Eddig tanulmányoztuk az egyik változó funkcióját, azaz A változó tanulmánya, amelynek értékei egy független változó értékétől függenek.
A gyakorlatban gyakran szükség van az értékek kezelésére, amelyek numerikus értékei függnek egymástól függetlenül több változó értékétől. Az ilyen értékek tanulmányozása számos változó funkciójának fogalmához vezet. Adunk néhány példát.
1. példa. A téglalap területe két független a változó változó változóktól függetlenül - a téglalap oldalai és :.
2. példa. A művelet az elektromos áram a területen a lánc függ a potenciális különbség a végén a szakasz, a jelenlegi és az idő erők:.
3. példa. A különböző testek különböző pontjaiban mért hőmérséklet a mért pont koordinátájának függvénye, és az idő pillanatában :.
Meghatározás 1. Név n. -mérési pont Megrendelt számkészlet. A számokat hívják koordináták - Dimenziós pont. Sokféle dimenziós ponthívás n-dimenziós tér És meg fogjuk jelölni. Látszó pont a koordináták kezdete dimenziós térben és a szám - dimenzió tér.
Magánügyek:
1. - szám egyenes vonal;
2. - sík;
3. - Háromdimenziós tér.
2. meghatározás. Legyen változó értékek, és minden egyes készletből származó értékek mindegyikének megfelelnek a változó érték teljesen meghatározott értékének. Aztán azt mondják, amit megkérdeznek több változó funkciója
Változókat hívnak független változók vagy Érvek , – függő változó , szimbólum - a megfelelés törvénye .
Az egyik változó funkciója, számos változó funkciója beállítható. nyilvánvaló - I. zavart – .
Bármilyen explicit függvénye számos változó lehet függvényében ábrázoljuk egy pont-dimenziós térben: ha a pont határozza meg a készlet koordinátáit.
Ha a definíciós terület minden egyes pont egy értéknek felel meg, akkor a funkciót hívják félreérthetetlen , másképp - sokértékű .
Sok hívott funkciómeghatározási terület Ez egy dimenziós tér részhalmaza. Mint egy résterület zárva vagy O. tkryta Attól függően, hogy tartalmazza-e határát, vagy sem.
Természetes mező meghatározása A funkciókat (1) számos olyan pontnak nevezik, amelyek koordinátái egyértelműen a funkció valós és végső értékeit biztosítják. A jövőben, ha további korlátozások változása független változók nem kerülnek bevezetésre a beállítás, a probléma, a mező alatt a függvényben, akkor azt jelenti, hogy a mezők természetes definíció.
Tekintsük részletesebben két különleges esetet, amelyek a legegyszerűbbek és a geometriai értelmezés engedélyezése.
1. Két változó funkciója ( n. = 2)
A két változó funkcióját jelöljük. A funkció konkrét értéke, ha vagy a ponton az űrlapon van írva, vagy.
A funkció meghatározásának funkciója a koordináta sík pontjainak egy részhalmaza. Különösen a funkció meghatározásának funkciója lehet az egész sík vagy a sík egy része korlátozott vonalak. Vonal, amely korlátozza ezt a területet határ területek. A határon fekvő síkpontok hívják belső .
4. példa. A funkciót a síkban határozzák meg.
5. példa. A funkciókat az egész síkon határozzák meg, a közvetlen kivételével.
6. példa. A mezőmeghatározási terület a síkpontok halmaza, amelyek koordinátái megfelelnek a kapcsolatot, azaz 1. sugár és a központ a koordináták elején. A funkció meghatározási területe zárva van.
A következő példa részletesebben fontolja meg.
7. példa. Keresse meg a funkciómeghatározási területet.
Döntés.
A logaritmust csak az érv pozitív értékével határozzák meg, így van egy feltétel az érveknek :.
A geometrikus terület ábrázolásához először a határát fogjuk találni :. Az így kapott egyenlet határozza meg azt a parabolát, amelynek csúcspontja a ponton található, és a tengely a tengely pozitív oldalára irányul.
|
Következésképpen a kívánt terület a parabola belső pontjaiból áll. Maga a Parabola a régióban nem szerepel, ez azt jelenti, hogy a terület nyitva van.
3. meghatározás.a pontokat nyitott körnek nevezik, amely egy pontot tartalmaz.
Különösen egy nyitott kör, egy ponttal és egy sugarú körrel.
Nyilvánvaló, hogy a síkon lévő kör az egyenes vonal kétdimenziós analógja.
Több változó funkcióinak tanulmányozásakor a már kifejlesztett matematikai berendezést sokféleképpen használják az egyik változó függvényében. Nevezetesen: Bármely funkciót egy változó funkciójával összhangba lehet venni: fix értékkel, a funkcióval és egy fix értékkel.
Emlékeztetni kell arra, hogy bár a funkciók és ugyanolyan "eredetűek", az általuk jelentősen eltérhetnek.
9. példa. Fontolja meg a funkciót. A funkció áramellátás, és a funkció indikatív.
Két változó funkciójának geometriai képe.
Amint ismeretes, az egyik változó funkciója egy bizonyos görbével ábrázolható a síkon, ha az argumentum értékét abszcissza, és a függvény értéke, mint a ív.
