Cualquier onda de forma compleja se puede representar como la suma de ondas simples.
Joseph Fourier estaba interesado en describir en términos matemáticos cómo el calor pasa a través de los objetos sólidos ( cm. De intercambio de calor). Quizás su interés por la calidez se despertó cuando estaba en el norte de África: Fourier acompañó a Napoleón en la expedición francesa a Egipto y vivió allí durante algún tiempo. Para lograr su objetivo, Fourier tuvo que desarrollar nuevos métodos matemáticos. Los resultados de su investigación fueron publicados en 1822 en la obra "Teoría analítica del calor" ( Theorie analytique de la chaleur), donde dijo cómo analizar problemas físicos complejos descomponiéndolos en varios más simples.
El método de análisis se basó en el llamado series de Fourier... De acuerdo con el principio de interferencia, la serie comienza con la descomposición de una forma compleja en formas simples; por ejemplo, un cambio en la superficie de la tierra se explica por un terremoto, un cambio en la órbita del cometa se debe a la influencia de la atracción de varios planetas, un cambio en el flujo de calor se debe a su paso a través de un obstáculo de forma irregular de un material aislante del calor. Fourier demostró que una forma de onda compleja se puede representar como la suma de ondas simples. Como regla general, las ecuaciones que describen sistemas clásicos se resuelven fácilmente para cada una de estas ondas simples. Fourier continuó mostrando cómo estas soluciones simples se pueden resumir para obtener una solución a todo el complejo problema. (Matemáticamente hablando, una serie de Fourier es un método para representar una función como una suma de armónicos, sinusoides y cosenos, por lo tanto, el análisis de Fourier también se conocía como análisis armónico).
Hasta la llegada de las computadoras a mediados del siglo XX, los métodos de Fourier y similares eran las mejores armas en el arsenal científico para atacar las complejidades de la naturaleza. Desde el advenimiento de los métodos complejos de Fourier, los científicos han podido usarlos para resolver no solo problemas simples que pueden resolverse mediante la aplicación directa de las leyes de la mecánica de Newton y otras ecuaciones fundamentales. Muchos de los grandes logros de la ciencia newtoniana en el siglo XIX serían de hecho imposibles sin el uso de métodos propuestos por primera vez por Fourier. Más tarde, estos métodos se utilizaron para resolver problemas en varios campos, desde la astronomía hasta la ingeniería mecánica.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
Matemático francés. Nacido en Auxerre; a los nueve años quedó huérfano. Ya desde muy joven mostró aptitud para las matemáticas. Fourier fue educado en una escuela de la iglesia y una escuela militar, luego trabajó como profesor de matemáticas. A lo largo de su vida estuvo involucrado activamente en la política; fue arrestado en 1794 por proteger a las víctimas del terror. Después de la muerte de Robespierre, fue liberado de prisión; participó en la creación de la famosa Ecole Polytechnique de París; su posición le sirvió de trampolín para avanzar bajo el régimen napoleónico. Acompañó a Napoleón a Egipto y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. A su regreso a Francia en 1801, fue nombrado gobernador de una de las provincias. En 1822 se convirtió en secretario permanente de la Academia Francesa de Ciencias, una posición influyente en el mundo científico de Francia.
TRANSFORMACIÓN DE FOURIER Y ANÁLISIS ESPECTRAL DIGITAL CLÁSICO.
Medvedev S.Yu., Ph.D.
Introducción
El análisis espectral es uno de los métodos de procesamiento de señales que le permite caracterizar la composición de frecuencia de la señal medida. La transformada de Fourier es una base matemática que vincula una señal temporal o espacial (o algún modelo de esta señal) con su representación en el dominio de la frecuencia. Los métodos estadísticos juegan un papel importante en el análisis espectral, ya que las señales tienden a ser aleatorias o ruidosas cuando se propagan o miden. Si las principales características estadísticas de una señal se conocieran con exactitud, o se pudieran determinar a partir de un intervalo finito de esta señal, entonces el análisis espectral sería una rama de la "ciencia exacta". Sin embargo, en realidad, solo se puede obtener una estimación de su espectro a partir de un segmento de señal. Por tanto, la práctica del análisis espectral es una especie de oficio (¿o arte?) De naturaleza bastante subjetiva. La diferencia entre las estimaciones espectrales obtenidas como resultado del procesamiento del mismo segmento de señal por diferentes métodos puede explicarse por la diferencia en las suposiciones hechas con respecto a los datos, diferentes métodos de promediado, etc. Si las características de la señal no se conocen a priori, no se puede decir cuál de las estimaciones es mejor.
Transformada de Fourier: la base matemática del análisis espectral
Discutiremos brevemente los diferentes tipos de transformadas de Fourier (ver con más detalle en).
Comencemos con la transformada de Fourier de la señal continua en el tiempo
,
(1)
que identifica las frecuencias y amplitudes de esas sinusoides complejas (exponenciales) en las que se descompone alguna oscilación arbitraria.
Transformación inversa
. (2)
La existencia de las transformadas de Fourier directa e inversa (que en lo que sigue llamaremos transformada de Fourier de tiempo continuo - CFT) está determinada por una serie de condiciones. Suficiente: integrabilidad absoluta de la señal
. (3)
Condición suficiente menos restrictiva: finitud de la energía de la señal
. (4)
Presentamos una serie de propiedades básicas de la transformada de Fourier y las funciones que se utilizan a continuación, observando que una ventana rectangular está determinada por la expresión
(5)
y la función sinc por la expresión
(6)
La función de las muestras en el dominio del tiempo está determinada por la expresión
(7)
Esta función también se denomina a veces función de continuación periódica.
Tabla 1. Principales propiedades y funciones del NVPF
|
Propiedad, función |
Función |
Transformación |
| Linealidad |
ag (t) + bh (t) |
aG (f) + bH (f) |
| Cambio de hora |
h (t - t 0) |
H (f) exp (-j2pf t 0) |
| Desplazamiento de frecuencia (modulación) |
h (t) exp (j2pf0 t) |
H (f - f 0) |
| Escalada |
(1 / | a |) h (t / a) |
H (af) |
| Teorema de convolución en el dominio del tiempo |
g (t) * h (t) |
|
| Teorema de convolución en el dominio de la frecuencia |
g (t) h (t) |
G (f) * H (f) |
| Función de ventana |
Aw (t / T) |
2ATsinc (2Tf) |
| Función Sinc |
2AFsinc (2 pies) |
Aw (f / F) |
| Función de impulso |
Anuncio (t) |
|
| Función de conteo |
T (f) |
FF (f), F \u003d 1 / T |
Otra propiedad importante la establece el teorema de Parseval para dos funciones g (t) y h (t):
. (8)
Si ponemos g (t) \u003d h (t), entonces el teorema de Parseval se reduce a un teorema para la energía
. (9)
La expresión (9) es, en esencia, solo una formulación de la ley de conservación de la energía en dos áreas (tiempo y frecuencia). En (9) a la izquierda está la energía total de la señal, por lo que la función
(10)
describe la distribución de frecuencia de la energía para una señal determinista h (t) y, por lo tanto, se denomina densidad de energía espectral (STE). Usando expresiones
(11)
se pueden calcular los espectros de amplitud y fase de la señal h (t).
