Orice val de formă complexă poate fi reprezentat ca suma undelor simple.
Joseph Fourier a fost dornic să descrie în termeni matematici modul în care căldura trece prin obiecte solide ( cm. Schimb de caldura). Poate că interesul său pentru căldură a luat naștere atunci când se afla în Africa de Nord: Fourier l-a însoțit pe Napoleon în expediția franceză în Egipt și a locuit acolo o vreme. Pentru a-și atinge scopul, Fourier a trebuit să dezvolte noi metode matematice. Rezultatele cercetării sale au fost publicate în 1822 în lucrarea „Teoria analitică a căldurii” ( Theorie analytique de la chaleur), unde a spus cum să analizeze problemele fizice complexe prin descompunerea lor într-o serie de probleme mai simple.
Metoda de analiză s-a bazat pe așa-numitul seria Fourier... În conformitate cu principiul interferenței, seria începe cu descompunerea unei forme complexe în forme simple - de exemplu, o schimbare a suprafeței pământului se explică printr-un cutremur, o modificare a orbitei cometei se datorează influenței atracției mai multor planete, o schimbare a fluxului de căldură se datorează trecerii sale printr-un obstacol de formă neregulată din material termoizolant. Fourier a arătat că o formă de undă complexă poate fi reprezentată ca suma undelor simple. De regulă, ecuațiile care descriu sistemele clasice sunt ușor de rezolvat pentru fiecare dintre aceste unde simple. Fourier a arătat apoi cum pot fi rezumate aceste soluții simple pentru a obține o soluție la întreaga problemă complexă în ansamblu. (Din punct de vedere matematic, o serie Fourier este o metodă de reprezentare a unei funcții ca o sumă de armonici - sinusoide și cosinus - de aceea analiza Fourier a fost cunoscută și sub numele de analiză armonică.)
Până la apariția computerelor la mijlocul secolului al XX-lea, metodele Fourier și altele asemenea erau cele mai bune arme din arsenalul științific atunci când atacau complexitățile naturii. De la apariția metodelor Fourier complexe, oamenii de știință au reușit să le folosească pentru a rezolva nu numai probleme simple care pot fi rezolvate prin aplicarea directă a legilor mecanice ale lui Newton și a altor ecuații fundamentale. Multe dintre marile realizări ale științei newtoniene din secolul al XIX-lea ar fi de fapt imposibile fără utilizarea metodelor propuse mai întâi de Fourier. Ulterior, aceste metode au fost folosite în rezolvarea problemelor din diverse domenii - de la astronomie la inginerie mecanică.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
Matematician francez. Născut în Auxerre; la nouă ani a devenit orfan. Deja la o vârstă fragedă a arătat aptitudine pentru matematică. Fourier a fost educat la o școală bisericească și la o școală militară, apoi a lucrat ca profesor de matematică. De-a lungul vieții sale a fost implicat activ în politică; a fost arestat în 1794 pentru protejarea victimelor terorii. După moartea lui Robespierre, a fost eliberat din închisoare; a participat la crearea celebrei Ecole Polytechnique din Paris; poziția sa l-a servit ca o trambulină pentru avansarea sub regimul lui Napoleon. El l-a însoțit pe Napoleon în Egipt și a fost numit guvernator al Egiptului de Jos. La întoarcerea în Franța în 1801, a fost numit guvernator al uneia dintre provincii. În 1822 a devenit secretar permanent al Academiei Franceze de Științe, o poziție influentă în lumea științifică a Franței.
TRANSFORMAȚIA CU FOURIER ȘI ANALIZA SPECTRALĂ DIGITALĂ CLASICĂ.
Medvedev S.Yu., dr.
Introducere
Analiza spectrală este una dintre metodele de procesare a semnalului care vă permite să caracterizați compoziția de frecvență a semnalului măsurat. Transformata Fourier este o bază matematică care leagă un semnal temporal sau spațial (sau un model al acestui semnal) cu reprezentarea sa în domeniul frecvenței. Metodele statistice joacă un rol important în analiza spectrală, deoarece semnalele sunt de obicei aleatorii sau zgomotoase la propagare sau măsurare. Dacă principalele caracteristici statistice ale unui semnal ar fi cunoscute exact sau ar putea fi determinate dintr-un interval finit al acestui semnal, atunci analiza spectrală ar fi o ramură a „științei exacte”. Cu toate acestea, în realitate, numai o estimare a spectrului său poate fi obținută dintr-un segment de semnal. Prin urmare, practica analizei spectrale este un fel de meșteșug (sau artă?) De natură destul de subiectivă. Diferența dintre estimările spectrale obținute ca urmare a procesării aceluiași segment de semnal prin metode diferite poate fi explicată prin diferența dintre ipotezele făcute cu privire la date, diferite metode de calculare a mediei etc. Dacă caracteristicile semnalului nu sunt cunoscute a priori, nu se poate spune care dintre estimări este mai bună.
Transformata Fourier - baza matematică a analizei spectrale
Vom discuta pe scurt diferitele tipuri de transformate Fourier (a se vedea mai detaliat în).
Să începem cu transformata Fourier a semnalului continuu în timp
,
(1)
care identifică frecvențele și amplitudinile acelor sinusoide complexe (exponențiale) în care se descompune o anumită oscilație arbitrară.
Transformarea inversă
. (2)
Existența transformatelor Fourier directe și inverse (pe care în cele ce urmează le vom numi transformata Fourier în timp continuu - CFT) este determinată de o serie de condiții. Suficient - integrabilitate absolută a semnalului
. (3)
Condiție suficient de puțin restrictivă - limită a energiei semnalului
. (4)
Să prezentăm o serie de proprietăți de bază ale transformatei Fourier și funcțiile utilizate mai jos, menționând că o fereastră dreptunghiulară este determinată de expresie
(5)
iar funcția sinc prin expresie
(6)
Funcția eșantioanelor din domeniul timpului este determinată de expresie
(7)
Această funcție se mai numește uneori și funcția de continuare periodică.
Tabelul 1. Principalele proprietăți ale NVPF și funcții
|
Proprietate, funcție |
Funcţie |
Transformare |
| Linearitatea |
ag (t) + bh (t) |
aG (f) + bH (f) |
| Schimbare de timp |
h (t - t 0) |
H (f) exp (-j2pf t 0) |
| Offset de frecvență (modulație) |
h (t) exp (j2pf0 t) |
H (f - f 0) |
| Scalare |
(1 / | a |) h (t / a) |
H (af) |
| Teorema convoluției domeniului timp |
g (t) * h (t) |
|
| Teorema convoluției în domeniul frecvenței |
g (t) h (t) |
G (f) * H (f) |
| Funcția de fereastră |
Aw (t / T) |
2ATsinc (2Tf) |
| Funcția de sinceritate |
2AFsinc (2Ft) |
Aw (f / F) |
| Funcția de impuls |
Anunț (t) |
|
| Funcția de numărare |
T (f) |
FF (f), F \u003d 1 / T |
O altă proprietate importantă este stabilită de teorema lui Parseval pentru două funcții g (t) și h (t):
. (8)
Dacă punem g (t) \u003d h (t), atunci teorema lui Parseval se reduce la o teoremă pentru energie
. (9)
Expresia (9) este, în esență, doar o formulare a legii conservării energiei în două zone (timp și frecvență). În (9) din stânga este energia totală a semnalului, deci funcția
(10)
descrie distribuția energiei peste frecvență pentru un semnal determinist h (t) și, prin urmare, se numește densitatea de energie spectrală (STE). Folosind expresii
(11)
puteți calcula amplitudinea și spectrele de fază ale semnalului h (t).
Operațiuni de eșantionare și cântărire
În secțiunea următoare, vom introduce o serie Fourier în timp discret (DTMF) sau altfel o transformată Fourier discretă (DFT) ca un caz special al unei transformate Fourier în timp continuu (CFT) utilizând două operațiuni de procesare a semnalului de bază - prelevarea de probe ( prelevarea de probe) și cântărire folosind o fereastră. Aici vom lua în considerare influența acestor operații asupra semnalului și transformarea acestuia. Tabelul 2 enumeră funcțiile utilizate pentru ponderare și eșantionare.
