Golzizin v.v. Kuliah pada aljabar dan geometri. lima
Kuliah pada aljabar dan geometri. Semester 2.
Kuliah 23. Dasar ruang vektor.
Ringkasan: kriteria ketergantungan linear dari sistem vektor nol, subsistem sistem vektor, menghasilkan sistem vektor, sistem pembangkit minimal dan sistem independen linier maksimum, basis ruang vektor, dan definisi yang setara, ruang vektor dimensi halus, dan Keberadaan basisnya, penambahan dasar.
hal.1. Kriteria untuk ketergantungan linier dari sistem vektor nol.
Dalil. Sistem vektor nol secara linear bergantung secara linear jika dan hanya jika ada vektor sistem, yang secara linear diekspresikan melalui vektor sebelumnya dari sistem ini.
Bukti. Biarkan sistem terdiri dari vektor non-nol dan tergantung linear. Pertimbangkan sistem dari vektor yang sama: 
. Karena 
, lalu sistem 
- Independen secara linear. Bergabunglah dengan vektornya 
. Jika sistem diterima 
Demikian pula independen, lalu hubungkan yang berikut ini: 
. Dll. Kami melanjutkan sampai kami mendapatkan sistem bergantung linear 
dimana. Angka seperti itu akan ditemukan, karena Sumber Sistem. 
Tergantung secara linear dalam kondisi tersebut.
Jadi, pada konstruksi, sistem dependen linier diperoleh. 
, apalagi, sistem 
Independen secara linear.
Sistem 
mewakili vektor nol secara tidak resmi, mis. Ada set skrear nol 
, apa
di mana skalar. 
.
Memang, jika tidak, jika 
maka kita akan memiliki representasi non-sepele dari sistem independen linear vektor nol 
itu tidak mungkin.
Membagi kesetaraan terakhir pada skalar bukan nol 
Kita bisa mengekspresikan dari vektornya 
:
,
Karena pernyataan yang berlawanan jelas, teorema telah terbukti.
hlm Subsistem sistem ruang vektor.
Definisi. Subset non-kosong dari sistem sistem 
disebut subsistem vektor sistem ini.
Contoh. Biarkan menjadi 
- Sistem 10 vektor. Kemudian sistem vektor: 
;
,
- Subsistem dari sistem vektor ini.
Dalil. Jika sistem vektor berisi subsistem bergantung linear, maka sistem vektor itu sendiri juga tergantung linear.
Bukti. Biarkan sistem vektor diberikan 
Dan bahkan untuk kepastian subsistem 
dimana 
Tergantung linear. Maka itu mewakili vektor nol tidak dinonaktifkan:
di mana di antara koefisien 
Setidaknya ada satu tidak sama dengan nol. Tetapi kemudian kesetaraan berikutnya adalah pandangan non-sepele dari vektor nol:
dari mana, menurut definisi, ketergantungan linear dari sistem 
, Ch.t.d.
Teorema terbukti.
Akibat wajar. Setiap subsistem dari sistem vektor independen linier secara linear independen.
Bukti. Misalkan kebalikannya. Biarkan beberapa subsistem sistem ini bergantung secara linear. Kemudian, ketergantungan linier dari sistem ini mengikuti dari teorema, yang bertentangan dengan kondisinya.
Investigasi terbukti.
hal.3. Sistem kolom ruang vektor aritmatika kolom.
Dari hasil paragraf sebelumnya, sebagai kasus khusus, mengikuti teorema.
1) Sistem kolom tergantung secara linear jika dan hanya jika setidaknya ada satu kolom dalam sistem, yang secara linear diekspresikan dalam kolom lain dari sistem ini.
2) Sistem kolom secara linear independen jika dan hanya jika tidak ada kolom sistem yang diekspresikan secara linear di kolom lain dari sistem ini.
3) Sistem kolom yang berisi kolom nol tergantung secara linear.
4) Sistem kolom yang berisi dua kolom yang sama bergantung pada linear.
5) Sistem kolom yang berisi dua kolom proporsional tergantung secara linear.
6) Sistem kolom yang berisi subsistem bergantung linear bergantung secara linear.
7) Setiap subsistem dari sistem kolom independen linier secara linear independen.
Satu-satunya hal yang mungkin diperlukan untuk mengklarifikasi konsep kolom proporsional ini.
Definisi. Dua kolom bukan nol 
sebut proporsional jika ada skalar 
, seperti yang 
atau
,
,
…,
.
Contoh. Sistem 
Tergantung secara linear, karena dua kolom pertamanya sebanding.
Komentar. Kita sudah tahu (lihat kuliah 21) bahwa penentu adalah nol jika sistem kolomnya (string) tergantung secara linear. Di masa depan, akan dibuktikan bahwa pernyataan terbalik: Jika penentu adalah nol, maka sistem kolomnya dan sistem barisnya tergantung secara linear.
hal.4. Ruang vektor dasar.
Definisi. Vektor sistem 
Ruang vektor di atas bidang K disebut sistem penghasil (pembentukan) vektor dari ruang vektor ini, jika itu mewakili salah satu vektornya, I.E. Jika ada seperangkat skalar 
, apa .
Definisi. Sistem vektor ruang vektor disebut sistem pembangkit minimum jika, ketika menghapus dari sistem vektor apa pun, ia berhenti menghasilkan sistem.
