determinan oleh elemen baris atau kolom
Sifat-sifat selanjutnya berkaitan dengan konsep komplemen minor dan aljabar
Definisi. Minor elemen disebut determinan, terdiri dari elemen-elemen yang tersisa setelah dicoretSaya-saluran air danJkolom ke-pada perpotongan dimana elemen ini berada. Minor dari unsur determinan N-urutan ke-sudah berurutan ( N- 1). Kami akan menyatakannya dengan .
Contoh 1. Membiarkan 
, Kemudian 
.
Minor ini diperoleh dari A dengan mencoret baris kedua dan kolom ketiga.
Definisi.
Komplemen aljabar
elemen disebut minor yang sesuai, dikalikan dengan nat.e 
, Di manaSaya–nomor baris danJ-kolom di persimpangan tempat elemen ini berada.
VІІІ. (Penguraian determinan menjadi elemen-elemen string tertentu). Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris tertentu dan komplemen aljabarnya yang bersesuaian.
.
Contoh 2. Biarkan saja
.
Contoh 3. Mari kita cari determinan matriks dengan memperluasnya ke elemen-elemen baris pertama.
Secara formal, teorema ini dan sifat-sifat determinan lainnya hanya berlaku untuk determinan matriks yang tidak lebih tinggi dari orde ketiga, karena kita belum mempertimbangkan determinan lainnya. Definisi berikut akan memungkinkan kita memperluas sifat-sifat ini ke determinan dengan orde apa pun.
Definisi. Penentu matriks A Orde ke-n adalah bilangan yang dihitung dengan penerapan teorema ekspansi dan sifat-sifat determinan lainnya secara berurutan.
Anda dapat memeriksa bahwa hasil perhitungan tidak bergantung pada urutan penerapan properti di atas dan untuk baris dan kolom mana. Dengan menggunakan definisi ini, determinannya ditemukan secara unik.
Meskipun definisi ini tidak memuat rumus eksplisit untuk mencari determinan, definisi ini memungkinkan seseorang untuk menemukannya dengan mereduksinya menjadi determinan matriks-matriks yang berorde lebih rendah. Definisi seperti itu disebut berulang.
Contoh 4. Hitung determinannya: .
Meskipun teorema faktorisasi dapat diterapkan pada setiap baris atau kolom matriks tertentu, perhitungan yang lebih sedikit diperoleh dengan memfaktorkan sepanjang kolom yang berisi angka nol sebanyak mungkin.
Karena matriks tidak mempunyai elemen nol, kita memperolehnya menggunakan properti 7). Lipat gandakan baris pertama secara berurutan dengan angka (–5), (–3) dan (–2) dan tambahkan ke baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dan dapatkan:
Mari kita perluas determinan yang dihasilkan di sepanjang kolom pertama dan dapatkan:
(kita ambil (–4) dari baris ke-1, (–2) dari baris ke-2, (–1) dari baris ke-3 menurut sifat 4) 
(karena determinan berisi dua kolom proporsional).
§ 1.3. Beberapa jenis matriks dan determinannya
Definisi. persegi m matriks yang elemennya nol di bawah atau di atas diagonal utama(=0 pada Saya J, atau =0 pada Saya J) diteleponsegitiga .
Struktur skemanya terlihat seperti: 
atau 
.
Di sini 0 berarti nol elemen, dan berarti elemen sembarang.
Dalil. Penentu matriks segitiga siku-siku sama dengan hasil kali elemen-elemennya yang terletak pada diagonal utama, yaitu.
.
Misalnya:
.
Definisi. Matriks persegi yang elemen luar diagonal utamanya nol disebutdiagonal .
Tampilan skematisnya: 
Matriks diagonal yang hanya memiliki elemen satuan pada diagonal utamanya disebut lajang matriks. Hal ini dilambangkan dengan:
Penentu matriks identitas adalah 1, yaitu. E=1.
