MATRIKS DAN DETERMINER

Kuliah 1. Matriks

1. Konsep matriks. Jenis matriks

2. Aljabar matriks

Kuliah 2. Penentu

1. Determinan matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya

2. Teorema Laplace dan pemusnahan

Kuliah 3. Invers matriks

1. Konsep matriks terbalik. Keunikan matriks invers

2. Algoritma untuk menyusun matriks invers. Properti Matriks Invers

4. Tugas dan latihan

4.1. Matriks dan tindakan pada mereka

4.2. Penentu

4.3. matriks terbalik

5. Tugas individu

literatur

KULIAH 1. MATRIKS

Rencana

1. Konsep matriks. Jenis matriks.

2. Aljabar matriks.

Konsep Kunci

Matriks diagonal.

matriks identitas.

matriks nol.

Matriks simetris.

Konsistensi Matriks.

Transposisi.

matriks segitiga.

1. KONSEP MATRIKS. JENIS MATRIKS

meja persegi panjang

terdiri dari m baris dan n kolom, yang elemennya adalah bilangan real , dimana Saya- nomor baris J- nomor kolom di persimpangan di mana elemen ini berdiri, kita sebut numerik matriks order m'n dan nyatakan .

Pertimbangkan jenis utama matriks:

1. Misalkan m = n, maka matriks A adalah persegi matriks yang memiliki orde n:

A = .

Elemen membentuk diagonal utama, elemen membentuk sisi diagonal.

diagonal , jika semua elemennya, kecuali mungkin elemen diagonal utama, sama dengan nol:

A==diag( ).

Diagonal, dan karenanya persegi, disebut matriks lajang , jika semua elemen diagonal utama sama dengan 1:

E = diag (1, 1, 1,…,1).

Perhatikan bahwa matriks identitas adalah matriks analog dari identitas dalam himpunan bilangan real, dan tekankan juga bahwa matriks identitas hanya didefinisikan untuk matriks bujur sangkar.

Berikut adalah contoh matriks identitas:

Matriks persegi

A = ,V =

disebut segitiga atas dan bawah, masing-masing.

2 . Misalkan m = 1, maka matriks A adalah matriks baris, yang terlihat seperti:

3 . Misalkan n=1, maka matriks A adalah matriks kolom, yang terlihat seperti:

4 .Matriks nol adalah matriks orde m´n, semua elemennya sama dengan 0:

Perhatikan bahwa matriks nol dapat berupa persegi, matriks baris, atau matriks kolom. Matriks nol adalah matriks analog dari nol dalam himpunan bilangan real.

5 . Matriks disebut dialihkan ke matriks dan dilambangkan jika kolomnya adalah baris yang sesuai dari matriks .

Contoh . Misalkan = , maka = .

Perhatikan bahwa jika matriks A memiliki orde m'n, maka matriks yang ditransposisikan memiliki orde n'm.

6 . Matriks A disebut simetris jika A=A, dan miring-simetris jika A = -A.

Contoh . Perhatikan simetri matriks A dan B.

Maka = , oleh karena itu, matriks A simetris, karena A = A.

B = , lalu = , oleh karena itu, matriks B simetris miring, karena B = - B.

Perhatikan bahwa matriks simetris dan miring-simetris selalu persegi. Setiap elemen dapat berada pada diagonal utama matriks simetris, dan elemen identik harus simetris terhadap diagonal utama, yaitu =. Selalu ada nol pada diagonal utama matriks simetris miring, dan secara simetris sehubungan dengan diagonal utama = - .

2. ALJABAR MATRIKS

Mari kita pertimbangkan operasi pada matriks, tetapi pertama-tama kita perkenalkan beberapa konsep baru.

Dua matriks A dan B disebut matriks berordo sama jika memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama.

Contoh. dan adalah matriks dengan ordo yang sama 2'3;

Dan adalah matriks dengan ordo berbeda, karena 2'3≠3'2.

Konsep ″lebih besar dari″ dan ″kurang dari″ tidak didefinisikan untuk matriks.

Matriks A dan B disebut sama jika memiliki ordo yang sama m'n, dan = , dengan 1, 2, 3, …, m, dan j = 1, 2, 3, …, n.

Mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan.

Mengalikan matriks A dengan bilangan λ menghasilkan perkalian setiap elemen matriks dengan bilangan λ:

λА = , λR.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa faktor persekutuan dari semua elemen matriks dapat dikeluarkan dari tanda matriks.

Contoh.

Misalkan matriks A =, lalu 5A = =.

Misalkan matriks B = = = 5.

Sifat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), di mana λ,μ R;

3) (λА) = λА;

Jumlah (selisih) matriks .

Jumlah (perbedaan) ditentukan hanya untuk matriks dengan orde yang sama m'n.

Jumlah (selisih) dua matriks A dan B berorde m´n adalah matriks C berordo sama, dengan = ± ( 1, 2, 3, …, M ,

J= 1, 2, 3, …, n.).

Dengan kata lain, matriks C terdiri dari elemen-elemen yang sama dengan jumlah (selisih) elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks A dan B.

Contoh . Tentukan jumlah dan selisih matriks A dan B.

lalu =+= =,

=–==.

Jika = , = , maka A ± B tidak ada, karena matriksnya berordo berbeda.

Dari definisi di atas berikut ini properti jumlah matriks:

1) komutatifitas A+B=B+A;

2) asosiatif (A+B)+C=A+(B+C);

3) distribusi perkalian dengan bilangan λR: λ(A+B) = λA+λB;

4) 0+A=A, di mana 0 adalah matriks nol;

5) A+(–A)=0, di mana (–A) adalah matriks yang berseberangan dengan matriks A;

6) (A + B) \u003d A + B.

Produk matriks.

Operasi produk didefinisikan tidak untuk semua matriks, tetapi hanya untuk matriks yang konsisten.

Matriks A dan B disebut sepakat , jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Jadi, jika , , m≠k, maka matriks A dan B konsisten, karena n = n, dan dalam urutan terbalik, matriks B dan A tidak konsisten, karena m ≠ k. Matriks persegi konsisten jika memiliki ordo n yang sama, dan A dan B serta B dan A konsisten. = m.

Produk dari dua matriks yang konsisten dan

A= , V=

disebut matriks C berorde m'k:

=∙, yang unsur-unsurnya dihitung dengan rumus:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

yaitu, elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C sama dengan jumlah produk dari semua elemen dari baris ke-i dari matriks A dan elemen yang sesuai dari kolom ke-j matriks B.

Contoh . Tentukan perkalian matriks A dan B.

∙===.

Perkalian matriks B∙A tidak ada, karena matriks B dan A tidak konsisten: matriks B berordo 2´2, dan matriks A berorde 3´2.

Mempertimbangkan properti produk matriks:

1 ) non-komutatif: AB ≠ BA, bahkan jika A dan B, dan B dan A konsisten. Jika AB = BA, maka matriks A dan B disebut komuter (matriks A dan B dalam hal ini pasti kuadrat).

Contoh 1 . = , = ;

==;

==.

Jelas, ≠ .

Contoh 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Kesimpulan: ≠, meskipun matriksnya berordo sama.

2 ) untuk sembarang matriks bujur sangkar, matriks identitas E berpindah ke sembarang matriks A dengan ordo yang sama, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan matriks A yang sama, yaitu AE = EA = A.

Contoh .

===;

===.

3 ) A 0 = 0 A = 0.

4 ) perkalian dua matriks bisa sama dengan nol, sedangkan matriks A dan B bisa nol.

Contoh .

= ==.

5 ) asosiatif ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Contoh .

Kami memiliki matriks , ;

maka Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Jadi, kami telah menunjukkan dengan contoh bahwa Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) distribusi sehubungan dengan penambahan:

(A + B) ∙ C \u003d AC + BC, A ∙ (B + C) \u003d AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Contoh.

, =.

Kemudian AB =∙==

=(A∙B)= =

DI DALAM ∙A =∙ = ==.

Dengan demikian, ( A∙B)= DI DALAM A .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ(λВ), λ,R.

Pertimbangkan contoh tipikal untuk melakukan operasi pada matriks, yaitu, Anda perlu menemukan jumlah, perbedaan, produk (jika ada) dari dua matriks A dan B.

Contoh 1 .

, .

Larutan.

1) + = = =;

2) – ===;

3) produk tidak ada, karena matriks A dan B tidak konsisten, namun produk tidak ada karena alasan yang sama.

Contoh 2 .

Larutan.

1) jumlah matriks, serta selisihnya, tidak ada, karena matriks awal berordo berbeda: matriks A berorde 2'3, dan matriks B berorde 3'1;

2) karena matriks A dan B konsisten, maka perkalian matriks A ּ B ada:

·=·= =,

produk matriks В ּ А tidak ada, karena matriks dan tidak konsisten.

Contoh 3

Larutan.

1) jumlah matriks, serta selisihnya, tidak ada, karena matriks awal berordo berbeda: matriks A berorde 3'2, dan matriks B berorde 2'3;

2) produk dari kedua matriks АּВ dan ВּА ada, karena matriksnya konsisten, tetapi hasil perkalian tersebut akan menjadi matriks dengan urutan berbeda: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

Dalam hal ini, AB ≠ BA.

