Tahun pertama, matematika yang lebih tinggi, kami belajar matriks dan tindakan dasar pada mereka. Di sini kami mensistematisasikan operasi utama yang dapat dilakukan dengan matriks. Di mana harus mulai berkenalan dengan matriks? Tentu saja, dari yang paling sederhana - definisi, konsep dasar, dan operasi paling sederhana. Kami jamin bahwa matriks akan dipahami oleh setiap orang yang mencurahkan setidaknya sedikit waktu untuk mereka!
Definisi matriks
Matriks Adalah tabel elemen persegi panjang. Nah, secara sederhana - tabel angka.
Biasanya matriks ditunjukkan dengan huruf Latin huruf besar. Misalnya matriks SEBUAH , matriks B dll. Ukuran matriks dapat berbeda-beda: persegi panjang, persegi, ada juga matriks baris dan matriks kolom, yang disebut vektor. Besar kecilnya matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom. Sebagai contoh, mari kita tulis matriks persegi panjang dengan ukuran m di n dimana m - jumlah baris, dan n - jumlah kolom.
Elemen yang i \u003d j (a11, a22, .. ) membentuk diagonal utama matriks, dan disebut diagonal.
Apa yang dapat Anda lakukan dengan matriks? Tambah / kurangi, kalikan dengan angka, berkembang biak di antara mereka sendiri, mengubah urutan... Sekarang tentang semua operasi dasar ini pada matriks secara berurutan.
Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks
Kami segera memperingatkan Anda bahwa Anda hanya dapat menambahkan matriks dengan ukuran yang sama. Hasilnya adalah matriks dengan ukuran yang sama. Menambahkan (atau mengurangi) matriks itu mudah - tambahkan saja elemennya masing-masing ... Mari beri contoh. Mari tambahkan dua matriks A dan B, dua per dua.
Pengurangan dilakukan dengan analogi, hanya dengan tanda yang berlawanan.
Matriks apa pun dapat dikalikan dengan bilangan arbitrer. Untuk melakukan ini, anda perlu mengalikan setiap elemennya dengan angka ini. Misalnya, kalikan matriks A dari contoh pertama dengan angka 5:
Operasi perkalian matriks
Tidak semua matriks dapat dikalikan satu sama lain. Sebagai contoh, kita memiliki dua buah matriks - A dan B. Keduanya dapat dikalikan satu sama lain hanya jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Dalam hal ini setiap elemen dari matriks yang dihasilkan, yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j, akan sama dengan jumlah produk dari elemen yang sesuai di baris ke-i faktor pertama dan kolom ke-j dari kedua... Untuk memahami algoritma ini, mari kita tulis bagaimana dua matriks persegi dikalikan:
Dan contoh dengan bilangan real. Mari mengalikan matriks:
Operasi transpose matriks
Transpose matriks adalah operasi di mana baris dan kolom yang sesuai ditukar. Sebagai contoh, mari kita ubah matriks A dari contoh pertama:
Penentu matriks
Determinan, tetapi determinan adalah salah satu konsep dasar aljabar linier. Dahulu kala, orang menemukan persamaan linier, dan di belakangnya mereka harus menemukan determinan. Akibatnya, Anda harus menghadapi semua ini, jadi, percikan terakhir!
Determinan adalah karakteristik numerik dari matriks persegi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan banyak masalah.
Untuk menghitung determinan dari matriks kuadrat paling sederhana, Anda perlu menghitung selisih antara hasil kali elemen diagonal utama dan sekunder.
Determinan matriks orde satu, yaitu terdiri dari satu elemen, sama dengan elemen ini.
Bagaimana jika matriksnya tiga kali tiga? Ini lebih rumit, tetapi Anda bisa mengatasinya.
Untuk matriks seperti itu, nilai determinan sama dengan jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan hasil kali elemen yang terletak pada segitiga dengan tepi sejajar dengan diagonal utama, dari mana produk elemen diagonal samping dan produk elemen yang terletak di segitiga dengan sisi diagonal sisi paralel dikurangi.
