Permukaan tingkat medan disebut lokus titik di mana bidang mengambil nilai konstan. Menurut definisi ini, persamaan permukaan level memiliki bentuk: atau

Kurva indiferen - adalah sekumpulan titik pada bidang koordinat, yang masing-masing merupakan himpunan konsumen yang memberikan tingkat kepuasan yang sama kepada konsumen atas kebutuhannya. Kurva indiferen adalah representasi grafis dari sekumpulan indiferen

PERTANYAAN 36. Batasan dan kesinambungan suatu fungsi dari beberapa variabel. Batasan yang konsisten.

Definisi 1. Bilangan A disebut batas fungsi pada suatu titik (atau di dan) jika untuk bilangan positif kecil apa pun ada bilangan positif sedemikian rupa sehingga untuk semua titik yang berjarak dari titik pada jarak kurang dari, pertidaksamaan

Batas ditunjukkan

Definisi 2. Suatu fungsi disebut kontinu pada suatu titik jika batas fungsi tersebut ada pada titik ini dan

Titik di mana fungsi tidak memiliki properti kontinuitas disebut titik diskontinuitas.

Semua properti dan metode teori batas suatu fungsi dari satu variabel ditransfer ke fungsi beberapa variabel.

PERTANYAAN 37. Diferensiasi fungsi dan diferensial orde pertama, diferensial parsial, dan turunan parsial orde pertama.

PERTANYAAN 38. Gradien dan turunan arah.

PERTANYAAN 39. Derivatif dan diferensial tingkat tinggi. Aplikasi kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel dalam pemodelan proses kepabeanan.

Misalkan fungsi f "(x) dapat terdiferensiasi di beberapa titik x interval (a, b), yaitu memiliki turunan pada titik ini. Kemudian turunan ini disebut turunan kedua dan dilambangkan dengan f (2) (x), f" "( x) atau y (2), y "" (x). Demikian pula, kita dapat memperkenalkan konsep turunan kedua, ketiga, dll. Dengan induksi, kita dapat memperkenalkan konsep turunan ke-n:

y (n) \u003d (y (n-1)) ". (6)

Suatu fungsi yang memiliki turunan berhingga dari orde n pada beberapa himpunan disebut n kali terdiferensiasi pada himpunan ini. Metode untuk menemukan turunan dari orde yang lebih tinggi mengandaikan kemampuan untuk menemukan turunan dari orde pertama, sebagaimana dibuktikan dengan rumus (6).

Jika u (x), v (x) adalah dua fungsi yang dapat terdiferensiasi, maka rumus Leibniz valid untuk mencari turunan dari produknya

(u (x) v (x)) (n) \u003d u (n) v + nu (n-1) v "+ (n (n-1) / 2) u (n-2) v" "+. .. + uv (n) \u003d

Sk \u003d 0nCnku (n-k) v (k),

Cnk \u003d (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / k!, U (0) \u003d u, v (0) \u003d v.

Rumus Leibniz ini sangat efektif jika salah satu fungsi yang dikalikan memiliki jumlah turunan bukan nol yang terbatas dan mudah untuk menghitung turunan dari fungsi lain.

Contoh 9. Misalkan y \u003d ex (x2-1). Temukan y (10). Taruh u (x) \u003d ex,

v (x) \u003d (x2-1). Menurut rumus Leibniz

y (10) \u003d (ex) (25) (x2-1) +10 (ex) (9) (x2-1) "+ (10 9/2) (ex) (8) (x2-1)" ",

karena suku-suku berikut sama dengan nol. karena itu

y (10) \u003d ex (x2-1) + 10ex2x + (10 9/2) ex (2) \u003d ex (x2 + 20x + 89)

Pertimbangkan ekspresi untuk diferensial pertama

Misalkan fungsi di sisi kanan menjadi fungsi yang dapat dibedakan pada titik x tertentu. Untuk ini, cukup bahwa y \u003d f (x) dapat terdiferensiasi dua kali pada titik x tertentu, dan argumennya adalah variabel independen atau fungsi yang dapat terdiferensiasi dua kali.

