Prinsip pembagian topologi. Topologi

Topologi- kata yang cukup indah dan nyaring, sangat populer di beberapa kalangan non-matematika, membuat saya tertarik di kelas 9. Tentu saja, saya tidak memiliki gambaran pasti, namun saya curiga semuanya terkait dengan geometri.

Kata-kata dan teks dipilih sedemikian rupa sehingga semuanya “jelas secara intuitif”. Dampaknya adalah kurangnya literasi matematika.

Apa itu topologi ? Saya akan segera mengatakan bahwa setidaknya ada dua istilah "Topologi" - salah satunya hanya menunjukkan struktur matematika tertentu, yang kedua membawa serta seluruh ilmu pengetahuan. Ilmu ini terdiri dari mempelajari sifat-sifat suatu benda yang tidak akan berubah apabila mengalami deformasi.

Contoh ilustrasi 1. Cangkir bagel.

Kita melihat bahwa cangkir, melalui deformasi terus menerus, berubah menjadi donat (dalam bahasa umum, “torus dua dimensi”). Tercatat bahwa topologi mempelajari apa yang tetap tidak berubah selama deformasi tersebut. Dalam hal ini, jumlah "lubang" pada objek tetap tidak berubah - hanya ada satu. Untuk saat ini kami akan membiarkannya apa adanya, kami akan mencari tahu nanti)

Contoh ilustrasi 2. Manusia topologi.

Dengan deformasi terus menerus, seseorang (lihat gambar) dapat melepaskan jari-jarinya - sebuah fakta. Memang tidak langsung terlihat, tapi Anda bisa menebaknya. Namun jika manusia topologi kita memiliki pandangan jauh ke depan untuk berjaga-jaga, maka tugas kita akan menjadi mustahil.

Mari kita perjelas

Jadi, saya harap beberapa contoh dapat memberikan kejelasan tentang apa yang terjadi.
Mari kita coba meresmikan semua ini dengan cara yang kekanak-kanakan.
Kami berasumsi bahwa kami bekerja dengan figur plastisin, dan kaleng plastisin meregangkan, mengompres, sambil menempelkan titik-titik yang berbeda dan dilarang merobek. Homeomorfik adalah sosok yang diubah satu sama lain melalui deformasi terus menerus yang dijelaskan sebelumnya.

Kasing yang sangat berguna adalah bola dengan pegangan. Sebuah bola bisa mempunyai 0 pegangan - maka itu hanya sebuah bola, mungkin satu - lalu itu adalah donat (dalam bahasa umum, “torus dua dimensi”), dll.
Jadi mengapa bola dengan pegangan menonjol di antara bentuk lainnya? Semuanya sangat sederhana - sosok apa pun bersifat homeomorfik terhadap bola dengan sejumlah pegangan tertentu. Artinya, pada dasarnya, kita tidak punya apa-apa lagi O_o Objek tiga dimensi apa pun terstruktur seperti bola dengan sejumlah pegangan tertentu. Baik itu cangkir, sendok, garpu (sendok=garpu!), mouse komputer, orang.

Ini adalah teorema yang cukup bermakna dan telah dibuktikan. Tidak oleh kita dan tidak sekarang. Lebih tepatnya, hal ini telah terbukti untuk situasi yang lebih umum. Izinkan saya menjelaskan: kami membatasi diri untuk mempertimbangkan figur yang dibentuk dari plastisin dan tanpa rongga. Hal ini memerlukan masalah-masalah berikut:
1) kita tidak bisa mendapatkan permukaan yang tidak dapat diorientasikan (botol Klein, strip Möbius, bidang proyektif),
2) kita membatasi diri pada permukaan dua dimensi (n/a: bola - permukaan dua dimensi),
3) kita tidak dapat memperoleh permukaan, bentuk yang memanjang hingga tak terhingga (tentu saja kita dapat membayangkannya, tetapi jumlah plastisin saja tidak akan cukup).

Jalur Mobius

Botol Klein

Ketentuan topologi jaringan berarti cara menghubungkan komputer ke dalam jaringan. Anda mungkin juga mendengar nama lain - struktur jaringan atau konfigurasi jaringan (Sama). Selain itu, konsep topologi mencakup banyak aturan yang menentukan penempatan komputer, metode peletakan kabel, metode penempatan peralatan penghubung, dan masih banyak lagi. Sampai saat ini, beberapa topologi dasar telah terbentuk dan ditetapkan. Dari jumlah tersebut, kita dapat mencatat “ ban”, “cincin" Dan " bintang”.

Topologi bus

Topologi ban (atau, seperti yang sering disebut bus umum atau jalan raya ) melibatkan penggunaan satu kabel yang menghubungkan semua workstation. Kabel umum digunakan oleh semua stasiun secara bergantian. Semua pesan yang dikirim oleh masing-masing stasiun kerja diterima dan didengarkan oleh semua komputer lain yang terhubung ke jaringan. Dari aliran ini, setiap stasiun kerja memilih pesan yang ditujukan hanya padanya.

Kelebihan topologi bus :

kemudahan pengaturan;
pemasangan yang relatif mudah dan biaya rendah jika semua stasiun kerja berlokasi berdekatan;
Kegagalan satu atau lebih workstation tidak mempengaruhi pengoperasian seluruh jaringan dengan cara apa pun.

Kekurangan topologi bus:

masalah bus di mana pun (kabel putus, kegagalan konektor jaringan) menyebabkan jaringan tidak dapat dioperasikan;
kesulitan dalam pemecahan masalah;
kinerja rendah – pada waktu tertentu, hanya satu komputer yang dapat mengirimkan data ke jaringan; seiring bertambahnya jumlah stasiun kerja, kinerja jaringan menurun;
skalabilitas yang buruk - untuk menambah stasiun kerja baru, bagian dari bus yang ada perlu diganti.

Berdasarkan topologi “bus” itulah jaringan lokal dibangun kawat koaksial. Dalam hal ini, bagian kabel koaksial yang dihubungkan dengan konektor T bertindak sebagai bus. Bus dibaringkan melalui semua ruangan dan mendekati setiap komputer. Pin samping konektor T dimasukkan ke dalam konektor pada kartu jaringan. Ini penampakannya: Sekarang jaringan seperti itu sudah ketinggalan zaman dan telah digantikan di mana-mana dengan kabel twisted pair “bintang”, namun peralatan untuk kabel koaksial masih dapat dilihat di beberapa perusahaan.

Topologi cincin

Cincin adalah topologi jaringan lokal di mana workstation dihubungkan secara seri satu sama lain, membentuk cincin tertutup. Data ditransfer dari satu stasiun kerja ke stasiun kerja lainnya dalam satu arah (dalam lingkaran). Setiap PC berfungsi sebagai repeater, menyampaikan pesan ke PC berikutnya, mis. data ditransfer dari satu komputer ke komputer lain seolah-olah dalam perlombaan estafet. Jika suatu komputer menerima data yang ditujukan untuk komputer lain, maka komputer tersebut akan meneruskannya lebih lanjut sepanjang ring; jika tidak, maka data tersebut tidak akan dikirimkan lebih lanjut.

Keuntungan topologi ring:

kemudahan instalasi;
hampir tidak adanya peralatan tambahan;
Kemungkinan pengoperasian yang stabil tanpa penurunan kecepatan transfer data yang signifikan di bawah beban jaringan yang berat.

Namun, “cincin” tersebut juga memiliki kelemahan yang signifikan:

setiap stasiun kerja harus berpartisipasi aktif dalam transfer informasi; jika setidaknya salah satu dari mereka gagal atau kabel putus, pengoperasian seluruh jaringan terhenti;
menghubungkan stasiun kerja baru memerlukan penghentian jaringan jangka pendek, karena cincin harus terbuka selama pemasangan PC baru;
kompleksitas konfigurasi dan pengaturan;
Kesulitan dalam pemecahan masalah.

Topologi jaringan ring jarang digunakan. Ini menemukan aplikasi utamanya di jaringan serat optik Standar Token Ring.

Topologi bintang

Bintang adalah topologi jaringan lokal dimana setiap workstation terhubung ke perangkat pusat (switch atau router). Perangkat pusat mengontrol pergerakan paket dalam jaringan. Setiap komputer terhubung melalui kartu jaringan ke switch dengan kabel terpisah. Jika perlu, Anda dapat menggabungkan beberapa jaringan bersama-sama dengan topologi bintang - sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan konfigurasi jaringan seperti pohon topologi. Topologi tree biasa terjadi di perusahaan besar. Kami tidak akan membahasnya secara detail di artikel ini.

Topologi “bintang” saat ini telah menjadi yang utama dalam pembangunan jaringan lokal. Hal ini terjadi karena banyak keuntungannya:

kegagalan satu stasiun kerja atau kerusakan kabelnya tidak mempengaruhi pengoperasian seluruh jaringan;
skalabilitas yang sangat baik: untuk menghubungkan workstation baru, cukup letakkan kabel terpisah dari sakelar;
pemecahan masalah yang mudah dan gangguan jaringan;
kinerja tinggi;
kemudahan pengaturan dan administrasi;
Peralatan tambahan dapat dengan mudah diintegrasikan ke dalam jaringan.

Namun, seperti topologi lainnya, “bintang” bukannya tanpa kekurangan:

kegagalan saklar pusat akan mengakibatkan tidak dapat dioperasikannya seluruh jaringan;
biaya tambahan untuk peralatan jaringan - perangkat yang akan menghubungkan semua komputer di jaringan (beralih);
jumlah workstation dibatasi oleh jumlah port di saklar pusat.

Bintang – topologi paling umum untuk jaringan kabel dan nirkabel. Contoh topologi star adalah jaringan dengan kabel twisted pair dan switch sebagai perangkat pusatnya. Ini adalah jaringan yang ditemukan di sebagian besar organisasi.

Terkait.
Isi
Topologi umum
Topologi seragam
Topologi aljabar
Topologi linier sedikit demi sedikit
Topologi manifold
Tahapan utama pengembangan topologi