Pentru eșantioane uniforme cu un interval de T secunde, rata de eșantionare de F este 1 / T Hz. Rețineți că funcția de ponderare și funcția de eșantionare în domeniul timpului sunt desemnate TW (time windowing) și TS (time eșantionare), respectiv în domeniul frecvenței, FW (window windowing) și FS (eșantionarea frecvenței).
Tabelul 2. Funcții de cântărire și eșantionare
|
Operațiune |
Funcția de timp |
Transformare |
| Ponderarea domeniului de timp (lățimea ferestrei NT sec) |
TW \u003d w (2t / NT - 1) |
F (TW) \u003d NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf) |
| Cântărirea în domeniul frecvenței (lățimea ferestrei 1 / T Hz) |
|
FW \u003d w (2Tf) |
| Numărătoare în timp (interval T sec) |
TS \u003d T T (t) |
|
| Număr de frecvențe (la intervale de 1 / NT Hz) |
|
|
Să presupunem că sunt luate probe ale unui semnal real continuu x (t) cu un spectru limitat, a cărui frecvență superioară este egală cu F0. IFT-ul semnalului real este întotdeauna o funcție simetrică cu lățimea totală 2F0, vezi Fig. 1.
Eșantioanele semnalului x (t) pot fi obținute prin înmulțirea acestui semnal cu funcția eșantionului:
(12)
Figura 1 este o ilustrare a teoremei de eșantionare a domeniului de timp pentru un semnal limitat cu spectru real:
a - funcția originală a timpului și transformata lui Fourier;
b - funcția numărărilor în timp și transformata lui Fourier;
c - probe de timp ale funcției originale și ale transformatei Fourier continuate periodic pentru cazul Fo<1/2T;
d - fereastră de frecvență (filtru trece-jos ideal) și transformata lui Fourier (funcția sinc);
d este funcția originală a timpului, restabilită prin operația de convoluție cu funcția sinc.
Conform teoremei convoluției domeniului frecvenței, IFT al semnalului x (t) este pur și simplu convoluția spectrului semnalului x (t) și transformata Fourier a funcției de eșantionare în timp (TS):
. (13)
Convoluția X (f) cu transformata Fourier a funcției de eșantionare F (TS) \u003d Y1 / T (f) continuă periodic periodic X (f) cu un interval de frecvență de 1 / T Hz. Prin urmare, XS (f) este spectrul extins periodic al lui X (f). În cazul general, eșantioanele dintr-un domeniu (de exemplu, domeniul timpului) duc la o continuare periodică în domeniul transformării (de exemplu, domeniul frecvenței). Dacă rata de eșantionare este selectată suficient de mică (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Pentru a restabili semnalul orar original din eșantioanele sale, adică pentru a interpola o serie de valori între aceste eșantioane, puteți transmite datele eșantionate printr-un filtru ideal pentru trecerea joasă cu un răspuns de frecvență dreptunghiular (Fig.1d)
. (14)
Ca rezultat (vezi Fig. 1 e) transformarea Fourier originală este restabilită. Folosind teoremele convoluției în domeniile timp și frecvență, obținem
. (15)
Expresia (15) este o notație matematică teorema eșantionării domeniului de timp (teorema Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKS), care afirmă că folosind formula de interpolare (15), un semnal real cu un spectru limitat poate fi reconstituit cu precizie cu un număr infinit probe de timp cunoscute luate cu o frecvență F і 2F0. Dualul către teoremă (15) este teorema probe în domeniul frecvenței pentru semnale cu durată limitată.
Operațiile din domeniul timpului, similare cu (14), sunt descrise prin expresie
, (16)
iar transformările corespunzătoare sunt exprimate prin expresii
Astfel, IFT X (f) al unui anumit semnal cu o durată limitată poate fi reconstituit fără echivoc din probe echidistante ale spectrului unui astfel de semnal dacă intervalul selectat al probelor de frecvență îndeplinește condiția F1 / 2T 0 Hz, unde T 0 este durata semnalului.
Relațiile dintre transformările continue și discrete
O pereche de transformate pentru definiția obișnuită a unei transformate Fourier discrete (DFT) a unui punct N secvența de timp x [n] și punctul N corespunzător secvențe de transformate Fourier X [k] este dat de
,
(18)
. (19)
Pentru a obține estimări spectrale din eșantioanele de date din unitățile corespunzătoare de măsurare a energiei sau puterii, notăm seria Fourier în timp discret (DWRF), care poate fi considerată o aproximare a transformatei Fourier în timp continuu (CFT), pe baza utilizării unui număr finit de eșantioane de date:
Pentru a arăta natura corespondenței dintre FWRF ( discret funcții în domeniile timp și frecvență) și CFT (funcții continue în domeniile timp și frecvență), avem nevoie de o succesiune de patru operații liniare comutative: ponderarea domeniilor timp și frecvență și eșantionare sau eșantionare atât în \u200b\u200bdomeniul timpului, cât și al frecvenței. Dacă operația de cântărire se efectuează într-una din aceste regiuni, atunci, conform teoremei convoluției, aceasta va corespunde executării operației de filtrare (convoluție) într-o altă regiune cu funcția sinc. La fel, dacă eșantionarea se efectuează într-o zonă, se efectuează o operație de continuare periodică în cealaltă. Deoarece cântărirea și eșantionarea sunt operații liniare și comutative, sunt posibile diferite moduri de ordonare a acestora, oferind același rezultat final pentru rezultate intermediare diferite. Figura 2 prezintă două secvențe posibile ale acestor patru operații.
Figura: 2. Două secvențe posibile a două operații de cântărire și două operații de eșantionare care leagă NWPF și FWDF: FW - aplicarea unei ferestre în domeniul frecvenței; TW - aplicarea unei ferestre în domeniul timpului; FS - eșantionare în domeniul frecvenței; TS - eșantionarea domeniului în timp.
1 - Transformata Fourier cu timp continuu, ecuația (1);
4 - Transformata Fourier cu timp discret, ecuația (22);
5 - Seria Fourier cu timp continuu, ecuația (25);
8 - Seria Fourier cu timp discret, ecuația (27)
Ca rezultat al operațiilor de cântărire și eșantionare la nodurile 1, 4, 5 și 8, vor apărea patru tipuri diferite de relații Fourier. Noduri unde funcționează domeniul de frecvență este continuu, a se referi la transformări Fourier și nodurile la care funcția din domeniul frecvenței discreta se referi la Seria Fourier (vezi detalii în).
Deci, la nodul 4, ponderarea frecvenței și eșantionarea domeniului de timp generează conversie în timp discret Fourier (FFT), care se caracterizează printr-o funcție de spectru periodic în domeniul frecvenței cu o perioadă de 1 / T Hz:
(22)
(23)
Rețineți că expresia (22) definește o anumită funcție periodică care coincide cu funcția originală transformată specificată în nodul 1 numai în intervalul de frecvență de la -1 / 2T la 1 / 2T Hz. Expresia (22) este legată de transformarea Z a secvenței discrete x [n] prin relație
(24)
Astfel, DTPF este pur și simplu transformata Z calculată pe unitatea de cerc și înmulțită cu T.
Dacă trecem de la nodul 1 la nodul 8 din Fig. 2 de-a lungul ramurii inferioare, la nodul 5, operațiunile de ponderare în domeniul timpului (limitarea duratei semnalului) și eșantionarea în domeniul frecvenței generează o serie Fourier continuă (CWRF). Folosind proprietățile și definițiile funcțiilor date în tabelele 1 și 2, obținem următoarea pereche de transformări
(25)
(26)
Rețineți că expresia (26) definește o anumită funcție periodică, care coincide cu originalul (la nodul 1) numai în intervalul de timp de la 0 la NT.
Indiferent care dintre cele două secvențe a patru operații este aleasă, rezultatul final la nodul 8 va fi același - serie Fourier în timp discret, care corespunde următoarei perechi de transformări obținute folosind proprietățile indicate în tabelul 1.