Tanpa transformasi matriks, determinan mudah dihitung hanya untuk matriks berukuran 2x2 dan 3x3. Hal ini dilakukan sesuai dengan rumus:
Untuk matriks
determinannya sama dengan:
Untuk matriks
determinannya sama dengan:
a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)
Perhitungan matriks berukuran 4x4 ke atas sulit dilakukan sehingga perlu ditransformasikan sesuai dengan sifat determinannya. Kita harus berusaha keras untuk mendapatkan matriks yang semua nilainya kecuali satu kolom atau baris mana pun sama dengan nol. Contoh matriks tersebut:
Untuk itu, determinannya sama dengan:
A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))
perhatikan itu
a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)
Berikut adalah perhitungan determinan matriks yang diperoleh dengan mengurangkan satu baris dan satu kolom, yang pada perpotongannya terdapat satu-satunya bilangan bukan nol dari baris/kolom tersebut, yang menurut matriks tersebut kita dekomposisi:
Dan nilai yang dihasilkan kita kalikan dengan angka yang sama dari kolom/baris “nol”, sedangkan angkanya bisa dikalikan -1 (detail selengkapnya di bawah).
Jika kita mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga, maka determinannya dihitung sebagai hasil kali angka-angka sepanjang diagonal. Misalnya untuk matriks
Penentunya sama dengan:
Hal yang sama harus dilakukan dengan matriks 5x5, 6x6 dan matriks berdimensi besar lainnya.
Transformasi matriks harus dilakukan sesuai dengan sifat-sifat determinannya. Namun sebelum kita melanjutkan ke latihan menghitung determinan matriks 4x4, mari kita kembali ke matriks 3x3 dan melihat lebih dekat cara menghitung determinan matriks tersebut.
Minor
Penentu suatu matriks tidak terlalu mudah untuk dipahami karena terdapat rekursi dalam konsepnya: determinan suatu matriks terdiri dari beberapa elemen, termasuk determinan matriks (lainnya).
Agar tidak terjebak di sini, mari kita asumsikan (sementara) sekarang bahwa determinan suatu matriks adalah
dihitung seperti ini:
Mari kita juga memahami konvensi dan konsep seperti minor Dan komplemen aljabar.
Huruf i melambangkan nomor urut baris, dan huruf j melambangkan nomor urut kolom.
a ij berarti elemen matriks (digit) pada perpotongan baris i dan kolom j.
Bayangkan sebuah matriks yang diperoleh dari matriks aslinya dengan menghilangkan baris i dan kolom j. Penentu matriks baru yang diperoleh dari matriks asal dengan menghilangkan baris i dan kolom j disebut minor M ij dari elemen a ij .
Mari kita ilustrasikan apa yang telah dikatakan. Misalkan diberikan sebuah matriks
Kemudian untuk menentukan minor M 11 dari elemen a 11, kita perlu membuat matriks baru, yang diperoleh dari matriks asli dengan menghilangkan baris pertama dan kolom pertama:
Dan hitung determinannya: 2*1 – (-4)*0 = 2
Untuk menentukan M 22 minor dari elemen a 22, kita perlu membuat matriks baru, yang diperoleh dari matriks asli dengan menghilangkan baris kedua dan kolom kedua:
Dan hitung determinannya: 1*1 -3*3 = -8
Komplemen aljabar
Komplemen aljabar A ij untuk suatu unsur a ij adalah M ij minor dari unsur tersebut, diambil dengan tanda “+”, jika jumlah indeks baris dan kolom (i + j) pada perpotongan unsur tersebut adalah genap, dan dengan tanda “-” jika jumlah indeksnya ganjil.
Dengan demikian,
Untuk matriks dari contoh sebelumnya
SEBUAH 11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2
SEBUAH 22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8
Menghitung determinan matriks
Penentu orde n yang bersesuaian dengan matriks A adalah bilangan yang dilambangkan dengan det A dan dihitung dengan rumus:
Segala sesuatu dalam rumus ini sudah tidak asing lagi bagi kita, sekarang mari kita menghitung determinan matriksnya
Berapapun banyaknya baris i = 1,2,...,n atau kolom j = 1, 2,...,n, determinan orde ke-n sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen pada baris ini atau ini kolom dengan komplemen aljabarnya, mis.