Contoh 4 .

Larutan.

1) +===,

2) –= ==;

3) produk sebagai matriks A ּ DI DALAM, Dan DI DALAM ּ A, ada karena matriksnya konsisten:

·==·= =;

·==·= =

=≠, yaitu matriks A dan B tidak komuter.

Contoh 5 .

Larutan.

1) +===,

2) –===;

3) produk dari matriks АּВ dan ВּА ada, karena matriksnya konsisten:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, yaitu matriks ini bergerak.

KULIAH 2. DETERMINAN

Rencana

1. Determinan matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya.

2. Teorema Laplace dan pemusnahan.

Konsep Kunci

Komplemen aljabar dari elemen determinan.

Minor dari elemen penentu.

Penentu urutan kedua.

Penentu urutan ketiga.

Penentu pesanan sewenang-wenang.

Teorema Laplace.

teorema pembatalan.

1. DETERMINAN MATRIKS KOTAK DAN SIFATNYA

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar dengan orde n:

A= .

Setiap matriks tersebut dapat dikaitkan dengan satu bilangan real, yang disebut determinan (determinan) dari matriks dan dilambangkan

Det A= ∆= .

Perhatikan bahwa determinan hanya ada untuk persegi matriks.

Pertimbangkan aturan untuk menghitung determinan dan propertinya untuk matriks kuadrat orde kedua dan ketiga, yang akan kita sebut sebagai singkatan determinan orde kedua dan ketiga.

Penentu urutan kedua matriks adalah angka yang ditentukan oleh aturan:

yaitu, determinan orde kedua adalah bilangan yang sama dengan perkalian unsur-unsur diagonal utama dikurangi hasil kali unsur-unsur diagonal sekunder.

Contoh .

Maka == 4 3 - (–1) 2=12 + 2 = 14.

Harus diingat bahwa tanda kurung bulat atau persegi digunakan untuk menunjuk matriks, dan untuk determinan - garis vertikal. Matriks adalah tabel bilangan, dan determinan adalah bilangan.

Dari definisi determinan orde kedua, berikut ini properti :

1. Determinan tidak akan berubah saat mengganti semua barisnya dengan kolom yang sesuai:

2. Tanda determinan berubah menjadi kebalikannya ketika baris (kolom) determinan disusun ulang:

3. Faktor persekutuan dari semua elemen baris (kolom) determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan:

4. Jika semua elemen dari suatu baris (kolom) determinan sama dengan nol, maka determinan tersebut sama dengan nol.

5. Determinan sama dengan nol jika elemen yang sesuai dari baris (kolom) proporsional:

6. Jika elemen dari satu baris (kolom) dari determinan sama dengan jumlah dari dua suku, maka determinan tersebut sama dengan jumlah dari dua determinan:

=+, =+.

7. Nilai determinan tidak akan berubah jika elemen baris (kolom) ditambahkan (dikurangi) dengan elemen yang sesuai dari baris (kolom) lain dikalikan dengan angka yang sama:

=+=,

sejak =0 dengan properti 5.

Properti penentu yang tersisa akan dipertimbangkan di bawah ini.

Mari kita perkenalkan konsep determinan orde ketiga: ketiga memesan matriks persegi disebut bilangan

∆ == detA= =

=++– – – ,

yaitu, setiap suku dalam rumus (2) merupakan perkalian dari unsur-unsur determinan, diambil satu dan hanya satu dari setiap baris dan setiap kolom. Untuk mengingat produk mana dalam rumus (2) yang harus diambil dengan tanda tambah, dan mana dengan tanda minus, ada baiknya mengetahui aturan segitiga (aturan Sarrus):

Contoh . Hitung penentu

==

Perlu dicatat bahwa properti determinan orde kedua yang dipertimbangkan di atas dapat ditransfer tanpa mengubah kasus determinan orde apa pun, termasuk yang ketiga.

2. TEOREMA LAPLACE DAN PEMBATALAN

Pertimbangkan dua sifat determinan yang sangat penting.

Mari kita perkenalkan konsep pelengkap minor dan aljabar.

Penentu elemen minor determinan yang diperoleh dari determinan asli dengan menghapus baris dan kolom yang memiliki elemen yang diberikan disebut. Minor elemen dilambangkan dengan .

Contoh . = .

Maka, misalnya, = , = .

Pelengkap elemen aljabar determinan disebut minornya, diambil dengan tanda. Komplemen aljabar akan dinotasikan dengan , yaitu =.

Misalnya:

= , === –,

Mari kembali ke rumus (2). Mengelompokkan elemen dan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, kita mendapatkan:

=(– ) +( – ) +(–)=

Kesetaraan dibuktikan dengan cara yang sama:

1, 2, 3; (3)

Rumus (3) disebut formula dekomposisi determinan atas elemen baris ke-i (kolom ke-j), atau dengan rumus Laplace untuk determinan orde ketiga.

Jadi kita dapatkan properti kedelapan dari determinan :

Teorema Laplace . Determinannya sama dengan jumlah semua produk dari elemen baris (kolom) mana pun dengan pelengkap aljabar yang sesuai dari elemen baris (kolom) ini.

Perhatikan bahwa properti determinan ini tidak lain adalah definisi determinan dari urutan apa pun. Dalam praktiknya, ini digunakan untuk menghitung determinan dari urutan apa pun. Sebagai aturan, sebelum menghitung determinan, menggunakan properti 1 - 7, mereka mencapai, jika mungkin, bahwa di baris (kolom) mana pun semua elemen sama dengan nol, kecuali satu, dan kemudian diuraikan oleh elemen baris (kolom).

Contoh . Hitung penentu

== (kurangi yang pertama dari baris kedua) =

== (kurangi baris pertama dari baris ketiga)=

== (memperluas determinan dalam elemen ketiga

baris) = 1ּ = (kurangi kolom pertama dari kolom kedua) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Contoh .

Pertimbangkan determinan urutan keempat. Untuk menghitungnya, kami menggunakan teorema Laplace, yaitu perluasan dalam elemen baris (kolom).

== (karena kolom kedua berisi tiga elemen nol, kita perluas determinan dengan elemen kolom kedua)= =3ּ= (kurangi baris kedua dengan yang pertama dikalikan 3, dan kurangi baris ketiga dengan yang pertama dikalikan 2 baris) =

3ּ = (kita perluas determinan dengan elemen kolom pertama) = 3ּ1ּ =

Properti kesembilan penentu menyandang nama teorema pembatalan :

jumlah semua produk dari elemen-elemen dari satu baris (kolom) dari determinan dan pelengkap aljabar yang sesuai dari elemen-elemen dari baris (kolom) lainnya sama dengan nol, yaitu.

++ = 0,

Contoh .

= = (perluas dengan elemen baris ketiga)=

0ּ+0ּ+ּ = -2.

Tapi, untuk contoh yang sama: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Jika determinan orde apapun memiliki bentuk segitiga

=, maka sama dengan perkalian unsur-unsur pada diagonal:

=ּּ … ּ. (4)

Contoh. Hitung determinannya.

=

Kadang-kadang, saat menghitung determinan menggunakan transformasi elementer, dimungkinkan untuk mereduksinya menjadi bentuk segitiga, setelah itu rumus (4) diterapkan.

Adapun determinan hasil kali dua matriks bujur sangkar sama dengan hasil kali determinan matriks bujur sangkar tersebut: .

KULIAH 3. MATRIKS TERBALIK

Rencana

1. Konsep matriks invers. Keunikan matriks invers.

2. Algoritma untuk menyusun matriks invers.

Sifat matriks invers.

Konsep Kunci

Matriks terbalik.

Matriks terlampir.

1. KONSEP MATRIKS TERBALIK.

KEUNIKAN MATRIKS TERBALIK

Dalam teori bilangan, bersama dengan bilangan, bilangan didefinisikan berlawanan dengannya () sehingga , dan bilangan terbalik sehingga . Misalnya, untuk angka 5, kebalikannya adalah angkanya

(- 5), dan kebalikannya adalah angka . Demikian pula, dalam teori matriks, kami telah memperkenalkan konsep matriks yang berlawanan, penunjukannya (-A). matriks terbalik untuk matriks bujur sangkar A berorde n, matriks disebut jika persamaannya

Di mana e adalah matriks identitas orde n.

Kami segera mencatat bahwa matriks invers hanya ada untuk matriks bujur sangkar non-singular.

Matriks persegi disebut tidak merosot (non singular) jika detA ≠ 0. Jika detA = 0, maka matriks A disebut merosot (spesial).

Perhatikan bahwa matriks non-singular A memiliki matriks invers yang unik. Mari kita buktikan pernyataan ini.

Biarkan untuk matriks A ada dua matriks invers, yaitu

Maka =ּ=ּ() =

Q.E.D.

Temukan determinan matriks invers. Karena determinan hasil kali dua matriks A dan B dengan orde yang sama sama dengan hasil kali determinan matriks tersebut, yaitu, hasil kali dua matriks non-singular AB adalah matriks non-singular.

Kami menyimpulkan bahwa determinan matriks invers adalah kebalikan dari determinan matriks asli.

