Setiap gelombang dengan bentuk kompleks dapat direpresentasikan sebagai jumlah gelombang sederhana.
Joseph Fourier sangat ingin menjelaskan dalam istilah matematika bagaimana panas melewati benda padat ( cm. Pertukaran panas). Mungkin ketertarikannya pada kehangatan muncul saat dia berada di Afrika Utara: Fourier menemani Napoleon dalam ekspedisi Prancis ke Mesir dan tinggal di sana selama beberapa waktu. Untuk mencapai tujuannya, Fourier harus mengembangkan metode matematika baru. Hasil penelitiannya dipublikasikan pada tahun 1822 dalam karya "Analytical Theory of Heat" ( Analisis kalori de la chaleur), di mana dia memberi tahu bagaimana menganalisis masalah fisik yang kompleks dengan menguraikannya menjadi beberapa masalah yang lebih sederhana.
Metode analisis didasarkan pada apa yang disebut seri Fourier... Sesuai dengan prinsip interferensi, rangkaian dimulai dengan penguraian dari bentuk kompleks menjadi bentuk sederhana - misalnya, perubahan permukaan bumi dijelaskan oleh gempa bumi, perubahan orbit komet disebabkan oleh pengaruh tarikan beberapa planet, perubahan fluks panas karena lewatnya benda yang berbentuk tidak teratur dari bahan isolasi panas. Fourier menunjukkan bahwa bentuk gelombang kompleks dapat direpresentasikan sebagai jumlah gelombang sederhana. Biasanya, persamaan yang mendeskripsikan sistem klasik mudah diselesaikan untuk masing-masing gelombang sederhana ini. Fourier selanjutnya menunjukkan bagaimana solusi sederhana ini dapat diringkas untuk mendapatkan solusi untuk seluruh masalah kompleks secara keseluruhan. (Secara matematis, deret Fourier adalah metode untuk merepresentasikan fungsi sebagai penjumlahan harmonik - sinusoid dan cosinus, sehingga analisis Fourier juga dikenal sebagai analisis harmonik.)
Hingga munculnya komputer di pertengahan abad ke-20, metode Fourier dan sejenisnya adalah senjata terbaik dalam gudang ilmu pengetahuan ketika menyerang kompleksitas alam. Sejak munculnya metode Fourier yang kompleks, para ilmuwan telah mampu menggunakannya untuk memecahkan tidak hanya masalah sederhana yang dapat diselesaikan dengan penerapan langsung hukum mekanika Newton dan persamaan fundamental lainnya. Banyak pencapaian besar ilmu pengetahuan Newton di abad ke-19 pada kenyataannya tidak mungkin tanpa penggunaan metode yang pertama kali diusulkan oleh Fourier. Belakangan, metode ini digunakan dalam memecahkan masalah di berbagai bidang - dari astronomi hingga teknik mesin.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
Matematikawan Prancis. Lahir di Auxerre; pada usia sembilan tahun dia menjadi yatim piatu. Sudah di usia muda dia menunjukkan bakat untuk matematika. Fourier dididik di sekolah gereja dan sekolah militer, kemudian bekerja sebagai guru matematika. Sepanjang hidupnya ia terlibat aktif dalam politik; ditangkap pada 1794 karena melindungi korban teror. Setelah kematian Robespierre, dia dibebaskan dari penjara; mengambil bagian dalam penciptaan Ecole Polytechnique yang terkenal di Paris; posisinya berfungsi sebagai batu loncatan baginya untuk maju di bawah rezim Napoleon. Dia menemani Napoleon ke Mesir dan diangkat menjadi gubernur Mesir Hilir. Sekembalinya ke Prancis pada tahun 1801, ia diangkat menjadi gubernur salah satu provinsi. Pada tahun 1822, ia menjadi sekretaris tetap Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis, posisi berpengaruh dalam dunia ilmiah Prancis.
TRANSFORM EMPAT DAN ANALISIS SPEKTRAL DIGITAL KLASIK.
Medvedev S.Yu., Ph.D.
pengantar
Analisis spektral adalah salah satu metode pemrosesan sinyal yang memungkinkan Anda untuk mengkarakterisasi komposisi frekuensi sinyal yang diukur. Transformasi Fourier adalah basis matematika yang menghubungkan sinyal temporal atau spasial (atau beberapa model sinyal ini) dengan representasi dalam domain frekuensi. Metode statistik memainkan peran penting dalam analisis spektral, karena sinyal biasanya acak atau berisik saat disebarkan atau diukur. Jika karakteristik statistik utama dari suatu sinyal diketahui secara tepat, atau dapat ditentukan dari interval terbatas sinyal ini, maka analisis spektral akan menjadi cabang dari "ilmu pasti". Namun, pada kenyataannya, hanya perkiraan spektrumnya yang dapat diperoleh dari segmen sinyal. Oleh karena itu, praktik analisis spektral adalah sejenis kerajinan (atau seni?) Yang sifatnya agak subjektif. Perbedaan antara perkiraan spektral yang diperoleh sebagai hasil pemrosesan segmen sinyal yang sama dengan metode yang berbeda dapat dijelaskan oleh perbedaan dalam asumsi yang dibuat mengenai data, metode rata-rata yang berbeda, dll. Jika karakteristik sinyal tidak diketahui secara apriori, seseorang tidak dapat mengatakan perkiraan mana yang lebih baik.
Transformasi Fourier - dasar matematika dari analisis spektral
Kami akan membahas secara singkat berbagai jenis transformasi Fourier (lihat lebih detail di).
Mari kita mulai dengan transformasi Fourier dari sinyal kontinu waktu
,
(1)
yang mengidentifikasi frekuensi dan amplitudo dari sinusoid kompleks (eksponensial) di mana beberapa osilasi sewenang-wenang terurai.
Transformasi terbalik
. (2)
Keberadaan transformasi Fourier langsung dan terbalik (yang selanjutnya kita sebut transformasi Fourier waktu kontinu - CWTF) ditentukan oleh sejumlah kondisi. Cukup - keterpaduan sinyal mutlak
. (3)
Kondisi yang kurang membatasi - keterbatasan energi sinyal
. (4)
Mari kita sajikan sejumlah properti dasar transformasi Fourier dan fungsi yang digunakan di bawah ini, dengan memperhatikan bahwa jendela persegi panjang ditentukan oleh ekspresi
(5)
dan fungsi sinc dengan ekspresi
(6)
Fungsi sampel dalam domain waktu ditentukan oleh ekspresi
(7)
Fungsi ini terkadang juga disebut fungsi kelanjutan periodik.
Tabel 1. Properti utama NVPF dan fungsi
|
Properti, fungsi |
Fungsi |
Transformasi |
| Linearitas |
ag (t) + bh (t) |
aG (f) + bH (f) |
| Pergeseran waktu |
h (t - t 0) |
H (f) exp (-j2pf t 0) |
| Offset frekuensi (modulasi) |
h (t) exp (j2pf0 t) |
H (f - f 0) |
| Penskalaan |
(1 / | a |) h (t / a) |
H (af) |
| Teorema konvolusi domain waktu |
g (t) * h (t) |
|
| Teorema konvolusi dalam domain frekuensi |
g (t) h (t) |
G (f) * H (f) |
| Fungsi jendela |
Aw (t / T) |
2ATsinc (2Tf) |
| Fungsi Sinc |
2AFsinc (2Ft) |
Aw (f / F) |
| Fungsi impuls |
Iklan (t) |
|
| Fungsi hitung |
T (f) |
FF (f), F \u003d 1 / T |
Properti penting lainnya ditetapkan oleh teorema Parseval untuk dua fungsi g (t) dan h (t):
. (8)
Jika kita menempatkan g (t) \u003d h (t), maka teorema Parseval tereduksi menjadi teorema untuk energi
. (9)
Ungkapan (9) pada dasarnya hanyalah rumusan hukum kekekalan energi di dua wilayah (waktu dan frekuensi). Dalam (9) di sebelah kiri adalah energi sinyal total, demikian fungsinya
(10)
menjelaskan distribusi energi melalui frekuensi untuk sinyal deterministik h (t) dan oleh karena itu disebut kepadatan energi spektral (STE). Menggunakan ekspresi
(11)
anda dapat menghitung amplitudo dan spektrum fasa dari sinyal h (t).
Operasi Pengambilan Sampel dan Penimbangan
Pada bagian selanjutnya, kami akan memperkenalkan seri Fourier waktu-diskrit (DTMF) atau transformasi Fourier diskrit (DFT) sebagai kasus khusus dari Transformasi Fourier waktu-kontinu (CFT) menggunakan dua operasi pemrosesan sinyal dasar - pengambilan sampel ( contoh) dan menimbang menggunakan jendela. Di sini kita akan mempertimbangkan pengaruh operasi ini pada sinyal dan transformasinya. Tabel 2 mencantumkan fungsi yang digunakan untuk pembobotan dan pengambilan sampel.