Untungnya, dalam praktiknya jarang diperlukan penghitungan determinan matriks besar.
Di sini kita telah membahas operasi dasar pada matriks. Tentu saja, dalam kehidupan nyata, Anda bahkan tidak pernah dapat menemukan petunjuk dari sistem persamaan matriks, atau sebaliknya - untuk menghadapi kasus yang jauh lebih sulit ketika Anda benar-benar harus mematahkan kepala. Untuk kasus seperti itulah ada layanan siswa profesional. Minta bantuan, dapatkan solusi berkualitas tinggi dan terperinci, nikmati kesuksesan akademis dan waktu luang Anda.
Manual ini akan membantu Anda mempelajari bagaimana melakukan operasi dengan matriks: penambahan (pengurangan) matriks, transposisi matriks, perkalian matriks, mencari matriks invers. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan dapat diakses, contoh yang sesuai diberikan, sehingga orang yang tidak siap pun dapat mempelajari cara melakukan tindakan dengan matriks. Untuk memeriksa sendiri dan memeriksa sendiri, Anda dapat mengunduh kalkulator matriks secara gratis \u003e\u003e\u003e.
Saya akan mencoba meminimalkan kalkulasi teoretis, di beberapa tempat penjelasannya mungkin "dengan jari" dan penggunaan istilah-istilah yang tidak ilmiah. Pecinta teori yang solid, tolong jangan mengkritik, tugas kami adalah belajar untuk melakukan tindakan dengan matriks.
Untuk persiapan SUPER-CEPAT pada topik (siapa yang "bersemangat") ada kursus pdf intensif Matriks, determinan dan uji!
Matriks adalah tabel persegi panjang apa saja elemen... Sebagai elemen kita akan mempertimbangkan angka, yaitu matriks numerik. ELEMEN Apakah istilah. Sangat diinginkan untuk mengingat istilah tersebut, ini akan sering ditemui, bukan kebetulan saya menggunakan tipe tebal untuk menyorotnya.
Penunjukan: matriks biasanya dilambangkan dengan huruf besar Latin
Contoh: Pertimbangkan matriks dua-tiga:
Matriks ini terdiri dari enam elemen:
Semua angka (elemen) di dalam matriks ada dengan sendirinya, yaitu, tidak ada pertanyaan pengurangan apa pun: 
Itu hanya tabel (set) angka!
Kami juga setuju jangan mengatur ulang nomor, kecuali dinyatakan lain dalam penjelasan. Setiap nomor memiliki lokasinya sendiri dan tidak dapat diacak kembali!
Matriks yang dimaksud memiliki dua baris: 
dan tiga kolom: 
STANDAR: saat berbicara tentang ukuran matriks, lalu pertama menunjukkan jumlah baris, dan hanya kemudian - jumlah kolom. Kami baru saja memisahkan matriks dua-tiga.
Jika jumlah baris dan kolom matriks sama, maka matriks tersebut disebut kotak, misalnya: 
- matriks "tiga kali tiga".
Jika matriks memiliki satu kolom atau satu baris, maka matriks tersebut juga disebut vektor.
Sebenarnya, kita mengenal konsep matriks sejak sekolah, misalnya, pertimbangkan titik dengan koordinat "x" dan "permainan" :. Pada dasarnya, koordinat suatu titik ditulis dalam matriks satu-dua. Ngomong-ngomong, berikut adalah contoh untuk Anda mengapa urutan angka penting: dan merupakan dua titik bidang yang sama sekali berbeda.
Sekarang mari langsung ke ruang kerja tindakan dengan matriks:
1) Tindakan pertama. Menghapus minus dari matriks (menambahkan minus ke matriks).