Komentar. Dari definisi segera mengikuti bahwa jika sistem pembangkit vektor tidak minim, maka setidaknya ada satu sistem vektor, ketika sistem dihapus dari sistem, sistem vektor yang tersisa masih akan menghasilkan.
Lemma (tentang sistem pembangkit yang bergantung linear.)
Jika salah satu vektor secara linear diekspresikan dalam sistem vektor yang bergantung secara linear dan menghasilkan, dapat dihapus dari sistem dan sistem vektor yang tersisa akan menghasilkan.
Bukti. Biarkan sistem 
Tergantung secara linear dan menghasilkan, dan biarkan salah satu vektornya diekspresikan secara linear melalui vektor lain dari sistem ini.
Untuk kepastian dan untuk kemudahan rekaman, kami menganggap itu
Sebagai 
- Sistem pembangkit, lalu 
Ada seperangkat skalar 
, apa
.
Dari sini kita dapatkan
itu. Setiap vektor x diekspresikan secara linear melalui vektor sistem 
, yang berarti bahwa itu adalah sistem pembangkit, ch.t.d.
Corollary 1. Sistem vektor yang bergantung secara linear dan menghasilkan tidak minim.
Bukti. Segera mengikuti dari Lemma dan menentukan sistem vektor penghasil minimum.
Corollary 2. Sistem penghasil minimum vektor bersifat independen secara linear.
Bukti. Diizinkan sebaliknya, kita mencapai kontradiksi dengan konsekuensi 1.
Definisi. Sistem vektor ruang vektor disebut sistem independen linier maksimum, jika, ketika menambahkan ke sistem vektor ini, itu menjadi tergantung linear.
Komentar. Dari definisi tersebut segera mengikuti bahwa jika sistem independen secara linear, tetapi tidak maksimal, maka ada vektor, ketika ditambahkan ke sistem, sistem independen linier diperoleh.
Definisi. Dasar ruang vektor V di atas bidang K adalah sistem vektor-vektor-nya yang dipesan, mewakili vektor ruang vektor dengan satu-satunya cara.
Jika tidak, vektor sistem 
ruang vektor v melalui bidang k disebut dasarnya jika 
Ada satu set skalar tunggal 
, seperti yang.
Dalil. (Sekitar empat definisi yang setara dengan pangkalan.)
Biarkan menjadi 
- Diperintahkan sistem vektor sistem vektor. Maka pernyataan pernyataan berikut adalah sama:
1. Sistem 
adalah dasar.
2. Sistem 
Ini adalah sistem vektor yang independen secara linear dan menghasilkan.
3. Sistem 
Ini adalah sistem vektor independen secara linearly maksimum.
4. Sistem 
Ini adalah sistem penghasil minimum vektor.
Bukti.
Biarkan vektor sistem 
adalah dasar. Dari definisi pangkalan, segera mengikuti bahwa sistem vektor ini adalah sistem sistem ruang vektor yang ingoing, jadi kita hanya perlu membuktikan independensi liniernya.
Misalkan sistem vektor ini tergantung linear. Kemudian ada dua representasi dari nol vektor - sepele dan non-sepele, yang bertentangan dengan definisi dasar.
Biarkan vektor sistem 
Independen secara linear dan menghasilkan. Kita perlu membuktikan bahwa sistem independen linear ini maksimal.
Misalkan kebalikannya. Biarkan sistem vektor yang independen secara linear ini tidak maksimal. Kemudian, karena komentar di atas, ada vektor yang dapat ditambahkan ke sistem ini dan sistem vektor yang dihasilkan tetap linier independen. Namun, di sisi lain, vektor yang ditambahkan ke sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sistem sumber vektor karena fakta bahwa ia menghasilkan sistem.
Dan kami mendapatkannya dalam sistem vektor baru, diperpanjang,, salah satu vektornya secara linear diekspresikan dalam vektor vektor lain dari sistem ini. Sistem vektor seperti itu tergantung secara linear. Menerima kontradiksi.
Biarkan vektor sistem 
Ruang vektor adalah maksimum secara linear independen. Kami membuktikan bahwa itu adalah sistem pembangkit minimum.
a) Pertama, kami membuktikan bahwa itu adalah sistem pembangkit.
Perhatikan bahwa karena independensi linier, sistem 
Tidak mengandung nol vektor. Biarkan - vektor bukan nol yang sewenang-wenang. Tambahkan ke vektor sistem ini: 
. Sistem vektor non-nol yang dihasilkan secara linear bergantung, karena Sistem vektor awal maksimal secara linear independen. Jadi, dalam sistem ini, ada vektor yang diungkapkan secara linear melalui yang sebelumnya. Dalam sistem independen linier asli 
Tidak ada vektor yang dapat diekspresikan melalui yang sebelumnya, oleh karena itu, secara linear diekspresikan melalui vektor hanya x sebelumnya. Dengan demikian, sistem 
Mewakili vektor bukan nol. Masih memperhatikan bahwa sistem ini jelas mewakili dan nol vektor, I.E. sistem 
sedang menghasilkan.
b) Sekarang kita akan membuktikan minimitasnya. Misalkan kebalikannya. Kemudian salah satu vektor sistem dapat dihapus dari sistem dan sistem vektor sisanya masih akan menjadi sistem pembangkit dan, oleh karena itu, vektor dihapus dari sistem juga secara linear dinyatakan dalam vektor vektor vektor yang tersisa, yang bertentangan dengan linear independensi sistem vektor asli.
