Selama ini kita telah mempelajari fungsi dari satu variabel, yaitu studi tentang variabel yang nilainya bergantung pada nilai-nilai dari satu variabel independen.
Dalam praktiknya, sering kali perlu berurusan dengan kuantitas yang nilai numeriknya bergantung pada nilai beberapa kuantitas yang bervariasi secara independen satu sama lain. Studi tentang besaran-besaran tersebut mengarah pada konsep fungsi dari beberapa variabel. Berikut ini beberapa contohnya.
Contoh 1. Luas persegi panjang adalah fungsi dari dua variabel yang berubah secara independen - sisi persegi panjang dan :.
Contoh 2. Kerja arus listrik pada penampang rangkaian bergantung pada beda potensial pada ujung penampang, kekuatan arus dan waktu :.
Contoh 3. Suhu yang diukur pada berbagai titik suatu benda adalah fungsi dari koordinat titik pengukurannya, dan dari saat dalam waktu:
Definisi 1. Ayo telepon n -titik pengukuran satu set angka yang dipesan. Nomor-nomor itu dipanggil koordinat titik -dimensi. Himpunan dari semua titik dimensi yang mungkin dipanggil ruang n-dimensi dan kami akan menunjukkannya. Intinya disebut asal dalam ruang dimensi, dan angka - dimensi ruang.
Kasus khusus:
1. - garis bilangan;
2. - pesawat;
3. - ruang tiga dimensi.
Definisi 2. Misalkan ada kuantitas variabel, dan setiap kumpulan nilainya dari kumpulan tertentu sesuai dengan satu nilai variabel yang didefinisikan dengan baik. Kemudian mereka mengatakan bahwa itu diberikan fungsi dari beberapa variabel
Variabel disebut variabel independen atau argumen , – variabel tak bebas , simbol - hukum kesesuaian .
Selain fungsi dari satu variabel, fungsi dari beberapa variabel dapat diatur jelas - dan secara implisit – .
Setiap fungsi eksplisit dari beberapa variabel dapat direpresentasikan sebagai fungsi titik dalam ruang dimensi :, di mana titik didefinisikan oleh sekumpulan koordinatnya.
Jika satu nilai sesuai dengan setiap titik dari domain definisi, maka fungsi tersebut dipanggil jelas , jika tidak - ambigu .
Set tersebut disebut ruang lingkup fungsi , itu adalah bagian dari ruang -dimensi. Seperti celah, suatu area bisa tutup atau tentang buka tergantung apakah itu berisi perbatasannya atau tidak.
Domain alami definisi function (1) adalah himpunan titik yang koordinatnya secara unik memberikan nilai fungsi yang nyata dan terbatas. Berikut ini, jika pembatasan tambahan pada perubahan variabel independen tidak dipaksakan oleh pernyataan masalah, yang dimaksud dengan domain definisi fungsi adalah domain definisi alaminya.
Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci dua kasus khusus, yang paling sederhana dan memungkinkan interpretasi geometris.
1. Fungsi dua variabel ( n = 2)
Fungsi dari dua variabel akan dilambangkan dengan. Nilai tertentu dari fungsi pada, atau pada suatu titik, ditulis dalam bentuk ,, atau.
Domain suatu fungsi adalah bagian dari titik-titik bidang koordinat. Secara khusus, domain suatu fungsi dapat berupa seluruh bidang atau sebagian bidang yang dibatasi oleh garis. Garis yang membatasi area ini akan dipanggil berbatasan daerah. Titik bidang yang tidak terletak di perbatasan akan dipanggil intern .
Contoh 4. Fungsi tersebut didefinisikan di seluruh bidang.
Contoh 5. Fungsi tersebut didefinisikan di seluruh bidang, kecuali untuk garis lurus.
Contoh 6. Domain dari fungsi tersebut adalah himpunan titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi relasi, yaitu. lingkaran dengan jari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Domain dari fungsi ini ditutup.
Mari kita lihat lebih dekat contoh selanjutnya.
Contoh 7. Temukan domain dari fungsi tersebut.
Keputusan.
Logaritma hanya ditentukan jika argumennya positif, jadi ada satu syarat untuk argumen :.
Untuk menggambarkan area secara geometris, pertama-tama kita temukan batasnya :. Persamaan yang dihasilkan mendefinisikan parabola yang puncaknya terletak pada suatu titik, dan sumbu diarahkan ke sisi positif sumbu.
|
Akibatnya, wilayah yang dibutuhkan terdiri dari titik-titik interior parabola. Parabola itu sendiri tidak termasuk dalam kawasan, artinya kawasan tersebut terbuka.
Definisi 3: Lingkungantitik adalah lingkaran terbuka yang berisi titik.
Secara khusus, lingkaran terbuka dengan pusat pada suatu titik dan radius disebut -negara tetangga.
Jelas, sebuah lingkaran pada sebuah bidang adalah analogi dua dimensi dari sebuah interval pada garis lurus.
Saat mempelajari fungsi beberapa variabel, sebagian besar digunakan alat matematika yang telah dikembangkan untuk fungsi satu variabel. Yaitu: fungsi apa pun dapat dikaitkan dengan sepasang fungsi dari variabel yang sama: untuk nilai tetap, fungsi dan untuk nilai tetap, fungsi.
Perlu diingat bahwa meskipun fungsi memiliki "asal" yang sama, bentuknya dapat berbeda secara signifikan.
Contoh 9. Mari pertimbangkan sebuah fungsi. Saat fungsinya eksponensial, dan saat fungsinya eksponensial.
Representasi geometris dari fungsi dua variabel.
