MATRICES Y DETERMINANTES

Lección 1. Matrices

1. El concepto de matriz. Tipos de matrices

2. Álgebra de matrices

Lección 2. Determinantes

1. Determinantes de una matriz cuadrada y sus propiedades

2. Teoremas de Laplace y de aniquilación

Lección 3. Matriz inversa

1. Concepto matriz inversa. Unicidad de la matriz inversa

2. Algoritmo para la construcción de una matriz inversa. Propiedades de la matriz inversa

4. Tareas y ejercicios

4.1. Matrices y acciones sobre ellas.

4.2. Determinantes

4.3. matriz inversa

5. Tareas individuales

Literatura

LECCION 1. MATRIZ

Plan

1. El concepto de matriz. Tipos de matrices.

2. Álgebra de matrices.

Conceptos clave

Matriz diagonal.

Matriz de identidad.

Matriz cero.

Matriz simétrica.

Consistencia matricial.

Transposición.

matriz triangular.

1. EL CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES

mesa rectangular

que consta de m filas y n columnas, cuyos elementos son números reales, donde i- número de línea j- el número de la columna en la intersección de la cual se encuentra este elemento, lo llamaremos numérico matriz orden m´n y denote .

Considere los principales tipos de matrices:

1. Sea m = n, entonces la matriz A es cuadrado una matriz de orden n:

un = .

Elementos forman la diagonal principal, los elementos formar una diagonal lateral.

diagonal , si todos sus elementos, excepto posiblemente los elementos de la diagonal principal, son iguales a cero:

A==diag( ).

La matriz diagonal, y por lo tanto cuadrada, se llama soltero , si todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1:

E = diag (1, 1, 1,…,1).

Nótese que la matriz identidad es la matriz análoga de la identidad en el conjunto de los números reales, y también recalque que la matriz identidad se define solo para matrices cuadradas.

Aquí hay ejemplos de matrices de identidad:

Matrices cuadradas

un = , V =

se denominan triangular superior e inferior, respectivamente.

2 . Sea m = 1, entonces la matriz A es una matriz fila, que se parece a:

3 . Sea n=1, entonces la matriz A es una matriz columna, que se parece a:

4 .Una matriz cero es una matriz de orden m´n cuyos elementos son todos iguales a 0:

Tenga en cuenta que la matriz nula puede ser un cuadrado, una matriz de fila o una matriz de columna. La matriz cero es la matriz análoga del cero en el conjunto de los números reales.

5 . La matriz se llama transpuesto a una matriz y se denota si sus columnas son las filas correspondientes de la matriz.

Ejemplo . Sea = , luego = .

Nótese que si la matriz A tiene orden m´n, entonces la matriz transpuesta tiene orden n´m.

6 . La matriz A se llama simétrico si A=A, y sesgado-simétrico si A = -A.

Ejemplo . Examine la simetría de la matriz A y B.

Entonces = , por lo tanto, la matriz A es simétrica, ya que A = A.

B = , entonces = , por lo tanto, la matriz B es asimétrica, ya que B = - B.

Tenga en cuenta que las matrices simétricas y asimétricas siempre son cuadradas. Cualquier elemento puede estar en la diagonal principal de una matriz simétrica, y los elementos idénticos deben ser simétricos con respecto a la diagonal principal, es decir, =. Siempre hay ceros en la diagonal principal de una matriz asimétrica y simétrica con respecto a la diagonal principal = - .

2. ÁLGEBRA DE MATRICES

Consideremos las operaciones con matrices, pero primero introduciremos algunos conceptos nuevos.

Dos matrices A y B se llaman matrices del mismo orden si tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas.

Ejemplo. y son matrices del mismo orden 2´3;

Y son matrices de distinto orden, desde 2´3≠3´2.

Los conceptos de ″mayor que″ y ″menor que″ no están definidos para matrices.

Las matrices A y B se llaman iguales si son del mismo orden m´n, y = , donde 1, 2, 3, …, m, y j = 1, 2, 3, …, n.

Multiplicar una matriz por un número.

Multiplicar la matriz A por el número λ conduce a la multiplicación de cada elemento de la matriz por el número λ:

λA = , λR.

De esta definición se deduce que el factor común de todos los elementos de la matriz se puede sacar del signo de la matriz.

Ejemplo.

Sea la matriz A =, entonces 5A = =.

Sea la matriz B = = = 5.

Propiedades de multiplicar una matriz por un número :

2) (λμ)A = λ(μA) = μ(λA), donde λ,μ R;

3) (λА) = λА;

Suma (diferencia) de matrices .

La suma (diferencia) se determina sólo para matrices del mismo orden m´n.

La suma (diferencia) de dos matrices A y B de orden m´n es la matriz C del mismo orden, donde = ± ( 1, 2, 3, …, metro ,

j= 1, 2, 3, …, n.).

En otras palabras, la matriz C consta de elementos iguales a la suma (diferencia) de los elementos correspondientes de las matrices A y B.

Ejemplo . Encuentra la suma y la diferencia de las matrices A y B.

entonces =+= =,

=–==.

Si = , = , entonces A ± B no existe, ya que las matrices son de distinto orden.

De las definiciones anteriores se sigue propiedades sumas de matrices:

1) conmutatividad A+B=B+A;

2) asociatividad (A+B)+C=A+(B+C);

3) distributividad a la multiplicación por el número λR: λ(A + B) = λA + λB;

4) 0+A=A, donde 0 es la matriz cero;

5) A+(–A)=0, donde (–A) es la matriz opuesta a la matriz A;

6) (A + B) \u003d A + B.

Producto de matrices.

La operación del producto no está definida para todas las matrices, sino solo para las consistentes.

Las matrices A y B se llaman acordado , si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. Entonces, si , , m≠k, entonces las matrices A y B son consistentes, ya que n = n, y en orden inverso, las matrices B y A son inconsistentes, ya que m ≠ k. Las matrices cuadradas son consistentes cuando tienen el mismo orden n, y tanto A y B como B y A son consistentes. = m.

El producto de dos matrices consistentes y

A= , V=

se llama la matriz C de orden m´k:

=∙, cuyos elementos se calculan mediante la fórmula:

(1, 2, 3, …, metro, j=1, 2, 3, …, k),

es decir, el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz C es igual a la suma de los productos de todos los elementos de la i-ésima fila de la matriz A y los elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B.

Ejemplo . Encuentra el producto de las matrices A y B.

∙===.

El producto de matrices B∙A no existe, ya que las matrices B y A no son consistentes: la matriz B tiene orden 2´2, y la matriz A tiene orden 3´2.

Considerar propiedades productos de matriz:

1 ) no conmutatividad: AB ≠ BA, incluso si A y B, y B y A son consistentes. Si AB = BA, entonces las matrices A y B se denominan conmutadas (las matrices A y B en este caso serán necesariamente cuadradas).

Ejemplo 1 . = , = ;

==;

==.

Obviamente, ≠ .

Ejemplo 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Conclusión: ≠, aunque las matrices son del mismo orden.

2 ) para cualquier matriz cuadrada, la matriz identidad E está conmutando a cualquier matriz A del mismo orden, y como resultado obtenemos la misma matriz A, es decir, AE = EA = A.

Ejemplo .

===;

===.

3 ) UN 0 = 0 UN = 0.

4 ) el producto de dos matrices puede ser igual a cero, mientras que las matrices A y B pueden ser distintas de cero.

Ejemplo .

= ==.

5 ) asociatividad ABC=A(BC)=(AB)C:

· (·

Ejemplo .

tenemos matrices , ;

entonces Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Así, hemos mostrado con el ejemplo que Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) distributividad con respecto a la suma:

(A + B) ∙ C \u003d AC + BC, A ∙ (B + C) \u003d AB + AC.

7) (A∙B)= B∙A.

Ejemplo.

, =.

Entonces AB =∙==

=(A∙B)= =

EN ∙A =∙ = ==.

De este modo, ( A∙B)= EN A .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ(λВ), λ,R.

Considere ejemplos típicos para realizar operaciones en matrices, es decir, necesita encontrar la suma, la diferencia, el producto (si existen) de dos matrices A y B.

Ejemplo 1 .

, .

Solución.

