Conferencia número 1
MATRIZ
Definición y tipos de matrices
Definición 1.1.Matriz Talla T NS llamada tabla rectangular de números (u otros objetos) que contienen metro líneas y norte columnas.
Las matrices se indican con letras mayúsculas (mayúsculas) del alfabeto latino, por ejemplo, A B C, ... Los números (u otros objetos) que componen la matriz se denominan elementos matrices. Los elementos de la matriz pueden ser funciones. Para designar los elementos de la matriz se utilizan letras minúsculas del alfabeto latino con doble indexación: aij, donde el primer índice I(leer - y) - número de línea, segundo índice j(leer - zhi) – número de columna.
Definición 1.2. La matriz se llama cuadrado n el orden si el número de sus filas es igual al número de columnas y es igual al mismo número NS
Para una matriz cuadrada, se introducen los conceptos principal y secundaria diagonales.
Definición 1.3.Diagonal principal una matriz cuadrada consta de elementos con los mismos índices, es decir Estos son los elementos: a 11, un 22, ...
Definición 1.4. diagonal si todos los elementos, excepto los elementos de la diagonal principal, son iguales a cero
Definición 1.5. La matriz cuadrada se llama triangular si todos sus elementos ubicados debajo (o arriba) de la diagonal principal son iguales a cero.
Definición 1.6. Matriz cuadrada NS- El orden, en el que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y el resto son iguales a cero, se llama soltero matriz norte-th orden, y se denota por la letra MI.
Definición 1.7. Una matriz de cualquier tamaño se llama nulo, o matriz nula, si todos sus elementos son iguales a cero.
Definición 1.8. Una matriz de una fila se llama fila de matriz.
Definición 1.9. Una matriz de una sola columna se llama matriz de columna.
A = (a 11 a 12 ... a 1n) - matriz de filas;
Definición 1.10. Dos matrices A y V del mismo tamaño se llaman igual, si todos los elementos correspondientes de estas matrices son iguales entre sí, es decir aij = bij para cualquier I= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, norte.
Operaciones matriciales
Se pueden realizar varias operaciones con matrices, así como con números. Las principales operaciones con matrices son la suma (resta) de matrices, la multiplicación de una matriz por un número y la multiplicación de matrices. Estas operaciones son similares a las operaciones con números. Una operación específica es la transposición de matrices.
Multiplicar una matriz por un número
Definición 1.11.El producto de la matriz A por el númeroλ se llama matriz B = A, cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de la matriz A por el número λ .
Ejemplo 1.1. Encuentra el producto de una matriz A = 
al número 5.
Solución... .◄ 5A = 
La regla de multiplicar una matriz por un número.: para multiplicar una matriz por un número, todos los elementos de la matriz deben multiplicarse por este número.
Consecuencia.
1. El factor común de todos los elementos de la matriz se puede sacar del signo de la matriz.
2. El producto de la matriz A hay una matriz cero para el número 0: A· 0 = 0 .
Adición de matriz
Definición 1.12.La suma de dos matrices A y B el mismo tamaño t n llamado la matriz CON= A+ V, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de la matriz A y matrices V, es decir. cij = aij + bij por yo = 1, 2, ..., metro; j= 1, 2, ..., norte(es decir, las matrices se agregan elemento por elemento).
Consecuencia. Suma de matriz A con una matriz cero es igual a la matriz original: A + O = A.
1.2.3. Resta de matrices
Diferencia de dos matrices el mismo tamaño se determina a través de las operaciones anteriores: A - B = A + (- 1) V.
Definición 1.13. Matriz –A = (- 1)A llamado opuesto matriz UNA.
Consecuencia. La suma de las matrices opuestas es igual a la matriz cero : A + (–A) = O.
Multiplicación de matrices
Definición 1.14.Multiplicación de la matriz A por la matriz B se determina cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Luego producto de matrices tal matriz se llama , cada elemento del cual cij es igual a la suma de los productos de los elementos I-a fila de la matriz A en los elementos correspondientes j a columna de la matriz B.