Operaciones de muestreo y pesaje
En la siguiente sección, presentaremos una serie de Fourier de tiempo discreto (DTMF) o una transformada de Fourier discreta (DFT) como un caso especial de una transformada de Fourier de tiempo continuo (CFT) utilizando dos operaciones básicas de procesamiento de señales: tomar muestras ( muestreo) y peso usando una ventana. Aquí consideraremos la influencia de estas operaciones en la señal y su transformación. La Tabla 2 enumera las funciones que se utilizan para ponderación y muestreo.
Para muestras uniformes con un intervalo de T segundos, la frecuencia de muestreo de F es 1 / T Hz. Tenga en cuenta que la función de ponderación y la función de muestreo en el dominio del tiempo se indican respectivamente TW (ventana de tiempo) y TS (muestreo de tiempo), y en el dominio de frecuencia - FW (ventana de frecuencia) y FS (muestreo de frecuencia).
Tabla 2. Funciones de pesaje y muestreo
|
Operación |
Función de tiempo |
Transformación |
| Ponderación en el dominio del tiempo (ancho de ventana NT seg) |
TW \u003d w (2t / NT - 1) |
F (TW) \u003d NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf) |
| Pesaje en el dominio de la frecuencia (ancho de ventana 1 / T Hz) |
|
FW \u003d w (2Tf) |
| Cuenta en el tiempo (intervalo T seg) |
TS \u003d T T (t) |
|
| Recuentos de frecuencia (a intervalos de 1 / NT Hz) |
|
|
Supongamos que tomamos muestras de una señal real continua x (t) con un espectro limitado, cuya frecuencia superior es igual a F0. El NIPF de la señal real es siempre una función simétrica con el ancho completo 2F0, consulte la Fig.1.
Las muestras de la señal x (t) se pueden obtener multiplicando esta señal por la función de muestra:
(12)
La Figura 1 es una ilustración del teorema de muestreo en el dominio del tiempo para una señal de espectro limitado real:
a - la función original del tiempo y su transformada de Fourier;
b - función de conteos en el tiempo y su transformada de Fourier;
c - muestras de tiempo de la función original y su transformada de Fourier continuada periódicamente para el caso Fo<1/2T;
d - ventana de frecuencia (filtro de paso bajo ideal) y su transformada de Fourier (función sinc);
d es la función original del tiempo, restaurada por la operación de convolución con la función sinc.
Según el teorema de convolución en el dominio de la frecuencia, el IFT de la señal x (t) es simplemente la convolución del espectro de la señal x (t) y la transformada de Fourier de la función de muestreo (TS):
. (13)
La convolución X (f) con la transformada de Fourier de la función de muestreo F (TS) \u003d Y1 / T (f) simplemente continúa periódicamente X (f) con un intervalo de frecuencia de 1 / T Hz. Por tanto, XS (f) es el espectro extendido periódicamente de X (f). En general, las muestras en un dominio (por ejemplo, dominio de tiempo) dan como resultado una continuación periódica en el dominio de transformación (por ejemplo, dominio de frecuencia). Si la frecuencia de muestreo se selecciona lo suficientemente baja (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Para restaurar la señal de tiempo original de sus muestras, es decir para interpolar algunos valores continuos entre estas muestras, puede pasar los datos muestreados a través de un filtro de paso bajo ideal con una respuesta de frecuencia rectangular (Figura 1d)
. (14)
Como resultado (ver Fig. 1 e), se restaura la transformada de Fourier original. Usando teoremas de convolución en los dominios de tiempo y frecuencia, obtenemos
. (15)
La expresión (15) es una notación matemática teorema de muestreo en el dominio del tiempo (el teorema de Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKS), que establece que utilizando la fórmula de interpolación (15), una señal real con un espectro limitado se puede reconstruir con precisión por un número infinito muestras de tiempo conocido tomadas con una frecuencia F і 2F0. El dual del teorema (15) es el teorema muestras en el dominio de la frecuencia para señales con duración limitada.
Las operaciones en el dominio del tiempo, similares a (14), se describen mediante la expresión
, (16)
y las transformaciones correspondientes se expresan mediante las expresiones
Así, el IFT X (f) de alguna señal con una duración limitada puede reconstruirse sin ambigüedades a partir de muestras equidistantes del espectro de dicha señal si el intervalo seleccionado de muestras de frecuencia satisface la condición F1 / 2T 0 Hz, donde T 0 es la duración de la señal.
Relaciones entre transformaciones continuas y discretas
Un par de transformadas para la definición habitual de una transformada discreta de Fourier (DFT) de un punto N secuencia de tiempo x [n] y el punto N correspondiente secuencias de transformada de Fourier X [k] viene dado por
,
(18)
. (19)
Para obtener estimaciones espectrales de las muestras de datos en las unidades apropiadas de medición de energía o potencia, escribimos la serie de Fourier de tiempo discreto (DWRF), que se puede considerar como una aproximación de la transformada de Fourier de tiempo continuo (CFT), basada en el uso de un número finito de muestras de datos:
Para mostrar la naturaleza de la correspondencia entre los FWRF ( discreto funciones en los dominios de tiempo y frecuencia) y CFT (funciones continuas en los dominios de tiempo y frecuencia), necesitamos una secuencia de cuatro operaciones conmutativas lineales: ponderación en los dominios de tiempo y frecuencia y muestreo o muestreo tanto en dominios de tiempo como de frecuencia. Si la operación de pesaje se realiza en una de estas áreas, entonces, según el teorema de convolución, corresponderá a la ejecución de la operación de filtrado (convolución) en otra área con la función sinc. Asimismo, si el muestreo se realiza en un área, se realiza una operación de continuación periódica en la otra. Dado que el pesaje y el muestreo son operaciones lineales y conmutativas, son posibles diferentes formas de ordenarlos, dando el mismo resultado final para diferentes resultados intermedios. La Figura 2 muestra dos posibles secuencias de estas cuatro operaciones.
Figura: 2. Dos posibles secuencias de dos operaciones de pesaje y dos operaciones de muestreo que unen el IWPF y el FWDF: FW - aplicación de una ventana en el dominio de la frecuencia; TW - aplicación de una ventana en el dominio del tiempo; FS - muestreo en el dominio de la frecuencia; TS - muestreo en el dominio del tiempo.
1 - Transformada de Fourier con tiempo continuo, ecuación (1);
4 - Transformada de Fourier con tiempo discreto, ecuación (22);
5 - Serie de Fourier con tiempo continuo, ecuación (25);
8 - Serie de Fourier con tiempo discreto, ecuación (27)
Como resultado de realizar las operaciones de pesaje y muestreo en los nodos 1, 4, 5 y 8, se producirán cuatro tipos diferentes de relaciones de Fourier. Nodos donde funcionan el dominio de la frecuencia es continuo, Referirse a transformaciones Fourier, y los nodos en los que la función en el dominio de la frecuencia discretoreferirse a series de Fourier (ver detalles en).
Entonces, en el nodo 4, la ponderación de frecuencia y el muestreo en el dominio del tiempo generan conversión de tiempo discreto Fourier (FFT), que se caracteriza por una función de espectro periódica en el dominio de la frecuencia con un período de 1 / T Hz:
(22)
(23)
Tenga en cuenta que la expresión (22) define una determinada función periódica que coincide con la función transformada original especificada en el nodo 1 solo en el rango de frecuencia de -1 / 2T a 1 / 2T Hz. La expresión (22) está relacionada con la transformación Z de la secuencia discreta x [n] por la relación
(24)
Por lo tanto, el DTPF es simplemente la transformada Z calculada en el círculo unitario y multiplicada por T.