Biarkan vektor sistem 
Ruang vektor adalah sistem pembangkit minimum. Maka itu mewakili ruang vektor vektor apa pun. Kita perlu membuktikan keunikan presentasi.
Misalkan kebalikannya. Biarkan beberapa vektor x secara linear diekspresikan melalui vektor sistem ini dengan dua cara berbeda:
Dibangun dari satu kesetaraan, kami dapatkan:
Berdasarkan investigasi 2, sistem 
Independen secara linear, mis. Mewakili vektor nol hanya dengan trival, sehingga semua koefisien kombinasi linear ini harus nol:
Dengan demikian, setiap vektor X secara linear diekspresikan melalui vektor sistem ini satu-satunya cara, bt.d.
Teorema terbukti.
hal.5. Dimensi ruang vektor.
Teorema 1. (pada jumlah vektor dalam sistem vektor yang independen dan menghasilkan secara linear.) Jumlah vektor dalam sistem vektor yang independen secara linier tidak melebihi jumlah vektor dalam sistem pembangkit vektor yang sama.
Bukti. Biarkan menjadi 
Sistem vektor independen secara linear yang sewenang-wenang, 
- Sistem pembangkit yang sewenang-wenang. Seandainya.
Karena 
Sistem pembangkit, maka itu mewakili vektor ruang, termasuk vektor 
. Pasang ke sistem ini. Kami mendapatkan sistem vektor yang bergantung secara linear dan menghasilkan: 
. Lalu ada vektor 
Sistem ini, yang secara linear diekspresikan melalui vektor sebelumnya dari sistem ini dan itu, karena Lemma, dapat dihapus dari sistem, dan sistem vektor yang tersisa masih akan menghasilkan.
. Karena Sistem ini menghasilkan, itu mewakili vektor 
Dan, melampirkannya ke sistem ini, sekali lagi kita mendapatkan sistem yang bergantung pada linear dan menghasilkan :.
Selanjutnya, semuanya diulang. Ada vektor dalam sistem ini, yang secara linear diekspresikan melalui yang sebelumnya, dan itu tidak dapat vektor 
karena Sumber Sistem. 
linear independen dan vektor 
tidak dinyatakan secara linear melalui vektor 
. Jadi itu hanya bisa menjadi salah satu vektor. 
. Menghapusnya dari sistem, kami dapatkan setelah represion, sistem yang akan menghasilkan sistem. Melanjutkan proses ini, setelah langkah-langkah kami mendapatkan sistem pembangkit vektor: di mana 
karena Dalam asumsi kita. Jadi sistem ini, sebagai menghasilkan, mewakili vektor, yang bertentangan dengan kondisi independensi linear sistem 
.
Teorema 1 terbukti.
Teorema 2. (pada jumlah vektor di pangkalan.) Di mana saja dari ruang vektor, jumlah vektor yang berisi satu.
Bukti. Biarkan menjadi 
dan 
- Dua pangkalan ruang vektor arbitrer. Setiap basis adalah sistem vektor yang independen secara linear dan menghasilkan.
Karena Sistem pertama secara linear independen, dan yang kedua menghasilkan, kemudian, oleh Teorema 1, 
.
Demikian pula, sistem kedua independen secara linear, dan yang pertama menghasilkan, kemudian. Karenanya itu mengikuti itu 
, Ch.t.d.
Teorema 2 terbukti.
Teorema ini memungkinkan Anda untuk memasukkan definisi berikut.
Definisi. Dimensi ruang vektor v di atas bidang K adalah jumlah vektor di basisnya.
Penunjukan: 
atau 
.
hal.6. Keberadaan dasar ruang vektor.
Definisi. Ruang vektor disebut dimensi hingga jika memiliki vektor penghasil vektor yang terbatas.
Komentar. Kami hanya akan mempelajari ruang vektor dimensi terbatas. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sudah tahu banyak tentang dasar ruang vektor dimensi hingga, kita tidak memiliki keyakinan bahwa dasar dari ruang tersebut umumnya ada. Semua properti yang diperoleh sebelumnya diperoleh dalam asumsi bahwa basis itu ada. Teorema berikut menutup pertanyaan ini.
Dalil. (Tentang keberadaan dasar ruang vektor dimensi yang terbatas.) Setiap ruang vektor dimensi yang terbatas memiliki dasar.
Bukti. Dengan syarat, ada sistem pembangkit yang terbatas dari vektor dari ruang vektor dimensi yang terbatas ini V: 
.
Perhatikan segera bahwa jika sistem penghasil vektor kosong, I.E. Itu tidak mengandung satu vektor, kemudian menurut definisi, diyakini bahwa ruang vektor ini nol, mis .. 
. Dalam hal ini, menurut definisi, diyakini bahwa dasar dari ruang vektor nol adalah dasar kosong dan dimensinya dianggap nol.
