ჯერჯერობით, შევისწავლეთ ერთი ცვლადის ფუნქცია, ანუ. ცვლადის შესწავლა, რომელთა ღირებულებები დამოკიდებულია ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ღირებულებებზე.
პრაქტიკაში, ხშირად აუცილებელია ღირებულებების მოგვარება, რომელთა რიცხვითი ღირებულებები დამოკიდებულია ერთმანეთის დამოუკიდებლად რამდენიმე ცვლადის ღირებულებებზე. ასეთი ღირებულებების შესწავლა იწვევს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფციას. ჩვენ რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ.
მაგალითი 1. მართკუთხედის არეალს აქვს ორი დამოუკიდებლად შეცვლის ცვლადი ცვლადების ფუნქცია - ოთხკუთხედის მხარეები და:.
მაგალითი 2. ქსელის ტერიტორიაზე ელექტროენერგიის მოქმედების ოპერაცია დამოკიდებულია პოტენციურ განსხვავებაზე სექციის, მიმდინარე და დრო ძალების დასასრულს:.
მაგალითი 3. ტემპერატურა სხვადასხვა სახის სხვადასხვა წერტილებში არის ფუნქცია კოორდინაციისგან, რომელშიც ის იზომება და დროის მომენტში:.
განმარტება 1. სახელი ნ. -გაზომვის წერტილი უბრძანა ნომრები. ნომრები ეწოდება კოორდინატები - განზომილებიანი წერტილი. ბევრი ყველა სახის განზომილებიანი ქულა ზარი n- განზომილებიანი სივრცე და ჩვენ აღვნიშნავთ მას. ეწვიეთ წერტილს კოორდინატების დასაწყისი განზომილებიანი სივრცე და ნომერი - განზომილება სივრცე.
კერძო შემთხვევები:
1. - ნომერი სწორი ხაზი;
2. - თვითმფრინავი;
3. სამგანზომილებიანი სივრცე.
განმარტება 2. მოდით ცვლადი ღირებულებები, და თითოეული კომპლექტი მათი ღირებულებები ზოგიერთი კომპლექტი შეესაბამება ერთი სრულიად განსაზღვრული ღირებულება ცვლადი ღირებულების. შემდეგ ამბობენ, რას სთხოვენ ფუნქცია რამდენიმე ცვლადები
ცვლადები ეწოდება დამოუკიდებელი ცვლადები ან არგუმენტები , – დამოკიდებული ცვლადი , სიმბოლო - შესაბამისობის კანონი .
ისევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია, რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია შეიძლება შეიქმნას. აშკარა - ᲛᲔ. დაკვეთია – .
რამდენიმე ცვლადის ნებისმიერი მკაფიო ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც განზომილებიანი სივრცის ფუნქციად: სადაც წერტილი განისაზღვრება მისი კოორდინატების კომპლექტით.
თუ თითოეული წერტილიდან განსაზღვრული ფართობი შეესაბამება ერთ ღირებულებას, მაშინ ფუნქცია ეწოდება ცულწამაკალი , წინააღმდეგ შემთხვევაში - მრავალვალიერებელი .
ბევრი მოუწოდა ფუნქციის განმარტება ფართობი ეს არის განზომილებიანი სივრცის ქვესადგური. როგორც უფსკრული ფართობი შეიძლება იყოს დაკეტილი ან ო. tkryta დამოკიდებულია თუ არა მისი საზღვარი თუ არა.
ბუნებრივი საველე განმარტება ფუნქციები (1) ეწოდება სხვადასხვა ქულა, რომელთა კოორდინატები ნათლად უზრუნველყოფენ ფუნქციის რეალურ და საბოლოო ღირებულებებს. მომავალში, თუ დამოუკიდებელი ცვლადების ცვლილების შესახებ დამატებითი შეზღუდვები არ არის დაკისრებული პრობლემის დადგენისას, ფუნქციის განსაზღვრისას, ჩვენ გულისხმობს მისი ბუნებრივი დონის განსაზღვრის.
მოდი განვიხილოთ უფრო დეტალურად ორი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომლებიც ყველაზე მარტივი და გეომეტრიული ინტერპრეტაციის საშუალებას იძლევა.
1. ორი ცვლადის ფუნქცია ( ნ. = 2)
ორი ცვლადის ფუნქცია აღინიშნება. ფუნქციის კონკრეტული ღირებულება, როდესაც, ან წერტილში არის დაწერილი ფორმა, ან.
ფუნქციის განსაზღვრის ფუნქცია არის კოორდინირებული თვითმფრინავის ქონების ქვესადგური. კერძოდ, ფუნქციის განსაზღვრის ფუნქცია შეიძლება იყოს მთლიანი თვითმფრინავი ან თვითმფრინავების ნაწილი. ხაზი, რომელიც ამ ტერიტორიის შეზღუდვას ეწოდება საზღვარი ტერიტორიები. თვითმფრინავის ქულები, რომლებიც საზღვარზე არ იტყუება შინაგანი .
მაგალითი 4. ფუნქცია განისაზღვრება თვითმფრინავით.
მაგალითი 5. ფუნქციები განისაზღვრება მთელ თვითმფრინავზე, გარდა პირდაპირი.
მაგალითი 6. საველე დეფინიციის ფართობი არის თვითმფრინავის ქულების კომპლექტი, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს ურთიერთობას, ანუ. რადიუსის წრე 1 და ცენტრის კოორდინატების დასაწყისში. ამ ფუნქციის განმარტება დახურულია.
შემდეგი მაგალითი უფრო დეტალურად განიხილავს.
მაგალითი 7. მოძებნა ფუნქცია განმარტება ფართობი.
გადაწყვეტილება.
ლოგარითმი განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი ღირებულებით, ამიტომ არგუმენტებისთვის ერთი პირობაა:.
გეომეტრიულად წარმოაჩინოს, ჩვენ პირველ რიგში აღმოვაჩენთ მას:. შედეგად განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლას, რომლის ვეტერინარი მდებარეობს იმ წერტილამდე, ხოლო ღერძი ღერძის პოზიტიურ მხარეს მიმართულია.
|
შესაბამისად, სასურველი ტერიტორია შედგება პარაბოლას შიდა პუნქტებზე. Parabola თავად რეგიონში არ შედის, ეს ნიშნავს, რომ ტერიტორია ღიაა.
განმარტება 3.პუნქტებს ეწოდება ღია წრე, რომელიც შეიცავს წერტილს.
კერძოდ, ეს არის ღია წრე ცენტრში წერტილი და რადიუსი.
ცხადია, თვითმფრინავზე წრე არის ორი განზომილებიანი ანალოგი ინტერვალით სწორი ხაზით.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების შესწავლისას, უკვე განვითარებული მათემატიკური აპარატი გამოიყენება ერთ ცვლადის ფუნქციისთვის მრავალი გზით. კერძოდ: ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება შეესაბამებოდეს ერთ ცვლადს წყვილი ფუნქციებს: ფიქსირებული ღირებულებით, ფუნქციით და ფიქსირებული ღირებულების ფუნქციით.
უნდა გაითვალისწინოს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციები და იგივე "წარმომავლობა", მათგან განსხვავებით განსხვავდება.
მაგალითი 9. განვიხილოთ ფუნქცია. ფუნქცია არის ძალა, და ფუნქცია მიუთითებს.