Itu. determinannya dapat dihitung dari kolom atau baris mana pun.
Untuk memverifikasinya, mari kita hitung determinan matriks dari contoh terakhir menggunakan kolom kedua
Seperti yang Anda lihat, hasilnya identik dan untuk matriks ini determinannya akan selalu -52, terlepas dari baris atau kolom mana kita menghitungnya.
Sifat-sifat determinan matriks
- Baris dan kolom determinan adalah sama, yaitu nilai determinan tidak akan berubah jika baris dan kolomnya ditukar dengan tetap mempertahankan urutannya. Operasi ini disebut transposisi determinan. Sesuai dengan sifat yang dirumuskan det A = det AT.
- Ketika dua baris (atau dua kolom) dipertukarkan, determinan tetap mempertahankan nilai absolutnya, namun berubah tanda ke arah sebaliknya.
- Penentu dengan dua baris (atau kolom) identik sama dengan nol.
- Mengalikan semua elemen suatu baris (atau kolom) tertentu dari suatu determinan dengan angka λ sama dengan mengalikan determinan dengan angka λ.
- Jika seluruh elemen suatu baris (atau kolom) suatu determinan sama dengan nol, maka determinan itu sendiri juga sama dengan nol.
- Jika unsur-unsur dua baris (atau dua kolom) suatu determinan sebanding, maka determinannya sama dengan nol.
- Jika ke elemen-elemen suatu baris (atau kolom) tertentu dari determinan kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain (kolom lain), dikalikan dengan faktor sembarang λ, maka nilai determinan tidak akan berubah.
- Jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris (kolom mana pun) determinan dengan komplemen aljabar yang bersesuaian dari elemen-elemen baris lainnya (kolom mana pun) sama dengan nol.
- Jika seluruh elemen baris ke-i determinan dinyatakan sebagai jumlah dua suku a ij = b j + c j, maka determinan tersebut sama dengan jumlah dua determinan yang semua barisnya, kecuali baris ke-i, adalah sama seperti pada determinan yang diberikan, baris ke-i di salah satu suku terdiri dari unsur b j , dan di suku lainnya - unsur c j . Sifat serupa juga berlaku untuk kolom determinan.
- Penentu hasil kali dua matriks persegi sama dengan hasil kali determinannya: det (A * B) = det A * det B.
Untuk menghitung determinan orde apa pun, Anda dapat menggunakan metode pengurangan orde determinan secara berturut-turut. Untuk melakukan ini, gunakan aturan penguraian determinan menjadi elemen-elemen baris atau kolom. Cara lain untuk menghitung determinan adalah dengan menggunakan transformasi dasar dengan baris (atau kolom), terutama sesuai dengan sifat-sifat determinan 4 dan 7, untuk mereduksi determinan ke bentuk ketika berada di bawah diagonal utama determinan (didefinisikan dengan cara yang sama sedangkan untuk matriks persegi) semua elemennya sama dengan nol. Maka determinannya sama dengan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama.
Saat menghitung determinan dengan menurunkan urutan secara berturut-turut untuk mengurangi jumlah pekerjaan komputasi, disarankan untuk menggunakan properti 7 determinan untuk mencapai zeroing pada bagian elemen dari setiap baris atau kolom determinan, yang akan mengurangi jumlah determinan. penambahan aljabar yang dihitung.
Mereduksi suatu matriks menjadi bentuk segitiga, mentransformasikan suatu matriks untuk memudahkan perhitungan determinannya
Metode yang ditunjukkan di bawah ini tidak praktis untuk matriks 3x3, tetapi saya sarankan untuk melihat inti metode menggunakan contoh sederhana. Mari kita gunakan matriks yang determinannya telah kita hitung - akan lebih mudah bagi kita untuk memeriksa kebenaran perhitungannya:
Dengan menggunakan sifat ke-7 determinan, kurangi baris kedua dari baris kedua, dikalikan 2:
dari baris ketiga kita kurangi elemen-elemen yang bersesuaian dari baris pertama determinan, dikalikan 3:
Karena unsur-unsur determinan yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan 0, maka tentukan sama dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama:
1*2*(-26) = -52.
