Modelado El modelado es el estudio de un sistema real (original), reemplazándolo por un nuevo objeto con su modelo, que tiene cierta correspondencia de objeto con él y permite predecir sus características funcionales, es decir. en el modelado, no experimentan con el objeto en sí, sino con el objeto, que se llama sustituto.
El proceso de modelado incluye varias etapas:
1. Enunciado del problema y determinación de las propiedades del objeto real a investigar.
2. Enunciado de la dificultad o imposibilidad de investigar un objeto real.
3. La elección de un modelo, propiedades básicas de buen funcionamiento del objeto por un lado y fácilmente susceptibles de investigación por el otro. El modelo debe reflejar las propiedades básicas del objeto y no debe ser demasiado grande.
4. Investigación del modelo de acuerdo con el objetivo planteado.
5. Comprobación de la adecuación del objeto y modelo. Si no hay coincidencia, debe repetir los primeros cuatro puntos.
Existe un enfoque clásico y sistemático para resolver problemas de modelado. La esencia del método es la siguiente: el objeto real que se va a investigar se divide en componentes separados D y se eligen ciertos objetivos C formación de componentes individuales del modelo A... Luego, sobre la base de los datos iniciales, se crean los componentes del modelo, la totalidad de los cuales, teniendo en cuenta sus relaciones, se combinan en un modelo. Este método es inductivo, es decir la construcción del modelo pasa de lo particular a lo general.
El método clásico se utiliza para simular sistemas relativamente simples, por ejemplo, sistemas de control automático. Enfoque de sistemas La esencia del método es que se basa en los datos iniciales. D, que se conocen a partir del análisis del entorno externo, teniendo en cuenta las restricciones que se imponen al sistema y de acuerdo con el objetivo establecido C, se forman los requisitos T y el modelo de objetos. Sobre la base de estos requisitos, se construye un subsistema PAG y elementos de subsistemas mi y la elección del mejor modelo se realiza siguiendo el criterio de selección del CV, es decir la construcción del modelo procede de lo general a lo particular.
El enfoque de sistemas se utiliza para modelar sistemas complejos.
Clasificación de tipos de modelado 1. Por el método de construcción del modelo. A) Teórico (analítico) - se construyen de acuerdo con los datos de la estructura interna sobre la base de las relaciones que surgen de los datos físicos. b) Formal: basado en la relación entre cerrar sesión e iniciar sesión en el sistema. Construido sobre la base del principio de caja negra c) Combinado.2. Por cambios en las variables a lo largo del tiempo. A) Estático. B) Dinámico. Un modelo estático describe el estado de un objeto y no contiene derivadas x y a (entrada y salida) señales en el tiempo. Modelo matemático b) describe la estática del volumen con coordenadas distribuidas a lo largo. El modelo dinámico describe procesos transitorios en el tiempo y contiene derivadas a IdtEl modelo dinámico, según el método de obtención, se representa en forma de ecuación diferencial del impulso transitorio o respuesta de frecuencia en forma de función de transferencia. La dinámica de objetos con parámetros agrupados se describe mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, y Los objetos con parámetros distribuidos se describen mediante ecuaciones diferenciales en derivadas de frecuencia.3. Por la dependencia de módulos variables en coordenadas espaciales a) Con parámetros distribuidos b) Con parámetros agrupados 4. Por el principio de construcción a) Estocástico b) Determinista Si x y a (entrada y salida) cantidades constantes o conocidas (determinista), entonces el modelo se llama estocástico. x y a valores aleatorios (probables), entonces el modelo se llama estocástico.
Los modelos estocásticos contienen elementos probables y representan un sistema de dependencia obtenido como resultado de un estudio estático de un objeto operativo.
Deterministic es un sistema de dependencias funcionales construido utilizando un enfoque teórico.
Los modelos deterministas tienen varias ventajas. Pueden desarrollarse incluso en ausencia de una instalación en funcionamiento, como suele ser el caso al diseñar. Caracterizan cualitativamente, de manera más correcta, los procesos que ocurren en el objeto, incluso en presencia de parámetros de modelo cuantitativamente precisos insuficientes.
Si la información sobre el objeto de modelado no tiene una integridad suficientemente alta o debido a su complejidad significativa, es imposible describir todas las acciones de entrada en la forma de un modelo, y la influencia de las variables no observables en las coordenadas de salida es significativa, luego se usa un modelo estático.
5. Por la dependencia de los parámetros del modelo de las variables.
a) Dependiente (no lineal).
b) Independiente (lineal).
Si los parámetros (coeficientes) del modelo dependen de variables o estas últimas son multiplicativas, entonces el modelo es no lineal.
El modelo se considera lineal con una respuesta continua a la acción de entrada y con aditividad a los parámetros del modelo.
La adecuación de las cantidades es una propiedad de que el valor del valor del objeto completo es igual a la suma de los valores de las frecuencias correspondientes del todo para cualquier división del objeto en partes.
La multiplicatividad de los valores es una propiedad de que el valor del valor del objeto completo es igual al producto del valor del valor de las partes correspondientes del todo para cualquier división del objeto en partes.
6. Según la adaptabilidad del modelo.
a) Adaptable.
b) No adaptativo.
Un modelo adaptativo es un modelo, cuya estructura y parámetros se modifican para que una cierta medida de error entre las variables de salida del modelo y el objeto sea mínima.
Se dividen en búsqueda y no búsqueda.
En los modelos de búsqueda, el optimizador automático varía los parámetros del modelo para que se obtenga la mínima medida de error entre los modelos de salida del objeto.
Conferencia número 2
Esquemas de modelado matemático
Los principales enfoques para construir un modelo matemático del sistema.
La información inicial en la construcción de un modelo matemático, el proceso de funcionamiento de los sistemas son datos sobre la finalidad y las condiciones de funcionamiento del sistema en estudio. Esta información define el propósito principal del modelado del sistema. S y le permite formular los requisitos y el modelo matemático desarrollado METRO.
Un esquema matemático es un vínculo en la transición de una descripción significativa a una formal del proceso de funcionamiento del proceso, teniendo en cuenta la influencia del entorno externo, es decir. hay una cadena: modelo descriptivo → esquema matemático → modelo matemático.
Cada sistema S caracterizado por un conjunto de propiedades que reflejan el comportamiento del sistema y las condiciones de su funcionamiento en interacción con el entorno externo ε .
La integridad del modelo está regulada principalmente por la elección del límite por parte del sistema. S y el entorno externo mi.
La tarea de simplificar el modelo ayuda a resaltar las principales propiedades del sistema, descartando las secundarias.
Introduzcamos la siguiente notación:
1) El conjunto de influencias de entrada en el sistema
.
2) La totalidad de las influencias ambientales
.
3) Un conjunto de parámetros internos o intrínsecos del sistema
.
4) El conjunto de características de salida del sistema.
16 Esquemas matemáticos para modelar sistemas.
Los principales enfoques para la construcción de modelos matemáticos del sistema. Modelos continuamente deterministas. Modelos deterministas discretos. Modelos estocásticos discretos. Modelos estocásticos continuos. Modelos de red. Modelos combinados.
Los principales enfoques para la construcción de modelos matemáticos del sistema.
La información inicial en la construcción de modelos matemáticos de los procesos del funcionamiento de los sistemas son los datos sobre el propósito y las condiciones de operación del sistema investigado (diseñado). S.
Esquemas matemáticos
Los procesos reales se muestran en forma de diagramas específicos. Estera. esquemas: la transición de una descripción significativa a una descripción formal del sistema, teniendo en cuenta el impacto del medio ambiente.
Modelo de objeto formal
Modelo del objeto de simulación,
es decir, sistemas S,se puede representar como un conjunto de cantidades,
describir el proceso de funcionamiento de un sistema real y generar
en general, los siguientes subconjuntos:
Agregar acciones de entradapor sistema
xi, ex, (mi-el personaje pertenece)i=1; nx
Agregar influencias medioambientales
vl eV l \u003d 1; nv
Agregar parámetros internos (propios)sistemas
hkeH k \u003d 1; nh
Agregar características de salidasistemas
yJeY j \u003d 1; ny
Puede distinguir entre variables administradas y no administradas.
Cuando se modelan sistemas, las influencias de entrada, las influencias ambientales y los parámetros internos contienen componentes tanto deterministas como estocásticos.
influencias de entrada, influencias ambientales miy los parámetros internos del sistema son variables independientes (exógenas).
Proceso de operación del sistema Sdescrito en el tiempo por el operador Fs,que en el caso general transforma variables exógenas en endógenas de acuerdo con relaciones de la forma:
y(t) \u003d Fs (x, v, h, t) - todo con vektori.
La ley de funcionamiento del sistema Fs puede especificarse en forma de función, condiciones funcionales, lógicas, en forma algorítmica y tabular, o en forma de regla de correspondencia verbal.
El concepto de algoritmo de funcionamiento As -un método para obtener características de salida teniendo en cuenta las acciones de entrada, los efectos del entorno externo y los parámetros intrínsecos del sistema.
También se introducen los estados del sistema: las propiedades del sistema en puntos específicos en el tiempo.
La totalidad de todos los valores posibles de estados constituyen el espacio de estados del objeto.
Así, la cadena de ecuaciones del objeto "entrada - estados - salida" permite determinar las características del sistema:
Por lo tanto, bajo modelo matemático del objeto(sistema real) comprender un subconjunto finito de variables (x (t), v (t), h(t)) junto con relaciones matemáticas entre ellos y características y (t).
Esquemas típicos
En las etapas iniciales del estudio, se utilizan esquemas típicos. : ecuaciones diferenciales, autómatas finitos y probabilísticos, sistemas de colas, redes de Petri, etc.
Las ecuaciones diferenciales, integrales, integro-diferenciales y otras se utilizan para representar sistemas que operan en tiempo continuo como modelos deterministas, cuando los factores aleatorios no se tienen en cuenta en el estudio, y se utilizan autómatas finitos y esquemas de diferencias finitas para representar sistemas que operan en tiempo discreto. ...
Los autómatas probabilísticos se utilizan como modelos estocásticos (teniendo en cuenta factores aleatorios) para representar sistemas con tiempo discreto, y los sistemas de colas se utilizan para representar sistemas con tiempo continuo, etc.
Así, al construir modelos matemáticos de procesos de funcionamiento de sistemas, se pueden distinguir los siguientes enfoques principales: determinista continuo (por ejemplo, ecuaciones diferenciales); discreto-determinista (autómatas finitos); estocástico discreto (autómatas probabilísticos); estocástico continuo (sistemas de colas); generalizados o universales (sistemas agregados).