Seperti yang Anda ketahui, fungsi dari satu variabel dapat digambarkan oleh beberapa kurva pada bidang jika kita menganggap nilai argumennya sebagai absis, dan nilai fungsinya sebagai ordinat dari titik-titik kurva.
Demikian pula, fungsi dari dua variabel dapat direpresentasikan secara grafis.
Pertimbangkan fungsi yang ditentukan di wilayah di bidang dan sistem koordinat Kartesius persegi panjang. Untuk setiap titik dari himpunan kita masukkan ke dalam korespondensi satu titik di ruang, penerapannya sama dengan nilai fungsi pada titik :. Kumpulan dari semua titik tersebut mewakili permukaan tertentu, yang wajar untuk digunakan sebagai representasi grafis dari suatu fungsi.
Definisi 4: Grafik dari fungsi dua variabel disebut himpunan titik dalam ruang tiga dimensi, yang aplikasinya dikaitkan dengan absis dan ordinat oleh hubungan fungsional.
|
2. Fungsi tiga variabel (n \u003d 3)
Fungsi dari tiga variabel akan dilambangkan, dalam hal ini, kita akan mengasumsikan bahwa, dan merupakan variabel independen (atau argumen), dan merupakan variabel dependen (atau fungsi).
Ruang lingkup fungsi seperti itu disebut himpunan dari semua tiga kali lipat angka. Jika fungsinya diatur secara analitis, di bawah domain definisi alaminya menyiratkan kumpulan semua tiga kali lipat angka yang fungsinya mengambil nilai nyata.
Definisi 6: lingkunganpoin adalah setiap bidang terbuka yang berisi titik.
Secara khusus, bola terbuka dengan pusat pada suatu titik dan radius disebut lingkungan.
Menggambarkan tiga kali lipat angka sebagai titik dalam ruang, kita dapat menganggap fungsi tiga variabel sebagai fungsi titik dalam ruang, dan domain dari fungsi tiga variabel sebagai sekumpulan titik dalam ruang.
Fungsi banyak variabel
§satu. Konsep fungsi banyak variabel.
Biarkanlah terjadi begitu n variabel. Setiap set 
menunjukkan suatu titik n-
set dimensi 
(p.vektor -dimensi).
Diberikan set 
dan 
.
Def... Jika setiap poin 
cocok dengan bentuk tunggal 
, lalu mereka mengatakan bahwa fungsi numerik telah diberikan n variabel:
.
disebut domain, 
- himpunan nilai fungsi ini.
Kapan n\u003d 2 sebagai ganti 
biasanya menulis x,
y,
z... Maka fungsi dari dua variabel tersebut berbentuk:
z= f(x, y).
Sebagai contoh, 
- fungsi dari dua variabel;
- fungsi tiga variabel;
Fungsi linear n variabel.
Def... Grafik fungsi n variabel yang disebut n-
permukaan hiper dimensional dalam ruang 
, setiap titik ditentukan oleh koordinat
Misalnya, grafik fungsi dua variabel z=
f(x,
y)
adalah permukaan dalam ruang tiga dimensi, yang setiap titiknya ditentukan oleh koordinat ( x,
y,
z)
dimana 
dan 
.
Karena tidak mungkin untuk menggambarkan grafik fungsi dari tiga variabel atau lebih, kami terutama (untuk kejelasan) akan mempertimbangkan fungsi dari dua variabel.
Merencanakan fungsi dua variabel adalah tugas yang agak sulit. Pembangunan yang disebut garis level dapat memberikan bantuan yang signifikan dalam menyelesaikannya.
Def... Fungsi garis level dari dua variabel z= f(x, y) adalah himpunan poin pesawat BAGAIMANA, yang merupakan proyeksi dari bagian grafik fungsi dengan bidang yang sejajar BAGAIMANA. Pada setiap titik pada garis level, fungsinya memiliki arti yang sama. Garis level dijelaskan oleh persamaan f(x, y) \u003d dengandimana dari - beberapa nomor. Ada banyak garis level yang tak terhingga, dan salah satunya dapat ditarik melalui setiap titik dari area definisi.
Def... Fungsi tingkat permukaan n variabel y=
f
(
) disebut hypersurface di ruang angkasa 
, di setiap titik di mana nilai fungsinya konstan dan sama dengan beberapa nilai dari... Persamaan permukaan level: f
(
)\u003d s.
Contoh... Plot fungsi dari dua variabel
.
.
Dengan c \u003d 1: 
;
.
Dengan c \u003d 4: 
;
.
Dengan c \u003d 9: 
;
.
Garis tingkat adalah lingkaran konsentris, yang jari-jarinya menurun seiring dengan peningkatan z.
§2. Batasan dan kesinambungan suatu fungsi dari beberapa variabel.
Untuk fungsi dari banyak variabel, konsep yang sama didefinisikan sebagai fungsi dari satu variabel. Misalnya, Anda dapat menentukan batas dan kontinuitas suatu fungsi.
Def... Angka A disebut sebagai limit dari fungsi dua variabel z=
f(x,
y)
di 
,
dan dilambangkan 
jika ada bilangan positif 
ada bilangan positif 
, sehingga jika titik 
dihapus dari titik 
jarak kurang 
, lalu jumlahnya f(x,
y)
dan A berbeda kurang dari 
.
Def... Jika fungsinya z=
f(x,
y)
didefinisikan di titik 
dan pada titik ini memiliki batas yang sama dengan nilai fungsinya 
, kemudian disebut kontinu pada saat ini.
.
§3. Turunan parsial dari fungsi beberapa variabel.
Pertimbangkan fungsi dari dua variabel 
.