Si nos movemos del nodo 1 al nodo 8 en la Fig.2 a lo largo de la rama inferior, en el nodo 5, las operaciones de ponderación en el dominio del tiempo (limitando la duración de la señal) y muestreo en el dominio de la frecuencia generan una serie de Fourier de tiempo continuo (CWRF). Usando las propiedades y definiciones de funciones dadas en las Tablas 1 y 2, obtenemos el siguiente par de transformaciones
(25)
(26)
Tenga en cuenta que la expresión (26) define una determinada función periódica que coincide con la original (en el nodo 1) solo en el intervalo de tiempo de 0 a NT.
Independientemente de cuál de las dos secuencias de cuatro operaciones se elija, el resultado final en el nodo 8 será el mismo: serie de Fourier de tiempo discreto, que corresponde al siguiente par de transformaciones obtenidas utilizando las propiedades indicadas en la Tabla 1.
, (27)
donde k \u003d -N / 2 ,. ... ... , N / 2-1
,
(28)
donde n \u003d 0 ,. ... ... , N-1,
El teorema de la energía para este DWRF tiene la forma:
,
(29)
y caracteriza la energía de una secuencia de N muestras de datos. Ambas secuencias x [n] y X [k] son \u200b\u200bperiódicas módulo N, por lo tanto (28) se puede escribir en la forma
, (30)
donde 0 n N. El factor T en (27) - (30) es necesario para que (27) y (28) sean realmente una aproximación de la transformación integral en el dominio de integración
.(31)
Relleno cero
A través de un proceso llamado acolchado con cerosLa serie de Fourier de tiempo discreto se puede modificar para interpolar entre los N valores de la transformada original. Supongamos que las muestras de datos disponibles x, ..., x se complementan con valores cero x [N], ... X. El DWRF de esta secuencia de datos de 2N puntos con relleno de ceros estará dado por
(32)
donde el límite superior de la suma a la derecha se cambia para reflejar la presencia de datos cero. Sea k \u003d 2m, de modo que
,
(33)
donde m \u003d 0,1, ..., N-1, define valores pares de X [k]. Por tanto, se puede ver que para valores pares del índice k, la serie de Fourier de tiempo discreto de 2N puntos se reduce a una serie de tiempo discreto de N puntos. Los valores impares del índice k corresponden a los valores interpolados del WSPF ubicados entre los valores del WTPF original de N puntos. A medida que se agregan más y más ceros a la secuencia original de N puntos, se pueden obtener más datos interpolados. En el caso límite de un número infinito de ceros de entrada, el FWRF puede considerarse como una transformada de Fourier de tiempo discreto de una secuencia de datos de N puntos:
.
(34)
La transformación (34) corresponde al nodo 6 en la Fig.2.
Existe la idea errónea de que el relleno de ceros mejora la resolución porque aumenta la longitud de la secuencia de datos. Sin embargo, como se desprende de la Fig.3, la suma de ceros no mejora resolución de la transformación obtenida de una determinada secuencia de datos final. El relleno cero simplemente produce una transformación interpolada una forma más suave... Además, elimina las ambigüedades asociadas con la presencia de componentes de señal de banda estrecha, cuyas frecuencias se encuentran entre N puntos correspondientes a las frecuencias estimadas de la FWDF original. El relleno de ceros también mejora la precisión de la estimación de frecuencia de pico espectral. Con el término resolución espectral nos referimos a la capacidad de distinguir entre las respuestas espectrales de dos señales armónicas. Una regla empírica generalmente aceptada, de uso frecuente en el análisis espectral, es que la separación de frecuencias de las sinusoides distinguidas no puede ser menor que ancho de banda de ventana equivalente, a través del cual se observan los segmentos (segmentos) de estas sinusoides.
Fig. 3. Interpolación de relleno cero:
a - módulo DVRF de grabación de datos de 16 puntos, que contiene tres sinusoides sin ceros complementarios (las incertidumbres son visibles: es imposible decir cuántas sinusoides hay en la señal: dos, tres o cuatro);
b - el módulo del FWRF de la misma secuencia después de un aumento de dos veces en el número de sus muestras debido a la adición de 16 ceros (se permiten incertidumbres, ya que las tres sinusoides son distinguibles;
c - el módulo del FWRF de la misma secuencia después de un aumento de cuatro veces en el número de sus conteos debido a la adición de ceros.
El ancho de banda de ventana equivalente se puede definir como 
donde W (f) es la transformada de Fourier en tiempo discreto de la función de ventana, por ejemplo, rectangular (5). Del mismo modo, puede ingresar duración de ventana equivalente
Se puede demostrar que la duración equivalente de la ventana (o cualquier otra señal) y el ancho de banda equivalente de su transformación son valores recíprocos entre sí: TeBe \u003d 1.
Transformada rápida de Fourier
La Transformada Rápida de Fourier (FFT) no es solo otro tipo de transformada de Fourier, sino el nombre de una serie de algoritmosdiseñado para el cálculo rápido de series de Fourier de tiempo discreto. El principal problema que surge en la implementación práctica del FWRF radica en la gran cantidad de operaciones computacionales proporcionales a N2. Aunque mucho antes de la llegada de las computadoras, se propusieron varios esquemas computacionales eficientes que podían reducir significativamente el número de operaciones computacionales, una verdadera revolución fue la publicación en 1965 de un artículo de Cooly y Tukey con un algoritmo práctico para calcular el FWRF rápido (el número de operaciones Nlog 2 N) ... Después de eso, se desarrollaron muchas variantes, mejoras y adiciones a la idea básica, formando una clase de algoritmos conocidos como Transformada Rápida de Fourier. La idea principal de una FFT es dividir un WLDF de N puntos en dos o más WLDF de menor longitud, cada uno de los cuales puede calcularse por separado y luego sumarse linealmente con los demás para obtener el WLPF de la secuencia de N puntos original.
Representamos la transformada discreta de Fourier (DFT) en la forma
, (35)
donde el valor W N \u003d exp (-j2 / N) se denomina factor de giro (en adelante, en esta sección, el período de muestreo es T \u003d 1). Seleccione de la secuencia x [n] elementos con números pares e impares
. (36)
Pero desde entonces
... Por tanto, (36) se puede escribir en la forma
, (37)
donde cada uno de los términos es una transformación de longitud N / 2
(38)
Tenga en cuenta que la secuencia (WN / 2) nk es periódica en k con período N / 2. Por lo tanto, aunque el número k en la expresión (37) toma valores de 0 a N-1, cada una de las sumas se calcula para valores de k de 0 a N / 2-1. Es posible estimar el número de operaciones complejas de multiplicación y suma necesarias para calcular la transformada de Fourier de acuerdo con el algoritmo (37) - (38). Dos transformadas de Fourier de N / 2 puntos de acuerdo con las fórmulas (38) implican 2 (N / 2) 2 multiplicaciones y aproximadamente la misma cantidad de adiciones. La unión de dos transformaciones de N / 2 puntos mediante la fórmula (37) requiere N multiplicaciones y N adiciones. Por lo tanto, para calcular la transformada de Fourier para todos los N valores de k, es necesario realizar N + N 2/2 multiplicaciones y sumas. Al mismo tiempo, el cálculo directo mediante la fórmula (35) requiere multiplicaciones y sumas sobre N 2. Incluso para N\u003e 2, la desigualdad N + N 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
En este caso, debido a la periodicidad de la secuencia W nk N / 4 en k con un período de N / 4, las sumas (40) deben calcularse solo para valores de k de 0 a N / 4-1. Por tanto, el cálculo de la sucesión X [k] mediante las fórmulas (37), (39) y (40) requiere, como es fácil de calcular, ya 2N + N 2/4 operaciones de multiplicación y suma.
