1. kurss, augstākā matemātika, mēs mācāmies matricas un pamata darbības attiecībā uz tiem. Šeit mēs sistematizējam galvenās darbības, kuras var veikt ar matricām. Kur sākt iepazīšanos ar matricām? Protams, no vienkāršākajām lietām - definīcijām, pamatjēdzieniem un vienkāršākajām darbībām. Mēs jums apliecinām, ka matricas būs saprotamas ikvienam, kurš tām velta vismaz nedaudz laika!
Matricas definīcija
Matrica Ir taisnstūrveida elementu tabula. Nu, ja vienkārša valoda - ciparu tabula.
Parasti matricas norāda ar latīņu burtiem ar lielajiem burtiem. Piemēram, matrica A , matrica B utt. Matricas var būt dažāda lieluma: taisnstūrveida, kvadrātveida, ir arī rindu matricas un kolonnu matricas, ko sauc par vektoriem. Matricas lielumu nosaka rindu un kolonnu skaits. Piemēram, uzrakstīsim taisnstūra lieluma matricu m ieslēgts n kur m - līniju skaitu, un n - kolonnu skaits.
Elementi, kuriem i \u003d j (a11, a22, .. ) veido matricas galveno diagonāli, un tos sauc par diagonāliem.
Ko jūs varat darīt ar matricām? Saskaitīt / atņemt, reizināt ar skaitli, vairoties savā starpā, transponēt... Tagad par visām šīm matricu pamatdarbībām secībā.
Matricas saskaitīšanas un atņemšanas darbības
Mēs nekavējoties brīdinām, ka jūs varat pievienot tikai tāda paša izmēra matricas. Rezultāts ir tāda paša izmēra matrica. Matricu pievienošana (vai atņemšana) ir vienkārša - vienkārši pievienojiet attiecīgos elementus ... Sniegsim piemēru. Pievienosim divas matricas A un B pa divām.
Atņemšana tiek veikta pēc analoģijas, tikai ar pretēju zīmi.
Jebkuru matricu var reizināt ar patvaļīgu skaitli. Lai to izdarītu, jums jāreizina katrs tā elements ar šo skaitli. Piemēram, reizināsim matricu A no pirmā piemēra ar skaitli 5:
Matricas reizināšanas operācija
Ne visas matricas var pavairot savā starpā. Piemēram, mums ir divas matricas - A un B. Tās var reizināt viena ar otru tikai tad, ja matricas A kolonnu skaits ir vienāds ar matricas B rindu skaitu. Šajā gadījumā katrs iegūtās matricas elements i-tajā rindā un j-tā kolonna, būs vienāda ar atbilstošo elementu reizinājumu kopsummu pirmā faktora i-tajā rindā un otrā j-ailē... Lai saprastu šo algoritmu, pierakstīsim, kā tiek reizinātas divas kvadrātveida matricas:
Un piemērs ar reāliem skaitļiem. Reizināsim matricas:
Matricas transponēšanas darbība
Matricas transponēšana ir darbība, kurā tiek apmainītas atbilstošās rindas un kolonnas. Piemēram, transponēsim matricu A no pirmā piemēra:
Matricas noteicējs
Noteicošais, bet noteicošais ir viens no lineārās algebras pamatjēdzieniem. Kādreiz cilvēki nāca klajā lineārie vienādojumi, un aiz viņiem bija jāizdomā noteicējs. Rezultātā jums tas viss jātiek galā, tātad, pēdējais spurts!
Noteicošais ir kvadrātveida matricas skaitliskais raksturojums, kas nepieciešams daudzu problēmu risināšanai.
Lai aprēķinātu vienkāršākās kvadrātveida matricas determinantu, jāaprēķina starpība starp galvenās un sekundārās diagonāles elementu reizinājumiem.
Pirmās kārtas matricas determinants, tas ir, sastāv no viena elementa, ir vienāds ar šo elementu.
Ko darīt, ja matrica ir trīs pret trīs? Tas ir sarežģītāk, bet jūs varat tikt galā.
Šādai matricai determinanta vērtība ir vienāda ar galvenās diagonāles elementu un to trijstūru, kuru mala ir paralēla galvenajai diagonālei, elementu reizinājumu kopsummu, no kuras tiek atņemta sekundārā diagonāle un elementu reizinājums, kas atrodas uz trijstūriem ar paralēlās sekundārās diagonāles seju.
Par laimi, praksē reti ir nepieciešams aprēķināt lielu matricu noteicošos faktorus.
