სპუტრალური ანალიზი, რომელიც დაფუძნებულია ფურიეს სწრაფ გარდაქმნაზე. ფურიეს გარდაქმნა რას წარმოადგენს ციფრი ფურიეს ანალიზში

რთული ფორმის ნებისმიერი ტალღა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი ტალღების ჯამი.

ჯოზეფ ფურიეს სურდა მათემატიკური თვალსაზრისით აღწეროს, თუ როგორ გადის სითბო მყარ ობიექტებს ( სმ. სითბოს გაცვლა). შესაძლოა, მისი სითბოთი ინტერესი გაჩნდა ჩრდილოეთ აფრიკაში ყოფნის დროს: ფურიე ნაპოლეონს თან ახლდა ეგვიპტეში საფრანგეთის ექსპედიციაში და გარკვეული დრო იქ ცხოვრობდა. თავისი მიზნის მისაღწევად ფურიეს მოუწია ახალი მათემატიკური მეთოდების შემუშავება. მისი კვლევის შედეგები 1822 წელს გამოქვეყნდა ნაშრომში "სითბოს ანალიტიკური თეორია" ( თეორიული ანალიტიკური დე ლა შალერე), სადაც მან გვითხრა, თუ როგორ უნდა გაანალიზდეს რთული ფიზიკური პრობლემები, მათი დაშლა უფრო მარტივად.

ანალიზის მეთოდს საფუძვლად დაედო ე.წ. ფურიეს სერია... ჩარევის პრინციპის თანახმად, სერია იწყება რთული ფორმის მარტივი ფორმით დაშლით - მაგალითად, დედამიწის ზედაპირის ცვლილება აიხსნება მიწისძვრით, კომეტის ორბიტის ცვლილება გამოწვეულია რამდენიმე პლანეტის მოზიდვის ზემოქმედებით, სითბოს ნაკადის ცვლილება გამოწვეულია სითბოს საიზოლაციო მასალის არარეგულარული ფორმის დაბრკოლების გავლით. ფურიემ აჩვენა, რომ რთული ტალღის ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი ტალღების ჯამი. როგორც წესი, კლასიკური სისტემების აღწერილი განტოლებები მარტივად იხსნება თითოეული ამ მარტივი ტალღისთვის. ფურიემ აჩვენა, თუ როგორ შეიძლება ამ მარტივი გადაწყვეტილებების შეჯამება მთლიანობაში რთული პრობლემის გადაჭრის მიზნით. (მათემატიკურად რომ ვთქვათ, ფურიეს სერია არის ფუნქცია, როგორც ჰარმონიკის ჯამი - სინუსოიდები და კოსინუსები, ამრიგად, ფურიეს ანალიზი ასევე ცნობილი იყო, როგორც ჰარმონიული ანალიზი).

მე –20 საუკუნის შუა რიცხვებში კომპიუტერების გამოჩენამდე ფურიეს მეთოდები და მსგავსი რამ საუკეთესო იარაღი იყო სამეცნიერო არსენალში ბუნების სირთულეებზე თავდასხმისას. ფურიეს რთული მეთოდების გაჩენის შემდეგ, მეცნიერებმა შეძლეს მათი გამოყენება არა მხოლოდ მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად, რომელთა მოგვარებაც შეიძლება ნიუტონის მექანიკის და სხვა ფუნდამენტური განტოლებების პირდაპირი გამოყენებით. მე -19 საუკუნეში ნიუტონის მეცნიერების მრავალი დიდი მიღწევა ფაქტობრივად შეუძლებელი იქნებოდა ფურიეს მიერ პირველად შემოთავაზებული მეთოდების გამოყენების გარეშე. მოგვიანებით, ეს მეთოდები გამოიყენეს სხვადასხვა დარგის პრობლემების გადასაჭრელად - ასტრონომიიდან დამთავრებული მანქანათმშენებლობით დამთავრებული.

ჟან ბატისტ ჟოზეფ ფურიე
ჟან ბატისტ ჟოზეფ ფურიე, 1768-1830 წწ

ფრანგი მათემატიკოსი. ოქსერში დაბადებული; ცხრა წლის ასაკში იგი ობოლი გახდა. უკვე ახალგაზრდა ასაკში მან მათემატიკისადმი მიდრეკილება გამოავლინა. ფურიემ განათლება მიიღო საეკლესიო სკოლაში და სამხედრო სკოლაში, შემდეგ მუშაობდა მათემატიკის მასწავლებლად. მთელი ცხოვრების განმავლობაში ის აქტიურად იყო დაკავებული პოლიტიკაში; ტერორის მსხვერპლთა დაცვისთვის დააპატიმრეს 1794 წელს. რობესპიერის გარდაცვალების შემდეგ იგი გაათავისუფლეს ციხიდან; მონაწილეობა მიიღო პარიზში ცნობილი Ecole Polytechnique- ის შექმნაში; მისი პოზიცია ნაპოლეონის რეჟიმის პირობებში წინსვლისთვის პლაცდარმი იყო. იგი ნაპოლეონს თან ახლდა ეგვიპტეში და დაინიშნა ქვემო ეგვიპტის გუბერნატორად. 1801 წელს საფრანგეთში დაბრუნების შემდეგ იგი დაინიშნა ერთ-ერთი პროვინციის გუბერნატორად. 1822 წელს იგი გახდა საფრანგეთის მეცნიერებათა აკადემიის მუდმივი მდივანი, გავლენიანი პოზიცია საფრანგეთის სამეცნიერო სამყაროში.

FOURIER ტრანსფორმაცია და კლასიკური ციფრული სპექტრული ანალიზი.
მედვედევი ს.ი., დოქტორი

შესავალი

სპექტრული ანალიზი არის სიგნალის დამუშავების ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაახასიათოთ გაზომილი სიგნალის სიხშირის შემადგენლობა. ფურიეს გარდაქმნა არის მათემატიკური საფუძველი, რომელიც უკავშირებს დროებით ან სივრცულ სიგნალს (ან ამ სიგნალის ზოგიერთ მოდელს) სიხშირეების დომენში მის წარმოდგენასთან. სტატისტიკური მეთოდები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ სპექტრალურ ანალიზში, რადგან გამრავლების ან გაზომვის დროს სიგნალები, როგორც წესი, შემთხვევითი ან ხმაურიანია. თუ სიგნალის ძირითადი სტატისტიკური მახასიათებლები ზუსტად იქნებოდა ცნობილი, ან მათი დადგენა შესაძლებელია ამ სიგნალის სასრული ინტერვალიდან, მაშინ სპექტრული ანალიზი იქნება "ზუსტი მეცნიერების" დარგი. ამასთან, სინამდვილეში, მისი სპექტრის მხოლოდ შეფასების მიღება შესაძლებელია სიგნალის სეგმენტიდან. მაშასადამე, სპექტრალური ანალიზის პრაქტიკა საკმაოდ სუბიექტური ხასიათის ხელობაა (ან ხელოვნება?). განსხვავება ერთი და იგივე სიგნალის სეგმენტის სხვადასხვა მეთოდით დამუშავების შედეგად მიღებულ სპექტრალურ შეფასებებს შორის შეიძლება აიხსნას მონაცემებთან დაკავშირებული დაშვებების სხვაობით, საშუალო შეფასების სხვადასხვა მეთოდით და ა.შ. თუ სიგნალის მახასიათებლები აპრიორი არ არის ცნობილი, არ შეიძლება ითქვას, რომელი შეფასებით არის უკეთესი.

ფურიეს გარდაქმნა - სპექტრალური ანალიზის მათემატიკური საფუძველი
მოკლედ განვიხილავთ სხვადასხვა სახის ფურიეს გარდაქმნებს (დაწვრილებით იხილეთ).
დავიწყოთ დროის უწყვეტი სიგნალის ფურიეს გარდაქმნით

, (1)

რომელიც განსაზღვრავს იმ რთული სინუსოიდების (ექსპონენციალური) სიხშირეებსა და ამპლიტუდებს, რომლებშიც ხდება თვითნებური რხევების დაშლა.
უკუ ტრანსფორმაცია

. (2)

ფურიეს პირდაპირი და შებრუნებული გარდაქმნების არსებობა (რომელსაც შემდეგში ვუწოდებთ უწყვეტი დროის ფურიეს გარდაქმნას - CFT) განისაზღვრება მრავალი პირობით. საკმარისია - აბსოლუტური სიგნალის ინტეგრირება

. (3)

ნაკლებად შეზღუდული საკმარისი მდგომარეობა - სიგნალის ენერგიის სისრულე

. (4)

მოდით წარმოვადგინოთ ფურიეს გარდაქმნის მრავალი ძირითადი თვისება და ქვემოთ გამოყენებული ფუნქციები, აღვნიშნოთ, რომ მართკუთხა ფანჯარა განისაზღვრება გამოხატულებით

(5)

და სინდისის ფუნქცია გამოხატულებით

(6)

დროის დომენში ნიმუშების ფუნქცია განისაზღვრება გამოხატულებით

(7)

ამ ფუნქციას ზოგჯერ პერიოდული გაგრძელების ფუნქციასაც უწოდებენ.

ცხრილი 1. NVPF– ის ძირითადი თვისებები და ფუნქციები

ქონება, ფუნქცია	ფუნქცია	ტრანსფორმაცია
ხაზოვნება	ag (t) + bh (t)	aG (f) + bH (f)
Დროის ცვლა	h (t - t 0)	H (f) exp (-j2pf t 0)
სიხშირის კომპენსაცია (მოდულაცია)	h (t) exp (j2pf0 t)	H (f - f 0)
მასშტაბირება	(1 / | ა |) სთ (ტ / ა)	H (af)
დროის დომენის კონვოლუციის თეორემა	g (t) * h (t)	G (f) H (f)
კონვოლუციის თეორემა სიხშირის დომენში	g (t) h (t)	G (f) * H (f)
ფანჯრის ფუნქცია	Aw (t / T)	2ATsinc (2Tf)
სინკის ფუნქცია	2AFsinc (2Ft)	Aw (f / F)
იმპულსის ფუნქცია	რეკლამა (t)
თვლის ფუნქცია	T (f)	FF (f), F \u003d 1 / T

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება დადგენილია Parseval- ის თეორემაში ორი ფუნქციისათვის g (t) და h (t):

. (8)

თუ g (t) \u003d h (t) დავსვით, მაშინ Parseval- ის თეორემა ამცირებს ენერგიის თეორემას

. (9)

გამოხატვა (9), არსებითად, მხოლოდ ენერგიის დაზოგვის კანონის ფორმულირებაა ორ სფეროში (დრო და სიხშირე). მარცხნივ (9) -ში არის სიგნალის მთლიანი ენერგია, შესაბამისად ფუნქცია

(10)

აღწერს ენერგიის განაწილებას სიხშირეზე განსაზღვრული სიგნალისთვის h (t) და ამიტომ მას სპექტრალური ენერგიის სიმკვრივე (STE) უწოდებენ. გამოთქმების გამოყენება

(11)

შეიძლება გამოითვალოს სიგნალის h (t) ამპლიტუდა და ფაზური სპექტრები.

შერჩევისა და აწონვის ოპერაციები

შემდეგ განყოფილებაში ჩვენ წარმოგიდგენთ დისკრეტული დროის ფურიეს სერიას (DTMF) ან სხვაგვარად დისკრეტულ ფურიეს გარდაქმნას (DFT), როგორც უწყვეტი დროის ფურიეს გარდაქმნის (CFT) სპეციალურ შემთხვევას სიგნალის დამუშავების ორი ძირითადი ოპერაციის გამოყენებით - ნიმუშების აღება ( შერჩევა) და წონა ფანჯრის გამოყენებით. აქ გავითვალისწინებთ ამ ოპერაციების გავლენას სიგნალზე და მის გარდაქმნაზე. ცხრილში 2 ჩამოთვლილია ფუნქციები, რომლებიც გამოიყენება წონისა და შერჩევისთვის.