Ejemplo 1.4. Calcular el producto de matrices А В, dónde
A = 
= 
Ejemplo 1.5. Encontrar productos Matrix AB y VIRGINIA, dónde
Observaciones. De los ejemplos 1.4–1.5 se deduce que la operación de multiplicación de matrices tiene algunas diferencias con la multiplicación de números:
1) si el producto de matrices AB existe, luego de reordenar los factores en lugares, el producto de matrices Virginia puede no existir. De hecho, en el ejemplo 1.4, el producto de las matrices AB existe, pero el producto BA no existe;
2) incluso si las obras AB y Virginia existen, entonces el resultado del producto puede ser matrices de diferentes tamaños. En el caso de que ambos funcionen AB y Virginia ambos existen - matrices del mismo tamaño (esto es posible solo cuando se multiplican matrices cuadradas del mismo orden), entonces la ley conmutativa (transponible) de la multiplicación aún no se cumple, aquellos. A B B A, como en el ejemplo 1.5;
3) sin embargo, si multiplicamos la matriz cuadrada A en la matriz de identidad mi del mismo orden, entonces AE = EA = A.
Por tanto, la matriz identidad en la multiplicación de matrices juega el mismo papel que el número 1 en la multiplicación de números;
4) el producto de dos matrices distintas de cero puede ser igual a la matriz cero, es decir, por el hecho de que A B= 0, no se sigue que A = 0 o B = 0.
Este tema cubrirá operaciones como la suma y resta de matrices, la multiplicación de una matriz por un número, la multiplicación de una matriz por una matriz y la transposición de una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.
Suma y resta de matrices.
La suma $ A + B $ de las matrices $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ y $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ se llama matriz $ C_ (m \ times n) = (c_ (ij)) $, donde $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ para todo $ i = \ overline (1, m) $ y $ j = \ overline ( 1, n) $.
Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:
La diferencia $ AB $ de matrices $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ y $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ es la matriz $ C_ (m \ times n ) = (c_ (ij)) $, donde $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ para todo $ i = \ overline (1, m) $ y $ j = \ overline (1, n PS
Explicación de la entrada $ i = \ overline (1, m) $: mostrar ocultar
La notación "$ i = \ overline (1, m) $" significa que el parámetro $ i $ varía de 1 a m. Por ejemplo, el registro $ i = \ overline (1,5) $ dice que el parámetro $ i $ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.
Cabe señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones intuitivamente claras, porque significan, de hecho, solo la suma o resta de los elementos correspondientes.
Ejemplo 1
Se dan tres matrices:
$$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (array) \ right) \; \; B = \ left (\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (array) \ right); \; \; F = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ end (array) \ right). $$
¿Puedes encontrar la matriz $ A + F $? Encuentre las matrices $ C $ y $ D $ si $ C = A + B $ y $ D = A-B $.
La matriz $ A $ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $ A $ es $ 2 \ veces 3 $) y la matriz $ F $ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de la matriz $ A $ y $ F $ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $ A + F $ para estas matrices no está definida.
Los tamaños de las matrices $ A $ y $ B $ son los mismos, es decir, los datos de la matriz contienen un número igual de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellos.
$$ C = A + B = \ left (\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matriz) \ right) + \ left (\ begin (matriz ) (ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \ end (matriz) \ derecha) = \\ = \ izquierda (\ begin (matriz) (ccc) -1 + 10 y -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (matriz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \ end (matriz) \ derecha) $$
Encuentre la matriz $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ left (\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ end (matriz) \ right) - \ left (\ begin (matriz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ end (arreglo) \ right) = \\ = \ left (\ begin (arreglo) (ccc) -1-10 y -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (matriz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ end (matriz) \ right) $$
Respuesta: $ C = \ left (\ begin (matriz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ end (matriz) \ right) $, $ D = \ left (\ begin (matriz) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \ end (matriz) \ derecha) $.
Multiplicación de una matriz por un número.
El producto de la matriz $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ por el número $ \ alpha $ es la matriz $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $, donde $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ para todos los $ i = \ overline (1, m) $ y $ j = \ overline (1, n) $.
En pocas palabras, multiplicar una matriz por un cierto número significa multiplicar cada elemento de una matriz dada por ese número.
Ejemplo No. 2
La matriz se da: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Encuentre las matrices $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ y $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ left (\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin ( matriz) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (matriz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right). $$
La notación $ -A $ es una forma abreviada de $ -1 \ cdot A $. Es decir, para encontrar $ -A $, debe multiplicar todos los elementos de la matriz $ A $ por (-1). De hecho, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $ A $ cambiará al contrario:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ left (\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (matriz) \ right) = \ izquierda (\ begin (matriz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (matriz) \ right) $$
Respuesta: $ 3 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end (array) \ right); \; -5 \ cdot A = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end (array) \ right); \; -A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ end (array) \ right) $.
Producto de dos matrices.
La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, incomprensible. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.