Untuk sampel seragam dengan interval T detik, laju pengambilan sampel F adalah 1 / T Hz. Perhatikan bahwa fungsi pembobotan dan fungsi pengambilan sampel dalam domain waktu masing-masing dilambangkan dengan TW (windowing waktu) dan TS (pengambilan sampel waktu), dan dalam domain frekuensi - FW (windowing frekuensi) dan FS (sampling frekuensi).
Tabel 2. Fungsi penimbangan dan pengambilan sampel
|
Operasi |
Fungsi waktu |
Transformasi |
| Menimbang dalam domain waktu (lebar jendela NT detik) |
TW \u003d w (2t / NT - 1) |
F (TW) \u003d NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf) |
| Menimbang dalam domain frekuensi (lebar jendela 1 / T Hz) |
|
FW \u003d w (2Tf) |
| Hitungan dalam waktu (interval T detik) |
TS \u003d T T (t) |
|
| Hitungan frekuensi (pada interval 1 / NT Hz) |
|
|
Misalkan kita mengambil sampel sinyal nyata kontinu x (t) dengan spektrum terbatas, frekuensi atasnya sama dengan F0. NIPF dari sinyal sebenarnya selalu merupakan fungsi simetris dengan lebar penuh 2F0, lihat Gambar 1.
Sampel sinyal x (t) dapat diperoleh dengan mengalikan sinyal ini dengan fungsi sampel:
(12)
Gambar 1 adalah ilustrasi teorema pengambilan sampel domain waktu untuk sinyal terbatas spektrum nyata:
a - fungsi asli waktu dan transformasi Fouriernya;
b - fungsi hitungan dalam waktu dan transformasi Fouriernya;
c - sampel waktu dari fungsi asli dan transformasi Fourier lanjutannya secara berkala untuk kasus Fo<1/2T;
d - jendela frekuensi (filter low-pass ideal) dan transformasi Fouriernya (fungsi sinc);
d adalah fungsi waktu asli, dipulihkan oleh operasi konvolusi dengan fungsi sinc.
Menurut teorema konvolusi domain frekuensi, IFT dari sinyal x (t) hanyalah konvolusi spektrum sinyal x (t) dan transformasi Fourier dari fungsi sampling dalam waktu (TS):
. (13)
Konvolusi X (f) dengan Transformasi Fourier dari fungsi sampling F (TS) \u003d Y1 / T (f) secara sederhana meneruskan X (f) dengan interval frekuensi 1 / T Hz. Oleh karena itu, XS (f) adalah spektrum X (f) yang diperpanjang secara berkala. Dalam kasus umum, sampel dalam satu domain (misalnya, domain waktu) menghasilkan kelanjutan periodik dalam domain transformasi (misalnya domain frekuensi). Jika sampling rate dipilih cukup rendah (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Untuk mengembalikan sinyal waktu asli dari sampelnya, mis. untuk menginterpolasi beberapa kontinum nilai antara sampel ini, Anda dapat melewatkan data sampel melalui filter low-pass yang ideal dengan respons frekuensi persegi panjang (Gbr. 1d)
. (14)
Hasilnya (lihat Gambar 1 e) transformasi Fourier asli dipulihkan. Dengan menggunakan teorema konvolusi dalam domain waktu dan frekuensi, kami memperoleh
. (15)
Ekspresi (15) adalah notasi matematika teorema pengambilan sampel domain waktu (Teorema Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKS) yang menyatakan bahwa dengan menggunakan rumus interpolasi (15), sinyal nyata dengan spektrum terbatas dapat direkonstruksi secara akurat. dengan jumlah yang tak terbatas sampel waktu diketahui diambil dengan frekuensi F di 2F0. Teorema ganda (15) adalah teorema sampel dalam domain frekuensi untuk sinyal dengan durasi terbatas.
Operasi dalam domain waktu, mirip dengan (14), dijelaskan oleh ekspresi
, (16)
dan transformasi terkait diekspresikan oleh ekspresi
Jadi, IFT X (f) dari sinyal tertentu dengan durasi terbatas dapat direkonstruksi secara jelas dari sampel spektrum sinyal yang sama jauhnya jika interval sampling frekuensi yang dipilih memenuhi kondisi F1 / 2T 0 Hz, di mana T 0 adalah durasi sinyal.
Hubungan antara transformasi kontinu dan diskrit
Sepasang transformasi untuk definisi biasa dari transformasi Fourier diskrit (DFT) dari titik-N. urutan waktu x [n] dan titik-N yang sesuai urutan transformasi Fourier X [k] diberikan oleh
,
(18)
. (19)
Untuk mendapatkan perkiraan spektral dari sampel data dalam unit energi atau pengukuran daya yang sesuai, kami menuliskan seri Fourier waktu-diskrit (DWRF), yang dapat dianggap sebagai beberapa perkiraan dari Transformasi Fourier waktu-kontinu (CFT), berdasarkan penggunaan sampel data dalam jumlah terbatas:
Untuk menunjukkan sifat korespondensi antara FWRF ( diskrit fungsi di domain waktu dan frekuensi) dan CFT (fungsi kontinu dalam domain waktu dan frekuensi), kita memerlukan urutan empat operasi komutatif linier: pembobotan dalam domain waktu dan frekuensi dan sampling atau sampling dalam domain waktu dan frekuensi. Jika operasi penimbangan dilakukan di salah satu wilayah ini, maka, menurut teorema konvolusi, akan sesuai dengan pelaksanaan operasi penyaringan (konvolusi) di wilayah lain dengan fungsi sinc. Demikian pula, jika pengambilan sampel dilakukan di satu area, operasi lanjutan berkala dilakukan di area lain. Karena penimbangan dan pengambilan sampel merupakan operasi linier dan komutatif, cara pengurutan yang berbeda dimungkinkan, memberikan hasil akhir yang sama untuk hasil antara yang berbeda. Gambar 2 menunjukkan dua kemungkinan urutan dari empat operasi ini.
Angka: 2. Dua kemungkinan urutan dari dua operasi penimbangan dan dua operasi pengambilan sampel yang menghubungkan IWPF dan FWDF: FW - penerapan jendela dalam domain frekuensi; TW - penerapan jendela dalam domain waktu; FS - pengambilan sampel dalam domain frekuensi; TS - pengambilan sampel domain waktu.
1 - Transformasi Fourier dengan waktu kontinu, persamaan (1);
4 - Transformasi Fourier dengan waktu diskrit, persamaan (22);
5 - Deret Fourier dengan waktu kontinu, persamaan (25);
8 - Deret Fourier dengan waktu diskrit, persamaan (27)
Sebagai hasil dari operasi penimbangan dan pengambilan sampel pada node 1, 4, 5, dan 8, empat jenis hubungan Fourier akan terjadi. Node tempat fungsi masuk domain frekuensi kontinu, mengacu pada transformasi Fourier, dan node yang berfungsi dalam domain frekuensi diskritmengacu pada Seri Fourier (lihat detailnya di).
Jadi pada node 4 dihasilkan pembobotan frekuensi dan domain waktu sampling konversi waktu-diskrit Fourier (FFT), yang dicirikan oleh fungsi spektrum periodik dalam domain frekuensi dengan periode 1 / T Hz:
(22)
(23)
Perhatikan bahwa ekspresi (22) mendefinisikan fungsi periodik tertentu yang bertepatan dengan fungsi transformasi asli yang ditentukan dalam node 1 hanya dalam rentang frekuensi dari -1 / 2T hingga 1 / 2T Hz. Ekspresi (22) terkait dengan transformasi Z dari urutan diskrit x [n] oleh relasi
(24)
Jadi, DTPF hanyalah transformasi Z yang dihitung pada lingkaran unit dan dikalikan dengan T.
Jika kita berpindah dari node 1 ke node 8 pada Gambar. 2 di sepanjang cabang bawah, pada node 5, operasi pembobotan dalam domain waktu (membatasi durasi sinyal) dan pengambilan sampel dalam domain frekuensi menghasilkan deret Fourier waktu kontinu (CWRF). Dengan menggunakan properti dan definisi fungsi yang diberikan dalam Tabel 1 dan 2, kita mendapatkan pasangan transformasi berikut
(25)
(26)
Perhatikan bahwa ekspresi (26) mendefinisikan fungsi periodik tertentu, yang bertepatan dengan aslinya (pada node 1) hanya dalam interval waktu dari 0 hingga NT.
Terlepas dari yang mana dari dua urutan dari empat operasi yang dipilih, hasil akhir pada node 8 akan sama - seri Fourier waktu-diskrit, yang sesuai dengan pasangan transformasi berikut yang diperoleh dengan menggunakan properti yang ditunjukkan pada Tabel 1.