ორი ცვლადის ფუნქციის გეომეტრიული იმიჯი.
როგორც ცნობილია, ერთი ცვლადის ფუნქცია შეიძლება თვითმფრინავის გარკვეულ მრუზზე გამოსახული იყოს, თუ ჩვენ განვიხილავთ მისი არგუმენტის ღირებულებებს, როგორც აბსცესი, და ფუნქციის ღირებულებები, როგორც კოორდინაციის წერტილი მრუდი.
ანალოგიურად, ორი ცვლადის ფუნქცია შეიძლება ასახული გრაფიკულად.
განვიხილოთ ის ფუნქცია თვითმფრინავის ტერიტორიაზე და მართკუთხა კარტიზიის კოორდინატების სისტემაში. კომპლექტის თითოეული პუნქტი ადგენს სივრცის წერტილს, რომლის გამოყენებაც ფუნქციის ღირებულებას უტოლდება:. კომპლექტი ყველა ასეთი ქულა არის გარკვეული ზედაპირზე, რომ ფუნქცია ბუნებრივად მიღებულია გრაფიკული იმიჯი.
ორი ცვლადის 4.გრამა სამგანზომილებიანი სივრცის კომპლექტი ეწოდება აპლიკაციას, რომელიც დაკავშირებულია Abscissa- სთან და ხელშეკრულებულ ფუნქციურ თანაფარდობასთან.
|
2. სამი ცვლადის ფუნქცია (n \u003d 3)
ჩვენ აღვნიშნავთ სამი ცვლადის ფუნქციას და ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ დამოუკიდებელი ცვლადები (ან არგუმენტები) და არის დამოკიდებული ცვლადი (ან ფუნქცია).
განმარტება ფართობი ასეთი ფუნქცია ეწოდება ყველა ნომრის კომპლექტს. თუ ფუნქცია განსაზღვრულია ანალიტიკულად, მისი ბუნებრივი დონის განსაზღვრის ქვეშ შეაფასეთ სამივე ნომრის კომპლექტი, რისთვისაც ფუნქცია მოქმედებს.
განმარტება 6.შეიძლებაპუნქტები ეწოდება ნებისმიერ ღია სფეროს, რომელიც შეიცავს წერტილს.
კერძოდ, ინდუსტრია ეწოდება ღია სფეროს ცენტრში წერტილი და რადიუსი.
სივრცის ფართების სამი ნომრის გამოსახულება, შეიძლება განიხილოს სამი ცვლადის ფუნქცია, როგორც სივრცის წერტილის ფუნქცია და სამი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრის სფერო, როგორც სივრცის ქულების კომპლექტი.
მრავალ ცვლადების ფუნქციები
§ one. ბევრი ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია.
Იყოს ნ. ცვლადები. თითოეული კომპლექტი 
აღნიშნავს წერტილს ნ.-
განზომილებიანი კომპლექტი 
(გვ გვ- განზომილებიანი ვექტორი).
მოცემული კომპლექტი 
და 
.
OPR. თუ ყველა წერტილი 
განათავსეთ ერთადერთი ნომერი 
, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ რიცხვითი ფუნქცია არის მითითებული ნ. ცვლადები:
.
იხილეთ განმარტება ფართობი 
- ამ ფუნქციის მრავალრიცხოვანი ღირებულებები.
Როდესაც ნ.\u003d 2 ნაცვლად 
ჩვეულებრივ წერენ x.,
y.,
ზ.. მაშინ ორი ცვლადის ფუნქციაა:
ზ.= ვ.(x., y.).
Მაგალითად, 
- ორი ცვლადის ფუნქცია;
- სამი ცვლადის ფუნქცია;
ხაზოვანი ფუნქცია ნ. ცვლადები.
OPR. დიაგრამა გრაფიკი ნ. ცვლადები ეწოდება ნ.-
განზომილებიანი ჰიპერმურის სივრცეში 
, თითოეული პუნქტი, რომელსაც ეძლევა კოორდინატები
მაგალითად, ორი ცვლადის ფუნქციის გრაფა ზ.=
ვ.(x.,
y.)
არის ზედაპირზე სამგანზომილებიანი სივრცე, რომელთა თითოეული პუნქტი მოცემულია კოორდინატებით ( x.,
y.,
ზ.)
სად 
, ᲛᲔ. 
.
მას შემდეგ, რაც სამი და მეტი ცვლადების ფუნქციების გრაფიკი არ არის შესაძლებელი, ჩვენ ძირითადად (სიწმინდე) განვიხილავთ ორ ცვლადს ფუნქციებს.
ორი ცვლადის ფუნქციების გრაფიკების მშენებლობა საკმაოდ გამოწვევაა. მისი გამოსავლის მნიშვნელოვანი დახმარება შეიძლება აშენდეს ე.წ. დონის ხაზებით.
OPR. ორი ცვლადის ფუნქციის ხაზის დონე ზ.= ვ.(x., y.) მოუწოდა ბევრი ქულა თვითმფრინავი ჰოუ.რომლებიც თვითმფრინავის პარალელის გრაფიკის გადაკვეთის პროექტს წარმოადგენს ჰოუ. დონის ხაზის თითოეულ პუნქტში ფუნქცია აქვს იგივე ღირებულებას. დონის ხაზები აღწერილია განტოლებაში ვ.(x., y.) \u003d სსად -ით - ზოგიერთი ნომერი. ხაზის ხაზები უსასრულოდ ბევრად არის და თითოეული პუნქტის მეშვეობით, თქვენ შეგიძლიათ ერთ-ერთი მათგანი გაატაროთ.
OPR. ფუნქციის დონე ზედაპირზე ნ. ცვლადები y.=
ვ.
(
) Hypersurface სივრცეში 
, ყოველ მომენტში, რომელთა ღირებულება ფუნქციის ღირებულება მუდმივად და ტოლია -ით. ზედაპირის ზედაპირის განტოლება: ვ.
(
)\u003d s.
მაგალითი. ორი ცვლადის ფუნქციის გრაფის აშენება
.
.
როდესაც C \u003d 1: 
;
.
როდესაც C \u003d 4: 
;
.
როდესაც C \u003d 9: 
;
.
დონე ხაზი - კონცენტრირებული წრეები, რადიუსი, რომელიც მცირდება იზრდება ზ..
§2. ბევრი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა.
მრავალი ცვლადის ფუნქციებისათვის იგივე ცნებები განისაზღვრება, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის. მაგალითად, ფუნქციის ლიმიტისა და უწყვეტობის განსაზღვრა შესაძლებელია.
OPR. რიცხვი ეწოდება ორი ცვლადის ლიმიტის ფუნქციას. ზ.=
ვ.(x.,
y.)
-თვის 
,
და აღნიშნავს 
თუ რაიმე დადებითი რიცხვი 
არსებობს დადებითი რიცხვი 
, როგორიცაა თუ წერტილი 
ამოღებულ იქნა წერტილიდან 
მანძილი ნაკლები 
, შემდეგ ღირებულებები ვ.(x.,
y.)
და განსხვავდება ნაკლები 
.
OPR. თუ ფუნქცია ზ.=
ვ.(x.,
y.)
განსაზღვრული წერტილი 
და აქვს ლიმიტი ამ ეტაპზე ფუნქციის ღირებულებას 
, მაშინ მას უწოდებენ უწყვეტი ამ ეტაპზე.