Definisi 6 (diferensial orde kedua). Nilai d (dy) dari diferensial pertama (4) pada d x \u003d dx disebut diferensial kedua dari fungsi y \u003d f (x) dan dilambangkan dengan d2y.

Lewat sini,

d2y \u003d d (dy) | d x \u003d dx.

Dny diferensial dapat diperkenalkan dengan induksi.

PERTANYAAN 40. Ekstrema fungsi lokal dan kondisional dari beberapa variabel. Masalah ekstrim dalam pemodelan proses bea cukai.

Ekstrem lokal.

Biarkan fungsinya didefinisikan di ruang terbuka dan titik biarkan.

Definisi 1. Sebuah titik disebut titik minimum dari suatu fungsi jika ada lingkungan dari titik di mana pertidaksamaan tersebut berlaku:

Itu.

(mirip dengan poin maksimum)

Dalam bab-bab sebelumnya, kita hanya membahas aliran-aliran di mana distribusi semua kuantitas (kecepatan, tekanan, kepadatan, dll.) Dalam gas adalah kontinu. Namun, gerakan juga mungkin terjadi di mana diskontinuitas dalam distribusi kuantitas ini muncul.

Diskontinuitas pergerakan gas terjadi di sepanjang beberapa permukaan; ketika melewati permukaan seperti itu, kuantitas yang ditunjukkan mengalami lompatan. Permukaan ini disebut permukaan rekahan. Dalam kasus gerakan gas yang tidak stabil, permukaan diskontinuitas tidak tetap, secara umum, tidak bergerak; Perlu ditekankan di sini bahwa kecepatan permukaan diskontinuitas tidak ada hubungannya dengan kecepatan gas itu sendiri. Partikel gas selama gerakan mereka dapat melewati permukaan ini, melewatinya.

Kondisi batas tertentu harus dipenuhi pada permukaan rekahan.

Untuk merumuskan kondisi ini, pertimbangkan beberapa elemen permukaan diskontinuitas dan gunakan sistem koordinat yang terkait dengan elemen ini dengan sumbu yang diarahkan sepanjang normal ke sana.

Pertama, harus ada aliran materi yang kontinyu pada permukaan rekahan: jumlah gas yang masuk dari satu sisi harus sama dengan jumlah gas yang meninggalkan sisi lain permukaan. Aliran gas melalui elemen permukaan yang dipertimbangkan (per satuan luas) oleh karena itu kondisi harus dipenuhi dimana indeks 1 dan 2 mengacu pada dua sisi permukaan rekahan.

Perbedaan nilai kuantitas apapun di kedua sisi permukaan pecah akan dilambangkan di bawah ini dengan menggunakan tanda kurung siku; Begitu,

dan kondisi yang dihasilkan akan ditulis sebagai

Akhirnya, fluks impuls harus kontinu, yaitu gaya yang digunakan gas untuk bekerja satu sama lain di kedua sisi permukaan pecah harus sama. Fluks impuls melalui satuan luas adalah (lihat § 7)

Vektor normal diarahkan sepanjang sumbu. Oleh karena itu, kontinuitas komponen - A fluks pulsa mengarah pada kondisi tersebut.

dan kontinuitas komponen y- dan -diberikan

Persamaan (84.1-4) mewakili sistem lengkap kondisi batas pada permukaan diskontinuitas. Dari mereka, seseorang dapat segera menarik kesimpulan tentang kemungkinan adanya dua jenis permukaan pecah.

Dalam kasus pertama, tidak ada zat yang mengalir melalui permukaan diskontinuitas. Ini berarti Karena mereka berbeda dari nol, ini berarti harus ada

Kondisi (84.2) dan (84.4) dalam hal ini dipenuhi secara otomatis, dan kondisi (84.3) memberikan Jadi, pada permukaan diskontinuitas dalam hal ini, komponen normal kecepatan dan tekanan gas adalah kontinu:

Kecepatan dan kepadatan tangensial (serta besaran termodinamika lainnya selain tekanan) dapat mengalami lompatan yang berubah-ubah. Kami akan menyebut diskontinuitas tersebut sebagai tangensial.