Kembali ke matriks kita 
... Seperti yang mungkin Anda ketahui, ada terlalu banyak bilangan negatif dalam matriks ini. Ini sangat merepotkan dari sudut pandang melakukan berbagai tindakan dengan matriks, tidak nyaman untuk menulis begitu banyak minus, dan hanya terlihat jelek dalam desain.
Pindahkan minus dari matriks dengan mengubah tanda elemen matriks SETIAP:
Di nol, seperti yang Anda pahami, tandanya tidak berubah, nol - itu nol di Afrika.
Contoh terbalik: 
... Itu terlihat jelek.
Mari tambahkan minus ke matriks dengan mengubah tanda elemen matriks SETIAP:
Nah, ternyata jauh lebih bagus. Dan, yang terpenting, akan MUDAH melakukan tindakan apa pun dengan matriks tersebut. Karena ada pertanda rakyat matematika seperti itu: semakin banyak kontra, semakin banyak kebingungan dan kesalahan.
2) Tindakan kedua. Perkalian matriks dengan bilangan.
Contoh:
Sederhana saja, untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda perlu setiap elemen matriks dikalikan dengan angka yang diberikan. Dalam hal ini, tiga teratas.
Contoh berguna lainnya:
- perkalian matriks dengan pecahan
Pertama, pertimbangkan apa yang harus dilakukan TIDAK:
TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks, pertama, ini hanya memperumit tindakan lebih lanjut dengan matriks, dan kedua, akan menyulitkan guru untuk memeriksa solusinya (terutama jika 
- jawaban akhir dari tugas).
Dan terutama, TIDAK bagi setiap elemen matriks dengan minus tujuh:
Dari artikel Matematika untuk boneka atau di mana untuk memulai, kita ingat bahwa pecahan desimal dengan koma dalam matematika yang lebih tinggi dicoba dengan segala cara yang mungkin untuk dihindari.
Satu-satunya diinginkan yang harus dilakukan dalam contoh ini adalah memasukkan minus ke dalam matriks:
Tapi jika SEMUA elemen matriks habis dibagi 7 tanpa residu, maka dimungkinkan (dan perlu!) untuk membagi.
Contoh:
Dalam hal ini, Anda dapat dan PERLU kalikan semua elemen matriks dengan, karena semua bilangan dalam matriks habis dibagi 2 tanpa residu.
Catatan: dalam teori matematika tingkat tinggi tidak ada konsep sekolah tentang "pembagian". Daripada mengatakan "bagi ini dengan ini" Anda selalu dapat mengatakan "kalikan ini dengan pecahan". Artinya, pembagian adalah kasus perkalian khusus.
3) Tindakan ketiga. Transpos matriks.
Untuk mengubah urutan matriks, Anda perlu menulis barisnya ke dalam kolom dari matriks yang ditransposisi.
Contoh:
Transpose Matrix
Hanya ada satu baris di sini dan, menurut aturan, harus ditulis ke kolom:
- matriks yang dialihkan.
Matriks yang ditransposisi biasanya ditunjukkan dengan superskrip atau goresan kanan atas.
Contoh langkah demi langkah:
Transpose Matrix 
Pertama, kami menulis ulang baris pertama ke kolom pertama:
Kemudian kami menulis ulang baris kedua ke kolom kedua: 
Terakhir, kami menulis ulang baris ketiga menjadi kolom ketiga:
Selesai. Secara kasar, mentransposisi berarti memutar matriks ke satu sisi.
4) Tindakan empat. Jumlah (selisih) matriks.
Jumlah matriks adalah operasi sederhana.
TIDAK SEMUA MATRIKS DAPAT DILIPAT. Untuk melakukan penjumlahan (pengurangan) dari matriks, matriks tersebut harus memiliki SIZE yang sama.
Misalnya, jika diberikan matriks dua-dua, maka matriks itu hanya dapat ditambahkan dengan matriks dua-dua dan tidak ada yang lain! 
