1. kurzus, magasabb matematika, tanulmányozzuk matriák és alapvető intézkedések rájuk. Itt rendszerezünk az alapvető műveleteket, amelyeket mátrixokkal lehet elvégezni. Hogyan kezdeményezzen megismerést a mátrixokkal? Természetesen a legegyszerűbb meghatározásokkal, az alapfogalmakkal és a legegyszerűbb műveletekkel. Biztosítjuk, hogy a mátrixok megértsék mindazt, akik legalább egy kis időt adnak nekik!
A mátrix meghatározása
A Mátrix - Ez egy téglalap alakú elemek. Nos, ha egyszerű nyelv - Asztali számok.
Általában a mátrixokat tőke latin betűk jelölik ki. Például a mátrix A. , a Mátrix B. stb. A mátrix lehet különböző méretű: téglalap, négyzet, ott is mátrixok húrok és oszlop mátrixok, úgynevezett vektorok. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjon egy téglalap alakú méretű mátrixot m. tovább n. hol m. - vonalak száma, és n. - Oszlopok száma.
Elemek, amelyekre i \u003d j. (a11, A22, .. ) A mátrix fő átlójának kialakítása, és diagonálnak.
Mit tehetünk mátrixokkal? Hajtogatás / levonás, szorozzuk meg a számot, szaporodnak egymás között, átültet. Most ezekről az alapvető műveletekről, amelyek a mátrixokon vannak.
A mátrixok hozzáadása és kivonása
Azonnal figyelmeztette, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Ennek eredményeképpen az azonos méretű mátrix lesz. A mátrix lehajtása (vagy levonása) egyszerű - csak hajtogatta a megfelelő elemeket . Adunk egy példát. Végezze el két mátrix hozzáadását a és két kettőben.
A kivonást analógia végzi, csak az ellenkező jelzéssel.
A mátrixot tetszőleges számon szaporíthatja. Ezt csináld meg, meg kell szednie ezt a számot minden egyes elem. Például a mátrix A-t az első példából 5:
Szoronzási művelet mátrix
Nem minden mátrixot lehet szaporítani. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor lehet egymással szorozni, ha a mátrix oszlopainak száma ugyanolyan egyenlő a B. mátrix soraihoz a kapott mátrix minden eleme, amely az I-TH-sorban áll j-M oszlopmegegyezik a megfelelő elemek termékével az első tényező első sorában és a második J-M oszlop első sorában. Ahhoz, hogy megértsük ezt az algoritmust, írj le, mivel két négyzetmátrix szorzva van:
És egy példa valós számokkal. Szorzás mátrix:
Üzemeltetési mátrix átültetése
A mátrix átültetése olyan működés, amikor a megfelelő vonalak és oszlopok helyeken megváltoznak. Például átültetjük az A mátrixot az első példából:
A mátrix meghatározója
A determináns, a meghatározó - egy lineáris algebra egyik alapfogalmának. Miután az emberek jöttek fel lineáris egyenletek, És meg kellett találnák az azonosítót. Ennek eredményeként mindezekkel foglalkoznod kell, így az utolsó bunkó!
A determináns a négyzetmátrix számszerű jellemzője, amely sok feladat megoldásához szükséges.
Kiszámításához meghatározója a legegyszerűbb négyzetes mátrix is, meg kell számítani a különbség a munkálatok az elemek a fő és oldalsó átlók.
Az első rendelési mátrix meghatározója, amely egy elemből áll, egyenlő ezzel az elemgel.
És ha a mátrix három-három? Már bonyolultabb, de megbirkózhatsz.
Ilyen mátrix esetében a determináns értéke megegyezik a legfontosabb fő átlós és a párhuzamos fő átlós vonalával, amelyen a Az oldalsó átlós és a háromszögekkel fekvő elemek termékét az átlóval párhuzamosan levágják.
Szerencsére a nagyméretű mátrixok meghatározó tényezőinek kiszámításához ritkák.
Itt megnéztük a mátrixok alapvető műveleteit. Természetesen a való életben soha nem lehet találkozni még egy mátrix-egyenletrendszert, vagy fordítva - sokkal összetettebb esetekkel találkozhat, ha tényleg meg kell szakítania a fejét. Ilyen esetekben van egy szakmai hallgatói szolgálat. Kapcsolat Segítség, Kapjon kiváló minőségű és részletes megoldást, élvezze a tanulást és a szabadidőt.