Biarkan lebih lanjut, ruang vektor bukan nol dan 
Sistem pembangkit halus dari vektor non-nol. Jika independen secara linear, maka semuanya terbukti, karena Sistem vektor vektor independen secara linear adalah dasarnya. Jika sistem vektor ini bergantung secara linear, maka salah satu vektor dari sistem ini secara linear diekspresikan melalui sisanya dan dapat dihapus dari sistem, dan sistem vektor yang tersisa, berdasarkan Lemma P.5, masih akan menghasilkan.
Bersihkan sistem vektor yang tersisa: 
. Selanjutnya, alasan diulang. Jika sistem ini independen secara linear, itu adalah dasar. Jika tidak, maka ada vektor dalam sistem ini lagi, yang dapat dihapus, dan sistem yang tersisa akan menghasilkan.
Mengulangi proses ini, kita tidak dapat tetap dengan sistem vektor kosong, karena Dalam kasus yang paling ekstrem, kita akan datang ke sistem pembangkit dari satu vektor bukan nol, yang secara linear mandiri, dan, akibatnya, dasar. Oleh karena itu, pada beberapa langkah kita datang ke sistem vektor yang independen dan generasi secara linear, mis. untuk mendasarkan.
Teorema terbukti.
Kata pengantar singkat. Biarkan. Kemudian:
1. Sistem apa pun dari vektor tergantung linear.
2. Sistem vektor independen secara linear adalah dasarnya.
Bukti. satu). Dengan kondisi Lemma, jumlah vektor di pangkalan sama dengan dasar sistem, sehingga jumlah vektor dalam sistem independen secara linear tidak dapat melebihi.
2). Sebagai berikut dari yang baru terbukti, sistem linearly yang independen dari vektor ruang vektor ini maksimal, dan karena itu dasar.
Lemma terbukti.
Teorema (tentang suplemen ke pangkalan.) Setiap sistem vektor vektor vektor secara linear dapat dilengkapi dengan dasar ruang ini.
Bukti. Biarkan ruang vektor dimensi n dan 
Beberapa sistem vektornya yang independen secara linear. Kemudian 
.
Jika sebuah 
, kemudian di Lemma sebelumnya, sistem ini adalah dasar dan tidak ada yang membuktikan.
Jika 
, maka sistem ini bukan sistem independen linier maksimum (jika tidak itu akan menjadi dasar, yang tidak mungkin, karena). Karena itu, ada vektor 
, sistem seperti itu 
- Independen secara linear.
Jika, sekarang, maka sistemnya 
adalah dasar.
Jika 
, semua berulang. Proses pengisian sistem tidak dapat melanjutkan tanpa batas, karena Pada setiap langkah, kami memperoleh sistem vektor ruang yang independen secara linear, dan sesuai dengan Lemma sebelumnya, jumlah vektor dalam sistem seperti itu mungkin tidak melebihi dimensi ruang. Akibatnya, pada suatu langkah, kita akan mencapai dasar ruang ini.
Teorema terbukti.
hal.7. Contoh.
1. Biarkan K menjadi bidang arbitrer - ruang vektor aritmatika kolom tinggi. Kemudian. Untuk membuktikan, pertimbangkan sistem kolom ruang ini.
Definisi. Sistem elemen x ..., HC dari ruang linear v disebut tergantung linear, jika ada angka a ", ..., oto, tidak semua sama dengan nol dan sedemikian rupa sehingga jika kesetaraan (1) dilakukan hanya pada a ] \u003d ... \u003d AQ \u003d 0, maka sistem elemen XJ, ..., x9 disebut secara linear independen. Adil pernyataan berikut. Teorema 1. Sistem elemen X \\, ..., XQ (q ^ 2) bergantung secara linear dalam hal itu dan hanya jika setidaknya satu elemennya dapat diwakili sebagai kombinasi linear dari sisanya. Misalkan terlebih dahulu bahwa sistem elemen adalah X ..., XQ tergantung linear. Kami akan mempertimbangkan untuk kepastian bahwa dalam kesetaraan (1) berbeda dari nol koefisien A9. Mentransfer semua ketentuan, kecuali untuk yang terakhir, ke sisi kanan, setelah membagi pada OTQ untuk, kami memperoleh elemen X adalah kombinasi linear XI, ..., Elemen XQ: Kembali, jika salah satu elemen sama dengan Kombinasi linear sisanya, kemudian membawanya ke bagian kiri, kami memperoleh kombinasi linear di mana ada koefisien yang berbeda (-1 f 0). Jadi, sistem elemen XI, _____ XQ bergantung linear. Teorema 2. Biarkan sistem elemen X |, ..., x9 secara linear independen dan y \u003d a \\ x \\ +. + AQXQ. Kemudian ORI, ..., koefisien AQ ditentukan oleh elemen dalam tunggal. m Biarkan ketergantungan linier dasar dasar dasar dasar dari mana. Dari independensi linear elemen x |, ..., XQ menyiratkan bahwa (dan, itu berarti, dan teorema 3. Sistem elemen yang mengandung subsistem bergantung linear, tergantung linear. "Biarkan sistem Q pertama sistem x ..., XQ, XG + L, ..., HT secara linear bergantung. Lalu ada kombinasi linear dari elemen-elemen ini seperti tidak semua koefisien dari ", ..., AQ adalah nol. Dengan menambahkan elemen, ... , HT dengan nol faktor, kita mendapatkan itu dan dalam kombinasi linear RIS-5 adalah nol tidak semua koefisien. Contoh. Vektor dari VJ bergantung linear jika dan hanya ketika mereka kompartemen (Gbr. 5). Sistem elemen yang dipesan dalam |, ..., e "Linear Space V disebut dasar ruang linear ini, jika elemen-elemen dalam |, ..., EP secara linear independen dan setiap elemen dari V dapat diwakili sebagai kombinasi linear mereka. Organisasi berarti di sini bahwa setiap elemen diberi nomor (urutan) tertentu. Dari satu sistem item dapat dibuat P! Sistem yang dipesan. Contoh, biarkan A. 0s - Troika tidak Vektor komplian dari VJ (Gbr. 6). Kemudian tiga yang dipesan adalah dasar-dasar yang berbeda memungkinkan C \u003d (in! ... EP) - dasar ruang angkasa V. Kemudian untuk elemen X dari V ada satu set angka. .., dengan sedemikian rupa sehingga berdasarkan teorema 2 dari angka, ..., koordinat C elemen dalam pangkalan C - pasti didefinisikan. Mari kita lihat apa yang terjadi dengan koordinat elemen dalam kesederhanaan ukuran. Biarkan untuk nomor apa pun dan dengan demikian, ketika elemen-elemen tambahan, koordinat yang sesuai dilipat, dan ketika elemen mengalikan elemen, semua koordinatnya dikalikan dengan angka ini. Koordinat adalah dasar yang nyaman untuk direkam sebagai kolom. Misalnya, P adalah kolom elemen koordinat di pangkalan dengan. Kami menguraikan sistem elemen sewenang-wenang x |, ..., x, dengan basis dengan, dan pertimbangkan kolom koordinat elemen x |, ..., x9 dalam dasar ini: Teorema 4. Sistem elemen x \\,. .., XQ secara linear tergantung dan hanya jika sistem kolom koordinat mereka dalam beberapa pangkalan tergantung secara linear. * Biarkan setidaknya salah satu koefisien A * berbeda dari nol. Kami menulisnya secara lebih rinci dari sini, karena keunikan dekomposisi elemen dasar, ia mengikuti bahwa ketergantungan linear dari dasar dimensi dasar dasar dengan cara ini, kombinasi linear dari Koordinasikan kolom elemen XT, ..., XQ sama dengan kolom nol (dengan koefisien yang sama A |, ... tetapi?). Ini berarti bahwa sistem kolom koordinat tergantung linear. Jika kesetaraan (2) dilakukan, maka, dengan melakukan penalaran dalam urutan terbalik, kami memperoleh formula (1). Dengan demikian, banding ke nol adalah beberapa nontrivial (setidaknya salah satu koefisien berbeda dari nol) dari kombinasi linear dari elemen ruang linear setara dengan fakta bahwa kombinasi linear non-sepele dari kolom koordinat mereka (dengan koefisien yang sama) sama dengan kolom nol. Teorema 5. Biarkan dasar dari ruang linear V terdiri dari el elemen. Kemudian sistem elemen, di mana T\u003e P, tergantung linear. Atau, itu juga, * berdasarkan teorema 3 dengan cukup mempertimbangkan kasus ini biarkan XJ, ..., HP + | - Elemen ruang yang sewenang-wenang V. Menyebarkan setiap elemen berdasarkan dan menulis koordinat elemen ........... dalam bentuk matriks, mengurangi kolom koordinat elemen. Kami memperoleh matriks dari baris PI + 1 kolom - Mengingat fakta bahwa cincin matriks K tidak melebihi jumlah garisnya, kolom matriks ke (mereka p +1) bergantung pada linear. Dan karena ini adalah kolom koordinat elemen, kemudian menurut Teorema 4 sistem elemen X | ..... x "+ | Juga bergantung secara linear. Akibat wajar. Semua pangkalan ruang linear V terdiri dari elemen yang sama Chiya. Biarkan dasar C terdiri dari el elemen, dan dasar dengan "dari el elemen. Berdasarkan teorema yang terbukti terbukti dari independensi linier sistem e \\,. .., e "p menyimpulkan bahwa p" ^ p. Dengan mengubah basis e dan dengan "tempat, berdasarkan teorema yang sama kita memperoleh p ^ p". Jadi, n \u003d p. LSHKRITY / OLYAZNAR RUANG V disebut jumlah elemen dasar ruang ini. Contoh 1. Dasar Ruang Koordinat Elemen Formulir EP 4 EI.EJ Elements System, ..., EP secara linear independen: Dari kesetaraan yang kita dapatkan, yang berarti, sebagai tambahan, semua elemen E, \u003d ... dari R "dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari elemen-elemen itu, dimensi ruang R sama dengan sub. Contoh 2. Sistem linier homogen yang memiliki solusi non-nol memiliki sistem solusi fundamental (FSR). FSER adalah Dasar dari ruang linear solusi dari sistem homogen. Dimensi ruang linear ini sama dengan jumlah elemen FSR, t. E. P - G. Di mana r - pangkat matriks koefisien dari sistem homogen, angka-angka tidak diketahui. Contoh 3. Dimensi ruang linear parnomial MP tidak lebih tinggi dari n sama dengan p + 1. 