, (27)
unde k \u003d -N / 2 ,. ... ... , N / 2-1
,
(28)
unde n \u003d 0 ,. ... ... , N-1,
Teorema energiei pentru acest DWRF are forma:
,
(29)
și caracterizează energia unei secvențe de N eșantioane de date. Ambele secvențe x [n] și X [k] sunt modulul periodic N, prin urmare (28) poate fi scris în formă
, (30)
unde 0 n N. Factorul T din (27) - (30) este necesar pentru ca (27) și (28) să fie de fapt o aproximare a transformării integrale în domeniul integrării
.(31)
Căptușeală zero
Printr-un proces numit umplut cu zerouriSeria Fourier în timp discret poate fi modificată pentru a interpola între valorile N ale transformatei originale. Să se completeze probele de date disponibile x, ..., x cu valori zero x [N], ... X. DWRF-ul acestei secvențe de date în 2N puncte zero-padded va fi dat de
(32)
unde limita superioară a sumei din dreapta este modificată pentru a reflecta prezența datelor zero. Fie k \u003d 2m, astfel încât
,
(33)
unde m \u003d 0,1, ..., N-1, definește valori pare ale lui X [k]. Prin urmare, se poate observa că pentru valori uniforme ale indicelui k, seria Fourier în timp discret în punct 2N este redusă la o serie în timp discret în punct N. Valorile impare ale indicelui k corespund valorilor interpolate ale WSPF situate între valorile WSPF punctului N original. Pe măsură ce se adaugă din ce în ce mai multe zerouri la secvența inițială a punctelor N, se pot obține mai multe date interpolate. În cazul limitativ al unui număr infinit de zerouri de intrare, DWRF poate fi considerat ca o transformată Fourier în timp discret a unei secvențe de date în punct N:
.
(34)
Transformarea (34) corespunde nodului 6 din Fig. 2.
Există o concepție greșită că umplerea zero îmbunătățește rezoluția, deoarece crește lungimea secvenței de date. Cu toate acestea, după cum urmează din Fig. 3, adăugarea de zerouri nu se îmbunătățește rezoluția transformării obținute dintr-o secvență de date finală dată. Umplerea zero produce pur și simplu o transformare interpolată o formă mai netedă... În plus, elimină ambiguitățile datorate prezenței componentelor de semnal în bandă îngustă, ale căror frecvențe se situează între N puncte corespunzătoare frecvențelor estimate ale FDP original. Căptușirea zero îmbunătățește, de asemenea, precizia estimării spectrale a frecvenței de vârf. Prin termenul rezoluție spectrală ne referim la capacitatea de a distinge între răspunsurile spectrale ale două semnale armonice. O regulă general acceptată, adesea utilizată în analiza spectrală, este că separarea în frecvență a sinusoizilor distinși nu poate fi mai mică de lățime de bandă echivalentă a ferestrei, prin care se observă segmentele (segmentele) acestor sinusoide.
Fig. 3. Interpolare zero padding:
a - modul de înregistrare a datelor în 16 puncte DVRF, care conține trei sinusoide fără zerouri complementare (incertitudinile sunt vizibile: este imposibil de spus câte sinusoide sunt în semnal - două, trei sau patru);
b - modulul FWRF de aceeași secvență după o creștere de două ori a numărului de eșantioane din cauza adăugării a 16 zerouri (sunt permise incertitudini, deoarece toate cele trei sinusoide sunt distincte;
c - modulul FWRF de aceeași secvență după o creștere de patru ori a numărului său de conturi datorită adăugării de zerouri.
Lățimea de bandă echivalentă a ferestrei poate fi definită ca 
unde W (f) este transformata Fourier în timp discret a funcției de fereastră, de exemplu dreptunghiulară (5). În mod similar, puteți intra durata ferestrei echivalentă
Se poate arăta că durata echivalentă a ferestrei (sau orice alt semnal) și lățimea de bandă echivalentă a conversiei sale sunt valori reciproc reciproce: TeBe \u003d 1.
Transformare rapidă Fourier
Transformata Fourier rapidă (FFT) nu este doar un alt tip de transformată Fourier, ci numele unui număr de efective algoritmiconceput pentru calculul rapid al seriei Fourier în timp discret. Principala problemă care apare în implementarea practică a FWRF constă în numărul mare de operații de calcul proporționale cu N2. Deși cu mult înainte de apariția computerelor, au fost propuse mai multe scheme de calcul eficiente care ar putea reduce semnificativ numărul de operații de calcul, adevărata revoluție a fost făcută prin publicarea în 1965 a unui articol de Cooly și Tukey cu un algoritm practic pentru calculul rapid al FWRF (numărul de operații Nlog 2 N) ... După aceea, au fost dezvoltate multe variante, îmbunătățiri și adăugiri la ideea de bază, care au constituit o clasă de algoritmi cunoscuți ca Transformata Fourier Rapidă. Ideea principală a unui FFT este de a împărți un WLDF cu punct N în două sau mai multe WSP-uri de lungime mai mică, fiecare dintre acestea putând fi calculate separat și apoi însumate liniar cu celelalte pentru a obține WLP-ul secvenței originale a punctelor N.
Reprezentăm transforma Fourier discretă (DFT) în formă
, (35)
unde valoarea W N \u003d exp (-j2 / N) se numește factor de cotitură (în continuare în această secțiune, perioada de eșantionare este T \u003d 1). Selectați din secvența x [n] elemente cu numere pare și impare
. (36)
Dar de atunci
... Prin urmare, (36) poate fi scris în formă
, (37)
unde fiecare dintre termeni este o transformare de lungime N / 2
(38)
Rețineți că secvența (WN / 2) nk este periodică în k cu perioada N / 2. Prin urmare, deși numărul k din expresia (37) ia valori de la 0 la N-1, fiecare dintre sume este calculată pentru valori de k de la 0 la N / 2-1. Este posibil să se estimeze numărul de operații de multiplicare și adunare complexe necesare pentru calcularea transformatei Fourier în conformitate cu algoritmul (37) - (38). Două transformate Fourier în N / 2 puncte conform formulelor (38) implică 2 (N / 2) 2 multiplicări și aproximativ aceeași cantitate de adunări. Combinarea a două transformări N / 2 puncte prin formula (37) necesită N multiplicări și N adunări. Prin urmare, pentru a calcula transformata Fourier pentru toate N valorile lui k, este necesar să se efectueze multiplicări și adunări N + N 2/2. În același timp, calculul direct prin formula (35) necesită multiplicări și adunări peste N 2. Chiar și pentru N\u003e 2, inegalitatea N + N 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
În acest caz, datorită periodicității secvenței W nk N / 4 în k cu o perioadă de N / 4, sumele (40) trebuie calculate numai pentru valorile lui k de la 0 la N / 4-1. Prin urmare, calculul secvenței X [k] prin formulele (37), (39) și (40) necesită, deoarece este ușor de calculat, deja 2N + N 2/4 operații de multiplicare și adunare.
Urmând această cale, cantitatea de calcul X [k] poate fi redusă din ce în ce mai mult. După m \u003d log 2 N expansiuni, ajungem la transformate Fourier în două puncte ale formei
(41)
unde „transformările într-un singur punct” X 1 sunt pur și simplu mostre ale semnalului x [n]:
X 1 \u003d x [q] / N, q \u003d 0,1, ..., N-1. (42)
Ca urmare, puteți scrie algoritmul FFT, care din motive evidente a primit numele algoritm de decimare a timpului :
X 2 \u003d (x [p] + W k 2 x) / N,
unde k \u003d 0,1, p \u003d 0,1, ..., N / 2 -1;
X 2N / M \u003d X N / M + W k 2N / M X N / M,
unde k \u003d 0,1, ..., 2N / M -1, p \u003d 0,1, ..., M / 2 -1;
X [k] \u003d X N [k] \u003d X N / 2 + W k N X N / 2, (43)
unde k \u003d 0,1, ..., N-1
În fiecare etapă a calculelor, se efectuează N multiplicări și adunări complexe. Și întrucât numărul descompunerilor secvenței inițiale în subsecvențe de jumătate de lungime este egal cu log 2 N, numărul total de operații de multiplicare-adunare din algoritmul FFT este egal cu Nlog 2 N. Pentru N mare, există o economie semnificativă în operațiile de calcul comparativ cu calculul direct al DFT. De exemplu, pentru N \u003d 2 10 \u003d 1024, numărul de operații scade de 117 ori.
