Caracteristicile elementelor reale neliniare, care sunt de obicei determinate folosind studii experimentale, au o formă complexă și sunt prezentate sub formă de tabele sau grafice. În același timp, pentru analiza și calculul circuitelor, este necesară o prezentare analitică a caracteristicilor, adică reprezentare sub forma unor funcții destul de simple. Se numește procesul de elaborare a unei expresii analitice pentru caracteristicile prezentate grafic sau sub formă de tabel apropiere.
Aproximarea rezolvă următoarele probleme:
1. Determinarea zonei de aproximare, care depinde de gama de semnale de intrare.
2. Determinarea preciziei de aproximare. Este clar că aproximarea oferă o reprezentare aproximativă a caracteristicii sub forma unui fel de expresie analitică. Prin urmare, este necesar să se estimeze cantitativ gradul de aproximare a funcției de aproximare la caracteristica determinată experimental. Cel mai des folosit:
exponent de aproximare uniform - funcția de aproximare nu trebuie să difere de funcția dată cu mai mult de un anumit număr, adică
exponent al aproximării pătrate medii - funcția de aproximare nu ar trebui să difere de funcția dată în aproximarea pătrată medie cu mai mult decât un anumit număr, adică
aproximare nodală (interpolare) - funcția de aproximare trebuie să coincidă cu funcția dată în unele puncte selectate.
Există diferite moduri de a aproxima. Cel mai adesea, pentru a aproxima caracteristica I - V, se utilizează o aproximare polinomială a puterii și o aproximare liniară în bucăți, mai rar - o aproximare utilizând funcții exponențiale, trigonometrice sau speciale (Bessel, Hermite etc.).
7.2.1. Aproximare polinomială a puterii
Caracteristica neliniară curent-tensiune din vecinătatea punctului de operare este reprezentată de un număr finit de termeni din seria Taylor:
Numărul de membri ai seriei este determinat de precizia de aproximare necesară. Cu cât sunt mai mulți membri ai seriei, cu atât aproximarea este mai precisă. În practică, precizia necesară se realizează utilizând aproximarea prin polinoame de gradul II și III. Coeficienții sunt numere care sunt destul de simplu determinate din graficul caracteristic I - V, care este ilustrat printr-un exemplu.
Exemplu.
Aproximează-l pe cel prezentat în Fig. 7.1, iar caracteristica I - V din vecinătatea punctului de operare este un polinom de putere de gradul doi, adică polinom al formei
Să alegem o zonă de aproximare de la 0,2 V la 0,6 V. Pentru a rezolva problema, este necesar să se determine trei coeficienți. Prin urmare, ne vom limita la trei puncte nodale (în mijloc și la limitele intervalului selectat), pentru care alcătuim un sistem de trei ecuații:
Smochin. 7.1. Aproximarea caracteristicii I - V a unui tranzistor
Rezolvând sistemul de ecuații, determinăm ,,. În consecință, expresia analitică care descrie curba caracteristică I - V are forma
Rețineți că aproximarea printr-un polinom de putere este utilizată în principal pentru a descrie fragmente individuale de caracteristici. La abateri semnificative ale semnalului de intrare de la punctul de operare, precizia aproximării se poate deteriora semnificativ.
Dacă caracteristica I - V nu este dată grafic, ci de o anumită funcție analitică și a devenit necesar să o reprezentăm printr-un polinom de putere, atunci coeficienții sunt calculați în conformitate cu formula binecunoscută
Este ușor de văzut care este panta caracteristicii I - V la punctul de operare. Valoarea pantei este în mod semnificativ dependentă de poziția punctului de operare.
În unele cazuri, este mai convenabil să se reprezinte caracteristica prin seria Maclaurin
7.2.2. Aproximare liniară în bucăți
Dacă semnalul de intrare variază ca mărime în limite largi, atunci caracteristica I - V poate fi aproximată printr-o linie întreruptă formată din mai multe segmente de linie dreaptă. În fig. 7.1, b prezintă caracteristica I - V a tranzistorului, aproximată de trei segmente de linie dreaptă.
Formula matematică a caracteristicii I - V aproximative
Acest tip de aproximare este asociat cu doi parametri importanți ai unui element neliniar: tensiunea de la începutul caracteristicii și panta acesteia. Pentru a crește precizia aproximării, numărul segmentelor de linie este mărit. Cu toate acestea, acest lucru complică formula matematică pentru caracteristica I - V.
Academia Rusiei
Departamentul de Fizică
Rezumat pe această temă:
"APROXIMAREA CARACTERISTICILOR ELEMENTELOR NELINEARE ȘI ANALIZA CIRCUITELOR SUB IMPACT ARMONIC"
Întrebări de studiu
2. Metode de analiză grafo-analitice și analitice
3. Analiza circuitelor folosind metoda unghiului de tăiere
4. Impactul a două vibrații armonice asupra inerțialității
element neliniar
Literatură
Introducere
Pentru toate circuitele liniare considerate anterior, este valabil principiul suprapunerii, din care urmează o consecință simplă și importantă: un semnal armonic, care trece printr-un sistem staționar liniar, rămâne neschimbat în formă, dobândind doar altă amplitudine și fază inițială. De aceea un circuit staționar liniar nu este capabil să îmbogățească compoziția spectrală a oscilației de intrare.
