1er curso, matemáticas más altas, estudiamos matrianos y acciones básicas sobre ellos. Aquí sistematizamos las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices. ¿Cómo iniciar un conocido con las matrices? Por supuesto, con las definiciones más simples, conceptos básicos y operaciones más simples. ¡Aseguramos que las matrices entenderán todo lo que les dará al menos un poco de tiempo!
Definición de la matriz
La matriz - Esta es una tabla de elementos rectangulares. Bueno, si un lenguaje simple es una tabla de números.
Por lo general, las matrices son designadas por las letras latinas del capital. Por ejemplo, la matriz. UNA. , la matriz B. etc. Las matrices pueden ser de diferentes tamaños: rectangular, cuadrado, también hay matrices y matrices de columna, llamadas vectores. El tamaño de la matriz está determinado por el número de filas y columnas. Por ejemplo, escribe una matriz de tamaño rectangular mETRO. sobre el nORTE. dónde mETRO. - Número de líneas, y nORTE. - Número de columnas.
Elementos para los cuales i \u003d j. (a11, A22, .. ) Formando la diagonal principal de la matriz, y se denominan diagonales.
¿Qué se puede hacer con las matrices? Pliegue / deducir, multiplica por número, multiplicar entre ellos mismos, transponer. Ahora sobre todas estas operaciones básicas sobre matrices en orden.
Operaciones de suma y resta de matrices.
Advirtió inmediatamente que puede agregar solo matrices del mismo tamaño. Como resultado, la matriz del mismo tamaño será. Para plegar (o deducir) la matriz es simple - Simplemente plegó sus elementos correspondientes. . Damos un ejemplo. Realice la adición de dos matrices a y en dos dos.
La resta se realiza mediante analogía, solo con el signo opuesto.
Puede multiplicar cualquier matriz en un número arbitrario. Para hacer esto, necesitas multiplicar por este número cada elemento. Por ejemplo, multiplique la matriz A desde el primer ejemplo 5:
Matriz de operación de multiplicación
No todas las matrices serán posibles multiplicarse. Por ejemplo, tenemos dos matrices - A y B. Pueden multiplicarse entre sí solo si el número de columnas de la matriz es tan igual al número de líneas de la matriz B. Al mismo tiempo cada elemento de la matriz resultante, de pie en la fila I-TH y la columna J-M, será igual a la cantidad de productos de los elementos correspondientes en la primera línea del primer factor y la columna J-M de la segunda.. Para entender este algoritmo, anote, ya que se multiplican dos matrices cuadradas:
Y un ejemplo con números reales. Multiplicar la matriz:
Matriz de operación de transposición
La transposición de la matriz es una operación cuando las líneas y columnas correspondientes se cambian en lugares. Por ejemplo, transportamos la Matriz A desde el primer ejemplo:
El determinante de la matriz.
El determinante, sobre el determinante, uno de los conceptos básicos de un álgebra lineal. Una vez que las personas se les ocurrió ecuaciones lineales, y el determinante tuvo que inventarlos. Como resultado, tiene que lidiar con todo esto, ¡así, el último idiota!
El determinante es la característica numérica de la matriz cuadrada que se necesita para resolver muchas tareas.
Para calcular el determinante de la matriz cuadrada más simple, es necesario calcular la diferencia en las obras de los elementos de las diagonales principales y laterales.
El determinante de la matriz de primer orden, es decir, que consiste en un elemento es igual a este elemento.
¿Y si la matriz es de tres a tres? Ya es más complicado aquí, pero puedes hacer frente.
Para tal matriz, el valor del determinante es igual a la cantidad de productos de los elementos de la diagonal principal y las obras de los elementos de los triángulos con la línea de la diagonal principal paralela, en la que el producto de los elementos de El lado diagonal y el producto de los elementos que se encuentran en triángulos con la faceta paralela a la diagonal se restan.
Afortunadamente, para calcular los determinantes de las matrices de gran tamaño en la práctica son raras.
