donde - algunos números (algunos de estos números o incluso todos pueden ser cero). Esto significa la presencia de los siguientes iguales entre los elementos de la columna:

o , .

De (3.3.1) implica que

(3.3.2)

donde esta la línea cero.

Definición. Líneas de la matriz y dependientes linealmente si hay números que no son todos iguales cero al mismo tiempo,

(3.3.3)

Si la igualdad (3.3.3) es correcta en ese momento y solo si, las líneas se llaman linealmente independientes. La proporción (3.3.2) muestra que si una de las filas se expresa linealmente en el resto, las líneas son dependientes linealmente.

Es fácil de ver y revertir: si las líneas dependen linealmente, entonces hay una cadena que será una combinación lineal de las líneas restantes.

Deje, por ejemplo, en (3.3.3), entonces .

Definición. Deja que algunos menores sean aislados en la matriz.r. -o orden y deja que menorr. +1) El orden de la misma matriz contiene en general en sí mismo. Le diremos que en este caso, el Ministerio de Equipo de Menores (o está bordeando).

Ahora probamos un lemma importante.

Lemma Sobre los mineros limítrofes. Si orden menorr. Las matrices A \u003d difieren de cero, y todos los menores de enfoque son cero, entonces cualquier cadena (columna) de la matriz A es una combinación lineal de sus filas (columnas) que constituyen.

Evidencia. No perturbar la generalidad del razonamiento, asumimos que diferentes de cero menor.r. -O PEDIDO Soporte en la esquina superior izquierda de la matriz A \u003d:

.

Por el primer k. Líneas de la Matriz Una declaración de la LEMMA es obvia: lo suficiente en una combinación lineal para incluir la misma cadena con un coeficiente igual a uno, y el resto, con coeficientes iguales a cero.

Ahora probamos que las líneas restantes de la matriz se expresan linealmente a través de la primerak. Líneas. Para hacer esto, construir menor (r. +1) - Ordenar agregando a menork-fila de k () y l.-Para columna ():

.

El menor resultante es cero en absoluto.k y l. . Si, es cero al contener dos columnas idénticas. Si, el menor obtenido es un menor bullicioso para y, por lo tanto, es cero por la condición de la lema.

Difundir menor en los elementos de este último.l.-Para columna:

(3.3.4)

donde - adiciones algebraicas a los elementos. La adición algebraica es una matriz menor A, por lo tanto. Dividimos (3.3.4) y expresamos a través de:

(3.3.5)

dónde,.

Creyendo, obtenemos:

(3.3.6)

Expresión (3.3.6) significa quek. - Soy una cadena de la matriz y se expresa linealmente a través de la primerar filas.

Dado que al transponer la matriz, sus fondos no se cambian (debido a las propiedades de los determinantes), entonces todo está probado de manera justa y para columnas. El teorema está probado.

Corolario I. . Cualquier cadena (columna) de la matriz es una combinación lineal de sus cadenas de referencia (columnas). De hecho, la matriz de la base menor es diferente de cero, y todos los bordes de ella son iguales a cero.

Corolario II. Determinado N. -Uno ordene entonces y solo entonces igual a cero cuando contiene líneas dependientes linealmente (columnas). La suficiencia de la dependencia lineal de las cadenas (columnas) para la igualdad del determinante cero se demuestra antes como la propiedad de los determinantes.

Probamos la necesidad. Deje que se le dé una matriz cuadradanORTE. -o orden, el único menor de lo que es cero. De ello se deduce que el rango de esta matriz es menor.nORTE. . Hay al menos una línea, que es una combinación lineal de líneas básicas de esta matriz.

Probamos otro teorema sobre el rango de la matriz.

Teorema. El número máximo de líneas linealmente independientes de la matriz es igual al número máximo de sus columnas linealmente independientes e igual al rango de esta matriz.

Evidencia. Deja que el rango de la matriz a \u003d igualr. Entonces cualquiera Las cadenas básicas son linealmente independientes, de lo contrario, la base menor sería cero. Por otro lado, cualquierr. +1 y más líneas dependientes linealmente. Suponiendo desagradables, podríamos encontrar menores sobre más quer. , diferente de cero en consecuencia de la lema anterior. Este último contradice el hecho de que el orden máximo de los menores que no sea cero es igual ar. . Todas las cadenas probadas son verdaderas para las columnas.

En conclusión, presentamos otro método para encontrar el rango de la matriz. El rango de la matriz se puede definir si encuentra un menor de orden máximo que no sea cero.

A primera vista, requiere cálculos, aunque la final, pero quizás, un número muy grande de menores de esta matriz.

Sin embargo, el siguiente teorema permite contribuir a esta simplificación significativa.

