Hasta ahora, hemos estudiado la función de una variable, es decir. El estudio de la variable cuyos valores dependen de los valores de una variable independiente.
En la práctica, a menudo es necesario lidiar con los valores, cuyos valores numéricos dependen de los valores de varias variables independientemente entre sí. El estudio de tales valores conduce al concepto de una función de varias variables. Damos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. El área del rectángulo tiene una función de dos independientemente de las variables variables cambiantes, los lados del rectángulo y :.
Ejemplo 2. El funcionamiento de la corriente eléctrica en el área de la cadena depende de la diferencia potencial en los extremos de la sección, las fuerzas actuales y de tiempo:.
Ejemplo 3. La temperatura medida en diferentes puntos de algún cuerpo es la función de la coordenada del punto en que se mide, y en el momento del tiempo :.
Definición 1. Nombre nORTE. -punto de medición Un conjunto de números ordenado. Los números se llaman coordenadas - Punto dimensional. Muchos tipos de puntos dimensionales llaman espacio n-dimensional Y lo denotaremos. Punto de visita el comienzo de las coordenadas. espacio in-dimensional, y el número - dimensión espacio.
Casos privados:
1. - Línea recta del número;
2. - Plano;
3. - Espacio tridimensional.
Definición 2. Deje que haya valores variables, y cada conjunto de sus valores de algún conjunto corresponde a un valor completamente definido del valor de la variable. Luego dicen lo que se le pregunta. función de varias variables.
Se llaman las variables variables independientes o argumentos , – variable dependiente , símbolo - ley de cumplimiento .
Además de la función de una variable, se puede configurar la función de varias variables. obvio - I. impuesto – .
Cualquier función explícita de varias variables se puede representar en función de un espacio determinado: donde el conjunto está determinado por el conjunto de sus coordenadas.
Si cada punto del área de la definición corresponde a un valor, entonces se llama la función inequívoco , de lo contrario - multivaluado .
Muchos llamados Área de definición de función Es un subconjunto de espacio dimensional. Como un área de brecha puede ser cerrado o O. tkryta Dependiendo de si contiene su borde o no.
Definición de campo natural Las funciones (1) se denominan variedad de puntos cuyas coordenadas proporcionan claramente valores reales y finales de la función. En el futuro, si no se imponen restricciones adicionales en el cambio en las variables independientes, en el establecimiento del problema, en el campo de la definición de la función, implicaremos su campo natural de definición.
Consideremos con más detalle dos casos especiales que son los más simples y permiten la interpretación geométrica.
1. Función de dos variables ( nORTE. = 2)
La función de dos variables se denotará. El valor específico de la función cuando, o en el punto se escribe en el formulario, o.
La función de determinar la función es un subconjunto de los puntos del plano de coordenadas. En particular, la función de determinar la función puede ser todo el plano o parte del plano limitado por líneas. Línea que restringe esta área será llamada frontera Áreas. Se llamarán puntos de plano que no están acostados en la frontera. interno .
Ejemplo 4. La función se determina en todo el plano.
Ejemplo 5. Las funciones se determinan en todo el plano, con la excepción de directo.
Ejemplo 6. El área de definición de campo es el conjunto de puntos de plano cuyas coordenadas satisfacen la relación, es decir, Círculo de radio 1 y el centro al comienzo de las coordenadas. El área de definición de esta función está cerrada.
El siguiente ejemplo considerará con más detalle.
Ejemplo 7. Encuentra el área de definición de función.
Decisión.
El logaritmo se define solo con el valor positivo del argumento, por lo que hay una condición para los argumentos :.
Para retratar el área geométricamente, lo encontraremos primero su borde :. La ecuación resultante determina la parábola cuyo vértice se encuentra en el punto, y el eje se dirige al lado positivo del eje.
|
En consecuencia, el área deseada consiste en los puntos internos de la parábola. La parábola en la región no está incluida, significa que el área está abierta.
Definición 3.los puntos se llaman cualquier círculo abierto que contenga un punto.
En particular, es un círculo abierto con un centro en un punto y un radio.
Obviamente, el círculo en el plano es un análogo bidimensional del intervalo en línea recta.
Al estudiar las funciones de varias variables, el aparato matemático ya desarrollado se usa de muchas maneras para la función de una variable. A saber: Cualquier función se puede poner en cumplimiento con un par de funciones de una variable: con un valor fijo, la función y con una función de valor fijo.
Debe tenerse en cuenta que aunque funciona y tiene el mismo "origen", el tipo de ellos puede diferir significativamente.
Ejemplo 9. Considere una función. La función es una potencia, y la función es indicativa.
Imagen geométrica de la función de dos variables.
Como se sabe, la función de una variable se puede representar mediante una cierta curva en el plano, si consideramos los valores de su argumento como abscisa, y los valores de la función como la ordenada del punto de la curva.