Aquí observamos las operaciones básicas en matrices. Por supuesto, en la vida real, nunca es posible cumplir incluso con un consejo de un sistema de matrices de ecuaciones o viceversa - encuentre casos mucho más complejos cuando tiene que romper realmente la cabeza. Es para tales casos que hay un servicio profesional de estudiantes. Ayuda de contacto, obtenga una solución detallada y de alta calidad, disfrute del aprendizaje y el tiempo libre.
Conferencia # 1.
Matrianos
Definición y tipos de matrices.
Definición 1.1.Matriztamaño t. pAGllamada tabla rectangular de números (u otros objetos) que contienen mETRO.filas I. nORTE.columnas.
Las matrices son designadas (capitalizadas) letras del alfabeto latino, por ejemplo, A B C, ...Números (u otros objetos), matriz de componentes, se llaman elementosmatriz. Los elementos de la matriz pueden ser funciones. Para denotar los elementos de la matriz, se utilizan las letras minúsculas del alfabeto latino con doble indexación: aijdonde el primer índice es i.(Lectura - y) - Número de fila, segundo índice j.(Leer - ZH) – número de columna.
Definición 1.2.La matriz se llama cuadrado p-orden, si el número de sus filas es igual al número de columnas e igualmente el mismo número pAG
Se introducen conceptos para una matriz cuadrada. principal y adversodiagonal.
Definición 1.3.Inicio Diagonalla matriz cuadrada consiste en elementos que tienen los mismos índices, es decir, .. Estos son artículos: uNA.11, un 22, ...
Definición 1.4. diagonalSi todos los elementos, excepto los elementos de la diagonal principal son cero.
Definición 1.5.Se llama matriz cuadrada triangularSi todos sus elementos a continuación (o más) la diagonal principal son cero.
Definición 1.6.Matriz cuadrada pAG-orden, en el que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno, y el resto son cero, llamado Únicomatriz nORTE.-o orden y está indicado por la letra. MI.
Definición 1.7.La matriz de cualquier tamaño se llama. nulo,o cero matrizsi todos sus elementos son cero.
Definición 1.8.La matriz que consiste en una línea se llama fila de matriz.
Definición 1.9.La matriz que consiste en una columna se llama matriz de columna.
A \u003d (a11 pero12 ... pero1n) -matriz de cadena;
Definición 1.10.Dos matrices PEROy ENtamaños idénticos llamados igualsi todos los elementos respectivos de estas matrices son iguales, es decir, aIJ \u003d BIJ.para cualquiera i.= 1, 2, ..., t; J \u003d.1, 2,…, nORTE..
Operaciones en matrices.
Sobre las matrices, por encima de los números, puede producir una serie de operaciones. Las principales operaciones sobre las matrices son la adición (resta) de matrices, multiplicando la matriz al número, multiplicación de matrices. Estas operaciones son similares a las operaciones sobre números. Operación específica - Transposición de la matriz.
Multiplicación de la matriz al número.
Definición 1.11.El trabajo de la matriz y el número.λ se llama la matriz En \u003d a,los elementos de los cuales se obtienen al multiplicar elementos de estera de arroz. PEROpor número λ. .
Ejemplo 1.1.Encuentra el trabajo de la matriz. A \u003d. 
Número 5.
Decisión. .◄ 5a \u003d. 
Matriz de la regla de multiplicación por número: Para multiplicar la matriz al número, debe multiplicar este número todos los elementos de la matriz.
Corolario.
1. El multiplicador total de todos los elementos de la matriz se puede sacar para el signo de la matriz.
2. Trabajo de la matriz. PEROpor número 0 hay una matriz cero: PERO· 0 = 0 .
Adición de matrices
Definición 1.12.La suma de dos matrices a y enmismo tamaño t N.llamado la matriz DE= PERO+ ENCuyos elementos se obtienen mediante la adición de los elementos correspondientes de la matriz. PEROy matriz EN, es decir. cIJ \u003d AIJ + BIJpor i \u003d.1, 2, ..., mETRO.; j.= 1, 2, ..., nORTE.(es decir, las matrices son abordadas alternativamente).