Teorema. Si la matriz menor es diferente de cero, y todas las menores de almacenamiento son cero, entonces el rango de la matriz es igualr.

Evidencia. Es suficiente para demostrar que cualquier subsistema de las líneas de la matriz cuandoS\u003e r. Será en las condiciones del teorema linealmente dependiente (desde aquí, se seguirá de que R es el número máximo de líneas linealmente independientes de la matriz o cualquiera de sus menores de orden más quek son cero).

Supongamos desagradables. Deja que las líneas sean linealmente independientes. En la LEMMA sobre los mineros limítrofes, cada uno de ellos se expresará linealmente a través de las líneas en las que el menor y que, en vista de lo que es diferente de cero, linealmente independiente:

(3.3.7)

Considere la matriz a partir de los coeficientes de expresiones lineales (3.3.7):

.

Las líneas de esta matriz son denotadas por . Serán dependientes linealmente, ya que el rango de la matriz K, es decir. El número máximo de sus líneas linealmente independientes no exceder.< S . Por lo tanto, hay números que no son todos iguales a cero que

Veamos la igualdad del componente.

(3.3.8)

Ahora considere la siguiente combinación lineal:

o

Considere una matriz arbitraria, opcionalmente cuadrada, un tamaño MXN.

Matriz de rango.

El concepto de grado de la matriz está asociado con el concepto de dependencia lineal (independencia) de cadenas (columnas) de la matriz. Considera este concepto para las cuerdas. Para columnas - de manera similar.

Denota los desagües de la matriz A:

e 1 \u003d (A 11, A 12, ..., y 1N); E 2 \u003d (un 21 y 22, ..., y 2N); ..., E M \u003d (y M1, y M2, ..., y MN)

e k \u003d e si un kj \u003d a sj, j \u003d 1,2, ..., n

Las operaciones aritméticas en las cadenas de la matriz (adición, multiplicación por número) se introducen como operaciones realizadas por elemental: λe k \u003d (λa k1, λa k2, ..., λa kn);

e k + e s \u003d [(a k1 + a s1), (un k2 + a s2), ..., (un kn + a sn)].

Línea E se llama combinación lineal ROWS E 1, E 2, ..., E K, si es igual a la cantidad de obras de estas líneas a números válidos arbitrarios:

e \u003d λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + ... + λ k e

Líneas E 1, E 2, ..., E M llamado dependiente linealmenteSi hay números válidos λ 1, λ 2, ..., λ m, no todos iguales cero que la combinación lineal de estas filas es igual a la línea cero: λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + ... + λ mem \u003d 0 ,Dónde 0 =(0,0,…,0) (1)

Si la combinación lineal es cero, si y solo si todos los coeficientes λ i son cero (λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0), luego las líneas E 1, E 2, ..., E M se llaman independiente linealmente.

Teorema 1.. Para que las líneas E 1, E 2, ..., E M es dependiente linealmente, es necesario y suficiente para que una de estas líneas sea una combinación lineal de las líneas restantes.

Evidencia. Necesidad. Deje que las filas E 1, E 2, ..., E M dependientes linealmente. Dejar, por definititud en (1) λ m ≠ 0, entonces

Asi que La línea E M es una combinación lineal de las líneas restantes. CH.T.D.

Adecuación. Deje que una de las cuerdas, por ejemplo, E M, es una combinación lineal de las líneas restantes. Luego, hay números de tales que se realiza la igualdad que se puede reescribir en forma de

donde al menos 1 de los coeficientes, (-1) no es cero. Aquellos. Líneas dependientes linealmente. CH.T.D.

Definición. Menor K-TH PEDIDO La matriz y el tamaño del MXN se denominan k-th Orden con elementos que se encuentran en la intersección de las filas K y cualquier columna K de la Matriz A. (k≤min (M, N)). .

Ejemplo., Menores del 1er orden: \u003d, \u003d;

menores del segundo orden:, tercer orden

La matriz del tercer orden de 9 menores de 1er orden, 9 menores de la segunda orden y 1 menor del tercer orden (determinante de esta matriz).

Definición. Rango Matrix A. Se llama el orden más alto diferente de cero menores de esta matriz. Designación - RG A o R (A).

Propiedades de la matriz de rango.

1) El rango de la matriz A NXM no excede el menor de su tamaño, es decir.

r (a) ≤min (m, n).

2) r (a) \u003d 0 cuando todos los elementos de la matriz son 0, es decir. A \u003d 0.

3) para una matriz cuadrada A n -GA PEDIDO R (A) \u003d N, cuando un nodegeneración.

(El rango de la matriz diagonal es igual al número de sus elementos diagonales no cero).