Modelos continuamente deterministas
Consideremos las características del enfoque continuamente determinista usando un ejemplo, usando Mat. modelos ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales son aquellas ecuaciones en las que se desconocen las funciones de una o varias variables, y la ecuación incluye no solo sus funciones, sino también sus derivadas de varios órdenes.
Si las incógnitas son funciones de varias variables, entonces las ecuaciones se llaman - ecuaciones diferenciales parciales.Si funciones desconocidas de una variable independiente, entonces ecuaciones diferenciales ordinarias.
Relación matemática general para sistemas deterministas:
Modelos deterministas discretos.
DDM están sujetos a revisión teoría de autómatas (TA)... TA es una sección de cibernética teórica que estudia dispositivos que procesan información discreta y cambian sus estados internos solo en momentos aceptables.
Máquina estatal Se denomina autómata, en el que el conjunto de estados internos y señales de entrada (y, en consecuencia, el conjunto de señales de salida) son conjuntos finitos.
Máquina de estados finitos tiene muchos estados internos y señales de entrada, que son conjuntos finitos. Máquina dado por el esquema F: F \u003d
donde z, x, y son, respectivamente, conjuntos finitos de señales de entrada y salida (alfabetos) y un conjunto finito de estados internos (alfabeto). z0ÎZ - estado inicial; j (z, x) - función de transición; y (z, x) - función de salida.
El autómata opera en tiempo de autómata discreto, cuyos momentos son ciclos, es decir, intervalos de tiempo iguales adyacentes entre sí, cada uno de los cuales corresponde a valores constantes de la señal de entrada, salida y estado interno. Un autómata abstracto tiene un canal de entrada y uno de salida.
Para definir un autómata F, es necesario describir todos los elementos del conjunto F \u003d
En la forma tabular de configuración, se utilizan tablas de transición y salida, cuyas filas corresponden a las señales de entrada del autómata, y las columnas, a sus estados.
Descripción del trabajo F- Metralleta Miles Las tablas de transiciones j y salidas y se ilustran en la tabla (1), y la descripción de F, el autómata de Moore, se ilustra en la tabla de transiciones (2).
tabla 1
Transiciones |
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………………………………………………………… |
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………………………………………………………… |
||||
Tabla 2
………………………………………………………… |
||||
En la tabla 3 se dan ejemplos de la forma tabular de especificar F - el autómata de Mealy F1 con tres estados, dos señales de entrada y dos de salida, y para F - el autómata de Moore F2 - en la tabla 4.
Tabla 3
Transiciones |
|||
Cuadro 4
Otra forma de definir una máquina de estados finitos utiliza el concepto de grafo dirigido. El grafo de autómata es un conjunto de vértices correspondientes a diferentes estados del autómata y que conectan los vértices de los arcos del grafo correspondientes a determinadas transiciones del autómata. Si la señal de entrada xk causa una transición del estado zi al estado zj, entonces en el gráfico del autómata el arco que conecta el vértice zi con el vértice zj se denota por xk. Para configurar la función de transición, los arcos del gráfico deben estar marcados con las señales de salida correspondientes.
Higo. 1. Gráficas de los autómatas de Mealy (a) y Moore (b).
Al resolver problemas de modelado, una definición matricial de una máquina de estados finitos suele ser una forma más conveniente. En este caso, la matriz de conexiones del autómata es una matriz cuadrada C \u003d || cij ||, cuyas filas corresponden a los estados iniciales y las columnas a los estados de transición.
Ejemplo. Para el autómata de Moore F2 considerado anteriormente, escribimos la matriz de estado y el vector de salida:
;
Modelos estocásticos discretos
Sea Ф el conjunto de todos los pares posibles de la forma (zk, yi), donde уi es un elemento de la salida
subconjunto Y. Requerimos que cualquier elemento del conjunto G induzca
en el conjunto Ф alguna ley de distribución de la siguiente forma:
Elementos de Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)
(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ
Redes de información "href \u003d" / text / category / informatcionnie_seti / "rel \u003d" bookmark "\u003e procesamiento de información informática desde terminales remotos, etc.
Al mismo tiempo, típico de
el funcionamiento de tales objetos es la aparición aleatoria de aplicaciones (requisitos) para
mantenimiento y finalización del mantenimiento en momentos aleatorios,
es decir, la naturaleza estocástica del proceso de su funcionamiento.
QS se entiende como un sistema dinámico diseñado para atender de manera eficiente un flujo aleatorio de solicitudes con recursos limitados del sistema. La estructura generalizada del QS se muestra en la Figura 3.1.
Higo. 3.1. Esquema SMO.
Los reclamos homogéneos que llegan a la entrada QS, dependiendo de la causa generadora, se dividen en tipos, la intensidad del flujo de reclamos de tipo i (i \u003d 1 ... M) se denota por li. La totalidad de aplicaciones de todo tipo es el flujo entrante del QS.
Se realiza el servicio de las aplicaciones metro canales.
Distinguir entre canales de servicio universales y especializados. Para un canal universal de tipo j, las funciones de distribución Fji (t) de la duración del servicio de reclamaciones de tipo arbitrario se consideran conocidas. Para canales especializados, las funciones de distribución de la duración del servicio de canales de ciertos tipos de reclamos son indefinidas, la asignación de estos reclamos a un canal determinado.
Los circuitos Q se pueden investigar analíticamente y mediante modelos de simulación. Este último aporta una gran versatilidad.
Consideremos el concepto de hacer cola.
En cualquier acto elemental de servicio, se pueden distinguir dos componentes principales: la expectativa de servicio por el reclamo y el servicio real del reclamo. Esto se puede mostrar en forma de algún i-ésimo dispositivo de servicio Pi, que consiste en un acumulador de reclamos, en el que pueden existir simultáneamente li \u003d 0 ... LiH reclamos, donde LiH es la capacidad del i-ésimo acumulador, y un canal de servicio de reclamaciones, ki.
Higo. 3.2. Diagrama esquemático del dispositivo CMO
Cada elemento del dispositivo de servicio Pi recibe flujos de eventos: el flujo de reclamaciones wi al acumulador Hi y el flujo de servicio ui al canal ki.
Por el fluir de los eventos (PS) es una secuencia de eventos que ocurren uno tras otro en algunos momentos aleatorios en el tiempo. Distinguir entre corrientes de eventos homogéneos y heterogéneos. HomogéneoEl PS se caracteriza solo por los momentos de llegada de estos eventos (momentos causantes) y viene dado por la secuencia (tn) \u003d (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), donde tn es el momento de llegada de los n -ésimo evento - un número real no negativo. La TSA también se puede especificar como una secuencia de intervalos de tiempo entre los eventos n-ésimo y n-1-ésimo (tn).
Heterogéneo PS se llama secuencia (tn, fn), donde tn - momentos que causan; fn: un conjunto de atributos de eventos. Por ejemplo, se puede configurar para que pertenezca a una fuente particular de reclamos, la presencia de una prioridad, la capacidad de atender uno u otro tipo de canal, etc.
Los clientes atendidos por el canal ki y los clientes que dejaron el servidor Pi por diversas razones no atendidos forman el flujo de salida yiÎY.
El proceso de funcionamiento del dispositivo de servicio Pi se puede representar como un proceso de cambio de estados de sus elementos en el tiempo Zi (t). La transición a un nuevo estado para Pi significa un cambio en la cantidad de solicitudes que se encuentran en él (en el canal ki y el acumulador Hi). T. acerca de. el vector de estados para Pi tiene la forma :, donde están los estados de la unidad, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "ancho \u003d" 24 alto \u003d 28 "alto \u003d" 28 " \u003e \u003d 1 - hay una solicitud en el almacenamiento ..., \u003d - el almacenamiento está completamente ocupado; - el estado del canal ki (\u003d 0 - el canal está libre, \u003d 1 el canal está ocupado).
Los diagramas Q de objetos reales están formados por la composición de muchos dispositivos de servicio elementales Pi. Si ki diferentes dispositivos de servicio están conectados en paralelo, entonces hay un servicio multicanal (circuito Q multicanal), y si los dispositivos Pi y sus composiciones paralelas están conectados en serie, entonces hay un servicio multifásico (circuito Q multifásico ).
Para definir un esquema Q, también es necesario describir los algoritmos para su funcionamiento, que determinan las reglas para el comportamiento de las reclamaciones en diversas situaciones ambiguas.
Dependiendo del lugar de ocurrencia de tales situaciones, existen algoritmos (disciplinas) para esperar reclamos en el acumulador Нi y atender reclamos en el canal ki. La heterogeneidad del flujo de solicitudes se tiene en cuenta mediante la introducción de una clase de prioridad: prioridades relativas y absolutas.
T. acerca de. Un esquema Q que describe el proceso de funcionamiento de un QS de cualquier complejidad se define de forma única como un conjunto de conjuntos: Q \u003d
Modelos de red.
Para una descripción formal de la estructura y la interacción de sistemas y procesos paralelos, así como para el análisis de las relaciones de causa y efecto en sistemas complejos, se utilizan las redes de Petri, denominadas N-esquemas.
Formalmente, el esquema N viene dado por un cuádruple de la forma
N \u003d
donde B es un conjunto finito de símbolos llamados posiciones, B ≠ O;
D es un conjunto finito de símbolos llamados transiciones D ≠ O,
B ∩ D ≠ O; I - función de entrada (función de incidencia directa)
I: B × D → (0, 1); О - función de salida (función de incidencia inversa),
О: B × D → (0, 1). Por lo tanto, la función de entrada I mapea la transición dj a
el conjunto de posiciones de entrada bj I (dj), y la función de salida O mapea
transición dj al conjunto de posiciones de salida bj О (dj). Para cada transición
dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "ancho \u003d" 13 "alto \u003d" 13 "\u003e B | I (bi, dj) \u003d 1),
O (dj) \u003d (bi B | O (dj, bi) \u003d 1),
i \u003d 1, n; j \u003d 1, m; n \u003d | B |, m \u003d | D |.
Del mismo modo, para cada posición bi B, se introducen las definiciones
conjunto de transiciones de entrada de la posición I (bi) y transiciones de salida
posición O (bi):
Yo (bi) \u003d (dj D | Yo (dj, bi,) \u003d 1),
O (bi) \u003d (dj D | O (bi, dj) \u003d 1).
Una red de Petri es un gráfico dirigido bipartito que consta de dos tipos de vértices: posiciones y transiciones, conectados por arcos; los vértices del mismo tipo no se pueden conectar directamente.
Un ejemplo de red de Petri. Los círculos blancos indican posiciones, rayas - transiciones, círculos negros - etiquetas.