Contoh:
Tambahkan matriks 
dan 
Untuk menambahkan matriks, perlu untuk menambahkan elemen yang sesuai:
Untuk perbedaan matriks, aturannya sama, perlu untuk menemukan perbedaan dari elemen yang sesuai.
Contoh:
Temukan perbedaan matriks 
, 
Dan bagaimana cara mengatasi contoh ini lebih mudah agar tidak bingung? Dianjurkan untuk menghilangkan minus yang tidak perlu, untuk ini kami menambahkan minus ke matriks:
Catatan: dalam teori matematika tingkat tinggi tidak ada konsep sekolah tentang "pengurangan". Daripada mengatakan "kurangi ini dari ini" Anda selalu dapat mengatakan "tambahkan angka negatif ke ini". Artinya, pengurangan adalah kasus penjumlahan khusus.
5) Tindakan lima. Perkalian matriks.
Matriks apa yang bisa dikalikan?
Untuk matriks yang akan dikalikan dengan matriks, Anda membutuhkan sehingga jumlah kolom dalam matriks sama dengan jumlah baris dalam matriks.
Contoh:
Apakah mungkin mengalikan matriks dengan matriks?
Artinya, Anda dapat mengalikan matriks ini.
Tetapi jika matriks diatur ulang, maka, dalam hal ini, perkalian sudah tidak mungkin!
Oleh karena itu, perkalian tidak dimungkinkan:
Tidak jarang menemukan tugas dengan trik ketika seorang siswa diminta untuk mengalikan matriks, perkaliannya jelas tidak mungkin.
Perlu dicatat bahwa dalam sejumlah kasus, matriks dapat dikalikan dengan cara apa pun.
Misalnya, untuk matriks, dan perkalian dan perkalian keduanya dimungkinkan
Perkalian matriks dengan bilangan adalah operasi pada matriks, yang hasilnya setiap elemennya dikalikan dengan bilangan real atau kompleks. Ini terlihat seperti ini dalam bahasa matematika:
$$ B \u003d \\ lambda \\ cdot A \\ Rightarrow b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Perlu dicatat bahwa matriks $ B $ yang dihasilkan harus menghasilkan dimensi yang sama dengan matriks awal $ A $. Anda juga dapat memperhatikan fakta berikut: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ cdot \\ lambda $, yaitu, Anda dapat menukar pengganda dan ini tidak akan mengubah produk.
Akan berguna untuk menggunakan operasi perkalian matriks dengan angka saat memindahkan faktor persekutuan di luar matriks. Dalam kasus ini, setiap elemen matriks dibagi dengan angka $ \\ lambda $, dan dikeluarkan di depan matriks.
Properti
- Hukum distributif untuk matriks: $$ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $$ Perkalian jumlah matriks dengan bilangan dapat diganti dengan jumlah hasil perkalian masing-masing matriks dengan bilangan tertentu
- Hukum distributif untuk bilangan real (kompleks): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot A \u003d \\ lambda A + \\ mu A $$ Perkalian matriks dengan penjumlahan bilangan dapat diganti dengan penjumlahan hasil kali setiap bilangan dengan matriks
- Hukum asosiatif: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot A) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ Lebih mudah digunakan jika Anda perlu mengeluarkan faktor persekutuan dari matriks di depannya, sambil mengalikan koefisien yang sudah ada di depannya
- Ada nomor khusus $ \\ lambda \u003d 1 $, karena itu matriks tetap tidak berubah $$ 1 \\ cdot A \u003d A \\ cdot 1 \u003d A $$
- Mengalikan matriks dengan nol mengarah pada fakta bahwa setiap elemen matriks bernilai nol dan matriks menjadi nol dalam dimensi yang sama dengan aslinya: $$ 0 \\ cdot A \u003d 0 $$
Contoh solusi
| Contoh |
| Diberikan $ A \u003d \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ dan real $ \\ lambda \u003d 2 $. Kalikan angka dengan matriks. |
| Keputusan |
|