, (27)
dimana k \u003d -N / 2 ,. ... ... , N / 2-1
,
(28)
dimana n \u003d 0 ,. ... ... , N-1,
Teorema energi untuk DWRF ini berbentuk:
,
(29)
dan mengkarakterisasi energi urutan sampel data N. Kedua barisan x [n] dan X [k] merupakan urutan periodik modulo N, oleh karena itu (28) dapat ditulis dalam bentuk
, (30)
di mana 0 n N. Faktor T dalam (27) - (30) diperlukan untuk (27) dan (28) untuk benar-benar menjadi pendekatan dari transformasi integral dalam domain integrasi
.(31)
Bantalan nol
Melalui proses yang disebut empuk dengan angka nolDeret Fourier waktu-diskrit dapat dimodifikasi untuk menginterpolasi antara nilai-nilai N dari transformasi asli. Biarkan sampel data yang tersedia x, ..., x dilengkapi dengan nilai nol x [N], ... X. DWRF dari urutan data 2N-titik dengan bantalan nol ini akan diberikan oleh
(32)
dimana batas atas dari jumlah di sebelah kanan diubah untuk mencerminkan keberadaan data nol. Misalkan k \u003d 2m, sehingga
,
(33)
dimana m \u003d 0,1, ..., N-1, mendefinisikan nilai genap dari X [k]. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa untuk nilai genap dari indeks k, deret Fourier waktu-diskrit titik-2N direduksi menjadi deret waktu-diskrit titik-N. Nilai ganjil dari indeks k sesuai dengan nilai interpolasi dari WSPF yang terletak di antara nilai WTPF titik-N asli. Karena semakin banyak angka nol yang ditambahkan ke urutan titik-N asli, lebih banyak data yang diinterpolasi dapat diperoleh. Dalam kasus pembatas jumlah nol masukan tak terhingga, FWRF dapat dianggap sebagai transformasi Fourier waktu-diskrit dari urutan data titik-N:
.
(34)
Transformasi (34) sesuai dengan node 6 pada Gambar 2.
Ada kesalahpahaman bahwa padding nol meningkatkan resolusi karena meningkatkan panjang urutan data. Namun, sebagai berikut dari Gambar 3, penambahan angka nol tidak membaik resolusi transformasi yang diperoleh dari urutan data akhir yang diberikan. Bantalan nol hanya menghasilkan transformasi yang diinterpolasi bentuk yang lebih halus... Selain itu, ini menghilangkan ambiguitas karena adanya komponen sinyal pita sempit, yang frekuensinya terletak di antara titik-titik N yang sesuai dengan frekuensi perkiraan dari FDP asli. Bantalan nol juga meningkatkan akurasi estimasi frekuensi puncak spektral. Yang kami maksud dengan resolusi spektral adalah kemampuan untuk membedakan antara respons spektral dari dua sinyal harmonik. Aturan praktis yang diterima secara umum, sering digunakan dalam analisis spektral, adalah bahwa pemisahan frekuensi sinusoid yang dibedakan tidak boleh kurang dari bandwidth jendela yang setara, di mana segmen (segmen) dari sinusoid ini diamati.
Gambar 3. Interpolasi bantalan nol:
a - modul perekam data 16-titik DVRF, berisi tiga sinusoid tanpa melengkapi nol (ketidakpastian terlihat: tidak mungkin untuk mengatakan berapa banyak sinusoid dalam sinyal - dua, tiga atau empat);
b - modul FWRF dengan urutan yang sama setelah peningkatan dua kali lipat dalam jumlah sampelnya karena penambahan 16 angka nol (ketidakpastian diperbolehkan, karena ketiga sinusoid dapat dibedakan;
c - modul FWRF dengan urutan yang sama setelah peningkatan empat kali lipat dalam jumlah hitungannya karena penambahan angka nol.
Bandwidth jendela yang setara dapat didefinisikan sebagai 
di mana W (f) adalah transformasi Fourier waktu-diskrit dari fungsi jendela, misalnya, persegi panjang (5). Demikian pula, Anda bisa masuk durasi jendela yang setara
Dapat ditunjukkan bahwa durasi ekuivalen jendela (atau sinyal lain) dan bandwidth ekuivalen transformasinya adalah nilai timbal balik yang saling menguntungkan: TeBe \u003d 1.
Transformasi Fourier Cepat
Fast Fourier Transform (FFT) bukan hanya jenis transformasi Fourier lainnya, tetapi nama dari sejumlah efektif algoritma, dirancang untuk komputasi cepat seri Fourier waktu-diskrit. Masalah utama yang timbul dalam implementasi praktis FWRF terletak pada banyaknya operasi komputasi yang sebanding dengan N2. Meskipun jauh sebelum munculnya komputer, beberapa skema komputasi yang efisien telah diusulkan yang dapat secara signifikan mengurangi jumlah operasi komputasi, revolusi sebenarnya dibuat oleh publikasi artikel oleh Cooly dan Tukey pada tahun 1965 dengan algoritma praktis untuk cepat (jumlah operasi Nlog 2 N) menghitung FWRF ... Setelah itu, banyak varian, perbaikan dan penambahan pada ide utama dikembangkan, yang membentuk kelas algoritma yang dikenal dengan Fast Fourier Transform. Ide utama FFT adalah membagi WLDF titik-N menjadi dua atau lebih WLDF dengan panjang yang lebih pendek, masing-masing dapat dihitung secara terpisah, dan kemudian dijumlahkan secara linier dengan yang lain untuk mendapatkan WLPF dari urutan titik-N asli.
Kami mewakili transformasi Fourier diskrit (DFT) dalam bentuk
, (35)
dimana nilai W N \u003d exp (-j2 / N) disebut faktor balik (selanjutnya dalam bagian ini periode samplingnya adalah T \u003d 1). Pilih dari deret x [n] elemen dengan angka genap dan ganjil
. (36)
Tapi sejak itu
... Oleh karena itu, (36) dapat ditulis dalam bentuk
, (37)
dimana masing-masing suku merupakan transformasi dengan panjang N / 2
(38)
Perhatikan bahwa barisan (WN / 2) nk adalah periodik dalam k dengan periode N / 2. Oleh karena itu, meskipun bilangan k dalam ekspresi (37) mengambil nilai dari 0 hingga N-1, masing-masing jumlah tersebut dihitung untuk nilai k dari 0 hingga N / 2-1. Hal ini dimungkinkan untuk memperkirakan jumlah perkalian kompleks dan operasi penjumlahan yang diperlukan untuk menghitung transformasi Fourier sesuai dengan algoritma (37) - (38). Transformasi Fourier dua titik N / 2 menurut rumus (38) mengasumsikan kinerja perkalian 2 (N / 2) 2 dan kira-kira jumlah penjumlahan yang sama. Penyatuan dua transformasi titik N / 2 dengan rumus (37) membutuhkan perkalian N dan penambahan N. Oleh karena itu, untuk menghitung transformasi Fourier semua nilai N k, perlu dilakukan perkalian dan penjumlahan N + N 2/2. Pada saat yang sama, komputasi langsung menggunakan rumus (35) membutuhkan perkalian dan penjumlahan di atas N 2. Bahkan untuk N\u003e 2, pertidaksamaan N + N 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
Dalam hal ini, karena periodisitas dari urutan W nk N / 4 dalam k dengan periode N / 4, jumlah (40) harus dihitung hanya untuk nilai k dari 0 hingga N / 4-1. Oleh karena itu, perhitungan deret X [k] dengan rumus (37), (39) dan (40) membutuhkan, karena mudah untuk menghitungnya, sudah 2N + N 2/4 operasi perkalian dan penjumlahan.
Dengan mengikuti jalur ini, jumlah komputasi X [k] dapat dikurangi lebih banyak. Setelah m \u003d log 2 N ekspansi, kita sampai pada transformasi Fourier dua titik dari bentuk
(41)
dengan "transformasi satu titik" X 1 hanyalah contoh dari sinyal x [n]:
X 1 \u003d x [q] / N, q \u003d 0,1, ..., N-1. (42)
Hasilnya, Anda dapat menulis algoritme FFT, yang karena alasan yang jelas telah menerima nama tersebut algoritma penghancuran waktu :
X 2 \u003d (x [p] + W k 2 x) / N,
dimana k \u003d 0.1, p \u003d 0.1, ..., N / 2 -1;
X 2N / M \u003d X N / M + W k 2N / M X N / M,
dimana k \u003d 0.1, ..., 2N / M -1, p \u003d 0.1, ..., M / 2 -1;
X [k] \u003d X N [k] \u003d X N / 2 + W k N X N / 2, (43)
dimana k \u003d 0,1, ..., N-1
Pada setiap tahap perhitungan, perkalian dan penambahan kompleks dilakukan N. Dan karena jumlah dekomposisi dari urutan asli menjadi setengah panjang selanjutnya sama dengan log 2 N, jumlah total operasi perkalian-penjumlahan dalam algoritma FFT sama dengan Nlog 2 N. Untuk N besar, ada penghematan yang signifikan dalam operasi komputasi dibandingkan dengan perhitungan langsung DFT. Misalnya, untuk N \u003d 2 10 \u003d 1024, jumlah operasi berkurang 117 kali.