Los arcos de orientación conectan posiciones y transiciones, con cada arco dirigido desde un elemento de un conjunto (posición o transición) a un elemento de otro conjunto.
(transición o posición). Un gráfico de diseño N es un gráfico múltiple, ya que
admite la existencia de múltiples arcos de un vértice a otro.
Descomposición "href \u003d" / text / category / dekompozitciya / "rel \u003d" bookmark "\u003e descomposición un sistema complejo se representa como una estructura multinivel de elementos interconectados combinados en subsistemas de varios niveles.
Un agregado actúa como un elemento del diagrama A, y la conexión entre los agregados (dentro del sistema S y con el entorno externo E) se lleva a cabo utilizando el operador de conjugación R.
Cualquier unidad se caracteriza por los siguientes conjuntos: tiempos T, señales de entrada X y salida Y, estados Z en cada tiempo t. El estado de la unidad en el tiempo tT se denota como z (t) Z,
y señales de entrada y salida como x (t) X e y (t) Y, respectivamente.
Supondremos que la transición del agregado del estado z (t1) al estado z (t2) ≠ z (t1) ocurre en un intervalo de tiempo pequeño, es decir, hay un salto δz.
Las transiciones de la unidad del estado z (t1) a z (t2) están determinadas por los parámetros intrínsecos (internos) de la propia unidad h (t) H y las señales de entrada x (t) X.
En el momento inicial t0, los estados z tienen valores iguales a z0, es decir, z0 \u003d z (t0), dado por la ley de distribución del proceso z (t) en el tiempo t0, es decir, J. Suponga que el proceso El funcionamiento de la unidad en el caso de acción de la señal de entrada xn es descrito por un operador aleatorio V. Luego, en el momento en que la señal de entrada llega a la unidad tnT
xn puedes determinar el estado
z (tn + 0) \u003d V.
Denotamos el intervalo de medio tiempo t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал
t1 ≤ t< t2 как .
El conjunto de operadores aleatorios V y U se considera un operador de transiciones del agregado a nuevos estados. En este caso, el proceso de funcionamiento de la unidad consiste en saltos de estados δz en los momentos de llegada de las señales de entrada x (operador V) y cambios de estados entre estos momentos tn y tn + 1 (operador U). No se imponen restricciones al operador U; por lo tanto, los saltos de estados δz en momentos que no son tiempos de llegada de las señales de entrada x son admisibles. En lo que sigue, los momentos de los saltos δz se denominarán momentos especiales de tiempo tδ, y estados z (tδ) - estados especiales del esquema A. Para describir los saltos de los estados δz en tiempos especiales tδ, usaremos el operador aleatorio W, que es un caso especial del operador U, es decir,
z (tδ + 0) \u003d W.
En el conjunto de estados Z, se distingue un subconjunto Z (Y) tal que si z (tδ) alcanza Z (Y), entonces este estado es el momento de emitir la señal de salida determinada por el operador de salida.
y \u003d G.
Así, por agregado entendemos cualquier objeto definido por una colección ordenada de los conjuntos considerados T, X, Y, Z, Z (Y), H y operadores aleatorios V, U, W, G.
La secuencia de señales de entrada, dispuestas en el orden de su llegada en el esquema A, se denominará mensaje de entrada o mensaje x. La secuencia de señales de salida, ordenadas con respecto al momento de emisión, se denominará mensaje de salida o mensaje y.
SI BREVEMENTE
Modelos continuos deterministas (esquemas D)
Se utilizan para estudiar sistemas que operan en tiempo continuo. Las ecuaciones diferenciales, integrales e integro-diferenciales se utilizan principalmente para describir tales sistemas. En ecuaciones diferenciales ordinarias, se considera una función de una sola variable independiente, y en ecuaciones diferenciales parciales, se consideran funciones de varias variables.
Como ejemplo de la aplicación de modelos D, se puede citar el estudio del funcionamiento de un péndulo mecánico o un circuito oscilatorio eléctrico. La base técnica de los modelos D está formada por computadoras analógicas (AVM) o las computadoras híbridas en rápido desarrollo (GVM). Como sabe, el principio básico de la investigación en una computadora es que de acuerdo con las ecuaciones dadas, el investigador (usuario del AVM) ensambla un circuito a partir de nodos típicos separados: amplificadores operacionales con la inclusión de circuitos para escalado, amortiguación, aproximación, etc.
La estructura de la AVM cambia de acuerdo con la forma de las ecuaciones reproducidas.
En una computadora digital, la estructura permanece sin cambios, pero la secuencia de operación de sus nodos cambia de acuerdo con el programa establecido en ella. La comparación de AVM y computadora digital muestra claramente la diferencia entre simulación y modelado estadístico.
ABM implementa un modelo de simulación, pero, por regla general, no utiliza los principios del modelado estadístico. En las computadoras digitales, la mayoría de los modelos de simulación se basan en el estudio de números aleatorios, procesos, es decir, en modelos estadísticos. Los modelos deterministas continuos se utilizan ampliamente en la ingeniería mecánica en el estudio de los sistemas de control automático, la elección de los sistemas de amortiguación, la identificación de fenómenos de resonancia y oscilaciones en la tecnología.
etc.
Modelos deterministas discretos (circuitos F)
Opere con tiempo discreto. Estos modelos son la base para investigar el funcionamiento de una clase extremadamente importante y extendida de sistemas de autómatas discretos en la actualidad. Para el propósito de su investigación, se ha desarrollado un aparato matemático independiente de la teoría de los autómatas. En base a esta teoría, el sistema es considerado como un autómata que procesa información discreta y cambia, en función de los resultados de su procesamiento, sus estados internos.
Este modelo se basa en los principios de minimizar el número de elementos y nodos en un circuito, dispositivo, optimización del dispositivo en su conjunto y la secuencia de funcionamiento de sus nodos. Junto con los circuitos electrónicos, un representante llamativo de los autómatas descritos por este modelo es un robot que controla (de acuerdo con un programa dado) procesos tecnológicos en una secuencia determinista dada.
La máquina de control numérico también se describe en este modelo. La elección de la secuencia de procesamiento de piezas en esta máquina se lleva a cabo configurando la unidad de control (controlador), que genera señales de control en determinados momentos / 4 /.
La teoría de los autómatas utiliza el aparato matemático de funciones booleanas que operan con dos posibles valores de las señales 0 y 1.
Los autómatas se dividen en autómatas sin memoria, autómatas con memoria. La descripción de su trabajo se realiza mediante tablas, matrices, gráficos que muestran las transiciones de la máquina de un estado a otro. Las estimaciones analíticas para cualquier tipo de descripción del funcionamiento de la máquina son muy engorrosas e incluso con un número relativamente pequeño de elementos, los nodos que forman el dispositivo, son prácticamente imposibles. Por tanto, el estudio de circuitos complejos de autómatas, que sin duda incluyen dispositivos robóticos, se realiza mediante simulación.
Modelos estocásticos discretos (esquemas P)
Se utilizan para estudiar el trabajo de los autómatas probabilísticos. En los autómatas de este tipo, las transiciones de un estado a otro se llevan a cabo bajo la influencia de señales externas y teniendo en cuenta el estado interno del autómata. Sin embargo, a diferencia de los T-autómatas, estas transiciones no son estrictamente deterministas, pero pueden ocurrir con ciertas probabilidades.
Un ejemplo de tal modelo es una cadena de Markov discreta con un conjunto finito de estados. El análisis de esquemas F se basa en el procesamiento y transformación de matrices de probabilidad de transición y el análisis de gráficos de probabilidad. Ya para el análisis de dispositivos relativamente simples, cuyo comportamiento se describe mediante circuitos F, es aconsejable utilizar simulación. En la cláusula 2.4 se da un ejemplo de tal simulación.
Modelos estocásticos continuos (esquemas Q)
Se utilizan en el análisis de una amplia clase de sistemas considerados como sistemas de colas. Como proceso de servicio, se pueden representar procesos que son diferentes en su naturaleza física: flujos de suministro de productos a una empresa, flujos de componentes y productos hechos a medida, flujos de piezas en una línea de montaje, flujos de acciones de control desde el centro de control de el ACS a los lugares de trabajo y las solicitudes de devolución para el procesamiento de información en una computadora, etc.
Normalmente, estos flujos dependen de muchos factores y situaciones específicas. Por lo tanto, en la mayoría de los casos, estos flujos son aleatorios en el tiempo con la posibilidad de cambios en cualquier momento. El análisis de tales esquemas se lleva a cabo sobre la base del aparato matemático de la teoría de las colas. Estos incluyen una cadena de Markov continua. A pesar del progreso significativo logrado en el desarrollo de métodos analíticos, la teoría de las colas y el análisis de esquemas Q por métodos analíticos solo pueden llevarse a cabo con supuestos y supuestos simplificadores significativos. Un estudio detallado de la mayoría de estos esquemas, especialmente los complejos como los sistemas de control de procesos, los sistemas robóticos, solo se puede realizar mediante simulación.
Modelos generalizados (diagramas A)
Basado en la descripción de los procesos de funcionamiento de cualquier sistema basado en el método agregado. En una descripción agregada, el sistema se divide en subsistemas separados, que pueden considerarse convenientes para la descripción matemática. Como resultado de dicha división (descomposición), se presenta un sistema complejo en forma de un sistema multinivel, cuyos niveles individuales (agregados) pueden analizarse. A partir del análisis de agregados individuales y teniendo en cuenta las leyes de interconexión de estos agregados, es posible realizar un estudio integral de todo el sistema.
, Yakovlev Systems. 4ª ed. - M.: Bachillerato, 2005 .-- S. 45-82.
El modelo de un sistema complejo, considerado anteriormente, es un esquema de modelado matemático general. En la práctica, para formalizar modelos conceptuales de una serie de sistemas, es más ventajoso utilizar esquemas de modelado matemático estándar que tengan en cuenta, por un lado, la forma de representar el tiempo en el modelo (variable continua o discreta), y en por otro lado, el grado de aleatoriedad de los procesos simulados. Por estos motivos, se distinguen los siguientes esquemas de modelado matemático (clases MM).
Modelos continuamente deterministas (esquemas D).
Modelos deterministas discretos (esquemas F).
Modelos probabilísticos discretos (esquemas P).
Continuamente - modelos probabilísticos (esquemas Q).
Modelos de red (esquemas N).
Modelos agregados (diagramas A).