1. Topologi umum
Bagian teori yang berorientasi pada kajian aksiomatik kontinuitas disebut teori umum.Bersama dengan aljabar, teori umum menjadi dasar metode teori himpunan modern dalam matematika.
Secara aksiomatis, kesinambungan dapat didefinisikan dalam banyak cara (secara umum, tidak setara). Aksiomatik yang diterima secara umum didasarkan pada konsep himpunan terbuka. Struktur topologi, atau topologi, pada himpunan X adalah kumpulan himpunan bagiannya, yang disebut himpunan terbuka, sehingga:
1) himpunan kosong ∅ dan semua X terbuka;
2) gabungan suatu bilangan dan perpotongan sejumlah himpunan terbuka yang berhingga adalah terbuka.
Himpunan yang diberikan struktur topologi disebut ruang topologi. Dalam ruang topologi X seseorang dapat mendefinisikan semua konsep dasar analisis dasar yang berkaitan dengan kontinuitas. Misalnya, lingkungan titik x
∈ X adalah himpunan terbuka sembarang yang memuat titik ini; himpunan A⊂X dikatakan tertutup jika komplemennya XA terbuka; penutupan suatu himpunan A adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A; jika penutupan ini bertepatan dengan X, maka A dikatakan padat di semua tempat di X, dan seterusnya.
Menurut definisinya, ∅ dan X merupakan himpunan tertutup dan himpunan terbuka. Jika tidak ada himpunan lain di X yang tertutup dan terbuka, maka ruang topologi X disebut terhubung. Ruang yang terhubung secara visual terdiri dari satu “bagian”, sedangkan ruang yang tidak koheren terdiri dari beberapa “bagian”.
Setiap himpunan bagian A dari ruang topologi X mempunyai struktur topologi alami yang terdiri dari perpotongan dengan A himpunan terbuka dari X. Dilengkapi dengan struktur ini A disebut subruang dari ruang X. Setiap ruang metrik menjadi topologi jika himpunan terbukanya diambil ke menjadi himpunan yang berisi, bersama dengan suatu titik sembarang, beberapa lingkungan ε-nya (sebuah bola berjari-jari ε yang berpusat di titik ini). Secara khusus, setiap subset dari ruang Euclidean berdimensi n |R n adalah ruang topologi. Teori ruang seperti itu (dengan nama “teori geometris”) dan teori ruang metrik secara tradisional termasuk dalam teori umum.
Teori geometri dengan jelas dipecah menjadi dua bagian: studi tentang himpunan bagian |R n dengan kompleksitas yang berubah-ubah, tunduk pada batasan umum tertentu (contohnya adalah apa yang disebut teori kontinuitas, yaitu himpunan tertutup berbatas yang terhubung), dan studi cara di mana |R n ruang topologi sederhana seperti bola, bola, dll. dapat disematkan. (penyematan di |R n , misalnya bola, bisa sangat rumit).
Penutup terbuka dari ruang topologi X adalah keluarga dari himpunan terbukanya, yang gabungannya merupakan keseluruhan dari X. Ruang topologi X disebut kompak (dalam terminologi lain, bikompak) jika salah satu penutup terbukanya mengandung bilangan berhingga elemen yang membentuk penutup. Teorema klasik Heine-Borel menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tertutup yang dibatasi |R n adalah kompak. Ternyata semua teorema dasar analisis dasar tentang himpunan tertutup berbatas (misalnya, teorema Weierstrass bahwa pada himpunan tersebut fungsi kontinu mencapai nilai maksimumnya) berlaku untuk semua ruang topologi kompak. Hal ini menentukan peran mendasar yang dimainkan oleh ruang kompak dalam matematika modern (terutama dalam kaitannya dengan teorema keberadaan). Identifikasi kelas ruang topologi kompak adalah salah satu pencapaian terbesar teori umum, yang memiliki signifikansi matematis umum.
Penutup terbuka (V β) dikatakan tertulis di dalam penutup (U α) jika untuk sembarang β terdapat α sehingga V β ⊂ U α. Suatu penutup (V β) dikatakan berhingga lokal jika setiap titik x ∈ X mempunyai lingkungan yang hanya berpotongan dengan sejumlah elemen penutup tersebut yang jumlahnya terbatas.
Suatu ruang topologi dikatakan parakompak jika setiap penutup terbuka di dalamnya dapat memuat penutup yang terbatas secara lokal. Kelas ruang parakompak adalah contoh kelas ruang topologi yang diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut kondisi tipe kekompakan. Kelas ini sangat luas, khususnya berisi semua ruang topologi yang dapat diukur, yaitu ruang X di mana metrik tersebut dapat diperkenalkan
ρ bahwa T. yang dihasilkan oleh ρ di X bertepatan dengan T. yang didefinisikan dalam X.
Multiplisitas suatu penutup terbuka adalah bilangan k terbesar sehingga terdapat k elemen-elemennya yang mempunyai titik potong tak kosong. Bilangan terkecil n dengan sifat bahwa setiap penutup terbuka berhingga dari ruang topologi X dapat memuat penutup terbuka multiplisitas ≤n + 1 dilambangkan dengan dimX dan disebut dimensi X.
Nama ini dibenarkan oleh fakta bahwa dalam situasi geometri dasar dimX bertepatan dengan dimensi yang biasanya dipahami, misalnya dim|R n = n. Fungsi numerik lain dari ruang topologi X juga dimungkinkan, berbeda dari dimX, tetapi dalam kasus paling sederhana bertepatan dengan dimX. Studi mereka adalah subjek dari teori umum dimensi - bagian yang paling berorientasi geometris dari T umum. Hanya dalam kerangka teori ini dimungkinkan, misalnya, untuk memberikan definisi yang jelas dan cukup umum tentang konsep intuitif suatu sosok geometris dan, khususnya, konsep garis, permukaan, dll.
Kelas-kelas penting dari ruang topologi diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut aksioma pemisahan. Contohnya adalah aksioma Hausdorff, atau aksioma T2, yang mensyaratkan bahwa dua titik berbeda mempunyai lingkungan yang saling lepas. Ruang topologi yang memenuhi aksioma ini disebut Hausdorff, atau dapat dipisahkan. Untuk beberapa waktu dalam praktik matematika hampir secara eksklusif ditemukan ruang Hausdorff (misalnya, ruang metrik mana pun adalah Hausdorff). Namun, peran ruang topologi non-Hausdorff dalam analisis dan geometri terus berkembang.
Ruang topologi yang merupakan subruang dari ruang kompak Hausdorff (bi) disebut benar-benar teratur atau Tikhonov. Mereka juga dapat dicirikan oleh beberapa aksioma keterpisahan, yaitu: aksioma yang mensyaratkan bahwa untuk setiap titik x 0
∈ X dan sembarang himpunan tertutup F X yang tidak memuatnya, terdapat fungsi kontinu g: X → sama dengan nol di x 0 dan satu di F.
Ruang topologi yang merupakan subruang terbuka dari ruang kompak Hausdorff disebut ruang kompak lokal. Mereka dicirikan (dalam kelas ruang Hausdorff) oleh fakta bahwa setiap titiknya mempunyai lingkungan dengan penutupan yang kompak (contoh: ruang Euclidean). Setiap ruang seperti itu dilengkapi dengan satu titik ke ruang kompak (contoh: dengan menambahkan satu titik dari bidang, diperoleh bola variabel kompleks, dan dari |R n - bola S n).
Pemetaan f: X → Y dari ruang topologi X ke dalam ruang topologi Y disebut pemetaan kontinu jika untuk sembarang himpunan terbuka V ⊂ Y himpunan ƒ −1 (V) terbuka di X. Pemetaan kontinu disebut homeomorfisme jika pemetaan satu-ke-satu dan kebalikannya f − 1: Y
→ X kontinu. Pemetaan seperti itu menghasilkan korespondensi satu-satu antara himpunan terbuka ruang topologi X dan Y, yang dapat diubah dengan operasi penyatuan dan perpotongan himpunan. Oleh karena itu, semua sifat topologi (yaitu, sifat yang dirumuskan dalam himpunan terbuka) dari ruang-ruang ini adalah sama, dan dari sudut pandang topologi, ruang topologi homeomorfik (yaitu, ruang yang setidaknya terdapat satu homeomorfisme X → kamu)
harus dianggap identik (seperti dalam geometri Euclidean, angka-angka yang dapat digabungkan dengan gerakan dianggap identik). Misalnya, lingkaran dan batas persegi, segi enam, dll. bersifat homeomorfik (“identik secara topologi”). Secara umum, dua garis tertutup sederhana (tanpa titik ganda) bersifat homeomorfik. Sebaliknya, lingkaran tidak bersifat homeomorfik terhadap garis lurus (karena menghilangkan suatu titik tidak melanggar keterhubungan lingkaran, tetapi melanggar keterhubungan garis lurus; dengan alasan yang sama, garis lurus tidak bersifat homeomorfik terhadap a bidang, dan lingkaran tidak bersifat homeomorfik terhadap angka delapan).
Lingkaran juga tidak homeomorfik terhadap sebuah bidang (membuang bukan hanya satu, tetapi dua titik).
Misalkan (X α) adalah suatu keluarga ruang topologi yang berubah-ubah. Misalkan himpunan X dari semua keluarga berbentuk (x α ), dengan x α ∈ X α (hasil kali langsung dari himpunan X α). Untuk sembarang α, rumus p α ((x α )) = x α mendefinisikan beberapa pemetaan p α: X → X α (disebut proyeksi). Secara umum, dalam X seseorang dapat memperkenalkan banyak struktur topologi yang seluruh peta p α bersifat kontinu.
Di antara struktur-struktur ini, ada yang terkecil (yaitu, terkandung dalam struktur tersebut). Himpunan X yang dilengkapi dengan struktur topologi ini disebut produk topologi dari ruang topologi X α dan dilambangkan dengan simbol ΠX α (dan dalam kasus sejumlah faktor berhingga, dengan simbol X 1 H... H X n ). Secara eksplisit, himpunan terbuka di ruang X dapat digambarkan sebagai gabungan dari perpotongan berhingga dari semua himpunan berbentuk p α −1 (U α), dengan U α terbuka di X α.
Ruang topologi X memiliki sifat universalitas yang luar biasa berikut ini, yang secara unik (hingga homeomorfisme) mencirikannya: untuk setiap keluarga peta kontinu ƒ α: Y → X α terdapat peta kontinu unik ƒ : Y → X yang mana p α ∘ƒ=ƒ α untuk semua α. Spasi |R n adalah produk topologi dari n instance garis bilangan. Salah satu teorema terpenting dalam teori umum adalah pernyataan bahwa produk topologi ruang topologi kompak adalah kompak.
Jika X adalah ruang topologi dan Y adalah himpunan sembarang, dan jika diberi pemetaan p: X → Y dari ruang X ke himpunan Y (misalnya, jika Y adalah himpunan hasil bagi X dengan suatu relasi ekuivalen, dan p adalah pemetaan proyeksi alami untuk setiap elemen x ∈ X kelas ekivalensinya),
kemudian kita dapat mengajukan pertanyaan tentang memperkenalkan struktur topologi ke dalam Y, yang pemetaannya kontinu. Struktur yang paling “kaya” (dalam himpunan terbuka) diperoleh dengan menganggap semua himpunan V tersebut sebagai himpunan terbuka di Y
⊂ Y yang himpunan f ‑1 (V) ⊂ X terbuka di X. Himpunan Y yang dilengkapi dengan struktur topologi ini disebut ruang hasil bagi dari ruang topologi X (terhadap p). Ia memiliki properti yang merupakan peta sembarang ƒ : Y
→ Z kontinu jika dan hanya jika pemetaan ƒ∘p: X → Z kontinu. Pemetaan kontinu p: X → Y disebut faktorial jika ruang topologi Y, terhadap p, adalah ruang hasil bagi dari ruang topologi X. Pemetaan kontinyu p: X
→ Y disebut terbuka jika untuk sembarang himpunan terbuka U ⊂ X himpunan p(U) terbuka di Y, dan tertutup jika untuk sembarang himpunan tertutup F ⊂ X himpunan p(F) tertutup di Y. Terbuka dan tertutup kontinu peta ƒ : X
→ Y, dimana ƒ(X) = Y, adalah faktorial.
Misalkan X adalah ruang topologi, A adalah subruangnya dan ƒ : A → Y adalah peta kontinu. Dengan asumsi ruang topologi X dan Y saling lepas, kami memperkenalkan X dalam gabungan keduanya
∪ Struktur topologi Y, dengan mempertimbangkan himpunan terbuka yang merupakan gabungan dari himpunan terbuka dari X dan Y. Dalam ruang X ∪ Y kita perkenalkan relasi ekivalen terkecil di mana a ∼ ƒ(α) untuk setiap titik a
∈ A. Ruang hasil bagi yang bersesuaian dilambangkan dengan X ∪ f Y dan dikatakan diperoleh dengan menempelkan ruang topologi X ke ruang topologi Y sepanjang A melalui peta kontinu ƒ. Operasi sederhana dan intuitif ini ternyata sangat penting, karena memungkinkan seseorang memperoleh operasi yang lebih kompleks dari ruang topologi yang relatif sederhana. Jika Y terdiri dari satu titik, maka ruang X
∪ f Y dilambangkan dengan simbol X/A dan dikatakan diperoleh dari X dengan mengontraksikan A ke suatu titik. Misalnya, jika X adalah sebuah piringan dan A adalah lingkaran batasnya, maka X/A bersifat homeomorfik terhadap sebuah bola.
2. Topologi seragam
Bagian teori yang mempelajari konsep kontinuitas aksiomatik disebut teori seragam.Definisi kontinuitas seragam fungsi numerik, yang diketahui dari analisis, langsung ditransfer ke pemetaan ruang metrik apa pun. Oleh karena itu, aksiomatik kontinuitas seragam biasanya diperoleh mulai dari ruang metrik. Dua pendekatan aksiomatik terhadap kesinambungan seragam dieksplorasi, masing-masing berdasarkan pada konsep kedekatan dan lingkaran diagonal.
Himpunan bagian A dan B dari ruang metrik X disebut dekat (notasi AδB) jika untuk sembarang ε > 0 terdapat titik a∈A dan b∈B, yang jaraknya Dengan mengambil sifat-sifat dasar relasi ini sebagai aksioma, kita peroleh definisi berikut: kedekatan struktur (dapat dipisahkan) pada himpunan X adalah relasi δ pada himpunan semua himpunan bagiannya sedemikian rupa sehingga:
1) ∅δ̅X (simbol δ̅ menunjukkan negasi dari relasi δ;
2)
Aδ̅B 1 dan Aδ̅B 2 ⇔ Aδ(B 1 U B 2);

3) (x) δ̅ (y) ⇔ x ≠ y;