Siguiendo este camino, la cantidad de cálculo X [k] puede reducirse cada vez más. Después de m \u003d log 2 N expansiones, llegamos a transformadas de Fourier de dos puntos de la forma
(41)
donde las "transformaciones de un punto" X 1 son simplemente muestras de la señal x [n]:
X 1 \u003d x [q] / N, q \u003d 0,1, ..., N-1. (42)
Como resultado, puede escribir el algoritmo FFT, que por razones obvias ha recibido el nombre algoritmo de diezmado de tiempo :
X 2 \u003d (x [p] + W k 2 x) / N,
donde k \u003d 0,1, p \u003d 0,1, ..., N / 2 -1;
X 2N / M \u003d X N / M + W k 2N / M X N / M,
donde k \u003d 0,1, ..., 2N / M -1, p \u003d 0,1, ..., M / 2 -1;
X [k] \u003d X N [k] \u003d X N / 2 + W k N X N / 2, (43)
donde k \u003d 0,1, ..., N-1
En cada etapa de los cálculos, se realizan N multiplicaciones y sumas complejas. Y dado que el número de descomposiciones de la secuencia original en subsecuencias de longitud media es igual a log 2 N, el número total de operaciones de multiplicación-suma en el algoritmo FFT es igual a Nlog 2 N. Para N grande, hay un ahorro significativo en operaciones computacionales en comparación con el cálculo directo de la DFT. Por ejemplo, para N \u003d 2 10 \u003d 1024, el número de operaciones disminuye 117 veces.
El algoritmo FFT considerado con diezmado en el tiempo se basa en el cálculo de la transformada de Fourier formando subsecuencias de la secuencia de entrada x [n]. Sin embargo, también se puede utilizar la descomposición en subsecuencias de la transformada de Fourier X [k]. El algoritmo FFT basado en este procedimiento se denomina algoritmo con diezmado de frecuencia. Puede leer más sobre la Transformada rápida de Fourier, por ejemplo, en.
Procesos aleatorios y densidad espectral de potencia
Un proceso aleatorio discreto x puede considerarse como un determinado conjunto, o un conjunto, de secuencias de tiempo (o espacio) discretas reales o complejas, cada una de las cuales podría observarse como resultado de algún experimento (n es el índice de tiempo, i es el número de observación). La secuencia obtenida como resultado de una de las observaciones se indicará con x [n]. La operación de promediado de conjuntos (es decir, promedio estadístico) será indicado por el operador<>... De este modo,
Un proceso aleatorio se llama estacionario en sentido ampliosi su valor promedio es constante (no depende del tiempo), y la autocorrelación depende solo de la diferencia entre los índices de tiempo m \u003d n1-n2 (cambio de tiempo o retraso entre muestras). Por lo tanto, un proceso aleatorio discreto x [n] que es estacionario en un sentido amplio se caracteriza por un valor medio constante
r xx [m] \u003d< xx*[n] >. (44)
Tenga en cuenta las siguientes propiedades del ACP:
r xx | r xx [m] | , r xx [-m] \u003d r * xx [m], (45)
que son válidas para todos los m.
La densidad espectral de potencia (PSD) se define como la transformada de Fourier en tiempo discreto (DPFT) de una secuencia de autocorrelación
.
(46)
La PSD, cuyo ancho se supone que está limitado a ± 1 / 2T Hz, es una función periódica de frecuencia con un período de 1 / T Hz. La función PSD describe la distribución de frecuencia de la potencia de un proceso aleatorio. Para confirmar el nombre elegido para ello, considere el DPFT inverso
(47)
calculado para m \u003d 0
(48)
La autocorrelación en el cambio cero caracteriza energía promedio proceso aleatorio. Según (48), el área bajo la curva P xx (f) caracteriza la potencia promedio, por lo tanto P xx (f) es una función de densidad (potencia por unidad de frecuencia) que caracteriza la distribución de potencia sobre frecuencia. El par de transformaciones (46) y (47) a menudo se denomina el teorema de Wiener-Khinchin para el caso de tiempo discreto. Dado que r xx [-m] \u003d r * xx [m], la PSD debe ser una función positiva estrictamente real. Si AKP es una función estrictamente real, entonces r xx [-m] \u003d r xx [m] y PSD se pueden escribir en la forma de la transformada del coseno de Fourier
,
lo que también significa que P xx (f) \u003d P xx (-f), es decir SPM es una función uniforme.
Hasta ahora, hemos utilizado promedios estadísticos sobre el conjunto para determinar el valor promedio, la correlación y la densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio. Sin embargo, en la práctica normalmente no es posible obtener un conjunto de realizaciones del proceso requerido mediante el cual se podrían calcular estas características estadísticas. Es deseable evaluar todas las propiedades estadísticas de la realización de una muestra x (t), reemplazando y promedio del tiempo del conjunto... La propiedad que permite que se produzca tal cambio se llama ergodicidad. Se dice que un proceso aleatorio es ergódico si, con una probabilidad igual a uno, todas sus características estadísticas pueden predecirse a partir de una realización del conjunto usando promedios de tiempo. En otras palabras, los valores promedio a lo largo del tiempo de casi todas las posibles realizaciones del proceso con probabilidad uno convergen al mismo valor constante: el valor promedio sobre el conjunto.
. (49)
Este límite, si existe, converge a la media verdadera si y solo si la varianza de la media temporal tiende a cero, lo que significa que se cumple la siguiente condición:
. (50)
Aquí c xx [m] es el verdadero valor de la covarianza del proceso x [n].
De manera similar, al observar el valor del producto de las muestras de proceso x [n] en dos puntos en el tiempo, se puede esperar que el valor promedio sea
(51)
El supuesto de ergodicidad hace posible no solo introducir, a través del promedio de tiempo, definiciones para el valor medio y autocorrelación, sino también dar una definición similar para la densidad de potencia espectral.
. (52)
Esta forma equivalente de PSD se obtiene promediando estadísticamente el módulo DFT del conjunto de datos ponderado dividido por la longitud del registro de datos para el caso en que el número de muestras aumenta hasta el infinito. El promedio estadístico es necesario aquí porque el DPFT es en sí mismo una variable aleatoria que cambia para cada realización x [n]. Para demostrar que (52) es equivalente al teorema de Wiener-Khinchin, representamos el cuadrado del módulo DTPF como un producto de dos series y cambiamos el orden de las operaciones de suma y promediado estadístico:
(53)
Usando la famosa expresión
, (54)
La relación (53) se puede reducir a lo siguiente:
(55)
Tenga en cuenta que en la última etapa de la derivación (55), utilizamos la suposición de que la secuencia de autocorrelación "decae", de modo que
.
(56)
La relación entre las dos definiciones de PSD (46) y (52) se muestra claramente en el diagrama que se muestra en la Figura 4.
Si en la expresión (52) no tomamos en cuenta la operación de la expectativa matemática, obtenemos la estimación de PSD
, (57)
lo que es llamado espectro de muestra.