Algoritma FFT yang dipertimbangkan dengan desimasi waktu didasarkan pada perhitungan transformasi Fourier dengan membentuk urutan urutan input x [n]. Namun, Anda juga dapat menggunakan dekomposisi menjadi rangkaian transformasi Fourier X [k]. Algoritma FFT berdasarkan prosedur ini disebut algoritma dengan penurunan frekuensi. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang Fast Fourier Transform, misalnya, di.
Proses acak dan kepadatan spektral daya
Proses acak diskrit x dapat dianggap sebagai himpunan tertentu, atau ansambel, sekuens waktu (atau ruang) diskrit nyata atau kompleks, yang masing-masing dapat diamati sebagai hasil dari beberapa percobaan (n adalah indeks waktu, i adalah nomor pengamatan). Urutan yang diperoleh sebagai hasil dari salah satu pengamatan akan dilambangkan dengan x [n]. Operasi rata-rata ansambel (mis. rata-rata statistik) akan dilambangkan dengan operator<>... Lewat sini,
Proses acak disebut stasioner dalam arti luasjika nilai rata-ratanya konstan (tidak bergantung pada waktu), dan autokorelasi hanya bergantung pada selisih antara indeks waktu m \u003d n1-n2 (pergeseran waktu atau penundaan antar sampel). Jadi, proses acak diskrit x [n] yang diam dalam arti luas dicirikan oleh nilai rata-rata yang konstan
r xx [m] \u003d< xx*[n] >. (44)
Perhatikan properti ACP berikut ini:
r xx | r xx [m] | , r xx [-m] \u003d r * xx [m], (45)
yang berlaku untuk semua m.
Densitas spektral daya (PSD) didefinisikan sebagai transformasi Fourier waktu-diskrit (DPFT) dari urutan autokorelasi
.
(46)
PSD yang lebarnya diasumsikan terbatas pada ± 1 / 2T Hz, merupakan fungsi frekuensi periodik dengan periode 1 / T Hz. Fungsi PSD menjelaskan distribusi frekuensi kekuatan proses acak. Untuk mengonfirmasi nama yang dipilih untuknya, pertimbangkan DPFT terbalik
(47)
dihitung untuk m \u003d 0
(48)
Autokorelasi pada pergeseran nol mencirikan kekuatan rata rata proses acak. Menurut (48), area di bawah kurva P xx (f) mencirikan daya rata-rata, oleh karena itu P xx (f) adalah fungsi kerapatan (daya per unit frekuensi) yang mencirikan distribusi daya atas frekuensi. Pasangan transformasi (46) dan (47) sering disebut teorema Wiener-Khinchin untuk kasus waktu diskrit. Karena r xx [-m] \u003d r * xx [m], PSD harus berupa fungsi positif yang benar-benar nyata. Jika AKP adalah fungsi yang benar-benar nyata, maka r xx [-m] \u003d r xx [m] dan PSD dapat ditulis dalam bentuk transformasi Fourier cosinus
,
yang juga berarti bahwa P xx (f) \u003d P xx (-f), yaitu SPM adalah fungsi genap.
Sampai sekarang, kami telah menggunakan rata-rata statistik atas ansambel untuk menentukan nilai rata-rata, korelasi, dan kepadatan spektral daya dari proses acak. Namun, dalam praktiknya biasanya tidak mungkin untuk mendapatkan ansambel realisasi dari proses yang diperlukan dimana karakteristik statistik ini dapat dihitung. Sebaiknya evaluasi semua sifat statistik dari satu realisasi sampel x (t), menggantikan y ansambel rata-rata waktu averaging... Sifat yang memungkinkan terjadinya perubahan seperti itu disebut ergodisitas. Dikatakan bahwa proses acak adalah ergodik jika, dengan probabilitas sama dengan satu, semua karakteristik statistiknya dapat diprediksi dari satu realisasi dari ensemble dengan menggunakan rata-rata waktu. Dengan kata lain, nilai rata-rata dari waktu ke waktu dari hampir semua kemungkinan realisasi proses dengan probabilitas satu konvergen ke nilai konstan yang sama - nilai rata-rata selama ensemble.
. (49)
Batasan ini, jika ada, konvergen ke mean sebenarnya jika dan hanya jika varians mean waktu cenderung nol, yang berarti kondisi berikut terpenuhi:
. (50)
Di sini c xx [m] adalah nilai sebenarnya dari kovariansi proses x [n].
Demikian pula, mengamati nilai produk dari sampel proses x [n] pada dua titik waktu, dapat diharapkan bahwa nilai rata-rata akan menjadi
(51)
Asumsi ergodisitas memungkinkan tidak hanya untuk memperkenalkan, melalui rata-rata waktu, definisi untuk nilai rata-rata dan autokorelasi, tetapi juga untuk memberikan definisi yang sama untuk kepadatan daya spektral
. (52)
Bentuk PSD yang setara ini diperoleh dengan menghitung rata-rata modulus DFT dari kumpulan data tertimbang dibagi dengan panjang rekaman data untuk kasus di mana jumlah sampel meningkat hingga tak terbatas. Rata-rata statistik diperlukan di sini karena DPFT itu sendiri adalah variabel acak yang berubah untuk setiap realisasi x [n]. Untuk menunjukkan bahwa (52) setara dengan teorema Wiener-Khinchin, kami merepresentasikan kuadrat dari modulus DTPF sebagai produk dari dua seri dan mengubah urutan operasi penjumlahan dan statistik rata-rata:
(53)
Menggunakan ekspresi terkenal
, (54)
relasi (53) dapat direduksi menjadi berikut:
(55)
Perhatikan bahwa pada tahap terakhir derivasi (55), kami menggunakan asumsi bahwa urutan autokorelasi "meluruh", sehingga
.
(56)
Hubungan antara dua definisi PSD (46) dan (52) secara jelas ditunjukkan pada diagram yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Jika dalam ekspresi (52) kita tidak memperhitungkan operasi ekspektasi matematis, maka kita mendapatkan estimasi PSD
, (57)
yang disebut spektrum sampel.
Angka: 4. Hubungan antara dua metode untuk memperkirakan kerapatan daya spektral
Estimasi spektral metode periodogram
Di atas, kami memperkenalkan dua metode ekuivalen formal untuk menentukan kepadatan spektral daya (PSD). Metode tidak langsung didasarkan pada penggunaan urutan data tak terbatas untuk menghitung urutan autokorelasi, transformasi Fourier memberikan PSD yang diinginkan. Metode langsung untuk menentukan PSD didasarkan pada penghitungan kuadrat modulus transformasi Fourier untuk urutan data tak terbatas menggunakan rata-rata statistik yang sesuai. PSD yang diperoleh tanpa rata-rata tersebut ternyata tidak memuaskan, karena kesalahan root-mean-square dari perkiraan tersebut sebanding dengan nilai rata-ratanya. Kami sekarang akan mempertimbangkan metode rata-rata yang memberikan perkiraan spektral yang halus dan stabil secara statistik pada sejumlah sampel yang terbatas. Estimasi PSD berdasarkan transformasi data langsung dan rata-rata berikutnya disebut periodogram. Estimasi SPM, di mana estimasi korelasi pertama kali dibentuk dari data awal, disebut korelogram... Saat menggunakan metode apa pun untuk memperkirakan PSD, pengguna harus melakukan banyak trade-off untuk mendapatkan estimasi spektral yang stabil secara statistik dengan resolusi maksimum yang mungkin dari sejumlah sampel yang terbatas. Pertukaran ini termasuk, antara lain, pilihan jendela untuk pembobotan data dan perkiraan korelasi, dan parameter rata-rata domain waktu dan frekuensi yang menyeimbangkan persyaratan pengurangan bobot sidelobe, rata-rata yang efisien, dan resolusi spektral yang dapat diterima. Dalam gambar. 5 adalah diagram yang menunjukkan tahapan utama periodogram metode
Angka: 5. Tahapan utama pendugaan PSD dengan metode periodogram
Penerapan metode diawali dengan pengumpulan sampel data N, yang diambil dengan selang waktu T detik per hitungan, dilanjutkan (opsional) dengan tahap eliminasi tren. Untuk mendapatkan perkiraan spektral yang stabil secara statistik, data yang tersedia harus dibagi menjadi segmen yang tumpang tindih (jika mungkin) dan kemudian dirata-ratakan spektrum sampel yang diperoleh untuk setiap segmen tersebut. Parameter rata-rata ini diubah dengan pilihan yang tepat dari jumlah sampel per segmen (NSAMP) dan jumlah sampel yang diperlukan untuk menggeser awal segmen berikutnya (NSHIFT), lihat Gambar. 6. Jumlah segmen dipilih tergantung pada tingkat kehalusan (dispersi) perkiraan spektral dan resolusi spektral yang diperlukan. Dengan nilai parameter NSAMP yang kecil, lebih banyak segmen diperoleh, dimana rata-rata akan dilakukan, dan oleh karena itu perkiraan dengan varian yang lebih rendah, tetapi juga dengan resolusi frekuensi yang lebih rendah, akan diperoleh. Peningkatan panjang segmen (parameter NSAMP) meningkatkan resolusi, secara alami karena peningkatan varians estimasi karena jumlah rata-rata yang lebih kecil. Panah kembali pada Gambar 5 menunjukkan perlunya beberapa iterasi atas data dengan panjang dan jumlah segmen yang berbeda, yang memungkinkan lebih banyak informasi tentang proses yang diteliti dapat diperoleh.