4) jika AδB, maka terdapat himpunan Cδ̅B sehingga Aδ(XC).
Himpunan yang menentukan struktur kedekatan disebut ruang kedekatan. Pemetaan dari ruang kedekatan X ke ruang kedekatan Y dikatakan kontinu dekat jika bayangan himpunan-himpunan yang berdekatan di X juga berdekatan di Y. Jarak kedekatan X dan Y disebut homeomorfik dekat (atau ekumorfik) jika ada pemetaan kontinu dekat satu-ke-satu
X → Y, yang inversnya juga kontinu terdekat (pemetaan kontinu terdekat seperti itu disebut ekimorfisme). Dalam teori seragam, ruang kedekatan ekumorfik dianggap identik. Seperti ruang metrik, setiap ruang kedekatan dapat diubah menjadi ruang topologi (Hausdorff) dengan mempertimbangkan subset
U⊂X terbuka jika (x)δ̅(XU) untuk sembarang titik x∈U. Dalam hal ini, pemetaan kontinu terdekat berubah menjadi pemetaan kontinu. Kelas ruang topologi yang diperoleh dengan cara yang dijelaskan dari ruang kedekatan bertepatan dengan kelas ruang topologi yang benar-benar teratur. Untuk ruang X yang benar-benar teratur, semua struktur kedekatan pada X yang menghasilkan struktur topologinya berada dalam korespondensi satu-satu dengan apa yang disebut pemadatan (dalam terminologi lain, ekstensi bi-kompak) bX - ruang topologi Hausdorff kompak yang mengandung X sebagai ruang padat di mana-mana.
Struktur kedekatan δ yang berhubungan dengan ekstensi bX dicirikan oleh fakta bahwa AδB jika dan hanya jika penutupan himpunan A dan B berpotongan di bX. Khususnya, pada setiap ruang topologi Hausdorff kompak X terdapat struktur kedekatan unik yang menghasilkan struktur topologinya.
Pendekatan lain didasarkan pada fakta bahwa kontinuitas seragam dalam ruang metrik X dapat didefinisikan dalam hubungan “titik x dan y berada pada jarak tidak lebih besar dari ε.” Dari sudut pandang umum, relasi pada X tidak lebih dari himpunan bagian sembarang U dari hasil kali langsung XХX. Relasi “identitas”, dari sudut pandang ini, adalah diagonal Δ ⊂ X × X, yaitu himpunan titik-titik berbentuk (x, x), x∈X. Untuk relasi apa pun U, relasi invers U −1 = ((x,y); (y,x) terdefinisi
∈ U) dan untuk dua relasi U dan V komposisinya ditentukan U · V = ((x,y); terdapat z ∈ X sehingga (x, z) ∈ U, (z,y) ∈ V ). Suatu keluarga relasi (U) disebut struktur seragam (yang dapat dipisahkan) pada X (dan relasi U disebut lingkungan diagonal) jika: 1) perpotongan dua lingkungan diagonal mengandung lingkungan diagonal; 2) setiap lingkungan diagonal berisi
Δ, dan perpotongan semua diagonal lingkungan bertepatan dengan Δ; 3) bersama dengan U, lingkungan diagonalnya juga U −1 ; 4) untuk setiap lingkungan diagonal U terdapat lingkungan diagonal W sedemikian rupa sehingga W o W
⊂ U. Suatu himpunan yang memiliki struktur seragam disebut ruang seragam. Pemetaan ƒ : X → Y dari ruang seragam X ke dalam ruang seragam Y disebut kontinu seragam jika bayangan kebalikan dari pemetaan ƒ
Х ƒ : X Х X → Y Х Y dari setiap lingkungan diagonal V ⊂ Y Х Y berisi beberapa lingkungan diagonal dari X Х X. Ruang seragam X dan Y disebut homeomorfik seragam jika terdapat satu-ke-satu pemetaan kontinyu seragam X
→ Y, kebalikannya juga merupakan peta kontinu seragam.
Dalam seragam T. ruang seragam tersebut dianggap identik. Setiap struktur seragam di X mendefinisikan beberapa struktur kedekatan: AδB jika dan hanya jika (A × B) ∩ U ≠ ∅ untuk setiap lingkungan diagonal U ⊂ X × X.
Dalam hal ini, peta kontinu seragam menjadi hampir kontinu.
3. Topologi aljabar
Biarkan setiap ruang topologi X (dari beberapa kelas) dikaitkan dengan beberapa objek aljabar h(X) (grup, gelanggang, dll.), dan biarkan setiap peta kontinu ƒ : X → Y dikaitkan dengan beberapa homomorfisme h(f) : h ( X)
→ h(Y) (atau h(f) : h(Y) → h(X), yaitu homomorfisme identitas jika ƒ adalah peta identitas. Jika h(f 1 ○ f 2) = h(f 1)
○ h(f 2) (atau, masing-masing, h(f 1 ○ f 2) = h(f 2) ○ h(f 1), maka h dikatakan sebagai functor (masing-masing disebut cofunctor). T paling aljabar masalah. entah bagaimana terkait dengan masalah propagasi: untuk pemetaan kontinu tertentu f: A
→ Y dari subruang A ⊂ X ke dalam ruang topologi Y, carilah pemetaan kontinu g: X → Y yang bertepatan pada A dengan ƒ, sehingga ƒ = g i, di mana i: A
→ X - menyematkan peta (i(a) = a untuk titik mana pun a ∈ A). Jika peta kontinu g ada, maka untuk setiap fungsi (cofunctor) h terdapat homomorfisme (φ: h(X)
→ h(Y) (homomorfisme φ: h(Y) → h(X)), sehingga h(f) = φ ○ h(i) (masing-masing h(f) = h(i) ○ φ); itu akan menjadi homomorfisme φ = h(g). Oleh karena itu, tidak adanya homomorfisme
φ (untuk setidaknya satu fungsi h) menyiratkan tidak adanya pemetaan g. Hampir semua metode aljabar T sebenarnya dapat direduksi menjadi prinsip sederhana ini, misalnya ada fungsitor h yang nilainya pada bola E n adalah grup sepele, dan pada bola S n-1 yang membatasi bola adalah kelompok yang tidak sepele. Ini sudah menyiratkan tidak adanya apa yang disebut retraksi - pemetaan berkelanjutan p: E n
→ S n-1 , ditetapkan pada S n-1 , yaitu sedemikian rupa sehingga komposisi pi·i, di mana i: S n‑1 → E n adalah peta penyematan, adalah peta identitas (jika p ada, maka peta identitas grup h(S n-1) merupakan komposisi pemetaan h(i) : h(S n-1)
→ h(E n) dan h(p) : h(E n) → h(S n-1), yang tidak mungkin untuk grup sepele h(E n). Namun, fakta geometris dasar dan (untuk n = 2) yang jelas secara visual ini (secara fisik berarti kemungkinan meregangkan drum pada lingkaran bundar) belum dibuktikan tanpa menggunakan metode topologi aljabar. Konsekuensi langsungnya adalah pernyataan bahwa setiap peta kontinu ƒ : E n
→ E n mempunyai paling sedikit satu titik tetap, yaitu persamaan ƒ(x) = x mempunyai paling sedikit satu penyelesaian di E n (jika ƒ(x) ≠ x untuk semua x ∈ E n , maka ambil p(x ) suatu titik dari S n-1 segaris dengan titik ƒ(x) dan x dan sedemikian rupa sehingga ruas yang ujungnya ƒ(x) dan p(x) memuat x, kita peroleh retraksi p: E n
→ S n-1). Teorema titik tetap ini merupakan salah satu teorema pertama teori aljabar, dan kemudian menjadi sumber dari serangkaian berbagai teorema tentang keberadaan solusi persamaan.
Secara umum, semakin kompleks struktur aljabar objek h(X), semakin mudah untuk menetapkan tidak adanya homomorfisme (φ).Oleh karena itu, teori aljabar mempertimbangkan objek aljabar yang bersifat sangat kompleks, dan persyaratannya topologi aljabar secara signifikan merangsang perkembangan aljabar abstrak.
Ruang topologi X disebut ruang seluler, serta partisi seluler (atau kompleks CW), jika berisi rangkaian subruang yang meningkat X 0 ⊂...
⊂ X n-1 ⊂ X n ⊂... (disebut kerangka ruang seluler X), yang gabungannya merupakan bilangan bulat X, dan kondisi berikut terpenuhi: 1) himpunan U ⊂ X terbuka di X jika dan hanya jika untuk sembarang n himpunan U
∩ X n terbuka di X n ; 2) X n diperoleh dari X n-1 dengan menempelkan sekelompok bola berdimensi n tertentu di sepanjang bola berdimensi batasnya (n-1) (melalui pemetaan kontinu sembarang bola-bola ini ke dalam X n-1); 3) X 0 terdiri dari titik-titik terisolasi. Dengan demikian, struktur ruang seluler, secara kasar, terdiri dari fakta bahwa ia direpresentasikan sebagai gabungan himpunan homeomorfik dengan bola terbuka (himpunan ini disebut sel). Dalam teknik aljabar, ruang seluler dipelajari hampir secara eksklusif, karena kekhususan masalah teknik aljabar bagi mereka sudah terwujud sepenuhnya. Selain itu, pada kenyataannya, beberapa ruang seluler yang sangat sederhana (seperti Polyhedra, lihat di bawah) menarik untuk sistem aljabar, namun mempersempit kelas ruang seluler, sebagai suatu peraturan, secara signifikan mempersulit penelitian (karena banyak operasi yang berguna pada ruang seluler adalah berasal dari kelas polihedra).
Dua peta kontinu f, g: X → Y disebut homotopik jika keduanya dapat dideformasi satu sama lain secara kontinu, yaitu jika terdapat keluarga peta kontinu f t: X → Y, kontinu bergantung pada parameter t ∈ , sehingga f 0 = ƒ dan f 1 = g (ketergantungan terus menerus pada t berarti rumus F(x, t) = f t (x), x ∈ X, t
∈ mendefinisikan pemetaan kontinu F: X Х → Y; pemetaan ini, serta keluarga (ft ) disebut homotopi yang menghubungkan ƒ dengan g). Himpunan semua pemetaan berkelanjutan
X → Y terdekomposisi menjadi kelas-kelas homotopi dari pemetaan yang homotopik satu sama lain. Himpunan kelas homotopi pemetaan kontinu dari X ke Y dilambangkan dengan simbol . Studi tentang sifat-sifat hubungan homotopi dan, khususnya, himpunan adalah subjek yang disebut topologi homotopi (atau teori homotopi). Untuk sebagian besar ruang topologi yang menarik, himpunannya berhingga atau dapat dihitung dan dapat dihitung secara efisien secara eksplisit. Ruang topologi X dan Y disebut ekuivalen homotopi, atau mempunyai tipe homotopi yang sama, jika terdapat peta kontinu seperti ƒ:
X → Y dan g: Y → X sedemikian rupa sehingga peta kontinu g·f: X → X dan f·g: Y → Y homotopik terhadap peta identitas yang bersangkutan. Dalam teori homotopi, ruang-ruang seperti itu harus dianggap identik (semua “homotopi invariannya” bertepatan).
Ternyata dalam banyak kasus (khususnya, untuk ruang seluler) solvabilitas masalah propagasi hanya bergantung pada kelas homotopi peta kontinu ƒ : A → Y; lebih tepatnya jika untuk ƒ propagasi g : X
→ Y ada, maka untuk sembarang homotopi f t: A → Y (dengan f 0 = f) terdapat distribusi g t: X → Y sedemikian rupa sehingga g 0 = g. Oleh karena itu, alih-alih ƒ, kita dapat mempertimbangkan kelas homotopinya [f] dan, sesuai dengan ini, hanya mempelajari fungsi invarian homotopi (cofunctors) h, yaitu sedemikian rupa sehingga h(f 0) = h(f 1), jika pemetaan f 0 dan f 1 homotopik. Hal ini mengarah pada jalinan erat antara teori aljabar dan homotopi sehingga keduanya dapat dianggap sebagai satu disiplin ilmu.
Untuk setiap ruang topologi Y, rumus h(X) = dan h(f) = [φ○f], di mana f: X 1 → X 2 dan φ : X 2 → Y, tentukan beberapa cofunctor invarian homotopi h, yaitu dikatakan diwakili oleh ruang topologi Y. Ini adalah metode standar (dan pada dasarnya satu-satunya) untuk membangun kofunktor invarian homotopi. Agar himpunan h(X) menjadi, katakanlah, sebuah grup, maka perlu untuk memilih Y yang sesuai, misalnya, untuk mengharuskannya menjadi grup topologi (secara umum, hal ini tidak sepenuhnya benar: itu perlu untuk memilih beberapa titik x 0 di X dan hanya mempertimbangkan peta kontinu dan homotopi, mengubah x 0 menjadi unit grup; namun komplikasi teknis ini akan diabaikan pada bagian berikut). Selain itu, Y cukup menjadi grup topologi
“dalam pengertian homotopi,” yaitu, sehingga aksioma asosiatif dan keberadaan elemen invers (yang sebenarnya menyatakan kebetulan dari beberapa pemetaan) hanya akan dipenuhi “sampai homotopi.” Ruang topologi seperti ini disebut ruang-H. Jadi, setiap ruang-H Y mendefinisikan kofungsi invarian homotopi h(X) = , yang nilainya berupa grup.
Dengan cara serupa (“ganda”), setiap ruang topologi Y didefinisikan dengan rumus h(X) = , h(f) = [ƒ ○φ], dimana ƒ : X 1
→ X 2 dan φ : Y → X 1 , beberapa fungsi h. Agar h(X) menjadi suatu grup, Y harus memiliki struktur aljabar tertentu, dalam arti tertentu yang bersifat ganda terhadap struktur ruang-H. Ruang topologi yang memiliki struktur ini disebut ruang bersama. Contoh ruang co-H adalah bola berdimensi n S n (untuk n ≥ 1).
Jadi, untuk setiap ruang topologi X, rumus π n X = mendefinisikan grup tertentu π n X, n ≥ 1, yang disebut grup homotopi ke-n dari ruang X. Untuk n = 1, grup tersebut bertepatan dengan grup fundamental. Untuk n > 1 grup
π n X bersifat komutatif. Jika π 1 X = (1), maka X disebut terhubung sederhana.
Ruang seluler X disebut ruang K(G, n) jika π i (X) = 0 untuk i ≠ n dan π n X = G; ruang seluler seperti itu ada untuk n ≥ 1 dan grup mana pun G (komutatif untuk n > 1) dan ditentukan secara unik hingga kesetaraan homotopi.
Untuk n > 1 (dan juga untuk n = 1, jika grup G bersifat komutatif), maka spasi K(G, n) merupakan ruang-H sehingga mewakili grup tertentu H n (X; G) = . Grup ini disebut grup kohomologi n-dimensi dari ruang topologi X dengan grup koefisien G. Grup ini merupakan representasi umum dari sejumlah kofungsitor penting, termasuk, misalnya, fungsi-K KO(X) = , yang diwakili oleh yang disebut Grassmannian BO berdimensi tak terbatas, sekelompok kobordisme berorientasi
Ω n X, dll.
Jika G adalah sebuah ring, maka jumlah langsung H*(X; G) dari grup H n (X; G) adalah aljabar atas G. Selain itu, jumlah langsung ini mempunyai struktur aljabar yang sangat kompleks, di mana (untuk G = Z p, dengan Z p adalah grup siklik berorde p) mencakup aksi pada H*(X; G) dari beberapa aljabar non-komutatif p, yang disebut aljabar Steenrod. Kompleksitas struktur ini memungkinkan, di satu sisi, untuk mengembangkan metode yang efektif (tetapi tidak sepenuhnya sederhana) untuk menghitung kelompok H n (X; G), dan, di sisi lain, untuk membangun hubungan antar kelompok H n (X ; G) dan fungsi invarian homotopi lainnya (misalnya, grup homotopi π n X),
yang sering kali memungkinkan penghitungan fungsi-fungsi ini secara eksplisit.
Secara historis, kelompok kohomologi didahului oleh apa yang disebut kelompok homologi H n (X; G), yang merupakan kelompok homotopi π n M(X, G) dari beberapa ruang seluler M(X, G), yang dibangun secara unik dari ruang seluler X dan kelompok G. Kelompok homologi dan kohomologi dalam arti tertentu bersifat ganda satu sama lain, dan teori-teori mereka pada dasarnya setara. Namun, struktur aljabar yang ditemukan dalam kelompok homologi kurang dikenal (misalnya, kelompok ini bukan merupakan aljabar, melainkan disebut batubara), dan oleh karena itu kelompok kohomologi biasanya digunakan dalam perhitungan. Pada saat yang sama, dalam beberapa pertanyaan, kelompok homologi ternyata lebih nyaman, sehingga mereka juga dipelajari. Bagian dari teori aljabar yang berhubungan dengan studi (dan penerapan) kelompok homologi dan kohomologi disebut teori homologi.
Pemindahan hasil teori aljabar ke ruang yang lebih umum daripada ruang seluler merupakan pokok bahasan yang disebut teori aljabar umum.Secara khusus, teori homologi umum mempelajari kelompok homologi dan kohomologi ruang topologi arbitrer dan penerapannya. Ternyata di luar kelas ruang seluler kompak, pendekatan berbeda terhadap konstruksi kelompok ini, secara umum, mengarah pada hasil yang berbeda, sehingga untuk ruang topologi non-seluler muncul serangkaian kelompok homologi dan kohomologi yang berbeda. Penerapan utama teori umum homologi adalah dalam teori dimensi dan teori yang disebut hukum dualitas (menggambarkan hubungan antara sifat topologi dari dua himpunan bagian tambahan ruang topologi), dan perkembangannya sebagian besar dirangsang oleh kebutuhan teori-teori ini.
4. Topologi linier sedikit demi sedikit
Subset P ∈ |R n disebut kerucut dengan titik sudut a dan alas B jika masing-masing titiknya termasuk dalam segmen unik berbentuk ab, di mana b ∈ B. Subset X ∈ |R n disebut polihedron jika ada titik-titiknya mempunyai lingkungan di X yang penutupnya berbentuk kerucut dengan alas kompak. Pemetaan kontinu ƒ : X → Y dari polihedra disebut linier sepotong-sepotong jika ia linier pada sinar-sinar setiap lingkungan berbentuk kerucut di titik mana pun x ∈ X. Pemetaan linier sepotong-sepotong satu-ke-satu, yang inversnya juga linier sepotong-sepotong , disebut isomorfisme linier sepotong-sepotong. Pokok bahasan teori linier sepotong-sepotong adalah studi tentang polihedra dan pemetaan linier sepotong-sepotongnya. Dalam teori linier sepotong-sepotong, polihedra dianggap identik jika polihedranya isomorfik linier sepotong-sepotong.
Subset X ∈ |R n adalah polihedron (kompak) jika dan hanya jika merupakan gabungan dari keluarga polihedra cembung (terbatas). Polihedron apa pun dapat direpresentasikan sebagai gabungan Simpleks yang berpotongan hanya di seluruh permukaannya. Representasi ini disebut triangulasi polihedron. Setiap triangulasi secara unik ditentukan oleh skema penyederhanaannya, yaitu himpunan semua simpulnya, yang di dalamnya ditandai himpunan bagian, yang merupakan himpunan simpul-simpul simpleks. Oleh karena itu, alih-alih polihedra, kita hanya dapat mempertimbangkan skema triangulasi sederhana. Misalnya, dengan menggunakan skema sederhana seseorang dapat menghitung kelompok homologi dan kohomologi. Ini dilakukan sebagai berikut:
a) simpleks yang simpul-simpulnya diurutkan dengan cara tertentu disebut simpleks terurut dari triangulasi tertentu (atau skema sederhana) K; kombinasi linier formal dari kesederhanaan terurut dari dimensi tertentu n dengan koefisien dari grup tertentu G disebut rantai n-dimensi; semuanya secara alamiah membentuk suatu golongan, yang dilambangkan dengan lambang C n (K; G);
b) dengan menghilangkan titik puncak berbilangan i, 0 ≤ i ≤ n, dari simpleks berdimensi n berdimensi σ, diperoleh simpleks berdimensi berurut (n-1), yang dilambangkan dengan simbol σ (i); rantai
∂σ = σ (0) −σ (1) + ... +(−1) n σ (n) disebut batas σ; secara linieritas pemetaan ∂ meluas ke homomorfisme ∂ : C n (K; G) → C n-1 (K; G);
c) rantai c yang ∂c = 0 disebut siklus, membentuk sekelompok siklus Z n (K; G);
d) rantai berbentuk c disebut batas, merupakan kelompok batas B n (K; G);
e) terbukti B n (K; G) ⊂ Z n (K; G) (batasnya berupa siklus); oleh karena itu kelompok faktor ditentukan
H n (K; G) = Z n (K; G)/ B n (K; G).
Ternyata gugus H n (K; G) isomorfik terhadap gugus homologi H n (X; G) dari polihedron X yang triangulasinya adalah K. Konstruksi serupa, yang dimulai bukan dari rantai, tetapi dari cochains (fungsi sewenang-wenang yang ditentukan pada himpunan semua kesederhanaan terurut dan mengambil nilai dalam G), menghasilkan grup kohomologi.
Dengan konstruksi ini, disajikan dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, pembentukan aljabar T pada dasarnya dimulai. Dalam konstruksi asli, apa yang disebut kesederhanaan berorientasi (kelas kesederhanaan terurut yang dibedakan dengan permutasi simpul genap) dipertimbangkan. Desain ini telah dikembangkan dan digeneralisasikan ke berbagai arah. Secara khusus, aspek aljabarnya memunculkan apa yang disebut aljabar homologis.
Secara umum, skema sederhana dapat didefinisikan sebagai suatu himpunan yang himpunan bagiannya terbatas (“simplices”) ditandai, dan himpunan bagian mana pun dari suatu simpleks harus kembali menjadi simpleks. Skema sederhana seperti itu adalah skema sederhana untuk triangulasi suatu polihedron jika dan hanya jika jumlah elemen dari himpunan bagian yang ditandai secara sembarang tidak melebihi suatu bilangan tetap. Namun, konsep polihedron dapat digeneralisasikan (setelah memperoleh apa yang disebut “polihedra berdimensi tak hingga”),
dan skema sederhana apa pun akan menjadi skema triangulasi dari beberapa polihedron (disebut realisasi geometrisnya).
Penutup terbuka sembarang (U α ) dari setiap ruang topologi X dapat dikaitkan dengan skema sederhana yang simpulnya merupakan elemen U α dari penutup dan subsetnya ditandai jika dan hanya jika elemen penutup yang membentuk subset ini memiliki persimpangan yang tidak kosong. Diagram sederhana ini (dan polihedron yang sesuai) disebut saraf penutup. Saraf-saraf dari semua penutup yang mungkin dalam arti tertentu mendekati ruang X dan, berdasarkan kelompok homologi dan kohomologinya, adalah mungkin, melalui jalur yang tepat hingga batasnya, untuk memperoleh kelompok homologi dan kohomologi dari X itu sendiri. Idenya mendasari hampir semua konstruksi teori umum homologi. Perkiraan ruang topologi oleh saraf penutup terbukanya juga memainkan peran penting dalam T. umum.
5. Topologi manifold
Ruang topologi parakompak Hausdorff disebut manifold topologi berdimensi-n jika “secara lokal Euclidean”, yaitu jika setiap titiknya memiliki lingkungan (disebut lingkungan koordinat, atau peta) yang homeomorfik terhadap ruang topologi |Rn. Di lingkungan ini, titik ditentukan oleh n angka x 1,
..., x n, disebut koordinat lokal. Pada perpotongan dua peta, koordinat lokal yang bersesuaian dinyatakan satu sama lain melalui fungsi tertentu yang disebut fungsi transisi. Fungsi-fungsi ini mendefinisikan homeomorfisme himpunan terbuka di |R n dan disebut homeomorfisme transisi.
Mari kita sepakat untuk menyebut homeomorfisme arbitrer antara himpunan terbuka di |R n a t-homeomorfisme. Homeomorfisme yang merupakan isomorfisme linier sepotong-sepotong akan disebut homeomorfisme p, dan jika dinyatakan dengan fungsi halus (dapat dibedakan beberapa kali), kita akan menyebutnya sebagai homeomorfisme s.
Misalkan α = t, p atau s. Manifold topologi disebut manifold α jika cakupannya dengan peta dipilih sedemikian rupa sehingga homeomorfisme transisi untuk dua petanya (yang berpotongan) adalah homeomorfisme α. Penutup seperti itu mendefinisikan struktur α pada manifold topologi X.
Jadi manifold-t hanyalah manifold topologi apa pun, manifold-p disebut manifold linier sepotong-sepotong. Setiap manifold linier sepotong-sepotong adalah polihedron. Di kelas semua polihedra, lipatan linier sepotong-sepotong berdimensi-n dicirikan oleh fakta bahwa setiap titiknya memiliki lingkungan yang isomorfik linier sepotong-sepotong terhadap kubus berdimensi-n. manifold s disebut manifold halus (atau terdiferensiasi). Peta α adalah manifold α yang disebut pemetaan kontinu sembarang untuk α = t, pemetaan linier sepotong-sepotong sembarang untuk α = s, pemetaan halus sembarang untuk α = s, yaitu pemetaan kontinu yang ditulis dalam koordinat lokal dengan fungsi halus.
Peta α satu-ke-satu, kebalikannya juga merupakan peta α, disebut homeomorfisme α (untuk α = s, juga diffeomorfisme), manifold α X dan Y disebut homeomorfik α ( untuk α = s, diffeomorfik) jika ada meskipun akan ada satu
α-homeomorfisme X → Y.
Pokok bahasan teori manifold α adalah studi tentang manifold α dan pemetaan α-nya; dalam hal ini, manifold α-homeomorfik dianggap identik. Teori manifold s merupakan bagian dari T linier sepotong-sepotong. Teori manifold s disebut juga T halus.
Metode utama teori manifold modern adalah dengan mereduksi permasalahannya menjadi permasalahan teori aljabar untuk ruang topologi tertentu yang dibangun dengan tepat. Hubungan erat antara teori varietas dan teori aljabar memungkinkan, di satu sisi, untuk memecahkan banyak masalah geometri yang sulit, dan di sisi lain, hal itu secara tajam merangsang perkembangan teori aljabar itu sendiri.
Contoh manifold halus adalah permukaan berdimensi n di |R n yang tidak mempunyai titik tunggal. Ternyata (menyematkan teorema) bahwa setiap manifold halus bersifat difeomorfik terhadap permukaan tersebut (untuk N ≥ 2n + 1). Hasil serupa juga berlaku untuk α = t, p.
Setiap variasi p adalah variasi t. Ternyata pada manifold-s mana pun, struktur p dapat dimasukkan secara alami (yang biasa disebut triangulasi Aithead). Kita dapat mengatakan bahwa setiap manifold α dengan α = p atau s adalah manifold α' dengan α' = t atau p.
Jawaban atas pertanyaan sebaliknya: pada manifold α' mana kita dapat memperkenalkan struktur α (manifold α' dengan α' = p disebut mulus, dan dengan α' = t - segitiga),
dan jika memungkinkan, berapa jumlahnya? - tergantung pada dimensi n.
Hanya ada dua manifold topologi satu dimensi: lingkaran S 1 (manifold kompak) dan garis lurus |R (manifold non-kompak). Untuk setiap α = p, s terdapat struktur α unik pada manifold-t S 1 dan |R.
Demikian pula, pada manifold topologi dua dimensi (permukaan) terdapat struktur α yang unik, dan semua permukaan terhubung kompak dapat dengan mudah dijelaskan (permukaan terhubung non-kompak juga dapat dijelaskan, tetapi jawabannya lebih kompleks). Agar permukaan bersifat homeomorfik, cukuplah permukaan tersebut setara dengan homotopi. Selain itu, jenis homotopi permukaan apa pun dicirikan secara unik oleh kelompok homologinya. Ada dua jenis permukaan: dapat diorientasikan dan tidak dapat diorientasikan. Di antara orientasinya adalah bola SI dan torus TI. Misalkan X dan Y adalah dua manifold α berdimensi n yang terhubung.
Mari kita potong bola di X dan Y (untuk n = 2 - sebuah cakram) dan rekatkan bola batas yang dihasilkan (untuk n = 2 - lingkaran). Tunduk pada beberapa tindakan pencegahan yang terbukti dengan sendirinya, hasilnya lagi-lagi merupakan manifold α.
Ini disebut jumlah terhubung dari manifold α X dan Y dan dilambangkan dengan X#Y. Misalnya TI#TI berbentuk pretzel. Bola S n adalah nol dari penjumlahan ini, yaitu S n #X = X untuk sembarang X. Khususnya, SІ#TI = TI. Ternyata permukaan yang dapat diorientasikan bersifat homeomorfik terhadap jumlah terhubung dari bentuk SІ#TI#
...#TI, bilangan p dari suku TI disebut genus permukaan. Untuk bola p = 0, untuk torus p = 1, dan seterusnya. Permukaan genus p dapat divisualisasikan sebagai bola yang “pegangan” p dilem.
Setiap permukaan yang tidak dapat diorientasikan bersifat homeomorfik terhadap jumlah |RPI#... #|RPI yang terhubung dari sejumlah bidang proyektif |RPI tertentu. Ini dapat dibayangkan sebagai sebuah bola yang ditempelkan beberapa lembar Mobius.
Pada setiap manifold topologi tiga dimensi untuk α = p, s juga terdapat struktur α yang unik dan dimungkinkan untuk mendeskripsikan semua jenis homotopi manifold topologi tiga dimensi (namun, grup homologi tidak lagi memadai untuk ini). Pada saat yang sama, hingga saat ini (1976) semua dugaan Poincaré (setidaknya terhubung secara kompak) belum dijelaskan, tidak diketahui.
Sungguh luar biasa bahwa untuk varietas topologi kompak dan terhubung dengan dimensi n ≥ 5 situasinya ternyata sangat berbeda: semua masalah utama bagi mereka dapat dianggap terpecahkan secara prinsip (lebih tepatnya, direduksi menjadi masalah teori aljabar). Setiap manifold halus X tertanam sebagai permukaan halus (berdimensi-n) di IR N dan vektor singgung ke X membentuk beberapa manifold halus baru TX, yang disebut bundel singgung dari manifold halus X. Secara umum, bundel vektor di atas ruang topologi X disebut ruang topologi E, yang diberikan pemetaan kontinu
π : E → X sehingga untuk setiap titik x ∈ X bayangan invers dari v (lapisan) merupakan ruang vektor dan terdapat penutup terbuka (U α ) dari ruang X sehingga untuk sembarang α bayangan invers
π −1 (U α) bersifat homeomorfik terhadap produk U α × |R n , dan terdapat homeomorfisme π −1 (U α) → U α × |R n , memetakan setiap lapisan secara linear
π −1 (x), x ∈ U α, ke ruang vektor (x) H |R n. Ketika E = TX, peta kontinu π mengasosiasikan titik singgungnya dengan setiap vektor singgung, sehingga lapisan tersebut
π −1 (x) adalah ruang yang bersinggungan dengan X di titik x. Ternyata setiap kumpulan vektor pada ruang kompak X mendefinisikan beberapa elemen grup KO(X). Jadi, khususnya, untuk manifold X yang mulus, kompak, dan terhubung dalam grup KO(X) ditentukan elemen yang sesuai dengan ikatan singgung. Ini disebut invarian tangensial dari variasi halus X. Ada analogi konstruksi ini untuk α apa pun.
Untuk α = p, peran grup KO(X) dimainkan oleh grup lain yang dilambangkan KPL(X), dan untuk α = t, peran grup ini dimainkan oleh grup yang dinotasikan KTop(X). Setiap manifold α X mendefinisikan dalam grup terkait [KO(X), KPL(X) atau KTop(X)] beberapa elemen yang disebut invarian tangensial α.
Terdapat homomorfisme alami KO(X) → KPL(X) → KTop(X), dan ternyata pada n-dimensi (n ≥ 5) α-manifold X kompak dan terhubung, dimana α = t, p, jika dan hanya jika seseorang dapat memperkenalkan struktur α (α = p jika α = t, dan α = s jika α = p) ketika invarian tangensial α-nya terletak pada gambar grup yang bersesuaian.
Jumlah struktur tersebut berhingga dan sama dengan jumlah elemen dari beberapa himpunan faktor dari himpunan tersebut , di mana Y α adalah ruang topologi yang dibangun secara khusus (untuk α = s, ruang topologi Y α biasanya dilambangkan dengan simbol PL/ O, dan untuk α = p - dengan simbol Top/PL).
Dengan demikian, pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan struktur α direduksi menjadi masalah tertentu dalam teori homotopi. Tipe homotopi ruang topologi PL/O cukup rumit dan belum dapat dihitung secara lengkap (1976); Namun, diketahui bahwa
π i (PL/O) = 0 untuk i ≤ 6, maka setiap manifold linier berdimensi n ≤ 7 dapat dihaluskan, dan untuk n ≤ 6 dengan cara yang unik. Sebaliknya, tipe homotopi ruang topologi Top/PL ternyata sangat sederhana: ruang ini setara dengan homotopi K(ℤ 2 , 3).
Akibatnya, jumlah struktur linier sepotong-sepotong pada manifold topologi tidak melebihi jumlah elemen golongan H i(X, ℤ 2). Struktur seperti itu pasti ada jika H 4 (X, ℤ 2)
= 0, tetapi untuk H 4 (X, ℤ 2) ≠ 0 struktur linier sepotong-sepotongnya mungkin tidak ada.
Secara khusus, terdapat struktur linier sepotong-sepotong yang unik pada bola S n. Terdapat banyak struktur halus pada bola S n, misalnya pada S 7 terdapat 28 struktur halus yang berbeda. Pada torus T n (produk topologi dari n salinan lingkaran S 1) terdapat n ≥ 5 banyak struktur linier sepotong-sepotong yang berbeda, yang semuanya memiliki struktur halus.
Jadi, yang pertama setara dengan bola dan bersifat homeomorfik terhadapnya).
Seiring dengan manifold α, kita dapat mempertimbangkan apa yang disebut manifold α dengan batas; mereka dicirikan oleh fakta bahwa lingkungan dari beberapa titiknya (yang merupakan tepi) adalah α-homeomorfik terhadap setengah ruang X n ≥ 0 dari ruang |R n . Batas adalah manifold α berdimensi (n-1) (secara umum, tidak terhubung).
Dua manifold α kompak berdimensi n X dan Y dikatakan (co)bordan jika terdapat manifold α kompak berdimensi (n+1) dengan batas W sehingga batasnya adalah gabungan varietas halus yang saling lepas α- homeomorfik ke X dan Y.
Jika peta penyematan X → W dan Y → W adalah kesetaraan homotopi, maka manifold halus disebut h-kobordan. Dengan menggunakan metode dekomposisi pegangan, dapat dibuktikan bahwa untuk n ≥ 5 manifold α kompak yang terhubung secara sederhana adalah α-homeomorfik jika h-kobordan.
Teorema h-cobordisme ini memberikan cara terkuat untuk menetapkan α-homeomorfi dari manifold α (khususnya, dugaan Poincaré adalah akibat wajarnya). Hasil serupa namun lebih kompleks juga berlaku untuk manifold α yang tidak terhubung secara sederhana.
Kumpulan n kelas manifold α kompak kobordan merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan terhubung. Nol dari grup ini adalah kelas manifold α yang merupakan tepi, yaitu kobordan dengan nol. Ternyata grup untuk α = s ini isomorfik terhadap grup homotopi π 2n+1 MO (n+1) dari beberapa ruang topologi yang dibangun secara khusus MO (n+1), yang disebut ruang Thom.
Hasil serupa terjadi untuk α = p, t. Oleh karena itu, metode teori aljabar pada prinsipnya memungkinkan untuk menghitung golongan α n. Secara khusus, ternyata golongan s n merupakan penjumlahan langsung dari golongan ℤ 2 yang besarnya sama dengan banyaknya pembagian bilangan n menjadi suku-suku selain bilangan berbentuk 2 m -1. Misalnya, s 3 = 0 (jadi setiap manifold halus kompak tiga dimensi adalah batasnya).
Sebaliknya, s 2 = ℤ 2, jadi ada permukaan yang kobordan satu sama lain dan tidak kobordan dengan nol; permukaan seperti itu, misalnya, adalah bidang proyektif |RP I.
M.M.Postnikov.
6. Tahapan utama pengembangan topologi
Beberapa hasil yang bersifat topologi diperoleh pada abad ke-18 dan ke-19. (Teorema Euler tentang polihedra cembung, klasifikasi permukaan, dan teorema Jordan bahwa garis tertutup sederhana yang terletak pada suatu bidang membagi bidang tersebut menjadi dua bagian). Pada awal abad ke-20. konsep umum ruang dalam ruang tercipta (metrik - M. Fréchet, topologi - F. Hausdorff), dan perluasan (bi)kompak dari ruang yang benar-benar teratur dibangun di bawah pengaruh Elemen; kelompok homologi ruang arbitrer didefinisikan (Cech), menjadi kelompok kohomologi (teori J. homotopi (H. Hopf, Pontryagin); kelompok homotopi didefinisikan (V. di Prancis, M. M. Postnikov di Uni Soviet, Whitehead, dll.) teori akhirnya terbentuk homotopia. Pada saat ini, pusat-pusat besar topologi aljabar diciptakan di AS, dan triangulabilitas (J. Milnor, USA). A, Topologi Diferensial. Kursus Awal, diterjemahkan dari bahasa Inggris, Moskow, 1972; Steenrod N., Chinn W., Konsep topologi pertama, diterjemahkan dari bahasa Inggris, M., 1967; Alexandrov P. S., Topologi kombinatorial, M.-L., 1947; Alexandrov P. S., Pasynkov B. A., Pengantar teori dimensi.
Pengantar teori ruang topologi dan teori umum dimensi, M., 1973; Aleksandrov P.S., Pengantar teori homologi dimensi dan topologi kombinatorial umum, M., 1975; Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I., Dasar-dasar topologi umum dalam masalah dan latihan, M., 1974; Postnikov M.M., Pengantar teori Morse, M., 1971; Bourbaki N., Topologi umum. Struktur dasar, trans. dari Perancis, M., 1968; nya, Topologi umum. Kelompok topologi. Angka dan grup serta spasi terkait, trans. dari Perancis, M., 1969; nya, Topologi umum.