ერთიანი ნიმუშებისთვის T წამში ინტერვალით, F შერჩევის სიჩქარეა 1 / T Hz. გაითვალისწინეთ, რომ დროის დომენში შეწონის ფუნქცია და სინჯის აღების ფუნქცია აღინიშნება შესაბამისად TW (დროის ფანჯარა) და TS (დროის შერჩევა), ხოლო სიხშირის დომენში - FW (სიხშირის ფანჯარა) და FS (სიხშირის შერჩევა).

ცხრილი 2. წონისა და შერჩევის ფუნქციები

Ოპერაცია	დროის ფუნქცია	ტრანსფორმაცია
დროის დომენის წონა (ფანჯრის სიგანე NT წმ)	TW \u003d w (2 ტ / ნტ - 1)	F (TW) \u003d NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf)
წონის სიხშირის დომენში (ფანჯრის სიგანე 1 / T Hz)		FW \u003d w (2Tf)
ითვლის დროს (ინტერვალი T წმ)	TS \u003d T T (t)
სიხშირეების რაოდენობა (1 / NT Hz ინტერვალებით)

მოდით ვივარაუდოთ, რომ აღებულია უწყვეტი რეალური სიგნალის x (t) ნიმუშები შეზღუდული სპექტრით, რომლის ზედა სიხშირე ტოლია F0. ფაქტობრივი სიგნალის IFT ყოველთვის არის სიმეტრიული ფუნქცია სრული სიგანე 2F0, იხილეთ ნახაზი 1.
X (t) სიგნალის ნიმუშების მიღება შესაძლებელია ამ სიგნალის ნიმუშის ფუნქციაზე გამრავლებით:

(12)

სურათი 1 არის დროის დომენის სინჯების თეორემის ილუსტრაცია რეალური სპექტრის შეზღუდული სიგნალისთვის:
ა - დროის თავდაპირველი ფუნქცია და მისი ფურიეს გარდაქმნა;
ბ - დროის დათვლის ფუნქცია და მისი ფურიეს გარდაქმნა;
გ - ორიგინალი ფუნქციის დროის ნიმუშები და მისი პერიოდულად გაგრძელება ფურიეს გარდაქმნა Fo საქმისთვის<1/2T;
დ - სიხშირის ფანჯარა (იდეალური დაბალი გამავლობის ფილტრი) და მისი ფურიეს გარდაქმნა (სინქსის ფუნქცია);
d არის დროის ორიგინალი ფუნქცია, რომელიც აღდგენილია სინქრონიზაციის ფუნქციით კონვოლუციური ოპერაციით.

სიხშირის დომენის კონვოლუციის თეორემის თანახმად, x (t) სიგნალის IFT უბრალოდ არის x (t) სიგნალის სპექტრის კონვოლუცია და შერჩევის ფუნქციის (TS) ფურიერის გარდაქმნა:

. (13)

X (f) კონვოლუცია შერჩევის ფუნქციის F (TS) \u003d Y1 / T (f) ფურიეს გარდაქმნასთან ერთად პერიოდულად აგრძელებს X (f) სიხშირის ინტერვალს 1 / T Hz. ამიტომ XS (f) არის X (f) პერიოდულად გაფართოებული სპექტრი. ზოგადად, ერთ დომენში (მაგ. დროის დომენში) ნიმუშების შედეგად ხდება პერიოდული გაგრძელება ტრანსფორმაციის დომენში (მაგ., სიხშირის დომენის). თუ შერჩევის სიჩქარე საკმარისად დაბალია შერჩეული (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
მისი ნიმუშებიდან თავდაპირველი დროის სიგნალის აღდგენის მიზნით, ე.ი. ამ ნიმუშებს შორის მნიშვნელობების გარკვეული უწყვეტის დასადგენად, თქვენ შეგიძლიათ გადააბაროთ შერჩეული მონაცემები იდეალური დაბალი პასის ფილტრის მეშვეობით მართკუთხა სიხშირის რეაქციით (ნახ .1 დ)

. (14)

შედეგად (იხ. ნახ. 1 ე) აღდგება ფურიეს ორიგინალი. დროის და სიხშირის დომენებში კონვოლუციის თეორემების გამოყენებით ვიღებთ

. (15)

გამოხატვა (15) არის მათემატიკური აღნიშვნა დროის დომენის შერჩევის თეორემა (Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKS თეორემა), სადაც ნათქვამია, რომ ინტერპოლაციის ფორმულის (15) გამოყენებით, რეალური სიგნალი შეზღუდული სპექტრით შეიძლება ზუსტად აღდგენილი იქნას უსასრულო რიცხვით ცნობილი დროის ნიმუშები აღებულია სიხშირით F і 2F0. ორმაგი თეორემა (15) არის თეორემა ნიმუშები სიხშირის დომენში შეზღუდული ხანგრძლივობის სიგნალებისთვის.
ოპერაციები დროის დომენში, მსგავსია (14), აღწერილია ამ გამოხატვით

, (16)

და შესაბამისი გარდაქმნები გამოხატულია გამონათქვამებით

ამრიგად, შეზღუდული ხანგრძლივობის გარკვეული სიგნალის IFT X (f) შეიძლება ერთმნიშვნელოვნად აღდგეს ასეთი სიგნალის სპექტრის თანაბრად დაშორებული ნიმუშებიდან, თუ შერჩეული სიხშირის სინჯის ინტერვალი აკმაყოფილებს F1 / 2T 0 Hz პირობას, სადაც T 0 არის სიგნალის ხანგრძლივობა.

ურთიერთობები უწყვეტ და დისკრეტულ გარდაქმნებს შორის

გარდაქმნების წყვილი N- წერტილის დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნის (DFT) ჩვეულებრივი განსაზღვრისთვის დროის თანმიმდევრობა x [n] და შესაბამისი N- წერტილი ფურიეს გარდაქმნის მიმდევრობა X [k] მოცემულია

, (18)
. (19)

ენერგიის ან ენერგიის შესაბამის ერთეულებში მონაცემთა ნიმუშებიდან სპექტრალური შეფასების მისაღებად, ჩვენ ჩამოვწერთ დისკრეტული დროის ფურიეს სერიას (DWRF), რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს უწყვეტი დროის ფურიეს გარდაქმნის (CFT) გარკვეულ მიახლოებად, მონაცემთა საბოლოო რაოდენობის გამოყენების საფუძველზე:

იმისათვის, რომ აჩვენოს FWRF- ს შორის მიმოწერის ხასიათი ( დისკრეტული ფუნქციები, როგორც დროის, ასევე სიხშირის დომენებში) და CFT (უწყვეტი ფუნქციები დროში და სიხშირის დომენებში), ჩვენ გვჭირდება ოთხი ხაზოვანი კომუტაციური ოპერაციების თანმიმდევრობა: დროის და სიხშირის დომენებში შეწონა და შერჩევა ან შერჩევა როგორც დროის, ასევე სიხშირის დომენებში. თუ წონის ოპერაცია შესრულებულია ერთ-ერთ ამ უბანში, მაშინ, კონვოლუციის თეორემის თანახმად, ეს შეესაბამება სინქრონიზაციის ფუნქციის სხვა ზონაში გაფილტვრის (კონვოლუციის) ოპერაციის შესრულებას. ანალოგიურად, თუ შერჩევა ხორციელდება ერთ სფეროში, პერიოდულ რეჟიმში გაგრძელდება ოპერაცია მეორეში. მას შემდეგ, რაც აწონვა და სინჯვა არის წრფივი და კომუტაციური ოპერაციები, მათი შეკვეთის სხვადასხვა გზაა შესაძლებელი, რაც ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა განსხვავებული შუალედური შედეგებისთვის. სურათი 2 გვიჩვენებს ამ ოთხი ოპერაციის ორ შესაძლო მიმდევრობას.

ფიგურა: 2. ორი წონის და ორი შერჩევის ოპერაციის ორი შესაძლო თანმიმდევრობა, რომელიც აკავშირებს IWPF და FWDF: FW - ფანჯრის გამოყენება სიხშირის დომენში; TW - ფანჯრის გამოყენება დროის დომენში; FS - შერჩევა სიხშირის დომენში; TS - დროის დომენის შერჩევა.
1 - ფურიეს გარდაქმნა უწყვეტი დროით, განტოლება (1);
4 - ფურიეს გარდაქმნა დისკრეტული დროით, განტოლება (22);
5 - ფურიეს სერია უწყვეტი დროით, განტოლება (25);
8 - ფურიეს სერია დისკრეტული დროით, განტოლება (27)

1, 4, 5 და 8 კვანძებში აწონვისა და სინჯის აღების ოპერაციების შედეგად მოხდება ფურიეს ურთიერთობის ოთხი სხვადასხვა ტიპი. კვანძები, სადაც ფუნქციონირებს სიხშირის დომენი უწყვეტია, ეხება გარდაქმნები ფურიე და კვანძები, რომლებზეც ფუნქციონირებს სიხშირის დომენში დისკრეტულიეხება ფურიეს სერია (იხილეთ დეტალები).
ასე რომ, 4 კვანძში წარმოიქმნება სიხშირის წონა და დროის დომენის შერჩევა დისკრეტული დროის გარდაქმნა ფურიე (FFT), რომელიც ხასიათდება პერიოდული სპექტრის ფუნქციით სიხშირის დომენში 1 / T Hz პერიოდით:

(22)

(23)

გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატვა (22) განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ემთხვევა თავდაპირველ გარდაქმნილ ფუნქციას, რომელიც მითითებულია 1 კვანძში, მხოლოდ სიხშირის დიაპაზონში -1 / 2T– დან 1 / 2T Hz- მდე. გამოხატვა (22) უკავშირდება დისკრეტული თანმიმდევრობის x [n] Z- ტრანსფორმაციას მიმართებით

(24)

ამრიგად, DTPF არის Z- გარდაქმნა, რომელიც გამოითვლება ერთეულ წრეზე და გამრავლებულია T- ზე.
თუ ჩვენ გადავდივართ ნახაზი 2-დან 8-ე კვანძზე, ქვედა ფილიალის გასწვრივ, მე -5 კვანძზე, დროის დომენში შეწონის (სიგნალის ხანგრძლივობის შეზღუდვა) და სიხშირის დომელში სინჯის აღების ოპერაციები წარმოქმნის უწყვეტი დროის ფურიეს სერიას (CWRF). 1 და 2 ცხრილებში მოცემული ფუნქციების მახასიათებლებისა და განმარტებების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ გარდაქმნის შემდეგ წყვილს
(25)
(26)

გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატვა (26) განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ემთხვევა თავდაპირველს (1 კვანძში) მხოლოდ დროის ინტერვალში 0 – დან NT– მდე.
მიუხედავად იმისა, თუ რომელია არჩეული ოთხი ოპერაციის ორი მიმდევრობიდან, საბოლოო შედეგი 8 კვანძში იგივე იქნება - დისკრეტული დროის ფურიეს სერიები, რომელიც შეესაბამება გარდაქმნების შემდეგ წყვილს, რომლებიც მიღებულია 1 ცხრილში მითითებული თვისებების გამოყენებით.

, (27)

სადაც k \u003d -N / 2 ,. ... ... , N / 2-1

, (28)

სადაც n \u003d 0 ,. ... ... , N-1,
ენერგიის ამ თეორიას DWRF აქვს შემდეგი ფორმა:

, (29)

და ახასიათებს N მონაცემთა ნიმუშების მიმდევრობის ენერგიას. X [n] და X [k] თანმიმდევრობები პერიოდული მოდულია N, ამიტომ (28) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

, (30)

სადაც 0 n N. T ფაქტორი (27) - (30) აუცილებელია იმისთვის, რომ (27) და (28) რეალურად იყოს ინტეგრაციის სფეროში ინტეგრალური ტრანსფორმაციის მიახლოება.