Mari kita perbaiki nilai salah satu argumennya, misalnya 
menempatkan 
... Kemudian fungsinya 
adalah fungsi dari satu variabel 
... Biarkan itu memiliki turunan pada intinya 
:
.
Turunan ini disebut turunan parsial (atau turunan parsial dari urutan pertama) dari fungsinya 
oleh 
pada intinya 
dan ditandai dengan: 
;
;
;
.
Perbedaannya disebut dengan kenaikan parsial 
dan dilambangkan 
:
Mempertimbangkan sebutan di atas, kita bisa menulis
.
Demikian pula,
.
Turunan parsial fungsi dari beberapa variabel di salah satu variabel ini disebut batas rasio kenaikan parsial fungsi dengan kenaikan variabel independen yang sesuai jika kenaikan ini cenderung nol.
Saat menemukan turunan parsial sehubungan dengan argumen apa pun, argumen lain dianggap konstan. Semua aturan dan rumus untuk membedakan fungsi dari satu variabel berlaku untuk turunan parsial dari fungsi beberapa variabel.
Perhatikan bahwa turunan parsial dari suatu fungsi adalah fungsi dari variabel yang sama. Fungsi-fungsi ini, pada gilirannya, dapat memiliki turunan parsial, yang disebut turunan parsial kedua (atau turunan parsial orde dua) dari fungsi aslinya.
Misalnya fungsinya 
memiliki empat turunan parsial orde dua, yang dilambangkan sebagai berikut:
;
;
;
.
dan 
- turunan parsial campuran.
Contoh.Temukan turunan parsial dari urutan kedua untuk fungsi tersebut
.
Keputusan.
,
.
,
.
, 
.
Tugas.
1. Temukan turunan parsial dari urutan kedua untuk fungsi tersebut
,
;
2. Untuk fungsi 
buktikan itu 
.
Diferensial penuh fungsi dari beberapa variabel.
Saat mengubah nilai xdan di fungsi 
akan berubah dengan jumlah yang disebut peningkatan fungsi total z
pada intinya 
... Sama seperti dalam kasus fungsi dari satu variabel, masalah muncul dari perkiraan penggantian kenaikan 
ke fungsi linier 
dan 
... Peran pendekatan linier dilakukan oleh diferensial penuh fungsi:
Diferensial penuh dari orde kedua:
=
.
=
.
Secara umum, diferensial total p.urutan ke-4 berbentuk:
Turunan terarah. Gradien.
Biarkan fungsinya z=
f(x,
y)
didefinisikan di beberapa lingkungan titik M ( x,
y) dan 
- beberapa arah yang diberikan oleh vektor satuan 
... Koordinat vektor satuan dinyatakan dalam cosinus sudut yang dibentuk oleh vektor dan sumbu koordinat, yang disebut cosinus arah:
,
.
Saat memindahkan titik M ( x,
y) ke arah ini l
persis 
fungsi z akan menerima kenaikan
disebut menaikkan fungsi ke arah tertentu l.
Jika MM 1 \u003d ∆ lkemudian
T
TENTANG
fungsi z=
f(x,
y)
menuju
adalah batas rasio kenaikan fungsi ke arah ini dengan nilai perpindahan ∆ l
ketika yang terakhir cenderung nol:
Turunan arah mencirikan laju perubahan suatu fungsi dalam arah tertentu. Jelas, turunan parsial 
dan 
adalah turunan dalam arah sejajar dengan sumbu Lembu
dan Oy... Sangat mudah untuk menunjukkannya
Contoh... Hitung turunan suatu fungsi 
pada titik (1; 1) ke arah 
.
Def. Gradien fungsi z= f(x, y) vektor dengan koordinat yang sama dengan turunan parsial disebut:
.
Pertimbangkan produk skalar vektor 
dan 
:
Sangat mudah untuk melihatnya 
, yaitu turunan arah sama dengan produk titik dari gradien dan vektor arah satuan 
.
Karena 
, maka perkalian titik menjadi maksimal jika vektor berada dalam arah yang sama. Jadi, gradien fungsi pada suatu titik menentukan arah peningkatan tercepat fungsi pada titik ini, dan modulus gradien sama dengan laju pertumbuhan maksimum fungsi tersebut.
Mengetahui gradien fungsi, Anda dapat membuat garis tingkat fungsi secara lokal.
Dalil... Biarkan fungsi yang dapat dibedakan diberikan z=
f(x,
y)
dan pada intinya 
gradien fungsinya bukan nol: 
... Kemudian gradien tegak lurus dengan garis level yang melewati titik ini.
Jadi, jika, mulai dari titik tertentu, gradien fungsi dan sebagian kecil garis level yang tegak lurus diplot pada titik-titik dekat, maka dimungkinkan (dengan beberapa kesalahan) untuk memplot garis level.
Ekstrem lokal dari fungsi dua variabel
Biarkan fungsinya 
didefinisikan dan berkelanjutan di beberapa lingkungan titik 
.
Def... Dot 
disebut titik fungsi maksimum lokal 
jika ada lingkungan seperti itu intinya 
, di mana untuk titik mana pun 
ketidaksetaraan memegang:
.
Konsep minimum lokal juga diperkenalkan.
Teorema (kondisi yang diperlukan untuk ekstremitas lokal).
Agar fungsi dapat dibedakan 
memiliki ekstrem lokal pada intinya 
, semua turunan parsial orde pertama pada saat ini harus sama dengan nol:
Jadi, titik kemungkinan keberadaan ekstrem adalah titik-titik di mana fungsinya dapat terdiferensiasi, dan gradiennya adalah 0: 
... Seperti dalam kasus fungsi dari satu variabel, titik-titik seperti itu disebut stasioner.
