărul de variabile logice - în cazul a două variabile, sunt obținute 4 linii.
3. Umpleți alternativ coloanele de masă în funcție de funcția logică a acestei coloane.


4. Formați răspunsul.
În ultima coloană "1", corespund egalității și "0" - și inegal V. Se pare că această funcție este adevărată, când A este egală cu falsul, când nu este egal cu, ceea ce corespunde logicii funcția identității.
Aceasta înseamnă că această funcție este egală cu identitatea logică a variabilelor A și B: și identic

În ingineria circuitului digital, un semnal digital este un semnal care poate primi două valori considerate ca un logic "1" și logic "0".

Circuitele logice pot conține până la 100 de milioane de intrări și există astfel de scheme gigantice. Imaginați-vă că funcția booleană (ecuația) a unei astfel de scheme a fost pierdută. Cum de ao restabili cu cea mai mică pierdere de timp și fără erori? Cea mai productivă modalitate este de a sparge schema pentru niveluri. Cu această metodă, funcția de ieșire a fiecărui element este înregistrată în nivelul anterior și este înlocuită cu intrarea corespunzătoare a nivelului următor. Această metodă de analiză a schemelor logice cu toate nuanțele pe care le vom lua în considerare astăzi.

Schemele logice sunt implementate pe elemente logice: "Nu", "și", ",", "și" sau non- ", cu excepția sau" și "echivalența". Primele trei elemente logice vă permit să realizați orice funcție logică complexă arbitrar în baza booleană. Vom rezolva problemele legate de schemele logice implementate în baza booleană.

Standardele multiple sunt utilizate pentru a desemna elemente logice. Cele mai frecvente sunt americane (ANSI), europene (din), internaționale (IEC) și rusești (GOST). Figura de mai jos prezintă denumirile elementelor logice din aceste standarde (puteți face clic pe imagine cu butonul stâng al mouse-ului).

În această lecție vom rezolva problemele legate de schemele logice pe care elementele logice sunt indicate în GOST standard.

Obiectivele pentru circuitele logice sunt două tipuri: problema sintezei schemelor logice și sarcinile de analiză a schemelor logice. Vom începe cu sarcina celui de-al doilea tip, ca în așa fel încât este posibil să învățăm cum să învățăm mai repede schemele de logică.

Cel mai adesea, în legătură cu construcția de scheme logice, sunt luate în considerare funcțiile algebrei logice:

• trei variabile (vor fi luate în considerare în sarcinile de analiză și într-o singură problemă de sinteză);
• patru variabile (în sarcini de sinteză, adică în ultimele două paragrafe).

Luați în considerare construcția (sinteza) schemelor logice

• în baza booleană "și", "sau", "nu" (în paragraful penultim);
• În plus, elementele de bază comune "și nu" și "sau non-" (în ultimul paragraf).

Analiza obiectelor schemelor logice

Sarcina analizei este de a determina funcția f. implementate de o anumită schemă logică. La rezolvarea unei astfel de sarcini, este convenabil să adere la următoarea secvență de acțiuni.

1. Schema logică este împărțită în niveluri. Taruserele sunt numerele de serie.
2. Constatările fiecărui element logic sunt indicate de numele funcției dorite echipate cu un indice digital, unde prima cifră este numărul de nivel, iar celelalte numere sunt numărul de secvență al elementului din nivelul nivelului.
3. Pentru fiecare element, se înregistrează o expresie analitică care leagă funcția de ieșire cu variabilele de intrare. Expresia este determinată de funcția logică implementată de acest element logic.
4. O singură funcție de ieșire sunt substituiți prin alții, până când se obține funcția booleană, exprimată prin variabilele de intrare.

Exemplul 1.

Decizie. Împărțim schema logică asupra nivelurilor, care este deja prezentată în figură. Scriem toate funcțiile începând de la primul nivel:

x., y., z. :

x.	y.	z.					f.
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Exemplul 2. Găsiți funcția booleană a circuitului logic și faceți o masă de adevăr pentru un circuit logic.

Exemplul 3. Găsiți funcția booleană a circuitului logic și faceți o masă de adevăr pentru un circuit logic.

Continuăm să căutăm o funcție booleană a unei scheme logice împreună

Exemplul 4. Găsiți funcția booleană a circuitului logic și faceți o masă de adevăr pentru un circuit logic.

