La superficie del nivel de campo se denomina lugar geométrico de puntos en los que el campo adquiere un valor constante. Según esta definición, la ecuación de la superficie nivelada tendrá la forma: o

Curvas de indiferencia - son un conjunto de puntos en el plano de coordenadas, cada uno de los cuales es un conjunto de consumidores que proporciona al consumidor el mismo nivel de satisfacción de sus necesidades. La curva de indiferencia es una representación gráfica de un conjunto de indiferencia.

PREGUNTA 36. Límite y continuidad de una función de varias variables. Límites consistentes.

Definición 1. Un número A se llama el límite de una función en un punto (o en y) si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño hay un número positivo tal que para todos los puntos espaciados desde el punto a una distancia menor que, la desigualdad

El límite está indicado

Definición 2. Una función se llama continua en un punto si el límite de la función existe en este punto y

Los puntos en los que la función no tiene la propiedad de continuidad se denominan puntos de discontinuidad.

Todas las propiedades y métodos de la teoría de límites de una función de una variable se transfieren a funciones de varias variables.

PREGUNTA 37. Diferenciabilidad de una función y un diferencial de primer orden, diferenciales parciales y derivadas parciales de primer orden.

PREGUNTA 38. Gradiente y derivada direccional.

PREGUNTA 39. Derivadas y diferenciales de orden superior. Aplicaciones del cálculo diferencial de funciones de varias variables en la modelización de procesos aduaneros.

Suponga que la función f "(x) es derivable en algún punto x del intervalo (a, b), es decir, tiene una derivada en este punto. Entonces esta derivada se llama segunda derivada y se denota por f (2 ) (x), f "" (x) o y (2), y "" (x). De manera similar, podemos introducir el concepto de las derivadas segunda, tercera, etc. Por inducción, podemos introducir el concepto de la enésima derivada:

y (n) \u003d (y (n-1)) ". (6)

Una función que tiene una derivada finita de orden n en algún conjunto se denomina n veces diferenciable en este conjunto. El método para encontrar derivadas de órdenes superiores presupone la capacidad de encontrar derivadas de primer orden, como lo demuestra la fórmula (6).

Si u (x), v (x) son dos funciones diferenciables, entonces la fórmula de Leibniz es válida para encontrar la derivada de su producto

(u (x) v (x)) (n) \u003d u (n) v + nu (n-1) v "+ (n (n-1) / 2) u (n-2) v" "+. .. + uv (n) \u003d

Sk \u003d 0nCnku (n-k) v (k),

Cnk \u003d (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / k!, U (0) \u003d u, v (0) \u003d v.

Esta fórmula de Leibniz es especialmente eficaz en el caso en que una de las funciones multiplicadas tiene un número finito de derivadas distintas de cero y es fácil calcular las derivadas de otra función.

Ejemplo 9. Sea y \u003d ex (x2-1). Encuentre y (10). Ponga u (x) \u003d ex,

v (x) \u003d (x2-1). Según la fórmula de Leibniz

y (10) \u003d (ex) (25) (x2-1) +10 (ex) (9) (x2-1) "+ (10 9/2) (ex) (8) (x2-1)" " ,

ya que los siguientes términos son iguales a cero. por lo tanto

y (10) \u003d ex (x2-1) + 10ex2x + (10 9/2) ex (2) \u003d ex (x2 + 20x + 89)

Considere la expresión para el primer diferencial

Sea la función del lado derecho una función diferenciable en un punto x dado. Para esto, es suficiente que y \u003d f (x) sea diferenciable dos veces en un punto x dado, y el argumento sea una variable independiente o una función dos veces diferenciable.

Definición 6 (diferencial de segundo orden). El valor d (dy) del diferencial del primer diferencial (4) en d x \u003d dx se denomina segundo diferencial de la función y \u003d f (x) y se denota por d2y.

Por lo tanto,

d2y \u003d d (dy) | d x \u003d dx.

El dny diferencial se puede introducir por inducción.

PREGUNTA 40. Extremos locales y condicionales de funciones de varias variables. Problemas extremos en la modelización de procesos aduaneros.

Extremo local.

Dejemos que se dé una función definido en un área abierta del espacio y dejar apuntar.