Figura: 4. La relación entre los dos métodos para estimar la densidad de potencia espectral
Método de periodograma de estimación espectral
Arriba, presentamos dos métodos equivalentes formales para determinar la densidad espectral de potencia (PSD). El método indirecto se basa en el uso de una secuencia infinita de datos para calcular una secuencia de autocorrelación, cuya transformada de Fourier da la PSD deseada. El método directo para determinar la PSD se basa en calcular el cuadrado del módulo de la transformada de Fourier para una secuencia infinita de datos usando el promedio estadístico apropiado. La PSD obtenida sin tal promedio resulta ser insatisfactoria, ya que la raíz del error cuadrático medio de tal estimación es comparable a su valor medio. Ahora consideraremos métodos de promediado que proporcionan estimaciones espectrales fluidas y estadísticamente estables sobre un número finito de muestras. Las estimaciones de PSD basadas en la transformación directa de datos y el posterior promedio se denominan periodogramas. Las estimaciones de SPM, para las cuales las estimaciones de correlación se forman primero a partir de los datos iniciales, se denominan correlograma... Cuando se utiliza cualquier método para estimar la PSD, el usuario tiene que hacer muchas compensaciones para obtener estimaciones espectrales estadísticamente estables con la resolución más alta posible a partir de un número finito de muestras. Estas compensaciones incluyen, entre otras cosas, la elección de una ventana para estimaciones de correlación y ponderación de datos y parámetros de promediado en los dominios de tiempo y frecuencia que equilibran los requisitos de reducción de lóbulos laterales de ponderación, promediado eficiente y resolución espectral aceptable. En la Fig. 5 es un diagrama que muestra las etapas principales periodograma método
Figura: 5. Las principales etapas de la estimación de la PSD mediante el método de periodograma
La aplicación del método comienza con la recolección de N muestras de datos, que se toman con un intervalo de T segundos por conteo, seguidas (opcionalmente) por la etapa de eliminación de tendencias. Para obtener una estimación espectral estadísticamente estable, los datos disponibles deben dividirse en segmentos superpuestos (si es posible) y luego promediar los espectros de muestra obtenidos para cada segmento. Los parámetros de este promedio se cambian mediante la elección adecuada del número de muestras por segmento (NSAMP) y el número de muestras por las que es necesario desplazar el comienzo del siguiente segmento (NSHIFT), ver Fig. 6. El número de segmentos se selecciona dependiendo del grado requerido de suavidad (dispersión) de la estimación espectral y la resolución espectral requerida. Con un valor pequeño del parámetro NSAMP se obtienen más segmentos, sobre los que se realizará un promediado, y por tanto se obtendrán estimaciones con menor varianza, pero también con menor resolución de frecuencia. Un aumento en la longitud del segmento (parámetro NSAMP) aumenta la resolución, naturalmente debido a un aumento en la varianza de la estimación debido al menor número de promedios. La flecha de retorno en la Figura 5 indica la necesidad de múltiples iteraciones sobre los datos en diferentes longitudes y números de segmentos, lo que permite obtener más información sobre el proceso en estudio.
Figura 6. División de datos en segmentos para calcular un periodograma
Ventana
Uno de los problemas importantes, que es común a todos los métodos clásicos de estimación espectral, está relacionado con la ponderación de datos. El procesamiento en ventanas se utiliza para controlar los efectos de los lóbulos laterales en las estimaciones espectrales. Tenga en cuenta que es conveniente considerar el registro de datos finitos existente como una parte de la secuencia infinita correspondiente, visible a través de la ventana utilizada. Entonces, la secuencia de datos observados x 0 [n] de N muestras se puede escribir matemáticamente como el producto de una secuencia infinita x [n] y una función de ventana rectangular
X 0 [n] \u003d x [n] · rect [n].
En este caso, se hace la suposición obvia de que todas las muestras no observables son iguales a cero, independientemente de si esto es realmente así. La transformada de Fourier en tiempo discreto de la secuencia ponderada es igual a la convolución de las transformaciones de la secuencia x [n] y la ventana rectangular rect [n]
X 0 (f) \u003d X (f) * D N (f), donde
D N (f) \u003d Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).
La función D N (f), llamada función discreta sinc, o núcleo de Dirichlet, es la DTFT de una función rectangular. La transformación de una secuencia finita observada es una versión confusa de una transformación de secuencia infinita. La influencia de una ventana rectangular en una sinusoide de tiempo discreto con una frecuencia f 0 se ilustra en la Fig.7.
Figura 7. Una ilustración del desplazamiento de la transformada de Fourier de tiempo discreto debido a una fuga debido a la ponderación de datos: a, b - la secuencia original y ponderada; b, d - sus transformadas de Fourier.
Se puede ver en la figura que los picos espectrales agudos de la DTFT de una secuencia sinusoidal infinita se expandieron debido a la convolución con una transformación de ventana. Por tanto, el ancho mínimo de los picos espectrales de la secuencia ponderada de ventana está determinado por el ancho del lóbulo de transformación principal de esta ventana y no depende de los datos. Los lóbulos laterales de la transformación de ventana alterarán las amplitudes de los picos espectrales adyacentes (a veces denominados fugas). Dado que la DPFT es una función periódica, la superposición de lóbulos laterales de períodos adyacentes puede provocar un desplazamiento adicional. El aumento de la frecuencia de muestreo reduce la superposición de los lóbulos laterales. Naturalmente, se observarán distorsiones similares en el caso de señales no sinusoidales. La fuga no solo introduce errores de amplitud en los espectros de señales discretas, sino que también puede enmascarar la presencia de señales débiles. Se pueden proponer otras funciones de ventana que pueden reducir el nivel del lóbulo lateral que con una ventana rectangular. Bajar el nivel de los lóbulos laterales reducirá el sesgo de la estimación espectral, pero esto tiene el costo de ampliar el lóbulo principal del espectro de la ventana, lo que naturalmente conduce a un deterioro en la resolución. Por lo tanto, aquí también debe elegirse algún compromiso entre el ancho del lóbulo principal y el nivel de los lóbulos laterales. Se utilizan varios parámetros para evaluar la calidad de las ventanas. La métrica tradicional es el ancho de banda del lóbulo principal a la mitad de la potencia. El ancho de banda equivalente introducido anteriormente se utiliza como segundo indicador. También se utilizan dos métricas para evaluar las características de los lóbulos laterales. El primero es su nivel máximo, el segundo es la tasa de desintegración, que caracteriza la tasa de disminución de los lóbulos laterales con la distancia del lóbulo principal. La Tabla 3 muestra las definiciones de algunas funciones de ventana de tiempo discreto de uso común, y la Tabla 4 muestra sus características.
Tabla 3. Definiciones de ventanas de tiempo discretas típicas de N puntos Máx. nivel del lóbulo lateral, dB -31,5
. (46)
Método de correlograma La estimación de PSD es simplemente una sustitución en la expresión (46) de una secuencia finita de valores de la estimación de autocorrelación ( correlogramas) en lugar de una secuencia infinita de valores de autocorrelación verdaderos desconocidos. Puede leer más sobre el método de estimación espectral del correlograma en.
LITERATURA
1. Rabiner L., Gould B. Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales. M .: Mir, 1978.
2. Marple Jr. S.L. Análisis espectral digital y sus aplicaciones: Per. De inglés. -M.: Mir, 1990.
3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Procesamiento de señales digitales.- M.: Radio y comunicación, 1990.