Decizie. Împărțim schema logică pe niveluri. Scriem toate funcțiile începând de la primul nivel:

Acum scrieți toate funcțiile, înlocuind variabilele de intrare x., y., z. :

Ca rezultat, obținem funcția că schema logică implementează la ieșire:

.

TATTUL Adevărului pentru această schemă logică:

x.	y.	z.			f.
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Exemplul 5. Găsiți funcția booleană a circuitului logic și faceți o masă de adevăr pentru un circuit logic.

Decizie. Împărțim schema logică pe niveluri. Structura acestei scheme logice, spre deosebire de exemplele anterioare, are 5 niveluri, nu 4. Dar o variabilă de intrare este cea mai mică - toate nivelurile rulează și intră direct la elementul logic în primul nivel. Scriem toate funcțiile începând de la primul nivel:

Acum scrieți toate funcțiile, înlocuind variabilele de intrare x., y., z. :

Ca rezultat, obținem funcția că schema logică implementează la ieșire:

.

TATTUL Adevărului pentru această schemă logică:

x.	y.	z.			f.
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Problema sintezei circuitelor logice în baza booleană

Dezvoltarea unei scheme logice pentru descrierea sa analitică este numele problemei sintezei schemei logice.

Fiecare disjuncție (sumă logică) corespunde elementului "sau", numărul de intrări ale căror este determinat de numărul de variabile în disjuncționare. Fiecare conjuncție (produs logic) corespunde elementului "și", numărul de intrări este determinat de numărul de variabile în legătură. Fiecare negare (inversiune) corespunde elementului "nu".

Adesea, dezvoltarea unui circuit logic începe cu definiția unei funcții logice pe care schema logică ar trebui să o pună în aplicare. În acest caz, este dată numai tabelul de adevăr al schemei logice. Vom analiza exact un astfel de exemplu, adică vom rezolva problema, pe deplin inversată deasupra problemei analizării schemelor logice.

Exemplul 6. Construiți o schemă logică care implementează o funcție cu această masă de adevăr.

Soluția de expresii logice este acceptată pentru a înregistra ca gusturile adevărului - Mese în care sunt prezentate în acțiuni, ce valori necesită o expresie logică cu toate seturile posibile ale variabilelor sale.

Când elaborează un tabel de adevăr pentru o expresie logică, este necesar să se ia în considerare procedura de efectuare a operațiunilor logice , și anume:

1. acțiuni în paranteze,
2. inversiune (negare),
3. & (conjuncție),
4. v (disjuncție)
5. \u003d\u003e (Implicație),
6. <=> (echivalenţă ).

Trid total algoritm :

1. Aflați numărul de rânduri din tabel (calculat ca 2 n, unde n - Numărul de variabile + șir de anteturi de coloane).

2. Aflați numărul de coloane (calculate ca număr de variabile + numărul operațiilor logice).

3. Setați secvența operațiilor logice.

4. Construiți o masă, indicând numele coloanelor și posibilele seturi de variabile logice inițiale.

5. Umpleți tabelul adevărului prin coloane.

6. Înregistrați răspunsul.

Exemplul 6. Construiți un tabel de adevăr pentru exprimareF \u003d (AV B) & ( ¬ A. v.¬ B.) . 1. Numărul de rânduri \u003d 2 2 (2 variabile + șir de anteturi de coloană) \u003d 5. 2. Numărul de coloane \u003d 2 variabile logice (A, B) + 5 operații logice (v.,&, ¬ , v., ¬ ) = 7. 3. Să separăm procedura de efectuare a operațiunilor: 1 5 2 43 (A. v.B) & ( ¬ A. v.¬ B) 4-5. Construiți o masă și umpleți-o în coloane: DAR v.LA ¬ DAR ¬ LA ¬ DAR v.¬ LA (A. v.B) & ( ¬ A. v.¬ B) 0 0 0 1 1 0 6. Răspuns: F \u003d 0, la a \u003d b \u003d 0 și A \u003d B \u003d 1 Exemplul 7. Construiți un tabel de adevăr pentru o expresie logică F \u003d X. v.Y & ¬ Z.. 1. Numărul de rânduri \u003d 2 3 + 1 \u003d (3 variabile + șir de anteturi de coloană) \u003d 9. 2. Numărul de coloane \u003d 3 variabile logice + 3 operații logice \u003d 6. 3. Să subliniem procedura: 3 2 1 X. v.Y & ¬ Z. 4-5. Clădirem tabelă și umple-l în coloane: ¬ Z. Y & ¬ Z. X. v.Y & ¬ Z. 0 0 0 0 0 0 1 0 6. Răspuns: F \u003d 0, când X \u003d y \u003d z \u003d0; pentru X \u003d y \u003d 0 și Z \u003d.1.