Definición 1. Un punto se denomina punto mínimo de una función si hay una vecindad del punto en el que se satisface la desigualdad:

Aquellos.

(similar al punto máximo)

En los capítulos anteriores, consideramos solo aquellos flujos en los que la distribución de todas las cantidades (velocidad, presión, densidad, etc.) en el gas es continua. Sin embargo, también son posibles movimientos en los que surgen discontinuidades en la distribución de estas cantidades.

La discontinuidad en el movimiento del gas ocurre a lo largo de algunas superficies; al pasar por una superficie de este tipo, los valores indicados experimentan un salto. Estas superficies se denominan superficies de fractura. En el caso de un movimiento inestable del gas, las superficies de discontinuidad no permanecen, en general, estacionarias; Debe enfatizarse aquí que la velocidad de la superficie de discontinuidad no tiene nada que ver con la velocidad del gas en sí. Las partículas de gas durante su movimiento pueden atravesar esta superficie, atravesándola.

Se deben cumplir ciertas condiciones de contorno en las superficies de fractura.

Para formular estas condiciones, considere algún elemento de la superficie de discontinuidad y use el sistema de coordenadas asociado con este elemento con el eje dirigido a lo largo de la normal a él.

Primero, debe haber un flujo continuo de materia en la superficie de la fractura: la cantidad de gas que ingresa por un lado debe ser igual a la cantidad de gas que sale del otro lado de la superficie. El flujo de gas a través del elemento de superficie en consideración (por unidad de área) es, por lo tanto, la condición que debe cumplirse donde los índices 1 y 2 se refieren a dos lados de la superficie de fractura.

La diferencia entre los valores de alguna cantidad a ambos lados de la superficie de ruptura se indicará a continuación mediante corchetes; Asi que,

y la condición resultante se escribirá como

Finalmente, el flujo de impulsos debe ser continuo, es decir, las fuerzas con las que los gases actúan entre sí a ambos lados de la superficie de ruptura deben ser iguales. El flujo de impulsos a través de una unidad de área es (ver § 7)

El vector normal se dirige a lo largo del eje. Por lo tanto, la continuidad del componente A - del flujo de pulso conduce a la condición

y la continuidad de los componentes yy da

Las ecuaciones (84.1-4) representan un sistema completo de condiciones de contorno en la superficie de discontinuidad. A partir de ellos, se puede sacar inmediatamente una conclusión sobre la posibilidad de la existencia de dos tipos de superficies de ruptura.

En el primer caso, no hay flujo de sustancia a través de la superficie de discontinuidad. Esto significa que, dado que son distintos de cero, esto significa que debe haber

Las condiciones (84.2) y (84.4) en este caso se satisfacen automáticamente, y la condición (84.3) da Así, en la superficie de discontinuidad en este caso, la componente normal de la velocidad y la presión del gas son continuas:

Las velocidades y la densidad tangenciales (así como otras cantidades termodinámicas además de la presión) pueden experimentar un salto arbitrario. A tales discontinuidades las llamaremos tangenciales.

En el segundo caso, el flujo de materia, y con él, son distintos de cero. Entonces de (84.1) y (84.4) tenemos:

es decir, la velocidad tangencial es continua en la superficie de discontinuidad. La densidad, la presión (y por lo tanto otras cantidades termodinámicas) y la velocidad normal experimentan un salto, y los saltos en estas cantidades están relacionados por las relaciones (84.1-3). En la condición (84.2), en virtud de (84.1), podemos cancelar a en lugar de, en virtud de la continuidad de v, y escribir v. Así, en la superficie de discontinuidad en el caso considerado, deben cumplirse las siguientes condiciones:

Las rupturas de este tipo se denominan ondas de choque.

Si ahora volvemos a un sistema de coordenadas estacionario, entonces en lugar de escribir en todas partes la diferencia entre el componente de velocidad del gas normal a la superficie de discontinuidad y la velocidad de la superficie misma, dirigida, por definición, a lo largo de la normal a ella:

Las velocidades y y se toman en relación con un marco de referencia fijo. La velocidad es la velocidad del movimiento del gas en relación con la superficie de ruptura; de lo contrario, podemos decir que existe la velocidad de propagación de la propia superficie de ruptura en relación con el gas. Tenga en cuenta que esta velocidad es diferente con respecto al gas en ambos lados de la superficie (si experimenta una ruptura).