O caracteristică a NE-urilor, în comparație cu cele liniare, este dependența parametrilor NE de magnitudinea tensiunii aplicate sau de puterea curentului curent. Prin urmare, în practică, atunci când se analizează circuite neliniare complexe, se utilizează diferite metode aproximative (de exemplu, acestea înlocuiesc un circuit neliniar cu unul liniar în regiunea modificărilor mici în semnalul de intrare și utilizează metode liniare de analiză) sau sunt limitate la concluzii calitative.
O proprietate importantă a circuitelor electrice neliniare este capacitatea de a îmbogăți spectrul semnalului de ieșire. Această caracteristică importantă este utilizată în construcția de modulatori, convertoare de frecvență, detectoare etc.
Soluționarea multor probleme asociate cu analiza și sinteza dispozitivelor și circuitelor de inginerie radio necesită cunoașterea proceselor care au loc cu acțiunea simultană a două semnale armonice asupra unui element neliniar. Acest lucru se datorează necesității de a multiplica două semnale atunci când implementați dispozitive precum convertizoare de frecvență, modulatori, demodulatori etc. În mod firesc, compoziția spectrală a curentului de ieșire NE sub acțiunea biharmonică va fi mult mai bogată decât în \u200b\u200bacțiunea monoharmonică.
O situație apare adesea când unul dintre cele două semnale care afectează NE are o amplitudine mică. Analiza în acest caz este mult simplificată. Se poate presupune că, în ceea ce privește un semnal mic, NE este liniar, dar cu un parametru variabil (în acest caz, panta caracteristicii I - V). Acest mod de funcționare al NE se numește parametric.
1. Aproximarea caracteristicilor elementelor neliniare
Atunci când analizează circuite neliniare (NC), de obicei nu iau în considerare procesele care apar în interiorul elementelor care alcătuiesc acest circuit, ci sunt limitate doar de caracteristicile lor externe. De obicei, aceasta este dependența curentului de ieșire de tensiunea de intrare aplicată.
care se numește în mod obișnuit caracteristica curent-tensiune (VAC).
Cel mai simplu lucru este să folosiți forma tabelară existentă a caracteristicii I - V pentru calcule numerice. Dacă analiza circuitului ar trebui efectuată prin metode analitice, atunci apare problema selectării unei astfel de expresii matematice care să reflecte toate caracteristicile cele mai importante ale caracteristicilor luate experimental.
Aceasta nu este altceva decât o problemă de aproximare. În acest caz, alegerea expresiei aproximative este determinată atât de natura neliniarității, cât și de metodele de calcul utilizate.
Caracteristicile reale sunt destul de complexe. Acest lucru face dificilă descrierea lor corectă matematic. În plus, forma tabulară a caracteristicii I - V face caracteristicile discrete. În intervalele dintre aceste puncte, caracteristicile I - V sunt necunoscute. Înainte de a trece la aproximare, este necesar să se determine cumva valorile necunoscute ale caracteristicii I - V, pentru ao face continuă. Aici apare problema de interpolare (din latină intermediară, poliomielită - netedă) - aceasta constă în găsirea valorilor intermediare ale unei funcții prin unele dintre valorile sale cunoscute. De exemplu, găsirea valorilor în puncte situate între puncte folosind valori cunoscute. În cazul în care un 
, atunci o procedură similară este pentru problemele de extrapolare.
De obicei, doar acea parte a caracteristicii care este zona de lucru este aproximată, adică în intervalul de variație a amplitudinii semnalului de intrare.
Când se aproximează caracteristicile curent-tensiune, este necesar să se rezolve două probleme: să se aleagă o anumită funcție de aproximare și să se determine coeficienții corespunzători. Funcția ar trebui să fie simplă și, în același timp, să transmită suficient de precis caracteristica aproximativă. Determinarea coeficienților funcțiilor de aproximare se realizează prin metodele de interpolare, rădăcină-medie-pătrat sau aproximare uniformă, care sunt luate în considerare în matematică.
Matematic, enunțul problemei de interpolare poate fi formulat după cum urmează.
Găsiți un polinom de grad cel mult n astfel încât 
i \u003d 0, 1, ..., n, dacă se cunosc valorile funcției originale în puncte fixe, i \u003d 0, 1, ..., n. S-a dovedit că există întotdeauna un singur polinom de interpolare, care poate fi reprezentat sub diferite forme, de exemplu, sub forma lui Lagrange sau Newton. (Luați-vă în considerare studiul de sine în conformitate cu literatura recomandată).
Aproximare polinomială a puterii și liniară în bucăți
Se bazează pe utilizarea seriilor Taylor și Maclaurin, bine cunoscute din cursul matematicii superioare, și constă în extinderea CVC neliniar într-o serie infinit-dimensională care converge într-o anumită vecinătate a punctului de operare. Deoarece o astfel de serie nu este realizabilă din punct de vedere fizic, este necesar să se limiteze numărul de membri ai seriei pe baza preciziei solicitate. Aproximarea legii puterii se aplică cu o modificare relativ mică a amplitudinii impactului față de.
Să luăm în considerare forma tipică a caracteristicii I - V a oricărui NE (Fig. 1).