4. Carried R., Enokson L. Análisis aplicado de series de tiempo.- M.: Mir, 1982.
Las cámaras de videovigilancia se utilizan ampliamente para monitorear la situación del tráfico en carreteras con alta intensidad de tráfico. La información recibida de las cámaras de video contiene datos sobre el cambio temporal en la posición espacial de los vehículos en el campo de visión del sistema. El procesamiento de esta información en base a los algoritmos utilizados en los sistemas de medición de televisión (TMS) permite determinar la velocidad de los vehículos y garantizar el control del flujo del tráfico. Son estos factores los que explican el creciente interés por la vigilancia televisiva de las carreteras de transporte.
Para desarrollar métodos de filtrado de imágenes de vehículos en un contexto de ruido, es necesario conocer sus parámetros y características básicos. Anteriormente, los autores realizaron un estudio de los espectros de Fourier y wavelet de fondos naturales y urbanos. Este trabajo está dedicado al estudio de espectros de vehículos similares.
- utilizando una cámara digital, se creó un banco de archivos .bmp originales de imágenes monocromáticas de vehículos de varios tipos (automóviles, camiones, autobuses, para cada grupo el número de imágenes fue de 20 a 40 en diferentes ángulos y condiciones de iluminación); las imágenes eran 400 píxeles horizontalmente y 300 píxeles verticalmente; rango de brillo de 0 a 255 unidades;
- dado que las imágenes contenían, además del vehículo, también un componente de fondo, para evitar su influencia en el resultado, se suprimió artificialmente a cero;
- el análisis de las características de las imágenes de los vehículos se llevó a cabo mediante los métodos de análisis de Fourier y wavelet.
El programa desarrollado en el entorno MATLAB le permite calcular el brillo promedio (es decir, la expectativa matemática del brillo de la imagen), la variación de brillo, el espectro de Fourier de líneas de imagen individuales y totales, espectrogramas, así como espectros de ondas utilizando varias ondas conocidas (Haar, Daubechies, y etc.). Los resultados del análisis se reflejan en forma de espectros de imágenes bidimensionales y tridimensionales.
Sobre la base de los resultados de la investigación, se pueden extraer las siguientes conclusiones:
- las características de luminancia promedio (brillo promedio, dispersión) de las imágenes de diferentes vehículos tienen valores similares para todos los tipos; el resplandor solar de las superficies de vidrio y automóviles tiene un efecto significativo en las características de brillo; Dependiendo de la intensidad y dirección de la iluminación, los autos negros pueden tener características de brillo similares a los autos de colores claros;
- independientemente del tipo de vehículo, los espectros de Fourier y wavelet tienen una estructura similar;
- el ancho del espectro de vehículos de Fourier depende débilmente del tipo de vehículo; el espectro tiene una estructura significativamente desigual que cambia con los cambios de iluminación y orientación del vehículo; el espectro en el plano horizontal tiene una estructura más desigual que en el vertical; las características espectrales de los camiones y autobuses están muy influenciadas por dibujos e inscripciones (anuncios) en sus superficies;
- al girar los automóviles, el cambio en los espectros de las imágenes en el plano horizontal es significativo, el espectro en el plano vertical permanece bastante estable; esto se ve especialmente claramente en los espectros de ondículas;
- el análisis de los espectros de un vehículo individual y un vehículo en el contexto de la interferencia muestra que difieren en los niveles de amplitud de los componentes espectrales; en ausencia de fondo, el espectro vertical es mucho más uniforme; para imágenes de automóviles sin fondo, hay una mayor probabilidad de caídas profundas en el espectro (mayor desnivel), la envolvente del espectro de imágenes con fondo es más uniforme que sin fondo;
- los estudios han demostrado que debido a la fuerte influencia de un gran número de factores, las características espectrales de los vehículos (ambas obtenidas mediante análisis de Fourier y análisis de ondículas) no nos permiten identificar características espectrales estables de imágenes de vehículos; esto reduce la eficiencia del filtrado espectral de imágenes, realizado para suprimir el fondo;
- en los sistemas de control de tráfico automatizados, para distinguir los automóviles del fondo de interferencia, es necesario utilizar un conjunto de características, como el color, el espectro, los parámetros geométricos de los objetos (dimensiones y relación de aspecto) y las características dinámicas.
BIBLIOGRAFÍA
- Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Investigación de las características de imágenes de fondos naturales y urbanos // Izv. Tulsk. Estado Universidad. Ingeniería de radio y óptica de radio. - Tula, 2005 .-- T. 7.- P.97-104.
Referencia bibliográfica
Makaretsky E.A. INVESTIGACIÓN DEL FOURIER Y ONDA DEL ESPECTRO DE IMAGEN DE VEHÍCULOS // Investigación Fundamental. - 2006. - No. 12. - P. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id\u003d5557 (fecha de acceso: 15.01.2020). Llamamos a su atención las revistas publicadas por la "Academia de Ciencias Naturales"
Análisis espectral
El análisis espectral es una amplia clase de métodos de procesamiento de datos basados \u200b\u200ben su representación de frecuencia o espectro. El espectro se obtiene como resultado de la expansión de la función original, que depende del tiempo (series de tiempo) o coordenadas espaciales (por ejemplo, una imagen), en la base de alguna función periódica. El más utilizado para el procesamiento espectral es el espectro de Fourier obtenido sobre la base del seno (expansión de Fourier, transformada de Fourier).
El significado principal de la transformada de Fourier es que la función inicial no periódica de forma arbitraria, que no se puede describir analíticamente y por lo tanto es difícil de procesar y analizar, se representa como un conjunto de senos o cosenos con diferentes frecuencias, amplitudes y fases iniciales.
En otras palabras, una función compleja se transforma en muchas más simples. Cada sinusoide (o coseno) con una cierta frecuencia y amplitud, obtenido como resultado de la expansión de Fourier, se llama componente espectral o armónicos... Forma de componentes espectrales espectro de Fourier.
Visualmente, el espectro de Fourier se presenta en forma de gráfico, en el que la frecuencia circular, denotada por la letra griega "omega", se traza a lo largo del eje horizontal, y la amplitud de los componentes espectrales, generalmente denotados por la letra latina A. Luego, cada componente espectral se puede representar como una referencia, posición que horizontalmente corresponde a su frecuencia, y su altura corresponde a su amplitud. El armónico con frecuencia cero se llama componente constante (en la vista temporal, esta es una línea recta).
Incluso un simple análisis visual del espectro puede decir mucho sobre la naturaleza de la función de la que se derivó. Intuitivamente, está claro que los cambios rápidos en los datos iniciales se generan en los componentes del espectro con alto frecuencia, y lento - con bajo... Por lo tanto, si la amplitud de los componentes en él disminuye rápidamente al aumentar la frecuencia, entonces la función inicial (por ejemplo, una serie de tiempo) es suave, y si el espectro contiene componentes de alta frecuencia con grandes amplitudes, entonces la función inicial contendrá fluctuaciones bruscas. Entonces, para una serie de tiempo, esto puede indicar un gran componente aleatorio, inestabilidad de los procesos que describe y la presencia de ruido en los datos.
El procesamiento espectral se basa en la manipulación del espectro. De hecho, si reducimos (suprimimos) la amplitud de los componentes de alta frecuencia y luego, basándonos en el espectro modificado, restauramos la función original realizando la transformada de Fourier inversa, entonces se volverá más suave debido a la eliminación del componente de alta frecuencia.