Kami menuliskan operasi matematika perkalian dan pada saat yang sama mengingat aturan yang mengatakan: matriks dikalikan dengan sejumlah elemen dengan elemen. $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ cdot \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ begin (pmatrix) 2 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ end (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ mulai (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ Hasilnya, kita melihat bahwa setiap angka dalam matriks menjadi dua kali lipat dalam kaitannya dengan nilai awal. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, maka kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi terperinci. Anda akan dapat mengenal jalannya penghitungan dan mendapatkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan pujian dari guru Anda tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ |
Untuk mengalikan matriks A dengan bilangan sembarang α, Anda memerlukan elemen-elemen matriks SEBUAH kalikan dengan angka α, yaitu produk bilangan matriks adalah sebagai berikut:
Contoh 1. Temukan Matriks 3 SEBUAHuntuk matriks
Keputusan. Sesuai dengan definisi tersebut, kami mengalikan elemen-elemen matriks SEBUAH dengan 3 dan dapatkan
Itu adalah contoh yang sangat sederhana dari mengalikan matriks dengan angka dengan bilangan bulat. Ada juga contoh sederhana di depan, tapi sudah seperti di mana di antara faktor dan elemen matriks terdapat pecahan, variabel (penunjukan huruf), karena hukum perkalian berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, jadi tidak ada salahnya untuk mengulanginya.
Contoh 2. SEBUAH dengan angka α jika 
,
.
SEBUAH dengan α, tidak lupa bahwa saat mengalikan pecahan, pembilang pecahan pertama dikalikan dengan pembilang pecahan pertama dan hasil kali ditulis ke pembilangnya, dan penyebut pecahan pertama dikalikan dengan penyebut pecahan kedua dan hasil kali ditulis ke penyebutnya. Saat menerima elemen kedua dari baris pertama dari matriks baru, pecahan yang dihasilkan dikurangi 2, ini harus dilakukan. Kita mendapatkan
Contoh 3. Lakukan operasi perkalian matriks SEBUAH dengan angka α jika
,
.
Keputusan. Kalikan elemen matriks SEBUAH oleh α, tanpa bingung dengan notasi huruf, ingat untuk meninggalkan minus di depan elemen kedua dari baris kedua dari matriks baru, dan mengingat bahwa hasil perkalian bilangan dengan bilangan inversnya adalah satu (elemen pertama dari baris ketiga). Kita mendapatkan
.
Contoh 4. Lakukan operasi perkalian matriks SEBUAH dengan angka α jika 
,
.
Keputusan. Ingatlah bahwa saat Anda mengalikan bilangan pangkat dengan bilangan pangkat, eksponen dijumlahkan. Kita mendapatkan
.
Contoh ini, antara lain, dengan jelas menunjukkan bahwa operasi perkalian matriks dengan bilangan dapat dibaca (dan ditulis) dalam urutan terbalik, dan ini disebut meletakkan faktor konstanta di depan matriks.
Dikombinasikan dengan penjumlahan dan pengurangan matriks Operasi perkalian matriks dengan angka dapat membentuk berbagai ekspresi matriks, misalnya 5 SEBUAH − 3B , 4SEBUAH + 2B .
Sifat mengalikan matriks dengan angka
(di sini A, B - matriks, - angka, 1 - angka satu)
1. 
2. 
3. 
Properti (1) dan (2) menghubungkan perkalian matriks dengan bilangan dengan penambahan matriks. Ada juga hubungan yang sangat penting antara mengalikan matriks dengan angka dan mengalikan matriks itu sendiri:
artinya, jika dalam hasil kali matriks salah satu faktor dikalikan dengan angka, maka seluruh hasil kali akan dikalikan dengan angka.
Topik ini akan membahas operasi seperti penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan, perkalian matriks dengan matriks, transposisi matriks. Semua simbol yang digunakan di halaman ini diambil dari topik sebelumnya.
Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Jumlah $ A + B $ dari matriks $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ dan $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ disebut matriks $ C_ (m \\ times n) \u003d (c_ (ij)) $, di mana $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ untuk semua $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dan $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Definisi serupa diperkenalkan untuk perbedaan matriks:
Selisih $ AB $ dari matriks $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ dan $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ adalah matriks $ C_ (m \\ times n) \u003d ( c_ (ij)) $, di mana $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ untuk semua $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dan $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Penjelasan entri $ i \u003d \\ overline (1, m) $: show \\ hide
Notasi "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" berarti parameter $ i $ berkisar dari 1 hingga m. Misalnya, record $ i \u003d \\ overline (1,5) $ mengatakan bahwa parameter $ i $ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.
Perlu dicatat bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan ditentukan hanya untuk matriks dengan ukuran yang sama. Secara umum, penjumlahan dan pengurangan matriks adalah operasi yang jelas secara intuitif, karena sebenarnya yang dimaksud hanyalah penjumlahan atau pengurangan elemen terkait.
Contoh 1
Tiga matriks diberikan:
$$ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) \\; \\; B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (array) \\ kanan); \\; \\; F \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ end (array) \\ kanan). $$
Dapatkah Anda menemukan matriks $ A + F $? Tentukan matriks $ C $ dan $ D $ jika $ C \u003d A + B $ dan $ D \u003d A-B $.
Matriks $ A $ berisi 2 baris dan 3 kolom (dengan kata lain, ukuran matriks $ A $ adalah $ 2 \\ times 3 $), dan matriks $ F $ berisi 2 baris dan 2 kolom. Ukuran matriks $ A $ dan $ F $ tidak sama, jadi kami tidak dapat menambahkannya, yaitu. operasi $ A + F $ untuk matriks yang diberikan tidak terdefinisi.
Ukuran matriks $ A $ dan $ B $ sama, yaitu data matriks berisi jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga operasi penjumlahan dapat diterapkan padanya.
$$ C \u003d A + B \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (larik) \\ kanan) + \\ kiri (\\ mulai (larik ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (larik) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (larik) \\ kanan) $$
Temukan matriks $ D \u003d A-B $:
$$ D \u003d AB \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) - \\ left (\\ begin (array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\\\ \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ : $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (array) \\ right) $, $ D \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ end (array) \\ kanan) $.
MenjawabPerkalian matriks dengan bilangan.
Hasil kali matriks $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ dengan bilangan $ \\ alpha $ adalah matriks $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $, dimana $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ untuk semua $ i \u003d \\ overline (1, m) $ dan $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Sederhananya, mengalikan matriks dengan angka tertentu berarti mengalikan setiap elemen dari matriks tertentu dengan angka tersebut.
Contoh No. 2
Matikannya diberikan: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Temukan matriks $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ dan $ -A $.
{!LANG-987d634ed94c15a31370f162c6a7a9ca!}
$$ 3 \\ cdot A \u003d 3 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin ( larik) (ccc) 3 \\ cdot (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (array) \\ kanan). \\\\ -5 \\ cdot A \u003d -5 \\ cdot \\ left (\\ begin (larik) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) & -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 & -5 \\ cdot 9 & -5 \\ cdot 0 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (array) \\ kanan). $$
Notasi $ -A $ adalah singkatan dari $ -1 \\ cdot A $. Artinya, untuk mencari $ -A $, Anda perlu mengalikan semua elemen matriks $ A $ dengan (-1). Intinya, ini berarti tanda semua elemen matriks $ A $ akan terbalik:
$$ -A \u003d -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ kanan) \u003d \\ : $ 3 \\ cdot A \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (larik) \\ kanan); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (larik) \\ kanan); \\; -A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $.
MenjawabProduk dari dua matriks.
Definisi operasi ini rumit dan, pada pandangan pertama, tidak bisa dimengerti. Oleh karena itu, pertama-tama saya akan menunjukkan definisi umum, dan kemudian kami akan menganalisis secara rinci apa artinya dan bagaimana cara menggunakannya.
