A komplex alak bármilyen hulláma reprezentálható a szokásos hullámok összege.
Joseph Fourier igazán akarta leírni matematikai szempontból, hogy a hő áthalad a szilárd tárgyakon ( cm. Hőcsere). Talán a melegség iránti érdeklődés megszakadt, amikor Észak-Afrikában volt: Fourier kíséri Napóleont a francia expedícióban Egyiptomba, és ott élt egy ideig. A cél elérése érdekében Fouriernek új matematikai módszereket kellett kifejlesztenie. Kutatásainak eredményeit 1822-ben tették közzé a "hőmérési elméleti elmélet" ( Theorie Analytique de la Chaleur), ahol azt mondta, hogyan kell elemezni az összetett fizikai problémákat azáltal, hogy bővítik őket több egyszerűbbé.
Az elemzési módszer az úgynevezett fourier sorok. Az interferencia elvének megfelelően a sor egy összetett forma bomlásával kezdődik, hogy egyszerűen - például a földfelszínének változása a földrengés, az üstökös pályák változásai - a több bolygó vonzerejének hatása - a hőáramlás változása - áthaladása a hőszigetelő anyagból származó szabálytalan alakú akadály révén. Fourier kimutatta, hogy a komplex hullámforma a szokásos hullámok összege. Rendszerint a klasszikus rendszereket leíró egyenleteket könnyen megoldhatják mindegyik egyszerű hullámok számára. Továbbá, Fourier megmutatta, hogy ezek az egyszerű megoldások összegyűjthetők, hogy megoldást kapjanak az egész komplex feladat egészére. (Ha már a matematika nyelvén, egy sor Fourier egy eljárás képviselő funkciója az összeg harmonikus - szinusz és koszinusz, így Fourier-analízist is ismert „Harmonikus analízis”.)
A huszadik század közepén lévő számítógépek megjelenése előtt a Fourier módszerek és hasonlók voltak a legjobb fegyverek a tudományos arzenálban a természet összetettségének előfordulásakor. Mivel az átfogó Fourier módszerek megjelenése óta a tudósok képesek voltak használni őket, hogy nem csak egyszerű feladatokat megoldani, amelyek megoldhatók a Newton Mechanika és más alapvető egyenletek közvetlen alkalmazásával. A Newtoni Tudomány nagy eredményei a XIX. Században ténylegesen lehetetlenné válnának módszerek nélkül, először a Fourier-t. A jövőben ezeket a módszereket alkalmazták a különböző területeken - a csillagászatból a gépgyártásig.
Joseph Fourier Jean-Batist
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
Francia matematikus. Axerben született; Kilenc éves korában az árvák maradtak. Már fiatal korban mutatta a matematika képességét. Fourier volt az egyházi iskolában és egy katonai iskolában, majd matematika tanárként dolgozott. Az egész életen belül aktívan részt vett a politikában; 1794-ben letartóztatták a terror áldozatai védelmére. A Robespierre halála után a börtönből felszabadult; részt vett a híres Polytechnic School (Ecole Polytechnique) létrehozásában Párizsban; Az ő pozíciója egy hídfőn szolgált a Napóleon-i promócióért. Kísérletezett Napóleont Egyiptomba, kinevezték az Alsó Egyiptom kormányzóját. Franciaországba való visszatérés után 1801-ben kinevezték az egyik tartomány kormányzóját. 1822-ben a Francia Tudományos Akadémia állandó titkára lett - a Franciaország tudományos világában befolyásos helyzetben.
Fourier transzformáció és klasszikus digitális spektrális elemzés.
Medvedev S.YU., K.F.-M ..
Bevezetés
A spektrális analízis a jelek feldolgozásának egyik módszere, amely lehetővé teszi a mért jel frekvenciaösszetételének jellemzését. Fourier transzformáció egy olyan matematikai alap, amely egy ideiglenes vagy térbeli jelet (vagy a jel néhány modelljét) kötődik a frekvenciatartományban lévő ábrázolásával. A statisztikai módszerek fontos szerepet játszanak a spektrális analízisben, mivel a jelek általában véletlenszerűek vagy roamingek, ha elosztják vagy mérik. Ha a jel fő statisztikai jellemzői pontosan ismertek, vagy ezek a jel végső időközönként meghatározhatók, a spektrális elemzés a "pontos tudomány" ágát képviseli. A valóságban azonban csak a spektrum becslése a jel szegmensével érhető el. Ezért a spektrális elemzés gyakorlata bizonyos kézműves (vagy művészet?) Kellően szubjektív jellegű. A különböző módszerekkel azonosított jelszegmens feldolgozásának következtében kapott spektrális becslések közötti különbség magyarázható az adatokhoz viszonyítva, az átlagolás különböző módjaiban, stb. Ha a jelre jellemző priori, nem ismert, akkor nem mondhatja, hogy a becslések közül melyik jobb.
Fourier transzformáció - A spektrális elemzés matematikai alapja
Röviden beszélje meg a Fourier-transzformáció különböző típusát (lásd még részletesebben).
Kezdjük a Fourier transzformációval folyamatosan a jel időben
,
(1)
amely azonosítja azokat a komplex sinusoid (exponenciális) frekvenciáját és amplitúdóit, amelyhez egyes önkényes ingadozások lebomlanak.
Fordított átalakítás
. (2)
A Közvetlen és a Reverse Transfer Fourier (amely a jövőben a Fourier-NVPF folyamatos időbeli átalakulását) számos feltétel határozza meg. Elegendő - abszolút jel integrálás
. (3)
Kevésbé korlátozó elegendő állapot - Jel energia végtag
. (4)
A Fourier-transzformáció és az alábbi funkciók számos fő tulajdonságait adjuk meg, észrevéve, hogy a négyszögletes ablakot a kifejezés határozza meg
(5)
és a Sinc funkció kifejezés
(6)
A minták függvényét az időtartományban a kifejezés határozza meg
(7)
Ezt a funkciót néha az időszakos folytatás függvényének nevezik.
1. táblázat: NVPF és funkciók alapvető tulajdonságai
|
Tulajdonság, Funkció |
Funkció |
Átalakítás |
| Linearitás |
aG (t) + bh (t) |
aG (f) + bh (f) |
| Eltolódás időben |
h (t - t 0) |
H (f) exp (-j2pf t 0) |
| Frekvenciaeltolásos moduláció) |
h (t) exp (j2pf0 t) |
H (f - f 0) |
| Méretezés |
(1 / | a |) h (t / a) |
H (AF) |
| Kincstár tétel az időtartományban |
g (t) * h (t) |
|
| Tétel a frekvenciatartományban |
g (t) h (t) |
G (f) * h (f) |
| Ablakfunkció |
Aw (t / t) |
2atsim (2tf) |
| Sinc funkció |
2Afsinc (2ft) |
AW (F / F) |
| Impulzus funkció |
Hirdetés (t) |
|
| A minták funkciója |
T (f) |
Ff (f), f \u003d 1 / t |
Egy másik fontos tulajdonságot hoznak létre a PARSEVAL THEOREM két funkció G (T) és H (T):
. (8)
Ha g (t) \u003d h (t) értéket adunk, a parsevális tétel az energiamegosztásra csökken
. (9)
A (9) kifejezés lényegében egyszerűen az energia megőrzésének törvényének megfogalmazása két területen (ideiglenes és gyakoriság). A bal oldalon (9) a jel teljes jele van, így a funkció
(10)
leírja a H (t) determinisztikus jel frekvenciájának gyakoriságát, ezért az energia spektrális sűrűség (PTE) nevezik. Kifejezések használata
(11)
a H (t) jel amplitúdóját és fázispektrumát kiszámíthatja.
Diszkretizálás és mérési műveletek
A következő részben bemutatjuk a diszkrét idejű Fourier sor (DVRF) vagy másképp a diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) speciális esetben időben folyamatos transzformáció Fourier (NVPF) két alapvető jelfeldolgozási műveleteket - számláló számít ( diszkretizálás) I. mérés Az ablak segítségével. Itt tekintjük ezeknek a műveleteknek a hatását a jelre és átalakítására. A 2. táblázat felsorolja azokat a funkciókat, amelyekkel mérlegelést és mintavételt végeznek.
Az egyenletes referenciák intervallum másodpercekkel, az F minták frekvenciája 1 / t Hz. Megjegyezzük, hogy az időtartományban a mérési funkciót és a mintafunkciót TW (Time Boring) és TS (időminta), valamint a frekvenciatartományban - FW (frekvencia-minta) és FS (frekvencia minta) jelzi.