.(31)

ნულოვანი შევსება

პროცესის საშუალებით ე.წ. ნულებით ივსებადისკრეტული დროის ფურიეს სერია შეიძლება შეიცვალოს ორიგინალი გარდაქმნის N მნიშვნელობებს შორის ინტერპოლიზაციის მიზნით. ხელმისაწვდომი მონაცემების x, ..., x დაემატოს ნულოვანი მნიშვნელობებით x [N], ... X. ნულოვანი შევსებული 2N პუნქტიანი მონაცემების თანმიმდევრობის DWRF მოგეცემათ

(32)

სადაც შეიცვლება თანხის ზედა ზღვარი ნულოვანი მონაცემების არსებობის ასახვის მიზნით. მოდით k \u003d 2m, ასე რომ

, (33)

სადაც m \u003d 0,1, ..., N-1, განსაზღვრავს X [k] - ის სიდიდეებს. აქედან ჩანს, რომ k ინდექსის თუნდაც მნიშვნელობებისთვის, 2N წერტილოვანი დისკრეტული დროის ფურიეს სერია მცირდება N წერტილოვანი დისკრეტული დროის სერიად. ინდექსის კ უცნაური მნიშვნელობები შეესაბამება WSPF- ის ინტერპოლირებულ მნიშვნელობებს, რომელიც მდებარეობს თავდაპირველი N- წერტილის WTPF მნიშვნელობებს შორის. როგორც უფრო და უფრო მეტი ნული ემატება N- წერტილის თავდაპირველ თანმიმდევრობას, უფრო მეტი ინტერპოლირებული მონაცემების მიღება შეიძლება. შეყვანის ნულთა უსასრულო რაოდენობის შემზღუდველი შემთხვევაში, FWRF შეიძლება ჩაითვალოს N- წერტილოვანი მონაცემების თანმიმდევრობის დისკრეტული დროის ფურიერის გარდაქმნად:

. (34)

ტრანსფორმაცია (34) შეესაბამება ნახაზი 2-ის მე -6 კვანძს.
არსებობს არასწორი მოსაზრება, რომ ნულოვანი შევსება აუმჯობესებს გარჩევადობას, რადგან ეს ზრდის მონაცემთა თანმიმდევრობის ხანგრძლივობას. ამასთან, როგორც ნახაზ 3-დან, ნულების დამატება ხდება არ უმჯობესდება მოცემული საბოლოო მონაცემების თანმიმდევრობიდან მიღებული ტრანსფორმაციის რეზოლუცია. Zero padding უბრალოდ წარმოქმნის ინტერპოლირებულ ტრანსფორმაციას უფრო გლუვი ფორმა... გარდა ამისა, იგი ხსნის ბუნდოვანებას ვიწრო ზოლის სიგნალის კომპონენტების არსებობის გამო, რომელთა სიხშირეები მდებარეობს N წერტილებს შორის, რაც შეესაბამება ორიგინალ FDP– ის სავარაუდო სიხშირეებს. ნულოვანი შევსება ასევე აუმჯობესებს სპექტრალური პიკის სიხშირის შეფასების სიზუსტეს. სპექტრალური გარჩევადობის ტერმინში ვგულისხმობთ ორი ჰარმონიული სიგნალის სპექტრული რეაგირების გარჩევის შესაძლებლობას. ზოგადად მიღებული წესი, რომელიც ხშირად გამოიყენება სპექტრალური ანალიზის დროს, არის ის, რომ განმასხვავებელი სინუსოიდების სიხშირის გამოყოფა არ შეიძლება იყოს ნაკლები ეკვივალენტური ფანჯრის გამტარობარომლის საშუალებითაც შეიმჩნევა ამ სინუსოიდების სეგმენტები (სეგმენტები).

ნახ. 3 ნულოვანი შევსების ინტერპოლაცია:
ა - მოდულის DVRF 16 პუნქტიანი მონაცემების ჩაწერა, რომელიც შეიცავს სამ სინუსოიდს ნულის დამატების გარეშე (გაურკვევლობები ჩანს: შეუძლებელია იმის თქმა, თუ რამდენი სინუსოიდია სიგნალში - ორი, სამი ან ოთხი);
ბ - იგივე თანმიმდევრობის FWRF მოდული 16 ნულის დამატების გამო მისი ნიმუშების რაოდენობის ორმაგად გაზრდის შემდეგ (დასაშვებია გაურკვევლობა, რადგან სამივე სინუსოიდი გამოირჩევა;
გ - იგივე თანმიმდევრობის FWRF მოდული მისი რიცხვების ოთხჯერ გაზრდის შემდეგ ნულოვანი ელემენტების დამატების გამო

ეკვივალენტური ფანჯრის გამტარობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც
სადაც W (f) არის ფანჯრის ფუნქციის დისკრეტული დროის ფურიერის გარდაქმნა, მაგალითად, მართკუთხა (5). ანალოგიურად, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ეკვივალენტური ფანჯრის ხანგრძლივობა

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ფანჯრის (ან ნებისმიერი სხვა სიგნალის) ექვივალენტური ხანგრძლივობა და მისი ტრანსფორმაციის ეკვივალენტური სიჩქარე ურთიერთპასუხისმგებლური მნიშვნელობებია: TeBe \u003d 1.

სწრაფი ფურიეს გარდაქმნა

ფურიეს სწრაფი ტრანსფორმაცია (FFT) არ არის მხოლოდ ფურიეს გარდაქმნის კიდევ ერთი სახეობა, არამედ მრავალი ეფექტური ალგორითმები, შექმნილია დისკრეტული დროის ფურიეს სერიების სწრაფი გამოსათვლელად. FWRF– ის პრაქტიკული განხორციელებისას წარმოქმნილი ძირითადი პრობლემაა N2– ის პროპორციული გამოთვლითი ოპერაციების დიდი რაოდენობა. მიუხედავად იმისა, რომ კომპიუტერების გაჩენამდე დიდი ხნით ადრე შემოთავაზებული იქნა რამდენიმე ეფექტური გამოთვლილი სქემა, რაც მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლითი ოპერაციების რაოდენობას, რეალური რევოლუცია მოახდინა კულიმ და ტუკის სტატიის გამოქვეყნებამ 1965 წელს, სწრაფი და პრაქტიკული ალგორითმის სტატიის გამოანგარიშებით, რომელიც ითვალისწინებს FWP ... ამის შემდეგ შეიქმნა ძირითადი ვარიანტის მრავალი ვარიანტი, გაუმჯობესება და დამატებები, რომლებიც ქმნიან ალგორითმების კლასს, რომელიც ცნობილია როგორც სწრაფი ფურიეს გარდაქმნა. FFT– ის მთავარი იდეა არის N წერტილის WLDF დაყოფა ორ ან მეტ WSP– ზე მოკლე სიგრძის, რომელთაგან თითოეული შეიძლება ცალკე გამოითვალოს და შემდეგ ხაზობრივად შეჯამდეს სხვებთან, რათა მიიღონ ორიგინალური N– წერტილის თანმიმდევრობის WLP.
ჩვენ წარმოვადგენთ დისკრეტულ ფურიეს გარდაქმნას (DFT) სახით

, (35)

სადაც მნიშვნელობას W N \u003d exp (-j2 / N) ეწოდება შემობრუნების ფაქტორს (შემდგომში ამ განყოფილებაში, სინჯის აღების პერიოდი არის T \u003d 1). შეარჩიეთ x [n] თანმიმდევრობის ელემენტები, ლუწი და კენტი რიცხვებით

. (36)

მაგრამ მას შემდეგ
... ამიტომ, (36) შეიძლება დაიწეროს ფორმით

, (37)

სადაც თითოეული ტერმინი წარმოადგენს N / 2 სიგრძის ტრანსფორმაციას

(38)

გაითვალისწინეთ, რომ თანმიმდევრობა (WN / 2) nk პერიოდულია k– ში N / 2 პერიოდით. ამიტომ, მიუხედავად იმისა, რომ გამოხატვის k რიცხვი (37) იღებს მნიშვნელობებს 0-დან N-1-მდე, თითოეული ჯამი გამოითვლება k- ის მნიშვნელობებისთვის 0-დან N / 2-1-მდე. შესაძლებელია შეფასდეს კომპლექსური გამრავლებისა და დამატების ოპერაციების რაოდენობა, რომელიც საჭიროა ფურიეს გარდაქმნის გამოსათვლელად ალგორითმის (37) - (38) შესაბამისად. ორი N / 2 პუნქტიანი ფურიეს გარდაქმნა ფორმულების მიხედვით (38) გულისხმობს 2 (N / 2) 2 გამრავლებას და დაახლოებით იგივე რაოდენობის დამატებებს. ფორმულის (37) ორი N / 2 პუნქტიანი გარდაქმნის გაერთიანება მოითხოვს N გამრავლებასა და N დამატებას. ამიტომ, კ-ის ყველა N მნიშვნელობისთვის ფურიეს გარდაქმნის გამოსათვლელად აუცილებელია N + N 2/2 გამრავლებისა და დამატებების შესრულება. ამავე დროს, პირდაპირი გამოთვლა ფორმულის მიხედვით (35) მოითხოვს გამრავლებას და დამატებას N 2 – ზე. N\u003e 2-ისთვისაც კი, N + N 2/2 უტოლობა< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

ამ შემთხვევაში, W nk N / 4 თანმიმდევრობის პერიოდულობის გამო N / 4 პერიოდის განმავლობაში, თანხები (40) უნდა გამოითვალოს მხოლოდ k მნიშვნელობებისთვის 0-დან N / 4-1-მდე. ამიტომ, X [k] თანმიმდევრობის გაანგარიშება ფორმულების (37), (39) და (40) ფორმით მოითხოვს, რადგან ადვილი გამოსათვლელია გამრავლებისა და დამატების უკვე 2N + N 2/4 ოპერაციები.
ამ გზის გავლით, გამოთვლის რაოდენობა X [k] შეიძლება უფრო და უფრო შემცირდეს. M \u003d log 2 N გაფართოების შემდეგ მივიღებთ ფორმის ორპუნქტიან ფურიეს გარდაქმნებს

(41)

სადაც "ერთი წერტილის გარდაქმნა" X 1 არის სიგნალის x [n] ნიმუშები:

X 1 \u003d x [q] / N, q \u003d 0,1, ..., N-1. (42)

შედეგად, შეგიძლიათ დაწეროთ FFT ალგორითმი, რომელმაც გასაგები მიზეზების გამო მიიღო სახელი დროის ათვლის ალგორითმი :

X 2 \u003d (x [p] + W k 2 x) / N,

სადაც k \u003d 0,1, p \u003d 0,1, ..., N / 2 -1;

X 2N / M \u003d X N / M + W k 2N / M X N / M,

სადაც k \u003d 0,1, ..., 2N / M -1, p \u003d 0,1, ..., M / 2 -1;

X [k] \u003d X N [k] \u003d X N / 2 + W კ N X N / 2, (43)

სადაც k \u003d 0,1, ..., N-1

გაანგარიშების თითოეულ ეტაპზე ტარდება N რთული გამრავლება და დამატება. და ვინაიდან ორიგინალი თანმიმდევრობის დაშლის რაოდენობა ნახევარ სიგრძეზე ტოლია log 2 N, FFT ალგორითმში გამრავლების დამატების ოპერაციების საერთო რაოდენობა უდრის Nlog 2 N. დიდი N– სთვის მნიშვნელოვნად დაზოგა გამოთვლითი ოპერაციები DFT– ის პირდაპირ გაანგარიშებასთან შედარებით. მაგალითად, N \u003d 2 10 \u003d 1024, ოპერაციების რაოდენობა 117-ჯერ იკლებს.
განხილული FFT ალგორითმი ათწილადი დროით დაფუძნებულია ფურიეს გარდაქმნის გამოთვლაზე x [n] თანმიმდევრობის ქვეცნობიერების ფორმირებით. ამასთან, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფურიეს გარდაქმნის X [k] - ის დაშლა. FFT ალგორითმს, რომელიც დაფუძნებულია ამ პროცედურაზე, ეწოდება ალგორითმი with სიხშირის ათწილადი. თქვენ შეგიძლიათ წაიკითხოთ მეტი სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაციის შესახებ, მაგალითად, აქ.