4) Si el rango de la matriz es igual a r, entonces la matriz tiene al menos un menor del orden R, no es igual a cero, y todos los menores de pedidos grandes son cero.

Para las filas de la matriz, las siguientes razones:

2) r (A + B) ≤R (A) + R (B); 3) r (AB) ≤min (R (A), R (B));

3) r (A + B) ≥│R (A) -R (B) │; 4) r (a t a) \u003d r (a);

5) r (AB) \u003d R (A), si está en una matriz cuadrada nodegenerada.

6) r (AB) ≥R (A) + R (B) -N, donde n número de columnas de la matriz A o líneas de la Matriz V.

Definición. Nenulul Mindor Order R (a) se llama bASE MENOR.. (La matriz puede tener varios menores básicos). Las filas y las columnas, en la intersección, de las cuales es la base menor, se llama respectivamente cuerdas de base y columnas de base.

Teorema 2 (sobre la base menor).Las líneas básicas (columnas) son linealmente independientes. Cualquier cadena (cualquier columna) Matrix A es una combinación lineal de cadenas básicas (columnas).

Evidencia. (Para cadenas). Si las líneas básicas eran linealmente dependientes, entonces, por teorema (1), una de estas filas sería una combinación lineal de otras líneas de base, luego sin cambiar los valores de la base menor, puede restar de esta línea el lineal especificado Combinación y obtenga una línea cero, y esto es contrario el hecho de que el menor básico es diferente de cero. Asi que Las líneas básicas son linealmente independientes.

Probamos que cualquier cadena de la matriz A es una combinación lineal de líneas básicas. Porque Con cambios arbitrarios de cadenas (columnas), el determinante conserva la propiedad de la igualdad cero, luego sin limitar a la comunidad, se puede considerar que la base menor está en la esquina superior izquierda de la matriz.

A \u003d,aquellos. Ubicado en las primeras líneas R y las primeras columnas R. Deja 1 £ j £ n, 1 £ i £ m. Demostramos que el determinante (R + 1) es orden.

Si j £ r o i £ r, entonces este determinante es cero, porque Tendrá dos columnas idénticas o dos cadenas idénticas.

Si j\u003e r y i\u003e r, entonces este determinante es un orden menor (R + 1) -go de la matriz A .. El rango de la matriz es R, lo que significa que cualquier menor de mayor orden es igual a 0.

Plegándolo en los elementos de la última columna (agregada), obtenga

a 1J A 1J + A 2J A 2J + ... + A RJ A RJ + A IJ A IJ \u003d 0, donde el último suplemento algebraico, un IJ coincide con la MENA MENA M R y, por lo tanto, un IJ \u003d M R ≠ 0.

Al dividir la última igualdad en un IJ, podemos expresar el elemento un IJ, como una combinación lineal: dónde.

Fije el valor I (I\u003e R) y obtenemos eso para cualquier J (J \u003d 1,2, ..., n) Los elementos de la línea I-TH EI se expresan linealmente a través de elementos de las líneas E 1, E 2, ..., er, t. E. La línea I-I es una combinación lineal de líneas básicas :. CH.T.D.

Teorema 3. (Condición de igualdad requerida y suficiente determinante cero).Para que el N-TH PEDIDO D determinante sea cero, es necesario y suficiente para que sus líneas (columnas) dependen linealmente.

Prueba (p.40). Necesidad. Si el N-TH PEDIDO D Determinider es cero, entonces la base menor de su matriz tiene orden.

Entonces, una línea es una combinación lineal de otros. Luego, en el teorema de 1 línea, el determinante es linealmente dependiente.

Adecuación. Si las filas d son dependientes linealmente, entonces por el teorema 1 una línea A I es una combinación lineal de las líneas restantes. Spanached desde la fila y I de la combinación lineal especificada sin cambiar los valores D, obtenemos una línea cero. En consecuencia, de acuerdo con las propiedades de los determinantes, D \u003d 0. CH.T.D.

Teorema 4.En caso de transformaciones elementales, el grado de la matriz no cambia.

Evidencia. Como se mostró en la consideración de las propiedades de los determinantes, en las transformaciones de las matrices cuadradas, sus determinantes no se modifican, o se multiplican en un número distinto de cero, o cambian el letrero. Al mismo tiempo, el orden más alto de las matrices iniciales distintas de cero se conserva, es decir, El rango de la matriz no cambia. CH.T.D.

Si R (A) \u003d R (B), entonces A y B - equivalente: a ~ c.

Teorema 5.Con la ayuda de las transformaciones elementales, puedes llevar la matriz a paso a paso.La matriz se llama paso, si se ve:

A \u003d, donde un II ≠ 0, I \u003d 1,2, ..., R; R≤k.