2. ALGORITMA UNTUK MEMBANGUN MATRIKS TERBALIK.

SIFAT MATRIKS TERBALIK

Mari kita tunjukkan bahwa jika matriks A nonsingular, maka terdapat invers matriks untuknya, dan bangunlah.

Mari kita buat matriks dari pelengkap aljabar elemen matriks A:

Mentransfernya, kita mendapatkan apa yang disebut terlampir matriks:

.

Temukan produk ּ. Dengan mempertimbangkan teorema Laplace dan teorema pemusnahan:

ּ = =

=.

Kami menyimpulkan:

Algoritma untuk membangun matriks invers.

1) Hitung determinan matriks A. Jika determinannya nol, maka matriks inversnya tidak ada.

2) Jika determinan matriks tidak sama dengan nol, maka susun dari pelengkap aljabar dari elemen matriks yang sesuai A matriks .

3) Dengan mentranspos matriks, dapatkan matriks terkait.

4) Menurut rumus (2) buatlah invers matriks.

5) Menurut rumus (1) periksa perhitungannya.

Contoh . Temukan invers matriks.

A). Misalkan A=. Karena matriks A memiliki dua baris yang identik, determinan matriks tersebut adalah nol. Oleh karena itu, matriksnya berdegenerasi dan tidak ada matriks invers untuknya.

B). Membiarkan A =.

Menghitung determinan matriks

invers matriks ada.

Menyusun matriks dari penjumlahan aljabar

= = ;

mentranspos matriks , kami memperoleh matriks terkait

dengan rumus (2) kita menemukan matriks invers

==.

Mari kita periksa kebenaran perhitungannya

= = .

Oleh karena itu, matriks invers yang dibangun sudah benar.

Properti Matriks Invers

1. ;

2. ;

3. .

4. TUGAS DAN LATIHAN

4.1 Matriks dan tindakan terhadapnya

1. Temukan jumlah, selisih, produk dari dua matriks A dan B.

A) , ;

B) , ;

V) , ;

G) , ;

e) , ;

e) , ;

Dan) , ;

H), ;

Dan) , .

2. Buktikan bahwa matriks A dan B komuter.

A) , ; B) , .

3. Diketahui matriks A, B dan C. Tunjukkan bahwa (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

B) , , .

4. Hitung (3A - 2B) C jika

, , .

5. Temukan jika

A) ; B) .

6. Carilah matriks X jika 3A+2X=B, dimana

, .

7. Temukan ABC jika

A) , , ;

B) , , .

JAWABAN TENTANG TOPIK "MATRIKS DAN TINDAKAN PADA MEREKA"

1.a) , ;

b) produk AB dan BA tidak ada;

V) , ;

G) , ;

e) jumlah, selisih, dan perkalian matriks BA tidak ada, ;

e) , ;

g) produk matriks tidak ada;

H) , ;

Dan) , .

2.a) ; B) .

3.a) ; B) .

4. .

5.a) ; B) .

6. .

7.a) ; B) .

4.2 Kualifikasi

1. Hitung determinan

A) ; B) ; V); G) ; e) ; e) ;

Dan) ; H) .

3. Dengan menggunakan aturan segitiga, hitung determinannya

A) ; B) ; V) ; G) .

4. Hitung determinan Contoh 2 menggunakan teorema Laplace.

5. Hitung determinannya, setelah disederhanakan:

A) ; B) ; V) ;

G) ; e) ; e) ;

Dan) .

6. Hitung determinannya dengan membawanya ke bentuk segitiga

.

7. Misalkan diberikan matriks A dan B. Buktikan :

, .

JAWABAN PADA TOPIK "DETERMINAN"

1.a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; f) -3; g) -6; h) 1.

2.a) -25; b) 168; pada 21; d) 12.

3.a) -25; b) 168; pada 21; d) 12.

4.a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; f) -66; g) -36.

4.3 Invers matriks

1. Temukan matriks invers:

A) ; B) ; V); G) ;

e) ; e) ; Dan) ; H) ;

Dan) ; Ke) ; l) ;

M) ; M) .

2. Temukan matriks invers dan periksa kondisinya:

A) ; B) .

3. Buktikan kesetaraan :

A) , ; B) ,.

4. Buktikan kesetaraan :

A) ; B) .

JAWABAN PADA TOPIK "MATRIKS TERBALIK"

1.a); B) ; V) ; G) ;

e) ; e) ; Dan) ;

H) ; Dan) ;

Ke) ; l) ;

M) ; M) .

2.a) ; B) .

2.a) , , =;

B) , ,

=.

5.a) , ,

, ;

B) , ,

, .

5. TUGAS INDIVIDU

1. Hitung determinan dengan ekspansi

a) pada baris ke-i;

b) dengan kolom ke-j.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

saya=2, j=3. saya=4, j=1. saya=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

saya=3, j=3. i=1, j=4. saya=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. saya=2, j=2. saya=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

saya=2, j=1. saya=1, j=2. saya=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

saya=2, j=3. saya=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

saya=2, j=3. i=2, j=4. saya=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

saya=2, j=2. i=1, j=4. saya=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

saya=1, j=3. saya=2, j=1. saya=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

saya=4, j=3. saya=3, j=3. saya=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

saya=3, j=3. saya=2, j=1. saya=3, j=2.

LITERATUR

1.Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Matematika Tinggi. – Mn.: Vysh. sekolah, 1992.- 384 hal.

2. Gusak A.A. Manual referensi untuk pemecahan masalah: geometri analitik dan aljabar linier. - Minsk: Tetrasystems, 1998.- 288 hal.

3. Markov L.N., Razmyslovich G.P. Matematika Tinggi. Bagian 1. - Minsk: Amalfeya, 1999. - 208 hal.

4. Belko I.V., Kuzmich K.K. Matematika yang lebih tinggi untuk para ekonom. saya semester. M.: Pengetahuan baru, 2002.- 140 hal.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseec M.I. Matematika Tinggi. Proses uang saku. -Mn.: CHIUP, 2003. - 32 hal.

Karakteristik numerik utama dari matriks persegi adalah determinannya. Pertimbangkan matriks persegi orde kedua

Penentu atau determinan orde kedua adalah angka yang dihitung menurut aturan berikut

Misalnya,

Mari kita perhatikan matriks persegi orde ketiga

.

Penentu orde ketiga adalah angka yang dihitung menurut aturan berikut

Untuk menghafal kombinasi istilah yang termasuk dalam ekspresi untuk menentukan determinan orde ketiga, mereka biasanya menggunakan Aturan Sarrus: suku pertama dari tiga suku yang termasuk di ruas kanan dengan tanda plus adalah hasil kali unsur-unsur pada diagonal utama matriks , dan masing-masing dari dua suku lainnya adalah hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal ini dan elemen dari sudut yang berlawanan dari matriks.

Tiga suku terakhir yang masuk dengan tanda minus didefinisikan dengan cara yang sama, hanya terhadap diagonal sekunder.

Contoh:

Sifat dasar determinan matriks

1. Nilai determinan tidak berubah saat matriks ditransposisikan.

2. Saat mengatur ulang baris atau kolom matriks, determinan hanya mengubah tandanya, dengan tetap mempertahankan nilai absolutnya.

3. Determinan yang berisi baris atau kolom proporsional sama dengan nol.

4. Faktor persekutuan dari unsur-unsur suatu baris atau kolom dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

5. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinannya sendiri sama dengan nol.

6. Jika kita menambahkan elemen-elemen dari baris atau kolom terpisah dari determinan elemen-elemen dari baris atau kolom lain, dikalikan dengan faktor non-degenerate sembarang, maka nilai determinan tidak akan berubah.

Minor matriks adalah determinan yang diperoleh dengan menghapus jumlah kolom dan baris yang sama dari matriks persegi.

Jika semua minor berorde di atas yang dapat disusun dari matriks sama dengan nol, dan di antara minor berorde paling sedikit satu yang bukan nol, maka bilangan itu disebut pangkat matriks ini.

tambahan aljabar elemen penentu pesanan, kami akan memanggil pesanan minornya, diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang sesuai, di persimpangannya, ada elemen yang diambil dengan tanda plus jika jumlah indeksnya sama dengan bilangan genap dan sebaliknya dengan tanda minus.

Dengan demikian

,

di mana urutan minor yang sesuai.

Menghitung determinan suatu matriks dengan mendekomposisi elemen-elemen suatu baris atau kolom

Penentu matriks sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari baris mana pun (kolom mana saja) dari matriks dan pelengkap aljabar yang sesuai dari elemen-elemen baris ini (kolom ini). Saat menghitung determinan matriks dengan cara ini, seseorang harus dipandu oleh aturan berikut: pilih baris atau kolom dengan jumlah elemen nol terbesar. Teknik ini dapat secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Contoh: .

Saat menghitung determinan ini, kami menggunakan metode perluasannya dengan elemen kolom pertama. Seperti dapat dilihat dari rumus di atas, tidak perlu menghitung determinan orde kedua terakhir, karena itu dikalikan dengan nol.