Ez a módszertani kézikönyv segít megtudni mátriatkozásokkal való cselekvések: Mátrixok hozzáadása (kivonás), a mátrix átültetése, mátrixok szorzása, megtalálása fordított mátrix. Minden anyagot egyszerű és hozzáférhető formában ismertetünk, megfelelő példákat adunk meg, így még egy felkészületlen személy is képes lesz megtanulni a mátrixokkal való cselekvéseket. Az önellenőrzéshez és az önellenőrzéshez ingyenesen töltheti le a mátrix számológépet \u003e\u003e\u003e.
Megpróbálom minimalizálni az elméleti számításokat, egyes helyeken, magyarázatok "az ujjakon" és a tudománytalan kifejezések használatát. A szilárd elmélet szerelmesei, kérjük, ne kritizáljon, feladataink ismerje meg a mátrixokkal való cselekvést.
Az ultra-gyors előkészítés a témához (aki "égő") van egy intenzív PDF tanfolyam Mátrix, meghatározó és álló!
A mátrix egy téglalap alakú asztal elemek. Mint elemek Figyelembe vesszük a számokat, azaz numerikus mátrixokat. ELEM - Ez a kifejezés. A kifejezés célszerű emlékezni, gyakran találkozik, nem véletlen, hogy egy kövér betűtípust használtam, hogy kiemelje.
Kijelölés: A mátrixok általában tőke latin betűkkel jelöltek
Példa: Tekintsük a "két három" mátrixot:
Ez a mátrix hat elemek:
Minden szám (elem) a mátrixban létezik, vagyis a beszéd levonása nem megy: 
Ez csak egy asztal (készlet) számok!
Egyetért ne adja át Számokat, hacsak másképp nem említik. Minden számnak van saját helye, és nem lehet kihúzni!
A vizsgált mátrixnak két vonala van: 
És három oszlop: 
ALAPÉRTELMEZETT: Ha beszélnek a mátrix méretéről, akkor első Adja meg a sorok számát, és csak akkor - az oszlopok számát. Csak szétszereltük a "két három" mátrix csontjait.
Ha a mátrix sorai és oszlopai egybeesnek, akkor a mátrixot hívják négyzet, például: 
- "Három három mátrix".
Ha a mátrix egy oszlopban vagy egy sorban van, akkor az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.
Valójában a mátrix fogalma, az iskolából tudjuk, úgy véljük, hogy például egy pont az "X" koordinátákkal és az "igrek" :. Lényegében a pont koordinátáit az "egy-két" mátrixban rögzítik. By the way, itt a példa, miért fontos a számok sorrendje: és a sík két teljesen különböző pontja.
Most menjen közvetlenül a tanulmányba mátrixokkal való cselekvések:
1) az első cselekvés. Mínusz elérése a mátrixból (mínusz a mátrixban).
Visszatérés a mátrixunkhoz 
. Ahogy valószínűleg észrevette, túl sok negatív szám van ebben a mátrixban. Nagyon kényelmetlen a mátrixokkal való különböző cselekedetek elvégzésében, kényelmetlen, hogy annyi mínuszot írjon, és csak csúnya néz ki a tervezésben.
A mátrixon túlmutatok, megváltoztatva a mátrix jel minden elemét:
Ulya, ahogy érted, a jel nem változik, nulla - ő és Afrikában nulla.
Feed Példa: 
. Csúnya.
A mátrixban mínusz leszünk, megváltoztatjuk az egyes elemek mátrixát:
Nos, sokkal szebb volt. És ami a legfontosabb, végre semmilyen műveletet a mátrix könnyebb lesz. Mert van ilyen matematikai népi jel: minél több mínusz - annál zavarosabb és hibás.
2) Második cselekvés. A mátrix szorzása a számhoz.
Példa:
Minden egyszerű, hogy megszorozza a mátrixot a számon, amire szüksége van minden egyes A mátrix elem egy adott számhoz szorozza. Ebben az esetben az első háromon.
Egy másik hasznos példa:
- A mátrix szaporítása a frakcióhoz
Először fontolja meg, mit tegyen Nem:
Nem kell, hogy adja meg a mátrix, először is csak megnehezíti a további lépéseket a mátrix, másrészt megnehezíti, hogy ellenőrizze a döntés a tanár (különösen, ha 
- Végleges válasz válasz).
És különösen, Nem Ossza meg a mátrix minden elemét mínusz héthez:
A cikkből Matematika a bábukért, vagy elkezdeni kezdeniEmlékeztetünk arra, hogy a magasabb matematika vesszővel rendelkező tizedes frakciókat próbálják elkerülni minden módon.