Seperti yang Anda lihat, jawabannya bertepatan dengan jawaban yang diterima sebelumnya.
Mari kita ingat rumus determinan matriks:
Penentunya adalah jumlah komplemen aljabar dikalikan dengan suku salah satu baris atau salah satu kolom.
Jika, sebagai hasil transformasi, kita membuat salah satu baris (atau kolom) seluruhnya terdiri dari nol kecuali satu posisi, maka kita tidak perlu menghitung semua penjumlahan aljabar, karena pasti sama dengan nol. . Seperti metode sebelumnya, metode ini disarankan digunakan untuk matriks berukuran besar.
Mari kita tunjukkan contoh pada matriks yang sama:
Kita perhatikan bahwa kolom kedua determinan sudah berisi satu elemen nol. Kita tambahkan elemen baris kedua ke elemen baris pertama, dikalikan -1. Kita mendapatkan:
Mari kita hitung determinannya dari kolom kedua. Kita hanya perlu menghitung satu penjumlahan aljabar, karena sisanya jelas-jelas dikurangi menjadi nol:
Perhitungan determinan untuk matriks dimensi 4x4, 5x5 dan lebih tinggi
Untuk menghindari terlalu banyak penghitungan untuk matriks besar, Anda harus melakukan transformasi yang dijelaskan di atas. Mari kita berikan beberapa contoh.
Hitung matriks keputusan
Larutan Dengan menggunakan sifat ke-7 dari determinan, kita kurangi baris ketiga dari baris kedua, dan dari baris keempat elemen-elemen yang bersesuaian dari baris pertama determinan, dikalikan masing-masing dengan 3, 4, 5. Kita akan menyingkat tindakan-tindakan ini sebagai berikut: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Kita peroleh:
Mari kita lakukan aksinya
Definisi. Jika pada determinan orde ke-n kita memilih k baris dan k kolom secara sembarang, maka elemen-elemen pada perpotongan baris dan kolom tersebut membentuk matriks persegi berorde k. Penentu matriks persegi tersebut disebut minor orde ke-k .
Dilambangkan dengan Mrk. Jika k=1, maka minor orde pertama merupakan unsur determinan.
Unsur-unsur pada perpotongan sisa baris (n-k) dan kolom (n-k) membentuk matriks persegi berorde (n-k). Penentu matriks seperti itu disebut minor, tambahan untuk minor M k . Dilambangkan dengan Mn-k.
Komplemen aljabar dari minor M k kita akan menyebutnya minor tambahan, diambil dengan tanda “+” atau “-”, tergantung pada apakah jumlah semua baris dan kolom di mana minor M k berada genap atau ganjil.
Jika k=1, maka komplemen aljabar elemen tersebut sebuah ik dihitung dengan rumus
A aku =(-1) aku+k M baiklah, dimana M ik- pesanan kecil (n-1).
Dalil. Hasil kali minor orde ke-k dan komplemen aljabarnya sama dengan jumlah sejumlah suku tertentu dari determinan D n.
Bukti
1. Mari kita pertimbangkan kasus khusus. Misalkan minor M k menempati pojok kiri atas determinan yaitu terletak pada garis bernomor 1, 2, ..., k, maka minor M n-k akan menempati garis k+1, k+2, ... , N.
Mari kita hitung komplemen aljabar terhadap minor M k . A-priori,
A nk =(-1) s M nk, dimana s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), maka
(-1) detik=1 dan A nk = M nk. Kita mendapatkan
M k A nk = M k M nk. (*)
Kami mengambil istilah sewenang-wenang dari minor M k
dimana s adalah jumlah inversi pada substitusi
dan suku minor sembarang M nk
dimana s* adalah banyaknya inversi pada substitusi
Mengalikan (1) dan (3), kita peroleh
Hasil kali terdiri dari n unsur yang terletak pada baris dan kolom berbeda dari determinan D. Oleh karena itu, hasil kali ini merupakan anggota determinan D. Tanda hasil kali (5) ditentukan oleh jumlah inversi substitusi (2) dan (4), dan tanda perkalian serupa pada determinan D ditentukan banyaknya inversi s k pada substitusi
Jelas bahwa s k =s+s * .