Jaringan komputer dapat dibagi menjadi dua komponen. Jaringan komputer fisik, pertama-tama, adalah peralatan. Artinya, semua kabel dan adaptor yang diperlukan terhubung ke komputer, hub, switch, printer, dan sebagainya. Segala sesuatu yang harus bekerja pada jaringan umum.

Komponen kedua dari jaringan komputer adalah jaringan logis. Ini adalah prinsip menghubungkan sejumlah komputer dan peralatan yang diperlukan ke dalam satu sistem (yang disebut topologi jaringan komputer). Konsep ini lebih berlaku untuk jaringan lokal. Topologi yang dipilih untuk menghubungkan sejumlah komputerlah yang akan mempengaruhi peralatan yang dibutuhkan, keandalan jaringan, kemungkinan perluasannya, dan biaya pekerjaan. Saat ini jenis topologi jaringan komputer yang paling banyak digunakan adalah ring, star, dan bus. Namun, yang terakhir ini sudah hampir tidak digunakan lagi.

Star, ring, dan bus merupakan topologi dasar jaringan komputer.

"Bintang"

Topologi jaringan komputer “bintang” adalah struktur yang pusatnya adalah perangkat switching. Semua komputer terhubung melalui jalur terpisah.

Perangkat switching dapat berupa hub, yaitu HUB, atau switch. Topologi ini disebut juga “bintang pasif”. Jika perangkat switching adalah komputer atau server lain, maka topologinya dapat disebut “bintang aktif”. Ini adalah perangkat switching yang menerima sinyal dari setiap komputer, diproses dan dikirim ke komputer lain yang terhubung.