Modelos continuamente deterministas... En estos modelos, el tiempo t se supone que es una variable continua y se ignoran los factores aleatorios del sistema. El aparato matemático de los modelos es la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales, con la ayuda de la cual se logra una descripción adecuada de los sistemas dinámicos. El más desarrollado es el método del operador para describir y estudiar los procesos de funcionamiento de los sistemas dinámicos y sus estructuras.
Un ejemplo de un modelo determinista continuo de un sistema de control automático de un solo canal es una ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes.
En esta ecuación x (t) - acción de entrada; y (t) - valor de salida que caracteriza la posición del objeto controlado; - parámetros internos del sistema.
Si un sistema dinámico se describe mediante una ecuación diferencial no lineal, entonces se linealiza y se resuelve como lineal.
El uso de modelos continuamente deterministas permite realizar cuantitativamente no solo el análisis de sistemas dinámicos, sino también su síntesis óptima.
Modelos deterministas discretos... En modelos discretos deterministas (DD), el tiempo t es una variable discreta, donde es el paso de muestreo y son tiempos discretos.
El principal aparato matemático utilizado en la construcción de modelos DD es la teoría de ecuaciones en diferencias y el aparato de matemáticas discretas, en particular, la teoría de autómatas finitos.
La ecuación de diferencia es una ecuación que contiene diferencias finitas de la función requerida
donde están el estado del sistema y la influencia externa en momentos discretos de tiempo, respectivamente.
En problemas aplicados, los modelos DD en la forma (2.6) suelen aparecer como intermedios en el estudio de modelos ND en una computadora, cuando no se puede obtener la solución analítica de la ecuación diferencial y es necesario utilizar esquemas de diferencias.
Consideremos brevemente la teoría de las máquinas de estados finitos, que se utiliza para construir modelos DD.
Una máquina de estados finitos es un modelo matemático de un sistema discreto que, bajo la acción de señales de entrada, genera señales de salida y que puede tener algunos estados internos variables; aquí hay conjuntos finitos.
La máquina de estados finitos se caracteriza por: alfabeto de entrada; alfabeto de salida; alfabeto interno de estados; estado inicial; función de transición; función de salidas.
El proceso de funcionamiento de una máquina de estados es el siguiente. En el -ésimo ciclo, una señal de entrada llega a la entrada de la máquina de estado, a la cual la máquina reacciona cambiando al estado en el -ésimo ciclo y emitiendo una señal de salida.Por ejemplo, la máquina de estados finitos Mealy se describe mediante las siguientes relaciones de recurrencia:
Modelos probabilísticos discretos... En el modelo probabilístico discreto, se tienen en cuenta los elementos aleatorios del sistema complejo investigado. El principal aparato matemático utilizado en la construcción y estudio de modelos DW es la teoría de ecuaciones estocásticas en diferencias y la teoría de autómatas probabilísticos.
Una ecuación de diferencia estocástica es aquella que contiene parámetros aleatorios o entradas aleatorias.
Deje que un vector aleatorio de parámetros y una secuencia aleatoria de acciones de entrada se definan en el espacio de probabilidad 
La ecuación de orden estocástico en diferencias no lineales tiene la forma (2.8)
dónde están los estados iniciales dados del sistema; dada la función de las variables.
La solución a esta ecuación es una secuencia aleatoria de estados del sistema modelado definido en el conjunto:
Si la función es lineal en, entonces (2.8) toma la forma:
(2.9)
donde es el vector de parámetros.
Otro aparato matemático para construir modelos DV de sistemas complejos está representado por la teoría de los autómatas probabilísticos.
Un autómata probabilístico definido en un conjunto es un autómata finito en el que la función de transición 
y la función de salida son funciones aleatorias que tienen algunas distribuciones de probabilidad.
Usamos la notación para distribuciones de probabilidad: la distribución de probabilidad inicial, 
Es la probabilidad del evento de que el autómata, que está en el -ésimo ciclo en el estado, bajo la influencia de la señal de entrada, dé una señal de salida y cambie el -ésimo ciclo al estado
El modelo matemático de un autómata probabilístico está completamente determinado por cinco elementos :.
Continuo - modelos probabilísticos... En la construcción y estudio de los modelos NV, se utilizan la teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas y la teoría de las colas.
La ecuación diferencial estocástica (en la forma Ito) tiene la forma:
donde es un proceso aleatorio que determina el estado del sistema en un momento en el tiempo; - proceso aleatorio estándar de Wiener; - coeficientes de difusión y transferencia. NV: el modelo se usa a menudo para modelar sistemas de control estocásticos, procesos de intercambio.
La teoría de las colas desarrolla e investiga modelos matemáticos de procesos de funcionamiento de sistemas de diferente naturaleza, por ejemplo: el suministro de materias primas y componentes a una determinada empresa; tareas que llegan a la computadora desde terminales remotos; llamar a centrales telefónicas, etc. El funcionamiento de tales sistemas se caracteriza por la estocasticidad: la aleatoriedad de los tiempos de aparición de solicitudes de servicio, etc.
El sistema, descrito como un sistema de cola (QS), consta de dispositivos de servicio. El dispositivo de servicio consiste en un acumulador de reclamos, que puede contener simultáneamente reclamos, y un canal para atender reclamos; Es la capacidad de almacenamiento, es decir, la cantidad de lugares en la cola para atender solicitudes en el canal.
Cada elemento del dispositivo recibe flujos de eventos; a la unidad - el flujo de solicitudes, al canal - el flujo de "servicios". El flujo de solicitudes representa una secuencia de intervalos de tiempo entre los momentos en que aparecen las solicitudes en la entrada del QS y forma un subconjunto de variables no controladas del QS. Un flujo es una secuencia de intervalos de tiempo entre el inicio y el final del servicio de reclamaciones y forma un subconjunto de variables controladas.
Las reclamaciones atendidas por QS forman un flujo de salida: una secuencia de intervalos de tiempo entre los momentos en que salen las reclamaciones. Las reclamaciones que no han sido atendidas, pero que dejaron el QS por diversas razones, forman un flujo de salida de reclamaciones perdidas.
Modelos de red se utiliza para formalizar relaciones causa-efecto en sistemas complejos con procesos paralelos. Estos modelos se basan en la red de Petri. Cuando se interpreta gráficamente, una red de Petri es un gráfico de un tipo especial, que consta de vértices de dos tipos: posicionesy transicionesconectados por arcos orientados, y cada arco puede conectar solo vértices de diferentes tipos (una posición con una transición o una transición con una posición). Las posiciones de los vértices se indican mediante círculos, las transiciones de los vértices, mediante guiones. Desde un punto de vista significativo, las transiciones corresponden a eventos inherentes al sistema en estudio y las posiciones corresponden a las condiciones para su ocurrencia.
Así, la totalidad de transiciones, posiciones y arcos permite describir las relaciones causa-efecto inherentes al sistema, pero en estática. Para hacer que la red de Petri "cobre vida", se introduce un tipo más de objetos de red: los llamados papas fritas o etiquetasposiciones que se mueven a lo largo de las transiciones de la red, siempre que haya una marca en la posición de entrada y ninguna marca en la posición de salida. La ubicación de los chips en las posiciones de la red se llama marcado de red.
Modelos agregados... El análisis de los problemas existentes lleva a la conclusión de que una solución integral a los problemas solo es posible si los sistemas de modelado se basan en un único esquema de modelado matemático. Este enfoque para formalizar el proceso de funcionamiento de un sistema complejo fue propuesto por N.P. Buslenko. y se basa en el concepto de "unidad".
Con una descripción agregada, un sistema complejo se divide en subsistemas, manteniendo las conexiones que aseguran su interacción. Si un subsistema resulta complejo, entonces el proceso de desmembramiento continúa hasta que se forman subsistemas que, en las condiciones del problema en consideración, pueden considerarse convenientes para una descripción matemática.
Como resultado, se obtiene una estructura de varios niveles a partir de elementos interconectados combinados en subsistemas de varios niveles. Los elementos de un modelo agregado son agregados. Las conexiones entre las unidades y el entorno externo se realizan mediante operadores de interfaz. El agregado en sí mismo también puede considerarse como un modelo agregado, es decir, puede desglosarse en elementos del siguiente nivel.
Cualquier unidad se caracteriza por conjuntos: puntos en el tiempo T, aporte X y fines de semana Y señales, estados unitarios Z en cada momento del tiempo t... El proceso de funcionamiento de la unidad consiste en saltos de estados en los momentos de llegada de señales de entrada x y cambios de estado entre estos momentos y.
Los momentos de los saltos, que no son los momentos de llegada de las señales de entrada, se denominan momentos especiales en el tiempo y los estados se denominan estados especiales del circuito agregado. En muchos estados Z seleccione un subconjunto, que si alcanza, entonces este estado es el momento en que se emite la señal de salida y.
La información inicial en la construcción de los procesos de MM para el funcionamiento de los sistemas son datos sobre el propósito y las condiciones de operación del sistema investigado (diseñado). Esta información determina el objetivo principal del modelado, los requisitos de MM, el nivel de abstracción y la elección del esquema de modelado matemático.
El concepto de esquema matemático nos permite considerar las matemáticas no como un método de cálculo, sino como un método de pensamiento, un medio de formar conceptos, que es más importante en la transición de una descripción verbal a una representación formalizada del proceso de su funcionamiento en forma de algún MM.
Al utilizar un esquema matemático, en primer lugar, el investigador del sistema debe estar interesado en la cuestión de la adecuación del mapeo en forma de esquemas específicos de procesos reales en el sistema en estudio, y no en la posibilidad de obtener una respuesta (solución resultado) a una pregunta de investigación específica.
Por ejemplo, la representación del proceso de funcionamiento de un ICS para uso colectivo en forma de una red de esquemas de colas permite describir bien los procesos que ocurren en el sistema, pero con leyes complejas de flujos entrantes y flujos de servicio, es no permite obtener resultados de forma explícita.
Esquema matemático puede definirse como un vínculo en la transición de una descripción significativa a una formalizada del proceso de funcionamiento del sistema, teniendo en cuenta el impacto del entorno externo. Aquellos. hay una cadena: un modelo descriptivo - un esquema matemático - un modelo de simulación.
Cada sistema específico se caracteriza por un conjunto de propiedades, las cuales se entienden como cantidades que reflejan el comportamiento del objeto modelado (sistema real) y las condiciones de su funcionamiento en interacción con el entorno externo (sistema) E.
Al construir un sistema MM, es necesario resolver el problema de su integridad. La integridad del modelado está regulada principalmente por la elección de los límites "Sistema-entorno E" También se debe resolver la tarea de simplificar el MM, lo que ayuda a resaltar las principales propiedades del sistema, descartando las secundarias, en términos de propósito, el modelado.