Exercițiul 8.

Construiți tabelele de adevăr pentru următoarele expresii logice:

1. F \u003d (AV B) & ( ¬ A & ¬ B).

2. f \u003d x & ¬ Y. v.Z.

Verificați-vă (proprietate de răspuns)

Notă!

Seturi de variabile de intrare, pentru a evita erorile, se recomandă lista după cum urmează:

A) Împărțiți coloana de valori ale primei variabile în jumătate și umpleți partea superioară a coloanei cu zero și unitățile inferioare;

B) împărțiți coloana în patru părți în patru părți și umpleți fiecare trimestru alternativ de zerouri și unități, începând cu un grup de zerouri;

C) Continuați să împărțiți coloanele variabilelor ulterioare cu 8, 16 etc. Piese și umplerea acestora de grupuri de zerouri sau unități până când grupurile de zerouri și unități vor consta dintr-un singur simbol.

Tautologie - formula ideală adevărată. adevărat " ("1

Contradicţie - formula identică falsă , sau formula rezultată " fals " ("0 ") Pentru orice valori ale variabilelor care sunt incluse în el.

Echipamente de formule - două formule DAR și LA Luând aceleași valori, cu aceleași valori ale variabilelor incluse în ele.Echilibrabilitatea celor două formule ale algebrei logice este indicată de simbol.

Definiție 1.

Funcția logică - Funcția, ale cărei variabile iau una dintre cele două valori: $ 1 $ sau $ 0 $.

Orice funcție logică poate fi setată folosind tabelul Adevăr: setul de toate argumentele posibile este înregistrat în partea stângă a tabelului, iar valorile corespunzătoare ale funcției logice sunt pe partea dreaptă.

Definiția 2.

Tank Adevăr. - Tabel care arată ce valori vor avea o expresie compozită cu toate seturile posibile ale valorilor expresiilor simple incluse în el.

Definiția 3.

Echivalent Expresiile logice sunt numite, ultimele coloane ale meselor de adevăr sunt coincis. Equifiabilitatea este notată de marca $ "\u003d" $.

La elaborarea unui tabel de adevăr, este important să luați în considerare următoarea procedură de efectuare a operațiunilor logice:

Imaginea 1.

Prioritatea în execuția procedurii de efectuare a operațiunilor se bucură de paranteze.

Algoritmul pentru construirea Tabelului de Adevăr al funcției logice

Determinați numărul de rânduri: linii \u003d $ 2 ^ n + 1 $ (pentru rândul de titlu), $ n $ este numărul de expresii simple. De exemplu, pentru funcțiile a două variabile, există o combinație de 2 $ ^ 2 \u003d 4 $ de seturi de valori variabile pentru funcțiile a trei variabile - $ 2 ^ 3 \u003d $ 8, etc.

Determinați numărul de coloane: numărul de coloane \u003d Numărul de variabile + numărul de operații logice. La determinarea numărului de operațiuni logice, se ia în considerare și procedura de executare a acestora.

Completați coloanele prin rezultatele operațiunilor logice Într-o secvență specifică, având în vedere tabelul de adevăr al operațiunilor logice de bază.

Figura 2.

Exemplul 1.

Faceți un tabel de adevăr al expresiei logice $ d \u003d \\ bar (a) \\ vee (b \\ vee c) $.

Decizie:

Determinați numărul de rânduri:

numărul de șiruri de caractere \u003d $ 2 ^ 3 + 1 \u003d 9 $.

Numărul de variabile este de $ 3 $.

1. inversiune ($ \\ bar (a) $);
2. disjuncția, pentru că Este în paranteze ($ b \\ vee c $);

3. disjuncția ($ \\ Supline (A) \\ Vee \\ Stânga (b \\ vee c \\ dreapta) $) este o expresie logică dorită.