Az egyetlen dolog, hogy kívánatos Ebben a példában -, hogy mínusz legyen a mátrixban:
De ha ÖSSZES A mátrix elemei 7-re oszlottak maradék nélkülAkkor lehet (és szükséged van rá!) Meg kell osztani.
Példa:
Ebben az esetben te és KELL Szorozzuk meg a mátrix összes elemét, mivel a mátrixok összes számát 2-re osztják maradék nélkül.
Megjegyzés: A magasabb matematika elméletében az iskolai koncepció "Division" nem. A "ez megosztott" kifejezés helyett mindig azt mondhatjuk, hogy "szaporodott a frakcióval". Ez az, hogy a divízió a sokszorosítás különleges esete.
3) a harmadik cselekvés. A mátrix átültetése.
A mátrix átültetéséhez meg kell írnia az átültetett mátrix oszlopát.
Példa:
Átülteti a mátrixot
A vonal itt csak egy, és a szabály szerint az oszlopra kell írni:
- Átültetett mátrix.
Az átültetett mátrixot általában hirtelen index vagy érintés jelöli a tetején.
Lépésről lépésre példaként:
Átülteti a mátrixot 
Először írja át az első karakterláncot az első oszlopra:
Ezután írja át a második karakterláncot a második oszlopban: 
Végül, írja át a harmadik karakterláncot a harmadik oszlopban:
Kész. Nagyjából beszél, átültetve - ez azt jelenti, hogy az oldal mátrixát fordítjuk.
4) Negyedik cselekvés. Összeg (különbség) Mátrixok.
A mátrixok mennyisége egyszerű.
Nem minden mátrix hajtható össze. A (kivonó) mátrixok hozzáadásához szükséges, hogy azonos méretűek.
Például, ha a „2-2” mátrix adott, akkor csak azt lehet hajtani a „két két” mátrix és semmi más! 
Példa:
Hajtsa a mátrixokat 
és 
A mátrixok hajtásához szükség van a megfelelő elemekre.:
A mátrixok különbsége érdekében a szabály hasonló meg kell találni a különbséget a megfelelő elemek között..
Példa:
Keresse meg a különbségi mátrixot 
, 
És hogyan oldja meg ezt a példát, könnyebben nem zavarható? Javasoljuk, hogy megszabaduljon az extra mínuszoktól, mert ez mínusz lesz a mátrixban:
Megjegyzés: A magasabb matematika elméletében az iskolai koncepció "kivonás" nem. A "erre" kifejezés helyett mindig azt lehet mondani, hogy "ez negatív számot adjon hozzá." Ez az, hogy a kivonás speciális kiegészítésű eset.
5) Ötödik fellépés. Mátrix szorzás.
Milyen mátrixokat lehet szorozni?
Ahhoz, hogy a mátrix megszorozzon a szükséges mátrixra, hogy a mátrix oszlopok száma megegyezik a mátrix húrok számával.
Példa:
Lehet-e szaporodni a mátrixot a mátrixon?
Tehát a mátrix adatainak szorzása lehet.
De ha a mátrixok átrendezik a helyeken, akkor ebben az esetben a szorzás már nem lehetséges!
Ezért lehetetlen elvégezni a szorzást:
Nem is olyan ritkán, feladatok találkozott, amikor a hallgató javasolják, hogy szaporodnak a mátrix, amelynek a szorzás nyilvánvalóan lehetetlen.
Meg kell jegyezni, hogy egyes esetekben szaporodhat a mátrixot, és így.
Például mátrixok, esetleg sokszorosítás és szorzás
A mátrix szorzása a számhoz - Ez a mátrix működése, amelynek eredményeképpen minden egyes elemet értékes vagy összetett számmal szorozza meg. Matematikai nyelvnek tűnik, hogy:
$$ B \u003d Lambda \\ CDOT A \\ Requarrow B_ (IJ) \u003d \\ lambda A_ (IJ) $$
Érdemes megjegyezni, hogy az így kapott Matrix $ B $ ennek eredményeként ugyanazzal a dimenzióval kell beszerezni, hogy a $ A $ MATRIX $ rendelkezett. Az ilyen tényre is figyelhetsz: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ CDOT \\ lambda $, vagyis lehetséges megváltoztatni a helyek szorzókat, és ez a munka nem változik.