Gambar 6. Membagi data menjadi beberapa segmen untuk menghitung periodogram
Jendela
Salah satu masalah penting, yang umum untuk semua metode klasik estimasi spektral, terkait dengan pembobotan data. Pemrosesan windowed digunakan untuk mengontrol efek lobus samping dalam perkiraan spektral. Perhatikan bahwa lebih mudah untuk mempertimbangkan rekaman data hingga yang ada sebagai beberapa bagian dari urutan tak hingga yang sesuai, terlihat melalui jendela yang digunakan. Jadi urutan data yang diamati x 0 [n] dari N sampel dapat ditulis secara matematis sebagai hasil kali dari deret tak hingga x [n] dan fungsi jendela persegi panjang
X 0 [n] \u003d x [n] · persegi [n].
Dalam hal ini, asumsi yang jelas dibuat bahwa semua sampel yang tidak dapat diamati sama dengan nol, terlepas dari apakah memang demikian. Transformasi Fourier waktu-diskrit dari urutan berbobot sama dengan lilitan transformasi urutan x [n] dan persegi panjang jendela [n]
X 0 (f) \u003d X (f) * D N (f), di mana
D N (f) \u003d Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).
Fungsi D N (f), disebut fungsi sinc diskrit, atau kernel Dirichlet, adalah DTFT dari fungsi persegi panjang. Transformasi urutan terbatas yang diamati adalah versi yang kacau dari transformasi urutan tak terbatas. Pengaruh jendela persegi panjang pada sinusoid waktu-diskrit dengan frekuensi f 0 diilustrasikan pada Gambar 7.
Gambar 7. Ilustrasi perpindahan transformasi Fourier waktu-diskrit akibat kebocoran akibat pembobotan data: a, b - urutan asli dan pembobotan; b, d - Transformasi Fourier mereka.
Dapat dilihat dari gambar bahwa puncak spektral tajam dari DTFT dari urutan sinusoidal tak berhingga meluas karena konvolusi dengan transformasi jendela. Dengan demikian, lebar minimum puncak spektral dari urutan window-weighted ditentukan oleh lebar lobus transformasi utama dari jendela ini dan tidak bergantung pada data. Sidelob transformasi jendela akan mengubah amplitudo puncak spektral yang berdekatan (kadang-kadang disebut sebagai kebocoran). Karena DPFT adalah fungsi periodik, superposisi lobus samping dari periode yang berdekatan dapat menyebabkan perpindahan tambahan. Meningkatkan laju sampel akan mengurangi tumpang tindih sidelobe. Secara alami, distorsi serupa akan diamati dalam kasus sinyal non-sinusoidal. Kebocoran tidak hanya menyebabkan kesalahan amplitudo dalam spektrum sinyal diskrit, tetapi juga dapat menutupi keberadaan sinyal lemah. Sejumlah fungsi jendela lainnya dapat diusulkan yang dapat menurunkan level sidelobe dibandingkan dengan jendela persegi panjang. Menurunkan level lobus samping akan mengurangi bias perkiraan spektral, tetapi hal ini berdampak pada perluasan lobus utama spektrum jendela, yang secara alami menyebabkan penurunan resolusi. Oleh karena itu, di sini, juga, beberapa kompromi harus dipilih antara lebar lobus utama dan ketinggian lobus samping. Beberapa parameter digunakan untuk menilai kualitas jendela. Metrik tradisional adalah bandwidth lobus utama dengan daya setengah. Bandwidth setara yang diperkenalkan di atas digunakan sebagai indikator kedua. Dua metrik juga digunakan untuk menilai karakteristik lobus samping. Yang pertama adalah tingkat maksimumnya, yang kedua adalah tingkat peluruhan, yang merupakan ciri tingkat penurunan lobus samping dengan jarak dari lobus utama. Tabel 3 menunjukkan definisi dari beberapa fungsi jendela waktu-diskrit yang umum digunakan, dan Tabel 4 - karakteristiknya.
Tabel 3. Definisi jendela waktu diskrit titik-N tipikal Max. tingkat lobus samping, dB -31.5
. (46)
Metode korelogram estimasi PSD hanyalah substitusi ke dalam ekspresi (46) dari urutan nilai terbatas dari estimasi autokorelasi ( korelogram) alih-alih urutan tak terbatas dari nilai autokorelasi sebenarnya yang tidak diketahui. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang metode estimasi spektral korelogram di.
LITERATUR
1. Rabiner L., Gould B. Teori dan penerapan pemrosesan sinyal digital. M .: Mir, 1978.
2. Marple Jr. S.L. Analisis spektral digital dan aplikasinya: Per. dari bahasa Inggris. -M .: Mir, 1990.
3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Pemrosesan sinyal digital. - M .: Radio dan komunikasi, 1990.
4. Dilakukan R., Enokson L. Analisis terapan deret waktu. - M .: Mir, 1982.
Kamera video surveillance banyak digunakan untuk memantau situasi lalu lintas di jalan raya dengan intensitas lalu lintas tinggi. Informasi yang diterima dari kamera video berisi data tentang perubahan temporal posisi spasial kendaraan di bidang pandang sistem. Memproses informasi ini berdasarkan algoritma yang digunakan dalam sistem pengukuran televisi (TMS) memungkinkan penentuan kecepatan kendaraan dan memastikan kontrol arus lalu lintas. Faktor-faktor inilah yang menjelaskan meningkatnya minat pemantauan televisi terhadap jalan raya transportasi.
Untuk mengembangkan metode pemfilteran citra kendaraan dengan latar belakang kebisingan, perlu diketahui parameter dan karakteristik dasarnya. Sebelumnya penulis melakukan penelitian terhadap spektra Fourier dan wavelet yang berlatar belakang natural dan perkotaan. Karya ini dikhususkan untuk mempelajari spektrum kendaraan serupa.
- menggunakan kamera digital, bank file .bmp asli dari gambar monokrom kendaraan dari berbagai jenis (mobil, truk, bus, untuk setiap kelompok jumlah gambar adalah 20-40 pada sudut dan kondisi pencahayaan yang berbeda); gambar berukuran 400 piksel secara horizontal dan 300 piksel secara vertikal; rentang kecerahan dari 0 hingga 255 unit;
- karena gambar berisi, selain kendaraan, juga komponen latar belakang, untuk mencegah pengaruhnya terhadap hasil, itu secara artifisial ditekan ke nol;
- analisis karakteristik citra kendaraan dilakukan dengan metode Fourier dan analisis wavelet.
Program yang dikembangkan di lingkungan MATLAB memungkinkan Anda menghitung kecerahan rata-rata (yaitu, ekspektasi matematis dari kecerahan gambar), varians kecerahan, spektrum Fourier dari garis gambar individu dan total, spektogram, serta spektrum wavelet menggunakan berbagai wavelet terkenal (Haar, Daubechies, Simlet dan sebagainya.). Hasil analisis direfleksikan dalam bentuk gambar spektrum dua dimensi dan 3D.
