Beralih ke matriks stepwise. Langkah Matrix.

Dalam topik ini, pertimbangkan konsep matriks, serta jenis matriks. Karena ada banyak istilah dalam topik ini, saya akan menambahkan ringkasan untuk menavigasi pada bahan itu lebih mudah.

Definisi matriks dan elemennya. Penunjukan.

Matriks - Ini adalah tabel $ m $ baris dan $ n $ kolom. Objek matriks dapat menjadi objek dari sifat yang sama sekali beragam: angka, variabel atau, misalnya, matriks lain. Misalnya, matriks $ \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $ berisi 3 baris dan 2 kolom; Elemen-elemennya adalah bilangan bulat. Matrix $ \\ left (\\ begin (Array) (CCCC) A & A ^ 9 + 2 & 9 & SIN X \\\\ -9 & 3T ^ 2-4 & UT & 8 \\ END (Array) \\ kanan) $ Mengandung 2 garis dan 4 kolom.

Berbagai cara untuk merekam matriks: Tampilkan / Hide

Matriks dapat dicatat tidak hanya di babak, tetapi juga dalam kurung persegi atau ganda langsung. Di bawah ini adalah matriks yang sama dalam berbagai bentuk perekaman:

$$ \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan); \\; \\; \\; \\; \\; \\ kiri [\\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan]; \\; \\; \\ Kiri \\ vert \\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan \\ vert $$

Produk $ M \\ Times N $ disebut ukuran matriks. Misalnya, jika matriks berisi 5 baris dan 3 kolom, kemudian mereka katakan tentang matriks ukuran $ 5 \\ kali $ 3. Matriks $ \\ kiri (\\ Begin (ARRAY) (CC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $ memiliki ukuran $ 3 \\ £ kali $ 2.

Biasanya, matriks ditunjuk oleh huruf besar dari alfabet Latin: $ A $, $ B $, $ C $ dan sebagainya. Misalnya, $ b \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $. Penomoran string diatahkan ke bawah; Kolom - dari kiri ke kanan. Misalnya, baris pertama dari $ B $ matriks berisi elemen 5 dan 3, dan kolom kedua berisi elemen 3, -87, 0.

Unsur-unsur matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Misalnya, elemen $ A $ matriks dilambangkan $ A_ (IJ) $. Indeks ganda $ IJ $ berisi informasi tentang posisi elemen dalam matriks. Nomor $ I $ adalah jumlah baris, dan angka $ J $ adalah jumlah kolom, pada persimpangan yang ada elemen $ A_ (IJ) $. Misalnya, di persimpangan baris kedua dan kolom kelima dari Matrix $ A \u003d \\ kiri (\\ Begin (Array) (") 51 & 37 & 0 & 9 & 97 \\\\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ \\ -17 & -15 & -5 \\\\ 52 & -8 & -5 \\\\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \\ END (Array) \\ kanan) $ Terletak $ A_ (25) \u003d $ 59:

Dengan cara yang sama, di persimpangan baris pertama dan kolom pertama kami memiliki elemen $ A_ (11) \u003d $ 51; Di persimpangan baris ketiga dan kolom kedua - elemen $ A_ (32) \u003d - $ 15 dan seterusnya. Saya perhatikan bahwa rekor $ A_ (32) $ dibaca sebagai "dan tiga dua", tetapi tidak "dan tiga puluh dua".

Untuk penunjukan matriks $ A disingkat $, ukurannya adalah $ M \\ Times N $, digunakan untuk merekam $ A_ (m \\ kali n) $. Ini sering digunakan dan catatan seperti itu:

$$ A_ (m \\ kali (n)) \u003d (A_ (IJ)) $$

Di sini $ (A_ (IJ)) $ menunjukkan penunjukan elemen-elemen matriks $ A $, mis .. Ini menunjukkan bahwa unsur-unsur dari $ A $ matriks disebut $ A_ (IJ) $. Dalam bentuk penyebaran matriks $ A_ (m \\ kali n) \u003d (a_ (ij)) $ dapat ditulis sebagai:

$$ A_ (M \\ Kali N) \u003d \\ Left (\\ begin (Array) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ ldots & A_ (2N) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ A_ (M1) & A_ (M2) & \\ ldots & A_ (MN) \\ END (Array) \\ kanan) $$

Kami memperkenalkan istilah lain - matriks yang sama.

Dua matriks dengan ukuran yang sama $ A_ (m \\ kali n) \u003d (a_ (ij)) $ dan $ b_ (m \\ kali n) \u003d (b_ (ij)) $ disebut samaJika elemen masing-masing sama, mis. $ A_ (IJ) \u003d B_ (IJ) $ untuk semua $ I \u003d \\ overline (1, m) $ dan $ j \u003d \\ overline (1, n) $.

Penjelasan rekor $ I \u003d \\ overline (1, m) $: Tampilkan / Hide

Merekam "$ I \u003d \\ overline (1, M) $" berarti bahwa parameter $ I $ bervariasi dari 1 hingga m. Misalnya, rekor $ I \u003d \\ overline (1.5) $ menunjukkan bahwa parameter $ I $ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, untuk kesetaraan matriks, pelaksanaan dua kondisi diperlukan: kebetulan ukuran dan kesetaraan elemen yang sesuai. Misalnya, matriks $ A \u003d \\ kiri (\\ mulai (array) (cc) 5 & 3 \\\\ 0 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $ tidak sama dengan matriks $ B \u003d \\ kiri (\\ begin (Array) (CC) 8 & -9 \\\\ 0 & -87 \\ END (Array) \\ kanan) $ karena $ a $ matriks memiliki ukuran $ 3 \\ Kali $ 2, dan $ b ukuran $ matrix adalah $ 2 \\ kali $ 2. Juga, $ a $ matriks tidak sama dengan $ c \u003d \\ matriks kiri (\\ mulai (array) (CC) 5 & 3 \\\\ 98 & -87 \\\\ 8 & 0 \\ END (Array) \\ Kanan ) $, karena $ A_ (21) \\ NEQ C_ (21) $ (yaitu $ 0 \\ NEQ $ 98). Tapi untuk matriks $ f \u003d \\ kiri (\\ mulai (array) (CC) 5 & 3 \\ ED (Array) \\ kanan) $ dapat berani membakar $ a \u003d F $ sejak dan dimensi, dan unsur-unsur yang sesuai dari matriks $ A $ dan $ F $ bertepatan.

Contoh №1.

Tentukan ukuran matriks $ A \u003d \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -1 & -2 & 1 \\\\ 5 & 9 & -8 \\\\ -6 & -12 & -13 & -13 -5 \\ \\ 4 & 0 & -10 \\ END (Array) \\ kanan) $. Tunjukkan apa yang sama dengan elemen $ A_ (12) $, $ A_ (33) $, $ A_ (43) $.

Matriks ini berisi 5 baris dan 3 kolom, sehingga ukurannya $ 5 \\ Times $ 3. Untuk matriks ini, Anda juga dapat menggunakan penunjukan $ A_ (5 \\ Times 3) $.

Elemen $ A_ (12) $ adalah pada persimpangan baris pertama dan kolom kedua, oleh karena itu $ A_ (12) \u003d - $ 2. Elemen $ A_ (33) $ adalah pada persimpangan baris ketiga dan kolom ketiga, oleh karena itu $ A_ (33) \u003d 23 $. Elemen $ A_ (43) $ adalah pada persimpangan garis keempat dan kolom ketiga, oleh karena itu $ A_ (43) \u003d - $ 5.

Menjawab: $ A_ (12) \u003d - 2 $, $ A_ (33) \u003d 23 $, $ A_ (43) \u003d - $ 5.