Hasznos lesz a mátrix szorzásának működtetése a számmal a mátrixon túlmutató közös tényezővel. Ebben az esetben a mátrix minden eleme a $ \\ lambda $ számra oszlik, és eltávolítja a mátrix előtt.
Tulajdonságok
- A mátrixokhoz viszonyított elosztási törvény: $$ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda b $$ A mátrixok mennyiségének többszörözése helyettesíthető az egyes mátrixok munkáinak mennyiségével szám
- A disztribúciós törvény a valódi (integrált) számokhoz viszonyítva: $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ CDOT A \u003d \\ Lambda A + \\ MU A MATRIX $ $ -s szorzás a számok mennyiségében a munkák mennyiségével helyettesíthető Minden szám a mátrixon
- Asszociatív törvény: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot a) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $ $ közös multiplikátor Az előtte lévő mátrixból, az együttható előtt álló uralommal
- Van egy különleges számú $ \\ lambda \u003d 1 $, amelynek köszönhetően a mátrix változatlan $$ 1 CDOT A \u003d A \\ CDOT 1 \u003d A $$
- A mátrix nullára való szorzása arra a tényre vezet, hogy a mátrixok mindegyik eleme visszaáll, és a mátrix ugyanazon dimenzió nulla lesz, amely kezdetben: $$ 0 \\ CDOT A \u003d 0 $$
Példák megoldásokra
| Példa |
| Ez $ A \u003d megjelzés (PMatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 és 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ és a tényleges szám $ \\ lambda \u003d $ 2. Szorozzuk meg a mátrix számát. |
| Döntés |
|
A szorzás matematikai működését írjuk le, ugyanakkor emlékezzünk arra a szabályra, amely elolvassa: a mátrixot megszorozzuk a számelemmel. $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ CDOT \\ BEGIN (PMATIX) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ kezdő (pmatrix) 2 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-1) & 2 \\ CDOT 4 \\\\ 2 \\ CDOT 0 & 2 \\ CDOT 9 & 2 \\ CDOT 3 \\\\ 2 \\ CDOT (-2) & 2 \\ CDOT (-3) & 2 \\ CDOT 5 \\ ED (PMATIX) \u003d $$ $$ \u003d kezdő (PMATIX) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (PMatrix) $$ Ennek eredményeként látjuk, hogy a mátrixban álló összes szám megduplázódott a kezdeti érték felé. Ha lehetetlen megoldani a feladatát, akkor küldje el nekünk. Részletes döntést hozunk. Megismerheti magát a számítás és az információk megtanulásával. Ez segíteni fogja a tanár idején! |
| Válasz |
| $$ Lambda \\ CDOT A \u003d kezdő (PMATIX) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ |
Annak érdekében, hogy az A mátrix szaporodását egy tetszőleges számú α-ra állítjuk elő, a mátrix elemeire van szükséged A. Szorozzuk az α számhoz, azaz A mátrix munkája a számhoz a következő lesz:
1. példa. Keressen egy mátrixot 3. A.a mátrixhoz
Döntés. A mátrix elemeinek megszorzásának meghatározásával összhangban A. 3 és kap
Ez egy teljesen egyszerű példa megszorozzuk a mátrix egy szám egész számokkal. Előre is egyszerű példák, De már, ahol többek között a szorzók és elemei mátrixok - frakciók változók (levél jelölés), mert a jogszabályok szorzás aktus nemcsak egész számok, így nem káros megismételni.
2. példa. A. az α számmal, ha 
,
.
A. Az α-on, hogy ne feledje el, hogy a frakciók szorzásával az első frakció számlálóját megszorozzuk az első frakció számával, és a terméket a számlálóra írták, és az első frakció nevezőjét a második csatorna szorozza meg, A frakciót és a terméket a denominátorba írják. Az új mátrix első sorának második elemének átvételét követően a kapott frakciót 2-rel csökkentették, meg kell tenni. Kap
3. példa. Végezze el a mátrix szorzását A. az α számmal, ha
,
.
Döntés. A mátrix többszörös elemei A. Az α-on, hogy nem pusztulnak el a levél jelölésében, anélkül, hogy elfelejtenék, hogy elhagyják a mínuszt az új mátrix második sorának második eleme előtt, és ne feledje, hogy a számnak a számhoz való szorzás eredménye van egy egység ( a harmadik sor első eleme). Kap
.
4. példa. Végezze el a mátrix szorzását A. az α számmal, ha 
,
.