De manera similar, la función de dos variables se puede representar gráficamente.
Considere una función definida en el área en el plano y el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Cada punto del conjunto se coloca de acuerdo con el punto de espacio, cuya aplicación es igual al valor de la función en el punto :. El conjunto de todos estos puntos es cierta superficie que la función se adopta naturalmente para una imagen gráfica.
Definición de 4.GraficComfunciones de dos variables. Un conjunto de espacios tridimensionales se denomina aplicación de la cual se asocia con la abscisa y la proporción funcional de ordenación.
|
2. Función de tres variables (n \u003d 3)
Denizaremos la función de tres variables, y asumiremos que, y - variables independientes (o argumentos), y es una variable dependiente (o función).
Área de definición Tal función se llama el conjunto de todos los números en consideración. Si la función se especifica analíticamente, bajo su definición de campo natural Mida el conjunto de los tres números para los cuales la función toma valores válidos.
Definición 6.costlos puntos se llaman cualquier esfera abierta que contiene un punto.
En particular, la industria se llama una esfera abierta con un centro en un punto y radio.
Imagen de los tres números de los espacios del espacio, uno puede considerar la función de tres variables en función del punto de espacio y el campo de determinar la función de tres variables, como un conjunto de puntos de espacio.
Funciones de muchas variables.
§una. El concepto de la función de muchas variables.
Déjalo ser nORTE. Variables. Cada juego 
denota el punto nORTE.-
conjunto dimensional 
(pAG- Vector dimensional).
Deja que el conjunto sea dado 
y 
.
Opr. Si cada punto 
poner en línea con el único número 
Entonces dicen que se establece la función numérica. nORTE. Variables:
.
Consulte el área de definición. 
- Múltiples valores de esta función.
Cuándo nORTE.\u003d 2 en su lugar 
Por lo general escribe x.,
y,
z.. Entonces la función de dos variables es:
z.= f.(x., y).
Por ejemplo, 
- Función de dos variables;
- Función de tres variables;
Función lineal nORTE. Variables.
Opr. Gráfico de gráficos nORTE. Se llaman las variables nORTE.-
hyperSurface dimensional en el espacio. 
, Cada punto de lo que está dado por las coordenadas.
Por ejemplo, un gráfico de la función de dos variables. z.=
f.(x.,
y)
es la superficie en el espacio tridimensional, cada punto que está dado por las coordenadas ( x.,
y,
z.)
dónde 
, I. 
.
Dado que la gráfica de las funciones de tres y más variables no es posible, principalmente (para la claridad) consideremos las funciones de dos variables.
La construcción de gráficos de funciones de dos variables es un desafío. La asistencia significativa en su solución se puede construir por las llamadas líneas de nivel.
Opr. Nivel de línea de la función de dos variables. z.= f.(x., y) llamado muchos puntos de avión Houque son una proyección de la sección transversal del calendario del plano paralelo Hou. En cada punto de la línea de nivel, la función tiene el mismo valor. Las líneas de nivel se describen por la ecuación. f.(x., y) \u003d S.dónde con - algún número. Las líneas de línea son infinitamente, y a través de cada punto del área de definición, puede gastar uno de ellos.
Opr. Superficie de nivel de función nORTE. variables y=
f.
(
) llamado hipersuperficial en el espacio 
, en cada punto de que el valor de la función es constante e igual a algún significado con. Ecuación de la superficie de la superficie: f.
(
)\u003d s.
Ejemplo. Construir un gráfico de la función de dos variables.
.
.
Cuando c \u003d 1: 
;
.
Cuando c \u003d 4: 
;
.
Cuando c \u003d 9: 
;
.
Línea de nivel: círculos concéntricos, cuyo radio disminuye con el aumento. z..
§2. El límite y continuidad de la función de muchas variables.
Para las funciones de muchas variables, los mismos conceptos se determinan en función de la función de una variable. Por ejemplo, es posible definir el límite y la continuidad de la función.
Opr. El número A se llama la función de límite de dos variables. z.=
f.(x.,
y)
por 
,
Y denota 
Si por cualquier número positivo 
Hay un número positivo 
, de modo que si el punto 
retirado del punto 
A la distancia menos 
, luego valores f.(x.,
y)
y y difieren en menos de 
.
Opr. Si la función z.=
f.(x.,
y)
Definido en el punto 
y tiene un límite en este punto igual al valor de la función 
Entonces, se llama continuo en este punto.
.
§3. Derivados privados de muchas variables.
Considere la función de dos variables. 
.
Solucionar el valor de uno de sus argumentos, por ejemplo 
Inoportuno 
. Entonces función 
Hay una función de una variable. 
. Que tenga un derivado en el punto. 
:
.
Este derivado se llama un derivado privado (o derivado privado del primer orden) de la función. 
por 
En el punto 
E indicado: 
;
;
;
.
