MATRICE ȘI DETERMINATORI

Curs 1. Matrice

1. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice

2. Algebra matricelor

Curs 2. Determinanti

1. Determinanții unei matrici pătrate și proprietățile acestora

2. Teoremele lui Laplace și de anihilare

Curs 3. Matrice inversă

1. Concept matrice inversă. Unicitatea matricei inverse

2. Algoritm pentru construirea unei matrice inverse. Proprietățile matricei inverse

4. Sarcini și exerciții

4.1. Matrici și acțiuni asupra lor

4.2. Determinanți

4.3. matrice inversă

5. Sarcini individuale

Literatură

PRELEZA 1. MATRICE

Plan

1. Conceptul de matrice. Tipuri de matrice.

2. Algebra matricelor.

Concepte cheie

Matricea diagonală.

Matrice de identitate.

Matrice zero.

Matricea simetrică.

Consistența matricei.

Transpunerea.

matrice triunghiulară.

1. CONCEPTUL DE MATRICE. TIPURI DE MATRICE

masă dreptunghiulară

format din m rânduri și n coloane, ale căror elemente sunt numere reale , unde i- Numărul de linie j- numărul coloanei la intersecția căreia se află acest element, îl vom numi numeric matrice ordonați m´n și notați .

Luați în considerare principalele tipuri de matrice:

1. Fie m = n, atunci matricea A este pătrat o matrice care are ordinul n:

A = .

Elemente formează diagonala principală, elementele formează o diagonală laterală.

diagonală , dacă toate elementele sale, cu excepția eventual a elementelor diagonalei principale, sunt egale cu zero:

A==diag( ).

Diagonală și, prin urmare, pătrată, se numește matrice singur , dacă toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1:

E = diag (1, 1, 1,…,1).

Rețineți că matricea de identitate este analogul matricei al identității în mulțimea numerelor reale și, de asemenea, subliniați că matricea de identitate este definită numai pentru matrice pătrată.

Iată exemple de matrice de identitate:

Matrici pătrate

A = , V =

sunt numite triunghiular superior și respectiv inferior.

2 . Fie m = 1, atunci matricea A este o matrice de rând, care arată astfel:

3 . Fie n=1, atunci matricea A este o matrice coloană, care arată astfel:

4 .O matrice zero este o matrice de ordinul m´n, toate elementele care sunt egale cu 0:

Rețineți că matricea nulă poate fi un pătrat, o matrice de rând sau o matrice de coloană. Matricea zero este analogul matricei lui zero în mulțimea numerelor reale.

5 . Matricea se numește transpus la o matrice și se notează dacă coloanele sale sunt rândurile corespunzătoare ale matricei.

Exemplu . Fie = , apoi = .

Rețineți că dacă matricea A are ordinul m´n, atunci matricea transpusă are ordinul n´m.

6 . Matricea A se numește simetric dacă A=A și oblic-simetric dacă A = -A.

Exemplu . Examinați simetria matricei A și B.

Atunci = , prin urmare, matricea A este simetrică, deoarece A = A.

B = , atunci = , prin urmare, matricea B este simetrică oblică, deoarece B = - B.

Rețineți că matricele simetrice și oblic-simetrice sunt întotdeauna pătrate. Orice element poate fi pe diagonala principală a unei matrice simetrice, iar elementele identice trebuie să fie simetrice față de diagonala principală, adică =. Există întotdeauna zerouri pe diagonala principală a unei matrice simetrice și simetric față de diagonala principală = - .

2. ALGEBRA MATRICELOR

Să luăm în considerare operațiile pe matrice, dar mai întâi introducem câteva concepte noi.

Două matrici A și B se numesc matrici de același ordin dacă au același număr de rânduri și același număr de coloane.

Exemplu. și sunt matrici de același ordin 2´3;

Și sunt matrici de ordine diferite, deoarece 2´3≠3´2.

Conceptele de „mai mare decât” și „mai mic decât” nu sunt definite pentru matrice.

Matricele A și B se numesc egale dacă sunt de același ordin m´n, și = , unde 1, 2, 3, …, m și j = 1, 2, 3, …, n.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Înmulțirea matricei A cu numărul λ duce la înmulțirea fiecărui element al matricei cu numărul λ:

λА = , λR.

Din această definiție rezultă că factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

Exemplu.

Fie matricea A =, apoi 5A = =.

Fie matricea B = = = 5.

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), unde λ,μ R;

3) (λА) = λА;

Suma (diferența) matricelor .

Suma (diferența) este determinată numai pentru matrice de același ordin m´n.

Suma (diferența) a două matrice A și B de ordinul m´n este matricea C de același ordin, unde = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j= 1, 2, 3, …, n.).

Cu alte cuvinte, matricea C este formată din elemente egale cu suma (diferența) elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B.

Exemplu . Aflați suma și diferența matricelor A și B.

atunci =+= =,

=–==.

Daca = , = , atunci A ± B nu există, deoarece matricele sunt de ordine diferită.

Din definițiile de mai sus rezultă proprietăți sume matriceale:

1) comutativitatea A+B=B+A;

2) asociativitatea (A+B)+C=A+(B+C);

3) distributivitatea la înmulțirea cu numărul λR: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, unde 0 este matricea zero;

5) A+(–A)=0, unde (–A) este matricea opusă matricei A;

6) (A + B) \u003d A + B.

Produsul matricelor.

Funcționarea produsului este definită nu pentru toate matricele, ci doar pentru cele consistente.

Matricele A și B sunt numite de acord , dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Deci, dacă , , m≠k, atunci matricele A și B sunt consistente, deoarece n = n, iar în ordine inversă, matricele B și A sunt inconsecvente, deoarece m ≠ k. Matricele pătrate sunt consistente atunci când au același ordin n, iar ambele A și B și B și A sunt consistente. = m.

Produsul a două matrici consistente și

A= , V=

se numește matricea C de ordinul m´k:

=∙, ale căror elemente se calculează prin formula:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

adică elementul rândului i și al coloanei j a matricei C este egal cu suma produselor tuturor elementelor din rândul i al matricei A și elementele corespunzătoare ale coloanei j. a matricei B.

Exemplu . Aflați produsul matricelor A și B.

∙===.

Produsul matricelor B∙A nu există, deoarece matricele B și A nu sunt consistente: matricea B are ordinul 2´2, iar matricea A are ordinul 3´2.

Considera proprietăți produse matrice:

1 ) necomutativitate: AB ≠ BA, chiar dacă A și B, și B și A sunt consecvente. Dacă AB = BA, atunci matricele A și B se numesc comutație (matricele A și B în acest caz vor fi neapărat pătrate).

Exemplul 1 . = , = ;

==;

==.

Evident, ≠ .

Exemplul 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Concluzie: ≠, deși matricele sunt de aceeași ordine.

2 ) pentru orice matrice pătrată, matricea de identitate E comută la orice matrice A de același ordin și, ca rezultat, obținem aceeași matrice A, adică AE = EA = A.

Exemplu .

===;

===.

3 ) A 0 = 0 A = 0.

4 ) produsul a două matrice poate fi egal cu zero, în timp ce matricele A și B pot fi nenule.

Exemplu .

= ==.

5 ) asociativitatea ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Exemplu .

Avem matrici , ;

apoi Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Astfel, am arătat prin exemplu că Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) distributivitatea în raport cu adaosul:

(A + B) ∙ C \u003d AC + BC, A ∙ (B + C) \u003d AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Exemplu.

, =.

Apoi AB =∙==

=(A∙B)= =

ÎN ∙A =∙ = ==.

Prin urmare, ( A∙B)= ÎN A .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ(λВ), λ,R.

Luați în considerare exemple tipice pentru efectuarea de operații pe matrice, adică trebuie să găsiți suma, diferența, produsul (dacă există) a două matrici A și B.

Exemplul 1 .

, .

Soluţie.

1) + = = =;

2) – ===;

3) produsul nu există, deoarece matricele A și B sunt inconsistente, totuși produsul nu există din același motiv.