Jenis matriks tergantung pada ukurannya. Diagonal rumah dan samping. Tanda matriks.

Biarkan matriks tertentu dari $ A_ (m \\ kali n) $. Jika $ M \u003d 1 $ (matriks terdiri dari satu baris), maka matriks yang ditentukan disebut matriks-string.. Jika $ n \u003d 1 $ (matriks terdiri dari satu kolom), maka matriks seperti itu disebut matriks-kolom.. Sebagai contoh, $ \\ kiri (\\ mulai (array) (CCCCC) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \\ END (Array) \\ kanan) $ - matriks-string, dan $ \\ kiri (\\ dimulai (array ) (C) -1 \\\\ 5 \\\\ 6 \\ END (Array) \\ kanan) $ - kolom matriks.

Jika matriks $ A_ (M \\ Kali N) $ adalah benar untuk $ M \\ NE $ kondisi (yaitu, jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom), maka sering dikatakan bahwa $ $ a adalah matriks persegi panjang. Sebagai contoh, $ \\ Kiri matriks (\\ begin (Array) (CCCC) -1 & -2 & 0 & 9 \\\\ 5 & 9 & 5 & 1 \\ End (Array) \\ kanan) $ memiliki ukuran $ 2 \\ kali $ 4 orang. Berisi 2 baris dan 4 kolom. Karena jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom, maka matriks ini persegi panjang.

Jika untuk matriks $ A_ (m \\ kali n) $, kondisinya adalah $ m \u003d n $ (yaitu, jumlah baris sama dengan jumlah kolom), kemudian mereka mengatakan bahwa $ A $ adalah matriks persegi sekitar $ n $. Misalnya, $ \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (cc) -1 & -2 \\\\ 5 & 9 \\ end (array) \\ kanan) $ adalah matriks persegi orde kedua; $ \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -1 & -2 & 9 \\\\ 5 & 9 & 8 \\\\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ end (array) \\ kanan) $ adalah matriks persegi urutan ketiga. Secara umum, matriks persegi $ A_ (n \\ kali n) $ dapat direkam seperti ini:

$$ A_ (N \\ Kali N) \u003d \\ Left (\\ begin (Array) (CCCC) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1N) \\\\ A_ (21) & A_ (22) & \\ Ldots & a_ (2n) \\\\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ a_ (n1) & a_ (n2) & \\ ldots & a_ \\ end (array) \\ kanan) $$

Dikatakan bahwa elemen $ A_ (11) $, $ A_ (22) $, $ \\ ldots $, $ A_ (NN) $ aktif utama diagonal. Matriks $ A_ (n \\ kali n) $. Elemen-elemen ini disebut elemen diagonal utama (atau hanya elemen diagonal). Elemen $ A_ (1N) $, $ A_ (2 \\; N-1) $, $ \\ ldots $, $ A_ (N1) $ aktif sisi (sekunder) diagonal; mereka disebut elemen by-diagonal. Misalnya, untuk matriks $ c \u003d \\ kiri (\\ begin (\\ begin (array) (CCCC) 2 & 9 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ ¡\\ end (array) \\ Kanan) $ kita punya:

Elemen $ c_ (11) \u003d 2 $, $ c_ (22) \u003d 9 $, $ c_ (33) \u003d $ 4, $ c_ (44) \u003d $ 6 adalah elemen diagonal utama; Elemen $ c_ (14) \u003d 1 $, $ c_ (23) \u003d $ 8, $ c_ (32) \u003d 0 $, $ c_ (41) \u003d - $ 4 - Sisi elemen diagonal.

Jumlah elemen diagonal utama disebut mengikuti matriks dan menunjukkan $ \\ TR A $ (atau $ \\ SP A $):

$$ \\ TR A \u003d A_ (11) + A_ (22) + \\ ldots + A_ (NN) $$

Misalnya, untuk matriks $ c \u003d \\ kiri (\\ Begin (ARRAY) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 5 & 9 & 8 & 0 \\\\ 1 & 0 & -7 - 4 & 4 & -9 & 5 & 6 \\ End (Array) \\ kanan) $ Kami memiliki:

$$ \\ TR C \u003d 2 + 9 + 4 + 6 \u003d 21. $$.

Konsep elemen diagonal juga digunakan untuk matriks non-komersial. Misalnya, untuk matriks $ B \u003d \\ kiri (\\ Begin (\\ Begin (CCCCC) (CCCCC) 2 & -2 & 1 & 7 \\\\ 5 & -9 & 0 & - 6 \\\\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \\ END (Array) \\ elemen diagonal kanan) $ utama akan menjadi $ b_ (11) \u003d 2 $, $ b_ (22) \u003d - 9 $, $ b_ (33) \u003d $ 4.

Jenis matriks tergantung pada nilai elemen mereka.

Jika semua elemen dari matriks $ A_ (m \\ kali n) $ adalah nol, maka matriks seperti itu disebut batal Dan itu biasanya dilambangkan dengan huruf $ o $. Misalnya, $ \\ kiri (\\ begin (cc) (cc) (cc) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $, $ \\ kiri (\\ begin (\\ begin) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ ED (Array) \\ kanan) $ - nol matriks.

Pertimbangkan beberapa string non-nol dari $ A $ matrix, I.E. String seperti itu di mana setidaknya ada satu elemen selain nol. Elemen utama Garis bukan nol akan menyebutnya terlebih dahulu (menghitung dari kiri ke kanan) elemen nol. Misalnya, pertimbangkan matriks seperti itu:

$$ w \u003d \\ kiri (\\ mulai (Array) (CCCC) 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ ED (Array) \\ kanan) $ $

Di baris kedua, timah akan menjadi elemen keempat, I.E. $ W_ (24) \u003d 12 $, dan di baris ketiga Master akan menjadi elemen kedua, I.E. $ W_ (32) \u003d - $ 9.

Matriks $ A_ (m \\ kali n) \u003d \\ kiri (A_ (ij) \\ kanan) $ disebut kecepatanJika memenuhi dua syarat:

Garis nol, jika ada, terletak di bawah semua garis bukan nol.
Jumlah elemen terkemuka dari baris non-nol membentuk urutan yang sangat meningkat, I.E. IF $ A_ (1K_1) $, $ A_ (2K_2) $, ..., $ A_ (RK_R) $ - Elemen-elemen terkemuka garis non-nol dari matriks $ A $ A $, maka $ K_1 \\ lt (K_2) \\ l \\ ldots \\ lt (k_r) $.

Contoh matriks melangkah:

$$ \\ Left (\\ begin (Array) (cccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ons (array) \\ kanan); \\; \\ Kiri (\\ begin (array) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ed (array) \\ kanan). $$.

Sebagai perbandingan: Matrix $ Q \u003d \\ Left (\\ begin (Array) (CCCCC) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 6 \\ END (Array) \\ kanan) $ tidak melangkah, karena kondisi kedua rusak dalam menentukan matriks melangkah. Elemen-elemen terkemuka di baris kedua dan ketiga $ q_ (24) \u003d 7 $ dan $ q_ (32) \u003d $ 10 memiliki angka $ k_2 \u003d $ 4 dan $ K_3 \u003d $ 2. Untuk matriks stepped, kondisi $ K_2 \\ lt (K_3) $ harus dilakukan, yang dalam hal ini mengalami gangguan. Saya perhatikan bahwa jika Anda mengubah baris kedua dan ketiga di tempat, kita akan mendapatkan matrix melangkah: $ \\ left (\\ begin (Array) (CCCCC) 2 & -5 & 0 & 1 & 9 \\\\ 0 & -5 & 0 & 10 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ END (Array) \\ kanan) $.

