Задача 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …
2) полным напряжением;
3) нормальным напряжением;
4) касательным напряжением.
Решение:
1) Ответ верный. Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx . Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений, действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.
2) Ответ неверный! Незнание определения полного напряжения в точке (сила, приходящаяся на единицу площади сечения).
3) Ответ неверный! Напомним, что проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением.
4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении термина «касательное напряжение».
Проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения, называется касательным напряжением.
Задача 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют …
1) ориентированными; 2) главными площадками;
Решение:
1) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Под ориентированными понимаются площадки, которые проходят через точку по заранее заданному направлению.
2) Ответ верный.
При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю). Площадки (грани), на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками.
3) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Октаэдрическими называют площадки равнонаклоненные к главным. Касательные напряжения на октаэдрических площадках не равны нулю.
4) Ответ неверный! Напоминаем, что под секущими понимают площадки проведенные через точку, в которой исследуется напряженное состояние.
Задача 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа ).
1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа; 2) σ 1 =0 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;
3) σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =0 МПа;
4) σ 1 =100 МПа, σ 2 =100 МПа, σ 3 =0 МПа;
Решение:
1) Ответ неверный! Не указано значение главного напряжения σ 3 =0 МПа.
2) Ответ неверный! Обозначения главных напряжений не соответствуют правилу нумерации.
3) Ответ верный. Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю.
Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой
,
где положительные направления напряжений показаны на рисунке.
Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем
В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем , , , т.е. плоское напряженное состояние.
4) Ответ неверный! Это не главные напряжения, а заданные значения нормальных напряжений, действующие на выделенный элемент.
Задача 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений: Главные напряжения в этом случае равны...
1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =-100 МПа;
2) σ 1 =150 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =50 МПа;
3) σ 1 =50 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =150 МПа;
4) σ 1 =-100 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;
Решение:
1) Ответ верный. Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие . Следовательно,
2), 3), 4) Ответ неверный! Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие (в алгебраическом смысле).
Задача 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения напряжений в МПа . Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение:
1), 2), 4) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула для определения угла. Правильная запись:
3) Ответ верный.
Угол определяется по формуле
Подставляя числовые значения напряжений, получаем Поскольку угол отрицательный, откладываем угол по часовой стрелке.
Задача 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения Коэффициенты , , называют…
1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;
4) коэффициентами пропорциональности.
Решение:
1) Ответ верный. Корни уравнения – главные напряжения − определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы осей координат коэффициенты
должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния.
2) Ответ неверный! Ошибка в определении термина. Упругие постоянные характеризуют свойства материала.
3) Ответ неверный! Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые образует нормаль с осями координат.
4) Ответ неверный! Термин не соответствует условию вопроса
Через любую точку напряженного тела можно провести, как правило, _____________ взаимно перпендикулярные площадки (-ок), на которых касательные напряжения будут равны нулю.
| три | |||
| две | |||
| четыре | |||
| шесть |
Решение:
На рисунке показано тело, нагруженное внешними силами, и элементарный объем с напряжениями на его гранях. При мысленном повороте элементарного объема можно отыскать такую его пространственную ориентацию, при которой касательные напряжения на гранях будут равны нулю. Эти грани и будут главными площадками.
Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Главными осями напряженного состояния называются …
Решение:
На рисунке показан элементарный объем, выделенный в окрестности произвольной точки нагруженного тела. Если при данной ориентации элементарного объема касательные напряжения на его гранях равны нулю, то оси x
, y
, z
называются главными осями напряженного состояния. При переходе от одной точки к другой направления главных осей в общем случае изменяются.
Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются …
Решение:
Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Максимальное из трех главных напряжений является одновременно наибольшим полным напряжением, действующим по множеству площадок, проходящих через данную точку. Минимальное из трех главных напряжений является наименьшим из множества полных напряжений.
Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, − плоское. Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой. Положение двух других главных площадок определяется углом
Решение:
На рисунке показан элементарный объем (вид сверху). Направление нормали к главной площадке определим по формуле где − угол между положительным направлением оси x
и нормалью к одной из главных площадок. Для нашего случая Подставляя эти значения в формулу, получаем откуда а
Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
На рисунке показан стержень, растянутый силами F
, и элементарный объем выделенный гранями, параллельными плоскостям стержня. При повороте элементарного объема вокруг оси «u
» на угол, равный 45 0 , напряженное состояние …
Решение:
На рисунке элементарный объем выделен главными площадками. Главные напряжения: Напряженное состояние – линейное. Вид напряженного состояния не зависит от пространственной ориентации элементарного объема и при любом угле поворота остается линейным.
4.2. Виды напряженного состояния
Задача 4.2.1: Стержень круглого сечения диаметром d испытывает деформации чистый изгиб и кручение. Напряженное состояние в точке В показано на рисунке…
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение:
1) Ответ неверный! Крутящий момент вызывает появление касательных напряжений в плоскости перпендикулярной оси стержня.
2) Ответ неверный! Направление касательного напряжения в точке В поперечного сечения должно соответствовать направлению крутящего момента в данном сечении.
3) Ответ верный. Секущими плоскостями, ориентированными вдоль и поперек оси стержня, выделим объемный элемент. В сечении стержня у заделки действуют изгибающий момент М и крутящий момент 2М . От изгибающего момента М в точке В возникает нормальное растягивающее напряжение . Крутящий момент 2М , действующий в плоскости, перпендикулярной оси стержня, вызывает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента. Поэтому напряженное состояние элемента на рисунке 4 соответствует напряженному состоянию в точке В .
4) Ответ неверный! От крутящего момента в точке В поперечного сечения возникает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента.
Задача 4.2.2: Стержень испытывает деформации растяжение и чистый изгиб. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке, называется…
1) плоским; 2) объемным; 3) линейным; 4) чистым сдвигом.
Решение:
1) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно значение главного напряжения равно нулю.
2) Ответ неверный! В опасной точке отлично от нуля только одно главное напряжение. При объемном напряженном состоянии отличны от нуля три главных напряжения.
3) Ответ верный. Опасные точки расположены бесконечно близко к верхней грани элемента. В них возникают только растягивающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента. Эпюры распределения напряжений от каждого внутреннего силового фактора и результирующая эпюра показаны на рисунке.
Следовательно, в опасной точке будет линейное напряженное состояние.
4) Ответ неверный! При чистом сдвиге два главных напряжения равны, но противоположны по знаку, а третье равно нулю.
Задача 4.2.3: Напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке…
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение:
1) Ответ неверный! На рисунке показано плоское напряженное состояние – двухосное растяжение.
2) Ответ неверный! Элемент находится в условиях плоского напряженного состояния – двухосного смешанного напряженного состояния.
3) Ответ верный.
Чистый сдвиг – напряженное состояние, когда на гранях выделенного элементарного объема действуют только касательные напряжения. Если элементарный объем повернуть на угол, равный , то касательные напряжения на его гранях (площадках) будут равны нулю, но появятся нормальные (главные) напряжения и . Таким образом, чистый сдвиг может быть реализован растяжением и сжатием в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями, равными по абсолютной величине.
Следовательно, напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке 3.
4) Ответ неверный! Данный элемент испытывает линейное напряженное состояние.
Задача 4.2.4: Тип напряженного состояния, показанного на рисунке, называется…
1) линейным; 2) плоским; 3) объемным; 4) чистым сдвигом.
Решение:
1) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется в зависимости от значений главных напряжений. В примере одна грань свободна от касательных напряжений – это главная площадка. Нормальное напряжение, действующее на главной площадке, называют главным напряжением. В данном случае оно равно нулю. Используя формулу , найдем два других главных напряжения. После преобразований получим , . В соответствии с принятыми обозначениями имеем , . Два главных напряжения равны нулю. Следовательно, на рисунке показано линейное напряженное состояние.
2) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно главное напряжение равно нулю. В данном случае два главных напряжения равны нулю.
3) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии В данном случае два главных напряжения равны нулю. Поэтому данное напряженное состояние не является объемным.
4) Ответ неверный! При чистом сдвиге , . Расчеты показывают, что для данного случая это неверно.
Задача 4.2.5: Напряженное состояние при значениях , , называют…
1) объемным; 2) чистым сдвигом; 3) плоским; 4) линейным.
Решение:
1) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии отличны от нуля все три главных напряжения.
2) Ответ неверный! При чистом сдвиге одно значение главного напряжения равно нулю, а два других равны по величине, но противоположны по знаку.
3) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется значениями главных напряжений. В случае, когда все три главных напряжения отличны от нуля, имеем объемное напряженное состояние. Если одно главное напряжение равно нулю - плоское напряженное состояние, а когда два равны нулю – линейное. Следовательно, в данном примере будет плоское напряженное состояние.
4) Ответ неверный! При линейном напряженном состоянии только одно главное напряжение отлично от нуля.
Задача 4.2.6: На гранях элементарного объема (см. рисунок) действуют напряжения заданные в МПа . Напряженное состояние в точке …
1) линейное; 2) плоское (чистый сдвиг); 3) плоское; 4) объемное.
Решение:
1) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50МПа
). Два других главных напряжения определите по формуле
2) Ответ неверный! Напомним, что при чистом сдвиге одно из главных напряжений равно нулю. Два других равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
3) Ответ верный. Передняя грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что она является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа
). Два других главных напряжения определим по формуле
Поставляя числовые значения, получаем
Присваивая главным напряжениям индексы, имеем:
Таким образом, напряженное состояние плоское (двухосное сжатие).
4) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа
). Два других главных напряжения можно определить по формуле
Результаты расчетов покажут, какое напряженное состояние изображено на рисунке.
Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, является – …
Решение:
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
где:
В нашем случае , и кубическое уравнение принимает вид откуда
Таким образом, напряженное состояние элементарного объема линейное (одноосное растяжение).
Тема: Виды напряженного состояния
Стальной кубик вставлен без зазора в жесткую обойму (см. рис.). На верхнюю грань кубика действует равномерно распределенное давление интенсивности р
. Поверхности кубика и обоймы абсолютно гладкие. Напряженное состояние кубика показано на рисунке …
| в | |||
| г | |||
| б | |||
| а |
Решение:
Силы трения между абсолютно гладкими поверхностями кубика и обоймы отсутствуют. Поэтому касательные напряжения на гранях кубика равны нулю, и все грани являются главными площадками. В процессе сжатия ребра кубика, направленные вдоль осей x
и y
, стремятся удлиниться. Удлинение вдоль оси y
происходит свободно. Удлинение вдоль оси x
невозможно (мешает жесткая обойма). В связи с невозможностью удлинения вдоль оси x
, со стороны вертикальных плоскостей обоймы на кубик действуют усилия в виде равномерно распределенных по площади нагрузок с некоторой интенсивностью . Интенсивности р
и следует рассматривать как главные напряжения. Таким образом, из трех главных напряжений одно (по фронтальной грани кубика). Поэтому напряженное состояние кубика плоское (рис. в
).
Тема: Виды напряженного состояния
На рисунке показан стержень, работающий на кручение с растяжением. Напряженное состояние в точке К
является – …
Решение:
В точке К
поперечного сечения действует нормальное напряжение от силы F
. Эпюра касательных напряжений от крутящего момента показана на рисунке 1. В угловых точках Поэтому напряженное состояние в точке К
− линейное (одноосное растяжение, рис. 2).
Тема: Виды напряженного состояния
Напряженное состояние элементарного объема является – …
Решение:
Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой, поэтому одно главное напряжение равно Два других главных напряжения вычисляем по формуле
В данном случае (см. рис.) Подставляя в формулу, получаем
Присваивая главным напряжениям соответствующие индексы, получаем
Напряженное состояние − объемное.