Šeit mēs esam apskatījuši pamatdarbības ar matricām. Protams, reālajā dzīvē jūs nekad nevarat saskarties ar mājienu par matricu vienādojumu sistēmu vai otrādi - saskarties ar daudz grūtākiem gadījumiem, kad jums patiešām ir jālauza galva. Tādiem gadījumiem ir profesionāls studentu serviss. Lūdziet palīdzību, iegūstiet kvalitatīvu un detalizētu risinājumu, izbaudiet akadēmiskos panākumus un brīvo laiku.
Šī rokasgrāmata palīdzēs jums uzzināt, kā izpildīt operācijas ar matricām: matricu saskaitīšana (atņemšana), matricas transponēšana, matricu reizināšana, atrašana apgrieztā matrica... Viss materiāls tiek pasniegts vienkāršā un pieejamā formā, tiek doti atbilstoši piemēri, tāpēc pat nesagatavots cilvēks var uzzināt, kā veikt darbības ar matricām. Pašpārbaudei un pašpārbaudei varat bez maksas lejupielādēt matricas kalkulatoru \u003e\u003e\u003e.
Centīšos samazināt teorētiskos aprēķinus, dažviet ir iespējami skaidrojumi “uz pirkstiem” un nezinātnisku terminu lietošana. Cienīgas teorijas cienītāji, lūdzu, nekritizējiet, mūsu uzdevums ir iemācīties veikt darbības ar matricām.
SUPER-FAST sagatavošanai par tēmu (kurš ir "ugunī") ir intensīvs pdf kurss Matrica, determinants un tests!
Matrica ir jebkura veida taisnstūrveida tabula elementi... Kā elementi mēs apsvērsim skaitļus, tas ir, skaitliskās matricas. ELEMENT Ir termins. Vēlams atcerēties šo terminu, ar to bieži saskarsies, nav nejaušība, ka es to izcelšanai izmantoju treknrakstā.
Apzīmējums: matricas parasti apzīmē ar latīņu burtiem ar lielajiem burtiem
Piemērs: Apsveriet matricu divi pa trīs:
Šī matrica sastāv no sešām elementi:
Visi matricas iekšienē esošie skaitļi (elementi) pastāv paši, tas ir, nav runas par atņemšanu: 
Tā ir tikai skaitļu tabula (kopa)!
Mēs arī vienosimies nepārkārtojiet numurus, ja vien paskaidrojumos nav norādīts citādi. Katram numuram ir sava atrašanās vieta, un to nevar sajaukt!
Attiecīgajai matricai ir divas rindas: 
un trīs kolonnas: 
STANDARTS: runājot par matricas lielumu, tad vispirms norāda rindu skaitu, un tikai pēc tam - kolonnu skaitu. Mēs tikko izdalījām matricu divi pa trim.
Ja matricas rindu un kolonnu skaits ir vienāds, tad matricu sauc kvadrāts, piemēram: 
- trīs pret trīs matrica.
Ja matricai ir viena kolonna vai viena rinda, tad arī šādas matricas sauc vektori.
Patiesībā matricas jēdzienu mēs zinām jau kopš skolas laikiem, ņemsim vērā, piemēram, punktu ar koordinātām "x" un "spēle":. Būtībā punkta koordinātas tiek ierakstītas matricā pa vienam. Starp citu, šeit ir piemērs, kāpēc skaitļu secībai ir nozīme: un tie ir divi pilnīgi atšķirīgi punkti plaknē.
Tagad ejam tieši uz pētījumu darbības ar matricām:
1) Pirmā darbība. Mīnusa noņemšana no matricas (mīnusa pievienošana matricai).
Atpakaļ pie mūsu matricas 
... Kā jūs, iespējams, pamanījāt, šajā matricā ir pārāk daudz negatīvu skaitļu. Tas ir ļoti neērti no dažādu darbību veikšanas ar matricu viedokļa, ir neērti rakstīt tik daudz mīnusu, un tas vienkārši izskatās neglīts pēc dizaina.
Pārvietojiet mīnusu no matricas, mainot katra matricas elementa zīmi:
Pie nulles, kā jūs saprotat, zīme nemainās, nulle - tā ir nulle Āfrikā.
Reverss piemērs: 
... Izskatās neglīti.
Pievienosim matricai mīnusu, mainot katra matricas elementa zīmi:
Nu, sanāca daudz jaukāk. Un, pats galvenais, jebkuras darbības būs vieglāk veikt ar matricu. Jo ir tāda matemātiska tautas zīme: jo vairāk mīnusu, jo vairāk neskaidrību un kļūdu.
2) Otrā darbība. Matricas reizināšana ar skaitli.