Corolario.La cantidad de la matriz PEROcon una matriz cero es igual a la matriz original: A + O \u003d A.
1.2.3. Resta de matrices
La diferencia de dos matrices.el mismo tamaño se determina a través de las operaciones previas a la operación: A - b \u003d a + (-1)EN.
Definición 1.13.La matriz -A \u003d (-1)PEROllamada opuestomatriz PERO.
Corolario.La suma de matrices opuestas es igual a una matriz cero. : A + (-A) \u003d O.
Multiplicación de matriz
Definición 1.14.Multiplicación de la matriz a en la matriz ense determina cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de cadenas de la segunda matriz. Luego trabajo de matricesesta matriz se llama , cada elemento de que cIJ.igual a la cantidad de obras de elementos i.- Líneas de la matriz. PEROen los elementos apropiados j.-Para columna de la matriz. B.
Ejemplo 1.4.Calcular el trabajo de matrices A · en,dónde
A \u003d. 
= 
Ejemplo 1.5.Buscar obras por matrix Auy Virginiadónde
Comentarios.A partir de los Ejemplos 1.4-1.5, se deduce que la multiplicación de matrices tiene algunas diferencias de la multiplicación de números:
1) Si el trabajo de las matrices. Auhay, luego después de la reorganización de los factores en lugares el trabajo de las matrices. V.puede que no exista. De hecho, en el Ejemplo 1.4, existe el producto de matrices AB, y el producto de WA NO existe;
2) Si incluso funciona Auy V.existen, el resultado del trabajo puede ser matrices de diferentes tamaños. En el caso de que ambos trabajos. Auy V.ambos hay matrices del mismo tamaño (esto es posible solo al multiplicar las matrices cuadradas de un orden), vista conmutativa (móvil) La ley de la multiplicación aún no se realiza,esos. Una B. En A, como en el Ejemplo 1.5;
3) Sin embargo, si multiplica una matriz cuadrada. PEROen una sola matriz MI.del mismo orden entonces AE \u003d EA \u003d A.
Por lo tanto, una sola matriz cuando multiplica las matrices juega el mismo papel que el número 1 con la multiplicación de números;
4) El producto de dos matrices no cero puede ser igual a una matriz cero, es decir, del hecho de que Una B.\u003d 0, no sigue eso A \u003d.0 o B \u003d.0.
Este manual metodológico lo ayudará a aprender a realizar. acciones con matrices.: Adición (resta) de matrices, matriz de transposición, multiplicación de matrices, encontrando la matriz inversa. Todo el material se establece en forma simple y accesible, se dan ejemplos apropiados, por lo que incluso una persona no preparada podrá aprender a realizar acciones con matrices. Para autocontrol y autoprueba, puede descargar la calculadora de matriz gratis \u003e\u003e\u003e.
Intentaré minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares, las explicaciones "en los dedos" y el uso de términos no científicos. Los amantes de una teoría sólida, por favor, no critiquen, nuestra tarea es aprende a realizar la acción con las matrices..
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La matriz es una tabla rectangular de cualquier elementos. Como elementos Consideraremos números, es decir, matrices numéricos. ELEMENTO - Este es el término. El término es recomendable recordar, a menudo se reunirá, no es por casualidad que usé una fuente gorda para resaltarla.
Designacion: Las matrices generalmente denotan las letras latinas del capital.
Ejemplo: Considere la matriz "Dos tres":
Esta matriz consta de seis elementos:
Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen en sí mismos, es decir, ninguna deducción de discurso no va: 
¡Es solo un número de mesa (set)!
También de acuerdo no reorganizar Números, a menos que se mencione lo contrario. Cada número tiene su propia ubicación, ¡y no pueden ser sacados!
La matriz bajo consideración tiene dos líneas: 
Y tres columnas: 
ESTÁNDAR: Cuando hablan de los tamaños de la matriz, entonces primero Indique el número de filas, y solo entonces, el número de columnas. Acabamos de desmontar los huesos de la matriz "Dos tres".