Dalam kasus kedua, aliran materi, dan dengannya, adalah bukan nol. Kemudian dari (84.1) dan (84.4) kami memiliki:

yaitu, kecepatan tangensial kontinu pada permukaan pecah. Massa jenis, tekanan (dan oleh karena itu, besaran termodinamika lainnya) dan kecepatan normal mengalami lompatan, dan lompatan besaran ini terkait dengan hubungan (84.1-3). Dalam kondisi (84.2), berdasarkan (84.1), kita dapat membatalkan a, berdasarkan kontinuitas v, dan menulis v. Jadi, pada permukaan diskontinuitas dalam kasus yang dipertimbangkan, kondisi berikut harus dipenuhi:

Pecah jenis ini disebut gelombang kejut.

Jika sekarang kita kembali ke sistem koordinat stasioner, maka alih-alih menulis di mana pun perbedaan antara komponen kecepatan gas normal ke permukaan diskontinuitas dan kecepatan permukaan itu sendiri, diarahkan, menurut definisi, sepanjang normal ke sana:

Kecepatan dan dan diambil relatif terhadap kerangka acuan tetap. Kecepatan adalah kecepatan pergerakan gas relatif terhadap permukaan pecah; sebaliknya, kita dapat mengatakan bahwa ada kecepatan perambatan permukaan pecah itu sendiri relatif terhadap gas. Harap dicatat bahwa kecepatan ini berbeda dengan gas di kedua sisi permukaan (jika mengalami pecah).

Diskontinuitas tangensial, di mana komponen kecepatan tangensial mengalami lompatan, telah kami pertimbangkan di § 29. Telah ditunjukkan di sana bahwa diskontinuitas seperti itu tidak stabil dalam cairan yang tidak dapat dimampatkan dan harus dikaburkan ke daerah turbulen. Studi serupa untuk fluida terkompresi menunjukkan bahwa ketidakstabilan tersebut juga terjadi dalam kasus umum kecepatan arbitrer (lihat Soal 1).

Kasus khusus diskontinuitas tangensial adalah diskontinuitas di mana kecepatannya kontinu dan hanya massa jenis yang mengalami lompatan (dan dengan itu besaran termodinamika lain kecuali tekanan); jeda seperti itu disebut jeda kontak. Apa yang dikatakan di atas tentang ketidakstabilan tidak berlaku bagi mereka.

PELAJARAN TENTANG MATANALISIS

Fungsi beberapa variabel. Representasi geometris dari fungsi dua variabel. Garis dan permukaan datar. Batasan dan kesinambungan suatu fungsi dari beberapa variabel, propertinya. Turunan parsial, sifat dan makna geometrisnya.

Definisi 1.1. Variabel z (dengan ruang lingkup Z) dipanggil fungsi dua variabel independen x, y di set Mjika setiap pasangan ( x, y) dari set M z dari Z.

Definisi 1.2.Sekelompok Mdimana variabel ditetapkan x, y, dipanggil ruang lingkup fungsisementara diri kita sendiri x, y - dia argumen.

Legenda: z = f(x, y), z = z(x, y).

Contoh.

Komentar. Karena sepasang angka ( x, y) dapat dianggap sebagai koordinat dari beberapa titik di bidang, kita nanti akan menggunakan istilah "titik" untuk sepasang argumen dari fungsi dua variabel, serta untuk kumpulan angka yang dipesan
yang merupakan argumen fungsi dari beberapa variabel.

Definisi 1.3. . Variabel z (dengan ruang lingkup Z) dipanggil fungsi dari beberapa variabel independen
di set Mjika setiap rangkaian angka
dari orang banyak M menurut beberapa aturan atau hukum, satu nilai pasti diberikan z dari Z. Konsep dan domain argumen diperkenalkan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi dua variabel.

Legenda: z = f
,z = z
.

Representasi geometris dari fungsi dua variabel.