Perhitungan Matriks Invers

Saat memecahkan persamaan matriks, matriks invers banyak digunakan. Sampai batas tertentu, ini menggantikan operasi pembagian, yang tidak ada dalam bentuk eksplisit dalam aljabar matriks.

Matriks kuadrat dengan orde yang sama, produk yang memberikan matriks identitas, disebut timbal balik atau terbalik. Matriks terbalik dilambangkan dan itu benar untuk itu

Anda dapat menghitung matriks invers hanya untuk matriks yang .

Algoritma klasik untuk menghitung matriks invers

1. Tuliskan matriks yang ditransposisi menjadi matriks .

2. Gantikan setiap elemen matriks dengan determinan yang diperoleh sebagai hasil dari penghapusan baris dan kolom pada perpotongan di mana elemen tersebut berada.

3. Determinan ini disertai tanda tambah jika jumlah indeks unsurnya genap, dan tanda minus sebaliknya.

4. Bagi matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks.

- Lepaskan burung itu sampai mati!
Biarkan kebebasan membelai dia!
Dan kapal itu berlayar, dan reaktornya menderu...
- Pash, apakah kamu keras kepala?

Saya ingat sebelum kelas 8 saya tidak suka aljabar. Tidak menyukainya sama sekali. Dia membuatku kesal. Karena saya tidak mengerti apa-apa.

Dan kemudian semuanya berubah, karena saya memotong satu chip:

Dalam matematika pada umumnya (dan aljabar pada khususnya) semuanya didasarkan pada sistem definisi yang kompeten dan konsisten. Anda tahu definisinya, Anda memahami esensinya - tidak akan sulit untuk mengetahui sisanya.

Itulah topik pelajaran hari ini. Kami akan mempertimbangkan secara rinci beberapa masalah dan definisi terkait, berkat itu Anda akan berurusan dengan matriks, determinan, dan semua propertinya untuk selamanya.

Determinan adalah konsep sentral dalam aljabar matriks. Seperti rumus perkalian yang disingkat, mereka akan menghantui Anda sepanjang kursus matematika lanjutan Anda. Oleh karena itu, kami membaca, mengamati dan memahami dengan seksama. :)

Dan kita akan mulai dengan yang paling intim - apa itu matriks? Dan bagaimana bekerja dengannya.

Penempatan indeks yang benar dalam matriks

Matriks hanyalah tabel yang diisi dengan angka. Neo tidak ada di sini.

Salah satu karakteristik utama matriks adalah dimensinya, yaitu. jumlah baris dan kolom yang terdiri dari. Matriks $A$ biasanya dikatakan memiliki ukuran $\left[ m\times n \right]$ jika memiliki $m$ baris dan $n$ kolom. Tuliskan seperti ini:

Atau seperti ini:

Ada sebutan lain - semuanya tergantung pada preferensi dosen / frater / penulis buku teks. Tetapi bagaimanapun juga, dengan semua $\left[ m\times n \right]$ dan $((a)_(ij))$ ini, masalah yang sama muncul:

Indeks mana yang melakukan apa? Nomor baris dulu, lalu nomor kolom? Atau sebaliknya?

Saat membaca ceramah dan buku teks, jawabannya akan tampak jelas. Namun ketika hanya ada selembar tugas di depan Anda pada ujian, Anda bisa khawatir dan tiba-tiba bingung.

Jadi mari kita selesaikan masalah ini untuk selamanya. Pertama, mari kita ingat sistem koordinat biasa dari kursus matematika sekolah:

Pengenalan sistem koordinat pada bidang

Ingat dia? Ia memiliki asal (titik $O=\left(0;0 \right)$) dari sumbu $x$ dan $y$, dan setiap titik pada bidang ditentukan secara unik oleh koordinat: $A=\left( 1;2 \ kanan)$, $B=\kiri(3;1 \kanan)$, dll.

Dan sekarang mari kita ambil konstruksi ini dan letakkan di sebelah matriks sehingga asalnya ada di pojok kiri atas. Mengapa disana? Ya, karena saat membuka buku, kita mulai membaca dari pojok kiri atas halaman - mengingat ini lebih mudah dari sebelumnya.

Tapi kemana harus mengarahkan sumbunya? Kami akan mengarahkan mereka sehingga seluruh "halaman" virtual kami ditutupi oleh sumbu ini. Benar, untuk ini kita harus memutar sistem koordinat kita. Hanya varian yang mungkin lokasi ini:

Memetakan Sistem Koordinat ke Matriks

Sekarang setiap sel matriks memiliki koordinat bernilai tunggal $x$ dan $y$. Misalnya, entri $((a)_(24))$ berarti kita mengakses elemen dengan koordinat $x=2$ dan $y=4$. Dimensi matriks juga secara unik ditentukan oleh sepasang angka:

Mendefinisikan indeks dalam matriks

Lihat saja gambar ini dari dekat. Bermain-main dengan koordinat (terutama saat Anda bekerja dengan matriks dan determinan nyata) - dan Anda akan segera menyadari bahwa bahkan dalam teorema dan definisi yang paling rumit pun Anda memahami dengan sempurna apa yang dipertaruhkan.

Mengerti? Baiklah, mari beralih ke langkah pertama pencerahan - definisi geometrik dari determinan. :)

Definisi geometris

Pertama-tama, saya ingin mencatat bahwa determinan hanya ada untuk matriks persegi dalam bentuk $\left[ n\times n \right]$. Penentu adalah angka yang dihitung menurut aturan tertentu dan merupakan salah satu ciri matriks ini (ada ciri lain: pangkat, vektor eigen, tetapi lebih dari itu di pelajaran lain).

Nah, fitur apa ini? Apa artinya? Itu mudah:

Determinan matriks bujur sangkar $A=\left[ n\times n \right]$ adalah volume paralelepiped berdimensi $n$, yang terbentuk jika kita menganggap baris matriks sebagai vektor yang membentuk rusuk dari paralelepiped ini.

Misalnya, determinan matriks 2x2 hanyalah luas jajaran genjang, dan untuk matriks 3x3 itu sudah menjadi volume jajar genjang 3 dimensi - yang paling membuat marah semua siswa sekolah menengah. banyak dalam pelajaran stereometri.

Sekilas, definisi ini mungkin tampak sama sekali tidak memadai. Tapi jangan terburu-buru mengambil kesimpulan - mari kita lihat contohnya. Faktanya, semuanya dasar, Watson:

Tugas. Temukan determinan matriks:

\[\kiri| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

Larutan. Dua determinan pertama adalah 2x2. Jadi, ini hanyalah area jajaran genjang. Mari menggambarnya dan menghitung luasnya.

Jajaran genjang pertama dibangun di atas vektor $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ dan $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Penentu 2x2 adalah luas jajaran genjang

Jelas, ini bukan hanya jajaran genjang, tapi cukup persegi panjang. Luasnya sama dengan

Jajaran genjang kedua dibangun di atas vektor $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ dan $((v)_(2))=\left(2;2 \right )$. Nah, jadi apa? Ini juga persegi panjang:

Penentu 2x2 lainnya

Sisi persegi panjang ini (sebenarnya, panjang vektor) dapat dengan mudah dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri| ((v)_(1)) \kanan|=\sqrt(((1)^(2))+((\kiri(-1 \kanan))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \kiri| ((v)_(2)) \kanan|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\kiri| ((v)_(1)) \kanan|\cdot \kiri| ((v)_(2)) \kanan|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(sejajarkan)\]

Tetap berurusan dengan determinan terakhir - sudah ada matriks 3x3. Kita harus mengingat stereometri:

Penentu 3x3 adalah volume paralelepiped

Kelihatannya luar biasa, tetapi sebenarnya cukup untuk mengingat rumus volume paralelepiped:

di mana $S$ adalah luas alas (dalam kasus kami, ini adalah luas jajaran genjang pada bidang $OXY$), $h$ adalah ketinggian yang ditarik ke alas ini (sebenarnya, $ z$-koordinat vektor $((v)_(3) )$).

Area jajaran genjang (kami menggambarnya secara terpisah) juga mudah dihitung:

\[\begin(sejajarkan) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami menuliskan jawabannya.

Jawaban: 3; 4; 24.

Catatan kecil tentang sistem notasi. Seseorang mungkin tidak akan suka bahwa saya mengabaikan "panah" di atas vektor. Diduga, dengan cara ini Anda dapat mengacaukan vektor dengan titik atau yang lainnya.

Tapi mari kita serius: kita sudah menjadi laki-laki dan perempuan dewasa, jadi kita memahami dengan baik dari konteks ketika kita berbicara tentang vektor, dan ketika kita berbicara tentang suatu titik. Panah hanya mengotori narasi, sudah diisi dengan rumus matematika.

Dan selanjutnya. Pada prinsipnya, tidak ada yang menghalangi kita untuk mempertimbangkan determinan matriks 1x1 - matriks seperti itu hanya satu sel, dan angka yang tertulis di sel ini akan menjadi determinannya. Tapi ada catatan penting di sini:

Berbeda dengan volume klasik, determinan akan memberi kita apa yang disebut " volume berorientasi”, mis. volume, dengan mempertimbangkan urutan pertimbangan vektor baris.