Tensiunea determină poziția punctului de funcționare și, în consecință, modul static de funcționare al NE.
Smochin. 1. Un exemplu de caracteristică tipică I - V a unui NE
De obicei, nu se aproxima întreaga caracteristică a NE, ci doar zona de lucru, a cărei dimensiune este determinată de amplitudinea semnalului de intrare, iar poziția pe caracteristică este determinată de magnitudinea deplasării constante. Polinomul aproximativ este scris ca
unde coeficienții 
definit prin expresii
Aproximarea de către un polinom de putere constă în găsirea coeficienților seriei ... Pentru o formă dată a caracteristicii I - V, acești coeficienți depind în mod semnificativ de alegerea punctului de operare, precum și de lățimea secțiunii utilizate a caracteristicii. În acest sens, este recomandabil să se ia în considerare unele dintre cele mai tipice și importante cazuri pentru practică.
Pentru graficul din Fig. 3, presupunând că arborele este format din ramurile 2, 1 și 5 Răspuns: B \u003d Rezolvați problema 5 folosind relațiile (8) și (9). Teorie / TOE / Lectura N 3. Reprezentarea mărimilor sinusoidale folosind vectori și numere complexe. Multă vreme, curentul alternativ nu a găsit practic ...
Al doilea ordin, care funcționează în condiții de perturbări aleatorii, și pentru a obține expresii analitice pentru aceste sisteme, care este avantajul său. În practică, se utilizează o combinație de metode diferite. Analiza modului de funcționare neliniar al sistemului CHAP Pentru a determina unele caracteristici ale sistemului, vom efectua o analiză calitativă a sistemului CHAP (Fig. 1) Fig.1. Diagrama bloc a neliniarului ...
Adică, puteți crea documente noi în care se va efectua calculul pentru alți parametri ai modelului. 5.4 Rezultatele funcționării programului ANEXA 4 prezintă grafice pentru diferiți parametri ai modelului reflector-modulator. Aceste grafice arată că pentru cazul calculat în capitolul 4, consumul de rezultate este de aproximativ 20-30%, ceea ce, în general vorbind, este un rezultat bun, de la încheierea ...
Genomurile plantelor induse de vorbirea umană transformată în FPU care interacționează rezonant cu ADN-ul cromozomial in vivo. Acest rezultat, interpretat de noi din punctul de vedere al componentei undelor semiotice a codului genetic, are o semnificație metodologică semnificativă atât pentru analiza unor astfel de obiecte super-semnale precum textele ADN, cât și pentru genomul în ansamblu. Se deschid fundamental ...
2.7.1 CIRCUITE NELINEARE ȘI APROXIMAREA ELEMENTELOR NELINEARE
Toate lanțuri luate în considerare până acum, a aparținut clasei sistemelor liniare. Elemente ale unor astfel de circuiteR, L și C sunt permanente și independente de expunere.Circuitele liniare sunt descrise prin ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Dacă elementele circuitului electricR, L și C depind de expunereatunci circuitul este descris printr-un neliniarecuația diferențială șieste neliniar.De exemplu, pentru vibraționalRLC -circuit, a cărui rezistență depinde de tensiuneu c, primim:
. (1)
Astfel de circuit oscilatoreste neliniar.Un element de circuit electric, ai cărui parametridepind de impact, numit neliniar... Distingeți între elemente neliniare rezistive și reactive.
Pentru neliniar rezistiv elementul este caracteristiccuplare neliniară între curentul i și tensiunea u, adică, caracteristică neliniarăi \u003d F (u). Cele mai frecvente elemente neliniare rezistive sunt dispozitivele tubulare și semiconductoare utilizate pentru a amplifica și converti semnalele. Pefigura 12.1 prezintă I - V caracteristică unui element neliniar tipic (diodă semiconductoare).
Pentru elemente neliniare rezistiveun parametru important este rezistența lor, care spre deosebire de liniar rezistențe nu este constant, dar depinde de la ce punct al caracteristicii I - V este determinat.
Figura 12.1 - I - V caracteristică unui element neliniar
De CVC element neliniarrezistența poate fi determinatăla fel de
(2)
unde U 0 - aplicat unui element neliniarpresiune constantă;
I 0 \u003d F (U 0) - curge de-a lungul lanțuluicurent continuu. Aceasta este rezistența DC (sau statică)... Depinde de tensiunea aplicată.
Lasa elementul neliniar este afectat de tensiunea u \u003d U 0 + U m cos w t, iar amplitudinea U m , componenta variabilă este suficientăeste mic (Figura 12.2), astfel încât o mică secțiune a caracteristicii I - V în cadrul căreia acționează tensiunea alternativă poate fi considerată liniară... Apoi curentul. care curge printr-un element neliniar,va repeta tensiunea în formă: i \u003d I 0 + I m cos w t.
Determinați rezistențaR dif as raportul amplitudinii tensiunii acU m la amplitudinea curentului alternativSunt (pe grafic, acesta este raportul creșterii tensiuniiD u la creșterea curentăD i):
(3)
Figura 12.2 - Influența unui semnal armonic mic asupra unui element neliniar
aceasta rezistența se numește diferențial (dinamic) și reprezintărezistența unui element neliniar la un curent alternativ de mică amplitudine.De obicei du-te la limită aceste creșteri și determinărezistența diferențială în formăR diff \u003d du / di.