Тема: Виды напряженного состояния
На тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р
(см. рис.). Напряженное состояние элементарного объема является – …
Решение:
Если на тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р
(см. рис.), то напряженное состояние в любой точке тела объемное (трехосное сжатие). При этом при любой пространственной ориентации элементарного объема.
Напряженное и деформированное состояния упругого тела. Связь между напряжениями и деформациями
Понятие о напряжении тела в данной точке. Нормальные и касательные напряжения
Внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении упругого тела, характеризуют состояние того или иного сечения тела, но не дают ответа на вопрос о том, какая именно точка поперечного сечения является наиболее нагруженной, или, как говорят, опасной точкой . Поэтому необходимо ввести в рассмотрение какую-то дополнительную величину, характеризующую состояние тела в данной точке.
Если тело, к которому приложены внешние силы, находится в равновесии, то в любом его сечении возникают внутренние силы сопротивления. Обозначим через внутреннее усилие, действующее на элементарную площадку , а нормаль к этой площадке через тогда величина
 | (3.1) |
называется полным напряжением.
В общем случае полное напряжение не совпадает по направлению с нормалью к элементарной площадке, поэтому удобнее оперировать его составляющими вдоль координатных осей -
Если внешняя нормаль совпадает с какой-либо координатной осью, например, с осью Х , то составляющие напряжения примут вид при этом составляющая оказывается перпендикулярной сечению и называется нормальным напряжением , а составляющие будут лежать в плоскости сечения и называются касательными напряжениями .
Чтобы легко различать нормальные и касательные напряжения обычно применяют другие обозначения: - нормальное напряжение, - касательное.
Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.
Нормальные напряжения обозначаются в виде , где индекс обозначает нормаль к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ). Касательные напряжения имеют вид ; здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это напряжение направлено (рис.3.1).
Рис.3.1. Нормальные и касательные напряжения
Для этих напряжений принято следующее правило знаков . Нормальное напряжение считается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение считается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.
Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать
В точке, которая отстоит от рассматриваемой на бесконечно малом расстоянии, напряжение с точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:
Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х
, а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , - 
Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.
В теории упругости доказывается закон парности касательных напряжений , согласно которому по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу:
Можно показать, что напряжения (3.3) не просто характеризуют напряженное состояние тела в данной точке, но определяют его однозначно. Совокупность этих напряжений образует симметричную матрицу, которая называется тензором напряжений :
 | (3.4) |
Так как в каждой точке будет свой тензор напряжений, то в теле имеется поле тензоров напряжений.
При умножении тензора на скалярную величину получится новый тензор, все компоненты которого в раз больше компонентов исходного тензора.
Ранее мы для простоты и наглядности рассматривали обычную деревянную линейку в качестве балки, что позволило с известными допущениями вывести основные уравнения и формулы для расчета несущей способности балки. Благодаря этим уравнениям мы построили эпюры поперечных сил "Q" и эпюры изгибающих моментов "М".
Рисунок 149.2.1 . Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки при сосредоточенной нагрузке.
Что в итоге позволило достаточно просто и наглядно определить значение максимального изгибающего момента и соответственно значение максимальных нормальных растягивающих и сжимающих напряжений, возникающих в наиболее нагруженном поперечном сечении балки.
Дальше, зная расчетное сопротивление материала балки (значения расчетных сопротивлений проводятся в соответствующих СНиПах), можно достаточно легко определить момент сопротивления поперечного сечения, а затем и другие параметры балки, высоту и ширину, если балка прямоугольного сечения, диаметр, если балка круглого сечения, номер по сортаменту, если балка из металлического горячекатаного профиля.
Такой расчет на прочность является расчетом по первой группе предельных состояний и позволяет определить максимально допустимую нагрузку, которую может выдержать рассчитываемая конструкция. Превышение максимально допустимой нагрузки приведет к разрушению конструкции. Как именно будет разрушаться конструкция, нас в данном случае не интересует, так как данный сайт посвящен не вопросам теоретических и практических исследований предельных состояний материалов, а всего лишь некоторым методам расчетов наиболее распространенных строительных конструкций.
