1er año, matemáticas superiores, estudiamos matrices y acciones básicas sobre ellos. Aquí sistematizamos las principales operaciones que se pueden realizar con matrices. ¿Dónde empezar a familiarizarse con las matrices? Por supuesto, desde las cosas más simples: definiciones, conceptos básicos y operaciones más simples. Te aseguramos que las matrices serán entendidas por todo aquel que les dedique al menos un poco de tiempo!
Definición de una matriz
Matriz Es una mesa rectangular de elementos. Bueno, en términos simples: una tabla de números.
Por lo general, las matrices se indican con letras latinas mayúsculas. Por ejemplo, la matriz UN , matriz segundo etc. Las matrices pueden ser de diferentes tamaños: rectangulares, cuadradas, también hay matrices de fila y matrices de columna, llamadas vectores. El tamaño de la matriz está determinado por el número de filas y columnas. Por ejemplo, escriba una matriz rectangular de tamaño metro en norte dónde metro - el número de líneas, y norte - el número de columnas.
Elementos para los cuales i \u003d j (a11, a22, .. ) forman la diagonal principal de la matriz y se denominan diagonales.
¿Qué puedes hacer con las matrices? Sumar / restar, multiplicar por un número, multiplicarse entre ellos, transponer... Ahora sobre todas estas operaciones básicas en matrices en orden.
Operaciones de suma y resta de matrices
Le advertimos de inmediato que solo puede agregar matrices del mismo tamaño. El resultado es una matriz del mismo tamaño. Sumar (o restar) matrices es fácil: solo agrega sus respectivos elementos ... Pongamos un ejemplo. Agreguemos dos matrices A y B, de dos en dos.
La resta se realiza por analogía, solo con el signo contrario.
Cualquier matriz se puede multiplicar por un número arbitrario. Para hacer esto, necesitas multiplicar cada uno de sus elementos por este número. Por ejemplo, multipliquemos la matriz A del primer ejemplo por el número 5:
Operación de multiplicación de matrices
No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí. Por ejemplo, tenemos dos matrices: A y B. Se pueden multiplicar entre sí solo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. En este caso cada elemento de la matriz resultante, que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna, será igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes en la i-ésima fila del primer factor y la j-ésima columna del segundo... Para entender este algoritmo, escribamos cómo se multiplican dos matrices cuadradas:
Y un ejemplo con números reales. Multipliquemos matrices:
Operación de transposición de matriz
La transposición de matriz es una operación en la que se intercambian las filas y columnas correspondientes. Por ejemplo, transpongamos la matriz A del primer ejemplo:
Determinante de la matriz
Determinante, pero determinante es uno de los conceptos básicos del álgebra lineal. Érase una vez, la gente inventaba ecuaciones lineales, y detrás de ellas tenían que inventar un determinante. Como resultado, tienes que lidiar con todo esto, ¡así que, el último chorro!
Un determinante es una característica numérica de una matriz cuadrada, que se necesita para resolver muchos problemas.
Para calcular el determinante de la matriz cuadrada más simple, debe calcular la diferencia entre los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria.
El determinante de una matriz de primer orden, es decir, que consta de un elemento, es igual a este elemento.
¿Qué pasa si la matriz es de tres por tres? Esto es más complicado, pero puedes afrontarlo.
Para tal matriz, el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los productos de los elementos que se encuentran en triángulos con un borde paralelo a la diagonal principal, de los cuales se resta el producto de los elementos de la diagonal lateral y el producto de los elementos que se encuentran en los triángulos con un lado de la diagonal lateral paralela.
Afortunadamente, rara vez es necesario calcular determinantes de matrices grandes en la práctica.
Aquí hemos cubierto las operaciones básicas sobre matrices. Por supuesto, en la vida real, ni siquiera se puede encontrar un indicio de un sistema matricial de ecuaciones, o viceversa, para enfrentar casos mucho más difíciles en los que realmente tiene que romperse la cabeza. Es para estos casos que existe un servicio profesional para estudiantes. Solicite ayuda, obtenga una solución detallada y de alta calidad, disfrute de su éxito académico y de su tiempo libre.