Döntés. Emlékeztetünk arra, hogy a számok számával a diplomával a diploma mutatók hozzáadásával. Kap
.
Ez a példa többek között egyértelműen azt mutatja, hogy a mátrix sokszorosításának a számra fordított sorrendben olvasható (és rögzíthető), és a mátrix előtt álló állandó tényezőnek nevezhető.
S. a mátrixok hozzáadása és kivonása A mátrix szaporodási működése a számhoz különböző mátrix kifejezéseket képezhet, például 5 A. − 3B. , 4A. + 2B. .
A mátrix szorzási tulajdonságai
(itt A, B - Mátrixok, - számok, 1 - 1-es szám)
1. 
2. 
3. 
Tulajdonságok (1) és (2) kötődnek a mátrix szorzásával a mátrixok hozzáadásával. Van egy nagyon fontos kapcsolat a mátrix szorzása között a számhoz és a mátrixok megszorzásához:
i.E. Ha a mátrixok munkájában az egyik szorzót megszorozzák a számmal, akkor az összes munka megszűnik a számmal.
Ebben a témában olyan műveletek, mint például a mátrixok hozzáadása és kivonása, a mátrixot megszorozzák a számhoz, a mátrix mátrixát, a mátrix átültetését. Az ezen az oldalon használt összes szimbólum az előző témáról származik.
A mátrixok hozzáadása és kivonása.
A $ A + B $ mátrixok összege $ A_ (M Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ és $ b_ (m \\ time n) \u003d (b_ (ij)) $ a Matrix $ C_ (M \\ Idő n) \u003d (c_ (ij)) $, ahol $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ az összes $ i \u003d \\ overline (1, m) $ és $ j \u003d \\ t , N) $.
Hasonló definíciót vezetnek be a mátrixok különbségéhez:
A különbség $ AB $ MATRICES $ A_ (M Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ és $ b_ (m times n) \u003d (b_ (ij)) $ a Matrix $ C_ (M \\ Times n) \u003d (C_ (IJ)) $, ahol $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ $ i \u003d \\ overline (1, m) $ és $ j \u003d overline (1, n) $.
A rekord magyarázata $ i \u003d \\ overline (1, m) $: Show / Hide
A "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" felvétel azt jelenti, hogy a $ i $ paraméter 1-től m-ig változik. Például a Record $ i \u003d \\ overline (1.5) $ jelzi, hogy a $ I $ paraméter 1, 2, 3, 4, 5 értékeket vesz fel.
Érdemes megjegyezni, hogy az adagolás és a kivonás műveletei csak azonos méretű mátrixokra vannak meghatározva. Általában a mátrixok hozzáadását és kivonását - a műveletek intuitív módon világosak, mert valójában csak a megfelelő elemek összegzése vagy kivonása.
Példa №1
Három mátrixot kapunk:
$$ a \u003d bal (megkezdi (tömb) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (tömb) \\ jobbra) \\; \\; B \u003d bal (kezdő (tömb) (CCC) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ vég (tömb) \\ jobbra); \\;;; F \u003d bal (kezdő (tömb) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ vég (tömb) \\ jobbra). $$.
Lehet-e megtalálni a Matrix $ A + F $ -t? Keresse meg a $ C $ és $ D $ mátrixokat, ha $ C \u003d A + B $ és $ D \u003d A-B $.
A $ A $ Matrix 2 sort és 3 oszlopot tartalmaz (más szóval - a $ A $ a $ a $ 2 idő $ 3), és a $ F mátrix 2 sort és 2 oszlopot tartalmaz. A $ A $ A $ és $ F $ mátrix mérete nem egyeznek meg, ezért nem tudjuk hozzáadni őket, azaz Működés $ A + F $ ezeknek a mátrixoknak nincs meghatározva.
A Matrices Matrices $ A $ és $ B $ egybeesik, azaz. Ezek a mátrix egyenlő számú sor és oszlop, így az adagolási művelet alkalmazható rájuk.
$$ C \u003d A + B \u003d \\ Bal (megkezdés (tömb) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (tömb) \\ jobbra) + \\ Bal (sor (tömb) ) (CCC) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ vég (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ Bal (megjelölés (tömb) (CCC) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ Vége (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ balra (megkezdődik) (CCC) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ End (Array) \\ Jobb) $$
A $ D \u003d A-B $ mátrixot találjuk:
$$ d \u003d ab \u003d bal (megkezdődés (tömb) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (tömb) \\ jobbra) - \\ maradt (\\ Begin (tömb) ( CCC) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\\\ \u003d \\ ti maradt (kezdő (tömb) (CCC) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (tömb) \\ jobb) \u003d \\ ti maradt (megjel) (CCC) -11 & 23 & -97 \\ \\ 2 & 9 & 6 \\ end (tömb) \\ jobb) $$
Válasz: $ C \u003d bal (megjelölés (tömb) (CCC) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (tömb) \\ jobbra) $, $ d \u003d bal (megjelölés (tömb) (CCC) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 vég (tömb) \\ jobb) $.