Pertimbangkan fungsinya

z = f(x, y) , (1.1)

ditentukan di beberapa area M di pesawat O hu... Kemudian himpunan titik-titik ruang tiga dimensi dengan koordinat ( x, y, z) , di mana, adalah grafik dari fungsi dua variabel. Karena persamaan (1.1) mendefinisikan permukaan tertentu dalam ruang tiga dimensi, itu akan menjadi citra geometris dari fungsi yang dipertimbangkan.

z \u003d f (x, y)

M y

Komentar... Untuk fungsi dari tiga variabel atau lebih, kita akan menggunakan istilah “permukaan dalam n-dimensional space ”, meskipun tidak mungkin untuk menggambarkan permukaan seperti itu.

Garis dan permukaan datar.

Untuk fungsi dua variabel yang diberikan oleh persamaan (1.1), kita dapat mempertimbangkan himpunan titik ( x, y) pesawat O huuntuk itu z mengambil nilai konstan yang sama, yaitu z \u003d const. Titik-titik ini disebut garis di pesawat garis level.

Contoh.

Temukan garis level untuk permukaan z = 4 – x² - y². Persamaan mereka adalah bentuk x² + y² \u003d 4 - c (c\u003d const) - persamaan lingkaran konsentris yang berpusat di titik asal dan dengan jari-jari
... Misalnya untuk dari\u003d 0 kita mendapatkan lingkaran x² + y² \u003d 4.

Untuk fungsi tiga variabel u = u (x, y, z) persamaan u (x, y, z) = c mendefinisikan permukaan dalam ruang tiga dimensi yang disebut permukaan yang rata.

Contoh.

Untuk fungsi u = 3x + 5y – 7z –12 permukaan tingkat akan menjadi keluarga bidang paralel yang diberikan oleh persamaan

3x + 5y – 7z –12 + dari = 0.

Batasan dan kesinambungan suatu fungsi dari beberapa variabel.

Mari perkenalkan konsepnya δ-lingkungan poin M 0 (x 0 , di 0 ) di pesawat O hu sebagai lingkaran dengan jari-jari δ berpusat pada titik tertentu. Demikian pula, seseorang dapat mendefinisikan lingkungan δ dalam ruang tiga dimensi sebagai bola dengan jari-jari δ berpusat pada titik M 0 (x 0 , di 0 , z 0 ) ... Untuk nruang -dimensi akan disebut lingkungan-δ dari titik tersebut M 0 set poin Mdengan koordinat
memuaskan kondisi

dimana
- koordinat titik M 0. Terkadang set ini disebut "bola" nruang -dimensi.

Definisi 1.4. Nomor A dipanggil membatasi fungsi dari beberapa variabel f
pada intinya M 0 jika

seperti itu | f(M) – SEBUAH| < ε для любой точки M dari δ-lingkungan M 0 .

Legenda:
.

Perlu diingat bahwa intinya M mungkin mendekat M 0, secara kondisional, di sepanjang lintasan apa pun di dalam lingkungan δ dari titik tersebut M 0. Oleh karena itu, batas suatu fungsi dari beberapa variabel dalam pengertian umum harus dibedakan dari yang disebut batas berulangdiperoleh melalui bagian yang berurutan ke batas untuk setiap argumen secara terpisah.

Contoh.

Komentar... Dapat dibuktikan bahwa keberadaan dan persamaan batas berulang mengikuti dari keberadaan batas pada titik tertentu dalam pengertian biasa dan keberadaan pada titik batas ini dengan argumen terpisah. Kebalikannya tidak benar.

Definisi 1.5.Fungsi f
dipanggil kontinu pada intinya M 0
, jika
(1.2)

Jika kita memperkenalkan notasi

Kemudian kondisi (1.2) bisa ditulis ulang ke dalam formulir

(1.3)

Definisi 1.6.Intinya M 0 domain fungsi z = f (M) dipanggil break point berfungsi jika kondisi (1.2), (1.3) tidak terpenuhi pada saat ini.

Komentar. Beberapa break point dapat terbentuk di pesawat atau di luar angkasa garisatau permukaan pecah.

Dalam geometri deskriptif, permukaan dianggap sebagai sekumpulan posisi yang berurutan dari garis bergerak atau permukaan lain dalam ruang. Garis yang bergerak di ruang angkasa dan membentuk permukaan disebut generatriks. Generator bisa lurus dan melengkung. Membangkitkan kurva bisa konstan dan variabel, misalnya, berubah secara teratur.

