Свойства нелинейных двухполюсников обычно описывают их статическими характеристиками . Общепринятой характеристикой нелинейного резистивного двухполюсника является его вольт-амперная характеристика (ВАХ).
Статическая ВАХ – это зависимость тока, протекающего через нелинейный резистивный элемент, от приложенного к нему напряжения в установившемся режиме (или наоборот – зависимость падения напряжения на элементе от протекающего через него тока).
Статическая ВАХ определяет свойства элемента при переменном напряжении (токе) низкой частоты, значение которой не превышает предельно допустимого значения.
В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные двухполюсные элементы (резисторы с нелинейным сопротивлением, электровакуумные и полупроводниковые диоды) и нелинейные многополюсные элементы (транзисторы и тиристоры различных типов, электровакуумные триоды и пентоды).
ВАХ нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной (рис.15.2,а) или несимметричной (рис.15.2,б,в) относительно начала координат.
Рис.15.2 – Статические вольт-амперные характеристики различных
резистивных элеметов
Для симметричной ВАХ справедливо условие I (U ) = -I (-U ), а для несимметричной I (U ) -I (-U ).
Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного резистивного элемента с симметричной характеристикой поменять местами.
Различают нелинейные резистивные элементы с монотонной (рис.15.2,а) и немонотонной (рис.15.2,б,в) ВАХ.
У элементов с монотонной ВАХ увеличение приложенного к элементу напряжения приводит к росту (или хотя бы не уменьшению) тока и, наоборот, увеличение тока приводит к возрастанию напряжения на элементе.
Напряжение и ток на зажимах такого элемента связаны между собой однозначной зависимостью , причем производные ВАХ во всех ее токах принимают только неотрицательные значения , т.е.
,
.
ВАХ нелинейного элемента является немонотонной , если хотя бы в ограниченном диапазоне изменения токов и напряжений рост напряжения на зажимах элемента приводит к уменьшению тока или, наоборот, увеличение тока приводит к снижению напряжения.
Ток и напряжение нелинейного резистивного элемента с немонотонной ВАХ не связаны между собой взаимно однозначной зависимостью (рис.15.2,б,в).
Многообразие всех ВАХ нелинейных двухполюсников можно свести к шести основным типам (рис.15.3,а-е).
ВАХ могут иметь зон нечувствительности, т.е. «ступеньку» по напряжению или по току (рис.15.4,а,б)
Вид ВАХ нелинейного резистивного двухполюсника может зависеть от некоторой величины, не связанной непосредственно с токами или напряжениями цепи, в которую включен данный элемент, в частности от температуры, освещенности, давления и др. Такие элементы относятся к неэлектрически управляемым двухполюсникам.
Так как каждому значению управляющей величины соответствует своя кривая, характеризующая зависимость между током и напряжением на зажимах неэлектрически управляемого резистивного двухполюсника, также двухполюсники характеризуются не одной ВАХ, а семейством ВАХ (рис.15.5).
Рис.15.5 – Семейство ВАХ термистора.
Важнейший класс нелинейных резистивных элементов составляют электрически управлямые элементы (транзисторы различных типов, вакуумные и газоразрядные трехэлектродные и многоэлектродные приборы. Элементы этого типа содержат два основных электрода:
Катод и анод у электронных ламп;
Эмиттер и коллектор у биполярных транзисторов;
Сток и исток у полевых транзисторов.
Сопротивление между основными электродами изменяется под действием тока или напряжения одного или нескольких управляющих электродов:
Сетки у электронных ламп;
Базы у биполярных транзисторов;
Затвора или подложки у полевых транзисторов.
В частности, ток i нелинейного резистивного трехполюсника (рис.15.6), имеющего два основных и один управляющий электрод, является функцией напряжения между основными электродами u и тока управления i упр или напряжения u упр управляющего электрода:
i = i (u , i упр) i = i (u , u упр). |
Рис.15.5 – Электрически управляемый нелинейный трехполюсник
Как видно из рис.15.5, электрически управляемый нелинейный резистивный трехполюсник имеет две стороны: входную (управляющую) и выходную (управляемую), причем один из выводов трехполюсника является общим для обеих сторон.
Электрически управляемые нелинейные резистивные элементы могут быть охарактеризованы различными семействами ВАХ.
Выходные ВАХ отображают зависимость между выходным током i и выходным напряжением u при различных значениях входного тока i упр или напряжения u упр .
Типовые выходные ВАХЪ биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером (рис.15.6,а) представлены на рис.15.6,б.
Полная классификация нелинейных элементов представлена в таблице 15.1, а примеры нелинейных резистивных элементов с их условными графическими обозначениями и вольт-амперными характеристиками приведены в таблице 15.2.
