Topoloģiskā dalījuma princips. Topoloģija

Topoloģija- diezgan skaists, skanīgs vārds, ļoti populārs dažās nematemātikas aprindās, mani ieinteresēja jau 9. klasē. Protams, man nebija precīza priekšstata, tomēr man bija aizdomas, ka viss ir saistīts ar ģeometriju.

Vārdi un teksts tika atlasīti tā, lai viss būtu "intuitīvi skaidrs". Rezultāts ir pilnīgs matemātikas zināšanu trūkums.

Kas ir topoloģija ? Es teikšu uzreiz, ka ir vismaz divi termini “Topoloģija” - viens no tiem vienkārši apzīmē noteiktu matemātisko struktūru, otrs nes sevī veselu zinātni. Šī zinātne sastāv no objekta īpašību izpētes, kas nemainīsies, kad tas tiek deformēts.

Ilustratīvs piemērs 1. Bageles kauss.

Mēs redzam, ka krūze, nepārtraukti deformējoties, pārvēršas virtulī (parastā valodā runājot par “divdimensiju toru”). Tika atzīmēts, ka topoloģija pēta to, kas šādās deformācijās paliek nemainīgs. Šajā gadījumā objektā esošo “caurumu” skaits paliek nemainīgs - ir tikai viens. Pagaidām mēs to atstāsim kā ir, mēs to izdomāsim nedaudz vēlāk)

Ilustratīvs piemērs 2. Topoloģiskais cilvēks.

Ar nepārtrauktām deformācijām cilvēks (skat. attēlu) var atšķetināt pirkstus - fakts. Tas nav uzreiz acīmredzams, bet jūs varat uzminēt. Bet, ja mūsu topoloģiskajam cilvēkam būtu tālredzība uzlikt pulksteni uz vienas rokas, tad mūsu uzdevums kļūs neiespējams.

Būsim skaidrībā

Tāpēc es ceru, ka daži piemēri radīja zināmu skaidrību par notiekošo.
Mēģināsim to visu noformēt bērnišķīgi.
Pieņemsim, ka strādājam ar plastilīna figūriņām un plastilīna bundžu stiept, saspiest, līmējot dažādus punktus un plēst aizliegts. Homeomorfas ir figūras, kuras tiek pārveidotas viena otrā ar nepārtrauktām deformācijām, kas aprakstītas nedaudz agrāk.

Ļoti noderīgs futrālis ir sfēra ar rokturiem. Sfērai var būt 0 rokturu — tad tā ir tikai sfēra, varbūt viens — tad tas ir virtulis (parasti runājot, “divdimensiju torus”) utt.
Tātad, kāpēc sfēra ar rokturiem izceļas starp citām figūrām? Viss ir ļoti vienkārši - jebkura figūra ir homeomorfa sfērai ar noteiktu rokturu skaitu. Tas ir, būtībā mums nav nekā cita O_o Jebkurš trīsdimensiju objekts ir strukturēts kā sfēra ar noteiktu skaitu rokturu. Lai tā būtu krūze, karote, dakšiņa (karote=dakšiņa!), datorpele, cilvēks.

Šī ir diezgan nozīmīga teorēma, kas ir pierādīta. Ne pie mums un ne tagad. Precīzāk, tas ir pierādīts daudz vispārīgākai situācijai. Paskaidrošu: mēs aprobežojāmies ar figūrām, kas veidotas no plastilīna un bez dobumiem. Tas rada šādas problēmas:
1) mēs nevaram iegūt neorientējamu virsmu (Klein pudele, Möbius sloksne, projekcijas plakne),
2) mēs aprobežojamies ar divdimensiju virsmām (n/a: sfēra - divdimensiju virsma),
3) mēs nevaram iegūt virsmas, figūras, kas stiepjas līdz bezgalībai (to, protams, varam iedomāties, bet ar plastilīnu nepietiks).

Mobiusa josla

Kleina pudele

Jēdziens tīkla topoloģija nozīmē datoru savienošanas veidu tīklā. Jūs varat dzirdēt arī citus vārdus - tīkla struktūra vai tīkla konfigurācija (Tas ir tas pats). Turklāt topoloģijas jēdziens ietver daudzus noteikumus, kas nosaka datoru izvietojumu, kabeļu ievilkšanas metodes, savienojuma iekārtu izvietošanas metodes un daudz ko citu. Līdz šim ir izveidotas un izveidotas vairākas pamata topoloģijas. No tiem mēs varam atzīmēt " riepa”, “gredzens" Un " zvaigzne”.

Kopnes topoloģija

Topoloģija riepa (vai, kā to bieži sauc kopīgs autobuss vai šoseja ) ietver viena kabeļa izmantošanu, kuram ir pievienotas visas darbstacijas. Kopējo kabeli pēc kārtas izmanto visas stacijas. Visus atsevišķu darbstaciju nosūtītos ziņojumus saņem un noklausās visi pārējie tīklam pieslēgtie datori. No šīs straumes katra darbstacija atlasa ziņojumus, kas adresēti tikai tai.

Kopnes topoloģijas priekšrocības:

iestatīšanas vienkāršība;
relatīvā uzstādīšanas vienkāršība un zemas izmaksas, ja visas darbstacijas atrodas tuvumā;
Vienas vai vairāku darbstaciju atteice nekādā veidā neietekmē visa tīkla darbību.

Kopnes topoloģijas trūkumi:

kopnes problēmas jebkurā vietā (kabeļa pārtraukums, tīkla savienotāja kļūme) noved pie tīkla nedarbošanās;
grūtības traucējummeklēšanā;
zema veiktspēja – jebkurā brīdī tikai viens dators var pārsūtīt datus uz tīklu, palielinoties darbstaciju skaitam, tīkla veiktspēja samazinās;
slikta mērogojamība - lai pievienotu jaunas darbstacijas, nepieciešams nomainīt esošās kopnes sekcijas.

Vietējie tīkli tika veidoti saskaņā ar “autobusu” topoloģiju koaksiālais kabelis. Šajā gadījumā koaksiālā kabeļa sekcijas, kas savienotas ar T veida savienotājiem, darbojās kā kopne. Autobuss tika izlikts cauri visām istabām un piegāja pie katra datora. T veida savienotāja sānu tapa tika ievietota tīkla kartes savienotājā. Tas izskatījās šādi: Tagad šādi tīkli ir bezcerīgi novecojuši un visur ir aizstāti ar “zvaigžņu” vītā pāra kabeļiem, taču dažos uzņēmumos joprojām var redzēt koaksiālā kabeļa aprīkojumu.

Gredzena topoloģija

Gredzens ir lokālā tīkla topoloģija, kurā darbstacijas ir virknē savienotas viena ar otru, veidojot slēgtu gredzenu. Dati tiek pārsūtīti no vienas darbstacijas uz otru vienā virzienā (pa apli). Katrs dators darbojas kā atkārtotājs, pārraidot ziņojumus uz nākamo datoru, t.i. dati tiek pārsūtīti no viena datora uz otru it kā stafetē. Ja dators saņem citam datoram paredzētus datus, tas tos pārraida tālāk pa gredzenu, pretējā gadījumā tie tālāk netiek pārraidīti.

Gredzenu topoloģijas priekšrocības:

uzstādīšanas vienkāršība;
gandrīz pilnīgs papildu aprīkojuma trūkums;
Stabilas darbības iespēja bez būtiskas datu pārraides ātruma samazināšanās lielas tīkla slodzes apstākļos.

Tomēr “gredzenam” ir arī būtiski trūkumi:

katrai darbstacijai aktīvi jāpiedalās informācijas nodošanā; ja vismaz viens no tiem neizdodas vai pārtrūkst kabelis, visa tīkla darbība apstājas;
jaunas darbstacijas pievienošanai ir nepieciešama īslaicīga tīkla izslēgšana, jo jauna datora instalēšanas laikā gredzenam jābūt atvērtam;
konfigurācijas un iestatīšanas sarežģītība;
Grūtības problēmu novēršanā.

Zvana tīkla topoloģija tiek izmantota diezgan reti. Tā atrada savu galveno pielietojumu optisko šķiedru tīkli Token Ring standarts.

Zvaigžņu topoloģija

Zvaigzne ir lokālā tīkla topoloģija, kurā katra darbstacija ir savienota ar centrālo ierīci (slēdzi vai maršrutētāju). Centrālā ierīce kontrolē pakešu kustību tīklā. Katrs dators caur tīkla karti ir savienots ar slēdzi ar atsevišķu kabeli. Ja nepieciešams, jūs varat apvienot vairākus tīklus kopā ar zvaigžņu topoloģiju - rezultātā jūs iegūsit tīkla konfigurāciju ar kokam līdzīgs topoloģija. Koku topoloģija ir izplatīta lielos uzņēmumos. Šajā rakstā mēs to sīkāk neapskatīsim.

“Zvaigžņu” topoloģija mūsdienās ir kļuvusi par galveno vietējo tīklu veidošanā. Tas notika daudzo priekšrocību dēļ:

vienas darbstacijas kļūme vai tās kabeļa bojājums neietekmē visa tīkla darbību;
lieliska mērogojamība: lai pievienotu jaunu darbstaciju, vienkārši novietojiet atsevišķu kabeli no slēdža;
vienkārša problēmu novēršana un tīkla pārtraukumi;
augsta veiktspēja;
iestatīšanas un administrēšanas vienkāršība;
Papildu aprīkojumu var viegli integrēt tīklā.

Tomēr, tāpat kā jebkura topoloģija, "zvaigzne" nav bez trūkumiem:

centrālā slēdža kļūme izraisīs visa tīkla nedarbojamību;
papildu izmaksas tīkla aprīkojumam - ierīcei, kurai tiks pieslēgti visi tīklā esošie datori (slēdzis);
darbstaciju skaitu ierobežo centrālā slēdža portu skaits.

Zvaigzne – visizplatītākā vadu un bezvadu tīklu topoloģija. Zvaigžņu topoloģijas piemērs ir tīkls ar vītā pāra kabeli un slēdzi kā centrālo ierīci. Šie tīkli ir atrodami lielākajā daļā organizāciju.

Saistīts.
Saturs
Vispārējā topoloģija
Vienota topoloģija
Algebriskā topoloģija
Daļēji lineāra topoloģija
Kolektoru topoloģija
Topoloģijas attīstības galvenie posmi