Piemērs:
Tas ir vienkārši, lai matricu reizinātu ar skaitli, jums tas ir nepieciešams katrs matricas elements tiek reizināts ar doto skaitli. Šajā gadījumā trīs labākie.
Vēl viens noderīgs piemērs:
- matricas reizināšana ar daļu
Vispirms apskatīsim, ko darīt. NE:
Nav nepieciešams ievadīt matricā daļu, pirmkārt, tas tikai sarežģī turpmākās darbības ar matricu, un, otrkārt, skolotājam ir grūti pārbaudīt risinājumu (it īpaši, ja 
- uzdevuma galīgā atbilde).
Un it īpaši NE daliet katru matricas elementu ar mīnus septiņiem:
No raksta Matemātika matemātikai vai kur sākt, mēs atceramies, ka decimāldaļas ar komatu augstākajā matemātikā tiek izmēģināti visos iespējamos veidos, lai izvairītos.
Vienīgā lieta vēlams šajā piemērā ir ievadīt mīnusu matricā:
Bet ja VISI matricas elementi dalījās ar 7 bez atlikumiem, tad būtu iespējams (un nepieciešams!) sadalīt.
Piemērs:
Šajā gadījumā jūs varat un VAJAG reiziniet visus matricas elementus ar, jo visi matricas skaitļi dalās ar 2 bez atlikumiem.
Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "sadalījums". Tā vietā, lai teiktu "dalīt to ar šo", jūs vienmēr varat teikt "reizināt to ar daļu". Tas ir, dalīšana ir īpašs reizināšanas gadījums.
3) Trešā darbība. Matricas transponēšana.
Lai transponētu matricu, tās rindas jāieraksta transponētās matricas kolonnās.
Piemērs:
Transponēt matricu
Šeit ir tikai viena rinda, un saskaņā ar noteikumu tā ir jāuzraksta kolonnā:
- transponētā matrica.
Transponēto matricu parasti norāda augšējais indekss vai augšējā labajā stūrī.
Soli pa solim piemērs:
Transponēt matricu 
Pirmkārt, mēs pārrakstām pirmo rindu uz pirmo kolonnu:
Tad mēs otro rindu pārrakstām otrajā rindā: 
Visbeidzot, mēs pārrakstām trešo rindu trešajā kolonnā:
Gatavs. Aptuveni runājot, transponēšana nozīmē matricas pagriešanu uz vienu pusi.
4) Ceturtā darbība. Matricu summa (starpība).
Matricu summa ir vienkārša darbība.
NEVIS VISI MIRS nevar atlocīt. Lai veiktu matricu saskaitīšanu (atņemšanu), ir nepieciešams, lai tās būtu vienāda izmēra.
Piemēram, ja dota matrica divi pa divi, tad to var pievienot tikai ar matricu divi pa diviem un nevienu citu! 
Piemērs:
Pievienojiet matricas 
un 
Lai pievienotu matricas, ir jāpievieno tām atbilstošie elementi:
Matricu starpībai noteikums ir līdzīgs, nepieciešams atrast atbilstošo elementu atšķirību.
Piemērs:
Atrodiet matricu starpību 
, 
Un kā šo piemēru vieglāk atrisināt, lai neapjuktu? Ieteicams atbrīvoties no nevajadzīgiem mīnusiem, tāpēc matricai pievienojam mīnusu:
Piezīme: augstākās matemātikas teorijā nav skolas jēdziena "atņemšana". Tā vietā, lai teiktu "atņemt šo no šī", jūs vienmēr varat teikt "pievienojiet tam negatīvu skaitli". Tas ir, atņemšana ir īpašs saskaitīšanas gadījums.
5) Piektā darbība. Matricas reizināšana.
Kādas matricas var pavairot?
Lai matrica tiktu reizināta ar matricu, jums ir nepieciešams tā, lai matricas kolonnu skaits būtu vienāds ar matricas rindu skaitu.
Piemērs:
Vai ir iespējams reizināt matricu ar matricu?
Tas nozīmē, ka jūs varat pavairot šīs matricas.
Bet, ja matricas tiek pārkārtotas, tad šajā gadījumā reizināšana jau nav iespējama!
Tāpēc reizināšana nav iespējama:
Nav tik reti gadījumi, kad uzdevumi ar triku rodas, kad studentam tiek lūgts reizināt matricas, kuru reizināšana acīmredzami nav iespējama.
Jāatzīmē, ka vairākos gadījumos matricas var pavairot jebkurā veidā.