Las condiciones R≤K siempre se pueden lograr mediante transposición.

Teorema 6.El rango de la matriz escalonada es igual al número de sus cadenas distintas. .

Aquellos. El rango de la matriz escalonada es r, porque Hay diferentes de un pedido menor de cero r:

Matriz inversa, algoritmo para calcular la matriz de retorno.

Sistema de ecuaciones algebraicas lineales, las principales propiedades de la pendiente, homogeneidad y heterogeneidad, compatibilidad e incompletitud, definición de la pendiente, la forma de la matriz de escribir la pendiente y sus soluciones

Sistemas cuadrados, método de cramer.

Transformaciones elementales Slava. Método Gauss Research Slava.

El criterio conjunto del Slava, el teorema de Kononker-Capelli, la interpretación geométrica en el ejemplo de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Uniforme de golpe. Propiedad de soluciones, FSER, teorema en la solución general de un sistema homogéneo. El criterio para la existencia de una solución no trivial.

Slava inhomogénea. El teorema sobre la estructura de la solución de la pendiente heterogénea. El algoritmo para resolver slava inhomogénea.

Determinación del espacio lineal (vector). Ejemplos de LP.

Sistemas de vectores linealmente dependientes y linealmente independientes. Criterio de dependencia lineal.

Condiciones suficientes de dependencia lineal y independencia lineal de vectores LP. Ejemplos de sistemas independientes lineales en cadenas, polinomios, matrices.

Isomorfismo de LP. Criterio isomorfo LP.

Subspacio LP y conchas lineales de vectores. La dimensión de la cubierta lineal.

Teorema sobre la reposición de la base.

La intersección y la cantidad de subespacios, la cantidad directa de subespacios. El teorema en la dimensión de la cantidad de subespacios.

Subspacio Soluciones de pendiente homogénea, su dimensión y base. La expresión de la solución general de un Slava homogéneo a través de la FSR.

Matriz de transición de una base LD a otra y sus propiedades. Convertir coordenadas vectoriales al cambiar a otra.

Definición y ejemplos de operadores lineales, mapas lineales y transformaciones lineales.

Matriz de operador lineal, conjunto de coordenadas de imagen vectorial

Acciones con operadores lineales. Espacio lineal lo

Teorema sobre la isomorficidad de un conjunto de transformaciones lineales en un conjunto de matrices cuadradas

Funciona matriz de transformaciones lineales. Ejemplos que encuentran matrices del operador.

Definición y propiedades del operador inverso, su matriz.

Criterio de reversibilidad del operador lineal. Ejemplos de operadores reversibles e irreversibles.

Conversión de la matriz del operador lineal al cambiar a otra.

El determinante y el polinomio característico del operador lineal, su invariancia con respecto a las transformaciones de la base.

El núcleo y la imagen del operador lineal. El teorema en la suma de las dimensiones del núcleo y la imagen. Encontrar el kernel y la imagen de un operador lineal en una base fija. Rango y operador lineal de defectos.

El teorema de la invariancia del núcleo y la imagen de lo que una relativamente le permutan con ella.

La multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios y su relación.

Criterio para la diagonalización de la matriz del operador lineal, condiciones suficientes para la diagonalización del operador lineal.

Teorema Hamilton Cali

Álgebra lineal

Teoría de Slava.

1. Matriz, acción con matrices, matriz inversa. Matrix ecuaciones y soluciones.

La matriz- Una tabla rectangular de números arbitrarios ubicados en un determinado orden, el tamaño de M * N (filas por columna). Los elementos de la matriz se indican donde i es el número de línea, AJ - el número de columna.

Adición (sustracción) Las matrices se definen solo para las matrices desechables. La cantidad (diferencia) de matrices - matriz, cuyos elementos son respectivamente la cantidad (diferencia) de los elementos de las matrices iniciales.

Multiplicación (división)número- Multiplicación (división) de cada elemento de la matriz a este número.

La multiplicación de matrices se define solo para las matrices, el número de columnas del primero de las cuales es igual al número de cadenas del segundo.

Multiplicación de matriz- Matriz, cuyos elementos son dados por fórmulas:

Transposición de la matriz- Dicha matriz, líneas (columnas) de las cuales son columnas (líneas) en la matriz de origen. Denota

matriz inversa

Ecuaciones matriz- Las ecuaciones del forma * x \u003d b son el producto de las matrices, la respuesta a esta ecuación es la matriz, que es con la ayuda de las reglas:

1. Dependencia lineal e independencia de las columnas (cadenas) de la matriz. Criterio de dependencia lineal, condiciones suficientes para la dependencia lineal de las columnas (cadenas) de la matriz.