Algoritmul FFT considerat cu decimare în timp se bazează pe calculul transformatei Fourier prin formarea de subsecvențe ale secvenței de intrare x [n]. Cu toate acestea, puteți utiliza și descompunerea în subsecvențe a transformatei Fourier X [k]. Algoritmul FFT bazat pe această procedură se numește algoritm cu decimarea frecvenței. Puteți citi mai multe despre Transformarea Fourier rapidă, de exemplu, în.
Procese aleatorii și densitatea spectrală a puterii
Un proces discret aleatoriu x poate fi considerat ca un anumit set, sau un ansamblu, de secvențe de timp discrete reale sau complexe (sau spațiale), fiecare dintre acestea putând fi observată ca urmare a unui experiment (n este indicele de timp, i este numărul de observație). Secvența obținută ca rezultat al uneia dintre observații va fi notată cu x [n]. Operația de mediere a ansamblului (adică medierea statistică) va fi notat de operator<>... În acest fel,
Un proces aleatoriu este numit staționar în în sens largdacă valoarea sa medie este constantă (nu depinde de timp), iar autocorelația depinde doar de diferența dintre indicii de timp m \u003d n1-n2 (schimbare de timp sau întârziere între probe). Astfel, un proces discret aleatoriu x [n] care este staționar în sens larg se caracterizează printr-o valoare medie constantă
r xx [m] \u003d< xx*[n] >. (44)
Rețineți următoarele proprietăți ale ACP:
r xx | r xx [m] | , r xx [-m] \u003d r * xx [m], (45)
care sunt valabile pentru toate m.
Densitatea spectrală de putere (PSD) este definită ca transformată Fourier în timp discret (DPFT) a unei secvențe de autocorelație
.
(46)
PSD, a cărui lățime se presupune că este limitată la ± 1 / 2T Hz, este o funcție periodică a frecvenței cu o perioadă de 1 / T Hz. Funcția PSD descrie distribuția frecvenței puterii unui proces aleatoriu. Pentru a confirma numele ales pentru aceasta, luați în considerare DPFT invers
(47)
calculat pentru m \u003d 0
(48)
Autocorelația la schimbarea zero se caracterizează putere medie proces aleatoriu. Conform (48), aria de sub curba P xx (f) caracterizează puterea medie, prin urmare P xx (f) este o funcție de densitate (putere pe unitate de frecvență) care caracterizează distribuția puterii peste frecvență. Perechea de transformări (46) și (47) este adesea numită teorema Wiener-Khinchin pentru cazul timpului discret. Deoarece r xx [-m] \u003d r * xx [m], PSD trebuie să fie o funcție pozitivă strict reală. Dacă AKP este o funcție strict reală, atunci r xx [-m] \u003d r xx [m] și PSD pot fi scrise sub forma transformatei cosinusului Fourier
,
ceea ce înseamnă, de asemenea, că P xx (f) \u003d P xx (-f), adică SPM este o funcție uniformă.
Până acum, am folosit media statistică asupra ansamblului pentru a determina valoarea medie, corelația și densitatea spectrală a puterii unui proces aleatoriu. Cu toate acestea, în practică, de obicei nu este posibil să se obțină un ansamblu de realizări ale procesului necesar prin care aceste caracteristici statistice ar putea fi calculate. Este de dorit să se evalueze toate proprietățile statistice dintr-un eșantion de realizare x (t), înlocuind y medierea ansamblului medierea timpului... Proprietatea care permite să aibă loc o astfel de modificare se numește ergodicitate. Se spune că un proces aleatoriu este ergodic dacă, cu o probabilitate egală cu unul, toate caracteristicile sale statistice pot fi prezise dintr-o realizare din ansamblu folosind media timpului. Cu alte cuvinte, valorile medii în timp ale tuturor realizărilor posibile ale procesului cu probabilitatea unu converg către aceeași valoare constantă - valoarea medie asupra ansamblului
. (49)
Această limită, dacă există, converge la media adevărată dacă și numai dacă varianța mediei timpului tinde la zero, ceea ce înseamnă că este îndeplinită următoarea condiție:
. (50)
Aici c xx [m] este adevărata valoare a covarianței procesului x [n].
În mod similar, observând valoarea produsului eșantioanelor de proces x [n] în două momente în timp, ne putem aștepta ca valoarea medie să fie
(51)
Presupunerea ergodicității face posibilă nu numai introducerea, prin medierea în timp, a definițiilor pentru valoarea medie și autocorelație, ci și pentru a da o definiție similară densității puterii spectrale
. (52)
Această formă echivalentă de PSD este obținută prin media statistică a modulului DFT al setului de date ponderat împărțit la lungimea înregistrării datelor pentru cazul în care numărul de probe crește la infinit. Medierea statistică este necesară aici, deoarece DPFT este ea însăși o variabilă aleatorie care se modifică pentru fiecare realizare x [n]. Pentru a arăta că (52) este echivalent cu teorema Wiener-Khinchin, reprezentăm pătratul modulului DTPF ca un produs din două serii și schimbăm ordinea operațiilor de însumare și de calculare a statisticii:
(53)
Folosind celebra expresie
, (54)
relația (53) poate fi redusă la următoarele:
(55)
Rețineți că, în ultima etapă a derivării (55), am folosit presupunerea că secvența de autocorelație „se descompune”, astfel încât
.
(56)
Relația dintre cele două definiții ale PSD (46) și (52) este clar arătată în diagrama prezentată în Figura 4.
Dacă în expresia (52) nu luăm în considerare funcționarea așteptării matematice, atunci obținem estimarea PSD
, (57)
care e numit spectrul probei.
Figura: 4. Relația dintre cele două metode de estimare a densității spectrale de putere
Metoda parodogramelor de estimare spectrală
Mai sus, am introdus două metode formale echivalente pentru determinarea densității spectrale de putere (PSD). Metoda indirectă se bazează pe utilizarea unei secvențe infinite de date pentru a calcula o secvență de autocorelație, a cărei transformată Fourier dă PSD dorit. Metoda directă pentru determinarea PSD se bazează pe calcularea pătratului modulului transformatei Fourier pentru o secvență infinită de date utilizând media statistică adecvată. PSD obținut fără o astfel de medie se dovedește a fi nesatisfăcător, deoarece eroarea rădăcină-medie-pătrat a unei astfel de estimări este comparabilă cu valoarea sa medie. Vom lua în considerare acum metode de mediere care oferă estimări spectrale netede și stabile statistic pe un număr finit de probe. Estimările PSD bazate pe transformarea directă a datelor și media ulterioară sunt denumite periodograme. Se numesc estimările SPM, pentru care estimările de corelație sunt formate mai întâi din datele inițiale corelogramă... Atunci când se utilizează orice metodă pentru estimarea PSD, utilizatorul trebuie să facă multe compromisuri pentru a obține estimări spectrale statistice stabile, cu cea mai mare rezoluție posibilă dintr-un număr finit de eșantioane. Aceste compromisuri includ, printre altele, alegerea unei ferestre pentru ponderarea datelor și estimări de corelație și parametrii de mediere în domeniile de timp și frecvență care echilibrează cerințele de reducere a ponderii lobului lateral, medierea eficientă și rezoluția spectrală acceptabilă. În fig. 5 este o diagramă care prezintă etapele principale parodogramă metodă
Figura: 5. Principalele etape ale estimării PSD utilizând metoda parodogramei
Aplicarea metodei începe cu colectarea de N eșantioane de date, care sunt luate cu un interval de T secunde pe număr, urmate (opțional) de etapa de eliminare a tendințelor. Pentru a obține o estimare spectrală stabilă din punct de vedere statistic, datele disponibile trebuie împărțite în segmente suprapuse (dacă este posibil) și apoi media spectrelor eșantionului obținut pentru fiecare astfel de segment. Parametrii acestei medii sunt modificați prin alegerea corespunzătoare a numărului de eșantioane pe segment (NSAMP) și a numărului de eșantioane prin care este necesar să se schimbe începutul următorului segment (NSHIFT), vezi Fig. 6. Numărul de segmente este selectat în funcție de gradul necesar de netezime (dispersie) al estimării spectrale și de rezoluția spectrală necesară. Cu o valoare mică a parametrului NSAMP, se obțin mai multe segmente, peste care se va efectua media și, prin urmare, se vor obține estimări cu varianță mai mică, dar și rezoluție de frecvență mai mică. O creștere a lungimii segmentului (parametrul NSAMP) mărește rezoluția, în mod natural datorită creșterii varianței estimării datorită numărului mai mic de medii. Săgeata de întoarcere din Figura 5 indică necesitatea mai multor iterații asupra datelor la diferite lungimi și numere de segmente, ceea ce permite obținerea mai multor informații despre procesul în studiu.