(kuliah 1)
Fungsi dari 2 variabel.
Variabel z disebut fungsi dari 2 variabel f \u200b\u200b(x, y) jika untuk pasangan nilai (x, y) G nilai tertentu dari variabel z dikaitkan.
Def. Lingkungan titik p 0 disebut lingkaran dengan pusat pada titik p 0 dan jari-jari. = (x-x 0 ) 2 + (ooh 0 ) 2
dari bilangan kecil sewenang-wenang, Anda dapat menentukan bilangan ()\u003e 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua nilai x dan y yang jarak dari m. p ke p0 lebih kecil, pertidaksamaan berikut berlaku: f (x, y) A, mis. untuk semua titik p yang berada di sekitar titik p 0, dengan jari-jari, nilai fungsinya berbeda dari A kurang dari nilai absolutnya. Dan ini berarti ketika titik p mendekati titik p 0 bersama apa saja
Kelangsungan fungsi.
Misalkan fungsi z \u003d f (x, y) diberikan, p (x, y) adalah titik arus, p 0 (x 0, y 0) adalah titik yang dipertimbangkan.
Def.
3) Batasnya sama dengan nilai fungsi pada titik ini: \u003d f (x 0, y 0);
Batasan f (x, y) \u003d f (x 0 , y 0 );
hal 0
Turunan parsial.
Berikan argumen x selisih x; x + x, kita dapatkan titik p 1 (x + x, y), hitung selisih antara nilai fungsi pada titik p:
x z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + x, y) - f (x, y) adalah kenaikan parsial dari fungsi yang sesuai dengan kenaikan argumen x.
z \u003d Lim x z
z \u003d Lim f (x + x, y) - f (x, y)
X x0 X
Mendefinisikan fungsi dari beberapa variabel
Ketika mempertimbangkan banyak pertanyaan dari berbagai bidang pengetahuan, seseorang harus mempelajari hubungan antar variabel, ketika nilai numerik salah satunya ditentukan sepenuhnya oleh nilai beberapa variabel lainnya.
sebagai contohKetika mempelajari keadaan fisik suatu tubuh, seseorang harus mengamati perubahan sifat-sifatnya dari titik ke titik. Setiap titik tubuh ditentukan oleh tiga koordinat: x, y, z. Oleh karena itu, dengan mempelajari, katakanlah, distribusi massa jenis, kita menyimpulkan bahwa massa jenis suatu benda bergantung pada tiga variabel: x, y, z. Jika keadaan fisik benda juga berubah seiring waktu t, maka kerapatan yang sama akan bergantung pada nilai dari empat variabel: x, y, z, t.
Contoh lain: biaya produksi untuk pembuatan unit dari jenis produk tertentu dipelajari. Membiarkan:
x adalah biaya bahan,
y - pengeluaran untuk pembayaran gaji kepada karyawan,
z - biaya depresiasi.
Jelas bahwa biaya produksi bergantung pada nilai parameter bernama x, y, z.
Definisi 1.1 Jika setiap set nilai variabel "n"
dari beberapa himpunan D koleksi ini ada nilai uniknya sesuai dengan variabel z, lalu mereka mengatakan bahwa pada himpunan D fungsinya
variabel "n".
Himpunan D yang ditunjukkan dalam Definisi 1.1 disebut domain definisi atau domain keberadaan fungsi ini.
Jika fungsi dari dua variabel dipertimbangkan, maka kumpulan bilangan
dilambangkan, sebagai suatu aturan, (x, y) dan diinterpretasikan sebagai titik dari bidang koordinat Oxy, dan domain definisi fungsi z \u003d f (x, y) dari dua variabel direpresentasikan sebagai satu set titik pada bidang Oxy.
Jadi, misalnya, ruang lingkup fungsi
adalah himpunan titik bidang Oxy yang koordinatnya memenuhi relasi
yaitu, lingkaran dengan jari-jari r berpusat pada titik asal.
Untuk fungsi
domain definisi adalah poin-poin yang memenuhi syarat tersebut
yaitu, di luar lingkaran tertentu.
Fungsi dua variabel seringkali ditentukan secara implisit, yaitu sebagai persamaan
menghubungkan tiga variabel. Dalam hal ini, masing-masing nilai x, y, z dapat dianggap sebagai fungsi implisit dari dua lainnya.
Citra geometris (grafik) dari fungsi dua variabel z \u003d f (x, y) adalah himpunan titik P (x, y, z) dalam ruang tiga dimensi Oxyz, yang koordinatnya memenuhi persamaan z \u003d f (x, y).
Grafik fungsi argumen kontinu, sebagai suatu peraturan, adalah suatu permukaan dalam ruang Oxyz, yang diproyeksikan ke bidang koordinat Oxy ke dalam domain fungsi z \u003d f (x, y).
Jadi, misalnya, (Gbr. 1.1) grafik fungsi
adalah bagian atas bola, dan grafik fungsinya
Setengah bagian bawah bola.
Grafik fungsi linier z \u003d ax + by + с adalah bidang dalam ruang Oxyz, dan grafik fungsi z \u003d сonst adalah bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oxyz.
Perhatikan bahwa tidak mungkin untuk memvisualisasikan fungsi tiga variabel atau lebih dalam bentuk grafik dalam ruang tiga dimensi.
Berikut ini, kita terutama akan membatasi diri kita sendiri untuk mempertimbangkan fungsi dari dua atau tiga variabel, karena kasus jumlah variabel yang lebih besar (tetapi terbatas) dianggap dengan cara yang serupa.
Mendefinisikan fungsi dari beberapa variabel.