Topologi ini memiliki sejumlah keunggulan. Keuntungan yang tidak diragukan lagi adalah komputer tidak bergantung satu sama lain. Jika salah satu dari mereka rusak, jaringan itu sendiri tetap berfungsi. Anda juga dapat dengan mudah menghubungkan komputer baru ke jaringan tersebut. Ketika peralatan baru tersambung, elemen jaringan lainnya akan terus beroperasi seperti biasa. Dalam topologi jaringan jenis ini, kesalahan mudah ditemukan. Mungkin salah satu keunggulan utama "bintang" ini adalah performanya yang tinggi.

Namun, terlepas dari segala kelebihannya, jaringan komputer jenis ini juga memiliki kekurangan. Jika perangkat switching pusat gagal, seluruh jaringan akan berhenti bekerja. Ini memiliki batasan pada stasiun kerja yang terhubung. Jumlah port yang tersedia pada perangkat switching tidak boleh lebih dari jumlah yang tersedia. Dan kelemahan terakhir dari jaringan ini adalah biayanya. Diperlukan jumlah kabel yang cukup besar untuk menghubungkan setiap komputer.

"Cincin"

Topologi jaringan komputer “cincin” tidak memiliki pusat struktural. Di sini semua workstation dan server disatukan dalam lingkaran setan. Dalam sistem ini, sinyal bergerak secara berurutan dari kanan ke kiri secara melingkar. Semua komputer merupakan repeater, sehingga sinyal penanda dipertahankan dan ditransmisikan lebih jauh hingga mencapai penerima.

Topologi jenis ini juga mempunyai kelebihan dan kekurangan. Keunggulan utamanya adalah pengoperasian jaringan komputer tetap stabil meski dalam beban berat. Jaringan jenis ini sangat mudah dipasang dan memerlukan peralatan tambahan yang minimal.

Berbeda dengan topologi “star”, dalam topologi “ring”, pengoperasian seluruh sistem dapat lumpuh karena kegagalan komputer mana pun yang terhubung. Selain itu, mengidentifikasi kerusakan akan jauh lebih sulit. Meskipun instalasi opsi jaringan ini mudah, konfigurasinya cukup rumit dan memerlukan keterampilan tertentu. Kerugian lain dari topologi ini adalah kebutuhan untuk menangguhkan seluruh jaringan untuk menghubungkan peralatan baru.

"Ban"

Topologi bus pada jaringan komputer kini semakin jarang digunakan. Ini terdiri dari satu tulang punggung panjang dimana semua komputer terhubung.

Dalam sistem ini, seperti pada sistem lainnya, data dikirim bersama dengan alamat penerima. Semua komputer menerima sinyal, tetapi diterima langsung oleh penerimanya. Workstation yang terhubung dengan topologi bus tidak dapat mengirimkan paket data secara bersamaan. Sementara salah satu komputer melakukan tindakan ini, komputer lainnya menunggu giliran. Sinyal-sinyal tersebut bergerak sepanjang garis di kedua arah, namun ketika mencapai ujung, sinyal-sinyal tersebut dipantulkan dan saling tumpang tindih, sehingga mengancam kelancaran pengoperasian seluruh sistem. Ada perangkat khusus - terminator yang dirancang untuk meredam sinyal. Mereka dipasang di ujung jalan raya.

Keuntungan dari topologi “bus” mencakup fakta bahwa jaringan seperti itu dapat diinstal dan dikonfigurasi dengan cukup cepat. Selain itu, biaya pemasangannya cukup murah. Jika salah satu komputer gagal, jaringan akan terus beroperasi seperti biasa. Menghubungkan peralatan baru dapat dilakukan dengan baik. Jaringan akan berfungsi.

Jika kabel pusat rusak atau salah satu terminator berhenti bekerja, hal ini akan menyebabkan terputusnya seluruh jaringan. Menemukan kesalahan dalam topologi seperti itu cukup sulit. Peningkatan jumlah workstation mengurangi kinerja jaringan dan juga menyebabkan keterlambatan transfer informasi.

Topologi jaringan komputer turunan

Klasifikasi jaringan komputer berdasarkan topologi tidak terbatas pada tiga pilihan dasar. Ada juga jenis topologi seperti "garis", "cincin ganda", "topologi mesh", "pohon", "kisi", "jaringan dekat", "kepingan salju", "topologi terhubung penuh". Semuanya berasal dari yang dasar. Mari kita lihat beberapa opsi.

Topologi yang tidak efisien

Dalam topologi mesh, semua workstation terhubung satu sama lain. Sistem seperti ini sangat rumit dan tidak efektif. Diperlukan untuk mengalokasikan satu baris untuk setiap pasang komputer. Topologi ini hanya digunakan pada sistem multi-mesin.

Topologi mesh sebenarnya adalah versi sederhana dari topologi yang terhubung sepenuhnya. Di sini juga, semua komputer terhubung satu sama lain melalui jalur terpisah.

Topologi paling efisien

Topologi untuk membangun jaringan komputer yang disebut “snowflake” adalah versi sederhana dari “star”. Di sini, hub yang terhubung satu sama lain dalam tipe bintang bertindak sebagai stasiun kerja. Opsi topologi ini dianggap salah satu yang paling optimal untuk jaringan lokal dan global besar.

Biasanya, jaringan lokal dan global yang besar memiliki sejumlah besar subnet yang dibangun pada berbagai jenis topologi. Tipe ini disebut campuran. Di sini Anda dapat secara bersamaan membedakan “bintang”, “ban”, dan “cincin”.

Jadi, artikel di atas membahas semua topologi jaringan komputer utama yang tersedia yang digunakan dalam jaringan lokal dan global, variasinya, kelebihan dan kekurangannya.

Kamus penjelasan bahasa Rusia. D.N. Ushakov

topologi

topologi, banyak Sekarang. (dari bahasa Yunani topos - tempat dan logos - pengajaran) (mat.). Bagian dari geometri yang mempelajari sifat-sifat kualitatif suatu bangun (yaitu, tidak bergantung pada konsep-konsep seperti panjang, sudut, kelurusan, dll.).

Kamus penjelasan baru bahasa Rusia, T.F. Efremova.

topologi

Dan. Cabang matematika yang mempelajari sifat kualitatif bangun geometri, tidak bergantung pada panjang, sudut, kelurusan, dan lain-lain.

Kamus Ensiklopedis, 1998

topologi

TOPOLOGI (dari bahasa Yunani topos - tempat dan... logika) adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat topologi suatu bangun, yaitu. sifat-sifat yang tidak berubah pada deformasi apa pun yang dihasilkan tanpa kerusakan dan perekatan (lebih tepatnya, dengan pemetaan satu-ke-satu dan kontinu). Contoh sifat topologi suatu bangun adalah dimensi, jumlah kurva yang membatasi suatu luas tertentu, dll. Jadi, lingkaran, elips, dan garis persegi mempunyai sifat topologi yang sama, karena garis-garis ini dapat diubah bentuknya satu sama lain seperti dijelaskan di atas; pada saat yang sama, cincin dan lingkaran memiliki sifat topologi yang berbeda: lingkaran dibatasi oleh satu kontur, dan cincin dibatasi oleh dua kontur.