1) + = = =;

2) – ===;

3) el producto no existe, ya que las matrices A y B son inconsistentes, sin embargo, el producto no existe por la misma razón.

Ejemplo 2 .

Solución.

1) la suma de matrices, así como su diferencia, no existe, ya que las matrices iniciales son de diferente orden: la matriz A tiene orden 2´3, y la matriz B tiene orden 3´1;

2) dado que las matrices A y B son consistentes, entonces existe el producto de las matrices A ּ B:

·=·= =,

el producto de matrices В ּ А no existe, ya que las matrices y son inconsistentes.

Ejemplo 3

Solución.

1) la suma de matrices, así como su diferencia, no existe, ya que las matrices iniciales son de diferente orden: la matriz A tiene orden 3´2, y la matriz B tiene orden 2´3;

2) el producto de ambas matrices АּВ y ВּА existe, ya que las matrices son consistentes, pero el resultado de tales productos serán matrices de diferentes órdenes: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

En este caso, AB ≠ BA.

Ejemplo 4 .

Solución.

1) +===,

2) –= ==;

3) producto como matrices A ּ EN, y EN ּ A, existe porque las matrices son consistentes:

·==·= =;

·==·= =

=≠, es decir, las matrices A y B no conmutan.

Ejemplo 5 .

Solución.

1) +===,

2) –===;

3) el producto de ambas matrices АּВ y ВּА existe, ya que las matrices son consistentes:

·==·= =;

·==·= =

АּВ=ВּА, es decir, estas matrices están conmutando.

Lección 2. DETERMINANTES

Plan

1. Determinantes de una matriz cuadrada y sus propiedades.

2. Teoremas de Laplace y de aniquilación.

Conceptos clave

Complemento algebraico del elemento determinante.

Menor del elemento determinante.

Determinante de segundo orden.

Determinante de tercer orden.

Determinante de orden arbitrario.

El teorema de Laplace.

Teorema de cancelación.

1. DETERMINANTES DE UNA MATRIZ CUADRADA Y SUS PROPIEDADES

Sea A una matriz cuadrada de orden n:

A= .

Cada una de estas matrices se puede asociar con un solo número real, llamado determinante (determinante) de la matriz y denotado

Det A= ∆= .

Tenga en cuenta que el determinante existe sólo para cuadrado matrices.

Considere las reglas para calcular determinantes y sus propiedades para matrices cuadradas de segundo y tercer orden, que llamaremos por brevedad los determinantes de segundo y tercer orden, respectivamente.

Determinante de segundo orden matriz es un número determinado por la regla:

es decir, el determinante de segundo orden es un número igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo .

Entonces == 4 3 - (–1) 2=12 + 2 = 14.

Debe recordarse que los corchetes o corchetes se usan para designar matrices y para el determinante: líneas verticales. Una matriz es una tabla de números y un determinante es un número.

De la definición de un determinante de segundo orden, se sigue que propiedades :

1. El determinante no cambiará al reemplazar todas sus filas con las columnas correspondientes:

2. El signo del determinante cambia al contrario cuando se reordenan las filas (columnas) del determinante:

3. El factor común de todos los elementos de la fila (columna) del determinante se puede sacar del signo del determinante:

4. Si todos los elementos de alguna fila (columna) del determinante son iguales a cero, entonces el determinante es igual a cero.

5. El determinante es igual a cero si los elementos correspondientes de sus filas (columnas) son proporcionales:

6. Si los elementos de una fila (columna) del determinante son iguales a la suma de dos términos, entonces dicho determinante es igual a la suma de dos determinantes:

=+, =+.

7. El valor del determinante no cambiará si los elementos de su fila (columna) se suman (restan) por los elementos correspondientes de otra fila (columna) multiplicados por el mismo número:

=+=,

desde =0 por la propiedad 5.

Las propiedades restantes de los determinantes se considerarán a continuación.

Introduzcamos el concepto de determinante de tercer orden: tercero orden una matriz cuadrada se llama numero

∆ == detA= =

=++– – – ,

es decir, cada término de la fórmula (2) es el producto de los elementos del determinante, tomados uno y sólo uno de cada fila y cada columna. Para recordar qué productos de la fórmula (2) tomar con un signo más y cuáles con un signo menos, es útil conocer la regla del triángulo (regla de Sarrus):

Ejemplo . Calcular determinante

==

Cabe señalar que las propiedades del determinante de segundo orden considerado anteriormente se pueden transferir sin cambios al caso de determinantes de cualquier orden, incluido el tercero.

2. TEOREMAS DE LAPLACE Y ANULACIÓN

Considere otras dos propiedades muy importantes de los determinantes.

Introduzcamos los conceptos de complemento menor y algebraico.

Determinante de elemento menor se llama el determinante obtenido a partir del determinante original al eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento dado. El menor del elemento se denota por .

Ejemplo . = .

Entonces, por ejemplo, = , = .

Complemento de elementos algebraicos del determinante se llama su menor, tomado con signo. El complemento algebraico se denotará por , es decir, =.

Por ejemplo:

= , === –,

Volvamos a la fórmula (2). Agrupando los elementos y sacando el factor común entre paréntesis, obtenemos:

=(– ) +( – ) +(–)=

Las igualdades se prueban de manera similar:

1, 2, 3; (3)

Las fórmulas (3) se llaman fórmulas de descomposición determinante sobre los elementos de la i-ésima fila (j-ésima columna), o por las fórmulas de Laplace para el determinante de tercer orden.

Así obtenemos la octava propiedad del determinante :

teorema de laplace . El determinante es igual a la suma de todos los productos de los elementos de cualquier fila (columna) por los correspondientes complementos algebraicos de los elementos de esta fila (columna).

Tenga en cuenta que esta propiedad de un determinante no es más que la definición de un determinante de cualquier orden. En la práctica, se utiliza para calcular el determinante de cualquier orden. Como regla, antes de calcular el determinante, usando las propiedades 1 - 7, logran, si es posible, que en cualquier fila (columna) todos los elementos sean iguales a cero, excepto uno, y luego se descomponen por los elementos de la fila (columna).

Ejemplo . Calcular determinante

== (restar la primera de la segunda fila) =

== (restar la primera de la tercera fila)=

== (expandir el determinante en elementos de la tercera

filas) = ​​1 ּ = (restar la primera columna de la segunda columna) = = 1998 ּ 0 – 1 ּ 2 = –2.

Ejemplo .

Considere un determinante de cuarto orden. Para calcularlo utilizamos el teorema de Laplace, es decir, la expansión en términos de los elementos de una fila (columna).

== (dado que la segunda columna contiene tres elementos cero, expandimos el determinante por los elementos de la segunda columna)= =3ּ= (restar el primero multiplicado por 3 de la segunda fila, y restar el primero multiplicado por 2 del tercero fila) =

3 ּ = (expandimos el determinante por los elementos de la primera columna) = 3ּ1ּ =

Novena propiedad determinante lleva el nombre teorema de cancelación :

la suma de todos los productos de los elementos de una fila (columna) del determinante y los correspondientes complementos algebraicos de los elementos de otra fila (columna) es igual a cero, es decir

++ = 0,

Ejemplo .

= = (expandir por elementos de la tercera fila)=

0 ּ + 0 ּ + ּ = -2.

Pero, para el mismo ejemplo: 0ּ+0ּ+1ּ=

0 ּ + 0 ּ + 1 ּ = 0.

Si un determinante de cualquier orden tiene forma triangular

=, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal:

= ּ ּ … ּ. (4)

Ejemplo. Calcular el determinante.

=

A veces, al calcular el determinante mediante transformaciones elementales, es posible reducirlo a una forma triangular, después de lo cual se aplica la fórmula (4).

En cuanto al determinante del producto de dos matrices cuadradas, es igual al producto de los determinantes de estas matrices cuadradas: .

LECCION 3. MATRIZ INVERSA

Plan

1. El concepto de matriz inversa. Unicidad de la matriz inversa.

2. Algoritmo para la construcción de una matriz inversa.

Propiedades de la matriz inversa.

Conceptos clave

matriz inversa.

matriz adjunta.