.
§3. მრავალი ცვლადის პირადი დერივატივები.
განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქცია 
.
ერთი მისი არგუმენტის ღირებულება, მაგალითად 
უუცურება 
. შემდეგ ფუნქცია 
არსებობს ერთი ცვლადი ფუნქცია 
. ნება მომეცით დერივატირებული წერტილი 
:
.
ეს წარმოებული ეწოდება ფუნქციის პირადი წარმოებული (ან კერძო დერივატიური) 
გასწვრივ 
წერტილი 
და მითითებულია: 
;
;
;
.
განსხვავება ეწოდება კერძო ზრდას 
და აღნიშნავს 
:
ზემოაღნიშნული აღნიშვნების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ ჩაწეროთ
.
ანალოგიურად განისაზღვრა
.
პირადი წარმოებული ერთ-ერთი ცვლადის მიხედვით რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები არის ფუნქციის პროპორციების ლიმიტი, რომელიც დამოუკიდებელ ცვლადს, როდესაც ეს ნამსხვრევა ნულოვანია.
ნებისმიერი არგუმენტისთვის კერძო წარმოების მოძიებისას, სხვა არგუმენტები მუდმივად ითვლება. ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირების ყველა წესი და ფორმულები მოქმედებს მრავალი ცვლადის კერძო წარმოებულებისთვის.
გაითვალისწინეთ, რომ კერძო დერივატივები იმავე ცვლადების ფუნქციებია. ეს თვისებები, თავის მხრივ, შეიძლება ჰქონდეს კერძო დერივატივები მეორე კერძო დერივატივები (ან მეორე რიგგარეშე პირადი დერივატივები) წყარო ფუნქცია.
მაგალითად, ფუნქცია 
მას აქვს ოთხი მეორე რიგის კერძო დერივატივები, რომლებიც მითითებულია შემდეგნაირად:
;
;
;
.
და 
- შერეული კერძო დერივატივები.
მაგალითი.მოძებნა მეორე რიგის პირადი დერივატივები ფუნქცია
.
გადაწყვეტილება.
,
.
,
.
, 
.
Ამოცანა.
1. იპოვეთ მეორე რიგის პირადი დერივატივები ფუნქციებისთვის
,
;
2. ფუნქციისთვის 
დაამტკიცეთ ეს 
.
სრული დიფერენცირება ბევრი ცვლადების ფუნქციები.
ღირებულებების ერთდროული ცვლილებით თ.და w. ფუნქციონირება 
შეცვალეთ ღირებულება ფუნქციის სრული ნამატი ზ.
წერტილი 
. ასევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, წარმოშობის სავარაუდო ჩანაცვლების ამოცანა 
ხაზოვანი ფუნქციის შესახებ 
და 
. ხაზოვანი დაახლოების როლი ასრულებს სრული დიფერენცირება ფუნქციები:
სრული მეორე რიგის დიფერენციალი:
=
.
=
.
ზოგადად, სრული დიფერენცირება გვ გვშეკვეთა აქვს ფორმა:
დერივაციული მიმართულებით. გრადიენტი.
მოდით ფუნქცია ზ.=
ვ.(x.,
y.)
განსაზღვრული ზოგიერთი სამეზობლოში M ( x.,
y.) ᲛᲔ. 
- ერთი ვექტორი მიერ განსაზღვრული გარკვეული მიმართულება 
. ერთეული ვექტორული კოორდინატები გამოხატულია კოორდინატების ვექტორული და ღერძების მიერ ჩამოყალიბებული კუთხით და უწოდებენ:
,
.
როდესაც მოძრავი წერტილი M ( x.,
y.) ამ მიმართულებით ლ.
ზუსტად 
ფუნქციონირება ზ. მიიღეთ ნამატი
ამ მიმართულებით ფუნქციის გაზრდა ლ..
თუ MM 1 \u003d δ ლ.თ.
თ.
გარშემო
ფუნქციები ზ.=
ვ.(x.,
y.)
მიმართ
ამ მიმართულებით ფუნქციის გაზრდის თანაფარდობა ამ მიმართულებით მოძრაობის მასშტაბებს δ ლ.
როდესაც ეს უკანასკნელი ცდილობს ნულოვანს:
Derivative მიმართულებით ახასიათებს ამ მიმართულებით ფუნქციის შეცვლის მაჩვენებელს. ცხადია, კერძო დერივატივები 
და 
წარმოადგენენ წარმოებულებს ღერძების პარალელურად ოსი.
და ომი.. ადვილია აჩვენოს, რომ
მაგალითი. გამოთვალეთ დერივაციული ფუნქცია 
პუნქტში (1; 1) მიმართულებით 
.
OPR. გრადიენტი ფუნქციები ზ.= ვ.(x., y.) ვექტორი ეწოდება კოორდინატებს კერძო წარმოების ტოლი:
.
განვიხილოთ ვექტორების სკალარული პროდუქტი 
და 
:
ადვილია ამის დანახვა 
. დერივატივა მიმართულებით ტოლია გრადიენტისა და ერთი მიმართულებით ვექტორთან 
.
Იმდენად, რამდენადაც 
, მაშინ სკალარული პროდუქტი მაქსიმალურად, როდესაც ვექტორები თანაბრად მიმართულია. ამდენად, ფუნქციის გრადიენტი პუნქტში ადგენს ამ ეტაპზე ფუნქციის აშკარა ზრდის მიმართულებას და გრადიენტი მოდული ფუნქციის მაქსიმალური ზრდის ტოლფასია.
იცის ფუნქციის გრადიენტი, შეგიძლიათ ადგილობრივად შექმნან ფუნქციის დონის ხაზები.
თეორია. მოდით დიფერენცირული ფუნქცია კომპლექტი ზ.=
ვ.(x.,
y.)
და წერტილი 
ფუნქციის გრადიენტი არ არის ნულოვანი: 
. შემდეგ გრადიენტი პერპენდიკულარულ დონეზე ხაზის გასწვრივ ამ ეტაპზე.
ამრიგად, თუ, რამდენიმე პუნქტში დაწყებული ფუნქციის ფუნქციის ასაშენებლად ფუნქციისა და მცირე ნაწილი პერპენდიკულარულ დონეზე, მაშინ თქვენ შეგიძლიათ (გარკვეული შეცდომით), რათა ავაშენოთ დონე ხაზი.
ორი ცვლადის ადგილობრივი ექსტრემის ფუნქცია
მოდით ფუნქცია 
განსაზღვრული და უწყვეტი რამდენიმე სამეზობლოში 
.
OPR. Წერტილი 
მოუწოდა ადგილობრივი მაქსიმალური ფუნქცია 
თუ ასეთი სამეზობლო წერტილი არსებობს 
რომელშიც ნებისმიერ წერტილში 
უთანასწორობა შესრულებულია:
.
ანალოგიურად, ადგილობრივი მინიმალური კონცეფცია გააცნო.
თეორემა (ადგილობრივი ექსტრემის საჭირო მდგომარეობა).
