Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk menguasai bagian Poincaré, sebagai salah satu alat yang nyaman untuk menganalisis dinamika sistem nonlinier.
Deskripsi teoritis
Fitur-fitur dinamika sistem yang kacau dan teratur dapat dipelajari sesuai dengan lintasan fase mereka di ruang negara M. Namun, dimulai dengan dimensi n \u003d 3, analisis visual dari lintasan, penarik dan seluruh potret fase, sebagai bidang vektor , susah. Proyeksi penarik pada bidang koordinat di M sedikit membantu. Alat yang efektif adalah bagian Poincare.
Diketahui bahwa sistem dinamis diskrit dapat diperoleh dari cara-cara berkelanjutan untuk memperbaiki nilai dalam waktu yang terisolasi. Pada saat yang sama, interval antara momen-momen ini belum tentu sama. Dalam teori sistem dinamis, transisi dari sistem yang berkelanjutan ke diskrit dilakukan dengan menggunakan bagian Poincaré Cross. Pada saat yang sama, kita, seperti itu, pada ruang fase, titik lintasan di mana itu melintasi permukaan. Dengan demikian, dimungkinkan untuk mengurangi dimensi sistem, karena Permukaan dalam ruang n-dimensi memiliki dimensi N-1, menyederhanakan analisis dinamika, karena Sistem persamaan perbedaan lebih mudah untuk dipelajari daripada persamaan diferensial. Telah terbukti dengan transisi ini, semua sifat dasar dari sistem kontinu disimpan. Oleh karena itu, analisis pemetaan diskrit praktis dalam studi sistem dinamis.
Menyadari metode ini, kita, seperti itu, kita ditempatkan di permukaan M (biasanya pesawat) sehingga lintasan fase berpotongan di bawah sudut non-nol. Kumpulan titik persimpangan permukaan permukaan dalam satu arah disebut Poincaré Cross Section. Fitur geometris bagian ditentukan oleh konfigurasi penarik dan dengan pilihan yang sukses dari pesawat berurutan dimungkinkan untuk "mempertimbangkan" semua topologinya. Kita, seolah memotongnya ke lapisan.
Gbr.4.1. Contoh Bagian Poincaré Plane X3 \u003d H.
Bagian Poincare dan pemetaan memiliki sifat topologi yang sama dengan aliran kepala mereka. Misalnya, jika aliran disipatif dan volume pada ruang fase dikompresi, pemetaan mengurangi area pada bidang S. Demikian pula, jika aliran memiliki daya tarik, karakteristik strukturalnya dapat ditemukan di bagian Poincaré. Jika penarik adalah siklus batas, maka di bagian yang dipilih dengan benar, kita akan melihat satu titik yang dikunjungi secara berkala atau agak jika lintasan tertutup ini (siklus batas) sangat berliku. Dengan memindahkan SEC, kita dapat menjelajahi lintasan ini.
Gerakan semu-periodik pada Taurat, yang tidak mudah untuk dipertimbangkan dalam solusi persamaan diferensial dan di ruang fase, akan memanifestasikan dirinya dalam penampang Poincaré dengan rantai poin yang padat. Penarik aneh yang sesuai dengan rezim kacau akan memberi kami set corther di cross section, yaitu, tidak ada yang padat dengan struktur fraktal seperti diri. Kami telah melihat banyak dalam pekerjaan nomor 2 - ini adalah penarik eno. Namun, dengan disipasi yang kuat, fraktalitas sulit dan untuk mengkonfirmasi "keanehan" penarik, Anda perlu menghitung dimensi fraktal atau korelasi bagian.
Jelas bahwa ketika mempelajari sistem dinamis urutan ke-4, bagian Poincare akan memberi kita satu set titik tiga dimensi, memvisualisasikannya kita hampir tidak dapat dapat dan analisisnya tidak akan mudah, tetapi masih memungkinkan.
Kita, seperti sebelumnya, percaya bahwa lintasan fase, diperketat ke penarik, menghasilkan sistem dinamis dinamis otonom disipatif
Komunikasi titik-titik tetangga secara kronologis dari bagian Poincaré, I.E. Tampilan berkelanjutan dari pesawat itu sendiri
PI + 1 \u003d f (pi), i \u003d 1,2, ... (4.2)
(x1i, x2i, ..., xn-1, i) \u003d xi ditentukan oleh sistem persamaan perbedaan
x1, i + 1 \u003d j1 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
x2, i + 1 \u003d j2 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
xn-1, i + 1 \u003d jn-1 (x1i, x2i, ..., xn-1, i)
Sistem (4.2) dan bentuk skalarnya (4.3) disebut Pemetaan Poincaré. Perhatikan bahwa interval waktu antara penampilan titik PI di bagian penampang tidak sama. Terkadang bagian khusus Poincaré digunakan, memberikan interval waktu permanen antara penampilan bagian (stroboscope). Pada saat yang sama, intervalnya biasanya sama dengan periode beberapa pengaruh eksternal dalam sistem non-otonom. Dapat dipertimbangkan bahwa semua perbedaan pendekatan sistem dinamis kontinu adalah beberapa pemetaan Poincaré.