Sistema de fila (columnas) se llama independiente linealmenteSi la combinación lineal de trivial (la igualdad se realiza solo en la opción opcional ... n \u003d 0), mientras que las columnas (líneas), AA1 ... N - Coeficientes de descomposición.

Criterio: Para que los vectores sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente para al menos uno de los vectores del sistema expresados \u200b\u200blinealmente a través del resto de los vectores del sistema.

Condición suficiente:

1. Los determinantes de la matriz y sus propiedades.

Matriz determinada (determinante)- Tal número que para una matriz cuadrada puede calcularse por los elementos de la matriz por la fórmula:

donde - elemento menor adicional

Propiedades:

1. Matriz inversa, algoritmo para calcular la matriz de retorno.

matriz inversa- Dicha matriz cuadrada, que, junto con una matriz cuadrada A del mismo orden, se satisface con la condición: donde es una sola matriz, el mismo orden que IA. Cualquier matriz cuadrada con un determinante, no igual a cero, tiene 1 matriz inversa. Ubicado utilizando el método de transformaciones elementales y utilizando la fórmula:

El concepto de grado de la matriz. Teorema en el menor básico. Criterio de igualdad Cero determinante de la matriz. Conversión de matrices elementales. Cálculo del rango por transformaciones elementales. Cálculo de la matriz inversa por el método de las transformaciones elementales.

Matriz de rango -orden de base MENORA (RG A)

MENOS MENOS -el menor no es igual a cero, de modo que todos los menores de orden R + 1 y superior sean cero o no existen.

Teorema sobre la base menor -En una matriz arbitraria, y cada columna (cadena) es una combinación lineal de columnas (líneas), en la que se encuentra la base menor.

Evidencia:Supongamos que en las matrices de m * n, la base menor se encuentra en las primeras líneas R y las primeras columnas R. Considere el determinante, que se obtiene al atribuir a la base menor de la matriz y los elementos correspondientes de la fila S y la columna K-TH.

Tenga en cuenta que con cualquier estudio, el determinante es cero. Si usted, entonces el determinante contiene dos cadenas idénticas o dos columnas idénticas. Si tiene, entonces el determinante D es cero, ya que es una orden menor (R + λ) -RO. Cantando el determinante en la última línea, obtenemos: adivinaciones a dónde álgebraica a los elementos de la última línea. Tenga en cuenta que, dado que esta es la base menor. Por lo tanto, donde Escribiendo la última igualdad para, obtener . Columna K-TH (para cualquiera) Hay una combinación lineal de columnas de base menor, que se requirió para probar.

Criterio D.eta \u003d 0.- El determinante es cero si y solo si sus líneas (columnas) dependen linealmente.

Transformaciones elementales:

1) la multiplicación de la cadena es diferente de cero;

2) Añadir a los elementos de una línea de los elementos de otra línea;

3) Permutación de cadenas;

4) Eliminación de una de las mismas filas (columnas);

5) transposición;

Cálculo de rango -Del teorema menor básico, se deduce que el rango de la matriz A es igual al número máximo de líneas linealmente independientes (columnas en la matriz), por lo tanto, la tarea de las transformaciones elementales para encontrar todas las líneas linealmente independientes (columnas).

Calculando la matriz de retorno- Las transformaciones se pueden implementar multiplicando a una matriz A de cierta matriz T, que es un producto de las matrices elementales correspondientes: TA \u003d E.

Esta ecuación significa que la matriz de conversión t es una matriz inversa para la matriz. Entonces, por lo tanto,

Tenga en cuenta que las cadenas y columnas de la matriz se pueden ver como vectores de tamaños aritméticos. mETRO. y nORTE., respectivamente. Por lo tanto, la matriz de tamaños se puede interpretar como un aparejo. mETRO. nORTE.-Momes o nORTE. mETRO.- Vectores aritméticos dimensionales. Por analogía con vectores geométricos, introducimos los conceptos de dependencia lineal y la independencia lineal de filas y columnas de la matriz.

4.8.1. Definición. Línea
llamado combinación lineal de cadena. Con coeficientes
Si la igualdad es cierta para todos los elementos de esta línea:

,
.

4.8.2. Definición.

Instrumentos de cuerda
llamado dependiente linealmenteSi hay su combinación lineal no trivial igual a la línea cero, es decir. No hay tales no todos los números iguales de cero

,
.

4.8.3. Definición.

Instrumentos de cuerda
llamado independiente linealmentea menos que su combinación lineal trivial sea igual a la línea cero, es decir,

,

4.8.4. Teorema. (Criterio de filas de dependencia lineal de la matriz)

Para que las líneas sean dependientes linealmente, es necesario y suficiente para que al menos una de ellas sea una combinación lineal del resto.