1. EL CONCEPTO DE MATRIZ INVERSA.

SINGULARIDAD DE LA MATRIZ INVERSA

En teoría de números, junto con un número, se define un número opuesto a él () tal que , y un número inverso a él tal que . Por ejemplo, para el número 5, el opuesto será el número

(-5), y el inverso será el número . De manera similar, en la teoría de matrices, ya hemos introducido el concepto de matriz opuesta, su designación (-A). matriz inversa para una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz si las igualdades

Dónde mi es la matriz identidad de orden n.

Inmediatamente notamos que la matriz inversa existe solo para matrices cuadradas no singulares.

La matriz cuadrada se llama no degenerado (no singular) si detA ≠ 0. Si detA = 0, entonces la matriz A se llama degenerar (especial).

Tenga en cuenta que la matriz A no singular tiene una matriz inversa única. Probemos esta afirmación.

Sea para la matriz A hay dos matrices inversas, es decir

Entonces = ּ = ּ () =

QED

Encuentra el determinante de la matriz inversa. Dado que el determinante del producto de dos matrices A y B del mismo orden es igual al producto de los determinantes de estas matrices, es decir, por tanto, el producto de dos matrices no singulares AB es una matriz no singular.

Concluimos que el determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz original.

2. ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

Demostremos que si la matriz A es no singular, entonces existe una matriz inversa para ella y la construiremos.

Hagamos una matriz a partir de los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A:

Transponiéndolo, obtenemos el llamado adjunto matriz:

.

Encuentre el producto ּ. Teniendo en cuenta el teorema de Laplace y el teorema de aniquilación:

ּ = =

=.

Concluimos:

Algoritmo para construir una matriz inversa.

1) Calcular el determinante de la matriz A. Si el determinante es cero, entonces la matriz inversa no existe.

2) Si el determinante de la matriz no es igual a cero, entonces componga a partir de los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz A matriz

3) Transponiendo la matriz, obtenga la matriz asociada.

4) Según la fórmula (2) componen la matriz inversa.

5) Según la fórmula (1) comprobar los cálculos.

Ejemplo . Encuentre la matriz inversa.

A). Sea A=. Como la matriz A tiene dos filas idénticas, el determinante de la matriz es cero. Por lo tanto, la matriz es degenerada y no existe una matriz inversa para ella.

b). Dejar A =.

Calcular el determinante de la matriz

la matriz inversa existe.

Componer una matriz a partir de sumas algebraicas

= = ;

transponiendo la matriz, obtenemos la matriz asociada

por la fórmula (2) encontramos la matriz inversa

==.

Comprobemos la exactitud de los cálculos.

= = .

Por lo tanto, la matriz inversa construida es correcta.

Propiedades de la matriz inversa

1. ;

2. ;

3. .

4. TAREAS Y EJERCICIOS

4.1 Matrices y acciones sobre ellas

1. Encuentra la suma, diferencia, producto de dos matrices A y B.

A) , ;

b) , ;

V) , ;

GRAMO) , ;

mi) , ;

mi) , ;

y) , ;

h), ;

Y) , .

2. Demostrar que las matrices A y B son conmutativas.

A) , ; b) , .

3. Dadas las matrices A, B y C. Demostrar que (AB)·C=A·(BC).

A) , , ;

b) , , .

4. Calcular (3A - 2B) C si

, , .

5. Encuentra si

A) ; b) .

6. Encuentra la matriz X si 3A+2X=B, donde

, .

7. Encuentra ABC si

A) , , ;

b) , , .

RESPUESTAS SOBRE EL TEMA "MATRICES Y ACCIONES SOBRE ELLAS"

1. a) , ;

b) los productos AB y BA no existen;

V) , ;

GRAMO) , ;

e) no existen sumas, diferencias y productos de matrices BA, ;

mi) , ;

g) no existen productos de matriz;

h) , ;

Y) , .

2. a) ; b) .

3. a) ; b) .

4. .

5. a) ; b) .

6. .

7.a) ; b) .

4.2 Eliminatorias

1. Calcular determinantes

A) ; b) ; V) ; G) ; mi) ; mi) ;

y) ; h) .

3. Usando la regla de los triángulos, calcula los determinantes

A) ; b) ; V) ; G) .

4. Calcular los determinantes del Ejemplo 2 usando el teorema de Laplace.

5. Calcula los determinantes, después de simplificarlos:

A) ; b) ; V) ;

G) ; mi) ; mi) ;

y) .

6. Calcula el determinante llevándolo a una forma triangular

.

7. Sean dadas las matrices A y B. Demuestre que :

, .

RESPUESTAS SOBRE EL TEMA "DETERMINANTES"

1.a) 10; b) 1; c) 25; d) 16; e) 0; f)-3; g) -6; h) 1.

2.a) -25; b) 168; a las 21; d) 12.

3.a) -25; b) 168; a las 21; d) 12.

4.a) 2; b) 0; c) 0; d) 70; e) 18; f) -66; g) -36.

4.3 Matriz inversa

1. Encuentra la matriz inversa:

A) ; b) ; V) ; G) ;

mi) ; mi) ; y) ; h) ;

Y) ; A) ; l) ;

metro) ; metro) .

2. Encuentre la matriz inversa y verifique la condición:

A) ; b) .

3. Demostrar la igualdad :

A) , ; b) ,.

4. Demostrar la igualdad :

A) ; b) .

RESPUESTAS SOBRE EL TEMA "MATRIZ INVERSA"

1.a); b) ; V) ; GRAMO) ;

mi) ; mi) ; y) ;

h) ; Y) ;

A) ; l) ;

m); metro) .

2. a) ; b) .

2. a) , , =;

b) , ,

=.

5. a) , ,

, ;

b) , ,

, .

5. TAREAS INDIVIDUALES

1. Calcular el determinante por expansión

a) en la i-ésima línea;

b) por la j-ésima columna.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

LITERATURA

1. Zhevnyak R.M., Karpuk A.A. Matemáticas avanzadas. – Mn.: Vish. escuela, 1992.- 384 p.

2. Gusak A.A. Manual de referencia para la resolución de problemas: geometría analítica y álgebra lineal. - Minsk: Tetrasystems, 1998.- 288 p.

3. Markov L. N., Razmyslovich G. P. Matemáticas avanzadas. Parte 1. - Minsk: Amalfeya, 1999. - 208 p.

4. Belko IV, Kuzmich K.K. Matemáticas superiores para economistas. yo semestre. M.: Nuevos conocimientos, 2002.- 140 p.

5. Kovalenko N.S., Minchenkov Yu.V., Ovseec M.I. Matemáticas avanzadas. proc. prestación. -Mn.: CHIUP, 2003. - 32 p.

La principal característica numérica de una matriz cuadrada es su determinante. Considere una matriz cuadrada de segundo orden

El determinante o determinante de segundo orden es el número calculado según la siguiente regla

Por ejemplo,

Consideremos ahora una matriz cuadrada de tercer orden

.

Un determinante de tercer orden es un número calculado de acuerdo con la siguiente regla

Para memorizar la combinación de términos incluidos en expresiones para determinar el determinante de tercer orden, suelen utilizar Regla de Sarrus: el primero de los tres términos incluidos en el lado derecho con un signo más es el producto de los elementos en la diagonal principal de la matriz, y cada uno de los otros dos es el producto de los elementos que están en el paralelo a esta diagonal y el elemento de la esquina opuesta de la matriz.

Los tres últimos términos que entran con signo menos se definen de manera similar, solo que con respecto a la diagonal secundaria.

Ejemplo:

Propiedades básicas de los determinantes matriciales

1. El valor del determinante no cambia cuando se transpone la matriz.

2. Al reordenar las filas o columnas de la matriz, el determinante cambia solo de signo, manteniendo el valor absoluto.

3. El determinante que contiene filas o columnas proporcionales es igual a cero.

4. Del signo del determinante se puede sacar el factor común de los elementos de alguna fila o columna.

5. Si todos los elementos de alguna fila o columna son iguales a cero, entonces el determinante mismo es igual a cero.

6. Si sumamos a los elementos de una fila o columna separada del determinante los elementos de otra fila o columna, multiplicados por un factor arbitrario no degenerado, entonces el valor del determinante no cambiará.

Menor matriz es el determinante que se obtiene al eliminar el mismo número de columnas y filas de una matriz cuadrada.