Hasonlóképpen, két változó funkciója grafikusan ábrázolható.
Tekintsünk egy olyan funkciót, amelyet a területen definiált a síkon és a négyszögletes kartéziai koordináták rendszerében. A készlet minden pontja összhangban van a hely pontjával, amelynek alkalmazása megegyezik a funkció függvényének értékével :. Az összes ilyen pontkészlet olyan felület, amelyet a funkciót természetesen egy grafikus képért fogadnak el.
A két változó 4.Grafikonfunkcióinak meghatározása A háromdimenziós terek halmazát az abszcissza és az ordináta funkcionális arányhoz kapcsolódik.
|
2. Három változó funkciója (n \u003d 3)
Három változó funkcióját jelöljük, és feltételezzük, hogy és - független változók (vagy argumentumok), és függő változó (vagy funkció).
Definíciós terület Az ilyen funkciót az összes vizsgált számnak nevezik. Ha a funkció analitikusan van megadva, a természeti terület meghatározása alatt Mérje meg az összes három számot, amelyre a funkció érvényes értékeket vesz igénybe.
Meghatározás 6.Costa pontokat egy pontot tartalmazó nyílt gömbnek nevezik.
Különösen az iparágot nyitott gömbnek nevezik egy pont és sugár mellett.
A térben lévő három számú kép képét a három változó funkciója a térpont függvényében, és a három változó funkciójának meghatározásának területe - mint helypontok.
Sok változó funkciói
§egy. A sok változó funkciójának fogalma.
Hadd legyen n. változók. Mindegyik készlet 
jelöli a pontot n.-
dimenziós készlet 
(p- Dimenziós vektor).
Hagyja adni a készletet 
és 
.
Opr. Ha minden pont 
összhangban az egyetlen számmal 
, aztán azt mondják, hogy a numerikus funkció be van állítva n. Változók:
.
Lásd a Definíciós területet 
- E funkció több értéke.
Mikor n.\u003d 2 helyett 
Általában írni x.,
y.,
z.. Ezután két változó funkciója:
z.= f.(x., y.).
Például, 
- két változó funkciója;
- három változó funkciója;
Lineáris függvény n. változók.
Opr. Grafikon grafikon n. változókat hívnak n.-
dimenziós hipersurface az űrben 
, Amelynek minden pontját a koordináták adják meg
Például két változó funkciójának grafikonja z.=
f.(x.,
y.)
a háromdimenziós tér felülete, amelynek minden pontja a koordináták adnak ( x.,
y.,
z.)
hol 
, I. 
.
Mivel a három és több változó funkcióinak grafikonja nem lehetséges, elsősorban (az egyértelműségért) figyelembe vesszük két változó funkcióit.
A két változó funkcióinak építési grafikonjai meglehetősen kihívás. Jelentős segítség az oldatában az úgynevezett szintvonalak által épülhet.
Opr. Két változó funkciójának vonalszintje z.= f.(x., y.) sok pont síknak hívják Hou.amelyek a sík párhuzamos ütemtervének keresztmetszetének vetítése Hou. A szintsor minden egyes pontján a funkciónak azonos értéke van. A szintvonalakat az egyenlet írja le f.(x., y.) \u003d S.hol tól től - Néhány szám. A vonal vonalakon végtelenül sok, és az egyes pont meghatározásának terület töltheti az egyiket.
Opr. Funkciószintű felület n. változók y.=
f.
(
) úgynevezett hipersurface az űrben 
, mindegyik ponton, amelynek a függvény értéke folyamatosan és egyenlő valamilyen értelemben tól től. A felületfelület egyenlete: f.
(
)\u003d s.
Példa. Építsen egy grafikont két változó funkciójára
.
.
Ha c \u003d 1: 
;
.
Amikor c \u003d 4: 
;
.
Amikor c \u003d 9: 
;
.
Szintvonal - koncentrikus körök, az a sugár, amely növekszik z..
§2. Sok változó funkciójának határértéke és folytonossága.
Számos változó funkciói esetében ugyanazokat a fogalmakat határozzák meg, mint egy változó funkcióját. Például meghatározhatja a funkció határértékét és folytonosságát.
Opr. Az A számot két változó határértékének nevezik. z.=
f.(x.,
y.)
-ért 
,
És jelöli 
Ha bármilyen pozitív számra 
Van egy pozitív szám 
, hogy ha a pont 
eltávolították a pontot 
A távolabbi távolságban 
, akkor értékek f.(x.,
y.)
és kevesebb, mint a 
.
Opr. Ha a funkció z.=
f.(x.,
y.)
Pontban meghatározott 
és ennek a pontnak a határértéke megegyezik a funkció értékével 
Ezután folyamatosan hívják ezt a pontot.
.
§3. Sok változó magánszármazékai.
Tekintsük két változó funkcióját 
.
Például rögzíti az egyik argumentumának értékét 
Povenes 
. Ezután működik 
Van egy változó funkciója 
. Hagyja, hogy van egy származéka a ponton 
:
.
Ezt a származékot magánszármazéknak nevezik (vagy magánszármazéka) a funkció 
által 
Pontosan 
És jelezte: 
;
;
;
.
