Suprafața nivelului câmpului se numește locusul punctelor la care câmpul ia o valoare constantă. Conform acestei definiții, ecuația suprafeței de nivel va avea forma: sau

Curbele indiferenței - sunt un set de puncte pe planul de coordonate, fiecare dintre ele fiind un set de consumatori care oferă consumatorului același nivel de satisfacție a nevoilor sale. Curba indiferenței este o reprezentare grafică a unui set de indiferență

ÎNTREBAREA 36. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile. Limite consistente.

Definiție 1. Un număr A se numește limita unei funcții într-un punct (sau la și) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar mic există un număr pozitiv astfel încât pentru toate punctele distanțate de punctul la o distanță mai mică decât, inegalitatea

Limita este indicată

Definiție 2. O funcție se numește continuă într-un punct dacă limita funcției există în acest punct și

Punctele la care funcția nu are proprietatea continuității se numesc puncte de discontinuitate.

Toate proprietățile și metodele teoriei limitelor unei funcții a unei variabile sunt transferate la funcțiile mai multor variabile.

ÎNTREBARE 37. Diferențialitatea unei funcții și a unui diferențial de prim ordin, diferențiale parțiale și derivate parțiale de prim ordin.

ÎNTREBAREA 38. Derivată gradientă și direcțională.

ÎNTREBARE 39. Derivate și diferențiale de ordin superior. Aplicații ale calculului diferențial al funcțiilor mai multor variabile în modelarea proceselor vamale.

Să presupunem că funcția f "(x) este diferențiată la un moment dat x al intervalului (a, b), adică are o derivată în acest moment. Atunci această derivată se numește a doua derivată și se notează cu f (2 ) (x), f "" (x) sau y (2), y "" (x). În mod similar, putem introduce conceptul derivatelor a doua, a treia etc. etc. Prin inducție, putem introduce conceptul de derivata a n-a:

y (n) \u003d (y (n-1)) ". (6)

O funcție care are o derivată finită de ordine n pe un anumit set este numită de n ori diferențiată pe acest set. Metoda de găsire a derivatelor de ordine superioare presupune capacitatea de a găsi derivate de ordinul întâi, după cum reiese din formula (6).

Dacă u (x), v (x) sunt două funcții diferențiabile, atunci formula Leibniz este valabilă pentru a găsi derivata produsului lor

(u (x) v (x)) (n) \u003d u (n) v + nu (n-1) v "+ (n (n-1) / 2) u (n-2) v" "+. .. + uv (n) \u003d

Sk \u003d 0nCnku (n-k) v (k),

Cnk \u003d (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / k!, U (0) \u003d u, v (0) \u003d v.

Această formulă Leibniz este deosebit de eficientă în cazul în care una dintre funcțiile multiplicate are un număr finit de derivate diferite de zero și este ușor de calculat derivatele unei alte funcții.

Exemplul 9. Fie y \u003d ex (x2-1). Găsiți y (10). Puneți u (x) \u003d ex,

v (x) \u003d (x2-1). Conform formulei lui Leibniz

y (10) \u003d (ex) (25) (x2-1) +10 (ex) (9) (x2-1) "+ (10 9/2) (ex) (8) (x2-1)" " ,

întrucât următorii termeni sunt egali cu zero. prin urmare

y (10) \u003d ex (x2-1) + 10ex2x + (10 9/2) ex (2) \u003d ex (x2 + 20x + 89)

Luați în considerare expresia pentru primul diferențial

Fie funcția din partea dreaptă să fie o funcție diferențiată la un punct dat x. Pentru aceasta, este suficient ca y \u003d f (x) să fie diferențiat de două ori la un punct dat x, iar argumentul fie o variabilă independentă, fie o funcție de două ori diferențiată.

Definiția 6 (diferențial de ordinul doi). Valoarea d (dy) a diferențialului primului diferențial (4) la d x \u003d dx se numește al doilea diferențial al funcției y \u003d f (x) și este notată cu d2y.

Prin urmare,

d2y \u003d d (dy) | d x \u003d dx.

Dny diferențial poate fi introdus prin inducție.

ÎNTREBARE 40. Extreme locale și condiționate ale funcțiilor mai multor variabile. Probleme extreme în modelarea proceselor vamale.

Extremul local.

Să se dea o funcție definit într-o zonă deschisă a spațiului și lăsați punctul.