Как правило инженерные расчеты конструкций, которые будут использоваться сотнями тонн и десятками кубометров, выполняются так, чтобы получить максимально загруженную конструкцию. Поэтому такие расчеты достаточно сложные и разного рода коэффициентов, учитывающих срок службы конструкции, характер нагрузок, цикличность, динамичность нагрузок, неоднородность используемого материала и т.д. - десятки. Это логично так как при валовом производстве каждый процент в итоге дает ощутимую экономию. В частном строительстве, выполняемом один раз, прочность конструкции, пусть даже с двукратным запасом намного важнее возможной экономии материалов и потому расчеты для частного малоэтажного строительства можно максимально упростить, используя всего лишь один поправочный коэффициент γ = 1.6÷2, если на этот коэффициент будут умножаться значения напряжений, или γ = 0.5÷0.7, если на этот коэффициент будет умножаться значение расчетного сопротивления. Однако этим даже такие простые расчеты не ограничиваются.
Любая балка, имеющая длину значительно больше, чем высоту поперечного сечения, представляющая собой стержень, под действием нагрузок будет деформироваться. Результатами деформации являются смещение центральной оси балки по оси у относительно оси х , проще говоря прогиб, а также поворот поперечных сечений балки относительно плоскости поперечного сечения. И эти самые прогибы и углы поворота вне зависимости от того, какие опоры у балки и какие на нее действуют нагрузки, также можно определить. Для определения максимального угла поворота и максимального прогиба также строятся соответствующие эпюры, позволяющие определить, какое поперечное сечение сместится в результате прогиба больше всего и какое будет наклонено больше всего.
Рисунок 174.5.6 . Эпюра углов поворота при действии сосредоточенной нагрузки посредине балки
Эпюра прогибов здесь не приводится, но как ни странно, это самая простая эпюра, показывающая положение оси, проходящей через поперечные сечения балки в результате деформации и эту эпюру воочию можно наблюдать на любой достаточно прогнувшейся балке или любой другой конструкции. Зная модуль упругости материала балки и момент инерции поперечного сечения определить максимальный прогиб также не очень сложно. Максимально упростить решение этих задач позволяют расчетные схемы для балок , к которым в зависимости от характера опор и вида нагружения даны соответствующие формулы.
Такой расчет деформаций является расчетом по предельным состояниям второй группы и достаточно наглядно показывает, на какую величину прогнется балка. Это бывает важно не только в связи с технологическими ограничениями, например для подкрановых балок, но также и из эстетических соображений. Например, когда потолок, а точнее перекрытие, хотя и достаточно прочное, заметно прогнется, то приятного в этом мало. Максимально допустимые величины прогибов для различных строительных конструкций приводятся в СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия" (в его актуализированной редакции). Впрочем при расчетах для себя никто не запрещает использовать еще меньшие значения прогиба.
Тут у читателя может возникнуть вполне резонный вопрос, а зачем понадобилось строить эпюру касательных напряжений "Q", если ни в каких расчетах эта эпюра не участвует. Что ж, пришло время ответить на этот вопрос.
Дело в том, что расчет разного рода балок, особенно постоянного прямоугольного сечения, лежащих горизонтально, на прочность при действии касательных напряжений очень редко является определяющим в отличие от приведенных выше расчетов. Тем не менее знать, что такое - касательные напряжения - и как они влияют на работу конструкции, пусть даже очень упрощенно, но все-таки надо.