Jadi, kembali ke persamaan (*), kita memperoleh hasil kali M k A nk hanya terdiri dari syarat-syarat determinan.
2. Biarkan M kecil k terletak di baris dengan angka saya 1 , saya 2 , ..., saya k dan di kolom dengan angka j 1, j 2, ..., jk, Dan saya 1< i 2 < ...< i k Dan j 1< j 2 < ...< j k .
Dengan menggunakan sifat determinan, dengan menggunakan transposisi kita akan memindahkan minor ke pojok kiri atas. Kita memperoleh determinan D ¢, di mana minor M k menempati sudut kiri atas, dan tambahan minor M¢ nk adalah pojok kanan bawah, maka sesuai dengan yang dibuktikan pada poin 1 diperoleh hasil kali M k M¢ nk adalah jumlah sejumlah elemen determinan D ¢, diambil dengan tandanya sendiri. Tapi D¢ diperoleh dari D menggunakan ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transposisi string dan ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transposisi kolom. Artinya, semuanya sudah selesai
(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Oleh karena itu, suku-suku determinan D dan D ¢ berbeda tanda (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, oleh karena itu, hasil kali (-1) s M k M¢ nk akan terdiri dari sejumlah suku tertentu dari determinan D, diambil dengan tanda yang sama seperti pada determinan ini.
teorema Laplace. Jika pada determinan orde ke-n kita memilih secara sembarang k baris (atau k kolom) 1£k£n-1, maka jumlah hasil kali semua minor orde ke-k yang terdapat pada baris terpilih dan komplemen aljabarnya sama dengan determinan D .
Bukti
Mari kita pilih garis acak saya 1 , saya 2 , ..., saya k dan kami akan membuktikannya
Telah dibuktikan sebelumnya bahwa semua elemen di sisi kiri persamaan termasuk dalam suku-suku determinan D. Mari kita tunjukkan bahwa setiap suku dalam determinan D hanya termasuk dalam salah satu suku. Memang semuanya ts seperti ts =. jika dalam perkalian ini kita perhatikan faktor-faktor yang indeks pertamanya saya 1 , saya 2 , ..., saya k, dan menyusun produknya, maka Anda dapat melihat bahwa produk yang dihasilkan termasuk dalam minor orde ke-k. Oleh karena itu, suku-suku yang tersisa, diambil dari n-k baris dan n-k kolom yang tersisa, membentuk suatu elemen yang termasuk dalam minor komplementer, dan, dengan memperhatikan tandanya, termasuk dalam komplemen aljabar, oleh karena itu, sembarang ts hanya termasuk dalam salah satu hasil kali, yang membuktikan teorema tersebut.
Konsekuensi(teorema perluasan determinan berturut-turut) . Jumlah hasil kali unsur-unsur suatu deret tertentu determinan dan komplemen aljabar yang bersesuaian sama dengan determinan.
(Bukti sebagai latihan.)
Dalil. Jumlah hasil kali elemen-elemen baris ke-i determinan dengan komplemen aljabar yang bersesuaian dengan elemen-elemen baris ke-j (i¹j) sama dengan 0.
Komentar. Lebih mudah untuk menerapkan akibat wajar dari teorema Laplace pada determinan yang ditransformasikan menggunakan properti sedemikian rupa sehingga di salah satu baris (atau di salah satu kolom) semua elemen kecuali satu sama dengan 0.
Contoh. Hitung determinan
12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.
Matriks di bawah umur
Biarkan diberi persegi matriks A, n - urutan ke-th. Minor beberapa elemen aij, determinan matriks orde ke-n disebut penentu(n - 1) - urutan ke-th, diperoleh dari urutan asli dengan mencoret baris dan kolom pada perpotongan dimana elemen yang dipilih aij berada. Dilambangkan dengan Mij.