Las discontinuidades tangenciales, en las que los componentes de la velocidad tangenciales experimentan un salto, ya fueron consideradas por nosotros en el § 29. Allí se demostró que en un fluido incompresible tales discontinuidades son inestables y deberían borrarse en una región turbulenta. Un estudio similar para un fluido compresible muestra que dicha inestabilidad también ocurre en el caso general de velocidades arbitrarias (vea el problema 1).

Un caso especial de discontinuidades tangenciales son las discontinuidades en las que la velocidad es continua y solo la densidad experimenta un salto (y con ello otras cantidades termodinámicas excepto la presión); tales roturas se denominan roturas de contacto. Lo que se dijo anteriormente sobre la inestabilidad no se aplica a ellos.

CONFERENCIAS SOBRE MATANÁLISIS

Funciones de varias variables. Representación geométrica de una función de dos variables. Niveles de líneas y superficies. Límite y continuidad de una función de varias variables, sus propiedades. Derivadas parciales, sus propiedades y significado geométrico.

Definición 1.1. Variable z (con alcance Z) llamado función de dos variables independientes x, y en el set METROsi cada par x, y) del set METRO z de Z.

Definición 1.2.Un montón de METROen el que se establecen las variables x, y, llamado alcance de la funciónmientras nosotros x, y - su argumentos.

Leyenda: z = f(x, y), z = z(x, y).

Ejemplos.

Comentario. Dado que un par de números ( x, y) pueden considerarse las coordenadas de algún punto del plano, luego usaremos el término "punto" para un par de argumentos de una función de dos variables, así como para un conjunto ordenado de números
que son argumentos para una función de varias variables.

Definición 1.3. . Variable z (con alcance Z) llamado función de varias variables independientes
en el set METROsi cada conjunto de números
de la multitud METRO de acuerdo con alguna regla o ley, se asigna un valor definido z de Z. Los conceptos y dominios de los argumentos se introducen de la misma manera que para una función de dos variables.

Leyenda: z = f
,z = z
.

Representación geométrica de una función de dos variables.

Considere la función

z = f(x, y) , (1.1)

definido en alguna zona METRO en el avión O hu... Luego, el conjunto de puntos del espacio tridimensional con coordenadas ( x, y, z) , donde, es la gráfica de una función de dos variables. Dado que la ecuación (1.1) define una cierta superficie en el espacio tridimensional, será la imagen geométrica de la función en consideración.

z \u003d f (x, y)

METRO y

Comentario... Para una función de tres o más variables, usaremos el término "superficie en norte-espacio dimensional ”, aunque es imposible representar tal superficie.

Nivelar líneas y superficies.

Para la función de dos variables dada por la ecuación (1.1), podemos considerar el conjunto de puntos ( x, y) plano O hupara cual z toma el mismo valor constante, es decir z \u003d const. Estos puntos forman una línea en el plano llamado línea de nivel.

Ejemplo.

Encuentra líneas de nivel para la superficie z = 4 – x² - y². Sus ecuaciones son de la forma x² + y² \u003d 4 - c (c\u003d const) - ecuaciones de círculos concéntricos centrados en el origen y con radios
... Por ejemplo, para desde\u003d 0 obtenemos un círculo x² + y² \u003d 4.

Para una función de tres variables tu = tu (x, y, z) la ecuacion tu (x, y, z) = c define una superficie en un espacio tridimensional llamado superficie nivelada.

Ejemplo.

Para la función tu = 3x + 5y – 7z –12 superficies de nivel serán una familia de planos paralelos definidos por las ecuaciones

3x + 5y – 7z –12 + desde = 0.

Límite y continuidad de una función de varias variables.