1. Vispārējā topoloģija
To teorijas daļu, kas ir orientēta uz nepārtrauktības aksiomātisku izpēti, sauc par vispārējo teoriju, bet līdzās algebrai vispārējā teorija veido mūsdienu kopu teorijas metodes pamatu matemātikā.
Aksiomātiski nepārtrauktību var definēt daudzos (vispārīgi runājot, nevienlīdzīgi) veidos. Vispārpieņemta aksiomātika balstās uz atvērtās kopas jēdzienu. Kopas X topoloģiskā struktūra vai topoloģija ir tās apakškopu saime, ko sauc par atvērtajām kopām, un tā:
1) tukšā kopa ∅ un visi X ir atvērti;
2) jebkura skaitļa savienība un ierobežota skaita atvērto kopu krustpunkts ir atvērts.
Kopu, uz kuras ir dota topoloģiskā struktūra, sauc par topoloģisko telpu. Topoloģiskajā telpā X var definēt visus elementārās analīzes pamatjēdzienus, kas saistīti ar nepārtrauktību. Piemēram, punkta x apkārtne
∈ X ir patvaļīga atvērta kopa, kas satur šo punktu; kopa A⊂X tiek uzskatīta par slēgtu, ja tās papildinājums XA ir atvērts; kopas A noslēgums ir mazākā slēgtā kopa, kas satur A; ja šī aizvēršanās sakrīt ar X, tad A tiek teikts, ka X ir visur blīvs utt.
Pēc definīcijas ∅ un X ir gan slēgtas, gan atvērtas kopas. Ja X nav citu kopu, kas būtu gan slēgtas, gan atvērtas, tad topoloģisko telpu X sauc par savienotu. Vizuāli savienota telpa sastāv no viena “gabala”, savukārt nesakarīga telpa sastāv no vairākiem.
Jebkurai topoloģiskās telpas X apakškopai A ir dabiska topoloģiskā struktūra, kas sastāv no X atvērto kopu krustpunktiem ar A. Ar šo struktūru A tiek saukta par telpas X apakštelpu. Katra metriskā telpa kļūst topoloģiskā, ja tās atvērtās kopas tiek ņemtas vērā ir kopas, kas kopā ar patvaļīgu punktu satur kādu tā ε apkārtni (bumbiņa ar rādiusu ε, kas centrēta šajā punktā). Jo īpaši jebkura n-dimensiju Eiklīda telpas apakškopa |R n ir topoloģiskā telpa. Šādu telpu teorija (ar nosaukumu “ģeometriskā teorija”) un metrisko telpu teorija tradicionāli tiek iekļauta vispārējā teorijā.
Ģeometriskā teorija diezgan skaidri sadalās divās daļās: patvaļīgas sarežģītības |R n apakškopu izpēte, ievērojot noteiktus vispārīgus ierobežojumus (piemērs ir tā sauktā kontinuācijas teorija, tas ir, saistītās ierobežotās slēgtās kopas), un pētījums. par veidiem, kā |R n var iegult vienkāršas topoloģiskās telpas, piemēram, sfēru, lodi utt. (iegulšana |R n , piemēram, sfērās, var būt ļoti sarežģīta).
Topoloģiskās telpas X atklātais pārklājums ir tās atvērto kopu saime, kuru savienība ir visa X. Topoloģiskā telpa X tiek saukta par kompaktu (citā terminoloģijā — bikompaktu), ja kāds no tās atvērtajiem pārklājumiem satur ierobežotu skaitli. elementiem, kas veido segumu. Klasiskā Heine-Borel teorēma nosaka, ka jebkura ierobežota slēgta apakškopa |R n ir kompakta. Izrādās, ka visas elementārās analīzes pamatteorēmas par ierobežotām slēgtām kopām (piemēram, Veierštrāsa teorēma, ka uz šādas kopas nepārtraukta funkcija sasniedz maksimālo vērtību) ir derīgas jebkurām kompaktajām topoloģiskām telpām. Tas nosaka kompakto telpu fundamentālo lomu mūsdienu matemātikā (īpaši saistībā ar eksistences teorēmām). Kompakto topoloģisko telpu klases noteikšana bija viens no lielākajiem vispārējās teorijas sasniegumiem, kam ir vispārēja matemātiska nozīme.
Tiek uzskatīts, ka atvērts vāks (V β) ir ierakstīts vākā (U α), ja jebkuram β ir tāds α, ka V β ⊂ U α. Tiek uzskatīts, ka pārklājums (V β) ir lokāli ierobežots, ja katram punktam x ∈ X ir apkārtne, kas krustojas tikai ar ierobežotu skaitu šī pārklājuma elementu.
Topoloģiskā telpa tiek uzskatīta par parakompaktu, ja jebkurš tās atvērtais pārklājums var saturēt lokāli ierobežotu pārklājumu. Parakompakto telpu klase ir topoloģisko telpu klašu piemērs, kas iegūts, uzliekot tā sauktos kompaktuma tipa nosacījumus. Šī klase ir ļoti plaša, jo īpaši tajā ir visas metrizējamās topoloģiskās telpas, tas ir, telpas X, kurās var ieviest šādu metriku.
ρ ka ρ ģenerētais T. X sakrīt ar X definēto T.
Atvērta seguma daudzveidība ir lielākais skaitlis k, kurā ir k elementu ar netukšu krustpunktu. Mazākais skaitlis n ar īpašību, ka jebkurš topoloģiskās telpas X galīgs atvērts vāks var saturēt atvērtu vāku ar daudzkārtību ≤n + 1, tiek apzīmēts ar dimX un tiek saukts par X dimensiju.
Šis nosaukums ir pamatots ar to, ka elementārās ģeometriskās situācijās dimX sakrīt ar parasti saprotamo dimensiju, piemēram, dim|R n = n. Iespējamas arī citas topoloģiskās telpas X skaitliskās funkcijas, kas atšķiras no dimX, bet vienkāršākajos gadījumos sakrīt ar dimX. Viņu pētījums ir vispārējās dimensijas teorijas priekšmets - ģeometriski visvairāk orientētā vispārējā T daļa. Tikai šīs teorijas ietvaros ir iespējams, piemēram, sniegt skaidru un diezgan vispārīgu intuitīvās jēdziena definīciju. ģeometriskā figūra un jo īpaši līnijas, virsmas utt. jēdziens.
Nozīmīgas topoloģisko telpu klases iegūst, uzliekot tā sauktās atdalīšanas aksiomas. Piemērs ir tā sauktā Hausdorfa aksioma jeb T 2 aksioma, kas pieprasa, lai jebkuriem diviem atšķirīgiem punktiem būtu nesadalīti apkaimes. Topoloģisko telpu, kas apmierina šo aksiomu, sauc par Hausdorfu vai atdalāmu. Kādu laiku matemātiskajā praksē tika sastaptas gandrīz tikai Hausdorfa telpas (piemēram, jebkura metriskā telpa ir Hausdorfa). Tomēr ne-Hausdorfa topoloģisko telpu loma analīzē un ģeometrijā nepārtraukti pieaug.
Topoloģiskās telpas, kas ir Hausdorfa (bi) kompakto telpu apakštelpas, sauc par pilnīgi regulārām vai Tihonovām. Tos var raksturot arī ar kādu atdalāmības aksiomu, proti: aksiomu, kas pieprasa, lai jebkuram punktam x 0
∈ X un jebkura slēgta kopa F X, kas to nesatur, pastāvēja nepārtraukta funkcija g: X → vienāda ar nulli pie x 0 un viens uz F.
Topoloģiskās telpas, kas ir Hausdorfa kompakto telpu atvērtās apakštelpas, sauc par lokāli kompaktajām telpām. Tos raksturo (Hausdorfa telpu klasē) tas, ka katram to punktam ir apkārtne ar kompaktu noslēgumu (piemērs: Eiklīda telpa). Jebkura šāda telpa tiek papildināta ar vienu punktu pret kompakto (piemērs: saskaitot vienu punktu no plaknes, iegūst kompleksa mainīgā sfēru, bet no |R n - sfēru S n).
Topoloģiskās telpas X kartējumu f: X → Y topoloģiskā telpā Y sauc par nepārtrauktu kartēšanu, ja jebkurai atvērtai kopai V ⊂ Y kopa ƒ −1 (V) ir atvērta X. Nepārtrauktu kartēšanu sauc par homeomorfismu. ja tas ir viens pret vienu un apgrieztā kartēšana f − 1:Y
→ X ir nepārtraukts. Šāds kartējums nosaka vienu pret vienu atbilstību starp atvērtajām topoloģisko telpu X un Y kopām, ko var mainīt ar kopu savienošanas un krustošanās operācijām. Tāpēc visas šo telpu topoloģiskās īpašības (tas ir, īpašības, kas formulētas atklāto kopu izteiksmē) ir vienādas, un no topoloģiskā viedokļa homeomorfās topoloģiskās telpas (tas ir, telpas, kurām ir vismaz viens homeomorfisms X → Y)
jāuzskata par identiskiem (tāpat kā Eiklīda ģeometrijā par identiskiem tiek uzskatītas figūras, kuras var apvienot ar kustību). Piemēram, kvadrāta, sešstūra uc aplis un robeža ir homeomorfi (“topoloģiski identiski”). Kopumā jebkuras divas vienkāršas (bez dubultpunktiem) slēgtas līnijas ir homeomorfas. Gluži pretēji, aplis nav homeomorfs taisnei (jo punkta noņemšana nepārkāpj riņķa līniju, bet gan pārkāpj taisnes savienojumu; tā paša iemesla dēļ taisne nav homeomorfa taisnei plakne, un aplis nav homeomorfs astoņam skaitlim).
Aplis arī nav homeomorfs plaknei (izmetiet nevis vienu, bet divus punktus).
Lai (X α) ir patvaļīga topoloģisko telpu saime. Aplūkosim visu formu saimju kopu X (x α ), kur x α ∈ X α (kopu X α tiešais reizinājums). Jebkuram α formula p α ((x α )) = x α definē kādu kartējumu p α: X → X α (ko sauc par projekciju). Vispārīgi runājot, X var ieviest daudzas topoloģiskās struktūras, attiecībā uz kurām visas kartes p α ir nepārtrauktas.
Starp šīm struktūrām ir vismazākā (tas ir, ietverta jebkurā šādā struktūrā). Kopu X, kas aprīkota ar šo topoloģisko struktūru, sauc par topoloģisko telpu X α topoloģisko reizinājumu un apzīmē ar simbolu ΠX α (un ierobežota faktoru skaita gadījumā ar simbolu X 1 H... H X n ). Viennozīmīgi, telpas X atvērtās kopas var raksturot kā galīgo krustpunktu savienības visām formām p α −1 (U α), kur U α ir atvērts X α.
Topoloģiskajai telpai X piemīt šāda ievērojama universāluma īpašība, kas to unikāli (līdz pat homeomorfismam) raksturo: jebkurai nepārtrauktu karšu saimei ƒ α: Y → X α ir unikāla nepārtraukta karte ƒ : Y → X, kurai p α ∘ƒ=ƒ α visiem α. Telpa |R n ir skaitļu līnijas n gadījumu topoloģiskais reizinājums. Viena no svarīgākajām vispārējās teorijas teorēmām ir apgalvojums, ka kompakto topoloģisko telpu topoloģiskais produkts ir kompakts.
Ja X ir topoloģiska telpa un Y ir patvaļīga kopa un ja ir dota samērošana p: X → Y no telpas X uz kopu Y (piemēram, ja Y ir X koeficientu kopa pēc kādas ekvivalences attiecības, un p ir dabiskas projekcijas kartējums katram elementam x ∈ X tā ekvivalences klase),
tad mēs varam izvirzīt jautājumu par topoloģiskās struktūras ievadīšanu Y, attiecībā uz kuru kartēšana p ir nepārtraukta. “Bagātākā” (atvērtajās kopās) šāda struktūra tiek iegūta, uzskatot visas šīs kopas V par atvērtajām kopām Y.
⊂ Y, kurai kopa f -1 (V) ⊂ X ir atvērta X. Kopu Y, kas aprīkota ar šo topoloģisko struktūru, sauc par topoloģiskās telpas X koeficientu telpu (attiecībā pret p). Tam ir īpašība, ka patvaļīga karte ƒ : Y
→ Z ir nepārtraukts tad un tikai tad, ja kartējums ƒ∘p: X → Z ir nepārtraukts. Nepārtrauktu kartējumu p: X → Y sauc par faktoriālu, ja topoloģiskā telpa Y attiecībā pret p ir topoloģiskās telpas koeficientu telpa. X. Nepārtrauktā kartēšana p: X
→ Y sauc par atvērtu, ja jebkurai atvērtai kopai U ⊂ X kopa p(U) ir atvērta Y, un slēgta, ja jebkurai slēgtai kopai F ⊂ X kopa p(F) ir aizvērta Y. Gan atvērta, gan slēgta nepārtraukta kartes ƒ : X
→ Y, kuriem ƒ(X) = Y, ir faktoriāli.
Lai X ir topoloģiskā telpa, A ir tās apakštelpa un ƒ : A → Y ir nepārtraukta karte. Pieņemot, ka topoloģiskās telpas X un Y ir nesavienotas, mēs ieviešam X to savienībā
∪ Y topoloģiskā struktūra, uzskatot par atvērtām kopām X un Y atvērto kopu savienības. Telpā X ∪ Y mēs ieviešam mazāko ekvivalences sakarību, kurā a ∼ ƒ(α) jebkuram punktam a
∈ A. Atbilstošā koeficientu telpa tiek apzīmēta ar X ∪ f Y, un tiek teikts, ka tā iegūta, pielīmējot topoloģisko telpu X topoloģiskajai telpai Y gar A, izmantojot nepārtrauktu karti ƒ. Šī vienkāršā un intuitīvā darbība izrādās ļoti svarīga, jo ļauj iegūt sarežģītākas no salīdzinoši vienkāršām topoloģiskām telpām. Ja Y sastāv no viena punkta, tad telpa X
∪ f Y tiek apzīmēts ar simbolu X/A un tiek uzskatīts, ka to iegūst no X, savelkot A līdz punktam. Piemēram, ja X ir disks un A ir tā robežaplis, tad X/A ir homeomorfs sfērai.
2. Vienota topoloģija
To teorijas daļu, kas pēta nepārtrauktības aksiomātisko jēdzienu, sauc par vienotu teoriju.No analīzes zināmā skaitlisko funkciju vienmērīgas nepārtrauktības definīcija tiek tieši pārnesta uz jebkuru metrisko telpu kartējumiem. Tāpēc vienmērīgas nepārtrauktības aksiomātiku parasti iegūst, sākot no metriskajām telpām. Ir izpētītas divas aksiomātiskas pieejas vienmērīgai nepārtrauktībai, pamatojoties attiecīgi uz tuvuma un diagonālās ielenkuma jēdzieniem.
Metriskās telpas X apakškopas A un B sauc par tuvu (apzīmējums AδB), ja jebkuram ε > 0 ir punkti a∈A un b∈B, attālums starp kuriem Ņemot šīs attiecības pamatīpašības kā aksiomas, mēs nonākam pie šādu definīciju: (atdalāmas) struktūras tuvums kopai X ir relācija δ visu tās apakškopu kopā, lai:
1) ∅δ̅X (simbols δ̅ apzīmē attiecības δ noliegumu;
2)
Aδ̅B 1 un Aδ̅B 2 ⇔ Aδ(B 1 U B 2);

3) (x) δ̅ (y) ⇔ x ≠ y;