La matriz $ C_ (m \ times k) = (c_ (ij)) $, para la cual cada elemento de $ c_ (ij) $ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila del matriz $ A $ por los elementos de la j-ésima columna de la matriz $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \ limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ; \; i = \ overline (1, m), j = \ overline (1, n). $$
Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debe prestar atención de inmediato al hecho de que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $ A $ por la matriz $ B $, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $ A $ sea igual al número de filas de la matriz $ B $ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $ A_ (5 \ times 4) $ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $ F_ (9 \ times 8) $ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $ A $ no es igual al número de filas en la matriz $ F $, es decir $ 4 \ neq 9 $. Pero puede multiplicar la matriz $ A_ (5 \ times 4) $ por la matriz $ B_ (4 \ times 9) $, ya que el número de columnas en la matriz $ A $ es igual al número de filas en la matriz $ B $. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $ A_ (5 \ times 4) $ y $ B_ (4 \ times 9) $ será la matriz $ C_ (5 \ times 9) $, que contiene 5 filas y 9 columnas:
Ejemplo No. 3
Las matrices se dan: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (matriz) \ right) $ y $ B = \ left (\ begin (matriz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (matriz) \ derecha) $. Encuentre la matriz $ C = A \ cdot B $.
Para empezar, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $ C $. Como $ A $ es $ 3 \ veces 4 $ y $ B $ es $ 4 \ veces 2 $, el tamaño de $ C $ es $ 3 \ veces 2 $:
Entonces, como resultado del producto de las matrices $ A $ y $ B $, deberíamos obtener la matriz $ C $, que consta de tres filas y dos columnas: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ (12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (matriz) \ right) $. Si las designaciones de los elementos generan dudas, puede consultar el tema anterior: "Matrices. Tipos de matrices. Términos básicos", al comienzo del cual se explica la designación de los elementos de la matriz. Nuestro objetivo es encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $ C $.
Comencemos con $ c_ (11) $. Para obtener el elemento $ c_ (11) $, necesita encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ y la primera columna de la matriz $ B $:
Para encontrar el elemento $ c_ (11) $ en sí mismo, debe multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $ B $, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Continuemos con la solución y encontremos $ c_ (12) $. Para hacer esto, debes multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ y la segunda columna de la matriz $ B $:
Similar al anterior, tenemos:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Se encuentran todos los elementos de la primera fila de $ C $. Continúe con la segunda línea, que comienza con $ c_ (21) $. Para encontrarlo, debes multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $ A $ y la primera columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (- 2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
El siguiente elemento $ c_ (22) $ se obtiene multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Para encontrar $ c_ (31) $ multiplicamos los elementos de la tercera fila de la matriz $ A $ por los elementos de la primera columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
Y, finalmente, para encontrar el elemento $ c_ (32) $, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Se encuentran todos los elementos de la matriz $ C $, solo queda escribir que $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array ) \ derecha) $ ... O, para escribir en su totalidad:
$$ C = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (matriz) \ right) \ cdot \ left (\ begin (matriz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right). $$
Respuesta: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array) \ right) $.
Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle el hallazgo de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puede hacer lo siguiente:
$$ \ left (\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 y 90 \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (matriz) (cc) 6 \ cdot (4) +3 \ cdot (-6) & 6 \ cdot (9) +3 \ cdot (90 ) \\ -17 \ cdot (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ end (matriz) \ right) = \ left (\ begin (matriz) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \ end (matriz) \ right) $$
También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que, en general, $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Solo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutación(o desplazamientos), la igualdad $ A \ cdot B = B \ cdot A $ es verdadera. Precisamente sobre la base de la no conmutatividad de la multiplicación, se requiere indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por esta o aquella matriz: hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo, la frase "multiplica ambos lados de la igualdad $ 3E-F = Y $ por la matriz $ A $ de la derecha" significa que necesitamos obtener la siguiente igualdad: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ cdot A $.
Transpuesta con respecto a la matriz $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ se llama matriz $ A_ (n \ times m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , para elementos que $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
En pocas palabras, para obtener la matriz transpuesta $ A ^ T $, debe reemplazar las columnas en la matriz original $ A $ con las filas correspondientes de acuerdo con el siguiente principio: si la primera fila era, la primera columna se convertirá en ; había una segunda línea, habrá una segunda columna; había una tercera línea, habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, busquemos la matriz transpuesta a la matriz $ A_ (3 \ times 5) $:
En consecuencia, si la matriz original era $ 3 \ veces 5 $, entonces la matriz transpuesta es $ 5 \ veces 3 $.
Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.
Aquí se asume que $ \ alpha $, $ \ beta $ son algunos números y $ A $, $ B $, $ C $ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades, indiqué los nombres, el resto se puede nombrar por analogía con las primeras cuatro.