Berdasarkan hasil penelitian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
- karakteristik luminansi rata-rata (kecerahan rata-rata, dispersi) dari gambar kendaraan yang berbeda memiliki nilai yang sama untuk semua jenis; silau matahari dari kaca dan permukaan mobil memiliki pengaruh yang signifikan terhadap karakteristik kecerahan; tergantung pada intensitas dan arah iluminasi, mobil hitam dapat memiliki karakteristik kecerahan yang mirip dengan mobil berwarna terang;
- terlepas dari jenis kendaraannya, spektrum Fourier dan wavelet memiliki struktur yang serupa;
- lebar spektrum Fourier kendaraan sangat bergantung pada jenis kendaraan; spektrum memiliki struktur yang sangat tidak rata yang berubah dengan perubahan pencahayaan dan orientasi kendaraan; spektrum pada bidang horizontal memiliki struktur yang lebih tidak rata daripada pada bidang vertikal; karakteristik spektral dari semi-truk dan bus sangat dipengaruhi oleh gambar dan tulisan (iklan) pada permukaannya;
- saat memutar mobil, perubahan spektrum gambar di bidang horizontal cukup signifikan, spektrum di bidang vertikal tetap cukup stabil; ini terutama terlihat jelas dalam spektrum wavelet;
- analisis spektrum kendaraan individu dan kendaraan dengan latar belakang gangguan menunjukkan bahwa mereka berbeda dalam tingkat amplitudo komponen spektral; dengan tidak adanya latar belakang, spektrum vertikal jauh lebih seragam; untuk gambar mobil tanpa latar belakang, ada kemungkinan lebih besar terjadi penurunan dalam spektrum (ketidakrataan lebih tinggi), amplop spektrum gambar dengan latar belakang lebih seragam daripada tanpa latar belakang;
- penelitian telah menunjukkan bahwa karena pengaruh kuat dari sejumlah besar faktor, karakteristik spektral kendaraan (keduanya diperoleh dengan menggunakan analisis Fourier dan analisis wavelet) tidak memungkinkan kami untuk mengidentifikasi fitur spektral yang stabil dari citra kendaraan; ini mengurangi efisiensi pemfilteran spektral gambar, yang dilakukan untuk menekan latar belakang;
- dalam sistem kendali lalu lintas otomatis, untuk membedakan mobil dari latar belakang interferensi, perlu menggunakan sekumpulan fitur, seperti warna, spektrum, parameter geometrik objek (ukuran dan rasio aspek), dan karakteristik dinamis.
BIBLIOGRAFI
- Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Investigasi karakteristik gambar latar belakang alam dan perkotaan // Izv. Tulsk. Negara Universitas. Rekayasa radio dan optik radio. - Tula, 2005. - T.7. - Hlm.97-104.
Referensi bibliografi
Makaretsky E.A. PENELITIAN EMPAT DAN GELOMBANG GAMBAR SPECTRA KENDARAAN // Riset Fundamental. - 2006. - No. 12. - Hal.80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id\u003d5557 (tanggal akses: 15.01.2020). Kami meminta perhatian Anda pada jurnal yang diterbitkan oleh "Academy of Natural Sciences"
Analisis spektral
Analisis spektral adalah kelas yang luas dari metode pemrosesan data berdasarkan representasi frekuensi, atau spektrumnya. Spektrum diperoleh sebagai hasil perluasan fungsi asli, yang bergantung pada waktu (deret waktu) atau koordinat spasial (misalnya, gambar), ke dalam dasar beberapa fungsi periodik. Yang paling umum digunakan untuk pemrosesan spektral adalah spektrum Fourier yang diperoleh berdasarkan basis sinus (ekspansi Fourier, Transformasi Fourier).
Arti utama dari transformasi Fourier adalah bahwa fungsi non-periodik awal dari bentuk sembarang, yang tidak dapat dijelaskan secara analitik dan oleh karena itu sulit untuk diproses dan dianalisis, direpresentasikan sebagai himpunan sinus atau cosinus dengan frekuensi, amplitudo, dan fase awal yang berbeda.
Dengan kata lain, suatu fungsi kompleks diubah menjadi banyak fungsi yang lebih sederhana. Setiap sinusoid (atau cosinus) dengan frekuensi dan amplitudo tertentu, yang diperoleh sebagai hasil dari ekspansi Fourier, disebut komponen spektral atau harmonisa... Bentuk komponen spektral spektrum Fourier.
Secara visual, spektrum Fourier disajikan dalam bentuk grafik, di mana frekuensi melingkar diplotkan sepanjang sumbu horizontal, dilambangkan dengan huruf Yunani "omega", dan sepanjang vertikal, amplitudo komponen spektral, biasanya dilambangkan dengan huruf Latin A. Kemudian setiap komponen spektral dapat direpresentasikan sebagai referensi, posisi yang secara horizontal sesuai dengan frekuensinya, dan tingginya sesuai dengan amplitudo. Harmonik dengan frekuensi nol disebut komponen konstan (dalam tampilan temporal, ini adalah garis lurus).
Bahkan analisis visual sederhana dari spektrum dapat memberi tahu banyak tentang sifat fungsi dari mana spektrum itu berasal. Secara intuitif, jelas bahwa perubahan cepat pada data awal menghasilkan komponen spektrum dengan tinggi frekuensi, dan lambat - dengan rendah... Oleh karena itu, jika amplitudo komponen di dalamnya menurun dengan cepat seiring dengan peningkatan frekuensi, maka fungsi awal (misalnya deret waktu) mulus, dan jika spektrum mengandung komponen frekuensi tinggi dengan amplitudo yang besar, maka fungsi awal akan mengandung fluktuasi yang tajam. Jadi, untuk deret waktu, ini mungkin menunjukkan komponen acak yang besar, ketidakstabilan proses yang dijelaskannya, dan adanya gangguan dalam data.
Pemrosesan spektral didasarkan pada manipulasi spektrum. Memang, jika kita mengurangi (menekan) amplitudo komponen frekuensi tinggi, dan kemudian, berdasarkan spektrum yang dimodifikasi, mengembalikan fungsi asli dengan melakukan transformasi Fourier terbalik, maka itu akan menjadi lebih mulus karena penghapusan komponen frekuensi tinggi.
Untuk deret waktu, misalnya, ini berarti menghapus informasi tentang penjualan harian, yang sangat rentan terhadap faktor acak, dan meninggalkan tren yang lebih stabil, misalnya, kemusiman. Sebaliknya, Anda dapat menekan komponen dengan frekuensi rendah, yang akan menghapus perubahan lambat, dan hanya menyisakan perubahan cepat. Dalam kasus deret waktu, ini berarti penindasan komponen musiman.
Dengan menerapkan spektrum dengan cara ini, Anda dapat mencapai perubahan yang diinginkan pada data asli. Yang paling umum digunakan adalah penghalusan deret waktu dengan menghilangkan atau mengurangi amplitudo komponen frekuensi tinggi dalam spektrum.
Untuk memanipulasi spektrum, filter digunakan - algoritma yang mampu mengendalikan bentuk spektrum, menekan atau memperkuat komponennya. Utama properti apa saja saring adalah karakteristik frekuensi amplitudo (AFC), di mana transformasi spektrum bergantung.
Jika filter hanya melewatkan komponen spektral dengan frekuensi di bawah frekuensi cutoff tertentu, maka itu disebut filter low-pass (LPF), dan dapat digunakan untuk menghaluskan data, membersihkannya dari noise dan nilai-nilai anomali.
Jika filter melewatkan komponen spektral di atas frekuensi cutoff tertentu, maka itu disebut filter high-pass (HPF). Ini dapat digunakan untuk menekan perubahan lambat seperti musim dalam seri data.
Selain itu, banyak jenis filter lain yang digunakan: filter jarak menengah, filter takik, dan filter band-pass, serta filter yang lebih kompleks, yang digunakan dalam pemrosesan sinyal dalam elektronik. Dengan memilih jenis dan bentuk respons frekuensi filter, Anda dapat mencapai transformasi yang diinginkan dari data asli dengan pemrosesan spektral.
Saat melakukan pemfilteran frekuensi data untuk menghaluskan dan menghilangkan noise, bandwidth filter low-pass harus ditentukan dengan benar. Jika dipilih terlalu tinggi, derajat penghalusan tidak akan mencukupi, dan kebisingan tidak akan sepenuhnya diredam. Jika terlalu sempit, maka seiring dengan kebisingan, perubahan yang membawa informasi berguna dapat ditekan. Sementara dalam aplikasi teknis ada kriteria ketat untuk menentukan kinerja optimal filter, dalam teknologi analitik perlu menggunakan metode eksperimental.
Analisis spektral adalah salah satu teknik pemrosesan data yang paling efisien dan berkembang dengan baik. Pemfilteran frekuensi Hanya salah satu dari banyak aplikasinya. Selain itu, digunakan dalam analisis korelasi dan statistik, sintesis sinyal dan fungsi, pembuatan model, dll.
1. Transformasi Fourier dan spektrum sinyal
Dalam banyak kasus, tugas memperoleh (menghitung) spektrum sinyal adalah sebagai berikut. Ada ADC, yang, dengan laju pengambilan sampel Fd, mengubah sinyal kontinu yang tiba di masukannya selama waktu T menjadi sampel digital - potongan N. Selanjutnya, larik sampel dimasukkan ke dalam program tertentu yang mengeluarkan N / 2 beberapa nilai numerik (programmer yang ditarik dari Internet menulis program, memastikan bahwa program tersebut melakukan transformasi Fourier).Untuk memeriksa apakah program bekerja dengan benar, mari kita bentuk array sampel sebagai jumlah dari dua sinusoid sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) dan memasukkannya ke dalam program. Program tersebut menggambarkan yang berikut:
gambar 1 Grafik fungsi waktu sinyal
gambar 2 Grafik spektrum sinyal
Pada grafik spektrum terdapat dua buah tongkat (harmonisa) 5 Hz dengan amplitudo 0,5 V dan 10 Hz - dengan amplitudo 1 V, semuanya seperti pada rumus sinyal aslinya. Semuanya baik-baik saja, programmer yang hebat! Program bekerja dengan benar.