Si el número de filas y columnas de la matriz coincide, entonces se llama la matriz cuadrado, p.ej: 
- Matriz "Tres tres".
Si en la columna MATRIX ONE o una línea, tales matrices también se llaman vectores.
De hecho, el concepto de la matriz, sabemos de la escuela, considere, por ejemplo, un punto con las coordenadas "X" y "Igrek" :. Esencialmente, las coordenadas del punto se registran en la matriz "uno-dos". Por cierto, aquí está el ejemplo, por qué el orden de los números es importante: y son dos puntos completamente diferentes del plano.
Ahora vamos directamente al estudio. acciones con matrices.:
1) La primera acción. Alcanzando menos de la matriz (haciendo un menos en la matriz).
Volver a nuestra matriz 
. Como probablemente haya notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Es muy incómodo en términos de realizar diversas acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas menos menos, y solo se ve feo en el diseño.
Haré menos más allá de la matriz, cambiando cada elemento del signo de la matriz.:
ULYA, como entiendes, el letrero no cambia, cero, él y en África cero.
Ejemplo de alimentación: 
. Se ve feo.
Haremos un minus en la matriz, cambiando la matriz de cada elemento.:
Bueno, resultó mucho más más bonita. Y, lo que es más importante, realice cualquier acción con la matriz será más fácil. Porque hay un signo de folk matemático: cuantas más menos, cuanto más confusión y errores..
2) Acción segundo. Multiplicación de la matriz al número..
Ejemplo:
Todo es simple para multiplicar la matriz en el número, necesita todos Elemento de matriz multiplicar a un número dado. En este caso, en los tres primeros.
Otro ejemplo útil:
- Multiplicación de la matriz para la fracción.
Primero considera qué hacer NO HACER:
No es necesario que ingrese la matriz, en primer lugar, solo dificulta la acción adicional con la matriz, en segundo lugar, dificulta la decisión del maestro (especialmente si 
- Respuesta final de respuesta).
Y especialmente, NO HACER Comparte cada elemento de la matriz para menos siete:
Del artículo Matemáticas para maniquíes o empezando a comenzar.Recordamos que las fracciones decimales con una coma en matemáticas más altas están tratando de evitar todos los sentidos.
Lo único que deseable Hacer en este ejemplo: para hacer un menos en la matriz:
Pero si TODO Los elementos de la matriz se dividieron en 7. sin residuosEntonces puedes (¡y lo necesitas!) Se dividiría.
Ejemplo:
En este caso, puedes y NECESITAR Multiplique todos los elementos de la matriz, ya que todos los números de las matrices se dividen en 2 sin residuos.
Nota: En la teoría de las matemáticas más altas, la "división" del concepto de la escuela no lo es. En lugar de la frase "esto se divide en ella" siempre se puede decir "multiplicar por fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.
3) La tercera acción. Transposición de la matriz.
Para transponer la matriz, debe escribir sus líneas a la columna de la matriz transpuesta.
Ejemplo:
Matriz de transposición
La línea aquí es solo una y, según la regla, debe escribirse en la columna:
- Matriz transpuesta.
La matriz transpuesta generalmente se denota por un índice repentino o un toque en la parte superior.
Ejemplo paso a paso:
Matriz de transposición 
Primero, reescriba la primera cadena a la primera columna:
Luego vuelva a escribir la segunda cadena en la segunda columna: 
Y finalmente, reescriba la tercera cadena en la tercera columna:
Listo. Hablando aproximadamente, transponga: significa girar la matriz del lado.
4) Cuarta acción. Cantidad (diferencia) Matrices.
La cantidad de acción de matrices es simple.
No todas las matrices se pueden doblar. Para realizar la adición de matrices (restar), es necesario que sean iguales en tamaño.
Por ejemplo, si se administra la matriz "Dos a dos", entonces solo se puede plegar con la matriz "Dos dos" y no hay otro! 