Dispozitivele cu secțiuni de cădere pe caracteristica I - V se numesc dispozitive cu rezistență negativă, deoarece în aceste secțiuni derivateleai< 0 и du/di < 0.
Elementele reactive neliniare includ capacitate neliniară și inductanță neliniară. Un exemplu de capacitate neliniară poate fi orice dispozitiv cu o caracteristică neliniară volt-coulombq \u003d F (u) (de exemplu, varicond și varicap). O inductanță neliniară este o bobină cu un miez feromagnetic, care este curbat de un curent puternic care aduce miezul la saturație magnetică.
Una dintre cele mai importante caracteristici ale circuitelor neliniare este astanu sunt executateprincipiul suprapunerii. prin urmare este imposibil să se prezică rezultatul acțiunii sumei de semnale dacă sunt cunoscute reacțiile lanțului la fiecare termen al acțiunii.Din cele spuse rezultăinadecvare pentru analiza circuitelor neliniare ale metodelor temporale și spectrale, care au fost folosite în teoria circuitelor liniare.
Într-adevăr, lasă caracteristici volt-ampere (CVC) al unui element neliniar este descris prin expresiei \u003d a u 2. Dacă pe asemenea elementul acționează semnal complexu \u003d u 1 + u 2, atunci răspunsul i \u003d a (u 1 + u 2) 2 \u003d a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 diferă de suma răspunsurilor la acțiunea fiecărei componente separat(a u 1 2 + a u 2 2) prezența componentei2 a u 1 u 2, care apare doar în cazul acțiunii simultane a ambelor componente.
Luați în considerare al doileatrăsătură distinctivă a circuitelor neliniare... Fie u \u003d u 1 + u 2 \u003d U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t,
unde U m1 și U m2 - amplitudini de tensiuneu 1 și u 2.
Atunci curent neliniar cu caracteristica I - V i \u003d a u 2 va avea forma:
(4)
Figura 12.3 prezintă spectrele tensiune și curent. Toatecomponentele spectrale ale curentului s-au dovedit a fi noi, nu cuprins în tensiune. Prin urmare,noi componente spectrale apar în circuite neliniare... În acest sens, circuitele neliniare au capacități mult mai mari decât cele liniare și sunt utilizate pe scară largă pentru transformarea semnalelor asociate cu schimbarea spectrelor lor.
Când studiați aceeași teorie a circuitelor neliniareputeți ignora dispozitivul elementului neliniar și se bazează doar pe caracteristicile sale externe, la fel ca atunci când se studiază teoria circuitelor liniare, dispozitivul rezistențelor condensatoarelor și bobinelor nu este luat în considerare și se utilizează numai parametrii lorR, L și C.
Figura 12.3 - Spectre de tensiune și curent ale unui element neliniar cu drept pătrat
Ilustrarea efectului specificat asupra unei diode semiconductoare reale
2.7.2 Aproximarea caracteristicilor elementelor neliniare
De obicei, Caracteristicile I - V ale elementelor neliniarei \u003d F (u) obține experimental, de aceea cel mai desacestea sunt date sub formă de tabele sau grafice... La se ocupă de expresii analitice, este necesar recurge la aproximare.
Denotăm dat tabelar sau grafic I - V caracteristică unui element neliniari \u003d F V (u) și funcția analitică, și aproximativo caracteristică dată, i \u003d F (u, a 0, a 1, a 2, ..., a N). unde a 0, a 1, ..., a N sunt coeficienții acestei funcții, a găsi ca urmare a aproximării.
A) În metoda Chebyshev coeficienții a 0, a 1, ..., a N ai funcției F (u) se găsesc din condiția:
, (5)
adică ei sunt determinate în procesul de minimizare a abaterii maxime a funcției analitice față de cea dată.Aici u k, k \u003d 1, 2, ..., G - valorile de tensiune selectatetu.
În aproximarea RMS coeficienții a 0, a 1, ..., a N trebuie să fie astfel, pentru a minimiza valoarea
(6)
B) Aproximarea Taylor a funcțieibazat pe reprezentare funcții i \u003d F (u) lângă punctul de cartier al lui Tayloru \u003d U 0:
(7)
și determinarea coeficienților această descompunere. În cazul în care un ne limităm la primii doi termeni ai expansiunii într-o serie Taylor, atunci vom vorbi despre înlocuirea unei dependențe neliniare complexeF (u) mai simplu relație liniară... Astfel de înlocuirea se numește liniarizare a caracteristicilor.
Primul termen de expansiuneF (U 0) \u003d I 0 reprezintăcurent constant la punctul de operarepentru u \u003d U 0 și al doilea termen
- (8)
panta diferențială a caracteristicii curent-tensiune la punctul de funcționare, adică pentru u \u003d U 0.
B) Cele mai multe mod comun de aproximare o funcție datăeste interpolare (metoda punctelor selectate),la care coeficienții a 0, a 1, ..., a N funcție aproximativăF (u) se găsesc din egalitatea acestei funcții și a datuluiF x (u) în punctele selectate (noduri de interpolare)u k \u003d 1, 2, ..., N + 1.