განსხვავებული ფუნქციისთვის 
ჰქონდა ადგილობრივი ექსტრემის წერტილი 
აუცილებელია, რომ ამ ეტაპზე პირველი რიგის ყველა კერძო დერივატი ნულოვანია:
ასე რომ, ექსტრემის შესაძლო არსებობის წერტილები არიან იმ წერტილები, რომელთა ფუნქცია დიფერენცირებულია და მისი გრადიენტია 0: 
. როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, ასეთი რაოდენობა სტაციონარულს ეწოდება.
(ლექცია 1)
2 ცვლადების ფუნქციები.
ცვლადი z ეწოდება ფუნქციის 2x ცვლადებს F (X, Y), თუ ნებისმიერი წყვილი ღირებულებები (X, Y) G- ს z ცვლადის გარკვეული ღირებულების შესაბამისად.
ორდ. Point P 0-ის სამეზობლოში წრე ცენტრში P 0 და რადიუსს უწოდებენ. = (X-X 0 ) 2 + (U-Y 0 ) 2
რამდენად მცირეა მცირე რიცხვი, როგორიცაა ()\u003e 0, რომელიც x და y- ის ყველა ღირებულებაშია, რისთვისაც T. P- დან P- მდე მანძილი ნაკლებია, ვიდრე უთანასწორობა: F (x, y) A, ანუ ყველა პუნქტში P, შესვლის სამეზობლოში P 0, რადიუსით, ფუნქციის ღირებულება განსხვავდება ნაკლებად, ვიდრე აბსოლუტური ღირებულებით. ეს იმას ნიშნავს, რომ როდესაც Point P უახლოვდება წერტილი P 0 მიერ სიყვარული
უწყვეტობის ფუნქცია.
დავუშვათ, რომ ფუნქცია z \u003d f (x, y), p (x, y) არის მაგიდა, p 0 (x 0, y 0) არის გათვალისწინებული თვალსაზრისით.
ორდ.
3) ლიმიტი ტოლია ფუნქციის ღირებულების ამ ეტაპზე: \u003d f (x 0, y 0);
Lim f (x, y) \u003d f (x 0 , y. 0 );
pp. 0
პირადი წარმოებული.
ჩვენ ვაძლევთ არგუმენტს X- ის x; x + x, ჩვენ მივიღებთ P 1 (x + x, y) პუნქტს, გამოთვალეთ სხვაობა ფუნქციის ფუნქციის ფუნქციებს შორის P:
x z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + x, y) - f (x, y) ფუნქციის პირადი ნამუშევარი, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის X- ის ნამსხვრევას.
ზ. \u003d Lim. x. ზ.
ზ. \u003d Lim. f (x + x, y) - f (x, y)
X X0 X.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის განმარტება
ცოდნის სხვადასხვა სფეროსგან ბევრი საკითხების გათვალისწინებით, აუცილებელია ისეთი დამოკიდებულებების შესწავლა ცვლადებს შორის, როდესაც ერთ-ერთი მათგანი სრულად განსაზღვრავს რამდენიმე სხვა ღირებულებებს.
მაგალითად, ნებისმიერი სხეულის ფიზიკური მდგომარეობის შესწავლა, თქვენ უნდა დაიცვას ცვლილება თავის თვისებებში წერტილიდან. სხეულის თითოეული წერტილი სამ კოორდინატშია: X, Y, Z. აქედან გამომდინარე, სწავლობს, ამბობენ, სიმკვრივის განაწილება, დავასკვნათ, რომ სხეულის სიმჭიდროვე დამოკიდებულია სამ ცვლადზე: X, Y, Z. თუ სხეულის ფიზიკური მდგომარეობა ასევე იცვლება დროთა განმავლობაში, იგივე სიმჭიდროვე დამოკიდებულია ოთხი ცვლადის ღირებულებებზე: X, Y, Z, T.
Სხვა მაგალითიშესწავლილია ერთი პროდუქტის წარმოების წარმოების ხარჯები. მოდით:
x - მასალების ღირებულება
y არის დასაქმების ხელფასის გადახდის ღირებულება,
z - ცვეთა გამოქვითვა.
ცხადია, წარმოების ხარჯები დამოკიდებულია აღნიშნული პარამეტრების X, Y, Z- ის ღირებულებებზე.
განმარტება 1.1 თუ "n" ცვლადების ღირებულებების თითოეული კომპლექტი
ამ კომპლექტის ზოგიერთი კომპლექტის მიხედვით, მისი ერთადერთი ღირებულება ცვლადი z შეესაბამება, ნათქვამია, რომ ფუნქცია დადგენილია კომპლექტში დ
"N" ცვლადები.
განსაზღვრული განსაზღვრული დადგენილია 1.1-ში განსაზღვრული განსაზღვრის ან ამ ფუნქციის არსებობის ფართობი.
თუ ორი ცვლადის ფუნქცია განიხილება, მაშინ რიცხვების მთლიანობა
ღირსეული, როგორც წესი, (x, y) და ინტერპრეტირებულია, როგორც ოქსი კოორდინირებული თვითმფრინავის ქულები, ორი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრის ფუნქცია Z \u003d F (X, Y) განსაზღვრის ფუნქცია გამოსახულია, როგორც კომპლექტი რაოდენობა OXY Plane .
ასე რომ, მაგალითად, საველე დეფინიციის ტერიტორია
არის ჟანგვის თვითმფრინავის ქულები, რომელთა კოორდინატები თანაფარდობით აკმაყოფილებს
i. ეს არის კოორდინატების დასაწყისში რადიუსის R- ის წრე.
ფუნქცია
განმარტება ფართობი ემსახურება იმ წერტილებს, რომლებიც დააკმაყოფილებენ მდგომარეობას
i.E. გარე წრეზე.
ხშირად ორი ცვლადის ფუნქციებია დაფარული ფორმით, I.E. როგორც განტოლება
აკავშირებს სამი ცვლადი მასშტაბები. ამ შემთხვევაში, თითოეული ღირებულებები X, Y, Z შეიძლება განიხილება, როგორც სხვა დანარჩენი ფუნქცია.
ორი ცვლადის ფუნქციის გეომეტრიული გამოსახულება (გრაფიკი) Z \u003d F (x, Y) არის სამგანზომილებიანი oxyz სივრცეში P (x, y, Z) კომპლექტი P (x, y, Z) კომპლექტი, რომელთა კოორდინატები განტოლების z \u003d f (x, y).
უწყვეტი არგუმენტების ფუნქციის გრაფიკი, როგორც წესი, ოქსიზ სივრცეში არის ზედაპირზე, რომელიც განკუთვნილია OXY- ის კოორდინატთა თვითმფრინავში ფუნქციის განსაზღვრის ფუნქციაზე Z \u003d F (X, Y).
ასე რომ, მაგალითად, (ნახ. 1.1) ფუნქციის გრაფიკი
არის სფეროს ზედა ნახევარი და ფუნქციის გრაფიკი
ქვედა ნახევარი სფერო.
ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკი Z \u003d AX + C + C არის Oxyz სივრცეში თვითმფრინავი და ფუნქციის გრაფიკი Z \u003d ბაზა არის Oxyz კოორდინირებული თვითმფრინავის პარალელურად.
გაითვალისწინეთ, რომ სამი და მეტი ცვლადის ფუნქცია ვიზუალიზებულია გრაფის სახით სამგანზომილებიანი სივრცეში.
მომავალში, ჩვენ ძირითადად შემოიფარგლება ორი ან სამი ცვლადის ფუნქციების განხილვისას, როგორც უფრო დიდი (მაგრამ სასრული) რაოდენობის განხილვისას მსგავსია.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრა.