Exemplul 2 .

Soluţie.

1) suma matricelor, precum și diferența lor, nu există, deoarece matricele inițiale sunt de ordine diferită: matricea A are ordinul 2´3, iar matricea B are ordinul 3´1;

2) deoarece matricele A și B sunt consistente, atunci produsul matricelor A ּ B există:

·=·= =,

produsul matriceal В ּ А nu există, deoarece matricele și sunt inconsistente.

Exemplul 3

Soluţie.

1) suma matricelor, precum și diferența lor, nu există, deoarece matricele inițiale sunt de ordine diferită: matricea A are ordinul 3´2, iar matricea B are ordinul 2´3;

2) produsul ambelor matrici АּВ și ВּА există, deoarece matricele sunt consistente, dar rezultatul unor astfel de produse vor fi matrici de ordine diferite: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

În acest caz, AB ≠ BA.

Exemplul 4 .

Soluţie.

1) +===,

2) –= ==;

3) produs ca matrice A ּ ÎN, și ÎN ּ A, există deoarece matricele sunt consistente:

·==·= =;

·==·= =

=≠, adică matricele A și B sunt necomutabile.

Exemplul 5 .

Soluţie.

1) +===,

2) –===;

3) produsul ambelor matrici АּВ și ВּА există, deoarece matricele sunt consistente:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, adică aceste matrici fac naveta.

CURTEA 2. DETERMINANȚI

Plan

1. Determinanții unei matrici pătrate și proprietățile acestora.

2. Teoremele lui Laplace și de anihilare.

Concepte cheie

Complement algebric al elementului determinant.

Minor al elementului determinant.

Determinant de ordinul doi.

Determinant de ordinul trei.

Determinant de ordine arbitrară.

teorema lui Laplace.

Teorema anulării.

1. DETERMINANȚII UNEI MATRICE PĂTRATĂ ȘI PROPRIETĂȚILE LOR

Fie A o matrice pătrată de ordinul n:

A= .

Fiecare astfel de matrice poate fi asociată cu un singur număr real, numit determinant (determinant) al matricei și notat

Det A= ∆= .

Rețineți că determinantul există numai pentru pătrat matrici.

Luați în considerare regulile de calculare a determinanților și proprietățile lor pentru matrice pătrată de ordinul doi și al treilea, pe care le vom numi pentru concizie determinanții de ordinul doi și, respectiv, al treilea.

Determinant de ordinul doi matricea este un număr determinat de regula:

adică, determinantul de ordinul doi este un număr egal cu produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare.

Exemplu .

Atunci == 4 3 - (–1) 2=12 + 2 = 14.

Trebuie amintit că parantezele rotunde sau pătrate sunt folosite pentru a desemna matrice, iar pentru determinant - linii verticale. O matrice este un tabel de numere, iar un determinant este un număr.

Din definiția unui determinant de ordinul doi rezultă că proprietăți :

1. Determinantul nu se va schimba la înlocuirea tuturor rândurilor sale cu coloanele corespunzătoare:

2. Semnul determinantului se schimbă în opus atunci când rândurile (coloanele) determinantului sunt rearanjate:

3. Factorul comun al tuturor elementelor rândului (coloanei) determinantului poate fi scos din semnul determinantului:

4. Dacă toate elementele unui rând (coloană) a determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

5. Determinantul este egal cu zero dacă elementele corespunzătoare ale rândurilor (coloanelor) sale sunt proporționale:

6. Dacă elementele unui rând (coloană) ale determinantului sunt egale cu suma a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți:

=+, =+.

7. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă elementele rândului (coloanei) sale sunt adăugate (scăzute) cu elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) înmulțite cu același număr:

=+=,

deoarece =0 prin proprietatea 5.

Proprietățile rămase ale determinanților vor fi luate în considerare mai jos.

Să introducem conceptul de determinant de ordinul trei: al treilea Ordin o matrice pătrată se numește număr

∆ == detA= =

=++– – – ,

adică fiecare termen din formula (2) este produsul elementelor determinantului, luate unul și numai unul din fiecare rând și fiecare coloană. Pentru a vă aminti ce produse din formula (2) să luați cu semnul plus și care dintre ele cu semnul minus, este util să cunoașteți regula triunghiului (regula Sarrus):

Exemplu . Calculați determinant

==

De remarcat faptul că proprietățile determinantului de ordinul doi considerat mai sus pot fi transferate fără modificări în cazul determinanților de orice ordin, inclusiv al treilea.

2. TEOREME DE LAPLACE ȘI ANULARE

Luați în considerare încă două proprietăți foarte importante ale determinanților.

Să introducem conceptele de complement minor și algebric.

Element minor determinant se numeşte determinantul obţinut din determinantul iniţial prin ştergerea rândului şi coloanei cărora le aparţine elementul dat. Minorul elementului este notat cu .

Exemplu . = .

Atunci, de exemplu, = , = .

Complement element algebric a determinantului se numește minorul său, luat cu semn. Complementul algebric va fi notat cu , adică =.

De exemplu:

= , === –,

Să revenim la formula (2). Grupând elementele și luând factorul comun din paranteze, obținem:

=(– ) +( – ) +(–)=

Egalitățile se dovedesc în mod similar:

1, 2, 3; (3)

Formulele (3) se numesc formule de descompunere determinant peste elementele rândului i (coloana j) sau prin formulele lui Laplace pentru determinantul de ordinul trei.

Astfel obținem a opta proprietate a determinantului :

teorema lui Laplace . Determinantul este egal cu suma tuturor produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor acestui rând (coloană).

Rețineți că această proprietate a unui determinant nu este altceva decât definiția unui determinant de orice ordin. În practică, este folosit pentru a calcula determinantul oricărei ordine. De regulă, înainte de a calcula determinantul, folosind proprietățile 1 - 7, ei realizează, dacă este posibil, ca în orice rând (coloană) toate elementele să fie egale cu zero, cu excepția unuia, iar apoi sunt descompuse de elementele rândului. (coloană).

Exemplu . Calculați determinant

== (scădeți primul din al doilea rând) =

== (scădeți primul din al treilea rând)=

== (extindeți determinantul în elementele celui de-al treilea

rânduri) = 1ּ = (scădeți prima coloană din a doua coloană) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Exemplu .

Luați în considerare un determinant de ordinul al patrulea. Pentru a o calcula, folosim teorema Laplace, adică expansiunea în termeni de elemente ale unui rând (coloană).

== (deoarece a doua coloană conține trei elemente zero, extindem determinantul cu elementele celei de-a doua coloane)= =3ּ= (scădem primul înmulțit cu 3 din al doilea rând și scade primul înmulțit cu 2 din al treilea rând) =

3 = (extindem determinantul cu elementele primei coloane) = 3ּ1ּ =

A noua proprietate determinatorul poartă numele teorema anulării :

suma tuturor produselor elementelor unui rând (coloană) a determinantului și a complementelor algebrice corespunzătoare ale elementelor altui rând (coloană) este egală cu zero, i.e.

++ = 0,

Exemplu .

= = (extinde cu elemente din al treilea rând)=

0ּ+0ּ+ּ = -2.

Dar, pentru același exemplu: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Dacă un determinant de orice ordin are o formă triunghiulară

=, atunci este egal cu produsul elementelor de pe diagonală:

=ּּ … ּ. (4)

Exemplu. Calculați determinantul.

=

Uneori, atunci când se calculează determinantul folosind transformări elementare, este posibil să-l reducă la o formă triunghiulară, după care se aplică formula (4).

În ceea ce privește determinantul produsului a două matrici pătrate, acesta este egal cu produsul determinanților acestor matrici pătrate: .

PRELEZA 3. MATRICE INVERSA

Plan

1. Conceptul de matrice inversă. Unicitatea matricei inverse.

2. Algoritm pentru construirea unei matrice inverse.

Proprietățile matricei inverse.

Concepte cheie

Matrice inversă.

Matrice atașată.