E) Puterea (polinomul ) aproximare. Acest nume a fost dataproximarea caracteristicilor I - V de polinoame de putere:
(9)
Uneori poate fi convenabil să se rezolve problema de aproximare caracteristici dateîn vecinătatea punctuluiU 0, numit working. Atunci folosiți polinomul de putere
(10)
Apropiere putere-lege lat utilizat în analiză operă neliniarădispozitive la care relativmici influențe externe, asa de este necesară o reproducere suficient de exactă a neliniarității caracteristicii în vecinătatea punctului de operare.
E) Aproximare liniară în bucăți. În cazurile în careelementul neliniar este afectat de solicitări cu amplitudini mari,mai multînlocuirea aproximativă a caracteristicii unui element neliniar și folosiți mai mult funcții aproximative simple... Cel mai adesea atunci când se analizează funcționarea unui element neliniarîn acest mod, realul caracteristica este înlocuităsegmente de linii drepte cu pante diferite.
Din punct de vedere matematic, acest lucru înseamnă că polinoamele de putere de gradul I (N \u003d 1 ) cu valori diferite ale coeficiențilorun 0, un 1, ..., un N.
Prin urmare, problema aproximării caracteristicii I - V a elementelor neliniare constă în alegerea formei funcției aproximative și determinarea coeficienților acesteia printr-una din metodele de mai sus.
Efectul unui semnal armonic pe un circuit cu un element neliniar
Multe dintre cele mai importante procese (amplificare neliniară, modulare, detectare, generare, multiplicare, diviziune și conversie de frecvență) sunt efectuate în dispozitive electronice folosind circuite neliniare și parametrice.
În cazul general, analiza procesului de conversie a semnalului în circuite neliniare este o sarcină foarte dificilă, care este asociată cu problema rezolvării ecuațiilor diferențiale neliniare. În acest caz, principiul suprapunerii este inaplicabil, deoarece parametrii unui circuit neliniar atunci când sunt expuși la o sursă a unui semnal de intrare diferă de parametrii săi atunci când sunt conectate mai multe surse. Cu toate acestea, studiul circuitelor neliniare poate fi realizat folosind metode relativ simple dacă elementul neliniar îndeplinește condițiile de inerțialitate. Fizic, inerțialitatea unui element neliniar (NE) înseamnă stabilirea instantanee a unui răspuns la ieșirea acestuia după o schimbare a acțiunii de intrare. Strict vorbind, elementele neliniare inerțiale practic nu există. Toate elementele neliniare - diode, tranzistoare, microcircuite analogice și digitale au proprietăți inerțiale. În același timp, dispozitivele semiconductoare moderne sunt perfecte în parametrii de frecvență și pot fi idealizate din punct de vedere al inerțialității lor.
Majoritatea circuitelor și dispozitivelor radio neliniare sunt definite de diagrama bloc prezentată în Figura 2.1. Conform acestui circuit, semnalul de intrare afectează direct elementul neliniar, la ieșirea căruia este conectat filtrul (circuit liniar).
Desen. 2.1. Schema bloc a unui dispozitiv neliniar.
În aceste cazuri, procesul într-un circuit electronic neliniar poate fi caracterizat prin două operații independente una de alta. Ca urmare a primei operații în elementul neliniar inerțial, forma semnalului de intrare este convertită în așa fel încât noi componente armonice să apară în spectrul său. A doua operație este realizată de un filtru, care evidențiază componentele spectrale necesare ale semnalului de intrare convertit. Prin modificarea parametrilor semnalelor de intrare și folosind diferite elemente și filtre neliniare, puteți efectua transformarea necesară a spectrului. Multe scheme de modulatori, detectoare, oscilatoare, redresoare, multiplicatoare, divizoare și convertoare de frecvență sunt reduse la un model teoretic atât de convenabil.
De regulă, circuitele neliniare se caracterizează printr-o relație complexă între semnalul de intrare și răspunsul de ieșire, care, în general, poate fi scris astfel:
U out (t) \u003d f
În circuitele neliniare cu NE inerțiale, este cel mai convenabil să considerăm tensiunea de intrare U în (t) ca impact și curentul de ieșire i out (t) ca răspuns, conexiunea dintre care este determinată de dependența funcțională neliniară:
i out (t) \u003d f
Acest raport poate reprezenta analitic caracteristica curent-tensiune obișnuită a NE. Această caracteristică este deținută și de un dispozitiv neliniar cu doi poli (tranzistor, op-amp, microcircuit digital) care funcționează într-un mod neliniar la diferite amplitudini ale semnalului de intrare. Caracteristicile curent-tensiune (pentru elementele neliniare sunt obținute experimental, majoritatea elementelor neliniare au o formă complexă, prin urmare reprezentarea lor prin expresii analitice este o sarcină destul de dificilă. În dispozitivele electronice, metodele analitice sunt utilizate pe scară largă pentru a reprezenta caracteristicile neliniare ale diferitelor dispozitive cu funcții relativ simple (sau un set de ele), aproximativ Găsirea funcției analitice prin caracteristica experimentală a unui element neliniar se numește aproximare. Există mai multe moduri de a aproxima caracteristicile - putere, exponențială, bucată-liniară (aproximare liniară-spartă) ).