Fig. 6. Împărțirea datelor în segmente pentru a calcula o periodogramă
Fereastră
Una dintre problemele importante, care este comună tuturor metodelor clasice de estimare spectrală, este legată de ponderarea datelor. Procesarea înfășurată este utilizată pentru a controla efectele lobilor laterali în estimările spectrale. Rețineți că este convenabil să considerați înregistrarea de date finite existente ca o parte a secvenței infinite corespunzătoare, vizibile prin fereastra utilizată. Deci secvența datelor observate x 0 [n] din N eșantioane poate fi scrisă matematic ca produsul unei secvențe infinite x [n] și a unei funcții de fereastră dreptunghiulară
X 0 [n] \u003d x [n] · rect [n].
În acest caz, se face presupunerea evidentă că toate eșantioanele neobservabile sunt egale cu zero, indiferent dacă acesta este de fapt așa. Transformata Fourier în timp discret a secvenței ponderate este egală cu convoluția transformărilor secvenței x [n] și a ferestrei dreptunghiulare rect [n]
X 0 (f) \u003d X (f) * D N (f), unde
D N (f) \u003d Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).
Funcția D N (f), numită funcția sinc discretă sau nucleul Dirichlet, este DTFT-ul unei funcții dreptunghiulare. Transformarea unei secvențe finite observate este o versiune zdrențuită a unei transformări de secvență infinită. Influența unei ferestre dreptunghiulare asupra unui sinusoid în timp discret cu o frecvență f 0 este ilustrată în Fig. 7.
Fig. 7. O ilustrare a deplasării transformatei Fourier în timp discret din cauza scurgerilor datorate ponderării datelor: a, b - secvența originală și ponderată; b, d - transformatele lor Fourier.
Se poate vedea din figură că vârfurile spectrale ascuțite ale DTFT ale unei secvențe sinusoidale infinite s-au extins datorită convoluției cu o transformare a ferestrei. Astfel, lățimea minimă a vârfurilor spectrale ale secvenței ponderate a ferestrei este determinată de lățimea lobului principal de transformare a acestei ferestre și nu depinde de date. Ferestrele laterale transformate vor modifica amplitudinile vârfurilor spectrale adiacente (uneori denumite scurgeri). Deoarece DPFT este o funcție periodică, suprapunerea lobilor laterali din perioadele adiacente poate duce la deplasări suplimentare. Creșterea ratei de eșantionare reduce suprapunerea lobului lateral. Bineînțeles, vor fi observate distorsiuni similare în cazul semnalelor non-sinusoidale. Scurgerile nu numai că introduc erori de amplitudine în spectrele semnalelor discrete, dar pot masca și prezența semnalelor slabe. Pot fi propuse o serie de alte funcții ale ferestrei care pot reduce nivelul lobului lateral decât cu o fereastră dreptunghiulară. Scăderea nivelului lobilor laterali va reduce prejudecata estimării spectrale, dar aceasta implică lărgirea lobului principal al spectrului ferestrei, ceea ce duce în mod natural la o deteriorare a rezoluției. Prin urmare, și aici ar trebui ales un compromis între lățimea lobului principal și nivelul lobilor laterali. Mai mulți parametri sunt utilizați pentru a evalua calitatea ferestrelor. Metrica tradițională este lățimea de bandă principală a lobului la jumătate de putere. Lățimea de bandă echivalentă introdusă mai sus este utilizată ca al doilea indicator. Două valori sunt, de asemenea, utilizate pentru a evalua caracteristicile lobilor laterali. Primul este nivelul lor maxim, al doilea este rata de descompunere, care caracterizează rata de scădere a lobilor laterali cu distanța față de lobul principal. Tabelul 3 prezintă definițiile unor funcții de ferestre în timp discret utilizate în mod obișnuit, iar Tabelul 4 arată caracteristicile acestora.
Tabelul 3. Definiții ale ferestrelor de timp discrete tipice punct N nivelul lobului lateral, dB -31,5
. (46)
Metoda de corelogramă estimarea PSD este pur și simplu o substituție în expresia (46) a unei secvențe finite de valori ale estimării autocorelației ( corelogramele) în loc de o secvență infinită de valori de autocorelație adevărate necunoscute. Puteți citi mai multe despre metoda de estimare spectrală a corelogramelor în.
Lit e r a t u r a
1. Rabiner L., Gould B. Teoria și aplicarea procesării digitale a semnalului. M .: Mir, 1978.
2. Marple Jr. S.L. Analiza spectrală digitală și aplicațiile sale: Per. din engleza. -M.: Mir, 1990.
3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Prelucrarea digitală a semnalului.- M.: Radio și comunicații, 1990.
4. Adus R., Enokson L. Analiza aplicată a seriilor temporale.- M.: Mir, 1982.
Camerele de supraveghere video sunt utilizate pe scară largă pentru a monitoriza situația traficului pe autostrăzi cu intensitate ridicată a traficului. Informațiile primite de la camerele video conțin date despre schimbarea temporală a poziției spațiale a vehiculelor în câmpul vizual al sistemului. Prelucrarea acestor informații pe baza algoritmilor utilizați în sistemele de măsurare a televiziunii (TIS) permite determinarea vitezei vehiculelor și asigurarea controlului fluxurilor de trafic. Acești factori explică interesul crescând pentru monitorizarea televiziunii a autostrăzilor de transport.
Pentru a dezvolta metode de filtrare a imaginilor vehiculelor pe fundalul zgomotului, este necesar să se cunoască parametrii și caracteristicile lor de bază. Anterior, autorii au efectuat un studiu al spectrelor Fourier și wavelet ale mediilor naturale și urbane. Această lucrare este dedicată studiului spectrelor de vehicule similare.
- folosind o cameră digitală, a fost creată o bancă de fișiere originale .bmp cu imagini monocrome ale vehiculelor de diferite tipuri (mașini, camioane, autobuze, pentru fiecare grup numărul de imagini a fost de 20-40 în diferite unghiuri și condiții de iluminare); imaginile erau de 400 pixeli orizontal și 300 pixeli vertical; intervalul de luminozitate de la 0 la 255 de unități;
- întrucât imaginile conțineau, pe lângă vehicul, și o componentă de fundal, pentru a preveni influența acestuia asupra rezultatului, a fost suprimată artificial la zero;
- analiza caracteristicilor imaginilor vehiculelor a fost efectuată prin metodele de analiză Fourier și wavelet.
Programul dezvoltat în mediul MATLAB vă permite să calculați luminozitatea medie (adică așteptarea matematică a luminozității imaginii), varianța luminozității, spectrul Fourier al liniilor individuale și totale ale imaginii, spectrogramele, precum și spectrele wavelet folosind diverse wavelets bine cunoscute (Haar, Daubechies, Simlet si etc.). Rezultatele analizei sunt reflectate sub formă de spectre bidimensionale și 3D ale imaginilor.