1. CONCEPTUL DE MATRICE INVERSA.

UNICITATEA MATRICEI INVERSE

În teoria numerelor, împreună cu un număr, un număr este definit opus acestuia () astfel încât , iar un număr invers cu acesta astfel încât . De exemplu, pentru numărul 5, opusul va fi numărul

(- 5), iar inversul va fi numărul . În mod similar, în teoria matricelor, am introdus deja conceptul de matrice opusă, desemnarea acesteia (-A). matrice inversă pentru o matrice pătrată A de ordinul n, o matrice se numește dacă egalitățile

Unde E este matricea identitară de ordinul n.

Observăm imediat că matricea inversă există numai pentru matrice pătrată nesingulară.

Matricea pătrată se numește nedegenerate (nesingular) dacă detA ≠ 0. Dacă detA = 0, atunci matricea A se numește degenerat (special).

Rețineți că matricea nesingulară A are o matrice inversă unică. Să demonstrăm această afirmație.

Lăsați pentru matrice A există două matrici inverse, adică

Apoi =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Aflați determinantul matricei inverse. Deoarece determinantul produsului a două matrice A și B de același ordin este egal cu produsul determinanților acestor matrici, adică, prin urmare, produsul a două matrice nesingulare AB este o matrice nesingulară.

Concluzionăm că determinantul matricei inverse este reciproca determinantului matricei originale.

2. ALGORITM DE CONSTRUIRE A MATRICEI INVERSE.

PROPRIETĂȚI ALE MATRICEI INVERSE

Să arătăm că dacă matricea A este nesingulară, atunci există o matrice inversă pentru ea și construim-o.

Să facem o matrice din complementele algebrice ale elementelor matricei A:

Transpunându-l, obținem așa-numitul atașat matrice:

.

Găsiți produsul ּ. Luând în considerare teorema Laplace și teorema anihilării:

ּ = =

=.

Încheiem:

Algoritm pentru construirea unei matrice inverse.

1) Calculați determinantul matricei A. Dacă determinantul este zero, atunci matricea inversă nu există.

2) Dacă determinantul matricei nu este egal cu zero, atunci compuneți din complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei A matrice .

3) Prin transpunerea matricei, obțineți matricea asociată.

4) Conform formulei (2) alcătuiți matricea inversă.

5) Conform formulei (1) verificați calculele.

Exemplu . Aflați matricea inversă.

A). Fie A=. Deoarece matricea A are două rânduri identice, determinantul matricei este zero. Prin urmare, matricea este degenerată și nu există o matrice inversă pentru aceasta.

b). Lăsa A =.

Calculați determinantul matricei

matricea inversă există.

Compuneți o matrice din adunări algebrice

= = ;

transpunând matricea , obținem matricea asociată

prin formula (2) găsim matricea inversă

==.

Să verificăm corectitudinea calculelor

= = .

Prin urmare, matricea inversă construită este corectă.

Proprietățile matricei inverse

1. ;

2. ;

3. .

4. SARCINI ȘI EXERCIȚII

4.1 Matrici și acțiuni asupra acestora

1. Aflați suma, diferența, produsul a două matrici A și B.

A) , ;

b) , ;

V) , ;

G) , ;

e) , ;

e) , ;

și) , ;

h), ;

Și) , .

2. Demonstrați că matricele A și B sunt comutatoare.

A) , ; b) , .

3. Date matrice A, B și C. Să se arate că (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

b) , , .

4. Calculați (3A - 2B) C dacă

, , .

5. Aflați dacă

A) ; b) .

6. Aflați matricea X dacă 3A+2X=B, unde

, .

7. Găsiți ABC dacă

A) , , ;

b) , , .

RĂSPUNSURI PE TEMA „MATRICE ȘI ACȚIUNI ASUPRA ELE”

1. a) , ;

b) produsele AB și BA nu există;

V) , ;

G) , ;

e) sumele, diferențele și produsele matricelor BA nu există, ;

e), ;

g) produsele matrice nu există;

h) , ;

Și) , .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) .

4. .

5. a) ; b) .

6. .

7. a) ; b) .

4.2 Calificări

1. Calculați determinanții

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ;

și) ; h) .

3. Folosind regula triunghiurilor, calculați determinanții

A) ; b) ; V) ; G).

4. Calculați determinanții din Exemplul 2 folosind teorema lui Laplace.

5. Calculați determinanții, după simplificarea lor:

A) ; b) ; V) ;

G) ; e) ; e) ;

și) .

6. Calculați determinantul aducându-l într-o formă triunghiulară

.

7. Fie date matricele A și B. Demonstrați că :

, .

RĂSPUNSURI PE TEMA „DETERMINANȚI”

1. a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; f) -3; g) -6; h) 1.

2. a) -25; b) 168; la 21; d) 12.

3. a) -25; b) 168; la 21; d) 12.

4. a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; f) -66; g) -36.

4.3 Matricea inversă

1. Aflați matricea inversă:

A) ; b) ; V) ; G) ;

e) ; e) ; și) ; h) ;

Și) ; La) ; l) ;

m) ; m) .

2. Găsiți matricea inversă și verificați condiția:

A) ; b) .

3. Demonstrați egalitatea :

A) , ; b) ,.

4. Demonstrați egalitatea :

A) ; b) .

RĂSPUNSURI PE TEMA „MATRICE INVERSA”

1. a); b) ; V) ; G) ;

e) ; e) ; și) ;

h) ; Și) ;

La) ; l) ;

m) ; m) .

2. a) ; b) .

2. a) , , =;

b) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

b) , ,

, .

5. SARCINI INDIVIDUALE

1. Calculați determinantul prin expansiune

a) pe linia i-a;

b) de coloana j-a.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

LITERATURĂ

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Matematică superioară. – Mn.: Vysh. şcoală, 1992.- 384 p.

2. Gusak A.A. Manual de referință pentru rezolvarea problemelor: geometrie analitică și algebră liniară. - Minsk: Tetrasystems, 1998.- 288 p.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematică superioară. Partea 1. - Minsk: Amalfeya, 1999. - 208 p.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Matematică superioară pentru economiști. I semestru. M.: Cunoștințe noi, 2002.- 140 p.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseec M.I. Matematică superioară. Proc. indemnizatie. -Mn.: CHIUP, 2003. - 32 p.

Principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate este determinantul acesteia. Luați în considerare o matrice pătrată de ordinul doi

Determinantul sau determinantul de ordinul doi este numărul calculat conform următoarei reguli

De exemplu,

Să considerăm acum o matrice pătrată de ordinul trei

.

Un determinant de ordinul trei este un număr calculat conform următoarei reguli

Pentru a memora combinația de termeni incluși în expresii pentru a determina determinantul de ordinul trei, se folosesc de obicei regula Sarrus: primul dintre cei trei termeni incluși în partea dreaptă cu semnul plus este produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei, iar fiecare dintre ceilalți doi este produsul elementelor aflate pe paralela cu această diagonală și element din colțul opus al matricei.

Ultimii trei termeni care intră cu semnul minus sunt definiți în mod similar, doar în raport cu diagonala secundară.

Exemplu:

Proprietățile de bază ale determinanților matrici

1. Valoarea determinantului nu se modifică atunci când matricea este transpusă.

2. La rearanjarea rândurilor sau coloanelor matricei, determinantul schimbă doar semnul, păstrând în același timp valoarea absolută.

3. Determinantul care conține rânduri sau coloane proporționale este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor unui rând sau coloane poate fi scos din semnul determinantului.

5. Dacă toate elementele unui rând sau coloană sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

6. Dacă la elementele unui rând sau coloană separată a determinantului adăugăm elementele unui alt rând sau coloană, înmulțite cu un factor arbitrar nedegenerat, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Minor matricea este determinantul obținut prin ștergerea aceluiași număr de coloane și rânduri dintr-o matrice pătrată.

Dacă toți minorii de ordin de mai sus care pot fi compusi din matrice sunt egali cu zero, iar dintre minorii de ordin cel puțin unul este diferit de zero, atunci numărul se numește rang această matrice.

Adunare algebrică element al determinantului ordinii, îl vom numi minorul său al ordinii, obținut prin ștergerea rândului și coloanei corespunzătoare, la intersecția cărora, se află un element luat cu semnul plus dacă suma indicilor este egală cu un număr par și cu semnul minus în caz contrar.

Prin urmare

,

unde este ordinul minor corespunzător.

Calcularea determinantului unei matrice prin descompunerea elementelor dintr-un rând sau coloană

Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (orice coloană) a matricei și a complementelor algebrice corespunzătoare ale elementelor acestui rând (această coloană). Când se calculează determinantul unei matrice în acest fel, ar trebui să ne ghidăm după următoarea regulă: alegeți rândul sau coloana cu cel mai mare număr de elemente zero. Această tehnică poate reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Exemplu: .

La calcularea acestui determinant am folosit metoda extinderii lui cu elementele primei coloane. După cum se poate observa din formula de mai sus, nu este necesar să se calculeze ultimii determinanți de ordinul doi, deoarece se inmulteste cu zero.

Calculul cu matrice inversă

La rezolvarea ecuațiilor matriceale, matricea inversă este utilizată pe scară largă. Într-o anumită măsură, înlocuiește operația de împărțire, care este absentă într-o formă explicită în algebra matriceală.

Matricele pătrate de același ordin, al căror produs dă matricea de identitate, se numesc reciproce sau inverse. Se notează matricea inversă și este adevărată pentru aceasta

Puteți calcula matricea inversă numai pentru o astfel de matrice pentru care .

Algoritmul clasic de calcul al matricei inverse

1. Notați matricea transpusă în matrice .

2. Înlocuiți fiecare element al matricei cu determinantul obținut în urma ștergerii rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

3. Acest determinant este însoțit de un semn plus dacă suma indicilor elementelor este pară, iar în caz contrar un semn minus.

4. Împărțiți matricea rezultată la determinantul matricei.

- Eliberează pasărea la moarte sigură!
Lasă libertatea s-o mângâie!
Și nava navighează, iar reactorul urlă...
- Pash, ești încăpățânat?

Îmi amintesc că înainte de clasa a VIII-a nu îmi plăcea algebra. Nu mi-a plăcut deloc. M-a enervat. Pentru că nu am înțeles nimic.

Și apoi totul s-a schimbat, pentru că am tăiat un singur chip:

În matematică în general (și în algebră în special) totul se bazează pe un sistem de definiții competent și consistent. Cunoașteți definițiile, înțelegeți esența lor - nu va fi greu să vă dați seama de restul.

Acesta este subiectul lecției de astăzi. Vom lua în considerare în detaliu câteva aspecte și definiții conexe, datorită cărora vă veți ocupa o dată pentru totdeauna de matrice, determinanți și toate proprietățile lor.

Determinanții sunt un concept central în algebra matriceală. La fel ca formulele de înmulțire abreviate, ele te vor bântui pe tot parcursul cursului tău de matematică avansată. Prin urmare, citim, urmărim și înțelegem temeinic. :)

Și vom începe cu cel mai intim - ce este o matrice? Și cum să lucrezi cu el.

Amplasarea corectă a indicilor în matrice

O matrice este doar un tabel plin cu numere. Neo nu este aici.

Una dintre caracteristicile cheie ale unei matrice este dimensiunea acesteia, adică. numărul de rânduri și coloane din care constă. Se spune că o matrice $A$ are dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ dacă are $m$ rânduri și $n$ coloane. Scrie-l astfel:

Sau cam asa:

Există și alte desemnări - totul depinde de preferințele lectorului / seminaristului / autorului manualului. Dar, în orice caz, cu toate aceste $\left[ m\times n \right]$ și $((a)_(ij))$, apare aceeași problemă:

Ce index face ce? Mai întâi numărul rândului, apoi numărul coloanei? Sau vice versa?

Când citești prelegeri și manuale, răspunsul va părea evident. Dar când există doar o foaie cu o sarcină în fața ta la examen, poți să te îngrijorezi și să te confuzi brusc.

Deci, să ne ocupăm de această problemă odată pentru totdeauna. Mai întâi, să ne amintim sistemul obișnuit de coordonate de la cursul de matematică din școală:

Introducerea unui sistem de coordonate pe un plan

Îți amintești de ea? Are originea (punctul $O=\left(0;0 \right)$) a axelor $x$ și $y$, iar fiecare punct din plan este determinat în mod unic de coordonatele: $A=\left( 1;2 \ dreapta)$, $B=\left(3;1 \dreapta)$ etc.

Și acum să luăm această construcție și să o punem lângă matrice, astfel încât originea să fie în colțul din stânga sus. De ce acolo? Da, pentru că atunci când deschidem o carte, începem să citim din colțul din stânga sus al paginii - să ne amintim că acest lucru este mai ușor ca niciodată.

Dar unde să îndreptăm axele? Le vom îndrepta astfel încât întreaga noastră „pagină” virtuală să fie acoperită de aceste axe. Adevărat, pentru aceasta va trebui să ne rotim sistemul de coordonate. Numai varianta posibila aceasta locatie:

Maparea unui sistem de coordonate la o matrice

Acum fiecare celulă a matricei are coordonate cu o singură valoare $x$ și $y$. De exemplu, intrarea $((a)_(24))$ înseamnă că accesăm elementul cu coordonatele $x=2$ și $y=4$. Dimensiunile matricei sunt, de asemenea, specificate în mod unic printr-o pereche de numere:

Definirea indicilor într-o matrice

Aruncă o privire atentă la această poză. Joacă-te cu coordonatele (mai ales când lucrezi cu matrici și determinanți reale) - și foarte curând îți vei da seama că și în cele mai complexe teoreme și definiții înțelegi perfect ce este în joc.

Am înţeles? Ei bine, să trecem la primul pas al iluminării - definiția geometrică a determinantului. :)

Definiție geometrică

În primul rând, aș dori să observ că determinantul există doar pentru matrice pătrată de forma $\left[ n\times n \right]$. Determinantul este un număr care se calculează după anumite reguli și este una dintre caracteristicile acestei matrice (există și alte caracteristici: rang, vectori proprii, dar mai multe despre asta în alte lecții).

Ei bine, care este această caracteristică? Ce înseamnă? E simplu:

Determinantul unei matrici pătrate $A=\left[ n\times n \right]$ este volumul unui paralelipiped $n$-dimensional, care se formează dacă considerăm rândurile matricei ca vectori care formează muchiile lui acest paralelipiped.

De exemplu, determinantul unei matrice 2x2 este doar aria unui paralelogram, iar pentru o matrice 3x3 este deja volumul unui paralelipiped tridimensional - chiar cel care îi înfurie pe toți elevii de liceu, așa că mult în lecțiile de stereometrie.

La prima vedere, această definiție poate părea complet inadecvată. Dar să nu ne grăbim să tragem concluzii - să ne uităm la exemple. De fapt, totul este elementar, Watson:

Sarcină. Găsiți determinanții matricei:

\[\stanga| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

Soluţie. Primii doi determinanți sunt 2x2. Deci, acestea sunt doar zonele paralelogramelor. Să le desenăm și să calculăm aria.

Primul paralelogram este construit pe vectorii $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ și $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Determinantul 2x2 este aria paralelogramului

Evident, acesta nu este doar un paralelogram, ci un dreptunghi. Suprafața sa este egală cu

Al doilea paralelogram este construit pe vectorii $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ și $((v)_(2))=\left(2;2 \right) )$. Ei bine, ce? Acesta este, de asemenea, un dreptunghi:

Un alt determinant 2x2

Laturile acestui dreptunghi (de fapt, lungimile vectorilor) sunt ușor de calculat folosind teorema lui Pitagora:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\stânga| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(align)\]

Rămâne să ne ocupăm de ultimul determinant - există deja o matrice 3x3. Va trebui să ne amintim stereometria:

Determinantul 3x3 este volumul paralelipipedului

Pare uimitor, dar de fapt este suficient să ne amintim formula pentru volumul unui paralelipiped:

unde $S$ este aria bazei (în cazul nostru, este aria paralelogramului pe planul $OXY$), $h$ este înălțimea trasă la această bază (de fapt, $ Coordonata z$ a vectorului $((v)_(3) )$).