4) ja AδB, tad ir tāda kopa Cδ̅B, ka Aδ(XC).
Kopu, kurā ir norādīta tuvuma struktūra, sauc par tuvuma telpu. Tiek uzskatīts, ka kartēšana no tuvuma telpas X uz tuvuma telpu Y ir cieša nepārtraukta, ja to kopu attēli, kas ir tuvu X, ir tuvu Y. Tuvuma telpas X un Y sauc par tuvu homeomorfām (vai ekvimorfām), ja ir viens pret vienu tuvu nepārtrauktu kartēšanu
X → Y, kura apgrieztā daļa ir arī tuvumā nepārtraukta (šādu tuvu nepārtrauktu kartējumu sauc par ekvimorfismu). Vienotā teorijā ekvimorfās tuvuma telpas tiek uzskatītas par identiskām. Tāpat kā metriskās telpas, jebkuru tuvuma telpu var pārvērst par (Hausdorfa) topoloģisko telpu, ņemot vērā apakškopu
U⊂X ir atvērts, ja (x)δ̅(XU) jebkuram punktam x∈U. Šajā gadījumā tuvumā esošās nepārtrauktās kartēšanas izrādās nepārtrauktas kartēšanas. Aprakstītajā veidā no tuvuma telpām iegūtā topoloģisko telpu klase sakrīt ar pilnīgi regulāru topoloģisko telpu klasi. Jebkurai pilnīgi regulārai telpai X visas tuvuma struktūras uz X, kas ģenerē tā topoloģisko struktūru, ir viena pret vienu atbilstības tā sauktajām kompaktifikācijām (citā terminoloģijā divkompakti paplašinājumi) bX - kompaktās Hausdorfa topoloģiskās telpas, kas satur X kā visur blīva telpa.
Pagarinājumam bX atbilstošo tuvuma struktūru δ raksturo fakts, ka AδB tad un tikai tad, ja kopu A un B noslēgumi krustojas bX. Jo īpaši jebkurā kompaktajā Hausdorfa topoloģiskā telpā X ir unikāla tuvuma struktūra, kas ģenerē tās topoloģisko struktūru.
Cita pieeja ir balstīta uz faktu, ka viendabīgu nepārtrauktību metriskajā telpā X var definēt ar sakarību “punkti x un y atrodas attālumā, kas nav lielāks par ε”. No vispārīga viedokļa relācija uz X nav nekas cits kā tiešā produkta XХX patvaļīga apakškopa U. Attiecība “identitāte” no šī viedokļa ir diagonāle Δ ⊂ X × X, tas ir, punktu kopa formā (x, x), x∈X. Jebkurai relācijai U ir definēta apgrieztā attiecība U −1 = ((x,y); (y,x).
∈ U) un jebkurām divām attiecībām U un V to sastāvs ir definēts U · V = ((x,y); eksistē z ∈ X tā, ka (x, z) ∈ U, (z,y) ∈ V ). Attiecību saimi (U) sauc par (atdalāmu) vienotu struktūru uz X (un attiecības U sauc par diagonālajām vidēm), ja: 1) jebkuru divu diagonālo vidi krustpunktā ir diagonāla vide; 2) katra diagonālā vide satur
Δ, un visas diagonālās apkārtnes krustpunkts sakrīt ar Δ; 3) kopā ar U diagonāles vide ir arī U −1 ; 4) jebkurai diagonāles U videi ir tāda diagonāles W vide, ka W o W
⊂ U. Kopu, kas apveltīta ar vienotu struktūru, sauc par vienotu telpu. Vienmērīgas telpas X kartējumu ƒ : X → Y vienmērīgā telpā Y sauc par vienmērīgi nepārtrauktu, ja kartējuma apgrieztais attēls ƒ
Х ƒ : X Х X → Y Х Y jebkuras vides diagonālei V ⊂ Y Х Y satur kādu diagonāles vidi no X Х X. Vienmērīgas telpas X un Y sauc par vienmērīgi homeomorfām, ja pastāv viens pret vienu. vienmērīgi nepārtraukta kartēšana X
→ Y, kura apgrieztā daļa ir arī vienmērīgi nepārtraukta karte.
Vienveidīgā T. šādas vienveidīgas telpas uzskata par identiskām. Katra viendabīga struktūra uz X nosaka kādu tuvuma struktūru: AδB tad un tikai tad (A × B) ∩ U ≠ ∅ jebkurai diagonālajai videi U ⊂ X × X.
Šajā gadījumā vienmērīgi nepārtrauktas kartes izrādās gandrīz nepārtrauktas.
3. Algebriskā topoloģija
Lai katra topoloģiskā telpa X (no kādas klases) ir saistīta ar kādu algebrisku objektu h(X) (grupa, gredzens utt.), un katra nepārtrauktā karte ƒ : X → Y ir saistīta ar kādu homomorfismu h(f) : h (X)
→ h(Y) (vai h(f) : h(Y) → h(X), kas ir identitātes homomorfisms, ja ƒ ir identitātes karte. Ja h(f 1 ○ f 2) = h(f 1)
○ h(f 2) (vai, attiecīgi, h(f 1 ○ f 2) = h(f 2) ○ h(f 1), tad h tiek uzskatīts par funktoru (attiecīgi kofunktoru). Lielākā daļa algebrisko T problēmas. ir kaut kādā veidā saistīts ar izplatīšanās problēmu: noteiktai nepārtrauktai kartēšanai f: A
→ Y apakštelpas A ⊂ X kādā topoloģiskā telpā Y, atrodiet nepārtrauktu kartējumu g: X → Y, kas sakrīt uz A ar ƒ, tas ir, tā, ka ƒ = g i, kur i: A
→ X - iegulšanas karte (i(a) = a jebkuram punktam a ∈ A). Ja pastāv šāda nepārtraukta karte g, tad jebkuram funktoram (kofunktoram) h pastāv homomorfisms (φ: h(X)
→ h(Y) (homomorfisms φ: h(Y) → h(X)), lai h(f) = φ ○ h(i) (attiecīgi h(f) = h(i) ○ φ); tas būs homomorfisms φ = h(g). Tāpēc homomorfisma neesamība
φ (vismaz vienam funktoram h) nozīmē, ka kartējuma g nav. Gandrīz visas algebriskās T metodes faktiski var reducēt uz šo vienkāršo principu. Piemēram, ir funktoris h, kura vērtība uz lodītes E n ir triviāla grupa, bet uz lodes S n-1, kas ierobežo bumbu, vērtība ir netriviāla grupa. Tas jau nozīmē, ka nav tā sauktās ievilkšanas - nepārtrauktas kartēšanas p: E n
→ S n-1 , kas fiksēts uz S n-1 , tas ir, tāds, ka sastāvs p·i, kur i: S n-1 → E n ir iegulšanas karte, ir identitātes karte (ja p pastāv, tad grupas h(S n-1) identitātes karte būs kartējumu kompozīcija h(i) : h(S n-1)
→ h(E n) un h(p) : h(E n) → h(S n-1), kas nav iespējams triviālajai grupai h(E n). Taču šis pēc būtības elementārais ģeometriskais un (ja n = 2) vizuāli acīmredzamais fakts (fiziski ar to nozīmē iespēju izstiept bungu uz apaļas stīpas) vēl nav pierādīts bez algebriski-topoloģisko metožu izmantošanas. Tās tūlītējas sekas ir apgalvojums, ka jebkura nepārtraukta karte ƒ : E n
→ E n ir vismaz viens fiksēts punkts, tas ir, vienādojumam ƒ(x) = x ir vismaz viens risinājums E n (ja ƒ(x) ≠ x visiem x ∈ E n , tad, ņemot p(x) ) punkts no S n-1 ir kolineārs līdz punktiem ƒ(x) un x un tā, lai segmentā ar galiem ƒ(x) un p(x) būtu x, iegūstam ievilkšanu p: E n
→ S n-1). Šī fiksētā punkta teorēma bija viena no pirmajām algebriskās teorijas teorēmām, un pēc tam kļuva par avotu veselai virknei dažādu teorēmu par vienādojumu risinājumu esamību.
Vispārīgi runājot, jo sarežģītāka ir objektu h(X) algebriskā struktūra, jo vieglāk ir konstatēt homomorfisma (φ) neesamību, tāpēc algebriskās teorijas ņem vērā ārkārtīgi sarežģīta rakstura algebriskos objektus un prasības. algebriskā topoloģija būtiski stimulēja abstraktās algebras attīstību.
Topoloģisko telpu X sauc par šūnu telpu, kā arī par šūnu nodalījumu (vai CW-kompleksu), ja tajā ir pieaugoša apakštelpu secība X 0 ⊂...
⊂ X n-1 ⊂ X n ⊂... (saukti par šūnu telpas X skeletiem), kuru savienība ir vesela X, un ir izpildīti šādi nosacījumi: 1) kopa U ⊂ X ir atvērta X tad un tikai tad, ja jebkurai n kopai U
∩ X n ir atvērts X n ; 2) X n iegūst no X n-1, pielīmējot noteiktu n-dimensiju lodīšu saimi gar to robežas (n-1)-dimensiju sfērām (ar šo sfēru patvaļīgu nepārtrauktu kartēšanu X n-1); 3) X 0 sastāv no izolētiem punktiem. Tādējādi šūnu telpas struktūra, rupji runājot, sastāv no tā, ka tā tiek attēlota kā kopu savienība, kas ir homeomorfa ar atvērtām bumbiņām (šīs kopas sauc par šūnām). Algebriskajās tehnikās šūnu telpas tiek pētītas gandrīz tikai, jo tām jau ir pilnībā izpaudusies algebrisko paņēmienu problēmu specifika. Turklāt patiesībā dažas īpaši vienkāršas šūnu telpas (piemēram, Polyhedra, skatīt zemāk) ir interesantas algebriskajām sistēmām, taču šūnu telpu klases sašaurināšanās, kā likums, ievērojami sarežģī pētījumu (jo daudzas noderīgas operācijas šūnu telpās ir atvasināts no daudzskaldņu klases).
Divas nepārtrauktas kartes f, g: X → Y sauc par homotopiskām, ja tās var nepārtraukti deformēties viena otrā, tas ir, ja pastāv nepārtrauktu karšu saime f t: X → Y, nepārtraukti atkarībā no parametra t ∈ , tā, ka f 0 = ƒ un f 1 = g (nepārtraukta atkarība no t nozīmē, ka formula F(x, t) = f t (x), x ∈ X, t
∈ definē nepārtrauktu kartējumu F: X Х → Y; šo kartējumu, kā arī ģimeni (f t ) sauc par homotopiju, kas savieno ƒ ar g). Visu nepārtraukto kartējumu kopa
X → Y sadalās homotopisko kartējumu klasēs, kas ir homotopiskas viena otrai. Nepārtraukto kartējumu homotopijas klašu kopa no X līdz Y tiek apzīmēta ar simbolu . Homotopijas attiecību un jo īpaši kopu īpašību izpēte ir tā sauktās homotopijas topoloģijas (jeb homotopijas teorijas) priekšmets. Visinteresantākajām topoloģiskām telpām kopas ir ierobežotas vai saskaitāmas, un tās var skaidri un efektīvi aprēķināt. Topoloģiskās telpas X un Y sauc par homotopijas ekvivalentu vai ar tādu pašu homotopijas tipu, ja pastāv šādas nepārtrauktas kartes ƒ:
X → Y un g: Y → X tā, lai nepārtrauktās kartes g·f: X → X un f·g: Y → Y būtu homotopiskas attiecīgajām identitātes kartēm. Homotopijas teorijā šādas telpas jāuzskata par identiskām (visi to “homotopijas invarianti” sakrīt).
Izrādās, ka daudzos gadījumos (īpaši šūnu telpām) izplatīšanās problēmas atrisināmība ir atkarīga tikai no nepārtrauktās kartes homotopijas klases ƒ : A → Y; precīzāk, ja ƒ izplatība g: X
→ Y pastāv, tad jebkurai homotopijai f t: A → Y (ar f 0 = f) ir tāds sadalījums g t: X → Y, ka g 0 = g. Tāpēc ƒ vietā varam uzskatīt tās homotopijas klasi [f] un saskaņā ar to pētīt tikai homotopijas invariantus funktorus (kofunktorus) h, tas ir, tādus, ka h(f 0) = h(f 1), ja kartes f 0 un f 1 ir homotopiskas. Tas noved pie tik ciešas algebriskās un homotopijas teorijas savijuma, ka tās var uzskatīt par vienu disciplīnu.
Jebkurai topoloģiskajai telpai Y formulas h(X) = un h(f) = [φ○f], kur f: X 1 → X 2 un φ : X 2 → Y, definē kādu homotopijas invariantu kofunktoru h, kas ir teikts, ka to attēlo topoloģiskā telpa Y. Šī ir standarta (un būtībā vienīgā) metode homotopijas invariantu kofunktoru konstruēšanai. Lai kopa h(X) izrādītos, teiksim, grupa, ir attiecīgi jāizvēlas Y, piemēram, lai tā būtu topoloģiskā grupa (vispārīgi runājot, tā nav gluži taisnība: tā ir nepieciešams izvēlēties kādu punktu x 0 X un ņemt vērā tikai nepārtrauktas kartes un homotopijas , pārveidojot x 0 par grupas vienību; tomēr šī tehniskā komplikācija turpmāk tiks ignorēta). Turklāt pietiek ar to, ka Y ir topoloģiskā grupa
“homotopijas nozīmē”, tas ir, lai asociatīvās aksiomas un apgrieztā elementa esamība (kas faktiski apliecina dažu kartējumu sakritību) tiktu apmierinātas tikai “līdz homotopijai”. Šādas topoloģiskās telpas sauc par H-telpām. Tādējādi katra H telpa Y definē homotopijas invariantu kofunktoru h(X) = , kura vērtības ir grupas.
Līdzīgā (“duālā”) veidā katra topoloģiskā telpa Y tiek definēta ar formulām h(X) = , h(f) = [ƒ ○φ], kur ƒ : X 1
→ X 2 un φ : Y → X 1 , kāds funkt. h. Lai h(X) būtu grupa, Y ir jābūt noteiktai algebriskai struktūrai, kas kaut kādā skaidri definētā nozīmē ir dubultā ar H telpas struktūru. Topoloģiskās telpas, kas apveltītas ar šo struktūru, sauc par līdz-N-telpām. Co-H-telpas piemērs ir n-dimensiju sfēra S n (ja n ≥ 1).
Tādējādi jebkurai topoloģiskajai telpai X formula π n X = definē noteiktu grupu π n X, n ≥ 1, ko sauc par telpas X n-to homotopijas grupu. Ja n = 1, tā sakrīt ar pamatgrupu. n > 1 grupai
π n X ir komutatīvs. Ja π 1 X = (1), tad X sauc par vienkārši savienotu.
Šūnu telpu X sauc par telpu K(G, n), ja π i (X) = 0, ja i ≠ n un π n X = G; šāda šūnu telpa pastāv jebkurai n ≥ 1 un jebkurai grupai G (komutatīva n > 1), un tā ir unikāli noteikta līdz homotopijas ekvivalencei.
Ja n > 1 (un arī n = 1, ja grupa G ir komutatīva), telpa K(G, n) izrādās H-telpa un tāpēc attēlo noteiktu grupu H n (X; G) = . Šo grupu sauc par topoloģiskās telpas X n-dimensiju kohomoloģijas grupu ar koeficientu grupu G. Tā ir tipisks vairāku svarīgu kofunktoru pārstāvis, tostarp, piemēram, K-funktors KO(X) = , ko attēlo ar tā sauktais bezgalīgās dimensijas Grasmaņa BO, orientētu kobordismu grupa
Ω n X utt.
Ja G ir gredzens, tad H n (X; G) grupu tiešā summa H*(X; G) ir algebra pār G. Turklāt šai tiešai summai ir ļoti sarežģīta algebriskā struktūra, kurā (G = Z p, kur Z p ir p) kārtas cikliska grupa, kas ietver kādas nekomutatīvas algebras p darbību uz H*(X; G), ko sauc par Stīnroda algebru. Šīs struktūras sarežģītība ļauj, no vienas puses, izstrādāt efektīvas (bet nebūt ne vienkāršas) metodes grupu H n (X; G) aprēķināšanai, un, no otras puses, izveidot savienojumus starp grupām H n (X). ; G) un citi homotopijas invarianti funktori (piemēram, homotopijas grupas π n X),
kas bieži vien ļauj precīzi aprēķināt šos funkcionorus.
Vēsturiski pirms kohomoloģijas grupām bija tā sauktās homoloģijas grupas H n (X; G), kas ir kādas šūnu telpas M(X, G) homotopijas grupas π n M(X, G), kas unikāli izveidotas no šūnu telpas. X un grupa G. Homoloģijas grupas un kohomoloģija noteiktā nozīmē ir viena otrai duālas, un to teorijas būtībā ir līdzvērtīgas. Tomēr homoloģiju grupās atrodamā algebriskā struktūra ir mazāk pazīstama (piemēram, šīs grupas veido nevis algebru, bet gan tā saukto koalgebru), un tāpēc aprēķinos parasti tiek izmantotas kohomoloģijas grupas. Tajā pašā laikā atsevišķos jautājumos homoloģijas grupas izrādās ērtākas, tāpēc tās arī tiek pētītas. Algebriskās teorijas daļu, kas nodarbojas ar homoloģijas un kohomoloģijas grupu izpēti (un pielietojumu), sauc par homoloģijas teoriju.
Algebriskās teorijas rezultātu pārnešana uz telpām, kas ir vispārīgākas par šūnu telpām, ir tā sauktās vispārējās algebriskās teorijas priekšmets, jo īpaši vispārējā homoloģijas teorija pēta patvaļīgu topoloģisko telpu homoloģijas un kohomoloģijas grupas un to pielietojumu. Izrādās, ka ārpus kompakto šūnu telpu klases dažādas pieejas šo grupu konstruēšanā, vispārīgi runājot, rada atšķirīgus rezultātus, tā ka ne-šūnu topoloģiskām telpām rodas vesela virkne dažādu homoloģiju un kohomoloģijas grupu. Vispārējās homoloģijas teorijas galvenais pielietojums ir dimensiju teorijā un tā saukto dualitātes likumu teorijā (kas apraksta attiecības starp divu topoloģiskās telpas papildu apakškopu topoloģiskām īpašībām), un tās attīstība lielā mērā tika stimulēta. šo teoriju vajadzībām.
4. Daļēji lineāra topoloģija
Apakškopu P ∈ |R n sauc par konusu ar virsotni a un bāzi B, ja katrs tās punkts pieder unikālam formas ab segmentam, kur b ∈ B. Apakškopu X ∈ |R n sauc par daudzskaldni, ja tāda ir. no tās punktiem ir apkaime X, kuras aizvēršana ir konuss ar kompaktu pamatni. Nepārtrauktu daudzskaldņu kartēšanu ƒ : X → Y sauc par pa daļām lineāru, ja tā ir lineāra uz jebkura punkta x ∈ X katras konusveida apkārtnes stariem. Viena pret vienu gabalveida lineāra kartēšana, kuras apgrieztā vērtība arī ir pa daļām lineāra , sauc par pa daļām lineāro izomorfismu. Pa daļām lineārās teorijas priekšmets ir daudzskaldņu un to pa daļām lineāro kartējumu izpēte. Pa daļām lineārajā teorijā daudzskaldni tiek uzskatīti par identiskiem, ja tie ir pa daļām lineāri izomorfi.
Apakškopa X ∈ |R n ir (kompakts) daudzskaldnis tad un tikai tad, ja tā ir (galīgas) izliektu daudzskaldņu saimes savienība. Jebkuru daudzskaldni var attēlot kā Simplexu savienību, kas krustojas tikai gar veselām virsmām. Šo attēlojumu sauc par daudzskaldņu triangulāciju. Katru triangulāciju unikāli nosaka tās vienkāršotā shēma, tas ir, visu tās virsotņu kopa, kurā ir atzīmētas apakškopas, kas ir simpleksu virsotņu kopas. Tāpēc daudzskaldņu vietā varam apsvērt tikai vienkāršas to triangulāciju shēmas. Piemēram, izmantojot vienkāršu shēmu, var aprēķināt homoloģijas un kohomoloģijas grupas. Tas tiek darīts šādi:
a) simpleksu, kura virsotnes ir sakārtotas noteiktā veidā, sauc par noteiktas triangulācijas (vai vienkāršotas shēmas) sakārtotu simpleksu K; noteiktas dimensijas n sakārtotu vienkāršojumu formālas lineāras kombinācijas ar koeficientiem no dotās grupas G sauc par n-dimensiju ķēdēm; tie visi dabiski veido grupu, ko apzīmē ar simbolu C n (K; G);
b) likvidējot virsotni ar skaitli i, 0 ≤ i ≤ n, no sakārtotās n-dimensijas simpleksa σ, iegūstam sakārtotu (n-1)-dimensiju simpleksi, ko apzīmē ar simbolu σ (i); ķēde
∂σ = σ (0) −σ (1) + ... +(−1) n σ (n) sauc par σ robežu; pēc linearitātes kartējums ∂ attiecas uz homomorfismu ∂ : C n (K; G) → C n-1 (K; G);
c) ķēdes c, kurām ∂c = 0 sauc par cikliem, tās veido ciklu grupu Z n (K; G);
d) ∂c formas ķēdes sauc par robežām, tās veido robežu grupu B n (K; G);
e) ir pierādīts, ka B n (K; G) ⊂ Z n (K; G) (robeža ir cikls); tāpēc faktoru grupa ir definēta
Hn (K; G) = Zn (K; G)/Bn (K; G).
Izrādās, ka grupa H n (K; G) ir izomorfa daudzskaldņa X homoloģijas grupai H n (X; G), kuras triangulācija ir K. Līdzīga konstrukcija, kurā sākas nevis no ķēdēm, bet no koķēdēm (patvaļīgas funkcijas, kas definētas visu sakārtoto vienkāršojumu kopā un ņemot vērtības G), dod kohomoloģijas grupas.
Ar šo konstrukciju, kas pasniegta nedaudz pārveidotā formā, pēc būtības sākās algebriskā T veidošanās. Sākotnējā konstrukcijā tika aplūkotas tā sauktās orientētās vienkāršības (kārtoto vienkāršojumu klases, kas izceļas ar virsotņu vienmērīgām permutācijām). Šis dizains ir izstrādāts un vispārināts visdažādākajos virzienos. Jo īpaši tā algebriskie aspekti radīja tā saukto homoloģisko algebru.
Vispārīgākajā veidā vienkāršotu shēmu var definēt kā kopu, kurā ir atzīmētas noteiktas ierobežotas apakškopas (“vienkāršības”), un ir nepieciešams, lai jebkura simpleksa apakškopa atkal būtu simpleksa. Šāda vienkāršota shēma ir vienkārša shēma kāda daudzskaldņa triangulācijai tad un tikai tad, ja patvaļīgi iezīmētas apakškopas elementu skaits nepārsniedz kādu fiksētu skaitli. Tomēr daudzskaldņa jēdzienu var vispārināt (iegūstot tā saukto “bezgalīgo daudzskaldni”),
un tad jebkura vienkāršā shēma būs kāda daudzskaldņa triangulācijas shēma (ko sauc par tās ģeometrisko realizāciju).
Katras topoloģiskās telpas X patvaļīgu atvērtu pārklājumu (U α ) var saistīt ar vienkāršu shēmu, kuras virsotnes ir pārklājuma elementi U α un kuras apakškopa ir atzīmēta tad un tikai tad, ja šo apakškopu veidojošajiem pārklājuma elementiem ir krustojums, kas nav tukšs. Šo vienkāršo diagrammu (un atbilstošo daudzskaldni) sauc par pārklājošo nervu. Visu iespējamo pārklājumu nervi noteiktā nozīmē tuvina telpu X un, pamatojoties uz to homoloģiju un kohomoloģijas grupām, ar atbilstošu pāreju līdz robežai ir iespējams iegūt paša X homoloģijas un kohomoloģijas grupas. ideja ir gandrīz visu vispārējās homoloģijas teorijas konstrukciju pamatā. Topoloģiskās telpas tuvināšanai ar tās atvērto pārklājumu nerviem arī ir svarīga loma kopumā T.
5. Kolektoru topoloģija
Hausdorfa parakompakto topoloģisko telpu sauc par n-dimensiju topoloģisko kolektoru, ja tā ir “lokāli eiklīda”, tas ir, ja katram tās punktam ir apkārtne (ko sauc par koordinātu apkaimi vai karti), kas ir homeomorfa ar topoloģisko telpu |Rn. Šajā apkārtnē punkti ir norādīti ar n cipariem x 1,
..., x n, ko sauc par vietējām koordinātām. Divu karšu krustpunktā atbilstošās lokālās koordinātas tiek izteiktas viena pret otru, izmantojot noteiktas funkcijas, ko sauc par pārejas funkcijām. Šīs funkcijas definē atvērto kopu homeomorfismu |R n un tiek sauktas par pārejas homeomorfismu.
Vienosimies patvaļīgu homeomorfismu starp atvērtajām kopām |R n saukt par t-homeomorfismu. Homeomorfisms, kas ir pa daļām lineārs izomorfisms, tiks saukts par p-homeomorfismu, un, ja tas izteikts ar gludām (jebkuru reižu skaitu diferencējamām) funkcijām, mēs to sauksim par s-homeomorfismu.
Pieņemsim, ka α = t, p vai s. Topoloģisko kolektoru sauc par α-kolektoru, ja tā pārklājums ar kartēm ir izvēlēts tā, lai pārejas homeomorfismi jebkurām divām tā (krustojošām) kartēm būtu α-homeomorfismi. Šāds pārklājums nosaka α-struktūru topoloģiskā kolektorā X.
Tātad t-kolektors ir tikai jebkurš topoloģiskais kolektors, p-kolektorus sauc par pa daļām lineāriem kolektoriem. Katrs pa daļām lineārais kolektors ir daudzskaldnis. Visu daudzskaldņu klasē n-dimensiju gabalos lineāros kolektorus raksturo tas, ka jebkuram to punktam ir apkārtne, kas pa daļām ir lineāri izomorfa n-dimensijas kubam. s-kolektorus sauc par gludajiem (vai diferencējamiem) kolektoriem. α-karte ir α-kolektors, ko sauc par patvaļīgu nepārtrauktu kartēšanu α = t, patvaļīgu pa daļām lineāro kartēšanu α = s, patvaļīgu vienmērīgu kartēšanu α = s, tas ir, nepārtrauktu kartēšanu, kas rakstīta vietējās koordinātēs. ar gludām funkcijām.
Viens pret vienu α-karti, kuras apgrieztā daļa ir arī α-karte, sauc par α-homeomorfismu (ja α = s, arī difeomorfismu), α-kolektorus X un Y sauc par α-homeomorfismu ( ja α = s, difeomorfs), ja tāds pastāv, lai gan tāds būtu
α-homeomorfisms X → Y.
α-kolektoru teorijas priekšmets ir α-kolektoru un to α-kartējumu izpēte; šajā gadījumā α-homeomorfie α-kolektori tiek uzskatīti par identiskiem. S-kolektoru teorija ir daļa no lineārā T. S-kolektoru teoriju sauc arī par gludo T.
Mūsdienu daudzveidīgās teorijas galvenā metode ir reducēt tās problēmas uz algebriskās teorijas problēmām noteiktām atbilstoši konstruētām topoloģiskām telpām. Šī ciešā saikne starp šķirņu teoriju un algebrisko teoriju ļāva, no vienas puses, atrisināt daudzas sarežģītas ģeometriskas problēmas, un, no otras puses, tas strauji stimulēja pašas algebriskās teorijas attīstību.
Gludu kolektoru piemēri ir n-dimensiju virsmas |R n, kurām nav atsevišķu punktu. Izrādās (iegulšanas teorēma), ka jebkurš gluds kolektors ir difeomorfs pret šādu virsmu (ja N ≥ 2n + 1). Līdzīgs rezultāts attiecas arī uz α = t, p.
Katra p-šķirne ir t-šķirne. Izrādās, ka uz jebkura s-kolektora var dabiskā veidā ieviest p-struktūru (ko parasti sauc par Aithead triangulāciju). Mēs varam teikt, ka jebkurš α-kolektors, kur α = p vai s, ir α'-kolektors, kur α' = t vai p.
Atbilde uz pretējo jautājumu: uz kuriem α’-kolektoriem var ieviest α-struktūru (šādu α’-kolektoru ar α’ = p sauc par gludu, bet ar α’ = t - par trīsstūrveida),
un ja iespējams, tad cik? - atkarīgs no izmēra n.
Ir tikai divi viendimensijas topoloģiskie kolektori: aplis S 1 (kompakts kolektors) un taisne |R (nekompaktais kolektors). Jebkuram α = p, s t-kolektoros S 1 un |R ir unikāla α struktūra.
Tāpat uz jebkura divdimensiju topoloģiskā kolektora (virsmas) ir unikāla α struktūra, un visas kompakti savienotās virsmas var viegli aprakstīt (var aprakstīt arī nekompaktas savienotas virsmas, taču atbilde ir sarežģītāka). Lai virsmas būtu homeomorfas, pietiek ar to, ka tās ir homotopijas ekvivalentas. Turklāt jebkuras virsmas homotopijas tipu unikāli raksturo tā homoloģijas grupas. Ir divu veidu virsmas: orientējamas un neorientējamas. Starp orientējamajiem ir sfēra SI un torus TI. Pieņemsim, ka X un Y ir divi savienoti n-dimensiju α-kolektori.
Izgriezīsim lodi X un Y (ja n = 2 - disks) un salīmēsim iegūtās robežsfēras (ja n = 2 - apļi). Ievērojot dažus pašsaprotamus piesardzības pasākumus, rezultāts atkal ir α-kolektors.
To sauc par α-kolektoru X un Y savienoto summu un apzīmē ar X#Y. Piemēram, TI#TI ir kliņģera forma. Sfēra S n ir šī saskaitījuma nulle, tas ir, S n #X = X jebkuram X. Konkrēti, SІ#TI = TI. Izrādās, ka orientējamā virsma ir homeomorfa ar sakarīgu formu SІ#TI#
...#TI, terminu skaitu p TI sauc par virsmas ģints. Lodei p = 0, toram p = 1 utt. P ģints virsmu var vizualizēt kā sfēru, kurai ir pielīmēti p “rokturi”.
Katra neorientējama virsma ir homeomorfa sakarīgai summai |RPI#... #|Noteikta skaita projekcijas plakņu RPI |RPI. To var iedomāties kā sfēru, kurai pielīmētas vairākas Mobius loksnes.
Uz katra trīsdimensiju topoloģiskā kolektora jebkuram α = p, s ir arī unikāla α struktūra un ir iespējams aprakstīt visus trīsdimensiju topoloģisko kolektoru homotopijas veidus (tomēr ar homoloģijas grupām vairs nepietiek). Tajā pašā laikā līdz šim (1976) visi (vismaz kompakti savienotie) Puankarē minējumi nav aprakstīti, tas nav zināms.
Zīmīgi, ka kompaktām un savienotām topoloģiskām variācijām, kuru dimensija ir n ≥ 5, situācija izrādās pavisam citāda: visas galvenās problēmas tām var uzskatīt par principā atrisinātām (precīzāk, reducētas uz algebriskās teorijas problēmām). Jebkurš gluds kolektors X ir iegults kā gluda (n-dimensijas) virsma IR N, un X pieskares vektori veido kādu jaunu gludu kolektoru TX, ko sauc par gluda kolektora X pieskares saiti. Kopumā vektoru saišķis pāri. topoloģisko telpu X sauc par topoloģisko telpu E, kurai ir dota šāda nepārtraukta kartēšana
π : E → X tā, ka katram punktam x ∈ X v (slāņa) apgrieztais attēls ir vektortelpa un telpai X ir atvērts pārklājums (U α ), lai jebkuram α būtu apgrieztais attēls.
π −1 (U α) ir homeomorfs produktam U α × |R n , un pastāv homeomorfisms π −1 (U α) → U α × |R n , lineāri kartējot katru slāni.
π −1 (x), x ∈ U α, uz vektoru telpu (x) H |R n. Ja E = TX, nepārtrauktā karte π saista ar katru pieskares vektoru tā pieskares punktu, lai slānis
π −1 (x) būs telpas pieskares X punktā x. Izrādās, ka jebkurš vektoru kopums virs kompaktas telpas X definē kādu KO(X) grupas elementu. Tādējādi it īpaši jebkuram gludam, kompaktam un savienotam kolektoram X grupā KO(X) ir definēts elements, kas atbilst pieskares saišķim. To sauc par gludas variācijas X tangenciālo invariantu. Jebkurai α ir šīs konstrukcijas analogs.
Ja α = p, grupas KO(X) lomu spēlē kāda cita grupa, ko apzīmē ar KPL(X), bet α = t gadījumā šīs grupas lomu spēlē grupa, kas apzīmēta ar Ktop(X). Katrs α-kolektors X attiecīgajā grupā [KO(X), KPL(X) vai KTop(X)] definē kādu elementu, ko sauc par tā α-tangenciālo invariantu.
Ir dabiski homomorfismi KO(X) → KPL(X) → KTop(X), un izrādās, ka uz n-dimensijas (n ≥ 5) kompakta un savienota α-kolektora X, kur α = t, p, ja un tikai tad, ja var ieviest α-struktūru (α = p, ja α = t, un α = s, ja α = p), kad tās α-tangenciālais invariants atrodas atbilstošās grupas attēlā.
Šādu struktūru skaits ir ierobežots un vienāds ar kopas kādas faktoru kopas elementu skaitu, kur Y α ir kāda speciāli konstruēta topoloģiskā telpa (ja α = s topoloģisko telpu Y α parasti apzīmē ar simbolu PL/ O, un α = p - ar simbolu Top/PL).
Tādējādi jautājums par α-struktūras esamību un unikalitāti tiek reducēts līdz noteiktai problēmai homotopijas teorijā. Topoloģiskās telpas PL/O homotopijas veids ir diezgan sarežģīts un vēl nav pilnībā aprēķināts (1976); tomēr ir zināms, ka
π i (PL/O) = 0, ja i ≤ 6, no tā izriet, ka jebkurš pa daļām lineārais kolektors ar izmēru n ≤ 7 ir izlīdzināms un n ≤ 6 unikālā veidā. Gluži pretēji, topoloģiskās telpas Top/PL homotopijas tips izrādās pārsteidzoši vienkāršs: šī telpa ir homotopija, kas ir ekvivalenta K(ℤ 2 , 3).
Līdz ar to gabalos lineāro struktūru skaits topoloģiskā kolektorā nepārsniedz H i(X, ℤ 2) grupas elementu skaitu. Šādas struktūras noteikti pastāv, ja H 4 (X, ℤ 2)
= 0, bet H 4 (X, ℤ 2) ≠ 0 gabalos lineārā struktūra var nepastāvēt.
Jo īpaši uz sfēras S n ir unikāla gabalos lineāra struktūra. Uz sfēras S n var būt daudz gludu struktūru, piemēram, uz S 7 ir 28 dažādas gludas struktūras. Uz tora T n (apļa S 1 n kopiju topoloģiskais reizinājums) eksistē n ≥ 5 daudzas dažādas gabalos lineāras struktūras, kurām visām ir gluda struktūra.
Tādējādi pirmais ir līdzvērtīgs sfērai un ir tai homeomorfs).
Kopā ar α-kolektoriem mēs varam uzskatīt tā sauktos α-kolektorus ar robežu; tiem ir raksturīgs tas, ka dažu to punktu (kas veido malu) apkaimes ir α-homeomorfas telpas |R n pustelpai X n ≥ 0. Robeža ir (n-1) dimensijas α-kolektors (vispārīgi runājot, atvienots).
Tiek uzskatīts, ka divi n-dimensiju kompaktie α-kolektori X un Y ir (līdz)bordanti, ja pastāv (n+1)-dimensiju kompakts α-kolektors ar robežu W tā, ka tā robeža ir nesadalītu gludu variantu α- savienojums. homeomorfs X un Y .
Ja iegultās kartes X → W un Y → W ir homotopijas ekvivalences, tad gludos kolektorus sauc par h-kobordantu. Izmantojot roktura dekompozīcijas metodes, var pierādīt, ka n ≥ 5 vienkārši savienoti kompakti α-kolektori ir α-homeomorfi, ja tie ir h-kobordanti.
Šī h-kobordisma teorēma nodrošina spēcīgāko veidu, kā noteikt α-kolektoru α-homeomorfiju (jo īpaši Puankarē minējums ir tā sekas). Līdzīgs, bet sarežģītāks rezultāts attiecas arī uz nevienkārši savienotiem α-kolektoriem.
Koborantu kompakto α-kolektoru n klašu kolekcija ir komutatīva grupa attiecībā uz savienotās summas darbību. Šīs grupas nulle ir α-kolektoru klase, kas ir malas, tas ir, ir vienādas ar nulli. Izrādās, ka šī grupa α = s ir izomorfa kādas īpaši konstruētas topoloģiskās telpas MO (n+1), ko sauc par Toma telpu, homotopiju grupai π 2n+1 MO (n+1).
Līdzīgs rezultāts rodas α = p, t. Tāpēc algebriskās teorijas metodes principā dod iespēju aprēķināt grupu α n. Jo īpaši izrādās, ka grupa s n ir tieša grupu ℤ 2 summa tādā daudzumā, kas vienāds ar skaitļa n nodalījumu skaitu citos terminos, nevis skaitļos formā 2 m -1. Piemēram, s 3 = 0 (tātad katrs trīsdimensiju kompaktais gludais kolektors ir robeža).
Gluži pretēji, s 2 = ℤ 2, tāpēc ir virsmas, kas ir līdzvērtīgas viena otrai un nav līdzvērtīgas nullei; tāda virsma, piemēram, ir projektīvā plakne |RP I.
M. M. Postņikovs.
6. Topoloģijas attīstības galvenie posmi
Daži topoloģiskā rakstura rezultāti tika iegūti 18. un 19. gadsimtā. (Eilera teorēma par izliektiem daudzskaldņiem, virsmu klasifikācija un Džordana teorēma, ka vienkārša slēgta līnija, kas atrodas plaknē, sadala plakni divās daļās). 20. gadsimta sākumā. tiek radīta vispārēja telpas koncepcija telpā (metriska - M. Frešē, topoloģiskā - F. Hausdorfs), un Elementu ietekmē tiek uzbūvēts (bi)kompakts pilnīgi regulāras telpas paplašinājums; definētas patvaļīgu telpu homoloģijas grupas (Cech), kohomoloģijas grupās (J. homotopijas teorija (H. Hopfs, Pontrjagins); definētas homotopijas grupas (V. Francijā, M. M. Postņikovs PSRS, Vaitheds u.c.) teorija. beidzot veidojas homotopijas.Šajā laikā ASV tika izveidoti lieli algebriskās topoloģijas centri un triangulējamība (J. Milnor, ASV).A, Diferenciālā topoloģija. Sākuma kurss, tulkots no angļu valodas, Maskava, 1972; Steenrod N., Chinn W. , First concepts of topology, tulkots no angļu valodas, M., 1967; Alexandrov P. S., Combinatorial topology, M.-L., 1947; Aleksandrovs P. S., Pasynkov B. A., Ievads dimensiju teorijā.
Ievads topoloģisko telpu teorijā un vispārīgajā dimensiju teorijā, M., 1973; Aleksandrovs P.S., Ievads dimensiju homoloģiskajā teorijā un vispārējā kombinatoriskajā topoloģijā, M., 1975; Arhangeļskis A.V., Ponomarevs V.I., Vispārējās topoloģijas pamati problēmās un vingrinājumos, M., 1974; Postņikovs M. M., Ievads Morzes teorijā, M., 1971; Bourbaki N., Vispārējā topoloģija. Pamatstruktūras, trans. no franču valodas, M., 1968; viņa, vispārējā topoloģija. Topoloģiskās grupas. Skaitļi un saistītās grupas un atstarpes, trans. no franču valodas, M., 1969; viņa, vispārējā topoloģija.