Aproximarea printr-un polinom de putere.Acest tip de aproximare este eficient în special la amplitudini mici (de regulă, fracțiuni de volt) ale semnalelor de intrare în cazurile în care caracteristica NE are forma unei curbe netede, adică curba și derivatele sale sunt continue și nu au salturi. Seria Taylor este cea mai des utilizată în aproximare ca polinom de putere
i (u) \u003d a o + a 1 (u-U o) + a 2 (u-U o) 2 + ... + a n (u-U o) n, (2.1)
unde a o, a 1, ... a n - coeficienți constanți; U o - valoarea tensiunii u, în raport cu care expansiunea se efectuează într-o serie și se numește punctul de operare.Rețineți că aici și mai jos argumentul t pentru funcțiile de curent și tensiune este omis pentru simplitate. Coeficienții constanți ai seriei Taylor sunt determinați de formula binecunoscută
Numărul optim de membri ai seriei este luat în funcție de precizia de aproximare a țevii. Cu cât sunt selectați mai mulți membri ai seriei, cu atât aproximarea este mai precisă. De obicei este posibilă aproximarea caracteristicilor cu o precizie suficientă printr-un polinom care nu este mai mare decât gradul al doilea - al treilea. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai seriei, este necesar să setați intervalul U 1, U 2 al mai multor valori posibile de tensiune u și poziția punctului de funcționare U o în acest interval. Dacă este necesar să se determine n coeficienți ai unei serii, atunci se selectează n + 1 puncte cu coordonatele lor (i n, u n) pe o caracteristică dată. Pentru a simplifica calculele, un punct este combinat cu punctul de operare U o, care are coordonate (I o, U o); se selectează încă două puncte la limitele intervalului u \u003d U 1 și u \u003d U 2. Restul punctelor sunt localizate în mod arbitrar, dar ținând cont de importanța secțiunii aproximative a caracteristicii I - V. Înlocuind coordonatele punctelor selectate în formula (2.1), ele formează un sistem al ecuațiilor lor n + 1, care se rezolvă pentru coeficienții necunoscuți a n din seria Taylor.
Figura 2.2. Aproximarea caracteristicilor tranzistorului de către un polinom de putere.
Exemplul 2.1. În fig. 2.2 linia punctată arată caracteristica de intrare I b \u003d f (U be) a tranzistorului KT601A. Aproximați caracteristica dată a tranzistorului în intervalul 0,4 ... 0,8 V cu polinomul Taylor de gradul II ib \u003d ao + a 1 (u bе -U o) + a 2 (u bе -U o) 2 relativ până la punctul de operare U o \u003d 0, 6 B.
Decizie... Pentru a simplifica calculele, ca puncte de aproximare, selectăm valorile tensiunilor la limitele intervalului și la punctul de operare, adică 0,4; 0.6 și
0,8 V. Deoarece punctele selectate corespund curenților de 0,1; 0,5 și 1,5 mA, apoi pentru un polinom dat obținem următorul sistem de ecuații:
0.1 \u003d a o + a 1 (0.4-0.6) + a 2 (0.4-0.6) 2 \u003d a o -0.2a 1 +0.04 a 2
0,5 \u003d a o + a 1 (0,6-0,6) + a 2 (0,6-0,6) 2 \u003d a o
1.5 \u003d a o + a 1 (0.8-0.6) + a 2 (0.8-0.6) 2 \u003d a o + 0.2a 1 +0.04 a 2
Soluția acestui sistem de ecuații dă valorile coeficienților a o \u003d 0,5 mA, a 1 \u003d 3,5 mA / V, a 2 \u003d 7,5 mA / V 2. Înlocuindu-le în formula (2.1), găsim funcția de aproximare (graficul său este prezentat în figura cu o linie continuă): i b \u003d 0,5 + 3,5 (u b -0,6) +7,5 (u b -0,6) 2.