A különbséget magán növekménynek nevezik 
És jelöli 
:
Figyelembe véve a fenti megjelölést, rögzíthet
.
Hasonlóképpen meghatározott
.
Magánszármazék A funkciók több változó szerinti egyik ilyen változók a határértéket a kapcsolat az aránya a funkció a növekmény a megfelelő független változó, amikor ez a növekmény törekszik nulla.
Ha bármilyen érvre vonatkozó magánszármazékot talál, akkor más érvek állandóak. Az egyik változó funkciók differenciálódásának minden szabálya és képlete a sok változó magánszármazékaira érvényes.
Ne feledje, hogy a magánszármazékok ugyanazon változók funkciói. Ezek a funkciók viszont magánszármazékok lehetnek második magánszármazékok (vagy másodrendű magánszármazékok) a forrásfunkció.
Például egy funkció 
Négy másodlagos magánszármazékkal rendelkezik, amelyeket a következőképpen jeleznek:
;
;
;
.
és 
- vegyes magánszármazékok.
Példa.Keresse meg a másodrendű magánszármazékokat a funkcióhoz
.
Döntés.
,
.
,
.
, 
.
A feladat.
1. Keressen egy másodrendű magánszármazékokat a funkciókhoz
,
;
2. A funkcióhoz 
bizonyítsd 
.
Teljes differenciál sok változó funkciói.
Az értékek egyidejű változásával h.és w. funkció 
Módosítsa a funkció teljes növekedésének értékét z.
pontosan 
. Emellett az egyik változó funkciója esetében is felmerül a növekmény hozzávetőleges cseréje 
lineáris függvényen 
és 
. A lineáris közelítés szerepe teljes differenciál Funkciók:
Teljes másodrendű különbség:
=
.
=
.
Általában egy teljes különbség pA megrendelésnek van formája:
Az irányban. Gradiens.
Hagyja a funkciót z.=
f.(x.,
y.)
egy bizonyos szomszédsági pontban ( x.,
y.) I. 
- Egyetlen vektor által meghatározott irány 
. A koordináták az egység vektort keresztül kifejezett koszinuszok a által bezárt szögek a vektor és tengelye a koordinátákat, és az úgynevezett útmutató koszinuszok:
,
.
M mozdulási pont m (m x.,
y.) Ebben az irányban l.
pontosan 
funkció z. Növekszik
ebben az irányban a funkciónövekedés l..
Ha mm 1 \u003d δ l.T.
T.
RÓL RŐL
Funkciók z.=
f.(x.,
y.)
felé
A függvény növekményének ezen irányba történő növekedésének határértéke a mozgás nagyságára Δ l.
Amikor az utóbbi nullára törekszik:
Az irányban lévő származék jellemzi a funkcióváltás sebességét ebben az irányban. Nyilvánvaló, hogy magánszármazékok 
és 
a tengelyekkel párhuzamos irányban lévő származékokat képviseli ÖKÖR.
és Oy.. Ez könnyű megmutatni
Példa. Számítsa ki a származékos funkciót 
Az (1, 1) pontnál az irányba 
.
Opr. Gradiens Funkciók z.= f.(x., y.) A vektort a magánszármazéknak megfelelő koordinátáknak nevezik:
.
Tekintsük a vektorok skaláris termékét 
és 
:
Ez könnyű látni 
. Az irányban lévő származék megegyezik a gradiens és az egyirányú vektor skaláris termékével 
.
Amennyiben 
, akkor a skaláris termék maximálisan, amikor a vektorok egyformán irányulnak. Így a ponton a funkció gradiense ezen a ponton a függvény látszólagos növekedésének irányát határozza meg, és a gradiens modul megegyezik a funkció maximális növekedési ütemével.
Ismerve a gradiens a funkciót, akkor helyileg építeni egy funkciót szintvonalakat.
Temető. Legyen a differenciálható funkció z.=
f.(x.,
y.)
és ponton 
A funkció gradiense nem nulla: 
. Ezután a gradiens merőleges, hogy a szintvonalon áthalad ezen a ponton.
Így, ha egy bizonyos pontig kezdődik, hogy a funkció szoros pontjait és egy kis részét a szintvonalhoz merőleges, akkor lehet (valamilyen hiba esetén) egyszintű vonal létrehozásához.
Két változó helyi extrém funkciója
Hagyja a funkciót 
Határozott és folyamatos a pont néhány szomszédságában 
.
Opr. Pont 
a helyi maximális funkciónak hívják 
Ha van ilyen szomszédsági pont 
amelyben bármely ponton 
Az egyenlőtlenséget elvégzik:
.
Hasonlóképpen bevezetik a helyi minimum fogalmát.
Tétel (szükséges feltétel a helyi szélsőséghez).
A differenciálható funkció érdekében 
volt egy helyi szélsősége a ponton 
Szükséges, hogy az első megrendelés ezen a ponton található összes magánszármazéka nulla legyen:
Tehát a szélsőséges jelenlétének pontjai azok a pontok, amelyekben a funkció differenciálható, és gradiensje 0: 
. Mint egy változó függvényében, az ilyen pontokat helyhez kötötték.