Mari kita lihat sebuah contoh determinan matriks 3 - urutannya:
Minor dan komplemen aljabar, determinan matriks 3 adalah ordonya, maka menurut definisinya kecil, kecil M12, sesuai dengan elemen a12, akan menjadi penentu:
Pada saat yang sama, dengan bantuan anak di bawah umur dapat mempermudah tugas perhitungan determinan matriks. Kita perlu menyebarkannya penentu matriks sepanjang beberapa garis dan kemudian penentu akan sama dengan jumlah semua elemen garis ini dengan minornya. Penguraian determinan matriks 3 - urutannya akan terlihat seperti ini:
, tanda di depan hasil kali adalah (-1) n, dimana n = i + j.
Penambahan aljabar:
Komplemen aljabar elemen aij disebut nya minor, diambil dengan tanda “+” jika jumlah (i + j) adalah bilangan genap, dan dengan tanda “-” jika jumlah tersebut ganjil. Dilambangkan dengan Aij.
Аij = (-1)i+j × Мij.
Kemudian kita dapat merumuskan kembali properti yang disebutkan di atas. Penentu matriks sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris (baris atau kolom) tertentu matriks untuk mereka yang sesuai penjumlahan aljabar. Contoh.
Komplemen aljabar- konsep aljabar matriks; terhadap elemen aij matriks persegi A dibentuk dengan mengalikan minor elemen aij dengan (1)i+j; dilambangkan dengan Аij: Aij=(1)i+jMij, dimana Mij adalah minor dari elemen aij dari matriks A=, yaitu penentu... ... Kamus ekonomi dan matematika
komplemen aljabar- Konsep aljabar matriks; terhadap elemen aij matriks persegi A dibentuk dengan mengalikan minor elemen aij dengan (1)i+j; dilambangkan dengan Аij: Aij=(1)i+jMij, dimana Mij adalah minor dari elemen aij dari matriks A=, yaitu determinan matriks,... ... Panduan Penerjemah Teknis
Lihat Seni. penentu... Ensiklopedia Besar Soviet
Untuk minor M, bilangan yang sama dengan M adalah minor berorde k, terletak pada baris-baris dengan bilangan dan kolom dengan bilangan dari suatu matriks persegi A berorde n; determinan matriks berorde n k diperoleh dari matriks A dengan menghapus baris dan kolom minor M;... ... Ensiklopedia Matematika
Wiktionary memiliki entri untuk "tambahan" Tambahan dapat berarti... Wikipedia
Operasi ini menempatkan subset dari himpunan X tertentu dalam korespondensi dengan himpunan bagian lain sehingga jika Mi N diketahui, maka himpunan X dapat dipulihkan dengan satu atau lain cara.Bergantung pada struktur apa yang dimiliki himpunan X,... ... Ensiklopedia Matematika
Atau determinan, dalam matematika, pencatatan bilangan-bilangan dalam bentuk tabel persegi, yang bersesuaian dengan bilangan lain (nilai determinan) ditempatkan. Seringkali konsep determinan berarti arti dari determinan dan bentuk pencatatannya.… … Ensiklopedia Collier
Untuk teorema dari teori probabilitas, lihat artikel Teorema lokal Moivre-Laplace. Teorema Laplace merupakan salah satu teorema aljabar linier. Dinamakan setelah matematikawan Prancis Pierre Simon Laplace (1749 1827), yang berjasa merumuskan ... ... Wikipedia
- (Matriks Laplacian) salah satu representasi graf dengan menggunakan matriks. Matriks Kirchhoff digunakan untuk menghitung pohon merentang suatu graf tertentu (teorema pohon matriks) dan juga digunakan dalam teori graf spektral. Isi 1... ...Wikipedia
Persamaan adalah hubungan matematis yang menyatakan persamaan dua ekspresi aljabar. Jika suatu persamaan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari hal-hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya, maka persamaan itu disebut identitas; misalnya perbandingan bentuk... ... Ensiklopedia Collier
Buku
- Matematika diskrit, A.V. Chashkin. 352 hal. Buku teks ini terdiri dari 17 bab pada bagian utama matematika diskrit: analisis kombinatorial, teori grafik, fungsi Boolean, kompleksitas komputasi dan teori pengkodean. Mengandung...