Как следует из определения, касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения, как бы касаются поперечного сечения потому и названы касательными. Определить значение касательных напряжений на первый взгляд просто: достаточно разделить значение поперечной силы (для этого нам и нужна эпюра "Q"), на площадь поперечного сечения (в рассматриваемом нами примере поперечные силы действовали только вдоль оси у и далее этого нам вполне хватит, усложнить любой расчет мы успеем всегда):
т = Q/F = Q/(bh) (270.1)
В итоге мы можем построить эпюру касательных напряжений "τ "(в дополнение к нормальным напряжениям "σ") следующего вида:
Рисунок 270.1 . Предварительная эпюра касательных напряжений "τ "
Однако такая эпюра касательных напряжений была бы справедлива для некоего абстрактного материала, обладающего линейной упругостью вдоль оси у , и абсолютно жесткого вдоль оси z , в результате чего в поперечном сечении такого материала не происходит перераспределения напряжений и есть только один вид деформации относительно оси у . В действительности же любое тело, обладающее изотропными свойствами, под действием нагрузок пытается сохранить свой объем, а значит и рассматриваемое нами сечение пытается сохранить свою площадь. Наглядный пример, когда вы садитесь на мяч, высота его под действием вашего веса уменьшается, но увеличивается ширина. Причем процесс этот носит не линейный характер. Если вырезать из теста кубик или параллелепипед, а затем надавить на него, то боковые грани станут выпуклыми, подобный процесс происходит и при лабораторных испытаниях на сжатие образцов металла или других материалов.
Кроме всего прочего это означает еще и то, что касательные напряжения, действующие вдоль оси у , вызывают появление касательных напряжений вдоль оси z и эпюра касательных напряжений вдоль оси z будет более наглядно показывать изменение касательных напряжений по отношению к высоте балки. При этом форма эпюры будет напоминать боковую грань сплюснутого кубика из теста, а площадь эпюры конечно же не изменится. Т.е. значения эпюры касательных напряжений в самом низу и в самом верху поперечного сечения будут равны нулю, а максимальное значение (при прямоугольном сечении) будет посредине высоты сечения и явно больше Q/F. Исходя из условия равенства площадей эпюр максимальное значение эпюры касательных напряжений не может быть более 2Q/F, да и то только в том случае, если эпюра будет представлять собой два треугольника и в этом случае максимальное значение и есть высота треугольников. Однако как мы уже выяснили эпюра по своему виду больше напоминает часть круга или параболу, т.е. значение максимального касательного напряжения будет составлять около 1.5Q/F :
Рисунок 270.2 . Более точная эпюра касательных напряжений.
Серой линией показана предварительно принятая нами эпюра касательных напряжений, но теперь касательные напряжения направлены вдоль оси z .
Математически изменение касательных напряжений в зависимости от высоты сечения можно выразить через изменение статического момента отсеченной части сечения с учетом изменения ширины сечения, так как далеко не всегда балки имеют прямоугольную форму сечения. В итоге формула для определения касательных напряжений (вывод формулы здесь не приводится) имеет следующий вид:
т = Q y S z отс /bI z (270.2) - формула проф. Д. И. Журавского
где Q y - значение поперечной силы в рассматриваемом поперечном сечении, определяется по эпюре "Q"
S z отс - статический момент отсеченной части сечения на рассматриваемой высоте относительно оси z . Определяется как площадь отсеченной части, умноженная на расстояние между центром тяжести всего сечения и центром тяжести отсеченной части сечения. Например, в самом низу поперечного сечения, т.е. при высоте h=0, площадь отсеченной части сечения будет также равна 0, а значит и касательные напряжения, действующие по ширине b поперечного сечения, также будут равны нулю. Для сечения, проходящего через центр тяжести поперечного сечения, т.е. при высоте отсеченной части сечения, равной h/2, статический момент будет составлять (bh/2)(h/4) = bh 2 /8. При высоте отсеченного сечения, равной высоте поперечного сечения статический момент будет равен нулю, так как центр тяжести отсеченной части сечения в этом случае будет совпадать с центром тяжести сечения.
b - ширина поперечного сечения на рассматриваемой высоте поперечного сечения. Для балок прямоугольного сечения ширина сечения величина постоянная, однако бывают балки круглого, таврового, двутаврового и любого другого сечения. Более того, определение касательных напряжений чаще всего и используется при расчете балок не прямоугольного сечения, так как при переходе сечения из полок в стенку появляется значительный скачок касательных напряжений в связи с изменением ширины сечения, причем переход из полок в стенку обычно происходит на такой высоте, где нормальные напряжения достаточно велики и это учитывается соответствующим расчетом.