(1. előadás)
2 változó funkciói.
A Z változót az F (x, y) függvény 2x-os változóknak nevezzük, ha bármilyen pár értékhez (X, Y) g értéket adunk a Z változó bizonyos értékével.
Ord. A P 0 pont szomszédságát a középponttal a P 0 ponttal és a sugárral nevezik. = (x-x 0 ) 2 + (U-y 0 ) 2
milyen kicsi lehet a kis szám, amely ilyen ()\u003e 0, amely minden X és Y értéken van, amelyhez a T. p-tól a P0-ig terjedő távolság kevesebb, mint az egyenlőtlenség: f (x, y), azaz Az összes p pont esetében a P 0 pont szomszédságába lép, sugarú sugárral, a funkció értéke eltér a kevesebb, mint az abszolút értéknél. Ez azt jelenti, hogy amikor a P pont megközelíti a P 0 pontot sZERETET
Folytonossági funkció.
Tegyük fel, hogy a z \u003d f (x, y), a p (x, y) funkció egy táblázat, p 0 (x 0, y 0) a vizsgált kérdés.
Ord.
3) A határérték egyenlő a funkció értékével ezen a ponton: \u003d f (x 0, y 0);
Lim f (x, y) \u003d f (x 0 , y. 0 );
pp. 0
Magánszármazék.
Az X argumentumot x növekményt adjuk; X + x, P 1 (x + x, y) pontot kapunk, számoljuk ki a függvény funkciói közötti különbséget a P ponton:
x z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + x, y) - f (x, y) az X-fok növekményének megfelelő funkció privát növelése.
z. \u003d LIM. x. z.
z. \u003d LIM. f (x + x, y) - f (x, y)
X X0 X.
Több változó funkciójának meghatározása
A különböző tudás különböző területeiből származó kérdések figyelembevételével meg kell vizsgálni az ilyen függőségeket a változók között, amikor az egyikük numerikus értékeit teljes mértékben meghatározzák több más értékek.
például, A test fizikai állapotának tanulmányozása, meg kell figyelnie a változást a tulajdonságai pontjától a pontig. A test minden pontja három koordináta van: x, y, z. Ezért a tanulás, mondás, sűrűségeloszlás, arra a következtetésre jutunk, hogy a test sűrűsége a három változótól függ: X, Y, Z. Ha a test fizikai állapota is változik az idő múlásával, ugyanezen sűrűség függ a négy változó értékétől: x, y, z, t.
Egy másik példa: Az egyetlen típusú termék gyártására szolgáló termelési költségeket tanulmányozzák. Legyen:
x - Az anyagok költsége
y az alkalmazottak fizetésének költsége,
z - Értékcsökkenési levonások.
Nyilvánvaló, hogy a termelési költségek az X, Y, Z paraméterek értékeitől függenek.
Meghatározás 1.1. Ha az "n" változók minden értéke
ezeknek a készleteknek a beállítása, a Z változó egyetlen értéke megfelel, azt mondják, hogy a funkció a D
"N" változók.
Az 1.1-es definícióban megadott D készletet definíciós területnek vagy létezési területnek nevezik.
Ha két változó funkcióját figyelembe veszik, akkor a számok összessége
méltóságrendként (x, y), és az oxi-koordináta síkpontokként értelmezhető, és a két változó z \u003d f (x, y) funkciójának meghatározásának függvényét az oxi síkon lévő pontokként ábrázolják .
Tehát például a mező meghatározási területe
az oxi sík pontja, amelynek koordinátái megfelelnek az aránynak
i.E. Ez az R sugarú kör, a központ a koordináták elején.
Funkcióhoz
a meghatározási terület szolgálja a feltételeket, amelyek megfelelnek az állapotnak
azaz a megadott kör tekintetében kívül van.
Gyakran két változó funkciói implicit formában vannak beállítva, azaz egyenletként
három nagyságú változó kötése. Ebben az esetben az X, Y, Z értékek mindegyike a többi maradék implicit funkciójaként tekinthető.
A z \u003d f (x, y) függvényének geometriai képe (grafikon) a háromdimenziós oxiz térben lévő P (X, Y, Z) pontok halmaza, amelyek koordinátái megfelelnek a z egyenletnek \u003d f (x, y).
A folyamatos argumentumok függvényének grafikonja, szabályként bizonyos felület az Oxyz térben, amelyet az oxi-koordináta síknak tervezték a z \u003d f (x, y) függvény meghatározásának függvényében.
Tehát például (1.1 ábra) Funkció ütemezése
a gömb felső fele, és a függvény ütemezése
A szféra alsó fele.
A Z \u003d AX + CINE + C lineáris funkciójának grafikonja az oxiz térben lévő sík, és a Z \u003d funkció grafikonja az oxiz koordináta síkjával párhuzamos sík.
Ne feledje, hogy három és több változó funkciója háromdimenziós térben grafikon formájában látható.
A jövőben elsősorban a két vagy három változó funkcióinak figyelembevételére korlátozódik, mivel a változók nagyobb (de véges) esetének figyelembevétele hasonló.
Több változó funkciójának meghatározása.