Piemēram, matricām, un ir iespējama gan reizināšana, gan reizināšana
Matricas reizināšana ar skaitli ir operācija ar matricu, kā rezultātā katrs tās elements tiek reizināts ar reālu vai kompleksu skaitli. Tas matemātiskajā valodā izskatās šādi:
$$ B \u003d \\ lambda \\ cdot A \\ Rightarrow b_ (ij) \u003d \\ lambda a_ (ij) $$
Ir vērts atzīmēt, ka iegūtajai matricai $ B $ vajadzētu būt tādai pašai dimensijai kā sākotnējai matricai $ A $. Varat arī pievērst uzmanību šādam faktam: $ \\ lambda \\ cdot A \u003d A \\ cdot \\ lambda $, tas ir, jūs varat nomainīt reizinātājus, un tas nemainīs produktu.
Pārvietojot kopējo faktoru no matricas, būs lietderīgi izmantot matricas reizināšanas ar skaitli darbību. Šajā gadījumā katrs matricas elements tiek dalīts ar skaitli $ \\ lambda $, un tas pats tiek novietots pirms matricas.
Rekvizīti
- Sadales likums matricām: $$ \\ lambda \\ cdot (A + B) \u003d \\ lambda A + \\ lambda B $$ Matricu summas reizināšanu ar skaitli var aizstāt ar katras atsevišķās matricas reizinājumu ar a dotais numurs
- Sadales likums attiecībā uz reāliem (kompleksiem) skaitļiem: $$ (\\ lambda + \\ mu) \\ cdot A \u003d \\ lambda A + \\ mu A $$ Matricas reizinājumu ar skaitļu summu var aizstāt ar katru skaitli pēc matricas
- Asociācijas likums: $$ \\ lambda \\ cdot (\\ mu \\ cdot A) \u003d (\\ lambda \\ cdot \\ mu) A $$ Ērti lietojams, ja nepieciešams izņemt kopīgs faktors no matricas tās priekšā, reizinot koeficientu jau tā priekšā
- Ir īpašs skaitlis $ \\ lambda \u003d 1 $, pateicoties kuram matrica paliek nemainīga $$ 1 \\ cdot A \u003d A \\ cdot 1 \u003d A $$
- Reizinot matricu ar nulli, katrs matricas elements tiek nulle un matrica kļūst nulle ar tādu pašu dimensiju kā sākotnēji: $$ 0 \\ cdot A \u003d 0 $$
Risinājumu piemēri
| Piemērs |
| Ņemot vērā $ A \u003d \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) $ un reālo $ \\ lambda \u003d 2 $. Reiziniet skaitli ar matricu. |
| Lēmums |
|
Mēs pierakstām reizināšanas matemātisko darbību un tajā pašā laikā atceramies likumu, kas saka: matrica tiek reizināta ar skaitļa elementu pēc elementa. $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d 2 \\ cdot \\ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 9 & 3 \\\\ - 2 & -3 & 5 \\ end (pmatrix) \u003d \\ begin (pmatrix) 2 \\ cdot 2 & 2 \\ cdot (-1) & 2 \\ cdot 4 \\\\ 2 \\ cdot 0 & 2 \\ cdot 9 & 2 \\ cdot 3 \\\\ 2 \\ cdot (-2) & 2 \\ cdot (-3) & 2 \\ cdot 5 \\ end (pmatrix) \u003d $$ $$ \u003d \\ sākums (matrica) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ beigas (matrica) $$ Rezultātā mēs redzam, ka katrs matricas skaitlis ir divkāršojies attiecībā pret sākotnējo vērtību. Ja jūs nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs sniegsim detalizētu risinājumu. Jūs varēsiet iepazīties ar aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs savlaicīgi saņemt skolotāja kredītu! |
| Atbilde |
| $$ \\ lambda \\ cdot A \u003d \\ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\\\ 0 & 18 & 6 \\\\ - 4 & -6 & 10 \\ end (pmatrix) $$ |
Lai reizinātu matricu A ar patvaļīgu skaitli α, jums ir nepieciešami matricas elementi A reizināt ar skaitli α, t.i. matricas reizinājums ar skaitli būs šāds:
1. piemērs. Atrodiet matricu 3 Amatricai
Lēmums. Saskaņā ar definīciju mēs reizinām matricas elementus A pa 3 un saņem
Tas bija ļoti vienkāršs matricas reizināšanas ar skaitli ar veseliem skaitļiem piemērs. Arī priekšā vienkārši piemēri, bet jau tie, kur starp matricu faktoriem un elementiem - frakcijas, mainīgie (burtu apzīmējumi), jo reizināšanas likumi ir spēkā ne tikai veseliem skaitļiem, tāpēc nekad nav kaitīgi tos atkārtot.
2. piemērs. A ar skaitli α, ja 
,
.