Definiția 1. Un punct se numește un punct minim al unei funcții dacă există un vecinătate a punctului la care se satisface inegalitatea:

Acestea.

(similar punctului maxim)

În capitolele anterioare, am luat în considerare numai acele fluxuri în care distribuția tuturor cantităților (viteză, presiune, densitate etc.) în gaz este continuă. Cu toate acestea, sunt posibile și mișcări în care apar discontinuități în distribuția acestor cantități.

Discontinuitatea în mișcarea gazului are loc de-a lungul unor suprafețe; la trecerea printr-o astfel de suprafață, valorile indicate suferă un salt. Aceste suprafețe se numesc suprafețe de fractură. În cazul mișcării gazelor nesigure, suprafețele discontinuității nu rămân, în general, staționare; Ar trebui subliniat aici că viteza suprafeței discontinuității nu are nimic de-a face cu viteza gazului în sine. Particulele de gaz în timpul mișcării lor pot trece prin această suprafață, traversând-o.

Anumite condiții limită trebuie îndeplinite la suprafețele fracturii.

Pentru a formula aceste condiții, luați în considerare un element al suprafeței de discontinuitate și utilizați sistemul de coordonate asociat acestui element cu axa îndreptată de-a lungul normalului către acesta.

În primul rând, trebuie să existe un flux continuu de materie pe suprafața fracturii: cantitatea de gaz care intră dintr-o parte trebuie să fie egală cu cantitatea de gaz care părăsește cealaltă parte a suprafeței. Fluxul de gaz prin elementul de suprafață luat în considerare (pe unitate de suprafață) este, prin urmare, condiția care trebuie îndeplinită în cazul în care indicii 1 și 2 se referă la două laturi ale suprafeței de fractură.

Diferența dintre valorile unei anumite cantități de pe ambele părți ale suprafeței de rupere va fi notată mai jos prin intermediul parantezelor pătrate; Asa de,

iar condiția rezultată va fi scrisă ca

În cele din urmă, fluxul de impulsuri trebuie să fie continuu, adică forțele cu care gazele acționează reciproc pe ambele părți ale suprafeței de rupere trebuie să fie egale. Fluxul de impuls printr-o zonă unitară este (a se vedea § 7)

Vectorul normal este direcționat de-a lungul axei. Prin urmare, continuitatea componentei A - a fluxului de impuls duce la starea

iar continuitatea componentelor y și-dă

Ecuațiile (84.1-4) reprezintă un sistem complet de condiții limită pe suprafața discontinuității. Din ele, se poate trage imediat o concluzie cu privire la posibilitatea existenței a două tipuri de suprafețe de rupere.

În primul caz, nu există flux de substanță prin suprafața discontinuității. Aceasta înseamnă că Deoarece acestea sunt diferite de zero, aceasta înseamnă că ar trebui să existe

Condițiile (84.2) și (84.4) în acest caz sunt îndeplinite automat, iar condiția (84.3) dă Astfel, pe suprafața discontinuității, în acest caz, componenta normală a vitezei și presiunea gazului sunt continue:

Viteza tangențială și densitatea (precum și alte mărimi termodinamice în afară de presiune) pot experimenta un salt arbitrar. Vom numi astfel de discontinuități tangențiale.

În al doilea caz, fluxul de materie și, împreună cu aceasta, sunt diferite de zero. Apoi din (84.1) și (84.4) avem:

adică viteza tangențială este continuă pe suprafața discontinuității. Densitatea, presiunea (și, prin urmare, alte mărimi termodinamice) și viteza normală experimentează un salt, iar salturile în aceste cantități sunt legate de relații (84.1-3). În condiția (84.2), în virtutea (84.1), putem anula un în loc de, în virtutea continuității lui v, și putem scrie v. Astfel, pe suprafața discontinuității în cazul în cauză, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Pauzele de acest tip se numesc unde de șoc.

Dacă revenim acum la un sistem staționar de coordonate, atunci în loc să scriem peste tot diferența dintre componenta vitezei gazului normală la suprafața discontinuității și viteza suprafeței în sine, direcționată, prin definiție, de-a lungul normalului către aceasta:

Viteza și și sunt luate în raport cu un cadru de referință fix. Viteza este viteza mișcării gazului în raport cu suprafața de rupere; în caz contrar, putem spune că există viteza de propagare a suprafeței de rupere în sine față de gaz. Vă rugăm să rețineți că această viteză este diferită în ceea ce privește gazul de pe ambele părți ale suprafeței (dacă are o ruptură).