Artinya jika kita mengumpankan sinyal nyata dari campuran dua sinusoid ke input ADC, maka kita akan mendapatkan spektrum serupa yang terdiri dari dua harmonisa.
Total, kami nyata sinyal terukur, berlangsung 5 detik, ADC digital, yaitu disajikan diskrit hitungan, memiliki diskrit non-periodik spektrum.
Dari sudut pandang matematis, berapa banyak kesalahan yang ada dalam kalimat ini?
Sekarang bos memutuskan kami memutuskan bahwa 5 detik terlalu lama, mari kita ukur sinyalnya dalam 0,5 detik.
gbr. 3 Grafik fungsi sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) pada periode pengukuran 0,5 detik
gambar 4 Spektrum fungsi
Sepertinya ada yang salah! Harmonik 10 Hz digambar secara normal, dan bukannya stik 5 Hz, beberapa harmonik yang tidak dapat dipahami muncul. Kami mencari di Internet, apa dan bagaimana ...
Mereka mengatakan bahwa nol harus ditambahkan ke ujung sampel dan spektrum akan digambarkan normal.
gbr. 5 Selesai dari nol sampai 5 detik
gambar 6 Menerima spektrum
Masih tidak seperti saat 5 detik. Kita harus berurusan dengan teori. Pergi ke Wikipedia - sumber pengetahuan.
2. Fungsi kontinu dan representasi oleh deret Fourier
Secara matematis, sinyal kita dengan durasi T detik merupakan fungsi f (x) yang ditentukan pada interval (0, T) (X dalam hal ini adalah waktu). Fungsi seperti itu selalu dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari fungsi harmonik (sinusoid atau cosinus) dalam bentuk:
(1), dimana:
K - jumlah fungsi trigonometri (jumlah komponen harmonik, jumlah harmonik)
T - segmen di mana fungsi didefinisikan (durasi sinyal)
Ak adalah amplitudo dari komponen harmonik ke-k,
? k adalah fase awal dari komponen harmonik ke-k
Apa yang dimaksud dengan "merepresentasikan fungsi sebagai jumlah deret"? Ini berarti bahwa dengan menambahkan pada setiap titik nilai komponen harmonik dari deret Fourier, kita mendapatkan nilai fungsi kita pada titik ini.
(Lebih tepatnya, deviasi root-mean-square dari deret dari fungsi f (x) akan cenderung nol, tetapi terlepas dari konvergensi root-mean-square, deret Fourier dari fungsi tersebut, secara umum, tidak diwajibkan untuk berkumpul ke sana secara pointwise. Lihat https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)
Seri ini juga bisa ditulis sebagai:
(2),
dimana, amplitudo kompleks ke-k.
Hubungan antara koefisien (1) dan (3) dinyatakan dengan rumus berikut:
Perhatikan bahwa ketiga representasi deret Fourier ini sepenuhnya setara. Kadang-kadang, ketika bekerja dengan deret Fourier, lebih mudah menggunakan eksponen argumen imajiner daripada sinus dan cosinus, yaitu, gunakan transformasi Fourier dalam bentuk kompleks. Tetapi akan lebih mudah bagi kita untuk menggunakan rumus (1), di mana deret Fourier disajikan sebagai jumlah gelombang kosinus dengan amplitudo dan fasa yang sesuai. Bagaimanapun, tidak benar untuk mengatakan bahwa hasil transformasi Fourier dari sinyal nyata adalah amplitudo kompleks harmonik. Seperti yang dikatakan wiki dengan benar, "Transformasi Fourier (?) Adalah operasi yang menetapkan satu fungsi ke variabel nyata ke fungsi lain, juga variabel nyata."
Total:
Dasar matematika untuk analisis spektral sinyal adalah Transformasi Fourier.
Transformasi Fourier memungkinkan Anda untuk merepresentasikan fungsi kontinu f (x) (sinyal) yang ditentukan pada segmen (0, T) sebagai penjumlahan fungsi trigonometri bilangan tak hingga (deret tak hingga) (sinusoid dan \\ atau gelombang kosinus) dengan amplitudo dan fase tertentu, juga dipertimbangkan pada segmen tersebut. (0, T). Deret seperti itu disebut deret Fourier.
Mari perhatikan beberapa poin lagi, yang pemahamannya diperlukan untuk penerapan yang benar dari transformasi Fourier ke analisis sinyal. Jika kita mempertimbangkan deret Fourier (jumlah sinusoid) pada seluruh sumbu X, maka kita dapat melihat bahwa di luar segmen (0, T) fungsi yang diwakili deret Fourier akan mengulangi fungsi kita secara berkala.
Misalnya, pada grafik pada Gambar 7, fungsi asli ditentukan pada interval (-T \\ 2, + T \\ 2), dan deret Fourier mewakili fungsi periodik yang ditentukan pada seluruh sumbu x.
Ini karena sinusoid sendiri adalah fungsi periodik, dan karenanya, jumlahnya akan menjadi fungsi periodik.
gambar. 7 Representasi dari fungsi asli non-periodik oleh deret Fourier
Lewat sini:
Fungsi asli kita adalah kontinu, non-periodik, ditentukan pada beberapa segmen dengan panjang T.
Spektrum fungsi ini bersifat diskrit, yaitu disajikan dalam bentuk rangkaian komponen harmonik tak hingga - deret Fourier.
Faktanya, deret Fourier mendefinisikan fungsi periodik tertentu yang bertepatan dengan fungsi periodik kita pada segmen (0, T), tetapi periodisitas ini tidak penting bagi kita.
Periode komponen harmonik adalah kelipatan dari segmen (0, T) di mana fungsi awal f (x) didefinisikan. Dengan kata lain, periode harmonik adalah kelipatan dari durasi pengukuran sinyal. Misalnya, periode harmonik pertama deret Fourier sama dengan interval T, di mana fungsi f (x) didefinisikan. Periode harmonik kedua dari deret Fourier sama dengan interval T / 2. Dan seterusnya (lihat gbr 8).
gambar. 8 Periode (frekuensi) komponen harmonik dari deret Fourier (di sini T \u003d 2?)
Dengan demikian, frekuensi komponen harmonik adalah kelipatan 1 / T. Artinya, frekuensi komponen harmonik Fk sama dengan Fk \u003d k \\ T, di mana k melewati nilai dari 0 ke ?, Misalnya, k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (pada frekuensi nol - komponen konstan).
Biarkan fungsi awal kita menjadi sinyal yang direkam untuk T \u003d 1 detik. Kemudian periode harmonik pertama akan sama dengan durasi sinyal kita T1 \u003d T \u003d 1 detik dan frekuensi harmonik tersebut adalah 1 Hz. Periode harmonik kedua akan sama dengan durasi sinyal dibagi 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 detik) dan frekuensinya 2 Hz. Untuk harmonik ketiga, T3 \u003d T / 3 detik dan frekuensinya 3 Hz. Dll
Jarak antar harmonisa dalam hal ini adalah 1 Hz.
Dengan demikian, sinyal 1 detik dapat diuraikan menjadi komponen harmonik (untuk mendapatkan spektrum) dengan resolusi frekuensi 1 Hz.
Untuk meningkatkan resolusi sebanyak 2 kali menjadi 0,5 Hz, durasi pengukuran perlu ditingkatkan sebanyak 2 kali - hingga 2 detik. Sebuah sinyal dengan durasi 10 detik dapat diuraikan menjadi komponen harmonik (untuk mendapatkan spektrum) dengan resolusi frekuensi 0,1 Hz. Tidak ada cara lain untuk meningkatkan resolusi frekuensi.
Ada cara untuk meningkatkan durasi sinyal secara artifisial dengan menambahkan nol ke larik sampel. Tetapi itu tidak meningkatkan resolusi frekuensi sebenarnya.
3. Sinyal diskrit dan transformasi Fourier diskrit
Dengan perkembangan teknologi digital, metode penyimpanan data pengukuran (sinyal) juga mengalami perubahan. Jika sebelumnya sinyal bisa direkam di tape recorder dan disimpan di tape dalam bentuk analog, sekarang sinyal tersebut digital dan disimpan dalam file di memori komputer sebagai sekumpulan angka (bacaan).Skema tipikal untuk mengukur dan mendigitalkan sinyal adalah sebagai berikut.
gambar 9 Diagram saluran pengukuran
Sinyal dari transduser pengukur diumpankan ke ADC untuk periode waktu T. Sampel sinyal (sampel) yang diperoleh selama waktu T ditransfer ke komputer dan disimpan dalam memori.
gbr. 10 Sinyal terdigitalkan - N sampel yang diperoleh selama T
Apa persyaratan untuk parameter digitalisasi sinyal? Perangkat yang mengubah sinyal input analog menjadi kode diskrit (sinyal digital) disebut konverter analog-ke-digital (ADC) (Wiki).