A ar a un produkts tiek ierakstīts saucējā. Saņemot jaunās matricas pirmās rindas otro elementu, iegūto frakciju samazināja par 2, tas jādara. Mēs saņemam
3. piemērs. Veiciet matricas reizināšanas darbību A ar skaitli α, ja
,
.
Lēmums. Reiziniet matricas elementus A ar α, neapjūkot burtu apzīmējumā, atceroties atstāt mīnusu jaunās matricas otrās rindas otrā elementa priekšā un atceroties, ka skaitļa reizināšanas ar apgriezto skaitli rezultāts ir viens (pirmais elements trešās rindas). Mēs saņemam
.
4. piemērs. Veiciet matricas reizināšanas darbību A ar skaitli α, ja 
,
.
Lēmums. Atcerieties, ka reizinot skaitli jaudā ar skaitli jaudā, tiek pievienoti eksponenti. Mēs saņemam
.
Šis piemērs cita starpā skaidri parāda, ka matricas reizināšanas ar skaitli darbības var nolasīt (un uzrakstīt) apgrieztā secībā, un to sauc par nemainīga faktora izvirzīšanu matricas priekšā.
Kombinācijā ar matricu saskaitīšana un atņemšana matricas reizināšanas ar skaitli darbība var veidot dažādas matricas izteiksmes, piemēram, 5 A − 3B , 4A + 2B .
Matricas reizināšanas ar skaitli īpašības
(šeit A, B - matricas, - skaitļi, 1 - pirmais numurs)
1. 
2. 
3. 
Īpašības (1) un (2) savieno matricas reizināšanu ar skaitli, pievienojot matricas. Ir arī ļoti svarīga saikne starp matricas reizināšanu ar skaitli un pašu matricu reizināšanu:
tas ir, ja matricu reizinājumā viens no faktoriem tiek reizināts ar skaitli, tad viss reizinājums tiks reizināts ar skaitli.
Šajā tēmā tiks aplūkotas tādas darbības kā matricu saskaitīšana un atņemšana, matricas reizināšana ar skaitli, matricas reizināšana ar matricu, matricas transponēšana. Visi šajā lapā izmantotie simboli ir ņemti no iepriekšējās tēmas.
Matricu saskaitīšana un atņemšana.
Matricu $ A + B $ summu $ A_ (m \\ reizes n) \u003d (a_ (ij)) $ un $ B_ (m \\ reizes n) \u003d (b_ (ij)) $ sauc par matricu $ C_ (m \\ reizes n) \u003d (c_ (ij)) $, kur $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) + b_ (ij) $ visiem $ i \u003d \\ overline (1, m) $ un $ j \u003d \\ overline ( 1, n) $.
Līdzīga definīcija ir ieviesta matricu atšķirībai:
Matricu $ A $ starpība $ A_ (m \\ reizes n) \u003d (a_ (ij)) $ un $ B_ (m \\ reizes n) \u003d (b_ (ij)) $ ir matrica $ C_ (m \\ reizes n ) \u003d (c_ (ij)) $, kur $ c_ (ij) \u003d a_ (ij) -b_ (ij) $ visiem $ i \u003d \\ overline (1, m) $ un $ j \u003d \\ overline (1, n ) $.
Ieraksta $ i \u003d \\ overline (1, m) $ skaidrojums: show \\ hide
Apzīmējums "$ i \u003d \\ overline (1, m) $" nozīmē, ka parametrs $ i $ svārstās no 1 līdz m. Piemēram, ierakstā $ i \u003d \\ overline (1,5) $ teikts, ka parametrs $ i $ ņem vērtības 1, 2, 3, 4, 5.
Jāatzīmē, ka saskaitīšanas un atņemšanas darbības ir noteiktas tikai tāda paša izmēra matricām. Parasti matricu saskaitīšana un atņemšana ir intuitīvi skaidras darbības, jo faktiski tās nozīmē tikai atbilstošo elementu saskaitīšanu vai atņemšanu.
1. piemērs
Tiek dotas trīs matricas:
$$ A \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (masīvs) \\ pa labi) \\; \\; B \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (masīvs) \\ right); \\; \\; F \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cc) 1 & 0 \\\\ -5 & 4 \\ end (masīvs) \\ right). $$
Vai jūs varat atrast matricu $ A + F $? Atrodiet matricas $ C $ un $ D $, ja $ C \u003d A + B $ un $ D \u003d A-B $.
Matricā $ A $ ir 2 rindas un 3 kolonnas (citiem vārdiem sakot, $ A $ matricas lielums ir $ 2 \\ reizes 3 $), bet matricā $ F $ ir 2 rindas un 2 kolonnas. Matricas $ A $ un $ F $ izmēri nesakrīt, tāpēc mēs tos nevaram pievienot, t.i. $ A + F $ darbība šīm matricām nav definēta.