Dan jika Anda ingin mendapatkan volume dalam arti kata klasik, Anda harus mengambil modulus determinan, tetapi sekarang Anda tidak perlu khawatir - bagaimanapun, dalam beberapa detik kita akan belajar menghitung determinan apa pun dengan tanda, ukuran, dll. :)

Definisi aljabar

Dengan semua keindahan dan kejelasan pendekatan geometris, pendekatan ini memiliki kelemahan yang serius: tidak memberi tahu kita apa pun tentang cara menghitung determinan ini.

Oleh karena itu, sekarang kami akan menganalisis definisi alternatif - aljabar. Untuk melakukan ini, kita memerlukan persiapan teoretis singkat, tetapi pada hasilnya kita akan mendapatkan alat yang memungkinkan kita menghitung apa pun dalam matriks sesuka kita.

Benar, akan ada masalah baru... Tapi hal pertama yang pertama.

Permutasi dan inversi

Mari kita menulis sebaris angka dari 1 sampai $n$. Anda mendapatkan sesuatu seperti ini:

Sekarang (murni untuk bersenang-senang) mari kita tukar beberapa angka. Anda dapat mengubah tetangga

Atau mungkin tidak terlalu bertetangga:

Dan tahukah Anda? Dan tidak ada! Dalam aljabar, omong kosong ini disebut permutasi. Dan itu memiliki banyak properti.

Definisi. Permutasi dengan panjang $n$ adalah string $n$ nomor berbeda yang ditulis dalam urutan apa pun. Biasanya, bilangan asli $n$ pertama dipertimbangkan (yaitu, persis bilangan 1, 2, ..., $n$), dan kemudian dikocok untuk mendapatkan permutasi yang diinginkan.

Permutasi dilambangkan dengan cara yang sama seperti vektor - hanya sebuah huruf dan pencacahan berurutan elemen-elemennya dalam tanda kurung. Misalnya: $p=\left(1;3;2 \right)$ atau $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Suratnya bisa apa saja, tapi biarlah $p$. :)

Selanjutnya, untuk kesederhanaan presentasi, kami akan bekerja dengan permutasi dengan panjang 5 - permutasi tersebut sudah cukup serius untuk mengamati efek yang mencurigakan, tetapi belum begitu parah untuk otak yang rapuh seperti permutasi dengan panjang 6 atau lebih. Berikut adalah contoh permutasi tersebut:

\[\begin(sejajarkan) & ((p)_(1))=\kiri(1;2;3;4;5 \kanan) \\ & ((p)_(2))=\kiri(1 ;3;2;5;4 \kanan) \\ & ((p)_(3))=\kiri(5;4;3;2;1 \kanan) \\\akhir(sejajarkan)\]

Biasanya, permutasi dengan panjang $n$ dapat dianggap sebagai fungsi yang didefinisikan pada himpunan $\left\( 1;2;...;n \right\)$ dan secara bijektif memetakan himpunan ini ke dirinya sendiri. Kembali ke permutasi $((p)_(1))$, $((p)_(2))$, dan $((p)_(3))$ kita baru saja menulis, kita dapat menulis secara sah :

\[((p)_(1)\kiri(1 \kanan)=1;((p)_(2))\kiri(3 \kanan)=2;((p)_(3))\ kiri(2\kanan)=4;\]

Jumlah permutasi yang berbeda dengan panjang $n$ selalu terbatas dan sama dengan $n!$ — ini adalah fakta yang mudah dibuktikan dari kombinatorik. Misalnya, jika kita ingin menuliskan semua permutasi dengan panjang 5, maka kita akan sangat ragu, karena akan ada permutasi seperti itu.

Salah satu karakteristik kunci dari setiap permutasi adalah jumlah inversi di dalamnya.

Definisi. Pembalikan dalam permutasi $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — sembarang pasangan $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ sehingga $i \lt j$ tetapi $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j))$. Sederhananya, inversi adalah ketika angka yang lebih besar berada di sebelah kiri angka yang lebih kecil (tidak harus angka yang bertetangga).

Kami akan menggunakan $N\left(p \right)$ untuk menunjukkan jumlah inversi dalam permutasi $p$, tetapi bersiaplah untuk memenuhi notasi lain dalam buku teks yang berbeda dan oleh penulis yang berbeda - tidak ada standar seragam di sini. Topik inversi sangat luas, dan pelajaran terpisah akan dikhususkan untuk itu. Sekarang tugas kita hanyalah mempelajari cara menghitungnya dalam masalah nyata.

Sebagai contoh, mari hitung jumlah inversi dalam permutasi $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\kiri(4;3 \kanan);\kiri(4;2 \kanan);\kiri(5;3 \kanan);\kiri(5;2 \kanan);\kiri(3;2 \kanan ).\]

Jadi, $N\kiri(p \kanan)=5$. Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang salah dengan itu. Saya harus segera mengatakan: selanjutnya kita tidak akan terlalu tertarik pada angka $N\left(p \right)$, tetapi pada genap/keganjilannya. Dan di sini kita dengan lancar beralih ke istilah kunci dari pelajaran hari ini.

Apa itu penentu

Biarkan $A=\left[ n\times n \right]$ menjadi matriks persegi. Kemudian:

Definisi. Determinan matriks $A=\left[ n\times n \right]$ adalah jumlah aljabar dari $n!$ suku-suku yang tersusun sebagai berikut. Setiap suku adalah produk dari $n$ elemen matriks, diambil satu dari setiap baris dan setiap kolom, dikalikan dengan (−1) pangkat jumlah inversi:

\[\kiri| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Hal mendasar dalam memilih faktor untuk setiap suku dalam determinan adalah kenyataan bahwa tidak ada dua faktor yang berada pada baris atau kolom yang sama.

Karena itu, kita dapat mengasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa indeks $i$ dari faktor $((a)_(i;j))$ "menjalankan" nilai 1, ..., $n$ , dan indeks $j$ adalah beberapa permutasi dari yang pertama:

Dan ketika ada permutasi $p$, kita dapat dengan mudah menghitung inversi dari $N\left(p \right)$ - dan suku berikutnya dari determinan sudah siap.

Secara alami, tidak ada yang melarang bertukar faktor dalam istilah apa pun (atau sekaligus - mengapa repot-repot dengan hal-hal sepele?), Dan kemudian indeks pertama juga akan mewakili semacam permutasi. Tetapi pada akhirnya, tidak ada yang berubah: jumlah total inversi dalam indeks $i$ dan $j$ tetap bahkan di bawah penyimpangan tersebut, yang cukup konsisten dengan aturan lama yang baik:

Dengan mengatur ulang faktor-faktornya, produk bilangan tidak berubah.

Tetapi Anda tidak perlu menyeret aturan ini ke perkalian matriks - tidak seperti perkalian angka, ini bukan komutatif. Tapi saya ngelantur. :)

Matriks 2x2

Faktanya, Anda juga dapat mempertimbangkan matriks 1x1 - ini akan menjadi satu sel, dan determinannya, seperti yang Anda duga, sama dengan angka yang tertulis di sel ini. Tidak ada yang menarik.

Jadi mari kita pertimbangkan matriks persegi 2x2:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\akhir(matriks) \kanan]\]

Karena jumlah baris di dalamnya adalah $n=2$, maka determinannya akan berisi $n!=2!=1\cdot 2=2$ suku. Mari kita tuliskan:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(-1 \kanan))^(N\kiri(1;2 \kanan)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\kiri(-1 \kanan))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\kiri(-1 \kanan))^(N\kiri(2;1 \kanan)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\kiri(-1 \kanan))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(sejajarkan)\]

Jelas, tidak ada inversi dalam permutasi $\left(1;2 \right)$, yang terdiri dari dua elemen, jadi $N\left(1;2 \right)=0$. Tetapi dalam permutasi $\left(2;1 \right)$ ada satu inversi (sebenarnya, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Secara total, rumus universal untuk menghitung determinan matriks 2x2 terlihat seperti ini:

\[\kiri| \begin(matriks) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matriks) \kanan|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Secara grafis, ini dapat direpresentasikan sebagai produk dari elemen-elemen pada diagonal utama, dikurangi produk dari elemen-elemen pada diagonal sekunder:

determinan matriks 2x2

Mari kita lihat beberapa contoh:

\[\kiri| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Larutan. Semuanya dipertimbangkan dalam satu baris. matriks pertama:

Dan yang kedua:

Jawaban: -3; -161.

Namun, itu terlalu mudah. Mari kita lihat matriks 3x3 - sudah menarik di sana.

