Anul 1, matematică superioară, studiem matrici și acțiuni de bază asupra lor. Aici sistematizăm principalele operații care pot fi efectuate cu matrici. De unde să începeți să cunoașteți matricile? Desigur, din cele mai simple lucruri - definiții, concepte de bază și operații mai simple. Ne asigurăm că matricile vor fi înțelese de toți cei care le dedică cel puțin puțin timp!
Definiția a matrix
Matrice Este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, în termeni simpli - un tabel de numere.
De obicei matricile sunt indicate cu litere latine majuscule. De exemplu, matricea A , matrice B etc. Matricile pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate, există și matrici de rânduri și matrice de coloane, numite vectori. Dimensiunea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de mărime m pe n Unde m - numărul de linii și n - numărul de coloane.
Elemente pentru care i \u003d j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numește diagonală.
Ce puteți face cu matrici? Adăugați / scădeți, înmulțiți cu un număr, se înmulțesc între ei, transpune... Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.
Operații de adunare și scădere a matricei
Vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul este o matrice de aceeași dimensiune. Adunarea (sau scăderea) matricelor este ușoară - trebuie doar să adăugați elementele respective ... Să dăm un exemplu. Să adăugăm două matrice A și B, două câte două.
Scăderea se realizează prin analogie, numai cu semnul opus.
Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:
Operație de multiplicare a matricei
Nu toate matricile pot fi multiplicate între ele. De exemplu, avem două matrice - A și B. Acestea pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, care se află în al doilea rând și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din primul rând al primului factor și coloana a doua a celui de-al doilea... Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum se înmulțesc două matrice pătrate:
Și un exemplu cu numere reale. Să multiplicăm matricile:
Operațiunea de transpunere a matricei
Transpunerea matricei este o operație în care se schimbă rândurile și coloanele corespunzătoare. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:
Determinant matricial
Determinant, dar determinant este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva oamenii inventau ecuații liniare, iar în spatele lor trebuiau să inventeze un determinant. Ca rezultat, trebuie să vă ocupați de toate acestea, deci, ultimul răsucit!
Un determinant este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.
Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică constând dintr-un element, este egal cu acest element.
Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai complicat, dar puteți face față.
Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu o margine paralelă cu diagonala principală, din care se scad produsul elementelor diagonalei laterale și produsul elementelor situate pe triunghiurile cu o latură a diagonalei laterale paralele.
Din fericire, rareori este necesar să se calculeze determinanții matricilor mari în practică.
Aici am acoperit operațiunile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală nu poți niciodată să dai peste un indiciu al unui sistem matricial de ecuații sau invers - pentru a face față unor cazuri mult mai dificile atunci când trebuie să-ți rupi cu adevărat capul. Pentru astfel de cazuri există un serviciu profesional pentru studenți. Solicitați ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succesul academic și de timpul liber.
Acest manual vă va ajuta să învățați cum să efectuați operații cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, multiplicarea matricilor, găsirea matricei inverse. Toate materialele sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple corespunzătoare, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru auto-verificare și auto-verificare, puteți descărca gratuit un calculator matricial \u003e\u003e\u003e.
Voi încerca să minimalizez calculele teoretice, în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitorii de teorie solidă, vă rog să nu criticați, sarcina noastră este învățați să efectuați acțiuni cu matrici.
Pentru pregătirea SUPER-FAST pe această temă (cine este "pe foc") există un curs pdf intensiv Matrice, determinant și test!
O matrice este un tabel dreptunghiular al oricărui elemente... La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matricele numerice. ELEMENT Este un termen. Este de dorit să ne amintim termenul, acesta va fi adesea întâlnit, nu este o coincidență faptul că am folosit tipul îndrăzneț pentru a-l evidenția.
Desemnare: matricile sunt de obicei notate cu majuscule latine
Exemplu: Luați în considerare o matrice două la trei:
Această matrice este formată din șase elemente:
Toate numerele (elementele) din matrice există de la sine, adică nu se pune problema unei scăderi: 
Este doar un tabel (set) de numere!