La diferencia se llama incremento privado a 
Y denota 
:
Teniendo en cuenta las designaciones anteriores, puedes grabar
.
Determinado de manera similar
.
Derivado privado Las funciones de varias variables de acuerdo con una de estas variables son el límite de la relación de la proporción de la función al incremento de la variable independiente correspondiente, cuando este incremento se esfuerza por cero.
Al encontrar un derivado privado para cualquier argumento, otros argumentos se consideran constantes. Todas las reglas y fórmulas para la diferenciación de funciones de una variable son válidas para derivados privados de muchas variables.
Tenga en cuenta que los derivados privados son funciones de las mismas variables. Estas características, a su vez, pueden tener derivados privados llamados segundo Derivados Privados (o derivados privados de segundo orden) de la función fuente.
Por ejemplo, una función. 
Tiene cuatro derivados privados de segundo orden, que se indican de la siguiente manera:
;
;
;
.
y 
- Derivados privados mixtos.
Ejemplo.Encuentra los derivados privados de segundo orden para la función.
.
Decisión.
,
.
,
.
, 
.
La tarea.
1. Encuentra un segundo orden de los derivados privados para funciones.
,
;
2. Para la función 
Pruebalo 
.
Diferencial completo las funciones de muchas variables.
Con el cambio simultáneo de valores. h.y w. función 
Cambiar el valor llamado el incremento completo de la función. z.
en el punto 
. Además, como en el caso de la función de una variable, surge la tarea de reemplazo aproximado del incremento. 
en función lineal de 
y 
. El papel de la aproximación lineal realiza. diferencial completo Funciones:
Diferencial completo de segundo orden:
=
.
=
.
En general, un diferencial completo. pAGEl pedido tiene la forma:
Derivado en dirección. Degradado.
Deja que la función z.=
f.(x.,
y)
definido en algún punto de vecindario m ( x.,
y) I. 
- alguna dirección definida por un solo vector 
. Las coordenadas del vector de la unidad se expresan a través de los coseros de los ángulos formados por el vector y los ejes de las coordenadas y llamadas cosidas de guía:
,
.
Cuando se mueve el punto m ( x.,
y) en esta dirección l.
exactamente 
función z. Incrementar
se llama incremento de la función en esta dirección. l..
Si mm 1 \u003d δ l.T.
T.
ACERCA DE
Funciones z.=
f.(x.,
y)
hacia
El límite de la relación del incremento de la función en esta dirección a la magnitud del movimiento. l.
Cuando este último se esfuerza por cero:
El derivado en la dirección caracteriza la tasa de cambio de función en esta dirección. Obviamente, derivados privados 
y 
Representa derivados en direcciones paralelas a los ejes. BUEY.
y Oy. Es fácil mostrar que
Ejemplo. Calcular la función derivada 
En el punto (1; 1) en la dirección 
.
Opr. Degradado Funciones z.= f.(x., y) El vector se llama coordenadas igual a un derivado privado:
.
Considere el producto escalar de los vectores. 
y 
:
Es fácil ver que 
. El derivado en la dirección es igual al producto escalar del gradiente y el vector de una sola dirección 
.
En la medida en 
Entonces, el producto escalar es al máximo cuando los vectores están igualmente dirigidos. Por lo tanto, el gradiente de la función en el punto establece la dirección del aumento aparente de la función en este punto, y el módulo de gradiente es igual a la tasa de crecimiento máxima de la función.
Conocer el gradiente de la función, puede construir localmente una línea de nivel de función.
Teorema. Deja que la función diferenciable estableciera z.=
f.(x.,
y)
y en el punto 
El gradiente de la función no es cero: 
. Luego, el gradiente perpendicular a la línea de nivel que pasa a través de este punto.
Por lo tanto, si, a partir de algún punto, para crear una función en los puntos cercanos de la función y una parte pequeña perpendicular a ella de la línea de nivel, entonces puede (con algún error) para construir una línea de nivel.
Función extremo local de dos variables.
Deja que la función 
Determinado y continuo en algún barrio del punto. 
.
Opr. Punto 
llamada la función máxima local 
Si hay tal punto de vecindario 
en el que para cualquier punto 
Se realiza la desigualdad:
.
Del mismo modo, se introduce el concepto de un mínimo local.
Teorema (una condición necesaria para el extremo local).
Para funciones diferenciables. 
tenía un extremo local en el punto 
Es necesario que todos sus derivados privados del primer pedido en este punto sean iguales a cero:
Por lo tanto, los puntos de la posible presencia de extremo son aquellos puntos en los que la función es diferenciable, y su gradiente es 0: 
. Como en el caso de la función de una variable, tales puntos se llaman estacionarios.
(Conferencia 1)
Funciones de 2 variables.
La variable Z se llama la función 2x \u200b\u200bvariables f (x, y), si para cualquier par de valores (x, y) g se coloca de acuerdo con un cierto valor de la variable z.