Matriks 3x3

Sekarang pertimbangkan matriks persegi 3x3:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\akhir(matriks) \kanan]\]

Saat menghitung determinannya, kita mendapatkan $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ istilah - tidak terlalu panik, tetapi cukup untuk mulai mencari beberapa pola. Pertama, mari tulis semua permutasi dari ketiga elemen dan hitung inversi di masing-masing elemen:

\[\begin(sejajarkan) & ((p)_(1))=\kiri(1;2;3 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(1)) \kanan)=N\ kiri(1;2;3\kanan)=0; \\ & ((p)_(2))=\kiri(1;3;2 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(2)) \kanan)=N\kiri(1;3 ;2\kanan)=1; \\ & ((p)_(3))=\kiri(2;1;3 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(3)) \kanan)=N\kiri(2;1 ;3\kanan)=1; \\ & ((p)_(4))=\kiri(2;3;1 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(4)) \kanan)=N\kiri(2;3 ;1\kanan)=2; \\ & ((p)_(5))=\kiri(3;1;2 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(5)) \kanan)=N\kiri(3;1 ;2\kanan)=2; \\ & ((p)_(6))=\kiri(3;2;1 \kanan)\Panah Kanan N\kiri(((p)_(6)) \kanan)=N\kiri(3;2 ;1\kanan)=3. \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang diharapkan, ada 6 permutasi $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ secara total (tentu saja, seseorang dapat menuliskannya dalam urutan yang berbeda - intinya tidak berubah), dan jumlah inversi di dalamnya bervariasi dari 0 hingga 3.

Secara umum, kita akan memiliki tiga suku plus (di mana $N\left(p \right)$ adalah genap) dan tiga suku minus lagi. Secara umum, determinan akan dihitung dengan rumus:

\[\kiri| \begin(matriks) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\end (matriks) \kanan|=\begin(matriks) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\akhir(matriks)\]

Jangan duduk sekarang dan dengan marah menjejalkan semua indeks ini! Daripada angka yang tidak bisa dipahami, lebih baik mengingat aturan mnemonik berikut:

Aturan segitiga. Untuk menemukan determinan matriks 3x3, Anda perlu menjumlahkan tiga produk dari elemen-elemen pada diagonal utama dan di simpul segitiga sama kaki dengan sisi yang sejajar dengan diagonal ini, lalu kurangi tiga produk yang sama, tetapi pada diagonal sekunder . Secara skematis, tampilannya seperti ini:

Penentu Matriks 3x3: Aturan Segitiga

Segitiga inilah (atau pentagram - sesuka Anda) yang mereka suka menggambar di semua jenis buku teks dan manual tentang aljabar. Namun, jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Mari kita hitung satu determinan seperti itu - untuk pemanasan sebelum timah asli. :)

Tugas. Hitung determinannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Larutan. Kami bekerja sesuai dengan aturan segitiga. Pertama, mari kita hitung tiga suku yang terdiri dari elemen-elemen pada diagonal utama dan sejajar dengannya:

\[\begin(sejajarkan) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(sejajarkan) \]

Sekarang mari kita berurusan dengan sisi diagonal:

\[\begin(sejajarkan) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(sejajarkan) \]

Tetap hanya mengurangi angka kedua dari angka pertama - dan kami mendapatkan jawabannya:

Itu saja!

Namun, determinan matriks 3x3 belum menjadi keterampilan puncak. Yang paling menarik menunggu kami lebih jauh. :)

Skema umum untuk menghitung determinan

Seperti yang kita ketahui, dengan bertambahnya dimensi matriks $n$, jumlah suku dalam determinan adalah $n!$ dan bertambah dengan cepat. Lagi pula, faktorial adalah fungsi yang tumbuh cukup cepat.

Sudah untuk matriks 4x4, entah bagaimana menjadi tidak baik untuk menghitung determinan di depan (yaitu, melalui permutasi). Saya biasanya diam tentang 5x5 dan banyak lagi. Oleh karena itu, beberapa sifat determinan dikaitkan dengan kasus, tetapi diperlukan sedikit persiapan teoretis untuk memahaminya.

Siap? Pergi!

Apa itu matriks minor

Biarkan matriks sewenang-wenang $A=\left[ m\times n \right]$ diberikan. Catatan: tidak harus persegi. Tidak seperti determinan, anak di bawah umur adalah hal lucu yang tidak hanya ada di matriks persegi yang keras. Kami memilih beberapa (misalnya, $k$) baris dan kolom dalam matriks ini, dengan $1\le k\le m$ dan $1\le k\le n$. Kemudian:

Definisi. Orde minor $k$ adalah determinan matriks persegi yang muncul di persimpangan kolom dan baris $k$ yang dipilih. Kami juga akan menyebut matriks baru ini sebagai minor.

Minor seperti itu dilambangkan dengan $((M)_(k))$. Secara alami, satu matriks dapat memiliki banyak anak di bawah umur dengan urutan $k$. Berikut adalah contoh order 2 minor untuk matriks $\left[ 5\times 6 \right]$:

Memilih $k = 2$ kolom dan baris untuk membentuk minor

Baris dan kolom yang dipilih tidak perlu berdampingan, seperti pada contoh di atas. Hal utama adalah bahwa jumlah baris dan kolom yang dipilih harus sama (ini adalah angka $k$).

Ada definisi lain. Mungkin seseorang akan lebih menyukainya:

Definisi. Biarkan matriks persegi panjang $A=\left[ m\times n \right]$ diberikan. Jika, setelah menghapus satu atau lebih kolom dan satu atau lebih baris, matriks persegi berukuran $\left[ k\times k \right]$ terbentuk di dalamnya, maka determinannya adalah minor $((M)_(k ))$ . Kami juga terkadang menyebut matriks itu sendiri sebagai minor - ini akan jelas dari konteksnya.

Seperti yang biasa dikatakan kucing saya, terkadang lebih baik mendapatkan makanan dari lantai 11 satu kali daripada mengeong sambil duduk di balkon.

Contoh. Biarkan matriks

Dengan memilih baris 1 dan kolom 2, kita mendapatkan minor orde pertama:

\[((M)_(1))=\kiri| 7\kanan|=7\]

Memilih baris 2, 3 dan kolom 3, 4, kami mendapatkan minor orde kedua:

\[((M)_(2))=\kiri| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

Dan jika Anda memilih ketiga baris, serta kolom 1, 2, 4, akan ada minor dari urutan ketiga:

\[((M)_(3))=\kiri| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Tidak akan sulit bagi pembaca untuk menemukan anak di bawah umur lainnya dari pesanan 1, 2 atau 3. Oleh karena itu, mari kita lanjutkan.

penambahan aljabar

"Yah, oke, dan apa yang diberikan antek-antek ini kepada kita di bawah umur?" Anda pasti akan bertanya. Sendiri, tidak apa-apa. Namun dalam matriks persegi, setiap minor memiliki "pendamping" - minor tambahan, serta tambahan aljabar. Dan bersama-sama kedua slapstick ini akan memungkinkan kita untuk mengklik faktor penentu seperti orang gila.

Definisi. Biarkan matriks persegi $A=\left[ n\times n \right]$ diberikan, di mana minor $((M)_(k))$ dipilih. Kemudian minor tambahan untuk minor $((M)_(k))$ adalah bagian dari matriks asli $A$, yang akan tetap ada setelah menghapus semua baris dan kolom yang terlibat dalam kompilasi minor $((M )_(k))$:

Tambahan minor ke minor $((M)_(2))$

Mari kita perjelas satu hal: minor tambahan bukan hanya "bagian dari matriks", tetapi penentu bagian ini.

Anak di bawah umur tambahan dilambangkan dengan tanda bintang: $M_(k)^(*)$:

di mana operasi $A\nabla ((M)_(k))$ secara harfiah berarti "hapus dari $A$ baris dan kolom yang termasuk dalam $((M)_(k))$". Operasi ini tidak diterima secara umum dalam matematika - saya baru saja membuatnya sendiri untuk keindahan ceritanya. :)

Anak di bawah umur pelengkap jarang digunakan sendiri. Mereka adalah bagian dari konstruksi yang lebih kompleks - penjumlahan aljabar.

Definisi. Komplemen aljabar dari minor $((M)_(k))$ adalah minor komplementer $M_(k)^(*)$ dikalikan dengan $((\left(-1 \right))^(S)) $ , di mana $S$ adalah jumlah dari jumlah semua baris dan kolom yang terlibat dalam minor asli $((M)_(k))$.

Biasanya, pelengkap aljabar dari minor $((M)_(k))$ dilambangkan dengan $((A)_(k))$. Itu sebabnya:

\[((A)_(k))=((\kiri(-1 \kanan))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Sulit? Sekilas, ya. Tapi itu tidak persis. Karena itu sangat mudah. Pertimbangkan sebuah contoh:

Contoh. Diberi matriks 4x4:

Kami memilih minor dari urutan kedua

\[((M)_(2))=\kiri| \begin(matriks) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matriks) \kanan|\]

Bukti Kapten, seolah-olah, mengisyaratkan kepada kami bahwa baris 1 dan 4, serta kolom 3 dan 4, terlibat dalam kompilasi minor ini. Kami mencoretnya - kami mendapatkan minor tambahan:

Tetap menemukan angka $S$ dan mendapatkan pelengkap aljabar. Karena kita mengetahui jumlah baris yang terlibat (1 dan 4) dan kolom (3 dan 4), semuanya sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\kiri(-1 \kanan))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\kiri(-1 \kanan) )^(12))\cdot\kiri(-4\kanan)=-4\akhir(sejajarkan)\]

Jawaban: $((A)_(2))=-4$

Itu saja! Nyatanya, seluruh perbedaan antara minor tambahan dan penjumlahan aljabar hanya ada pada minus di depan, itupun tidak selalu.