შემთხვევითი პროცესები და სიმძლავრის სპექტრის სიმკვრივე

დისკრეტული შემთხვევითი პროცესი x შეიძლება ჩაითვალოს რეალური ან რთული დისკრეტული დროის (ან სივრცის) მიმდევრობის გარკვეულ სიმრავლედ, ან ანსამბლად, რომელთაგან თითოეული შეიძლება დაფიქსირდეს ზოგიერთი ექსპერიმენტის შედეგად (n არის დროის ინდექსი, მე არის სადამკვირვებლო ნომერი). ერთ-ერთი დაკვირვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა აღინიშნება x [n] - ით. ანსამბლის საშუალო ოპერაცია (ე.ი. სტატისტიკური საშუალო) აღინიშნება ოპერატორის მიერ<>... Ამგვარად, - შემთხვევითი პროცესის საშუალო მნიშვნელობა x [n] n დროს. ავტოკორელაცია შემთხვევითი პროცესი ორ სხვადასხვა დროს n1 და n2 განისაზღვრება r xx \u003d გამოხატულებით .

შემთხვევით პროცესს სტაციონარული ეწოდება ფართო გაგებითთუ მისი საშუალო მნიშვნელობა მუდმივია (დროზე არ არის დამოკიდებული), და ავტოკორელაცია დამოკიდებულია მხოლოდ დროის მაჩვენებლებზე განსხვავებაზე m \u003d n1-n2 (დროის ცვლა ან დაგვიანება ნიმუშებს შორის). ამრიგად, დისკრეტული შემთხვევითი პროცესი x [n], რომელიც სტაციონარულია ფართო გაგებით, ხასიათდება მუდმივი საშუალო მნიშვნელობით = და ავტოკორელაციის თანმიმდევრობა (AKP)

r xx [მ] \u003d< xx*[n] >. (44)

გაითვალისწინეთ ACP– ის შემდეგი თვისებები:

r xx | r xx [მ] | , r xx [-m] \u003d r * xx [მ], (45)

რომლებიც მოქმედებს ყველა მ.
დენის სპექტრალური სიმკვრივე (PSD) განისაზღვრება, როგორც ავტოკორელაციის თანმიმდევრობის დისკრეტული დროის ფურიერის გარდაქმნა (DTFT)

. (46)

PSD, რომლის სიგანე სავარაუდოდ შემოიფარგლება ± 1 / 2T Hz- ით, არის სიხშირის პერიოდული ფუნქცია 1 / T Hz პერიოდით. PSD ფუნქცია აღწერს შემთხვევითი პროცესის ენერგიის სიხშირის განაწილებას. მისთვის არჩეული სახელის დასადასტურებლად გაითვალისწინეთ შებრუნებული DPFT

(47)

გამოითვლება m \u003d 0

(48)

ავტოკორელაცია ნულოვან ცვლაში ახასიათებს საშუალო სიმძლავრე შემთხვევითი პროცესი. (48) -ის თანახმად, მრუდის P xx (f) ფართობი ახასიათებს საშუალო სიმძლავრეს, ამიტომ P xx (f) არის სიმკვრივის ფუნქცია (სიმძლავრე ერთ სიხშირეზე), რომელიც ახასიათებს ენერგიის განაწილებას სიხშირეზე. გარდაქმნების წყვილს (46) და (47) ხშირად უწოდებენ ვიენერ-ხინჩინის თეორემა დისკრეტული დროის შემთხვევაში. მას შემდეგ, რაც r xx [-m] \u003d r * xx [მ], PSD უნდა იყოს მკაცრად რეალური დადებითი ფუნქცია. თუ AKP მკაცრად რეალური ფუნქციაა, მაშინ r xx [-m] \u003d r xx [m] და PSD შეიძლება დაიწეროს ფურიეს კოსინუსური გარდაქმნის სახით.

,

რაც ასევე ნიშნავს, რომ P xx (f) \u003d P xx (-f), ე.ი. SPM არის ლუწი ფუნქცია.
აქამდე ჩვენ გამოვიყენეთ სტატისტიკური საშუალო ანსამბლზე, შემთხვევითი პროცესის საშუალო მნიშვნელობის, კორელაციისა და სიმძლავრის სპექტრის სიმკვრივის დასადგენად. ამასთან, პრაქტიკაში, როგორც წესი, შეუძლებელია საჭირო პროცესის რეალიზების ანსამბლის მოპოვება, რომლითაც ამ სტატისტიკური მახასიათებლების გამოთვლა შეიძლება. სასურველია შეფასდეს ყველა სტატისტიკური თვისება ერთი ნიმუშის რეალიზებიდან x (t), y– ს ჩანაცვლება ანსამბლი საშუალო დროის საშუალო... თვისებას, რომელიც საშუალებას იძლევა ასეთი ცვლილება მოხდეს, ერგოდიზმი ეწოდება. ნათქვამია, რომ შემთხვევითი პროცესი ერგოდურია, თუ ალბათობის ტოლი ერთი, მისი ყველა სტატისტიკური მახასიათებლის პროგნოზირება ანსამბლიდან ერთი რეალიზაციიდან შეიძლება დროის საშუალო მაჩვენებლის გამოყენებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საშუალო მნიშვნელობები დროთა განმავლობაში, პროცესის თითქმის ყველა შესაძლო რეალიზაციის ალბათობით, ერთი შედის იმავე მუდმივ მნიშვნელობამდე - საშუალო მნიშვნელობა ანსამბლზე

. (49)

ეს ლიმიტი, თუ ის არსებობს, გადადის ნამდვილ საშუალოზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დროის საშუალო ცვალებადობა ნულისკენ მიდის, რაც ნიშნავს, რომ შემდეგი პირობაა დაკმაყოფილებული:

. (50)

აქ c xx [m] არის x [n] პროცესის კოვარიაციის ნამდვილი მნიშვნელობა.
ანალოგიურად, პროცესის ნიმუშების x [n] პროდუქტის მნიშვნელობის დაკვირვება დროის ორ წერტილში, შეიძლება ველოდოთ, რომ საშუალო მნიშვნელობა იქნება

(51)

ერგოდეციურობის დაშვება საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ საშუალო მნიშვნელობისა და ავტოკორელაციის განმარტებების შემოღება, არამედ სპექტრალური სიმკვრივის მსგავსი განმარტება.

. (52)

PSD- ის ეს ექვივალენტური ფორმა მიიღება შეწონილი მონაცემთა ნაკადის DFT მოდულის სტატისტიკურად საშუალო დაყოფით, მონაცემების ჩანაწერის სიგრძეზე გაყოფილი შემთხვევისთვის, როდესაც ნიმუშების რაოდენობა იზრდება უსასრულობამდე. სტატისტიკური საშუალოზაცია აქ აუცილებელია, რადგან DPFT თავისთავად არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იცვლება თითოეული რეალიზაციისათვის x [n]. იმისათვის, რომ ვაჩვენოთ, რომ (52) უდრის ვიენერ-ხინჩინის თეორემას, ჩვენ წარმოვადგენთ DTPF მოდულის კვადრატს, როგორც ორი სერიის პროდუქტს და ვცვლით ჯამი და სტატისტიკური საშუალო ოპერაციების რიგს:

(53)

ცნობილი გამოთქმის გამოყენებით

, (54)

მიმართება (53) შეიძლება შემცირდეს შემდეგზე:

(55)

გაითვალისწინეთ, რომ დერივაციის ბოლო ეტაპზე (55) გამოვიყენეთ დაშვება, რომ ავტოკორელაციის თანმიმდევრობა "იშლება", ასე რომ

. (56)

PSD (46) და (52) ორ განმარტებას შორის ურთიერთობა ნათლად ჩანს დიაგრამაზე, რომელიც ნაჩვენებია მე -4 ნახაზზე.
თუ გამოხატვაში (52) არ გავითვალისწინებთ მათემატიკური მოლოდინის მოქმედებას, მივიღებთ PSD– ს შეფასებას

, (57)

რომელსაც ქვია ნიმუში სპექტრი.

ფიგურა: 4. სპექტრული სიმკვრივის შეფასების ორ მეთოდს შორის კავშირი

სპექტრალური შეფასების პერიოდოგრამის მეთოდი

ზემოთ, ჩვენ დავნერგეთ ორი ფორმალური ექვივალენტური მეთოდი ენერგიის სპექტრალური სიმკვრივის (PSD) განსაზღვრისთვის. არაპირდაპირი მეთოდი ემყარება მონაცემთა უსასრულო მიმდევრობის გამოყენებას ავტოკორელაციის თანმიმდევრობის გამოსათვლელად, რომლის ფურიეს გარდაქმნა იძლევა სასურველ PSD- ს. PSD– ს განსაზღვრის პირდაპირი მეთოდი ემყარება ფურიეს გარდაქმნის მოდულის კვადრატის გაანგარიშებას მონაცემთა უსასრულო თანმიმდევრობისათვის, შესაბამისი სტატისტიკური საშუალოობის გამოყენებით. ასეთი საშუალო შეფასების გარეშე მიღებული PSD არადამაკმაყოფილებელი აღმოჩნდა, ვინაიდან ასეთი შეფასების ძირეული საშუალო კვადრატული შეცდომა შედარებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან. ახლა ჩვენ განვიხილავთ საშუალო მეთოდებს, რომლებიც უზრუნველყოფს გლუვ და სტატისტიკურად სტაბილურ სპექტრალურ შეფასებებს ნიმუშების სასრულ რაოდენობაზე. PSD შეფასებებს, რომლებიც ეფუძნება მონაცემთა პირდაპირ ტრანსფორმაციას და შემდგომ საშუალო მაჩვენებლებს, პერიოდოგრამა ეწოდება. ეწოდება SPM შეფასებებს, რისთვისაც კორელაციის შეფასებები პირველად იქმნება საწყისი მონაცემებიდან კორელოგრამი... PSD– ს შეფასების ნებისმიერი მეთოდის გამოყენებისას მომხმარებელს უწევს ბევრი კომპრომისის გაკეთება, რათა სტატისტიკურად სტაბილური სპექტრული შეფასებები მიიღოს მაქსიმალური რეზოლუციით, სასრული რაოდენობის ნიმუშებიდან. ეს კომპრომისები მოიცავს, inter alia, ფანჯრის არჩევას მონაცემთა შეწონვისა და კორელაციის შეფასებისთვის და დროის და სიხშირის დომენის საშუალო პარამეტრებისთვის, რომლებიც აბალანსებს წონის გვერდითი ზონის შემცირების მოთხოვნებს, საშუალო საშუალო და მისაღები სპექტრის გარჩევადობას. ნახ. 5 არის დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს მთავარ ეტაპებს პერიოდოგრამა მეთოდი

ფიგურა: 5. PSD– ის შეფასების ძირითადი ეტაპები პერიოდოგრამის მეთოდის გამოყენებით

მეთოდის გამოყენება იწყება N მონაცემთა ნიმუშების შეგროვებით, რომლებიც აღებულია T წამების ინტერვალით თითო თვლაზე, რასაც მოყვება (სურვილისამებრ) ტენდენციის აღმოფხვრის ეტაპი. სტატისტიკურად სტაბილური სპექტრული შეფასების მისაღებად, არსებული მონაცემები უნდა დაიყოს გადახურულ (თუ შესაძლებელია) სეგმენტებად და შემდეგ მიღებული საშუალო მაჩვენებელი თითოეული ასეთი სეგმენტისთვის. ამ საშუალო მნიშვნელობის პარამეტრები იცვლება ნიმუშების რაოდენობის შესაბამისი არჩევით თითოეულ სეგმენტზე (NSAMP) და იმ ნიმუშების რაოდენობით, რომლითაც საჭიროა შემდეგი სეგმენტის დასაწყისის გადატანა (NSHIFT), იხილეთ ნახ. 6. სეგმენტების რაოდენობა შეირჩევა სპექტრალური ხარჯთაღრიცხვის საჭირო სიგლუვის (დისპერსიის) და საჭირო სპექტრული რეზოლუციის შესაბამისად. NSAMP პარამეტრის მცირე მნიშვნელობით, მიიღება მეტი სეგმენტი, რომელთა საშუალოზე შესრულება მოხდება და, შესაბამისად, მიიღება შეფასებები უფრო მცირე ვარიანტით, მაგრამ აგრეთვე უფრო დაბალი სიხშირის რეზოლუციით. სეგმენტის სიგრძის ზრდა (NSAMP პარამეტრი) ზრდის გარჩევადობას, ბუნებრივია, საშუალო შეფასების მცირე რაოდენობის გამო შეფასების ვარიაციის ზრდის გამო. დიაგრამა 5-ის დასაბრუნებელი ისარი მიუთითებს სეგმენტების სხვადასხვა სიგრძისა და რაოდენობის მონაცემებზე მრავალჯერადი განმეორების საჭიროებაზე, რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ მეტი ინფორმაცია შესწავლილი პროცესის შესახებ.