Sebuah matriks melangkah disebut trapesizoidal. atau trapesizoidal.Jika untuk elemen terkemuka $ A_ (1k_1) $, $ A_ (2K_2) $, ..., $ A_ (RK_R) $ kondisi $ K_1 \u003d 1 $, $ K_2 \u003d 2 $, ..., $ K_R \u003d $ $, Yaitu Elemen diagonal memimpin. Secara umum, matriks trapesium dapat ditulis sebagai berikut:

$$ A_ (M \\ kali (N)) \u003d \\ Left (\\ begin (Array) (cccccc) A_ (11) & A_ (12) \\ ldots & A_ (1R) & \\ ldots & A_ (1N) \\\\ 0 & a_ (22) & \\ ldots & a_ (2R) \\ ldots & a_ (2N) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ 0 & 0 & \\ ldots & a_ ( RR) \\ ldots & A_ (RN) \\\\ 0 & 0 & 0 \\ ldots & 0 & 0 & 0 \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots \\\\ 0 & 0 \\ ldots & 0 & \\ ldots & 0 \\ END (Array) \\ kanan) $$

Contoh matriks trapesium:

$$ \\ Left (\\ Begin (Array) 4 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ END (Array) \\ kanan); \\; \\ Kiri (\\ begin (array) (CCCC) 5 & -2 & 2 & -8 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ ed (array) \\ kanan). $$.

Mari kita beri beberapa definisi lagi untuk matriks persegi. Jika semua elemen matriks persegi, yang terletak di bawah diagonal utama, nol, maka matriks seperti itu disebut matriks segitiga atas. Sebagai contoh, $ \\ kiri (\\ begin (Array) (CCCC) 2 & -2 & 9 & 1 \\\\ 0 & 9 & 8 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 6 \\ END (Array) \\ kanan) $ - matriks segitiga atas. Perhatikan bahwa dalam definisi matriks segitiga atas, tidak ada yang dikatakan tentang nilai-nilai elemen yang terletak di atas diagonal utama atau di diagonal utama. Mereka bisa nol atau tidak, tidak signifikan. Sebagai contoh, $ \\ kiri (\\ mulai (array) (CCC) 0 & 0 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\ END (Array) \\ kanan) $ juga merupakan matriks segitiga atas.

Jika semua elemen matriks persegi, terletak di atas diagonal utama, nol, maka matriks seperti itu disebut matriks segitiga bawah. Misalnya, $ \\ Left (\\ Begin (Array) (CCCC) 3 & 0 & 0 \\\\ -5 & 1 & 0 & 0 \\\\ 8 & 2 & 1 & 0 \\\\ 5 & 4 & 0 & 0 & 6 \\ End (array) \\ kanan) $ - matriks segitiga bawah. Perhatikan bahwa dalam mendefinisikan matriks segitiga bawah, tidak ada yang dikatakan tentang nilai-nilai elemen yang terletak di bawah atau pada diagonal utama. Mereka bisa nol atau tidak, itu tidak masalah. Misalnya, $ \\ kiri (\\ begin (array) (CCC) -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ end (array) \\ kanan (\\ Begin (Array) (CCC) 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\ end (array) \\ kanan) $ - juga matriks segitiga yang lebih rendah.

Matriks persegi disebut diagonalJika semua elemen matriks ini yang tidak berbaring di diagonal utama adalah nol. Contoh: $ \\ LEFT (\\ Begin (Array) (CCCC) 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ (Array) \\ kanan) $. Elemen pada diagonal utama dapat berupa (sama dengan nol atau tidak), tidak signifikan.

Matriks diagonal disebut tunggalJika semua elemen matriks ini terletak di diagonal utama sama dengan 1. Misalnya, $ \\ kiri (\\ Begin (ARRAY) (CCCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) $ adalah matriks urutan keempat tunggal; $ \\ kiri (\\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (array) \\ kanan) $ adalah matriks orde kedua tunggal.

Untuk membawa matriks ke tipe melangkah (Gbr. 1.4), Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut.

1. Di kolom pertama, pilih elemen selain nol ( elemen utama ). String dengan elemen terkemuka ( string terkemuka ) Jika bukan yang pertama, untuk mengatur ulang di baris pertama (ketik konversi saya). Jika tidak ada master di kolom pertama (semua elemen nol), maka kami mengecualikan kolom ini, dan terus mencari elemen utama dalam sisa matriks. Konversi berakhir jika semua kolom dikecualikan atau di bagian yang tersisa dari matriks semua elemen nol.

2. Pisahkan semua elemen dari string host ke elemen utama (Transformasi Tipe II). Jika garis terkemuka adalah yang terakhir, maka pada transformasi ini harus selesai.

3. Untuk setiap baris yang terletak di bawah timbal, tambahkan garis depan dikalikan dengan angka seperti itu, sehingga elemen-elemen yang berdiri di bawah lead sama dengan nol (transformasi tipe III).

4. Dengan menghilangkan garis dan kolom dari pertimbangan, pada persimpangan siapa elemen terkemuka, pergi ke klausa 1, di mana semua tindakan yang dijelaskan diterapkan pada sisa matriks.

7. Teorema adalah tentang deretan deretan deretan elemen elemen.

Teorema definisi untuk elemen string atau kolom memungkinkan Anda mengurangi perhitungan penentu - pesanan () untuk menghitung faktor penentu prosedur .

Jika penentu memiliki elemen nol, maka yang paling nyaman untuk menguraikan determinan untuk elemen-elemen dari baris atau kolom, yang mengandung jumlah nol terbesar.

Menggunakan sifat-sifat determinan, Anda dapat mengubah determinan - pesanan sehingga semua elemen dari beberapa baris atau kolom, kecuali satu, menjadi sama dengan nol. Dengan demikian, perhitungan penentu - memesan, jika berbeda dari nol, akan dikurangi ke perhitungan satu determinan - memesan.

Tugas 3.1.Menghitung determinant

Keputusan. Menambahkan baris pertama terlebih dahulu, ke yang ketiga - yang pertama, dikalikan dengan 2, ke urutan keempat - yang pertama, dikalikan dengan -5, kita dapatkan

Menguraikan penentu untuk elemen kolom pertama, kita miliki

Dalam penentu yang dihasilkan dari urutan ke-3, kami berubah menjadi nol semua elemen kolom pertama, kecuali untuk yang pertama. Untuk melakukan hal ini, baris kedua akan menambah pertama, dikalikan dengan (-1), untuk yang ketiga, dikalikan dengan 5, tambahkan pertama, dikalikan dengan 8. Sejak baris ketiga dikalikan dengan 5, maka (dalam rangka untuk penentu untuk tidak perubahan) untuk berkembang biak pada. Memiliki

Determinan yang dihasilkan akan didekomposisi pada elemen kolom pertama:

8. Teorema Laplace (1). Teorema tentang Stranki DopName (2)

1) Mengidentifikasi penentuan elemen-elemen dari setiap baris pada ialgeBracy mereka.

2) Ringkasan elemen-elemen penentu untuk suplemen aljabar dari elemen-elemen yang sesuai dari baris lain adalah nol (teorema perkalian pada suplemen aljabar orang lain).

9. Sayang vektor aritmatika.

Setiap titik di pesawat di bawah sistem koordinat yang dipilih diberikan oleh pasangan (α, β) koordinatnya; Angka-angka α dan β juga dapat dipahami sebagai koordinat dari radius-vektor dengan akhir pada saat ini. Demikian pula, di ruang troika (α, β, γ) menentukan titik atau vektor dengan koordinat α, β, γ. Ini didasarkan pada pembaca terkenal interpretasi geometris dari sistem persamaan linear dengan dua atau tiga yang tidak diketahui. Jadi, dalam hal sistem dua persamaan linier dengan dua tidak diketahui

a 1 x + b 1 y \u003d c 1,

a 2 x + b 2 y \u003d c 2

masing-masing persamaan ditafsirkan sebagai lurus di pesawat (lihat Gambar 26), dan solusinya (α, β) adalah sebagai titik persimpangan langsung atau sebagai vektor dengan koordinat udara (gambar sesuai dengan kasus tersebut. Sistem memiliki solusi tunggal).

Ara. 26.

Demikian pula, Anda dapat mendaftar dengan sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui, menafsirkan setiap persamaan sebagai persamaan bidang dalam ruang.

Dalam matematika dan berbagai aplikasi (khususnya, dalam teori pengkodean), perlu untuk menangani sistem persamaan linear yang mengandung lebih dari tiga tidak diketahui. Sistem persamaan linear dengan N Unknown x 1, x 2, ..., x n disebut serangkaian persamaan spesies

a 11 x 1 + A 12 x 2 + ... + dan 1n x n \u003d b 1,

a 21 x 1 + A 22 x 2 + ... + A 2n x n \u003d B 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

dan m1 x 1 + dan m2 x 2 + ... + dan mn x n \u003d b m,

di mana IJ dan B saya adalah angka yang valid sewenang-wenang. Jumlah persamaan dalam sistem dapat menjadi siapa saja dan tidak terkait dengan jumlah yang tidak diketahui. Koefisien yang tidak diketahui dan IJ memiliki penomoran ganda: Indeks pertama yang saya tunjukkan jumlah persamaan, indeks kedua J adalah jumlah yang tidak diketahui, yang biayanya. Setiap solusi dari sistem dipahami sebagai satu set (valid) dari nilai-nilai yang tidak diketahui (α 1, α 2, ..., α n), memberi energi pada setiap persamaan dalam kesetaraan yang setia.

Meskipun interpretasi geometris langsung dari sistem (1) di n\u003e 3 tidak mungkin lagi, tetapi sangat mungkin dan dalam banyak hal, lebih mudah untuk memperluas ke bahasa geometris yang sewenang-wenang dari ruang dua atau tiga dimensi. Tujuan ini dan sajikan definisi lebih lanjut.

Setiap set nomor N yang berlaku (α 1, α 2, ..., α n) disebut vektor aritmatika n-dimensi, dan angka α 1, α 2, ..., α n koordinat vektor ini.

Untuk menunjuk vektor, biasanya tebal dan untuk vektor A dengan koordinat α 1, α 2, ..., α n, bentuk rekaman reguler disimpan:

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n).

Dengan analogi dengan bidang konvensional, set semua vektor n-dimensi yang memenuhi persamaan linier dengan N yang tidak diketahui disebut hyperplane dalam ruang n-dimensi. Dengan definisi ini, serangkaian semua solusi sistem (1) tidak lain adalah persimpangan beberapa hiperplanes.

Penambahan dan multiplikasi vektor n-dimensi ditentukan oleh aturan yang sama seperti untuk vektor konvensional. Yaitu, jika

a \u003d (α 1, α 2, ..., α n), b \u003d (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Dua vektor n-dimensi, maka jumlah mereka disebut vektor

α + β \u003d (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Produk dari vektor dan angka λ disebut vektor

λа \u003d (λα 1, λα 2, ..., λα n). (empat)

Set semua vektor aritmatika N-dimensi dengan operasi penambahan vektor dan perkalian vektor disebut ruang vektor n-dimensi aritmatika l n.

Menggunakan operasi yang dimasukkan, dimungkinkan untuk mempertimbangkan kombinasi linear sewenang-wenang dari beberapa vektor, mis. Ekspresi

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k,

di mana λ saya angka yang valid. Misalnya, kombinasi linear dari vektor (2) dengan koefisien λ dan μ adalah vektor

λа + μb \u003d (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Dalam ruang tiga dimensi vektor, bagian atas vektor I, J, K (Ortop Koordinat) memainkan peran khusus, yang terurai oleh vektor apa saja:

a \u003d XI + YJ + ZK,

di mana X, Y, Z adalah angka yang valid (koordinat vektor a).

Dalam kasus n-dimensi, vektor berikut memainkan peran yang sama:

e 1 \u003d (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 \u003d (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 \u003d (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n \u003d (0, 0, 0, ..., 1).

Setiap vektor A adalah, jelas, kombinasi linear dari vektor e 1, e 2, ..., e:

a \u003d A 1 E 1 + A 2 E 2 + ... + A N E N, (6)

selain itu, koefisien α 1, α 2, ..., α n bertepatan dengan koordinat vektor a.

Diciptakan dengan 0 vektor, semua koordinat yang nol (sebentar, vektor nol), kami memperkenalkan definisi penting berikut:

Sistem vektor A 1, dan 2, ..., dan k disebut bergantung linear, jika ada kombinasi linear vektor yang sama dengan nol

λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k \u003d 0,

di mana setidaknya satu koefisien H 1, λ 2, ..., λ k berbeda dari nol. Jika tidak, sistem ini disebut secara linear independen.

Jadi, vektor.

a 1 \u003d (1, 0, 1, 1), A 2 \u003d (1, 2, 1, 1), dan 3 \u003d (2, 2, 2, 2)

tergantung linear karena

a 1 + A 2 - A 3 \u003d 0.

Ketergantungan linier, seperti yang dapat dilihat dari definisi, setara (pada K ≥ 2) dengan fakta bahwa setidaknya satu dari vektor sistem adalah kombinasi linear dari sisanya.

Jika sistem terdiri dari dua vektor A 1, A 2, maka ketergantungan linear dari sistem berarti bahwa salah satu vektor sebanding dengan yang lain, katakanlah, dan 1 \u003d λa 2; Dalam kasus tiga dimensi, setara dengan collinearitas vektor A 1 dan A 2. Demikian pula, ketergantungan linier dari sistem I dari tiga vektor dalam ruang konvensional berarti kompatinasi vektor-vektor ini. Konsep ketergantungan linear adalah generalisasi alami dari konsep collinearity dan perusahaan.

Sangat mudah untuk memastikan bahwa vektor e 1, E 2, ..., E dari sistem (5) secara linear independen. Oleh karena itu, ada sistem dari vektor independen linearly dalam ruang n-dimensi. Dapat ditunjukkan bahwa sistem apa pun dari jumlah vektor yang lebih besar secara linear bergantung.

Sistem apa pun A 1, A 2, ..., dan N dari n vektor independen linearly dari ruang n-dimensi L n disebut basisnya.

Vektor dan spasi apa pun l buka, dan terlebih lagi, dengan vektor basis sewenang-wenang A 1, dan 2, ..., dan n:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ n a n.

Fakta ini mudah didirikan berdasarkan definisi dasar.

Melanjutkan analogi dengan ruang tiga dimensi, dimungkinkan dalam kasus n-dimensi untuk menentukan produk skalar A · b vektor, percaya

a · b \u003d α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.

Dengan definisi ini, semua sifat dasar dari produk skalar dari vektor tiga dimensi dilestarikan. Vektor A dan B disebut ortogonal jika produk skalar mereka nol:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n \u003d 0.

Dalam teori kode linear, konsep penting lainnya digunakan - konsep subruang. Subset v space l n disebut subruang ruang ini jika

1) Untuk vektor apa pun A, B, milik V, jumlah mereka A + B juga milik V;

2) Untuk vektor apa pun, milik V, dan untuk nomor aktual λ, vektor λa juga milik V.

Misalnya, set semua kombinasi linear vektor e 1, E 2 dari sistem (5) akan menjadi subruang ruang l n.

Dalam aljabar linier, dibuktikan bahwa di setiap subrpace V, ada sistem vektor yang independen secara linear a 1, A 2, ..., a K, yang setiap vektor dan subruang adalah kombinasi linear dari vektor ini:

a \u003d λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + ... + λ k a k.

Sistem vektor yang ditentukan disebut dasar Subspace V.

Dari definisi ruang dan subruang segera mengikuti bahwa ruang L n adalah kelompok komutatif relatif terhadap pembentukan vektor, dan salah satu subrpace v adalah subkelompok kelompok ini. Dalam pengertian ini, misalnya, misalnya, untuk mempertimbangkan kelas ruang yang berdekatan L n oleh Subspace V.

Kesimpulannya, kami menekankan bahwa jika dalam teori ruang aritmatika n-dimensi bukan angka yang valid (yaitu, elemen bidang angka yang valid) Pertimbangkan elemen bidang sewenang-wenang, maka semua definisi dan fakta yang diberikan di atas akan mempertahankan kekuatan.

Dalam teori pengkodean, peran penting memainkan kasus ketika bidang F bidang pengurangan Z P, yang, seperti yang kita ketahui. Dalam hal ini, ruang n-dimensi yang sesuai juga mengandung, karena tidak sulit untuk dilihat, elemen P n.

Konsep ruang, serta konsep grup dan cincin, juga memungkinkan definisi aksiomatik. Untuk detailnya, kami mengirim pengumpan ke aljabar linier.

10. Lynіin Combinatsiya. Lynіino zarezhnі tu vektor sistem tanpa batas.

Matriks adalah objek khusus dalam matematika. Digambarkan dalam bentuk tabel persegi panjang atau persegi, dilipat dari sejumlah baris dan kolom. Dalam matematika ada berbagai jenis matriks yang berbeda dalam ukuran atau konten. Jumlah baris dan kolomnya disebut pesanan. Objek-objek ini digunakan dalam matematika untuk merampingkan sistem penulisan persamaan linear dan pencarian yang mudah untuk hasilnya. Persamaan menggunakan matriks diselesaikan oleh metode Karl Gauss, Gabriel Kramer, minoritas dan tambahan aljabar, serta banyak cara lain. Keterampilan dasar ketika bekerja dengan matriks adalah dengan membawa, untuk awal, mari kita pahami jenis matriks mana yang dibedakan oleh matematika.

Nol Type.

Semua komponen dari jenis matriks ini adalah nol. Sementara itu, jumlah baris dan kolomnya benar-benar berbeda.

Tipe persegi.

Jumlah kolom dan garis dari jenis matriks ini bertepatan. Dengan kata lain, itu adalah bentuk tabel "Square". Jumlah kolomnya (atau string) disebut urutan. Dalam kasus tertentu, keberadaan matriks urutan kedua dipertimbangkan (matriks 2x2), urutan keempat (4x4), kesepuluh (10x10), ketujuh belas (17x17), dan sebagainya.

Vektor-kepestulatan

Ini adalah salah satu matriks paling sederhana yang hanya berisi satu kolom, yang mencakup tiga nilai numerik. Ini mewakili sejumlah anggota gratis (angka yang independen dari variabel) dalam sistem persamaan linear.

Lihat mirip dengan yang sebelumnya. Ini terdiri dari tiga elemen numerik, pada gilirannya diselenggarakan dalam satu baris.

Tipe diagonal.

Nilai numerik dalam bentuk diagonal dari matriks hanya mengambil komponen diagonal utama (disorot dalam warna hijau). Diagonal utama dimulai dengan elemen yang terletak di sudut kiri atas, dan berakhir dengan elemen di kanan bawah, masing-masing. Komponen yang tersisa adalah nol. Tipe diagonal hanyalah matriks persegi dari urutan apa pun. Di antara matriks dari tampilan diagonal, Anda dapat memilih Skalar. Semua komponennya mengambil nilai yang sama.

Subspesies dari matriks diagonal. Semua nilai numeriknya adalah unit. Menggunakan satu jenis tabel matriks, lakukan konversi dasarnya atau menemukan matriks, sumber terbalik.

Tipe kanonik.

Tampilan kanonik dari matriks dianggap sebagai salah satu utama; Membawa ke sana sering diperlukan untuk bekerja. Jumlah baris dan kolom dalam matriks kanonik berbeda, secara opsional milik tipe persegi. Ini agak mirip dengan satu matriks, tetapi dalam kasusnya, tidak semua komponen diagonal utama diambil sama dengan satu. Unit asli utama mungkin dua, empat (semuanya tergantung pada panjang dan lebar matriks). Atau unit mungkin tidak tersedia sama sekali (maka dianggap nol). Komponen yang tersisa dari tipe kanonik, serta elemen diagonal dan unit, nol.

Tipe segitiga.

Salah satu jenis matriks yang paling penting digunakan saat mencari determinannya dan saat melakukan operasi sederhana. Jenis segitiga berasal dari diagonal, jadi matriks juga persegi. Tampilan segitiga dari matriks dibagi menjadi breed atas dan yang dipanggang di bawah.

Dalam matriks yang sudah jadi atas (Gbr. 1), hanya elemen yang berada di atas diagonal utama mengambil nilai sama dengan nol. Komponen diagonal itu sendiri dan bagian dari matriks, yang terletak di bawahnya, mengandung nilai numerik.

Di bottomagonal (Gbr. 2), sebaliknya, elemen-elemen yang terletak di bagian bawah matriks adalah nol.

Formulir ini diperlukan untuk menemukan pangkat matriks, serta untuk tindakan dasar di atasnya (bersama dengan tipe segitiga). Matriks melangkah dinamai demikian karena mengandung karakteristik "langkah-langkah" dari nol (seperti yang ditunjukkan pada gambar). Pada tipe langkah, sebuah diagonal nol dibentuk (opsional utama), dan semua elemen di bawah diagonal ini juga memiliki nilai yang sama dengan nol. Berikut ini adalah sebagai berikut: Jika string nol hadir dalam matriks langkah, sisa baris di bawahnya juga tidak mengandung nilai numerik.

Dengan demikian, kami menganggap jenis matriks paling penting yang diperlukan untuk bekerja dengan mereka. Sekarang kita akan mengetahuinya dengan tugas mengkonversi matriks ke bentuk yang diinginkan.

Segitiga.

Bagaimana cara membawa matriks ke pikiran segitiga? Paling sering dalam tugas-tugas yang Anda butuhkan untuk mengubah matriks menjadi pandangan segitiga untuk menemukan determinannya, secara berbeda disebut determinan. Melakukan prosedur ini sangat penting untuk "melestarikan" diagonal utama dari matriks, karena penentu matriks segitiga sama dengan produk komponen diagonal utamanya. Metode alternatif untuk menemukan determinan juga diingatkan. Penentu jenis persegi adalah dengan bantuan formula khusus. Misalnya, Anda dapat menggunakan metode segitiga. Untuk matriks lain, metode dekomposisi digunakan pada string, kolom atau elemennya. Anda juga dapat menggunakan metode pengaturan matriks minoria dan aljabar.

Secara rinci kami menganalisis proses membawa matriks ke tampilan segitiga pada contoh beberapa tugas.

Latihan 1

Perlu untuk menemukan penentu matriks yang disajikan, menggunakan metode membawanya ke bentuk segitiga.

Matriks kami adalah matriks persegi orde ketiga. Oleh karena itu, untuk konversi ke bentuk segitiga, kita perlu berubah menjadi dua komponen kolom pertama dan satu komponen yang kedua.

Untuk membawanya ke bentuk segitiga, mulai konversi dari sudut bawah bawah matriks - dari angka 6. Untuk mengubahnya menjadi nol, kalikan baris pertama menjadi tiga dan kurangi dari baris terakhir.

Penting! Garis atas tidak berubah, tetapi tetap sama dengan pada matriks sumber. Daftar string, empat kali lebih awal, tidak perlu. Tetapi nilai-nilai garis yang komponennya perlu diubah menjadi nol terus berubah.

Itu tetap hanya nilai terakhir - elemen baris ketiga kolom kedua. Ini nomor (-1). Untuk mengubahnya menjadi nol, dari baris pertama akan membaca yang kedua.

Lakukan pemeriksaan:

dETA \u003d 2 X (-1) x 11 \u003d -22.

Jadi, jawaban untuk tugas: -22.

Tugas 2.

Perlu untuk menemukan penentu matriks dengan membawanya ke bentuk segitiga.

Matriks yang disajikan milik jenis persegi dan merupakan matriks urutan keempat. Jadi, Anda perlu berubah menjadi nol tiga komponen kolom pertama, dua komponen kolom kedua dan satu komponen ketiga.

Mari kita mulai membawanya dari elemen yang terletak di sudut bawah ke kiri - dengan nomor 4. Kita perlu membayar angka ini ke nol. Lebih mudah untuk melakukan ini, mengalikan empat string atas, dan kemudian kurangi dari yang keempat. Tulis hasil dari tahap pertama transformasi.

Jadi, komponen baris keempat beralih ke nol. Mari kita beralih ke elemen pertama dari baris ketiga, ke nomor 3. Kami melakukan operasi serupa. Kami berkembang biak pada tiga string pertama, kami menguranginya dari baris ketiga dan menulis hasilnya.

Kami berhasil berubah menjadi nol semua komponen kolom pertama dari matriks persegi yang diberikan, dengan pengecualian angka 1 - elemen diagonal utama yang tidak memerlukan konversi. Sekarang penting untuk menjaga nol yang diperoleh, jadi kami akan melakukan transformasi dengan garis, dan bukan dengan kolom. Mari kita beralih ke kolom kedua dari matriks yang dikirimkan.

Sekali lagi, mulailah dari bawah - dari elemen kolom kedua dari baris terakhir. Ini nomor (-7). Namun, dalam hal ini lebih mudah untuk memulai dengan angka (-1) - elemen kolom kedua dari baris ketiga. Untuk mengubahnya menjadi nol, akan dikurangkan dari baris ketiga yang kedua. Maka Anda akan melipatgandakan baris kedua untuk tujuh dan kurangi dari yang keempat. Kami mendapat nol, bukan elemen yang terletak di baris keempat kolom kedua. Kami sekarang beralih ke kolom ketiga.

Di kolom ini, kita perlu berubah menjadi nol hanya satu angka - 4. membuatnya mudah: kita cukup menambahkan baris ketiga ke baris terakhir dan melihat nol yang Anda butuhkan.

Setelah semua transformasi diproduksi, kami memimpin matriks yang diusulkan ke bentuk segitiga. Sekarang, untuk menemukan determinannya, Anda hanya perlu membuat multiplikasi dari item yang diterima diagonal utama. Kita mendapatkan: dETA \u003d 1 X (-1) x (-4) x 40 \u003d 160. Akibatnya, solusinya adalah angka 160.

Jadi, sekarang pertanyaan tentang membawa matriks ke bentuk segitiga tidak membuatnya sulit.

Dummy.

Dalam hal operasi elementer di atas matriks, spesies melangkah kurang "dicari" daripada segitiga. Paling sering, digunakan untuk menemukan pangkat matriks (I.E. Jumlah string non-nol) atau untuk menentukan garis yang bergantung pada linear dan independen. Namun, pandangan langkah matriks lebih fleksibel, karena tidak hanya cocok untuk tipe persegi, tetapi juga untuk semua orang.

Untuk membawa matriks ke bentuk melangkah, Anda pertama-tama perlu menemukan determennya. Untuk ini, metode yang disebutkan di atas cocok. Tujuan Menemukan Determinan adalah: Untuk mengetahui apakah mungkin untuk mengubahnya menjadi jenis langkah matriks. Jika determinan lebih besar atau kurang dari nol, maka Anda dapat dengan mudah memulai tugas. Jika nol, membawa matriks ke stepwise tidak berfungsi. Dalam hal ini, Anda perlu memeriksa apakah tidak ada kesalahan dalam merekam atau dalam konversi matriks. Jika tidak ada ketidakakuratan seperti itu, tugasnya tidak mungkin.

Pertimbangkan cara membawa matriks ke langkah dalam contoh beberapa tugas.

Latihan 1. Temukan pangkat tabel matriks ini.

Kami memiliki matriks persegi orde ketiga (3x3). Kita tahu bahwa untuk menemukan peringkat yang Anda butuhkan untuk membawanya ke pikiran yang melangkah. Oleh karena itu, pertama-tama kita perlu menemukan penentu matriks. Kami menggunakan metode segitiga: dETA \u003d (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) \u003d 12.

Determinan \u003d 12. Ini lebih besar dari nol, itu berarti bahwa matriks dapat dibawa ke formulir melangkah. Kami akan melanjutkan ke transformasi.

Mari kita mulai dengan elemen kolom kiri dari baris ketiga - angka 2. Lipat gandakan garis atas untuk dua dan kurangi dari yang ketiga. Berkat operasi ini, unsur yang kita butuhkan dan angka 4 adalah elemen kolom kedua dari baris ketiga - berubah menjadi nol.

Kami melihat bahwa sebagai akibat dari timah, matriks segitiga terbentuk. Dalam kasus kami, tidak mungkin untuk melanjutkan transformasi, karena komponen yang tersisa akan gagal berubah menjadi nol.

Jadi kami menyimpulkan bahwa jumlah garis yang berisi nilai numerik dalam matriks ini (atau peringkatnya) - 3. Jawaban atas tugas: 3.

Tugas 2. Tentukan jumlah baris independen linear dari matriks ini.

Kita perlu menemukan garis-garis yang tidak dapat diubah menjadi nol dengan transformasi apa pun. Bahkan, kita perlu menemukan jumlah string bukan nol, atau pangkat dari matriks yang disajikan. Untuk melakukan ini, buat penyederhanaannya.

Kami melihat matriks yang bukan milik jenis persegi. Ini memiliki ukuran 3x4. Mari kita mulai umpan juga dari elemen sudut kiri bawah - angka (-1).

Transformasi lebih lanjut tidak mungkin. Jadi, kami menyimpulkan bahwa jumlah garis independen linier di dalamnya dan jawaban untuk tugas adalah 3.

Sekarang membawa matriks ke bentuk melangkah bukanlah tugas yang tidak praktis untuk Anda.

Pada contoh-contoh tugas-tugas ini, kami membongkar matriks terkemuka dengan bentuk segitiga dan bertahap. Untuk nol nilai-nilai yang diinginkan dari tabel matriks, dalam beberapa kasus diperlukan untuk menunjukkan fantasi dan mengkonversi kolom atau string dengan benar. Keberhasilan bagi Anda dalam matematika dan bekerja dengan matriks!

Definisi. Kecepatankami akan memanggil matriks yang memiliki sifat-sifat berikut:

1) Jika garis I-I adalah nol, maka (I + 1) - baris juga nol,

2) Jika elemen nol pertama dari garis I-th dan (i + 1) -th terletak di kolom dengan angka K dan R, masing-masing, lalu K< R.

Kondisi 2) Membutuhkan peningkatan wajib pada nol di sebelah kiri selama transisi dari garis I ke (i + 1) -th baris. Misalnya, matriks

A 1 \u003d, dan 2 \u003d
, Dan 3 \u003d

melangkah dan matriks

Dalam 1 \u003d. , Pada 2 \u003d , 3 \u003d

kecepatan tidak.