Satu permukaan yang sama dalam beberapa kasus dapat dianggap terbentuk oleh pergerakan generator yang berbeda. Misalnya, silinder sirkular dapat dibentuk: pertama, dengan memutar garis lurus di sekitar sumbu tetap yang sejajar dengan matriks generat; kedua, dengan gerakan lingkaran, yang pusatnya bergerak sepanjang garis lurus tegak lurus bidang lingkaran; ketiga, gerakan bujursangkar bola.

Saat menggambarkan permukaan dalam gambar, hanya beberapa dari banyak kemungkinan posisi dari matriks umum yang ditampilkan. Dalam gambar. 8.1 menunjukkan permukaan matriks generat AB. Selama pergerakannya, generator tetap sejajar arah M N dan secara bersamaan melintasi beberapa garis lengkung CDE. Demikian gerak generator AB dipandu di ruang angkasa dengan garis CDE.

Sebuah garis atau garis, perpotongan yang merupakan prasyarat untuk pergerakan matriks generat saat membentuk suatu permukaan, disebut pemandu atau pemandu.

Dalam gambar. 8.2 menunjukkan permukaan yang dibentuk oleh pergerakan garis lurus AB pada dua panduan - O1 lurus<⅞ (ABE Osaya HAI2) dan kurva ruang FGL, tidak memotong garis O1 0 2.

Kadang-kadang garis digunakan sebagai panduan di mana karakteristik titik tertentu dari generatrix bergerak, tetapi tidak terletak di atasnya, misalnya, pusat lingkaran.

Dari berbagai bentuk generator, pemandu, serta pola pembentukan permukaan tertentu, dipilih yang paling sederhana dan nyaman untuk menggambarkan permukaan pada gambar dan memecahkan masalah yang terkait dengannya.

Kadang-kadang, untuk mendefinisikan suatu permukaan, istilah "determinan permukaan" digunakan, yang berarti sekumpulan kondisi independen yang secara unik menentukan suatu permukaan. Di antara kondisi yang termasuk dalam determinan, perbedaan dibuat antara bagian geometri (titik, garis, permukaan) dan hukum (algoritma) pembentukan permukaan oleh bagian geometris dari determinan.

Pertimbangkan klasifikasi singkat permukaan lengkung dalam geometri deskriptif.

Menguasai permukaan yang dapat dikembangkan. Permukaan yang dapat dibentuk oleh garis lurus disebut permukaan yang diatur. Jika permukaan datar dapat dibuka sehingga semua titiknya akan sejajar dengan bidang tanpa ada kerusakan pada permukaan (robekan atau lipatan), maka disebut tidak dilipat. Permukaan yang dapat dikembangkan hanya mencakup permukaan yang diatur dimana generator bujursangkar yang berdekatan sejajar atau berpotongan satu sama lain, atau bersinggungan dengan beberapa kurva spasial. Semua permukaan bergaris dan semua permukaan tak beraturan lainnya adalah permukaan tak beraturan.

Permukaan yang dapat diganti - silindris, kerucut, dengan tulang rusuk kembali, atau batang tubuh. Untuk permukaan silinder, generatricesnya selalu paralel, pemandu satu garis lengkung. Gambar pada gambar permukaan silinder yang sebelumnya ditunjukkan di luar angkasa (lihat Gambar 8.1) ditunjukkan pada Gambar. 8.3. Kasus khusus - silinder bundar lurus, silinder bundar miring (lihat Gambar 9.17, lingkaran pemandu, bidangnya terletak pada sudut sumbu silinder dan berpusat pada porosnya). Untuk permukaan kerucut, semua generator bujursangkar memiliki titik tetap yang sama - simpul, pemandu - salah satu garis lengkung. Contoh gambar kerucut

permukaan dalam gambar - gbr. 8.4, proyeksi puncak G ", G", panduan C "D" E ", C" D "E". Kasus khusus - kerucut bundar lurus, kerucut bundar miring - lihat gbr. 10.10, di sebelah kanan. Untuk permukaan dengan tepi balik atau batang, generator bujursangkar bersinggungan dengan satu pemandu melengkung.