(ლექცია 1)
ცვლადი u ეწოდება F (X, Y, Z, .., T), თუ ნებისმიერი კომპლექტი ღირებულებები (X, Y, Z, .., T) შევიდა შეესაბამება სრულიად განსაზღვრული ღირებულება ცვლადი U.
მრავალჯერადი კომპლექტი ცვლადი ღირებულება ეწოდება საველე დეფინიციულ ტერიტორიას.
G არის კომპლექტი (X, Y, Z, .., T) - განმარტება ფართობი.
2 ცვლადების ფუნქციები.
ცვლადი Z ეწოდება ფუნქცია 2x ცვლადები F (X, Y), თუ ნებისმიერი წყვილი ღირებულებები (X, Y) î G არის მითითებული გარკვეული ღირებულება ცვლადი z.
2 ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი.
დავუშვათ, რომ ფუნქცია z \u003d f (x, y), p (x, y) არის მაგიდა, p 0 (x 0, y 0) არის გათვალისწინებული თვალსაზრისით.
ორდ. წერტილი P 0-ის სამეზობლოში წრე ცენტრში P 0 და R რადიუსით მდებარეობს. რ.= Ö (X-X 0 ) 2 + (U-Y 0 ) 2 Ø
ნომერი A ეწოდება ლიმიტი ფუნქცია | Point P 0, თუ ნებისმიერი
e კიდევ ერთი მცირე რიცხვი შეიძლება განისაზღვროს ასეთი რიცხვი R (e)\u003e 0, რომელიც არის ყველა ღირებულებათა X და Y, რისთვისაც T. P- დან P- ს დაშორება ნაკლებია, ვიდრე R ხორციელდება უთანასწორობა: ½f ( X, Y) - A10, R რადიუსით ფუნქციის ღირებულება განსხვავდება აბსოლუტური ღირებულებით. ეს იმას ნიშნავს, რომ როდესაც Point P უახლოვდება წერტილი P 0 მიერ სიყვარული ბილიკები, ფუნქციის ღირებულება შეუზღუდავია A.
უწყვეტობის ფუნქცია.
დავუშვათ, რომ ფუნქცია z \u003d f (x, y), p (x, y) არის მაგიდა, p 0 (x 0, y 0) არის გათვალისწინებული თვალსაზრისით.
ორდ. ფუნქცია z \u003d f (x, y) ეწოდება უწყვეტი T. P 0, თუ 3 პირობები ხორციელდება:
1) ფუნქცია განისაზღვრება ამ ეტაპზე. f (p 0) \u003d f (x, y);
2) F-I Limit ამ ეტაპზე.
3) ლიმიტი ტოლია ფუნქციის ღირებულების ამ ეტაპზე: B \u003d F (x 0, y 0);
Lim f (x, y)= f (X. 0 , y. 0 ) ;
პ.à პ. 0
თუ უწყვეტობის პირობებში მინიმუმ 1 არის გატეხილი, წერტილი r ეწოდება უფსკრული წერტილი. 2x ცვლადების ფუნქციებისთვის, შეიძლება იყოს ცალკეული უფსკრული ქულა და მთელი რღვევის ხაზები.
ლიმიტისა და უწყვეტობის კონცეფცია უფრო დიდი რაოდენობით ცვლადების ფუნქციებს განისაზღვრება.
სამი ცვლადის ფუნქცია არ არის შესაძლებელი გრაფიკულად, განსხვავებით 2x ცვლადის ფუნქციისგან განსხვავებით.
3x ცვლადების ფუნქციისთვის, შეიძლება იყოს ხარვეზები, ხაზები და შესვენების ზედაპირები.
პირადი წარმოებული.
ჩვენ smash ფუნქცია z \u003d f (x, y), P (x, y) - პუნქტი გათვალისწინებით.
ჩვენ ვაგროვებთ არგუმენტს dx; X + DX, ჩვენ მივიღებთ Point P 1 (X + DX, Y), ჩვენ გამოვთვალოთ სხვაობა ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის P- ში:
D x z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + dx, y) - F (x, y) - ფუნქციის კერძო ნამუშევარი, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის X- ის ნამსხვრევას.
ორდ. ცვლადი X- ის ფუნქციის Z \u003d F (x, Y) კერძო დერივატივა ეწოდება ამ ფუნქციის კერძო ზრდის ლიმიტს ამ ფუნქციის გასწვრივ ამ ნამსხვრევაზე, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულოვანია.
¶ ზ. \u003d Lim. დ. x. ზ.
à ¶ ზ. \u003d Lim. f (x + დ. x, y) - f (x, y)
¶ x. დ.x.® 0 დ.x.
ანალოგიურად, ჩვენ განსაზღვრავს კერძო წარმოებულს ცვლადი y.
პირადი დერივატივების მოძიება.
კერძო დერივატების განსაზღვრისას, მხოლოდ ერთი ცვლადი ყოველ ჯერზეა, დარჩენილი ცვლადები მუდმივად ითვლება. შედეგად, ყოველ ჯერზე მიგვაჩნია მხოლოდ ერთი ცვლადი და კერძო წარმოებული ფუნქცია ემთხვევა ერთ ცვლადს ამ ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული. აქედან გამომდინარე, კერძო დერივატივების მოძიების წესი: კერძო დერივატირება ცვლადი მიხედვით გათვალისწინებულია ერთ-ერთი ცვლადის ჩვეულებრივი წარმოებულები, დარჩენილი ცვლადები განცალკევებულია მუდმივ ღირებულებებად. ამავდროულად, ერთი ცვლადი ფუნქციის დიფერენცირების ყველა ფორმულა (მიღებული თანხები, კერძო).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია
თუ თითოეული პუნქტი x \u003d (x 1, x 2, ... xn), N- განზომილებიანი სივრცის კომპლექტიდან (x) პუნქტიდან ცვლადი z- ის ერთ კარგად განსაზღვრული ღირებულების შესაბამისად, მაშინ ამბობენ, რა მითითებულია ფუნქცია n ცვლადები z \u003d f (x 1, x 2, ... x n) \u003d f (x).
ამ შემთხვევაში, ცვლადები x 1, x 2, ... x n მოუწოდა დამოუკიდებელი ცვლადები ან არგუმენტები ფუნქციები, z - დამოკიდებული ცვლადიდა სიმბოლო F აღნიშნავს შესაბამისობის კანონი. კომპლექტი (x) მოუწოდა განმარტება ფართობი ფუნქციები (ეს არის N- განზომილებიანი სივრცის გარკვეული ქვესადგური).
მაგალითად, ფუნქცია z \u003d 1 / (x 1 x 2) არის ორი ცვლადის ფუნქცია. მისი არგუმენტები ცვლადი x 1 და x 2, და z არის დამოკიდებული ცვლადი. განმარტება ფართობი არის მთელი კოორდინირებული თვითმფრინავი, გარდა სწორი x 1 \u003d 0 და x 2 \u003d 0, I.E. Abscissa- ს გარეშე და ღერძების გარეშე. კანონის თანახმად, გარკვეულწილად განსაზღვრავს განსაზღვრულ ნებისმიერ წერტილს, კანონის თანახმად, ჩვენ მივიღებთ გარკვეულ ნომერს. მაგალითად, აღების წერტილი (2; 5), ანუ. x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 5, ჩვენ მივიღებთ
z \u003d 1 / (2 * 5) \u003d 0.1 (i.e. z (2; 5) \u003d 0.1).