Szaporodva a mátrix szám szerint.
A MATRIX $ A_ (M Time N) \u003d (A_ (IJ)) $ termékét a $ \\ alpha $ számmal a $ b_ mátrix (m \\ time n) \u003d (b_ (ij)) $, ahol $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ CDOT A_ (IJ) $ az összes $ i \u003d \\ overline (1, m) $ és $ j \u003d overline (1, n) $.
Egyszerűen tegye, szaporítsa a mátrixot egy bizonyos számra - azt jelenti, hogy egy adott mátrix mindegyik elemének többszörözését eredményezi.
2. példa 2. szám.
A mátrix be van állítva: $ a \u003d bal (kezdő (tömb) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (tömb) \\ jobb) $. Keresse meg a MATRIX $ 3 \\ CDOT A $, $ -5 CDOT A $ és $ -A $.
$$ 3 \\ CDOT A \u003d 3 \\ CDOT \\ BALL (\\ BEGIN (tömb) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ t Tömb) (CCC) 3 \\ CDOT (-1) & 3 \\ CDOT (-2) & 3 \\ CDOT 7 \\\\ 3 \\ CDOT 4 & 3 \\ CDOT 9 & 3 \\ CDOT 0 \\ VÉG (tömb) \\ Jobb) \u003d \\ Balra (megjelölés (tömb) (CCC) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra). \\\\ -5 \\ CDOT A \u003d -5 \\ CDOT \\ Bal (\\ kezdő (tömb) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ balra (megjel) (CCC) -5 \\ CDOT (-1) & - 5 \\ CDOT (-2) & -5 \\ CDOT 7 \\\\ -5 \\ CDOT 4 & -5 \\ CDOT 9 & -5 \\ CDOT 0 \\ VÉG (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ balra (megjel) (CCC) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ vég (tömb) \\ Jobb). $$.
A $ -A $ rögzítése Rövidített bejegyzés a $ -1 \\ CDOT A $ -ra. Ezek. A $ -a $ megtalálásához szüksége van a $ A $ a $ a $ (-1) összes elemére. Lényegében ez azt jelenti, hogy a $ A $ Matrix összes elemének jele az ellenkezőjére változik:
$$ - -1 \\ CDOT A \u003d -1 \\ CDOT \\ Bal (megkezdődik (tömb) (CCC) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ t Kezdő (tömb) (CCC) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (tömb) \\ jobbra) $$
Válasz: $ 3 \\ CDOT A \u003d \\ Bal (megkezdés (tömb) (CCC) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobbra); \\; -5 \\ CDOT A \u003d \\ bal (megjelölés (tömb) (CCC) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobbra); \\; -A \u003d \\ ti maradt (kezdő (tömb) (CCC) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ vég (tömb) \\ jobbra) $.
Két mátrix terméke.
A művelet meghatározása nehézkes, és első pillantásra nem világos. Ezért először egy általános definíciót jelez, majd részletesen elemezzük, hogy mit jelent, és hogyan kell dolgozni vele.