Permukaan yang tidak bisa dikembangkan: silindroid, konoid, paraboloid hiperbolik (bidang miring). Permukaan, yang disebut silinder, dibentuk dengan menggerakkan garis lurus, dalam semua posisinya menjaga paralelisme ke suatu bidang tertentu ("bidang paralelisme") dan memotong dua garis lengkung (dua pemandu). Sebuah permukaan yang disebut kerucut dibentuk dengan menggerakkan garis lurus, dalam semua posisinya tetap sejajar dengan bidang tertentu ("bidang paralelisme") dan memotong dua pemandu, salah satunya adalah kurva dan yang lainnya adalah garis lurus (Gbr. 8.5, lihat juga Gbr. 8.2). Bidang paralelisme pada Gambar. 8.5 adalah bidang π1;

panduan - kurva dengan proyeksi E "G" F ", E" G "F", garis lurus dengan proyeksi Oh ", 0", Oh ",0. Dalam kasus khusus, jika pemandu lengkung adalah garis heliks silinder dengan sumbu yang bertepatan dengan pemandu bujursangkar, permukaan yang terbentuk adalah kerucut heliks, seperti di bawah ini. Gambar paraboloid hiperbolik, yang disebut bidang miring, ditunjukkan pada Gambar. 8.6. Pembentukan permukaan ini dapat dianggap sebagai hasil dari pergerakan suatu generatriks lurus di sepanjang dua pemandu - melintasi garis lurus sejajar dengan bidang paralelisme tertentu. Dalam gambar. 8.6 bidang paralelisme - bidang proyeksi dan pemandu - garis lurus dengan proyeksi M "N", M "N" dan F "G", F "G".

Permukaan non-linier. Mereka dibagi lagi menjadi permukaan dengan generator konstan dan dengan generator variabel.

Permukaan dengan generatrix konstan, pada gilirannya, dibagi lagi menjadi permukaan revolusi dengan generatrix melengkung, misalnya, bola, torus, elipsoid revolusi, dll., Dan menjadi permukaan siklik, misalnya, permukaan pipa melengkung penampang konstan, pegas.

Permukaan dengan variabel generatrix dibagi lagi menjadi permukaan urutan kedua, siklik dengan variabel generatrix, wireframe. Gambar permukaan orde dua - ellipsoid ditunjukkan pada Gambar. 8.7. Generatrix dari ellipsoid adalah elips yang mengalami deformasi. Dua pemandu adalah dua elips berpotongan yang bidangnya ortogonal dan satu sumbu sama. Generator memotong pemandu di titik-titik ekstrim dari sumbunya.

Bidang elips pembangkit selama gerakan tetap sejajar dengan bidang yang dibentuk oleh dua sumbu berpotongan elips pemandu.

Permukaan siklik dengan variabel generatrix memiliki matriks generatrik - lingkaran dengan radius variabel, garis pedoman - kurva di mana pusat matriks generat bergerak, bidang generator tegak lurus dengan pedoman. Permukaan bingkai ditentukan bukan oleh matriks generik yang bergerak, tetapi oleh sejumlah garis di permukaan.

Biasanya garis-garis ini kurva datar,

yang bidangnya sejajar satu sama lain. Dua kelompok garis seperti itu saling berpotongan dan membentuk kerangka permukaan yang beraturan. Titik perpotongan garis membentuk titik wireframe permukaan. Bingkai gambar titik suatu permukaan juga dapat ditentukan oleh koordinat titik permukaan. Permukaan rangka banyak digunakan dalam desain lambung kapal, pesawat terbang, mobil, dan balon tabung sinar katoda.

Dari permukaan ini, pertimbangkan lebih detail heliks.

- ( ρ 1, T 1, v → 1 (\\ displaystyle \\ rho _ (1), T_ {1), (\\ vec (v)) _ (1))), dan di kanan - lainnya ( ρ 2, T 2, v → 2 (\\ displaystyle \\ rho _ (2), T_ {2), (\\ vec (v)) _ (2))). Dalam kasus gerakan media yang tidak stabil, permukaan diskontinuitas tidak tetap diam; kecepatannya mungkin tidak sesuai dengan kecepatan medium.