Datortīklu var iedalīt divās daļās. Fiziskais datortīkls, pirmkārt, ir aprīkojums. Tas ir, visi nepieciešamie kabeļi un adapteri, kas savienoti ar datoriem, centrmezgliem, slēdžiem, printeriem utt. Viss, kam jādarbojas kopējā tīklā.

Otrais datortīkla komponents ir loģiskais tīkls. Tas ir vairāku datoru un nepieciešamā aprīkojuma savienošanas princips vienā sistēmā (tā sauktā datortīkla topoloģija). Šī koncepcija ir vairāk piemērojama vietējiem tīkliem. Tā ir izvēlētā topoloģija vairāku datoru savienošanai, kas ietekmēs nepieciešamo aprīkojumu, tīkla uzticamību, tā paplašināšanas iespēju un darba izmaksas. Mūsdienās visplašāk izmantotie datortīklu topoloģiju veidi ir gredzens, zvaigzne un kopne. Tomēr pēdējais gandrīz vairs netiek izmantots.

Zvaigzne, gredzens un kopne ir datortīklu pamata topoloģijas.

"Zvaigzne"

Datortīklu topoloģija “zvaigzne” ir struktūra, kuras centrā ir komutācijas ierīce. Visi datori ir savienoti ar to, izmantojot atsevišķas līnijas.

Komutācijas ierīce var būt centrmezgls, tas ir, HUB vai slēdzis. Šo topoloģiju sauc arī par “pasīvo zvaigzni”. Ja komutācijas ierīce ir cits dators vai serveris, tad topoloģiju var saukt par “aktīvo zvaigzni”. Tā ir komutācijas ierīce, kas saņem signālu no katra datora, tiek apstrādāta un nosūtīta uz citiem pievienotajiem datoriem.

Šai topoloģijai ir vairākas priekšrocības. Neapšaubāma priekšrocība ir tā, ka datori nav atkarīgi viens no otra. Ja kāds no tiem sabojājas, pats tīkls paliek darba kārtībā. Šādam tīklam var viegli pievienot arī jaunu datoru. Kad būs pievienots jauns aprīkojums, pārējie tīkla elementi turpinās darboties kā parasti. Šāda veida tīkla topoloģijā ir viegli atrast defektus. Iespējams, viena no galvenajām “zvaigznes” priekšrocībām ir tās augstā veiktspēja.

Tomēr, neskatoties uz visām priekšrocībām, šāda veida datortīklam ir arī trūkumi. Ja centrālā komutācijas ierīce neizdodas, viss tīkls pārtrauks darboties. Tam ir ierobežojumi pievienotajām darbstacijām. Komutācijas ierīcē nedrīkst būt vairāk par pieejamo portu skaitu. Un pēdējais tīkla trūkums ir tā izmaksas. Katra datora pievienošanai ir nepieciešams diezgan liels kabeļa daudzums.