A terméket a mátrix $ A_ (M \\ Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ a mátrix $ B_ (n \\ Times k) \u003d (B_ (ij)) $ úgynevezett mátrix $ C_ (M \\ Times k ) \u003d (C_ (ij)) $, amelyre mindegyik elem $ C_ (IJ) $ megegyezik a megfelelő munkák összegével i-TH elemek A MATRIX $ A $ A $ A $ a Matrix $ b $ $: $$ C_ (IJ) \u003d összege (p \u003d 1) ^ (n) A_ (IP) b_ (pj) ), \\;; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$
Lépésről lépésre a mátrixok többszörözése elemzi a példát. Azonban azonnal figyelmet kell fordítania arra, hogy az összes mátrix hogyan lehet szaporodni. Ha meg akarjuk szaporítani a $ A $ mátrixot egy $ b $ mátrixon, akkor először meg kell győződnie arról, hogy a $ A $ $ A $ oszlopok száma megegyezik a $ b $ mátrix sorai számával (pl a mátrixokat gyakran hívják következetes). Például a Matrix $ A__ (5 Times 4) $ (A mátrix 5 sor és 4 oszlopot tartalmaz), nem lehet szaporodni a $ F_ Matrix (9 \\ Times 8) $ (9 sor és 8 oszlop), mivel A $ A MATRIX $ oszlopok száma nem egyenlő a $ f $, azaz a $ f-mátrix soraival. $ 4 \\ NEQ $ 9. De többször a Matrix $ A_ (5 Times 4) $ a $ b_ mátrix (4-szer 9) $ lehet, mivel a $ A $ Matrix oszlopainak száma megegyezik a $ sorok számával B $ mátrix. Ebben az esetben a mátrixok sokszorosításának eredménye $ A_ (5 \\ Times 4) $ és $ b_ (4 \\ Times 9) $ lesz $ C_ (5 \\ Times 9) $ mátrix, amely 5 sort és 9 oszlopot tartalmaz:
3. példa 3. szám.
A mátrixok megadása: $ A \u003d bal (kezdő (tömb) (CCCC) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ Ed (tömb) \\ jobbra) $ és $ b \u003d bal (kezdő (tömb) (CC) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (tömb) \\ jobb ) $. Keresse meg a C \u003d A \\ CDOT B $ mátrixot.
Kezdjük, azonnal meghatározzuk a Matrix $ C $ méretét. Mivel $ A $ Matrix mérete $ 3 idő $ 4, és a $ B $ Matrix mérete $ 4 idő $ 2, akkor a méret a $ C $ mátrix: $ 3 \\ tim $ 2:
Tehát a $ egy $ és $ b $ mátrixok munkájának eredményeképpen egy $ C $ mátrixot kell szereznie, amely három vonalból és két oszlopból áll: $ c \u003d bal (megjelölés (CC) C_ (11) & C_ (12) \\\\ C_ (21) & C_ (22) \\\\ C_ (31) & C_ (32) \\ Vége (tömb) \\ Jól) $. Ha az elemek megnevezései kérdéseket okoznak, akkor megnézheted az előző témát: "Mátrixok. Mátrixok típusai. A fő feltételek", amelynek elején a mátrixelemek megnevezése magyarázható. Célunk: megtalálni a $ C $ mátrix összes elemének értékeit.
Kezdjük egy $ C_ (11) $ elemzel. A $ C_ (11) $ elem megszerzéséhez meg kell találnod a $ A $ Matrix első karakterláncának és a $ b $ mátrix első oszlopának méretét:
Ha megtalálja a $ C_ (11) $ elemet, akkor szorozza meg a $ A $ a $ a $ a $ B $ Matrix első oszlopának megfelelő elemeit, azaz az első oszlop, azaz a $ b Az első elem az első, a második, a második, a harmadik, a harmadik, negyedik a negyedik pedig a negyedik. Az eredményeket összefoglaljuk:
$$ C_ (11) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +2 \\ CDOT 6 + (- 3) \\ CDOT 7 + 0 \\ CDOT 12 \u003d 0. $$.
Folytatjuk a döntést, és megtaláljuk a $ C_ (12) $ -t. Ehhez többszörözze meg a $ A $ Matrix első sorának és a $ B $ Matrix második oszlopának elemeit:
Az előzőhez hasonlóan:
$$ C_ (12) \u003d - 1 \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 20 + (- 3) \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT (-4) \u003d 37. $$.
A $ C $ mátrix első sorának minden eleme megtalálható. Menj a második sorba, amely elkezdi a $ C_ (21) $ elemet. Ahhoz, hogy meg kell találnunk, hogy meg kell szüntetned a Matrix $ A $ $ egy $ sorának és a $ B. Matrix oszlop első oszlopának elemeit:
$$ C_ (21) \u003d 5 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 6 + (- 2) \\ CDOT 7 + 1 \\ CDOT 12 \u003d -23. $$.
A következő $ C_ (22) $ találunk, amely megkerüljük a $ A $ mátrix második karakterláncának elemeit a $ B $ Matrix második oszlopának megfelelő elemeihez:
$$ C_ (22) \u003d 5 \\ CDOT 3 + 4 \\ CDOT 20 + (- 2) \\ CDOT 0 + 1 \\ CDOT (-4) \u003d 91. $$.