Introducimos el concepto δ-barrio puntos METRO 0 (x 0 , a 0 ) en el avión O hu como un círculo de radio δ centrado en un punto dado. De manera similar, una vecindad δ en un espacio tridimensional se puede definir como una bola de radio δ centrada en el punto METRO 0 (x 0 , a 0 , z 0 ) ... Para norte-el espacio dimensional se llamará la vecindad δ del punto METRO 0 conjunto de puntos METROcon coordenadas
satisfaciendo la condición

dónde
- coordenadas de puntos METRO 0. A veces, este conjunto se llama "bola" en norte-espacio dimensional.

Definición 1.4. El número A se llama límite funciones de varias variables f
en el punto METRO 0 si

tal que | f(METRO) – A| < ε для любой точки METRO de un barrio δ METRO 0 .

Leyenda:
.

Debe tenerse en cuenta que el punto METRO puede estar acercándose METRO 0, condicionalmente hablando, a lo largo de cualquier trayectoria dentro de la vecindad δ del punto METRO 0. Por tanto, el límite de una función de varias variables en sentido general debe distinguirse del llamado límites repetidosobtenido por pasaje sucesivo hasta el límite para cada argumento por separado.

Ejemplos.

Comentario... Puede demostrarse que la existencia e igualdad de límites repetidos se deriva de la existencia de un límite en un punto dado en el sentido habitual y de la existencia en este punto de límites según argumentos separados. Lo contrario no es cierto.

Definición 1.5.Función f
llamado continuo en el punto METRO 0
, si un
(1.2)

Si introducimos la notación

Entonces la condición (1.2) se puede reescribir en la forma

(1.3)

Definición 1.6.Punto interior METRO 0 dominio de función z = f (METRO) llamado punto de quiebre funciona si las condiciones (1.2), (1.3) no se satisfacen en este punto.

Comentario. Se pueden formar múltiples puntos de ruptura en un plano o en el espacio las líneaso superficies de ruptura.

En geometría descriptiva, una superficie se considera como un conjunto de posiciones sucesivas de una línea en movimiento u otra superficie en el espacio. Una línea que se mueve en el espacio y forma una superficie se llama generatriz. Los generadores pueden ser rectos y curvos. La generación de curvas puede ser constante y variable, por ejemplo, cambiando regularmente.

Una misma superficie en varios casos puede considerarse formada por los movimientos de diferentes generadores. Por ejemplo, se puede formar un cilindro circular: primero, girando una línea recta alrededor de un eje fijo paralelo a la generatriz; en segundo lugar, por el movimiento de un círculo, cuyo centro se mueve a lo largo de una línea recta perpendicular al plano del círculo; tercero, el movimiento rectilíneo de la esfera.

Al representar una superficie en el dibujo, solo se muestran algunas de las muchas posiciones posibles de la generatriz. En la Fig. 8.1 muestra la superficie de la generatriz AB. Durante su movimiento, el generador permanece paralelo a la dirección Minnesota y simultáneamente cruza alguna línea curva CDE. Así, el movimiento de la generatriz AB guiado en el espacio por una línea CDE.

Una línea o líneas, cuya intersección es un requisito previo para el movimiento de una generatriz al formar una superficie, se denominan guía o guías.

En la Fig. 8.2 muestra la superficie formada por el movimiento de una línea recta AB sobre dos guías - recto O1<⅞ (ABE Oi O2) y curva espacial FGL, no interseca la línea O1 0 2.

A veces se utiliza una línea como guía a lo largo del cual se mueve algún punto característico de la generatriz, pero que no descansa sobre ella, por ejemplo, el centro de un círculo.

De las diversas formas de generadores, guías, así como los patrones de formación de una superficie específica, se seleccionan aquellas que son las más simples y convenientes para representar una superficie en un dibujo y resolver problemas asociados con ella.

A veces, para definir una superficie, se utiliza el término "determinante de superficie", que significa un conjunto de condiciones independientes que definen de forma única una superficie. Entre las condiciones incluidas en el determinante, se distingue entre la parte geométrica (puntos, líneas, superficies) y la ley (algoritmo) de formación de superficies por la parte geométrica del determinante.

Considere una breve clasificación de superficies curvas, adoptada en geometría descriptiva.