"Gredzens"

Datortīklu “gredzena” topoloģijai nav strukturāla centra. Šeit visas darbstacijas kopā ar serveri ir apvienotas slēgtā lokā. Šajā sistēmā signāls virzās secīgi no labās puses uz kreiso apli. Visi datori ir atkārtotāji, tāpēc marķiera signāls tiek uzturēts un pārraidīts tālāk, līdz tas sasniedz adresātu.

Arī šāda veida topoloģijai ir gan priekšrocības, gan trūkumi. Galvenā priekšrocība ir tā, ka datortīkla darbība saglabājas stabila arī pie lielas slodzes. Šāda veida tīklu ir ļoti viegli uzstādīt, un tam ir nepieciešams minimāls papildu aprīkojuma daudzums.

Atšķirībā no “zvaigznes” topoloģijas, “gredzena” topoloģijā visas sistēmas darbību var paralizēt jebkura pievienotā datora kļūme. Turklāt darbības traucējumu identificēšana būs daudz grūtāka. Neskatoties uz šīs tīkla opcijas vieglo uzstādīšanu, tās konfigurācija ir diezgan sarežģīta un prasa noteiktas prasmes. Vēl viens šīs topoloģijas trūkums ir nepieciešamība apturēt visu tīklu, lai pievienotu jaunu aprīkojumu.

"riepa"

Datortīklu kopņu topoloģija tagad kļūst arvien retāka. Tas sastāv no viena gara mugurkaula, kuram ir pievienoti visi datori.

Šajā sistēmā, tāpat kā citās, dati tiek nosūtīti kopā ar saņēmēja adresi. Visi datori saņem signālu, bet to saņem tieši saņēmējs. Darbstacijas, kas savienotas ar kopnes topoloģiju, nevar nosūtīt datu paketes vienlaikus. Kamēr viens no datoriem veic šo darbību, pārējie gaida savu kārtu. Signāli pārvietojas pa līniju abos virzienos, bet, sasniedzot galu, tie tiek atspoguļoti un pārklājas viens ar otru, apdraudot visas sistēmas vienmērīgu darbību. Ir īpašas ierīces - terminatori, kas paredzēti signālu slāpēšanai. Tie ir uzstādīti šosejas galos.

“Kopnes” topoloģijas priekšrocības ietver faktu, ka šādu tīklu var uzstādīt un konfigurēt diezgan ātri. Turklāt tā uzstādīšana būs diezgan lēta. Ja kāds no datoriem neizdodas, tīkls turpinās darboties kā parasti. Jaunu iekārtu pieslēgšanu var veikt darba kārtībā. Tīkls darbosies.

Ja centrālais kabelis ir bojāts vai kāds no terminatoriem pārstāj darboties, tas novedīs pie visa tīkla izslēgšanas. Kļūdas atrašana šādā topoloģijā ir diezgan sarežģīta. Palielinot darbstaciju skaitu, samazinās tīkla veiktspēja, kā arī tiek aizkavēta informācijas pārsūtīšana.

Atvasinātās datortīklu topoloģijas

Datortīklu klasifikācija pēc topoloģijas neaprobežojas ar trim pamata iespējām. Ir arī tādi topoloģiju veidi kā “līnija”, “dubultā gredzena”, “tīkla topoloģija”, “koks”, “režģis”, “tuvais tīkls”, “sniegpārsla”, “pilnībā savienota topoloģija”. Visi no tiem ir atvasināti no pamata. Apskatīsim dažas iespējas.

Neefektīvas topoloģijas

Tīkla topoloģijā visas darbstacijas ir savienotas viena ar otru. Šāda sistēma ir diezgan apgrūtinoša un neefektīva. Katram datoru pārim ir jāpiešķir rinda. Šo topoloģiju izmanto tikai vairāku mašīnu sistēmās.

Tīkla topoloģija faktiski ir pilnībā savienotās versijas atdalīta versija. Arī šeit visi datori ir savienoti viens ar otru pa atsevišķām līnijām.

Visefektīvākās topoloģijas

Datortīklu veidošanas topoloģija, ko sauc par “sniegpārsliņu”, ir “zvaigznes” atdalīta versija. Šeit centrmezgli, kas savienoti viens ar otru zvaigžņu veidā, darbojas kā darbstacijas. Šī topoloģijas opcija tiek uzskatīta par vienu no optimālākajām lieliem vietējiem un globāliem tīkliem.

Parasti lieliem vietējiem, kā arī globālajiem tīkliem ir milzīgs skaits apakštīklu, kas izveidoti uz dažāda veida topoloģijām. Šo veidu sauc par jauktu. Šeit jūs varat vienlaikus atšķirt “zvaigzni”, “riepu” un “gredzenu”.

Tātad augstāk minētajā rakstā tika apskatītas visas galvenās pieejamās lokālajos un globālajos tīklos izmantotās datortīklu topoloģijas, to variācijas, priekšrocības un trūkumi.

Krievu valodas skaidrojošā vārdnīca. D.N. Ušakovs

topoloģija

topoloģija, daudzas nē, w. (no grieķu topos - vieta un logos - mācība) (mat.). Ģeometrijas daļa, kas pēta figūru kvalitatīvās īpašības (t.i., neatkarīgi no tādiem jēdzieniem kā garums, leņķi, taisnums utt.).

Jauna krievu valodas skaidrojošā vārdnīca, T. F. Efremova.

topoloģija

un. Matemātikas nozare, kas pēta ģeometrisko figūru kvalitatīvās īpašības neatkarīgi no to garuma, leņķiem, taisnuma u.c.

Enciklopēdiskā vārdnīca, 1998

topoloģija

TOPOLOĢIJA (no grieķu topos — vieta un... loģika) ir matemātikas nozare, kas pēta figūru topoloģiskās īpašības, t.i. īpašības, kas nemainās pie jebkādām deformācijām, kas rodas bez pārtraukumiem un līmēšanas (precīzāk, ar vienu un nepārtrauktu kartēšanu). Figūru topoloģisko īpašību piemēri ir izmēri, līkņu skaits, kas ierobežo noteiktu apgabalu utt. Tādējādi aplim, elipsei un kvadrāta kontūrai ir vienādas topoloģiskās īpašības, jo šīs līnijas var deformēt viena otrā iepriekš aprakstītajā veidā; tajā pašā laikā gredzenam un aplim ir dažādas topoloģiskās īpašības: apli ierobežo viena kontūra, bet gredzenu - divas.