Topologi

(dari bahasa Yunani topos ≈ tempat dan ¼ logi) ≈ bagian geometri yang dikhususkan untuk mempelajari fenomena kontinuitas (dinyatakan, misalnya, dalam konsep batas). Keragaman manifestasi kesinambungan dalam matematika dan berbagai pendekatan yang berbeda terhadap kajiannya menyebabkan disintegrasi matematika terpadu menjadi beberapa departemen (“matematika umum”, “matematika aljabar”, dll.), yang berbeda satu sama lain dalam hal mata pelajaran dan metode belajar dan pada kenyataannya sangat sedikit yang berhubungan satu sama lain. I. Topologi umum Bagian teori yang berorientasi pada kajian aksiomatik kontinuitas disebut teori umum.Bersama dengan aljabar, teori umum menjadi dasar metode teori himpunan modern dalam matematika. Secara aksiomatis, kesinambungan dapat didefinisikan dalam banyak cara (secara umum, tidak setara). Aksiomatik yang diterima secara umum didasarkan pada konsep himpunan terbuka. Struktur topologi, atau topologi, pada himpunan X adalah kumpulan himpunan bagiannya, yang disebut himpunan terbuka, sehingga: 1) himpunan kosong Æ dan semua X terbuka; 2) gabungan suatu bilangan dan perpotongan sejumlah himpunan terbuka yang berhingga adalah terbuka. Himpunan yang diberikan struktur topologi disebut ruang topologi. Dalam ruang topologi X seseorang dapat mendefinisikan semua konsep dasar analisis dasar yang berkaitan dengan kontinuitas. Misalnya, lingkungan suatu titik x О X adalah himpunan terbuka sembarang yang memuat titik ini; himpunan A Ì X disebut tertutup jika komplemennya X \ A terbuka; penutupan suatu himpunan A adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A; jika penutupan ini bertepatan dengan X, maka A dikatakan padat di semua tempat di X, dan seterusnya. Berdasarkan definisinya, Æ dan X merupakan himpunan tertutup dan himpunan terbuka. Jika tidak ada himpunan lain di X yang tertutup dan terbuka, maka ruang topologi X disebut terhubung. Ruang yang terhubung secara visual terdiri dari satu “bagian”, sedangkan ruang yang tidak terhubung terdiri dari beberapa “bagian”. Setiap himpunan bagian A dari ruang topologi X mempunyai struktur topologi alami yang terdiri dari perpotongan dengan A himpunan terbuka dari X. Dilengkapi dengan struktur ini A disebut subruang dari ruang X. Setiap ruang metrik menjadi topologi jika himpunan terbukanya diambil ke menjadi himpunan yang berisi, bersama dengan suatu titik sembarang, beberapa lingkungan e-nya (sebuah bola berjari-jari e yang berpusat di titik ini). Secara khusus, setiap subset dari ruang Euclidean berdimensi n ═adalah ruang topologi. Teori ruang seperti itu (dengan nama "teori geometris") dan teori ruang metrik secara tradisional termasuk dalam teori umum.Teori geometri dengan jelas dibagi menjadi dua bagian: studi tentang himpunan bagian dari kompleksitas yang berubah-ubah, dengan tunduk pada batasan tertentu dari bersifat umum (contohnya adalah apa yang disebut teori kontinuitas, yaitu himpunan tertutup berbatas terhubung), dan studi tentang cara di mana ruang topologi sederhana seperti bola, bola, dll. dapat tertanam dalam ═. (investasi, misalnya, di bidang-bidang tertentu bisa menjadi sangat kompleks). Penutup terbuka dari ruang topologi X adalah keluarga himpunan terbukanya, yang gabungannya merupakan keseluruhan dari X. Ruang topologi X disebut kompak (dalam terminologi lain, bikompak) jika salah satu penutup terbukanya mengandung bilangan berhingga elemen yang juga membentuk penutup. Teorema klasik Heine ≈ Borel menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tertutup yang dibatasi adalah ═kompak. Ternyata semua teorema dasar analisis dasar tentang himpunan tertutup berbatas (misalnya, teorema Weierstrass bahwa pada himpunan tersebut fungsi kontinu mencapai nilai maksimumnya) berlaku untuk semua ruang topologi kompak. Hal ini menentukan peran mendasar yang dimainkan oleh ruang kompak dalam matematika modern (terutama dalam kaitannya dengan teorema keberadaan). Identifikasi kelas ruang topologi kompak adalah salah satu pencapaian terbesar teori umum, yang memiliki signifikansi matematis umum. Suatu penutup yang terbuka (Vb) dikatakan tertulis di dalam suatu penutup (Ua) jika untuk sembarang b terdapat suatu a sehingga Vb Ì Ua. Suatu penutup (Vb) disebut berhingga lokal jika setiap titik x Î X mempunyai lingkungan yang hanya berpotongan dengan sejumlah elemen penutup tersebut yang berhingga. Suatu ruang topologi dikatakan parakompak jika setiap penutup terbuka di dalamnya dapat memuat penutup yang terbatas secara lokal. Kelas ruang parakompak adalah contoh kelas ruang topologi yang diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut kondisi tipe kekompakan. Kelas ini sangat luas, khususnya, berisi semua ruang topologi yang dapat diukur, yaitu ruang X yang memungkinkan untuk memperkenalkan metrik r sehingga T yang dihasilkan oleh r di X bertepatan dengan T yang didefinisikan dalam X. Multiplisitas suatu penutup terbuka adalah yang terbesar, bilangan k sedemikian rupa sehingga terdapat k elemen-elemennya yang mempunyai titik potong tak kosong. Bilangan terkecil n, yang memiliki sifat bahwa penutup terbuka dengan multiplisitas £n + 1 dapat dimasukkan ke dalam penutup terbuka berhingga dari ruang topologi X, dilambangkan dengan simbol dimX dan disebut dimensi X. Nama ini adalah dibenarkan oleh fakta bahwa dalam situasi geometri dasar dimX bertepatan dengan dimensi yang biasa dipahami, misalnya dim = n. Fungsi numerik lain dari ruang topologi X juga dimungkinkan, berbeda dari dimX, tetapi dalam kasus paling sederhana bertepatan dengan dimX. Studi mereka adalah pokok bahasan teori umum dimensi, bagian yang paling berorientasi geometris dari teori umum T. Hanya dalam kerangka teori ini dimungkinkan, misalnya, untuk memberikan definisi yang jelas dan cukup umum tentang konsep intuitif bangun geometri dan, khususnya, konsep garis, permukaan, dll. Kelas-kelas penting dari ruang topologi diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut aksioma pemisahan. Contohnya adalah aksioma Hausdorff, atau aksioma T2, yang mengharuskan dua titik berbeda mempunyai lingkungan yang saling lepas. Ruang topologi yang memenuhi aksioma ini disebut Hausdorff, atau dapat dipisahkan. Untuk beberapa waktu dalam praktik matematika hampir secara eksklusif ditemukan ruang Hausdorff (misalnya, ruang metrik mana pun adalah Hausdorff). Namun, peran ruang topologi non-Hausdorff dalam analisis dan geometri terus berkembang. Ruang topologi yang merupakan subruang dari ruang kompak Hausdorff (bi) disebut benar-benar teratur atau Tikhonov. Mereka juga dapat dicirikan oleh beberapa aksioma keterpisahan, yaitu: aksioma yang mensyaratkan bahwa untuk setiap titik x0 ═X dan sembarang himpunan tertutup F ═X yang tidak memuatnya, terdapat fungsi kontinu g: X ╝ sama dengan nol di x0 dan satu pada F. Ruang topologi yang merupakan subruang terbuka dari ruang kompak Hausdorff disebut ruang kompak lokal. Mereka dicirikan (dalam kelas ruang Hausdorff) oleh fakta bahwa setiap titiknya mempunyai lingkungan dengan penutupan yang kompak (contoh: ruang Euclidean). Setiap ruang seperti itu dilengkapi dengan satu titik ke ruang kompak (contoh: dengan menambahkan satu titik dari bidang, kita memperoleh bola dengan variabel kompleks, dan dari ═≈ bola S n). Pemetaan f: X ╝ Y dari ruang topologi X ke ruang topologi Y disebut pemetaan kontinu jika untuk sembarang himpunan terbuka V М Y himpunan f≈1(V) terbuka di X. Pemetaan kontinu disebut homeomorfisme jika pemetaan satu-ke-satu dan kebalikannya f≈ 1: Y ╝ X kontinu. Pemetaan seperti itu menghasilkan korespondensi satu-satu antara himpunan terbuka ruang topologi X dan Y, yang dapat diubah dengan operasi penyatuan dan perpotongan himpunan. Oleh karena itu, semua sifat topologi (yaitu, sifat yang dirumuskan dalam himpunan terbuka) dari ruang-ruang ini adalah sama, dan dari sudut pandang topologi, ruang topologi homeomorfik (yaitu, ruang yang setidaknya terdapat satu homeomorfisme X ╝ Y) harus dianggap sama ( seperti dalam geometri Euclidean, bangun-bangun yang dapat digabungkan dengan gerakan dianggap identik). Misalnya, lingkaran dan batas persegi, segi enam, dll. bersifat homeomorfik (“identik secara topologi”). Secara umum, dua garis tertutup sederhana (tanpa titik ganda) bersifat homeomorfik. Sebaliknya, lingkaran tidak bersifat homeomorfik terhadap garis lurus (karena menghilangkan suatu titik tidak melanggar keterhubungan lingkaran, tetapi melanggar keterhubungan garis lurus; dengan alasan yang sama, garis lurus tidak bersifat homeomorfik terhadap a bidang, dan lingkaran tidak bersifat homeomorfik terhadap angka delapan). Lingkaran juga tidak homeomorfik terhadap sebuah bidang (membuang bukan hanya satu, tetapi dua titik). Misalkan (Xa) ≈ suatu keluarga ruang topologi yang berubah-ubah. Pertimbangkan himpunan X dari semua keluarga bentuk (xa), di mana xa ═Xa (hasil kali langsung dari himpunan Xa). Untuk a apa pun, rumusnya mendefinisikan beberapa pemetaan ═ (disebut proyeksi). Secara umum, dalam X seseorang dapat memperkenalkan banyak struktur topologi yang seluruh petanya kontinu. Di antara struktur-struktur ini, ada yang terkecil (yaitu, terkandung dalam struktur tersebut). Himpunan X yang dilengkapi dengan struktur topologi ini disebut produk topologi ruang topologi Xa dan dilambangkan dengan simbol PHa (dan dalam kasus sejumlah faktor berhingga, dengan simbol X1 `... ` Xn). Secara eksplisit, himpunan terbuka pada ruang X dapat digambarkan sebagai gabungan perpotongan berhingga dari semua himpunan yang bentuknya Ua terbuka di Xa. Ruang topologi X memiliki sifat universalitas yang luar biasa berikut ini, yang secara unik (hingga homeomorfisme) mencirikannya: untuk setiap keluarga pemetaan kontinu fa: Y ╝ Xa terdapat pemetaan kontinu yang unik f: Y ╝ X yang mana ══untuk semua A. Ruang ═adalah produk topologi dari n contoh garis bilangan. Salah satu teorema terpenting dalam teori umum adalah pernyataan bahwa produk topologi ruang topologi kompak adalah kompak. Jika X ≈ ruang topologi, dan Y ≈ himpunan sembarang, dan jika pemetaan p: X ╝ Y dari ruang X ke himpunan Y diberikan (misalnya, jika Y adalah himpunan hasil bagi dari X dengan suatu relasi ekuivalen, dan p adalah pemetaan proyeksi alami untuk setiap elemen x Î X adalah kelas ekivalensinya), maka kita dapat mengajukan pertanyaan untuk memasukkan ke dalam Y struktur topologi yang pemetaannya kontinu. Struktur yang paling “kaya” (dalam himpunan terbuka) diperoleh dengan mempertimbangkan himpunan terbuka di Y semua himpunan V Ì Y yang mana himpunan f‑1(V) Ì X terbuka di X. Himpunan Y dilengkapi dengan ini struktur topologi disebut ruang hasil bagi dari ruang topologi X (relatif terhadap p). Ia mempunyai sifat pemetaan sembarang f: Y ╝ Z kontinu jika dan hanya jika pemetaan ═: X ╝ Z kontinu.Pemetaan kontinu p: X ╝ Y disebut faktor jika ruang topologi Y adalah ruang faktor dari ruang topologi terhadap p X. Pemetaan kontinu p: X ╝ Y disebut terbuka jika untuk sembarang himpunan terbuka U Ì X himpunan p(U) terbuka di Y, dan tertutup jika untuk sembarang himpunan tertutup F Ì X himpunan p(F) ditutup di Y. Bagaimana peta kontinu terbuka dan tertutup f: X ╝ Y yang f(X) = Y bersifat faktorial. Misalkan X ≈ ruang topologi, A ≈ subruangnya, dan f: A ╝ Y ≈ peta kontinu. Dengan asumsi ruang topologi X dan Y saling lepas, kita memperkenalkan struktur topologi dalam kesatuannya X È Y, dengan mempertimbangkan gabungan himpunan terbuka dari X dan Y sebagai himpunan terbuka. Selanjutnya, kita perkenalkan pada ruang X È Y kesetaraan terkecil hubungan di mana a ~ f(a) untuk setiap titik a Î A. Ruang hasil bagi yang bersesuaian dilambangkan dengan simbol X È fY, dan dikatakan diperoleh dengan menempelkan ruang topologi X ke ruang topologi Y sepanjang A dengan sarana peta kontinu f. Operasi sederhana dan intuitif ini ternyata sangat penting, karena memungkinkan seseorang memperoleh operasi yang lebih kompleks dari ruang topologi yang relatif sederhana. Jika Y terdiri dari satu titik, maka ruang X È fY dilambangkan dengan simbol X/A dan dikatakan diperoleh dari X dengan cara mengontraksikan A ke suatu titik. Misalnya, jika X ≈ piringan, dan A ≈ lingkaran batasnya, maka X/A bersifat homeomorfik terhadap bola. 2. Topologi seragam Bagian teori yang mempelajari konsep aksiomatik kontinuitas seragam disebut teori seragam Definisi kontinuitas seragam fungsi numerik, yang diketahui dari analisis, langsung ditransfer ke pemetaan ruang metrik apa pun. Oleh karena itu, aksiomatik kontinuitas seragam biasanya diperoleh mulai dari ruang metrik. Dua pendekatan aksiomatik terhadap kesinambungan seragam, masing-masing didasarkan pada konsep kedekatan dan lingkaran diagonal, dieksplorasi secara rinci. Himpunan bagian A dan B dari ruang metrik X disebut tutup (notasi AdB) jika untuk sembarang e > 0 terdapat titik a Î A dan b Î B yang jaraknya< e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Topologi aljabar Biarkan setiap ruang topologi X (dari beberapa kelas) dikaitkan dengan beberapa objek aljabar h(X) (grup, gelanggang, dll.), dan biarkan setiap pemetaan kontinu f: X ╝ Y ≈ beberapa homomorfisme h(f) : h( X ) ╝ h(Y) (atau h(f) : h(Y) ╝ h(X), yang merupakan homomorfisme identitas jika f adalah peta identitasnya. Jika h(f1 ═f2) = h(f1) ═h( f2) (atau, masing-masing, h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), maka kita katakan bahwa h adalah sebuah fungsi (masing-masing, sebuah kofungsitor). Sebagian besar permasalahan dalam teori aljabar dalam satu atau lain hal terkait ke masalah propagasi berikut: untuk pemetaan kontinu tertentu f: A ╝ Y dari subruang A Ì X ke dalam ruang topologi Y, carilah pemetaan kontinu g: X ╝ Y yang bertepatan pada A dengan f, sehingga f = g×i, dimana i: A ╝ X ≈ pemetaan penyematan (i(a) = a untuk sembarang titik a О A). Jika pemetaan kontinu g ada, maka untuk setiap fungsi (cofunctor) h terdapat homomorfisme (j : h(X) ╝ h(Y) (homomorfisme j: h(Y) ╝ h(X)), sehingga h(f) = j ═h(i) (masing-masing, h(f) = h(i) ═j); itu akan menjadi homomorfisme j = h(g). Akibatnya, tidak adanya homomorfisme j (setidaknya untuk satu fungsi h) menyiratkan tidak adanya pemetaan g. Hampir semua metode aljabar T sebenarnya dapat direduksi menjadi prinsip sederhana ini. Misalnya, ada sebuah fungsi h yang nilainya pada bola E n adalah grup sepele, dan pada bola S n≈1 ≈ grup nontrivial yang membatasi bola . Ini sudah menyiratkan tidak adanya apa yang disebut retraksi ≈ pemetaan kontinu р: E n╝ S n≈1, ditetapkan pada S n≈1, yaitu sedemikian rupa sehingga komposisi р×i, di mana i: S n‑1 ╝ E n ≈ pemetaan embedding , merupakan pemetaan identitas (jika p ada, maka pemetaan identitas grup h(S n≈1) akan menjadi komposisi pemetaan h(i) : h(S n≈1) ╝ h (E n) dan h(p) : h( E n) ╝ h(S n≈1), yang tidak mungkin untuk grup sepele h(E n). Namun, fakta geometris dasar dan (untuk n = 2) yang jelas secara visual ini (secara fisik berarti kemungkinan meregangkan drum pada lingkaran bundar) belum dibuktikan tanpa menggunakan metode topologi aljabar. Konsekuensi langsungnya adalah pernyataan bahwa setiap pemetaan kontinu f: E n╝ E n memiliki setidaknya satu titik tetap, yaitu persamaan f(x) = x memiliki setidaknya satu solusi di E n (jika f(x) ¹ x untuk semua x О E n, maka, dengan mengambil p(x) sebagai titik dari S n≈1, sejajar dengan titik f(x) dan x dan sedemikian rupa sehingga ruas dengan ujung f(x) dan p(x ) berisi x, kita memperoleh retraksi р: E n╝ S n≈1). Teorema titik tetap ini merupakan salah satu teorema pertama teori aljabar, dan kemudian menjadi sumber dari serangkaian berbagai teorema tentang keberadaan solusi persamaan. Secara umum, menetapkan tidak adanya homomorfisme (j lebih mudah, semakin kompleks struktur aljabar objek h(X). Oleh karena itu, dalam teori aljabar, objek aljabar yang bersifat sangat kompleks dipertimbangkan, dan persyaratan aljabar topologi secara signifikan merangsang perkembangan aljabar abstrak.Ruang topologi X disebut ruang seluler, serta partisi seluler (atau kompleks CW), jika berisi barisan subruang X 0 М ¼ М X n≈1 М X n М ¼ (disebut kerangka ruang seluler X), yang gabungannya merupakan keseluruhan X, dan kondisi berikut dipenuhi : 1) himpunan U Ì X terbuka di X jika dan hanya jika untuk sembarang n himpunan U Ç X n terbuka di X n; 2) X n diperoleh dari X n≈1 dengan menempelkan sekelompok bola berdimensi n tertentu di sepanjang bola berdimensi batas (n≈1) (melalui pemetaan kontinu sembarang bola ini ke X n≈1); 3) X0 terdiri dari titik-titik terisolasi. Dengan demikian, struktur ruang seluler, secara kasar, terdiri dari fakta bahwa ia direpresentasikan sebagai gabungan himpunan homeomorfik dengan bola terbuka (himpunan ini disebut sel). Dalam teknik aljabar, ruang seluler dipelajari hampir secara eksklusif, karena kekhususan masalah teknik aljabar bagi mereka sudah terwujud sepenuhnya. Selain itu, pada kenyataannya, beberapa ruang seluler yang sangat sederhana (seperti polihedra, lihat di bawah) menarik untuk teori aljabar, namun mempersempit kelas ruang seluler, sebagai suatu peraturan, secara signifikan memperumit penelitian (karena banyak operasi yang berguna pada ruang seluler adalah berasal dari kelas polihedra). Dua peta kontinu f, g: X ╝ Y disebut homotopik jika keduanya dapat dideformasi secara kontinu satu sama lain, yaitu jika terdapat sekumpulan peta kontinu ft: X ╝ Y yang bergantung kontinu pada parameter t О sedemikian rupa sehingga f0 = f dan f1 = g (ketergantungan kontinu pada t berarti rumus F(x, t) = ft(x), x О X, t О mendefinisikan peta kontinu F: X ` ╝ Y; peta ini, serta keluarga (ft) disebut homotopi, menghubungkan f ke g). Himpunan semua pemetaan kontinu X ╝ Y dibagi menjadi kelas homotopi dari pemetaan yang homotopik satu sama lain. Himpunan kelas homotopi pemetaan kontinu dari X ke Y dilambangkan dengan simbol . Studi tentang sifat-sifat hubungan homotopi dan, khususnya, himpunan adalah subjek yang disebut topologi homotopi (atau teori homotopi). Untuk sebagian besar ruang topologi yang menarik, himpunannya berhingga atau dapat dihitung dan dapat dihitung secara efisien secara eksplisit. Ruang topologi X dan Y disebut ekuivalen homotopi, atau mempunyai tipe homotopi yang sama, jika terdapat peta kontinu f: X ╝ Y dan g: Y ╝ X sehingga peta kontinu g×f: X ╝ X dan f×g: Y ╝ Y homotopik terhadap pemetaan identitas yang sesuai. Dalam teori homotopi, ruang-ruang seperti itu harus dianggap identik (semua “homotopi invariannya” bertepatan). Ternyata dalam banyak kasus (khususnya, untuk ruang seluler) solvabilitas masalah propagasi hanya bergantung pada kelas homotopi dari pemetaan kontinu f: A ╝ Y; lebih tepatnya, jika untuk f distribusi g: X ╝ Y ada, maka untuk setiap homotopi ft: A ╝ Y (dengan f0 = f) terdapat distribusi gt: X ╝ Y sehingga g0 = g. Oleh karena itu, alih-alih f, kita dapat mempertimbangkan kelas homotopinya [f] dan, sesuai dengan ini, hanya mempelajari fungsi invarian homotopi (cofunctors) h, yaitu h(f0) = h(f1) jika peta f0 dan f1 homotopik. Hal ini mengarah pada jalinan erat antara teori aljabar dan homotopi sehingga keduanya dapat dianggap sebagai satu disiplin ilmu. Untuk setiap ruang topologi Y, rumus h(X) = dan h(f) = , di mana f: X1 ╝ X2 dan j: X2 ╝ Y, tentukan beberapa cofunctor invarian homotopi h, yang dikatakan diwakili oleh ruang topologi Y. Ini ≈ metode standar (dan pada dasarnya satu-satunya) untuk membangun kofungsi invarian homotopi. Agar himpunan h(X) menjadi, katakanlah, sebuah grup, maka perlu untuk memilih Y yang sesuai, misalnya, untuk mengharuskannya menjadi grup topologi (secara umum, hal ini tidak sepenuhnya benar: itu kita perlu memilih beberapa titik x0 di X dan hanya mempertimbangkan peta kontinu dan homotopi, mengubah x0 menjadi unit grup; namun komplikasi teknis ini akan diabaikan pada bagian berikut). Selain itu, cukuplah Y menjadi grup topologi “dalam pengertian homotopi”, yaitu aksioma asosiatif dan keberadaan elemen invers (yang sebenarnya menyatakan kebetulan peta tertentu) hanya akan dipenuhi “sampai homotopi.” Ruang topologi seperti ini disebut ruang-H. Jadi, setiap ruang-H Y mendefinisikan kofungsi invarian homotopi h(X) = , yang nilainya berupa grup. Dengan cara serupa (“ganda”), setiap ruang topologi Y ditentukan oleh rumus h(X) = , h(f) = , di mana f: X1 ╝ X2 dan j: Y ╝ X1, beberapa fungsi h. Agar h(X) menjadi suatu grup, Y harus memiliki struktur aljabar tertentu, dalam arti tertentu yang bersifat ganda terhadap struktur ruang-H. Ruang topologi yang memiliki struktur ini disebut ruang bersama. Contoh ruang co-H adalah bola berdimensi n S n (untuk n ³ 1). Jadi, untuk setiap ruang topologi X, rumus pnX = mendefinisikan grup tertentu pnX, n ³ 1, yang disebut grup homotopi ke-n