Hasil kali matriks $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ dengan matriks $ B_ (n \\ times k) \u003d (b_ (ij)) $ adalah matriks $ C_ (m \\ times k) \u003d (c_ ( ij)) $, yang mana setiap elemen $ c_ (ij) $ sama dengan jumlah produk dari elemen yang sesuai dari baris ke-i dari matriks $ A $ dengan elemen kolom ke-j dari matriks $ B $: $$ c_ (ij) \u003d \\ sum \\ limit_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$
Mari kita menganalisis perkalian matriks langkah demi langkah menggunakan sebuah contoh. Namun, Anda harus segera memperhatikan bahwa tidak semua matriks dapat dikalikan. Jika kita ingin mengalikan matriks $ A $ dengan matriks $ B $, maka pertama-tama kita perlu memastikan bahwa jumlah kolom matriks $ A $ sama dengan banyaknya baris matriks $ B $ (matriks semacam itu sering disebut
sepakat {!LANG-69f0e6da9be87b2fd3d70d6670655bd5!}). Misalnya, matriks $ A_ (5 \\ times 4) $ (matriks berisi 5 baris dan 4 kolom) tidak dapat dikalikan dengan matriks $ F_ (9 \\ times 8) $ (9 baris dan 8 kolom), karena jumlah kolom matriks $ A $ tidak sama dengan jumlah baris dari matriks $ F $, mis. $ 4 \\ neq 9 $. Tetapi Anda dapat mengalikan matriks $ A_ (5 \\ times 4) $ dengan matriks $ B_ (4 \\ times 9) $, karena jumlah kolom dalam matriks $ A $ sama dengan jumlah baris dalam matriks $ B $. Dalam hal ini, hasil perkalian matriks $ A_ (5 \\ times 4) $ dan $ B_ (4 \\ times 9) $ akan menjadi matriks $ C_ (5 \\ times 9) $, yang berisi 5 baris dan 9 kolom:
Contoh No. 3
Matriks diberikan: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ end (larik) \\ kanan) $ dan $ B \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (larik) \\ kanan) $. Temukan matriks $ C \u003d A \\ cdot B $.
Pertama, mari kita segera tentukan ukuran matriks $ C $. Karena matriks $ A $ adalah $ 3 \\ times 4 $, dan matriks $ B $ adalah $ 4 \\ times 2 $, ukuran matriks $ C $ adalah: $ 3 \\ times 2 $:
Jadi, sebagai hasil dari perkalian matriks $ A $ dan $ B $, kita harus mendapatkan matriks $ C $, yang terdiri dari tiga baris dan dua kolom: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (array) \\ kanan) $. Jika penunjukan elemen menimbulkan pertanyaan, maka Anda dapat melihat topik sebelumnya: "Matriks. Jenis-jenis matriks. Istilah-istilah dasar", yang pada awalnya menjelaskan penunjukan elemen matriks. Tujuan kita adalah menemukan nilai dari semua elemen matriks $ C $.