De asemenea, vom fi de acord nu rearanjați numerele, cu excepția cazului în care se explică altfel în explicații. Fiecare număr are propria locație și nu poate fi amestecat!
Matricea în cauză are două rânduri: 
și trei coloane: 
STANDARD: atunci când vorbim despre dimensiunea matricei, atunci primul indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am demontat o matrice două-la-trei.
Dacă numărul de rânduri și coloane al matricei este același, atunci se numește matricea pătrat, de exemplu: 
- matrice „trei câte trei”.
Dacă matricea are o coloană sau un rând, atunci se numesc și astfel de matrice vectori.
De fapt, cunoaștem conceptul de matrice încă de la școală, luăm în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „joc” :. În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu pentru dvs. de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan.
Acum să mergem direct la studiu acțiuni cu matrici:
1) Prima acțiune. Eliminarea minusului din matrice (adăugarea minusului în matrice).
Înapoi la matricea noastră 
... După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atâtea minusuri și doar arată urât în \u200b\u200bdesign.
Mutați minusul în afara matricei, schimbând semnul fiecărui element matrice:
La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, zero - este zero în Africa.
Exemplu invers: 
... Pare urât.
Să adăugăm un minus la matrice schimbând semnul fiecărui element matrice:
Ei bine, a ieșit mult mai drăguț. Și, cel mai important, va fi mai ușor să efectuați orice acțiune cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe contra, cu atât mai multe confuzii și greșeli.
2) A doua acțiune. Înmulțirea matricei cu numărul.
Exemplu:
Este simplu, pentru a multiplica o matrice cu un număr, aveți nevoie fiecare elementul matricei este înmulțit cu numărul dat. În acest caz, primele trei.
Un alt exemplu util:
- multiplicarea matricei cu o fracție
În primul rând, ia în considerare ce să faci NU FACE:
NU ESTE NECESAR să introduceți o fracțiune în matrice, în primul rând, complica doar acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, face dificilă verificarea soluției de către profesor (mai ales dacă 
- răspunsul final al sarcinii).
Si in special, NU FACE împărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:
Din articol Matematică pentru manechine sau de unde să începeți, ne amintim că fracțiile zecimale cu virgulă în matematică superioară sunt încercate în toate modurile posibile de evitat.
Singurul lucru de dorit a face în acest exemplu înseamnă a introduce un minus în matrice:
Dar dacă TOATE elementele matricei erau divizibile cu 7 fără reziduuri, atunci ar fi posibil (și necesar!) să împărțiți.
Exemplu:
În acest caz, puteți și TREBUIE SA înmulțiți toate elementele matricei cu, deoarece toate numerele din matrice sunt divizibile cu 2 fără reziduuri.
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc să spuneți „împărțiți acest lucru cu acesta”, puteți spune întotdeauna „înmulțiți acest lucru cu o fracțiune”. Adică împărțirea este un caz special de multiplicare.
3) A treia acțiune. Transpunerea matricei.
Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.
Exemplu:
Transpune Matrix
Există doar o singură linie aici și, conform regulii, trebuie scrisă într-o coloană:
- matricea transpusă.
O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un supercript sau o lovitură din dreapta sus.
Exemplu pas cu pas:
Transpune Matrix 
Mai întâi, rescriem primul rând în prima coloană:
Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană: 
În cele din urmă, rescriem a treia linie în a treia coloană:
Terminat. Aproximativ vorbind, a transpune înseamnă a întoarce matricea într-o parte.
4) Acțiunea patru. Suma (diferența) matricilor.
Suma matricilor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICELE POATE FI PLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricilor, este necesar ca acestea să aibă aceeași MĂRIME.
De exemplu, dacă i se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta! 