2. táblázat: Mérlegelés és diszkrétalizáló funkciók
|
Művelet |
Időfunkció |
Átalakítás |
| Mérés az időtartományban (Windows Width NT S) |
TW \u003d W (2T / NT - 1) |
F (tw) \u003d ntsim (NTF) • exp (-jpntf) |
| Mérés a frekvenciatartományban (Windows szélesség 1 / t Hz) |
|
Fw \u003d w (2tf) |
| Idő visszaszámlálás (T intervallum) |
Ts \u003d t t (t) |
|
| Frekvenciaszámok (1 / NT Hz intervallummal) |
|
|
Tegyük fel, hogy egy korlátozott spektrumú X (T) jelződő számok száma korlátozott spektrummal történik, amelynek felső frekvenciája egyenlő az F0-vel. A tényleges jel NVPF mindig szimmetrikus funkció, teljes 2F0 szélességű, lásd az 1. ábrát.
X (t) jelszámokat állíthatunk elő úgy, hogy ezt a jelet a visszaszámlálási funkcióra szorítjuk:
(12)
1. ábra - A visszaszámláló tétel ábrázolása a korlátozott spektrummal rendelkező időtartományban:
A - az idő kezdeti funkciója és Fourier transzformációja;
B - A minták időben és a Fourier-transzformációjának függvénye;
B - A forrásfüggvény ideiglenes referenciái és rendszeresen folytatódtak Fourier-átalakulás a FO esetében<1/2T;
R - frekvencia ablak (tökéletes alacsony passzív szűrő) és a Fourier konverziója (SIC funkció);
D - A SIC funkcióval történő konvolúciós művelet segítségével visszaállított idő kezdeti funkciója.
A frekvenciatartományban lévő konvolúciós tételnek megfelelően az X (T) NVPF jel egyszerűen a X (T) jelspektrum és az időszámok (TS) négyesebb átalakítása:
. (13)
X (f) vágás Fourier transzformációval f (ts) \u003d y1 / t (f) funkciók egyszerűen az X (F) frekvencia-intervallum 1 / t Hz. Ezért az XS (f) egy periodikusan folytatódik X (F) spektrum. Általánosságban elmondható, hogy az egy területen való hivatkozás (például az idő) a konverziós terület (például frekvencia) időszakos folytatásához vezet. Ha a minták gyakorisága meglehetősen alacsony (f< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Annak érdekében, hogy visszaállítsa az eredeti időjelet a referenciáival, azaz. Néhány folytonossági értékek interpolációja ezen hivatkozások között, kihagyhatja a diszkrét adatokat az ideális alacsony teljesítményű szűrőn keresztül, téglalap alakú frekvenciaváltással (1 g ábra)
. (14)
Ennek eredményeként (lásd az 1. ábrát), a kezdeti Fourier transzformáció helyreáll. A konvolúciós tételek használatával az idő és a frekvencia régiókban kapunk
. (15)
A kifejezés (15) egy matematikai rekord minták tételei az időtartományban (Whitteker, Kotelnikov, Shannon - Egyesült Királyság tételei), amelyek azt állítja, hogy egy interpolációs képlet (15) segítségével, egy korlátozott spektrumú, korlátozott spektrumú jelet lehet helyreállítani végtelen számon ismert ideiglenes minták, amelyeket Frekvencia F і 2F0. Dual toorem (15) tétel tétel a frekvenciatartományban számít Korlátozott tartóssággal rendelkező jelekhez.
Az ideiglenes régióban hasonló műveleteket, hasonlóan (14), a kifejezés írja le
, (16)
És a megfelelő átalakulások - kifejezések
Így a NVPF x (f) egy bizonyos jelet egy korlátozott időtartamú lehet egyedileg helyreáll szerint ekvidisztáns referenciák a spektrum egy ilyen jelet, ha a kiválasztott minta tartományban gyakoriság megfelel annak a feltételnek F1 / 2T 0 Hz, ahol T 0 a jel időtartama.
A folyamatos és diszkrét transzformációk közötti kapcsolatok
Egy pár átalakulási diszkrét Fourier transzformáció (DFF) N-pont ideiglenes szekvencia x [n] és a megfelelő N-pont fourier transzformációs szekvenciák Az x [k] kifejezéseket kifejezés adja meg
,
(18)
. (19)
Ahhoz, hogy spektrális becsléseket szerezzen a megfelelő energia- vagy hatalmi egységekben, írjon egy diszkrét-time sorozat Fourier (DVRF), amely a Fourier folyamatos folyamatos transzformáció (NVPF) közelítésének tekinthető a véges számú Adatszám:
A CVRF megfelelés jellegének megmutatása érdekében ( diszkrét Funkciók és az idő és a frekvencia régiókban) és az NVPF (folyamatos funkciók az idő és a frekvencia régiókban), négy lineáris kommutatív műveletre lesz szükségünk: az idő és a frekvencia régiók mérlegelése és számolás vagy mintavétel mind az ideiglenes, mind a frekvencia területeken. Ha a mérési műveletet az egyik területen végezzük, akkor a konvolúciós tétel szerint megegyezik a szűrési művelet (Convilios) végrehajtásának egy másik területen a Sinc funkcióval. Hasonlóképpen, ha az egy területen való diszkretizációt elvégzik, akkor az időszakos folytatás működését végezzük. Mivel a minták mérlegelése és számlálása lineáris és kommutatív műveletek, különböző módon rendezhetik őket, ugyanazt a végeredményt adva különböző köztes eredményekkel. A 2. ábra a négy művelet két lehetséges szekvenciáját mutatja.
Ábra. 2. Két mérlegelési művelet két lehetséges szekvenciája és az NVPF és a rendőrség összekötő kétszámláló művelete: FW - az ablak használata a frekvenciatartományban; TW - az ablak alkalmazása az időtartományban; FS - minták a frekvenciatartományban; TS - minták bevétele az időtartományban.
1 - Fourier transzformáció folyamatos idővel, egyenlet (1);
4 - Fourier transzformáció diszkrét idővel, egyenlet (22);
5 - Fourier sorozat folyamatos idővel, egyenlet (25);
8 - Fourier sorozat diszkrét idővel, egyenlet (27)
Az 1., 4., 5. és 8. csomópontokban lévő mérlegelési és vételi mûködési műveletek eredményeképpen négy különböző négyesebb arány lesz. Csomópontok, amelyekben a funkció a frekvencia domain folyamatos, hivatkozni Átalakítások Fourier, és csomópontok, amelyekben a függvény a frekvenciatartományban diszkritikushivatkozni Fourier sorok (További információkért lásd: B).
Tehát a 4. csomópontban a frekvencia és a diszkretizálás során a domain generálja diszkrét idő átalakítása Fourier (DVPF), amelyet a frekvenciatartományban periodikus spektrum függvény jellemez, 1 / t Hz-es időtartammal:
(22)
(23)
Ne feledje, hogy a kifejezés (22) egy bizonyos időszakos funkciót határoz meg, amely egybeesik az 1. csomópontban megadott kezdeti átalakított funkcióval csak -1 / 2T-ben a frekvenciatartományban 1/2 A (22) kifejezés z-konvertálásához kapcsolódik az X [N] diszkrét szekvenciával
(24)
Így a DVPF egyszerűen egy z-konverzió, amely egyetlen körön számítva, és szorozva T.
Ha az 1. csomóponttól a 8. csomópontig mozog. 2 az alsó ág mentén, a mérési művelet 5. csomópontjában az időtartományban (a jel időtartama korlátozása) és a frekvencia változatossága, a folyamatos időtartományban Fourier (NVRF) generál. Az 1. és 2. táblázatban megadott funkciók tulajdonságainak és definícióinak felhasználásával a következő átalakulási párokat kapjuk.
(25)
(26)
Ne feledje, hogy a kifejezés (26) egy bizonyos időszakos funkciót határoz meg, amely egybeesik az eredeti (1. csomópontban) csak az időintervallumban 0-tól NT.
Függetlenül attól, hogy a négy művelet két szekvenciája közül választott, a 8 csomópont végső eredménye ugyanaz lesz - diszkrét ideiglenes Fourieramely megfelel az 1. táblázatban meghatározott tulajdonságokkal kapott következő átalakulási pároknak.