Aria paralelogramului (am desenat-o separat) este, de asemenea, ușor de calculat:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(align)\]

Asta e tot! Scriem răspunsurile.

Răspuns: 3; 4; 24.

O mică notă despre sistemul de notație. Cuiva probabil că nu îi va plăcea că ignor „săgețile” peste vectori. Se presupune că în acest fel puteți confunda un vector cu un punct sau cu altceva.

Dar să fim serioși: suntem deja băieți și fete adulți, așa că înțelegem perfect din context când vorbim despre un vector, și când vorbim despre un punct. Săgețile doar împrăștie narațiunea, deja pline la capacitate cu formule matematice.

Și mai departe. În principiu, nimic nu ne împiedică să luăm în considerare determinantul unei matrice 1x1 - o astfel de matrice este doar o celulă, iar numărul scris în această celulă va fi determinantul. Dar există o notă importantă aici:

Spre deosebire de volumul clasic, determinantul ne va oferi așa-numitul " volum orientat”, adică volum, ținând cont de succesiunea de luare în considerare a vectorilor rând.

Și dacă doriți să obțineți volumul în sensul clasic al cuvântului, va trebui să luați modulul determinantului, dar acum nu ar trebui să vă faceți griji pentru asta - oricum, în câteva secunde vom învăța cum să numărăm orice determinant cu orice semne, dimensiuni, etc. :)

Definiție algebrică

Cu toată frumusețea și claritatea abordării geometrice, are un dezavantaj serios: nu ne spune nimic despre cum să calculăm tocmai acest determinant.

Prin urmare, acum vom analiza o definiție alternativă - algebrică. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de o scurtă pregătire teoretică, dar la ieșire vom obține un instrument care ne permite să calculăm orice în matrice după cum ne place.

Adevărat, va exista noua problema... Dar mai întâi lucrurile.

Permutări și inversiuni

Să scriem o linie de numere de la 1 la $n$. Obtii asa ceva:

Acum (doar pentru distracție) să schimbăm câteva numere. Puteți schimba vecinul

Sau poate nu foarte vecine:

Și știi ce? Si nimic! În algebră, porcăria asta se numește permutare. Și are o mulțime de proprietăți.

Definiție. O permutare a lungimii $n$ este un șir de $n$ numere diferite scrise în orice ordine. De obicei, sunt luate în considerare primele $n$ numere naturale (adică exact numerele 1, 2, ..., $n$), apoi sunt amestecate pentru a obține permutarea dorită.

Permutările sunt notate în același mod ca vectorii - doar o literă și o enumerare secvențială a elementelor lor între paranteze. De exemplu: $p=\left(1;3;2 \right)$ sau $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Scrisoarea poate fi orice, dar să fie $p$. :)

În plus, pentru simplitatea prezentării, vom lucra cu permutări de lungime 5 - ele sunt deja suficient de grave pentru a observa orice efecte suspecte, dar încă nu atât de severe pentru un creier fragil ca permutările de lungime 6 și mai mult. Iată exemple de astfel de permutări:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Desigur, o permutare a lungimii $n$ poate fi considerată ca o funcție care este definită pe mulțimea $\left\( 1;2;...;n \right\)$ și mapează bijectiv această mulțime pe sine. Revenind la permutările lui $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ și $((p)_(3))$ pe care tocmai le-am notat, putem scrie în mod legitim :

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ stânga(2\dreapta)=4;\]

Numărul de permutări diferite de lungime $n$ este întotdeauna limitat și egal cu $n!$ - acesta este un fapt ușor de demonstrat din combinatorică. De exemplu, dacă vrem să notăm toate permutările de lungime 5, atunci vom ezita foarte mult, deoarece vor exista astfel de permutări

Una dintre caracteristicile cheie ale oricărei permutări este numărul de inversiuni din ea.

Definiție. Inversarea în permutare $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — orice pereche $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ astfel încât $i \lt j$ dar $((a)_(i)) \gt ( (a) )_(j))$. Mai simplu spus, inversarea este atunci când un număr mai mare este la stânga unui număr mai mic (nu neapărat unul vecin).

Vom folosi $N\left(p\right)$ pentru a desemna numărul de inversiuni în permutarea $p$, dar fiți pregătiți să întâlniți alte notații în diferite manuale și de către diferiți autori - nu există standarde uniforme aici. Subiectul inversiilor este foarte amplu și îi va fi dedicată o lecție separată. Acum sarcina noastră este pur și simplu să învățăm cum să le numărăm în probleme reale.

De exemplu, să numărăm numărul de inversiuni în permutarea $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right); ).\]

Astfel, $N\left(p \right)=5$. După cum puteți vedea, nu este nimic rău în asta. Trebuie să spun imediat: în continuare ne va interesa nu atât numărul $N\left(p \right)$, cât și numărul par/nepar. Și aici trecem fără probleme la termenul cheie al lecției de astăzi.

Ce este un determinant

Fie $A=\left[ n\times n \right]$ o matrice pătrată. Apoi:

Definiție. Determinantul matricei $A=\left[ n\times n \right]$ este suma algebrică a $n!$ termeni alcătuiți astfel. Fiecare termen este produsul dintre $n$ elemente de matrice, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, înmulțit cu (−1) la puterea numărului de inversiuni:

\[\stanga| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Punctul fundamental în alegerea factorilor pentru fiecare termen din determinant este faptul că nu există doi factori pe același rând sau în aceeași coloană.

Din acest motiv, putem presupune, fără pierderi de generalitate, că indicii $i$ ai factorilor $((a)_(i;j))$ „trec prin” valorile 1, ..., $n$ , iar indicii $j$ sunt o permutare a primului:

Și când există o permutare $p$, putem calcula cu ușurință inversiunile lui $N\left(p \right)$ - și următorul termen al determinantului este gata.

Desigur, nimeni nu interzice schimbarea factorilor în orice termen (sau în toți odată - de ce să vă deranjați cu fleacuri?), Și atunci primii indici vor reprezenta și un fel de permutare. Dar, până la urmă, nimic nu se va schimba: numărul total de inversiuni în indicii $i$ și $j$ rămâne chiar și sub astfel de perversiuni, ceea ce este destul de în concordanță cu vechea regulă:

Prin rearanjarea factorilor, produsul numerelor nu se modifică.

Dar nu trebuie să trageți această regulă la înmulțirea matriceală - spre deosebire de multiplicarea numerelor, nu este comutativă. Dar mă abat. :)

Matrice 2x2

De fapt, puteți lua în considerare și o matrice 1x1 - va fi o celulă, iar determinantul său, după cum ați putea ghici, este egal cu numărul scris în această celulă. Nimic interesant.

Deci, să considerăm o matrice pătrată 2x2:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrice) \dreapta]\]

Deoarece numărul de rânduri din acesta este $n=2$, atunci determinantul va conține $n!=2!=1\cdot 2=2$ termeni. Să le scriem:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(align)\]

Evident, nu există inversiuni în permutarea $\left(1;2 \right)$, care constă din două elemente, deci $N\left(1;2 \right)=0$. Dar în permutarea $\left(2;1 \right)$ există o inversare (de fapt, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

În total, formula universală pentru calcularea determinantului pentru o matrice 2x2 arată astfel:

\[\stanga| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matrice) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafic, aceasta poate fi reprezentată ca produsul elementelor de pe diagonala principală, minus produsul elementelor de pe secundară:

2x2 determinant de matrice

Să ne uităm la câteva exemple:

\[\stanga| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Soluţie. Totul este considerat într-o singură linie. Prima matrice:

Si al doilea:

Răspuns: -3; -161.

Cu toate acestea, a fost prea ușor. Să ne uităm la matrice 3x3 - este deja interesant acolo.