Diskontinuitas yang sewenang-wenang secara fisik tidak dapat ada untuk waktu yang terbatas - ini akan membutuhkan pelanggaran persamaan dinamika. Untuk alasan ini, jika dalam beberapa situasi suatu keadaan yang dijelaskan oleh diskontinuitas sewenang-wenang muncul, ia segera mulai hancur saat terjadi - lihat masalah Riemann tentang pembusukan diskontinuitas sewenang-wenang. Dalam hal ini, bergantung pada lingkungan tempat fenomena terjadi, dan bagaimana nilai variabel keadaan di sisi berlawanan dari diskontinuitas berhubungan satu sama lain, berbagai kombinasi diskontinuitas normal dan gelombang penghalusan dapat muncul.

Kondisi

Di bawah, tanda kurung siku menunjukkan perbedaan nilai pada sisi permukaan yang berbeda

Hubungan tertentu harus dipenuhi pada permukaan rekahan:

1. Harus ada aliran materi yang terus menerus pada permukaan rekahan. Aliran gas melalui elemen permukaan rekahan per satuan luas harus sama besarnya pada sisi yang berbeda dari permukaan rekahan, yaitu syarat harus dipenuhi [ρ u x] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) \\ kanan] \u003d 0) Arah sumbu x (\\ displaystyle x) dipilih normal ke permukaan fraktur.
2. Harus ada aliran energi yang terus menerus, yaitu syaratnya harus terpenuhi [ρ ux (u 2 2 + ε)] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) \\ kiri ({\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ kanan) \\ kanan ] \u003d 0)
3. Aliran impuls harus kontinu, gaya yang digunakan gas bekerja satu sama lain di kedua sisi permukaan pecah harus sama. Karena vektor normal diarahkan sepanjang sumbu x, kontinuitasnya x (\\ displaystyle x)-komponen fluks pulsa mengarah ke kondisi tersebut [p + ρ u x 2] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x u y] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ kanan] \u003d 0) dan [ρ u x u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) u_ (z) \\ kanan] \u003d 0)

Persamaan di atas mewakili sistem lengkap kondisi batas pada permukaan rekahan. Dari mereka dapat disimpulkan bahwa ada dua jenis permukaan pecah.

Jeda tangensial

Tidak ada zat yang mengalir melalui permukaan rekahan

(ρ 1 u 1 x \u003d ρ 2 u 2 x \u003d 0 ρ 1, ρ 2 ≠ 0 ⇒ u 1 x \u003d u 2 x \u003d 0 ⇒ p 1 \u003d p 2 (\\ displaystyle (\\ begin (kasus) \\ rho _ ( 1) u_ (1x) \u003d \\ rho _ (2) u_ (2x) \u003d 0 \\\\\\ rho _ (1), \\ rho _ (2) \\ neq 0 \\ end (case)) \\ Rightarrow \\ qquad u_ (1x ) \u003d u_ (2x) \u003d 0 \\ qquad \\ Panah Kanan p_ (1) \u003d p_ (2))

Jadi, dalam hal ini, komponen kecepatan normal dan tekanan gas kontinu pada permukaan rekahan. Kecepatan Tangensial u z (\\ displaystyle u_ {z)), u y (\\ displaystyle u_ {y)) dan kepadatan dapat mengalami lompatan yang sewenang-wenang. Istirahat seperti itu disebut tangensial.

Jeda kontak - kasus khusus diskontinuitas tangensial. Kecepatannya terus menerus. Massa jenis mengalami lompatan, dan dengan itu jumlah termodinamika lainnya, kecuali tekanan.