Este manual le ayudará a aprender a realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, hallar la matriz inversa. Todo el material se presenta en una forma simple y accesible, se dan los ejemplos correspondientes, por lo que incluso una persona no preparada puede aprender a realizar acciones con matrices. Para realizar una autocomprobación y una autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita \u003e\u003e\u003e.
Trataré de minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares son posibles las explicaciones "en los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no critiquen, nuestra tarea es aprender a realizar acciones con matrices.
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Una matriz es una mesa rectangular de cualquier elementos... Como elementos consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO Es un término. Es deseable recordar el término, se encontrará a menudo, no es una coincidencia que utilicé negrita para resaltarlo.
Designacion: las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas
Ejemplo: Considere una matriz de dos por tres:
Esta matriz consta de seis elementos:
Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí mismos, es decir, no se trata de ninguna resta: 
¡Es solo una tabla (conjunto) de números!
También estaremos de acuerdo no reorganizar números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. Cada número tiene su propia ubicación y no se puede barajar.
La matriz en cuestión tiene dos filas: 
y tres columnas: 
ESTÁNDAR: cuando se habla del tamaño de la matriz, entonces primero indique el número de filas, y solo entonces - el número de columnas. Acabamos de desarmar una matriz de dos por tres.
Si el número de filas y columnas de la matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, p.ej: 
- matriz "tres por tres".
Si la matriz tiene una columna o una fila, estas matrices también se denominan vectores.
De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela, consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas "x" y "juego" :. Esencialmente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué el orden de los números es importante: y son dos puntos completamente diferentes del plano.
Ahora vayamos directamente al estudio acciones con matrices:
1) Primera acción. Eliminar el menos de la matriz (agregar el menos a la matriz).
De vuelta a nuestra matriz 
... Como habrá notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.
Mueva el signo menos fuera de la matriz, cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:
En cero, como comprenderá, el signo no cambia, cero, es cero en África.
Ejemplo inverso: 
... Se ve feo.
Agreguemos un signo menos a la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz:
Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque hay un presagio popular matemático: cuantas más desventajas, más confusión y errores.
2) Segunda acción. Multiplicación de matrices por número.
Ejemplo:
Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada el elemento de la matriz se multiplica por el número dado. En este caso, los tres primeros.
Otro ejemplo útil:
- multiplicación de matrices por una fracción
Primero, considere qué hacer NO HAGA:
NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo complica más acciones con la matriz, y en segundo lugar, dificulta que el docente verifique la solución (especialmente si 
- la respuesta final de la tarea).
Y especialmente, NO HAGA divide cada elemento de la matriz por menos siete:
Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que las fracciones decimales con coma en matemáticas superiores se intentan de todas las formas posibles para evitarlas.
La única cosa deseable hacer en este ejemplo es introducir un signo menos en la matriz:
Pero si TODOS los elementos de la matriz eran divisibles por 7 sin residuos, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.
Ejemplo:
En este caso, puede y NECESITAR multiplicar todos los elementos de la matriz por, ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin residuos.
Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe el concepto escolar de "división". En lugar de la frase "divide esto por esto", siempre puedes decir "multiplica esto por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.
3) Tercera acción. Transposición de matriz.
Para transponer una matriz, debe escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.
Ejemplo:
Transponer matriz
Aquí solo hay una línea y, de acuerdo con la regla, debe escribirse en una columna:
- matriz transpuesta.
Una matriz transpuesta generalmente se indica mediante un superíndice o un trazo superior derecho.
Ejemplo paso a paso:
Transponer matriz 
Primero, reescribimos la primera fila en la primera columna:
Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna: 
Finalmente, reescribimos la tercera línea en la tercera columna:
Hecho. En términos generales, transponer significa girar la matriz hacia un lado.
4) Acción cuatro. Suma (diferencia) de matrices.