(1. előadás)
Az u változót f (x, y, z, .., t) nevezik, ha bármilyen értékre van szükség (x, y, z, .., t) összhangban a teljesen meghatározott értékkel Változó U.
Többszörös készlet A változó értékét a Field Definition területnek nevezik.
G egy készlet (x, y, z, .., t) - a meghatározási terület.
2 változó funkciói.
A Z változót az F (x, y) függvény 2x-os változóknak nevezzük, ha bármilyen pár értékhez (x, y) a g a Z változó bizonyos értékére van beállítva.
A 2 változó függvényének határértéke.
Tegyük fel, hogy a z \u003d f (x, y), a p (x, y) funkció egy táblázat, p 0 (x 0, y 0) a vizsgált kérdés.
Ord. A P 0 pont szomszédságát körkörösnek nevezzük, a P0 és az R sugár közepén. r.= Ö (x-x 0 ) 2 + (U-y 0 ) 2 Ø
Az A számot a függvény határának határozza meg a p 0 pontnál, ha bármilyen
egy másik kis számú E lehet meghatározható, hogy az R (E)\u003e 0 szám, amely minden X és Y értéken van, amelyhez a T. p-tól a P0-ig terjedő távolság kevesebb, mint R-t végezzünk: ½f ( X, Y) - A10, R sugarú sugárral A függvény értéke eltér az abszolút értéktől az E-től. Ez azt jelenti, hogy amikor a P pont megközelíti a P 0 pontot sZERETET Útvonalak, a funkció értéke korlátlan közeledik A.
Folytonossági funkció.
Tegyük fel, hogy a z \u003d f (x, y), a p (x, y) funkció egy táblázat, p 0 (x 0, y 0) a vizsgált kérdés.
Ord. A z \u003d f (x, y) funkciót a T. p 0-ban folyamatosnak nevezzük, ha 3 feltétel végez:
1) A funkció ezen a ponton van meghatározva. f (p 0) \u003d f (x, y);
2) F-A határon van.
3) A határérték egyenlő a funkció értékével ebben a pontban: b \u003d f (x 0, y 0);
Lim f (x, y)= f (X. 0 , y. 0 ) ;
p.à p. 0
Ha a folytonossági feltételek legalább 1-je megtört, az R pontot réspontnak nevezik. A 2x változók funkcióihoz különálló réspontok és teljes törésvonalak lehetnek.
A nagyobb számú változók funkcióinak határértékének és folytonosságának fogalmát hasonlóképpen határozzák meg.
A három változó funkciója nem lehetséges grafikusan ábrázolni, ellentétben a 2x változók funkciójával.
A 3x változók függvényében lehetnek rések, vonalak és szünetfelületek.
Magánszármazék.
A z \u003d f (x, y), p (x, y) függvényt összetörjük - a vizsgált pont.
Adjuk meg az argumentumot a DX növekményhez; X + DX, kapunk egy P 1 pontot (x + dx, y), kiszámítjuk a függvény értékeinek közötti különbséget a P ponton:
D X Z \u003d f (p1) -f (p) \u003d f (x + dx, y) - f (x, y) - a privát növekménye tartozó funkció a növekmény az érvelés x.
Ord. A privát származéka Z \u003d f (x, y) az x változó nevezzük a határ a kapcsolatot a magán növekmény ennek a funkciónak mentén x változó az e növekmény, amikor az utóbbi törekszik nulla.
¶ z. \u003d LIM. D. x. z.
à ¶ z. \u003d LIM. f (x + D. x, y) - f (x, y)
¶ x. D.x.® 0 D.x.
Hasonlóképpen meghatározzuk magánszármazékot az y változóban.
Magánszármazékok keresése.
A magánszármazékok meghatározásakor csak egy változó változik minden alkalommal, a fennmaradó változók állandónak tekintendők. Ennek eredményeképpen minden alkalommal, amikor csak egy változó és a magánszármazék függvényét tekintjük, egybeesnek egy változó ezen funkciójának szokásos származékával. Ennélfogva a szabály találni saját származékok: a privát szerinti származék vizsgált változóra van kialakítva, mint a szokásos származékok egyik ez a változó, a további változók jelentése elválasztjuk állandó értékeket. Ugyanakkor az egyik változó (származtatott mennyiségek, munkák, magán) függvényének differenciálódására szolgáló összes képlet biztosított.
Több változó funkciójának fogalma
Ha az N-dimenziós tér beállított (X) pontjától az X \u003d (x 1, X 2, ... XN) pontot a Z változó egy jól definiált értékével összhangban helyezik el, akkor azt mondják, mi meghatározott n változók funkció z \u003d f (x 1, x 2, ... x n) \u003d f (x).
Ebben az esetben az x 1, x 2, ... x n változók hívják független változók vagy Érvek Funkciók, z - függő változó, és az F szimbólum jelöli a megfelelés törvénye. Állítsa be (x) definíciós terület Funkciók (ez egy bizonyos részhalmaza N-dimenziós tér).