Persamaan permukaan dalam ruang fase karena menetapkan kondisi hubungan variabel, dan kami hanya memperbaiki titik-titik lintasan yang memenuhi kondisi ini. Bunga khusus dapat menjadi kondisi untuk ekstrem negara bagian mana pun, beberapa kondisi teknologi, persamaan keseimbangan yang memiliki makna fisik tertentu, dll.
Misalnya, kondisi ekstrem negara X2 dalam sistem (3.3) adalah
x2 + 20x3 -x1 x3 \u003d 0.
Agar alat program ODE untuk membentuk permukaan pengaman seperti itu, kami memperkenalkan variabel tambahan Z \u003d X1 X3 dan membentuk persamaan tambahan
Memecahkan semua empat persamaan dalam mode Bagian Poincaré, kami memperoleh poin ekstrem yang kami butuhkan (hanya Maxima atau hanya minima tergantung pada kondisi awal). Penjualan Poincaré adalah x2 + 20x3 - z \u003d 0. Dalam Gambar. 4.2 menunjukkan tampilan panel ODE untuk mensimulasikan bagian penampang yang sesuai dari sistem sistem (3.3).
Ara. 4.2. Panel kontrol ODE.
Selain analisis visual bagian, yang sulit dalam kasus permukaan sectional nonlinear, program ODE memungkinkan Anda untuk melihat koneksi koordinat saat ini dari bagian dengan yang sebelumnya. Dalam mode "N / (N + K) mode", ketergantungan ekstremus selanjutnya dari yang sebelumnya dapat ditampilkan, katakanlah,
Jenis ketergantungan ini dapat memungkinkan kita untuk mengungkapkan penentuan dalam kekacauan fluktuasi x2 (t). Pada Gambar. 4.3 menunjukkan hasil analisis semacam itu.
Metode Poincare Cross Session menyederhanakan studi tentang aliran terus menerus dalam tiga alasan. Pertama, kami pindah dari utas dalam R3 ke layar di pesawat, sehingga menurunkan jumlah koordinat per unit. Kedua, waktu diskreteed, dan persamaan diferensial diganti oleh perbedaan persamaan pemetaan Poincaré (4.3). Akhirnya, ketiga, jumlah data yang akan diproses dengan tajam berkurang, karena hampir semua titik pada lintasan dapat diabaikan.
Gbr.4.3. Menampilkan POINCARE (di atas) titik ekstrem dari larutan x2 (t) (lebih rendah) dari sistem (3.3).
Prosedur untuk melakukan pekerjaan laboratorium.
Aktifkan program ODE.
Menggunakan mode POINCARE Cross Section, temukan beberapa bagian untuk penarik dalam bentuk torus dalam ruang tiga dimensi (file tor3.ode) (persamaan pesawat pengaman diatur dalam bentuk Hessse).
Temukan bagian dan pemetaan Poincaré untuk penarik Ressrol dan Lorentz, sesuai dengan titik ekstrem dari koordinat pertama dari sistem ini.
Untuk melakukan sejumlah cross-bagian paralel dari asam asam-Dmitrieva, untuk mempelajari topologinya. Periksa efek parameter sistem pada bentuk penarik. Cobalah untuk membuka struktur fraktal penarik dengan meningkatkan fragmen kecil Poincaré Cross Section dengan sejumlah besar poin dalam memecahkan sistem persamaan.
Ulangi item 4 untuk sistem yang ditentukan oleh guru.
Pertanyaan Kontrol
Bagaimana, menggunakan program ODE, membangun bagian dan menampilkan Poincare?
Bagaimana cara membangun bagian dan tampilan Poincare untuk memperbaiki titik maksimum dan minimal salah satu solusi sistem?
Bagaimana cara menggunakan program ODE untuk meningkatkan fragmen penampang yang diinginkan?
Bagaimana cara melaksanakan sumbu balik yang diinginkan untuk desain penampang pada bidang koordinat?
Poincare menyarankan bahwa metode klasik menganalisis sistem dinamis.
Metode ini memungkinkan Anda untuk mengganti sistem streaming N-order pada layar (N-1) dari pesanan pada waktu diskrit, disebut tampilan Poincare.
Definisi pemetaan Poincare memastikan bahwa batasnya set sesuai dengan set set sistem streaming yang ditentukan. Kegunaan pemetaan Poincare adalah untuk mengurangi urutan sistem dan pada kenyataan bahwa mereka berfungsi sebagai jembatan antar sistem dengan waktu yang berkelanjutan dan diskrit.
Definisi
Definisi pemetaan Poincaré berbeda untuk sistem otonom dan tidak otonom. Pertimbangkan kedua kasus ini secara terpisah.
Tampilkan Poincaré untuk Sistem Nonautonomis
Ingatlah bahwa secara berkala dalam waktu sistem pesanan N-th non-otonom dengan periode minimum T dapat dikonversi ke sistem otonom (N + 1) -Peraturan-tadi dalam ruang fase silinder menggunakan konversi
Pertimbangkan hiperplane n-dimensi
Didefinisikan sebagai
Setiap detik, lintasan sistem melintasi hiperplan "sigma" (lihat Gambar 1)
Gbr.1 Menampilkan Poincaré untuk sistem urutan pertama yang tidak otonom.
Menerima tampilan
Ditentukan sebagai:
P n disebut tampilan Poincaré dari sistem nonautonomis.
Indeks N menunjukkan sistem non-otonom, dan berfungsi untuk membedakan tampilan ini dari pemetaan Poincaré, yang digunakan dalam sistem otonom. Perhatikan bahwa untuk T, F T T, ada diffeomorfisme dan, oleh karena itu, P N dapat diwakili dalam dua cara:
1. P n menunjukkan nilai apa yang akan memakan x hingga detik.
Ini disebut tampilan shift untuk waktu
2. Orbit.
Memodelkan lintasan terpisah dengan interval dalam t detik, mis.
Sepertinya menyoroti stroboskopik dari titik-titik lintasan dengan periode T.
Tampilan Poincare untuk sistem otonom
Pertimbangkan sistem pesanan N-th otonom dengan siklus batas R yang ditunjukkan pada Gambar.2.
Gbr.2 Tampilkan poincare untuk sistem otonom dari urutan ke-3.
Biarkan x * menjadi titik pada siklus batas, dan biarkan "sigma" - hiperplane n-dimensi, melintang pada titik x *. Lintasan yang keluar dari X *, melalui detik lagi jatuh ke titik X * pada Sigma Hyperplane (T - periode minimum siklus batas). Berdasarkan kesinambungan aliran f t dalam kondisi awal, lintasan dimulai dengan "Sigma" di lingkungan yang cukup kecil pada titik X * akan, kira-kira, melalui t detik untuk menyeberangi "Sigma" di dekat titik X *.
Oleh karena itu, F T dan "Sigma" mendefinisikan pemetaan P A di beberapa lingkungan U poin X * ke lingkungan lain U poin X *.
P A adalah tampilan Poincaré dari sistem otonom.
Catatan:
1. P a didefinisikan secara lokal, yaitu, di lingkungan X *. Tidak seperti kasus non-otonom, tidak ada jaminan bahwa lintasan yang dilepaskan dari titik ke Sigma akan melewati "Sigma" lagi.
2. Untuk euklida ruang fase, titik p a (x) bukan poin pertama di mana aliran f t akan melintasi "sigma"; F t (x) harus melewati "sigma" setidaknya sekali lagi sebelum kembali ke U. Ini juga, adalah perbedaan dari ruang fase silinder pada Gambar.1.
3. P A adalah diffeomorfisme dan, oleh karena itu, dibedakan secara reversibel.
Definisi pemetaan Poincaré adalah definisi standar yang diambil dari teori sistem dinamis, tetapi jarang digunakan dalam simulasi numerik, karena itu menyiratkan pengetahuan awal tentang posisi siklus batas.
Dalam praktiknya, mereka memilih (N-1) -Mimal Hyperplane "Sigma", yang berbagi R n menjadi dua bidang:
Di mana h adalah vektor, normal ke "sigma" dan x - beberapa titik berbaring di hyperplane, dan
Produk skalar. Jika "Sigma" dipilih dengan benar, lintasan yang diamati akan mengatur ulang "Sigma", bergerak dari "Sigma" ke Sigma +, dan kemudian kembali, dll., Seperti yang ditunjukkan pada Gambar.3
Gambar.3 Lintasan khas melintasi bidang sekuensial "Sigma". Urutan (x 1, x 3, x 5, ...) adalah orbit tampilan satu sisi POINCARE P +, A (X 2, X 4, ...) - Orbit P -. Urutan penuh (x 1, x 2, ...) adalah orbit poincare p + -.
Untuk hiperplane yang ditentukan "Sigma", tiga tampilan poincare yang berbeda dapat didefinisikan:
P +: p + (x) adalah titik di mana f t (x) pertama-tama mengatur ulang "sigma" dalam arah positif, mis ..
P -: P - (x) adalah titik di mana F T (X) pertama melintasi "Sigma" di arah negatif, I.E.
P + -: p + - (x) adalah poin pertama di mana f t (x) melintasi "sigma" ke arah apa pun di t\u003e 0.
P + dan P - disebut pemetaan Poincaré satu sisi, sementara P + disebut tampilan poincara dua sisi. Perhatikan bahwa titik di mana lintasan menyangkut Hyperplane, I.E. x pada "sigma" yang
Memenuhi kriteria untuk masing-masing dari tiga pemetaan.
Untuk setiap pemetaan ini, tidak ada jaminan bahwa itu didefinisikan dengan baik karena F T (X) mungkin tidak akan pernah melewati "Sigma" untuk T\u003e 0. Untuk sistem dengan ruang fase euclide, yang tidak mencari keadaan keseimbangan, Anda selalu dapat memilih hyperplane di mana ketiga pemetaan didefinisikan dengan baik. Pernyataan ini tidak benar untuk suatu sistem dengan ruang fase non-exeide.
Sebagai contoh, pertimbangkan tampilan Poincaré dari sistem nonautonomum. Karena lintasan selalu melintasi "Sigma" dengan arah yang sama, salah satu pemetaan satu sisi Poincare ternyata tidak pasti; Ini akan menjadi p + atau p - tergantung pada pilihan vektor normal H.
Jika salah satu pemetaan didefinisikan dengan baik, kontinuitas, dan, akibatnya, perbedaannya belum dijamin; Namun, jika F melintang pada "Sigma" pada titik X dan pada titik P (x), maka pemetaan dibedakan secara lokal.
Pemetaan P adalah dikaitkan dengan tiga tampilan yang ditentukan sebagai berikut.
Dalam ruang fase EUClide, lintasan yang berasal dari titik tetap X dapat melewati "Sigma" lebih dari sekali sebelum kembali ke X *.
Biarkan ada persimpangan K, termasuk pengembalian terakhir ke X *, dan anggap bahwa semua persimpangan bersifat transversal.
Kemudian p A setara dengan K-Times tampilan ditampilkan p +, yaitu, p a (x) \u003d p + - k (x).
Perhatikan bahwa di ruang EUClide K, itu akan selalu genap, dan oleh karena itu p A akan setara dengan aplikasi K / 2 p + atau p -; Apakah p + atau p digunakan - tergantung pada apakah f (x *) dikirim ke "sigma +" atau "sigma".
Batasi beberapa tampilan poincare
Pertimbangkan hubungan antara set set pemetaan Poincare dan set marjinal aliran sumber. Selain kasus yang disepakati secara khusus, diskusi akan berkaitan dengan set sistem batas berkelanjutan dalam ruang fase Euclide.
Titik keseimbangan
Tidak ada batasan set pemetaan Poincaré yang sesuai dengan titik ekuilibrium.
Solusi berkala
Kita akan membahas kasus otonom dan non-otonom secara terpisah, tetapi pertama-tama kita memberikan dua definisi.
x * - ada titik tetap dari tampilan p, jika x * \u003d p (x *).
Set (x * 1, ..., x * k) - ada orbit tertutup periode k pemetaan p, jika x * k + 1 \u003d pk, di mana k \u003d 1, ..., k-1 dan x * 1 \u003d p * k.
Sistem Nonavonomis
Periode Solusi Satu sistem dengan waktu terus menerus sesuai dengan pemetaan titik tetap X * Poincare. Koreksi K-Th subharmonik sesuai dengan orbit tertutup periode K (x * 1, ..., x * k) dari tampilan Poincare.
Catatan: Tampilan Poincaré "membekukan" setiap komponen materic dari solusi, yang memiliki periode yang sepadan dengan periode gaya. Tindakan seperti itu mirip dengan stroboskopi yang menyoroti gambar.
Sistem otonom
P A: Siklus aliran batas f t berhubungan dengan titik tetap x * p peta.
Orbit tertutup dari periode K memetakan P A menunjukkan solusi subharmonik dari aliran sumber. Ingatlah bahwa perlu hati-hati ketika menggunakan istilah "solusi subharmonic" dalam sistem otonom. Khususnya, jika periode minimum siklus G adalah T, maka periode minimum dari order K-th subharmonics akan dekat, tetapi biasanya tidak sama dengan KT, karena, berbeda dengan tampilan poincare untuk non-otonom Sistem PA, ditentukan dari kondisi persimpangan, dan bukan dari kondisi waktu. Dengan demikian, waktu pengembalian ke X * adalah T, tetapi waktu pengembalian untuk titik dekat X * dekat, tetapi biasanya tidak sama dengan T.
P +, p - dan p + -: untuk pemetaan ini, klasifikasi siklus batas tidak jelas, karena batas set pemetaan Poincaré tergantung pada posisi hiperplan "Sigma" sekuensial. Secara khusus, untuk siklus batas yang diberikan dari aliran sumber, pilihan "Sigma" yang berbeda dapat menyebabkan terjadinya orbit tertutup dari berbagai pesanan (Gbr. 4).
Gbr.4 Batas set peta poincaré satu sisi dan bilateral tergantung pada pemilihan bidang sekuensial "Sigma".
Persetujuan paling umum yang dapat dilakukan adalah bahwa orbit tertutup dari salah satu pemetaan Poincare ini sesuai dengan siklus pembatas aliran sumber.
Dalam ruang fase EUClide, jika siklus batas memasok "Sigma" secara melintang di setiap persimpangan, urutan orbit tertutup yang sesuai dari pemetaan P + sama dengan urutan orbit tertutup yang sesuai dari P + dan sama dengan setengahnya dari urutan orbit tertutup yang sesuai dari orbit tampilan P +.
Hampir segala gangguan dari Hypersurface Sigma mengarah pada hilangnya persimpangan non-transversal (tur). Meringkas, dapat dikatakan bahwa semua orbit tertutup dari tampilan P + - memiliki urutan genap.
Jika Anda penuh perhatian, Anda dapat menentukan subharmonik menggunakan pemetaan ini. Pertimbangkan orbit tertutup dari periode M (dengan persimpangan melintang), yang sesuai dengan siklus batas R dengan periode T. Jika ada orbit tertutup dari periode MK, itu mewakili koreksi K-th subharmonik dalam kaitannya dengan R , dan periode siklus batas sumber yang sesuai sama dengan KT.
Kata kunci di sini adalah kata "dekat", karena jika dua orbit tidak dekat satu sama lain, mereka dapat dihasilkan oleh siklus batas yang sepenuhnya andal.
(Kurva Fase) Sistem.
Lebih detail, tampilan Poincare didefinisikan sebagai berikut. Pertimbangkan beberapa bagian dari permukaan di ruang fase ( pOINCARE Cross Sect.), transversal ke bidang vektor sistem (yaitu, tidak menyentuh bidang; sering mereka katakan sederhana lintang). Dari titik pada transversal, kami akan melepaskan lintasan sistem. Misalkan pada beberapa titik lintasan pertama kali melewati transversal lagi; Menunjukkan titik persimpangan melalui. Menampilkan Poincare Point menempatkan sesuai dengan titik pengembalian pertama. Jika lintasan yang dilepaskan, tidak pernah kembali ke transversal, maka tampilan Poincare pada saat ini tidak ditentukan.
Demikian pula, Anda dapat menentukan tampilan POINCARE (tampilan pengajuan) tidak hanya dengan transversal pada diri sendiri, tetapi juga dari satu melintang ke yang lain.
Iterasi pemetaan Poincare dengan beberapa transversal untuk diri mereka sendiri membentuk sistem dinamis dengan waktu diskrit pada ruang fase dimensi yang lebih kecil. Sifat-sifat sistem ini berada dalam koneksi dekat dengan sifat-sifat sistem sumber dengan waktu kontinu (misalnya, titik tampilan poincare tetap dan periodik sesuai dengan lintasan sistem tertutup). Dengan demikian, hubungan antara bidang vektor dan alirannya di satu sisi dan iterasi pemetaan diinstal pada yang lain. POINCARE MAP adalah alat penting untuk mempelajari sistem dinamis dengan waktu kontinu.
Lihat juga
Fungsi reflektif
Tautan
- A. B. Skating, B. Hasselblat Pengantar Teori Sistem Dinamis saat ini dengan tinjauan pencapaian / trans terbaru. dari bahasa Inggris Ed. A. S. gorodetsky. - m.: McNMO, 2005. - 464 p. - ISBN 5-94057-063-1.
Foundation Wikimedia. 2010.
Tonton apa itu "Tampilan Poincare" dalam kamus lain:
Henri Poincaré Henri Poincaré Tanggal Lahir: 29 April 1854 (1854 04 29) Tempat Lahir: Nancy ... Wikipedia
Tentang mengembalikan salah satu tanah. Teorema mengkarakterisasi perilaku sistem dinamis dengan ukuran invarian. Contoh sistem seperti itu adalah sistem Hamilonov, evolusi ROO dijelaskan oleh solusi persamaan Hamilton Canonic. Koordinat dan ... ... Ensiklopedia fisik
Biarkan cincin di pesawat, dibatasi oleh lingkaran dengan radii r \u003d a dan r \u003d b, dan tampilan itu sendiri (sudut kular q) kondisi yang memuaskan: 1) tampilan menghemat area, 2) setiap batas batas berjalan ke dalam dirinya sendiri, 3) poin dari ... Ensiklopedia matematika
1) P. hl p. Dimensi formal dan ruang topologi X, di mana elemen diberikan bahwa homomorfisme spesies adalah isomorfisme untuk setiap K (di sini pengoperasian multiplikasi Whitney, ukiran). Pada saat yang sama, disebut Isomorfisme ... Ensiklopedia matematika
Bagian dari teori kualitatif persamaan diferensial dan teori dinamika. Sistem yang terkait dengan batas (dengan) perilaku lintasan dari sistem otonom dari dua persamaan diferensial dari urutan ke-1: (*) (kondisi yang menyediakan keberadaan dan ... ... Ensiklopedia matematika
Untuk aliran (ST) yang lancar atau setidaknya terus-menerus dan hypersurface transversal untuk itu V, tampilan T, yang cocok dengan titik pertama kali titik persimpangan dengan bidang aliran yang besar (dan didefinisikan untuk mereka V,. .. Ensiklopedia matematika
Teorema Poincaré terakhir adalah pernyataan geometris yang diterbitkan oleh Henri Poincare (tanpa bukti) tak lama sebelum kematian (1912). Bukti penuh memberi enam bulan George David Birkhof. Isi 1 Wording 2 Variasi ... Wikipedia
Transformasi konformal (matematika), menampilkan satu gambar (area) ke yang lain, di mana dua kurva yang berpotongan pada beberapa sudut pada titik dalam angka pertama dikonversi ke kurva angka kedua, ... Ensiklopedia Soviet yang hebat
Tampilan yang saling tidak ambigu dari area d ke area d * (ruang Euclidean atau ragam riemannian) disebut konformal (lat. Konformis serupa), jika di lingkungan setiap titik D diferensial konversi ini adalah ... ... Wikipedia
Istilah ini memiliki arti lain, lihat Teorema Poincaré. Dalam teori sistem dinamis, teorema Poincaré pada klasifikasi homomorfisme lingkaran menggambarkan jenis dinamika reversibel yang mungkin pada lingkaran, tergantung pada jumlah ... ... Wikipedia
Ada banyak metode untuk studi sistem nonlinear. Dalam tugas ini, salah satu metode paling efisien dan informatif digunakan untuk belajar - tampilan Poincare pada bidang fase. Menggunakan tampilan, poincare dapat dibedakan dari pergerakan satu sama lain dari jenis yang sangat berbeda, misalnya: periodik, quasiperiodic, kacau, dll.
Salah satu spesies model matematika dinamika adalah persamaan perbedaan, sebaliknya disebut tampilan. Kami juga memberikan yang lain, lebih akurat, penentuan konsep pemetaan dalam studi matematika sistem dinamis.
Display. Panggil sampel data sementara (x (t), x ( 
), ... x ( 
)) Untuk mana penunjukan diperkenalkan 
\u003d x ( 
). Dalam tampilan deterministik sederhana X (N + 1), Anda dapat menemukan nilainya
:
\u003d F ( 
).
(4)
Kami akan mempertimbangkan tampilan Poincaré untuk sistem dengan osilasi paksa, maka jika 
x ( 
)dan 
(
), urutan titik ruang fase akan menjadi tampilan dua dimensi:
\u003d F ( 
,
)
\u003d G ( 
,
)
(5)
Jika momen sampel 
kirim ke Aturan:
\u003d N * t + 
(6)
Di mana T adalah periode pemaksaan gerakan, pemetaan ini disebut pemetaan Poincare. Kami daftar kelas struktur yang ditemukan dalam tampilan POINCARE:
tapi) End dot set - Osilasi periodik atau subharmonik.
b) Kurva tertutup - Gerakan quasiperiodik di hadapan frekuensi yang tidak dapat ditekankan.
di) Set titik fraktal - "aneh" penarik dalam ruang fase tiga dimensi.
d) Set titik tak berbentuk - Empat kasus dimungkinkan:
1) Sistem dinamis dengan sinyal acak yang terlalu kuat atau kebisingan inlet.
2) "aneh" penarik, tetapi disipasi dalam sistem sangat lemah.
3) "aneh" penarik di ruang fase dengan lebih dari tiga dimensi.
4) Gerakan quasiperiodik dengan tiga atau sejumlah besar frekuensi dominan yang dominan.
Perumusan masalah
Persamaan pergerakan pendulum dengan titik berosilasi suspensi diberikan (1).
Untuk kondisi awal, nilai-nilai berikut diadopsi:
=0,
=
Juga parameter awal yang tetap tidak berubah selama penelitian adalah nilai-nilai berikut:
=0.25,
=1,
=1.56
Tugasnya adalah mempelajari perilaku pendulum pada nilai amplitudo yang berbeda ( 
) Fluktuasi titik suspensi. Nilai 
diubah pada interval dengan langkah d 
\u003d 0,001, dari 3 hingga 5 secara bertahis 0,1, dan kemudian dari 5 menjadi 8 dengan peningkatan 0,3, dari 8 hingga 10 dengan kenaikan 0,5. Studi ini dilakukan dengan menggunakan potret fase dari sistem dan membangun tampilan Poincaré pada bidang fase.
Model fisik sistem ini adalah pendulum fisik yang biasa, yang titik suspensi melakukan fluktuasi harmonik dengan amplitudo 2 
. Persamaan gerak sistem ini adalah persamaan diferensial urutan kedua. Ada dua cara untuk menyelesaikannya: analitis dan numerik. Solusi analitik (jika, tentu saja, ada) sangat sulit, dan karena itu tugas itu hanya diselesaikan secara numerik. Sebagai metode numerik untuk memecahkan masalah, metode RANGGA digunakan - Kutta orde keempat. Algoritma untuk memecahkan persamaan dengan metode ini:
Pertama, persamaan (1) disajikan sebagai sistem dari dua persamaan orde pertama: 
=
=
(7)
Atau 
=
(
)
=
(
)(8)
dimana: 
(
)
=
(
)
=
Selanjutnya dengan metode Runge-Kutta diperkenalkan 
untuk 
:
=
(
)
=
(
)
=
(
)
(9)
=
(
)
dan untuk 
:
=
(
)
=
(
)
=
(
)
(10)
=
(
)
Selanjutnya, define. 
dan 
oleh formula:
=
,
=
(11)
Diskusi hasil
Analisis hasil menunjukkan bahwa dengan nilai-nilai kecil 
Osilasi sedang berlangsung. Pada Gambar. 1 menggambarkan potret fase dari osilasi tersebut di 
=0.15.
gbr.1. 
\u003d 0,15 - osilasi yang mengalir
Lanjut 
osilasi mengambil karakter subharmonic (periode pengganda). Contoh potret fase dari osilasi tersebut ditunjukkan pada Gambar 4.
Untuk 
Osilasi sialan diamati.
Untuk 
osilasi menjadi harmonis.
Lalu kapan 
Bifurkasi (penggandaan) periode diamati. Pada tampilan Poincaré, dua poin ditunjukkan pada Gambar. 2, yang berarti, seperti yang telah disebutkan, menggandakan periode.
Ara. 2.
\u003d 0,56 - bmasa ifurgation.
Untuk 
osilasi mengambil karakter kuasi-periodik (tiga kali lipat, periode akuntansi).
Untuk 
osilasi mengambil karakter penarik aneh, tampilan poincare yang 
\u003d 0,65 digambarkan pada Gambar 3.
gbr.3. 
\u003d 0,65 - "aneh" penarik
Pada titik 
\u003d 0. 780 Sebuah fenomena khusus kekacauan transisi diamati: ketika Poincaré degenerasi, delapan poin. Potret fase dari sistem dan tampilan poincare untuk kasus ini ditunjukkan pada Gambar. 4.1 dan Gbr. 4.2.
Ara. 4.1 TampilanPoincare. Ara. 4.2 Fase Potret
\u003d 0,78 - periode delapan kali
Untuk 
Osilasi menjadi periodik - pada tampilan Poincare - satu poin.
Untuk 
Ada osilasi subharmonik dengan periode ganda.
Untuk 
Ada osilasi quasiperiodik dengan empat periode.
Untuk 
Ada osilasi kuasi-periodik dengan periode delapan.
Untuk 
Penarik "aneh" lagi diamati.
\u003d 3.4 - osilasi yang mengalir.
- osilasi subharmonik dengan periode ganda.
\u003d (10.0) - osilasi berkala, potret fase ditunjukkan pada Gambar. lima.
\u003d (9,9; 8,3) - kekacauan; Sistem dinamis dengan sinyal terlalu kuat atau kebisingan saluran masuk.
gbr.5. 
\u003d 10.0 - osilasi berkala
Sebagai hasil dari tugas tersebut, kami menyelidiki ketergantungan osilasi pendulum dengan berosilasi (dalam bidang vertikal) dari titik suspensi tergantung pada amplitudo kekuatan pemaksaan. Distribusi bidang nilai meningkat / pembusukan yang digambarkan pada Gambar dikonfirmasi. 1 - Ply. 
Dan kemudian kapan 
Osilasi melemahkan.
Ada juga berbagai jenis sistem sistem yang kacau dan non-deterministik juga diperoleh:
a) osilator harmonik ( 
).
b) osilator subharmonic ( 
).
c) osilator quasiperiodic ( 
{0.
780} 
).
d) osilator kacau (semua sisa dari banyak nilai, terperinci oleh kelas gerakan dalam sistem deterministik nonlinear di n. "Diskusi hasil").
Pertimbangkan sistem Hamiltonian dengan dua derajat kebebasan: partikel bergerak pada pesawat dan posisinya ditentukan oleh vektor. Biarkan Hamiltonian jelas tidak bergantung pada waktu dan karena itu energi tetap ada:
Ruang fase empat dimensi. Lintasan fase berada pada tiga dimensi hypersurface energi. Rasio (15) memungkinkan setidaknya secara lokal untuk mengekspresikan salah satu dari empat variabel sebagai fungsi dari tiga lainnya, misalnya
Dengan demikian, ruang fase sebenarnya menjadi tiga dimensi (jika tidak ada integral tambahan dari gerakan). Kami memilih beberapa permukaan dalam ruang tiga dimensi ini, misalnya, beberapa pesawat dan mempertimbangkan persimpangan berturut-turut dari lintasan fase ke arah peningkatan waktu.
Dalam hal ini, kami memperoleh beberapa urutan titik persimpangan
Tampilan poin pada permukaan seperti itu dilakukan dengan menggunakan beberapa fungsi:
Ord. Fungsi yang disebut. Fungsi pengajuan atau display.
Poincare..
Totalitas poin juga disebut tampilkan Poincare..
Konsep tampilan poincare dapat didistribusikan pada sistem dengan
Untuk sistem otonom, dimensi hipersurface energi, di mana kurva fase berada, sama dengan
Dalam hal ini, titik-titik persimpangan yang konsisten dari lintasan sistem dinamis hipersurface C - dimensi dipertimbangkan, asalkan alirannya tidak berkepentingan di mana saja, tetapi "Skeins". Jika selain integral energi masih ada integral dari gerakan, maka dimensi ruang fase terpotong sama, dan dimensi hypersurface sama.
Jika struktur jejak diketahui pada permukaan pengaman, itu memungkinkan untuk menyajikan dinamika sistem secara visual.
Apa yang disebut gerakan quasiperiodik sesuai dengan tampilan poincare, serangkaian titik yang mengisi kurva tertutup tertentu dengan ketat.
Akhirnya, ada sistem yang berada di bawah beberapa kondisi lintasan yang diwakili oleh beberapa poin yang kacau. Mode evolusi dari poin tersebut bukan periodik atau quasiperiodik.
Bagian. Sistem yang terintegrasi.
Kami telah berbicara - persamaan Hamilton memiliki properti penting yang memungkinkan kelas transformasi yang luas dari variabel kanonik (transformasi kanonik), di mana bentuk umum persamaan untuk sistem Hamiltonian tidak berubah:
Transformasi semacam itu dapat bermanfaat dalam membangun solusi dan menganalisis pola fisik gerakan.
Salah satu transformasi penting dan sering digunakan adalah konversi
, (4) sepenuhnya terintegangkan jika ada transformasi kanonik, yang dengannya Anda dapat pergi ke sudut aksi variabel.