Si todos los menores de orden superior que se pueden componer de la matriz son iguales a cero, y entre los menores de orden al menos uno es distinto de cero, entonces el número se llama rango esta matriz.

suma algebraica elemento del determinante de orden, llamaremos a su menor de orden, obtenido al suprimir la fila y la columna correspondientes, en cuya intersección hay un elemento tomado con signo más si la suma de los índices es igual a un número par y con un signo menos en caso contrario.

De este modo

,

donde es el orden menor correspondiente.

Calcular el determinante de una matriz descomponiendo los elementos de una fila o columna

El determinante de la matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (cualquier columna) de la matriz y los correspondientes complementos algebraicos de los elementos de esta fila (esta columna). Al calcular el determinante de una matriz de esta manera, uno debe guiarse por la siguiente regla: elija la fila o columna con el mayor número de elementos cero. Esta técnica puede reducir significativamente la cantidad de cálculos.

Ejemplo: .

Al calcular este determinante, usamos el método de expandirlo por los elementos de la primera columna. Como se puede ver en la fórmula anterior, no hay necesidad de calcular el último de los determinantes de segundo orden, ya que se multiplica por cero.

Cálculo de matriz inversa

Al resolver ecuaciones matriciales, la matriz inversa se usa ampliamente. En cierta medida, reemplaza la operación de división, que está ausente de forma explícita en el álgebra matricial.

Las matrices cuadradas del mismo orden, cuyo producto da la matriz identidad, se denominan recíprocas o inversas. Se denota la matriz inversa y se cumple para ella

Puede calcular la matriz inversa solo para una matriz para la cual .

El algoritmo clásico para calcular la matriz inversa.

1. Escriba la matriz transpuesta a la matriz .

2. Reemplace cada elemento de la matriz con el determinante obtenido como resultado de eliminar la fila y la columna en la intersección de la cual se encuentra este elemento.

3. Este determinante va acompañado de un signo más si la suma de los índices de los elementos es par, y de un signo menos en caso contrario.

4. Divida la matriz resultante por el determinante de la matriz.

- ¡Libera al pájaro a una muerte segura!
¡Que la libertad la acaricie!
Y el barco navega, y el reactor ruge...
- Pash, ¿eres terco?

Recuerdo que antes de 8vo grado no me gustaba el álgebra. No me gustó en absoluto. Ella me cabreó. Porque no entendí nada.

Y luego todo cambió, porque corté un chip:

En matemáticas en general (y álgebra en particular) todo se basa en un sistema de definiciones competente y consistente. Conoces las definiciones, comprendes su esencia; no será difícil descubrir el resto.

Ese es el tema de la lección de hoy. Consideraremos en detalle varios problemas y definiciones relacionados, gracias a los cuales tratará de una vez por todas con matrices, determinantes y todas sus propiedades.

Los determinantes son un concepto central en el álgebra matricial. Al igual que las fórmulas de multiplicación abreviadas, lo perseguirán a lo largo de su curso de matemáticas avanzadas. Por lo tanto, leemos, miramos y entendemos a fondo. :)

Y comenzaremos con lo más íntimo: ¿qué es una matriz? Y cómo trabajar con él.

Colocación correcta de índices en la matriz.

Una matriz es solo una tabla llena de números. Neo no está aquí.

Una de las características clave de una matriz es su dimensión, es decir. el número de filas y columnas que lo componen. Generalmente se dice que una matriz $A$ tiene tamaño $\left[ m\times n \right]$ si tiene $m$ filas y $n$ columnas. Escríbelo así:

O así:

Hay otras designaciones: todo depende de las preferencias del profesor/seminarista/autor del libro de texto. Pero en cualquier caso, con todos estos $\left[ m\times n \right]$ y $((a)_(ij))$, surge el mismo problema:

¿Qué índice hace qué? ¿Primero el número de fila, luego el número de columna? ¿O viceversa?

Al leer conferencias y libros de texto, la respuesta parecerá obvia. Pero cuando solo hay una hoja con una tarea frente a usted en el examen, puede preocuparse y confundirse repentinamente.

Así que abordemos este problema de una vez por todas. Primero, recordemos el sistema de coordenadas habitual del curso de matemáticas de la escuela:

Introducción de un sistema de coordenadas en un plano

¿Recuérdela? Tiene un origen (punto $O=\left(0;0 \right)$) de los ejes $x$ y $y$, y cada punto del plano está determinado únicamente por las coordenadas: $A=\left( 1;2 \ derecha)$, $B=\izquierda(3;1 \derecha)$, etc.

Y ahora tomemos esta construcción y colóquela al lado de la matriz para que el origen esté en la esquina superior izquierda. ¿Por qué allí? Sí, porque al abrir un libro, comenzamos a leer desde la esquina superior izquierda de la página; recordar esto es más fácil que nunca.

Pero, ¿hacia dónde dirigir los ejes? Los dirigiremos para que toda nuestra "página" virtual quede cubierta por estos ejes. Cierto, para ello tendremos que rotar nuestro sistema de coordenadas. Solo variante posible este lugar:

Asignación de un sistema de coordenadas a una matriz

Ahora cada celda de la matriz tiene coordenadas de un solo valor $x$ y $y$. Por ejemplo, la entrada $((a)_(24))$ significa que estamos accediendo al elemento con coordenadas $x=2$ y $y=4$. Las dimensiones de la matriz también se especifican de forma única mediante un par de números:

Definición de índices en una matriz

Basta con echar un vistazo de cerca a esta imagen. Juega con las coordenadas (especialmente cuando trabajas con matrices y determinantes reales), y muy pronto te darás cuenta de que incluso en los teoremas y definiciones más complejos entiendes perfectamente lo que está en juego.

¿Entiendo? Bueno, pasemos al primer paso de la iluminación: la definición geométrica del determinante. :)

Definición geométrica

En primer lugar, me gustaría señalar que el determinante existe solo para matrices cuadradas de la forma $\left[ n\times n \right]$. El determinante es un número que se calcula de acuerdo con ciertas reglas y es una de las características de esta matriz (hay otras características: rango, vectores propios, pero más sobre eso en otras lecciones).

Bueno, ¿qué es esta característica? ¿Qué significa? Es sencillo:

El determinante de una matriz cuadrada $A=\left[ n\times n \right]$ es el volumen de un paralelepípedo de $n$ dimensiones, que se forma si consideramos las filas de la matriz como vectores que forman las aristas de este paralelepípedo.

Por ejemplo, el determinante de una matriz de 2x2 es solo el área de un paralelogramo, y para una matriz de 3x3 ya es el volumen de un paralelepípedo tridimensional, el mismo que enfurece a todos los estudiantes de secundaria. mucho en lecciones de estereometría.

A primera vista, esta definición puede parecer completamente inadecuada. Pero no nos apresuremos a sacar conclusiones, veamos ejemplos. De hecho, todo es elemental, Watson:

Tarea. Encuentre los determinantes de la matriz:

\[\izquierda| \begin(matriz) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matriz) \right|\quad \left| \begin(matriz) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matriz) \right|\quad \left| \begin(matriz)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matriz) \right|\]

Solución. Los dos primeros determinantes son 2x2. Entonces, estas son solo las áreas de los paralelogramos. Dibujémoslos y calculemos el área.

El primer paralelogramo se construye sobre los vectores $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ y $((v)_(2))=\left(0;3 \right) ps

El determinante 2x2 es el área del paralelogramo

Obviamente, esto no es solo un paralelogramo, sino todo un rectángulo. Su área es igual a

El segundo paralelogramo se construye sobre los vectores $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ y $((v)_(2))=\left(2;2 \right ps Bueno, ¿y qué? Este también es un rectángulo:

Otro determinante 2x2

Los lados de este rectángulo (de hecho, las longitudes de los vectores) se calculan fácilmente usando el teorema de Pitágoras:

\[\begin(alinear) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \izquierda| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\izquierda| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\fin(alinear)\]

Queda por tratar con el último determinante: ya existe una matriz de 3x3. Tendremos que recordar la estereometría:

El determinante 3x3 es el volumen del paralelepípedo.