ნახ .6. პერიოდოგრამის გამოსათვლელად მონაცემების სეგმენტებად დაყოფა

ფანჯარა

ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი საკითხი, რომელიც საერთოა სპექტრული შეფასების ყველა კლასიკურ მეთოდში, დაკავშირებულია მონაცემთა შეწონილობასთან. Windowed დამუშავება გამოიყენება სპექტრალური შეფასებით გვერდითი წილის ეფექტების გასაკონტროლებლად. გაითვალისწინეთ, რომ ხელსაყრელია არსებული სასრული მონაცემების ჩანაწერის გათვალისწინება, როგორც შესაბამისი უსასრულო თანმიმდევრობის ზოგიერთი ნაწილი, რომელიც ჩანს გამოყენებული ფანჯრის საშუალებით. ასე რომ, N ნიმუშების დაფიქსირებული მონაცემების x 0 [n] თანმიმდევრობა მათემატიკურად შეიძლება დაიწეროს, როგორც უსასრულო თანმიმდევრობის x [n] და მართკუთხა ფანჯრის ფუნქციის პროდუქტი

X 0 [n] \u003d x [n] · სწორი [n].
ამ შემთხვევაში აშკარა დაშვება ხდება, რომ ყველა დაუკვირვებადი ნიმუში ნულის ტოლია, იმისდა მიუხედავად, სინამდვილეში ასეა თუ არა. შეწონილი თანმიმდევრობის დისკრეტული დროის ფურიეს გარდაქმნა ტოლია x [n] და მართკუთხა ფანჯრის rect [n] გარდაქმნების კონვოლუციისა.

X 0 (f) \u003d X (f) * D N (f), სადაც
D N (f) \u003d Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).

ფუნქცია D N (f), რომელსაც ეწოდება დისკრეტული სინქსის ფუნქცია, ან Dirichlet kernel, არის მართკუთხა ფუნქციის DTFT. დაკვირვებული სასრული თანმიმდევრობის გარდაქმნა არის უსასრულო მიმდევრობის გარდაქმნის გაბრუებული ვარიანტი. მართკუთხა ფანჯრის გავლენა დისკრეტული დროის სინუსოიდზე, f 0 სიხშირით, ნაჩვენებია ნახაზზე 7.

ნახ .7. დისკრეტული დროის ფურიეს გარდაქმნის გადაადგილების ილუსტრაცია მონაცემების შეწონვის გამო გაჟონვის გამო: a, b - ორიგინალი და შეწონილი თანმიმდევრობა; b, d - მათი ფურიე გარდაქმნის.

ნახატიდან ჩანს, რომ უსასრულო სინუსოიდული თანმიმდევრობის DTFT მკვეთრი სპექტრული მწვერვალები გაფართოვდა ფანჯრის გარდაქმნით კონვოლუციის გამო. ამრიგად, ფანჯარაში შეწონილი თანმიმდევრობის სპექტრალური მწვერვალების მინიმალური სიგანე განისაზღვრება ამ ფანჯრის ძირითადი გარდაქმნის წილის სიგანეზე და არ არის დამოკიდებული მონაცემებზე. ფანჯრის გარდამქმნელი სიდელბოები შეცვლის მომიჯნავე სპექტრალური მწვერვალების ამპლიტუდებს (ზოგჯერ გაჟონვას უწოდებენ). მას შემდეგ, რაც DPFT არის პერიოდული ფუნქცია, გვერდითი წილის სუპერპოზიციამ მომიჯნავე პერიოდებიდან შეიძლება გამოიწვიოს დამატებითი გადაადგილება. ნიმუშის მაჩვენებლის გაზრდა ამცირებს ფურცლის გადახურვას. ბუნებრივია, მსგავსი დამახინჯებები დაფიქსირდება არა სინუსოიდული სიგნალების შემთხვევაში. გაჟონვა არამარტო შემოაქვს ამპლიტუდის შეცდომებს დისკრეტული სიგნალების სპექტრებში, არამედ ასევე შეუძლია დაფაროს სუსტი სიგნალების არსებობა. შეიძლება შემოთავაზებული იყოს ფანჯრის სხვა ფუნქციები, რომლებსაც შეუძლიათ შეამცირონ გვერდითი დონის დონე ვიდრე მართკუთხა ფანჯრით. გვერდითი წილის დონის დაწევა შეამცირებს სპექტრალური ხარჯთაღრიცხვას, მაგრამ ეს ფასდება ფანჯრის სპექტრის ძირითადი წილის გაფართოებით, რაც ბუნებრივად იწვევს გარჩევადობის გაუარესებას. ამიტომ, აქაც უნდა აირჩიონ გარკვეული კომპრომისი ძირითადი წილის სიგანესა და გვერდითი წილის დონეს შორის. რამდენიმე პარამეტრი გამოიყენება ფანჯრების ხარისხის შესაფასებლად. ტრადიციული მეტრი არის მთავარი წილის გამტარობა ნახევარი ენერგიით. მეორე ინდიკატორად გამოიყენება ზემოთ შემოტანილი ეკვივალენტური სიჩქარეს. ასევე გამოიყენება ორი საზომი გვერდითი წილის მახასიათებლების შესაფასებლად. პირველი მათი მაქსიმალური დონეა, მეორე გახრწნის სიჩქარეა, რომელიც ახასიათებს გვერდითი წილის შემცირების სიჩქარეს ძირითადი წილიდან დაშორებით. ცხრილი 3 გვიჩვენებს ზოგიერთი ხშირად გამოყენებული დისკრეტული დროის ფანჯრის ფუნქციების განმარტებებს, ხოლო ცხრილი 4 გვიჩვენებს მათ მახასიათებლებს.
ცხრილი 3. ტიპიური N წერტილოვანი დისკრეტული დროის ფანჯრების განმარტება მაქს. გვერდითი წილის დონე, dB -31.5

. (46)

Correlogram მეთოდი PSD– ს შეფასება უბრალოდ ავტოკორელაციის შეფასების მნიშვნელობების სასრული მიმდევრობის გამოხატულებაა (46) ( კორელოგრამები) უცნობი ნამდვილი ავტოკორელაციის მნიშვნელობების უსასრულო თანმიმდევრობის ნაცვლად. კორელოგრამის სპექტრალური შეფასების მეთოდის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ აქ.

ლიტერატურა

1. Rabiner L., Gould B. ციფრული სიგნალის დამუშავების თეორია და გამოყენება. მ .: მირი, 1978 წ.

2. მარპლ უმცროსი ს.ლ. ციფრული სპექტრალური ანალიზი და მისი პროგრამები: პერ. ინგლისურიდან. -მ .: მირი, 1990 წ.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., ციფრული სიგნალის დამუშავება. - მ .: რადიო და კომუნიკაცია, 1990 წ.

4. Carried R., Enokson L. დროის სერიების გამოყენებითი ანალიზი. - მ.: მირი, 1982 წ.

1

ვიდეო სათვალთვალო კამერები ფართოდ გამოიყენება საგზაო მოძრაობის მაღალი მონიტორინგის მაგისტრალებზე სიტუაციის მონიტორინგისთვის. ვიდეოკამერებიდან მიღებული ინფორმაცია შეიცავს მონაცემებს სისტემის ხედვის სფეროში მანქანების სივრცითი მდგომარეობის დროებითი ცვლილების შესახებ. ამ ინფორმაციის დამუშავება სატელევიზიო გაზომვის სისტემებში (TIS) გამოყენებული ალგორითმების საფუძველზე საშუალებას იძლევა განისაზღვროს მანქანების სიჩქარე და უზრუნველყოს მოძრაობის კონტროლი. სწორედ ეს ფაქტორები ხსნის სატრანსპორტო მაგისტრალების სატელევიზიო მონიტორინგისადმი მზარდ ინტერესს.

მანქანების სურათების ფილტრაციის მეთოდების შემუშავება ხმაურის ფონზე, საჭიროა იცოდეთ მათი ძირითადი პარამეტრები და მახასიათებლები. მანამდე ავტორებმა ჩაატარეს ბუნებრივი და ურბანული წარმოშობის ფურიესა და ტალღოვანი სპექტრის შესწავლა. ეს ნამუშევარი ეძღვნება მსგავსი სატრანსპორტო სპექტრის შესწავლას.

• ციფრული ფოტოაპარატის გამოყენებით შეიქმნა ორიგინალური .bmp ფაილების ბანკი სხვადასხვა ტიპის მანქანების მონოქრომული გამოსახულებებისგან (მანქანები, სატვირთო მანქანები, ავტობუსები, თითოეული ჯგუფისთვის სურათების რაოდენობა იყო 20-40 სხვადასხვა კუთხით და განათების პირობებში); სურათები იყო 400 პიქსელი ჰორიზონტალურად და 300 პიქსელი ვერტიკალურად; სიკაშკაშის დიაპაზონი 0-დან 255 ერთეულამდე;
• მას შემდეგ, რაც სურათები შეიცავს ავტომობილს, ასევე ფონის კომპონენტს, შედეგზე მისი გავლენის თავიდან ასაცილებლად, იგი ხელოვნურად ჩახშობილი იყო ნულამდე;
• მანქანების გამოსახულების მახასიათებლების ანალიზი ჩატარდა ფურიესა და ტალღოვანი ანალიზის მეთოდებით.

MATLAB გარემოში შემუშავებული პროგრამა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ საშუალო სიკაშკაშე (მაგ., სურათის სიკაშკაშის მათემატიკური მოლოდინი), სიკაშკაშის ცვალებადობა, ინდივიდუალური და მთლიანი გამოსახულების ხაზების ფურიერის სპექტრი, სპექტროგრამები, აგრეთვე ტალღოვანი სპექტრები სხვადასხვა ცნობილი ტალღების გამოყენებით (Haar, Daubechies, Simlet და ა.შ.). ანალიზის შედეგები აისახება სურათების ორგანზომილებიანი და 3D სპექტრის სახით.