THEOREM 5.1.Matriks apa pun dapat diselesaikan dengan bantuan konversi elementer dari baris matriks.

Kami menggambarkan teorema ini pada contoh.

A \u003d.

Matriks yang dihasilkan ─ melangkah.

Definisi. Peringkat matriks.kami akan memanggil jumlah garis bukan nol dalam bentuk langkah matriks ini.

Misalnya, peringkat matriks dan pada contoh sebelumnya adalah 3.

Kuliah 6.

Deterpetes, propertinya. MATRIX MEMBERSIHAN DAN PERHITUNGANNYA.

Penentu urutan kedua.

Pertimbangkan matriks persegi dari urutan kedua

A \u003d.

Definisi. Determinan urutan kedua.matriks yang sesuai a disebut angka yang dihitung oleh rumus

│A│ \u003d. = .

Elemen IJ disebut elemen determinan│A│, elemen A 11, dan 22 Formulir utama diagonal., dan elemen A 12, dan 21 ─ sumber.

Contoh. = -28 + 6 = -22

Penentu urutan ketiga.

Pertimbangkan matriks persegi dari urutan ketiga

A \u003d.

Definisi. Penentu urutan ketigamatriks yang sesuai a disebut angka yang dihitung oleh rumus

│A│ \u003d. =

Ingat yang bekerja di bagian kanan kesetaraan harus diambil dengan tanda "plus", dan yang ─ dengan tanda "minus" berguna untuk mengingat aturan yang disebut aturan segitiga.

= ─

Contoh:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) \u003d 1, mis. │e 3 │ \u003d 1.

Pertimbangkan cara lain untuk menghitung determinan urutan ketiga.

Definisi. Elemen minor.a IJ determinan disebut penentu yang diperoleh dari baris ini dengan bereksperimen garis I-th dan kolom jth. Suplemen aljabarElemen IJ yang ditentukan IJ disebut M minor m ij, diambil dengan tanda (-1) i + j.

Contoh.Menghitung Kecil M 23 dan tambahan aljabar A 23 elemen A 23 dalam matriks

A \u003d.

Hitung Kecil M 23:

M 23 \u003d. = = - 6 + 4 = -2

A 23 \u003d (-1) 2 + 3 m 23 \u003d 2

Teorema 1. Penentu pesanan ketiga sama dengan jumlah karya elemen dari setiap baris (kolom) pada penambahan aljabar mereka.

Dermaga. A-priory.

= (1)

Kami memilih, misalnya, baris kedua dan menemukan tambahan aljabar A 21, dan 22, dan 23:

A 21 \u003d (-1) 2 + 1 = -() =

A 22 \u003d (-1) 2 + 2 =

A 23 \u003d (-1) 2 + 3 = - () =

Kami mengubah formula sekarang (1)

│A│ \u003d ( ) + () + () \u003d A 21 + A 22 + A 23

│A│ \u003d A 21 + A 22 + A 23

dipanggil dekomposisi determinan│A│ pada elemen string kedua. Demikian pula, dekomposisi dapat diperoleh dengan elemen baris lain dan kolom apa pun.

Contoh.

\u003d (dengan elemen kolom kedua) \u003d 1 × (-1) 1 + 2 + 2 × (-1) 2 + 2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. N-order determinan (n î n).

Definisi. N-order determinan,matriks nth order yang sesuai

A \u003d.

Ini disebut angka yang sama dengan jumlah karya elemen dari setiap baris (kolom) ke penambahan aljabar mereka, I.E.

│A│ \u003d A i1 + A I2 + ... + A IN \u003d A 1J + A 2J + ... + A NJ

Mudah untuk melihat bahwa pada n \u003d 2, formula diperoleh untuk menghitung penentu urutan kedua.

Contoh. \u003d (pada elemen garis ke-4) \u003d 3 × (-1) 4 + 2 +

2 × (-1) 4 + 4 \u003d 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) \u003d 3 (-20) + 2 × 72 \u003d -60 +144 \u003d 84.

Perhatikan bahwa jika dalam penentu semua elemen dari setiap baris (kolom), kecuali untuk satu, adalah nol, maka ketika menghitung determinan, lebih mudah untuk menguraikannya dengan item baris ini (kolom).

Contoh.

│e n │ \u003d \u003d 1 × (n -1 │ \u003d ... \u003d │e 3 │ \u003d 1

Sifat-sifat determinan.

Definisi. Matriks tipe.

atau

kami akan menelepon matriks segitiga.

Properti 1. Penentu matriks segitiga sama dengan produk elemen-elemen diagonal utama, I.E.

= =

Properti 2. Penentu matriks dengan string nol atau nol kolom adalah nol.

Properti 3 .. Saat mentransposisi matriks, penentu tidak berubah, I.E.

│A│ \u003d │A T │.

Properti 4.Jika matriks diperoleh dari matriks dan mengalikan setiap elemen dari garis tertentu dengan angka K, maka

│v│ \u003d k││

Properti 5.

= =

Properti 6.Jika matriks diperoleh dari matriks dan permutasi dua baris, maka │v│ \u003d -│.

Properti 7.Penentu matriks dengan garis proporsional adalah nol, khususnya, nol adalah penentu matriks dengan dua baris identik.

Properti 8.Penentu matriks tidak berubah jika ditambahkan ke elemen satu baris untuk menambahkan elemen string matriks lain dikalikan dengan angka.

Komentar. Sejak dengan properti 3, penentu matriks tidak berubah selama transposur, maka semua properti tentang garis matriks benar untuk kolom.

Properti 9.Jika A dan dalam ─ matriks kuadrat dari pesanan n, lalu │av│ \u003d │a││ in.

Matriks terbalik.

Definisi.Matriks persegi dan pesanan n disebut balikjika ada matriks sedemikian rupa sehingga AV \u003d V \u003d E N. Dalam hal ini, matriks disebut membalikkan ke matriksDan dilambangkan oleh A -1.

Teorema 2.Adil pernyataan berikut:

1) Jika matriks reversibel, maka ada satu matriks terbalik;

2) Matriks terbalik memiliki determinan selain nol;

3) Jika A dan dalam ─ matriks terbalik pesanan n, maka matriks AV bersifat reversibel, dan (AV) -1 \u003d

Dalam -1 × a -1 .

Bukti.

1) Biarkan masuk dan dengan ─ matriks, terbalik dengan matriks A, I.E. Av \u003d v \u003d e n dan as \u003d ca \u003d e n. Kemudian b \u003d ve n \u003d in (as) \u003d \u200b\u200b(via) c \u003d e n c \u003d S.

2) Biarkan matriks dan reversibel. Lalu ada matriks A -1, terbalik, dan

Oleh properti 9, determinan │aa -1 │ \u003d │A││ -1 │. Lalu │A││ │ │ │ \u003d │E n │, dari mana

│A││ -1 │ \u003d 1.

Akibatnya, │A│¹ 0.

3) sungguh

(AV) (B -1 A -1) \u003d (A (BB -1)) A -1 \u003d (AE N) A -1 \u003d AA -1 \u003d E N.

(B -1 A -1) (AV) \u003d (B -1 (A -1 A)) b \u003d (b -1 e n) b \u003d b -1 b \u003d e n.

Akibatnya, AB adalah matriks, dan (AB) -1 \u003d B -1 A -1.

Teorema berikut memberikan kriteria untuk keberadaan matriks terbalik dan metode perhitungannya.

Teorema 3. Matriks persegi yang dapat dibalik dan hanya jika determinannya berbeda dari nol. Jika │ │ ¹ 0, maka

A -1 \u003d \u003d

Contoh. Temukan kebalikan dari matriks untuk matriks A \u003d

Keputusan.│A│ \u003d 6 + 1 \u003d 7.