4 karena setiap tingkat polinomial / * ((() tidak lebih tinggi memiliki bentuk yang cukup untuk menunjukkan Independensi linear dari elemen-elemen di | \u003d. Pertimbangkan kesetaraan di mana t sewenang-wenang. Setelah percaya t \u003d 0, kita mendapatkan itu "o \u003d 0. 5 zak.750 membedakan kesetaraan (3) dengan t: lagi menempatkan t \u003d 0, Kami mendapatkan 0 | \u003d 0. Melanjutkan proses ini, secara konsisten meyakinkan bahwa OO \u003d "i \u003d ... \u003d a" \u003d 0. Saya t. berarti sistem elemen dalam | \u003d 1, ..., EP4) \u003d * P linear independen. Akibatnya, dimensi yang diinginkan sama dengan P + 1. Perjanjian. Selanjutnya, bab ini dianggap ada di mana-mana, kecuali dinyatakan lain bahwa dimensi ruang linear V adalah sama. Jelas bahwa jika W adalah subruang ruang linear n-dimensi V, lalu redup w ^ p. Kami menunjukkan bahwa dalam ruang linear dimensi dimensi v ada subruang linear dari dimensi apa pun ke ^ p. Biarkan C \u003d - Dasar ruang V. Mudah untuk memastikan cangkang chtower memiliki dimensi. Dengan mendefinisikan teorema B (pada pengisian pangkalan). Impestssystem dari unsur-unsur ruang linear V dimensi p secara linear independen dan. Kemudian di ruang v ada elemen A * + 1, ..., AP sedemikian rupa sistem A "- basis V. M misalkan Elemen ruang linear V. Jika sistem bergantung linear, maka ^ seperti dalam kombinasi linear non-sepele koefisien karena independensi linier sistem A jika dekomposisi formulir (4) dapat ditulis untuk elemen b dari Space v, lalu sistem aslinya A |, ..., dan * akan menjadi dasar sesuai dengan definisi. Tetapi karena kondisi itu tidak mungkin. Oleh karena itu, elemen A * + i € v sedemikian rupa sehingga sistem yang diisi ulang AI ,. .., Oh, A * + | Ini akan menjadi independen. Jika K +1 \u003d P, maka sistem ini adalah dasar dari ruang V. Jika K +1, maka untuk sistem A, argumen sebelumnya harus diulang. Dengan cara ini, setiap sistem elemen linier yang independen dapat diselesaikan sebelum basis seluruh ruang V. Contoh. Selesaikan sistem dua vektor A | \u003d (1,2,0,1), AJ \u003d (-1,1,0) ruang R4 sebelum dasar dari ruang ini. M Mengambil dalam ruang R4 vektor AJ \u003d (dan menunjukkan bahwa sistem vektor AI.AJ.AJ, A4 - dasar R4. Peringkat matriks yang merupakan koordinat vektor AEG, AZ, E4, adalah empat . Ini berarti bahwa string matriks A, dan, oleh karena itu, pada vektor. AG. AZ, a ^ linear independen.\u003e Pendekatan ini digunakan secara umum: Untuk menambah sistem ke elemen independen secara linear, ketergantungan linear matriks, matriks Dasar dimensi dasar dasar untuk transformasi dasar baris didorong oleh bentuk trapesium, dan kemudian dilengkapi dengan p - untuk string formulir sehingga peringkat matriks yang dihasilkan sama dengan hal. Sebenarnya pernyataan berikut . Teorema 7. Biarkan subruang linear ruang linear v, kemudian. Mengganti dasar. Biarkan linear linear basa. Tuliskan unsur-unsur dasar sesuai dengan. Kami memiliki hubungan ini. Lebih mudah untuk merekam matriks dalam bentuk matriks disebut matriks transisi dari dasar dengan ke dasar C ". Properti dari bukti matriks transisi Properti siapa yang dilakukan dari jahat. Dari kesetaraan det s \u003d 0, ketergantungan linier dari kolom matriks adalah mengikuti. Kolom ini adalah elemen kolom koordinat ", ..." E "p di pangkalan dengan. Oleh karena itu (dan sebagai hasil dari teorema 4) elemen e "dan ..., e" n harus bergantung secara linear. Yang terakhir bertentangan dengan fakta bahwa dengan "dasar. Ini berarti bahwa asumsi bahwa det s \u003d 0 salah. 2. Jika ..., dan ..., koordinat elemen X dalam dan dengan" masing-masing, kemudian _ mengganti dalam rumus ekspresi mereka (1), kami memperolehnya dari sini, karena keunikan dekomposisi elemen atas dasar, kami memiliki saya pindah ke catatan matriks yang ditemukan, kami diyakinkan tentang sifat wajar 2. 3. S-1 - matriks transisi dari basis dengan "dengan dasar dengan.
Ini disebut finite-dimensi jika memiliki sistem vektor yang terbatas.
Komentar. Kami hanya akan mempelajari ruang vektor dimensi terbatas. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sudah tahu banyak tentang dasar ruang vektor dimensi yang terbatas, kita tidak memiliki keyakinan bahwa ada ruang seperti itu secara umum. Semua yang diterima sebelumnya diperoleh dalam asumsi bahwa basis itu ada. Selanjutnya menutup pertanyaan ini.