Matrice 3x3

Acum luați în considerare o matrice pătrată 3x3:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrice) \right]\]

Când calculăm determinantul său, obținem $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ termeni - nu prea mult pentru a intra în panică, dar suficient pentru a începe să căutați unele modele. Mai întâi, să scriem toate permutările celor trei elemente și să calculăm inversiunile în fiecare dintre ele:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ stânga(1;2;3\dreapta)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\dreapta)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3\dreapta)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\dreapta)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\dreapta)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1\dreapta)=3. \\\end(align)\]

După cum era de așteptat, există 6 permutări $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ în total (în mod firesc, le-ar putea scrie într-o secvență diferită - punctul nu se modifică), iar numărul de inversiuni variază de la 0 la 3.

În general, vom avea trei termeni plus (unde $N\left(p\right)$ este par) și încă trei termeni minus. În general, determinantul va fi calculat după formula:

\[\stanga| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) și ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) și ((a)_(32)) și ((a)_(33)) \\\end (matrice) \right|=\begin(matrix) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrice)\]

Doar nu vă așezați acum și înghesuiți cu furie toți acești indici! În loc de numere de neînțeles, este mai bine să ne amintim următoarea regulă mnemonică:

Regula triunghiului. Pentru a găsi determinantul unei matrice 3x3, trebuie să adăugați trei produse ale elementelor de pe diagonala principală și la vârfurile triunghiurilor isoscele cu o latură paralelă cu această diagonală și apoi să scădeți aceleași trei produse, dar pe diagonala secundară. . Schematic, arată astfel:

3x3 determinant matrice: regula triunghiurilor

Aceste triunghiuri (sau pentagrame - după cum doriți) le place să le deseneze în tot felul de manuale și manuale de algebră. Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Să calculăm mai bine un astfel de determinant - pentru încălzire înaintea unei cutii adevărate. :)

Sarcină. Calculați determinantul:

\[\stanga| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Soluţie. Lucrăm după regula triunghiurilor. Mai întâi, să calculăm trei termeni formați din elemente pe diagonala principală și paralele cu aceasta:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Acum să ne ocupăm de diagonala laterală:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Rămâne doar să scădem al doilea din primul număr - și obținem răspunsul:

Asta e tot!

Cu toate acestea, determinanții matricilor 3x3 nu sunt încă vârful îndemânării. Cel mai interesant ne așteaptă mai departe. :)

Schema generală de calcul a determinanților

După cum știm, pe măsură ce dimensiunea matricei $n$ crește, numărul de termeni din determinant este $n!$ și crește rapid. La urma urmei, factorialul este o funcție cu creștere destul de rapidă.

Deja pentru matrice 4x4, devine cumva nu bine să numărăm determinanții înainte (adică, prin permutări). În general, tac cam 5x5 și mai mult. Prin urmare, unele proprietăți ale determinantului sunt legate de caz, dar este nevoie de puțină pregătire teoretică pentru a le înțelege.

Gata? Merge!

Ce este o matrice minoră

Fie dată o matrice arbitrară $A=\left[ m\times n \right]$. Notă: nu neapărat pătrat. Spre deosebire de determinanți, minorii sunt lucruri drăguțe care există nu numai în matrici pătrate dure. Alegem mai multe (de exemplu, $k$) rânduri și coloane din această matrice, cu $1\le k\le m$ și $1\le k\le n$. Apoi:

Definiție. Ordinul $k$ minor este determinantul matricei pătrate care apare la intersecția coloanelor și rândurilor $k$ alese. Vom numi, de asemenea, această nouă matrice însăși minoră.

Un astfel de minor este notat cu $((M)_(k))$. Desigur, o matrice poate avea o mulțime de minori de ordinul $k$. Iată un exemplu de ordin 2 minor pentru matricea $\left[ 5\times 6 \right]$:

Selectând $k = 2$ coloane și rânduri pentru a forma un minor

Nu este necesar ca rândurile și coloanele selectate să fie una lângă alta, ca în exemplul de mai sus. Principalul lucru este ca numărul de rânduri și coloane selectate să fie același (acesta este numărul $k$).

Există o altă definiție. Poate cuiva îi va plăcea mai mult:

Definiție. Fie dată o matrice dreptunghiulară $A=\left[ m\times n \right]$. Dacă, după ștergerea uneia sau mai multor coloane și a unuia sau mai multor rânduri, se formează în ea o matrice pătrată de dimensiune $\left[ k\times k \right]$, atunci determinantul său este minorul $((M)_(k). ))$ . De asemenea, uneori vom numi matricea însăși minoră - acest lucru va fi clar din context.

După cum obișnuia să spună pisica mea, uneori este mai bine să iau mâncare de la etajul 11 ​​o dată decât să miaună stând pe balcon.

Exemplu. Lasă matricea

Alegând rândul 1 și coloana 2, obținem minorul de ordinul întâi:

\[((M)_(1))=\stanga| 7\dreapta|=7\]

Selectând rândurile 2, 3 și coloanele 3, 4, obținem un minor de ordinul doi:

\[((M)_(2))=\stânga| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

Și dacă selectați toate cele trei rânduri, precum și coloanele 1, 2, 4, va exista un minor de ordinul al treilea:

\[((M)_(3))=\stanga| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Nu va fi greu pentru cititor să găsească alți minori ai ordinelor 1, 2 sau 3. Prin urmare, mergem mai departe.

Adunări algebrice

„Ei bine, bine, și ce ne oferă acești slujitori minorilor?” cu siguranta vei intreba. Pe cont propriu, nimic. Dar în matrice pătrată, fiecare minor are un „însoțitor” - un minor suplimentar, precum și o adunare algebrică. Și împreună aceste două slapstick-uri ne vor permite să facem clic pe determinanții precum nucile.

Definiție. Să fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, în care se alege minorul $((M)_(k))$. Apoi minorul suplimentar pentru minorul $((M)_(k))$ este o bucată din matricea originală $A$, care va rămâne după ștergerea tuturor rândurilor și coloanelor implicate în compilarea minorului $((M). )_(k))$:

Minor suplimentar la minor $((M)_(2))$

Să clarificăm un punct: minorul suplimentar nu este doar o „piesă a matricei”, ci determinantul acestei piese.

Minorii suplimentari sunt notați cu un asterisc: $M_(k)^(*)$:

unde operația $A\nabla ((M)_(k))$ înseamnă literal „ștergeți din $A$ rândurile și coloanele incluse în $((M)_(k))$”. Această operație nu este general acceptată în matematică - tocmai am venit cu ea pentru frumusețea poveștii. :)

Minorii complementari sunt rareori folosiți singuri. Ele fac parte dintr-o construcție mai complexă - adunarea algebrică.

Definiție. Complementul algebric al minorului $((M)_(k))$ este minorul complementar $M_(k)^(*)$ înmulțit cu $((\left(-1 \right))^(S)) $ , unde $S$ este suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor implicate în $((M)_(k))$ minor inițial.

De regulă, complementul algebric al minorului $((M)_(k))$ se notează cu $((A)_(k))$. De aceea:

\[((A)_(k))=((\stanga(-1 \dreapta))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Dificil? La prima vedere, da. Dar nu este exact. Pentru că este foarte ușor. Luați în considerare un exemplu:

Exemplu. Având în vedere o matrice 4x4:

Alegem un minor de ordinul doi

\[((M)_(2))=\stânga| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrix) \right|\]

Căpitanul Evidence, așa cum spune, ne sugerează că rândurile 1 și 4, precum și coloanele 3 și 4, au fost implicate în compilarea acestui minor. Le bifam - obținem un minor suplimentar:

Rămâne să găsim numărul $S$ și să obținem complementul algebric. Deoarece cunoaștem numerele rândurilor implicate (1 și 4) și coloanelor (3 și 4), totul este simplu:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Răspuns: $((A)_(2))=-4$

Asta e tot! De fapt, toată diferența dintre o adunare minoră suplimentară și o adunare algebrică este doar în minus în față și chiar și atunci nu întotdeauna.

teorema lui Laplace

Și așa am ajuns la punctul de ce, de fapt, toate aceste minore și completări algebrice erau necesare.