Discontinuitățile tangențiale, la care componentele vitezei tangențiale experimentează un salt, au fost luate în considerare de noi deja în § 29. Acolo s-a arătat că într-un fluid incompresibil astfel de discontinuități sunt instabile și ar trebui să fie estompate într-o regiune turbulentă. Un studiu similar pentru un fluid compresibil arată că o astfel de instabilitate apare și în cazul general al vitezelor arbitrare (a se vedea problema 1).

Un caz special de discontinuități tangențiale sunt discontinuitățile în care viteza este continuă și numai densitatea experimentează un salt (și, cu aceasta, alte mărimi termodinamice, cu excepția presiunii); astfel de pauze se numesc pauze de contact. Ceea ce s-a spus mai sus despre instabilitate nu se aplică acestora.

LECTURI PRIVIND MATANALIZA

Funcțiile mai multor variabile. Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile. Liniile și suprafețele de nivel. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile, proprietățile lor. Derivate parțiale, proprietățile și semnificația lor geometrică.

Definiție 1.1. Variabil z (cu scop Z) numit funcția a două variabile independente x y în platou Mdacă fiecare pereche ( x y) din set M z de Z.

Definiție 1.2.Multe Mîn care sunt setate variabilele x y, numit sfera funcțieiîn timp ce noi înșine x y - a ei argumente.

Legendă: z = f(x, y), z = z(x, y).

Exemple.

Cometariu. Deoarece o pereche de numere ( x y) pot fi considerate coordonatele unui punct din plan, vom folosi ulterior termenul „punct” pentru o pereche de argumente ale unei funcții a două variabile, precum și pentru un set ordonat de numere
care sunt argumente pentru o funcție a mai multor variabile.

Definiție 1.3. . Variabil z (cu scop Z) numit funcția mai multor variabile independente
în platou Mdacă fiecare set de numere
a multimii M conform unor reguli sau legi, se atribuie o valoare definită z de Z. Conceptele și domeniile de argumentare sunt introduse în același mod ca și pentru o funcție cu două variabile.

Legendă: z = f
,z = z
.

Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile.

Luați în considerare funcția

z = f(x, y) , (1.1)

definit într-o anumită zonă M pe avionul O hu... Apoi, setul de puncte ale spațiului tridimensional cu coordonate ( x, y, z) , unde, este graficul unei funcții a două variabile. Deoarece ecuația (1.1) definește o anumită suprafață în spațiul tridimensional, aceasta va fi imaginea geometrică a funcției luate în considerare.

z \u003d f (x, y)

M y

cometariu... Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, vom folosi termenul „suprafață în n-spatiul dimensional ”, desi este imposibil sa se descrie o astfel de suprafata.

Liniile și suprafețele de nivel.

Pentru funcția a două variabile date de ecuația (1.1), putem considera setul de puncte ( x y) avionul O hupentru care z ia aceeași valoare constantă, adică z \u003d const. Aceste puncte formează o linie pe planul numit linie de nivel.

Exemplu.

Găsiți linii de nivel pentru suprafață z = 4 – x² - y². Ecuațiile lor sunt de formă x² + y² \u003d 4 - c (c\u003d const) - ecuații de cercuri concentrice centrate la origine și cu raze
... De exemplu, pentru din\u003d 0 obținem un cerc x² + y² \u003d 4.

Pentru o funcție de trei variabile tu = tu (x, y, z) ecuația tu (x, y, z) = c definește o suprafață într-un spațiu tridimensional numit suprafață nivelată.

Exemplu.

Pentru funcție tu = 3x + 5y – 7z –12 suprafețe de nivel vor fi o familie de plane paralele definite de ecuații

3x + 5y – 7z –12 + din = 0.

Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

Să introducem conceptul δ-cartier puncte M 0 (x 0 , la 0 ) pe avionul O hu ca un cerc de rază δ centrat într-un punct dat. În mod similar, un vecinătate in în spațiul tridimensional poate fi definit ca o bilă de rază δ centrată în punctul M 0 (x 0 , la 0 , z 0 ) ... Pentru n-spatiul dimensional se va numi neighborhood-vecinatatea punctului M 0 set de puncte Mcu coordonate
satisfacerea condiției

unde
- coordonatele punctelor M 0. Uneori acest set se numește „minge” în n-spatiul dimensional.