MM del objeto de simulación, es decir Los sistemas se pueden representar como un conjunto de cantidades que describen el proceso de funcionamiento de un sistema real y generalmente forman los siguientes subconjuntos:
El conjunto de influencias de entrada en
La totalidad de las influencias ambientales
El conjunto de parámetros internos (intrínsecos) del sistema.
El conjunto de características de salida del sistema.
En los conjuntos enumerados, se pueden distinguir cantidades controladas y no controladas. En general, X, V, H, Y son conjuntos no cruzados que contienen componentes tanto deterministas como estocásticos.
Así, bajo la MM de un objeto nos referimos a un conjunto finito de variables junto con relaciones matemáticas entre ellas y características.
El modelado se llama determinista si los operadores F, Ф son deterministas, es decir para una entrada específica, la entrada es determinista. El modelado determinista es un caso especial de modelado estocástico. En la práctica, modelar objetos en el campo del análisis de sistemas en las etapas primarias de la investigación es más racional para usar esquemas matemáticos estándar: ecuaciones diferenciales, autómatas finitos y probabilísticos, QS, etc.
Como modelos deterministas, cuando no se tiene en cuenta un hecho aleatorio en el estudio, se utilizan ecuaciones diferenciales, integrales y otras para representar sistemas que operan en tiempo continuo, y se utilizan autómatas finitos y esquemas de diferencias para representar sistemas que operan en tiempo discreto.
Reglas generales
El propósito de la disciplina "Métodos de decisiones óptimas" es dominar la metodología de modelado de procesos comerciales y económicos para su análisis y manejo óptimo.
El propósito de estas pautas es ayudar a los estudiantes a aprender los conceptos básicos de modelos económicos y matemáticos, mostrar las habilidades prácticas necesarias en el uso de métodos matemáticos en la construcción de modelos de comunicación de indicadores de problemas de prácticas comerciales y, sobre su base, los problemas científicos. justificación de la elección de decisiones de gestión.
El objeto de estudio del curso son los mecanismos económicos de gestión de organizaciones comerciales y empresas.
El tema del curso es la información y las conexiones funcionales de los sistemas económicos y comerciales.
El resultado de la admisión a la prueba en la disciplina "Métodos de soluciones óptimas" es una prueba resuelta con todas las tareas con la nota del profesor "Aceptada". La prueba aprobada queda con el maestro, se envía una revisión al departamento educativo y metodológico. Si las condiciones de las asignaciones no están claras y cuando surgen dificultades para resolver problemas, es necesario consultar al alumno con el maestro principal. Si no se acredita el trabajo resuelto, el alumno deberá eliminar los comentarios y aprobar la prueba para su re-revisión.
NORMAS DE REGISTRO DE TRABAJO
La portada del cuaderno debe contener el nombre de la disciplina, el nombre de la facultad, curso, apellido, nombre, patronímico.
Al comienzo del trabajo o en la portada, se deben indicar los números de las tareas completadas en la tarea de control.
Antes de resolver cada problema, debe anotar su condición en su totalidad. La solución de problemas debe incluir cálculos detallados y breves explicaciones, un análisis económico de los resultados obtenidos. Al final de la prueba, proporcione una lista de literatura usada y ponga su firma.
Tarea número 1
Construir un modelo económico y matemático para determinar la estructura de los platos en una empresa de catering público que proporcione el máximo beneficio basado en los estándares especificados para el costo de los productos para el primer y segundo plato, presentados en la siguiente tabla 1.
Los datos para las tareas deben seleccionarse de la Tabla 2 por las primeras letras del apellido, el nombre y el patronímico del estudiante. Por ejemplo, un estudiante Nikolai Sergeevich Kornienko debe resolver un problema con los datos a 11 \u003d 2, a 12 \u003d 3, a 21 \u003d 2, a 23 \u003d 13, a 31 \u003d 6, a 32 \u003d 7, a 33 \u003d 8, a 41 \u003d 9, a 42 \u003d 6, a 44 \u003d 4, a 54 \u003d 19, b 1 \u003d 450, b 2 \u003d 310, b 3 \u003d 410, b 4 \u003d 315, b 5 \u003d 400, c 1 \u003d 89, c 2 \u003d 41, c 3 \u003d 50.
Esquemas matemáticos para modelar sistemas
Pros y contras de la simulación
El principal dignidad Modelado de simulación en el estudio de sistemas complejos:
· La capacidad de explorar las características del proceso de funcionamiento del sistema S en cualquier condición;
· Debido al uso de una computadora, la duración de las pruebas se reduce significativamente en comparación con un experimento a gran escala;
· Los resultados de las pruebas a gran escala de un sistema real o sus partes se pueden utilizar para la simulación;
· Flexibilidad para variar la estructura, algoritmos y parámetros del sistema modelado al buscar la versión óptima del sistema;
· Para sistemas complejos: este es el único método prácticamente realizable para estudiar el proceso de funcionamiento de los sistemas.
El principal limitaciones modelado de simulación:
· Para un análisis completo de las características del proceso de funcionamiento del sistema y la búsqueda de la opción óptima, se requiere reproducir el experimento de simulación muchas veces, variando los datos iniciales del problema;
· Grandes gastos de tiempo informático.
La efectividad del modelado de máquinas.Al simular, es necesario garantizar la máxima eficiencia del modelo del sistema. Eficiencia generalmente se define como alguna diferencia entre alguna medida del valor de los resultados obtenidos durante la operación del modelo, y los costos que se invirtieron en su desarrollo y creación.
La eficacia del modelado de simulación puede evaluarse mediante varios criterios:
Precisión y fiabilidad de los resultados de la simulación.
Tiempo de construcción y trabajo con el modelo. METRO,
El gasto de los recursos de la máquina (tiempo y memoria),
· El costo de desarrollar y operar el modelo.
La mejor medida de efectividad es una comparación de los resultados obtenidos con estudios reales. Utilizando un enfoque estadístico, con un cierto grado de precisión (dependiendo del número de realizaciones de un experimento de máquina), se obtienen características promediadas del comportamiento del sistema.
El gasto total de tiempo informático consiste en el tiempo de entrada y salida de cada algoritmo de simulación, el tiempo de realización de operaciones computacionales, teniendo en cuenta el acceso a la RAM y dispositivos externos, así como la complejidad de cada algoritmo de simulación y la planificación de experimentos.
Esquemas matemáticos.Modelo matemáticoEs un conjunto de objetos matemáticos (números, variables, conjuntos, vectores, matrices, etc.) y las relaciones entre ellos, que refleja adecuadamente las propiedades físicas del objeto técnico creado. El proceso de formar un modelo matemático y usarlo para análisis y síntesis se llama modelo matematico.
Al construir un modelo matemático del sistema, es necesario resolver el problema de su integridad. La integridad del modelo está regulada principalmente por la elección del "sistema de límites" S - Miércoles mi". Asimismo, se debe resolver el problema de simplificar el modelo, lo que ayuda a resaltar, según el propósito del modelado, las principales propiedades del sistema, descartando las secundarias.
En la transición de una descripción significativa a una formal del proceso de funcionamiento del sistema, teniendo en cuenta el impacto del entorno externo, aplique esquema matemático como eslabón de la cadena "modelo descriptivo - esquema matemático - modelo matemático (analítico y / o de simulación)".
Modelo formal del objeto. Modelo de objeto (sistemas S) se puede representar como un conjunto de cantidades que describen el proceso de funcionamiento de un sistema real:
Un conjunto de influencias de entrada en el sistema.
x yo \u003d X, yo \u003d;
Un conjunto de influencias ambientales
v j = V, j= ;
Un conjunto de parámetros internos (intrínsecos) de los sistemas.
h k \u003d H, k \u003d;
Conjunto de características de salida del sistema.
y j \u003d Y, j \u003d.
En general x yo, v j, h k, y j son elementos de subconjuntos disjuntos y contienen componentes tanto deterministas como estocásticos.
Influencias de entrada, influencias ambientales mi y los parámetros internos del sistema son independiente (exógeno) variables, que en forma vectorial tienen, respectivamente, la forma ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)), y las características de salida son dependiente (endógeno) variables y en forma vectorial tienen la forma: ( t) = (a 1 (t), a 2 (t), …, en Nueva York(t)). Puede distinguir entre variables administradas y no administradas.
Proceso de operación del sistema S descrito en el tiempo por el operador F S, que transforma variables exógenas en endógenas de acuerdo con relaciones de la forma
(t) = F S(,,, t). (2.1)
El conjunto de dependencias de las características de salida del sistema en el tiempo. y j(t) para todo tipo j \u003dllamado trayectoria de salida (t). La dependencia (2.1) se llama la ley de funcionamiento del sistema F S, que se especifica en forma de función, condiciones funcionales, lógicas, en formas algorítmicas, tabulares o en forma de una regla de coincidencia verbal. Algoritmo de funcionamiento A S se denomina método de obtención de las características de salida teniendo en cuenta las influencias de entrada ( t), influencias medioambientales ( t) y los propios parámetros del sistema ( t). La misma ley de funcionamiento F S sistemas S se puede implementar de varias maneras, es decir usando muchos algoritmos diferentes de funcionamiento COMO.
Los modelos matemáticos se llaman dinámica(2.1) si las relaciones matemáticas describen el comportamiento del objeto (sistema) de modelado en el tiempo t, es decir. reflejan propiedades dinámicas.
Para estáticomodelos, un modelo matemático es un mapeo entre dos subconjuntos de las propiedades de un objeto modelado Y y ( X, V, H) en un momento determinado, que en forma vectorial se puede escribir como
= f(, , ). (2.2)
Las relaciones (2.1) y (2.2) se pueden especificar de diferentes maneras: analíticamente (usando fórmulas), gráficamente, tabularmente, etc. Estas relaciones se pueden obtener a través de las propiedades del sistema. S en puntos específicos en el tiempo, llamados estados. Estado del sistema Scaracterizado por vectores
" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) y "" = (z "" 1 , z "" 2 ,…, Z "" k),
dónde z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") en el momento t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") en el momento t ""Î ( t 0 , T) etc. k \u003d.
Si consideramos el proceso de funcionamiento del sistema S como un cambio secuencial de estados z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), entonces pueden interpretarse como las coordenadas de un punto en k-dimensional espacio de fase... Además, cada implementación del proceso corresponderá a una determinada trayectoria de fase. El conjunto de todos los valores posibles de estados () se llama espacio de Estados objeto de modelado Z, y
z kÎ Z.