1er año, matemáticas superiores, estudiamos matrices y acciones básicas sobre ellos. Aquí sistematizamos las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices. ¿Dónde empezar a familiarizarse con las matrices? Por supuesto, desde las más simples: definiciones, conceptos básicos y operaciones más simples. ¡Te aseguramos que las matrices serán entendidas por todo aquel que les dedique al menos un poco de tiempo!
Definición de una matriz
Matriz Es una mesa rectangular de elementos. Bueno, si en términos simples, una tabla de números.
Normalmente, las matrices se indican con letras latinas mayúsculas. Por ejemplo, la matriz A , matriz B etc. Las matrices pueden ser de diferentes tamaños: rectangulares, cuadradas, también hay matrices de fila y matrices de columna, llamadas vectores. El tamaño de la matriz está determinado por el número de filas y columnas. Por ejemplo, escribamos una matriz rectangular de tamaño metro sobre norte , dónde metro - el número de líneas, y norte - el número de columnas.
Elementos para los cuales i = j (a11, a22, .. ) forman la diagonal principal de la matriz y se denominan diagonales.
¿Qué puedes hacer con las matrices? Sumar / restar, multiplicar por un número, multiplicarse entre ellos, transponer... Ahora sobre todas estas operaciones básicas en matrices en orden.
Operaciones de suma y resta de matrices
Le advertimos de inmediato que solo puede agregar matrices del mismo tamaño. El resultado es una matriz del mismo tamaño. Sumar (o restar) matrices es fácil: solo agrega sus respectivos elementos ... Pongamos un ejemplo. Agreguemos dos matrices A y B, de dos en dos.
La resta se realiza por analogía, solo con el signo contrario.
Cualquier matriz se puede multiplicar por un número arbitrario. Para hacer esto, necesitas multiplicar cada uno de sus elementos por este número. Por ejemplo, multipliquemos la matriz A del primer ejemplo por el número 5:
Operación de multiplicación de matrices
No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí. Por ejemplo, tenemos dos matrices: A y B. Se pueden multiplicar entre sí solo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. En este caso cada elemento de la matriz resultante, que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna, será igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes en la i-ésima fila del primer factor y la j-ésima columna de el segundo... Para entender este algoritmo, escribamos cómo se multiplican dos matrices cuadradas:
Y un ejemplo con números reales. Multipliquemos matrices:
Operación de transposición de matriz
La transposición de matriz es una operación en la que se intercambian las filas y columnas correspondientes. Por ejemplo, transpongamos la matriz A del primer ejemplo:
Determinante de una matriz
Determinante, pero determinante es uno de los conceptos básicos del álgebra lineal. Érase una vez la gente inventaba ecuaciones lineales, y detrás de ellas tenían que inventar un determinante. Como resultado, tienes que lidiar con todo esto, ¡así que, el último chorro!
Un determinante es una característica numérica de una matriz cuadrada, que se necesita para resolver muchos problemas.
Para calcular el determinante de la matriz cuadrada más simple, debe calcular la diferencia entre los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria.
El determinante de una matriz de primer orden, es decir, que consta de un elemento, es igual a este elemento.
¿Qué pasa si la matriz es de tres por tres? Aquí ya es más complicado, pero puedes afrontarlo.
Para tal matriz, el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los productos de los elementos que se encuentran en triángulos con un borde paralelo a la diagonal principal, de los cuales el producto de los elementos de se resta la diagonal secundaria y el producto de los elementos que se encuentran en los triángulos con una cara de la diagonal secundaria paralela.
Afortunadamente, rara vez es necesario calcular determinantes de matrices grandes en la práctica.
Aquí hemos cubierto las operaciones básicas sobre matrices. Por supuesto, en la vida real, ni siquiera se puede encontrar un indicio de un sistema matricial de ecuaciones, o viceversa, para enfrentar casos mucho más difíciles en los que realmente tiene que romperse la cabeza. Es para estos casos que existe un servicio profesional para estudiantes. Solicite ayuda, obtenga una solución detallada y de alta calidad, disfrute de su éxito académico y de su tiempo libre.
Esta guía metodológica te ayudará a aprender a realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, hallar la matriz inversa. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, se dan ejemplos relevantes, para que incluso una persona no preparada pueda aprender a realizar acciones con matrices. Para la autocomprobación y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita >>>.
Intentaré minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares las explicaciones son posibles "con los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no critiquen, nuestra tarea es aprender a realizar acciones con matrices.