Para una serie de tiempo, por ejemplo, esto significa eliminar información sobre las ventas diarias, que son altamente susceptibles a factores aleatorios, y dejar tendencias más estables, por ejemplo, la estacionalidad. Puede, por el contrario, suprimir los componentes con una frecuencia baja, lo que eliminará los cambios lentos y dejará solo los rápidos. En el caso de una serie de tiempo, esto significaría la supresión del componente estacional.
Al aplicar el espectro de esta manera, puede lograr el cambio deseado en los datos originales. El más utilizado es el suavizado de series de tiempo eliminando o reduciendo la amplitud de los componentes de alta frecuencia en el espectro.
Para manipular los espectros, se utilizan filtros, algoritmos capaces de controlar la forma del espectro, suprimiendo o amplificando sus componentes. El principal propiedad ninguna filtrar es su característica de amplitud-frecuencia (AFC), de cuya forma depende la transformación del espectro.
Si el filtro pasa solo componentes espectrales con una frecuencia por debajo de una cierta frecuencia de corte, entonces se llama filtro de paso bajo (LPF) y se puede usar para suavizar los datos, limpiarlos de ruido y valores anómalos.
Si el filtro pasa componentes espectrales por encima de una determinada frecuencia de corte, se denomina filtro de paso alto (HPF). Se puede utilizar para suprimir cambios lentos como la estacionalidad en series de datos.
Además, se utilizan muchos otros tipos de filtros: filtros de rango medio, filtros de muesca y filtros de paso de banda, así como los más complejos, que se utilizan en el procesamiento de señales en electrónica. Al elegir el tipo y la forma de la respuesta de frecuencia del filtro, puede lograr la transformación deseada de los datos originales mediante el procesamiento espectral.
Al realizar el filtrado de datos de frecuencia para suavizar y eliminar el ruido, es necesario especificar correctamente el ancho de banda del filtro de paso bajo. Si se elige demasiado alto, el grado de suavizado será insuficiente y el ruido no se suprimirá por completo. Si es demasiado estrecho, junto con el ruido, se pueden suprimir los cambios que llevan información útil. Si en las aplicaciones técnicas existen criterios estrictos para determinar la optimalidad de las características del filtro, entonces en las tecnologías analíticas es necesario utilizar principalmente métodos experimentales.
El análisis espectral es una de las técnicas de procesamiento de datos más eficientes y mejor desarrolladas. Filtrado de frecuencia Es solo una de sus muchas aplicaciones. Además, se utiliza en correlación y análisis estadístico, síntesis de señales y funciones, construcción de modelos, etc.
1. Transformada de Fourier y espectro de señales
En muchos casos, la tarea de obtener (calcular) el espectro de la señal es la siguiente. Hay un ADC que, con una frecuencia de muestreo de Fd, convierte una señal continua que llega a su entrada durante el tiempo T en muestras digitales - N piezas. A continuación, la matriz de muestras se introduce en un programa determinado que genera N / 2 algunos valores numéricos (un programador que sacado de Internet escribió un programa, asegura que hace la transformada de Fourier).Para comprobar si el programa está funcionando correctamente, formemos una matriz de muestras como la suma de dos sinusoides sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) y deslícela en el programa. El programa dibujó lo siguiente:
fig.1 Gráfico de la función de tiempo de la señal
fig.2 Gráfico de espectro de señal
El gráfico de espectro tiene dos palos (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0.5 V y 10 Hz - con una amplitud de 1 V, todo es como en la fórmula de la señal original. ¡Todo está bien, programador bien hecho! El programa funciona correctamente.
Esto significa que si alimentamos una señal real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada ADC, obtendremos un espectro similar que consta de dos armónicos.
Total, nuestro real señal medida, durando 5 segundos, ADC digitalizado, es decir, presentado discreto cuenta, tiene discreto no periódico espectro.
Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores hay en esta frase?
Ahora los jefes decidieron que decidimos que 5 segundos es demasiado tiempo, midamos la señal en 0,5 segundos.
fig.3 Gráfico de funciones sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) en un período de medición de 0.5 segundos
fig.4 Espectro de funciones
¡Algo parece estar mal! El armónico de 10 Hz se dibuja normalmente, y en lugar del palo de 5 Hz, aparecieron algunos armónicos incomprensibles. Buscamos en Internet, qué y cómo ...
En, dicen que se deben agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normal.
fig.5 Ceros rematados a 5 seg.
fig.6 Recibió el espectro
Aún no es lo que era a los 5 segundos. Tendremos que lidiar con la teoría. Ir Wikipedia - fuente de conocimiento.
2. Función continua y su representación por la serie de Fourier
Matemáticamente, nuestra señal con una duración de T segundos es una función f (x) definida en el intervalo (0, T) (X en este caso es el tiempo). Tal función siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (sinusoides o cosenos) de la forma:
(1), donde:
K - número de función trigonométrica (número de componente armónico, número de armónico)
T - el segmento donde se define la función (duración de la señal)
Ak es la amplitud del k-ésimo componente armónico,
? k es la fase inicial del k-ésimo componente armónico
¿Qué significa "representar una función como la suma de una serie"? Esto significa que sumando en cada punto los valores de los componentes armónicos de la serie de Fourier, obtenemos el valor de nuestra función en este punto.
(Más estrictamente, la desviación de la raíz cuadrada media de la serie de la función f (x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia de la raíz cuadrada media, la serie de Fourier de la función, en términos generales, no está obligada a converger puntualmente. Ver https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)
Esta serie también se puede escribir como:
(2),
donde, k-ésima amplitud del complejo.
La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:
Tenga en cuenta que estas tres representaciones de la serie de Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, utilizar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero nos conviene utilizar la fórmula (1), donde la serie de Fourier se presenta como una suma de ondas coseno con las correspondientes amplitudes y fases. En cualquier caso, es incorrecto decir que el resultado de la transformada de Fourier de una señal real serán las amplitudes complejas de los armónicos. Como dice la Wiki, "La transformada de Fourier (?) Es una operación que asigna una función a una variable real a otra función, también una variable real".
Total:
La base matemática para el análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier le permite representar una función continua f (x) (señal), definida en el segmento (0, T) como la suma de un número infinito (serie infinita) de funciones trigonométricas (sinusoides y \\ o cosenos) con ciertas amplitudes y fases, también consideradas en el segmento (0, T). Esta serie se llama serie de Fourier.
Observemos algunos puntos más, cuya comprensión es necesaria para la correcta aplicación de la transformada de Fourier al análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (la suma de las sinusoides) en todo el eje X, entonces podemos ver que fuera del segmento (0, T) la función representada por la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.
Por ejemplo, en el gráfico de la figura 7, la función original se define en el intervalo (-T \\ 2, + T \\ 2), y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.
Esto se debe a que las sinusoides en sí mismas son funciones periódicas y, en consecuencia, su suma será una función periódica.
fig.7 Representación de una función original no periódica mediante la serie de Fourier
De este modo:
Nuestra función original es continua, no periódica, definida en algún segmento de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta en forma de una serie infinita de componentes armónicos: la serie de Fourier.
De hecho, la serie de Fourier define una determinada función periódica que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero esta periodicidad no es esencial para nosotros.
Los períodos de los componentes armónicos son múltiplos del segmento (0, T) en el que se define la función original f (x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T, en el que se define la función f (x). El período del segundo armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T / 2. Y así sucesivamente (ver fig. 8).
fig.8 Períodos (frecuencias) de componentes armónicos de la serie de Fourier (aquí T \u003d 2?)