La suma de matrices es una operación simple.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN PLEGAR. Para realizar la suma (resta) de matrices, es necesario que sean del mismo tamaño.
Por ejemplo, si se le da una matriz de dos por dos, entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ninguna otra. 
Ejemplo:
Agregar matrices 
y 
Para agregar matrices, es necesario agregar sus elementos correspondientes:
Para la diferencia de matrices, la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.
Ejemplo:
Encuentra la diferencia de matrices 
, 
¿Y cómo resolver este ejemplo más fácilmente para no confundirse? Es recomendable deshacerse de los inconvenientes innecesarios, para ello agregamos un menos a la matriz:
Nota: en la teoría de las matemáticas superiores no existe un concepto escolar de "resta". En lugar de decir "reste esto de esto", siempre puede decir "sume un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.
5) Acción cinco. Multiplicación de matrices.
¿Qué matrices se pueden multiplicar?
Para que la matriz se multiplique por la matriz, necesita de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.
Ejemplo:
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?
Esto significa que puede multiplicar estas matrices.
Pero si las matrices se reorganizan, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya es imposible!
Por tanto, la multiplicación no es posible:
No es raro encontrar tareas con un truco, cuando a un estudiante se le pide que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.
Cabe señalar que en varios casos es posible multiplicar matrices de cualquier manera.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles
Multiplicación de matrices por número es una operación en una matriz, como resultado de lo cual cada uno de sus elementos se multiplica por un número real o complejo. Se ve así en lenguaje matemático:
$$ B \u003d \\ lambda \\ cdot A \\ Flecha derecha b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Vale la pena señalar que la matriz resultante $ B $ debería tener la misma dimensión que la matriz inicial $ A $. También puede prestar atención al siguiente hecho: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ cdot \\ lambda $, es decir, puede intercambiar los multiplicadores y esto no cambiará el producto.
Será útil utilizar la operación de multiplicar una matriz por un número cuando mueva el factor común fuera de la matriz. En este caso, cada elemento de la matriz se divide por el número $ \\ lambda $ y se saca delante de la matriz.
Propiedades
- Ley distributiva para matrices: $$ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $$ La multiplicación de la suma de matrices por un número se puede reemplazar por la suma de los productos de cada matriz individual por un número dado
- Ley distributiva para números reales (complejos): $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot A \u003d \\ lambda A + \\ mu A $$ La multiplicación de una matriz por la suma de números se puede reemplazar por la suma de los productos de cada número por la matriz
- Ley asociativa: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot A) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ Es conveniente usarlo si necesita sacar el factor común de la matriz que tiene delante, mientras multiplica el coeficiente que ya está delante.
- Hay un número especial $ \\ lambda \u003d 1 $, gracias al cual la matriz permanece sin cambios $$ 1 \\ cdot A \u003d A \\ cdot 1 \u003d A $$
- Multiplicar una matriz por cero lleva al hecho de que cada elemento de las matrices se pone a cero y la matriz se convierte en cero de la misma dimensión que originalmente: $$ 0 \\ cdot A \u003d 0 $$
Ejemplos de soluciones
| Ejemplo |
| Dado $ A \u003d \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ y real $ \\ lambda \u003d 2 $. Multiplica el número por la matriz. |
| Decisión |
|
Escribimos la operación matemática de la multiplicación y al mismo tiempo recordamos la regla que dice: la matriz se multiplica por un número elemento por elemento. $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ cdot \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ begin (pmatrix) 2 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ end (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ Como resultado, vemos que cada número de la matriz se ha duplicado en relación con el valor inicial. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrá familiarizarse con el curso del cálculo y obtener información. ¡Esto le ayudará a obtener crédito del maestro de manera oportuna! |
| Responder |
| $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ |
Para multiplicar la matriz A por un número arbitrario α, necesita los elementos de la matriz UN multiplicar por el número α, es decir el producto de una matriz por un número será el siguiente:
Ejemplo 1. Encuentra la matriz 3 UNpara matriz
Decisión. De acuerdo con la definición, multiplicamos los elementos de la matriz. UN por 3 y obtener
Fue un ejemplo muy simple de multiplicar una matriz por un número con números enteros. También hay ejemplos sencillos por delante, pero ya en los que entre los factores y elementos de matrices hay fracciones, variables (designaciones de letras), porque las leyes de la multiplicación son válidas no solo para números enteros, por lo que nunca es perjudicial repetirlos.