Ejemplo:
Doblar las matrices 
y 
Para doblar las matrices, es necesario doblar sus elementos correspondientes.:
Por la diferencia de matrices, la regla es similar. es necesario encontrar la diferencia entre los elementos correspondientes..
Ejemplo:
Encontrar la matriz de diferencia 
, 
¿Y cómo resolver este ejemplo es más fácil de confundirse? Es recomendable deshacerse de los menores adicionales, ya que haremos un menos en la matriz:
Nota: En la teoría de las matemáticas más altas, el concepto de la escuela "resta" no lo es. En lugar de la frase "de esto, siempre es posible decir" a esto, agregue un número negativo ". Es decir, la resta es un caso especial de adición.
5) Quinta acción. Multiplicación de matriz.
¿Qué matrices se pueden multiplicar?
Para hacer la matriz, puede multiplicarse en la matriz que necesita, de modo que el número de columnas de matriz es igual al número de cadenas de matriz.
Ejemplo:
¿Es posible multiplicar la matriz en la matriz?
Por lo tanto, puede ser multiplicar los datos de la matriz.
¡Pero si las matrices reorganizan en lugares, entonces, en este caso, la multiplicación ya no es posible!
Por lo tanto, es imposible realizar la multiplicación:
No rara vez, las tareas se encuentran en las tareas cuando se propone que el estudiante multiplique la matriz, cuya multiplicación es obviamente imposible.
Cabe señalar que, en algunos casos, puede multiplicar la matriz y así, y así.
Por ejemplo, para matrices, y posiblemente multiplicación y multiplicación.
Para producir la multiplicación de la matriz A a un número arbitrario α, necesita los elementos de la matriz. UNA. Multiplica al número α, es decir. El trabajo de la matriz al número será el siguiente:
Ejemplo 1. Encuentra una matriz 3. UNA.para la matriz
Decisión. De acuerdo con la definición de multiplicar los elementos de la matriz. UNA. 3 y conseguir
Era un ejemplo completamente simple de multiplicar la matriz por un número con enteros. También hay ejemplos simples por delante, pero ya, donde entre multiplicadores y elementos de matrices, fracciones, variables (notación de letras), porque las leyes de multiplicación actúan no solo para números enteros, por lo que nunca es dañino repetirlos.
Ejemplo 2. UNA. por número α si 
,
.
UNA. En α, no olvidando que con la multiplicación de fracciones, el numerador de la primera fracción se multiplica por el número de la primera fracción y el producto está escrito en el numerador, y el denominador de la primera fracción se multiplica por el canal de la segunda. La fracción y el producto se escriben en el denominador. Al recibir el segundo elemento de la primera línea de una nueva matriz, la fracción resultante se redujo en 2, se debe hacer. Recibir
Ejemplo 3. Realizar la multiplicación de la matriz. UNA. por número α si
,
.
Decisión. Multiplica elementos de la matriz. UNA. En α, no ser destruido en la notación de la letra, sin olvidarse de dejar un menos antes del segundo elemento de la segunda línea de la nueva matriz, y recuerde que el resultado de multiplicar el número al número a ella es una unidad ( El primer elemento de la tercera línea). Recibir
.
Ejemplo 4. Realizar la multiplicación de la matriz. UNA. por número α si 
,
.
Decisión. Recordamos que con la multiplicación del número en el grado al número a los indicadores de grado se suman. Recibir
.
Este ejemplo, entre otras cosas, demuestra claramente que las acciones de la multiplicación de la matriz a un número se pueden leer (y registrar) en el orden inverso y se lo llaman por el sumiso de un factor constante delante de la matriz.
En combinación de S. adición y resta de matrices. El funcionamiento de la multiplicación de la matriz al número puede formar diferentes expresiones de matriz, por ejemplo, 5 UNA. − 3B. , 4UNA. + 2B. .
Las propiedades de multiplicación de la matriz.
(Aquí A, B - Matrices, - Números, 1 - Número uno)
1. 
2. 
3. 