Parece alucinante, pero de hecho es suficiente recordar la fórmula del volumen de un paralelepípedo:

donde $S$ es el área de la base (en nuestro caso, es el área del paralelogramo en el plano $OXY$), $h$ es la altura trazada a esta base (de hecho, el $ Coordenada z$ del vector $((v)_(3) )$).

El área del paralelogramo (lo dibujamos por separado) también es fácil de calcular:

\[\begin(alinear) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\fin(alinear)\]

¡Eso es todo! Anotamos las respuestas.

Respuesta: 3; 4; 24

Una pequeña nota sobre el sistema de notación. A alguien probablemente no le gustará que ignore las "flechas" sobre los vectores. Supuestamente, de esta manera puedes confundir un vector con un punto u otra cosa.

Pero seamos serios: ya somos niños y niñas adultos, por lo que entendemos perfectamente bien por el contexto cuando hablamos de un vector, y cuando hablamos de un punto. Las flechas solo ensucian la narrativa, ya repleta de fórmulas matemáticas.

Y además. En principio, nada nos impide considerar el determinante de una matriz de 1x1: dicha matriz es solo una celda, y el número escrito en esta celda será el determinante. Pero hay una nota importante aquí:

A diferencia del volumen clásico, el determinante nos dará el llamado " volumen orientado", es decir. volumen, teniendo en cuenta la secuencia de consideración de los vectores fila.

Y si desea obtener el volumen en el sentido clásico de la palabra, deberá tomar el módulo del determinante, pero ahora no debe preocuparse por eso; de todos modos, en unos segundos aprenderemos cómo contar cualquier determinante. con cualquier signo, tamaño, etc. :)

definición algebraica

Con toda la belleza y claridad del enfoque geométrico, tiene un serio inconveniente: no nos dice nada sobre cómo calcular este determinante.

Por lo tanto, ahora analizaremos una definición alternativa: algebraica. Para ello, necesitamos una breve preparación teórica, pero a la salida obtendremos una herramienta que nos permite calcular cualquier cosa en matrices como queramos.

Cierto, habrá nuevo problema... Pero lo primero es lo primero.

Permutaciones e inversiones

Escribamos una línea de números del 1 al $n$. Obtienes algo como esto:

Ahora (puramente por diversión) intercambiemos un par de números. Puedes cambiar el vecino

O tal vez no muy vecino:

¿Y sabes qué? ¡Y nada! En álgebra, esta basura se llama permutación. Y tiene muchas propiedades.

Definición. Una permutación de longitud $n$ es una cadena de $n$ números diferentes escritos en cualquier orden. Por lo general, se consideran los primeros $n$ números naturales (es decir, exactamente los números 1, 2, ..., $n$), y luego se barajan para obtener la permutación deseada.

Las permutaciones se denotan de la misma manera que los vectores: solo una letra y una enumeración secuencial de sus elementos entre paréntesis. Por ejemplo: $p=\left(1;3;2 \right)$ o $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. La letra puede ser cualquier cosa, pero que sea $p$. :)

Además, para simplificar la presentación, trabajaremos con permutaciones de longitud 5: ya son lo suficientemente graves como para observar cualquier efecto sospechoso, pero aún no tan graves para un cerebro frágil como las permutaciones de longitud 6 y más. Aquí hay ejemplos de tales permutaciones:

\[\begin(alinear) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Naturalmente, una permutación de longitud $n$ puede considerarse como una función que se define en el conjunto $\left\( 1;2;...;n \right\)$ y mapea biyectivamente este conjunto sobre sí mismo. Volviendo a las permutaciones de $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ y $((p)_(3))$ que acabamos de escribir, podemos escribir legítimamente :

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ izquierda(2\derecha)=4;\]

El número de permutaciones diferentes de longitud $n$ siempre es limitado e igual a $n!$; este es un hecho fácilmente demostrable de la combinatoria. Por ejemplo, si queremos escribir todas las permutaciones de longitud 5, dudaremos mucho, ya que habrá tales permutaciones

Una de las características clave de cualquier permutación es el número de inversiones en ella.

Definición. Inversión en permutación $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — cualquier par $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ tal que $i \lt j$ pero $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j))$. En pocas palabras, la inversión es cuando un número más grande está a la izquierda de uno más pequeño (no necesariamente uno vecino).

Usaremos $N\left(p \right)$ para indicar el número de inversiones en la permutación $p$, pero prepárese para encontrar otra notación en diferentes libros de texto y por diferentes autores; aquí no hay estándares uniformes. El tema de las inversiones es muy extenso y se le dedicará una lección separada. Ahora nuestra tarea es simplemente aprender a contarlos en problemas reales.

Por ejemplo, contemos el número de inversiones en la permutación $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right) ).\]

Por lo tanto, $N\left(p \right)=5$. Como puede ver, no hay nada de malo en esto. Debo decir de inmediato: además, no nos interesará tanto el número $N\left(p \right)$, sino su par/impar. Y aquí pasamos sin problemas al término clave de la lección de hoy.

que es un determinante

Sea $A=\left[ n\times n \right]$ una matriz cuadrada. Entonces:

Definición. El determinante de la matriz $A=\left[ n\times n \right]$ es la suma algebraica de $n!$ términos compuestos de la siguiente manera. Cada término es el producto de $n$ elementos de la matriz, tomados uno de cada fila y cada columna, multiplicado por (−1) elevado a la potencia del número de inversiones:

\[\izquierda| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

El punto fundamental en la elección de factores para cada término del determinante es el hecho de que no hay dos factores en la misma fila o en la misma columna.

Debido a esto, podemos suponer sin pérdida de generalidad que los índices $i$ de los factores $((a)_(i;j))$ "recorren" los valores 1, ..., $n$ , y los índices $j$ son una permutación del primero:

Y cuando hay una permutación $p$, podemos calcular fácilmente las inversiones de $N\left(p \right)$ - y el siguiente término del determinante está listo.

Naturalmente, nadie prohíbe intercambiar factores en ningún término (o en todos a la vez, ¿por qué molestarse con tonterías?), Y luego los primeros índices también representarán algún tipo de permutación. Pero al final, nada cambiará: el número total de inversiones en los índices $i$ y $j$ permanece incluso bajo tales perversiones, lo cual es bastante consistente con la buena regla antigua:

Al reorganizar los factores, el producto de los números no cambia.

Pero no necesita arrastrar esta regla a la multiplicación de matrices; a diferencia de la multiplicación de números, no es conmutativa. Pero yo divago. :)

Matriz 2x2

De hecho, también puede considerar una matriz 1x1: será una celda y su determinante, como puede suponer, es igual al número escrito en esta celda. Nada interesante.

Entonces, consideremos una matriz cuadrada de 2x2:

\[\left[ \begin(matriz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matriz) \right]\]

Como el número de filas es $n=2$, entonces el determinante contendrá $n!=2!=1\cdot 2=2$ términos. Vamos a escribirlos:

\[\begin(alinear) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\izquierda(-1 \derecha))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\fin(alinear)\]

Obviamente, no hay inversiones en la permutación $\left(1;2 \right)$, que consta de dos elementos, por lo que $N\left(1;2 \right)=0$. Pero en la permutación $\left(2;1 \right)$ hay una inversión (en realidad, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

En total, la fórmula universal para calcular el determinante de una matriz de 2x2 se ve así:

\[\izquierda| \begin(matriz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matriz) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Gráficamente, esto se puede representar como el producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la secundaria:

Determinante de matriz 2x2

Veamos un par de ejemplos:

\[\izquierda| \begin(matriz) 5 y 6 \\ 8 y 9 \\\end(matriz) \right|;\quad \left| \begin(matriz) 7 y 12 \\ 14 y 1 \\\end(matriz) \right|.\]

Solución. Todo se considera en una línea. Primera matriz:

Y el segundo:

Respuesta: -3; -161.

Sin embargo, fue demasiado fácil. Veamos matrices de 3x3: ya es interesante allí.

Matriz 3x3

Ahora considere una matriz cuadrada de 3x3:

\[\left[ \begin(matriz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matriz) \right]\]

Al calcular su determinante, obtenemos $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ términos, no demasiado como para entrar en pánico, pero lo suficiente como para comenzar a buscar algunos patrones. Primero, escribamos todas las permutaciones de los tres elementos y calculemos las inversiones en cada uno de ellos:

\[\begin(alinear) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ izquierda(1;2;3\derecha)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\derecha)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3\derecha)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\derecha)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\derecha)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1\derecha)=3. \\\fin(alinear)\]

Como era de esperar, hay 6 permutaciones $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ en total (naturalmente, uno podría escribirlas en una secuencia diferente - el punto no es cambio), y el número de inversiones en ellos varía de 0 a 3.