Evidencia:

Necesidad. Dejar cadenas
dependientes linealmente, entonces hay su combinación lineal no trivial, igual a la línea cero:

.

Sin una limitación general, suponga que el primero de los coeficientes de la combinación lineal es diferente de cero (de lo contrario, puede renumbar las cadenas). Dividiendo esta proporción en , obtener

,

es decir, la primera línea es una combinación lineal del resto.

Adecuación. Deja que una de las líneas, por ejemplo, , es una combinación lineal del resto, entonces

es decir, hay una combinación no trivial de fila lineal
igual a la línea cero:

así que las líneas
depende linealmente de lo que se requiera para probar.

Comentario.

Definiciones y aprobaciones similares se pueden formular para las columnas de la matriz.

§4.9. Matriz de rango.

4.9.1. Definición. Menor orden Matrianos tamaño
llamado el determinante de la orden con elementos ubicados en la intersección de algunos de ella Filas I. columnas.

4.9.2. Definición. Diferente de cero orden menor Matrianos tamaño
llamado base menorSi todos los menores de la matriz de pedido
igual a cero.

Comentario. La matriz puede tener varios menores básicos. Obviamente, todos serán un pedido. También es posible cuando la matriz. tamaño
orden menor Diferentes de cero, y los menores ordenan.
No existe, eso es
.

4.9.3. Definición. Filas (columnas) formando el menor básico se llaman base líneas (columnas).

4.9.4. Definición. Rangolas matrices se llaman el orden de su menor menor. Matriz de rango denota
o
.

Comentario.

Tenga en cuenta que debido a la igualdad de las filas y columnas del determinante, el rango de la matriz no cambia durante su transposición.

4.9.5. Teorema. (Invación de la calificación de la matriz en relación con las transformaciones elementales)

El rango de la matriz no cambia en sus transformaciones elementales.

Sin prueba.

4.9.6. Teorema. (En la base menor).

Las líneas básicas (columnas) son linealmente independientes. Cualquier cadena (columna) de la matriz puede representarse como una combinación lineal de sus cadenas de base (columnas).

Evidencia:

Realizar pruebas para las líneas. La prueba de aprobación para las columnas puede llevarse a cabo por analogía.

Deja que el rango de la matriz. tamaños
cuervo , y
- Bases menores. Sin una restricción en la comunidad, supongamos que la base menor se encuentra en la esquina superior izquierda (de lo contrario, puede llevar la matriz a esta vista con las transformaciones elementales):

.

Primero probamos la independencia lineal de las líneas básicas. La prueba pasará de desagradable. Supongamos que las líneas básicas dependen linealmente. Luego, según el teorema 4.8.4, una de las filas se puede representar como una combinación lineal de otras líneas de base. En consecuencia, si encuentra la combinación lineal especificada de esta línea, obtendremos una cadena cero, lo que significa que es menor
es cero, lo que contradice la determinación del menor básico. Por lo tanto, obtuvimos una contradicción, por lo tanto, se demuestra la independencia lineal de las cadenas básicas.

Ahora probamos que cualquier cadena de la matriz puede representarse como una combinación lineal de líneas básicas. Si el número de líneas en consideración de 1 a r., entonces, obviamente, se puede representar como una combinación lineal con un coeficiente de 1 en una fila y coeficientes cero con el resto de las líneas. Mostrar ahora que si el número de línea desde
antes de
Puede representarse como una combinación lineal de líneas básicas. Considerar la matriz menor
obtenido de menores básicos
añadiendo cadena y columna arbitraria
:

Demostramos que este menor
desde
antes de
y para cualquier número de columnas de 1 a .

De hecho, si el número de columna de 1 a r., tenemos un determinante con dos columnas idénticas, que obviamente es cero. Si el número de columna desde r.+1 ser y número de línea desde
antes de
T.
es un menor de la matriz original de mayor orden que la base menor, y esto significa que es cero de la definición del menor básico. Así, se demuestra que es menor.
igual a cero para cualquier número de línea desde
antes de
y para cualquier número de columnas de 1 a . Decorándolo en la última columna, obtenemos:

Aquí
- Adiciones algebraicas relacionadas. Darse cuenta de
porque hay
es un menor básico. En consecuencia, elementos de la cadena. k. Puede representarse como una combinación lineal de los elementos correspondientes de filas básicas con coeficientes que no dependen del número de columna :

Por lo tanto, demostramos que una línea arbitraria de la matriz puede representarse como una combinación lineal de sus cadenas de base. El teorema está probado.

Conferencia 13.

4.9.7. Teorema. (Sobre el rango de una matriz cuadrada de nogenerada)

Para que la matriz cuadrada sea no indegenerada, es necesaria y es suficiente que el anillo de la matriz sea igual al tamaño de esta matriz.