Exemplu:
Adăugați matrici 
și 
Pentru a adăuga matrici, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare:
Pentru diferența de matrice, regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.
Exemplu:
Găsiți diferența de matrice 
, 
Și cum să rezolvi acest exemplu mai ușor pentru a nu te deruta? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile, pentru aceasta adăugăm un minus la matrice:
Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din acest lucru”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică scăderea este un caz special de adunare.
5) Acțiunea cinci. Înmulțirea matricei.
Ce matrici pot fi multiplicate?
Pentru ca matricea să fie înmulțită cu matricea, aveți nevoie astfel încât numărul de coloane ale matricei să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei.
Exemplu:
Este posibil să înmulțiți o matrice cu o matrice?
Aceasta înseamnă că puteți înmulți aceste matrice.
Dar dacă matricile sunt rearanjate, atunci, în acest caz, multiplicarea este deja imposibilă!
Prin urmare, multiplicarea nu este posibilă:
Nu este atât de rar că sarcinile cu un truc sunt întâlnite atunci când un student este rugat să înmulțească matricile, a căror multiplicare este evident imposibilă.
Trebuie remarcat faptul că, într-un număr de cazuri, este posibilă multiplicarea matricilor în ambele sensuri.
De exemplu, pentru matrice, și atât multiplicarea cât și multiplicarea sunt posibile
Înmulțirea matricei cu numărul este o operație pe o matrice, ca urmare a căreia fiecare dintre elementele sale este înmulțit cu un număr real sau complex. Arată așa în limbajul matematic:
$$ B \u003d \\ lambda \\ cdot A \\ Rightarrow b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Este demn de remarcat faptul că matricea rezultată $ B $ ar trebui să aibă aceeași dimensiune ca și matricea inițială $ A $. De asemenea, puteți acorda atenție următorului fapt: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ cdot \\ lambda $, adică puteți schimba multiplicatorii și acest lucru nu va schimba produsul.
Va fi util să folosiți operația de înmulțire a unei matrice cu un număr atunci când deplasați factorul comun în afara matricei. În acest caz, fiecare element al matricei este împărțit la numărul $ \\ lambda $ și este scos în fața matricei.
Proprietăți
- Legea distributivă pentru matrici: $$ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $$ Înmulțirea sumei matricilor cu un număr poate fi înlocuită cu suma produselor fiecărei matrice individuale cu un număr dat
- Legea distributivă pentru numerele reale (complexe): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot A \u003d \\ lambda A + \\ mu A $$ Înmulțirea unei matrice cu suma numerelor poate fi înlocuită cu suma produselor fiecărui număr cu matricea
- Legea asociativă: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot A) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ Este convenabil de utilizat dacă trebuie să scoateți factorul comun din matricea din fața sa, în timp ce înmulțiți coeficientul deja în fața sa
- Există un număr special $ \\ lambda \u003d 1 $, datorită căruia matricea rămâne neschimbată $$ 1 \\ cdot A \u003d A \\ cdot 1 \u003d A $$
- Înmulțirea unei matrice cu zero duce la faptul că fiecare element al matricelor este redus la zero și matricea devine zero cu aceeași dimensiune pe care a fost inițial:
Exemple de soluții
| Exemplu |
| Date $ A \u003d \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ și $ real \\ lambda \u003d 2 $. Înmulțiți numărul cu matricea. |
| Decizie |
|
Scriem operația matematică a înmulțirii și, în același timp, ne amintim de regula care spune: matricea este înmulțită cu un număr element cu element. $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ cdot \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ begin (pmatrix) 2 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ end (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ Ca rezultat, vedem că fiecare număr din matrice s-a dublat în raport cu valoarea inițială. Dacă nu puteți rezolva problema dvs., trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu cursul calculului și să obțineți informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți credit de la profesor în timp util! |
| Răspuns |
| $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ |
Pentru a multiplica matricea A cu un număr arbitrar α, aveți nevoie de elementele matricei A înmulțiți cu numărul α, adică produsul cu număr de matrice va fi după cum urmează:
Exemplul 1. Găsiți Matrix 3 Apentru matrice
Decizie. În conformitate cu definiția, înmulțim elementele matricei A de 3 și obțineți
A fost un exemplu foarte simplu de înmulțire a unei matrice cu un număr cu numere întregi. Există, de asemenea, exemple simple în față, dar deja așa, unde printre factorii și elementele matricilor există fracții, variabile (desemnări de litere), deoarece legile înmulțirii sunt valabile nu numai pentru numere întregi, deci nu este niciodată dăunător să le repetăm.