Estados del sistema S en este momento t 0 < t * £ T están completamente determinadas por las condiciones iniciales 0 \u003d ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [dónde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], acciones de entrada ( t), parámetros internos ( t) y los efectos del entorno externo ( t) que tuvo lugar en el intervalo de tiempo t * – t 0, usando dos ecuaciones vectoriales
(t) \u003d Ф (0 ,,,, t); (2.3)
(t) \u003d F (, t). (2.4)
La primera ecuación para el estado inicial 0 y las variables exógenas ,, determina la función vectorial ( t), y el segundo según el valor obtenido de los estados ( t) Son variables endógenas a la salida del sistema ( t). Así, la cadena de ecuaciones del objeto "entrada - estados - salida" permite determinar las características del sistema
(t) \u003d F [Ф (0 ,,,, t)]. (2.5)
En general, el tiempo en el modelo del sistema S puede considerarse en el intervalo de modelado (0, T) tanto continuos como discretos, es decir cuantificado en segmentos de longitud D t unidades de tiempo cada una cuando T = metroD tdónde metro = - el número de intervalos de muestreo.
Por lo tanto, bajo modelo matemáticoobjeto (sistema real) comprender un subconjunto finito de variables (( t), (t), (t)) junto con conexiones matemáticas entre ellos y características ( t).
Si la descripción matemática del objeto de modelado no contiene elementos aleatorios o no se tienen en cuenta, p. Ej. si podemos asumir que en este caso los efectos estocásticos del entorno externo ( t) y parámetros internos estocásticos ( t) están ausentes, entonces el modelo se llama determinista en el sentido de que las características están determinadas unívocamente por entradas deterministas
(t) = f(, t). (2.6)
Obviamente, el modelo determinista es un caso especial del modelo estocástico.
Esquemas matemáticos típicos.En la práctica de modelar objetos en el campo de la ingeniería de sistemas y el análisis de sistemas, en las etapas iniciales de la investigación de sistemas, es más racional usar esquemas matemáticos típicos: ecuaciones diferenciales, autómatas finitos y probabilísticos, sistemas de colas, redes de Petri, sistemas agregados, etc.
Los esquemas matemáticos típicos tienen las ventajas de simplicidad y claridad. Las ecuaciones diferenciales, integrales, integro-diferenciales y otras se utilizan para representar sistemas que operan en tiempo continuo como modelos deterministas, cuando los factores aleatorios no se tienen en cuenta en el estudio, y se utilizan autómatas finitos y esquemas de diferencias finitas para representar sistemas que operan en tiempo discreto. Los autómatas probabilísticos se utilizan como modelos estocásticos (teniendo en cuenta factores aleatorios) para representar sistemas con tiempo discreto, y los sistemas de colas se utilizan para representar sistemas con tiempo continuo. Las redes de Petri se utilizan para analizar las relaciones de causa y efecto en sistemas complejos, donde ocurren varios procesos simultáneamente. Para describir el comportamiento de sistemas continuos y discretos, deterministas y estocásticos (por ejemplo, ASOIU), se puede aplicar un enfoque generalizado (universal) basado en un sistema agregado. En una descripción agregada, un objeto complejo (sistema) se divide en un número finito de partes (subsistemas), mientras se mantienen las conexiones que aseguran la interacción de las partes.
Así, al construir modelos matemáticos de los procesos de funcionamiento de sistemas, se pueden distinguir los siguientes enfoques principales: continuo-determinista ( D-esquemas); discreto-determinista F-esquemas); estocástico discreto R-esquemas); estocástico continuo Q-esquemas); la red ( norte-esquemas); generalizado o universal y-esquemas).
2.2. Modelos continuamente deterministas ( D-esquemas)
Relaciones basicas... Consideremos las características del enfoque determinista continuo usando el ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. Ecuaciones diferenciales se denominan ecuaciones de este tipo en las que se desconocen las funciones de una o varias variables, y la ecuación incluye no solo funciones, sino también sus derivadas de varios órdenes. Si se desconocen las funciones de varias variables, entonces las ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales parciales, de lo contrario, cuando se considera una función de una variable independiente, las ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales ordinarias.
La relación matemática general para sistemas deterministas (2.6) será
" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)
dónde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, s n) y \u003d ( f 1 , f 2 , …, f n) – norte-vectores dimensionales; (, t) Es una función vectorial que se define en algunos ( norte+1) -dimensional (, t) establecido y es continuo.
Los esquemas matemáticos de este tipo se denominan Esquemas D (ing. dinámica), reflejan la dinámica del sistema en estudio, y el tiempo suele servir como una variable independiente de la que dependen funciones desconocidas desconocidas t.
En el caso más simple, una ecuación diferencial ordinaria tiene la forma:
y "(t) = f(y, t). (2.8)
Considere el ejemplo más simple de formalización del proceso de funcionamiento de dos esquemas elementales de diferente naturaleza: mecánico S M (oscilación del péndulo, fig. 2.1, y) y eléctrico S K (circuito oscilatorio, Fig. 2.1, b).
Higo. 2.1. Sistemas elementales
El proceso de pequeñas oscilaciones del péndulo se describe mediante la ecuación diferencial ordinaria
metro METRO l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m METRO gl METRO F(t) = 0,
dónde metro METRO, l M es la masa y la longitud de la suspensión del péndulo; gramo - aceleración de la gravedad; F(t) ¿Es el ángulo de deflexión del péndulo en el momento t.
A partir de esta ecuación de oscilación libre del péndulo, se pueden encontrar estimaciones de las características de interés. Por ejemplo, el período de oscilación de un péndulo
T M \u003d 2p.
De manera similar, los procesos en un circuito oscilatorio eléctrico se describen mediante la ecuación diferencial ordinaria
L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) \u003d 0,
dónde L K, C K - inductancia y capacitancia del condensador; q(t) ¿Es la carga del condensador en el momento del tiempo t.
A partir de esta ecuación, puede obtener varias estimaciones de las características del proceso en el circuito oscilatorio. Por ejemplo, el período de oscilaciones eléctricas
T M \u003d 2p.
Obviamente, introduciendo la notación h 2 = metro METRO l M 2 \u003d L K, h 1 = 0,
h 0 = metro METRO gl M \u003d 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), obtenemos una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe el comportamiento de este sistema cerrado:
h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)
dónde h 0 , h 1 , h 2 - parámetros del sistema; z(t) Es el estado del sistema en este momento
hora t.
Por tanto, el comportamiento de estos dos objetos se puede investigar sobre la base del modelo matemático general (2.9). Además, cabe señalar que el comportamiento del péndulo (sistema S M) se puede estudiar utilizando un circuito oscilatorio eléctrico (sistema S A).
Si el sistema en estudio S (péndulo o contorno) interactúa con el entorno externo mi, luego aparece la acción de entrada x(t) (fuerza externa para el péndulo y la fuente de energía para el circuito), y el modelo determinista continuo de dicho sistema tendrá la forma:
h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)
Desde el punto de vista del modelo matemático general (ver cláusula 2.1) x(t) es la acción de entrada (control) y el estado del sistema S en este caso, se puede considerar como una característica de salida, es decir la variable de salida coincide con el estado del sistema en un momento dado y = z.
Posibles aplicaciones D-esquemas... Para describir sistemas de control lineal, como cualquier sistema dinámico, las ecuaciones diferenciales no homogéneas tienen coeficientes constantes
donde ,,…, - función desconocida del tiempo y sus derivadas; y son funciones conocidas.
Utilizando, por ejemplo, el paquete de software VisSim diseñado para la simulación de procesos en sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales, simulamos la solución de una ecuación diferencial ordinaria no homogénea.
donde hay alguna función requerida del tiempo en un intervalo con condiciones iniciales cero, tomamos h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:
Al representar la ecuación dada con respecto a la mayor de las derivadas, obtenemos la ecuación
que se puede modelar utilizando un conjunto de bloques de construcción del paquete VisSim: bloques aritméticos - Ganancia (multiplicación por una constante), Summing-Junction (sumador); bloques de integración: integrador (integración numérica), función de transferencia (configuración de una ecuación representada como una función de transferencia); bloques para establecer señales - Const (constante), Step (función de la unidad en forma de "paso"), Rampa (señal que aumenta linealmente); bloques de recepción de señales - Plot (visualización en el dominio del tiempo de las señales que son analizadas por el investigador durante la simulación).
En la Fig. 2.2 muestra una representación gráfica de esta ecuación diferencial. La entrada del integrador más a la izquierda corresponde a una variable, la entrada del integrador medio - y la entrada del integrador más a la derecha -. La salida del integrador más a la derecha corresponde a la variable y.
Un caso particular de sistemas dinámicos descrito D-los esquemas son sistemas de control automático(SPG) y regulación(SAR). Un objeto real se presenta en forma de dos sistemas: control y controlado (objeto de control). La estructura de un sistema de control automático multidimensional general se muestra en la Fig. 2.3, donde se indique endógeno variables: ( t) Es el vector de influencias de entrada (maestro); ( t) Es el vector de influencias perturbadoras; " (t) Es el vector de señales de error; "" (t) - vector de acciones de control; exógeno variables: ( t) Es el vector de estado del sistema S; (t) Es un vector de variables de salida, generalmente ( t) = (t).
Higo. 2.2. Representación gráfica de la ecuación
El sistema de control es un conjunto de herramientas de software y hardware que aseguran el logro de un objetivo específico por parte del objeto de control. La precisión con la que un objeto alcanza un objetivo determinado se puede juzgar (para un sistema unidimensional) por la coordenada de estado y(t). La diferencia entre lo dado y culo t) y válido y(t) la ley de cambio de la variable controlada es un error de control " (t) = y culo t) – y(t). Si la ley de cambio prescrita de la cantidad controlada corresponde a la ley de cambio de la acción de entrada (maestra), es decir, x(t) = y culo t), entonces " (t) = x(t) – y(t).
Sistemas para los que controlan errores " (t) \u003d 0 en todo momento se llaman ideal... En la práctica, la implementación de sistemas ideales es imposible. La tarea del sistema de control automático es cambiar la variable y(t) de acuerdo con una ley dada con cierta precisión (con un error aceptable). Los parámetros del sistema deben garantizar la precisión de control requerida, así como la estabilidad del sistema en el proceso transitorio. Si el sistema es estable, analice el comportamiento del sistema en el tiempo, la desviación máxima de la variable controlada y(t) en el proceso transitorio, el tiempo del proceso transitorio, etc. El orden de la ecuación diferencial y el valor de sus coeficientes están completamente determinados por los parámetros estáticos y dinámicos del sistema.