ფორმის ფუნქცია z \u003d 1 x 1 + 2 x 2 + ... + n x n + b, სადაც 1 და 2, ... და N, B - იდგა ნომრები წრფივი. ეს შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც N ხაზოვანი ფუნქციების ჯამი x 1, x 2, ... x n. ყველა სხვა ფუნქცია ეწოდება არაწრებელი.
მაგალითად, ფუნქცია z \u003d 1 / (x 1 x 2) არის არაწრფივი, და ფუნქცია z \u003d
\u003d x 1 + 7x 2 - 5 - ხაზოვანი.
ნებისმიერი ფუნქცია z \u003d f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) შეიძლება ჩაითვალოს ერთი ცვლადის ფუნქციების შესაბამისად, თუ თქვენ დააფიქსირებთ ყველა ცვლადის ღირებულებებს, გარდა ერთი.
მაგალითად, სამი ცვლადის ფუნქციები Z \u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) ფუნქციები შეიძლება შეესაბამებოდეს ერთ ცვლადს სამი ფუნქციით. თუ x 2 \u003d A და x 3 \u003d B ფიქსირდება, მაშინ ფუნქცია მიიღებს ფორმას z \u003d 1 / (ABH 1); თუ თქვენ დააფიქსირეთ x 1 \u003d A და x 3 \u003d B, ის მიიღებს ფორმას z \u003d 1 / (ABH 2); თუ X 1 \u003d A და X 2 \u003d B- ის დაფიქსირება, ის მიიღებს ფორმას z \u003d 1 / (ABH 3). ამ შემთხვევაში, სამივე ფუნქციას აქვს იგივე გარეგნობა. ეს ყოველთვის ასე არ არის. მაგალითად, თუ ორი ცვლადის ფუნქციისთვის X 2 \u003d A, მაშინ ის მიიღებს ფორმას Z \u003d 5x 1 A, I.E. Power ფუნქცია, და თუ დაფიქსირება x 1 \u003d a, მაშინ ის მიიღებს ფორმას, I.E. ინდიკატური ფუნქცია.
ცხრილი ორი ცვლადის ფუნქციები z \u003d f (x, y) ეწოდება სამგანზომილებიანი სივრცის (X, Y, Z) კომპლექტი, აპლიკაციის z, რომელიც დაკავშირებულია Abscissa X- სთან და ფუნქციურ თანაფარდობაში
z \u003d f (x, y). ეს სქემა არის რამდენიმე ზედაპირზე სამგანზომილებიანი სივრცეში (მაგალითად, როგორც ფიგურა 5.3).
შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ ფუნქცია ხაზოვანია (I.E. Z \u003d Ax + By + C), მაშინ მისი გრაფა არის თვითმფრინავი სამგანზომილებიანი სივრცეში. სამგანზომილებიანი გრაფიკის სხვა მაგალითები რეკომენდირებულია კრემერის სახელმძღვანელოს (გვ 405-406) მიხედვით დამოუკიდებლად სწავლა.
თუ ცვლადები უფრო მეტია, ვიდრე ორი (n ცვლადები), მაშინ ცხრილიფუნქციები არის ქულების კომპლექტი (n + 1) -დამატებითი სივრცე, რომლისთვისაც კოორდინაციის X N + 1 გამოითვლება მითითებული ფუნქციური კანონის შესაბამისად. ასეთი ჩარტში ეწოდება hyperpoverty (ხაზოვანი ფუნქციისთვის - hyperplane), და ასევე სამეცნიერო აბსტრაქცია (შეუძლებელია წარმოაჩინოს იგი).
ფიგურა 5.3 - სამგანზომილებიანი სივრცის ორი ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი
ზედაპირის დონე ფუნქცია N ცვლადებს ეწოდება კომპლექტი N- განზომილებიანი სივრცეში, როგორიცაა ყველა ამ პუნქტში, ფუნქციის ღირებულება იგივეა და ტოლია C. ამ შემთხვევაში რიცხვის რაოდენობა ეწოდება დონე.
როგორც წესი, იმავე ფუნქციისთვის, შეგიძლიათ უსასრულოდ ბევრი დონის ზედაპირების აშენება (განსხვავებული დონის შესაბამისი).
ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ზედაპირული ზედაპირი იღებს ხაზის დონე.
მაგალითად, განიხილეთ z \u003d 1 / (x 1 x 2). მიიღეთ C \u003d 10, I.E. 1 / (x 1 x 2) \u003d 10. შემდეგ x 2 \u003d 1 / (10x 1), ანუ. თვითმფრინავზე, დონის ხაზი მიიღებს სურათს 5.4-ში მყარი ხაზით. კიდევ ერთი დონე, მაგალითად, C \u003d 5, ჩვენ მივიღებთ გრაფის ფუნქციის X 2 \u003d 1 / (5x 1) სახით (ფიგურაში 5.4-ში ნაჩვენებია).
ფიგურა 5.4 - ხაზი Line Line Z \u003d 1 / (x 1 x 2)
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით z \u003d 2x 1 + x 2. მიიღეთ C \u003d 2, I.E. 2x 1 + x 2 \u003d 2. მაშინ x 2 \u003d 2 - 2x 1, ანუ. თვითმფრინავზე, დონის ხაზი მიიღებს ტიპის პირდაპირი, წარმოდგენილია ფიგურა 5.5 მყარი ხაზით. სხვა დონეზე, მაგალითად, C \u003d 4, ჩვენ მივიღებთ დონის ხაზს სწორი ხაზის X 2 \u003d 4 - 2x 1 (ფიგურა 5.5 ნაჩვენებია dotted). 2x 1 + x 2 \u003d 3 დონის ხაზი ნაჩვენებია ფიგურა 5.5 პუნქტში.
ადვილია, რომ ორი ცვლადის ხაზოვანი ფუნქციისთვის, ნებისმიერი დონის ხაზი იქნება პირდაპირ თვითმფრინავზე და ყველა დონეზე დონეზე იქნება პარალელურად ერთმანეთს.
ფიგურა 5.5 - ფუნქციის ხაზის დონე Z \u003d 2x 1 + x 2
ჩამოტვირთეთ დეპოზიტებისგან.
ლექციები 1-4.
ფუნქციები რამდენიმე ცვლადის.
ტესტის კითხვები.
პირადი და სრულფასოვანი ნამუშევარი ფუნქციის ფუნქცია რამდენიმე ცვლადები (FDP).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი. FNP ლიმიტების თვისებები.
FNP- ის უწყვეტობა. უწყვეტი ფუნქციების თვისებები.
პირადი პირველი შეკვეთის დერივატივები.
განსაზღვრა : თუ ცვლადების თითოეული კომპლექტი შეესაბამება ცვლადის გარკვეულ მნიშვნელობასw, ეს ეწოდებაw. დამოუკიდებელი ცვლადები ფუნქცია:
(1)
განსაზღვრა
: განმარტება ფართობიდ.
(
ვ.
)
ფუნქციები (1) მოუწოდა კომპლექტი ასეთი კომპლექტი ნომრები 
რომელშიც ფუნქცია განისაზღვრება (1).