I z - момент инерции поперечного сечения относительно оси z . В данном случае единственная более менее постоянная величина. Для прямоугольного поперечного сечения момент инерции составляет bh 3 /12.
Таким образом, согласно формулы (270.2) максимальное значение касательных напряжений составит:
т = 12Qbh 2 /(8b 2 h 3) = 1.5Q/F (270.3)
Такой же результат дала нам и геометрия.
И еще. Для материалов, обладающих ярко выраженными анизотропными свойствами, например, для древесины проверка на прочность по касательным напряжениям необходима. Дело в том, что прочность древесины сжатию вдоль волокон и прочность древесины сжатию поперек волокон - абсолютно разные вещи. Поэтому проверка выполняется для поперечных сечений, в которых касательные напряжения максимальны, как правило это сечения на опорах балки (при равномерно распределенной нагрузке). В этом случае полученное значение касательных напряжений сравнивается со значением расчетного сопротивления древесины сжатию или смятию поперек волокон - R c90 .
Впрочем, существует и другой подход к вопросу определения касательных напряжений: под действием нагрузок балка деформируется, при этом максимальные нормальные сжимающие и растягивающие напряжения возникают в самом низу и в самом верху поперечного сечения балки, что можно видеть по эпюре "σ" на рис.270.1.
При этом между волокнами такого неоднородного материала, как древесина, как впрочем и между слоями любого другого материала возникают касательные напряжения, направленные теперь по оси х , т.е. по той же оси, что и нормальные сжимающие и касательные напряжения, возникающие в результате действия изгибающего момента.
Происходит это от того, что каждый рассматриваемый слой испытывает разные по значению нормальные нагрузки и в результате все того же перераспределения напряжений и возникают касательные напряжения . Эти касательные напряжения как бы пытаются расколоть балку на отдельные слои, каждый из которых будет работать как отдельная балка.
Разница же несущей способности между отдельно взятыми слоями и цельной балкой очевидна. Например, если взять пачку бумаги хоть в 500 листов, то согнуть такую пачку - пара пустяков, а если склеить все листы, т.е. слои балки между собой, то мы получим цельную балку и вот ее уже согнуть будет намного труднее. Но между склеенными листами и будут возникать те самые, условно говоря, нормальные касательные напряжения. Впрочем, значение нормальных касательных напряжений определяется таким же образом и в расчетах участвует все та же поперечная сила, определяемая по эпюре "Q". Вот только рассматривается не отсеченная, а скалываемая часть сечения, соответственно статический момент может обозначаться - S z ск . В этом случае полученное значение касательных напряжений сравнивается со значением расчетного сопротивления древесины сколу вдоль волокон - R cк .
Правда, значения R с90 и R cк для древесины имеют одинаковое значение, но тем не менее касательные напряжения от действия поперечных сил и от деформаций в результате прогиба принято различать (так как рассматриваются две перрпендикулярные друг другу главные площадки напряжений), да и направление действия касательных напряжений важно при определении общего напряжения в исследуемой точке тела.
Впрочем, все это не более чем общие понятия о касательных напряжениях. В реальных материалах процесс перераспределения напряжений намного более сложный, все потому, что даже металл отнести к изотропным материалам можно достаточно условно. Впрочем эти вопросы рассматривает отдельная научная дисциплина - теория упругости. При расчете строительных конструкций, представляющих собой стержни - балки или пластины - плиты размером на помещение, вполне можно пользоваться формулой (270.2), выведенной на основе общих положений линейной теории упругости. При расчете массивных тел следует использовать методы нелинейной теории упругости.
Напряжение есть вектор и как всякий вектор может быть представлен нормальной (по отношению к площадке) и касательной составляющими (рис. 2.3). Нормальную составляющую вектора напряжений будем обозначать касательную . Экспериментальными исследованиями установлено, что влияние нормальных и касательных напряжений на прочность материала различно, и потому в дальнейшем окажется необходимым всегда раздельно рассматривать составляющие вектора напряжений.