Higo. 2.3. La estructura del sistema de control automático:
УC - sistema de control; OU - objeto de control
Entonces usando D-schemes le permite formalizar el proceso de funcionamiento de sistemas continuamente deterministas S y evaluar sus principales características utilizando un enfoque analítico o de simulación, implementado en forma de un lenguaje apropiado para modelar sistemas continuos o utilizando instalaciones de computación analógicas e híbridas.
2.3. Modelos deterministas discretos ( F-esquemas)
Relaciones basicas... Consideremos las características del enfoque determinista discreto utilizando el ejemplo del uso de la teoría de los autómatas como un aparato matemático. El sistema se representa en forma de autómata como un dispositivo con señales de entrada y salida que procesa información discreta y cambia sus estados internos solo en momentos aceptables. Máquina estatal Se llama autómata, en el que los conjuntos de estados internos, señales de entrada y salida son conjuntos finitos.
Los autómatas abstractos finitos se pueden representar como un esquema matemático ( F-esquema), caracterizado por seis elementos: un conjunto finito X señales de entrada (alfabeto de entrada); conjunto finito Y señales de salida (alfabeto de salida); conjunto finito Z estados internos (alfabeto interno o alfabeto de estados); estado inicial z 0 , z 0 Î Z; función de transición j ( z, x); función de salida y ( z, x). Conjunto de máquina automática F-esquema: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, opera en tiempo discreto, cuyos momentos son relojes, cada uno de los cuales corresponde a valores constantes de las señales de entrada y salida y estados internos. Denotamos el estado, así como las señales de entrada y salida correspondientes a t-th reloj en t\u003d 0, 1, 2, ..., hasta z(t), x(t), y(t). Además, según la condición z(0) = z 0, y z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.
Una máquina de estado abstracto tiene un canal de entrada y un canal de salida. En cada momento t\u003d 0, 1, 2, ... tiempo discreto F-la máquina está en cierto estado z(t) del set Z estados del autómata, y en el momento inicial del tiempo t\u003d 0 siempre está en el estado inicial z(0) = z 0. En el momento tser capaz z(t), el autómata puede percibir la señal en el canal de entrada x(t)Î X y emitir la señal en el canal de salida y(t) =
y [ z(t), X(t)], pasando al estado z ( t+1) =
j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Una máquina abstracta de estados finitos implementa algún mapeo del conjunto de palabras del alfabeto de entrada. Xen muchas palabras de fin de semana
alfabeto Y... En otras palabras, si la entrada de la máquina de estado se establece en el estado inicial z 0, suministra letras del alfabeto de entrada en una secuencia determinada x(0), x(1), x(2), ..., es decir la palabra de entrada, las letras del alfabeto de salida aparecerán secuencialmente en la salida de la máquina y(0), y(1), y(2),…, formando una palabra de salida.
Así, el trabajo de la máquina de estados se produce de acuerdo con el siguiente esquema: en cada t-th reloj a la entrada de la máquina en el estado z(t), se da alguna señal x(t), a la que reacciona con la transición ( t+1) del th reloj al nuevo estado z(t+1) y dando alguna señal de salida. Lo anterior se puede describir mediante las siguientes ecuaciones: para F-automaton del primer tipo, también llamado millas automáticas,
z(t+1) \u003d j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)
y(t) \u003d y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)
por F-automaton del segundo tipo
z(t+1) \u003d j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)
y(t) \u003d y [ z(t), x(t -1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)
Un autómata del segundo tipo, para el cual
y(t) \u003d y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)
aquellos. la función de salida es independiente de la variable de entrada x(t) se llama rifle de asalto de Moore.
Por tanto, las ecuaciones (2.15) - (2.19), que definen completamente
F-automaton son un caso especial de las ecuaciones (2.3) y (2.4), cuando
sistema S - determinista y una señal discreta llega a su única entrada X.
Por el número de estados, se distinguen las máquinas de estados finitos con memoria y sin memoria. Los autómatas con memoria tienen más de un estado y los autómatas sin memoria (circuitos combinatorios o lógicos) tienen solo un estado. En este caso, según (2.16), el funcionamiento del circuito combinacional es que asigna a cada señal de entrada x(t) cierta señal de salida y(t), es decir. implementa una función lógica de la forma
y(t) \u003d y [ X(t)], t= 0, 1, 2, … .
Esta función se llama booleana si el alfabeto X y Yal que pertenecen los valores de la señal x y y, constan de dos letras.
Por la naturaleza del conteo de tiempo discreto, las máquinas de estados finitos se dividen en sincrónicas y asincrónicas. En sincronía F-automática los tiempos en los que el autómata "lee" las señales de entrada están determinados por señales de sincronización forzada. Después de la siguiente señal de sincronización, teniendo en cuenta "leer" y de acuerdo con las ecuaciones (2.15) - (2.19), se produce una transición a un nuevo estado y se emite una señal en la salida, después de lo cual la máquina puede percibir el siguiente valor. de la señal de entrada. Por tanto, la reacción de la máquina a cada valor de la señal de entrada termina en un ciclo, cuya duración está determinada por el intervalo entre señales de sincronización adyacentes. Asincrónico F- la máquina lee la señal de entrada de forma continua y, por tanto, responde a una señal de entrada suficientemente larga de un valor constante x, puede, como sigue de (2.15) - (2.19), cambiar el estado varias veces, dando el número correspondiente de señales de salida, hasta que pasa a uno estable, que ya no puede ser cambiado por esta señal de entrada.
Posibles aplicaciones F-esquemas.Para establecer la final F-automaton, es necesario describir todos los elementos del conjunto F= <Z, X, Y, y, j, z 0\u003e, es decir alfabetos de entrada, internos y de salida, así como funciones de transiciones y salidas, y entre el conjunto de estados es necesario resaltar el estado z 0, en el que el autómata se encuentra en el estado t\u003d 0. Hay varias formas de configurar el trabajo F-automatones, pero los más utilizados son tabulares, gráficos y matriciales.
En el método tabular, se establecen tablas de transiciones y salidas, cuyas filas corresponden a las señales de entrada del autómata, y las columnas corresponden a sus estados. La primera columna de la izquierda corresponde al estado inicial z 0. En la intersección i-th línea y k-ésima columna de la tabla de transición, el valor correspondiente j ( z k, x yo) función de transiciones, y en la tabla de salidas - el valor correspondiente de y ( z k, x yo) funciones de salida. Para F-More's autómata se pueden combinar ambas tablas.
Descripción del trabajo F-automaton Miles con tablas de transiciones j y salidas y se ilustra en la Tabla. 2.1, y la descripción F- Autómata de Moore - por la tabla de transición (Tabla 2.2).
Cuadro 2.1
| X yo | z k | |||
| z 0 | z 1 | … | z k | |
| Transiciones | ||||
| x 1 | j ( z 0 , x 1) | j ( z 1 , x 1) | … | j ( z k, X 1) |
| x 2 | j ( z 0 , x 2) | j ( z 1 , x 2) | … | j ( z k, X 2) |
| … | … | … | … | … |
| x yo | j ( z 0 , x yo) | j ( z 1 , x yo) | … | j ( z k, x yo) |
| Salidas | ||||
| x 1 | y ( z 0 , x 1) | y ( z 1 , x 1) | … | y ( z k, x 1) |
| x 2 | y ( z 0 , x 2) | y ( z 1 , x 2) | … | y ( z k, x 2) |
| … | … | … | … | … |
| x yo | y ( z 0 , x yo) | y ( z 1 , x yo) | … | y ( z k, x yo) |
Cuadro 2.2
| x yo | y ( z k) | |||
| y ( z 0) | y ( z 1) | … | y ( z k) | |
| z 0 | z 1 | … | z k | |
| x 1 | j ( z 0 , x 1) | j ( z 1 , x 1) | … | j ( z k, x 1) |
| x 2 | j ( z 0 , x 2) | j ( z 1 , x 2) | … | j ( z k, x 2) |
| … | … | … | … | … |
| x yo | j ( z 0 , x yo) | j ( z 1 , x yo) | … | j ( z k, x yo) |
Ejemplos de forma tabular de configuración F-Millas automáticas F1 se dan en la tabla. 2.3, y para F-máquina más F2 - en tabla. 2.4.
Cuadro 2.3
| x yo | z k | ||
| z 0 | z 1 | z 2 | |
| Transiciones | |||
| x 1 | z 2 | z 0 | z 0 |
| x 2 | z 0 | z 2 | z 1 |
| Salidas | |||
| x 1 | y 1 | y 1 | y 2 |
| x 2 | y 1 | y 2 | y 1 |
Cuadro 2.4
| Y | |||||
| x yo | y 1 | y 1 | y 3 | y 2 | y 3 |
| z 0 | z 1 | z 2 | z 3 | z 4 | |
| x 1 | z 1 | z 4 | z 4 | z 2 | z 2 |
| x 2 | z 3 | z 1 | z 1 | z 0 | z 0 |
En la forma gráfica de definir una máquina de estados finitos, se utiliza el concepto de grafo dirigido. El grafo del autómata es un conjunto de vértices correspondientes a diferentes estados del autómata y que conectan los vértices de los arcos del grafo correspondientes a determinadas transiciones del autómata. Si la señal de entrada x k provoca una transición del estado z yo en un estado z j, entonces en la gráfica del autómata hay un arco que conecta el vértice z yocon tapa z j, denotado x k... Para configurar la función de las salidas, los arcos gráficos deben estar marcados con las señales de salida correspondientes. Para las máquinas Mealy, este marcado se realiza de la siguiente manera: si la señal de entrada x k actúa sobre el estado z yo, luego obtenemos un arco saliente de z yo y marcado x k; este arco está marcado adicionalmente con una señal de salida y\u003d y ( z yo, x k). Para un autómata de Moore, una marca similar del gráfico es la siguiente: si la señal de entrada x k, actuando sobre un cierto estado del autómata, provoca una transición al estado z j, luego el arco dirigido a z yo y marcado x k, además celebra el fin de semana
señal y\u003d y ( z j, x k).
En la Fig. 2.4. y, b dado anteriormente en las tablas F-Máquinas de millas F1 y Moore F2 respectivamente.