Salah satu parameter utama ADC adalah laju pengambilan sampel maksimum (atau laju pengambilan sampel, laju sampel bahasa Inggris) - laju pengambilan sampel dari sinyal kontinu dalam waktu selama pengambilan sampelnya. Diukur dalam hertz. ((Wiki))
Menurut teorema Kotelnikov, jika sinyal kontinu memiliki spektrum yang dibatasi oleh frekuensi Fmax, maka sinyal tersebut dapat direkonstruksi secara lengkap dan jelas dari sampel diskritnya yang diambil pada interval waktu. 
, yaitu dengan frekuensi Fd? 2 * Fmax, dengan Fd adalah tingkat sampling; Fmax adalah frekuensi maksimum dari spektrum sinyal. Dengan kata lain frekuensi sampling sinyal (ADC sampling frequency) harus minimal 2 kali lebih tinggi dari frekuensi maksimal sinyal yang ingin kita ukur.
Dan apa yang akan terjadi jika kita mengambil sampel dengan frekuensi yang lebih rendah daripada yang disyaratkan oleh teorema Kotelnikov?
Dalam hal ini, efek "aliasing" (alias efek stroboskopik, efek moiré) terjadi, di mana sinyal frekuensi tinggi setelah digitalisasi berubah menjadi sinyal frekuensi rendah yang sebenarnya tidak ada. Dalam gambar. 5 gelombang sinus merah frekuensi tinggi adalah sinyal nyata. Sinusoid biru dengan frekuensi yang lebih rendah adalah sinyal tiruan yang muncul karena fakta bahwa selama waktu pengambilan sampel ia berhasil melewati lebih dari setengah periode sinyal frekuensi tinggi.
Angka: 11. Munculnya sinyal palsu dengan frekuensi rendah pada tingkat pengambilan sampel yang tidak cukup tinggi
Untuk menghindari efek aliasing, filter anti-aliasing khusus dipasang di depan ADC - filter low-pass (filter low-pass), yang melewatkan frekuensi di bawah setengah frekuensi sampling ADC, dan memotong frekuensi yang lebih tinggi.
Untuk menghitung spektrum sinyal dari sampel diskritnya, digunakan transformasi Fourier diskrit (DFT). Perhatikan lagi bahwa spektrum sinyal diskrit "menurut definisi" dibatasi oleh frekuensi Fmax, kurang dari setengah frekuensi sampling Fd. Oleh karena itu, spektrum sinyal diskrit dapat diwakili oleh jumlah harmonisa yang terbatas, berbeda dengan jumlah tak terhingga untuk deret Fourier dari sinyal kontinu, yang spektrumnya tidak terbatas. Menurut teorema Kotelnikov, frekuensi maksimum harmonisa harus memiliki setidaknya dua pembacaan, sehingga jumlah harmonik sama dengan setengah jumlah sampel sinyal diskrit. Artinya, jika terdapat N sampel dalam sampel tersebut, maka jumlah harmonisa dalam spektrum tersebut akan sama dengan N / 2.
Pertimbangkan sekarang transformasi Fourier diskrit (DFT).
Membandingkan dengan seri Fourier
Kita melihat bahwa keduanya bertepatan, kecuali waktu di DFT diskrit dan jumlah harmonik dibatasi pada N / 2, yang merupakan setengah dari jumlah sampel.
Rumus DFT ditulis dalam variabel integer tak berdimensi k, s, dimana k adalah jumlah sampel sinyal, s adalah jumlah komponen spektral.
Nilai s menunjukkan jumlah osilasi harmonik total pada periode T (durasi pengukuran sinyal). Transformasi Fourier Diskrit digunakan untuk mencari amplitudo dan fase harmonisa secara numerik, mis. "di komputer"
Kembali ke hasil di awal. Seperti disebutkan di atas, saat memperluas fungsi non-periodik (sinyal kita) dalam deret Fourier, deret Fourier yang dihasilkan sebenarnya sesuai dengan fungsi periodik dengan periode T. (Gbr. 12).
gambar 12 Fungsi periodik f (x) dengan periode T0, dengan periode pengukuran T\u003e T0
Seperti dapat dilihat pada Gambar 12, fungsi f (x) bersifat periodik dengan periode T0. Namun, karena durasi pengukuran sampel T tidak sesuai dengan periode fungsi T0, fungsi yang diperoleh sebagai deret Fourier memiliki diskontinuitas di titik T. Alhasil, spektrum fungsi ini akan mengandung sejumlah besar harmonisa frekuensi tinggi. Jika durasi pengukuran sampel T bertepatan dengan periode fungsi T0, maka dalam spektrum yang diperoleh setelah transformasi Fourier, hanya harmonik pertama yang akan muncul (sinusoid dengan periode yang sama dengan durasi sampel), karena fungsi f (x) adalah sinusoid.
Dengan kata lain, program DFT "tidak tahu" bahwa sinyal kita adalah "bagian dari sinusoid", tetapi mencoba menampilkan fungsi periodik sebagai rangkaian, yang memiliki diskontinuitas karena inkonsistensi bagian-bagian sinusoid yang tidak konsisten.
Akibatnya, harmonisa muncul dalam spektrum, yang merangkum bentuk fungsi, termasuk diskontinuitas ini.
Jadi, untuk mendapatkan spektrum sinyal yang "benar", yang merupakan penjumlahan dari beberapa sinusoid dengan periode yang berbeda, diperlukan sejumlah periode bilangan bulat dari setiap sinusoid yang sesuai dengan periode pengukuran sinyal. Dalam praktiknya, kondisi ini dapat terpenuhi untuk durasi pengukuran sinyal yang cukup lama.
Gambar. 13 Contoh fungsi dan spektrum sinyal kesalahan kinematik dari gearbox
Dengan durasi yang lebih singkat, gambar akan terlihat "lebih buruk":
Gambar 14 Contoh spektrum dan fungsi sinyal getaran rotor
Dalam praktiknya, sulit untuk memahami di mana "komponen sebenarnya" dan di mana "artefak" yang disebabkan oleh fakta bahwa periode komponen dan durasi pengambilan sampel sinyal tidak berlipat ganda atau "lompatan dan putus" dari bentuk gelombang. Tentu saja, kata-kata "komponen nyata" dan "artefak" tidak sembarangan diambil dalam tanda kutip. Kehadiran banyak harmonisa pada grafik spektrum tidak berarti bahwa sinyal kita pada kenyataannya "terdiri" darinya. Ini seperti berpikir bahwa angka 7 "terdiri" dari angka 3 dan 4. Angka 7 dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari angka 3 dan 4 - itu benar.
Jadi sinyal kami ... atau lebih tepatnya bukan "sinyal kami", tetapi fungsi periodik yang disusun dengan mengulangi sinyal kami (sampel) dapat direpresentasikan sebagai jumlah harmonik (sinusoid) dengan amplitudo dan fase tertentu. Tetapi dalam banyak kasus penting untuk latihan (lihat gambar di atas), sangat mungkin untuk mengasosiasikan harmonisa yang diperoleh dalam spektrum dengan proses nyata yang memiliki sifat siklik dan memberikan kontribusi yang signifikan pada bentuk sinyal.
Beberapa hasil
1. Sinyal terukur nyata, durasi T detik, didigitalkan oleh ADC, yang diwakili oleh sekumpulan sampel diskrit (N buah), memiliki spektrum non-periodik diskrit yang diwakili oleh satu set harmonik (N / 2 buah).2. Sinyal diwakili oleh satu set nilai riil dan spektrumnya diwakili oleh satu set nilai riil. Frekuensi harmonik bertanda positif. Fakta bahwa ahli matematika merasa lebih nyaman untuk merepresentasikan spektrum dalam bentuk kompleks menggunakan frekuensi negatif tidak berarti bahwa "ini benar" dan "ini harus selalu dilakukan".
3. Sinyal yang diukur pada interval waktu T ditentukan hanya pada interval waktu T. Apa yang sebelumnya kita mulai mengukur sinyal, dan apa yang akan terjadi setelah itu - ini tidak diketahui oleh sains. Dan dalam kasus kami, itu tidak menarik. DFT dari sinyal terbatas waktu memberikan spektrum "sebenarnya", dalam arti bahwa, dalam kondisi tertentu, memungkinkan seseorang untuk menghitung amplitudo dan frekuensi komponennya.
Bahan bekas dan bahan bermanfaat lainnya.