Gelombang kejut

Dalam kasus kedua, aliran materi, dan dengan itu jumlahnya, tidak nol. Kemudian dari ketentuan:

[ρ u x] \u003d 0; [ρ u x u y] \u003d 0; [ρ uxuz] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) \\ kanan] \u003d 0; \\ qquad \\ kiri [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ kanan] \u003d 0; \\ qquad \\ kiri [ \\ rho u_ (x) u_ (z) \\ kanan] \u003d 0) [u y] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0 \\ quad) dan [u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ quad \\ left \u003d 0)

kecepatan tangensial kontinu di permukaan rekahan. Massa jenis, tekanan, dan dengan mereka kuantitas termodinamika lainnya mengalami lompatan, dan lompatan kuantitas ini terkait dengan hubungan - kondisi pecahnya.

[ρ u x (u 2 2 + ε)]; (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) \\ kiri ({\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ kanan) \\ kanan];) [u y] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ left \u003d 0;) [u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x] \u003d 0; [u x 2 2 + ε] \u003d 0; [p + ρ ux 2] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u_ (x) \\ kanan] \u003d 0; \\ qquad \\ kiri [{\\ frac (u_ (x) ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ kanan] \u003d 0; \\ qquad \\ kiri \u003d 0)

Pecah jenis ini disebut gelombang kejut.

Kecepatan perambatan putus

Untuk menurunkan hubungan pada diskontinuitas bergerak, seseorang dapat menggunakan persamaan

(∮ ∂ Ω \u2061 (ρ dx - ρ udt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (ρ udx - (p + ρ u 2) dt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (E dx - (p + E) dt) \u003d 0 (\\ displaystyle (\\ begin (kasus) (\\ begin (array) (lll) \\ oint \\ limit _ (\\ parsial \\ Omega) (\\ rho \\; d \\, x- \\ rho u \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ oint \\ batas _ (\\ parsial \\ Omega) (\\ rho u \\; d \\, x- (p + \\ rho u ^ (2)) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ oint \\ batas _ (\\ parsial \\ Omega) (E \\; d \\, x- (p + E) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ end (array)) \\ end (kasus))), ∮ ∂ Ω \u2061 (q d x - f d t) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ oint \\ batas _ (\\ parsial \\ Omega) (qdx-fdt) \u003d 0)

Diskontinuitas gasdamik dalam kasus goyah satu dimensi secara geometris merupakan kurva pada bidang. Mari kita membangun volume kontrol di dekat ruptur sehingga kedua sisi kontur yang melingkupi volume ini sejajar dengan ruptur di kedua sisi ruptur, dan dua sisi lainnya tegak lurus terhadap ruptur. Menuliskan sistem untuk volume kontrol tertentu, kemudian mengontrak sisi-sisinya menjadi nol dan mengabaikan nilai integral pada sisi-sisi ini, kami memperoleh, dengan mempertimbangkan arah melintasi kontur dan tanda-tanda kenaikan koordinat dan di sepanjang sisi yang berdekatan dengan diskontinuitas:

∫ 1 - 2 (qdx - fdt) - ∫ 3 - 4 (qdx - fdt) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ int \\ batas _ (1-2) (qdx-fdt) - \\ int \\ batas _ (3-4) (qdx-fdt) \u003d 0) ∫ 1 - 2 (qdxdt - f) - ∫ 3 - 4 (qdxdt - f) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ int \\ limit _ (1-2) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) - \\ int \\ batas _ (3-4) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) \u003d 0)

Kuantitas D \u003d d x d t (\\ displaystyle D \u003d {\\ frac (dx) (dt))) - tingkat penyebaran celah

Break Ratio

Melewati pendekatan integral dengan metode persegi panjang dan menggunakan notasi untuk lompatan kuantitas pada diskontinuitas, kita memperoleh sistem hubungan:

[ρ] D - [ρ u] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho \\ kanan] D- \\ kiri [\\ rho u \\ kanan] \u003d 0;) [ρ u] D - [p + ρ u 2] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ kiri [\\ rho u \\ kanan] D- \\ kiri \u003d 0;) [E] D - [u (E + p)] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ leftD- \\ left \u003d 0;)

Contoh dari

Batas antara dua benda yang bertabrakan pada saat tumbukan, selanjutnya, karena ketidakstabilan, diskontinuitas sewenang-wenang terbagi menjadi dua diskontinuitas normal yang bergerak ke arah yang berlawanan.