კვლევის შედეგების საფუძველზე შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი დასკვნები:

• სხვადასხვა ავტომობილების საშუალო სიკაშკაშის მახასიათებლებს (საშუალო სიკაშკაშეს, დისპერსიას) მსგავსია ყველა ტიპისთვის; შუშისა და მანქანის ზედაპირებისგან მზის სხივი მნიშვნელოვან გავლენას ახდენს სიკაშკაშის მახასიათებლებზე; განათების ინტენსივობიდან და მიმართულებიდან გამომდინარე, შავ მანქანებს შეიძლება ჰქონდეთ სინათლის მახასიათებლები, მსგავსი მსუბუქი ფერის მანქანებისა;
• მიუხედავად ავტომობილის ტიპისა, ფურიეს და ტალღურ სპექტრს მსგავსი სტრუქტურა აქვთ;
• მანქანების ფურიეს სპექტრის სიგანე სუსტად არის დამოკიდებული ავტომობილის ტიპზე; სპექტრს აქვს მნიშვნელოვნად არათანაბარი სტრუქტურა, რომელიც იცვლება განათების შეცვლით და ავტომობილების ორიენტაციით; სპექტრს ჰორიზონტალურ სიბრტყეში უფრო არათანაბარი სტრუქტურა აქვს, ვიდრე ვერტიკალურში; ნახევრად სატვირთო და ავტობუსების სპექტრულ მახასიათებლებზე დიდ გავლენას ახდენს მის ზედაპირებზე არსებული ნახაზები და წარწერები (რეკლამები);
• მანქანების მოქცევისას, ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე სურათების სპექტრის ცვლილება მნიშვნელოვანია, ვერტიკალურ სიბრტყეში სპექტრი საკმაოდ სტაბილური რჩება ეს განსაკუთრებით მკაფიოდ ჩანს ტალღოვანი სპექტრებში;
• ინდივიდუალური სატრანსპორტო საშუალების და სატრანსპორტო საშუალების სპექტრის ანალიზმა ჩარევის ფონზე აჩვენებს, რომ ისინი განსხვავდებიან სპექტრალური კომპონენტების ამპლიტუდის დონის მიხედვით; ფონის არარსებობის შემთხვევაში, ვერტიკალური სპექტრი გაცილებით ერთგვაროვანია; ფონის გარეშე მანქანების სურათებისათვის, სპექტრში უფრო ღრმა ჩავარდნის ალბათობაა (უფრო მაღალი არათანაბარი), სურათის სპექტრის კონვერტი უფრო ერთფეროვანია, ვიდრე ფონის გარეშე;
• გამოკვლევებმა აჩვენა, რომ დიდი რაოდენობით ფაქტორების ძლიერი გავლენის გამო, მანქანების სპექტრული მახასიათებლები (როგორც ფურიეს ანალიზის, ასევე ტალღოვანი ანალიზის გამოყენებით) არ გვაძლევს საშუალებას დავადგინოთ სტაბილური სპექტრული მახასიათებლები ავტომობილების სურათებისა; ეს ამცირებს სურათების სპექტრული ფილტრაციის ეფექტურობას, რომელიც ხორციელდება ფონის ჩახშობის მიზნით;
• საგზაო მოძრაობის მართვის ავტომატიზირებულ სისტემებში, მანქანების ჩარევის ფონზე გარჩევის მიზნით, აუცილებელია ისეთი მახასიათებლების გამოყენება, როგორიცაა ფერი, სპექტრი, ობიექტების გეომეტრიული პარამეტრები (ზომები და ასპექტების კოეფიციენტები) და დინამიკური მახასიათებლები.

ბიბლიოგრაფია

1. მაკარეცკი ე.ა., ნგუენი ლ.ხ. ბუნებრივი და ურბანული ფონის სურათების მახასიათებლების გამოკვლევა // იზვ. ტულსკი. სახელმწიფო უნივერსიტეტი. რადიოტექნიკა და რადიოოპტიკა. - ტულა, 2005 .-- T. 7.- P.97-104.

ბიბლიოგრაფიული ცნობარი

მაკარეტსკი ე.ა. ავტომობილების გამოსახულების სპექტრის მეოთხედისა და ვალეტის კვლევა // ფუნდამენტური კვლევა. - 2006. - No 12. - გვ. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id\u003d5557 (დაშვების თარიღი: 15.01.2020). თქვენს ყურადღებას გავეცანით "საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა აკადემიის" მიერ გამოქვეყნებული ჟურნალები

სპექტრული ანალიზი

სპექტრული ანალიზი არის მონაცემთა დამუშავების მეთოდების ფართო კლასი, რომელიც ეფუძნება მათი სიხშირის წარმოდგენას, ან სპექტრს. სპექტრი მიიღება ორიგინალური ფუნქციის გაფართოების შედეგად, რომელიც დამოკიდებულია დროზე (დროის სერია) ან სივრცულ კოორდინატებზე (მაგალითად, სურათზე) გარკვეული პერიოდული ფუნქციის საფუძველზე. სპექტრალური დამუშავებისათვის ყველაზე ხშირად გამოიყენება სინუსის საფუძველზე მიღებული ფურიეს სპექტრი (ფურიეს გაფართოება, ფურიეს გარდაქმნა).

ფურიეს გარდაქმნის მთავარი მნიშვნელობა არის ის, რომ თვითნებური ფორმის საწყისი არა პერიოდული ფუნქცია, რომლის ანალიზირება შეუძლებელია და ამიტომ მისი დამუშავება და ანალიზი რთულია, წარმოადგენს სინუსების ან კოსინუსების ერთობლიობას, სხვადასხვა სიხშირით, ამპლიტუდით და საწყისი ფაზებით.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რთული ფუნქცია გარდაიქმნება მრავალ მარტივ ფუნქციად. ფურიეს გაფართოების შედეგად მიღებული თითოეული სინუსოიდი (ან კოსინუსი) გარკვეული სიხშირით და ამპლიტუდით ე.წ. სპექტრული კომპონენტი ან ჰარმონიკა... სპექტრული კომპონენტები ქმნიან ფურიეს სპექტრი.

ვიზუალურად, ფურიეს სპექტრი წარმოდგენილია გრაფიკის სახით, რომელზეც წრიული სიხშირე, რომელიც ბერძნული ასოთი "ომეგა" აღინიშნება, გამოსახულია ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ, ხოლო სპექტრული კომპონენტების ამპლიტუდა, როგორც წესი, მითითებულია ლათინური ასო A- ით. რომელიც ჰორიზონტალურად შეესაბამება მის სიხშირეს და მისი სიმაღლე შეესაბამება მის ამპლიტუდას. ჰარმონიას ნულოვანი სიხშირით ეწოდება მუდმივი კომპონენტი (დროებითი თვალსაზრისით, ეს არის სწორი ხაზი).

სპექტრის უბრალო ვიზუალურმა ანალიზმაც კი შეიძლება ბევრი რამ თქვას იმ ფუნქციის ხასიათის შესახებ, საიდანაც იგი წარმოიშვა. ინტუიციურად ნათელია, რომ საწყისი მონაცემების სწრაფი ცვლილებები წარმოქმნის სპექტრის კომპონენტებს მაღალი სიხშირე და ნელი - თან დაბალი... ამიტომ, თუ მასში კომპონენტების ამპლიტუდა სწრაფად იკლებს გაზრდილი სიხშირით, მაშინ საწყისი ფუნქცია (მაგალითად, დროის სერია) გლუვია, ხოლო თუ სპექტრი შეიცავს მაღალი სიხშირის კომპონენტებს დიდი ამპლიტუდით, მაშინ საწყისი ფუნქცია შეიცავს მკვეთრ რყევებს. ამრიგად, დროული სერიისთვის ეს შეიძლება მიუთითებდეს დიდ შემთხვევით კომპონენტზე, მის მიერ აღწერილი პროცესების არასტაბილურობაზე და მონაცემებში ხმაურის არსებობაზე.

სპექტრული დამუშავება ემყარება სპექტრის მანიპულაციას. მართლაც, თუ შევამცირებთ (ჩახშობას) მაღალსიხშირული კომპონენტების ამპლიტუდას, შემდეგ კი, შეცვლილ სპექტრზე დაყრდნობით, აღვადგენთ თავდაპირველ ფუნქციას ფურიეს შებრუნებული გარდაქმნის შესრულებით, ეს უფრო გლუვი გახდება მაღალი სიხშირის კომპონენტის ამოღების გამო

მაგალითად, დროის სერიისთვის ეს ნიშნავს ყოველდღიური გაყიდვების შესახებ ინფორმაციის ამოღებას, რომელიც ძალზე მგრძნობიარეა შემთხვევითი ფაქტორების მიმართ და უფრო სტაბილური ტენდენციების დატოვებას, მაგალითად, სეზონურობას. თქვენ, პირიქით, შეგიძლიათ კომპრომენტები თრგუნავთ დაბალი სიხშირით, რაც მოხსნის ნელ ცვლილებებს და დატოვებს მხოლოდ სწრაფს. დროის სერიის შემთხვევაში, ეს ნიშნავს სეზონური კომპონენტის ჩახშობას.

ამ გზით სპექტრის გამოყენებით შეგიძლიათ მიაღწიოთ ორიგინალ მონაცემებში სასურველ ცვლილებას. ყველაზე ხშირად გამოყენებულია დროის სერიების გამარტივება სპექტრში მაღალი სიხშირის კომპონენტების ამპლიტუდის მოცილებით ან შემცირებით.

სპექტრის მანიპულირებისთვის გამოიყენება ფილტრები - ალგორითმები, რომლებსაც შეუძლიათ სპექტრის ფორმის კონტროლი, მისი კომპონენტების ჩახშობა ან გაძლიერება. Მთავარი ქონება ნებისმიერი ფილტრი არის მისი ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებელი (AFC), რომლის ფორმაზეც დამოკიდებულია სპექტრის ტრანსფორმაცია.

თუ ფილტრი გადის მხოლოდ სპექტრალურ კომპონენტებს სიხშირით, გარკვეული გამორთვის სიხშირეზე დაბალი, მაშინ მას უწოდებენ დაბალი გამავლობის ფილტრს (LPF) და ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მონაცემთა გასწორების, ხმაურისა და ანომალიური მნიშვნელობების გასუფთავებისთვის.

თუ ფილტრი გადის სპექტრალურ კომპონენტებს გარკვეულ გათიშვის სიხშირეზე მაღლა, მაშინ მას უწოდებენ მაღალ გამტარ ფილტრს (HPF). ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ისეთი ნელი ცვლილებების ჩასახშობად, როგორიცაა სეზონურობა მონაცემთა სერიებში.

გარდა ამისა, გამოიყენება მრავალი სხვა სახის ფილტრები: საშუალო დიაპაზონის ფილტრები, მაღალი დონის ფილტრები და გამტარ ფილტრები, ასევე უფრო რთული, რომლებიც გამოიყენება ელექტრონიკაში სიგნალის დამუშავებისას. ფილტრის სიხშირის რეაგირების ტიპისა და ფორმის არჩევით, სპექტრალური დამუშავებით შეგიძლიათ მიაღწიოთ ორიგინალი მონაცემების სასურველ ტრანსფორმაციას.

მონაცემთა სიხშირის გაფილტვრისას, ხმაურის გამოსწორებისა და ამოღების მიზნით, საჭიროა სწორად მიუთითოთ დაბალი გამავლობის ფილტრის სიგანე. თუ ის ძალიან მაღალია არჩეული, დამარბილებლის ხარისხი არასაკმარისი იქნება და ხმაური სრულად არ იქნება დათრგუნული. თუ ის ძალიან ვიწროა, მაშინ ხმაურთან ერთად, შესაძლოა ჩახშობილი იქნას ცვლილებები, რომლებიც სასარგებლო ინფორმაციას ატარებს. მიუხედავად იმისა, რომ ტექნიკურ პროგრამებში არსებობს მკაცრი კრიტერიუმები ფილტრების ოპტიმალური მუშაობის დასადგენად, ანალიტიკურ ტექნოლოგიებში აუცილებელია ძირითადად ექსპერიმენტული მეთოდების გამოყენება.

სპექტრული ანალიზი მონაცემთა დამუშავების ერთ – ერთი ყველაზე ეფექტური და კარგად შემუშავებული ტექნიკაა. სიხშირის ფილტრაცია მხოლოდ ერთია მისი მრავალი პროგრამადან. გარდა ამისა, იგი გამოიყენება კორელაციისა და სტატისტიკური ანალიზის, სიგნალისა და ფუნქციების სინთეზის, მოდელის აგების და ა.შ.

1. ფურიეს გარდაქმნა და სიგნალის სპექტრი

ხშირ შემთხვევაში, სიგნალის სპექტრის მიღების (გაანგარიშების) ამოცანა შემდეგია. არსებობს ADC, რომელიც შერჩევის სიხშირით Fd, გარდაქმნის უწყვეტ სიგნალს, რომელიც მის დროს შედის T ციფრულ ნიმუშებად - N ცვლად. შემდეგ, ნიმუშების მასივი შეიტანება გარკვეულ პროგრამაში, რომელიც გამოაქვს N / 2 რიცხვითი მნიშვნელობები (პროგრამისტი, რომელიც ინტერნეტიდან გამოყვანილი დაწერა პროგრამა, ირწმუნება, რომ ეს ფურიეს გარდაქმნას ახდენს).