Higo. 2.4. Gráficos de autómatas a - Miles yb - Moore
Para una asignación matricial de un autómata finito, la matriz de conexiones del autómata es cuadrada DESDE=||con ij||, las filas corresponden a los estados iniciales y las columnas corresponden a los estados de transición. Elemento con ij = x k/y sparado en la intersección
i-th línea y j-a columna, en el caso del autómata Miles corresponde a la señal de entrada x kcausando la transición del estado z yo en un estado z j, y la señal de salida y sgenerado por esta transición. Para la máquina Miles F1, considerado anteriormente, la matriz de compuestos tiene la forma:
x 2 / y 1 – x 1 / y 1
C 1 = x 1 / y 1 – x 2 / y 2 .
x 1 / y 2 x 2 /y 1 –
Si la transición del estado z yo en un estado z j ocurre bajo la acción de varias señales, el elemento de matriz c ij es un conjunto de pares de entrada-salida para esta transición, conectados por un signo de disyunción.
Para F-Elemento de la máquina más con ij es igual al conjunto de señales de entrada en la transición ( z i, z j), y la salida se describe mediante un vector de salidas
= y ( z k) ,
i-ésimo componente del cual es la señal de salida que indica el estado z yo.
Por lo anterior F-máquina más F2 la matriz de conexiones y el vector de salidas tienen la forma:
– X 1 – X 2 – a 1
– X 2 – – X 1 a 1
C 2 = – X 2 – – X 1 ; \u003d y 3
x 2 – X 1 – – a 2
x 2 – X 1 – – a 3
Para los autómatas deterministas, se cumple la condición de unicidad de las transiciones: un autómata en un cierto estado no puede pasar a más de un estado bajo la acción de cualquier señal de entrada. Aplicado a la forma gráfica de configuración F-automaton, esto significa que dos o más bordes marcados con la misma señal de entrada no pueden salir de ningún vértice en el gráfico de autómatas. Y en la matriz de conexiones de la máquina DESDE cualquier señal de entrada no debe aparecer más de una vez en cada línea.
Para F-condición automática z k llamado sostenible, si por alguna entrada x i ÎXpara lo cual j ( z k, x yo) \u003d z k,j ( z k,x yo) \u003d y k. F-la maquina se llama asincrónico, si todos sus estados z k ÎZ continuamente.
Por lo tanto, el concepto en el enfoque discreto-determinista para estudiar las propiedades de los objetos en modelos es una abstracción matemática, conveniente para describir una amplia clase de procesos de funcionamiento de objetos reales en sistemas de control automatizados. A través de F-el autómata puede describir objetos que se caracterizan por la presencia de estados discretos y la naturaleza discreta del trabajo en el tiempo: estos son elementos y nodos de una computadora, dispositivos de control, regulación y control, sistemas de conmutación de tiempo y espacio en la tecnología de intercambio de información. etc.
2.4. Modelos estocásticos discretos ( R-esquemas)
Relaciones basicas... Consideremos las características de la construcción de esquemas matemáticos con un enfoque estocástico discreto sobre autómatas probabilísticos (estocásticos). En general autómata probabilístico
R-esquemas (Autómata probabijístico inglés) se puede definir como un convertidor de información serial discreto con memoria, cuyo funcionamiento en cada ciclo depende solo del estado de la memoria en él, y se puede describir estadísticamente.
Introducimos el concepto matemático R-automaton, utilizando los conceptos introducidos para F-aparato mecánico. Considere el conjunto GRAMO, cuyos elementos son todos los pares posibles ( x i, z s), dónde x yo y z s - elementos del subconjunto de entrada X y subconjuntos de estados Z, respectivamente. Si hay dos funciones j e y que se utilizan para realizar las asignaciones GRAMO®Z y G®Y, entonces ellos dicen que F =
Consideremos un esquema matemático más general. Permitir
Ф - conjunto de todos los pares posibles de la forma ( z k, y yo), dónde i- elemento del subconjunto de salida Y... Requerimos que cualquier elemento del conjunto GRAMO inducida sobre el conjunto Ф alguna ley de distribución de la siguiente forma:
Donde b kj \u003d 1, donde b kj- las probabilidades de la transición del autómata al estado z k y la aparición de la señal en la salida y jsi el pudo z s y en su entrada en este momento en el tiempo se recibió la señal x yo... El número de tales distribuciones presentadas en forma de tablas es igual al número de elementos del conjunto. GRAMO... Denotamos el conjunto de estas tablas por B. Luego, los cuatro elementos P \u003d
(R-autómata).
Posibles aplicaciones PAG-esquemas.Deja que los elementos del conjunto GRAMO inducir algunas leyes de distribución en subconjuntos Yy Z, que se pueden representar, respectivamente, en la forma:
Donde z k \u003d 1 y q j \u003d 1, donde z ky q j - probabilidades de transición
R-máquina automática en estado z k y la aparición de la señal de salida y k siempre que
R z s y su entrada recibió una señal de entrada x i.
Si para todos ky jla relación se mantiene q j z k \u003d b kj, entonces tal
R-la maquina se llama autómata probabilístico de Miles... Este requisito significa el cumplimiento de la condición de independencia de las distribuciones para el nuevo estado. R-Dispositivo automático y su señal de salida.
Ahora dejemos que la definición de la señal de salida R-el autómata depende únicamente del estado en el que se encuentra en un ciclo de trabajo determinado. En otras palabras, deje que cada elemento del subconjunto de salida Y induce una distribución de probabilidad de salidas, que tiene la siguiente forma:
Aquí s i \u003d 1, donde s yo - la probabilidad de aparición de la señal de salida y yo a apalabras y eso R-la máquina estaba en un estado z k.
Si para todos k y ila relación se mantiene z k s i = b ki entonces tal
R-la maquina se llama autómata probabilístico de Moore. Concepto
R-Los autómatas de Miley y Moore se introducen por analogía con el determinista
F-aparato mecánico. Un caso particular R-autómata definido como PAG=
R-automaton se determina determinista, entonces tal autómata se llama
Y-... Similitud,
Z-autómata probabilístico determinista llamado R-automaton, en el que la elección de un nuevo estado es determinista.
Ejemplo 2.1.Déjalo ser dado Y-determinista PAG-máquina
En la Fig. 2.5 muestra un gráfico de transición dirigido de este autómata. Los vértices del gráfico están asociados con los estados del autómata y los arcos están asociados con posibles transiciones de un estado a otro. Los arcos tienen pesos correspondientes a las probabilidades de transición. p ij, y los valores de las señales de salida inducidas por estos estados se escriben cerca de los vértices del gráfico. Se requiere estimar las probabilidades finales totales de permanecer así PAG-automaton en estados z 2 y z 3 .
Higo. 2.5. Gráfico de autómatas de probabilidad
Usando el enfoque analítico, se pueden escribir las relaciones conocidas de la teoría de las cadenas de Markov y obtener un sistema de ecuaciones para determinar las probabilidades finales. En este caso, el estado inicial z Se puede ignorar 0, ya que la distribución inicial no afecta los valores de las probabilidades finales. Entonces tenemos
dónde con k - probabilidad final de estancia R-máquina automática capaz z k.
Obtenemos el sistema de ecuaciones
Agregamos a estas ecuaciones la condición de normalización desde 1 + desde 2 + desde 3 + desde 4 \u003d 1. Entonces, resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos desde 1 = 5/23, desde 2 = 8/23, desde 3 = 5/23,
desde 4 \u003d 5/23. Por lo tanto, desde 2 + desde 3 \u003d 13/23 \u003d 0,5652. En otras palabras, con el trabajo interminable dado en este ejemplo Y-determinista
R-automaton en su salida se forma una secuencia binaria con la probabilidad de ocurrencia de uno igual a 0.5652.
Similar R-Las máquinas automáticas se pueden utilizar como generadores de secuencias de Markov, que son necesarias en la construcción e implementación de los procesos de funcionamiento de los sistemas. S o influencias ambientales MI.
2.5. Modelos estocásticos continuos ( Q-esquemas)
Relaciones basicas... Consideraremos las características del enfoque estocástico continuo usando el ejemplo de matemática típica. Q-esquemas - sistemas de colas (Sistema de colas en inglés).
Como proceso de servicio, se pueden representar varios procesos de funcionamiento de sistemas económicos, de producción, técnicos y de otro tipo en su naturaleza física, por ejemplo: flujos de suministro de productos a una determinada empresa, flujos de piezas y componentes en la línea de montaje de un taller , solicitudes de procesamiento de información informática desde terminales remotos, etc. En este caso, un rasgo característico de la operación de tales objetos es la aparición aleatoria de reclamaciones (requisitos) para el servicio y la finalización del servicio en momentos aleatorios, es decir, la naturaleza estocástica del proceso de su funcionamiento.
Por el fluir de los eventos{!LANG-453c6c6c14e2a88ecb95fc9723bc9d77!} {!LANG-260e4ea381f1c5a1ba15a860405f002b!} llamado {!LANG-0dfde505f10e2b940754eba12a8c66b3!}{!LANG-f4089d78e10d498b39c1bef4e2cbcf97!} {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}} = {0 £ t{!LANG-44530dc9a0ff63f4ac397ad2a1744bc9!} t 2 ... £ {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}£ … }, dónde {!LANG-da7257c71478ce3f899e16c447b4bf2a!}{!LANG-d02bb0670e0de4307ccd263458542269!} {!LANG-c5b946d86fd83c9e1e9119f86cef4a5a!}{!LANG-da803d506e899481417141e75f2c2e7f!} {!LANG-c5b946d86fd83c9e1e9119f86cef4a5a!}{!LANG-ad3816848a25bc3e61215e95963051f0!} {!LANG-14b52c5b2a13bbad7641178824859ba4!} {!LANG-ac3153c52c792d635f076e16fe8854a6!}{!LANG-cf088bbc9ca15502b508f43f990ef962!} {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!}} , {!LANG-8f213c40111a30d1455f31a4ceabe5a6!} {!LANG-e2bc9287234671aa2e2cbeae18d24d61!}– {!LANG-93989e6d6dcf58985c6e3e5387be8a29!} -1 ,{!LANG-6d720221c234fc924768fa0d40162c79!}{!LANG-6292b7a0a78097a32519be8fc2c99e57!} t 0 = 0, {!LANG-6ec65e330db97021f80cf2f9a97cd3c2!} {!LANG-d4997b390ee93458895b3ae0dac3cf06!} 1 . {!LANG-7b46833c5a301af29898e8cde2675e70!}{!LANG-c565bde83308e61922033b611c1dbbdb!} {!LANG-ad96f8b55bdce5648013a92f9e07969e!}} , {!LANG-6df371e5f90fee66d383035e6eeba4db!} {!LANG-da7257c71478ce3f899e16c447b4bf2a!}{!LANG-c6a9e01b3d1dd7dd1f374fd87c4330b3!} {!LANG-39a7aec265e6b78dbfea3c61014ddc21!}{!LANG-edb151f3795e53b18078fb059b379077!}
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