Pe baza rezultatelor cercetării, se pot trage următoarele concluzii:
- caracteristicile medii de luminanță (luminozitate medie, dispersie) ale imaginilor diferitelor vehicule au valori similare pentru toate tipurile; strălucirea solară de pe suprafața sticlei și a mașinii are un efect semnificativ asupra caracteristicilor de luminozitate; în funcție de intensitatea și direcția de iluminare, mașinile negre pot avea caracteristici de luminozitate similare cu mașinile de culoare deschisă;
- indiferent de tipul vehiculului, spectrele Fourier și wavelet au o structură similară;
- lățimea spectrului Fourier al vehiculelor depinde slab de tipul vehiculului; spectrul are o structură semnificativ inegală care se schimbă odată cu schimbarea iluminării și a orientării vehiculului; spectrul în plan orizontal are o structură mai inegală decât în \u200b\u200bverticală; caracteristicile spectrale ale semi-camioanelor și autobuzelor sunt foarte influențate de desene și inscripții (reclame) pe suprafețele sale;
- la întoarcerea mașinilor, schimbarea spectrului imaginilor în plan orizontal este semnificativă, spectrul în plan vertical rămâne destul de stabil; acest lucru este văzut în mod clar în spectrele de undă;
- analiza spectrelor unui vehicul individual și a unui vehicul pe fundalul interferențelor arată că acestea diferă în ceea ce privește nivelurile de amplitudine ale componentelor spectrale; în absența unui fundal, spectrul vertical este mult mai uniform; pentru imaginile mașinilor fără fundal, există o probabilitate mai mare de scufundări adânci în spectru (denivelări mai mari), anvelopa spectrului de imagini cu fundal este mai uniformă decât fără fond;
- studiile au arătat că, datorită influenței puternice a unui număr mare de factori, caracteristicile spectrale ale vehiculelor (ambele obținute utilizând analiza Fourier și analiza cu undă) nu ne permit să identificăm caracteristici spectrale stabile ale imaginilor vehiculului; aceasta reduce eficiența filtrării spectrale a imaginilor, efectuată pentru a suprima fundalul;
- În sistemele automate de control al traficului, pentru a distinge mașinile de fundalul interferențelor, este necesar să se utilizeze un set de caracteristici, cum ar fi culoarea, spectrul, parametrii geometrici ai obiectelor (dimensiuni și raporturi de aspect) și caracteristicile dinamice.
BIBLIOGRAFIE
- Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Investigarea caracteristicilor imaginilor de fonduri naturale și urbane // Izv. Tulsk. Stat Universitate. Inginerie radio și radio optică. - Tula, 2005 .-- T. 7.- P.97-104.
Referință bibliografică
Makaretsky E.A. CERCETAREA CELUI MAI FOURIER ȘI WAVELET AL SPECTRA DE IMAGINĂ A VEHICULELOR // Cercetare fundamentală. - 2006. - Nr. 12. - P. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id\u003d5557 (data accesului: 15.01.2020). Vă aducem în atenție revistele publicate de „Academia de Științe ale Naturii”
Analiza spectrală
Analiza spectrală este o clasă largă de metode de procesare a datelor bazate pe reprezentarea lor de frecvență sau spectru. Spectrul este obținut ca urmare a extinderii funcției originale, care depinde de timp (serie temporală) sau de coordonatele spațiale (de exemplu, o imagine), în baza unor funcții periodice. Cel mai frecvent utilizat pentru procesarea spectrală este spectrul Fourier obținut pe baza bazei sinusoidale (expansiunea Fourier, transformata Fourier).
Principala semnificație a transformatei Fourier este că funcția inițială non-periodică de formă arbitrară, care nu poate fi descrisă analitic și, prin urmare, este dificil de procesat și analizat, este reprezentată ca un set de sinusuri sau cosinus cu frecvențe, amplitudini și faze inițiale diferite.
Cu alte cuvinte, o funcție complexă este transformată în multe mai simple. Fiecare sinusoid (sau cosinus) cu o anumită frecvență și amplitudine, obținut ca urmare a expansiunii Fourier, se numește componentă spectrală sau armonice... Se formează componente spectrale spectrul Fourier.
Vizual, spectrul Fourier este prezentat sub forma unui grafic, pe care frecvența circulară, notată cu litera greacă „omega”, este reprezentată de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinea componentelor spectrale, de obicei notate cu litera latină A. Apoi, fiecare componentă spectrală poate fi reprezentată ca referință, poziție care corespunde orizontal frecvenței sale, iar înălțimea corespunde amplitudinii sale. Armonica cu frecvență zero se numește componentă constantă (în perspectiva temporală, aceasta este o linie dreaptă).
Chiar și o simplă analiză vizuală a spectrului poate spune multe despre natura funcției din care a fost derivat. Este intuitiv clar că schimbările rapide în datele inițiale generează în componentele spectrului cu înalt frecvență și lent - cu scăzut... Prin urmare, dacă amplitudinea componentelor din acesta scade rapid odată cu creșterea frecvenței, atunci funcția inițială (de exemplu, o serie de timp) este netedă și dacă spectrul conține componente de înaltă frecvență cu amplitudini mari, atunci funcția inițială va conține fluctuații accentuate. Deci, pentru o serie de timp, aceasta poate indica o componentă aleatorie mare, instabilitatea proceselor pe care le descrie și prezența zgomotului în date.
Procesarea spectrală se bazează pe manipularea spectrului. Într-adevăr, dacă reducem (suprimăm) amplitudinea componentelor de înaltă frecvență și apoi, pe baza spectrului modificat, restabilim funcția originală prin efectuarea transformării Fourier inverse, atunci aceasta va deveni mai lină datorită eliminării componentei de înaltă frecvență.
Pentru o serie de timp, de exemplu, aceasta înseamnă eliminarea informațiilor despre vânzările zilnice, care sunt extrem de sensibile la factorii aleatori, și lăsarea unor tendințe mai stabile, de exemplu, sezonalitate. Puteți, dimpotrivă, să suprimați componentele cu o frecvență scăzută, ceea ce va elimina modificările lente și va lăsa doar cele rapide. În cazul unei serii temporale, aceasta ar însemna suprimarea componentei sezoniere.
Prin aplicarea spectrului în acest mod, puteți obține modificarea dorită în datele originale. Cea mai frecvent utilizată este netezirea seriilor temporale prin eliminarea sau reducerea amplitudinii componentelor de înaltă frecvență din spectru.
Pentru a manipula spectrele, se folosesc filtre - algoritmi capabili să controleze forma spectrului, să suprime sau să amplifice componentele acestuia. Principalul proprietate orice filtru este caracteristica sa de amplitudine-frecvență (AFC), de forma căreia depinde transformarea spectrului.
Dacă filtrul trece doar componentele spectrale cu o frecvență sub o anumită frecvență de întrerupere, atunci se numește filtru trece-jos (LPF) și poate fi utilizat pentru a netezi datele, a le curăța de zgomot și valori anormale.
Dacă filtrul trece componentele spectrale peste o anumită frecvență de întrerupere, atunci se numește filtru trece sus (HPF). Poate fi folosit pentru a suprima modificările lente, cum ar fi sezonalitatea în seriile de date.
În plus, se utilizează multe alte tipuri de filtre: filtre de nivel mediu, filtre de notch și filtre de trecere în bandă, precum și altele mai complexe, care sunt utilizate în procesarea semnalului în electronică. Alegând tipul și forma răspunsului în frecvență al filtrului, puteți realiza transformarea dorită a datelor originale prin procesare spectrală.
Când efectuați filtrarea frecvenței datelor pentru a netezi și a elimina zgomotul, este necesar să specificați corect lățimea de bandă a filtrului trece-jos. Dacă este ales prea mare, gradul de netezire va fi insuficient, iar zgomotul nu va fi suprimat complet. Dacă este prea îngust, atunci împreună cu zgomotul, modificările care conțin informații utile pot fi suprimate. În timp ce în aplicațiile tehnice există criterii stricte pentru determinarea performanței optime a filtrelor, în tehnologiile analitice este necesar să se utilizeze în principal metode experimentale.
Analiza spectrală este una dintre cele mai eficiente și bine dezvoltate tehnici de procesare a datelor. Filtrarea frecvenței Este doar una dintre numeroasele sale aplicații. În plus, este utilizat în corelație și analiză statistică, sinteza semnalului și funcției, construirea de modele etc.