(kuliah 1)
Variabel u disebut f (x, y, z, .., t) jika untuk kumpulan nilai apa pun (x, y, z, .., t), ada nilai variabel u yang didefinisikan dengan baik.
Himpunan agregat dari nilai variabel disebut domain definisi fungsi.
G - set (x, y, z, .., t) - domain definisi.
Fungsi dari 2 variabel.
Variabel z disebut fungsi dari 2 variabel f \u200b\u200b(x, y) jika untuk pasangan nilai (x, y) Î G nilai tertentu dari variabel z dikaitkan.
Batasan fungsi dari 2 variabel.
Misalkan fungsi z \u003d f (x, y) diberikan, p (x, y) adalah titik arus, p 0 (x 0, y 0) adalah titik yang dipertimbangkan.
Def. Lingkungan titik p 0 disebut lingkaran dengan pusat pada titik p 0 dan jari-jari r. r= Ö (x-x 0 ) 2 + (ooh 0 ) 2 Ø
Bilangan A disebut limit dari fungsi | pada titik p 0 jika ada
dari bilangan kecil sembarang e, seseorang dapat menentukan bilangan r (e)\u003e 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua nilai x dan y yang jarak dari m. p ke p0 kurang dari r, pertidaksamaan berikut berlaku: ½f (x, y) - A10, dengan jari-jari r , nilai fungsi berbeda dari A dengan nilai absolut kurang dari e. Dan ini berarti ketika titik p mendekati titik p 0 bersama apa saja path, nilai fungsinya mendekati angka A.
Kelangsungan fungsi.
Misalkan fungsi z \u003d f (x, y) diberikan, p (x, y) adalah titik arus, p 0 (x 0, y 0) adalah titik yang dipertimbangkan.
Def. Fungsi z \u003d f (x, y) disebut kontinu dalam m. P \u200b\u200b0 jika 3 kondisi terpenuhi:
1) fungsi didefinisikan pada saat ini. f (p 0) \u003d f (x, y);
2) ph-i memiliki batas pada saat ini.
3) Batasnya sama dengan nilai fungsi pada titik ini: b \u003d f (x 0, y 0);
Lim f (x, y)= f (x 0 , y 0 ) ;
pà p 0
Jika setidaknya salah satu kondisi kontinuitas dilanggar, maka titik p disebut titik diskontinuitas. Untuk fungsi dari 2 variabel, break point terpisah dan seluruh break line mungkin ada.
Konsep batasan dan kontinuitas untuk fungsi dari sejumlah besar variabel didefinisikan dengan cara yang sama.
Fungsi tiga variabel tidak dapat direpresentasikan secara grafis, berbeda dengan fungsi dua variabel.
Untuk fungsi 3-variabel, titik putus, garis, dan permukaan putus bisa ada.
Turunan parsial.
Pertimbangkan fungsi z \u003d f (x, y), p (x, y) adalah titik yang dipertimbangkan.
Mari beri argumen x selisih Dx; x + Dx, kita mendapatkan titik p 1 (x + Dx, y), hitung selisih antara nilai-nilai fungsi pada titik p:
D x z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + Dx, y) - f (x, y) adalah kenaikan parsial dari fungsi yang sesuai dengan kenaikan argumen x.
Def. Turunan parsial dari fungsi z \u003d f (x, y) terhadap variabel x adalah batas rasio kenaikan parsial fungsi ini terhadap variabel x terhadap kenaikan ini ketika yang terakhir cenderung nol.
¶ z \u003d Lim D x z
à ¶ z \u003d Lim f (x + D x, y) - f (x, y)
¶ x Dx® 0 Dx
Demikian pula, kami mendefinisikan turunan parsial sehubungan dengan variabel y.
Menemukan turunan parsial.
Saat menentukan turunan parsial, hanya satu variabel yang berubah setiap kali, variabel lainnya dianggap konstan. Akibatnya, setiap kali kita menganggap fungsi hanya satu variabel dan turunan parsial bertepatan dengan turunan biasa dari fungsi satu variabel ini. Oleh karena itu aturan untuk menemukan turunan parsial: turunan parsial sehubungan dengan variabel yang dipertimbangkan dicari sebagai turunan biasa dari fungsi variabel yang satu ini, variabel yang tersisa dianggap sebagai nilai konstan. Dalam kasus ini, semua rumus untuk menurunkan fungsi dari satu variabel (turunan dari jumlah, produk, hasil bagi) adalah valid.
Konsep fungsi dari beberapa variabel
Jika setiap titik X \u003d (x 1, x 2, ... x n) dari himpunan (X) titik dalam ruang berdimensi-n dikaitkan dengan satu nilai yang didefinisikan dengan baik dari variabel z, maka mereka mengatakan bahwa diberikan fungsi dari n variabel z \u003d f (x 1, x 2, ... x n) \u003d f (X).
Dalam hal ini, variabel x 1, x 2, ... x n dipanggil variabel independen atau argumen fungsi, z - variabel tak bebasdan simbol f berarti hukum kesesuaian... Set (X) dipanggil cakupan fungsi (ini adalah bagian dari ruang n-dimensi).
Misalnya, fungsi z \u003d 1 / (x 1 x 2) adalah fungsi dari dua variabel. Argumennya adalah variabel x 1 dan x 2, dan z adalah variabel dependen. Domain definisi adalah seluruh bidang koordinat, kecuali garis lurus x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d 0, yaitu tanpa sumbu absis dan ordinat. Mengganti ke dalam fungsi titik mana pun dari domain definisi, menurut hukum korespondensi, kami mendapatkan nomor tertentu. Misalnya, mengambil poin (2; 5), yaitu x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 5, kita dapatkan
z \u003d 1 / (2 * 5) \u003d 0.1 (yaitu z (2; 5) \u003d 0.1).