, (27)
ahol k \u003d -n / 2 ,. . . , N / 2-1
,
(28)
ahol n \u003d 0 ,. . . , N-1,
Ennek energia tétele, a CVRF formája:
,
(29)
és az n adatmintákból származó szekvencia energiáját jellemzi. Mindkét szekvenciát X [N] és X [K] periodikus az N modulban, így (28) formájában írható
, (30)
ahol 0 n n. A (27) - (30) többszöröse (27) - (30) a valóságban szükséges (27) és (28) a valóságban az integráció területén való integrált átalakításának közelítése
.(31)
Nem nulla kiegészítés
A felhívott folyamat használata zeros függelékA diszkrét-time Fourier sorozat megváltoztatható a forrásátalakítás n értékeinek interpolálására. Hagyja, hogy az aktuális számok x, ..., x-nak kiegészüljenek nulla értékekkel x [n], ... x. A DVRF-nek ezt a 2N pontszekvenciát kiegészített nullákat a kifejezés határozza meg
(32)
ha a jobb felső határértéket a jobbra változtatja a nulla adatok jelenléte szerint. Hagyja, hogy k \u003d 2m legyen
,
(33)
ahol m \u003d 0,1, ..., n-1, meghatározza az x [K] egyenletét. Látható, hogy a K 2n-Point diszkrét-idősorok egyenletes értékeiben a Fourier az N-Point diszkrét-időbeli sorba kerül. Az index k páratlan értékei megfelelnek az interpolált VVRF értékeknek az eredeti N-Point DVRF értékei között. Az eredeti N-CHECHYECHYE szekvenciához egyre nagyobb számú nullát adunk hozzá, még nagyobb számú interpolált adatot kaphat. A végtelen számú bemeneti nullák határértékében a DVRF az N-CHECHY adatszekvencia Fourierének diszkrét-időbeli átalakulásának tekinthető:
.
(34)
A konverzió (34) megfelel a 2. ábrán látható 6. csomópontnak.
Helytelen nézet van, hogy a kiegészítő nullák javítják az engedélyt, mivel növeli az adatszekvencia hosszát. Azonban az alábbiak szerint a 3. ábrából a nullák hozzáadásával nem javul Az adott végső adatszekvenciával kapott konverziós képesség felbontása. A nullák kiegészítése egyszerűen lehetővé teszi, hogy interpolált konverziót kapjon simated Forma. Ezenkívül kiküszöböli a keskeny sávú jelkomponensek jelenléte által okozott bizonytalanságokat, amelyek a kezdeti DVRF becsült frekvenciáinak megfelelő n pontok között vannak. A nullák hozzáadásakor a spektrális csúcsok arányának pontossága is növekszik. A spektrális felbontás alatt megértjük a két harmonikus jel spektrális válaszainak megkülönböztetését. Az általánosan elfogadott empirikus szabály, amelyet gyakran a spektrális analízis során alkalmaznak, megállapítja, hogy a különálló szinuszos frekvencia szétválasztása nem lehet kevesebb egyenértékű ablakszalag szélességeE szinuszos szegmensek (szegmensei) megfigyelhető.
3. ábra. Interpoláció a nullák kiegészítése miatt:
A - DVRF modul 16 pont A három szinuszoidot tartalmazó adatok rekordjai kiegészítés nélkül (bizonytalanság látható: lehetetlen megmondani, hogy hány sinusoid a jel - két, három vagy négy);
B - A 16 nulla (a bizonytalanságok megengedettek, mivel mindhárom sinusoidok megkülönböztethetők;
B - A DVRF modul ugyanolyan szekvencia után négyszeres növekedést követően a nullák kiegészítői számának számának száma.
Az egyenértékű ablakszalag szélessége meghatározható 
ahol w (f) az ablak Fourier ablakának diszkrét-időbeli átalakítása, például téglalap alakú (5). Hasonlóképpen, beléphet egyenértékű ablak időtartama
Megmutatható, hogy az ablak (vagy bármely más jel) egyenértékű időtartama és a konverzió egyenértékű sávszélessége kölcsönösen fordított értékek: TEBE \u003d 1.
Gyors Fourier transzformáció
A gyors Fourier transzformáció (BPF) nem egy másikfajta Fourier transzformáció, hanem számos hatékony neve algoritmusúgy tervezték, hogy gyorsan kiszámítsa a diszkrét-time sorozat Fourier-t. A DVRF gyakorlati megvalósításából eredő fő problémát számos számítási műveletben köti össze az N2-vel arányos számítási műveletben. Bár régóta megjelenése előtt a számítógépek, több hatékony számítási rendszereket javasoltak, amely lehetővé teszi, hogy jelentősen csökkentse a számát számítási műveletek, a jelen forradalom tette közzé 1965-ben COOLi (cooly) és Tukey (Tukey) a gyakorlati algoritmus gyorsan (n kapcsolódás 2 N) A DVRF számításai. Ezt követően számos lehetőséget fejlesztettek ki, javítják és kiegészítik az alapvető ötleteket, amelyek a Fourier gyors átalakulásának tekintett algoritmusok osztályát eredményezték. A BPF alapötlete az N-Point DVRF két és több DVRM felosztása kevesebb, mint a hossz, amelyek mindegyike külön kiszámítható, majd lineárisan összefoglalható a többiekkel annak érdekében, hogy megkapja a DVRF-t az eredeti n-pont szekvencia.
Képzelje el a Fourier (DVRF) diszkrét transzformációját
, (35)
ha a W n \u003d exp (-j2 / n) értéket forgó multiplikátornak nevezik (a továbbiakban ebben a szakaszban, a mintavételi időszak t \u003d 1). Válassza ki az elemeket egyenletes és páratlan számokkal az X szekvenciából [N]
. (36)
De azóta
. Következésképpen (36) meg lehet írni
, (37)
ahol mindegyik kifejezés az n / 2 hossza átalakulása
(38)
Ne feledje, hogy a szekvencia (WN / 2) NK periodikus K, N / 2 időtartammal. Ezért, bár a K expressziós (37) szám 0-tól N-1 értékre kerül, akkor mindegyik összeg kiszámításra kerül a k 0-tól N / 2-1 értékekre. Megbízhatja az integrált szorzás és addíciós műveletek számát, amelyek szükségesek a Fourier transzformáció kiszámításához az algoritmussal (37) - (38). A formulák (38) szerint két N / 2-pont Fourier transzformálja a 2 (N / 2) 2-es szorzást és körülbelül annyi kiegészítést. A (37) általános képletű két N / 2-pontos transzformáció kombinációja több N-szorzást és addíciót igényel. Ezért, hogy kiszámítsa a Fourier-transzformációt az összes n értékhez K-hez, szükség van N + N 2/2 szaporodásokra és kiegészítésére. Ugyanakkor a (35) általános képletű közvetlen számítás N 2 szorzást és kiegészítést igényel. Már n\u003e 2, egyenlőtlenségi n + n 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
Ugyanakkor a W n / 4 szekvencia frekvenciájának köszönhetően k az N / 4 periódussal, az összegeket (40) csak 0-tól N / 4-1 értékekre kell kiszámítani. Ezért, a számítás a szekvencia x [K] képlet alapján (37), (39) és (40) megköveteli, hogy van ez nem nehéz kiszámítani, már 2n + n 2/4 szorzási és összeadás művelettel.
Ilyen módon az X [K] számítási térfogata egyre inkább csökkenthető. M \u003d log 2 n bomlások után kétpontos Fourier konverzió
(41)
ahol az "egypontos átalakítások" x 1 egyszerűen hivatkozás x [n]:
X 1 \u003d x [q] / n, q \u003d 0,1, ..., n-1. (42)
Ennek eredményeképpen megírhatja a BPF algoritmust, amely nyilvánvaló okokból kapta meg a nevét. algoritmus ritkítással :
X 2 \u003d (x [p] + w k 2 x) / n,
ahol k \u003d 0,1, p \u003d 0,1, ..., n / 2 -1;
X 2n / m \u003d x n / m + w k 2n / m x n / m,
ahol k \u003d 0,1, ..., 2n / m -1, p \u003d 0,1, ..., m / 2 -1;
X [K] \u003d X N [K] \u003d X N / 2 + W K N X N / 2, (43)
ahol k \u003d 0,1, ..., n-1
A számítások minden szakaszában n komplex szorzás és kiegészítések készülnek. És mivel a kezdeti szekvencia bővítéseinek száma a félhosszalapra a log 2 n, akkor a bpf algoritmusban lévő szorzási műveletek teljes száma megegyezik a NLOG 2 N.-vel, nagy N-nél nagyobb megtakarítással rendelkezik Számítási műveletek a közvetlen DPF számításhoz képest. Például n \u003d 2 10 \u003d 1024 esetén a műveletek száma 117-szer csökken.