Las propiedades (1) y (2) se unen la multiplicación de la matriz por un número con la adición de matrices. También hay un vínculo muy importante entre la multiplicación de la matriz al número y multiplicando las matrices en sí mismas:
i.E. Si en el trabajo de las matrices, uno de los multiplicadores se multiplica por el número, entonces todo el trabajo se multiplicará por el número.
Multiplicación de la matriz al número. - Esta es una operación en la matriz, como resultado de lo cual cada elemento se multiplica por un número valioso o complejo. Se ve lenguaje matemático es:
$$ B \u003d \\ lambda \\ CDOT A \\ Rudowarrow B_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Vale la pena señalar que la matriz resultante $ B $ como resultado debe obtenerse por la misma dimensión que la matriz inicial $ A $ ha poseído. También puede prestar atención a un hecho de este tipo: $ \\ lambda \\ CDOT A \u003d A \\ CDOT \\ lambda $, es decir, es posible cambiar los lugares multiplicadores y este trabajo no cambiará.
Será útil utilizar el funcionamiento de la multiplicación de la matriz por el número al realizar un factor común más allá de la matriz. En este caso, cada elemento de la matriz se divide en el número de $ \\ lambda $, y se elimina delante de la matriz.
Propiedades
- Ley distributiva en relación con las matrices: $$ \\ lambda \\ CDOT (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $$ Multiplicación de la cantidad de matrices al número puede ser reemplazada por la cantidad de obras de cada matriz individual a este número
- Ley distributiva relativa a números reales (integrados): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ CDOT A \u003d \\ LAMBDA A + \\ MU A Multiplicación de la matriz en la cantidad de números puede ser reemplazada por la cantidad de obras de Cada número en la matriz
- Ley asociativa: $$ \\ lambda \\ CDOT (\\ MU \\ CDOT A) \u003d (\\ lambda \\ CDOT \\ MU) A $$ Es conveniente usarlo si necesita hacer un multiplicador común de la matriz frente a ella, con Un dominio ya parado frente al coeficiente de TI
- Hay un número especial $ \\ lambda \u003d 1 $, gracias a los cuales la matriz permanece sin cambios $$ 1 \\ CDOT A \u003d A \\ CDOT 1 \u003d A $$
- La multiplicación de la matriz a cero conduce al hecho de que cada elemento de las matrices se reinicia y la matriz se convierte en el cero de la misma dimensión, que inicialmente fue: $$ 0 \\ CDOT A \u003d 0 $$
Ejemplos de soluciones
| Ejemplo |
| Se le da $ A \u003d \\ BEGIN (PMATRIX) 2 & -1 y 4 \\\\ 0 y 9 y 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ FIN (PMatrix) $ y el número real $ \\ lambda \u003d $ 2. Multiplica el número en la matriz. |
| Decisión |
|
Escribimos la operación matemática de la multiplicación y, al mismo tiempo, recordamos la regla que dice: la matriz se multiplica por el elemento numérico. $$ \\ lambda \\ CDOT A \u003d 2 \\ CDOT \\ BEGIN (PMatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 y 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ - 2 & -3 & 5 \\ Fin (PMatrix) \u003d \\ comience (pmatrix) 2 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-1) & 2 \\ CDOT 4 \\\\ 2 \\ CDOT 0 & 2 \\ CDOT 9 & 2 \\ CDOT 3 \\\\ 2 \\ CDOT (-2) & 2 \\ CDOT (-3) & 2 \\ CDOT 5 \\ ED (PMatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ comience (PMatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 y 18 y 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ Fin (PMatrix) $$ Como resultado, vemos que cada número que permanece en la matriz se duplicó hacia el valor inicial. Si es imposible resolver su tarea, envíenosla. Proporcionaremos una decisión detallada. Puede familiarizarse con el curso de cálculo y aprender información. ¡Esto ayudará de manera oportuna en el profesor! |
| Respuesta |
| $$ \\ lambda \\ cdot a \u003d \\ comience (PMatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 y 18 y 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ Fin (PMatrix) $$ |