Aproximativ liniar în bucăți. În cele mai multe cazuri practice, când un semnal de intrare de amplitudine semnificativă acționează asupra unui element neliniar al circuitului electronic, caracteristica curent-tensiune reală a elementului neliniar poate fi aproximată printr-o linie liniară în bucăți formată din mai multe segmente de linie dreaptă cu unghiuri înclinarea spre axa absciselor. Această aproximare este direct legată de doi parametri importanți ai elementului neliniar - tensiunea de la începutul caracteristicii E n și panta sa S. În cazul general, panta diferențială a caracteristicii la punctul de funcționare este determinată de raportul de creșterea curentului la creșterea tensiunii și pentru valorile lor mici le avem
Ecuația unui segment de linie dreaptă cu o aproximare liniară în bucăți a caracteristicii este scrisă în forma:
i \u003d (0, u i \u003d (S (u-E n), u\u003e E n (2.4) În multe dispozitive de inginerie radio, caracteristica unui element neliniar, căruia i se aplică un semnal de amplitudine mare, poate fi aproximată cu o precizie acceptabilă numai prin două segmente de linii drepte. Exemplul 2.2. Caracteristica de intrare luată experimental Ib \u003d f (Ube) a tranzistorului KT601A este prezentată în Fig. 2.3. linie întreruptă. Efectuați o aproximare liniară în bucăți a acestei caracteristici în apropierea punctului de operare U o \u003d 0,6 V. Decizie... În conformitate cu caracteristica curent-tensiune dată a tranzistorului, constatăm că valoarea curentului la punctul de funcționare I aproximativ \u003d 0,5 mA. Panta caracteristicii la punctul de operare este calculată aproximativ prin formula (2.3). Setând creșterea liniară a tensiunii ∆u fi \u003d 0,8 - 0,6 \u003d 0,2 V, găsim creșterea curentă ∆i b \u003d 1,5-0,5 \u003d 1 mA. Atunci S \u003d ∆i b / ∆u b \u003d 1 / 0,2 \u003d 5 mA / V. Figura 2.3. Apropiere liniară a caracteristicilor tranzistorului. Ca rezultat al aproximării caracteristicilor, curentul de bază al tranzistorului în vecinătatea punctului de operare cu coordonatele I o \u003d 0,5 mA, U o \u003d 0,6 V. Se determină astfel: ib \u003d 0,5 + 5 (u fie -0,6) \u003d 5 (u fi -0,5). Din această formulă rezultă că pentru u be<0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 V. Dacă tensiunea de intrare u este<0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде: i \u003d (0, tu be<0,5 i \u003d (5 (u be -0,5), u be\u003e 0,5 O creștere a preciziei de aproximare a caracteristicilor elementelor neliniare se realizează prin creșterea numărului de segmente de linie. Cu toate acestea, acest lucru complică expresia analitică a funcției aproximative. Prelegerea numărul 9. Informații similare. În conformitate cu definiția acestei metode, calculul unui circuit neliniar care îl utilizează include în general următorii pași principali: 1. Caracteristica originală a elementului neliniar este înlocuită de o linie întreruptă cu un număr finit de segmente de linie dreaptă. 2. Pentru fiecare segment al polilinii, se determină parametrii liniari echivalenți ai elementului neliniar și se trasează circuitele echivalente liniare corespunzătoare ale circuitului original. 3. Problema liniară este rezolvată separat pentru fiecare segment. 4. Pe baza condițiilor limită, intervalele de timp ale mișcării punctului reprezentativ sunt determinate pentru fiecare secțiune rectilinie (limitele existenței soluțiilor individuale). Fie caracteristica curent-tensiune (CVC) a rezistorului neliniar să aibă forma prezentată în Fig. 1. Înlocuind-o cu o linie întreruptă 4- 3- 0- 1- 2-5, obținem cele date în tabel. 1 circuite echivalente calculate și relațiile lor liniare corespunzătoare. Calculul fiecăruia dintre circuitele echivalente liniare obținute în prezența unui element neliniar și a unui număr arbitrar în circuit liniar nu este dificil. În acest caz, pe baza teoremei despre o rețea activă cu două terminale, circuitul neliniar original este redus mai întâi la un circuit care conține un generator echivalent cu o anumită rezistență internă liniară și un element neliniar conectat în serie cu acesta, după care este calculat. În prezența unei surse variabile de energie în circuit, punctul de lucru (imagistică) va aluneca constant de-a lungul caracteristicii aproximative, trecând prin punctele de rupere. Trecerea prin astfel de puncte corespunde unei schimbări instantanee în circuitul echivalent. Prin urmare, problema determinării variabilei dorite se reduce nu numai la calcularea circuitelor echivalente, ci și la determinarea momentelor de „comutare” între ele, adică găsirea condițiilor de graniță în timp. Analiza devine mult mai dificilă dacă există mai multe elemente neliniare în circuit. Principala dificultate în acest caz se datorează faptului că combinația de secțiuni liniare corespunzătoare unei tensiuni date (curent) nu este cunoscută în prealabil. Combinația dorită de secțiuni liniare a tuturor elementelor neliniare este determinată prin enumerarea combinațiilor posibile ale acestora. Pentru orice combinație acceptată, parametrii circuitului sunt cunoscuți și, prin urmare, pot fi determinate tensiunile și curenții pentru toate elementele. Dacă se află în secțiunile liniare corespunzătoare, atunci combinația acceptată dă rezultatul corect. Dacă cel puțin un element neliniar are variabile în afara limitelor secțiunii liniare considerate, atunci ar trebui să mergeți la o altă combinație. Tabelul 1. Apropiere liniară a caracteristicilor I - V ale unui rezistor neliniar Trebuie remarcat faptul că există întotdeauna o singură combinație de secțiuni liniare ale caracteristicilor elementelor neliniare, corespunzătoare unei modificări