1. Transformata Fourier și spectrul semnalului
În multe cazuri, sarcina de a obține (calcula) spectrul semnalului este următoarea. Există un ADC, care, cu o frecvență de eșantionare de Fd, convertește un semnal continuu care ajunge la intrarea sa în timpul T în eșantioane digitale - N bucăți. Apoi, matricea de eșantioane este introdusă într-un anumit program care transmite N / 2 unele valori numerice (un programator care smuls de pe Internet a scris un program, asigură că face transformarea Fourier).Pentru a verifica dacă programul funcționează corect, să formăm o serie de eșantioane ca suma a două sinusoide sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) și alunecăm în program. Programul a atras următoarele:
fig. 1 Grafic al funcției de timp a semnalului
fig. 2 Graficul spectrului semnalului
Graficul spectrului are două stick-uri (armonice) de 5 Hz cu o amplitudine de 0,5 V și 10 Hz - cu o amplitudine de 1 V, totul este ca în formula semnalului original. Totul este bine, programator bine făcut! Programul funcționează corect.
Aceasta înseamnă că, dacă alimentăm un semnal real dintr-un amestec de două sinusoide la intrarea ADC, atunci vom obține un spectru similar format din două armonici.
Total, al nostru real semnal măsurat, care durează 5 sec, ADC digitalizat, adică prezentat discret contează, are non-periodice discrete spectru.
Din punct de vedere matematic, câte greșeli există în această frază?
Acum șefii au decis că am decis că 5 secunde sunt prea lungi, să măsurăm semnalul în 0,5 secunde.
fig. 3 Graficul funcțional sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) la o perioadă de măsurare de 0,5 sec
fig. 4 Spectrul funcțional
Ceva pare să nu fie în regulă! Armonica de 10 Hz este desenată normal și, în loc de un stick de 5 Hz, au apărut mai multe armonici de neînțeles. Ne uităm pe internet, ce și cum ...
În, se spune că trebuie adăugate zerouri la sfârșitul eșantionului și spectrul va fi trasat normal.
fig. 5 A terminat zerourile la 5 sec
fig. 6 A primit spectrul
Încă nu este ceea ce a fost la 5 secunde. Va trebui să ne ocupăm de teorie. Mergi la Wikipedia - sursa de cunoaștere.
2. Funcția continuă și reprezentarea ei prin seria Fourier
Matematic, semnalul nostru cu o durată de T secunde este o funcție f (x) definită pe intervalul (0, T) (X în acest caz este timpul). O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată ca o sumă de funcții armonice (sinusoide sau cosinus) ale formei:
(1), unde:
K - numărul funcției trigonometrice (numărul componentei armonice, numărul armonicii)
T - segmentul în care funcția este definită (durata semnalului)
Ak este amplitudinea componentei armonice kth,
? k este faza inițială a k-a componentă armonică
Ce înseamnă „a reprezenta o funcție ca suma unei serii”? Aceasta înseamnă că, adăugând în fiecare punct valorile componentelor armonice din seria Fourier, obținem valoarea funcției noastre în acest moment.
(Mai strict, deviația rădăcină-medie-pătrat a seriei de la funcția f (x) va tinde la zero, dar în ciuda convergenței rădăcină-medie-pătrat, seria Fourier a funcției, în general vorbind, nu este obligată să convergă către ea în sens punctual. A se vedea https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)
Această serie poate fi scrisă și ca:
(2),
unde, k-a amplitudine complexă.
Relația dintre coeficienții (1) și (3) este exprimată prin următoarele formule:
Rețineți că toate aceste trei reprezentări ale seriei Fourier sunt complet echivalente. Uneori, când se lucrează cu seria Fourier, este mai convenabil să se utilizeze exponenții unui argument imaginar în loc de sinusuri și cosinus, adică să se utilizeze transforma Fourier în formă complexă. Dar este convenabil pentru noi să folosim formula (1), unde seria Fourier este prezentată ca o sumă de unde cosinus cu amplitudinile și fazele corespunzătoare. În orice caz, este incorect să spunem că rezultatul transformării Fourier a unui semnal real va fi amplitudinile complexe ale armonicilor. După cum spune corect wiki, „Transformata Fourier (?) Este o operație care atribuie o funcție unei variabile reale unei alte funcții, de asemenea o variabilă reală”.
Total:
Baza matematică pentru analiza spectrală a semnalelor este transformata Fourier.
Transformata Fourier vă permite să reprezentați o funcție continuă f (x) (semnal), definită pe segmentul (0, T) ca suma unui număr infinit (serie infinită) de funcții trigonometrice (sinusoide și \\ sau cosinus) cu anumite amplitudini și faze, luate în considerare și pe segment (0, T). O astfel de serie se numește serie Fourier.
Să observăm câteva alte puncte, a căror înțelegere este necesară pentru aplicarea corectă a transformatei Fourier la analiza semnalului. Dacă luăm în considerare seria Fourier (suma sinusoidelor) pe întreaga axă X, atunci putem vedea că în afara segmentului (0, T) funcția reprezentată de seria Fourier ne va repeta periodic funcția.
De exemplu, în graficul din Fig. 7, funcția originală este definită pe interval (-T \\ 2, + T \\ 2), iar seria Fourier reprezintă o funcție periodică definită pe întreaga axă x.
Acest lucru se datorează faptului că sinusoidele în sine sunt funcții periodice și, în consecință, suma lor va fi o funcție periodică.
fig. 7 Reprezentarea unei funcții originale neperiodice de către seria Fourier
În acest fel:
Funcția noastră originală este continuă, ne-periodică, definită pe un anumit segment de lungime T.
Spectrul acestei funcții este discret, adică este prezentat sub forma unei serii infinite de componente armonice - seria Fourier.
De fapt, seria Fourier definește o anumită funcție periodică care coincide cu a noastră pe segment (0, T), dar această periodicitate nu este esențială pentru noi.
Perioadele componentelor armonice sunt multipli ai segmentului (0, T) pe care este definită funcția originală f (x). Cu alte cuvinte, perioadele armonice sunt multipli ai duratei de măsurare a semnalului. De exemplu, perioada primei armonici a seriei Fourier este egală cu intervalul T, pe care este definită funcția f (x). Perioada celei de-a doua armonici a seriei Fourier este egală cu intervalul T / 2. Și așa mai departe (vezi fig. 8).
fig. 8 Perioade (frecvențe) ale componentelor armonice din seria Fourier (aici T \u003d 2?)
În consecință, frecvențele componentelor armonice sunt multipli de 1 / T. Adică, frecvențele componentelor armonice Fk sunt egale cu Fk \u003d k \\ T, unde k rulează valori de la 0 la ?, De exemplu, k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (la frecvență zero - componentă constantă).
Funcția noastră originală să fie un semnal înregistrat timp de T \u003d 1 sec. Atunci perioada primei armonici va fi egală cu durata semnalului nostru T1 \u003d T \u003d 1 sec și frecvența armonicii este de 1 Hz. A doua perioadă armonică va fi egală cu durata semnalului împărțită la 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 sec) și frecvența este de 2 Hz. Pentru a treia armonică, T3 \u003d T / 3 sec și frecvența este de 3 Hz. Etc.
Pasul dintre armonici în acest caz este de 1 Hz.
Astfel, un semnal de 1 secundă poate fi descompus în componente armonice (pentru a obține un spectru) cu o rezoluție de frecvență de 1 Hz.
Pentru a crește rezoluția de 2 ori la 0,5 Hz, este necesar să măriți durata măsurării de 2 ori - până la 2 sec. Un semnal cu o durată de 10 secunde poate fi descompus în componente armonice (pentru a obține un spectru) cu o rezoluție de frecvență de 0,1 Hz. Nu există alte modalități de a crește rezoluția frecvenței.
Există o modalitate de a crește artificial durata semnalului prin adăugarea de zerouri în matricea eșantionului. Dar nu crește rezoluția reală a frecvenței.
3. Semnalele discrete și transformata Fourier discretă
Odată cu dezvoltarea tehnologiei digitale, s-au schimbat și metodele de stocare a datelor de măsurare (semnale). Dacă mai devreme semnalul putea fi înregistrat pe un magnetofon și stocat pe bandă în formă analogică, acum semnalele sunt digitalizate și stocate în fișiere în memoria computerului ca un set de numere (citiri).O schemă tipică pentru măsurarea și digitalizarea unui semnal este următoarea.
fig. 9 Diagrama canalului de măsurare
Semnalul de la traductorul de măsurare este alimentat la ADC pentru o perioadă de timp T. Eșantioanele semnalului (eșantion) obținute în timpul T sunt transferate la computer și stocate în memorie.
fig. 10 Semnal digitalizat - N eșantioane obținute în timpul T
Care sunt cerințele pentru parametrii de digitalizare a semnalului? Un dispozitiv care convertește un semnal analogic de intrare într-un cod discret (semnal digital) se numește convertor analog-digital (ADC) (Wiki).