Ejemplo 2. UN por el número α si 
,
.
UN por α, sin olvidar que al multiplicar fracciones, el numerador de la primera fracción se multiplica por el numerador de la primera fracción y el producto se escribe en el numerador, y el denominador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda fracción y el producto se escribe en el denominador. Al recibir el segundo elemento de la primera fila de la nueva matriz, la fracción resultante se redujo en 2, esto debe hacerse. Obtenemos
Ejemplo 3. Realizar la operación de multiplicación de matrices UN por el número α si
,
.
Decisión. Multiplica los elementos de la matriz UN por α, sin confundirse en la notación de letras, sin olvidar dejar un signo menos delante del segundo elemento de la segunda fila de la nueva matriz, y recordar que el resultado de multiplicar un número por su número inverso es uno (el primer elemento de la tercera fila). Obtenemos
.
Ejemplo 4. Realizar la operación de multiplicación de matrices UN por el número α si 
,
.
Decisión. Recuerda que cuando multiplicas un número en una potencia por un número en una potencia, se suman los exponentes. Obtenemos
.
Este ejemplo, entre otras cosas, demuestra claramente que las operaciones de multiplicar una matriz por un número se pueden leer (y escribir) en orden inverso, y esto se llama poner un factor constante delante de la matriz.
Combinado con suma y resta de matrices la operación de multiplicar una matriz por un número puede formar varias expresiones matriciales, por ejemplo, 5 UN − 3segundo , 4UN + 2segundo .
Propiedades de multiplicar una matriz por un número
(aquí A, B - matrices, - números, 1 - número uno)
1. 
2. 
3. 
Las propiedades (1) y (2) conectan la multiplicación de una matriz por un número con la suma de matrices. También hay una conexión muy importante entre multiplicar una matriz por un número y multiplicar las matrices mismas:
es decir, si en el producto de matrices uno de los factores se multiplica por un número, entonces el producto completo se multiplicará por un número.
Este tema cubrirá operaciones tales como suma y resta de matrices, multiplicación de matrices por un número, multiplicación de matrices por matriz, transposición de matrices. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.
Suma y resta de matrices.
La suma $ A + B $ de las matrices $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ y $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ se denomina matriz $ C_ (m \\ times n) \u003d (c_ (ij)) $, donde $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ para todo $ i \u003d \\ overline (1, m) $ y $ j \u003d \\ overline (1, n) PS
Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:
La diferencia $ AB $ de las matrices $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ y $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $ es la matriz $ C_ (m \\ times n) \u003d ( c_ (ij)) $, donde $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ para todo $ i \u003d \\ overline (1, m) $ y $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Explicación de la entrada $ i \u003d \\ overline (1, m) $: mostrar \\ ocultar
La notación "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" significa que el parámetro $ i $ varía de 1 a m. Por ejemplo, el registro $ i \u003d \\ overline (1,5) $ dice que el parámetro $ i $ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.
Cabe señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones intuitivamente claras, porque significan, de hecho, solo la suma o resta de los elementos correspondientes.
Ejemplo 1
Se dan tres matrices:
$$ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (array) \\ right) \\; \\; B \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (array) \\ right); \\; \\; F \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ end (array) \\ right). $$
¿Puedes encontrar la matriz $ A + F $? Encuentre las matrices $ C $ y $ D $ si $ C \u003d A + B $ y $ D \u003d A-B $.
La matriz $ A $ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $ A $ es $ 2 \\ por 3 $) y la matriz $ F $ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de la matriz $ A $ y $ F $ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $ A + F $ para estas matrices no está definida.