Ord. El barrio del punto P 0 se llama círculo con el centro en el punto P 0 y el radio. = (x-x 0 ) 2 + (U-y 0 ) 2
la pequeña que se puede especificar el pequeño número, tal ()\u003e 0, que se encuentra en todos los valores de X e Y, para los cuales la distancia de T. p a P0 es menor que la desigualdad: f (x, y) a, es decir Para todos los puntos P, ingresando al vecindario del punto P 0, con un radio, el valor de la función es diferente de una menor que en el valor absoluto. Esto significa que cuando el punto P se acerca al punto P 0 por aMOR
Función de continuidad.
Supongamos que la función z \u003d f (x, y), p (x, y) es una tabla, p 0 (x 0, y 0) es el punto en consideración.
Ord.
3) El límite es igual al valor de la función en este punto: \u003d f (x 0, y 0);
Limf (x, y) \u003d f (x 0 , y. 0 );
páginas. 0
Derivado privado.
Damos el argumento x incremento x; x + x, obtenemos un punto de p 1 (x + x, y), calcule la diferencia entre las funciones de la función en el punto P:
x z \u003d f (p1) -f (P) \u003d F (x + x, y) - F incremento privado F (x, y) de la función correspondiente al incremento del argumento x.
z. \u003d Lim. x. z.
z. \u003d Lim. f (x + x, y) - f (x, y)
X x0 x.
Definición de la función de varias variables.
Al considerar muchos problemas de varias áreas de conocimiento, es necesario estudiar tales dependencias entre las variables cuando los valores numéricos de ellos están totalmente determinados por los valores de varios otros.
por ejemplo, estudiando la condición física de cualquier organismo, debe observar el cambio en sus propiedades desde el punto hasta el punto. Cada punto del cuerpo se establece en tres coordenadas: x, y, z. Por lo tanto, estudiando, digamos, distribución de densidad, concluimos que la densidad del cuerpo depende de las tres variables: x, y, z. Si el estado físico del cuerpo también está cambiando con el tiempo t, la misma densidad dependerá de los valores de cuatro variables: x, y, z, t.
Otro ejemplo: Se estudian los costos de producción para la fabricación de un solo tipo de producto. Dejar:
x - El costo de los materiales.
y es el costo de pagar el salario a los empleados,
z - deducciones de depreciación.
Obviamente, los costos de producción dependen de los valores de los parámetros mencionados X, Y, Z.
Definición 1.1. Si cada conjunto de valores de las variables "n"
de algunos set d de estos conjuntos, su único valor de la variable Z se cumple, se dice que la función se establece en el conjunto D
"N" variables.
El conjunto D especificado en la definición 1.1 se denomina área de definición o un área de existencia de esta función.
Si se considera la función de dos variables, entonces la totalidad de los números
digno, como regla general, (x, y) y se interpretan a medida que los puntos del plano de coordenadas de Oxy, y la función de determinar la función z \u003d f (x, y) de dos variables se representa como un conjunto de puntos en el plano de Oxy .
Entonces, por ejemplo, el área de definición de campo
es el conjunto de puntos del plano oxi, cuyas coordenadas satisfacen la proporción
i.E. Es un círculo de radio R con el centro al comienzo de las coordenadas.
Para la función
el área de la definición sirve los puntos que satisfacen la condición.
i.E. Externo con respecto al círculo especificado.
A menudo, las funciones de dos variables se establecen en una forma implícita, es decir, como una ecuación
encuadernación de tres variables de magnitud. En este caso, cada uno de los valores X, Y, Z se puede ver como una función implícita del otro restante.
La imagen geométrica (gráfica) de la función de dos variables z \u003d f (x, y) es el conjunto de puntos P (x, y, z) en el espacio de OXYZ tridimensional, cuyas coordenadas están satisfaciendo la ecuación Z \u003d f (x, y).
Un gráfico de la función de los argumentos continuos, como regla general, es cierta superficie en el espacio Oxyz, que está diseñado para el plano de coordenadas de Oxy en función de la determinación de la función z \u003d f (x, y).
Entonces, por ejemplo, (Fig. 1.1) Programa de función
es la mitad superior de la esfera y el horario de la función
La mitad inferior de la esfera.
La gráfica de la función lineal Z \u003d AX + BY + C es el plano en el espacio Oxyz, y el gráfico de la función Z \u003d Base es el plano paralelo al plano de coordenadas Oxyz.
Tenga en cuenta que la función de tres y más variables se visualiza en forma de un gráfico en el espacio tridimensional.
En el futuro, principalmente se limitaremos a la consideración de las funciones de dos o tres variables, ya que la consideración del caso de un número mayor (pero finito) es similar.
Determinar la función de varias variables.
(Conferencia 1)
La variable u se llama F (x, y, z, ..., t), si para cualquier conjunto de valores (x, y, z, ..., t) se pone en línea con un valor completamente definido de la Variable U.
Múltiples sets El valor de la variable se llama área de definición de campo.
G es un conjunto (x, y, z, .., t) - el área de definición.
Funciones de 2 variables.
La variable Z se llama variables de función 2x \u200b\u200bf (x, y), si para cualquier par de valores (x, y) î g se establece en un cierto valor de la variable z.
El límite de la función de 2 variables.
Supongamos que la función z \u003d f (x, y), p (x, y) es una tabla, p 0 (x 0, y 0) es el punto en consideración.
Ord. El barrio del punto P 0 se llama círculo con un centro en el punto P 0 y R radio. r.= Ö (x-x 0 ) 2 + (U-y 0 ) 2 Ø
El número A se llama el límite de la función | en el punto P 0, si para cualquier
otro pequeño número de E se puede especificar dicho número R (E)\u003e 0, que se encuentra en todos los valores X e Y, para los cuales la distancia de T. p a P0 es menor que R se lleva a cabo desigualdad: ½f ( X, Y) - A10, con RADIO R El valor de la función es diferente de una menor que E por valor absoluto. Esto significa que cuando el punto P se acerca al punto P 0 por aMOR Caminos, el valor de la función se acerca ilimitado A.
Función de continuidad.
Supongamos que la función z \u003d f (x, y), p (x, y) es una tabla, p 0 (x 0, y 0) es el punto en consideración.
Ord. La función z \u003d f (x, y) se llama continua en T. p 0, si se realizan 3 condiciones:
1) La función se define en este punto. f (p 0) \u003d f (x, y);
2) F-I tiene el límite en este punto.
3) El límite es igual al valor de la función en este punto: b \u003d f (x 0, y 0);
Limf (x, y)= f (x. 0 , y. 0 ) ;
pag.à pag. 0
Si se rompe al menos 1 de las condiciones de continuidad, el punto R se llama un punto de separación. Para las funciones de las variables 2x, puede haber puntos de brecha separados y las líneas de ruptura completas.
El concepto de límite y continuidad para las funciones de un número mayor de variables se determina de manera similar.
La función de tres variables no es posible retratar gráficamente, en contraste con la función de las variables 2x.
Para la función de las variables 3x, puede haber lagunas, líneas y superficies de rotura.
Derivado privado.
Rompamos la función z \u003d f (x, y), p (x, y) - el punto en consideración.
Damos el argumento al incremento DX; X + DX, obtenemos un punto P 1 (X + DX, Y), calculamos la diferencia entre los valores de la función en el punto P:
D x z \u003d f (p1) -F (P) \u003d f (x + dx, y) - f (x, y): el incremento privado de la función correspondiente al incremento del argumento x.
Ord. El derivado privado de la función z \u003d f (x, y) en la variable x se llama el límite de la relación del incremento privado de esta función a lo largo de la variable x a este incremento, cuando este último se esfuerza por cero.
¶ z. \u003d Lim. D. x. z.
à ¶ z. \u003d Lim. f (x + D. x, y) - f (x, y)
¶ x. D.x.® 0 D.x.
De manera similar, definimos un derivado privado en una variable y.
Encontrar derivados privados.
Al determinar los derivados privados, solo una variable varía cada vez, las variables restantes se consideran permanentes. Como resultado, cada vez que consideramos la función de una sola variable y la derivada privada coincide con el derivado habitual de esta función de una variable. De ahí la regla de encontrar derivados privados: el derivado privado de acuerdo con la variable en consideración está diseñada como los derivados habituales de una de esta variable, las variables restantes se separan como valores permanentes. Al mismo tiempo, todas las fórmulas para la diferenciación de la función de una variable (importes derivadas, obras, privadas) se proporcionan.
El concepto de una función de varias variables.
Si cada punto x \u003d (x 1, x 2, ... xn), desde los puntos de ajuste (x) del espacio n-dimensional se coloca de acuerdo con un valor bien definido de la variable z, luego dicen qué está especificado función n variables z \u003d f (x 1, x 2, ... x n) \u003d f (x).
En este caso, las variables x 1, x 2, ... x n llamado variables independientes o argumentos Funciones, Z - variable dependiente, y el símbolo F denota. ley de cumplimiento. Set (x) llamado Área de definición Funciones (este es un cierto subconjunto de espacio n-dimensional).
Por ejemplo, la función z \u003d 1 / (x 1 x 2) es una función de dos variables. Sus argumentos son variables x 1 y x 2, y z es una variable dependiente. El área de definición es todo el plano de coordenadas, con la excepción de la recta X 1 \u003d 0 y X 2 \u003d 0, es decir. Sin abscisa y ordena los ejes. Sustituyendo cualquier punto del área de definición a la función, de acuerdo con la ley, obtenemos un cierto número. Por ejemplo, tomando punto (2; 5), es decir, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 5, obtenemos
z \u003d 1 / (2 * 5) \u003d 0.1 (es decir, Z (2; 5) \u003d 0.1).
Función de la forma z \u003d A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A N x N + B, donde un 1, y 2, ..., y N, B, según los números permanentes, llamados lineal. Puede considerarse como la suma de las funciones lineares de las variables x 1, x 2, ... x n. Se llaman todas las demás funciones. no lineal.
Por ejemplo, la función z \u003d 1 / (x 1 x 2) es no lineal, y la función z \u003d
\u003d x 1 + 7x 2 - 5 - lineal.
Cualquier función z \u003d f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) se puede colocar de acuerdo con las funciones N de una variable, si fija los valores de todas las variables, excepto una.
Por ejemplo, las funciones de las tres variables z \u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) se pueden poner en línea con tres funciones de una variable. Si X 2 \u003d A y X 3 \u003d B se fija, entonces la función tomará el formulario Z \u003d 1 / (ABH 1); Si correge x 1 \u003d A y X 3 \u003d B, tomará el formulario Z \u003d 1 / (ABH 2); Si correge x 1 \u003d A y X 2 \u003d B, tomará el formulario Z \u003d 1 / (ABH 3). En este caso, las tres funciones tienen la misma apariencia. No siempre es así. Por ejemplo, si para la función de dos variables se bloquee x 2 \u003d a, entonces tomará el formulario Z \u003d 5x 1 a, es decir, La función de alimentación, y si FIX X 1 \u003d A, entonces tomará el formulario, es decir, Función indicativa.
Calendario Las funciones de las dos variables z \u003d f (x, y) se denominan el conjunto de espacio tridimensional (X, Y, Z), la aplicación Z que se asocia con la abscisa X y la ordenada en la relación funcional.
z \u003d f (x, y). Esta tabla es cierta superficie en el espacio tridimensional (por ejemplo, como en la Figura 5.3).
Se puede demostrar que si la función es lineal (es decir, Z \u003d AX + BY + C), entonces su gráfico es un plano en el espacio tridimensional. Se recomiendan otros ejemplos de gráficos tridimensionales para aprender de forma independiente de acuerdo con el libro de texto de Kremera (pág. 405-406).
Si las variables son más de dos (n variables), entonces calendariolas funciones son un conjunto de puntos (N + 1): espacio dimensional para el cual la coordenada X N + 1 se calcula de acuerdo con la ley funcional especificada. Tal gráfico se llama hiperparable (para la función lineal - hiperplano), y también es una abstracción científica (es imposible retratarla).
Figura 5.3 - Horario de la función de dos variables en espacio tridimensional
Nivel de la superficie La función N Variables se llama un conjunto de puntos en el espacio n-dimensional, de manera que en todos estos puntos, el valor de la función es el mismo e igual a C. El número del número C en este caso se llama nivel.
Por lo general, para la misma característica, puede construir infinitamente muchas superficies de nivel (correspondientes a diferentes niveles).
Para la función de dos variables, la superficie de la superficie toma nivel de línea.
Por ejemplo, considere z \u003d 1 / (x 1 x 2). TOMAR C \u003d 10, es decir. 1 / (x 1 x 2) \u003d 10. luego x 2 \u003d 1 / (10x 1), es decir, En el plano, la línea de nivel se mostrará la vista que se muestra en la Figura 5.4 con una línea continua. Tomando otro nivel, por ejemplo, c \u003d 5, obtenemos una línea de nivel en forma de una función gráfica x 2 \u003d 1 / (5x 1) (en la Figura 5.4 se muestra por puntos).
Figura 5.4 - Línea de línea de línea z \u003d 1 / (x 1 x 2)
Considera otro ejemplo. Deje z \u003d 2x 1 + x 2. TOMAR C \u003d 2, es decir. 2x 1 + x 2 \u003d 2. luego x 2 \u003d 2 - 2x 1, es decir, En el plano, la línea de nivel tomará el tipo de directa, presentada en la Figura 5.5 con una línea continua. Tomando otro nivel, por ejemplo, c \u003d 4, obtenemos una línea de nivel en forma de una línea recta X 2 \u003d 4 - 2x 1 (en la Figura 5.5 se muestra por puntos). La línea de nivel para 2x 1 + x 2 \u003d 3 se muestra en la línea de puntos de Figura 5.5.
Es fácil asegurarse de que para la función lineal de dos variables, cualquier línea de nivel será recta en el plano, y todos los niveles del nivel serán paralelos entre sí.
Figura 5.5 - Niveles de línea de la función z \u003d 2x 1 + x 2
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Conferencias 1-4
Funciones de varias variables.
Preguntas de prueba.
Incremento privado y completo de la función de varias variables (FDP).