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Matrix es una mesa rectangular de cualquier elementos... Como elementos consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO Es un término. Es aconsejable recordar el término, se encontrará a menudo, no es por casualidad que utilicé negrita para resaltarlo.
Designacion: las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas
Ejemplo: Considere una matriz de dos por tres:
Esta matriz consta de seis elementos:
Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí mismos, es decir, no se trata de ninguna resta: 
¡Es solo una tabla (conjunto) de números!
También estaremos de acuerdo no reorganizar números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. Cada número tiene su propia ubicación y no se puede barajar.
La matriz en cuestión tiene dos filas: 
y tres columnas: 
ESTÁNDAR: cuando se habla del tamaño de la matriz, entonces en primer lugar indique el número de filas, y solo entonces - el número de columnas. Acabamos de desarmar una matriz de dos por tres.
Si el número de filas y columnas de la matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, por ejemplo: 
- una matriz de tres por tres.
Si la matriz tiene una columna o una fila, estas matrices también se denominan vectores.
De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela, consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas "x" y "juego" :. Esencialmente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué el orden de los números es importante: y son dos puntos completamente diferentes en el plano.
Ahora vayamos directamente al estudio. acciones con matrices:
1) Primera acción. Eliminar el menos de la matriz (agregar el menos a la matriz).
De vuelta a nuestra matriz 
... Como habrá notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.
Mueva el signo menos fuera de la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:
En cero, como comprenderá, el signo no cambia, cero, es cero en África.
Ejemplo inverso: 
... Se ve feo.
Agreguemos un signo menos a la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:
Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque hay un presagio popular matemático: Cuantas más desventajas, más confusión y errores.
2) Segunda acción. Multiplicar una matriz por un número.
Ejemplo:
Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada el elemento de la matriz se multiplica por el número dado. En este caso, los tres primeros.
Otro ejemplo útil:
- multiplicación de matrices por una fracción
Veamos qué hacer primero. NO HAY NECESIDAD:
NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo complica más acciones con la matriz, y en segundo lugar, dificulta que el docente verifique la solución (especialmente si 
- la respuesta final de la tarea).
Y especialmente, NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por menos siete:
Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que las fracciones decimales con coma en matemáticas superiores se intentan de todas las formas posibles para evitarlas.
Lo único que deseable hacer en este ejemplo es introducir un signo menos en la matriz:
Pero si TODOS los elementos de la matriz eran divisibles por 7 sin un resto, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.
Ejemplo:
En este caso, es posible y NECESARIO multiplicar todos los elementos de la matriz por, ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin un resto.
Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe el concepto escolar de "división". En lugar de la frase "divide esto por esto", siempre puedes decir "multiplica esto por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.
3) Tercera acción. Transposición de matriz.
Para transponer una matriz, debe escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.
Ejemplo:
Transponer matriz
Aquí solo hay una línea y, de acuerdo con la regla, debe escribirse en una columna:
- matriz transpuesta.
Una matriz transpuesta generalmente se indica con un superíndice o un guión en la parte superior derecha.
Ejemplo paso a paso:
Transponer matriz 
Primero, reescribimos la primera fila en la primera columna:
Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna: 
Finalmente, reescribimos la tercera línea en la tercera columna:
Listo. En términos generales, transponer significa girar la matriz hacia un lado.
4) Acción cuatro. Suma (diferencia) de matrices.
La suma de las matrices es una operación simple.
NO TODOS LOS MATRICES PUEDEN PLEGARSE. Para realizar la suma (resta) de matrices, es necesario que sean del mismo TAMAÑO.
Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ninguna otra. 
Ejemplo:
Agregar matrices 
y 
Para agregar matrices, es necesario agregar sus elementos correspondientes:
Para la diferencia de matrices, la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.
Ejemplo:
Encuentra la diferencia de matrices 
, 
¿Y cómo resolver este ejemplo más fácilmente para no confundirse? Es recomendable deshacerse de las desventajas innecesarias, para ello agregamos una menos a la matriz:
Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe el concepto escolar de "resta". En lugar de decir "reste esto de esto", siempre puede decir "agregue un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.
5) Acción cinco. Multiplicación de matrices.
¿Qué matrices se pueden multiplicar?
Para que la matriz se multiplique por la matriz, necesita de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.
Ejemplo:
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?
Esto significa que puede multiplicar estas matrices.
Pero si las matrices se reorganizan, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya es imposible!
Por tanto, la multiplicación no es posible:
No es tan raro encontrar tareas con un truco cuando se le pide a un estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.
Cabe señalar que en varios casos es posible multiplicar matrices de cualquier manera.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles
