Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk menguasai bagian Poincaré, sebagai salah satu alat yang nyaman untuk menganalisis dinamika sistem nonlinier.
Deskripsi teoritis
Fitur-fitur dinamika sistem yang kacau dan teratur dapat dipelajari sesuai dengan lintasan fase mereka di ruang negara M. Namun, dimulai dengan dimensi n \u003d 3, analisis visual dari lintasan, penarik dan seluruh potret fase, sebagai bidang vektor , susah. Proyeksi penarik pada bidang koordinat di M sedikit membantu. Alat yang efektif adalah bagian Poincare.
Diketahui bahwa sistem dinamis diskrit dapat diperoleh dari cara-cara berkelanjutan untuk memperbaiki nilai dalam waktu yang terisolasi. Pada saat yang sama, interval antara momen-momen ini belum tentu sama. Dalam teori sistem dinamis, transisi dari sistem yang berkelanjutan ke diskrit dilakukan dengan menggunakan bagian Poincaré Cross. Pada saat yang sama, kita, seperti itu, pada ruang fase, titik lintasan di mana itu melintasi permukaan. Dengan demikian, dimungkinkan untuk mengurangi dimensi sistem, karena Permukaan dalam ruang n-dimensi memiliki dimensi N-1, menyederhanakan analisis dinamika, karena Sistem persamaan perbedaan lebih mudah untuk dipelajari daripada persamaan diferensial. Telah terbukti dengan transisi ini, semua sifat dasar dari sistem kontinu disimpan. Oleh karena itu, analisis pemetaan diskrit praktis dalam studi sistem dinamis.
Menyadari metode ini, kita, seperti itu, kita ditempatkan di permukaan M (biasanya pesawat) sehingga lintasan fase berpotongan di bawah sudut non-nol. Kumpulan titik persimpangan permukaan permukaan dalam satu arah disebut Poincaré Cross Section. Fitur geometris bagian ditentukan oleh konfigurasi penarik dan dengan pilihan yang sukses dari pesawat berurutan dimungkinkan untuk "mempertimbangkan" semua topologinya. Kita, seolah memotongnya ke lapisan.
Gbr.4.1. Contoh Bagian Poincaré Plane X3 \u003d H.
Bagian Poincare dan pemetaan memiliki sifat topologi yang sama dengan aliran kepala mereka. Misalnya, jika aliran disipatif dan volume pada ruang fase dikompresi, pemetaan mengurangi area pada bidang S. Demikian pula, jika aliran memiliki daya tarik, karakteristik strukturalnya dapat ditemukan di bagian Poincaré. Jika penarik adalah siklus batas, maka di bagian yang dipilih dengan benar, kita akan melihat satu titik yang dikunjungi secara berkala atau agak jika lintasan tertutup ini (siklus batas) sangat berliku. Dengan memindahkan SEC, kita dapat menjelajahi lintasan ini.
Gerakan semu-periodik pada Taurat, yang tidak mudah untuk dipertimbangkan dalam solusi persamaan diferensial dan di ruang fase, akan memanifestasikan dirinya dalam penampang Poincaré dengan rantai poin yang padat. Penarik aneh yang sesuai dengan rezim kacau akan memberi kami set corther di cross section, yaitu, tidak ada yang padat dengan struktur fraktal seperti diri. Kami telah melihat banyak dalam pekerjaan nomor 2 - ini adalah penarik eno. Namun, dengan disipasi yang kuat, fraktalitas sulit dan untuk mengkonfirmasi "keanehan" penarik, Anda perlu menghitung dimensi fraktal atau korelasi bagian.
Jelas bahwa ketika mempelajari sistem dinamis urutan ke-4, bagian Poincare akan memberi kita satu set titik tiga dimensi, memvisualisasikannya kita hampir tidak dapat dapat dan analisisnya tidak akan mudah, tetapi masih memungkinkan.
Kita, seperti sebelumnya, percaya bahwa lintasan fase, diperketat ke penarik, menghasilkan sistem dinamis dinamis otonom disipatif
Komunikasi titik-titik tetangga secara kronologis dari bagian Poincaré, I.E. Tampilan berkelanjutan dari pesawat itu sendiri
PI + 1 \u003d f (pi), i \u003d 1,2, ... (4.2)
(x1i, x2i, ..., xn-1, i) \u003d xi ditentukan oleh sistem persamaan perbedaan
x1, i + 1 \u003d j1 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
x2, i + 1 \u003d j2 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
xn-1, i + 1 \u003d jn-1 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
Sistem (4.2) dan bentuk skalarnya (4.3) disebut Pemetaan Poincaré. Perhatikan bahwa interval waktu antara penampilan titik PI di bagian penampang tidak sama. Terkadang bagian khusus Poincaré digunakan, memberikan interval waktu permanen antara penampilan bagian (stroboscope). Pada saat yang sama, intervalnya biasanya sama dengan periode beberapa pengaruh eksternal dalam sistem non-otonom. Dapat dipertimbangkan bahwa semua perbedaan pendekatan sistem dinamis kontinu adalah beberapa pemetaan Poincaré.
Persamaan permukaan dalam ruang fase karena menetapkan kondisi hubungan variabel, dan kami hanya memperbaiki titik-titik lintasan yang memenuhi kondisi ini. Bunga khusus dapat menjadi kondisi untuk ekstrem negara bagian mana pun, beberapa kondisi teknologi, persamaan keseimbangan yang memiliki makna fisik tertentu, dll.
Misalnya, kondisi ekstrem negara X2 dalam sistem (3.3) adalah
x2 + 20x3 -x1 x3 \u003d 0.
Agar alat program ODE untuk membentuk permukaan pengaman seperti itu, kami memperkenalkan variabel tambahan Z \u003d X1 X3 dan membentuk persamaan tambahan
Memecahkan semua empat persamaan dalam mode Bagian Poincaré, kami memperoleh poin ekstrem yang kami butuhkan (hanya Maxima atau hanya minima tergantung pada kondisi awal). Penjualan Poincaré adalah x2 + 20x3 - z \u003d 0. Dalam Gambar. 4.2 menunjukkan tampilan panel ODE untuk mensimulasikan bagian penampang yang sesuai dari sistem sistem (3.3).
Ara. 4.2. Panel kontrol ODE.
Selain analisis visual bagian, yang sulit dalam kasus permukaan sectional nonlinear, program ODE memungkinkan Anda untuk melihat koneksi koordinat saat ini dari bagian dengan yang sebelumnya. Dalam mode "N / (N + K) mode", ketergantungan ekstremus selanjutnya dari yang sebelumnya dapat ditampilkan, katakanlah,
Jenis ketergantungan ini dapat memungkinkan kita untuk mengungkapkan penentuan dalam kekacauan fluktuasi x2 (t). Pada Gambar. 4.3 menunjukkan hasil analisis semacam itu.
Metode Poincare Cross Session menyederhanakan studi tentang aliran terus menerus dalam tiga alasan. Pertama, kami pindah dari utas dalam R3 ke layar di pesawat, sehingga menurunkan jumlah koordinat per unit. Kedua, waktu diskreteed, dan persamaan diferensial diganti oleh perbedaan persamaan pemetaan Poincaré (4.3). Akhirnya, ketiga, jumlah data yang akan diproses dengan tajam berkurang, karena hampir semua titik pada lintasan dapat diabaikan.
Gbr.4.3. Menampilkan POINCARE (di atas) titik ekstrem dari larutan x2 (t) (lebih rendah) dari sistem (3.3).
Prosedur untuk melakukan pekerjaan laboratorium.
Aktifkan program ODE.
Menggunakan mode POINCARE Cross Section, temukan beberapa bagian untuk penarik dalam bentuk torus dalam ruang tiga dimensi (file tor3.ode) (persamaan pesawat pengaman diatur dalam bentuk Hessse).
Temukan bagian dan pemetaan Poincaré untuk penarik Ressrol dan Lorentz, sesuai dengan titik ekstrem dari koordinat pertama dari sistem ini.
Untuk melakukan sejumlah cross-bagian paralel dari asam asam-Dmitrieva, untuk mempelajari topologinya. Periksa efek parameter sistem pada bentuk penarik. Cobalah untuk membuka struktur fraktal penarik dengan meningkatkan fragmen kecil Poincaré Cross Section dengan sejumlah besar poin dalam memecahkan sistem persamaan.
Ulangi item 4 untuk sistem yang ditentukan oleh guru.
Pertanyaan Kontrol
Bagaimana, menggunakan program ODE, membangun bagian dan menampilkan Poincare?
Bagaimana cara membangun bagian dan tampilan Poincare untuk memperbaiki titik maksimum dan minimal salah satu solusi sistem?
Bagaimana cara menggunakan program ODE untuk meningkatkan fragmen penampang yang diinginkan?
Bagaimana cara melaksanakan sumbu balik yang diinginkan untuk desain penampang pada bidang koordinat?
Grafik Poincaré adalah diagram titik: nilai-nilai interval RR saat ini disimpan pada sumbu absis, dan pada sumbu ordinat pada waktu berikutnya RR. Bentuk grafik Poincaré dikategorikan ke dalam beberapa kelas fungsional (Gbr. 8).
Ara. 8. Contoh grafik poincaré (pada peta ditampilkan poin dengan koordinat r i r i +1 dan r i +1 r i +2 interval) digunakan untuk mengevaluasi kualitas urutan interval RR: grafik (a) - (D) - dengan hati-hati mengedit urutan interval RR (sinus ritme); (e) - (j) - catatan pasien dengan penyakit kardiovaskular (Stein P.K. et al., 2008)
Grafik Poincare berisi informasi umum tentang variabilitas jantung dan informasi terperinci tentang perubahannya dari Systole ke Systole. Jadwal Poincare Bottom Up Crosses Identity Line. Posisi titik pada garis identitas berarti bahwa irama jantung (durasi interval RR) belum berubah untuk 2 kontraksi (Gbr. 9).
Gambar 9. Metode untuk menghitung indikator WRV berdasarkan Graphics Poincaré. Mengenai centroid (nilai rata-rata interval RR), elips dibangun, lebar yang dilambangkan sebagai SD1 (standar deviasi tegak lurus terhadap sumbu pusat), dan panjangnya adalah SD2 (standar deviasi di sepanjang sumbu pusat) ( Stein PK dan Rekan penulis, 2008)
Dengan demikian, garis identitas adalah grafik fungsi x \u003d y (rrn \u003d rrn + 1). Jika intinya di atas garis identitas, ini berarti bahwa x Untuk diagnosis keadaan fungsional, indikator integral digunakan, dihitung berdasarkan langkah-langkah variabilitas ritme jantung. Salah satu indikator kondisi umum tubuh tersebut adalah indikator aktivitas sistem peraturan. Indikator ini dihitung dalam poin berdasarkan indikator statistik, indikator histogram dan data analisis spektral. Perhitungan pars dilakukan sesuai dengan algoritma berdasarkan lima kriteria: 1. Pengaruh total regulasi sesuai dengan indikator denyut nadi (PE). 2. Aktivitas total mekanisme peraturan untuk deviasi kuadratik rata-rata (atau dengan kekuatan spektral yang umum). 3. Saldo vegetatif pada serangkaian indikator: SI, RMSSD, HF, IC. 4. Aktivitas Pusat Vasomotor mengatur nada vaskular (diperkirakan pada kekuatan gelombang lambat dari urutan pertama - LF). 5. Aktivitas pusat saraf subkorteks kardiovaskular, atau tingkat regulasi tambahan. Struktur-struktur ini mengatur nada vaskular, dan aktivitasnya dapat diperkirakan oleh tingkat VLF. Nilai pars yang diperoleh dalam hasilnya dinyatakan dalam poin dan berfluktuasi dalam kisaran 1 hingga 10. Atas dasar titik-titik ini, keadaan fungsional berikut dapat didiagnosis: Berdasarkan analisis nilai pars, keadaan fungsional berikut dapat didiagnosis: Keadaan tegangan optimal dari sistem peraturan yang diperlukan untuk mempertahankan keseimbangan aktif tubuh dengan media (norma, parrs \u003d 1-2). Keadaan tegangan sistem peraturan moderat, ketika cadangan fungsional tambahan diperlukan untuk beradaptasi dengan kondisi lingkungan. Negara-negara semacam itu muncul dalam proses adaptasi terhadap aktivitas tenaga kerja, dengan tekanan emosional atau ketika terkena faktor lingkungan yang merugikan (pars \u003d 3-4). Keadaan tegangan sistem peraturan yang diucapkan, yang dikaitkan dengan mobilisasi aktif mekanisme perlindungan, termasuk peningkatan aktivitas sistem simpatik-adrenal dan sistem hipophy-adrenal (pars \u003d 4-6). Keadaan overvoltage sistem peraturan yang kekurangan mekanisme pelindung dan adaptif ditandai, ketidakmampuan mereka untuk memastikan respons tubuh yang memadai terhadap dampak faktor lingkungan. Di sini, aktivasi yang berlebihan dari sistem peraturan tidak lagi didukung oleh cadangan fungsional yang sesuai (pars \u003d 6-8). Keadaan penipisan (asthenisasi) sistem peraturan, di mana aktivitas mekanisme kontrol berkurang (mekanisme regulasi yang tidak memadai) dan tanda-tanda karakteristik patologi muncul. Di sini, perubahan spesifik jelas didominasi atas nonspesifik (pars \u003d 8-10). Ara. 10. Ritmogram dicatat dari satu orang saat istirahat (setengah kiri) dan di bawah tekanan (setengah kanan). A- Urutan interval RR dalam periode yang tenang, dalam urutan interval RR dengan; C dan d - tali yang sesuai; E, f, g, i - histogram mengkarakterisasi distribusi poin pada poincaré chart (Kurva Fase) Sistem. Lebih detail, tampilan Poincare ditentukan sebagai berikut. Pertimbangkan beberapa bagian dari permukaan di ruang fase ( pOINCARE Cross Sect.), transversal ke bidang vektor sistem (yaitu, tidak menyentuh bidang; sering mereka katakan sederhana lintang). Dari titik pada transversal, kami akan melepaskan lintasan sistem. Misalkan pada beberapa titik lintasan pertama kali melewati transversal lagi; Menunjukkan titik persimpangan melalui. Menampilkan Poincare Point menempatkan sesuai dengan titik pengembalian pertama. Jika lintasan yang dilepaskan, tidak pernah kembali ke transversal, maka tampilan Poincare pada saat ini tidak ditentukan. Demikian pula, Anda dapat menentukan tampilan POINCARE (tampilan pengajuan) tidak hanya dengan transversal pada diri sendiri, tetapi juga dari satu melintang ke yang lain. Iterasi pemetaan Poincare dengan beberapa transversal untuk diri mereka sendiri membentuk sistem dinamis dengan waktu diskrit pada ruang fase dimensi yang lebih kecil. Sifat-sifat sistem ini berada dalam koneksi dekat dengan sifat-sifat sistem sumber dengan waktu kontinu (misalnya, titik tampilan poincare tetap dan periodik sesuai dengan lintasan sistem tertutup). Dengan demikian, hubungan antara bidang vektor dan alirannya di satu sisi dan iterasi pemetaan diinstal pada yang lain. POINCARE MAP adalah alat penting untuk mempelajari sistem dinamis dengan waktu kontinu. Fungsi reflektif Foundation Wikimedia. 2010. Henri Poincaré Henri Poincaré Tanggal Lahir: 29 April 1854 (1854 04 29) Tempat Lahir: Nancy ... Wikipedia Tentang mengembalikan salah satu tanah. Teorema mengkarakterisasi perilaku sistem dinamis dengan ukuran invarian. Contoh sistem seperti itu adalah sistem Hamilonov, evolusi ROO dijelaskan oleh solusi persamaan Hamilton Canonic. Koordinat dan ... ... Ensiklopedia fisik Biarkan cincin di pesawat, dibatasi oleh lingkaran dengan radii r \u003d a dan r \u003d b, dan tampilan itu sendiri (sudut kular q) kondisi yang memuaskan: 1) tampilan menghemat area, 2) setiap batas batas berjalan ke dalam dirinya sendiri, 3) poin dari ... Ensiklopedia matematika 1) P. hl p. Dimensi formal dan ruang topologi X, di mana elemen diberikan bahwa homomorfisme spesies adalah isomorfisme untuk setiap K (di sini pengoperasian multiplikasi Whitney, ukiran). Pada saat yang sama, disebut Isomorfisme ... Ensiklopedia matematika Bagian dari teori kualitatif persamaan diferensial dan teori dinamika. Sistem yang terkait dengan batas (dengan) perilaku lintasan dari sistem otonom dari dua persamaan diferensial dari urutan ke-1: (*) (kondisi yang menyediakan keberadaan dan ... ... Ensiklopedia matematika Untuk aliran (ST) yang lancar atau setidaknya terus-menerus dan hypersurface transversal untuk itu V, tampilan T, yang cocok dengan titik pertama kali titik persimpangan dengan bidang aliran yang besar (dan didefinisikan untuk mereka V,. .. Ensiklopedia matematika Teorema Poincaré terakhir adalah pernyataan geometris yang diterbitkan oleh Henri Poincare (tanpa bukti) tak lama sebelum kematian (1912). Bukti penuh memberi enam bulan George David Birkhof. Isi 1 Wording 2 Variasi ... Wikipedia Transformasi konformal (matematika), menampilkan satu gambar (area) ke yang lain, di mana dua kurva yang berpotongan pada beberapa sudut pada titik dalam angka pertama dikonversi ke kurva angka kedua, ... Ensiklopedia Soviet yang hebat Tampilan yang saling tidak ambigu dari area d ke area d * (ruang Euclidean atau ragam riemannian) disebut konformal (lat. Konformis serupa), jika di lingkungan setiap titik D diferensial konversi ini adalah ... ... Wikipedia Istilah ini memiliki arti lain, lihat Teorema Poincaré. Dalam teori sistem dinamis, teorema Poincaré pada klasifikasi homomorfisme lingkaran menggambarkan jenis dinamika reversibel yang mungkin pada lingkaran, tergantung pada jumlah ... ... Wikipedia Definisi pemetaan Poincare memastikan bahwa batasnya set sesuai dengan set set sistem streaming yang ditentukan. Kegunaan pemetaan Poincare adalah untuk mengurangi urutan sistem dan pada kenyataan bahwa mereka berfungsi sebagai jembatan antar sistem dengan waktu yang berkelanjutan dan diskrit. Pertimbangkan hiperplane n-dimensi Didefinisikan sebagai Setiap detik, lintasan sistem melintasi hiperplan "sigma" (lihat Gambar 1) Menerima tampilan Ditentukan sebagai: P n disebut tampilan Poincaré dari sistem nonautonomis. 2. Orbit Memodelkan lintasan terpisah dengan interval dalam t detik, mis. Sepertinya menyoroti stroboskopik dari titik-titik lintasan dengan periode T. Biarkan x * menjadi titik pada siklus batas, dan biarkan "sigma" - hiperplane n-dimensi, melintang pada titik x *. Lintasan yang keluar dari X *, melalui detik lagi jatuh ke titik X * pada Sigma Hyperplane (T - periode minimum siklus batas). Berdasarkan kesinambungan aliran f t dalam kondisi awal, lintasan dimulai dengan "Sigma" di lingkungan yang cukup kecil pada titik X * akan, kira-kira, melalui t detik untuk menyeberangi "Sigma" di dekat titik X *. Catatan:
2. Untuk euklida ruang fase, titik p a (x) bukan poin pertama di mana aliran f t akan melintasi "sigma"; F t (x) harus melewati "sigma" setidaknya sekali lagi sebelum kembali ke U. Ini juga, adalah perbedaan dari ruang fase silinder pada Gambar.1. 3. P A adalah diffeomorfisme dan, oleh karena itu, dibedakan secara reversibel. Definisi pemetaan Poincaré adalah definisi standar yang diambil dari teori sistem dinamis, tetapi jarang digunakan dalam simulasi numerik, karena itu menyiratkan pengetahuan awal tentang posisi siklus batas. Di mana h adalah vektor, normal ke "sigma" dan x - beberapa titik berbaring di hyperplane, dan Produk skalar. Jika "Sigma" dipilih dengan benar, lintasan yang diamati akan mengatur ulang "Sigma", bergerak dari "Sigma" ke Sigma +, dan kemudian kembali, dll., Seperti yang ditunjukkan pada Gambar.3 Untuk hiperplane yang ditentukan "Sigma", tiga tampilan poincare yang berbeda dapat didefinisikan: P +: p + (x) adalah titik di mana f t (x) pertama-tama mengatur ulang "sigma" dalam arah positif, mis .. P -: P - (x) adalah titik di mana F T (X) pertama melintasi "Sigma" di arah negatif, I.E. P + -: p + - (x) adalah poin pertama di mana f t (x) melintasi "sigma" ke arah apa pun di t\u003e 0. Memenuhi kriteria untuk masing-masing dari tiga pemetaan. Untuk setiap pemetaan ini, tidak ada jaminan bahwa itu didefinisikan dengan baik karena F T (X) mungkin tidak akan pernah melewati "Sigma" untuk T\u003e 0. Untuk sistem dengan ruang fase euclide, yang tidak mencari keadaan keseimbangan, Anda selalu dapat memilih hyperplane di mana ketiga pemetaan didefinisikan dengan baik. Pernyataan ini tidak benar untuk suatu sistem dengan ruang fase non-exeide. Sebagai contoh, pertimbangkan tampilan Poincaré dari sistem nonautonomum. Karena lintasan selalu melintasi "Sigma" dengan arah yang sama, salah satu pemetaan satu sisi Poincare ternyata tidak pasti; Ini akan menjadi p + atau p - tergantung pada pilihan vektor normal H. Jika salah satu pemetaan didefinisikan dengan baik, kontinuitas, dan, akibatnya, perbedaannya belum dijamin; Namun, jika F melintang pada "Sigma" pada titik X dan pada titik P (x), maka pemetaan dibedakan secara lokal. Pemetaan P adalah dikaitkan dengan tiga tampilan yang ditentukan sebagai berikut. Orbit tertutup dari periode K memetakan P A menunjukkan solusi subharmonik dari aliran sumber. Ingatlah bahwa perlu hati-hati ketika menggunakan istilah "solusi subharmonic" dalam sistem otonom. Khususnya, jika periode minimum siklus G adalah T, maka periode minimum dari order K-th subharmonics akan dekat, tetapi biasanya tidak sama dengan KT, karena, berbeda dengan tampilan poincare untuk non-otonom Sistem PA, ditentukan dari kondisi persimpangan, dan bukan dari kondisi waktu. Dengan demikian, waktu pengembalian ke X * adalah T, tetapi waktu pengembalian untuk titik dekat X * dekat, tetapi biasanya tidak sama dengan T. P +, p - dan p + -: untuk pemetaan ini, klasifikasi siklus batas tidak jelas, karena batas set pemetaan Poincaré tergantung pada posisi hiperplan "Sigma" sekuensial. Secara khusus, untuk siklus batas yang diberikan dari aliran sumber, pilihan "Sigma" yang berbeda dapat menyebabkan terjadinya orbit tertutup dari berbagai pesanan (Gbr. 4). Persetujuan paling umum yang dapat dilakukan adalah bahwa orbit tertutup dari salah satu pemetaan Poincare ini sesuai dengan siklus pembatas aliran sumber. Jika Anda penuh perhatian, Anda dapat menentukan subharmonik menggunakan pemetaan ini. Pertimbangkan orbit tertutup dari periode M (dengan persimpangan melintang), yang sesuai dengan siklus batas R dengan periode T. Jika ada orbit tertutup dari periode MK, itu mewakili koreksi K-th subharmonik dalam kaitannya dengan R , dan periode siklus batas sumber yang sesuai sama dengan KT. Pertimbangkan sistem dengan waktu yang berkelanjutan, dinamika yang dijelaskan oleh beberapa persamaan diferensial. Misalkan untuk definiteness itu adalah sistem otonom dengan ruang fase tiga dimensi. Tempatkan dalam ruang fase platform dua dimensi dan tetapkan beberapa sistem koordinat (x, y) di atasnya). Pilihan permukaan pengaman sangat diproduksi, tetapi harus ditempatkan agar lintasan fase yang menarik bagi lintasan fase itu berulang kali melintasi dan sentuhan akan dikecualikan. Ambil beberapa poin (X, y) Pada permukaan pengaman, kami akan merilis lintasan fase dari itu dan mengikuti lintasan ini sampai terjadi dengan persimpangan berikutnya dari daerah kami pada titik tertentu (x ", y") dengan bagian dalam arah yang sama. Jika Anda mengganti titik awal, gambar titik lainnya akan. Akibatnya, ada beberapa pemetaan permukaan bagian itu sendiri: Itu itu tampilan Pengajuan, atau tampilkan Poincare.. Sekarang Anda bisa terganggu dari persamaan diferensial awal dan fokus pada analisis speaker yang dihasilkan oleh pemetaan Poincaré. Substitusi objek penelitian ini tidak disertai dengan perkiraan apa pun, analisis tetap akurat. Harga yang harus dibayar adalah hilangnya informasi tentang sifat dinamika selama masa antara persimpangan sekuensial permukaan pengamanan, khususnya, durasi interval waktu antara persimpangan ini dan sifat topologi dari lintasan fase. Namun demikian, kemampuan untuk menganalisis banyak masalah mendasar, misalnya, diinstal dalam sistem rezim reguler atau kacau. Temukan tampilan Poincaré untuk sistem nonlinear tertentu secara eksplisit berhasil sangat jarang, dalam kasus-kasus luar biasa di mana persamaan diferensial memungkinkan solusi analitis. Namun, mungkin saja membangun pemetaan Poincaré sebagai algoritma numerik. Misalkan sistem dinamis dijelaskan oleh persamaan diferensial dan permukaan pengaman diatur oleh persamaan Lebih lanjut, kami telah menerapkan dalam bentuk program komputer untuk menyelesaikan sistem persamaan (6.2), misalnya, oleh Runge-Kutta. Ditetapkan sebagai kondisi awal beberapa titik pada permukaan unit dan kami akan membangun solusi langkah demi langkah dengan metode perbedaan, melacak tanda fitur (x, y, z). Momen persimpangan lintasan permukaan sectional adalah saat mengubah tanda-tanda. Kita dapat dengan mudah memperbaikinya, di antara yang dengan jumlah perbedaan metode akan terjadi. Misalkan terjadi antara n.-M dan ( n. + 1) -MO Langkah Jadi S n \u003d s (x (nδt), y (nδt), z (nδt)) dan S n +1 \u003d s (x ((n + 1) Δt), y (((n + 1) Δt), z ((n + 1) Δt)) memiliki tanda yang berlawanan. Mari kita berdiam dan bertanya bagaimana memeriksa momen persimpangan. Fakta bahwa kami benar-benar membutuhkan bahkan bukan jawaban yang akurat (kami masih mendekati persamaan diferensial dengan skema perbedaan), tetapi hasil seperti itu akan konsisten dengan akurasi dengan perkiraan yang digunakan. Cara elegan untuk mengatasi masalah ini ditunjukkan oleh Michel Eno dan terdiri dari berikut ini. Menambah sistem persamaan (6.3) oleh hubungan lain, yaitu, Dan sekarang menulis ulang persamaan dengan mengambil variabel independen S. memasuki penunjukan untuk kenyamanan Ambil nilai, y, z, t, diperoleh pada (n + 1 )
-Memiliki langkah, dan mengambil satu langkah sesuai dengan S, nilai yang (- S n +1) (dapat baik positif dan negatif). Setelah itu, itu akan diberikan pada nol, dan X, Y, Z dan T akan memberikan apa yang diperlukan - nilai variabel dinamis dan waktu pada saat persimpangan S. Algoritma untuk membangun tampilan Poincaré sesuai dengan metode EIS dengan mudah diprogram segera sebagai solusi numerik persamaan (6.6). Pada saat yang sama, fungsi H (x, y, z) mengandalkan sama dengan 1 hingga langkah-langkah "standar" dalam waktu dilakukan, dan ditimpa sesuai dengan (6.5), ketika ada kebutuhan untuk menghasilkan "non- Standar "Langkah Menurut S. Karena dalam kedua kasus digunakan dengan metode perbedaan yang sama, akomodasi yang diinginkan tercapai. Meskipun volume perhitungan sedikit meningkat karena