dari ruang X. Untuk n = 1, grup tersebut berimpit dengan grup fundamental. Untuk n > 1 grup pnX bersifat komutatif. Jika p1X= (1), maka X disebut terhubung sederhana. Ruang seluler X disebut ruang K(G, n) jika pi(X) = 0 untuk i ¹ n dan pnX = G; ruang seluler seperti itu ada untuk n ³ 1 dan grup mana pun G (komutatif untuk n > 1) dan didefinisikan secara unik hingga kesetaraan homotopi. Untuk n > 1 (dan juga untuk n = 1, jika grup G bersifat komutatif), maka spasi K(G, n) merupakan ruang-H sehingga mewakili grup tertentu H n(X; G) = . Grup ini disebut grup kohomologi n-dimensi dari ruang topologi X dengan grup koefisien G. Grup ini merupakan representasi umum dari sejumlah kofungsitor penting, termasuk, misalnya, fungsi-K KO(X) = [X, BO], diwakili oleh apa yang disebut Grassmannian BO berdimensi tak hingga, grup kobordisme berorientasi WnX, dll. Jika G adalah sebuah ring, maka jumlah langsung H*(X; G) dari grup H n(X; G) adalah aljabar atas G. Selain itu, jumlah langsung ini mempunyai struktur aljabar yang sangat kompleks, di mana (untuk G = Zp, dimana Zp ≈ grup siklik orde p) mencakup aksi pada H*(X; G) dari beberapa aljabar non-komutatif p, yang disebut aljabar Steenrod. Kompleksitas struktur ini memungkinkan, di satu sisi, untuk mengembangkan metode yang efektif (tetapi sama sekali tidak sederhana) untuk menghitung kelompok H n(X; G), dan, di sisi lain, untuk membangun hubungan antar kelompok H n( X; G) dan fungsi invarian homotopi lainnya (misalnya, grup homotopi pnX), yang sering kali memungkinkan penghitungan fungsi ini secara eksplisit. Secara historis, kelompok kohomologi didahului oleh apa yang disebut kelompok homologi Hn(X; G), yang merupakan kelompok homotopi pnM(X, G) dari beberapa ruang seluler M(X, G), yang dibangun secara unik dari ruang seluler X dan kelompok G. Kelompok homologi dan kohomologi dalam arti tertentu bersifat ganda satu sama lain, dan teori mereka pada dasarnya setara. Namun, struktur aljabar yang ditemukan dalam kelompok homologi kurang dikenal (misalnya, kelompok ini bukan merupakan aljabar, melainkan disebut batubara), dan oleh karena itu kelompok kohomologi biasanya digunakan dalam perhitungan. Pada saat yang sama, dalam beberapa pertanyaan, kelompok homologi ternyata lebih nyaman, sehingga mereka juga dipelajari. Bagian dari teori aljabar yang berhubungan dengan studi (dan penerapan) kelompok homologi dan kohomologi disebut teori homologi. Pemindahan hasil teori aljabar ke ruang yang lebih umum daripada ruang seluler merupakan pokok bahasan yang disebut teori aljabar umum.Secara khusus, teori homologi umum mempelajari kelompok homologi dan kohomologi ruang topologi arbitrer dan penerapannya. Ternyata di luar kelas ruang seluler kompak, pendekatan berbeda terhadap konstruksi kelompok ini, secara umum, mengarah pada hasil yang berbeda, sehingga untuk ruang topologi non-seluler muncul serangkaian kelompok homologi dan kohomologi yang berbeda. Penerapan utama teori umum homologi adalah dalam teori dimensi dan teori yang disebut hukum dualitas (menggambarkan hubungan antara sifat topologi dari dua himpunan bagian tambahan ruang topologi), dan perkembangannya sebagian besar dirangsang oleh kebutuhan teori-teori ini. 4. Topologi linier sedikit demi sedikit Subset Р О ═disebut kerucut dengan titik sudut a dan alas B jika masing-masing titiknya termasuk dalam satu segmen berbentuk ab, dengan b О B. Subset Х О ═disebut polihedron jika salah satu darinya titik-titik tersebut mempunyai lingkungan di X, yang penutupannya berbentuk kerucut dengan alas kompak. Pemetaan kontinu f: X ╝ Y dari polihedra disebut linier sepotong-sepotong jika ia linier pada sinar-sinar setiap lingkungan berbentuk kerucut di titik mana pun x О X. Pemetaan linier sepotong-sepotong satu-ke-satu, yang inversnya juga linier sepotong-sepotong , disebut isomorfisme linier sepotong-sepotong. Pokok bahasan teori linier sepotong-sepotong adalah studi tentang polihedra dan pemetaan linier sepotong-sepotongnya. Dalam teori linier sepotong-sepotong, polihedra dianggap identik jika polihedranya isomorfik linier sepotong-sepotong. Subset X О ═jika dan hanya jika merupakan polihedron (kompak) jika mewakili gabungan keluarga (hingga) polihedra cembung. Polihedron apa pun dapat direpresentasikan sebagai gabungan kesederhanaan yang berpotongan hanya di seluruh permukaannya. Representasi ini disebut triangulasi polihedron. Setiap triangulasi secara unik ditentukan oleh skema penyederhanaannya, yaitu himpunan semua simpulnya, yang di dalamnya ditandai himpunan bagian, yang merupakan himpunan simpul-simpul simpleks. Oleh karena itu, alih-alih polihedra, kita hanya dapat mempertimbangkan skema triangulasi sederhana. Misalnya, dengan menggunakan skema sederhana seseorang dapat menghitung kelompok homologi dan kohomologi. Hal ini dilakukan sebagai berikut: a) simpleks yang simpul-simpulnya diurutkan dengan cara tertentu disebut simpleks terurut dari triangulasi tertentu (atau skema sederhana) K; kombinasi linier formal dari kesederhanaan terurut dari dimensi tertentu n dengan koefisien dari grup tertentu G disebut rantai n-dimensi; semuanya secara alami membentuk suatu kelompok, yang dilambangkan dengan simbol C n(K; G); b) dengan menghilangkan titik puncak berbilangan i, 0 £ i £ n, dari simpleks berdimensi n berdimensi s, kita memperoleh simpleks berdimensi berurut (n≈1), yang dilambangkan dengan simbol s(i); rantai ═ disebut batas s; berdasarkan linearitas, pemetaan ═ meluas ke homomorfisme ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); c) rantai c yang ═= 0 disebut siklus, merupakan kelompok siklus Zn(K; G); d) rantai bentuk ═ disebut batas, merupakan kelompok batas Bn(K; G); e) terbukti Bn(K; G) М Zn(K; G) (batasnya berupa siklus); oleh karena itu kelompok hasil bagi Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G) didefinisikan. Ternyata grup Hn(K; G) isomorfik terhadap grup homologi Hn(X; G) dari polihedron X, dimana K merupakan triangulasi. Konstruksi serupa, yang dimulai bukan dari rantai, tetapi dari cochains (fungsi arbitrer yang ditentukan pada himpunan semua simpleks terurut dan mengambil nilai dalam G), menghasilkan grup kohomologi. Dengan konstruksi ini, yang disajikan di sini dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, pembentukan aljabar T pada dasarnya dimulai. Dalam konstruksi asli, apa yang disebut kesederhanaan berorientasi (kelas kesederhanaan terurut yang dibedakan dengan permutasi simpul genap) dipertimbangkan. Desain ini telah dikembangkan dan digeneralisasikan ke berbagai arah. Secara khusus, aspek aljabarnya memunculkan apa yang disebut aljabar homologis. Secara umum, skema sederhana dapat didefinisikan sebagai suatu himpunan yang himpunan bagiannya terbatas (“simplices”) ditandai, dan himpunan bagian mana pun dari suatu simpleks harus kembali menjadi simpleks. Skema sederhana seperti itu adalah skema sederhana untuk triangulasi suatu polihedron jika dan hanya jika jumlah elemen dari himpunan bagian yang ditandai secara sembarang tidak melebihi suatu bilangan tetap. Namun, konsep polihedron dapat digeneralisasikan (setelah memperoleh apa yang disebut "polihedra berdimensi tak hingga"), dan skema sederhana apa pun akan menjadi skema triangulasi beberapa polihedron (disebut realisasi geometrisnya). Penutup terbuka sembarang (Ua) dari setiap ruang topologi X dapat diasosiasikan dengan skema sederhana, yang simpul-simpulnya merupakan elemen Ua dari penutup dan himpunan bagiannya ditandai jika dan hanya jika elemen-elemen penutup tersebut merupakan himpunan bagian ini. mempunyai persimpangan yang tidak kosong. Diagram sederhana ini (dan polihedron yang sesuai) disebut saraf penutup. Saraf-saraf dari semua penutup yang mungkin dalam arti tertentu mendekati ruang X dan, berdasarkan kelompok homologi dan kohomologinya, adalah mungkin, melalui jalur yang tepat hingga batasnya, untuk memperoleh kelompok homologi dan kohomologi dari X itu sendiri. Idenya mendasari hampir semua konstruksi teori umum homologi. Perkiraan ruang topologi oleh saraf penutup terbukanya juga memainkan peran penting dalam T. umum. 5. Topologi manifold Ruang topologi parakompak Hausdorff disebut manifold topologi berdimensi-n jika “Euclidean lokal”, yaitu jika setiap titiknya memiliki lingkungan (disebut lingkungan koordinat, atau peta) yang bersifat homeomorfik terhadap ruang topologi. Dalam lingkungan ini, titik-titik ditentukan oleh n angka x1, ┘, xn, yang disebut koordinat lokal. Pada perpotongan dua peta, koordinat lokal yang bersesuaian dinyatakan satu sama lain melalui fungsi tertentu yang disebut fungsi transisi. Fungsi-fungsi ini mendefinisikan homeomorfisme himpunan terbuka, yang disebut homeomorfisme transisi. Mari kita sepakat untuk menyebut homeomorfisme sewenang-wenang antara himpunan terbuka ═ sebagai t-homeomorfisme. Homeomorfisme yang merupakan isomorfisme linier sepotong-sepotong akan disebut a p-homeomorfisme, dan jika dinyatakan dengan fungsi halus (dapat dibedakan beberapa kali), ≈ s-homeomorfisme. Misalkan a = t, p atau s. Manifold topologi disebut manifold-a jika cakupannya dengan peta dipilih sedemikian rupa sehingga homeomorfisme transisi untuk dua petanya (yang berpotongan) adalah homeomorfisme-a. Penutup seperti itu mendefinisikan struktur-a pada manifold topologi X. Jadi, manifold-t hanyalah manifold topologi apa pun; manifold-p disebut manifold linier sepotong-sepotong. Setiap manifold linier sepotong-sepotong adalah polihedron. Di kelas semua polihedra, lipatan linier sepotong-sepotong berdimensi-n dicirikan oleh fakta bahwa setiap titiknya memiliki lingkungan yang isomorfik linier sepotong-sepotong terhadap kubus berdimensi-n. manifold s disebut manifold halus (atau terdiferensiasi). peta-a manifold-a disebut pemetaan kontinu sembarang untuk a = t, untuk a = s ≈ pemetaan linier sepotong-sepotong sembarang, untuk a = s ≈ pemetaan mulus sembarang, yaitu pemetaan kontinu yang ditulis dalam koordinat lokal dengan fungsi halus. Peta a satu-ke-satu, kebalikannya juga merupakan peta-a, disebut homeomorfisme-a (untuk a = s juga merupakan difeomorfisme), manifold-a X dan Y disebut homeomorfik (untuk a = s ≈ diffeomorphic) jika ada meskipun akan ada satu a-homeomorfisme X ╝ Y. Subyek teori a-manifold adalah studi tentang a-manifold dan a-mapnya; dalam hal ini, manifold a-homeomorfik dianggap identik. Teori varietas s merupakan bagian dari T linier sepotong-sepotong. Teori varietas s disebut juga T halus. Metode utama teori variasi modern adalah dengan mereduksi permasalahannya menjadi permasalahan Ts aljabar. untuk beberapa ruang topologi yang dibangun dengan tepat. Keterkaitan yang erat antara teori varietas dan teori aljabar memungkinkan, di satu sisi, untuk memecahkan banyak masalah geometri yang sulit, dan di sisi lain, hal ini secara tajam merangsang perkembangan teori aljabar itu sendiri.Contoh varietas halus adalah n- permukaan dimensi yang tidak memiliki titik tunggal. Ternyata (menyematkan teorema) bahwa setiap manifold halus bersifat difeomorfik terhadap permukaan tersebut (untuk N ³ 2n + 1). Hasil serupa juga berlaku untuk a = t, p. Setiap variasi p adalah variasi t. Ternyata pada manifold-s mana pun, struktur p dapat dimasukkan secara alami (yang biasa disebut triangulasi Aithead). Kita dapat mengatakan bahwa setiap variasi a dengan a = p atau s adalah variasi a▓ dengan a▓ = t atau p. Jawaban atas pertanyaan sebaliknya: pada manifold a▓ manakah seseorang dapat memperkenalkan struktur a (manifold a▓ untuk a▓ = p disebut smoothable, dan untuk a▓ = t ≈triangulasi), dan jika ya, berapa banyak? ≈ tergantung pada dimensi n. Hanya ada dua manifold topologi satu dimensi: lingkaran S1 (manifold kompak) dan garis lurus ═ (manifold non-kompak). Untuk setiap a = p, s terdapat struktur a unik pada manifold-t S1 dan ═. Demikian pula, pada manifold topologi dua dimensi (permukaan) terdapat struktur-a yang unik, dan semua permukaan terhubung kompak dapat dengan mudah dijelaskan (permukaan terhubung non-kompak juga dapat dijelaskan, tetapi jawabannya lebih kompleks). Agar permukaan bersifat homeomorfik, cukuplah permukaan tersebut setara dengan homotopi. Selain itu, jenis homotopi permukaan apa pun dicirikan secara unik oleh kelompok homologinya. Ada dua jenis permukaan: dapat diorientasikan dan tidak dapat diorientasikan. Di antara orientasinya adalah bola S2 dan torus T2. Misalkan X dan Y ≈ dua manifold a berdimensi n yang terhubung. Mari kita potong sebuah bola di X dan Y (untuk n = 2 ≈ piringan) dan rekatkan bola batas yang dihasilkan (untuk n = 2 ≈ lingkaran). Tunduk pada beberapa tindakan pencegahan yang terbukti dengan sendirinya, hasilnya lagi-lagi bervariasi. Ini disebut jumlah terhubung dari manifold-a X dan Y dan dilambangkan dengan X#Y. Misalnya T2#T2 berbentuk pretzel. Bola S n adalah nol dari penjumlahan ini, yaitu S n # X = X untuk sembarang X. Khususnya, S2 # T2 = T2. Ternyata permukaan yang dapat diorientasikan bersifat homeomorfik terhadap penjumlahan terhubung dari bentuk S2#T2#┘#T2, bilangan p suku T2 disebut genus permukaan. Untuk bola p = 0, untuk torus p = 1, dst. e. Permukaan genus p dapat direpresentasikan secara visual sebagai sebuah bola dimana “pegangan” p dilem. Setiap permukaan yang tidak dapat diorientasikan bersifat homeomorfik terhadap jumlah terhubung P2# ¼ #P2 dari sejumlah bidang proyektif P2. Ini dapat dibayangkan sebagai sebuah bola yang ditempelkan beberapa lembar Mobius. Pada setiap manifold topologi tiga dimensi untuk a = p, s juga terdapat struktur a yang unik dan dimungkinkan untuk mendeskripsikan semua jenis homotopi manifold topologi tiga dimensi (namun, grup homologi tidak lagi memadai untuk ini). Pada saat yang sama, hingga saat ini (1976) semua manifold topologi tiga dimensi (setidaknya terhubung secara kompak) dari tipe homotopi tertentu belum dijelaskan. Hal ini belum dilakukan bahkan untuk manifold yang terhubung sederhana (semuanya homotopi setara dengan bola S3). Dugaan Poincaré menyatakan bahwa manifold tersebut bersifat homeomorfik terhadap S 3. Untuk manifold topologi empat dimensi (kompak dan terhubung), pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan struktur-a (a = p, s) belum terpecahkan, dan tipe homotopinya dijelaskan hanya dengan asumsi keterhubungan saja. Tidak diketahui apakah analogi dugaan Poincaré valid untuk mereka. Sungguh luar biasa bahwa untuk manifold topologi dimensi n ³ 5 yang kompak dan terhubung, situasinya ternyata sangat berbeda: semua masalah utama bagi mereka dapat dianggap terpecahkan secara prinsip (lebih tepatnya, direduksi menjadi masalah teori aljabar). Manifold halus apa pun X dapat ditanamkan sebagai permukaan halus (berdimensi n); dan vektor singgung ke X merupakan suatu manifold halus baru TX, yang disebut bundel tangen dari manifold halus X. Secara umum, bundel vektor pada ruang topologi X adalah ruang topologi E yang pemetaan kontinunya p: E ╝ X diberikan sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik x О X bayangan invers v (lapisan) adalah ruang vektor dan terdapat penutup terbuka (Ua) dari ruang X sehingga untuk sembarang a bayangan invers p≈1(Ua) bersifat homeomorfik ke produk Ua ` , dan terdapat homeomorfisme p≈1(Ua) ╝ Ua ` , yang memetakan secara linier setiap lapisan p≈1(x), x О Ua, ke ruang vektor (x) ` . Ketika E = TX, pemetaan kontinu p mengasosiasikan setiap vektor tangen dengan titik singgungnya, sehingga lapisan p≈1(x) akan menjadi ruang yang bersinggungan dengan X di titik x. Ternyata setiap kumpulan vektor pada ruang kompak X mendefinisikan beberapa elemen grup KO(X). Jadi, khususnya, untuk manifold X yang mulus, kompak, dan terhubung dalam grup KO(X) ditentukan elemen yang sesuai dengan ikatan singgung. Ini disebut invarian tangensial dari variasi halus X. Ada analogi konstruksi ini untuk sembarang a. Untuk a = p, peran grup KO(X) dimainkan oleh grup lain yang dilambangkan KPL(X), dan untuk a = t, peran grup ini dimainkan oleh grup yang dinotasikan KTop(X). Setiap a-varietas X mendefinisikan dalam grup terkait [KO(X), KPL(X) atau KTop(X)] beberapa elemen yang disebut invarian tangensial a-nya. Terdapat homomorfisme alami KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), dan ternyata pada n-dimensi (n ³ 5) kompak dan terhubung a"-manifold X, dimana a" = t, p , maka hanya dengan demikian kita dapat memperkenalkan struktur-a (a = p jika a" = t, dan a = s jika a" = p) ketika invarian tangensial a"-nya terletak pada bayangan grup yang bersesuaian. Banyaknya struktur tersebut berhingga dan sama dengan jumlah elemen dari beberapa himpunan hasil bagi , di mana Ya ≈ beberapa ruang topologi yang dibangun secara khusus (untuk a = s, ruang topologi Ya biasanya dilambangkan dengan simbol PL/O, dan untuk a = p ≈ dengan simbol Top/PL). Dengan demikian, pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan struktur a mereduksi menjadi beberapa masalah dalam teori homotopi. Tipe homotopi ruang topologi PL/O cukup rumit dan belum sepenuhnya terselesaikan. dihitung (1976), namun diketahui bahwa pi(PL/O) = 0 untuk i £ 6, yang menyiratkan bahwa setiap manifold linier berdimensi n £ 7 dapat dihaluskan dengan cara yang unik untuk n £ 6. Pada sebaliknya, tipe homotopi ruang topologi Top/PL ternyata sangat sederhana: ruang ini setara dengan homotopi K(ℤ2, 3). Akibatnya, jumlah struktur linier sepotong-sepotong pada manifold topologi tidak melebihi jumlah elemen golongan H 3(X, ℤ2). Struktur seperti itu pasti ada jika H 4(X, ℤ2) = 0, tetapi untuk H 4(X, ℤ2) ¹ 0 struktur linier sepotong-sepotong mungkin tidak ada. Secara khusus, terdapat struktur linier sepotong-sepotong yang unik pada bola S n. Terdapat banyak struktur halus pada bola S n, misalnya pada S 7 terdapat 28 struktur halus yang berbeda. Pada torus T n (produk topologi dari n salinan lingkaran S 1) terdapat untuk n ³ 5 banyak struktur linier sepotong-sepotong yang berbeda, yang semuanya memiliki struktur halus. Jadi, mulai dari dimensi 5, terdapat lipatan halus homeomorfik tetapi tidak difeomorfik; bola dengan sifat ini ada mulai dari dimensi 7. Masalah mendeskripsikan (sampai homeomorfisme a) semua manifold a kompak berdimensi n (n ³ 5) yang terhubung secara alami dapat diselesaikan dalam dua tahap: mencari kondisi untuk kesetaraan homotopi dari manifold-a dan kondisi-homeomorfisme dari manifold-a yang setara dengan homotopi. Masalah pertama berkaitan dengan teori homotopi dan dalam kerangkanya dapat dianggap terpecahkan sepenuhnya. Masalah kedua pada dasarnya juga terpecahkan sepenuhnya (setidaknya untuk manifold-a yang terhubung secara sederhana). Dasar solusinya adalah transfer teknik “dekomposisi pegangan” ke dimensi yang lebih tinggi. Dengan menggunakan teknik ini, misalnya, dimungkinkan untuk membuktikan dugaan Poincaré untuk manifold topologi n-dimensi (n ³ 5) (manifold topologi kompak terhubung yang homotopi setara dengan bola dan bersifat homeomorfik). Selain manifold-a, kita juga dapat mempertimbangkan apa yang disebut manifold-a dengan batas; mereka dicirikan oleh fakta bahwa lingkungan dari beberapa titiknya (yang merupakan tepi) adalah a-homeomorfik terhadap setengah ruang Xn ³ 0 dari ruang tersebut. Batasnya adalah manifold a berdimensi (n≈1) (secara umum, terputus). Dua manifold a kompak berdimensi n X dan Y dikatakan (co)bordant jika terdapat manifold a kompak berdimensi (n+1) dengan batas W sehingga batasnya merupakan gabungan dari manifold halus yang saling lepas a- homeomorfik ke X dan Y Jika pemetaan penyematan X ╝ W dan Y ╝ W adalah kesetaraan homotopi, maka manifold halus disebut h-cobordant. Dengan menggunakan metode dekomposisi pegangan, dapat dibuktikan bahwa untuk n ³ 5 manifold a kompak yang terhubung secara sederhana adalah a-homeomorfik jika h-kobordan. Teorema h-cobordisme ini memberikan cara terkuat untuk menetapkan a-homeomorfi dari manifold-a (khususnya, dugaan Poincaré adalah akibat wajarnya). Hasil serupa namun lebih kompleks juga berlaku untuk manifold-a yang tidak terhubung secara sederhana. Kumpulan kelas ═ dari manifold a kompak kobordan adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan terhubung. Nol dari grup ini adalah kelas manifold a yang merupakan sisi, yaitu kobordan dengan nol. Ternyata grup untuk a = s ini isomorfik terhadap grup homotopi p2n+1MO (n+1) dari beberapa ruang topologi yang dibangun secara khusus MO (n+1), yang disebut ruang Thom. Hasil serupa terjadi untuk a = p, t. Oleh karena itu, metode teori aljabar pada prinsipnya memungkinkan untuk menghitung suatu golongan. Secara khusus, ternyata golongan ═adalah penjumlahan langsung dari golongan ℤ2 dengan jumlah yang sama dengan banyaknya pembagian bilangan n menjadi suku-suku selain bilangan berbentuk 2m≈