a semnalului de intrare în anumite limite. De exemplu, să determinăm tensiunea din circuitul din Fig. 2, în care 1. În conformitate cu caracteristica specificată I - V, rezistența neliniară din secțiunea 1-2 se înlocuiește cu un rezistor liniar cu rezistență în secțiunea 2- 3- sursă de curent cu curent 2. Pe baza acestei înlocuiri echivalente pentru curentul din secțiunea 1-2 a caracteristicii I - V, putem scrie: Când punctul de imagine se mișcă de-a lungul secțiunii 2-3 din caracteristica I - V, avem când conduceți pe un site 1-4 VAC- 3. Determinați intervalele de mișcare ale punctului reprezentativ în secțiuni individuale ale caracteristicii I - V. Pentru punctul de întrerupere 1, bazat pe (1), următoarea ecuație este validă De aici obținem două valori ale fazei instantanee a tensiunii de alimentare la o perioadă, corespunzătoare punctului 1 :. Prima valoare determină tranziția punctului de imagine de la secțiunea 4-1 la secțiunea 1-2, a doua - de la secțiunea 2-1 la secțiunea 1-4. În mod similar, scriem pentru punctul 2 al pauzei în caracteristica I - V de unde (valoarea corespunzătoare tranziției de la secțiunea 1-2 la secțiunea 2-3) și (valoarea corespunzătoare tranziției de la secțiunea 3-2 la secțiunea 2-1). Astfel, obținem pentru o perioadă a tensiunii de alimentare În conformitate cu periodicitatea funcției sinusoidale, aceste soluții se repetă la fiecare 360 \u200b\u200b° n. În fig. 4 prezintă un grafic al dependenței valorii dorite. Metoda echilibrului armonic Utilizarea unei expresii analitice pentru a aproxima caracteristicile unui element neliniar permite calculul cel mai laborios atunci când legea variației în timp a uneia dintre variabilele care determină funcționarea unui element neliniar (curent sau tensiune pentru un rezistor, legătură de flux sau curent pentru un inductor, sarcină sau tensiune pentru un condensator) este setată sau rezultă dintr-o analiză preliminară a condițiilor fizice ale procesului, care a avut loc la rezolvarea problemelor anterioare din această secțiune. Dacă nu există o astfel de claritate, atunci problema în cazul general poate fi rezolvată doar aproximativ. Una dintre aceste metode, cea mai utilizată în practică, este metoda echilibrului armonic. Metoda se bazează pe extinderea funcțiilor periodice într-o serie Fourier. În cazul general, variabilele căutate într-un circuit electric neliniar sunt non-sinusoidale și conțin un spectru infinit de armonici. Soluția așteptată poate fi reprezentată ca suma armonicii fundamentale și a mai multor armonici superioare, pentru care amplitudinile și fazele inițiale sunt necunoscute. Înlocuind această sumă în ecuația diferențială neliniară scrisă pentru valoarea dorită și echivalând în expresia rezultată coeficienții din fața armonicilor (funcții sinusoidale și cosinus) ale acelorași frecvențe în laturile sale stângi și drepte, ajungem la un sistem de 2n ecuații algebrice, unde n este numărul de armonici luate în considerare ... Trebuie remarcat faptul că soluția exactă necesită luarea în considerare a unui număr infinit de armonici, care este practic imposibil de implementat. Ca urmare a limitării numărului de armonici considerate, echilibrul exact este încălcat, iar soluția devine aproximativă. Metoda de calcul al unui circuit neliniar utilizând această metodă include, în cazul general, următoarele etape principale: 1. Ecuațiile de stare ale circuitului sunt scrise pentru valori instantanee. 2. Este selectată o expresie pentru aproximarea analitică a neliniarității specificate. 3. Pe baza analizei preliminare a circuitului și a caracteristicii neliniare, o expresie pentru cantitatea dorită este dată sub forma unei serii finite de armonici cu amplitudini și faze inițiale necunoscute în acest stadiu. 4. Se efectuează înlocuirea funcțiilor definite în paragrafele 2 și 3 în ecuațiile de stare, urmată de implementarea transformărilor trigonometrice necesare pentru a izola componentele sinus și cosinus ale armonicilor. 5. Termenii din ecuațiile obținute sunt grupați după armonici individuale și pe baza echivalării coeficienților pentru armonicele de un ordin în laturile lor stânga și dreaptă (separat pentru componentele sinus și cosinus), un sistem algebric neliniar (sau transcendental ) ecuațiile cu privire la amplitudinile căutate și fazele inițiale este funcția de expansiune scrisă a mărimii determinate. 6. Soluția (în cazul general prin metode numerice pe computer) a sistemului de ecuații obținut cu privire la și se realizează. Un caz special al metodei echilibrului armonic este prima metodă de calcul armonic cantități non-sinusoidale ( metoda de liniarizare armonică), atunci când sunt neglijate armonicele superioare ale variabilelor căutate, precum și acțiunile de intrare. Analiza utilizează prima caracteristică armonică a unui element neliniar, pentru a obține care prima armonică a uneia dintre cele două variabile care determină această caracteristică este substituită în expresia analitică a caracteristicii neliniare pentru valori instantanee, iar o relație neliniară se găsește între amplitudinile primelor armonici ale acestor variabile. Etapele de calcul corespund celor enunțate pentru metoda echilibrului armonic. Mai mult, datorită faptului că sistemul final al ecuațiilor neliniare este de ordinul doi, într-o serie de cazuri devine posibilă rezolvarea lor analitică. În plus, întrucât sunt luate în considerare numai primele armonici ale mărimilor nesinusoidale, metoda simbolică poate fi utilizată în calcul.
... Caracteristica I - V a unui rezistor neliniar este prezentată în Fig. 3, unde.
,
iar în secțiunea 4-1 - o sursă de curent cu un curent 
.
(1)
.