Matricu $ A $ un $ B $ izmēri ir vienādi, t.i. matricas datos ir vienāds rindu un kolonnu skaits, tāpēc tiem ir piemērojama pievienošanas operācija.
$$ C \u003d A + B \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (masīvs) \\ right) + \\ left (\\ begin (masīvs ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\\\ \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\\\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ kreisais (\\ begin (masīvs) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $$
Atrodiet matricu $ D \u003d A-B $:
$$ D \u003d AB \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\ end (masīvs) \\ right) - \\ left (\\ begin (masīvs) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\\\ 3 & 0 & -14 \\ end (masīvs) \\ pa labi) \u003d \\\\ \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\\\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ \\ 2 & 9 & 6 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $$
Atbilde: $ C \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 9 & -27 & 99 \\\\ 8 & 9 & -22 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $, $ D \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (ccc) -11 & 23 & -97 \\\\ 2 & 9 & 6 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $.
Matricas reizināšana ar skaitli.
Matricas $ A_ reizinājums (m \\ reizes n) \u003d (a_ (ij)) $ ar skaitli $ \\ alfa $ ir matrica $ B_ (m \\ reizes n) \u003d (b_ (ij)) $, kur $ b_ (ij) \u003d \\ alfa \\ cdot a_ (ij) $ visiem $ i \u003d \\ overline (1, m) $ un $ j \u003d \\ overline (1, n) $.
Vienkārši sakot, reizinot matricu ar noteiktu skaitli, katrs attiecīgās matricas elements tiek reizināts ar šo skaitli.
2. piemērs
Matrica tiek dota: $ A \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $. Atrodiet matricas $ 3 \\ cdot A $, $ -5 \\ cdot A $ un $ -A $.
$$ 3 \\ cdot A \u003d 3 \\ cdot \\ left (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 end (masīvs) \\ right) \u003d \\ left (\\ begin ( masīvs) (ccc) 3 \\ cdot (-1) & 3 \\ cdot (-2) & 3 \\ cdot 7 \\\\ 3 \\ cdot 4 & 3 \\ cdot 9 & 3 \\ cdot 0 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 end (masīvs) \\ pa labi). \\\\ -5 \\ cdot A \u003d -5 \\ cdot \\ left (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -5 \\ cdot (-1) & - 5 \\ cdot (-2) & -5 \\ cdot 7 \\\\ -5 \\ cdot 4 & -5 \\ cdot 9 & -5 \\ cdot 0 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 5 un 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (masīvs) \\ pa labi). $$
$ -A $ ir stenogramma $ -1 \\ cdot A $. Tas ir, lai atrastu $ -A $, jums jāreizina visi $ A $ matricas elementi ar (-1). Būtībā tas nozīmē, ka visu matricas $ A $ elementu zīme tiks mainīta:
$$ -A \u003d -1 \\ cdot A \u003d -1 \\ cdot \\ left (\\ begin (masīvs) (ccc) -1 & -2 & 7 \\\\ 4 & 9 & 0 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (masīvs) \\ right) $$
Atbilde: $ 3 \\ cdot A \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) -3 & -6 & 21 \\\\ 12 & 27 & 0 \\ end (masīvs) \\ pa labi); \\; -5 \\ cdot A \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 5 & 10 & -35 \\\\ -20 & -45 & 0 \\ end (masīvs) \\ right); \\; -A \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (ccc) 1 & 2 & -7 \\\\ -4 & -9 & 0 \\ end (masīvs) \\ right) $.
Divu matricu reizinājums.
Šīs operācijas definīcija ir apgrūtinoša un, no pirmā acu uzmetiena, nesaprotama. Tāpēc vispirms es norādīšu vispārēju definīciju un pēc tam sīki analizēsim, ko tas nozīmē un kā ar to strādāt.