Fungsi bentuk z \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, di mana a 1, a 2, ..., dan n, b adalah bilangan konstan, disebut linier... Ini dapat dilihat sebagai jumlah dari n fungsi linier variabel x 1, x 2, ... x n. Semua fungsi lainnya dipanggil nonlinier.
Misalnya, fungsi z \u003d 1 / (x 1 x 2) nonlinier, dan fungsi z \u003d
\u003d x 1 + 7x 2 - 5 - linier.
Setiap fungsi z \u003d f (X) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) dapat dikaitkan dengan n fungsi dari satu variabel, jika kita memperbaiki nilai semua variabel kecuali satu.
Misalnya, fungsi dari tiga variabel z \u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) dapat dikaitkan dengan tiga fungsi dari satu variabel. Jika kita menetapkan x 2 \u003d a dan x 3 \u003d b, maka fungsinya akan berbentuk z \u003d 1 / (abx 1); jika kita menetapkan x 1 \u003d a dan x 3 \u003d b, maka akan berbentuk z \u003d 1 / (abx 2); jika kita menetapkan x 1 \u003d a dan x 2 \u003d b, maka akan berbentuk z \u003d 1 / (abx 3). Dalam hal ini, ketiga fungsi tersebut memiliki tampilan yang sama. Tidak selalu demikian. Misalnya, jika x 2 \u003d a ditetapkan untuk fungsi dua variabel, maka akan berbentuk z \u003d 5x 1 a, yaitu. fungsi daya, dan jika kita memperbaiki x 1 \u003d a, maka itu akan mengambil bentuk, yaitu Fungsi eksponensial.
Susunan acara fungsi dari dua variabel z \u003d f (x, y) adalah himpunan titik-titik ruang tiga dimensi (x, y, z), aplikasi z yang dikaitkan dengan absis x dan ordinat y oleh hubungan fungsional
z \u003d f (x, y). Grafik ini mewakili suatu permukaan dalam ruang tiga dimensi (misalnya, seperti pada Gambar 5.3).
Dapat dibuktikan bahwa jika suatu fungsi linier (yaitu z \u003d ax + by + c), maka grafiknya adalah bidang dalam ruang tiga dimensi. Dianjurkan untuk mempelajari sendiri contoh grafik tiga dimensi dengan menggunakan buku teks Kremer (hlm. 405-406).
Jika ada lebih dari dua variabel (n variabel), maka susunan acarafungsi adalah himpunan titik-titik ruang berdimensi (n + 1), dimana koordinat x n + 1 dihitung sesuai dengan hukum fungsional yang diberikan. Jadwal seperti itu disebut hypersurface (untuk fungsi linier - hyperplane), dan itu juga merupakan abstraksi ilmiah (tidak mungkin untuk menggambarkannya).
Gambar 5.3 - Grafik fungsi dua variabel dalam ruang tiga dimensi
Tingkat permukaan fungsi dari n variabel adalah himpunan titik dalam ruang berdimensi n sedemikian rupa sehingga pada semua titik ini nilai fungsinya sama dan sama dengan C.Bilangan C itu sendiri disebut tingkat.
Biasanya, banyak permukaan level yang tidak terbatas (sesuai dengan level yang berbeda) dapat diplot untuk fungsi yang sama.
Untuk fungsi dua variabel, permukaan level mengambil bentuk garis level.
Misalnya, pertimbangkan z \u003d 1 / (x 1 x 2). Ambil C \u003d 10, yaitu 1 / (x 1 x 2) \u003d 10. Kemudian x 2 \u003d 1 / (10 x 1), yaitu di pesawat, garis level akan mengambil bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 5.4 sebagai garis padat. Mengambil level lain, misalnya C \u003d 5, kita mendapatkan garis level dalam bentuk grafik dari fungsi x 2 \u003d 1 / (5x 1) (ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 5.4).
Gambar 5.4 - Garis level dari fungsi z \u003d 1 / (x 1 x 2)
Mari kita ambil contoh lain. Misalkan z \u003d 2x 1 + x 2. Ambil C \u003d 2, yaitu 2x 1 + x 2 \u003d 2. Kemudian x 2 \u003d 2 - 2x 1, yaitu pada bidang, garis level akan berbentuk garis lurus, seperti terlihat pada Gambar 5.5 sebagai garis padat. Mengambil level lain, misalnya C \u003d 4, kita mendapatkan garis level berupa garis lurus x 2 \u003d 4 - 2x 1 (ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 5.5). Garis tingkat untuk 2x 1 + x 2 \u003d 3 ditunjukkan pada Gambar 5.5 dengan garis putus-putus.
Mudah untuk memastikan bahwa untuk fungsi linier dari dua variabel, setiap garis level akan menjadi garis lurus pada bidang, dan semua garis level akan sejajar satu sama lain.
Gambar 5.5 - Garis level fungsi z \u003d 2x 1 + x 2
Unduh dari Depositfiles
Kuliah 1-4
FUNGSI BEBERAPA VARIABEL.
Kontrol pertanyaan.
Kenaikan parsial dan total dari fungsi beberapa variabel (FNP).
Batasan suatu fungsi dari beberapa variabel. Properti batas FNP.
Kontinuitas FNP. Properti fungsi berkelanjutan.
Turunan parsial dari urutan pertama.