Definiție 1.4. Se numește numărul A limită funcții ale mai multor variabile f
la punct M 0 dacă

astfel încât | f(M) – A| < ε для любой точки M dintr-un cartier δ M 0 .

Legendă:
.

Trebuie avut în vedere faptul că ideea M se poate apropia M 0, condiționat vorbind, de-a lungul oricărei traiectorii în interiorul vecinătății δ a punctului M 0. Prin urmare, limita unei funcții a mai multor variabile în sens general ar trebui să fie distinsă de așa-numita limite repetateobținut prin trecerea succesivă la limită pentru fiecare argument separat.

Exemple.

cometariu... Se poate dovedi că existența și egalitatea limitelor repetate rezultă din existența unei limite într-un punct dat în sensul obișnuit și din existența în acest punct a limitelor conform unor argumente separate. Conversa nu este adevărată.

Definiție 1.5.Funcţie f
numit continuu la punct M 0
, în cazul în care un
(1.2)

Dacă introducem notația

Apoi condiția (1.2) poate fi rescrisă în formular

(1.3)

Definiție 1.6.Punctul interior M 0 domeniu funcțional z = f (M) numit punct de rupere funcționează dacă condițiile (1.2), (1.3) nu sunt îndeplinite în acest moment.

Cometariu. Mai multe puncte de rupere se pot forma pe un plan sau în spațiu liniilesau suprafete de rupere.

În geometria descriptivă, o suprafață este considerată ca un set de poziții succesive ale unei linii în mișcare sau ale unei alte suprafețe în spațiu. O linie care se mișcă în spațiu și formează o suprafață se numește generatoare. Generatoarele pot fi drepte și curbate. Generarea curbelor poate fi constantă și variabilă, de exemplu, schimbându-se în mod regulat.

Una și aceeași suprafață într-un număr de cazuri poate fi considerată ca fiind formată din mișcările diferiților generatori. De exemplu, se poate forma un cilindru circular: mai întâi, prin rotirea unei linii drepte în jurul unei axe fixe paralele cu generatoarea; în al doilea rând, prin mișcarea unui cerc, al cărui centru se deplasează de-a lungul unei linii drepte perpendiculare pe planul cercului; în al treilea rând, mișcarea rectilinie a sferei.

Când este reprezentată o suprafață în desen, sunt afișate doar câteva dintre numeroasele poziții posibile ale generatoarelor. În fig. 8.1 arată suprafața generatoarei AB. În timpul mișcării sale, generatorul rămâne paralel cu direcția MN și simultan traversează o linie curbată CDE. Astfel, mișcarea generatoarei AB ghidat în spațiu de o linie CDE.

O linie sau linii, a căror intersecție este o condiție prealabilă pentru mișcarea unei generatoare atunci când se formează o suprafață, se numește ghid sau ghiduri.

În fig. 8.2 arată suprafața formată prin mișcarea unei linii drepte AB pe două ghidaje - drept O1<⅞ (ABE Oeu O2) și curba spațială FGL, care nu intersectează linia O1 0 2.

Uneori, o linie este utilizată ca un ghid de-a lungul căruia se mișcă un punct caracteristic generatoarei, dar nu întins pe ea, de exemplu, centrul unui cerc.

Dintre diferitele forme de generatoare, ghidaje, precum și modelele de formare a unei suprafețe specifice, sunt selectate cele care sunt cele mai simple și convenabile pentru reprezentarea unei suprafețe pe un desen și rezolvarea problemelor asociate acesteia.

Uneori, pentru a defini o suprafață, se folosește termenul "determinant de suprafață", ceea ce înseamnă un set de condiții independente care definesc în mod unic o suprafață. Printre condițiile incluse în determinant, se face distincția între partea geometrică (puncte, linii, suprafețe) și legea (algoritmul) formării suprafeței de către partea geometrică a determinantului.

Luați în considerare o scurtă clasificare a suprafețelor curbate, adoptată în geometrie descriptivă.