Teorema lui Laplace privind descompunerea determinantului. Fie selectate $k$ rânduri (coloane) într-o matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, cu $1\le k\le n-1$. Atunci determinantul acestei matrice este egal cu suma tuturor produselor minorilor de ordin $k$ conținute în rândurile (coloanele) selectate și complementele lor algebrice:

\[\stanga| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Mai mult, vor exista exact $C_(n)^(k)$ astfel de termeni.

Bine, bine: despre $C_(n)^(k)$ - Mă arăt deja, nu era nimic de genul acesta în teorema originală Laplace. Dar nimeni nu a anulat combinatoria și, literalmente, o privire superficială asupra condiției vă va permite să vă asigurați că vor exista exact atât de mulți termeni. :)

Nu o vom dovedi, deși acest lucru nu este deosebit de dificil - toate calculele se rezumă la vechile permutări bune și la inversiuni pare / impare. Totuși, dovada va fi prezentată într-un paragraf separat, iar astăzi avem o lecție pur practică.

Prin urmare, ne întoarcem la un caz special al acestei teoreme, când minorele sunt celule separate ale matricei.

Expansiunea pe rând și pe coloană a determinantului

Despre ce vom vorbi acum este tocmai instrumentul principal de lucru cu determinanții, de dragul căruia a început tot acest joc cu permutări, minore și adăugiri algebrice.

Citiți și bucurați-vă:

Corolar din Teorema lui Laplace (descompunerea determinantului în rând/coloană). Să fie selectat un rând în matricea $\left[ n\times n \right]$. Minorii din acest rând vor fi $n$ celule individuale:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Minorii suplimentari sunt, de asemenea, ușor de calculat: trebuie doar să luați matricea originală și să tăiați rândul și coloana care conține $((a)_(ij))$. Numim astfel de minori $M_(ij)^(*)$.

Pentru complementul algebric este necesar și numărul $S$, dar în cazul unui minor de ordinul 1, aceasta este pur și simplu suma „coordonaților” celulei $((a)_(ij))$:

Și atunci determinantul inițial poate fi scris în termeni de $((a)_(ij))$ și $M_(ij)^(*)$ conform teoremei lui Laplace:

\[\stanga| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Asta e formula de extindere a rândurilor. Dar același lucru este valabil și pentru coloane.

Din acest corolar se pot trage mai multe concluzii:

1. Această schemă funcționează la fel de bine atât pentru rânduri, cât și pentru coloane. De fapt, cel mai adesea descompunerea va merge exact de-a lungul coloanelor, mai degrabă decât de-a lungul liniilor.
2. Numărul de termeni din expansiune este întotdeauna exact $n$. Aceasta este mult mai mică decât $C_(n)^(k)$ și chiar mai mică decât $n!$.
3. În loc de un singur determinant $\left[ n\times n \right]$, va trebui să numărați mai mulți determinanți de dimensiune cu unul mai puțin: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \right) \right ]$.

Ultimul fapt este deosebit de important. De exemplu, în loc de determinantul brutal 4x4, acum va fi suficient să numărăm mai mulți determinanți 3x3 - ne vom descurca cumva cu ei. :)

Sarcină. Găsiți determinantul:

\[\stanga| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrix) \right|\]

Soluţie. Să extindem acest determinant cu prima linie:

\[\begin(align)\left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(align)\]

Sarcină. Găsiți determinantul:

\[\stanga| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|\ ]

Soluţie. Pentru o schimbare, de data aceasta să lucrăm cu coloanele. De exemplu, în ultima coloană există două zerouri simultan - evident, acest lucru va reduce semnificativ calculele. Acum vei vedea de ce.

Deci, extindem determinantul în a patra coloană:

\[\begin(align)\left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ dreapta))^(2+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ dreapta))^(3+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ dreapta))^(4+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right| &\\\end(align)\]

Și apoi - o, un miracol! - doi termeni zboară imediat prin scurgere, deoarece au un multiplicator „0”. Mai sunt doi factori determinanți 3x3 cu care ne putem ocupa cu ușurință:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(align)\]

Ne întoarcem la sursă și găsim răspunsul:

\[\stanga| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK, totul sa terminat acum. Si nu 4! = 24 de termeni nu au trebuit să fie numărați. :)

Raspuns: -2

Proprietățile de bază ale determinantului

În ultima problemă, am văzut cum prezența zerourilor în rândurile (coloanele) unei matrice simplifică drastic extinderea determinantului și, în general, toate calculele. Apare o întrebare firească: este posibil să apară aceste zerouri chiar și în matrice unde nu erau inițial acolo?

Raspunsul este clar: Poate sa. Și aici ne vin în ajutor proprietățile determinantului:

1. Dacă schimbați două rânduri (coloane) pe alocuri, determinantul nu se va schimba;
2. Dacă un rând (coloană) este înmulțit cu numărul $k$, atunci întregul determinant este înmulțit și cu numărul $k$;
3. Dacă luați un șir și îl adăugați (scădeți) de câte ori dintr-un altul, determinantul nu se va schimba;
4. Dacă două rânduri ale determinantului sunt la fel, sau proporționale, sau unul dintre rânduri este umplut cu zerouri, atunci întregul determinant este egal cu zero;
5. Toate proprietățile de mai sus sunt valabile și pentru coloane.
6. Transpunerea unei matrice nu schimbă determinantul;
7. Determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților.

De o valoare deosebită este a treia proprietate: putem scădeți dintr-un rând (coloană) altul până când apar zerouri în locurile potrivite.

Cel mai adesea, calculele se reduc la „reducerea la zero” a întregii coloane peste tot, cu excepția unui element, și apoi extinderea determinantului de-a lungul acestei coloane, obținând o matrice cu dimensiunea 1 mai mică.

Să vedem cum funcționează acest lucru în practică:

Sarcină. Găsiți determinantul:

\[\stanga| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ ]

Soluţie. Zerourile aici, așa cum ar fi, nu sunt observate deloc, așa că puteți „gobi” pe orice rând sau coloană - cantitatea de calcule va fi aproximativ aceeași. Să nu fim fleacuri și să „zero” prima coloană: are deja o celulă cu o unitate, așa că doar luați prima linie și scădeți-o de 4 ori din a doua, de 3 ori din a treia și de 2 ori din ultima.

Ca rezultat, vom obține o nouă matrice, dar determinantul ei va fi același:

\[\begin(matrix)\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ begin(matrix) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matrice) \right|= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrice)\right| \\\end(matrice)\]

Acum, cu ecuanimitatea lui Piglet, descompunem acest determinant în prima coloană:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|+0\cdot ((\ stânga(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \dreapta| \\\end(matrice)\]

Este clar că doar primul termen va „supraviețui” - în rest, nici măcar nu am scris determinanții, deoarece sunt încă înmulțiți cu zero. Coeficientul din fata determinantului este egal cu unu, i.e. este posibil să nu fie înregistrată.

Dar puteți scoate „minusurile” din toate cele trei rânduri ale determinantului. De fapt, am scos factorul (−1) de trei ori:

\[\stanga| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\]

Am obținut un mic determinant 3x3, care poate fi deja calculat conform regulii triunghiurilor. Dar vom încerca să-l descompunem în prima coloană - beneficiul din ultima linie este cu mândrie unul:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrice)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Puteți, desigur, să vă distrați și să descompuneți matricea 2x2 într-un rând (coloană), dar suntem adecvati cu dvs., așa că doar calculăm răspunsul:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Așa se rup visele. Doar -160 în răspuns. :)

Răspuns: -160.