Definisi : jika setiap kumpulan nilai variabel yang dianggap sesuai dengan nilai variabel tertentuw, maka kami akan meneleponw fungsi variabel independen:
(1)
Definisi
: ruang lingkupD
(
f
)
fungsi (1) adalah kumpulan dari kumpulan angka tersebut 
dimana fungsi (1) didefinisikan.
Wilayah D ( f ) bisa terbuka atau tertutup. Misalnya untuk suatu fungsi:
D (f ) akan menjadi semua titik di ruang tempat pertidaksamaan terjadi (bola tertutup), dan untuk fungsinya (bola terbuka).
Berikut ini, kami terutama akan mempertimbangkan fungsi dari dua variabel, karena Pertama, tidak ada perbedaan mendasar antara dua atau lebih variabel; peningkatan jumlah variabel hanya menyebabkan perhitungan yang rumit. Kedua, kasus dua variabel memungkinkan interpretasi geometris yang jelas.
Representasi geometris dari fungsi dua variabel 
adalah beberapa permukaan yang dapat ditentukan secara eksplisit atau implisit. Sebagai contoh:sebuah ) 
- tugas eksplisit (paraboloid rotasi), b) 
- tugas implisit (bidang).
Saat membuat grafik, fungsi sering digunakanmetode bagian .
Contoh ... Plot fungsinya. 
Mari gunakan metode bagian.
– di pesawat 
Apakah parabola.
– di pesawat 
-parabola.
– di pesawat 
- lingkaran.
Permukaan yang dicari adalah paraboloid revolusi.
Jarak
antara dua titik arbitrer 
dan 
(Euclidean) spasi 
memanggil nomor tersebut
Kumpulan poin disebutlingkaran terbuka
radius 
berpusat di titik 
, –
lingkaran
radius berpusat pada suatu titik.
Radius lingkaran terbuka 
berpusat pada suatu titik disebut -para tetangga
poin.
TENTANG 
tugas... Intinya disebuttitik batin
banyak orang 
jika -negara tetangga ada 
poin yang sepenuhnya milik himpunan (mis. 
).
Definisi ... Intinya disebuttitik batas himpunan jika salah satu -negara tetangga berisi titik-titik yang dimiliki himpunan dan bukan miliknya.
Titik batas suatu himpunan mungkin atau mungkin bukan milik himpunan ini.
Definisi ... Set tersebut disebutbuka jika semua poinnya internal.
Definisi ... Set tersebut disebuttutup
jika itu berisi semua titik batasnya. Himpunan semua titik batas suatu himpunan disebut himpunanberbatasan
(dan sering dilambangkan dengan 
). Perhatikan bahwa set 
ditutup dan dipanggilpenutupan set.
Contoh ... Jika kemudian. Di mana .
Peningkatan fungsi pribadi dan lengkap.
Jika satu variabel independen (mis.x ) bertambah x dan variabel lain tidak berubah, maka fungsinya bertambah:
yang disebut peningkatan parsial fungsi sehubungan dengan argumenx .
Jika semua variabel bertambah, maka fungsinya bertambah sepenuhnya:
Misalnya untuk fungsinya 
akan memiliki:
Batasan suatu fungsi dari beberapa variabel.
Definisi ... Kami akan mengatakan bahwa urutan poin 
bertemu
di 
ke titik 
jika di.
Dalam hal ini, intinya 
dipanggilmembatasi
urutan yang ditentukan dan tulis: 
di 
.
Sangat mudah untuk menunjukkan itu jika dan hanya jika secara bersamaan 
, 
(yaitu, konvergensi urutan titik dalam ruang sama dengankonvergensi yang terkoordinasi
).
Definisi. Nomor tersebut dipanggil membatasi
fungsi 
di 
jika untuk 
seperti yang 
, sesegera.
Dalam hal ini, tulis 
atau 
di 
.
Terlepas dari analogi konsep batas fungsi satu dan dua variabel yang tampaknya lengkap, ada perbedaan yang dalam di antara keduanya. Dalam kasus fungsi satu variabel, untuk keberadaan batas pada suatu titik, perlu dan cukup bahwa hanya dua angka yang sama - batas dalam dua arah: ke kanan dan ke kiri dari titik batas 
... Untuk fungsi dua variabel, aspirasi ke titik batas 
pada bidang dapat terjadi di sepanjang jumlah arah yang tak terhingga (dan tidak harus sepanjang garis lurus), dan oleh karena itu persyaratan untuk adanya limit untuk fungsi dua (atau beberapa) variabel adalah "lebih ketat" dibandingkan dengan fungsi dari satu variabel.
Contoh ... Mencari 
.
Biarkan mengejar titik akhir 
pergi dalam garis lurus 
... Kemudian 
.
Batasannya jelas tidak ada, karena jumlahnya 
tergantung pada 
.
Properti Batas FNP:
Jika ada dan 
, kemudian: Turunan parsial sehubungan dengan 
dan peruntukannya diperkenalkan.
Sangat mudah untuk melihat bahwa turunan parsial adalah turunan dari fungsi satu variabel ketika nilai variabel lain ditetapkan. Oleh karena itu, turunan parsial dihitung menurut aturan yang sama dengan penghitungan turunan fungsi satu variabel.
Contoh ... Temukan Turunan Parsial dari suatu Fungsi 
.
Kita punya: 
, 
.