შეამოწმეთ სწორად მუშაობს თუ არა პროგრამა, მოდით შევქმნათ ნიმუშების მასივი, როგორც ორი სინუსოიდი sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) ჯამი და ჩავუშვათ პროგრამაში. პროგრამა მოიცავს შემდეგს:

ნახ. 1 სიგნალის დროის ფუნქციის გრაფიკი

ნახ. 2 სიგნალის სპექტრის გრაფიკი

სპექტრის გრაფიკს აქვს ორი ჰოხი (ჰარმონიკა) 5 ჰერციანი, ამპლიტუდა 0,5 ვ და 10 ჰც - ამპლიტუდა 1 ვ, ყველაფერი ისე, როგორც ორიგინალი სიგნალის ფორმულაში. ყველაფერი კარგადაა, კარგად გაკეთებული პროგრამისტი! პროგრამა მუშაობს სწორად.

ეს ნიშნავს, რომ თუ რეალურ სიგნალს მივაწვდით ორი სინუსოიდის ნარევიდან ADC შეყვანას, მაშინ მივიღებთ მსგავს სპექტრს, რომელიც შედგება ორი ჰარმონიკისგან.

სულ, ჩვენი ნამდვილი იზომება სიგნალი, ხანგრძლივობა 5 წმ, ციფრული ADC, ანუ წარმოდგენილია დისკრეტული ითვლის, აქვს დისკრეტული არა პერიოდული სპექტრი.

მათემატიკური თვალსაზრისით, რამდენი შეცდომაა ამ ფრაზაში?

ახლა უფროსებმა გადაწყვიტეს, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ 5 წამი ძალიან გრძელია, მოდით გავზომოთ სიგნალი 0,5 წამში.



ნახ .3 ფუნქციის გრაფიკი sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) გაზომვის პერიოდში 0,5 წმ

ნახ .4 ფუნქციების სპექტრი

როგორც ჩანს, რაღაც არასწორია! 10 ჰერციანი ჰარმონიული ხატავს ჩვეულებრივ და 5 ჰერციანი ჯოხის ნაცვლად გამოჩნდა გაუგებარი ჰარმონიკა. ჩვენ ვუყურებთ ინტერნეტს, რა და როგორ ...

ისინი ამბობენ, რომ ნიმუშის ბოლოს ნულები უნდა დაემატოს და სპექტრი ნორმალურად მოხდება.

ნახ. 5 დასრულდა ნულებით 5 წმ-მდე

ნახ .6 მიიღო სპექტრი

ჯერ კიდევ არ არის ის რაც 5 წამში იყო. ჩვენ უნდა გაუმკლავდეთ თეორიას. Წადი ვიკიპედია - ცოდნის წყარო.

2. უწყვეტი ფუნქცია და მისი წარმოდგენა ფურიეს სერიით

მათემატიკურად, ჩვენი სიგნალი T წამით არის ფუნქცია f (x), რომელიც განისაზღვრება ინტერვალზე (0, T) (X ამ შემთხვევაში არის დრო). ასეთი ფუნქცია ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფორმის ჰარმონიული ფუნქციების (სინუსოიდები ან კოსინუსები) ჯამი:

(1), სადაც:

K - ტრიგონომეტრიული ფუნქციის რაოდენობა (ჰარმონიული კომპონენტის რაოდენობა, ჰარმონიული რიცხვი)
T - სეგმენტი, სადაც ფუნქციაა განსაზღვრული (სიგნალის ხანგრძლივობა)
Ak არის kth ჰარმონიული კომპონენტის ამპლიტუდა,
? k არის მე -5 ჰარმონიული კომპონენტის საწყისი ეტაპი

რას ნიშნავს "ფუნქციის წარმოდგენა, როგორც სერიის ჯამი"? ეს ნიშნავს, რომ თითოეულ წერტილში ფურიეს სერიის ჰარმონიული კომპონენტების მნიშვნელობების დამატებით, ამ ეტაპზე მივიღებთ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობას.

(უფრო მკაცრად, f (x) ფუნქციიდან სერიის ძირ-საშუალო კვადრატის გადახრა იქნება ნულისკენ, მაგრამ მიუხედავად root- საშუალო კვადრატული კონვერგენციისა, ფუნქციის ფურიეს სერია, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის ვალდებული მასთან გადავიდეს. იხ. wiki / Fourier_Row.)

ეს სერია ასევე შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

(2),
სადაც მე -7 კომპლექსის ამპლიტუდა.

(1) და (3) კოეფიციენტებს შორის კავშირი გამოიხატება შემდეგი ფორმულებით:

გაითვალისწინეთ, რომ ფურიეს სერიის ეს სამივე წარმომადგენლობა მთლიანად ეკვივალენტურია. ზოგჯერ, ფურიეს სერიასთან მუშაობისას, უფრო მოსახერხებელია გამოიყენოს წარმოსახვითი არგუმენტი სინუსებისა და კოსინუსების ნაცვლად, ანუ გამოიყენოს ფურიეს გარდაქმნა რთული ფორმით. მაგრამ ჩვენთვის ხელსაყრელია ფორმულის გამოყენება (1), სადაც ფურიეს სერია წარმოდგენილია როგორც კოსინუსური ტალღების ჯამი შესაბამისი ამპლიტუდებით და ფაზებით. ნებისმიერ შემთხვევაში, არასწორია იმის თქმა, რომ რეალური სიგნალის ფურიეს გარდაქმნის შედეგი იქნება ჰარმონიების რთული ამპლიტუდები. როგორც ვიკი ამბობს, "ფურიეს გარდაქმნა (?) არის ოპერაცია, რომელიც ანიჭებს ერთ ფუნქციას რეალურ ცვლადს სხვა ფუნქციას, ასევე რეალურ ცვლადს".

სულ:
სიგნალების სპექტრალური ანალიზის მათემატიკური საფუძველია ფურიეს გარდაქმნა.

ფურიეს გარდაქმნა საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ უწყვეტი ფუნქცია f (x) (სიგნალი), რომელიც განისაზღვრება სეგმენტზე (0, T), როგორც უსასრულო რიცხვის (უსასრულო სერია) ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (სინუსოიდები და \\ ან კოსინუსები) გარკვეული ამპლიტუდებითა და ფაზებით, ასევე გათვალისწინებულია სეგმენტზე (0, T). ასეთ სერიას ფურიეს სერიას უწოდებენ.

მოდით აღვნიშნოთ კიდევ რამდენიმე პუნქტი, რომელთა გაგებაც საჭიროა ფურიეს გარდაქმნის სწორი გამოყენებისათვის სიგნალის ანალიზზე. თუ გავითვალისწინებთ ფურიეს სერიას (სინუსოიდების ჯამი) მთელ X ღერძზე, მაშინ ვხედავთ, რომ სეგმენტის გარეთ (0, T) ფურიეს სერიით წარმოდგენილი ფუნქცია პერიოდულად იმეორებს ჩვენს ფუნქციას.

მაგალითად, დიაგრამა 7-ზე, თავდაპირველი ფუნქცია განისაზღვრება ინტერვალზე (-T \\ 2, + T \\ 2), ხოლო ფურიეს სერია წარმოადგენს პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება მთლიანი x ღერძზე.

ეს იმიტომ ხდება, რომ სინუსოიდები თავად არიან პერიოდული ფუნქციები და შესაბამისად, მათი ჯამი იქნება პერიოდული ფუნქცია.

ნახ .7 ფურიეს სერიის მიერ არა პერიოდული საწყისი ფუნქციის წარმოდგენა

Ამგვარად:

ჩვენი ორიგინალი ფუნქცია არის უწყვეტი, არა პერიოდული, განსაზღვრული სიგრძის ზოგიერთ სეგმენტზე.
ამ ფუნქციის სპექტრი დისკრეტულია, ანუ ის წარმოდგენილია ჰარმონიული კომპონენტების უსასრულო სერიის - ფურიეს სერიის სახით.
სინამდვილეში, ფურიეს სერია განსაზღვრავს გარკვეულ პერიოდულ ფუნქციას, რომელიც ემთხვევა სეგმენტს (0, T), მაგრამ ეს პერიოდულობა ჩვენთვის არსებითი არ არის.

ჰარმონიული კომპონენტების პერიოდებია სეგმენტის (0, T) ჯერადი, რომელზეც განისაზღვრება თავდაპირველი ფუნქცია f (x). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჰარმონიული პერიოდები სიგნალის გაზომვის ხანგრძლივობის ჯერადია. მაგალითად, ფურიეს სერიის პირველი ჰარმონიის პერიოდი უდრის T ინტერვალს, რომელზეც განისაზღვრება f (x) ფუნქცია. ფურიეს სერიის მეორე ჰარმონიის პერიოდი უდრის T / 2 ინტერვალს. და ა.შ. (იხ. სურათი 8).

ნახ .8 ფურიეს სერიის ჰარმონიული კომპონენტების პერიოდები (სიხშირეები) (აქ T \u003d 2?)

შესაბამისად, ჰარმონიული კომპონენტების სიხშირე მრავლდება 1 / T– ზე. ეს არის, ჰარმონიული კომპონენტების სიხშირე Fk ტოლია Fk \u003d k \\ T, სადაც k აწარმოებს მნიშვნელობებს 0 – დან ?, მაგალითად, k \u003d 0 F0 \u003d 0; k \u003d 1 F1 \u003d 1 \\ T; k \u003d 2 F2 \u003d 2 \\ T; k \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ T;… Fk \u003d k \\ T (ნულოვანი სიხშირით - მუდმივი კომპონენტი).

მოდით, ჩვენი ორიგინალი ფუნქცია იყოს T \u003d 1 წმ-ზე ჩაწერილი სიგნალი. მაშინ პირველი ჰარმონიული პერიოდის ტოლი იქნება ჩვენი სიგნალის ხანგრძლივობა T1 \u003d T \u003d 1 წმ და ჰარმონიკის სიხშირე 1 ჰც. მეორე ჰარმონიული პერიოდი ტოლი იქნება სიგნალის ხანგრძლივობის გაყოფილი 2-ზე (T2 \u003d T / 2 \u003d 0.5 წმ) და სიხშირე 2 Hz. მესამე ჰარმონიისთვის T3 \u003d T / 3 წმ და სიხშირე 3 ჰერცი. და ა.შ.

ნაბიჯი ამ შემთხვევაში ჰარმონიკას შორის არის 1 ჰერცი.

ამრიგად, 1 წამიანი სიგნალი შეიძლება დაიშალა ჰარმონიულ კომპონენტებად (სპექტრის მისაღებად) სიხშირის რეზოლუციით 1 ჰერცი.
რეზოლუციის 2-ჯერ გაზრდა 0,5 ჰც-მდე, საჭიროა გაზომვის ხანგრძლივობის 2-ჯერ გაზრდა - 2 წმ-მდე. 10 წამის ხანგრძლივობის სიგნალი შეიძლება დაიშალა ჰარმონიულ კომპონენტებად (სპექტრის მისაღებად), 0,1 ჰერცი სიხშირის რეზოლუციით. სიხშირის რეზოლუციის გაზრდის სხვა გზა არ არსებობს.

არსებობს გზა სიგნალის ხანგრძლივობის ხელოვნურად გაზრდის ნიმუშის მასივში ნულების დამატებით. მაგრამ ეს არ ზრდის რეალურ სიხშირის რეზოლუციას.

3. დისკრეტული სიგნალები და დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა

ციფრული ტექნოლოგიის განვითარებასთან ერთად შეიცვალა გაზომვის მონაცემების (სიგნალების) შენახვის მეთოდებიც. თუ ადრე სიგნალის ჩაწერა შეიძლებოდა მაგნიტოფონზე და ინახებოდა ფირზე ანალოგური ფორმით, ახლა სიგნალები ციფრულია და ინახება კომპიუტერში, მეხსიერებაში, ციფრების სახით (კითხვა).