Topoloģija

(no grieķu valodas topos ≈ vieta un ¼ loģika) ≈ ģeometrijas daļa, kas veltīta nepārtrauktības fenomena izpētei (izteikta, piemēram, robežas jēdzienā). Nepārtrauktības izpausmju daudzveidība matemātikā un plašs dažādu pieeju klāsts tās izpētei noveda pie vienotās matemātikas sadalīšanās vairākās nodaļās (“vispārējā matemātika”, “algebriskā matemātika” utt.), kas viena no otras atšķiras ar to. mācību priekšmets un metode un patiesībā ir ļoti maz saistīti viens ar otru. I. Vispārējā topoloģija To teorijas daļu, kas ir orientēta uz nepārtrauktības aksiomātisku izpēti, sauc par vispārējo teoriju, bet līdzās algebrai vispārējā teorija veido mūsdienu kopu teorijas metodes pamatu matemātikā. Aksiomātiski nepārtrauktību var definēt daudzos (vispārīgi runājot, nevienlīdzīgi) veidos. Vispārpieņemta aksiomātika balstās uz atvērtās kopas jēdzienu. Kopas X topoloģiskā struktūra jeb topoloģija ir tās apakškopu saime, ko sauc par atvērtajām kopām, tā ka: 1) tukšā kopa Æ un visas X ir atvērtas; 2) jebkura skaitļa savienība un ierobežota skaita atvērto kopu krustpunkts ir atvērts. Kopu, uz kuras ir dota topoloģiskā struktūra, sauc par topoloģisko telpu. Topoloģiskajā telpā X var definēt visus elementārās analīzes pamatjēdzienus, kas saistīti ar nepārtrauktību. Piemēram, punkta x О X apkārtne ir patvaļīga atvērta kopa, kas satur šo punktu; kopu A Ì X sauc par slēgtu, ja tās papildinājums X \ A ir atvērts; kopas A noslēgums ir mazākā slēgtā kopa, kas satur A; ja šī aizvēršanās sakrīt ar X, tad A tiek teikts, ka X ir visur blīvs utt. Pēc definīcijas Æ un X ir gan slēgtas, gan atvērtas kopas. Ja X nav citu kopu, kas būtu gan slēgtas, gan atvērtas, tad topoloģisko telpu X sauc par savienotu. Vizuāli savienota telpa sastāv no viena “gabala”, savukārt atdalīta telpa sastāv no vairākiem. Jebkurai topoloģiskās telpas X apakškopai A ir dabiska topoloģiskā struktūra, kas sastāv no X atvērto kopu krustpunktiem ar A. Ar šo struktūru A tiek saukta par telpas X apakštelpu. Katra metriskā telpa kļūst topoloģiskā, ja tās atvērtās kopas tiek ņemtas vērā ir kopas, kas kopā ar patvaļīgu punktu satur kādu tā e-apkaimi (bumba ar rādiusu e, kas centrēta šajā punktā). Jo īpaši jebkura n-dimensiju Eiklīda telpas apakškopa ═ ir topoloģiskā telpa. Šādu telpu teorija (ar nosaukumu “ģeometriskā teorija”) un metrisko telpu teorija tradicionāli tiek iekļauta vispārējā teorijā.Ģeometriskā teorija ir diezgan skaidri sadalīta divās daļās: patvaļīgas sarežģītības apakškopu izpēte, ievērojot noteiktus ierobežojumus. vispārīgs raksturs (piemērs ir tā sauktā kontinuācijas teorija, tas ir, savienotas ierobežotas slēgtas kopas) un to veidu izpēte, kā tādas vienkāršas topoloģiskās telpas kā sfēra, lode utt. var iegult ═. (ieguldījumi, piemēram, sfērās var būt ļoti sarežģīti). Topoloģiskās telpas X atklātais pārklājums ir tās atvērto kopu saime, kuru savienība ir visa X. Topoloģiskā telpa X tiek saukta par kompaktu (citā terminoloģijā – bikompaktu), ja kāds no tās atvērtajiem pārklājumiem satur ierobežotu skaitli. elementiem, kas arī veido segumu. Klasiskā Heine ≈ Borela teorēma nosaka, ka jebkura ierobežota slēgta apakškopa ir ═kompakta. Izrādās, ka visas elementārās analīzes pamatteorēmas par ierobežotām slēgtām kopām (piemēram, Veierštrāsa teorēma, ka uz šādas kopas nepārtraukta funkcija sasniedz maksimālo vērtību) ir derīgas jebkurām kompaktajām topoloģiskām telpām. Tas nosaka kompakto telpu fundamentālo lomu mūsdienu matemātikā (īpaši saistībā ar eksistences teorēmām). Kompakto topoloģisko telpu klases noteikšana bija viens no lielākajiem vispārējās teorijas sasniegumiem, kam ir vispārēja matemātiska nozīme. Tiek uzskatīts, ka atvērts vāks (Vb) ir ierakstīts vākā (Ua), ja jebkuram b ir tāds, ka Vb Ì Ua. Pārklājumu (Vb) sauc par lokāli ierobežotu, ja katram punktam x Î X ir apkārtne, kas krustojas tikai ar ierobežotu skaitu šī seguma elementu. Topoloģiskā telpa tiek uzskatīta par parakompaktu, ja jebkurš tās atvērtais pārklājums var saturēt lokāli ierobežotu pārklājumu. Parakompakto telpu klase ir topoloģisko telpu klašu piemērs, kas iegūts, uzliekot tā sauktos kompaktuma tipa nosacījumus. Šī klase ir ļoti plaša, jo īpaši tajā ir visas metrizējamās topoloģiskās telpas, tas ir, telpas X, kurās ir iespējams ieviest metriku r tā, lai r ģenerētais T X sakristu ar X definēto T. Daudzkārtība atvērtam segumam ir lielākais skaitlis k ir tāds, ka ir k elementu ar netukšu krustpunktu. Mazākais skaitlis n, kuram piemīt īpašība, ka atvērtu vāku ar daudzveidību £n + 1 var ierakstīt jebkurā topoloģiskās telpas X galīgā atvērtā vākā, apzīmē ar simbolu dimX un sauc par X dimensiju. attaisnojams ar to, ka elementārās ģeometriskās situācijās dimX sakrīt ar parasto saprotamo dimensiju, piemēram, dim = n. Iespējamas arī citas topoloģiskās telpas X skaitliskās funkcijas, kas atšķiras no dimX, bet vienkāršākajos gadījumos sakrīt ar dimX. Viņu pētījums ir vispārējās dimensijas teorijas priekšmets, kas ir ģeometriski visvairāk orientētā vispārējā T daļa. Tikai šīs teorijas ietvaros ir iespējams, piemēram, sniegt skaidru un diezgan vispārīgu ģeometriskās figūras intuitīvā jēdziena definīciju un jo īpaši līnijas, virsmas u.c. Nozīmīgas topoloģisko telpu klases iegūst, uzliekot tā sauktās atdalīšanas aksiomas. Piemērs ir tā sauktā Hausdorfa aksioma vai aksioma T2, kas prasa, lai jebkuriem diviem atšķirīgiem punktiem būtu nesadalīti apkaimes. Topoloģisko telpu, kas apmierina šo aksiomu, sauc par Hausdorfu vai atdalāmu. Kādu laiku matemātiskajā praksē tika sastaptas gandrīz tikai Hausdorfa telpas (piemēram, jebkura metriskā telpa ir Hausdorfa). Tomēr ne-Hausdorfa topoloģisko telpu loma analīzē un ģeometrijā nepārtraukti pieaug. Topoloģiskās telpas, kas ir Hausdorfa (bi) kompakto telpu apakštelpas, sauc par pilnīgi regulārām vai Tihonovām. Tos var raksturot arī ar kādu atdalāmības aksiomu, proti: aksiomu, kas pieprasa, lai jebkuram punktam x0 ═X un jebkurai slēgtai kopai F ═X, kas to nesatur, pastāv nepārtraukta funkcija g: X ╝ vienāda ar nulli pie x0 un viens. uz F. Topoloģiskās telpas, kas ir Hausdorfa kompakto telpu atvērtās apakštelpas, sauc par lokāli kompaktajām telpām. Tos raksturo (Hausdorfa telpu klasē) tas, ka katram to punktam ir apkārtne ar kompaktu noslēgumu (piemērs: Eiklīda telpa). Jebkura šāda telpa tiek papildināta ar vienu punktu pret kompakto (piemērs: saskaitot vienu punktu no plaknes, iegūst kompleksa mainīgā sfēru, bet no ═≈ sfēru S n). Kartējumu f: X ╝ Y no topoloģiskās telpas X uz topoloģisko telpu Y sauc par nepārtrauktu kartēšanu, ja jebkurai atvērtai kopai V М Y kopa f≈1(V) ir atvērta X. Nepārtrauktu kartēšanu sauc par homeomorfismu. ja tas ir viens pret vienu un apgrieztā kartēšana f≈ 1: Y ╝ X nepārtraukta. Šāds kartējums nosaka vienu pret vienu atbilstību starp atvērtajām topoloģisko telpu X un Y kopām, ko var mainīt ar kopu savienošanas un krustošanās operācijām. Tāpēc visas šo telpu topoloģiskās īpašības (tas ir, īpašības, kas formulētas kā atvērtās kopas) ir vienādas, un no topoloģiskā viedokļa homeomorfās topoloģiskās telpas (tas ir, telpas, kurām ir vismaz viens homeomorfisms X ╝ Y) jāuzskata par vienādu (tāpat kā Eiklīda ģeometrijā figūras, kuras var apvienot ar kustību, tiek uzskatītas par identiskām). Piemēram, kvadrāta, sešstūra uc aplis un robeža ir homeomorfi (“topoloģiski identiski”). Kopumā jebkuras divas vienkāršas (bez dubultpunktiem) slēgtas līnijas ir homeomorfas. Gluži pretēji, aplis nav homeomorfs taisnei (jo punkta noņemšana nepārkāpj riņķa līniju, bet gan pārkāpj taisnes savienojumu; tā paša iemesla dēļ taisne nav homeomorfa taisnei plakne, un aplis nav homeomorfs astoņam skaitlim). Aplis arī nav homeomorfs plaknei (izmetiet nevis vienu, bet divus punktus). Pieņemsim (Xa) ≈ patvaļīgu topoloģisko telpu saimi. Aplūkosim visu formas (xa) saimju kopu X, kur xa ═Xa (kopu Xa tiešais reizinājums). Jebkuram a formula definē kādu kartējumu ═ (ko sauc par projekciju). Vispārīgi runājot, X var ieviest daudzas topoloģiskās struktūras, attiecībā uz kurām visas kartes pa ir nepārtrauktas. Starp šīm struktūrām ir vismazākā (tas ir, ietverta jebkurā šādā struktūrā). Kopu X, kas aprīkota ar šo topoloģisko struktūru, sauc par topoloģisko telpu Xa topoloģisko reizinājumu un apzīmē ar simbolu PHa (un ierobežota faktoru skaita gadījumā ar simbolu X1 ` ... ` Xn). Viennozīmīgi, telpas X atvērtās kopas var raksturot kā visu formu kopu, kurās Ua ir atvērta Xa, galīgo krustpunktu savienības. Topoloģiskajai telpai X piemīt šāda ievērojama universāluma īpašība, kas to unikāli (līdz pat homeomorfismam) raksturo: jebkurai nepārtrauktu kartējumu saimei fa: Y ╝ Xa ir unikāla nepārtraukta kartēšana f: Y ╝ X, kurai ══visiem. a. Telpa ═ ir skaitļu līnijas n gadījumu topoloģiskais reizinājums. Viena no svarīgākajām vispārējās teorijas teorēmām ir apgalvojums, ka kompakto topoloģisko telpu topoloģiskais produkts ir kompakts. Ja X ≈ topoloģiskā telpa un Y ≈ patvaļīga kopa, un ja tiek kartēts p: X ╝ Y no telpas X uz kopu Y ir dota (piemēram, ja Y ir X koeficientu kopa pēc kādas ekvivalences attiecības, un p ir dabiska projekcijas kartēšana katram elementam x Î X ir tā ekvivalences klase), tad mēs varam izvirzīt jautājumu par to, ka Y ir jāievada topoloģiskā struktūra, attiecībā uz kuru kartējums p ir nepārtraukts. “Visbagātākā” (atvērtajās kopās) šāda struktūra tiek iegūta, par atvērtajām kopām Y uzskatot visas tās kopas V Ì Y, kurām kopa f-1(V) Ì X ir atvērta X. Kopa Y, kas aprīkota ar šo. topoloģisko struktūru sauc par topoloģiskās telpas X koeficientu telpu (attiecībā pret p). Tam ir īpašība, ka patvaļīga kartēšana f: Y ╝ Z ir nepārtraukta tad un tikai tad, ja kartēšana ═: X ╝ Z ir nepārtraukta. Nepārtrauktu kartējumu p: X ╝ Y sauc par faktoru, ja topoloģiskā telpa Y ir faktoru telpa topoloģiskā telpa attiecībā pret p X. Nepārtrauktu kartējumu p: X ╝ Y sauc par atvērtu, ja jebkurai atvērtai kopai U Ì X kopa p(U) ir atvērta Y, un slēgta, ja jebkurai slēgtai kopai F Ì X kopa p(F) ir aizvērta Y. Kā atvērtās un slēgtās nepārtrauktās kartes f: X ╝ Y, kurām f(X) = Y ir faktoriāli. Lai X ≈ topoloģiskā telpa, A ≈ tās apakštelpa un f: A ╝ Y ≈ nepārtraukta karte. Pieņemot, ka topoloģiskās telpas X un Y ir disjunktas, mēs to savienojumā X È Y ieviešam topoloģisko struktūru, uzskatot atvērto kopu savienības no X un Y par atvērtām kopām. Tālāk telpā X È Y ievadām mazāko ekvivalenci sakarība, kurā a ~ f(a) jebkuram punktam a Î A. Atbilstošo koeficientu telpu apzīmē ar simbolu X È fY, un saka, ka to iegūst, pielīmējot topoloģisko telpu X topoloģiskajai telpai Y gar A ar nepārtrauktas kartes līdzekļi f. Šī vienkāršā un intuitīvā darbība izrādās ļoti svarīga, jo ļauj iegūt sarežģītākas no salīdzinoši vienkāršām topoloģiskām telpām. Ja Y sastāv no viena punkta, tad telpu X È fY apzīmē ar simbolu X/A un saka, ka tā iegūta no X, savelkot A līdz punktam. Piemēram, ja X ≈ disks un A ≈ tā robežaplis, tad X/A ir homeomorfs sfērai. 2. Vienota topoloģija To teorijas daļu, kas pēta viendabīgas nepārtrauktības aksiomātisko jēdzienu, sauc par vienotu teoriju.No analīzes zināmā skaitlisko funkciju vienmērīgas nepārtrauktības definīcija tiek tieši pārnesta uz jebkuru metrisko telpu kartējumiem. Tāpēc vienmērīgas nepārtrauktības aksiomātiku parasti iegūst, sākot no metriskajām telpām. Detalizēti tiek pētītas divas aksiomātiskas pieejas vienveidīgai nepārtrauktībai, kas attiecīgi pamatojas uz tuvuma un diagonālās ielenkuma jēdzieniem. Metriskās telpas X apakškopas A un B sauc par tuvu (apzīmējums AdB), ja jebkuram e > 0 eksistē punkti a Î A un b Î B, attālums starp kuriem< e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) ÆX (символом обозначается отрицание отношения d; 2) AB1 и AB2Û A(B1 U B2); ═3) {x}{y} Û x ¹ y;4) если АВ, то существует такое множество С В, что А(Х\С). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y. Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ╝ Y, обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u Ì x открытым, если {x}(X \U) для любой точки х Î U. При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X, порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии ≈ би-компактными расширениями) вХ ≈ компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что АdВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX. В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру. Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ` X. Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ` X, то есть множеством точек вида (х, х), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U≈1 = {(х, у); (у, х) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у); существует z Î Х такое, что (х, z) Î U, (z, y) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U≈1; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W, что W o W Ì U. Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f: X ╝ Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ` f: Х ` Х ╝ Y ` Y любого окружения диагонали V Ì Y ` Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ` X. Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ╝ Y, обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением. В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: АdВ тогда и только тогда, когда (A ` В) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ` X. При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными. 3. Algebriskā topoloģija Lai katra topoloģiskā telpa X (no kādas klases) ir saistīta ar kādu algebrisku objektu h(X) (grupu, gredzenu utt.), un katrai nepārtrauktai kartei f: X ╝ Y ≈ kādu homomorfismu h(f) : h( X ) ╝ h(Y) (vai h(f) : h(Y) ╝ h(X), kas ir identitātes homomorfisms, ja f ir identitātes karte. Ja h(f1 ═f2) = h(f1) ═h( f2) (vai attiecīgi h(f1 ═f2) = h(f2) h(f1), tad mēs sakām, ka h ir funktoris (respektīvi, kofunktors) Lielākā daļa algebriskās teorijas problēmu ir vienā vai otrā veidā saistītas uz šādu izplatīšanās problēmu: noteiktai nepārtrauktai kartēšanai f: A ╝ Y apakštelpai A Ì X kādā topoloģiskā telpā Y, atrodiet nepārtrauktu kartējumu g: X ╝ Y, kas A sakrīt ar f, tas ir, tādu, ka f = g×i, kur i: A ╝ X ≈ iegulšanas kartēšana (i(a) = a jebkuram punktam a О A) Ja pastāv šāda nepārtraukta kartēšana g, tad jebkuram funktoram (kofunktoram) h pastāv homomorfisms (j : h(X) ╝ h(Y) (homomorfisms j: h(Y) ╝ h(X)), lai h(f) = j ═h(i) (attiecīgi, h(f) = h(i) ═j); tas būs homomorfisms j = h(g). Līdz ar to homomorfisma j nepastāvēšana (vismaz vienam funktoram h) nozīmē kartējuma g nepastāvēšanu. Gandrīz visas algebriskās T metodes var reducēt līdz šim vienkāršajam principam. Piemēram, ir funktieris h, kura vērtība uz lodītes E n ir triviāla grupa, bet uz sfēras S n≈1 ≈ ir netriviāla grupa, kas ierobežo bumbu. . Tas jau nozīmē, ka nav tā sauktās ievilkšanas ≈ nepārtrauktas kartēšanas р: E n╝ S n≈1, kas fiksēta uz S n≈1, tas ir, tāda, ka sastāvs р×i, kur i: S n-1 ╝ E n ≈ iegulšanas kartēšana ir identitātes kartēšana (ja p pastāv, tad grupas h(S n≈1) identitātes kartējums būs kartējumu h(i) kompozīcija: h(S n≈1) ╝ h (E n) un h(p) : h( E n) ╝ h(S n≈1), kas nav iespējams triviālajai grupai h(E n). Taču šis pēc būtības elementārais ģeometriskais un (ja n = 2) vizuāli acīmredzamais fakts (fiziski ar to nozīmē iespēju izstiept bungu uz apaļas stīpas) vēl nav pierādīts bez algebriski-topoloģisko metožu izmantošanas. Tā tūlītējās sekas ir apgalvojums, ka jebkurai nepārtrauktai kartēšanai f: E n╝ E n ir vismaz viens fiksēts punkts, tas ir, vienādojumam f(x) = x ir vismaz viens atrisinājums E n (ja f(x) ¹ x uz visiem x О E n, tad, pieņemot, ka p(x) ir punkts no S n≈1, kolineārs ar punktiem f(x) un x un tāds, lai nogrieznis ar galiem f(x) un p(x) ) satur x, iegūstam ievilkšanu р: E n╝ S n≈1). Šī fiksētā punkta teorēma bija viena no pirmajām algebriskās teorijas teorēmām, un pēc tam kļuva par avotu veselai virknei dažādu teorēmu par vienādojumu risinājumu esamību. Vispārīgi runājot, homomorfisma neesamības konstatēšana (j ir vieglāk, jo sarežģītāka ir objektu h(X) algebriskā struktūra. Tāpēc algebriskajās teorijās tiek aplūkoti ārkārtīgi sarežģīta rakstura algebriskie objekti un algebriskās prasības. topoloģija būtiski stimulēja abstraktās algebras attīstību Topoloģisko telpu X sauc par šūnu telpu, kā arī par šūnu nodalījumu (vai CW-kompleksu), ja tā satur pieaugošu apakštelpu secību X 0 М ¼ М X n≈1 М X n М ¼ (saukti par šūnu telpas X skeletiem), kuru savienojums ir vesels X, un ir izpildīti šādi nosacījumi: 1) kopa U Ì X ir atvērta X tad un tikai tad, ja jebkurai n kopa U Ç X n ir atvērta X n; 2) X n tiek iegūts no X n≈1, pielīmējot noteiktu n-dimensiju lodīšu saimi gar to robežas (n≈1)-dimensiju sfērām (ar šo sfēru patvaļīgu nepārtrauktu kartēšanu uz X n≈1); 3) X0 sastāv no izolētiem punktiem. Tādējādi šūnu telpas struktūra, rupji runājot, sastāv no tā, ka tā tiek attēlota kā kopu savienība, kas ir homeomorfa ar atvērtām bumbiņām (šīs kopas sauc par šūnām). Algebriskajās tehnikās šūnu telpas tiek pētītas gandrīz tikai, jo tām jau ir pilnībā izpaudusies algebrisko paņēmienu problēmu specifika. Turklāt patiesībā dažas īpaši vienkāršas šūnu telpas (piemēram, daudzskaldnis, skatīt zemāk) ir interesantas algebriskajai teorijai, taču šūnu telpu klases sašaurināšanās, kā likums, ievērojami sarežģī pētījumu (jo daudzas noderīgas operācijas šūnu telpās ir atvasināts no daudzskaldņu klases). Divas nepārtrauktas kartes f, g: X ╝ Y sauc par homotopiskām, ja tās var nepārtraukti deformēties viena otrā, tas ir, ja pastāv nepārtrauktu karšu saime ft: X ╝ Y, kas nepārtraukti ir atkarīgas no parametra t О tā, ka f0 = f un f1 = g (nepārtraukta atkarība no t nozīmē, ka formula F(x, t) = ft(x), x О X, t О definē nepārtrauktu karti F: X ` ╝ Y; šī karte, kā arī saimi (ft) sauc par homotopiju , kas savieno f ar g). Visu nepārtraukto kartējumu kopa X ╝ Y sadalās viena otrai homotopisko kartējumu homotopijas klasēs. Nepārtraukto kartējumu homotopijas klašu kopa no X līdz Y tiek apzīmēta ar simbolu . Homotopijas attiecību un jo īpaši kopu īpašību izpēte ir tā sauktās homotopijas topoloģijas (jeb homotopijas teorijas) priekšmets. Visinteresantākajām topoloģiskām telpām kopas ir ierobežotas vai saskaitāmas, un tās var skaidri un efektīvi aprēķināt. Topoloģiskās telpas X un Y sauc par homotopijas ekvivalentu vai ar tādu pašu homotopijas veidu, ja pastāv nepārtrauktas kartes f: X╝ Y un g: Y ╝ X, lai nepārtrauktas kartes g × f: X ╝ X un f × g: Y ╝ Y ir homotopiski atbilstošajiem identitātes kartējumiem. Homotopijas teorijā šādas telpas jāuzskata par identiskām (visi to “homotopijas invarianti” sakrīt). Izrādās, ka daudzos gadījumos (īpaši šūnu telpām) izplatīšanās problēmas atrisināmība ir atkarīga tikai no nepārtrauktās kartēšanas f homotopijas klases: A ╝ Y; precīzāk, ja eksistē f sadalījums g: X ╝ Y, tad jebkurai homotopijai ft: A ╝ Y (ar f0 = f) eksistē tāds sadalījums gt: X ╝ Y, ka g0 = g. Tāpēc f vietā mēs varam uzskatīt tās homotopijas klasi [f] un saskaņā ar to pētīt tikai homotopijas invariantus funktorus (kofunktorus) h, tas ir, tādus, ka h(f0) = h(f1), ja kartē f0 un f1 ir homotopiski. Tas noved pie tik ciešas algebriskās un homotopijas teorijas savijuma, ka tās var uzskatīt par vienu disciplīnu. Jebkurai topoloģiskajai telpai Y formulas h(X) = un h(f) = , kur f: X1 ╝ X2 un j: X2 ╝ Y definē kādu homotopijas invariantu kofunktoru h, par kuru tiek uzskatīts, ka to attēlo topoloģiskā telpa. Y. Šī ≈ standarta (un būtībā vienīgā) metode homotopijas invariantu kofunktoru konstruēšanai. Lai kopa h(X) izrādītos, teiksim, grupa, ir attiecīgi jāizvēlas Y, piemēram, lai tā būtu topoloģiskā grupa (vispārīgi runājot, tā nav gluži taisnība: tā ir nepieciešams izvēlēties