Az algoritmus a BPF ritkuló idővel tekinthető általunk alapul kiszámítására Fourier-transzformáció képezve alszekvenciái a bemeneti sorozat x [n]. Ugyanakkor a Fourier transzformáció X [K] bomlása is használható. Az eljárás alapján a BPF algoritmust az algoritmusnak nevezik Alszik frekvencián. További információ a gyors Fourier transzformációról, például a.
Alkalmi folyamatok és spektrális teljesítménysűrűség
Az X diszkrét véletlenszerű eljárás egyes kombinációnak tekinthető, vagy együttes, valós vagy összetett diszkrét átmeneti (vagy térbeli) szekvenciáknak tekinthető, amelyek mindegyike egy bizonyos kísérlet (N-time Index, I - megfigyelési szám) következtében megfigyelhető ). Az egyik megfigyelés eredményeként kapott szekvenciát x [n] jelöli. Averambula-átlagok (azaz statisztikai átlagolás) Az üzemeltető által jelöljük<>. Ilyen módon
A véletlenszerű folyamatot helyhez kötöttük széles értelembenHa átlagértéke folyamatosan (független az idő), és az autokorreláció csak az M \u003d N1-N2 időbeli indexek különbségétől függ (ideiglenes váltás vagy késleltetés a referenciák között). Így széles értelemben az X [N] diszkrét véletlenszerű eljárást állandó átlagérték jellemzi.
r xx [m] \u003d< xx*[n] >. (44)
Megjegyezzük az AKCS alábbi tulajdonságait:
r XX | R XX [M] | , R xx [-m] \u003d R * xx [m], (45)
amelyek minden m.
A spektrális teljesítménysűrűség (SPM) diszkrét ideiglenes Fourier transzformáció (DVPF) autokorrelációs szekvencia
.
(46)
Az SPM, amely szélessége ± 1 / 2T Hz korlátozott értékekkel támaszkodik, periodikus frekvencia funkció 1 / t Hz. Az SPM funkciója leírja a véletlen frekvenciafolyamat áramellátását. A kedvenc nevének megerősítéséhez fontolja meg a fordított dbpf-t
(47)
m \u003d 0-ra számítva
(48)
Az autokorreláció nulla váltással jellemzi középső erő Véletlen folyamat. Szerint (48), a görbe alatti terület p xx (f) jellemzi az átlagos teljesítmény, így p xx (f) egy sűrűségfüggvény (teljesítmény egységnyi mértékegység), amely jellemzi az áramelosztó gyakoriság. Egy pár átalakulási (46) és (47) gyakran hívják bor hinchin tétel Diszkrét időre. Mivel R xx [-m] \u003d R * xx [m], az SPM szigorúan tényleges pozitív funkciónak kell lennie. Ha az AKCS szigorúan érvényes funkció, akkor R xx [-m] \u003d R xx [m] és az SPM koszinusz-transzformáció formájában írható
,
amely azt is jelenti, hogy p xx (f) \u003d p xx (-f), vagyis Az SPM egyenletes funkció.
Eddig az átlagos érték meghatározásakor a véletlenszerű folyamat korrelációjának és spektrális sűrűségének meghatározásakor az együttes statisztikai átlagozódást alkalmaztuk. A gyakorlatban azonban általában nem tudja megszerezni a szükséges folyamat megvalósításának együttesét, amely szerint ezeknek a statisztikai jellemzőknek kiszámíthatók. Javasoljuk, hogy értékelje az x (t) implementált mintavételi statisztikai tulajdonságot, az átlagos idő átlagának együttes. Az ilyen helyettesítést, amely lehetővé teszi az ilyen helyettesítést Ergodicitásnak. Azt mondják, hogy a véletlenszerű folyamat ergodikus, ha egy valószínűséggel egyenlő, minden statisztikai jellemzője az együttes egyik megvalósításával előre jelezhető az idő múlásával. Más szóval, a folyamat szinte minden lehetséges implementációjának átlagos értékei az egység valószínűségével, ugyanolyan állandó értékre konvergálnak - az együttes átlagos értéke
. (49)
Ez a határ, ha létezik, konvergál egy igazi átlagértékhez, ha és csak akkor, ha a közepes diszperzió nullára törekszik, ami a következő állapotot jelenti:
. (50)
Itt a C xx [m] az x [n] folyamat kovarianciájának valódi értéke.
Hasonlóképpen, figyeli a folyamat folyamatának értékét az X [N] két ponton, azt várható, hogy az átlagos érték egyenlő lesz
(51)
Az ergodicitás feltételezése lehetővé teszi, hogy ne csak az átlagos érték átlagolását és az autokorrelációt adja meg, hanem hasonló definíciót adjon a spektrális teljesítménysűrűség szempontjából is
. (52)
Az SPM ezzel egyenértékű formáját a DVPF modul statisztikai átlagolásával állítjuk elő, amelyet az adatrögzítés hosszával osztunk el, ha a minták száma a végtelenségig növekszik. Statisztikai átlagolásra van szükség, mert maga a DVPF egy véletlen változó változó minden egyes végrehajtáshoz X [N]. Annak érdekében, hogy megmutassuk (52), ami a Wiener Hinchin tételével egyenértékű, képzelje el a DVPF modul négyzetét két sor termékként, és módosítsa az összegzés és a statisztikai átlagolás sorrendjét:
(53)
Híres kifejezéssel
, (54)
Az arány (53) a következőkre csökkenthető:
(55)
Ne feledje, hogy a kimenet utolsó szakaszában (55), azt a feltételezést, hogy az "fades" autokorrelációs szekvenciát használták, így
.
(56)
Az SPM (46) és (52) két definíciójának kapcsolatát mutatja a 4. ábrán bemutatott ábrát.
Ha a kifejezésben (52) nem veszi figyelembe a matematikai várakozás működését, akkor megkapjuk az SPM értékelését
, (57)
amit hívnak Szelektív sprrome.
Ábra. 4. A spektrális teljesítménysűrűség becslésének két módszere
A spektrális becslés periodogram módszere
Két formális egyenértékű módszert vezetett be a spektrális teljesítménysűrűség (SPM) meghatározására. A közvetett módszer egy végtelen adatszekvencia alkalmazásán alapul az autokorrelációs szekvencia kiszámításához, amelynek Fourier transzformációja a kívánt spm-t adja. Az SPM meghatározására irányuló közvetlen módszer a Fourier Konverziós modul tér kiszámításán alapul egy végtelen adatszekvenciához a megfelelő statisztikai átlagolással. Az ilyen átlagolás nélkül kapott SPM kielégítő, mivel az ilyen értékelés RMS-hibája összehasonlítható az átlagos értékével. Most megvizsgáljuk az átlagolási módszereket, amelyek sima és statisztikailag stabil spektrális becsléseket biztosítanak a véges számú minta. Az SPM becsléseit a közvetlen adatátalakítás és a későbbi átlagolás alapján periodogramoknak nevezték. Az SPM becslései, amelyekre a korrelációs becslések először forrásadatokon vannak kialakítva, nevet kaptak korrép. Az SPM-k becslésének módja esetén a felhasználónak sok kompromisszumos megoldást kell tennie annak érdekében, hogy statisztikailag stabil spektrális becsléseket szerezzen a legmagasabb megoldással a minták végső számával. Ezek a kompromisszumok magukban foglalják különösen az adatok és a korrelációs becslések és a korrelációs becslések és a korrelációs becslések és az ilyen átlagolási paraméterek, amelyek lehetővé teszik a követelmények kiegyensúlyozására a mérlegelés miatti oldalirányú szirmok szintjének csökkenését, hatékony átlagolást végeznek az átlagolás és az elfogadható spektrális engedély biztosítása. Ábrán. Az 5. ábra a fő szakaszokat megjelenítő diagramot mutatja periodogram módszer
Ábra. 5. Az SPM becslésének fő szakaszai a periodogram módszerrel
A módszer alkalmazása az N adatminták gyűjteményéből indul, amelyeket a T-második intervallumban a visszaszámláláshoz vettek, majd a (opcionális) a trend kiküszöbölésének szakaszában. Annak érdekében, hogy statisztikailag stabil spektrális becslést, a rendelkezésre álló adatokat kell osztani átfedő (ha lehetséges) szegmensek és ezt követően átlagolt kiválasztási kapott spektrumok minden ilyen szegmens. A paraméterek ezen átlagolási megváltoznak a megfelelő megválasztásával a minták számát a szegmens (NSAMP) és a minták száma, amelyeken szükség van, hogy elmozdulás az elején a következő szegmens (NSHIFT), ld. 6. A szegmensek száma a spektrális becslés és a kívánt spektrális felbontás szükséges mértékétől (diszperzió) függvényében van kiválasztva. Az Nsamp paraméter kis értékével több szegmens érhető el, amelyre átlagolódnak, és ezért kevesebb diszperzióval rendelkeznek, de kevésbé frekvenciafelbontás is. A szegmens hossza (Nsamp paraméter) növelése növeli a felbontást, természetesen az értékelési diszperzió növekedése miatt kisebb számú átlagolás miatt. Visszatérési nyíl az 1. ábrán. Az 5. ábra azt jelzi, hogy több ismétlődő átutalás szükséges az adatok szerint különböző hosszúságú és mennyiségeken, amely lehetővé teszi, hogy több információt kapjon a vizsgálati folyamatról.