Suprafețe dezvoltabile guvernate. O suprafață care poate fi formată printr-o linie dreaptă se numește suprafață condusă. Dacă o suprafață reglată poate fi desfășurată astfel încât prin toate punctele sale să fie aliniată cu planul fără a se deteriora suprafața (rupturi sau pliuri), atunci se numește desfăcută. Suprafețele dezvoltabile includ numai acele suprafețe reglate ale căror generatoare rectilinii adiacente sunt paralele sau se intersectează între ele sau sunt tangente la o curbă spațială. Toate celelalte suprafețe reglate și neregulate sunt suprafețe nedezvoltabile.

Suprafețe reamenabile - cilindrice, conice, cu coaste de întoarcere sau trunchi. Pentru o suprafață cilindrică, generatoarele sunt întotdeauna paralele, linia directoare este o linie curbată. Imaginea din desenul unei suprafețe cilindrice prezentată anterior în spațiu (vezi Fig. 8.1) este prezentată în Fig. 8.3. Cazuri speciale - un cilindru circular drept, un cilindru circular înclinat (vezi Fig. 9.17, un cerc de ghidare, al cărui plan este situat într-un unghi față de axa cilindrului și centrat pe axa acestuia). Pentru suprafețele conice, toate generatoarele rectilinii au un punct fix comun - un vârf, un ghid - orice linie curbată. Exemplu de imagine a unui conic

suprafețe din desen - fig. 8.4, proiecții de vârf G ", G", ghid C "D" E ", C" D "E". Cazuri speciale - con circular drept, con circular oblic - vezi fig. 10.10, în dreapta. Pentru suprafețele cu margine de întoarcere sau trunchi, generatoarele rectilinii sunt tangente la un singur ghidaj curbat.

Suprafețe nedezvoltabile guvernate: paraboloid cilindric, conoid, hiperbolic (plan oblic). O suprafață, numită cilindroidă, este formată prin deplasarea unei linii drepte, în toate pozițiile sale păstrând paralel cu un anumit plan dat („planul paralelismului”) și intersectând două linii curbe (două ghidaje). O suprafață, numită conoid, este formată prin deplasarea unei linii drepte, în toate pozițiile sale păstrând paralel cu un anumit plan („planul paralelismului”) și intersectând două ghidaje, dintre care unul este o curbă, iar celălalt este o dreaptă linie (Fig. 8.5, vezi și Fig. 8.2). Planul paralelismului din Fig. 8.5 este planul π1;

ghiduri - curbă cu proiecții E "G" F ", E" G "F", linie dreaptă cu proiecții Oh ", 0", Oh ",0. În cazul particular, dacă ghidajul curbat este o linie elicoidală cilindrică cu axa care coincide cu ghidajul rectiliniu, suprafața formată este un conoid elicoidal, considerat mai jos. Un desen al unui paraboloid hiperbolic, numit plan oblic, este prezentat în Fig. 8.6. Formarea acestei suprafețe poate fi considerată ca urmare a mișcării unei generatoare rectilinii de-a lungul a două ghidaje - traversând linii drepte paralele cu un anumit plan de paralelism. În fig. 8.6 plan de paralelism - plan de proiecție și ghidaje - linii drepte cu proiecții M "N", M "N" și F „G”, F „G”.

Suprafețe neliniare. Acestea sunt împărțite în suprafețe cu un generator constant și cu un generator variabil.

La rândul lor, suprafețele cu o generatoare constantă sunt împărțite în suprafețe de revoluție cu o generatoare curbiliniară, de exemplu, o sferă, toro, un elipsoid de revoluție etc. secțiune transversală, arcuri.

Suprafețele cu generatoare variabile sunt împărțite în suprafețe de ordinul doi, ciclice cu generatoare variabile, wireframe. Un desen al unei suprafețe de ordinul doi - un elipsoid este prezentat în Fig. 8.7. Generatorul elipsoidului este o elipsă deformantă. Două ghidaje - două elipse intersectate, ale căror planuri sunt ortogonale și o axă este comună. Generatorul intersectează ghidajele în punctele extreme ale axelor sale.

Planul elipsei generatoare în timpul mișcării rămâne paralel cu planul format de cele două axe intersectate ale elipsei de ghidare.

Suprafețele ciclice cu generatoare variabile au un generator - un cerc cu rază variabilă, un ghid - o curbă de-a lungul căreia se mișcă centrul generatorului, planul generatorului este perpendicular pe ghid. Suprafața wireframe-ului este specificată nu de o generatoare în mișcare, ci de un număr de linii de pe suprafață.