En general, tendremos tres términos positivos (donde $N\left(p \right)$ es par) y tres términos negativos más. En general, el determinante se calculará según la fórmula:

\[\izquierda| \begin(matriz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\end (matriz) \right|=\begin(matriz) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matriz)\]

¡Simplemente no se siente ahora y llene furiosamente todos estos índices! En lugar de números incomprensibles, es mejor recordar la siguiente regla mnemotécnica:

Regla del triángulo. Para encontrar el determinante de una matriz de 3x3, debe sumar tres productos de los elementos en la diagonal principal y en los vértices de triángulos isósceles con un lado paralelo a esta diagonal, y luego restar los mismos tres productos, pero en la diagonal secundaria . Esquemáticamente se ve así:

Determinante de matriz 3x3: Regla de los triángulos

Son estos triángulos (o pentagramas, como quieras) los que les gusta dibujar en todo tipo de libros de texto y manuales de álgebra. Sin embargo, no hablemos de cosas tristes. Calculemos mejor uno de esos determinantes: para un calentamiento antes de una lata real. :)

Tarea. Calcular el determinante:

\[\izquierda| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matriz) \right|\]

Solución. Trabajamos según la regla de los triángulos. Primero, calculemos tres términos formados por elementos sobre la diagonal principal y paralelos a ella:

\[\begin(alinear) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(alinear) \]

Ahora tratemos con la diagonal lateral:

\[\begin(alinear) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(alinear) \]

Solo queda restar el segundo del primer número, y obtenemos la respuesta:

¡Eso es todo!

Sin embargo, los determinantes de las matrices de 3x3 aún no son el pináculo de la habilidad. Lo más interesante nos espera más. :)

Esquema general para el cálculo de determinantes

Como sabemos, a medida que aumenta la dimensión de la matriz $n$, el número de términos en el determinante es $n!$ y crece rápidamente. Después de todo, el factorial es una función de crecimiento bastante rápido.

Ya para matrices de 4x4, de alguna manera no es bueno contar los determinantes por delante (es decir, a través de permutaciones). Generalmente guardo silencio sobre 5x5 y más. Por lo tanto, algunas propiedades del determinante están conectadas con el caso, pero se necesita un poco de preparación teórica para comprenderlas.

¿Listo? ¡Ir!

¿Qué es una matriz menor?

Sea dada una matriz arbitraria $A=\left[ m\times n \right]$. Nota: no necesariamente cuadrado. A diferencia de los determinantes, los menores son cosas lindas que existen no solo en matrices cuadradas duras. Elegimos varias (por ejemplo, $k$) filas y columnas en esta matriz, con $1\le k\le m$ y $1\le k\le n$. Entonces:

Definición. El menor de orden $k$ es el determinante de la matriz cuadrada que aparece en la intersección de las columnas y filas $k$ elegidas. También llamaremos menor a esta nueva matriz.

Tal menor se denota por $((M)_(k))$. Naturalmente, una matriz puede tener un montón de menores de orden $k$. Aquí hay un ejemplo de un menor de orden 2 para la matriz $\left[ 5\times 6 \right]$:

Seleccionando $k = 2$ columnas y filas para formar un menor

No es necesario que las filas y columnas seleccionadas estén una al lado de la otra, como en el ejemplo anterior. Lo principal es que el número de filas y columnas seleccionadas sea el mismo (este es el número $k$).

Hay otra definición. Quizás a alguien le guste más:

Definición. Sea una matriz rectangular $A=\left[ m\times n \right]$. Si después de eliminar una o más columnas y una o más filas en ella, se forma una matriz cuadrada de tamaño $\left[ k\times k \right]$, entonces su determinante es el menor $((M)_(k) )$ . A veces también llamaremos a la matriz en sí misma un menor; esto quedará claro por el contexto.

Como solía decir mi gato, a veces es mejor conseguir comida del piso 11 una vez que maullar sentado en el balcón.

Ejemplo. Deje que la matriz

Al elegir la fila 1 y la columna 2, obtenemos el menor de primer orden:

\[((M)_(1))=\izquierda| 7\derecho|=7\]

Seleccionando las filas 2, 3 y las columnas 3, 4, obtenemos un menor de segundo orden:

\[((M)_(2))=\izquierda| \begin(matriz) 5 y 3 \\ 6 y 1 \\\end(matriz) \right|=5-18=-13\]

Y si selecciona las tres filas, así como las columnas 1, 2, 4, habrá un menor de tercer orden:

\[((M)_(3))=\izquierda| \begin(matriz) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matriz) \right|\]

No será difícil para el lector encontrar otros menores de orden 1, 2 o 3. Por tanto, seguimos adelante.

sumas algebraicas

“Bueno, ok, ¿y qué nos dan estos minions a los menores?” seguro te preguntaras. Por su cuenta, nada. Pero en matrices cuadradas, cada menor tiene un "compañero": un menor adicional, así como una suma algebraica. Y juntas estas dos payasadas nos permitirán hacer clic en los determinantes como nueces.

Definición. Sea dada una matriz cuadrada $A=\left[ n\times n \right]$, en la que se elige el menor $((M)_(k))$. Entonces el menor adicional para el menor $((M)_(k))$ es una parte de la matriz original $A$, que permanecerá después de eliminar todas las filas y columnas involucradas en la compilación del menor $((M )_(k))$:

Menor adicional a menor $((M)_(2))$

Aclaremos un punto: el menor adicional no es solo un "pedazo de la matriz", sino el determinante de este pedazo.

Los menores adicionales se indican con un asterisco: $M_(k)^(*)$:

donde la operación $A\nabla ((M)_(k))$ significa literalmente "borrar de $A$ las filas y columnas incluidas en $((M)_(k))$". Esta operación generalmente no se acepta en matemáticas, solo se me ocurrió por la belleza de la historia. :)

Los menores complementarios rara vez se utilizan solos. Son parte de una construcción más compleja: la suma algebraica.

Definición. El complemento algebraico del menor $((M)_(k))$ es el menor complementario $M_(k)^(*)$ multiplicado por $((\left(-1 \right))^(S)) $ , donde $S$ es la suma de los números de todas las filas y columnas involucradas en el menor original $((M)_(k))$.

Por regla general, el complemento algebraico de la menor $((M)_(k))$ se denota por $((A)_(k))$. Es por eso:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

¿Difícil? A primera vista, sí. Pero no es exactamente. Porque es muy fácil. Considere un ejemplo:

Ejemplo. Dada una matriz de 4x4:

Elegimos un menor de segundo orden

\[((M)_(2))=\izquierda| \begin(matriz) 3 y 4 \\ 15 y 16 \\\end(matriz) \right|\]

Captain Evidence, por así decirlo, nos insinúa que las filas 1 y 4, así como las columnas 3 y 4, estuvieron involucradas en la compilación de este menor. Los tachamos, obtenemos un menor adicional:

Queda por encontrar el número $S$ y obtener el complemento algebraico. Como conocemos los números de las filas involucradas (1 y 4) y columnas (3 y 4), todo es simple:

\[\begin(alinear) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Respuesta: $((A)_(2))=-4$

¡Eso es todo! De hecho, toda la diferencia entre una suma menor adicional y una suma algebraica está solo en el signo menos al frente, y aun así no siempre.

teorema de laplace

Y así llegamos al punto de por qué, de hecho, todas estas sumas menores y algebraicas eran necesarias.

Teorema de Laplace sobre la descomposición del determinante. Sean $k$ filas (columnas) seleccionadas en una matriz de tamaño $\left[ n\times n \right]$, con $1\le k\le n-1$. Entonces el determinante de esta matriz es igual a la suma de todos los productos de menores de orden $k$ contenidos en las filas (columnas) seleccionadas y sus complementos algebraicos:

\[\izquierda| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Además, habrá exactamente $C_(n)^(k)$ tales términos.