kādu punktu x0 X un ņemt vērā tikai nepārtrauktas kartes un homotopijas, pārvēršot x0 par grupas vienību; tomēr šī tehniskā komplikācija turpmāk tiks ignorēta). Turklāt pietiek ar to, ka Y ir topoloģiska grupa “homotopijas izpratnē”, tas ir, ka asociatīvās aksiomas un apgrieztā elementa esamība (kas faktiski apliecina noteiktu karšu sakritību) tiktu apmierinātas tikai “līdz homotopija." Šādas topoloģiskās telpas sauc par H-telpām. Tādējādi katra H telpa Y definē homotopijas invariantu kofunktoru h(X) = , kura vērtības ir grupas. Līdzīgā ("duālā") veidā katra topoloģiskā telpa Y tiek definēta ar formulām h(X) = , h(f) = , kur f: X1 ╝ X2 un j: Y ╝ X1, kāds funkcis h. Lai h(X) būtu grupa, Y ir jābūt noteiktai algebriskai struktūrai, kas kaut kādā skaidri definētā nozīmē ir dubultā ar H telpas struktūru. Topoloģiskās telpas, kas apveltītas ar šo struktūru, sauc par līdz-N-telpām. Co-H-telpas piemērs ir n-dimensiju sfēra S n (ja n ³ 1). Tādējādi jebkurai topoloģiskajai telpai X formula pnX = definē noteiktu grupu pnX, n ³ 1, ko sauc par telpas X n-to homotopijas grupu. Ja n = 1, tā sakrīt ar pamatgrupu. Ja n > 1, grupa pnX ir komutatīva. Ja p1X= (1), tad X sauc par vienkārši savienotu. Šūnu telpu X sauc par telpu K(G, n), ja pi(X) = 0 i ¹ n un pnX = G; šāda šūnu telpa eksistē jebkuram n³ 1 un jebkurai grupai G (komutatīva n > 1) un ir unikāli definēta līdz homotopijas ekvivalencei. Ja n > 1 (un arī n = 1, ja grupa G ir komutatīva), telpa K(G, n) izrādās H-telpa un tāpēc attēlo noteiktu grupu H n(X; G) = . Šo grupu sauc par topoloģiskās telpas X n-dimensiju kohomoloģijas grupu ar koeficientu grupu G. Tā ir tipisks vairāku svarīgu kofunktoru pārstāvis, tostarp, piemēram, K-funktors KO(X) = [X, BO], ko pārstāv tā sauktā bezgalīgās dimensijas Grasmaņa BO, orientētā kobordisma grupa WnX u.c. Ja G ir gredzens, tad H n(X; G) grupu tiešā summa H*(X; G) ir algebra pār G. Turklāt šai tiešai summai ir ļoti sarežģīta algebriskā struktūra, kurā (G = Zp, kur Zp ≈ cikliskā secības p) grupa ietver kādas nekomutatīvas algebras p darbību uz H*(X; G), ko sauc par Stīnroda algebru. Šīs struktūras sarežģītība ļauj, no vienas puses, izstrādāt efektīvas (bet nebūt ne vienkāršas) metodes grupu H n(X; G) aprēķināšanai, un, no otras puses, izveidot savienojumus starp grupām H n( X; G) un citi homotopijas invarianti funktori (piemēram, homotopijas grupas pnX), kas bieži vien ļauj precīzi aprēķināt šos funktorus. Vēsturiski pirms kohomoloģijas grupām bija tā sauktās homoloģijas grupas Hn(X; G), kas ir kādas šūnu telpas M(X, G) homotopijas grupas pnM(X, G), kas unikāli izveidotas no šūnu telpas X un G grupa. Homoloģijas un kohomoloģijas grupas savā ziņā ir duālas viena otrai, un to teorijas būtībā ir līdzvērtīgas. Tomēr homoloģiju grupās atrodamā algebriskā struktūra ir mazāk pazīstama (piemēram, šīs grupas veido nevis algebru, bet gan tā saukto koalgebru), un tāpēc aprēķinos parasti tiek izmantotas kohomoloģijas grupas. Tajā pašā laikā atsevišķos jautājumos homoloģijas grupas izrādās ērtākas, tāpēc tās arī tiek pētītas. Algebriskās teorijas daļu, kas nodarbojas ar homoloģijas un kohomoloģijas grupu izpēti (un pielietojumu), sauc par homoloģijas teoriju. Algebriskās teorijas rezultātu pārnešana uz telpām, kas ir vispārīgākas par šūnu telpām, ir tā sauktās vispārējās algebriskās teorijas priekšmets, jo īpaši vispārējā homoloģijas teorija pēta patvaļīgu topoloģisko telpu homoloģijas un kohomoloģijas grupas un to pielietojumu. Izrādās, ka ārpus kompakto šūnu telpu klases dažādas pieejas šo grupu konstruēšanā, vispārīgi runājot, rada atšķirīgus rezultātus, tā ka ne-šūnu topoloģiskām telpām rodas vesela virkne dažādu homoloģiju un kohomoloģijas grupu. Vispārējās homoloģijas teorijas galvenais pielietojums ir dimensiju teorijā un tā saukto dualitātes likumu teorijā (kas apraksta attiecības starp divu topoloģiskās telpas papildu apakškopu topoloģiskām īpašībām), un tās attīstība lielā mērā tika stimulēta. šo teoriju vajadzībām. 4. Daļēji lineāra topoloģija Apakškopu Р О ═ sauc par konusu ar virsotni a un bāzi B, ja katrs tās punkts pieder pie vienas formas ab segmenta, kur b О В. Apakškopu Х О ═ sauc par daudzskaldni, ja kāds no tās punktiem punktiem ir apkaime X, kuras aizvēršana ir konuss ar kompaktu pamatu. Nepārtrauktu daudzskaldņu kartējumu f: X ╝ Y sauc par pa daļām lineāru, ja tas ir lineārs uz jebkura punkta x О X katras konusveida apkārtnes stariem. Savstarpēja lineārā kartēšana, kuras apgrieztā daļa ir arī pa daļām lineāra , sauc par pa daļām lineāro izomorfismu. Pa daļām lineārās teorijas priekšmets ir daudzskaldņu un to pa daļām lineāro kartējumu izpēte. Pa daļām lineārajā teorijā daudzskaldni tiek uzskatīti par identiskiem, ja tie ir pa daļām lineāri izomorfi. Apakškopa X О ═ja un tikai tad, ja tā ir (kompakts) daudzskaldnis, ja tā attēlo (galīgas) izliektu daudzskaldņu saimes savienību. Jebkuru daudzskaldni var attēlot kā vienkāršību savienību, kas krustojas tikai gar veselām sejām. Šo attēlojumu sauc par daudzskaldņu triangulāciju. Katru triangulāciju unikāli nosaka tās vienkāršotā shēma, tas ir, visu tās virsotņu kopa, kurā ir atzīmētas apakškopas, kas ir simpleksu virsotņu kopas. Tāpēc daudzskaldņu vietā varam apsvērt tikai vienkāršas to triangulāciju shēmas. Piemēram, izmantojot vienkāršu shēmu, var aprēķināt homoloģijas un kohomoloģijas grupas. To veic šādi: a) simpleksu, kura virsotnes ir sakārtotas noteiktā veidā, sauc par noteiktas triangulācijas (vai vienkāršotas shēmas) sakārtoto simpleksu K; noteiktas dimensijas n sakārtotu vienkāršojumu formālas lineāras kombinācijas ar koeficientiem no dotās grupas G sauc par n-dimensiju ķēdēm; tie visi dabiski veido grupu, ko apzīmē ar simbolu C n(K; G); b) atņemot virsotni ar skaitli i, 0 £ i £ n, no sakārtotas n-dimensijas simpleksa s, iegūstam sakārtotu (n≈1)-dimensiju simpleksi, kuru apzīmē ar simbolu s(i); ķēdi ═ sauc par robežu s; pēc linearitātes kartējums ═ sniedzas līdz homomorfismam ═: Cn(K; G) ╝ Cn-1 (K; G); c) ķēdes c, kurām ═= 0 sauc par cikliem, tās veido ciklu grupu Zn(K; G); d) formas ═ ķēdes sauc par robežām, tās veido robežu grupu Bn(K; G); e) ir pierādīts, ka Bn(K; G) М Zn(K; G) (robeža ir cikls); tāpēc ir definēta koeficientu grupa Hn(K; G) = Zn(K; G)/ Bn(K; G). Izrādās, ka grupa Hn(K; G) ir izomorfa daudzskaldņa X homoloģijas grupai Hn(X; G), no kuras K ir triangulācija. Līdzīga konstrukcija, kas sākas nevis no ķēdēm, bet no koķēdēm (patvaļīgas funkcijas, kas definētas visu sakārtoto simpleksu kopā un ņemot vērtības G), dod kohomoloģijas grupas. Ar šo konstrukciju, kas šeit parādīta nedaudz pārveidotā formā, pēc būtības sākās algebriskā T veidošanās. Sākotnējā konstrukcijā tika aplūkotas tā sauktās orientētās vienkāršības (sakārtoto vienkāršojumu klases, kas atšķiras ar virsotņu vienmērīgām permutācijām). Šis dizains ir izstrādāts un vispārināts visdažādākajos virzienos. Jo īpaši tā algebriskie aspekti radīja tā saukto homoloģisko algebru. Vispārīgākajā veidā vienkāršotu shēmu var definēt kā kopu, kurā ir atzīmētas noteiktas ierobežotas apakškopas (“vienkāršības”), un ir nepieciešams, lai jebkura simpleksa apakškopa atkal būtu simpleksa. Šāda vienkāršota shēma ir vienkārša shēma kāda daudzskaldņa triangulācijai tad un tikai tad, ja patvaļīgi iezīmētas apakškopas elementu skaits nepārsniedz kādu fiksētu skaitli. Tomēr daudzskaldņa jēdzienu var vispārināt (iegūstot tā saukto “bezgalīga daudzskaldņa”), un tad jebkura vienkāršāka shēma būs kāda daudzskaldņa triangulācijas shēma (ko sauc par tā ģeometrisko realizāciju). Katras topoloģiskās telpas X patvaļīgu atvērtu pārklājumu (Ua) var saistīt ar vienkāršu shēmu, kuras virsotnes ir pārklājuma elementi Ua un kuras apakškopa tiek atzīmēta tad un tikai tad, ja šo apakškopu veido pārklājuma elementi. ir netukšs krustojums. Šo vienkāršo diagrammu (un atbilstošo daudzskaldni) sauc par pārklājošo nervu. Visu iespējamo pārklājumu nervi noteiktā nozīmē tuvina telpu X un, pamatojoties uz to homoloģiju un kohomoloģijas grupām, ar atbilstošu pāreju līdz robežai ir iespējams iegūt paša X homoloģijas un kohomoloģijas grupas. ideja ir gandrīz visu vispārējās homoloģijas teorijas konstrukciju pamatā. Topoloģiskās telpas tuvināšanai ar tās atvērto pārklājumu nerviem arī ir svarīga loma kopumā T. 5. Kolektoru topoloģija Hausdorfa parakompakto topoloģisko telpu sauc par n-dimensiju topoloģisko kolektoru, ja tas ir “lokāli eiklīda”, tas ir, ja katram tās punktam ir apkārtne (ko sauc par koordinātu apkaimi vai karti), kas ir homeomorfa ar topoloģisko telpu. Šajā apkārtnē punkti ir norādīti ar n skaitļiem x1, ┘, xn, ko sauc par vietējām koordinātām. Divu karšu krustpunktā atbilstošās lokālās koordinātas tiek izteiktas viena pret otru, izmantojot noteiktas funkcijas, ko sauc par pārejas funkcijām. Šīs funkcijas definē atvērto kopu homeomorfismu, ko sauc par pārejas homeomorfismu. Vienosimies patvaļīgu homeomorfismu starp atklātajām ═ kopām nosaukt par t-homeomorfismu. Homeomorfisms, kas ir pa daļām lineārs izomorfisms, tiks saukts par p-homeomorfismu, un, ja tas izteikts ar gludām (jebkuru reižu skaitu diferencējamām) funkcijām, ≈ s-homeomorfisms. Pieņemsim, ka a = t, p vai s. Topoloģisko kolektoru sauc par a-kolektoru, ja tā pārklājums ar kartēm ir izvēlēts tā, ka pārejas homeomorfismi jebkurām divām tā (krustojošām) kartēm ir a-homeomorfismi. Šāds pārklājums definē a-struktūru topoloģiskā kolektorā X. Tādējādi t-kolektors ir vienkārši jebkurš topoloģiskais kolektors; p-kolektorus sauc par pa daļām lineāriem kolektoriem. Katrs pa daļām lineārais kolektors ir daudzskaldnis. Visu daudzskaldņu klasē n-dimensiju gabalos lineāros kolektorus raksturo tas, ka jebkuram to punktam ir apkārtne, kas pa daļām ir lineāri izomorfa n-dimensijas kubam. s-kolektorus sauc par gludajiem (vai diferencējamiem) kolektoriem. a-karti a-kolektoru sauc par patvaļīgu nepārtrauktu kartēšanu, ja a = t, ja a = s ≈ patvaļīgu pa daļām lineāru kartēšanu, ja a = s ≈ patvaļīgu vienmērīgu kartēšanu, tas ir, nepārtrauktu kartēšanu, kas rakstīta vietējās koordinātēs ar gludām funkcijām. Viens pret vienu a-karti, kuras apgrieztā daļa ir arī a-karte, sauc par a-homeomorfismu (a = s arī difeomorfismu), a-kolektorus X un Y sauc par a-homeomorfismu (par a = s ≈ difeomorfs), ja eksistē, lai gan būtu viens a-homeomorfisms X ╝ Y. A-kolektoru teorijas priekšmets ir a-kolektoru un to a-kartes izpēte; šajā gadījumā a-homeomorfie a-kolektori tiek uzskatīti par identiskiem. S-variģiju teorija ir daļa no lineārā T. S-varietību teoriju sauc arī par gludo T. Mūsdienu varietātes teorijas galvenā metode ir tās problēmas reducēt uz algebrisko Ts uzdevumiem. dažām atbilstoši konstruētām topoloģiskām telpām. Šī ciešā saikne starp šķirņu teoriju un algebrisko teoriju ļāva, no vienas puses, atrisināt daudzas sarežģītas ģeometriskas problēmas, un, no otras puses, tā krasi stimulēja pašas algebriskās teorijas attīstību.Gludo variantu piemēri ir n- dimensiju virsmas, kurām nav atsevišķu punktu. Izrādās (iegulšanas teorēma), ka jebkurš gluds kolektors ir difeomorfs pret šādu virsmu (ja N ³ 2n + 1). Līdzīgs rezultāts attiecas arī uz a = t, p. Katra p-šķirne ir t-šķirne. Izrādās, ka uz jebkura s-kolektora var dabiskā veidā ieviest p-struktūru (ko parasti sauc par Aithead triangulāciju). Var teikt, ka jebkura a-varietība, kur a = p vai s, ir a▓-varietība, kur a▓ = t vai p. Atbilde uz pretējo jautājumu: uz kuriem a▓-kolektoriem var ieviest a-struktūru (šādu a▓-kolektoru pie a▓ = p sauc par izlīdzināmu, bet pie a▓ = t ≈trijstūrveida), un, ja tā, cik daudz? ≈ ir atkarīgs no izmēra n. Ir tikai divi viendimensijas topoloģiskie kolektori: aplis S1 (kompaktais kolektors) un taisne ═ (nekompaktais kolektors). Jebkuram a = p, s t-kolektoros S1 un ═ ir unikāla a-struktūra. Tāpat uz jebkura divdimensiju topoloģiskā kolektora (virsmas) ir unikāla a-struktūra, un visas kompakti savienotās virsmas var viegli aprakstīt (var aprakstīt arī nekompakti savienotas virsmas, taču atbilde ir sarežģītāka). Lai virsmas būtu homeomorfas, pietiek ar to, ka tās ir homotopijas ekvivalentas. Turklāt jebkuras virsmas homotopijas tipu unikāli raksturo tā homoloģijas grupas. Ir divu veidu virsmas: orientējamas un neorientējamas. Starp orientējamajiem ir sfēra S2 un tors T2. Pieņemsim, ka X un Y ≈ divi savienoti n-dimensiju a-kolektori. Izgriezīsim lodi X un Y (ja n = 2 ≈ disks) un salīmēsim iegūtās robežsfēras (ja n = 2 ≈ aplis). Ievērojot dažus pašsaprotamus piesardzības pasākumus, rezultāts atkal ir dažāds. To sauc par savienotu a-kolektoru X un Y summu un apzīmē ar X#Y. Piemēram, T2#T2 ir kliņģera forma. Sfēra S n ir šī saskaitījuma nulle, tas ir, S n # X = X jebkuram X. Jo īpaši S2 # T2 = T2. Izrādās, ka orientējamā virsma ir homeomorfa sakarīgai summai formā S2#T2#┘#T2, T2 terminu skaitu p sauc par virsmas ģints. Sfērai p = 0, toram p = 1 utt. e) p ģints virsmu var vizuāli attēlot kā sfēru, kurai ir pielīmēti p “rokturi”. Katra neorientējama virsma ir homeomorfa noteikta skaita projekcijas plakņu P2 savienotajai summai P2# ¼ #P2. To var iedomāties kā sfēru, kurai pielīmētas vairākas Mobius loksnes. Uz katra trīsdimensiju topoloģiskā kolektora jebkuram a = p, s ir arī unikāla a-struktūra un ir iespējams aprakstīt visus trīsdimensiju topoloģisko kolektoru homotopijas veidus (tomēr ar homoloģijas grupām tam vairs nepietiek). Tajā pašā laikā līdz šim (1976. gadam) nav aprakstīti visi (vismaz kompakti savienoti) noteiktā homotopijas tipa trīsdimensiju topoloģiskie kolektori. Tas nav izdarīts pat vienkārši savienotiem kolektoriem (visi tie ir homotopijas ekvivalenti sfērai S3). Puankarē minējums apgalvo, ka jebkurš šāds kolektors ir homeomorfs S 3. Attiecībā uz četrdimensiju (kompaktiem un savienotiem) topoloģiskajiem kolektoriem jautājums par a-struktūru esamību un unikalitāti (a = p, s) vēl nav atrisināts, un to homotopijas veids ir aprakstīts tikai, pieņemot vienkāršu saistību. Nav zināms, vai Puankarē minējuma analogs viņiem ir derīgs. Zīmīgi, ka kompaktiem un savienotiem topoloģiskajiem kolektoriem ar izmēru n ³ 5 situācija izrādās pilnīgi atšķirīga: visas galvenās tiem paredzētās problēmas var uzskatīt par principā atrisinātām (precīzāk, reducētas uz algebriskās teorijas problēmām). Jebkuru gludu kolektoru X var iestrādāt kā gludu (n-dimensiju) virsmu; un X pieskares vektori veido kādu jaunu gludo kolektoru TX, ko sauc par gludā kolektora X pieskares kopu. Kopumā vektoru kopa virs topoloģiskās telpas X ir topoloģiskā telpa E, kurai nepārtraukta kartēšana p: E ╝ X dots tā, ka katram punktam x О X apgrieztais attēls v (slānis) ir vektora telpa un telpai X ir atvērts pārklājums (Ua) tā, ka jebkuram a apgrieztais attēls p≈1(Ua) ir homeomorfs. uz reizinājumu Ua ` , un pastāv homeomorfisms p≈1(Ua) ╝ Ua ` , kas lineāri kartē katru slāni p≈1(x), x О Ua uz vektoru telpu (x) ` . Ja E = TX, nepārtrauktā kartēšana p saista ar katru pieskares vektoru tā pieskares punktu tā, ka slānis p≈1(x) būs telpas pieskares X punktā x. Izrādās, ka jebkurš vektoru kopums virs kompaktas telpas X definē kādu KO(X) grupas elementu. Tādējādi it īpaši jebkuram gludam, kompaktam un savienotam kolektoram X grupā KO(X) ir definēts elements, kas atbilst pieskares saišķim. To sauc par gludas variācijas X tangenciālo invariantu. Šai konstrukcijai ir analogs jebkuram a. Ja a = p, grupas KO(X) lomu spēlē kāda cita grupa, ko apzīmē ar KPL(X), bet a = t gadījumā šīs grupas lomu spēlē grupa, kas apzīmēta ar KTop(X). Katrs a-variets X attiecīgajā grupā [KO(X), KPL(X) vai KTop(X)] definē kādu elementu, ko sauc par tā a-tangenciālo invariantu. Ir dabiski homomorfismi KO(X) ╝ KPL(X) ╝ KTop(X), un izrādās, ka uz n-dimensiju (n ³ 5) kompakta un savienota a"-kolektors X, kur a" = t, p , tad tikai tad var ieviest a-struktūru (a = p, ja a" = t, un a = s, ja a" = p), ja tās a"-tangenciālais invariants atrodas atbilstošās grupas attēlā. šādas struktūras ir ierobežotas un vienādas ar kopas kādas koeficientu kopas skaitļa elementiem, kur Ya ≈ kāda speciāli konstruēta topoloģiskā telpa (ja a = s topoloģiskā telpa Ya parasti tiek apzīmēta ar simbolu PL/O, bet a = p ≈ ar simbolu Top/PL). Tādējādi jautājums par a- struktūras esamību un unikalitāti reducējas uz kādu problēmu homotopijas teorijā. Topoloģiskās telpas PL/O homotopijas tips ir diezgan sarežģīts un vēl nav pilnībā izveidots. aprēķināts (1976); tomēr ir zināms, ka pi(PL/O) = 0 i £ 6, kas nozīmē, ka jebkurš pa daļām lineārs kolektors ar izmēru n £ 7 ir unikālā veidā izlīdzināms n £ 6. pretēji, topoloģiskās telpas Top/PL homotopijas veids izrādījās pārsteidzoši vienkāršs: šī telpa ir homotopija, kas ir ekvivalenta K(ℤ2, 3). Līdz ar to gabalos lineāro struktūru skaits topoloģiskā kolektorā nepārsniedz H 3(X, ℤ2) grupas elementu skaitu. Šādas struktūras noteikti pastāv, ja H 4(X, ℤ2) = 0, bet H 4(X, ℤ2) ¹ 0 gabalos lineāra struktūra var nebūt. Jo īpaši uz sfēras S n ir unikāla gabalos lineāra struktūra. Uz sfēras S n var būt daudz gludu struktūru, piemēram, uz S 7 ir 28 dažādas gludas struktūras. Uz tora T n (apļa S 1 n kopiju topoloģiskais produkts) priekš n ³ 5 eksistē daudzas dažādas gabalos lineāras struktūras, kurām visām ir gluda struktūra. Tādējādi, sākot no 5. dimensijas, pastāv homeomorfi, bet ne difeomorfi gludi kolektori; sfēras ar šo īpašību pastāv, sākot no 7. dimensijas. Visu n-dimensiju (n ³ 5) savienoto kompakto a-kolektoru aprakstīšanas problēmu (līdz a-homeomorfismam) dabiski var atrisināt divos posmos: meklēt nosacījumus homotopijas ekvivalencei a-kolektoru un nosacījumu a-homeomorfisms homotopijas ekvivalentu a-kolektoru. Pirmā problēma attiecas uz homotopijas teoriju un tās ietvaros var uzskatīt par pilnībā atrisinātu. Arī otrā problēma būtībā ir pilnībā atrisināta (vismaz vienkārši savienotiem a-kolektoriem). Tā risinājuma pamatā ir “roktura sadalīšanās” tehnikas pārnešana uz augstākām dimensijām. Izmantojot šo paņēmienu, ir iespējams, piemēram, pierādīt Puankarē minējumus n-dimensiju (n ³ 5) topoloģiskajiem kolektoriem (savienots kompakts topoloģiskais kolektors, kas homotopijā ir līdzvērtīgs sfērai un ir tai homeomorfs). Kopā ar a-kolektoriem mēs varam uzskatīt tā sauktos a-kolektorus ar robežu; tiem raksturīgs tas, ka dažu to punktu (kas veido malu) apkārtnes ir a-homeomorfas telpas pustelpai Xn ³ 0. Robeža ir (n≈1) dimensijas a-kolektors (vispārīgi runājot, atvienots). Tiek uzskatīts, ka divi n-dimensiju kompaktie a-kolektori X un Y ir (kop)bordanti, ja pastāv (n+1)-dimensiju kompaktais a-kolektors ar robežu W tā, ka tā robeža ir nesadalītu gludu kolektoru savienojums a- homeomorfs X un Y Ja iegulšanas kartējumi X ╝ W un Y ╝ W ir homotopijas ekvivalences, tad gludos kolektorus sauc par h-kobordantu. Izmantojot roktura dekompozīcijas metodes, var pierādīt, ka n ³ 5 vienkārši savienoti kompaktie a-kolektori ir a-homeomorfi, ja tie ir h-kobordanti. Šī h-kobordisma teorēma nodrošina spēcīgāko veidu, kā noteikt a-kolektoru a-homeomorfiju (jo īpaši Puankarē minējums ir tā sekas). Līdzīgs, bet sarežģītāks rezultāts attiecas arī uz nevienkārši savienotiem a-kolektoriem. Koborantu kompakto a-kolektoru ═ klašu kolekcija ir komutatīva grupa attiecībā uz savienotās summas darbību. Šīs grupas nulle ir a-kolektoru klase, kas ir malas, tas ir, līdzvērtīgi nullei. Izrādās, ka šī grupa pie a = s ir izomorfa kādas īpaši konstruētas topoloģiskās telpas MO (n+1), ko sauc par Toma telpu, homotopijas grupai p2n+1MO (n+1). Līdzīgs rezultāts rodas a = p, t. Tāpēc algebriskās teorijas metodes principā ļauj aprēķināt grupu. Konkrēti, izrādās, ka grupa ═ ir tieša grupu ℤ2 summa tādā daudzumā, kas vienāds ar skaitļa n nodalījumu skaitu terminos, kas nav skaitļi formā 2m≈