Evidencia:

Necesidad. Deja una matriz cuadrada tamaño nORTE. es no indegenerado entonces
Por lo tanto, el determinante de la matriz es un menor básico, es decir,

Adecuación. Permitir
luego, el orden de la base menor es igual al tamaño de la matriz, por lo tanto, el menor básico es el determinante de la matriz. .
por definición de menor menor.

Corolario.

Para que la matriz cuadrada sea no indegenerada, es necesaria y suficiente para sus líneas linealmente independientes.

Evidencia:

Necesidad.Dado que la matriz cuadrada es no indegenerada, su rango es igual al tamaño de la matriz
es decir, el determinante de la matriz es un menor básico. En consecuencia, por el teorema 4.9.6 En la base menor, las cadenas de la matriz son linealmente independientes.

Adecuación.Dado que todas las líneas de la matriz son linealmente independientes, su rango no es menor que el tamaño de la matriz, lo que significa
en consecuencia, de acuerdo con el teorema anterior 4.9.7 Matriz es no indegenerado

4.9.8. El método de los fondos bulliciosos para encontrar el rango de la matriz.

Tenga en cuenta que este método se ha descrito parcialmente implícitamente en la prueba del teorema sobre la base menor.

4.9.8.1. Definición. Menor
llamado frontera en relación con menor
Si se obtiene de menor.
al agregar una nueva fila y una nueva columna de la matriz original.

4.9.8.2. El procedimiento para encontrar el rango de la matriz por el método de los menores bulliciosos.

Encontramos cualquier matriz menor actual de cero.

Calcule todos los menores fundamentales.

Si todos ellos son cero, el menor de edad es básico, y el rango de grado es igual al orden del menor actual.

Si hay al menos una diferente de cero entre los menores tetona, entonces se basa en la corriente y continúa el procedimiento.

Encontraremos con la ayuda del método de la matriz de rango de menores bulliciosos.

.

Fácil de especificar el menor de la corriente del segundo orden que no sea cero, por ejemplo,

.

Calcular los menores fundamentales:

Por lo tanto, ya que todos los fondos de tercer orden son iguales a cero, menor
es básico, eso es

Comentario. A partir del ejemplo considerado, se puede ver que el método es bastante laborioso. Por lo tanto, en la práctica, el método de las transformaciones elementales se usa mucho más a menudo, que se discutirá a continuación.

4.9.9. Encontrar el grado de la matriz por el método de las transformaciones elementales.

Basado en el teorema 4.9.5, se puede argumentar que el anillo de la matriz no cambia durante las transformaciones elementales (es decir, las filas de matrices equivalentes son iguales a). Por lo tanto, el anillo de la matriz es igual al rango de una matriz escalonada obtenida de las transformaciones elementales iniciales. El rango de la misma matriz escalonada es obviamente igual al número de sus líneas distintas de cero.

Definimos el rango de la matriz.

el método de las transformaciones elementales.

Damos la matriz para pisar arriba:

La cantidad de cadenas distintas de la matriz escalonada resultante es tres, por lo tanto,

4.9.10. Sistema de rango de vectores lineales.

Considere los vectores del sistema.
algún espacio lineal . Si es dependiente linealmente, puede seleccionar el subsistema linealmente independiente en ella.

4.9.10.1. Definición. Vectores de sistema de clasificación
espacio lineal llamado al número máximo de vectores linealmente independientes de este sistema. Vectores del sistema de rango
denota cómo
.

Comentario. Si el sistema de vectores es linealmente independiente, su rango es igual al número de vectores del sistema.

Formulamos el teorema que muestra la conexión de los conceptos de rango del sistema de vectores espaciales lineales y el grado de la matriz.

4.9.10.2. Teorema. (Sobre el rango de sistema de espacio de espacio lineal)

El rango del sistema de vectores espaciales lineales es igual al margen de la matriz, las columnas o filas de las cuales son las coordenadas de los vectores en alguna base del espacio lineal.

Sin prueba.

Corolario.

Para que el sistema de vectores espaciales lineales sea linealmente independiente, es necesario y es suficiente que el rango de la matriz, las columnas o las filas de las cuales sean las coordenadas de los vectores de alguna manera, fue igual al número de vectores del sistema.

La prueba es obvia.

4.9.10.3. Teorema (sobre la dimensión de la cáscara lineal).

La dimensión de los vectores de la cáscara lineal.
espacio lineal igual al rango de este sistema de vectores:

Sin prueba.