Matricas $ A_ reizinājums (m \\ reizes n) \u003d (a_ (ij)) $ ar matricu $ B_ (n \\ reizes k) \u003d (b_ (ij)) $ ir matrica $ C_ (m \\ reizes k ) \u003d (c_ (ij)) $, kuram katrs elements $ c_ (ij) $ ir vienāds ar attiecīgā produkta summu i-tā elementi matricas $ A $ rindas uz matricas $ B $ kolonnas j elementiem: $$ c_ (ij) \u003d \\ summa \\ ierobežojumi_ (p \u003d 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \\; \\; i \u003d \\ overline (1, m), j \u003d \\ overline (1, n). $$
Analizēsim soli pa solim matricas reizināšanu, izmantojot piemēru. Tomēr jums nekavējoties jāpievērš uzmanība tam, ka ne visas matricas var pavairot. Ja mēs vēlamies reizināt $ A $ matricu ar $ B $ matricu, tad vispirms mums jāpārliecinās, ka $ A $ matricas kolonnu skaits ir vienāds ar $ B $ matricas rindu skaitu (šādas matricas bieži sauc piekritu). Piemēram, matricu $ A_ (5 \\ reizes 4) $ (matricā ir 5 rindas un 4 kolonnas) nevar reizināt ar matricu $ F_ (9 \\ reizes 8) $ (9 rindas un 8 kolonnas), jo skaitlis matricas $ A $ kolonnu skaits nav vienāds ar rindu skaitu $ F $ matricā, t.i. $ 4 \\ neq 9 $. Bet jūs varat reizināt matricu $ A_ (5 \\ reizes 4) $ ar matricu $ B_ (4 \\ reizes 9) $, jo matricas $ A $ kolonnu skaits ir vienāds ar matricas $ rindu skaitu B $. Šajā gadījumā matricu $ A_ (5 \\ reizes 4) $ un $ B_ (4 \\ reizes 9) $ reizināšanas rezultāts būs matrica $ C_ (5 \\ reizes 9) $, kas satur 5 rindas un 9 kolonnas:
3. piemērs
Matricas tiek dotas: $ A \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & -5 \\ end (masīvs) \\ right) $ un $ B \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\\\ 12 & -4 \\ end (masīvs) \\ pa labi) $. Atrodiet matricu $ C \u003d A \\ cdot B $.
Vispirms nekavējoties noteiksim matricas $ C $ lielumu. Tā kā matrica $ A $ ir $ 3 \\ reizes 4 $ un matrica $ B $ ir $ 4 \\ reizes 2 $, tad matricas $ C $ lielums ir $ 3 \\ reizes 2 $:
Tātad matricu $ A $ un $ B $ reizinājuma rezultātā mums vajadzētu iegūt matricu $ C $, kas sastāv no trim rindām un divām kolonnām: $ C \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) c_ (11) & c_ (12) \\\\ c_ (21) & c_ (22) \\\\ c_ (31) & c_ (32) \\ end (masīvs) \\ pa labi) $. Ja elementu apzīmējumi rada jautājumus, tad varat apskatīt iepriekšējo tēmu: "Matricas. Matricu veidi. Pamattermini", kuras sākumā ir izskaidrots matricas elementu apzīmējums. Mūsu mērķis ir atrast visu matricas $ C $ elementu vērtības.
Sāksim ar $ c_ (11) $. Lai iegūtu elementu $ c_ (11) $, jums jāatrod matricas $ A $ pirmās rindas un matricas $ B $ kolonnas elementu reizinājumu summa:
Lai atrastu pašu elementu $ c_ (11) $, jums jāreizina matricas $ A $ pirmās rindas elementi ar atbilstošajiem matricas $ B $ pirmās kolonnas elementiem, t.i. pirmais elements - pirmais, otrais - otrais, trešais - trešais, ceturtais - ceturtais. Mēs apkopojam iegūtos rezultātus:
$$ c_ (11) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +2 \\ cdot 6 + (- 3) \\ cdot 7 + 0 \\ cdot 12 \u003d 0. $$
Turpināsim risinājumu un atrodam $ c_ (12) $. Lai to izdarītu, jums jāreizina matricas $ A $ pirmās rindas un matricas $ B $ otrās kolonnas elementi:
Līdzīgi kā iepriekšējā, mums ir:
$$ c_ (12) \u003d - 1 \\ cdot 3 + 2 \\ cdot 20 + (- 3) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot (-4) \u003d 37. $$
Visi $ C $ pirmās rindas elementi ir atrasti. Pārejiet uz otro rindu, kas sākas ar $ c_ (21) $. Lai to atrastu, jums jāreizina matricas $ A $ otrās rindas un $ B $ matricas pirmās kolonnas elementi:
$$ c_ (21) \u003d 5 \\ cdot (-9) +4 \\ cdot 6 + (- 2) \\ cdot 7 + 1 \\ cdot 12 \u003d -23. $$