V. PERHITUNGAN DIFERENSIAL
FUNGSI GANDA VARIABEL
Konsep fungsi dari beberapa variabel
Fungsi satu variabel independen telah dibahas sebelumnya. Namun dalam menyelesaikan masalah praktis tertentu, seorang peneliti pada umumnya dihadapkan pada fenomena yang bergantung pada beberapa variabel bebas sekaligus. Contoh paling sederhana dari ini termasuk kebutuhan untuk menghitung luas persegi panjang atau volume pipa paralel. Memang, luas persegi panjang ditentukan oleh dua besaran independen - panjang sisi persegi panjang dan:
Volume parallelepiped sudah ditentukan oleh tiga kuantitas independen - panjang tepinya``:
Contoh yang lebih kompleks juga bisa dikutip. Dengan kata lain, jumlah variabel independen bisa apa saja. Dalam kasus ini, mereka mengatakan bahwa nilai yang diinginkan adalah fungsi dari dua, tiga, atau lebih variabel.
Seringkali mereka mencoba mengeluarkan variabel minor dan hanya menyisakan satu variabel utama, yaitu, mereka mencoba mendapatkan fungsi dari satu variabel. Tetapi ini tidak selalu memungkinkan. Menyederhanakan ekspresi sering kali memberikan fungsi dua atau tiga variabel. Perlu dicatat segera bahwa studi fungsi banyak variabel memiliki metode yang serupa. Oleh karena itu, untuk kesederhanaan, kami akan mempelajari fungsi dari dua variabel dan, jika perlu, menggeneralisasi hasil yang diperoleh ke kasus arbitrer.
Dalam kasus satu variabel, fungsinya adalah operator yang menetapkan satu dan hanya satu elemen dari set ke setiap elemen dari set.
Bagaimana argumen dari fungsi dua variabel ditentukan? Karena kita memeriksa fungsi dari argumen nyata, nilai fungsi tersebut bergantung pada sepasang dua bilangan real. Dari sudut pandang teori himpunan, ini tidak lebih dari produk dari dua himpunan dan, yang mana variabel dan miliknya.
Definisi 5.1.1 . Misalkan, a, kemudian hasil perkaliannya memberikan himpunan baru, yang setiap elemennya berisi sepasang angka.
Dari Definisi 5.1.1 dapat disimpulkan bahwa dengan mengetahui himpunan nilai dan fungsi dari dua variabel, seseorang dapat menemukan domain definisinya. Jelas, ini semua kemungkinan kombinasi dan.
Hasil kali dari dua himpunan bilangan real membentuk himpunan dalam ruang. Representasi grafis dari karya ini adalah bidang atau bagian dari bidang ini.
Definisi 5.1.2 . Fungsi dua variabel adalah rasio yang menetapkan satu dan hanya satu angka untuk setiap pasangan angka.
Jika ada fungsi variabel, maka domainnya adalah ruang atau bagian darinya. Himpunan seperti itu tidak lagi dapat direpresentasikan secara grafis.
Fungsi dua variabel, serta fungsi satu variabel, dapat direpresentasikan menggunakan tabel, grafik, atau ekspresi analitik. Metode tabel adalah yang paling tidak nyaman, namun, ketika secara eksperimental menentukan nilai suatu fungsi, ini mungkin satu-satunya. Tugas grafis dan analitis dari fungsi tersebut lebih informatif. Selain itu, metode terakhir adalah yang paling nyaman, karena memungkinkan untuk melakukan studi lengkap tentang konsep ini.
Untuk representasi grafis dari fungsi dua variabel, sistem koordinat tiga dimensi digambar, misalnya, Cartesian persegi panjang. Area definisi fungsi ini ditampilkan di bidang. Pada setiap titik dari domain definisi, tegak lurus dipulihkan, yang memiliki panjang yang sama dengan nilai fungsi pada titik ini. Dengan menggabungkan semua poin yang diperoleh, kita mendapatkan beberapa permukaan (Gbr. 5.1.1). Jadi, secara grafis, fungsi dari dua variabel adalah permukaan. Untuk menampilkan fungsi dari sejumlah besar variabel, metode grafis tidak lagi dapat diterapkan.
Ketika fungsi dari dua variabel ditentukan secara analitis, rumus ditulis, dengan bantuan nilai fungsinya ditemukan dari nilai variabel independen yang diberikan. Peningkatan jumlah variabel dalam pengaturan analitis fungsi tidak menimbulkan masalah ( 
).
Saat mempelajari fungsi dari dua variabel atau lebih, konsep yang sama muncul untuk fungsi satu variabel: batas, kontinuitas, kenaikan, turunan.
Pertimbangkan dulu bagian-bagian permukaan menurut bidang dan (Gbr. 5.1.2).
Karena ini adalah konstanta di telepon, ia hanya berubah bergantung pada perubahannya. Jika kenaikan ditetapkan pada suatu titik, maka akan ada perpindahan ke titik tersebut 
... Perbedaan antara penerapan pada titik-titik ini akan sama dengan perubahan nilai fungsi, yang tidak akan bergantung pada variabel.
Jadi, memberikan selisih, kami mendapatkan selisih, yang disebut kenaikan parsial dan dilambangkan .
Kenaikan parsial ditentukan dengan cara yang sama oleh :.
Memberikan peningkatan secara bersamaan ke variabel dan, kami mendapatkan peningkatan penuh dari fungsi :. Perlu diingat bahwa 
.
Kami sekarang memperkenalkan konsep lingkungan suatu titik di pesawat.
Definisi 5.1.3
. -sebanggaan titik dengan jari-jari adalah himpunan semua titik yang memenuhi pertidaksamaan 
, atau, dengan kata lain, himpunan semua titik yang berada di dalam lingkaran dengan radius yang berpusat pada suatu titik (Gbr. 5.1.3).
Berdasarkan definisi -negara tetangga, kita dapat memperkenalkan konsep batas fungsi dua variabel. Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa area (Gbr. 5.1.3). Mari kita lihat satu poin di area ini. ke titik;
3) didefinisikan di semua poin, tetapi 
.