De obicei, aceste linii sunt curbe plane,

ale căror planuri sunt paralele între ele. Două grupuri de astfel de linii se intersectează și formează un cadru reglat al suprafeței. Punctele de intersecție ale liniilor formează cadrul sârmă al suprafeței. Structura sârmă a punctului de suprafață poate fi specificată și prin coordonatele punctelor de suprafață. Suprafețele cadrului sunt utilizate pe scară largă în proiectarea corpurilor pentru nave, aeronave, automobile și baloane de tuburi catodice.

Dintre aceste suprafețe, luați în considerare mai detaliat cea elicoidală.

- ( ρ 1, T 1, v → 1 (\\ displaystyle \\ rho _ (1), T_ (1), (\\ vec (v)) _ (1))), și în dreapta - altele ( ρ 2, T 2, v → 2 (\\ displaystyle \\ rho _ (2), T_ (2), (\\ vec (v)) _ (2))). În cazul mișcării instabile a mediului, suprafețele de discontinuitate nu rămân staționare, iar viteza lor poate să nu coincidă cu viteza mediului.

O discontinuitate fizic arbitrară nu poate exista pentru un timp finit - aceasta ar necesita încălcarea ecuațiilor dinamicii. Din acest motiv, dacă într-o anumită situație a apărut o stare descrisă de o discontinuitate arbitrară, aceasta începe imediat să se descompună la apariția sa - vezi problema Riemann despre decăderea unei discontinuități arbitrare. În acest caz, în funcție de mediul în care apare fenomenul și de modul în care valorile variabilelor de stare de pe laturile opuse ale discontinuității se raportează între ele, pot apărea diverse combinații de discontinuități normale și unde de rarefacție.

Condiții

Mai jos, parantezele pătrate indică diferența de valori pe diferite laturi ale suprafeței

Anumite relații trebuie îndeplinite pe suprafețele fracturii:

1. Pe suprafața fracturii trebuie să existe un flux continuu de materie. Debitul de gaz printr-un element al suprafeței fracturii pe unitate de suprafață trebuie să aibă aceeași mărime pe diferite laturi ale suprafeței fracturii, adică condiția trebuie îndeplinită [ρ u x] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0) Direcția axei x (\\ displaystyle x) este ales normal pe suprafața fracturii.
2. Trebuie să existe un flux continuu de energie, adică condiția trebuie îndeplinită [ρ ux (u 2 2 + ε)] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ left ((\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right) \\ right ] \u003d 0)
3. Debitul de impuls trebuie să fie continuu, forțele cu care gazele acționează una pe cealaltă pe ambele părți ale suprafeței de rupere trebuie să fie egale. Deoarece vectorul normal este direcționat de-a lungul axei x, continuitatea x (\\ displaystyle x)-componenta fluxului pulsului duce la starea [p + ρ u x 2] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x u y] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ right] \u003d 0) și [ρ u x u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (z) \\ right] \u003d 0)

Ecuațiile de mai sus reprezintă un sistem complet de condiții limită la suprafața discontinuității. Din acestea, se poate concluziona că există două tipuri de suprafețe de rupere.

Pauze tangențiale

Nu există flux de substanță prin suprafața discontinuității

(ρ 1 u 1 x \u003d ρ 2 u 2 x \u003d 0 ρ 1, ρ 2 ≠ 0 ⇒ u 1 x \u003d u 2 x \u003d 0 ⇒ p 1 \u003d p 2 (\\ displaystyle (\\ begin (cases) \\ rho _ ( 1) u_ (1x) \u003d \\ rho _ (2) u_ (2x) \u003d 0 \\\\\\ rho _ (1), \\ rho _ (2) \\ neq 0 \\ end (cases)) \\ Rightarrow \\ qquad u_ (1x ) \u003d u_ (2x) \u003d 0 \\ qquad \\ Rightarrow p_ (1) \u003d p_ (2))

Astfel, în acest caz, componenta vitezei normale și presiunea gazului sunt continue pe suprafața fracturii. Viteze tangențiale u z (\\ displaystyle u_ (z)), u y (\\ displaystyle u_ (y)) iar densitatea poate experimenta un salt arbitrar. Astfel de pauze sunt numite tangenţial.

Pauze de contact - un caz special de discontinuități tangențiale. Viteza este continuă. Densitatea suferă un salt și, odată cu aceasta, alte cantități termodinamice, cu excepția presiunii.