Exemplul 2. A după numărul α dacă 
,
.
A cu α, fără a uita că la multiplicarea fracțiilor, numărătorul primei fracții este înmulțit cu numărătorul primei fracții și produsul este scris în numărător, iar numitorul primei fracții este înmulțit cu numitorul celei de-a doua fracții și produsul este scris în numitor. La primirea celui de-al doilea element al primului rând al noii matrice, fracția rezultată a fost redusă cu 2, acest lucru trebuie făcut. Primim
Exemplul 3. Efectuați operația de multiplicare a matricei A după numărul α dacă
,
.
Decizie. Înmulțiți elementele matricei A cu α, fără a se confunda în notația literei, amintindu-vă să lăsați un minus în fața celui de-al doilea element al celui de-al doilea rând al noii matrice și amintind că rezultatul înmulțirii unui număr cu numărul său invers este unul (primul element al celui de-al treilea rând). Primim
.
Exemplul 4. Efectuați operația de multiplicare a matricei A după numărul α dacă 
,
.
Decizie. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți un număr într-o putere cu un număr într-o putere, exponenții se adună. Primim
.
Acest exemplu, printre altele, demonstrează clar că operațiile de înmulțire a unei matrice cu un număr pot fi citite (și scrise) în ordine inversă, iar acest lucru se numește punerea unui factor constant în fața matricei.
Combinat cu adunarea și scăderea matricilor operația de înmulțire a unei matrice cu un număr poate forma diverse expresii matriciale, de exemplu, 5 A − 3B , 4A + 2B .
Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
(aici A, B - matrici, - numere, 1 - numărul unu)
1. 
2. 
3. 
Proprietățile (1) și (2) conectează înmulțirea unei matrice cu un număr cu adunarea matricilor. Există, de asemenea, o conexiune foarte importantă între înmulțirea unei matrici cu un număr și înmulțirea matricilor în sine:
adică dacă în produsul matricilor unul dintre factori este înmulțit cu un număr, atunci întregul produs va fi înmulțit cu un număr.
Acest subiect va acoperi operații precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea matricii cu un număr, înmulțirea matrice-matrice, transpunerea matricei. Toate simbolurile utilizate pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.
Adunarea și scăderea matricilor.
Suma $ A + B $ a matricelor $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ se numește matricea $ C_ (m \\ times n) \u003d (c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ pentru toate $ i \u003d \\ overline (1, m) $ și $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:
Diferența $ AB $ a matricelor $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ și $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ este matricea $ C_ (m \\ times n) \u003d ( c_ (ij)) $, unde $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ pentru toate $ i \u003d \\ overline (1, m) $ și $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Explicația intrării $ i \u003d \\ overline (1, m) $: show \\ hide
Notarea „$ i \u003d \\ overline (1, m) $” înseamnă că parametrul $ i $ variază de la 1 la m. De exemplu, înregistrarea $ i \u003d \\ overline (1,5) $ spune că parametrul $ i $ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.
Trebuie remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrici de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații intuitive clare, deoarece înseamnă, de fapt, doar adunarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.
Exemplul nr. 1
Sunt date trei matrici:
$$ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) \\; \\; B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (array) \\ right); \\; \\; F \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ end (array) \\ right). $$
Puteți găsi matricea $ A + F $? Găsiți matricele $ C $ și $ D $ dacă $ C \u003d A + B $ și $ D \u003d A-B $.