Nākamais elements $ c_ (22) $ tiek atrasts, reizinot matricas $ A $ otrās rindas elementus ar atbilstošajiem matricas $ B $ kolonnas elementiem:
$$ c_ (22) \u003d 5 \\ cdot 3 + 4 \\ cdot 20 + (- 2) \\ cdot 0 + 1 \\ cdot (-4) \u003d 91. $$
Lai atrastu $ c_ (31) $, mēs reizinām matricas $ A $ trešās rindas elementus ar matricas $ B $ pirmās kolonnas elementiem:
$$ c_ (31) \u003d - 8 \\ cdot (-9) +11 \\ cdot 6 + (- 10) \\ cdot 7 + (-5) \\ cdot 12 \u003d 8. $$
Visbeidzot, lai atrastu elementu $ c_ (32) $, matricas $ A $ trešās rindas elementi ir jāreizina ar atbilstošajiem matricas $ B $ kolonnas elementiem:
$$ c_ (32) \u003d - 8 \\ cdot 3 + 11 \\ cdot 20 + (- 10) \\ cdot 0 + (-5) \\ cdot (-4) \u003d 216. $$
Visi matricas $ C $ elementi ir atrasti, atliek tikai uzrakstīt, ka $ C \u003d \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (masīvs ) \\ pa labi) $ ... Vai arī, lai rakstītu pilnībā:
$$ C \u003d A \\ cdot B \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 5 & 4 & -2 & 1 \\\\ -8 & 11 & -10 & - 5 \\ end (masīvs) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) -9 & 3 \\\\ 6 & 20 \\\\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (masīvs) \\ right). $$
Atbilde: $ C \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cc) 0 & 37 \\\\ -23 & 91 \\\\ 8 & 216 \\ end (masīvs) \\ right) $.
Starp citu, bieži vien nav iemesla detalizēti aprakstīt katra rezultātu matricas elementa atrašanu. Matricām, kuru izmērs ir mazs, varat rīkoties šādi:
$$ \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) 6 & 3 \\\\ -17 & -2 \\ end (masīvs) \\ right) \\ cdot \\ left (\\ begin (masīvs) (cc) 4 un 9 \\\\ - 6 un 90 \\ beigas (masīvs) \\ labais) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cc) 6 \\ cdot (4) +3 \\ cdot (-6) & 6 \\ cdot (9) +3 \\ cdot (90 ) \\\\ -17 \\ cdot (4) + (- 2) \\ cdot (-6) & -17 \\ cdot (9) + (- 2) \\ cdot (90) \\ end (masīvs) \\ right) \u003d \\ pa kreisi (\\ begin (masīvs) (cc) 6 & 324 \\\\ -56 & -333 \\ end (masīvs) \\ right) $$
Ir arī vērts atzīmēt, ka matricas reizināšana nav komutatīva. Tas nozīmē, ka kopumā $ A \\ cdot B \\ neq B \\ cdot A $. Tikai dažiem matricu veidiem, kurus sauc permutācija (vai pārvietošanās), vienlīdzība $ A \\ cdot B \u003d B \\ cdot A $ ir patiesa. Pamatojoties uz reizināšanas nekomutativitāti, ir nepieciešams precīzi norādīt, kā mēs reizinām izteiksmi ar šo vai citu matricu: pa labi vai pa kreisi. Piemēram, frāze "reizināt abas vienādības $ 3E-F \u003d Y $ puses ar matricu $ A $ labajā pusē" nozīmē, ka mums jāiegūst šāda vienādība: $ (3E-F) \\ cdot A \u003d Y \\ cdot A $.
Transponēts attiecībā pret matricu $ A_ (m \\ reizes n) \u003d (a_ (ij)) $ sauc par matricu $ A_ (n \\ reizes m) ^ (T) \u003d (a_ (ij) ^ (T)) $ , elementiem, kuriem $ a_ (ij) ^ (T) \u003d a_ (ji) $.
Vienkārši sakot, lai iegūtu transponēto matricu $ A ^ T $, sākotnējās matricas $ A $ kolonnas ir jāaizstāj ar atbilstošajām rindām saskaņā ar šādu principu: ja pirmā rinda bija, pirmā kolonna kļūs ; bija otrā rinda - būs otrā kolonna; bija trešā rinda - būs trešā kolonna un tā tālāk. Piemēram, atradīsim transponēto matricu matricai $ A_ (3 \\ reizes 5) $:
Attiecīgi, ja sākotnējā matrica bija $ 3 \\ reizes 5 $, tad transponētā matrica ir $ 5 \\ reizes 3 $.
Dažas operāciju īpašības ar matricām.
Šeit tiek pieņemts, ka $ \\ alpha $, $ \\ beta $ ir daži skaitļi, un $ A $, $ B $, $ C $ ir matricas. Pirmajām četrām īpašībām es norādīju nosaukumus, pārējos var nosaukt pēc analoģijas ar pirmajiem četriem.