Dalil. (Tentang keberadaan dasar ruang vektor dimensi yang terbatas.)
Setiap ruang vektor dimensi terbatas memiliki dasar.
Bukti. Dengan syarat, ada sistem pembangkit halus dari ruang vektor dimensi-dimensi ini V :.
Perhatikan segera bahwa jika sistem penghasil vektor kosong, I.E. Itu tidak mengandung satu vektor, kemudian menurut definisi, diyakini bahwa ruang vektor ini nol, mis .. . Dalam hal ini, menurut definisi, diyakini bahwa dasar ruang vektor nol adalah dasar kosong dan diyakini nol menurut definisi.
Jika sistem ini independen, maka semuanya terbukti, karena Sistem vektor vektor independen secara linear adalah dasarnya.
Jika sistem vektor ini bergantung linear, maka salah satu vektor dari sistem ini secara linear diekspresikan melalui sisanya dan dapat dihapus dari sistem, dan sistem vektor yang tersisa masih akan menghasilkan.
Bersihkan sistem vektor yang tersisa :. Selanjutnya, alasan diulang.
Jika sistem ini independen secara linear, itu adalah dasar. Jika tidak, maka ada vektor dalam sistem ini lagi, yang dapat dihapus, dan sistem yang tersisa akan menghasilkan.
Mengulangi proses ini, kita tidak dapat tetap dengan sistem vektor kosong, karena Dalam kasus yang paling ekstrem, kita akan datang ke sistem pembangkit dari satu vektor bukan nol, yang secara linear mandiri, dan, akibatnya, dasar. Oleh karena itu, pada beberapa langkah kita datang ke sistem vektor yang independen dan generasi secara linear, mis. untuk dasar, ch.t.d.
Teorema terbukti.
Kata pengantar singkat. (Pada sistem vektor di ruang vektor n-dimensi.)
Biarkan. Kemudian:
1. Sistem apa pun dari vektor tergantung linear.
2. Sistem vektor independen secara linear adalah dasarnya.
Bukti. satu). Dengan kondisi Lemma, jumlah vektor dalam pangkalan sama dengan dasar sistem, sehingga jumlah vektor dalam sistem independen linier tidak dapat melebihi, I.E. Sistem apa pun yang mengandung vektor tergantung linear.
2). Sebagai berikut dari yang baru terbukti, sistem linearly yang independen dari vektor ruang vektor ini maksimal, dan karena itu dasar.
Lemma terbukti.
Teorema (tentang suplemen ke pangkalan.) Setiap sistem vektor vektor vektor secara linear dapat dilengkapi dengan dasar ruang ini.
Bukti. Biarkan ruang vektor dimensi n dan beberapa sistem vektornya yang independen secara linier. Kemudian.
Jika, pada Lemma sebelumnya, sistem ini merupakan dasar dan tidak ada yang membuktikan.
Jika, maka sistem ini bukan sistem independen maksimum (jika tidak itu akan menjadi dasar, yang tidak mungkin, karena). Karena itu, ada vektor, sistem seperti itu 
- Independen secara linear.
Jika, sekarang, maka sistemnya adalah dasar.
Jika, semuanya diulang. Proses pengisian sistem tidak dapat melanjutkan tanpa batas, karena Pada setiap langkah, kami memperoleh sistem vektor ruang yang independen secara linear, dan sesuai dengan Lemma sebelumnya, jumlah vektor dalam sistem seperti itu mungkin tidak melebihi dimensi ruang. Akibatnya, pada suatu langkah kita akan mencapai dasar ruang ini., Ch.t.d.
Definisi. Dasar
ruang vektor aritmatika kolom tinggi n disebut kanonik atau alami.
Biarkan menjadi V. Ruang vektor di atas lapangan R., S. - Sistem vektor dari V..
Definisi 1. Vektor sistem dasar S. disebut subsistem independen linier yang dipesan Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. R. Sistem S.bahwa vektor sistem apa pun S. Kombinasi linear dari vektor Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. R..
Definisi 2. Vektor sistem peringkat S. disebut jumlah vektor dasar sistem S.. Vektor sistem peringkat yang ditunjuk S. simbol R. \u003d RANG. S..
Jika s \u003d ( 0 ), maka sistem tidak memiliki dasar dan diasumsikan yang berdering S.= 0.
Contoh 1. Biarkan sistem vektor diberikan SEBUAH. 1 = (1,2), SEBUAH. 2 = (2,3), SEBUAH. 3 = (3,5), SEBUAH. 4 \u003d (1,3). Vektor. SEBUAH. 1 , SEBUAH. 2 Bentuk dasar sistem ini, karena independen secara linear (lihat Contoh 3.1) dan SEBUAH. 3 = SEBUAH. 1 + SEBUAH. 2 , SEBUAH. 4 = 3SEBUAH. 1 - SEBUAH. 2. Peringkat sistem vektor ini adalah dua.
Teorema 1. (Teorema di pangkalan). Mari menjadi sistem final vektor dari v, S. ≠{0 }. Maka persetujuannya.
1 ° Sistem subsistem independen secara linear dapat ditambah sebelum basis.
2 ° Sistem S memiliki dasar.
2 ° Setiap dua sistem dasar berisi jumlah vektor yang sama, A.E. Peringkat sistem tidak tergantung pada pilihan pangkalan.