Superficies urbanizables regladas. Una superficie que puede estar formada por una línea recta se denomina superficie reglada. Si una superficie reglada se puede desplegar de manera que en todos sus puntos quede alineada con el plano sin ningún daño a la superficie (rasgaduras o pliegues), entonces se llama desplegada. Las superficies desarrollables incluyen solo aquellas superficies regladas cuyos generadores rectilíneos adyacentes son paralelos o se cruzan entre sí, o son tangentes a alguna curva espacial. Todas las demás superficies regladas y no regladas son superficies no desarrollables.

Superficies reaccionables: cilíndricas, cónicas, con nervadura de retorno o torso. Para una superficie cilíndrica, las generatrices son siempre paralelas, la guía es una línea curva. La imagen en el dibujo de una superficie cilíndrica previamente mostrada en el espacio (ver Fig. 8.1) se muestra en la Fig. 8.3. Casos especiales: un cilindro circular recto, un cilindro circular inclinado (ver Fig. 9.17, un círculo guía, cuyo plano está ubicado en un ángulo con el eje del cilindro y centrado en su eje). Para las superficies cónicas, todos los generadores rectilíneos tienen un punto fijo común - un vértice, una guía - cualquier línea curva. Imagen de muestra de una cónica

superficies en el dibujo - fig. 8.4, proyecciones de vértices G ", G", guía C "D" E ", C" D "E". Casos especiales - cono circular recto, cono circular oblicuo - ver fig. 10.10, a la derecha. Para superficies con borde de retorno o torso, los generadores rectilíneos son tangentes a una guía curva.

Superficies regladas no urbanizables: cilindroide, conoide, paraboloide hiperbólico (plano oblicuo). Una superficie, llamada cilindroide, se forma moviendo una línea recta, en todas sus posiciones manteniéndose paralela a algún plano dado ("plano de paralelismo") e intersecando dos líneas curvas (dos guías). Una superficie, llamada conoide, se forma moviendo una línea recta, en todas sus posiciones manteniéndose paralela a un cierto plano ("plano de paralelismo") e intersecando dos guías, una de las cuales es una curva y la otra es una recta. línea (Fig. 8.5, ver también Fig. 8.2). El plano de paralelismo en la Fig. 8.5 es el plano π1;

guías - curva con proyecciones E "G" F ", E" G "F", línea recta con proyecciones Oh ", 0", Oh ",0. En el caso particular, si la guía curva es una línea helicoidal cilíndrica con el eje coincidente con la guía rectilínea, la superficie formada es un conoide helicoidal, considerado a continuación. Un dibujo de un paraboloide hiperbólico, llamado plano oblicuo, se muestra en la Fig. 8.6. La formación de esta superficie se puede considerar como resultado del movimiento de una generatriz rectilínea a lo largo de dos guías, que cruzan líneas rectas paralelas a un cierto plano de paralelismo. En la Fig. 8.6 plano de paralelismo - plano de proyección y guías - líneas rectas con proyecciones M "N", M "N" y F "G", F "G".

Superficies no lineales. Se subdividen en superficies con generador constante y con generador variable.

Las superficies con generatriz constante, a su vez, se subdividen en superficies de revolución con generatriz curvilínea, por ejemplo, una esfera, toro, un elipsoide de revolución, etc., y en superficies cíclicas, por ejemplo, superficies de tubos doblados de constante sección transversal, resortes.

Las superficies con generatriz variable se subdividen en superficies de segundo orden, cíclicas con generatriz variable, estructura alámbrica. Un dibujo de una superficie de segundo orden: un elipsoide se muestra en la Fig. 8.7. La generatriz del elipsoide es una elipse deformante. Dos guías: dos elipses que se cruzan, cuyos planos son ortogonales y un eje es común. El generador cruza las guías en los puntos extremos de sus ejes.

El plano de la elipse generadora durante el movimiento permanece paralelo al plano formado por los dos ejes de intersección de las elipses de guía.

Las superficies cíclicas con generatriz variable tienen un generador: un círculo de radio variable, una guía, una curva a lo largo de la cual se mueve el centro del generador, el plano del generador es perpendicular a la guía. La superficie de la estructura alámbrica no se especifica mediante una generatriz en movimiento, sino mediante una serie de líneas en la superficie.