Matricea $ A $ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $ A $ este de 2 $ \\ ori 3 $), iar matricea $ F $ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricei $ A $ și $ F $ nu coincid, deci nu le putem adăuga, adică operația $ A + F $ pentru matricile date este nedefinită.
Dimensiunile matricilor $ A $ și $ B $ sunt aceleași, adică datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, deci operația de adăugare li se aplică.
$$ C \u003d A + B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) + \\ left (\\ begin (array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (matrice) \\ dreapta) $$
Găsiți matricea $ D \u003d A-B $:
$$ D \u003d AB \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (array) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ : $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (array) \\ right) $, $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ end (array) \\ right) $.
RăspunsÎnmulțirea unei matrice cu un număr.
Produsul matricei $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ după numărul $ \\ alpha $ este matricea $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $, unde $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ pentru toate $ i \u003d \\ overline (1, m) $ și $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Pur și simplu, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.
Exemplul nr. 2
Matricea este dată: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Găsiți matricele $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ și $ -A $.
{!LANG-987d634ed94c15a31370f162c6a7a9ca!}
$$ 3 \\ cdot A \u003d 3 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin ( array) (ccc) 3 \\ cdot (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (array) \\ right). \\\\ -5 \\ cdot A \u003d -5 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) & -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 & -5 \\ cdot 9 & -5 \\ cdot 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (array) \\ right). $$
$ -A $ este prescurtat pentru $ -1 \\ cdot A $. Adică, pentru a găsi $ -A $, trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $ A $ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $ A $ va fi inversat:
$$ -A \u003d -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ : $ 3 \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (array) \\ right); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (array) \\ right); \\; -A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (array) \\ right) $.
RăspunsProdusul a două matrice.
Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, de neînțeles. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală și apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă și cum să lucrați cu ea.
Produsul matricei $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ de matricea $ B_ (n \\ times k) \u003d (b_ (ij)) $ este matricea $ C_ (m \\ times k) \u003d (c_ ( ij)) $, pentru care fiecare element din $ c_ (ij) $ este egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din al i-lea rând al matricei $ A $ de elementele coloanei a j-a a matricei $ B $: $$ c_ (ij) \u003d \\ sum \\ limits_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$
Să analizăm multiplicarea matricială pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să fii atent imediat că nu toate matricile pot fi multiplicate. Dacă vrem să înmulțim matricea $ A $ cu matricea $ B $, atunci mai întâi trebuie să ne asigurăm că numărul de coloane din matricea $ A $ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B $ (astfel de matrici sunt adesea numite
de acord {!LANG-69f0e6da9be87b2fd3d70d6670655bd5!}). De exemplu, matricea $ A_ (5 \\ ori 4) $ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $ F_ (9 \\ ori 8) $ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane din matricea $ A $ nu este egal cu numărul de rânduri din matricea $ F $, adică $ 4 \\ neq 9 $. Dar puteți înmulți matricea $ A_ (5 \\ ori 4) $ cu matricea $ B_ (4 \\ ori 9) $, deoarece numărul de coloane din matricea $ A $ este egal cu numărul de rânduri din matricea $ B $. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricilor $ A_ (5 \\ ori 4) $ și $ B_ (4 \\ ori 9) $ va fi matricea $ C_ (5 \\ ori 9) $, conținând 5 rânduri și 9 coloane:
Exemplul nr. 3
Matricile sunt date: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ end (matrice) \\ dreapta) $ și $ B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (array) \\ right) $. Găsiți matricea $ C \u003d A \\ cdot B $.