Teorema Laplace

Jadi kami sampai pada titik mengapa, pada kenyataannya, semua minor dan penambahan aljabar ini diperlukan.

Teorema Laplace tentang dekomposisi determinan. Biarkan $k$ baris (kolom) dipilih dalam matriks berukuran $\left[ n\times n \right]$, dengan $1\le k\le n-1$. Maka determinan dari matriks ini sama dengan jumlah dari semua hasil kali minor berorde $k$ yang terdapat dalam baris (kolom) yang dipilih dan pelengkap aljabarnya:

\[\kiri| A \kanan|=\jumlah(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Selain itu, akan ada $C_(n)^(k)$ istilah seperti itu.

Oke, oke: tentang $C_(n)^(k)$ - Saya sudah pamer, tidak ada yang seperti itu di teorema Laplace asli. Tetapi tidak ada yang membatalkan kombinatorik, dan secara harfiah pandangan sepintas pada kondisi tersebut akan memungkinkan Anda untuk memastikan sendiri bahwa akan ada banyak istilah. :)

Kami tidak akan membuktikannya, meskipun ini tidak terlalu sulit - semua perhitungan bermuara pada permutasi lama yang baik dan inversi genap / ganjil. Namun, pembuktiannya akan disajikan dalam paragraf terpisah, dan hari ini kita memiliki pelajaran yang murni praktis.

Oleh karena itu, kami beralih ke kasus khusus dari teorema ini, ketika minor adalah sel terpisah dari matriks.

Perluasan baris dan kolom determinan

Apa yang akan kita bicarakan sekarang adalah alat utama untuk bekerja dengan determinan, untuk itu semua permainan dengan permutasi, minor, dan penambahan aljabar ini dimulai.

Baca dan nikmati:

Konsekuensi dari Teorema Laplace (dekomposisi determinan dalam baris/kolom). Biarkan satu baris dipilih dalam matriks $\left[ n\times n \right]$. Anak di bawah umur di baris ini akan menjadi $n$ sel individu:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Minor tambahan juga mudah dihitung: cukup ambil matriks asli dan coret baris dan kolom yang berisi $((a)_(ij))$. Kami menyebut anak di bawah umur seperti itu $M_(ij)^(*)$.

Untuk pelengkap aljabar, angka $S$ juga diperlukan, tetapi dalam kasus minor orde 1, ini hanyalah jumlah dari "koordinat" sel $((a)_(ij))$:

Dan kemudian determinan aslinya dapat ditulis dalam bentuk $((a)_(ij))$ dan $M_(ij)^(*)$ menurut teorema Laplace:

\[\kiri| A \kanan|=\jumlah\batas_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\kiri(-1 \kanan))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Itulah apa itu rumus perluasan baris. Tetapi hal yang sama berlaku untuk kolom.

Beberapa kesimpulan dapat ditarik dari konsekuensi ini:

1. Skema ini bekerja dengan baik untuk baris dan kolom. Faktanya, dekomposisi paling sering terjadi tepat di sepanjang kolom, bukan di sepanjang garis.
2. Jumlah suku dalam perluasan selalu tepat $n$. Ini jauh lebih kecil dari $C_(n)^(k)$ dan bahkan kurang dari $n!$.
3. Alih-alih satu determinan $\left[ n\times n \right]$, Anda harus menghitung beberapa determinan berukuran satu lebih sedikit: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \kanan) \kanan ]$.

Fakta terakhir sangat penting. Misalnya, alih-alih determinan 4x4 yang brutal, sekarang cukup menghitung beberapa determinan 3x3 - entah bagaimana kita akan mengatasinya. :)

Tugas. Temukan determinannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrix) \right|\]

Larutan. Mari kita perluas determinan ini dengan baris pertama:

\[\begin(sejajarkan)\kiri| A \kanan|=1\cdot ((\kiri(-1 \kanan))^(1+1))\cdot \kiri| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \kiri| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \kiri| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(sejajarkan) & =1\cdot \kiri(45-48 \kanan)-2\cdot \kiri(36-42 \kanan)+3\cdot \kiri(32-35 \kanan)= \\ & =1\cdot\kiri(-3\kanan)-2\cdot\kiri(-6\kanan)+3\cdot\kiri(-3\kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]

Tugas. Temukan determinannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|\ ]

Larutan. Untuk perubahan, kali ini mari kita bekerja dengan kolom. Misalnya, di kolom terakhir ada dua angka nol sekaligus - jelas, ini akan mengurangi perhitungan secara signifikan. Sekarang Anda akan melihat alasannya.

Jadi, kami memperluas determinan di kolom keempat:

\[\begin(sejajarkan)\kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 0\cdot ((\kiri(-1 \kanan))^(1+4))\cdot \kiri| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ kanan))^(2+4))\cdot \kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ kanan))^(3+4))\cdot \kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ kanan))^(4+4))\cdot \kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right| &\\\akhir(sejajarkan)\]

Dan kemudian - oh, keajaiban! - dua istilah langsung sia-sia, karena mereka memiliki pengali "0". Ada dua determinan 3x3 lagi yang dapat kita tangani dengan mudah:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(sejajarkan)\]

Kami kembali ke sumbernya dan menemukan jawabannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 1\cdot \kiri(-1 \kanan)+\kiri(-1 \kanan)\cdot 1=-2\]

OK itu semua berakhir Sekarang. Dan tidak ada 4! = 24 suku tidak harus dihitung. :)

Jawaban: -2

Sifat dasar determinan

Pada soal terakhir, kita melihat bagaimana keberadaan nol pada baris (kolom) matriks secara drastis menyederhanakan perluasan determinan dan, secara umum, semua perhitungan. Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah mungkin membuat angka nol ini muncul bahkan dalam matriks yang aslinya tidak ada?

Jawabannya jelas: Bisa. Dan di sini sifat-sifat determinan membantu kami:

1. Jika Anda menukar dua baris (kolom) di beberapa tempat, determinannya tidak akan berubah;
2. Jika satu baris (kolom) dikalikan dengan angka $k$, maka seluruh determinan juga dikalikan dengan angka $k$;
3. Jika Anda mengambil satu string dan menambahkan (mengurangi) beberapa kali dari yang lain, determinannya tidak akan berubah;
4. Jika dua baris determinan sama, atau proporsional, atau salah satu baris diisi dengan nol, maka seluruh determinan sama dengan nol;
5. Semua properti di atas juga berlaku untuk kolom.
6. Mentranspos matriks tidak mengubah determinan;
7. Determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan.

Nilai khusus adalah properti ketiga: kita bisa kurangi dari satu baris (kolom) lainnya hingga nol muncul di tempat yang tepat.

Paling sering, perhitungan diturunkan menjadi "meniadakan" seluruh kolom di mana-mana kecuali satu elemen, dan kemudian memperluas determinan di sepanjang kolom ini, mendapatkan matriks berukuran 1 lebih kecil.

Mari kita lihat bagaimana ini bekerja dalam praktiknya:

Tugas. Temukan determinannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ ]

Larutan. Nol di sini, seolah-olah, tidak diamati sama sekali, jadi Anda dapat "melubangi" baris atau kolom mana pun - jumlah perhitungannya akan kurang lebih sama. Jangan sepelekan dan "nolkan" kolom pertama: kolom ini sudah memiliki sel dengan satuan, jadi ambil saja baris pertama dan kurangi 4 kali dari baris kedua, 3 kali dari baris ketiga, dan 2 kali dari baris terakhir.

Hasilnya, kita akan mendapatkan matriks baru, tetapi determinannya akan sama:

\[\begin(matrix)\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ mulai(matriks) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\akhir(matriks)= \\ =\kiri| \begin(matriks) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matriks) \kanan|= \\ =\kiri| \begin(matriks) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matriks)\kanan| \\\akhir(matriks)\]

Sekarang, dengan ketenangan hati Piglet, kami menguraikan determinan ini di kolom pertama:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|+0\cdot ((\ kiri(-1 \kanan))^(2+1))\cdot \kiri| ... \kanan|+ \\ +0\cdot ((\kiri(-1 \kanan))^(3+1))\cdot \kiri| ... \kanan|+0\cdot ((\kiri(-1 \kanan))^(4+1))\cdot \kiri| ... \kanan| \\\akhir(matriks)\]

Jelas bahwa hanya suku pertama yang akan "bertahan" - selebihnya saya bahkan tidak menuliskan determinannya, karena masih dikalikan dengan nol. Koefisien di depan determinan sama dengan satu, yaitu itu mungkin tidak direkam.

Tapi Anda bisa menghilangkan "minus" dari ketiga garis penentu. Faktanya, kami menghilangkan faktor (−1) tiga kali:

\[\kiri| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\]

Kami mendapat determinan kecil 3x3, yang sudah bisa dihitung dengan aturan segitiga. Tetapi kami akan mencoba menguraikannya di kolom pertama - manfaat di baris terakhir dengan bangga adalah satu:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrix)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right| \\\end(sejajarkan)\]

Anda tentu saja masih bisa bersenang-senang dan menguraikan matriks 2x2 dalam satu baris (kolom), tetapi kami cukup dengan Anda, jadi kami hanya menghitung jawabannya:

\[\kiri(-1\kanan)\cdot\kiri| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Beginilah mimpi dipatahkan. Jawabannya hanya -160. :)

Jawaban: -160.