Mari kita mulai dengan $ c_ (11) $. Untuk mendapatkan elemen $ c_ (11) $, Anda perlu mencari jumlah produk dari elemen baris pertama matriks $ A $ dan kolom pertama matriks $ B $:
Untuk menemukan elemen $ c_ (11) $ itu sendiri, Anda perlu mengalikan elemen-elemen baris pertama dari matriks $ A $ dengan elemen yang sesuai dari kolom pertama dari matriks $ B $, yaitu elemen pertama ke yang pertama, yang kedua ke yang kedua, yang ketiga ke yang ketiga, yang keempat ke yang keempat. Kami meringkas hasil yang diperoleh:
$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$
Mari lanjutkan solusi dan temukan $ c_ (12) $. Untuk melakukan ini, Anda harus mengalikan elemen baris pertama dari matriks $ A $ dan kolom kedua dari matriks $ B $:
Mirip dengan yang sebelumnya, kami memiliki:
$$ c_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $$
Semua elemen dari baris pertama $ C $ ditemukan. Pindah ke baris kedua, yang dimulai dengan $ c_ (21) $. Untuk menemukannya, Anda harus mengalikan elemen baris kedua dari matriks $ A $ dan kolom pertama dari matriks $ B $:
$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$
Elemen berikutnya $ c_ (22) $ ditemukan dengan mengalikan elemen baris kedua dari matriks $ A $ dengan elemen yang sesuai dari kolom kedua dari matriks $ B $:
$$ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $$
Untuk menemukan $ c_ (31) $ kita mengalikan elemen baris ketiga dari matriks $ A $ dengan elemen kolom pertama dari matriks $ B $:
$$ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $$
Dan, terakhir, untuk mencari elemen $ c_ (32) $, Anda harus mengalikan elemen baris ketiga dari matriks $ A $ dengan elemen yang sesuai dari kolom kedua dari matriks $ B $:
$$ c_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $$
Semua elemen dari matriks $ C $ ditemukan, tinggal menulis bahwa $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right) $ ... Atau, untuk menulis lengkap:
$$ C \u003d A \\ cdot B \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 \\ end (larik) \\ kanan) \\ cdot \\ kiri (\\ begin (larik) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ kanan). $$
Menjawab: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ kanan) $.
Ngomong-ngomong, seringkali tidak ada alasan untuk mendeskripsikan secara rinci temuan setiap elemen matriks hasil. Untuk matriks yang kecil, Anda dapat melakukan hal berikut:
$$ \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\\\ - 6 & 90 \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ mulai (larik) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90 ) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (larik) \\ kanan) \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ end (array) \\ kanan) $$
Perlu juga dicatat bahwa perkalian matriks adalah non-komutatif. Ini berarti bahwa secara umum $ A \\ cdot B \\ neq B \\ cdot A $. Hanya untuk beberapa jenis matriks yang di sebut permutasi (atau perjalanan), persamaan $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ adalah benar. Berdasarkan non-komutatif dari perkalian yang diperlukan untuk menunjukkan dengan tepat bagaimana kita mengalikan ekspresi dengan matriks ini atau itu: ke kanan atau ke kiri. Misalnya, frasa "kalikan kedua sisi persamaan $ 3E-F \u003d Y $ dengan matriks $ A $ di sebelah kanan" berarti kita perlu mendapatkan persamaan berikut: $ (3E-F) \\ cdot A \u003d Y \\ cdot A $.
Ditransposisikan sehubungan dengan matriks $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ disebut matriks $ A_ (n \\ times m) ^ (T) \u003d (a_ (ij) ^ (T)) $, untuk elemen yang $ a_ (ij) ^ (T) \u003d a_ (ji) $.
Sederhananya, untuk mendapatkan matriks yang ditransposisikan $ A ^ T $, Anda perlu mengganti kolom dalam matriks asli $ A $ dengan baris yang sesuai sesuai dengan prinsip berikut: jika baris pertama adalah, kolom pertama akan menjadi; ada baris kedua - kolom kedua akan menjadi; ada baris ketiga - akan ada kolom ketiga dan seterusnya. Sebagai contoh, mari kita cari matriks yang ditransposisikan ke matriks $ A_ (3 \\ times 5) $:
Dengan demikian, jika matriks asli adalah $ 3 \\ times 5 $, maka matriks yang ditransposisikan adalah $ 5 \\ times 3 $.
Beberapa properti operasi pada matriks.
Diasumsikan di sini bahwa $ \\ alpha $, $ \\ beta $ adalah beberapa angka, dan $ A $, $ B $, $ C $ adalah matriks. Untuk empat properti pertama, saya menunjukkan namanya, sisanya dapat diberi nama dengan analogi dengan empat properti pertama.