Sea en la matriz y las dimensiones (m; n) seleccionadas arbitrariamente k filas y columnas K (k ≤ min (m; n)). Los elementos de la matriz que enfrenta las intersecciones de las filas y columnas seleccionadas forman una matriz cuadrada de orden k, cuyo factor determinante se llama menor m kk de orden k y o menor k-th orden de la matriz A.

El trapo de la matriz es el orden máximo de R difiere de cero Matriz menor A, y cualquier menor del orden R, diferente de cero, es un menor básico. Designación: Rang A \u003d R. Si Rang A \u003d Rang B y las dimensiones de Matrices A y están compatibles, entonces las matrices A y B se denominan equivalentes. Designación: A ~ B.

Los principales métodos para calcular el grado de la matriz son el método de enfoque de los menores y el método.

Método de bulliciosos minoristas.

La esencia del método de los minoristas bullicios es la siguiente. Deje que el mejor del orden k se encuentre en la matriz, diferente de cero. Luego, entonces solo se consideran aquellos menores del orden de K + 1, que contienen en sí mismos (es decir, la corteza) de Minork-Th, diferente de cero. Si todos son iguales a cero, el anillo de la matriz es igual a K, de lo contrario, entre los menores bulliciosos (K + 1), el orden es diferente de cero y se repite todo el procedimiento.

Independencia lineal de cadenas (columnas) matriz

El concepto de grado de la matriz está estrechamente relacionado con el concepto de independencia lineal de sus líneas (columnas).

Filas de la matriz:

se llaman linealmente dependientes, si hay tales números λ 1, λ 2, λ k, que es justo para la igualdad:

Las filas de la matriz A se denominan linealmente independientes si la igualdad anterior es posible solo en el caso cuando todos los números λ 1 \u003d λ 2 \u003d ... \u003d λ k \u003d 0

De manera similar, la dependencia lineal y la independencia de las columnas de la matriz A.

Si alguna cadena (A L) de la matriz A (donde (A L) \u003d (A L1, A L2, ..., A LN)) se puede representar como

De manera similar, se determina el concepto de una combinación lineal de columnas. El siguiente teorema menor básico es válido.

Las líneas de base y las columnas básicas son linealmente independientes. Cualquier cadena (o columna) de la matriz A es una combinación lineal de cadenas básicas (columnas), es decir, líneas (columnas) que cruzan la base menor. Por lo tanto, el rango de la matriz A: Rang A \u003d K es igual al número máximo de cadenas linealmente independientes (columnas) de la matriz A.

Aquellos. El trapo de la matriz es la dimensión de la matriz cuadrada más grande dentro de la matriz para la cual es necesario determinar el rango para el cual el determinante no es cero. Si la matriz inicial no es cuadrada, o si es cuadrada, pero su determinante es cero, entonces para las matrices cuadradas de una línea más pequeña y las columnas se seleccionan arbitrariamente.

Excepto a través de los determinantes, el rango de la matriz se puede calcular por el número de líneas linealmente independientes o las columnas de la matriz. Es igual al número de líneas o columnas linealmente independientes, dependiendo de lo que menos. Por ejemplo, si la matriz tiene 3 líneas linealmente independientes y 5 columnas linealmente independientes, entonces su rango es tres.

Ejemplos de encontrar un grado de la matriz.

Método de enfoque de fondos para encontrar el rango de la matriz.

R E W E. Menor del segundo orden

enfurvating menor M 2 también es diferente de cero. Sin embargo, tanto el cuarto de cuarto orden, bordeando M 3.

igual a cero. Por lo tanto, el rango de la matriz A es 3, y la base menor es, por ejemplo, introducida por encima de Menor M 3.

El método de las transformaciones elementales se basa en el hecho de que la conversión elemental de la matriz no cambia su rango. Usando estas transformaciones, es posible dar la matriz al formulario cuando todos sus elementos, excepto un 11, a 22, ..., un RR (R ≤min (M, N)) son cero. Esto, obviamente, significa que Rang A \u003d R. Tenga en cuenta que si la matriz de orden n-th tiene la apariencia de la matriz triangular superior, es decir, la matriz, en la que todos los elementos bajo la diagonal principal son cero, entonces es igual al producto de los elementos de pie en la diagonal principal. Esta propiedad se puede utilizar al calcular el rango de la matriz por el método de las transformaciones elementales: es necesario llevar la matriz al triangular y luego seleccionando el determinante apropiado, encontramos que el anillo de la matriz es igual a El número de elementos de la diagonal principal que no sea cero.

El método de las transformaciones elementales para encontrar el rango de la matriz.

R E W E N E. Denote por la cadena I-TH de la matriz un símbolo α i. En la primera etapa, ejecutaré las transformaciones elementales.

En la segunda etapa, ejecutaremos la conversión.

Como resultado, obtenemos