Por lo general, estas líneas son curvas planas,

cuyos planos son paralelos entre sí. Dos grupos de tales líneas se cruzan y forman un marco reglado de la superficie. Los puntos de intersección de las líneas forman la estructura de alambre de puntos de la superficie. La estructura alámbrica del punto de la superficie también se puede especificar mediante las coordenadas de los puntos de la superficie. Las superficies de los marcos se utilizan ampliamente en el diseño de cascos para barcos, aviones, automóviles y globos de tubos de rayos catódicos.

De estas superficies, considere con más detalle la helicoidal.

- ( ρ 1, T 1, v → 1 (\\ Displaystyle \\ rho _ (1), T_ (1), (\\ vec (v)) _ (1))), y a la derecha - otros ( ρ 2, T 2, v → 2 (\\ Displaystyle \\ rho _ (2), T_ (2), (\\ vec (v)) _ (2))). En el caso de un movimiento inestable del medio, las superficies de discontinuidad no permanecen estacionarias y su velocidad puede no coincidir con la del medio.

Una discontinuidad físicamente arbitraria no puede existir durante un tiempo finito; esto requeriría la violación de las ecuaciones de la dinámica. Por esta razón, si en alguna situación ha surgido un estado descrito por una discontinuidad arbitraria, inmediatamente comienza a decaer al ocurrir - ver el problema de Riemann sobre la decadencia de una discontinuidad arbitraria. En este caso, dependiendo del entorno en el que ocurre el fenómeno y cómo se relacionan entre sí los valores de las variables de estado en lados opuestos de la discontinuidad, pueden surgir varias combinaciones de discontinuidades normales y ondas de rarefacción.

Condiciones

A continuación, los corchetes indican la diferencia de valores en diferentes lados de la superficie.

Se deben cumplir ciertas relaciones en las superficies de fractura:

1. Debe haber un flujo continuo de materia en la superficie de la fractura. El flujo de gas a través de un elemento de la superficie de fractura por unidad de área debe ser de la misma magnitud en diferentes lados de la superficie de fractura, es decir, se debe cumplir la condición. [ρ u x] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0) Dirección del eje x (\\ Displaystyle x) se elige normal a la superficie de la fractura.
2. Debe haber un flujo continuo de energía, es decir, debe cumplirse la condición [ρ ux (u 2 2 + ε)] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ left ((\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right) \\ right ] \u003d 0)
3. El flujo de impulso debe ser continuo, las fuerzas con las que los gases actúan entre sí a ambos lados de la superficie de ruptura deben ser iguales. Dado que el vector normal se dirige a lo largo del eje x, la continuidad x (\\ Displaystyle x)-componente del flujo de pulso conduce a la condición [p + ρ u x 2] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x u y] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ right] \u003d 0) y [ρ u x u z] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (z) \\ right] \u003d 0)

Las ecuaciones anteriores representan un sistema completo de condiciones de contorno en la superficie de discontinuidad. De ellos, se puede concluir que existen dos tipos de superficies de ruptura.

Roturas tangenciales

No hay flujo de sustancia a través de la superficie de discontinuidad.

(ρ 1 u 1 x \u003d ρ 2 u 2 x \u003d 0 ρ 1, ρ 2 ≠ 0 ⇒ u 1 x \u003d u 2 x \u003d 0 ⇒ p 1 \u003d p 2 (\\ displaystyle (\\ begin (cases) \\ rho _ ( 1) u_ (1x) \u003d \\ rho _ (2) u_ (2x) \u003d 0 \\\\\\ rho _ (1), \\ rho _ (2) \\ neq 0 \\ end (casos)) \\ Rightarrow \\ qquad u_ (1x ) \u003d u_ (2x) \u003d 0 \\ qquad \\ Flecha derecha p_ (1) \u003d p_ (2))

Por tanto, en este caso, el componente de velocidad normal y la presión del gas son continuos en la superficie de la fractura. Velocidades tangenciales u z (\\ Displaystyle u_ (z)), u y (\\ Displaystyle u_ (y)) y la densidad puede experimentar un salto arbitrario. Tales descansos se llaman tangencial.

Roturas de contacto - un caso especial de discontinuidades tangenciales. La velocidad es continua. La densidad sufre un salto, y con él otras magnitudes termodinámicas, a excepción de la presión.