Рис. 2.3. Нормальное и касательное напряжения в площадке
Рис. 2.4. Касательное напряжение при срезе болта
При растяжении болта (см. рис. 2.2) в поперечном сечении действует нормальное напряжение
При работе болта на срез (рис. 2.4) в сеченйи П должно возникать усилие, уравновешивающее усилие .
Из условий равновесия следует, что
В действительности последнее соотношение определяет некоторое среднее напряжение по сечению, которым иногда пользуются для приближенных оценок прочности. На рис. 2.4 показан вид болта после воздействия значительных усилий. Началось разрушение болта, и одна его половина сместилась относительно другой: произошла деформация сдвига или среза.
Примеры определения напряжений в элементах конструкций.
Разберем простейшие примеры, в которых предположение о равномерном распределении напряжений, можно считать практически приемлемым. В таких случаях величины напряжений определяются с помощью метода сечений из уравнений статики (уравнений равновесия).
Кручение тонкостенного круглого вала.
Тонкостенный круглый вал (труба) передает крутящий момент (например, от авиационного двигателя на воздушный винт). Требуется определить напряжения в поперечном сечении вала (рис. 2.5, а). Проведем плоскость сечения П перпендикулярно оси вала и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2.5, б).
Рис. 2.5. Кручение тонкостенного круглого вала
Из условия осевой симметрии, учитывая малую толщину стенки можно принять, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы.
Строго говоря, такое предположение справедливо только при очень малой толщине стенки, но в практических расчетах его используют, если толщина стенки
где - средний радиус сечения.
Внешние силы, приложенные к отсеченной части вала, сводятся только к крутящему моменту, и потому нормальные напряжения в поперечном сечении должны отсутствовать. Крутящий момент уравновешивается касательными напряжениями, момент которых равен
Из последнего соотношения находим касательное напряжение в сечении вала:
Напряжения в тонкостенном цилиндрическом сосуде (трубе).
В тонкостенном цилиндрическом сосуде действует давление (рис. 2.6, а).
Проведем сечение плоскостью П, перпендикулярной оси цилиндрической оболочки, и рассмотрим равновесие отсеченной части. Давление, действующее на крышку сосуда, создает усилив
Это усилие уравновешивается силами, возникающими в поперечном сечении оболочки, и интенсивность - указанных сил - напряжение - будет равна
Толщина оболочки 5 предполагается малой по сравнению со средним радиусом , напряжения считаются равномерно распределенными во всех точках поперечного сечения (рис. 2.6, б).
Однако на материал трубы действуют не только напряжения в продольном направлении, но и окружные (или кольцевые) напряжения в перпендикулярном направлении. Для их выявления выделим двумя сечениями кольцо длиной I (рис. 2.7), а затем проведем диаметральное сечение, отделяющее половину кольца.
На рис. 2.7, а показаны напряжения на поверхностях сечения. На внутреннюю поверхность трубы радиусом действует давление
Рис. 2.8. Трещина в цилиндрической оболочке при действии разрушающего внутреннего давления
Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.
Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по площади сечения.
Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна
где - равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1, а).
Разложим силу на две составляющие: касательную АТ и нормальную , из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости.
Интенсивность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается (тау), а интенсивность нормальных сил - нормальным напряжением и обозначается (сигма). Напряжения выражаются формулами
Напряжения имеют размерность и т. д.
Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1, б). Очевидно, что
Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение - интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений а и в каждой точке элемента зависят от направления сечения, проведенного через эту точку.
Совокупность напряжений , действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой напряженное состояние в этой точке.
Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.
Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальными а и касательными напряжениями (рис. 8.1). Разложим напряжения на составляющие параллельные соответственно осям у и . На площадку действуют элементарные силы параллельные соответственно осям Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки сечения F) на оси и их моменты относительно этих осей определяются выражениями