Karena │A│¹ 0, maka ada matriks kembali

A -1 \u003d \u003d

Hitung 11 \u003d 3, A 12 \u003d 1, A 21 \u003d -1, dan 22 \u003d 2.

A -1 \u003d. .

Kuliah 7.

Sistem persamaan linear. Kriteria sosialisasi dari sistem persamaan linear. Metode Gauss Memecahkan sistem persamaan linear. Aturan Cramer dan metode matriks untuk memecahkan sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear.

Kombinasi persamaan jenis

(1)

dipanggil persamaan sistem m linear dengan n tidak diketahuix 1, x 2, ..., x n. Angka yang disebut IJ koefisien sistem.angka b i ─ anggota gratis.

Solusi Sistem (1)ada satu set angka dengan 1, C 2, ..., dengan n, ketika mengganti yang ada di sistem (1) bukan x 1, x 2, ..., x n, kita mendapatkan kesetaraan numerik yang setia.

Pecahkan Sistem ─ Jadi temukan semua keputusan atau buktikan bahwa mereka tidak. Sistem ini disebut bersamaJika memiliki setidaknya satu solusi dan nonstopJika tidak ada solusi.

Matriks terdiri dari koefisien sistem

A \u003d.

Disebut matriks sistem (1). Jika Anda menambahkan kolom anggota gratis ke matriks sistem, maka kami mendapatkan matriks

Di \u003d.
,

dipanggil matriks sistem yang diperluas (1).

Jika kita menunjukkan

X \u003d, c \u003d, maka sistem (1) dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks ah \u003d s.

Matriks, jenis matriks, tindakan pada matriks.

Jenis matriks:

1. Persegi panjang: m. dan n. - Bilangan bulat positif yang sewenang-wenang

2. Kotak: m \u003d n.

3. Matriks string.: m \u003d 1.. Misalnya, (1 3 5 7) - Dalam banyak tugas praktis, matriks seperti itu disebut vektor

4. Kolom matriks.: n \u003d 1.. sebagai contoh

5. Matriks diagonal.: m \u003d n. dan a IJ \u003d 0, jika sebuah i ≠ J.. sebagai contoh

6. Matriks tunggal: m \u003d n. dan

7. Nol matriks.: a IJ \u003d 0, i \u003d 1,2, ..., m

j \u003d 1,2, ..., n

8. Matriks segitiga: Semua item di bawah diagonal utama sama dengan 0.

9. Matriks simetris:m \u003d n. dan a IJ \u003d A JI(I.E., pada diagonal yang relatif tinggi secara simetris, tempat adalah elemen yang sama), dan karenanya A "\u003d a

Sebagai contoh,

10. Matriks simetris persegi: m \u003d n. dan a IJ \u003d -A JI (I.E., elemen berlawanan ada pada relatif simetris dengan diagonal utama). Akibatnya, diagonal utama adalah nol (karena i \u003d j.memiliki a II \u003d -A II)

Tindakan pada matriks:

1. Tambahan

2. Penguranganmatriks - Operasi Dasar

3. Komposisi Matriks untuk Nomor - Operasi Dasar

4. Perkalian A * B. Matriks menurut aturan baris pada kolom (Jumlah kolom matriks A harus sama dengan jumlah string matriks b)

A MK * B KN \u003d C MN Dan setiap elemen dengan IJ.mATRAN. C mn. sama dengan jumlah produk dari unsur-unsur-baris I-th dari matriks A ke elemen-elemen yang sesuai dari kolom J-th matrix B, I.E.

Mari kita tunjukkan pengoperasian perkalian matriks pada contoh

5. Matriks transposing A. Matriks transposis dilambangkan dengan T atau A "

,misalnya

Baris dan kolom berubah tempat

Properti operasi atas matriks:

(A + B) + C \u003d A + (B + C)

λ (A + b) \u003d λa + λb

A (B + C) \u003d AB + AC

(A + b) c \u003d AC + BC

λ (ab) \u003d (λa) b \u003d a (λb)

A (bc) \u003d (ab) c

(λa) "\u003d λ (a)"

(A + B) "\u003d A" + B "

(AB) "\u003d B" A "

2. Dering dari urutan kedua dan ketiga (konsep dasar, SV-VA, perhitungan)

Properti 1. Determinan tidak berubah selama transposisi, I.E.

Bukti.

Komentar. Sifat-sifat penentu berikut akan diformulasikan hanya untuk string. Pada saat yang sama, ia mengikuti dari properti 1 bahwa kolom akan memiliki sifat yang sama.

Properti 2.. Saat mengalikan elemen string determinan untuk angka tertentu, seluruh determinan dikalikan dengan angka ini, I.E.

Bukti.

Properti 3. Penentu yang memiliki string nol adalah 0.

Bukti properti ini mengikuti dari properti 2 di k \u003d 0.

Properti 4. Penentu yang memiliki dua string yang sama adalah 0.

Bukti.

Properti 5.. Determinan, dua baris yang proporsional dengan 0.

Bukti mengikuti dari properti 2 dan 4.

Properti 6.. Dengan permutasi dua baris determinan, itu dikalikan dengan -1.

Bukti.

Properti 7.

Bukti properti ini dapat dilakukan secara independen dengan membandingkan nilai-nilai bagian kiri dan kanan dari kesetaraan yang ditemukan oleh definisi 1.5.

Properti 8. Nilai penentu tidak akan berubah jika ditambahkan ke elemen satu baris untuk menambahkan elemen-elemen yang sesuai dari string lain dikalikan dengan nomor yang sama.

Minor. Tambahan aljabar. Teorema Laplace.

Metode membawa tampilan segitiga Dalam transformasi determinan ini, ketika semua elemennya, berbaring di satu sisi salah satu diagonalnya, menjadi sama dengan nol.

Contoh 8.Menghitung determinant

Membawa ke segitiga.

Keputusan. Mengundurkan baris pertama penentu dari sisa barisnya. Lalu kita dapatkan

Penentu ini sama dengan produk unsur-unsur diagonal utama. Jadi kita punya

Komentar. Semua yang dibahas di atas dapat digeneralisasi untuk penentu pesanan N-th.

Memotong matriks ke bentuk melangkah. Barisan dasar dan kolom transformasi.

Transformasi dasar dari matriks Transformasi berikut disebut:

SAYA. Penataan ulang dua kolom (string) dari matriks.

Ii. Mengalikan semua elemen satu kolom (string) dari matriks per dan angka yang sama selain nol.

AKU AKU AKU. Penyesuaian pada elemen satu kolom (string) dari elemen yang sesuai dari kolom lain (string) dikalikan dengan nomor yang sama.

Matriks yang diperoleh dari matriks awal dari jumlah akhir transformasi elementer disebut setara . Ini ditunjukkan.

Transformasi elementer digunakan untuk menyederhanakan matriks, yang akan digunakan untuk menyelesaikan berbagai tugas.

Untuk membawa matriks ke tipe melangkah (Gbr. 1.4), Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut.

2. Pisahkan semua elemen dari string host ke elemen utama (Transformasi Tipe II). Jika garis terkemuka adalah yang terakhir, maka pada transformasi ini harus selesai.

4. Dengan menghilangkan garis dan kolom dari pertimbangan, pada persimpangan siapa elemen terkemuka, pergi ke klausa 1, di mana semua tindakan yang dijelaskan diterapkan pada sisa matriks.

Contoh 1.29. Menyebabkan matriks bertahap

Mode non-optimal pada monitor Samsung

Konsep Modul Platform Tepercaya (TPM): Tampilan praktis pertama dari konektor TPM

"Untuk waktu yang lama" atau "untuk waktu yang lama": menulis mencoba menerapkan solusi berikut