Câteva note înainte de a trece la ultima sarcină:

1. Matricea originală era simetrică în raport cu diagonala secundară. Toate minorele din descompunere sunt, de asemenea, simetrice față de aceeași diagonală secundară.
2. Strict vorbind, nu am putea așeza absolut nimic, ci pur și simplu să aducem matricea într-o formă triunghiulară superioară, când există zerouri solide sub diagonala principală. Atunci (în conformitate exactă cu interpretarea geometrică, de altfel) determinantul este egal cu produsul $((a)_(ii))$, numerele de pe diagonala principală.

Sarcină. Găsiți determinantul:

\[\stanga| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|\ ]

Soluţie. Ei bine, aici prima linie cere doar „reducerea la zero”. Luăm prima coloană și scădem exact o dată din toate celelalte:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|= \\&=\stânga| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrice) \right|= \\ & =\left| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right| \\\end(align)\]

Extindeți pe primul rând și apoi eliminați factorii comuni de pe rândurile rămase:

\[\cdot\left| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\]

Din nou observăm numere „frumoase”, dar deja în prima coloană - descompunem determinantul în funcție de acesta:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrice)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ dreapta))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( alinia)\]

Ordin. Problema rezolvata.

Răspuns: 1440

Matrice pătrată A Ordin n puteți potrivi numărul det A(sau | A|, sau ), a numit-o determinant , în felul următor:

Determinant de matrice A sunați-o și pe ea determinant . Regula de calcul a determinantului pentru matricea de ordine N este destul de greu de înțeles și aplicat. Cu toate acestea, sunt cunoscute metode care fac posibilă implementarea calculului determinanților de ordin înalt pe baza determinanților de ordin inferior. Una dintre metode se bazează pe proprietatea de a extinde determinantul în ceea ce privește elementele unei anumite serii (proprietatea 7). În același timp, observăm că este de dorit să se poată calcula determinanții de ordine inferioară (1, 2, 3) conform definiției.

Calculul determinantului de ordinul 2 este ilustrat de diagrama:

Exemplul 4.1. Găsiți determinanții matricilor

Când se calculează determinantul de ordinul 3, este convenabil de utilizat regula triunghiului (sau Sarrus), care poate fi scris simbolic după cum urmează:

Exemplul 4.2. Calculați determinantul matricei

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Să formulăm principalele proprietăți ale determinanților inerente determinanților tuturor ordinelor. Să explicăm unele dintre aceste proprietăți folosind determinanți de ordinul trei.

Proprietatea 1 ("Egalitatea rândurilor și coloanelor"). Determinantul nu se schimbă dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers. Cu alte cuvinte,

În cele ce urmează, rândurile și coloanele vor fi pur și simplu numite rânduri ale determinantului .

Proprietatea 2 . Când două rânduri paralele sunt schimbate, determinantul își schimbă semnul.

Proprietatea 3 . Un determinant care are două rânduri identice este zero.

Proprietatea 4 . Factorul comun al elementelor oricărui rând al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

Din proprietățile 3 și 4 rezultă că că dacă toate elementele unei anumite serii sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unei serii paralele, atunci un astfel de determinant este egal cu zero.

Într-adevăr,

Proprietatea 5 . Dacă elementele oricărei serii ale determinantului sunt sumele a doi termeni, atunci determinantul poate fi descompus în suma celor doi determinanți corespunzători.

De exemplu,

Proprietatea 6. („Transformări elementare ale determinantului”). Determinantul nu se schimbă dacă la elementele unui rând adăugăm elementele corespunzătoare ale rândului paralel, înmulțite cu orice număr.

Exemplul 4.3. Demonstrează asta

Soluție: Într-adevăr, folosind proprietățile 5, 4 și 3, învățăm

Alte proprietăți ale determinanților sunt legate de conceptele de complement minor și algebric.

Minor vreun element aij determinant n- th ordinea se numește determinant n- Ordinul 1, obținut din original prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul selectat. Notat mij

Adunare algebrică element aij determinantul se numește minorul său, luat cu semnul plus, dacă suma i + j un număr par și cu semnul minus dacă această sumă este impară. Notat Aij:

Proprietatea 7 („Descompunerea determinantului în ceea ce privește elementele unei anumite serii”). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unei anumite serii și a complementelor algebrice corespunzătoare.

Cele mai multe modele matematice din economie sunt descrise folosind matrici și calcul matriceal.

Matrice este un tabel dreptunghiular care conține numere, funcții, ecuații sau alte obiecte matematice aranjate în rânduri și coloane.

Obiectele care alcătuiesc matricea o numesc elemente . Matricele sunt notate cu majuscule latine

iar elementele lor sunt în linie.

Simbol
înseamnă că matricea Are
linii şi coloane element la intersecție -a linia și -a coloană
.

.

Ei spun că matricea A este egală cu matricea ÎN : A=B dacă au aceeași structură (adică același număr de rânduri și coloane) și elementele lor corespunzătoare sunt identic egale
, pentru toți
.

Tipuri particulare de matrice

În practică, matrice de o formă specială sunt destul de des întâlnite. Unele metode implică, de asemenea, transformări de matrice de la un tip la altul. Cele mai comune tipuri de matrice sunt enumerate mai jos.

	matrice pătrată, număr de rânduri n este egal cu numărul de coloane n
	matricea coloanei
	matrice-rând
	matricea triunghiulară inferioară
	matricea triunghiulară superioară
	matrice nulă
	matrice diagonală
E =	matrice de identitate E(pătrat)
	matricea unitară
	matricea pasilor
	Matrice goală

Elemente ale matricei, cu un număr egal de rânduri și coloane, adică A ii formează diagonala principală a matricei.

Operații pe matrice.

.

Proprietăți ale operațiilor pe matrice

Proprietăți specifice operațiunii

Dacă produsul matricei
există, apoi produsul
poate să nu existe. In general vorbind,
. Adică, înmulțirea matriceală nu este comutativă. Dacă
, Acea Și se numesc comutative. De exemplu, matricele diagonale de același ordin sunt comutative.

Dacă
, apoi opțional
sau
. Adică, produsul matricelor non-nule poate da o matrice zero. De exemplu

operație de exponențiere definit numai pentru matrice pătrată. Dacă
, Acea

.

Prin definiție se presupune
, și este ușor să arăți asta
,
. Rețineți că de la
nu rezultă că
.

Exponentiație element cu element A. m =
.

Operația de transpunere matricea este de a înlocui rândurile matricei cu coloanele sale:

,

De exemplu

,
.

Proprietăți de transpunere:

Determinanți și proprietățile lor.

Pentru matrice pătrată, conceptul este adesea folosit determinant - un număr care este calculat de elementele matricei folosind reguli strict definite. Acest număr este o caracteristică importantă a matricei și este notat prin simboluri

.

determinant matriceal
este elementul ei .

Determinant de matrice
calculat conform regulii:

adică produsul elementelor diagonalei suplimentare se scade din produsul elementelor diagonalei principale.

Pentru a calcula determinanții de ordin superior (
) este necesară introducerea conceptelor de complement minor și algebric al unui element.

Minor
element numit determinant, care se obține din matrice , tăind -a linia și -a coloană.

Luați în considerare matricea mărimea
:

,

atunci, de exemplu,

Adunare algebrică element numiți-o minor înmulțit cu
.

,

Teorema lui Laplace: Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) și a complementelor lor algebrice.

De exemplu, defectarea
prin elementele primului rând, obținem:

Ultima teoremă oferă o modalitate universală de calculare a determinanților de orice ordine, începând de la a doua. Ca rând (coloană), alegeți întotdeauna pe cel în care există cel mai mare număr de zerouri. De exemplu, este necesar să se calculeze determinantul de ordinul al patrulea

În acest caz, puteți extinde determinantul din prima coloană:

sau ultima linie:

Acest exemplu arată, de asemenea, că determinantul unei matrici triunghiulare superioare este egal cu produsul elementelor sale diagonale. Este ușor de demonstrat că această concluzie este valabilă pentru orice matrice triunghiulară și diagonală.

Teorema lui Laplace face posibilă reducerea calculului determinantului - al-lea ordin de calculat determinanți
de ordinul al-lea și, în cele din urmă, la calculul determinanților de ordinul doi.