A $ C_ (31) $ MAMONDRIDE A MATRIX $ A $ harmadik sorának elemeinek megtalálása a $ B. Matrix oszlop első oszlopának elemeire:
$$ C_ (31) \u003d - 8 \\ CDOT (-9) +11 \\ CDOT 6 + (- 10) \\ CDOT 7 + (-5) \\ CDOT 12 \u003d 8. $$.
És végül, hogy megtalálja egy elem $ C_ (32) $ fogjuk kell szorozni az elemek a harmadik sorban a $ a $ mátrix megfelelő elemeinek a második oszlopban a $ b $ mátrix:
$$ C_ (32) \u003d - 8 \\ CDOT 3 + 11 \\ CDOT 20 + (- 10) \\ CDOT 0 + (-5) \\ CDOT (-4) \u003d 216. $$.
A $ C $ mátrix összes eleme megtalálható, csak akkor marad, ha leírja azt a $ c \u003d balra (megkezdi (tömb) (CC) 0 & 37 \\\\-23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (tömb) ) Jobb) $. Vagy, ha teljesen írsz:
$$ C \u003d A \\ CDOT B \u003d \\ bal (megjelölés (CCCC) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 vég (tömb) \\ jobbra) \\ CDOT \\ Bal (megjelölés (tömb) (CC) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\ ED & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d Balra (megjelölés (tömb) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (tömb) \\ jobbra). $$.
Válasz: $ C \u003d bal (kezdő (tömb) (cc) 0 & 37 \\\\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (tömb) \\ jobb) $.
By the way, gyakran nincs ok arra, hogy részletesen megtalálja az eredmény mátrix minden elemét. Mátrixok esetében a méret, amely kicsi, így lehet tenni:
$$ \\ Bal (megjelölés (tömb (tömb) (cc) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ vég (tömb) \\ jobbra \\ t & 90 \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ bal (megjel (sor (tömb) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90) \\\\ -17 \\ CDOT (4) + (- 2) \\ CDOT (-6) & -17 \\ CDOT (9) + (- 2) \\ CDOT (90) \\ end (tömb) \\ jobbra) \u003d \\ t Kezdő (tömb) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ End (Array) \\ jobb) $$
Érdemes megjegyezni, hogy a mátrixok szorzása nem kommunikatív. Ez azt jelenti, hogy a $ a \\ CDOT B \\ NEQ B \\ CDOT egy $. Csak néhány típusú mátrixokra, amelyeket hívnak Átrendeződött (Vagy ingázás), az egyenlőség a $ a \\ cdot b \u003d b \u003ccdot egy $. Ez alapján nemkommutativitÆsÆt szorzás, arra van szükség, hogy jelezze, hogy pontosan hogyan vagyunk domináns kifejezés rá, vagy egy másik mátrix: jobbra vagy balra. Például az "esélyegyenlőségi $ 3E-F \u003d Y $ $ a $ A $ Matrix jobbra" kifejezés azt jelenti, hogy az ilyen egyenlőség megszerzéséhez szükséges: $ (3E-F) \\ CDOT A \u003d Y \\ CDOT A $ .
Átültetve a Matrix $ A_ (M Times N) \u003d (A_ (IJ)) $ nevű Matrix $ A_ (N \\ Times m) ^ (t) \u003d (A_ (IJ) ^ (t)) $ elemek, amelyek $ a_ (ij) ^ (t) \u003d a_ (ji) $.
Egyszerűen tegye, hogy egy átültetett Matrix $ A ^ T $ -t szerezzen, ki kell cserélnie az oszlopokat a $ A $ eredeti mátrixban, hogy helyettesítse az oszlopokat az elv megfelelő karakterláncokkal: Az első sor az első oszlop volt; Volt a második sor - a második oszlop lesz; Volt egy harmadik sor - a harmadik oszlop lesz és így tovább. Például egy átültetett mátrixot találunk a $ A_ MATRIX (3 idő 5) $:
Ennek megfelelően, ha a forrásmátrix mérete $ 3 idő $ 5, akkor az átültetett mátrix mérete 5 dollár $ 3.
A műveletek bizonyos tulajdonságai a mátrixokon keresztül.
Itt feltételezzük, hogy $ \\ alpha $, $ \\ béta $ néhány szám, és $ A $, $ b $, $ C $-Matrix. Az első négy tulajdonság érdekében megadtam a neveket, a többiet analógiával lehet hívni az első négyvel.