Misalnya, = 0 (jadi setiap lipatan halus kompak tiga dimensi adalah sebuah tepi). Sebaliknya, ═= ℤ2, jadi ada permukaan yang kobordan satu sama lain dan tidak kobordan dengan nol; permukaan seperti itu, misalnya, adalah bidang proyektif P

M.M.Postnikov.

6. Tahapan utama pengembangan topologi

Beberapa hasil yang bersifat topologi diperoleh pada abad ke-18 dan ke-19. (Teorema Euler tentang polihedra cembung, klasifikasi permukaan, dan teorema Jordan bahwa garis tertutup sederhana yang terletak pada suatu bidang membagi bidang tersebut menjadi dua bagian). Pada awal abad ke-20. konsep umum ruang dalam ruang tercipta (metrik ≈ M. Fréchet, topologi ≈ F. Hausdorff), gagasan awal teori dimensi muncul dan teorema paling sederhana tentang pemetaan kontinu terbukti (A. Lebesgue, L. Brouwer) , polihedra diperkenalkan (H. Poincaré) dan apa yang disebut bilangan Betti ditentukan. Kuartal pertama abad ke-20. diakhiri dengan berkembangnya topologi umum dan berdirinya sekolah topologi Moskow; dasar-dasar teori umum dimensi diletakkan (P.S. Uryson); aksiomatik ruang topologi diberikan bentuk modernnya (P.S. Aleksandrov); teori ruang kompak dibangun (Alexandrov, Uryson) dan teorema produknya dibuktikan (A.N. Tikhonov); untuk pertama kalinya kondisi yang diperlukan dan cukup untuk kemampuan pengukuran ruang diberikan (Alexandrov, Uryson); konsep cakupan terbatas lokal diperkenalkan (Alexandrov) [yang menjadi dasar definisi ruang parakompak pada tahun 1944 J. Dieudonné (Prancis)]; ruang yang benar-benar teratur diperkenalkan (Tikhonov); konsep saraf didefinisikan dan dengan demikian teori umum homologi didirikan (Alexandrov). Di bawah pengaruh E. Noether, bilangan Betti diakui sebagai barisan kelompok homologi, yang oleh karena itu disebut juga kelompok Betti. L. S. Pontryagin, berdasarkan teorinya tentang karakter, membuktikan hukum dualitas untuk himpunan tertutup.

Pada kuartal ke-2 abad ke-20. Perkembangan teori umum dan teori homologi terus berlanjut: dalam pengembangan gagasan Tikhonov, A. Stone (AS) dan E. Cech memperkenalkan apa yang disebut batu ≈ Chekhov, atau maksimum, (bi)perpanjangan kompak dari ruang yang benar-benar teratur; kelompok homologi ruang sembarang didefinisikan (Cech), perkalian dimasukkan ke dalam kelompok kohomologi (J. Alexander, A. N. Kolmogorov) dan cincin kohomologi dibangun. Pada saat ini, metode kombinatorial yang didasarkan pada pertimbangan skema sederhana mendominasi teori aljabar; Oleh karena itu, teori aljabar terkadang masih disebut teori kombinatorial.Ruang kedekatan dan ruang seragam diperkenalkan. Teori homotopia mulai berkembang secara intensif (H. Hopf, Pontryagin); kelompok homotopi ditentukan (V. Gurevich, AS) dan pertimbangan teori halus diterapkan pada perhitungannya (Pontryagin). Aksioma kelompok homologi dan kohomologi dirumuskan (N. Steenrod dan S. Eilenberg, USA). Teori bundel muncul (H. Whitney, USA; Pontryagin); ruang sel diperkenalkan (J. Whitehead, UK).

Pada paruh kedua abad ke-20. Di Uni Soviet, aliran teori umum dan teori homologi Soviet sedang muncul: penelitian sedang dilakukan pada teori dimensi, masalah metrisasi, teori ekstensi (bi)kompak, teori umum pemetaan kontinu (faktorial, terbuka, tertutup), khususnya teori kemutlakan; teori yang disebut invarian bernilai kardinal (A.V. Arkhangelsky, B.A. Pasynkov, V.I. Ponomarev, E.G. Sklyarenko, Yu.M. Smirnov, dll.).

Melalui upaya sejumlah ilmuwan (J.P. Serres dan A. Cartan di Perancis, M.M. Postnikov di Uni Soviet, Whitehead, dll), teori homotopi akhirnya terbentuk. Pada saat ini, pusat-pusat besar teori aljabar didirikan di Amerika Serikat, Inggris Raya, dan negara-negara lain; minat terhadap teori geometri diperbarui.Teori kumpulan vektor dan fungsi K diciptakan (M. Atiyah, Inggris Raya; F. Hirzebruch, Jerman), teori aljabar banyak digunakan dalam teori halus (R. Thom, Prancis) dan geometri aljabar (Hirzebruch); Teori (co)bordisme sedang dikembangkan (V.A. Rokhlin, USSR; Tom, S.P. Novikov) dan teori smoothing dan triangulability (J. Milnor, USA).

Perkembangan teknologi terus berlanjut ke segala arah, dan cakupan penerapannya terus meluas.

A.A.Maltsev.

═Ref.: Aleksandrov P.S., Pengantar teori umum himpunan dan fungsi, M.≈L., 1948; Parkhomenko A.S., Apa itu garis, M., 1954; Pontryagin L.S., Dasar-dasar topologi kombinatorial, M.≈L., 1947; olehnya, Continuous Groups, 3rd ed., M., 1973; Milnor J., Wallace A, Topologi Diferensial. Kursus awal, trans. dari bahasa Inggris, M., 1972; Steenrod N., Chinn W., Konsep topologi pertama, trans. dari bahasa Inggris, M., 1967; Aleksandrov P.S., Topologi kombinatorial, M.≈L., 1947; Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A., Pengantar teori dimensi. Pengantar teori ruang topologi dan teori umum dimensi, M., 1973; Aleksandrov P.S., Pengantar teori homologi dimensi dan topologi kombinatorial umum, M., 1975; Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I., Dasar-dasar topologi umum dalam masalah dan latihan, M., 1974; Postnikov M.M., Pengantar teori Morse, M., 1971; Bourbaki N., Topologi umum. Struktur dasar, trans. dari Perancis, M., 1968; nya, Topologi umum. Kelompok topologi. Angka dan grup serta spasi terkait, trans. dari Perancis, M., 1969; nya, Topologi umum. Penggunaan bilangan real dalam topologi umum. Ruang fungsional. Ringkasan hasil. Kamus, terjemahan. dari Perancis, M., 1975; Kuratovsky K., Topologi, trans. dari bahasa Inggris, vol.1≈2, M., 1966≈69; Lang S., Pengantar teori manifold terdiferensiasi, trans. dari bahasa Inggris, M., 1967; Spenier E., Topologi aljabar, trans. dari bahasa Inggris, M., 1971.

Topologi (disambiguasi)

Topologi:

Topologi merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari fenomena kontinuitas dalam bentuknya yang paling umum.
Topologi adalah sistem himpunan yang digunakan dalam mendefinisikan ruang topologi.
Topologi jaringan adalah diagram lokasi dan koneksi perangkat jaringan.

Contoh penggunaan kata topologi dalam sastra.

Pontryagin, yang melalui usahanya cabang matematika baru diciptakan - aljabar topologi - mempelajari berbagai struktur aljabar yang diberkahi dengan topologi.

Dan seseorang tidak dapat memahami histologi tanpa hidrologi, hidrologi tanpa geologi, geologi tanpa geografi, geografi tanpa topografi, topografi tanpa topologi dan semuanya tanpa omneologi, dan omneologi - tanpa tabel.

Kami tidak memahami histologi, Kami tidak memahami hidrologi, hidrografi, geografi, topografi, topologi.

Secara umum, pendekatan ini melibatkan pendokumentasian jaringan topologi, program aplikasi dan protokol yang digunakan.

Jadi, lanjutnya, dengan menggunakan istilah yang semakin rumit, merujuk pada topologi ruh dan geometri kesadaran dan wawasan, memaparkan unsur-unsur ontografi endoskopi, klimatisasi kehidupan emosi, tingkat-tingkatnya, ekstrem, naik turun, serta rendahnya semangat, dan ngobrol sekian lama hingga menjadi serak, dan raja mengalami sakit kepala.

Kartu-kartu topologi Perutean email berguna untuk memecahkan masalah transfer email antar server.

Demikian pula, kami berharap untuk melihat perpustakaan penyelesai tingkat yang lebih tinggi yang mengurutkan tanggapan berdasarkan informasi tentang topologi, hanya ada di host klien.

Artinya jaringan topologi dan segmentasi menjadi faktor pelindung yang penting.

Memang, pada dasarnya, teori apa pun akan berguna topologi gambar, dan ontologi apa pun tidak lebih dari kompleks deduktif dari gambar universal, yang secara induktif terikat pada realitas empiris.

Untuk membuat topologi server jarak jauh, pertama-tama tentukan database yang paling sering diakses oleh stasiun kerja dan server.

Yaitu - di dunia kontinum topologi hubungan internalnya memungkinkan kita membentuk suatu lingkungan di mana intersubjektivitas menjadi fungsi distribusi rasionalitas di dalamnya.

Begitulah menurut kaum obyektivis topologi Di dunia sel, masalah intersubjektivitas diselesaikan di dalamnya dengan bantuan mediator intersubstansial.

Kita sedang membicarakan beberapa hal topologi ruang-ruang saling bertumpukan, berubah menjadi satu sama lain, seperti huruf-huruf yang muncul dalam aspek berbeda atau bergantian dalam monogram sebuah jendela.

Namun, dalam organisasi kecil, hal ini terjadi topologi menjamin pembaruan data yang cepat.

Karena Anda sedang merencanakan topologi, Anda harus mempertimbangkan dan topologi lalu lintas email dan replikasi.

Bagaimana cara menginstal program dan permainan di LG Smart TV?

Prinsip pembagian topologi

Cara mendownload program notepad

Menginstal firmware khusus dan menurunkan versi