El límite de la función de varias variables. Propiedades de los límites FNP.
Continuidad de FNP. Propiedades de las funciones continuas.
Derivados privados de primer orden.
Definición : Si cada uno de los valores establecidos de las variables corresponde a un cierto valor de la variablew, Eso será llamadow. función de variables independientes:
(1)
Definición
: Área de definiciónD.
(
f.
)
funciones (1) llamadas un conjunto de tales conjuntos de números 
en el que se define la función (1).
Región D. ( f. ) Puede estar abierto o cerrado. Por ejemplo, para la función:
D. (f. ) Habrá todos los espacios de espacio para la cual se realiza la desigualdad (bola cerrada), y para una función (Bola abierta).
En el futuro, consideraremos principalmente las funciones de dos variables, porque Primero, no existe una diferencia fundamental entre dos y gran cantidad de variables, un aumento en el número de variables solo conduce al volumen del cálculo. En segundo lugar, el caso de dos variables permite la interpretación geométrica visual.
Imagen geométrica de la función de dos variables. 
Es cierta superficie que se puede configurar específicamente o implícitamente. Por ejemplo:uNA. ) 
- Tarea explícita (paraboloide de rotación), b) 
- Tarea implícita (esfera).
Al construir un horario, las funciones utilizan a menudopor sección .
Ejemplo . Construir un gráfico de una función. 
Utilizamos las secciones.
– en el avión 
- Parábola.
– en el avión 
-parábola.
– en el avión 
- Circulo.
La superficie deseada es un paraboloide de rotación.
Distancia
entre dos puntos arbitrarios 
y 
Espacio (euclidiano) 
Se llama el número
Se llama una variedad de puntos.círculo abierto
radio 
con centro en el punto 
, –
circulo
Radio con centro en el punto.
Círculo de radio al aire libre 
Con el centro en el punto llamado. Ostness
Puntos.
ACERCA DE 
proporción. Se llama puntopunto interno
colocar 
Si hay un barrio 
Puntos, de propiedad completamente propiedad de Set (es decir, 
).
Definición . Se llama puntopunto limitado los sets, si hay puntos en cualquier tipo, como perteneciente al conjunto y no perteneciente a él.
El punto de límite del conjunto puede ser propiedad de este conjunto, y no le pertenecen.
Definición . Muchos llamadosabierto Si todos sus puntos son internos.
Definición . Muchos llamadoscerrado
Si contiene todos sus puntos de límite. El conjunto de todos los puntos límite del conjunto se llama.frontera
(y a menudo indicado por el símbolo 
). Tenga en cuenta que el conjunto 
está cerrado y llamadocerrando el set.
Ejemplo . Si, entonces. En donde
Incremento privado y completo de la función.
Si una es una variable independiente (por ejemplo,h. ) Se incremente h. Y la otra variable no cambia, la función se incrementa:
que se llama incremento privado a la función de argumentoh. .
Si todas las variables obtienen incrementos, la función obtiene un incremento completo:
Por ejemplo, para la función. 
tendrá:
El límite de la función de varias variables.
Definición . Diremos que la secuencia de puntos. 
converger
por 
Apuntar 
Si con.
En este caso, el punto. 
Llamarlímite
de la secuencia especificada y escribir: 
por 
.
Es fácil mostrar eso entonces y solo cuando al mismo tiempo 
, 
(es decir, la convergencia de la secuencia de puntos espaciales es equivalenteconvergencia común
).
Definición. Se llama el número límite
funciones 
por 
Si por 
tal que 
, una vez.
En este caso escriben 
o 
por 
.
Con la aparente analogía completa de los conceptos del límite de las funciones de una y dos variables, existe una diferencia profunda entre ellos. En el caso de la función de una variable para la existencia del límite en el punto, es necesario y suficiente igualdad de solo dos números, los límites por dos direcciones: a la derecha e izquierda del punto límite 
. Para la función de dos variables, el deseo del punto límite. 
En el plano puede ocurrir en un número infinito de direcciones (y no necesariamente en línea recta), y por lo tanto el requisito de la existencia del límite en la función de dos (o varias) variables "más duras" en comparación con la función de uno variable.
Ejemplo . Encontrar 
.
Deja que el deseo por el punto de límite. 
sucede en directo 
. Luego 
.
El límite obviamente no existe porque el número. 
depende de 
.
Propiedades de los límites de FNP:
Si yo. 
, luego: , Determina de manera similar la derivada privada de 
Y sus designaciones se presentan.
Es fácil ver que el derivado privado es el derivado de la función de una variable cuando se soluciona el valor de otra variable. Por lo tanto, los derivados privados se calculan de acuerdo con las mismas reglas que el cálculo de los derivados de las funciones de una variable.
Ejemplo . Encuentra funciones derivadas privadas. 
.
Tenemos: 
, 
.