En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos son múltiplos de 1 / T. Es decir, las frecuencias de los componentes armónicos Fk son iguales a Fk \u003d k \\ T, donde k corre valores de 0 a ?, Por ejemplo, k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (a frecuencia cero - componente constante).
Sea nuestra función original una señal registrada para T \u003d 1 seg. Entonces, el período del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1 \u003d T \u003d 1 seg y la frecuencia del armónico es 1 Hz. El segundo período armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0.5 seg) y la frecuencia es 2 Hz. Para el tercer armónico, T3 \u003d T / 3 seg y la frecuencia es 3 Hz. Etc.
El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.
Así, una señal con una duración de 1 segundo se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución en 2 veces a 0,5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición en 2 veces, hasta 2 segundos. Una señal con una duración de 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otra forma de aumentar la resolución de frecuencia.
Existe una forma de aumentar artificialmente la duración de la señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resolución de frecuencia real.
3. Señales discretas y transformada discreta de Fourier
Con el desarrollo de la tecnología digital, los métodos de almacenamiento de datos de medición (señales) también han cambiado. Si antes la señal podía grabarse en una grabadora y almacenarse en una cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (lecturas).Un esquema típico para medir y digitalizar una señal es el siguiente.
fig.9 Diagrama de canales de medida
La señal del transductor de medida se alimenta al ADC durante un período de tiempo T. Las muestras de la señal (muestra) obtenidas durante el tiempo T se transfieren a la computadora y se almacenan en la memoria.
fig.10 Señal digitalizada - N muestras obtenidas durante T
¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de señales? Un dispositivo que convierte una señal analógica de entrada en un código discreto (señal digital) se denomina convertidor analógico-digital (ADC) (Wiki).
Uno de los parámetros principales del ADC es la frecuencia de muestreo máxima (o frecuencia de muestreo, frecuencia de muestreo en inglés): la frecuencia de muestreo de una señal continua en el tiempo durante su muestreo. Medido en hercios. ((Wiki))
De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, entonces se puede reconstruir completa e inequívocamente a partir de sus muestras discretas tomadas a intervalos de tiempo. 
, es decir con una frecuencia Fd? 2 * Fmax, donde Fd es la frecuencia de muestreo; Fmax es la frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la frecuencia de muestreo de la señal (frecuencia de muestreo ADC) debe ser al menos 2 veces mayor que la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.
¿Y qué pasará si tomamos muestras con una frecuencia inferior a la requerida por el teorema de Kotelnikov?
En este caso, se produce el efecto de "aliasing" (también conocido como efecto estroboscópico, efecto muaré), en el que una señal de alta frecuencia después de la digitalización se convierte en una señal de baja frecuencia que en realidad no existe. En la Fig. 5 La onda sinusoidal roja de alta frecuencia es una señal real. La sinusoide azul de una frecuencia más baja es una señal ficticia que surge debido a que durante el tiempo de muestreo logra pasar más de la mitad de un período de la señal de alta frecuencia.
Figura: 11. La aparición de una señal falsa de baja frecuencia con una frecuencia de muestreo insuficientemente alta
Para evitar el efecto de aliasing, se instala un filtro anti-aliasing especial frente al ADC: un filtro de paso bajo (filtro de paso bajo), que pasa frecuencias por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias más altas.
Para calcular el espectro de la señal a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT). Obsérvese de nuevo que el espectro de la señal discreta está "por definición" limitado por la frecuencia Fmax, menos de la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por tanto, el espectro de una señal discreta se puede representar por la suma de un número finito de armónicos, en contraste con la suma infinita de la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Según el teorema de Kotelnikov, la frecuencia máxima de un armónico debe ser tal que tenga al menos dos lecturas, por lo que el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de una señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, entonces el número de armónicos en el espectro será igual a N / 2.
Considere ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).
Comparando con la serie de Fourier
Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT es discreto y el número de armónicos se limita a N / 2, que es la mitad del número de muestras.
Las fórmulas DFT están escritas en variables enteras adimensionales k, s, donde k son los números de las muestras de señales, s son los números de los componentes espectrales.
El valor de s muestra el número de oscilaciones armónicas totales en el período T (la duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se usa para encontrar las amplitudes y fases de armónicos numéricamente, es decir, "en la computadora"
Volviendo a los resultados del principio. Como se mencionó anteriormente, al expandir una función no periódica (nuestra señal) en una serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con un período T. (Fig. 12).
fig.12 Función periódica f (x) con un período T0, con un período de medición T\u003e T0
Como se puede ver en la figura 12, la función f (x) es periódica con un período T0. Sin embargo, debido a que la duración de la muestra de medición T no coincide con el período de la función T0, la función obtenida como una serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función contendrá un gran número de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medición T coincidiera con el período de la función T0, entonces en el espectro obtenido después de la transformada de Fourier, solo estaría presente el primer armónico (una sinusoide con un período igual a la duración de la muestra), ya que la función f (x) es una sinusoide.
En otras palabras, el programa DFT “no sabe” que nuestra señal es una “parte de una sinusoide”, pero trata de representar una función periódica como una serie, que tiene una discontinuidad debido a la inconsistencia de las piezas individuales de una sinusoide.
Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que deben resumir la forma de la función, incluida esta discontinuidad.
Por tanto, para obtener un espectro "correcto" de una señal, que es la suma de varias sinusoides con diferentes períodos, es necesario que un número entero de períodos de cada sinusoide se ajuste al período de medición de la señal. En la práctica, esta condición se puede cumplir con una duración de medición de señal suficientemente larga.
Fig.13 Un ejemplo de función y espectro de una señal de error cinemático de una caja de cambios
Con una duración más corta, la imagen se verá "peor":
Fig.14 Ejemplo de función y espectro de la señal de vibración del rotor
En la práctica, puede ser difícil entender dónde están los "componentes reales" y dónde están los "artefactos" causados \u200b\u200bpor el hecho de que los períodos de los componentes y la duración del muestreo de la señal no son múltiples o los "saltos y roturas" de la forma de onda. Por supuesto, las palabras "componentes reales" y "artefactos" no se toman en vano entre comillas. La presencia de muchos armónicos en el gráfico del espectro no significa que nuestra señal en realidad "consista" en ellos. Es como pensar que el número 7 "consta" de los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4, eso es correcto.
Entonces nuestra señal ... o mejor dicho ni siquiera "nuestra señal", sino una función periódica compuesta por la repetición de nuestra señal (muestra) se puede representar como una suma de armónicos (sinusoides) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la práctica (ver las figuras de arriba), es realmente posible asociar los armónicos obtenidos en el espectro con procesos reales que tienen una naturaleza cíclica y hacen una contribución significativa a la forma de la señal.
Algunos resultados
1. La señal real medida, duración T seg, digitalizada por el ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico representado por un conjunto de armónicos (N / 2 piezas).2. La señal está representada por un conjunto de valores reales y su espectro está representado por un conjunto de valores reales. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que a los matemáticos les resulte más conveniente representar el espectro en una forma compleja utilizando frecuencias negativas no significa que "esto es correcto" y "esto siempre debe hacerse".
3. La señal medida en el intervalo de tiempo T se determina solo en el intervalo de tiempo T. Lo que era antes de que comenzáramos a medir la señal y lo que sucederá después de eso, esto es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso, no es interesante. La DFT de una señal limitada en el tiempo da su espectro “verdadero”, en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y frecuencia de sus componentes.
Materiales usados \u200b\u200by otros materiales útiles.