Piemēram, = 0 (tātad katrs trīsdimensiju kompaktais gludais kolektors ir mala). Gluži pretēji, ═= ℤ2, tātad ir virsmas, kas ir līdzvērtīgas viena otrai un nav līdzvērtīgas nullei; tāda virsma, piemēram, ir projekcijas plakne P

M. M. Postņikovs.

6. Topoloģijas attīstības galvenie posmi

Daži topoloģiskā rakstura rezultāti tika iegūti 18. un 19. gadsimtā. (Eilera teorēma par izliektiem daudzskaldņiem, virsmu klasifikācija un Džordana teorēma, ka vienkārša slēgta līnija, kas atrodas plaknē, sadala plakni divās daļās). 20. gadsimta sākumā. tiek izveidots vispārējais telpas jēdziens telpā (metrika ≈ M. Fréchet, topoloģiskā ≈ F. Hausdorfs), rodas dimensiju teorijas sākotnējās idejas un tiek pierādītas vienkāršākās teorēmas par nepārtrauktiem kartējumiem (A. Lebesgue, L. Brouwer) , tiek ieviesti daudzskaldņi (H. Puankarē) un noteikti to tā sauktie Betti skaitļi. 20. gadsimta pirmais ceturksnis. beidzas ar vispārējās topoloģijas uzplaukumu un Maskavas topoloģiskās skolas izveidi; tiek likti dimensiju vispārīgās teorijas pamati (P. S. Urisons); topoloģisko telpu aksiomatikai tiek piešķirta mūsdienu forma (P. S. Aleksandrovs); konstruēta kompakto telpu teorija (Aleksandrovs, Urisons) un pierādīta teorēma par to reizinājumu (A. N. Tihonovs); pirmo reizi tiek doti nepieciešami un pietiekami nosacījumi telpas metrējamībai (Aleksandrovs, Urisons); tiek ieviests lokāli ierobežota seguma jēdziens (Aleksandrovs) [uz kura pamata 1944. gadā Dž.Djedonē (Francija) definēja parakompaktas telpas]; tiek ieviestas pilnīgi regulāras telpas (Tihonovs); tiek definēts nerva jēdziens un līdz ar to tiek dibināta vispārējā homoloģijas teorija (Aleksandrovs). E. Noetera ietekmē Betti skaitļi tiek atzīti par homoloģijas grupu rindām, kuras tāpēc arī sauc par Betti grupām. L. S. Pontrjagins, pamatojoties uz savu rakstzīmju teoriju, pierāda dualitātes likumus slēgtām kopām.

20. gadsimta 2. ceturksnī. Turpinās vispārējās teorijas un homoloģijas teorijas attīstība: Tihonova ideju attīstībā A. Stouns (ASV) un E. Čehs ievieš tā saukto akmeni ≈ Čehova jeb maksimālo, (bi)kompakto pilnīgi regulāras telpas paplašinājumu; tiek definētas patvaļīgu telpu homoloģijas grupas (Cech), reizināšana tiek ieviesta kohomoloģijas grupās (J. Aleksandrs, A. N. Kolmogorovs) un konstruēts kohomoloģijas gredzens. Šajā laikā algebriskajā teorijā valdīja kombinatoriskās metodes, kuru pamatā bija vienkāršotu shēmu apsvēršana; Tāpēc algebrisko teoriju dažreiz joprojām sauc par kombinatorisko teoriju.Tiek ieviestas tuvuma telpas un vienmērīgas telpas. Homotopiju teorija sāk intensīvi attīstīties (H. Hopfs, Pontrjagins); definētas homotopijas grupas (V. Gurevičs, ASV) un to aprēķināšanai tiek piemēroti gludās teorijas apsvērumi (Pontrjagins). Formulētas homoloģijas un kohomoloģijas grupu aksiomas (N. Stīnrods un S. Eilenbergs, ASV). Rodas saišķu teorija (H. Vitnija, ASV; Pontrjagins); tiek ieviestas šūnu telpas (J. Whitehead, UK).

20. gadsimta 2. pusē. PSRS veidojas padomju vispārējās teorijas un homoloģijas teorijas skola: tiek strādāts pie dimensiju teorijas, metrizācijas problēmas, (bi)kompakto paplašinājumu teorijas, vispārējās nepārtrauktās kartēšanas teorijas (faktoriālās, atvērts, slēgts), jo īpaši absolūto teoriju; tā saukto kardinālo vērtību invariantu teorijas (A. V. Arhangeļskis, B. A. Pasiņkovs, V. I. Ponomarjovs, E. G. Skļarenko, Ju. M. Smirnovs u.c.).

Ar vairāku zinātnieku pūlēm (J. P. Serres un A. Cartan Francijā, M. M. Postņikovs PSRS, Vaitheds u.c.) beidzot tika izveidota homotopiju teorija. Šajā laikā ASV, Lielbritānijā un citās valstīs tika izveidoti lieli algebriskās teorijas centri; atjaunojas interese par ģeometrisko teoriju.Tiek izveidota vektoru kūļu teorija un K-funktors (M. Atiyah, Lielbritānija; F. Hirzebruch, Vācija), algebras teorija tiek plaši izmantota gludajā teorijā (R. Toms, Francija) un algebriskā ģeometrija (Hirzebruch ); Tiek izstrādāta (ko)bordismu teorija (V.A.Roklins, PSRS; Toms, S.P. Novikovs) un izlīdzināšanas un triangulējamības teorija (J.Milnors, ASV).

Tehnoloģiju attīstība turpinās visos virzienos, un tās pielietojuma apjoms nepārtraukti paplašinās.

A. A. Malcevs.

═Atsauce: Aleksandrovs P.S., Ievads vispārīgajā kopu un funkciju teorijā, M.≈L., 1948; Parkhomenko A. S., Kas ir līnija, M., 1954; Pontryagin L.S., Kombinatoriskās topoloģijas pamati, M.≈L., 1947; viņa autors, Continuous Groups, 3. izdevums, M., 1973; Milnor J., Wallace A, Diferenciālā topoloģija. Sākuma kurss, trans. no angļu val., M., 1972; Steenrod N., Chinn W., Pirmie topoloģijas jēdzieni, trans. no angļu val., M., 1967; Aleksandrovs P. S., Kombinatoriskā topoloģija, M.≈L., 1947; Aleksandrovs P. S., Pasynkov B. A., Ievads dimensiju teorijā. Ievads topoloģisko telpu teorijā un vispārīgajā dimensiju teorijā, M., 1973; Aleksandrovs P.S., Ievads dimensiju homoloģiskajā teorijā un vispārējā kombinatoriskajā topoloģijā, M., 1975; Arhangeļskis A.V., Ponomarevs V.I., Vispārējās topoloģijas pamati problēmās un vingrinājumos, M., 1974; Postņikovs M. M., Ievads Morzes teorijā, M., 1971; Bourbaki N., Vispārējā topoloģija. Pamatstruktūras, trans. no franču valodas, M., 1968; viņa, vispārējā topoloģija. Topoloģiskās grupas. Skaitļi un saistītās grupas un atstarpes, trans. no franču valodas, M., 1969; viņa, vispārējā topoloģija. Reālo skaitļu izmantošana vispārējā topoloģijā. Funkcionālās telpas. Rezultātu kopsavilkums. Vārdnīca, tulk. no franču valodas, M., 1975; Kuratovskis K., Topoloģija, tulk. no angļu val., 1≈2 sēj., M., 1966≈69; Lang S., Ievads diferencējamo kolektoru teorijā, trans. no angļu val., M., 1967; Spenier E., Algebriskā topoloģija, trans. no angļu valodas, M., 1971.

Topoloģija (noskaidrošana)

Topoloģija:

Topoloģija ir matemātikas nozare, kas pēta nepārtrauktības fenomenu tās vispārīgākajā formā.
Topoloģija ir kopu sistēma, ko izmanto topoloģiskās telpas noteikšanai.
Tīkla topoloģija ir tīkla ierīču atrašanās vietas un savienojuma diagramma.

Vārda topoloģija lietojuma piemēri literatūrā.

Pontrjagins, ar kura pūlēm tika izveidota jauna matemātikas nozare - topoloģiskā algebra -, kas pēta dažādas algebriskās struktūras, kas apveltītas ar topoloģija.

Un nevar saprast histoloģiju bez hidroloģijas, hidroloģiju bez ģeoloģijas, ģeoloģiju bez ģeogrāfijas, ģeogrāfiju bez topogrāfijas, topogrāfiju bez topoloģija un viss kopā bez omneoloģijas, un omneoloģija - bez tabulām.

Mēs nesapratām histoloģiju, mēs nesapratām hidroloģiju, hidrogrāfiju, ģeogrāfiju, topogrāfiju, topoloģija.

Kopumā šī pieeja ietver tīkla dokumentēšanu topoloģija, izmantotās lietojumprogrammas un protokoli.

Tāpēc viņš turpināja, izmantojot arvien sarežģītākus terminus, atsaucoties uz topoloģija apziņas un ieskata garu un ģeometriju, izklāstot endoskopiskās ontogrāfijas elementus, emocionālās dzīves klimatizāciju, tās līmeņus, galējības, kāpumus, kritumus, kā arī gara kritumus, un tērzēja tik ilgi, ka kļuva aizsmakusi, un karalis bija galvassāpes.

Kartes topoloģija Pasta maršrutēšana ir noderīga, lai atrisinātu problēmas saistībā ar pasta pārsūtīšanu starp serveriem.

Tāpat mēs ceram redzēt augstāka līmeņa risinātāju bibliotēku, kas kārto atbildes, pamatojoties uz informāciju par topoloģija, kas pastāv tikai klienta resursdatorā.

Tas nozīmē, ka tīkls topoloģija un segmentācija kļūst par svarīgu aizsardzības faktoru.

Galu galā būtībā jebkura teorija ir saistīta ar topoloģija attēli, un jebkura ontoloģija ir nekas vairāk kā universālu attēlu deduktīvs komplekss, kas induktīvi saistīts ar empīrisko realitāti.

Radīt topoloģija attālos serverus, vispirms nosakiet datu bāzes, kurām darbstacijas un serveri piekļūs visbiežāk.

Proti – kontinuuma pasaulē topoloģija tās iekšējie savienojumi ļauj mums izveidot vidi, kurā intersubjektivitāte kļūst par racionalitātes sadalījuma funkciju tajā.

Tas ir, pēc objektivista domām topoloģija Korpuskulārajā pasaulē intersubjektivitātes problēma tajā tiek risināta ar starpsubstantiālā mediatora palīdzību.

Mēs runājam par dažiem topoloģijas telpas, kas sakrīt viena otrā, pārvēršas viena otrā, tāpat kā burti parādās dažādos aspektos vai mijas loga monogrammā.

Tomēr mazās organizācijās šis topoloģija garantē ātru datu atjaunināšanu.

Jo jūs plānojat topoloģija, Jums vajadzētu apsvērt un topoloģija pasta trafiku un replikāciju.

Windows Phone lietotne darbvirsmai Windows Phone lietotne darbvirsmai

Kā aizņemties naudu no Kyivstar mobilajam tālrunim?

Pārskats par Android viedtālruni Motorola Moto Z2 Play: modularitāte otrās paaudzes Moto z2 atskaņošanas modeļos

Kā dalīties ar gigabaitiem Tele2: pakalpojums “Kopīgot gigabaitus” - mēs atdodam papildu internetu vai paņemam trūkstošo Kā piešķirt interneta trafiku Tele2 citam abonentam