Pentru început, să determinăm imediat dimensiunea matricei $ C $. Deoarece matricea $ A $ este de 3 $ \\ ori 4 $ și matricea $ B $ este 4 $ \\ ori 2 $, dimensiunea matricei $ C $ este de 3 $ \\ ori 2 $:
Deci, ca rezultat al produsului matricilor $ A $ și $ B $, ar trebui să obținem matricea $ C $, formată din trei rânduri și două coloane: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (array) \\ right) $. Dacă desemnările elementelor ridică întrebări, atunci puteți privi subiectul anterior: "Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază", la începutul cărora este explicată desemnarea elementelor matricei. Scopul nostru este să găsim valorile tuturor elementelor matricei $ C $.
Să începem cu $ c_ (11) $. Pentru a obține elementul $ c_ (11) $, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $ A $ și prima coloană a matricei $ B $:
Pentru a găsi elementul $ c_ (11) $ în sine, trebuie să multiplicați elementele primului rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $ B $, adică primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumăm rezultatele obținute:
$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$
Să continuăm soluția și să găsim $ c_ (12) $. Pentru a face acest lucru, trebuie să multiplicați elementele primului rând al matricei $ A $ și a celei de-a doua coloane a matricei $ B $:
Similar cu precedentul, avem:
$$ c_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $$
Toate elementele primului rând al matricei $ C $ sunt găsite. Treceți la a doua linie, care începe cu $ c_ (21) $. Pentru a-l găsi, trebuie să multiplicați elementele celui de-al doilea rând al matricei $ A $ și a primei coloane a matricei $ B $:
$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$
Următorul element $ c_ (22) $ se găsește înmulțind elementele celui de-al doilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $$
Pentru a găsi $ c_ (31) $ înmulțim elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele primei coloane a matricei $ B $:
$$ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $$
Și, în cele din urmă, pentru a găsi elementul $ c_ (32) $, trebuie să multiplicați elementele celui de-al treilea rând al matricei $ A $ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $ B $:
$$ c_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $$
Se găsesc toate elementele matricei $ C $, rămâne doar să scrieți că $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right) $ ... Sau, pentru a scrie integral:
$$ C \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right). $$
Răspuns: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right) $.
Apropo, de multe ori nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu constatarea fiecărui element al matricei de rezultate. Pentru matricile mici, puteți face următoarele:
$$ \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\\\ - 6 & 90 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90 ) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ end (array) \\ right) $$
De asemenea, merită remarcat faptul că multiplicarea matricii este necomutativă. Aceasta înseamnă că, în general, $ A \\ cdot B \\ neq B \\ cdot A $. Numai pentru unele tipuri de matrici care sunt numite permutare (sau naveta), egalitatea $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ este adevărată. Pe baza non-comutativității multiplicării, este necesar să se indice exact modul în care înmulțim expresia cu această sau acea matrice: la dreapta sau la stânga. De exemplu, sintagma „înmulțiți ambele părți ale egalității $ 3E-F \u003d Y $ cu matricea $ A $ din dreapta” înseamnă că trebuie să obținem următoarea egalitate: $ (3E-F) \\ cdot A \u003d Y \\ cdot A $.
Transpus în raport cu matricea $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ se numește matricea $ A_ (n \\ times m) ^ (T) \u003d (a_ (ij) ^ (T)) $, pentru elemente care $ a_ (ij) ^ (T) \u003d a_ (ji) $.
Pur și simplu, pentru a obține matricea transpusă $ A ^ T $, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $ A $ cu rândurile corespunzătoare conform următorului principiu: dacă primul rând a fost, prima coloană va deveni; a existat o a doua linie - a doua coloană va deveni; a existat un al treilea rând - va exista o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă la matricea $ A_ (3 \\ ori 5) $:
În consecință, dacă matricea inițială a fost de 3 $ \\ ori 5 $, atunci matricea transpusă este de 5 $ \\ ori 3 $.
Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.
Se presupune aici că $ \\ alpha $, $ \\ beta $ sunt niște numere, iar $ A $, $ B $, $ C $ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți, am indicat numele, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.