Está bien, está bien: sobre $C_(n)^(k)$ - Ya estoy presumiendo, no había nada de eso en el teorema original de Laplace. Pero nadie ha cancelado la combinatoria y, literalmente, una mirada superficial a la condición le permitirá asegurarse de que habrá exactamente esa cantidad de términos. :)

No lo probaremos, aunque esto no es particularmente difícil: todos los cálculos se reducen a las buenas permutaciones antiguas e inversiones pares / impares. Sin embargo, la prueba se presentará en un párrafo aparte, y hoy tenemos una lección puramente práctica.

Por lo tanto, pasamos a un caso especial de este teorema, cuando los menores son celdas separadas de la matriz.

Expansión de fila y columna del determinante

De lo que vamos a hablar ahora es precisamente de la principal herramienta para trabajar con determinantes, por la que se inició todo este juego de permutaciones, menores y sumas algebraicas.

Lee y disfruta:

Corolario del Teorema de Laplace (descomposición del determinante en fila/columna). Deje que se seleccione una fila en la matriz $\left[ n\times n \right]$. Los menores de esta fila serán $n$ celdas individuales:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Los menores adicionales también son fáciles de calcular: simplemente tome la matriz original y tache la fila y la columna que contienen $((a)_(ij))$. Llamamos a esos menores $M_(ij)^(*)$.

Para la suma algebraica también se necesita el número $S$, pero en el caso de un menor de orden 1, este es simplemente la suma de las "coordenadas" de la celda $((a)_(ij))$:

Y luego el determinante original se puede escribir en términos de $((a)_(ij))$ y $M_(ij)^(*)$ según el teorema de Laplace:

\[\izquierda| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Eso es lo que es fórmula de expansión de fila. Pero lo mismo es cierto para las columnas.

De este corolario se pueden sacar varias conclusiones:

1. Este esquema funciona igualmente bien tanto para filas como para columnas. De hecho, la mayoría de las veces la descomposición irá precisamente a lo largo de las columnas, en lugar de a lo largo de las líneas.
2. El número de términos en la expansión siempre es exactamente $n$. Esto es mucho menos que $C_(n)^(k)$ e incluso menos que $n!$.
3. En lugar de un solo determinante $\left[ n\times n \right]$, tendrás que contar varios determinantes de tamaño uno menos: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \derecho) \derecho ]$.

El último hecho es especialmente importante. Por ejemplo, en lugar del brutal determinante 4x4, ahora será suficiente contar varios determinantes 3x3; de alguna manera los manejaremos. :)

Tarea. Encuentre el determinante:

\[\izquierda| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matriz) \right|\]

Solución. Expandamos este determinante por la primera línea:

\[\begin(alinear)\izquierda| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriz) 5 y 6 \\ 8 y 9 \\\end(matriz) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 4 y 6 \\ 7 y 9 \\\end(matriz) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 4 y 5 \\ 7 y 8 \\\end(matriz) \right|= & \\\end(alinear)\]

\[\begin(alinear) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\fin(alinear)\]

Tarea. Encuentre el determinante:

\[\izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matriz) \right|\ ]

Solución. Para variar, trabajemos con columnas esta vez. Por ejemplo, en la última columna hay dos ceros a la vez; obviamente, esto reducirá significativamente los cálculos. Ahora verás por qué.

Entonces, desarrollamos el determinante en la cuarta columna:

\[\begin(alinear)\izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matriz) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matriz) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matriz) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ derecha))^(2+4))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matriz) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ derecha))^(3+4))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matriz) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ derecha))^(4+4))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matriz) \right| &\\\fin(alinear)\]

Y entonces - ¡oh, un milagro! - dos términos inmediatamente se van por el desagüe, ya que tienen un multiplicador "0". Hay dos determinantes más de 3x3 con los que podemos lidiar fácilmente:

\[\begin(alinear) & \left| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matriz) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matriz) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\fin(alinear)\]

Volvemos a la fuente y encontramos la respuesta:

\[\izquierda| \begin(matriz) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matriz) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK, todo ha terminado. Ahora. ¡Y no 4! = 24 términos no tenían que ser contados. :)

Respuesta: -2

Propiedades básicas del determinante

En el último problema, vimos cómo la presencia de ceros en las filas (columnas) de una matriz simplifica drásticamente la expansión del determinante y, en general, todos los cálculos. Surge una pregunta natural: ¿es posible hacer que estos ceros aparezcan incluso en la matriz donde originalmente no estaban allí?

La respuesta es clara: Poder. Y aquí las propiedades del determinante vienen en nuestra ayuda:

1. Si intercambia dos filas (columnas) en lugares, el determinante no cambiará;
2. Si una fila (columna) se multiplica por el número $k$, entonces todo el determinante también se multiplica por el número $k$;
3. Si toma una cadena y la suma (resta) cualquier cantidad de veces de otra, el determinante no cambiará;
4. Si dos filas del determinante son iguales o proporcionales, o una de las filas está llena de ceros, entonces todo el determinante es igual a cero;
5. Todas las propiedades anteriores también son válidas para las columnas.
6. Transponer una matriz no cambia el determinante;
7. El determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes.

De particular valor es la tercera propiedad: podemos restar de una fila (columna) otra hasta que aparezcan ceros en los lugares correctos.

La mayoría de las veces, los cálculos se reducen a "poner a cero" toda la columna en todas partes excepto por un elemento, y luego expandir el determinante a lo largo de esta columna, obteniendo una matriz de tamaño 1 menos.

Veamos cómo funciona esto en la práctica:

Tarea. Encuentre el determinante:

\[\izquierda| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matriz) \right|\ ]

Solución. Los ceros aquí, por así decirlo, no se observan en absoluto, por lo que puede "huecar" en cualquier fila o columna; la cantidad de cálculos será aproximadamente la misma. No seamos tonterías y "dejemos a cero" la primera columna: ya tiene una celda con una unidad, así que simplemente tome la primera línea y réstele 4 veces a la segunda, 3 veces a la tercera y 2 veces a la última.

Como resultado, obtendremos una nueva matriz, pero su determinante será el mismo:

\[\begin(matriz)\left| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matriz) \right|\ begin(matriz) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matriz)= \\ =\left| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matriz) \right|= \\ =\left| \begin(matriz) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matriz)\right| \\\fin(matriz)\]

Ahora, con la ecuanimidad de Piglet, descomponemos este determinante en la primera columna:

\[\begin(matriz) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matriz) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matriz) \right|+0\cdot ((\ izquierda(-1 \derecha))^(2+1))\cdot \izquierda| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \derecho| \\\fin(matriz)\]

Está claro que solo el primer término "sobrevivirá"; en el resto, ni siquiera escribí los determinantes, ya que todavía se multiplican por cero. El coeficiente delante del determinante es igual a uno, es decir es posible que no se grabe.

Pero puedes sacar los "menos" de las tres líneas del determinante. De hecho, sacamos el factor (−1) tres veces:

\[\izquierda| \begin(matriz) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matriz) \right|=\cdot \left| \begin(matriz) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matriz) \right|\]

Obtuvimos un pequeño determinante 3x3, que ya se puede calcular de acuerdo con la regla de los triángulos. Pero intentaremos descomponerlo en la primera columna: el beneficio en la última línea es orgullosamente uno:

\[\begin(alinear) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matriz) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matriz) \right|\begin(matriz) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matriz)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matriz) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matriz) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matriz) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matriz) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matriz) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matriz) \right| \\\fin(alinear)\]

Por supuesto, aún puede divertirse y descomponer la matriz 2x2 a lo largo de la fila (columna), pero somos adecuados con usted, así que solo calculamos la respuesta:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matriz) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matriz) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Así se rompen los sueños. Solo -160 en la respuesta. :)

Respuesta: -160.

Un par de notas antes de pasar a la última tarea:

1. La matriz original era simétrica con respecto a la diagonal secundaria. Todos los menores en la descomposición también son simétricos con respecto a la misma diagonal secundaria.
2. Estrictamente hablando, no podríamos diseñar nada en absoluto, sino simplemente llevar la matriz a una forma triangular superior, cuando hay ceros sólidos debajo de la diagonal principal. Entonces (exactamente de acuerdo con la interpretación geométrica, dicho sea de paso) el determinante es igual al producto de $((a)_(ii))$, los números en la diagonal principal.