6. ábra. Az adatok szétválasztása a periodogram kiszámításához
Ablak
Az összes olyan fontos kérdés, amely az összes klasszikus spektrális becslési módszerrel közös, a mérési adatokhoz kapcsolódik. Az ablak használatával történő feldolgozás a spektrális becslésekben lévő oldalszirmok jelenlétének hatásának szabályozására szolgál. Ne feledje, hogy a meglévő véges adatrekordot kényelmesen tekintjük a megfelelő végtelen szekvencia valamely részének, amely nyilvánvalóan az alkalmazott ablakon keresztül látható. Tehát a megfigyelt adatok X 0 [N] NATTEMMATIONAL-tól származó szekvenciája matematikailag az x [n] végtelen szekvencia és a téglalap alakú ablak funkciói formájában írható
X 0 [n] \u003d x [n] · rect [n].
Ebben az esetben nyilvánvaló feltételezést feltételezünk, hogy az összes nem megfigyelt szám nulla, függetlenül attól, hogy valójában van-e. A szuszpendált szekvencia diszkrét-időbeli átalakítása egyenlő az X szekvencia átalakításával és a téglalap alakú ront [n]
X 0 (f) \u003d x (f) * d n (f), ahol
D N (f) \u003d Texp (-J2PFT) Sin (PFTN) / SIN (PFT).
A funkció d n (f), az úgynevezett diszkrét funkcióját SINC, vagy a Dirichlet mag, a DVPF a négyszögletes funkciót. A megfigyelt véges szekvencia átalakítása egy végtelen szekvencia transzformációjának torzított változata. A hatás a téglalap alakú ablak egy diszkrét időbeli szinuszos gyakorisággal F 0 szemlélteti Fig.7.
7. ábra. Fourier diszkrét-időbeli transzformáció illusztráció az adatok súlyának köszönhetően.: A, B - forrás és súlyozott szekvencia; B, m - Fourier transzformációik.
Az ábrából világos, hogy a végtelen szinuszos szekvencia DVPF éles spektrális csúcsai az ablak átalakításával járó konvolúció miatt bővültek. Így a szekvencia súlyozott ablakának spektrális csúcsának minimális szélességét az ablak átalakításának fő sziromának szélessége határozza meg, és nem az adatoktól függ. Az ablakkonverzió oldalszirmjai megváltoztatják a szomszédos spektrális csúcsok amplitúdóit (néha ezt a jelenséget vetőmagnak nevezik). Mivel a DVPF egy periodikus funkció, akkor a szomszédos időszakok oldalirányú szirmai átfedése további elmozduláshoz vezethet. A minták gyakoriságának növelése lehetővé teszi, hogy gyengítse az átfedések oldalirányú szirmok hatását. Hasonló torzulásokat fognak megfigyelni a nem szinuszos jelek esetében. Az elválasztás nemcsak az amplitúdó hibák megjelenését eredményezi a diszkrét jelek spektrumaiban, hanem elfedheti a gyenge jelek jelenlétét is. Számos más ablakfunkciót kínálhat, amelynek használata csökkenti az oldalirányú szirmok szintjét, mint a téglalap alakú ablak használatakor használható. A laterális szirmok szintjének csökkentése csökkenti a spektrális értékelés elmozdulását, azonban ezt a Windows spektrum fő sziratainak bővítésének költsége, amely természetesen az engedély romlásához vezet. Ezért itt a fő szirom szélessége és az oldalsó szirmok szintje közötti kompromisszumot itt kell kiválasztani. A Windows minőségének értékeléséhez használjon több paramétert. A hagyományos mutató a fő sziromszalag szélessége a félig hatalom szintjén. Második mutatóként a fent bevezetett egyenértékű sávszélességet használják. Két mutatót használnak az oldalsó szirmok jellemzőinek értékelésére. Az első a maximális szintjük, a második pedig a megmentési sebesség, amely jellemzi az oldalsó szirmok csökkentésének sebességét, mivel eltávolítja a fő sziromot. A 3. táblázat mutatja az ablak általánosan használt diszkrét-időbeli funkciók meghatározásait, valamint a 4. táblázatban - azok jellemzőit.
3. táblázat: Tipikus N-pont diszkrét-időbeli ablakok meghatározása. Oldalszirmok szintje, db -31.5
. (46)
Correllogram módszer Az SPM becslése csak az autokorrelációs értékelési értékek végső sorrendjének (46) helyettesítése (46) cornelogramok) Az ismeretlen igaz autokorrelációs értékek végtelen sorrendjének helyett. Bővebben a spektrális becslés korrektor módjáról megtalálható.
L és t e r a t u r a
1. Ravener L., Gould B. Elmélet és a digitális jelfeldolgozás használata. M.: Mir, 1978.
2. Marple Ml. S.l. Digitális spektrális elemzés és alkalmazás: per. angolról -M.: Mir, 1990.
3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Pole M.N., Digitális jelek digitális feldolgozása. - M.: Rádió és kommunikáció, 1990.
4. Kezdetben R., Enocon L. Az idősor alkalmazott elemzése. - M.: Mir, 1982.
Annak érdekében, hogy irányítsa az úthelyzetet a nagy intenzitású pályákon, a videofelügyeleti kamerákat széles körben használják. A kamerából származó információk adatokat tartalmaznak az autók térbeli helyzetének ideiglenes változására a rendszer nézete területén. Ennek az információknak a feldolgozása a televíziós mérési rendszerekben használt algoritmusok alapján (TIS) lehetővé teszi a jármű mozgásának sebességét és biztosítja a közlekedési adatfolyamokat. Ezek a tényezők, amelyek megmagyarázzák a közlekedési autópályák televíziós nyomon követését.
A járművek képeinek szűrésére szolgáló módszerek kidolgozása az interferencia hátterében, meg kell ismerni az alapvető paramétereit és jellemzőit. Korábban a szerzők Fourier-tanulmányt végeztek, és a természetes és városi hátterek spektruma hullámmetszete. Ez a papír a hasonló jármű spektrumainak tanulmányozására szolgál.
- digitális fényképezőgép segítségével létrejött a forrás bank létrehozása. A különböző típusú járművek monokróm képei (utasok és teherautók, Buszok, minden csoport esetében a képek száma 20-40 volt) ; A képek vízszintesen és 300 pixeles méretűek voltak - függőlegesen; A fényerő megváltozik 0 és 255 egység között;
- mivel a képen kívüli képek a háttérkomponensen is, hogy megakadályozzák az eredményre gyakorolt \u200b\u200bhatását, mesterségesen elnyomta nullát;
- a Fourier Methods és Wavelet analízissel használt járművek képei jellemzőinek elemzését végeztük el.
A MATLAB környezetben kifejlesztett program lehetővé teszi, hogy kiszámítsa az átlagos fényerőt (azaz a kép fényerejére váró matematikai várakozását), a fényerő diszperzióját, az egyéni és a képek teljes karakterláncok, spektrogramok, valamint a Wavelet Spectra különböző híres Waveletek (Haar, Daughe, Symlet stb.). Az elemzés eredményei kétdimenziós és 3D-s képspectra formájában tükröződnek.
A kutatás eredményei szerint a következő következtetéseket lehet levonni:
- az átlagos fényerő jellemzői (a különböző járművek képeinek átlagos fényereje, diszperziója) szoros értékeket tartalmaz minden típus számára; Jelentős befolyása a fényerő jellemzőire napfények szemüvegek és autós felületek; A világítás intenzitásától és irányától függően a fekete autók a könnyű járművekhez hasonló fényerő jellemzői lehetnek;
- függetlenül attól, hogy milyen típusú Fourier Jármű és a Wavelet Spectra hasonló szerkezetű;
- a járművek négyesebb spektrumának szélessége gyengén függ az autó típusától; A spektrum szignifikánsan egyenetlen felépítéssel rendelkezik, változik az autó világításának és tájolásának megváltoztatásakor; A vízszintes sík spektruma egyenletesebb, mint függőleges; A félig generálható autók és buszok spektrális jellemzőire nagy hatással vannak a feliratokra és feliratokra (reklám) a felületén;
- amikor megmunkált autók, alapvetően a képek spektruma vízszintes síkban változik, a függőleges síkban lévő spektrum meglehetősen stabil marad; Ez különösen jól látható a Wavelet Spectra-on;
- a különálló jármű és a jármű spektrumának elemzése az interferencia hátterében azt mutatja, hogy megkülönböztetik azokat a spektrális komponensek amplitúdóinak szintjei; Háttér hiányában jelentősen egyenletesen függőleges spektrum; A háttér nélküli járművek képeihez nagyobb valószínűséggel mélyebb hibák a spektrumban (az egyenetlenség felett), amely a háttérrel végzett képek spektrumát még nagyobb, mint háttér nélkül;
- a tanulmányok kimutatták, hogy a nagy számú tényező erős befolyása miatt a járművek spektrális jellemzői (mind a Fourier analízis, mind a Wavelet analízis) nem teszik lehetővé a járművek stabil spektrális jeleit; Ez csökkenti a spektrális képszűrés hatékonyságát, amelyet a háttér elnyomására vezet;
- automatizált közúti vezérlőrendszerekben az autók a háttérben az interferencia hátterében történő kitermeléséhez szükséges jelek, például színes, spektrum, geometriai objektumparaméterek (méretek és méret) és dinamikus jellemzők használata szükséges.
BIBLIOGRÁFIA
- Makaretsky ea., Nguyen L.H. A természetes és városi hátterek képei jellemzőinek vizsgálata // IZV. Tulsk. Állapot Un-ta. Rádiós mérnöki és radiészlékonyság. - Tula, 2005. - T. 7.- S.97-104.
Bibliográfiai referencia
Makaretsky e.a. Fourier kutatása és Wavelete járművek Spectra // Alapvető tanulmányok. - 2006. - № 12. - P. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id\u003d5557 (kezelés dátuma: 15.01.2020). Figyelembe vesszük a "Természettudományi Akadémia" kiadói házban kiadott magazinokat
Spektrális analízis (spektrális analízis)
A spektrális elemzés széles osztálya adatok feldolgozási módszerek alapján frekvencia ábrázolásának, vagy spektrumot. A spektrumot a kezdeti függvény bomlása eredményeként kapjuk, az idő (idősorok) vagy a térbeli koordinátától (például képek) függvényében néhány periodikus funkció alapján. Leggyakrabban a spektrális feldolgozásra a szinusz (Fourier bomlás, Fourier-transzformáció) alapján négyesebb spektrumot alkalmaznak.
A Fourier transzformáció fő jelentése az, hogy az önkényes alak kezdeti nem periodikus funkciója, amely lehetetlenné válik analitikusan, ezért nehéz feldolgozni és elemezni, ez a különböző frekvenciákkal rendelkező szinuszok vagy koszok , amplitúdó és kezdeti fázis.
Más szóval, összetett funkciót átalakítanak sok egyszerűbbé. Minden egyes sinusoid (vagy koszinusz) egy bizonyos frekvenciával és amplitúdóval, amelyet a Fourier bomlást eredményeznek spektrális komponens vagy szájharmonika. Spektrális alkatrészek fourier Spectrum.
Vizuuálisan úgy tűnik, hogy a Fourier Spectrum egy olyan grafikon formájában van kialakítva, amelyen a horizontális tengelyen egy kör alakú frekvencia van kialakítva, amelyet az "omega" görög betű, és függőlegesen - a spektrális komponensek amplitúdója, amelyet általában a latin jeleznek Az A. betű. Ezután minden spektrális komponens referenciaként, pozícióként jeleníthető meg, amely a horizontális gyakoriságának felel meg, és a magasság az amplitúdója. Harmonikus nulla gyakorisággal hívják állandó komponens (Ideiglenes reprezentációban ez egy egyenes vonal).
Még a spektrum egyszerű vizuális elemzése is sokat mondhat a funkció jellegéről, amely alapján megkaptuk. Intuitív, hogy a kezdeti adatok gyors változásai a spektrumösszetevőkben generálnak magas frekvencia és lassú - a alacsony. Ezért, ha a komponensek amplitúdója gyorsan csökken, növekvő frekvenciával, a kezdeti funkció (például az idősorok) sima, és ha nagyfrekvenciás komponensek vannak a spektrumban nagy amplitúdóval, a kezdeti funkció tartalmazza éles ingadozások. Tehát az idősorozathoz nagy véletlenszerű komponenst jelezhet, az általa leírt folyamatok instabilitása, az adatok zajának jelenléte.
A spektrális feldolgozás alapja egy spektrum manipuláció. Valójában, ha csökkenti (elnyomja) a nagyfrekvenciás komponensek amplitúdóját, majd a módosított spektrum alapján állítsa vissza az eredeti funkciót a fordított Fourier transzformáció végrehajtásával, akkor a nagyfrekvenciás komponens eltávolításával simább lesz.
Ideiglenes sorozat esetében, például ez azt jelenti, hogy távolítsa el a napi értékesítésről szóló információkat, amelyek erősen véletlenszerű tényezőknek vannak kitéve, és a fenntarthatóbb trendeket, például a szezonalitást hagyják. Lehetséges, hogy éppen ellenkezőleg, elnyomja az összetevőket alacsony frekvenciával, ami lehetővé teszi a lassú változások eltávolítását, és csak gyorsan hagyja. Idősorok esetén ez a szezonális összetevők megszüntetését jelenti.
A spektrum ilyen módon történő alkalmazása lehetséges a forrásadatok kívánt változása. Az idősor leggyakrabban használt simítás a nagyfrekvenciás komponensek amplitúdójának eltávolításával vagy csökkentésével a spektrumban.
A spektrumokkal történő manipulációkhoz szűrők használhatók - az algoritmusok, amelyek szabályozhatják a spektrum formáját, elnyomják vagy erősíthetik komponenseit. A fő dolog ingatlan bárki szűrő Ez az amplitúdó-frekvencia jellemzője (ACH), amelynek formájában a spektrum konverzió függ.
Ha a szűrő csak a spektrális komponenseket tartalmazza a határfrekvencián lévő frekvenciával, akkor az alacsony passzív szűrő (FNH) nevezik, és lehet sima adatok, tisztítsa meg őket a zaj és az anomális értékek.
Ha a szűrő áthalad a spektrális komponenseket néhány határfrekvencia felett, akkor a felső frekvencia szűrő (FVCH) nevezik. Ezzel elnyomhatja a lassú változásokat, például szezonalitást az adatok rangsorában.
Ezenkívül sok más típusú szűrőt használnak: közepes méretű szűrők, barrierszűrők és szalagszűrők, valamint összetettebbek, amelyeket az elektronikában lévő jelek feldolgozásában használnak. A szűrő frekvenciaválaszának típusának és formájának kiválasztása, a forrásadatok kívánt átalakítását spektrális feldolgozással érheti el.
Az adatok frekvenciaszűrése a simításhoz és a zaj elleni tisztításhoz, akkor helyesen kell jeleznie a gőz sávszélességet. Ha túl nagy ahhoz, hogy válasszon, akkor a simítás mértéke elégtelen lesz, és a zaj nem lesz teljesen elnyomva. Ha túl keskeny, akkor a zajokkal együtt depressziós és változások, amelyek hasznos információkat hordoznak. Ha szigorú kritériumok vannak a műszaki alkalmazásokban a szűrők jellemzőinek optimalitásának meghatározására, akkor az analitikai technológiákban főként kísérleti módszereket kell használniuk.
A spektrális elemzés az egyik leghatékonyabb és jól fejlett adatfeldolgozási módszer. Frekvencia szűrés - Csak az egyik számos alkalmazása. Ezenkívül korrelációban és statisztikai elemzésben, jelek és funkciók szintézise, \u200b\u200bmodellek, modellek stb.
1. Fourier transzformáció és jelspektrum
Sok esetben a jelspektrum megszerzésének feladata (kiszámítása) a következő. Van egy ADC, amely az FD mintavételi frekvenciával folyamatosan konvertál egy folyamatos jelet, amely a T időbe kerül, a digitális számláláshoz - n darabokra. Ezután a minta tömböt egy olyan programba táplálják, amely numerikus numerikus értékeket ad (egy programozó kihúzva az Inetába A program által közzétette, biztosítja, hogy Fourier transzformációt készítsen).Annak ellenőrzésére, hogy a program helyesen működik-e, a minták sorozata két sinusoid sin (10 * 2 * pi * x) összege + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) és szopni a programot. A program a következőket húzta:
fIX.1 Jel jel ütemezése
2. ábra Signal Spectrum Schedule
A spektrumgrafikonnak két botja van (harmonikusai) 5 Hz-es amplitúdóval 0,5 V és 10 Hz - 1 V amplitúdóval, mind a forrás formában is. Minden rendben van, a programozó jól működik! A program helyesen működik.
Ez azt jelenti, hogy ha valódi jelet adunk két sinusoid keverékéből az ADC bejárathoz, akkor két harmonikusból álló hasonló spektrumot kapunk.
Összesen, a miénk igazi mért jel 5 másodperces időtartam, digitalizált ADC, azaz képviselve diszkrét hivatkozások, van diszkrét nem periodikus spektrum.
Egy matematikai szempontból - hány hibát hibázott ebben a kifejezésben?
Most a főnökök úgy döntöttünk, hogy úgy döntöttünk, hogy 5 másodperc túl hosszú, mérjük meg a jelet 0,5 másodpercig.
3. ábra Funkció SIN (10 * 2 * PI * X) + 0,5 * SIN (5 * 2 * PI * X) a mérési időszakban 0,5 másodperc
fig.4 spektrum funkció
Valami ilyesmi! A harmonika 10 Hz normálisan rajzolva, és az 5 Hz-es bot helyett több érthetetlen harmonika jelent meg. Nézzük az interneten, mi igen ...
Ban, azt mondják, hogy a minta végén a nullák hozzáadására van szükség, és a spektrum normális lesz.
a ZEROS 5 másodpercig befejeződött
a 6. ábra spektrumot kapott
Különben is, nem az 5 másodperc. Meg kell kezelnünk az elméletet. B. Wikipedia. - A tudás forrása.
2. Folyamatos funkció és a Fourier közelében
Matematikailag a S jelzési időtartamunk másodpercek, a szegmensen (0, t) (x ebben az esetben) meghatározott f (x) függvény. Az ilyen funkció mindig az űrlap harmonikus funkcióinak (szinuszoid vagy koszinusz) összege:
(1), ahol:
K - A trigonometrikus funkció száma (a harmonikus komponens száma, a harmonikus szám)
T - szegmens, ahol a funkció meg van adva (jelzési idő)
AK - a K-TH harmonikus komponens amplitúdója,
K- A K-TH harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent, hogy "bemutasson egy funkciót a sorozat összegének formájában"? Ez azt jelenti, hogy az egyes pontokon a Fourier sorozat harmonikus komponenseinek értékével összecsukva kapjuk a funkciónk értékét ezen a ponton.
(Több súlyosan mean-square eltérése a sort az f (x) fog törekedni nulla, de annak ellenére, hogy a rms konvergencia, a Fourier-sor a függvény, általában, nem köteles konvergál azt. Lásd https: / /ru.wikipedia.org/ wiki / orosz_fourier.)
Ez a sorozat az űrlapon is rögzíthető:
(2),
Ahol, K-i összetett amplitúdó.
Az együtthatók közötti kapcsolatot (1) és (3) a következő képletekkel fejezzük ki:
Ne feledje, hogy a Fourier sorozat mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor dolgozik Fourier sorok, ez sokkal kényelmesebb használni a kitevők a képzeletbeli érv helyett orrmelléküregek és koszinusz, azaz használni Fourier-transzformáció egy átfogó formában. De kényelmes számunkra, hogy alkalmazzuk az (1) képletet, ahol a Fourier sorozat megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal rendelkező koszinuszcsatornáként jelenik meg. Mindenesetre helytelen azt mondani, hogy a tényleges jel Fourier-transzformációjának eredménye összetett harmonikus amplitúdók lesz. Mennyire mondja a Wiki "Fourier Transformation (?) - egy olyan művelet, amely összehasonlítja az igazi függvény egy funkcióját, más változót is."
TELJES:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier transzformáció.
A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a szegmensben (0, t) által meghatározott f (x) (jel) folyamatosan meghatározza a trigonometrikus funkciók végtelen számának (végtelen sora) összegét, bizonyos amplitúdókkal és fázisok, amelyeket a szegmensen is figyelembe vettek (0, t). Az ilyen számot Fourier közelében hívják.
Néhány pontot megjegyezzünk, amelynek megértése szükséges ahhoz, hogy megfelelően használja a Fourier transzformációt a jelek elemzéséhez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-tartományt (a sinusoid összegét) az x tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a szegmensen kívül (0, t) a Fourier melletti függvény rendszeresen megismétli funkcióját.
Például a 7. ábrán látható grafikonban a kezdeti funkció a szegmensen (-T \\ 2, + T), és a Fourier tartomány egy periódusos funkciót jelent az egész x tengelyen.
Ez azért van, mert a szinuszok maguk is időszakos funkciók, az összegük időszakos funkció lesz.
7. ábra A nem periódusos forrásfüggvény ábrázolása Fourier közelében
Ily módon:
Kezdeti funkciónk folyamatos, nem periodikus, meghatározott határidőn belül.
Ennek a funkciónak a spektruma diszkrét, vagyis a harmonikus komponensek végtelen tartománya - egy sor négyesebb.
Valójában a Fourier közelében olyan időszakos funkciókat határoz meg, amelyek egybeesnek a szegmensen (0, T), de számunkra ez az időszakosság nem jelentős.
A harmonikus komponensek időtartama a szegmens (0, t) méretének többszöröse, amely meghatározza az F (x) kezdeti funkciót. Más szóval, a harmonikus időszakok többszörösek a jelmérés időtartama. Például a Fourier sorozat első harmonikus periódusa megegyezik az intervallummal, amely meghatározza az F (x) függvényt. A Fourier sorozat második harmonikusának időtartama megegyezik a T / 2 intervallummal. És így tovább (lásd a 8. ábrát).
a Fourier-sorozat harmonikus komponensek (frekvenciák) 8. ábra (frekvenciák)
Ennek megfelelően az 1 / t többszörös értékű harmonikus komponensek frekvenciái. Vagyis az FK harmonikus komponensek frekvenciái egyenlőek az FK \u003d K-vel, ahol az érték 0-ról?, Például k \u003d 0 f0 \u003d 0; k \u003d 1 f1 \u003d 1 t; k \u003d 2 f2 \u003d 2 t; K \u003d 3 F3 \u003d 3 \\ t; ... fk \u003d k t (nulla frekvencia-konstans komponens).
Legyen kezdeti funkciójuk, jelentése a T \u003d 1 mp alatt rögzített jel. Ezután az első harmonikus időszak megegyezik a T1 \u003d t \u003d 1 másodpercig, és a harmonikus frekvencia 1 Hz. A második harmonikus időtartama megegyezik a jel időtartamával 2 (T2 \u003d T / 2 \u003d 0,5 másodperc), és a frekvencia 2 Hz. A harmadik harmonikus T3 \u003d T / 3 másodpercig, és a frekvencia 3 Hz. Stb.
A harmonikusok között ebben az esetben 1 Hz.
Így az 1 másodperces jel időtartama lebomlik a harmonikus komponensekre (spektrum) 1 Hz felbontással.
A felbontás növelése 2-szer 0,5 Hz-re - meg kell növelni a mérés időtartamát 2-szer 2 másodpercre. A 10 másodperces időtartamú jel lebomlik a harmonikus komponensekre (spektrum) 0,1 Hz frekvenciaválasztással. Nincs más frekvenciafelbontás más módon a felbontás növelésére.