Például a z \u003d 1 / (x 1 x 2) függvény két változó funkciója. Az argumentumok az x 1 és x 2 változó, és Z egy függő változó. A meghatározási terület az egész koordináta sík, kivéve az egyenes x 1 \u003d 0 és x 2 \u003d 0, azaz azaz Abszcissza és ordinát tengely nélkül. A törvény szerint a definíciós terület bármely pontját a törvény szerint egy bizonyos számot kapunk. Például, figyelembe véve a (2; 5), azaz x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 5, kapunk
z \u003d 1 / (2 * 5) \u003d 0,1 (azaz z (2; 5) \u003d 0,1).
A z \u003d a 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A N x N + B, ahol egy 1 és 2, ... és N, B - az állandó számok szerint lineáris. Az x 1, x 2, ... x n lineáris funkciók összegének tekinthető. Minden más funkciót hívnak nemlineáris.
Például a z \u003d 1 / (x 1 x 2) függvény nem lineáris, és a z \u003d funkció
\u003d x 1 + 7x 2 - 5 - Lineáris.
Bármilyen funkció z \u003d f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) beállítható az egyik változó N funkcióinak megfelelően, ha az összes változó értékeit rögzíti, kivéve az egyiket.
Például, a funkciók a három változó Z \u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) tudunk összhangba három egyváltozós függvényeket. Ha x 2 \u003d a és x 3 \u003d B rögzítve van, akkor a funkció a z \u003d 1 / (abh 1) formát fogja elvégezni; Ha X 1 \u003d A és X 3 \u003d B-ot rögzít, akkor a Z \u003d 1 / (ABH 2) formát veszi; Ha X 1 \u003d A és X 2 \u003d B-ot rögzít, akkor a Z \u003d 1 / (ABH 3) formát fogja venni. Ebben az esetben mindhárom funkciónak ugyanolyan megjelenése van. Ez nem mindig így van. Például, ha két változó funkció az x 2 \u003d a lezárásához, akkor a Z \u003d 5x 1 A, azaz Az energiafunkció, és ha az x 1 \u003d a javítás, akkor az űrlapot, azaz Indikatív funkció.
Menetrend A két z \u003d f (x, y) függvényeit háromdimenziós tér (X, Y, Z), az abszcissza x és a funkcionális arányban lévő ordináta
z \u003d f (x, y). Ez a diagram háromdimenziós térben van (például az 5.3. Ábrán).
Bizonyítható, hogy ha a funkció lineáris (azaz z \u003d ax + + c), akkor a grafikon háromdimenziós térben lévő sík. A háromdimenziós grafikonok további példái javasolhatók a Kremera tankönyv (405-406. Oldal) szerint függetlenül.
Ha a változók több mint két (n változó), akkor menetrenda funkciók a pontok (N + 1) -készlet-készlet, amelyen az X N + 1 koordinátát a megadott funkcionális törvénynek megfelelően kell kiszámítani. Az ilyen diagramot hívják hyperpoverty (Lineáris funkcióhoz - hyperplane), és ez is tudományos absztrakció (lehetetlen ábrázolni).
5.3 ábra - Két változó működésének ütemezése háromdimenziós térben
Felületi szint Az N változók funkciót az N-dimenziós térben lévő pontok halmazának nevezik, így mindezen pontokban a funkció értéke azonos és egyenlő a C-vel. A c szám számát ebben az esetben hívják szint.
Általában ugyanazon jellemzőn végtelenül sok szintű felületet állíthat be (megfelel a különböző szinteknek).
A két változó függvényében a felületfelület veszi vonalszint.
Például, fontolja meg a z \u003d 1 / (x 1 x 2). Vegye fel a c \u003d 10, azaz azaz 1 / (x 1 x 2) \u003d 10. Ezután x 2 \u003d 1 / (10x 1), vagyis A síkon a szintvonalat az 5.4. Ábrán látható, szilárd vonallal látja el. Egy másik szintet, például C \u003d 5, kapunk egy szintvonalat grafikonfunkció formájában x 2 \u003d 1 / (5x 1) (az 5.4.
5.4. Ábra - vonalszint vonal Z \u003d 1 / (x 1 x 2)
Tekintsünk egy másik példát. Legyen z \u003d 2x 1 + x 2. Vegye c \u003d 2, azaz. 2x 1 + x 2 \u003d 2. Ezután x 2 \u003d 2 - 2x 1, vagyis. A síkon a szintvonal az 5.5 ábrán bemutatott közvetlen vonalat tartalmazza. Egy másik szintet, például C \u003d 4, kapunk egy szintvonalat egy egyenes vonal x 2 \u003d 4 - 2x 1 (az 5.5. Ábrán pontozott). A 2x 1 + x 2 \u003d 3 szintvonala az 5.5 pontvonalon látható.
Könnyű megbizonyosodni arról, hogy két változó lineáris függvényében bármely szintvonal egyenesen a síkon lesz, és a szint minden szintje párhuzamos lesz egymással.
5.5 ábra - a funkció vonalszintje z \u003d 2x 1 + x 2
Töltse le a letétfedőkből.
Előadások 1-4
Több változó funkciói.
Ellenőrzési kérdések.
Több változó (FDP) függvényének privát és teljes növelése.
Több változó funkciójának határa. Az FNP-határértékek tulajdonságai.