Tarea. Encuentre el determinante:

\[\izquierda| \begin(matriz) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matriz) \right|\ ]

Solución. Bueno, aquí la primera línea solo pide "reducir a cero". Tomamos la primera columna y restamos exactamente una vez de todas las demás:

\[\begin(alinear) & \left| \begin(matriz) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matriz) \right|= \\&=\izquierda| \begin(matriz) 1 y 1-1 y 1-1 y 1-1 \\ 2 y 4-2 y 8-2 y 16-2 \\ 3 y 9-3 y 27-3 y 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matriz) \right|= \\ & =\left| \begin(matriz) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matriz) \right| \\\fin(alinear)\]

Expande la primera fila y luego saca los factores comunes de las filas restantes:

\[\cdot\left| \begin(matriz) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matriz) \right|=\cdot \left| \begin(matriz) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matriz) \right|\]

Nuevamente observamos números "hermosos", pero ya en la primera columna, descomponemos el determinante de acuerdo con él:

\[\begin(alinear) & 240\cdot \left| \begin(matriz) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matriz) \right|\begin(matriz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matriz)=240\cdot \left| \begin(matriz) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matriz) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ derecha))^(1+1))\cdot \izquierda| \begin(matriz) 1 y 6 \\ 3 y 24 \\\end(matriz) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( alinear)\]

Orden. Problema resuelto.

Respuesta: 1440

Matriz cuadrada A orden norte puedes hacer coincidir el número det A(o | A|, o ), la llamó determinante , de la siguiente manera:

Determinante matricial A también llámala determinante . La regla para calcular el determinante de la matriz de orden. norte es bastante difícil de entender y aplicar. Sin embargo, se conocen métodos que permiten implementar el cálculo de determinantes de orden superior a partir de determinantes de orden inferior. Uno de los métodos se basa en la propiedad de expandir el determinante en términos de elementos de una determinada serie (propiedad 7). Al mismo tiempo, notamos que es deseable poder calcular determinantes de orden bajo (1, 2, 3) de acuerdo con la definición.

El cálculo del determinante de segundo orden se ilustra mediante el diagrama:

Ejemplo 4.1. Encontrar determinantes de matrices

Al calcular el determinante de tercer orden, es conveniente utilizar regla del triangulo (o Sarrus), que puede escribirse simbólicamente de la siguiente manera:

Ejemplo 4.2. Calcular matriz determinante

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Formulemos las principales propiedades de los determinantes inherentes a los determinantes de todos los órdenes. Expliquemos algunas de estas propiedades usando determinantes de tercer orden.

Propiedad 1 ("Igualdad de filas y columnas"). El determinante no cambia si sus filas se reemplazan por columnas, y viceversa. En otras palabras,

En lo que sigue, las filas y columnas simplemente se llamarán filas del determinante .

Propiedad 2 . Cuando se intercambian dos filas paralelas, el determinante cambia de signo.

Propiedad 3 . Un determinante que tiene dos filas idénticas es cero.

Propiedad 4 . El factor común de los elementos de cualquier fila del determinante se puede sacar del signo del determinante.

De las propiedades 3 y 4 se sigue que que si todos los elementos de una cierta serie son proporcionales a los elementos correspondientes de una serie paralela, entonces tal determinante es igual a cero.

En realidad,

Propiedad 5 . Si los elementos de cualquier serie del determinante son las sumas de dos términos, entonces el determinante se puede descomponer en la suma de los dos determinantes correspondientes.

Por ejemplo,

Propiedad 6. ("Transformaciones elementales del determinante"). El determinante no cambia si sumamos a los elementos de una fila los elementos correspondientes de la fila paralela, multiplicados por cualquier número.

Ejemplo 4.3. Pruebalo

Solución: Efectivamente, usando las propiedades 5, 4 y 3 aprendemos

Otras propiedades de los determinantes están conectadas con los conceptos de complemento menor y algebraico.

Menor algún elemento aij determinante norte- el el orden se llama determinante norte- 1er orden, obtenido del original tachando la fila y la columna en cuya intersección se encuentra el elemento seleccionado. denotado mij

suma algebraica elemento aij determinante se llama su menor, tomado con un signo más, si la suma yo + j un número par, y con un signo menos si esta suma es impar. denotado Aij:

Propiedad 7 ("Descomposición del determinante en función de los elementos de una determinada serie"). El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una determinada serie y sus correspondientes complementos algebraicos.

La mayoría de los modelos matemáticos en economía se describen utilizando matrices y cálculo matricial.

Matriz es una tabla rectangular que contiene números, funciones, ecuaciones u otros objetos matemáticos dispuestos en filas y columnas.

Los objetos que componen la matriz la llaman elementos . Las matrices se denotan con letras latinas mayúsculas

y sus elementos están en línea.

Símbolo
significa que la matriz Tiene
lineas y columnas elemento en la intersección -ésima línea y -ésima columna
.

.

Dicen que la matriz A es igual a la matriz EN : A=B si tienen la misma estructura (es decir, el mismo número de filas y columnas) y sus elementos correspondientes son idénticamente iguales
, para todos
.

Tipos particulares de matrices

En la práctica, a menudo se encuentran matrices de una forma especial. Algunos métodos también involucran transformaciones de matrices de un tipo a otro. Los tipos más comunes de matrices se enumeran a continuación.

	matriz cuadrada, número de filas norte es igual al número de columnas norte
	matriz de columnas
	matriz-fila
	matriz triangular inferior
	matriz triangular superior
	matriz nula
	matriz diagonal
mi =	matriz de identidad mi(cuadrado)
	matriz unitaria
	matriz escalonada
	Matriz vacía

Elementos de la matriz, con igual número de filas y columnas, es decir a yo forman la diagonal principal de la matriz.

Operaciones sobre matrices.

.

Propiedades de las operaciones sobre matrices

Propiedades específicas de la operación

Si el producto de la matriz
existe, entonces el producto
puede que no exista Generalmente hablando,
. Es decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Si
, Eso Y se llaman conmutativos. Por ejemplo, las matrices diagonales del mismo orden son conmutativas.

Si
, entonces opcional
o
. Es decir, el producto de matrices distintas de cero puede dar una matriz cero. Por ejemplo

operación de exponenciación definido sólo para matrices cuadradas. Si
, Eso

.

Por definición se supone
, y es fácil demostrar que
,
. Tenga en cuenta que desde
no sigue eso
.

Exponenciación elemento por elemento A. metro =
.

Operación de transposición matriz es reemplazar las filas de la matriz con sus columnas:

,

Por ejemplo

,
.

Transponer propiedades:

Determinantes y sus propiedades.

Para matrices cuadradas, el concepto se usa a menudo determinante - un número que es calculado por los elementos de la matriz usando reglas estrictamente definidas. Este número es una característica importante de la matriz y se denota con los símbolos

.

determinante de la matriz
es su elemento .

Determinante matricial
calculado de acuerdo con la regla:

es decir, al producto de los elementos de la diagonal principal se le resta el producto de los elementos de la diagonal adicional.

Para calcular determinantes de orden superior (
) es necesario introducir los conceptos de complemento menor y algebraico de un elemento.

Menor
elemento llamado determinante, que se obtiene de la matriz , Tachando -ésima línea y -ésima columna.

Considere la matriz tamaño
:

,

entonces, por ejemplo,

suma algebraica elemento llámalo un menor multiplicado por
.

,

Teorema de Laplace: El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) y sus complementos algebraicos.

Por ejemplo, romper
por los elementos de la primera fila, obtenemos:

El último teorema da una forma universal de calcular determinantes de cualquier orden, a partir del segundo. Como fila (columna), elige siempre aquella en la que haya mayor número de ceros. Por ejemplo, se requiere calcular el determinante de cuarto orden

En este caso, puede expandir el determinante en la primera columna:

o la última línea:

Este ejemplo también muestra que el determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de sus elementos diagonales. Es fácil probar que esta conclusión es válida para cualquier matriz triangular y diagonal.

El teorema de Laplace permite reducir el cálculo del determinante -ésimo orden de cálculo determinantes
orden y, en última instancia, al cálculo de determinantes de segundo orden.