   Coloană = $3 + 3=6$.

Umpleți tabelul, având în vedere tabelul de adevăr al operațiunilor logice.

Figura 3.

Exemplul 2.

Conform acestei expresii logice, construiți un tabel de adevăr:

Decizie:

Determinați numărul de rânduri:

Numărul de expresii simple este $ n \u003d 3 dolari, înseamnă

linii = $2^3 + 1=9$.

Definim numărul de coloane:

Numărul de variabile este de $ 3 $.

Numărul de operațiuni logice și secvența acestora:

1. negare ($ \\ bar (c) $);
2. disjuncția, pentru că Este în paranteze ($ a \\ vee b $);
3. conjuncție ($ (a \\ vee b) \\ bigwedge \\ supraline (c) $);
4. negare, care denotă $ f_1 $ ($ \\ supraline ((a \\ Vee b) \\ bigwedge \\ supraline (c)) $);
5. disjuncția ($ a \\ Vee C $);
6. conjuncție ($ (a \\ vee c) \\ bigwedge b $);
7. denial, care denotă $ f_2 $ ($ \\ supraline ((a \\ Vee c) \\ bigwedge b) $);

8. dysiauncinea este o funcție logică dorită ($ \\ overline ((a \\ vee b) \\ bigwedge \\ supraline (c)) \\ vee \\ overline ((a \\ vee c) \\ bigwedge b) $).

Construcția de funcții de adevăr și logice

Funcția logică - Aceasta este o funcție în care variabilele iau doar două valori: o unitate logică sau zero logică. Adevărul sau fartea judecăților complexe este funcția adevărului sau a falsității simplă. Această funcție se numește funcția de lapte a hotărârii F (A, B).

Orice funcție logică poate fi specificată utilizând tabelul adevărului, în partea stângă a cărei set de argumente este înregistrată și valorile corespunzătoare ale funcției logice sunt înregistrate. La construirea unui tabel de adevăr, este necesar să se țină seama de procedura de efectuare a operațiunilor logice.

Procedura de efectuare a operațiunilor logice În termeni logici complexi:

1. Inversiune;

2. conjuncție;

3. Disjuncția;

4. Implicație;

5. Echivalența.

Pentru a modifica procedura specificată pentru efectuarea operațiilor, sunt utilizate paranteze.

Algoritmul pentru construirea de mese de adevăr pentru expresii complexe :

numărul de rânduri \u003d 2 n. + String pentru antet ,

n - numărul de declarații simple.

numărul de coloane \u003d numărul de variabile + numărul de operațiuni logice ;

· Determinați numărul de variabile (expresii simple);

· Determinați numărul de operațiuni logice și secvența execuției acestora.

3. Umpleți coloanele prin rezultatele operațiunilor logice din secvența desemnată, luând în considerare tabelele de adevăr ale operațiunilor logice de bază.

Exemplu: Faceți un tabel de adevăr al unei expresii logice:

D. \u003d A & (B.V.C.)

Decizie:

1. Determinați numărul de rânduri:

la intrare, trei declarații simple: A, B, cu, prin urmare, n \u003d 3 și numărul de rânduri \u003d 23 +1 \u003d 9.

2. Determinați numărul de coloane:

expresii simple (variabile): A, B, cu;

rezultatele intermediare (operații logice):

DAR - inversiune (denotată prin E.);

B.V.C. - Funcționarea disjuncției (denotăm prin F.);

precum și valoarea finală dorită a expresiei aritmetice:

D. \u003d A & (B.V.C.) . adică D. = E. & F. - Aceasta este o operațiune de conjuncție.

Umpleți coloanele ținând cont de tabelele adevărului operațiunilor logice.

font-dimensiune: 12.0pt "\u003e Construiți o funcție logică în funcție de tabelul său de adevăr:

Să încercăm să rezolvăm sarcina opusă. Lăsați mesa de adevăr pentru o funcție logică z (x, y):

font-dimensiune: 12.0pt "\u003e 1.

De la două rânduri, obținem o disjuncție de două elemente: () V. () .

Fiecare element logic din această disjuncție va fi înregistrat sub formă de conjuncție a argumentelor funcției X și Y: ( X. & Y.) V. ( X. & Y.).