Valuri de șoc

În al doilea caz, fluxul de materie și, odată cu aceasta, cantitățile, sunt diferite de zero. Apoi din condiții:

[ρ u x] \u003d 0; [ρ u x u y] \u003d 0; [ρ uxuz] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [\\ rho u_ (x) u_ (y) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [ \\ rho u_ (x) u_ (z) \\ right] \u003d 0) [u y] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0 \\ quad) și [u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ quad \\ left \u003d 0)

viteza tangențială este continuă la suprafața fracturii. Densitatea, presiunea și, împreună cu ele, alte mărimi termodinamice experimentează un salt, iar salturile acestor mărimi sunt legate de relații - condițiile discontinuității.

[ρ u x (u 2 2 + ε)]; (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ left ((\\ frac (u ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right) \\ right];) [u y] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ left \u003d 0;) [u z] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left \u003d 0) [ρ u x] \u003d 0; [u x 2 2 + ε] \u003d 0; [p + ρ ux 2] \u003d 0 (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u_ (x) \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left [(\\ frac (u_ (x) ^ (2)) (2)) + \\ varepsilon \\ right] \u003d 0; \\ qquad \\ left \u003d 0)

Pauzele de acest tip se numesc unde de șoc.

Viteza de propagare a pauzei

Pentru a obține relații pe discontinuități în mișcare, se pot folosi ecuațiile

(∮ ∂ Ω \u2061 (ρ dx - ρ udt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (ρ udx - (p + ρ u 2) dt) \u003d 0 ∮ ∂ Ω \u2061 (E dx - (p + E) dt) \u003d 0 (\\ displaystyle (\\ begin (cases) (\\ begin (array) (lll) \\ oint \\ limits _ (\\ partial \\ Omega) (\\ rho \\; d \\, x- \\ rho u \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ oint \\ limits _ (\\ partial \\ Omega) (\\ rho u \\; d \\, x- (p + \\ rho u ^ (2)) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\ \\\\ oint \\ limits _ (\\ partial \\ Omega) (E \\; d \\, x- (p + E) \\; d \\, t) & \u003d & 0 \\\\\\ end (array)) \\ end (cases) ))), ∮ ∂ Ω \u2061 (q d x - f d t) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ oint \\ limits _ (\\ partial \\ Omega) (qdx-fdt) \u003d 0)

Discontinuitatea gaz-dinamică în cazul nestatiar unidimensional este geometric o curbă în plan. Să construim un volum de control în apropierea rupturii, astfel încât două laturi ale conturului care cuprinde acest volum să fie paralele cu ruptura de pe ambele părți ale rupturii, iar celelalte două laturi să fie perpendiculare pe ruptură. Scriind sistemul pentru un volum de control dat, apoi contractând laturile la zero și neglijând valoarea integralei pe aceste laturi, obținem, luând în considerare direcția de parcurgere a conturului și semnele creșterilor de coordonate și de-a lungul laturile adiacente discontinuității:

∫ 1 - 2 (qdx - fdt) - ∫ 3 - 4 (qdx - fdt) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ int \\ limits _ (1-2) (qdx-fdt) - \\ int \\ limits _ (3-4) (qdx-fdt) \u003d 0) ∫ 1 - 2 (qdxdt - f) - ∫ 3 - 4 (qdxdt - f) \u003d 0 (\\ displaystyle \\ int \\ limits _ (1-2) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) - \\ int \\ limits _ (3-4) (q (\\ frac (dx) (dt)) - f) \u003d 0)

Cantitatea D \u003d d x d t (\\ displaystyle D \u003d (\\ frac (dx) (dt))) - rata de propagare a rupturii

Rapoarte de rupere

Trecând la aproximările integralelor prin metoda dreptunghiurilor și folosind notația pentru salturile de mărimi la discontinuitate, obținem sistemul de relații:

[ρ] D - [ρ u] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ left [\\ rho \\ right] D- \\ left [\\ rho u \\ right] \u003d 0;) [ρ u] D - [p + ρ u 2] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ left [\\ rho u \\ right] D- \\ left \u003d 0;) [E] D - [u (E + p)] \u003d 0; (\\ displaystyle \\ leftD- \\ left \u003d 0;)

Exemple de

Limita dintre două corpuri care se ciocnesc în momentul coliziunii, ulterior, din cauza instabilității, o discontinuitate arbitrară se împarte în două discontinuități normale care se deplasează în direcții opuse.