Van egy módszer egy mesterséges növekedés a jel időtartama a nullák hozzáadásával nullák hozzáadásával a számláló tömb. De nem növeli a valódi felbontást.
3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció
A digitális technológia fejlesztésével a mérési adatok tárolására szolgáló módszerek (jelek) megváltoztak. Ha korábban a jelet a szalagfelvevőn rögzíthetjük, és analóg formában tárolják a szalagon, akkor a jeleket digitálják és a számítógép memóriájában lévő fájlokban tárolják, mint számok (minták).A jel mérés és digitalizálásának szokásos diagramja a következő.
9. ábra A csatorna séma mérése
A mérőátalakítóból származó jel az ADC-be az ADC-be az időtartam alatt érkezik. A tonna jelzés alatt (minta) a számítógépre kerül, és a memóriában tárolódik.
10. ábra Digitalizált jel - N minták a t során
Melyek a jelek digitalizálási paramétereihez képest? Az eszköz átalakítására a bemeneti analóg jelet diszkrét kód (digitális jel) nevezzük analóg-digitális átalakító (ADC, angolul. Az analóg-digitális átalakító, ADC) (Wiki).
Az ADC egyik legfontosabb paramétere a mintavétel maximális gyakorisága (vagy az ülés frekvenciája, az angol. A minta sebessége) a jel számlálási gyakorisága folyamatosan folyamatban van az időben, amikor diszkretizálja. Hertzben mérve. ((Wiki))
A Kotelnikov tétel szerint, ha egy folyamatos jel spektrummal rendelkezik, az FMAX korlátozott frekvenciája, akkor teljesen és egyedileg visszaállítható a diszkrét referenciáival, időintervallumokban 
. FD frekvenciával? 2 * FMAS, ahol az FD a mintavételi frekvencia; Az FMAX a jelspektrum maximális frekvenciája. Más szavakkal, a jel digitalizálásának gyakorisága (az ADC diszkretizálási frekvenciája) legalább kétszeresére meghaladja a mérni kívánt jel maximális gyakoriságát.
És mi fog történni, ha kisebb gyakorisággal veszünk részt, mint a Kotelnikov Theorem által megkövetelt?
Ebben az esetben az "aliasing" hatásuk (ez egy stroboszkópos hatás, moláris hatás), amelyben a digitalizálás után a nagyfrekvenciás jel alacsony frekvenciájú jelké válik, ami valójában nem létezik. Ábrán. 5 piros nagyfrekvenciás sinusoid valódi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék sinusoid egy fiktív jel, amely a referencia időtartamának időtartama miatt fordul elő, hogy a nagyfrekvenciájú jel több mint fél periódusát átadja.
Ábra. 11. A hamis, alacsony frekvenciájú jel megjelenése elégtelenül magas mintavételi frekvenciával
Annak elkerülése érdekében, hogy az aliasing hatását az ADC-k előtt egy speciális anti-aliasing szűrő - FNH (alacsonyabb frekvenciasűrő), amely az ADC diszkretizációs gyakoriságának fele alatti frekvenciát és a magasabb frekvenciákat.
A diszkrét referenciákon lévő jel spektrumának kiszámításához egy diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használunk. Megjegyzés ismét, hogy a spektrum a diszkrét jel „definíció” korlátozza a frekvencia a Fmax, kevesebb, mint fele az FD mintavételi frekvencia. Ezért a diszkrét jel spektrumát a harmonikusok végső számának mennyiségével lehet ábrázolni, ellentétben a Fourier folyamatos jelsorozat végtelen mennyiségével, amelynek spektruma korlátlan lehet. A Kotelnikov tétel szerint a maximális harmonikus frekvencia olyannak kell lennie, hogy legalább két számot minimálisan elszámolták, ezért a harmonikusok száma a diszkrét jel mintáinak fele. Vagyis, ha van N-minták a mintában, a harmonikusok száma a spektrumban N / 2 lesz.
Fontolja meg most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).
Összehasonlítva Közel Fourier
Látjuk, hogy egybeesik, kivéve, hogy a DFT-ben lévő idő diszkrét jellegű, és a harmonikusok számát korlátozza a számok N / 2- fele.
A DPT-formulák a K, S méret nélküli egész változókban vannak rögzítve, ahol K a jelmintaszámok száma, S - a spektrális komponensek száma.
Az S érték mutatja a teljes harmonikus oszcillációk számát a t időszakra (jelmérési időtartam). A Fourier diszkrét transzformációját a numerikus módszerrel rendelkező harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak megtalálására használják, vagyis "a számítógépen"
Visszatér az elején kapott eredményekhez. Amint azt fentebb említettük, amikor a nem-periódusos funkció (a jelünk) Fourier-jét bontva, az így kapott Fourier sorozat valójában egy időszakos funkciónak felel meg T. (12. ábra).
18. ábra: Időszakos f (x) függvény, T0 periódussal, mérési periódussal t\u003e t0
Amint az az 1. ábrán látható, az F (x) függvény periodikus T0 periódussal. Azonban, mivel a T mérési minta időtartama nem egyezik meg a T0 függvény időtartamával, a Fourier sorozatban kapott függvénynek van egy rés a T. ponton, ennek eredményeként a funkció spektruma nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikát tartalmaz. Ha a T mérési minta időtartama egybeesik a T0 függvény időtartamával, akkor csak az első harmonikus (a minta időtartamával megegyező időtartammal) a Fourier transzformáció után kapott spektrumban jelen lenne.
Más szóval, a DPT program "nem tudja", hogy a jelünk "szinuszos darab", és megpróbálja bemutatni egy periodikus funkciót egy szám formájában, amelynek hiánya van az egyes szinuszos szeletek nem ütemei miatt .
Ennek eredményeképpen a harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amely a függvény formájának ábrázolása, beleértve ezt a szakadékot is.
Így a jel "helyes" spektrumának megszerzéséhez, amely különböző időtartamú sinusoidok összege, szükség van arra, hogy az egyes szinuszos időszakok teljes számát a jelmérési időszakra helyezték. A gyakorlatban ez a feltétel elvégezhető a jelmérés eléggé nagy időtartamával.
A sebességváltó kinematikus hibájának funkciója és spektruma
Kisebb időtartam alatt a kép rosszabbodik:
A rotor vibrációs jelének funkciója és spektruma
A gyakorlatban nehéz megérteni, hol "valós komponensek", és ahol a "műtárgyak" az összetevők növekvő periódusai és a jelminta időtartama, vagy a jelforma "ugrásai és törései". Természetesen a "valódi összetevők" és "tárgyak" szavak nem hiábavalóakban vannak. A beállított harmonikus spektrumának ütemtervének jelenléte nem jelenti azt, hogy a valóságban a valóságban "áll". Nem érdekli, hogy a 3. és a 4. szám közül 7 "áll". A 7. szám a 3. és 4. számok összege szerint ábrázolható - helyes.
Tehát a jelünk ... és inkább nem is "a jelünk" és az időszakos funkció, amelyet a jelünk ismétlésével (minta) tartalmaz, a harmonikusok (sinusoid) összege bizonyos amplitúdókkal és fázisokkal számolhat. De sok fontos esetben (lásd a fenti ábrákat), valóban lehetővé válik a spektrumban kapott harmonikusok és valódi eljárások, amelyek ciklikus jellegűek, és hozzájárulnak a jelformához való jelentős hozzájáruláshoz.
Néhány eredmény
1. Valódi mért jel, időtartam T S, digitalizált ADC, azaz diszkrét minták (N darab) készletével van ellátva, diszkrét, nem-periódusos spektrummal rendelkezik, amelyet harmónium (n / 2 darab) tartalmaz.2. A jelet érvényes értékek állapítják meg, és spektrumát érvényes értékek állapítják meg. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az a tény, hogy a matematika kényelmesebb a spektrumot átfogó formában bemutatni a negatív frekvenciák alkalmazásával, nem jelenti azt, hogy "olyan helyesen" és "így mindig kell tennie."
3. A T idő szegmensében mért jel csak az időtartam hosszában definiálható, mielőtt elkezdtük a jel mérését, és mi fog történni, miután a tudomány ismeretlen. És ügyünkben nem érdekes. Az idő-korlátozott jel DPT megadja azt egy "valódi" spektrumot, abban az értelemben, hogy bizonyos körülmények között lehetővé teszi, hogy kiszámítsa az összetevők amplitúdóját és gyakoriságát.
Használt anyagok és egyéb hasznos anyagok.