რეგიონი დ. ( ვ. ) ეს შეიძლება იყოს ღია ან დახურული. მაგალითად, ფუნქცია:
დ. (ვ. ) იქნება ყველა სივრცის სივრცე, რომლისთვისაც უთანასწორობა (დახურული ბურთი) ხორციელდება და ფუნქციისთვის (ღია ბურთი).
მომავალში, ჩვენ განვიხილავთ ძირითადად ორი ცვლადის ფუნქციებს, რადგან პირველ რიგში, არ არსებობს ფუნდამენტური განსხვავება ორ და დიდ რაოდენობას შორის ცვლადებს შორის, ცვლადების რაოდენობის ზრდა მხოლოდ გაანგარიშებისას იწვევს. მეორე, ორი ცვლადის შემთხვევა ვიზუალური გეომეტრიული ინტერპრეტაციის საშუალებას იძლევა.
ორი ცვლადის ფუნქციის გეომეტრიული იმიჯი 
არის თუ არა ზედაპირზე, რომელიც შეიძლება იყოს კონკრეტულად ან ირიბად. Მაგალითად:ა. ) 
- აშკარა ამოცანა (როტაციის პარაბოლოიდური), ბ) 
- იმპულსური ამოცანა (სფერო).
გრაფიკის მშენებლობისას, ფუნქციები ხშირად იყენებენგანყოფილება .
მაგალითი . ავაშენოთ გრაფის ფუნქცია. 
ჩვენ ვიყენებთ სექციებს.
– თვითმფრინავში 
- პარაბოლა.
– თვითმფრინავში 
-პარაბოლა.
– თვითმფრინავში 
- წრე.
სასურველი ზედაპირი როტაციის პარაბოლოიდია.
დისტანცია
ორ თვითნებურ წერტილს შორის 
და 
(Euclidean) სივრცე 
რიცხვი ეწოდება
სხვადასხვა ქულა ეწოდებაღია წრე
რადიუსი 
ცენტრში 
, –
წრიულად მოძრაობა
რადიუსი ცენტრში.
გარე რადიუსის წრე 
ცენტრში წერტილი მოუწოდა -
ქულები.
გარშემო 
პროპორცია. წერტილი ეწოდებაშიდა წერტილი
დეკორაცია 
თუ სამეზობლოა 
ქულები, მთლიანად საკუთრებაში მყოფი კომპლექტი (ი.ა. 
).
განსაზღვრა . წერტილი ეწოდებაშეზღუდული წერტილი კომპლექტი, თუ არსებობს ქულა ნებისმიერი სახის, როგორც კუთვნილი კომპლექტი და არ ეკუთვნის მას.
კომპლექტის საზღვრის წერტილი შეიძლება ფლობდეს ამ კომპლექტს, და არ ეკუთვნის მას.
განსაზღვრა . ბევრი მოუწოდაგახსნა თუ ყველა მისი რაოდენობა შიდაა.
განსაზღვრა . ბევრი მოუწოდადაკეტილი
თუ იგი შეიცავს ყველა თავის საზღვრებს. კომპლექტის ყველა საზღვრის წერტილის კომპლექტი მას უწოდებენ.საზღვარი
(და ხშირად მითითებულია სიმბოლოთი 
). გაითვალისწინეთ, რომ კომპლექტი 
დახურულია და მოუწოდადახურვის კომპლექტი.
მაგალითი . თუ, მაშინ. სადაც.
პირადი და სრული ნამცხვარი ფუნქცია.
თუ ერთი არის დამოუკიდებელი ცვლადი (მაგალითად,თ. ) იღებს ნამატი თ. და სხვა ცვლადი არ იცვლება, ფუნქცია იღებს ნამსხვრევას:
რომელსაც ეწოდება პირადი ნამატი არგუმენტის ფუნქციასთ. .
თუ ყველა ცვლადი მიიღებს გაზრდას, ფუნქცია იღებს სრულ ნამსხვრევას:
მაგალითად, ფუნქციისთვის 
მექნება:
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი.
განსაზღვრა . ჩვენ ვიტყვით, რომ ქულების თანმიმდევრობა 
კონვერტაცია
-თვის 
აღვნიშნო 
თუ ერთად.
ამ შემთხვევაში, წერტილი 
დაძახებაზღვარი
მითითებული თანმიმდევრობით და დაწერეთ: 
-თვის 
.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ამავე დროს 
, 
(I.E., სივრცის ქულების თანმიმდევრობის დაახლოება ეკვივალენტურიასაერთო კონვერგენცია
).
განმარტება. რიცხვი ეწოდება ზღვარი
ფუნქციები 
-თვის 
თუ ამისთვის 
ისეთივე როგორც 
, ერთხელ.
ამ შემთხვევაში მათ წერენ 
ან 
-თვის 
.
ერთი და ორი ცვლადის ფუნქციების შეზღუდვის კონცეფციების აშკარა სრული ანალოგიით, მათ შორის ღრმა განსხვავებაა. ლიმიტის არსებობისთვის ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში აუცილებელია და მხოლოდ ორი ნომრისთვის საკმარისი თანასწორობა - ორი მიმართულებით: ლიმიტის წერტილის მარჯვნივ და მარცხნივ 
. ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ლიმიტის წერტილის სურვილი 
თვითმფრინავზე შეიძლება მოხდეს უსასრულო რაოდენობის მიმართულებით (და არა აუცილებლად სწორი ხაზი) \u200b\u200bდა, შესაბამისად, ორი (ან რამდენიმე) ცვლადის ფუნქციის ფუნქციაში ლიმიტის არსებობის მოთხოვნა ერთ-ერთ ფუნქციასთან შედარებით ცვლადი.
მაგალითი . Პოვნა 
.
ნება მომეცი ლიმიტის წერტილის სურვილი 
ხდება პირდაპირი 
. მაშინ 
.
ლიმიტი აშკარად არ არსებობს, რადგან რიცხვი 
დამოკიდებულია 
.
FNP ლიმიტების თვისებები:
Თუ მე. 
, მაშინ: , ანალოგიურად განსაზღვრავს კერძო წარმოებულს 
და მისი აღნიშვნა გააცნო.
ადვილია იმის დანახვა, რომ კერძო დერივატივა არის ერთი ცვლადი ფუნქციის წარმოებული, როდესაც სხვა ცვლადის ღირებულება ფიქსირდება. აქედან გამომდინარე, კერძო დერივატივები გამოითვლება იმავე წესების მიხედვით, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციების დერივატების გაანგარიშებით.
მაგალითი . მოძებნა პირადი მიღებული ფუნქციები 
.
Ჩვენ გვაქვს: 
, 
.
V. დიფერენციალური კალკულაცია
ფუნქციები რამდენიმე ცვლადის
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია
ადრე ითვლებოდა ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია. თუმცა, კონკრეტული პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრა, ზოგადად, მკვლევარი, ამგვარი მოვლენების წინაშე, რომელიც დამოკიდებულია რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადისგან. როგორც მარტივი მაგალითები, აუცილებელია გამოვთვალოთ მართკუთხედის ფართობი ან პარალელიპიფიცირებული მოცულობა. მართლაც, მართკუთხედის ფართობი განისაზღვრება ორი დამოუკიდებელი ღირებულებით - მართკუთხედის მხარეების სიგრძეზე და:
პარალელეპიფიცირებული მოცულობა განისაზღვრება სამი დამოუკიდებელი ღირებულებით - მისი ნეკნების სიგრძე,
თქვენ შეგიძლიათ უფრო რთული მაგალითები გამოიწვიოს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს. ამ შემთხვევებში ნათქვამია, რომ სასურველი ღირებულება ორი, სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციაა.