Los tamaños de las matrices $ A $ y $ B $ son los mismos, es decir, los datos de la matriz contienen un número igual de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellos.
$$ C \u003d A + B \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (matriz) \\ right) + \\ left (\\ begin (matriz ) (ccc) 10 y -25 y 98 \\\\ 3 y 0 y -14 \\ end (matriz) \\ derecha) \u003d \\\\ \u003d \\ izquierda (\\ begin (matriz) (ccc) -1 + 10 y -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 y 9 y -22 \\ end (matriz) \\ derecha) $$
Encuentre la matriz $ D \u003d A-B $:
$$ D \u003d AB \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (matriz) \\ right) - \\ left (\\ begin (matriz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (arreglo) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (arreglo) (ccc) -1-10 y -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ : $ C \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (matriz) \\ right) $, $ D \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ end (array) \\ right) $.
ResponderMultiplicación de matrices por número.
El producto de la matriz $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ por el número $ \\ alpha $ es la matriz $ B_ (m \\ times n) \u003d (b_ (ij)) $, donde $ b_ (ij) \u003d \\ alpha \\ cdot a_ (ij) $ para todos $ i \u003d \\ overline (1, m) $ y $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
En pocas palabras, multiplicar una matriz por un cierto número significa multiplicar cada elemento de una matriz dada por ese número.
Ejemplo No. 2
La matriz se da: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (array) \\ right) $. Encuentre las matrices $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ y $ -A $.
{!LANG-987d634ed94c15a31370f162c6a7a9ca!}
$$ 3 \\ cdot A \u003d 3 \\ cdot \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin ( matriz) (ccc) 3 \\ cdot (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (array) \\ right). \\\\ -5 \\ cdot A \u003d -5 \\ cdot \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) y -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 y -5 \\ cdot 9 y -5 \\ cdot 0 \\ end (matriz) \\ derecha) \u003d \\ izquierda (\\ begin (matriz) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (array) \\ right). $$
La notación $ -A $ es una forma abreviada de $ -1 \\ cdot A $. Es decir, para encontrar $ -A $, debe multiplicar todos los elementos de la matriz $ A $ por (-1). En esencia, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $ A $ se invertirá:
$$ -A \u003d -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ left (\\ begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ : $ 3 \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (array) \\ right); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (array) \\ right); \\; -A \u003d \\ left (\\ begin (array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (array) \\ right) $.
ResponderProducto de dos matrices.
La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, incomprensible. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.
El producto de la matriz $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ por la matriz $ B_ (n \\ times k) \u003d (b_ (ij)) $ es la matriz $ C_ (m \\ times k) \u003d (c_ ( ij)) $, para lo cual cada elemento de $ c_ (ij) $ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $ A $ por los elementos de la j-ésima columna de la matriz $ B $: $$ c_ (ij) \u003d \\ sum \\ limits_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$
Analicemos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debe prestar atención de inmediato a que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $ A $ por la matriz $ B $, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $ A $ sea igual al número de filas de la matriz $ B $ (tales matrices a menudo se denominan
convenido {!LANG-69f0e6da9be87b2fd3d70d6670655bd5!}). Por ejemplo, la matriz $ A_ (5 \\ times 4) $ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $ F_ (9 \\ times 8) $ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $ A $ no es igual al número de filas en la matriz $ F $, es decir $ 4 \\ neq 9 $. Pero puede multiplicar la matriz $ A_ (5 \\ times 4) $ por la matriz $ B_ (4 \\ times 9) $, ya que el número de columnas en la matriz $ A $ es igual al número de filas en la matriz $ B $. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $ A_ (5 \\ times 4) $ y $ B_ (4 \\ times 9) $ será la matriz $ C_ (5 \\ times 9) $, que contiene 5 filas y 9 columnas:
Ejemplo No. 3
Las matrices se dan: $ A \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ end (matriz) \\ right) $ y $ B \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (matriz) \\ right) PS Encuentre la matriz $ C \u003d A \\ cdot B $.