Резистивные |
1. По виду параметра |
Признаки классификации |
Табл.29.1 – Классификация нелинейных элементов |
Индуктивные |
|||
Емкостные |
|||
Двухполюсные |
2. По количес-тву внешних выводов |
||
Многополюсные |
|||
Симметричные |
3. По наличию симмет-рии ВАХ |
||
Несимметричные |
|||
Монотонные |
4. По наличию монотон-ности ВАХ |
||
Немонотонные |
|||
С насыщением по току |
5. По типу ВАХ |
||
С насыщением по напряжению |
|||
S-типа (неоднозначность по току) |
|||
N-типа (неоднозначность по напряжению) |
|||
С зоной нечувствительности по току |
6. По наличию зоны нечувствитель-ности |
||
С зоной нечувствительности по напряжению |
|||
Без зоны нечувствительности |
|||
Неэлектрически управляемые |
7. По способу управления |
||
Электрически управляемые |
Таблица 15.1 – Резистивные НЭ
Элемент, графическое обозначение |
Характеристика |
|
Двухполюсные резистивные элементы |
||
Варистор |
Симметричная I (U ) = -I (-U ), монотонная |
|
Электровакуумный диод |
Несимметричная, монотонная ВАХ (dI /dU ) > 0 |
|
Неоновая лампа |
ВАХ с падающим участком (dI /dU ) < 0, несимметричная, немонотонная, |
|
Полупровод-никовый диод | ||
Стабилитрон |
ВАХ несимметричная, монотонная |
|
Тоннельный диод |
ВАХ с падающим участком, несимметричная, немонотонная, N-типа |
|
Неэлектрически управляемые двухполюсные резистивные элементы |
||
Терморезистор |
ВАХ с падающим участком, сопротивление зависит от температуры |
|
Фотодиод |
Сопротивление зависит от светового потока |
|
Электрически управляемые трехполюсные резистивные элементы |
||
Биполярный транзистор типа n - p - n |
Выходные ВАХ |
ВАХ несимметрична, монотонна, с насыщением по току. Выходной ток зависит от напряжения и от входного тока: I к = I (I Б, U кэ) |
Тиристор |
ВАХ несимметрична, немонотонна, S-типа, зависит от напряжения на управляющем электроде |
2.2. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое ).
Статическое сопротивление характеризует рабочую точку нелинейного элемента по постоянному току, а дифференциальное – работу нелинейного элемента в окрестности этой рабочей точки.
Пусть резистивный нелинейный элемент имеет вольт-амперную характеристику, указанную на рисунке 15.8.
Статическое сопротивление – это соотношение напряжения к току в данной точке ВАХ.
(15.1)
где
-
масштабный коэффициент;
m u , m i – масштабы по напряжению и току;
- угол наклона секущей, проведенной через начало координат и рабочую точку, к оси токов.
Статическое сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента постоянному току.
Очевидно статическая проводимость есть величина, обратная статическому сопротивлению
(15.2)
– это предел отношения приращения напряжения к соответствующему приращению тока при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды:
Дифференциальное сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Г.И. НОСОВА»
КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
О.И. Петухова, Л.В. Яббарова, Ю.И. Мамлеева
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
1.1. Нелинейные элементы и их характеристики 3
1.2.3. Расчет цепей при смешанном соединении элементов 7
1.2.4. Преобразование активных нелинейных двухполюсников 8
1.2.5. Анализ разветвленных цепей 10
1.3. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов 12
1.3.1. Выбор аппроксимирующей функции 12
1.3.3. Аппроксимация ВАХ в окрестностях рабочей точки 18
2. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 19
2.1. Основные понятия 19
2.2. Законы Ома и Кирхгофа для магнитных цепей 21
2.3. Расчет магнитных цепей постоянного тока 23
3.1. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными нелинейными элементами 27
3.2. Особенности периодических процессов в цепях с безинерционными нелинейными сопротивлениями 30
3.3. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником 31
1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
1.1. Нелинейные элементы и их характеристики
Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).
Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.
Таким
образом, инерционный нелинейный элемент
является линейным относительно мгновенных
значений тока и напряжения, а ВАХ,
связывающая действующие значения
оказывается нелинейной. Безинерционные
элементы являются нелинейными как в
отношении мгновенных значений
,
,
так и в отношении действующихи.
В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:
,
.
(1)
Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.
Отношение
напряжения, измеряемого отрезком АВ к
току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.),
определяет в некотором масштабе
статическое сопротивлениеR
в точке А.
(2)
Предел
отношения приращения напряжения на
участке цепи к приращению тока в нем
или производная от напряжения по току
в том же масштабе
,
определяет дифференциальное сопротивление:
. (3)
Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ иливсегда больше нуля.
Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).
Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов
а) немонотонная N -типа; б) немонотонная S – типа;
в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.
Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.
Рис.3. Электрически управляемый элемент
а) транзистор; б) семейство входных ВАХ;
в) семейство выходных ВАХ.
Важнейший класс нелинейных элементов составляют электрическиуправляемые элементы(транзисторы, тиристоры, и т.д.). Они имеют два основных электрода и один управляющий (рис.3.а). Ток элемента определяется уравнениями:
или
.
(4)
Выводы нелинейного управляемого трёхполюсника образуют с остальной частью цепи два контура – основной (выходной) и управляющий (входной).
Управляемые элементы характеризуются семействами ВАХ: выходными и входными. (рис.3.б,с)
Вид ВАХ нелинейного управляемого элемента существенно зависит от схемы включения элемента, т.е. от того какой из электродов является общим для основного и управляющего контуров. На принципиальных электрических схемах реальные нелинейные элементы изображаются с помощью установленных ЕСКД условных графических обозначений (рис.4).
Рис.4 Обозначения нелинейных элементов
1. Основные положения |
|||||
R a = |
R abR ca |
||||
R b = |
R bcR ab |
||||
R bc + R ca |
|||||
R c = |
|
R ab + R bc + R ca. |
Путём взаимных подстановок в полученных выражениях мы можем получить выражения для R ab , R bc и R ca (т. е. выражения для преобразования звезды в треугольник):
R ab = R a + R b + R a R b ;
R bc = R b + R c + R b R c ;
R ca = R c + R a + R c R a .
1.5.1. Общие сведения
Нелинейная электрическая цепь это электрическая цепь, содержащая один или несколько нелинейных элементов [ 1 ] .
Нелинейный элемент это элемент электрической цепи, параметры которого зависят от определяющих их величин (сопротивление резистивного элемента от тока и напряжения, ёмкость емкостного элемента от заряда и напряжения, индуктивность индуктивного элемента от магнитного потока и электрического тока).
Таким образом, вольт–амперная u (i ) характеристика резистивного элемента, вебер–амперная ψ(i ) характеристика индуктивного элемента и кулон–вольтная q (u ) характеристика емкостного элемента имеют вид не прямой линии (как в случае линейного элемента), а некой кривой, обычно определяемой экспериментально и не имеющей точного аналитического представления.
Нелинейная электрическая цепь обладает рядом существенных отличий от линейной и в ней могут возникать специфические явления
1.5. Нелинейные электрические цепи |
||||||||
Рис. 1.28. УГО нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов
(например гистерезис), поэтому этого методы расчёта линейных цепей к нелинейным цепям неприменимы. Особо следует отметить неприменимость к нелинейным цепям метода наложения (суперпозиции).
Важно понимать, что характеристики реальных элементов никогда не бывают линейными, однако в большинстве инженерных расчётов они, с допустимой точностью, могут считаться линейными.
Все полупроводниковые элементы (диоды, транзисторы, тиристоры и т. д.) являются нелинейными элементами.
Условные графические обозначения нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов приведены на рис. 1.28 . На выносной площадке мажет указываться параметр, вызывающий нелинейность (например температура для терморезистора)
1.5.2. Параметры нелинейных элементов
Нелинейные элементы характеризуются статическими (R ст , L ст , и C ст ) и дифференциальными (R д , L д , и C д ) параметрами.
Статические параметры нелинейного элемента определяются как отношение ординаты выбранной точки характеристики к её абсциссе (рис. 1.29 ).
Статические параметры пропорциональны тангенсу угла наклона прямой, проведённой через начало координат и точку, для которой производится расчёт. Для примера на рис. 1.29 получим:
F ст = y A = m y tg α, x A m x
где α–– угол наклона прямой, проведённой через начало координат и рабочую точку A ;
m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно.
Рис. 1.29. К определению статических и дифференциальных параметров
нелинейных элементов
F ст = y A , F диф = dy x A dx
Отсюда статические параметры резистивного, индуктивного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:
R ст = |
L ст = |
C ст = |
|||||||||
Дифференциальные параметры нелинейного элемента определяются как отношение малого приращения ординаты выбранной точки характеристики к малому приращению её абсциссы (рис. 1.29 ).