ხშირად ცდილობს გამორიცხოს საშუალო ცვლადები და დატოვონ მხოლოდ ერთი, მთავარი, ანუ, ისინი ცდილობენ მიიღონ ფუნქცია ერთი ცვლადი. მაგრამ ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. გამოხატვის გამარტივება ხშირად იძლევა ორი ან სამი ცვლადის ფუნქციას. დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ მრავალი ცვლადის ფუნქციების შესწავლა მსგავსი მეთოდებია. აქედან გამომდინარე, სიმარტივისთვის, ჩვენ შევისწავლით ორი ცვლადის ფუნქციებს და საჭიროების შემთხვევაში, აუცილებლობის შემთხვევაში, თვითნებური საქმეზე განზოგადებულია.
ერთი ცვლადის შემთხვევაში ფუნქცია იყო ოპერატორი, რომ თითოეული ელემენტი კომპლექტიდან შევიდა ერთსა და მხოლოდ ერთ ელემენტზე.
რა გზაა ორი ცვლადის ფუნქციის არგუმენტი? მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიმსჯელებთ რეალური არგუმენტების ფუნქციებს, ასეთი ფუნქციის ღირებულება დამოკიდებულია ორი მოქმედების წყვილზე. კომპლექტის თეორიის თვალსაზრისით, ეს არაფერია, ვიდრე ორი კომპლექტის პროდუქტი და რომელი ცვლადი ეკუთვნის და.
განმარტება 5.1.1 . მოდით, შემდეგ კი პროდუქტი აძლევს ახალ კომპლექტს, რომელთა თითოეული ელემენტი შეიცავს რამდენიმე ნომერს.
Definition 5.1.1, იგი შემდეგნაირად, რომ, იცის კომპლექტი ღირებულებები და ფუნქციები ორი ცვლადი, შეგიძლიათ იპოვოთ ფართობი მისი განმარტება. ცხადია, ეს იქნება ყველა შესაძლო კომბინაცია და.
პროდუქტის ორი სწორი რიცხვითი კომპლექტი და ქმნის ბევრ სივრცეში. ამ პროდუქტის გრაფიკული წარმომადგენლობა არის თვითმფრინავი ან ამ თვითმფრინავის ნაწილი.
განმარტება 5.1.2 . ფუნქცია ორი ცვლადი ეწოდება თანაფარდობა, რომელიც თითოეული წყვილი ნომრები აყენებს ერთი და მხოლოდ ერთი ნომერი.
თუ არსებობს ცვლადების ფუნქცია, მაშინ მისი განმარტება ფართობი იქნება სივრცე ან მისი ნაწილი. ასეთი ბევრი არ არის გრაფიკულად წარმოსახვითი.
ორი ცვლადის ფუნქციები, ისევე როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციები წარმოდგენილი იქნება ცხრილის, გრაფიკული ან ანალიტიკური გამოხატვის გამოყენებით. Tabular მეთოდი ადვილად მოსახერხებელია, თუმცა, როდესაც ექსპერიმენტული განმარტება, ფუნქციის ღირებულება შეიძლება იყოს ერთადერთი. უფრო ინფორმაციული გრაფიკული და ანალიტიკური ამოცანის ფუნქცია. ამავდროულად, ბოლო მეთოდი ყველაზე მოსახერხებელია, რადგან რაც საშუალებას იძლევა, განახორციელოს ამ კონცეფციის სრული შესწავლა.
გრაფიკულად წარმოადგენს ორი ცვლადის ფუნქციას, ისინი სამგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემას ასრულებენ, მაგალითად, მართკუთხა decartular. თვითმფრინავზე ასახავს ამ ფუნქციის განსაზღვრის სფერო. განსაზღვრული ტერიტორიის თითოეულ პუნქტში, პერპენდიკულურია აღდგენილია, რომელსაც ამ ეტაპზე ფუნქციის ღირებულების სიგრძე აქვს. მოპოვებული ყველა ქულის კომბინაცია, გარკვეული ზედაპირი (ნახ. 5.1.1). ამდენად, ორი ცვლადის გრაფიკულად ფუნქცია არის გარკვეული ზედაპირი. სურათის უფრო დიდი რაოდენობის ცვლადების ფუნქციების იმიჯი, გრაფიკული მეთოდი აღარ არის გამოყენებული.
ანალიტიკური ამოცანა, ორი ცვლადი ფუნქცია ჩაწერილია ფორმულებით, რომელთანაც ფუნქციის ღირებულებაა დამოუკიდებელი ცვლადების განსაზღვრული ღირებულებით. პრობლემების პრობლემის ანალიზურ ამოცანებში ცვლადების რაოდენობის გაზრდა არ ქმნის ( 
).
ორი ან მეტი ცვლადის ფუნქციის შესწავლაში იგივე ცნებები წარმოიქმნება, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის: ლიმიტი, უწყვეტობა, ნამატი, წარმოებული.
განვიხილოთ განყოფილების გადაკვეთა სექციების თვითმფრინავების მიერ და (ნახ. 5.1.2).
მას შემდეგ, რაც მუდმივი ხაზი არის, ეს ცვლილებები მხოლოდ დამოკიდებულია ცვლილება. იმ შემთხვევაში, თუ წერტილი მითითებული ნამატი, მაშინ იქნება გადავიდა წერტილი 
. ამ პუნქტში განაცხადის სხვაობა თანაბარი იქნება, რომ შეიცვალოს ფუნქციის ღირებულება, რომელიც არ იქნება დამოკიდებული ცვლადზე.
ამდენად, ვაძლევთ ნამატი, მივიღებთ ნამსხვრევას პირადი ნამატი და დანიშნული .
ანალოგიურად, კერძო ზრდა:.
ერთდროულად ცვლადების გაზრდა და, ჩვენ ვიღებთ ფუნქციის სრულ ნამსხვრევას:. ამავდროულად აუცილებელია, რომ გაითვალისწინოთ ეს 
.
ჩვენ ახლა ჩვენ ვაცნობთ სამეზობლოს კონცეფციას თვითმფრინავზე.
განმარტება 5.1.3
. -კონტის წერტილი რადიუსთან მოუწოდა ბევრ ქულას, რომელიც აკმაყოფილებს უთანასწორობას 
, ან, სხვა სიტყვებით, კომპლექტი ყველა პუნქტი, რომელიც ტყუილია რადიუსის წრეში ცენტრში (ნახ. 5.1.3).
სამეზობლოების განსაზღვრის საფუძველზე შეგიძლიათ შეიყვანოთ ორი ცვლადის ფუნქციის შეზღუდვის კონცეფცია. დავუშვათ, რომ ფუნქცია განისაზღვრება ზოგიერთ რეგიონში (ნახ. 5.1.3). ამ სფეროში გარკვეული წერტილი. წერტილი;
3) განისაზღვრება ყველა წერტილში, მაგრამ 
.