Az FNP folytonossága. A folyamatos funkciók tulajdonságai.
Privát elsőrendű származékok.
Meghatározás : Ha a változók mindegyikének megfelel a változó bizonyos értékénekw, Ezt fogják hívniw. független változók Funkció:
(1)
Meghatározás
: Definition területD.
(
f.
)
a funkciók (1) egy ilyen számkészletek készletét nevezik 
amelyben a funkció meghatározása (1).
Vidék D. ( f. ) Nyitott vagy zárva lehet. Például a funkcióhoz:
D. (f. ) Minden olyan hely, ahol az egyenlőtlenség (zárt labda) elvégezhető, és egy függvény (nyitott labda).
A jövőben elsősorban két változó funkcióit tekintjük meg, mert Először is, nincs alapvető különbség két és nagy számú változó között, a változók számának növekedése csak a számítás térségéhez vezet. Másodszor, két változó esete lehetővé teszi a vizuális geometriai értelmezést.
A két változó funkciójának geometriai képe 
Olyan felület, amely kifejezetten vagy implicit módon beállítható. Például:a. ) 
- Explicit feladat (paraboloid forgás), b) 
- implicit feladat (gömb).
Egy ütemterv építése során a funkciók gyakran használjákszakaszonként .
Példa . Építsen egy funkció grafikonját. 
A részeket használjuk.
– a síkban 
- Parabola.
– a síkban 
-parabola.
– a síkban 
- Kör.
A kívánt felület egy paraboloid forgás.
Távolság
két önkényes pont között 
és 
(Euklideszi) tér 
A számot hívják
Számos pontot hívnaknyílt kör
sugár 
Központtal a ponton 
, –
kör
Sugarú központtal.
Kültéri sugár kör 
A központtal a hívott ponton -Tartomány
Pontok.
RÓL RŐL 
hányados. A pontot hívjákbelső pont
készlet 
Ha van egy környéken 
Pontok, teljes egészében a készlet tulajdonában van (azaz 
).
Meghatározás . A pontot hívjákkorlátozott pont a készletek, ha vannak olyan pontok, amelyek bármilyen módon vannak, a készlethez tartozó és nem tartoznak hozzá.
A készlet határpontja ennek a készletnek tulajdonosa, és nem tartozik hozzá.
Meghatározás . Sok hívottnyisd ki Ha az összes pontja belső.
Meghatározás . Sok hívottzárva
Ha tartalmazza az összes határpontját. A készlet minden határpontjának halmazát nevezik.határ
(és gyakran jelzi a szimbólum 
). Ne feledje, hogy a készlet 
zárva van és hívottbezárja a készletet.
Példa . Ha akkor. Ahol.
A funkció magán és teljes mértékű növelése.
Ha az egyik független változó (például,h. ) Növekményt kap h. És a másik változó nem változik, a funkció növekszik:
amelyet magánprementnek neveznek az argumentum funkcióhozh. .
Ha minden változó lépést kap, akkor a funkció teljes mértékben növekszik:
Például a funkcióhoz 
lesz:
Több változó funkciójának határa.
Meghatározás . Azt mondjuk, hogy a pontok sorozata 
konvergál
-ért 
Mutatni 
Ha van.
Ebben az esetben a pont 
Híváshatár
a megadott sorrend és írás: 
-ért 
.
Könnyen megmutatható, hogy akkor és csak akkor, ha egyszerre 
, 
(azaz a térpontok sorrendjének konvergenciája egyenértékűközös konvergencia
).
Meghatározás. A számot hívják határ
funkciók 
-ért 
Ha azért van 
oly módon, hogy 
, amint.
Ebben az esetben írnak 
vagy 
-ért 
.
Az egyik és két változó funkcióinak határértékének látszólagos teljes analógiájával mély különbség van közöttük. Abban az esetben a funkció egyetlen változó létezik a határérték azon a ponton, szükséges és elegendő egyenlősége csak két szám - korlátok két irányban: a jobb és bal oldalán a határpont 
. Két változó függvényében a határérték vágya 
A gépen is előfordulhat végtelen számú irányban (és nem feltétlenül egy egyenes vonal), és így az a követelmény, hogy létezik az a határ, a függvény két (vagy több) változó „keményebb”, mint a funkció egy változó.
Példa . Megtalálni 
.
Hagyja, hogy a vágy a határértékre 
közvetlen 
. Azután 
.
A határ nyilvánvalóan nem létezik, mert a szám 
attól függ 
.
Az FNP-határértékek tulajdonságai:
Ha én. 
, azután: , Hasonlóan meghatározza a magánszármazékot 
És megnevezéseit bevezetik.
Könnyű látni, hogy a magánszármazék az egyik változó funkciójának származéka, ha egy másik változó értékét rögzítik. Ezért a magánszármazékokat ugyanazokkal a szabályok szerint kell kiszámítani, mint az egyik változó funkcióinak származékai kiszámítása.
Példa . Keressen privát származtatott funkciókat 
.
Nekünk van: 
, 
.