Дифференциальные параметры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке характеристики и осью абсцисс. Для примера на рис. 1.29 получим:
F диф = dy = m y tg β, dx m x
где β –– угол наклона касательной в рабочей точке B характеристики и осью абсцисс;
m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно. Отсюда дифференциальные параметры резистивного, индуктив-
ного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:
R диф = |
L диф = |
C диф = |
||||||||
1.5.3. Методы расчёта нелинейных цепей
Нелинейность параметров элементов усложняет расчёт цепи, поэтому в качестве рабочего участка стараются выбрать либо линейный, либо близкий к нему участок характеристики и рассматривают, с допустимой точностью, элемент как линейный. Если же это невозможно или нелинейность характеристики является причиной выбора элемента (особенно это характерно для полупроводниковых элементов), то применяют специальные методы расчёта –– графический , аппроксимации
(аналитической и кусочно–линейной) и ряд других. Рассмотрим эти методы более подробно.
Графический метод
Идея метода состоит в построении характеристик элементов цепи (вольт–амперной u (i ), вебер–амперной ψ(i ) или кулон–вольтной q (u )), а затем, путём их графических преобразований (напр. сложения), получения соответствующей характеристики для всей цепи или её участка.
Графический метод расчёта является наиболее простым и наглядным в применении, обеспечивая в основной массе расчётов необходимую точность, однако он применим для небольшого количества нелинейных элементов в цепи и требует аккуратности при проведении графических построений.
Пример расчёта нелинейной цепи графическим методом для последовательного соединения линейного и нелинейного резистивных элементов приведён на рис. 1.30 , а , для параллельного –– на рис. 1.30 , б .
При расчёте последовательной цепи в одних осях строятся характеристики всех рассчитываемых элементов (для рассматриваемого примера это u нэ (i ) для нелинейного резистора R нэ и u лэ (i ) для линейного R лэ ). Характер изменения общего напряжения в цепи u (i ) определяется путём сложения характеристик нелинейного u нэ (i ) и линейного u лэ (i ) элементов u (i ) = u нэ (i ) + u лэ (i ). Сложение производится при одинаковых значении тока (для i = i 0 : u 0 = u нэ 0 + u лэ 0 , см. рис. 1.30 , а .).
Расчёт параллельной цепи производится аналогично, только характеристика всей цепи строится путём сложения токов, при постоянном напряжении (для u = u 0 : i 0 = i нэ 0 + i лэ 0 , см. рис. 1.30 , б .).
Рис. 1.31. Активный линейный двухполюстник в качестве схемы замещения нелинейного элемента
Метод аппроксимации
Идея метода состоит в замене экспериментально полученной характеристики нелинейного элемента аналитическим выражением.
Различают аналитическую аппроксимацию, при которой характеристика элемента заменяется аналитической функцией (например линейной y = ax + b , сте-
сом y = a th βx и другими) и кусочно–ли-
нейную , при которой характеристика элемента заменяется совокупностью прямоли-
нейных отрезков. Точность аналитической аппрокси-
мации определяется правильностью выбора аппроксимирующей функции и точностью подбора коэффициентов. Преимуществом кусочно–линейной аппроксимации является простота применения и возможность рассмотрения элемента как линейного.
Кроме того, в ограниченном диапазоне изменений сигнала, в котором его изменения можно считать линейным (т. е. в режиме малого сигнала ), нелинейный элемент, с допустимой точностью, может быть заменён эквивалентным линейным активным двухполюстником (рис. 1.31 , более подробно двухполюстник будет рассмотрен в § 2.3.4 ), где ток и напряжение связаны выражением:
U = E + Rдиф I ,
где R диф –– дифференциальное сопротивление нелинейного элемента на линеаризуемом участке.
Пример аналитической аппроксимации характеристики полупроводникового диода с помощью функции вида i = a (e bu − 1) приведён на рис. 1.32 , б , кусочно–линейной аппроксимации –– на рис. 1.32 , в , исходная характеристика диода приведена на рис. 1.32 , а .
Рис. 1.32. Аппроксимации характеристики полупроводникового диода.
а –– исходная характеристика диода;
б –– аналитическая аппроксимация с помощью функции вида i = a (e bu − 1);
в –– кусочно–линейная аппроксимация.
Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).
Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.
Таким образом, инерционный нелинейный элемент является линейным относительно мгновенных значений тока и напряжения, а ВАХ, связывающая действующие значения оказывается нелинейной. Безинерционные элементы являются нелинейными как в отношении мгновенных значений , , так и в отношении действующих и .
В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:
Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.
Отношение напряжения, измеряемого отрезком АВ к току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.), определяет в некотором масштабе статическое сопротивление R в точке А.
(2)
Предел отношения приращения напряжения на участке цепи к приращению тока в нем или производная от напряжения по току в том же масштабе , определяет дифференциальное сопротивление:
Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ или всегда больше нуля.
Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).
Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов
а) немонотонная N-типа; б) немонотонная S – типа;
в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.
Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.
Рис.3. Электрически управляемый элемент