Unul dintre parametrii principali ai ADC este rata maximă de eșantionare (sau rata de eșantionare, rata de eșantionare engleză) - rata de eșantionare a unui semnal continuu în timp în timpul eșantionării sale. Măsurat în hertz. ((Wiki))
Conform teoremei Kotelnikov, dacă un semnal continuu are un spectru limitat de frecvența Fmax, atunci acesta poate fi reconstituit complet și fără echivoc din probele sale discrete prelevate la intervale de timp. 
, adică cu o frecvență Fd? 2 * Fmax, unde Fd este rata de eșantionare; Fmax este frecvența maximă a spectrului semnalului. Cu alte cuvinte, frecvența de eșantionare a semnalului (frecvența de eșantionare ADC) trebuie să fie de cel puțin 2 ori mai mare decât frecvența maximă a semnalului pe care dorim să îl măsurăm.
Și ce se va întâmpla dacă luăm probe cu o frecvență mai mică decât este cerută de teorema Kotelnikov?
În acest caz, apare efectul "aliasing" (alias efect stroboscopic, efect moiré), în care un semnal de înaltă frecvență după digitizare se transformă într-un semnal de joasă frecvență care nu există de fapt. În fig. 5 unde sinusoidale roșii de înaltă frecvență sunt un semnal real. Un sinusoid albastru cu o frecvență mai mică este un semnal fals care apare datorită faptului că în timpul eșantionării reușește să treacă mai mult de o jumătate de perioadă a semnalului de înaltă frecvență.
Figura: 11. Apariția unui semnal fals de frecvență joasă cu o rată de eșantionare insuficient de mare
Pentru a evita efectul aliasing-ului, un filtru anti-aliasing special este instalat în fața ADC - un filtru low-pass (filtru low-pass), care trece frecvențe sub jumătate din frecvența de eșantionare ADC și reduce frecvențe mai mari.
Pentru a calcula spectrul semnalului din eșantioanele sale discrete, se folosește transformata Fourier discretă (DFT). Rețineți din nou că spectrul unui semnal discret este „prin definiție” limitat de frecvența Fmax, mai puțin de jumătate din frecvența de eșantionare Fd. Prin urmare, spectrul unui semnal discret poate fi reprezentat de suma unui număr finit de armonici, spre deosebire de suma infinită pentru seria Fourier a unui semnal continuu, al cărui spectru poate fi nelimitat. Conform teoremei Kotelnikov, frecvența maximă a unei armonici ar trebui să fie de așa natură încât să aibă cel puțin două citiri, deci numărul de armonici este egal cu jumătate din numărul de eșantioane ale unui semnal discret. Adică, dacă există N eșantioane în eșantion, atunci numărul de armonici din spectru va fi egal cu N / 2.
Luați în considerare acum transformata Fourier discretă (DFT).
Comparând cu seria Fourier
Vedem că acestea coincid, cu excepția faptului că timpul în DFT este discret și numărul de armonici este limitat la N / 2, care este jumătate din numărul de eșantioane.
Formulele DFT sunt scrise în variabile întregi adimensionale k, s, unde k sunt numărul de eșantioane de semnal, s sunt numerele componentelor spectrale.
Valoarea lui s arată numărul de oscilații armonice totale în perioada T (durata măsurării semnalului). Transformata Fourier discretă este utilizată pentru a găsi numeric amplitudinile și fazele armonicilor, adică "pe computer"
Revenind la rezultate la început. După cum sa menționat mai sus, atunci când extindeți o funcție non-periodică (semnalul nostru) într-o serie Fourier, seria Fourier rezultată corespunde de fapt unei funcții periodice cu o perioadă T. (Fig. 12).
fig. 12 Funcția periodică f (x) cu o perioadă T0, cu o perioadă de măsurare T\u003e T0
Așa cum se poate vedea în Fig. 12, funcția f (x) este periodică cu o perioadă T0. Cu toate acestea, datorită faptului că durata eșantionului de măsurare T nu coincide cu perioada funcției T0, funcția obținută ca serie Fourier are o discontinuitate în punctul T. Ca urmare, spectrul acestei funcții va conține un număr mare de armonici de înaltă frecvență. Dacă durata eșantionului de măsurare T ar coincide cu perioada funcției T0, atunci în spectrul obținut după transformarea Fourier, ar fi prezentă doar prima armonică (o sinusoidă cu o perioadă egală cu durata eșantionului), deoarece funcția f (x) este o sinusoidă.
Cu alte cuvinte, programul DFT „nu știe” că semnalul nostru este o „piesă de sinusoid”, dar încearcă să reprezinte o funcție periodică ca o serie, care are o discontinuitate din cauza inconsecvenței pieselor individuale ale unui sinusoid.
Ca rezultat, apar armonici în spectru, care ar trebui să rezume forma funcției, inclusiv această discontinuitate.
Astfel, pentru a obține un spectru „corect” al unui semnal, care este suma mai multor sinusoide cu perioade diferite, este necesar ca un număr întreg de perioade din fiecare sinusoid să se încadreze în perioada de măsurare a semnalului. În practică, această condiție poate fi îndeplinită pentru o durată suficient de lungă de măsurare a semnalului.
Fig. 13 Un exemplu de funcție și spectru al unui semnal de eroare cinematică a unei cutii de viteze
Cu o durată mai scurtă, imaginea va arăta „mai rău”:
Fig. 14 Exemplu al funcției și spectrului semnalului de vibrație al rotorului
În practică, poate fi dificil de înțeles unde sunt „componentele reale” și unde sunt „artefactele” cauzate de faptul că perioadele componentelor și durata eșantionării semnalului nu sunt multiple sau „săriturile și pauzele” formei de undă. Desigur, cuvintele „componente reale” și „artefacte” nu sunt degeaba luate în ghilimele. Prezența multor armonici pe graficul spectrului nu înseamnă că semnalul nostru în realitate „constă” din ele. Este ca și cum ai crede că numărul 7 „constă” din numerele 3 și 4. Numărul 7 poate fi reprezentat ca suma numerelor 3 și 4 - este corect.
Deci semnalul nostru ... sau mai bine zis nici măcar „semnalul nostru”, ci o funcție periodică compusă prin repetarea semnalului nostru (eșantion) poate fi reprezentată ca o sumă de armonici (sinusoide) cu anumite amplitudini și faze. Dar, în multe cazuri, importante pentru practică (a se vedea figurile de mai sus), este cu adevărat posibil să asociați armonicele obținute în spectru cu procese reale care au o natură ciclică și aduc o contribuție semnificativă la forma semnalului.
Unele rezultate
1. Semnalul real măsurat, durata T sec, digitalizat de ADC, adică reprezentat de un set de eșantioane discrete (N bucăți), are un spectru discret neperiodic reprezentat de un set de armonici (N / 2 bucăți).2. Semnalul este reprezentat de un set de valori reale, iar spectrul său este reprezentat de un set de valori reale. Frecvențele armonice sunt pozitive. Faptul că matematicienilor le este mai convenabil să reprezinte spectrul într-o formă complexă folosind frecvențe negative nu înseamnă că „acest lucru este corect” și „acest lucru ar trebui întotdeauna făcut”.
3. Semnalul măsurat la intervalul de timp T este determinat numai la intervalul de timp T. Ce a fost înainte să începem să măsurăm semnalul și ce se va întâmpla după aceea - acest lucru este necunoscut științei. Și în cazul nostru, nu este interesant. DFT-ul unui semnal limitat în timp oferă spectrul său „adevărat”, în sensul că, în anumite condiții, permite calcularea amplitudinii și frecvenței componentelor sale.
Materiale folosite și alte materiale utile.