4 ° Jika sebuah R. \u003d RANG. S., Kemudian setiap v vektor independen yang linear membentuk basis sistem S.
5 ° Jika sebuah R. \u003d RANG. S., Semua K\u003e R Verts dari sistem yang tergantung secara linear.
6 ° Vektor apa saja SEBUAH. € S secara linear diekspresikan melalui dasar, I.E., jika Dgn B.1, Dgn B.2, ..., Dgn B.R basis sistem s, lalu
SEBUAH. = SEBUAH.1 Dgn B. 1 + SEBUAH.2 Dgn B. 2 +...+ SEBUAH.R.Dgn B. R.; SEBUAH.1 , SEBUAH.2 , ..., SEBUAH.N. € p,(1)
Dan representasi seperti itu adalah satu-satunya.
Berdasarkan 5 ° basis adalah Subsistem independen linier maksimum Sistem S., dan sistem peringkat S. Jumlah vektor dalam subsistem seperti itu.
Presentasi vektor. SEBUAH. dalam bentuk (1) disebut Dekomposisi vektor vektor, dan angka A1, A2 , ..., disebut Koordinat vektor SEBUAH. Di basis ini.
Bukti. 1 °. Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. K. - Subsistem sistem independen linier S.. Jika setiap sistem vektor S.Secara linear diekspresikan melalui vektor subsistem kita, maka menurut definisi itu adalah dasar dari sistem S..
Jika ada vektor dalam sistem S. yang tidak diungkapkan secara linear melalui vektor Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. K., kami melambangkannya Dgn B. K.+1. Kemudian sistem Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. K., Dgn B. K.+1 - Independen secara linear. Jika setiap sistem vektor S.Secara linear diekspresikan melalui vektor subsistem ini, maka menurut definisi itu adalah dasar dari sistem S..
Jika ada vektor dalam sistem S. yang tidak diungkapkan secara linear Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. K., Dgn B. K.+1, lalu ulangi penalaran. Melanjutkan proses ini, kami datang ke dasar sistem S.atau meningkatkan jumlah vektor dalam sistem independen linear per unit. Seperti dalam sistem S. Jumlah final vektor, maka alternatif kedua tidak dapat melanjutkan tanpa batas dan pada beberapa langkah kita mendapatkan dasar sistem S..
2 °. S. Sistem final vektor dan S. ≠{0 ). Kemudian dalam sistem S. Makan vektor. Dgn B. 1 ≠ 0, yang membentuk subsistem sistem independen secara linear S. . Pada bagian pertama, dapat dilengkapi dengan basis sistem. S. . Dengan demikian, sistem S. Ini memiliki dasar.
3 ° Misalkan sistem S. Ini memiliki dua basis:
Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. R. , (2)
C. 1, C. 2, ..., C. S. , (3)
Dengan mendefinisikan dasar sistem vektor (2) secara linear independen dan (2) í S. . Selanjutnya, dengan mendefinisikan dasar, setiap sistem vektor sistem (2) adalah kombinasi linear dari vektor sistem (3). Kemudian oleh teorema utama pada dua sistem vektor R. £ S.. Sama membuktikan bahwa S. £ R.. Dari dua ketimpangan ini mengikuti R. = S..
4 °. R. \u003d RANG. S., SEBUAH. 1, SEBUAH. 2, ..., SEBUAH. R. - subsistem independen linier S.. Kami menunjukkan bahwa itu adalah dasar dari sistem S.. Jika itu bukan dasar, maka pada bagian pertama dapat ditambah ke pangkalan dan kami mendapatkan dasar SEBUAH. 1, SEBUAH. 2, ..., SEBUAH. R., SEBUAH. R.+1,..., SEBUAH. R.+T. lebih dari R.
5 ° jika K. vektor. SEBUAH. 1, SEBUAH. 2, ..., SEBUAH. K. (K. > R.) Sistem S. - Secara linear independen, maka pada bagian pertama sistem vektor ini dapat ditambah ke pangkalan dan kami mendapatkan dasar SEBUAH. 1, SEBUAH. 2, ..., SEBUAH. K., SEBUAH. K.+1,..., SEBUAH. K.+T. lebih dari R. vektor. Ini bertentangan dengan yang terbukti di bagian ketiga.
6 °. Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. R. Sistem dasar S.. Menurut definisi dasar vektor apa pun SEBUAH. € S. Ada kombinasi linear dari vektor dasar:
SEBUAH. \u003d A1. Dgn B. 1 + A2. Dgn B. 2 + ... + ar Dgn B. R.
Membuktikan keunikan presentasi seperti itu sesuai, bahwa ada gagasan lain:
SEBUAH. \u003d B1. Dgn B. 1 + b2. Dgn B. 2 + ... + br Dgn B. R.
Kesetaraan yang sama menemukan mount
0 \u003d (A1 - B1) Dgn B. 1 + (A2 - B2) Dgn B. 2 + ... + (AR - BR) Dgn B. R.
Sejak dasar Dgn B. 1, Dgn B. 2, ..., Dgn B. R. Sistem independen linier, maka semua koefisien AI - BI \u003d 0; SAYA. = 1, 2, ..., R.. Akibatnya, AI \u003d BI; SAYA. = 1, 2, ..., R. Dan keunikan terbukti.