სიგნალის გაზომვისა და დიგიტალიზაციის ტიპიური სქემა ასეთია.

ნახ .9 გაზომვის არხის დიაგრამა

საზომი გადამცემიდან მიღებული სიგნალი მიეწოდება ADC– ს გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. T სიგნალის (ნიმუშის) ნიმუშები მიღებული T დროში გადადის კომპიუტერში და ინახება მეხსიერებაში.

ნახ .10 ციფრული სიგნალი - N ნიმუში მიღებული T

რა მოთხოვნებს უნდა აკმაყოფილებდეს სიგნალის დიგიტალიზაციის პარამეტრები? მოწყობილობას, რომელიც შეყვანის ანალოგურ სიგნალს გარდაქმნის დისკრეტულ კოდში (ციფრული სიგნალი), ეწოდება ანალოგურ – ციფრულ გადამყვანად (ADC) (Wiki).

ADC– ს ერთ – ერთი მთავარი პარამეტრია შერჩევის მაქსიმალური სიჩქარე (ან სინჯის აღების სიჩქარე, ინგლისური ნიმუშის სიჩქარე) - უწყვეტი სიგნალის სინჯის აღების დრო მისი სინჯის აღების დროს. იზომება ჰერციში. ((ვიკი))

კოტელნიკოვის თეორემის თანახმად, თუ უწყვეტ სიგნალს აქვს სპექტრი, რომელიც შემოიფარგლება Fmax სიხშირით, მაშინ ის შეიძლება მთლიანად და ერთმნიშვნელოვნად აღდგეს მისი დისკრეტული ნიმუშებიდან, რომელიც აღებულია დროში , ე.ი. Fd სიხშირით? 2 * Fmax, სადაც Fd არის შერჩევის სიჩქარე; Fmax არის სიგნალის სპექტრის მაქსიმალური სიხშირე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიგნალის სინჯის სიხშირე (ADC სინჯის სიხშირე) უნდა იყოს მინიმუმ 2-ჯერ მეტი, ვიდრე სიგნალის მაქსიმალური სიხშირე, რომლის გაზომვაც გვინდა.

და რა მოხდება, თუ ავიღებთ ნიმუშებს უფრო დაბალი სიხშირით, ვიდრე ამას კოტელნიკოვის თეორემა მოითხოვს?

ამ შემთხვევაში ხდება "aliasing" - ის ეფექტი (იგივე სტრობოსკოპიული ეფექტი, moiré ეფექტი), რომელშიც ციფრულიზაციის შემდეგ მაღალი სიხშირის სიგნალი გადაიქცევა დაბალი სიხშირის სიგნალად, რომელიც სინამდვილეში არ არსებობს. ნახ. 5 მაღალი სიხშირის წითელი სინუსური ტალღა რეალური სიგნალია. ქვედა სიხშირის ლურჯი სინუსოიდი არის ცუდი სიგნალი, რომელიც წარმოიქმნება იმის გამო, რომ შერჩევის დროს იგი ახერხებს მაღალი სიხშირის სიგნალის ნახევარზე მეტი პერიოდის გავლას.

ფიგურა: 11. დაბალი სიხშირის ყალბი სიგნალის გამოჩენა არასაკმარისად მაღალი შერჩევის სიჩქარით

Aliasing- ის ეფექტის თავიდან ასაცილებლად, სპეციალური ანტი-aliasing ფილტრი დამონტაჟებულია ADC- ის წინაშე - დაბალი გამავლობის ფილტრი (დაბალი გამავლობის ფილტრი), რომელიც გადის სიხშირეებს ADC- ის სინჯის სიხშირის ნახევარზე ქვემოთ და ჭრის უფრო მაღალ სიხშირეებს.

მისი დისკრეტული ნიმუშებიდან სიგნალის სპექტრის გამოსათვლელად გამოიყენება დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა (DFT). კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ დისკრეტული სიგნალის სპექტრი "განმარტებით" შემოიფარგლება Fmax სიხშირით, შერჩევის სიხშირის Fd– ის ნახევარზე ნაკლები. აქედან გამომდინარე, დისკრეტული სიგნალის სპექტრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სასრული რაოდენობის ჰარმონიკის ჯამით, განსხვავებით უწყვეტი სიგნალის ფურიეს სერიის უსასრულო ჯამისა, რომლის სპექტრი შეიძლება შეუზღუდავი იყოს. კოტელნიკოვის თეორემის თანახმად, ჰარმონიის მაქსიმალური სიხშირე ისეთი უნდა იყოს, რომ მას მინიმუმ ორი კითხვა ჰქონდეს, ამიტომ ჰარმონიკის რაოდენობა უდრის დისკრეტული სიგნალის ნიმუშების ნახევარს. ანუ, თუ ნიმუში არის N ნიმუში, მაშინ სპექტრში ჰარმონიკის რაოდენობა N / 2-ის ტოლი იქნება.

ახლა განვიხილოთ დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა (DFT).

ფურიეს სერიასთან შედარება

ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი ემთხვევა ერთმანეთს, გარდა იმისა, რომ DFT– ში დრო არის დისკრეტული და ჰარმონიების რაოდენობა შემოიფარგლება N / 2 – ით, რაც ნიმუშების რაოდენობის ნახევარია.

DFT ფორმულები იწერება განზომილებიანი მთელი რიცხვის ცვლადებში k, s, სადაც k არის სიგნალის ნიმუშების რაოდენობა, s არის სპექტრული კომპონენტების რაოდენობა.
S- ის მნიშვნელობა გვიჩვენებს T ჰარმონიული რხევების რაოდენობას T პერიოდში (სიგნალის გაზომვის ხანგრძლივობა). დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა გამოიყენება ჰარმონიკის ამპლიტუდებისა და ფაზების რიცხობრივი მოსაძებნად, ე.ი. "კომპიუტერზე"

დასაწყისში დავუბრუნდეთ შედეგებს. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ფურიეს სერიაში არა პერიოდული ფუნქციის (ჩვენი სიგნალის) გაფართოებისას, მიღებული ფურიეს სერია სინამდვილეში შეესაბამება პერიოდულ ფუნქციას T პერიოდის მქონე (ნახ .12).

ნახ .12 პერიოდული ფუნქცია f (x) T0 პერიოდით, T\u003e T0 გაზომვის პერიოდით

როგორც ნახ .12 ნახ., F (x) ფუნქცია პერიოდულია T0 პერიოდით. ამასთან, იმის გამო, რომ გაზომვის ნიმუშის ხანგრძლივობა არ ემთხვევა T0 ფუნქციის პერიოდს, ფურიეს სერიად მიღებულ ფუნქციას წყვეტს T წერტილში. შედეგად, ამ ფუნქციის სპექტრი შეიცავს დიდი რაოდენობით მაღალი სიხშირის ჰარმონიკას. თუ გაზომვის ნიმუშის ხანგრძლივობა დაემთხვა T0 ფუნქციის პერიოდს, მაშინ ფურიეს გარდაქმნის შემდეგ მიღებულ სპექტრში მხოლოდ პირველი ჰარმონიული იქნება (სინუსოიდი სინჯის ხანგრძლივობის ტოლი პერიოდით), რადგან f (x) ფუნქცია სინუსოიდია.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, DFT პროგრამამ "არ იცის", რომ ჩვენი სიგნალი არის "სინუსოიდის ნაჭერი", მაგრამ ცდილობს წარმოადგინოს პერიოდული ფუნქცია როგორც სერია, რომელსაც აქვს შეწყვეტა სინუსოიდის ცალკეული ნაწილების შეუსაბამობის გამო.

შედეგად, სპექტრში ჩნდება ჰარმონიკა, რომელიც უნდა აჯამებდეს ფუნქციის ფორმას, მათ შორის ამ უწყვეტობას.

ამრიგად, სიგნალის "სწორი" სპექტრის მისაღებად, რომელიც წარმოადგენს სხვადასხვა სინუსოიდების ჯამს სხვადასხვა პერიოდებით, აუცილებელია თითოეული სინუსოიდის პერიოდების მთელი რიცხვი მოთავსდეს სიგნალის გაზომვის პერიოდში. პრაქტიკაში, ეს პირობა შეიძლება დაკმაყოფილდეს სიგნალის გაზომვის საკმარისად ხანგრძლივად.

ნახ .13 გადაცემათა კოლოფის კინემატიკური შეცდომის სიგნალის ფუნქციისა და სპექტრის მაგალითი

მოკლე ხანგრძლივობით, სურათი "უარესი" გამოიყურება:

ნახ .14 როტორის ვიბრაციის სიგნალის ფუნქციისა და სპექტრის მაგალითი

პრაქტიკაში, ძნელი იქნება იმის გაგება, თუ სად არის „რეალური კომპონენტები“ და სად არის „არტეფაქტები“, რომლებიც გამოწვეულია იმით, რომ კომპონენტების პერიოდები და სიგნალის სინჯის აღების ხანგრძლივობა მრავლობითია ან ტალღის ფორმის „ნახტომი და შესვენებები“. რა თქმა უნდა, სიტყვები ”რეალური კომპონენტები” და ”არტეფაქტები” ტყუილად არ არის ნათქვამი. სპექტრის გრაფიკზე მრავალი ჰარმონიკის არსებობა არ ნიშნავს, რომ სინამდვილეში ჩვენი სიგნალი მათგან "შედგება". ეს იგივეა, რომ იფიქრო, რომ რიცხვი 7 "შედგება" 3 და 4 რიცხვებისგან. 7 რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 3 და 4 რიცხვების ჯამი - ეს სწორია.

ასე რომ, ჩვენი სიგნალი ... უფრო სწორად კი არა "ჩვენი სიგნალი", არამედ პერიოდული ფუნქცია, რომელიც შედგება ჩვენი სიგნალის (ნიმუშის) გამეორებით, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჰარმონიკის ჯამი (სინუსოიდები) გარკვეული ამპლიტუდებითა და ფაზებით. მაგრამ პრაქტიკისთვის მნიშვნელოვან შემთხვევებში (იხ. ზემოთ მოყვანილი ფიგურები), მართლაც შესაძლებელია სპექტრში მიღებული ჰარმონიკის ასოცირება რეალურ პროცესებთან, რომლებსაც ციკლური ხასიათი აქვთ და მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანონ სიგნალის ფორმაში.

რამდენიმე შედეგი

1. რეალური გაზომული სიგნალი, ხანგრძლივობა T წმ, ციფრულია ADC– ით, ანუ წარმოდგენილია დისკრეტული ნიმუშების ნაკრებით (N ცალი), აქვს დისკრეტული არა პერიოდული სპექტრი, რომელიც წარმოდგენილია ჰარმონიების ნაკრებით (N / 2 ცალი).

2. სიგნალი წარმოდგენილია რეალური მნიშვნელობების სიმრავლით და მისი სპექტრი წარმოდგენილია რეალური მნიშვნელობებით. ჰარმონიული სიხშირეები დადებითია. ის ფაქტი, რომ მათემატიკოსებს უფრო მოსახერხებლად აქვთ სპექტრის რთული ფორმით წარმოდგენა უარყოფითი სიხშირეების გამოყენებით, არ ნიშნავს, რომ ”ეს სწორია” და ”ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს”.

3. დროის ინტერვალზე გაზომული სიგნალი განისაზღვრება მხოლოდ დროის ინტერვალზე T. რა მოხდა მანამ, სანამ სიგნალის გაზომვას არ დავიწყებდით და რა მოხდება ამის შემდეგ, მეცნიერებისთვის უცნობია. ჩვენს შემთხვევაში, ეს არ არის საინტერესო. დროში შეზღუდული სიგნალის DFT იძლევა მის "ჭეშმარიტ" სპექტრს, იმ გაგებით, რომ გარკვეულ პირობებში, ის საშუალებას აძლევს გამოთვალოს მისი კომპონენტების ამპლიტუდა და სიხშირე.

გამოყენებული მასალები და სხვა სასარგებლო მასალები.