fakta bahwa jumlah persamaan telah menjadi lebih per unit, ini dikompensasi oleh keuntungan yang jelas dari metode ini. Diskusi terpisah membutuhkan kelas sistem penting yang ditentukan oleh persamaan diferensial non-otonom dengan koefisien berkala untuk dinamika nonlinier. Dari sudut pandang fisik, ini adalah sistem dengan pengaruh eksternal berkala, semua sama, daya atau parametrik. Untuk sistem seperti itu, prosedur untuk membangun bagian Poincare cukup sederhana. Biarkan sistem memiliki ruang fase dua dimensi (X, Y) dan dijelaskan oleh persamaan formulir, dengan tidak adanya efek berkala. Kehadiran efek periodik eksternal umumnya dinyatakan dalam kenyataan bahwa fungsi F 1 dan F 2 harus dipertimbangkan secara berkala tergantung pada waktu, I.E. dan catatan Kami memperkenalkan variabel z baru yang memenuhi persamaan. Jelas bahwa sistem otonom dengan ruang fase tiga dimensi setara (6,7). Untuk membangun tampilan Poincare, lebih mudah untuk mengambil pesawat sebagai permukaan pengaman (Gbr. 6.1b) sebagai permukaan pengaman. Sebagai koordinat pada bidang pengaman bisa gunakan variabel dinamis alami X dan Y. Karena ruang fase PZ memiliki struktur berkala, kita mungkin tidak membedakan antara titik-titik yang merupakan bagian dari satu sama lain untuk jumlah integer periode T. Dalam kata-kata yang berbeda ketika titik yang digambarkan melintasi bidang atas pada Gambar. 6.1b, itu langsung melompat di bagian bawah, sambil mempertahankan nilai-nilai yang sama dari koordinat X dan Y. Anda dapat melupakan variabel bantu, karena tidak berbeda dari timet, dan berbicara tentang ruang fase (x, y, t). Menampilkan poincare x "\u003d f 1 (x, y), y" \u003d F 2 (x, y) Memiliki makna sederhana - Ini menggambarkan perubahan dalam variabel dinamis dalam satu periode pengaruh eksternal. Kadang-kadang berbicara sebagai tampilan acuposcopic. Bayangkan bahwa dinamika sistem sebagian besar waktu mengalir dalam gelap dan tidak tersedia untuk observasi. Namun, sekali untuk periode pengaruh eksternal pada saat yang singkat, cahaya terang berkedip, sehingga kita dapat melacak urutan diskrit negara-negara yang memenuhi titik-titik berkedip. Berbeda dengan kasus sistem otonom, konstruksi numerik dari tampilan stroboskopi Poincare tidak menyebabkan masalah - perlu untuk selalu memilih langkah integrasi sehingga periode paparan berisi jumlah langkah integer. Semua pertimbangan jelas dirangkum untuk ruang fase dimensi yang lebih besar, hanya alih-alih platform dua dimensi berurutan, kita harus berbicara tentang bagian N.-Hell Phase Space Hypersurface N-1 Dimensi. Fakta bahwa ketika menggunakan tampilan POINCARE, dimensi vektor status yang harus Anda kerjakan dikurangi satu, terkadang sangat berguna. Menampilkan Poincaré secara umum ternyata menjadi desain teoritis yang sangat produktif. Melakukan argumen dalam hal tampilan Poincaré, adalah mungkin untuk mendapatkan kesimpulan yang sangat umum, berlaku untuk sistem yang dijelaskan oleh persamaan diferensial, baik otonom maupun non-otonom, dan pemetaan berulang - sistem dinamis dengan waktu diskrit. Sangat luar biasa bahwa prosedur untuk membangun tampilan Poincaré tidak lagi menjadi banyak ahli teori dan sering digunakan sebagai salah satu alat dengan studi eksperimental dinamika sistem nonlinear.
Lihat juga
Tautan
Tonton apa itu "Tampilan Poincare" dalam kamus lain:
Poincare menyarankan bahwa metode klasik menganalisis sistem dinamis.
Metode ini memungkinkan Anda untuk mengganti sistem streaming N-order pada layar (N-1) dari pesanan pada waktu diskrit, disebut tampilan Poincare.
Definisi
Definisi pemetaan Poincaré berbeda untuk sistem otonom dan tidak otonom. Pertimbangkan kedua kasus ini secara terpisah.
Tampilkan Poincaré untuk Sistem Nonautonomis
Ingatlah bahwa secara berkala dalam waktu sistem pesanan N-th non-otonom dengan periode minimum T dapat dikonversi ke sistem otonom (N + 1) -Peraturan-tadi dalam ruang fase silinder menggunakan konversi
Gbr.1 Menampilkan Poincaré untuk sistem urutan pertama yang tidak otonom.