Ondas de choque

En el segundo caso, el flujo de materia y con él las cantidades son distintos de cero. Luego de las condiciones:

[ρ u x] \u003d 0; [ρ u x u y] \u003d 0; [ρ uxuz] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [ \\ rho u_ (x) u_ (z) \\ right] \u003d 0) [u y] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left \u003d 0 \\ quad) y [u z] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ quad \\ left \u003d 0)

la velocidad tangencial es continua en la superficie de la fractura. La densidad, la presión y con ellas otras cantidades termodinámicas experimentan un salto, y los saltos de estas cantidades están relacionados por las relaciones: las condiciones de la discontinuidad.

[ρ u x (u 2 2 + ε)]; (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ left ((\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right) \\ right];) [u y] \u003d 0; (\\ Displaystyle \\ left \u003d 0;) [u z] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x] \u003d 0; [u x 2 2 + ε] \u003d 0; [p + ρ ux 2] \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [(\\ frac (u_ (x) ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left \u003d 0)

Las rupturas de este tipo se denominan ondas de choque.

Romper la velocidad de propagación

Para derivar relaciones sobre discontinuidades en movimiento, se pueden usar las ecuaciones

(∮ ∂ Ω \u2061 (ρ dx - ρ udt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (ρ udx - (p + ρ u 2) dt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (E dx - (p + E) dt) \u003d 0 (\\ Displaystyle (\\ begin (cases) (\\ begin (array) (lll) \\ unción \\ límites _ (\\ parcial \\ Omega) (\\ rho \\; d \\, x- \\ rho u \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ pomada \\ límites _ (\\ parcial \\ Omega) (\\ rho u \\; d \\, x- (p + \\ rho u ^ (2)) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\ \\\\ pomada \\ límites _ (\\ parcial \\ Omega) (E \\; d \\, x- (p + E) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ end (matriz)) \\ end (casos) )), ∮ ∂ Ω \u2061 (q d x - f d t) \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ pomada \\ límites _ (\\ parcial \\ Omega) (qdx-fdt) \u003d 0)

La discontinuidad dinámica de gas en el caso unidimensional no estacionario es geométricamente una curva en el plano. Construyamos un volumen de control cerca de la ruptura de modo que dos lados del contorno que encierra este volumen sean paralelos a la ruptura en ambos lados de la ruptura y los otros dos lados sean perpendiculares a la ruptura. Escribiendo el sistema para un volumen de control dado, luego contrayendo los lados a cero y despreciando el valor de la integral en estos lados, obtenemos, teniendo en cuenta la dirección de recorrido del contorno y los signos de los incrementos de coordenadas y a lo largo del lados adyacentes a la discontinuidad:

∫ 1 - 2 (qdx - fdt) - ∫ 3 - 4 (qdx - fdt) \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ int \\ limits _ (1-2) (qdx-fdt) - \\ int \\ limits _ (3-4) (qdx-fdt) \u003d 0) ∫ 1 - 2 (qdxdt - f) - ∫ 3 - 4 (qdxdt - f) \u003d 0 (\\ Displaystyle \\ int \\ limits _ (1-2) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) - \\ int \\ límites _ (3-4) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) \u003d 0)

La cantidad D \u003d d x d t (\\ Displaystyle D \u003d (\\ frac (dx) (dt))) - la tasa de propagación de la ruptura

Relaciones de rotura

Pasando a las aproximaciones de las integrales por el método de los rectángulos y utilizando la notación para los saltos de cantidades en la discontinuidad, obtenemos el sistema de relaciones:

[ρ] D - [ρ u] \u003d 0; (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho \\ right] D- \\ left [\\ rho u \\ right] \u003d 0;) [ρ u] D - [p + ρ u 2] \u003d 0; (\\ Displaystyle \\ left [\\ rho u \\ right] D- \\ left \u003d 0;) [E] D - [u (E + p)] \u003d 0; (\\ Displaystyle \\ leftD- \\ left \u003d 0;)

Ejemplos de

El límite entre dos cuerpos en colisión en el momento de la colisión, más tarde, debido a la inestabilidad, una discontinuidad arbitraria se divide en dos discontinuidades normales que se mueven en direcciones opuestas.