Para empezar, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $ C $. Dado que la matriz $ A $ es $ 3 \\ veces 4 $, y la matriz $ B $ es $ 4 \\ veces 2 $, el tamaño de la matriz $ C $ es: $ 3 \\ veces 2 $:
Entonces, como resultado del producto de las matrices $ A $ y $ B $, deberíamos obtener una matriz $ C $, que consta de tres filas y dos columnas: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (matriz) \\ right) $. Si las designaciones de los elementos plantean dudas, puede consultar el tema anterior: "Matrices. Tipos de matrices. Términos básicos", al comienzo del cual se explica la designación de los elementos de la matriz. Nuestro objetivo es encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $ C $.
Comencemos con $ c_ (11) $. Para obtener el elemento $ c_ (11) $, necesita encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ y la primera columna de la matriz $ B $:
Para encontrar el elemento $ c_ (11) $ en sí mismo, debe multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $ B $, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:
$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$
Continuemos con la solución y encontremos $ c_ (12) $. Para hacer esto, debes multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $ A $ y la segunda columna de la matriz $ B $:
Similar al anterior, tenemos:
$$ c_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $$
Se encuentran todos los elementos de la primera fila de la matriz $ C $. Continúe con la segunda línea, que comienza con $ c_ (21) $. Para encontrarlo, debe multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $ A $ y la primera columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$
El siguiente elemento $ c_ (22) $ se obtiene multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $$
Para encontrar $ c_ (31) $ multiplicamos los elementos de la tercera fila de la matriz $ A $ por los elementos de la primera columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $$
Y, finalmente, para encontrar el elemento $ c_ (32) $, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $ A $ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $ B $:
$$ c_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $$
Se encuentran todos los elementos de la matriz $ C $, solo queda escribir que $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right) $ ... O, para escribir en su totalidad:
$$ C \u003d A \\ cdot B \u003d \\ left (\\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 \\ end (matriz) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (matriz) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right). $$
Responder: $ C \u003d \\ left (\\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (array) \\ right) $.
Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle el hallazgo de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puede hacer lo siguiente:
$$ \\ left (\\ begin (array) (cc) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ end (array) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (array) (cc) 4 & 9 \\\\ - 6 y 90 \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90 ) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (matriz) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin (matriz) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ end (matriz) \\ right) $$
También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que, en general, $ A \\ cdot B \\ neq B \\ cdot A $. Solo para algunos tipos de matrices que se llaman permutación (o desplazamientos), la igualdad $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ es verdadera. Es sobre la base de la no conmutatividad de la multiplicación que se requiere indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por esta o aquella matriz: hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo, la frase "multiplica ambos lados de la igualdad $ 3E-F \u003d Y $ por la matriz $ A $ de la derecha" significa que necesitamos obtener la siguiente igualdad: $ (3E-F) \\ cdot A \u003d Y \\ cdot A $.
Transpuesta con respecto a la matriz $ A_ (m \\ times n) \u003d (a_ (ij)) $ se llama matriz $ A_ (n \\ times m) ^ (T) \u003d (a_ (ij) ^ (T)) $, para elementos que $ a_ (ij) ^ (T) \u003d a_ (ji) $.
En pocas palabras, para obtener la matriz transpuesta $ A ^ T $, debe reemplazar las columnas en la matriz original $ A $ con las filas correspondientes de acuerdo con el siguiente principio: si la primera fila era, la primera columna se convertirá en; había una segunda fila: la segunda columna se convertirá en; había una tercera fila, habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, busquemos la matriz transpuesta a la matriz $ A_ (3 \\ times 5) $:
En consecuencia, si la matriz original era $ 3 \\ veces 5 $, entonces la matriz transpuesta es $ 5 \\ veces 3 $.
Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.
Aquí se asume que $ \\ alpha $, $ \\ beta $ son algunos números y $ A $, $ B $, $ C $ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades, indiqué los nombres, el resto se puede nombrar por analogía con las primeras cuatro.