Indeks N menunjukkan sistem non-otonom, dan berfungsi untuk membedakan tampilan ini dari pemetaan Poincaré, yang digunakan dalam sistem otonom. Perhatikan bahwa untuk T, F T T, ada diffeomorfisme dan, oleh karena itu, P N dapat diwakili dalam dua cara:
1. P n menunjukkan nilai apa yang akan memakan x hingga detik.
Ini disebut tampilan shift untuk waktu
Tampilan Poincare untuk sistem otonom
Pertimbangkan sistem pesanan N-th otonom dengan siklus batas R yang ditunjukkan pada Gambar.2.
Gbr.2 Tampilkan poincare untuk sistem otonom dari urutan ke-3.
Oleh karena itu, F T dan "Sigma" mendefinisikan pemetaan P A di beberapa lingkungan U poin X * ke lingkungan lain U poin X *.
P A adalah tampilan Poincaré dari sistem otonom.
1. P a didefinisikan secara lokal, yaitu, di lingkungan X *. Tidak seperti kasus non-otonom, tidak ada jaminan bahwa lintasan yang dilepaskan dari titik ke Sigma akan melewati "Sigma" lagi.
Dalam praktiknya, mereka memilih (N-1) -Mimal Hyperplane "Sigma", yang berbagi R n menjadi dua bidang:
Gambar.3 Lintasan khas melintasi bidang sekuensial "Sigma". Urutan (x 1, x 3, x 5, ...) adalah orbit tampilan satu sisi POINCARE P +, A (X 2, X 4, ...) - Orbit P -. Urutan penuh (x 1, x 2, ...) adalah orbit poincare p + -.
P + dan P - disebut pemetaan Poincaré satu sisi, sementara P + disebut tampilan poincara dua sisi. Perhatikan bahwa titik di mana lintasan menyangkut Hyperplane, I.E. x pada "sigma" yang
Dalam ruang fase EUClide, lintasan yang berasal dari titik tetap X dapat melewati "Sigma" lebih dari sekali sebelum kembali ke X *.
Biarkan ada persimpangan K, termasuk pengembalian terakhir ke X *, dan anggap bahwa semua persimpangan bersifat transversal.
Kemudian p A setara dengan K-Times tampilan ditampilkan p +, yaitu, p a (x) \u003d p + - k (x).
Perhatikan bahwa di ruang EUClide K, itu akan selalu genap, dan oleh karena itu p A akan setara dengan aplikasi K / 2 p + atau p -; Apakah p + atau p digunakan - tergantung pada apakah f (x *) dikirim ke "sigma +" atau "sigma".
Batasi beberapa tampilan poincare
Pertimbangkan hubungan antara set set pemetaan Poincare dan set marjinal aliran sumber. Selain kasus yang disepakati secara khusus, diskusi akan berkaitan dengan set sistem batas berkelanjutan dalam ruang fase Euclide.
Titik keseimbangan
Tidak ada batasan set pemetaan Poincaré yang sesuai dengan titik ekuilibrium.
Solusi berkala
Kita akan membahas kasus otonom dan non-otonom secara terpisah, tetapi pertama-tama kita memberikan dua definisi.
x * - ada titik tetap dari tampilan p, jika x * \u003d p (x *).
Set (x * 1, ..., x * k) - ada orbit tertutup periode k pemetaan p, jika x * k + 1 \u003d pk, di mana k \u003d 1, ..., k-1 dan x * 1 \u003d p * k.
Sistem Nonavonomis
Periode Solusi Satu sistem dengan waktu terus menerus sesuai dengan pemetaan titik tetap X * Poincare. Koreksi K-Th subharmonik sesuai dengan orbit tertutup periode K (x * 1, ..., x * k) dari tampilan Poincare.
Catatan: Tampilan Poincaré "membekukan" setiap komponen materic dari solusi, yang memiliki periode yang sepadan dengan periode gaya. Tindakan seperti itu mirip dengan stroboskopi yang menyoroti gambar.
Sistem otonom
P A: Siklus aliran batas f t berhubungan dengan titik tetap x * p peta.
Gbr.4 Batas set peta poincaré satu sisi dan bilateral tergantung pada pemilihan bidang sekuensial "Sigma".
Dalam ruang fase EUClide, jika siklus batas memasok "Sigma" secara melintang di setiap persimpangan, urutan orbit tertutup yang sesuai dari pemetaan P + sama dengan urutan orbit tertutup yang sesuai dari P + dan sama dengan setengahnya dari urutan orbit tertutup yang sesuai dari orbit tampilan P +.
Hampir segala gangguan dari Hypersurface Sigma mengarah pada hilangnya persimpangan non-transversal (tur). Meringkas, dapat dikatakan bahwa semua orbit tertutup dari tampilan P + - memiliki urutan genap.
Kata kunci di sini adalah kata "dekat", karena jika dua orbit tidak dekat satu sama lain, mereka dapat dihasilkan oleh siklus batas yang sepenuhnya andal.