V. Cálculo diferencial
Funciones de varias variables.
El concepto de la función de varias variables.
Anteriormente, se consideró la función de una variable independiente. Sin embargo, la resolución de tareas prácticas específicas, el investigador, en general, enfrenta a tales fenómenos que dependen inmediatamente de varias variables independientes. Como los ejemplos más simples de esto, es necesario calcular el área del rectángulo o el volumen de los paralelepipidos. De hecho, el área del rectángulo está determinado por dos valores independientes: las longitudes de los lados del rectángulo y:
El volumen de paralelepípedo está determinado por tres valores independientes, las longitudes de sus costillas ,,
Puedes llevar ejemplos más complejos. En otras palabras, el número de variables independientes puede ser cualquiera. En estos casos, se dice que el valor deseado es una función de dos, tres o más variables.
A menudo, tratando de excluir las variables secundarias y dejar solo una, la principal, es decir, intentan obtener la función de una variable. Pero no siempre es posible. La simplificación de la expresión a menudo da la función de dos o tres variables. Inmediatamente se debe tener en cuenta que el estudio de las funciones de muchas variables tiene métodos similares. Por lo tanto, para la simplicidad, estudiaremos las funciones de dos variables y los resultados obtenidos, si es necesario, a generalizarse en un caso arbitrario.
En el caso de una variable, la función fue un operador que cada elemento del conjunto se colocó en correspondencia a uno y solo un elemento del conjunto.
¿De qué manera es el argumento de la función de dos variables? Dado que investigamos las funciones de los argumentos reales, el valor de tal función depende del par de dos números válidos. Desde el punto de vista de la teoría de los conjuntos, esto no es más que el producto de dos conjuntos y a qué variables pertenecen y.
Definición 5.1.1 . Deje, y luego el producto le da un nuevo conjunto, cada elemento de los cuales contiene un par de números.
Desde la definición 5.1.1, se deduce que, sabiendo el conjunto de valores y las funciones de dos variables, puede encontrar el área de su definición. Obviamente, serán todas las combinaciones posibles y.
El producto de dos conjuntos numéricos válidos y forma muchos en el espacio. La representación gráfica de este producto es un plano o parte de este plano.
Definición 5.1.2 . La función de dos variables se llama la relación, que cada par de números pone uno y un solo número.
Si hay una función de las variables, entonces su área de definición será espacio o parte de ella. Tal lote no se ha imaginado gráficamente.
Las funciones de dos variables, así como las funciones de una variable, se pueden representar utilizando una tabla, gráfica o expresión analítica. Sin embargo, el método tabular es fácilmente conveniente cuando la definición experimental, el valor de la función puede ser el único. Función de tareas gráficas y analíticas más informativas. Al mismo tiempo, el último método es más conveniente, ya que permite realizar un estudio completo de este concepto.
Para representar gráficamente la función de dos variables, pintan el sistema de coordenadas tridimensionales, por ejemplo, un Decartular rectangular. En el avión representa el campo de definir esta función. En cada punto del área de definición, se restaura un perpendicular, que tiene una longitud igual al valor de la función en este punto. Combinando todos los puntos obtenidos, consigue algo de superficie (Fig. 5.1.1). Por lo tanto, la función gráfica de dos variables es una superficie. Para la imagen de las funciones de un mayor número de variables, el método gráfico ya no es aplicable.
Con la tarea analítica, la función de dos variables se registra por la fórmula, con la cual el valor de la función se encuentra en los valores especificados de las variables independientes. Aumentar el número de variables en la tarea analítica del problema de los problemas no crea ( 
).
En el estudio de la función de dos o más variables, surgen los mismos conceptos que para la función de una variable: el límite, la continuidad, el incremento, el derivado.
Considere al comienzo de la sección secciones transversales por aviones y (Fig. 5.1.2).
Dado que en la línea de la constante es, cambia solo dependiendo del cambio. Si en el punto establece el incremento, entonces se moverá al punto. 
. La diferencia en la solicitud en estos puntos será igual a cambiar el valor de una función que no dependerá de la variable.
Así, dando incremento, recibimos un incremento llamado. incremento privado por y designado. .
Del mismo modo, el incremento privado por :.
Dar simultáneamente los incrementos de variables y, obtenemos el incremento completo de la función :. Al mismo tiempo es necesario tener en cuenta que 
.
Ahora presentamos el concepto del barrio del punto en el plano.
Definición 5.1.3
. -Contestad punto con un radio llamado muchos puntos que satisfacen la desigualdad 
, o, en otras palabras, el conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro del círculo del radio con el centro en el punto (Fig. 5.1.3).
Basado en la definición del vecindario, puede ingresar el concepto de limitar la función de dos variables. Supongamos que la función se define en alguna región (Fig. 5.1.3). Tome algún punto en esta área. al punto;
3) definido en todos los puntos, pero 
.