V. Differenciál kalkulus
Több változó funkciói
Több változó funkciójának fogalma
Korábban egy független változó funkcióját figyelembe vették. Azonban a konkrét gyakorlati feladatok megoldása, a kutató általában olyan olyan jelenségekkel szembesül, amelyek több független változótól függenek. Ennek legegyszerűbb példáiként kiszámoljuk a téglalap vagy a párhuzamos térfogat területét. Valójában a téglalap területét két független érték határozza meg - a téglalap oldalai hossza és:
A párhuzampiped térfogatát három független érték határozza meg - a bordáinak hossza,
Komplexebb példákat vezethet. Más szavakkal, a független változók száma lehet. Ezekben az esetekben azt mondják, hogy a kívánt érték két, három vagy több változó funkciója.
Gyakran megpróbálja kizárni a másodlagos változókat, és csak egy, a fő, azaz megpróbálja megszerezni az egyik változó funkcióját. De ez nem mindig lehetséges. A kifejezés egyszerűsítése gyakran két vagy három változó funkciót ad. Közvetlenül meg kell jegyezni, hogy a sok változó funkcióinak tanulmányozása hasonló módszerekkel rendelkezik. Ezért az egyszerűség szempontjából két változó funkcióit és a kapott eredményeket, ha szükséges, önkényes esetenként általánosítani kell.
Egy változó esetében a funkció olyan operátor volt, amely szerint a készlet minden eleme a készletből egy és egyetlen elemnek felel meg.
Milyen módon éri a két változó funkcióját? Mivel vizsgáljuk a valódi argumentumok funkcióit, az ilyen függvény értéke a két érvényes szám párjától függ. A készletek elméletének szempontjából ez nem más, mint a két készlet terméke, és amelynek változók tartoznak és.
Meghatározás 5.1.1 . Hagyja, majd a termék új készletet ad, amelynek minden eleme pár számot tartalmaz.
Az 5.1.1 meghatározásából következik, hogy az értékek és a két változó funkcióinak ismerete, megtalálja a meghatározás területét. Nyilvánvaló, hogy minden lehetséges kombináció lesz.
A termék két érvényes numerikus készlet, és sok űrben van. A termék grafikus ábrázolása a sík síkja vagy része.
Meghatározás 5.1.2 . A két változó funkcióját az aránynak nevezik, amelyet minden számpár egy és csak egy számot tesz.
Ha a változók függvénye van, akkor annak meghatározási területe lesz hely, vagy része annak. Egy ilyen tétel nem képzelte grafikusan.
A két változó funkciói, valamint az egyik változó funkciói táblázat, grafikus vagy analitikai kifejezéssel ábrázolhatók. A táblázatos módszer könnyen kényelmes, ha kísérleti definíció esetén a függvényérték lehet az egyetlen. További informatív grafikus és analitikai feladatfunkció. Ugyanakkor az utolsó módszer a legkényelmesebb, mivel lehetővé teszi a teljes tanulmány elvégzését.
A két változó funkciójának grafikusan ábrázolják, például a háromdimenziós koordináta-rendszert, például téglalap alakú dekorsztulust festenek. A síkon ábrázolja a funkció meghatározásának mezőjét. A definíciós terület minden egyes pontján a merőleges helyreállt, amelynek hossza egyenlő a funkció értékével ezen a ponton. Az összes kapott pont kombinálása, bizonyos felület (5.1.1 ábra). Így a két változó grafikusan funkciója valamilyen felület. A nagyobb számú változók funkcióinak képét a grafikus módszer már nem alkalmazható.
Az analitikai feladat során két változó funkcióját a képlet rögzíti, amellyel a függvény értékét a független változók meghatározott értékei találják meg. A változók számának növelése a problémák problémájának analitikai feladatában nem hoz létre ( 
).
A tanulmány a funkció két vagy több változó azonos fogalmak merülnek fel, mint az egyik működése változó: a határérték, folytonosság, növekmény, származék.
Fontolja meg a szekció keresztmetszeteinek elején, és (5.1.2. Ábra).
Mivel az állandó vonalon van, csak a változástól függően változik. Ha a ponton állítsa be a növekményt, akkor a pontra kerülnek 
. Az alkalmazásban lévő különbség ezekben a pontokon megegyezik azzal, hogy megváltoztatja a függvény értékét, amely nem függ a változótól.
Így növekményt adunk, egy növekményt kapunk privát növekmény és kijelölt .
Hasonlóképpen, a magánprementés :.
Egyidejűleg a változók lépéseit, és a funkció teljes növekedését kapjuk :. Ugyanakkor szükség van arra, hogy szem előtt kell tartani 
.
Most bemutatjuk a síkon lévő pont szomszédságának fogalmát.
Meghatározás 5.1.3
. -Contest pont, amelynek sugarú sugarú, sok pontnak nevezik, amelyek megfelelnek az egyenlőtlenségnek 
, Vagy más szavakkal, a sugarú kör belsejében lévő összes pontot a ponton (5.1.3. Ábra).
A környék meghatározása alapján megadhatja a két változó funkciójának korlátozásának fogalmát. Tegyük fel, hogy a funkció bizonyos régióban van meghatározva (5.1.3. Ábra). Vegyünk egy kis pontot ezen a területen. lényegre törő;
3) minden ponton meghatározott, de 
.