Beberapa catatan sebelum kita beralih ke tugas terakhir:

1. Matriks asli simetris terhadap diagonal sekunder. Semua minor dalam dekomposisi juga simetris terhadap diagonal sekunder yang sama.
2. Sebenarnya, kami tidak dapat menyusun apa pun, tetapi cukup membawa matriks ke bentuk segitiga atas, ketika ada nol padat di bawah diagonal utama. Kemudian (sesuai persis dengan interpretasi geometris, omong-omong) determinannya sama dengan produk dari $((a)_(ii))$, angka pada diagonal utama.

Tugas. Temukan determinannya:

\[\kiri| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|\ ]

Larutan. Nah, di sini baris pertama hanya memohon untuk "memusatkan perhatian". Kami mengambil kolom pertama dan mengurangi yang lain tepat satu kali:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|= \\&=\kiri| \begin(matriks) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matriks) \kanan|= \\ & =\kiri| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right| \\\end(sejajarkan)\]

Luaskan pada baris pertama, lalu keluarkan faktor persekutuan dari baris yang tersisa:

\[\cdot\kiri| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\]

Sekali lagi kami mengamati angka-angka "indah", tetapi sudah di kolom pertama - kami menguraikan determinan sesuai dengan itu:

\[\begin(sejajarkan) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ kanan))^(1+1))\cdot \kiri| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( meluruskan)\]

Memesan. Masalah terpecahkan.

Jawaban: 1440

Matriks persegi A memesan N Anda dapat mencocokkan nomor det A(atau | A|, atau ), memanggilnya penentu , dengan cara berikut:

Penentu matriks A juga memanggilnya penentu . Aturan untuk menghitung determinan untuk matriks pesanan N cukup sulit untuk dipahami dan diterapkan. Namun, metode diketahui yang memungkinkan untuk mengimplementasikan perhitungan determinan orde tinggi berdasarkan determinan orde rendah. Salah satu metode didasarkan pada properti untuk memperluas determinan dalam hal elemen dari deret tertentu (properti 7). Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa diinginkan untuk dapat menghitung determinan pesanan rendah (1, 2, 3) sesuai dengan definisi.

Perhitungan determinan orde ke-2 diilustrasikan oleh diagram:

Contoh 4.1. Temukan determinan matriks

Saat menghitung penentu urutan ke-3, lebih mudah digunakan aturan segitiga (atau Sarrus), yang secara simbolis dapat ditulis sebagai berikut:

Contoh 4.2. Menghitung determinan matriks

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Mari kita merumuskan sifat-sifat utama dari determinan yang melekat pada determinan dari semua ordo. Mari kita jelaskan beberapa sifat ini menggunakan determinan orde ketiga.

Properti 1 ("Persamaan baris dan kolom"). Penentu tidak berubah jika barisnya diganti dengan kolom, dan sebaliknya. Dengan kata lain,

Berikut ini, baris dan kolom hanya akan dipanggil deretan determinan .

Properti 2 . Ketika dua baris sejajar dipertukarkan, determinan berubah tanda.

Properti 3 . Penentu yang memiliki dua baris identik adalah nol.

Properti 4 . Faktor persekutuan dari setiap baris determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

Dari sifat 3 dan 4 berikut ini bahwa jika semua elemen dari deret tertentu sebanding dengan elemen yang sesuai dari deret paralel, maka determinan tersebut sama dengan nol.

Benar-benar,

Properti 5 . Jika elemen dari setiap deret determinan adalah jumlah dari dua suku, maka determinan dapat didekomposisi menjadi jumlah dari dua determinan yang bersesuaian.

Misalnya,

Properti 6. ("Transformasi dasar dari determinan"). Penentu tidak berubah jika kita menambahkan elemen-elemen dari satu baris ke elemen-elemen yang sesuai dari baris paralel, dikalikan dengan angka apa pun.

Contoh 4.3. Buktikan itu

Solusi: Memang dengan menggunakan sifat 5, 4 dan 3 kita belajar

Sifat determinan selanjutnya dihubungkan dengan konsep pelengkap minor dan aljabar.

Minor beberapa elemen aij penentu N- th urutan disebut determinan N- Urutan pertama, diperoleh dari aslinya dengan mencoret baris dan kolom di persimpangan tempat elemen yang dipilih berada. Dilambangkan mij

tambahan aljabar elemen aij determinan disebut minornya, diambil dengan tanda plus, jika jumlahnya saya + j bilangan genap, dan dengan tanda minus jika jumlahnya ganjil. Dilambangkan Ya :

Properti 7 ("Dekomposisi determinan dalam bentuk elemen deret tertentu"). Determinannya sama dengan jumlah produk elemen dari deret tertentu dan pelengkap aljabarnya yang sesuai.

Sebagian besar model matematika dalam ekonomi dijelaskan menggunakan matriks dan kalkulus matriks.

Matriks adalah tabel persegi panjang yang berisi angka, fungsi, persamaan, atau objek matematika lainnya yang disusun dalam baris dan kolom.

Objek yang membentuk matriks menyebutnya elemen . Matriks dilambangkan dengan huruf Latin kapital

dan elemennya inline.

Simbol
artinya matriks Memiliki
baris dan kolom elemen di persimpangan baris -th dan kolom -th
.

.

Mereka mengatakan bahwa matriks A sama dengan matriks DI DALAM : A=B jika mereka memiliki struktur yang sama (yaitu, jumlah baris dan kolom yang sama) dan elemen-elemen yang bersesuaian sama persis
, untuk semua
.

Jenis matriks tertentu

Dalam prakteknya, matriks dengan bentuk khusus cukup sering dijumpai. Beberapa metode juga melibatkan transformasi matriks dari satu jenis ke jenis lainnya. Jenis matriks yang paling umum tercantum di bawah ini.

	matriks persegi, jumlah baris N sama dengan jumlah kolom N
	matriks kolom
	matriks-baris
	matriks segitiga bawah
	matriks segitiga atas
	matriks nol
	matriks diagonal
e =	matriks identitas e(persegi)
	matriks kesatuan
	matriks langkah
	Matriks kosong

Elemen matriks, dengan jumlah baris dan kolom yang sama A ii membentuk diagonal utama matriks.

Operasi pada matriks.

.

Sifat-sifat operasi pada matriks

Mengoperasikan properti tertentu

Jika perkalian matriks
ada, maka produk
mungkin tidak ada. Secara umum,
. Artinya, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Jika
, Itu Dan disebut komutatif. Misalnya, matriks diagonal dengan orde yang sama bersifat komutatif.

Jika
, lalu opsional
atau
. Artinya, produk dari matriks bukan nol dapat menghasilkan matriks nol. Misalnya

operasi eksponensial didefinisikan hanya untuk matriks persegi. Jika
, Itu

.

Menurut definisi diasumsikan
, dan mudah untuk menunjukkannya
,
. Perhatikan bahwa dari
itu tidak mengikuti itu
.

Eksponensial elemen demi elemen A. M =
.

Operasi transpose matriks adalah mengganti baris matriks dengan kolomnya:

,

Misalnya

,
.

Properti transpos:

Determinan dan sifat-sifatnya.

Untuk matriks persegi, konsep ini sering digunakan penentu - angka yang dihitung oleh elemen matriks menggunakan aturan yang ditentukan secara ketat. Angka ini merupakan karakteristik penting dari matriks dan dilambangkan dengan simbol

.

penentu matriks
adalah elemennya .

Penentu matriks
dihitung menurut aturan:

yaitu, perkalian unsur-unsur diagonal tambahan dikurangkan dari perkalian unsur-unsur diagonal utama.

Untuk menghitung determinan orde tinggi (
) perlu untuk memperkenalkan konsep pelengkap minor dan aljabar suatu elemen.

Minor
elemen disebut determinan, yang diperoleh dari matriks , mencoret baris -th dan kolom -th.

Pertimbangkan matriksnya ukuran
:

,

lalu, misalnya,

tambahan aljabar elemen menyebutnya minor dikalikan dengan
.

,

Teorema Laplace: Determinan matriks bujur sangkar sama dengan jumlah produk elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dan pelengkap aljabarnya.

Misalnya mogok
dengan elemen baris pertama, kita mendapatkan:

Teorema terakhir memberikan cara universal untuk menghitung determinan dari urutan apa pun, mulai dari yang kedua. Sebagai baris (kolom), selalu pilih salah satu yang memiliki jumlah nol terbesar. Misalnya, diperlukan untuk menghitung determinan urutan keempat

Dalam hal ini, Anda dapat memperluas determinan di kolom pertama:

atau baris terakhir:

Contoh ini juga menunjukkan bahwa determinan matriks segitiga atas sama dengan perkalian elemen diagonalnya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa kesimpulan ini berlaku untuk semua matriks segitiga dan diagonal.

Teorema Laplace memungkinkan untuk mengurangi perhitungan determinan urutan ke-th untuk menghitung penentu
urutan ke-th dan, akhirnya, untuk perhitungan determinan urutan kedua.